Matemática 12mo. Grado. Perfeccionamiento
Ficha
- Título
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-
Matemática 12mo. Grado. Perfeccionamiento
ι=
−1
z
n
x
F
E
5
y
3
0
-1
C
D
A
B
1
2
G
H
1
n =2
n +... + n
n + 2
n + 1
0
MATEMÁTICA
duodécimo grado
Dra. C. Emma M. García Enis
M. Sc. Yonjaner Martínez Sánchez
M. Sc. Rosa Alicia Cárdenas Puig
M. Sc. Richard Naredo Castellanos
Lic. Zulema Cuadrado González
Dr. C. Aurelio Quintana Valdés †
M. Sc. Francisco E. Rodríguez Meneses
Este material forma parte del conjunto de trabajos dirigidos al Tercer Perfeccionamiento Continuo del Sistema Nacional de la Educación General. En su elaboración participaron maestros, metodólogos y especialistas a partir de concepciones teóricas y metodológicas precedentes, adecuadas y enriquecidas en correspondencia con el fin y
los objetivos propios de cada nivel educativo, de las exigencias de la sociedad cubana
actual y sus perspectivas.
Ha sido revisado por la subcomisión responsable de la asignatura perteneciente a la
Comisión Nacional Permanente para la revisión de planes, programas y textos de estudio del Instituto Central de Ciencias Pedagógicas del Ministerio de Educación.
Queda rigurosamente prohibida, sin la autorización previa y por escrito de los titulares del copyright y bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o
parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, así como su incorporación
a un sistema informático.
Material de distribución gratuita. Prohibida su venta
Colaboradora:
■ Dra. C. Marta Álvarez Pérez
Edición y corrección:
■ Lic. Amada Díaz Zuazo
Cubierta e ilustración:
■ Camila Noa
Diseño:
■ Instituto Superior de Diseño (ISDi):
Adriana Vigil Hernández ■ Alessandra Fuentes Tiel ■ Jennifer González Espinosa
■ Thalia Ibarra Villavicencio ■ Laura Ramos García ■ Ernesto Alejandro Gilart Ruiz
■ María Fernanda Lemus González ■ Aldahir Santana Guzmán ■ Litsary Zamora
Rodríguez ■ Samira González González ■ Marian Ramos Rodríguez ■ Kamila Carpio
Crespo ■ DCV María Paula Lista Jorge ■ M. Sc. Maité Fundora Iglesias ■ Dr. C. Ernesto
Fernández Sánchez
Emplane:
■ María Pacheco Gola
© Ministerio de Educación, Cuba, 2025
© Editorial Pueblo y Educación, 2025
ISBN 978-959-13-5225-5 (Versión impresa)
ISBN 978-959-13-5231-6 (Versión digital)
EDITORIAL PUEBLO Y EDUCACIÓN
Av. 3.ª A No. 4601 entre 46 y 60,
Playa, La Habana, Cuba. CP 11300
epueblo@epe.gemined.cu
ÍNDICE
Preámbulo ......................................................... V
Estudiante ......................................................... VII
1
Inducción completa. Sucesiones numéricas .......
1
1.1 Inducción completa ..............................................
2
1.2 Sucesiones numéricas ............................................ 17
Ejercicios del capítulo ................................................ 49
Autoevaluación ...................................................... 53
2
Estadística y probabilidades. Combinatoria ....... 56
2.1 Procesamiento estadístico de datos .............................. 57
2.2 Probabilidades ................................................... 81
2.3 Combinatoria .................................................... 95
2.4 Teorema del binomio ............................................ 123
Ejercicios del capítulo ................................................ 131
Autoevaluación ...................................................... 138
3
Números Complejos .....................................147
3.1 Introducción a los números complejos ........................... 148
3.2 Relaciones y operaciones entre números complejos
en forma binómica ............................................... 162
3.3 Forma trigonométrica de un número complejo .................. 182
3.4 Resolución de ecuaciones en el dominio de los números
complejos ........................................................ 223
Ejercicios del capítulo ................................................ 233
Autoevaluación ...................................................... 241
4
Geometría del espacio ..................................245
4.1 Geometría sintética del espacio .................................. 246
4.2 Geometría analítica del espacio .................................. 314
Ejercicios del capítulo ................................................ 334
Autoevaluación ...................................................... 342
ANEXOS ............................................................. 351
Respuestas a los ejercicios ............................................ 351
Bibliografía ......................................................... 476
Preámbulo
E
l presente libro de texto que ponemos en tus manos, elaborado para
el duodécimo grado, ha tenido como punto de partida el resultado
de muchos años de trabajo de un grupo importante de especialistas
en la disciplina y en la metodología para su enseñanza y aprendizaje, encabezado en un primer momento por el Dr. C. Luis Campistrous Pérez y la
Dra. C. Celia Rizo Cabrera, posteriormente, por la Dra. C. Marta Álvarez
Pérez y liderado por el Dr. C. Aurelio Quintana Valdés. A lo largo de todo
el proceso de elaboración permitió que sus autores contaran, no solo con
valiosos materiales de apoyo, sino con acertadas críticas, reflexiones, valoraciones y sugerencias, de los profesores que participaron en la etapa
experimental dedicados a la enseñanza de la matemática, y de otros especialistas de la enseñanza preuniversitaria y de las universidades, que siempre realizaron observaciones oportunas y necesarias, en particular a los
del Proyecto de investigación de la Universidad Marta Abreu: Alternativas
Metodológicas para el trabajo con los libros de textos en la Matemática de
la Educación Media.
¡A todos, nuestro infinito agradecimiento!
Estudiante:
E
ste libro lo hemos escrito para ti, para que puedas obtener los conocimientos matemáticos básicos de este grado, que completan los
saberes de la disciplina correspondientes al nivel medio superior, los
cuales te serán útiles además para comprender los contenidos que estudiarás en el nivel superior. En consecuencia, estos contenidos matemáticos
no se presentan aislados, por lo que el libro tiene la intención de reactivar los conocimientos anteriores, los cuales representan la base necesaria para introducir los nuevos, que a su vez constituyen su ampliación y
profundización.
El contenido de este libro está estructurado en cuatro capítulos que se
corresponden con las unidades del programa de estudio que comprende
el curso escolar. Para organizar mejor el contenido, los capítulos están divididos en epígrafes y algunos de estos en subepígrafes.
Cada uno de los capítulos comienza con una introducción que revela,
de manera breve, el surgimiento y evolución a través del tiempo del contenido fundamental que se estudia en el capítulo, las principales personalidades que propiciaron su desarrollo y la importancia que tiene su estudio
para el mejoramiento humano, expuestos mediante algunas de sus aplicaciones a diversas ramas de las ciencias, en relación con el progreso científico y tecnológico de la sociedad, por lo cual también permiten orientar
tus motivaciones profesionales. En cada capítulo se presentan, además,
situaciones problémicas, que pueden ser resueltas con los conocimientos
que adquieras en el desarrollo del capítulo o en el epígrafe en cuestión.
En cada epígrafe encontrarás los contenidos del curso, algunos de ellos
destacados en recuadros, como es el caso de las definiciones, los teoremas y las propiedades; los ejemplos resueltos, que contienen además algunas sugerencias, ilustran cómo debes proceder para resolver ejercicios
importantes que corresponden a ese contenido. Al final de cada uno de los
epígrafes aparecen ejercicios propuestos para el trabajo independiente,
muchos de los cuales requieren del uso de asistentes matemáticos y tienen
el propósito de obtener nuevos conocimientos que debes compartir con
tu profesor de matemática y compañeros de tu grado. Al final de cada
capítulo encontrarás otros ejercicios que integran los contenidos tratados.
Los ejercicios que aparecen señalados con un asterisco (*) son lo que presentan un mayor grado de dificultad.
Para que puedas comprender mejor el contenido y establecer una comunicación más amena con tu libro, este contiene algunas secciones tales
como:
Recuerda que…: presenta pequeños resúmenes de contenidos que debes saber para obtener otros nuevos.
¿Sabías que…?: es una sección itinerante y variada, para expresar brevemente informaciones relevantes en el tema: una noticia, un descubrimiento o una aplicación de la matemática.
Saber más: trata aspectos relacionados con el contenido que no corresponden al programa, es decir, una breve ampliación del tema, que puedes
investigar utilizando los medios de comunicación.
Reflexiona: presenta situaciones problémicas en las que debes pensar
porque tiene que ver con un concepto, una relación o un procedimiento.
De la historia: en esta sección se destacan aspectos de personalidades
vinculadas al descubrimiento, surgimiento de nuevos contenidos o al origen y desarrollo de aspectos de la matemática tratados.
¡Atención!: esta sección es una alerta en algunos aspectos para ser cuidadoso y no incurrir en errores. También destaca algunos elementos que se
van a considerar en la resolución de las actividades o ejercicios propuestos.
Investiga y aprende: se proponen tareas para investigar y así enriquecer el conocimiento con el aprendizaje de nuevos contenidos y procederes.
Aplica tus conocimientos: se trata de ejercicios que debes resolver, porque se refieren a contenidos anteriores que debes reactivar y obtener un
nuevo conocimiento.
Reflexiona sobre lo aprendido: se trata de un grupo de preguntas simples cuyas respuestas sintetizan los contenidos fundamentales del capítulo.
Comprueba tus conocimientos: se trata de una tarea de aprendizaje
que puede servirte como autoevaluación.
Conéctate: es en el sitio www.cubaeduca.cu donde puedes consultar la
teoría y ejercicios resueltos, relacionado con los temas estudiados.
Además, incluye:
Ejemplos: pueden ser ejercicios resueltos que muestran procedimientos
de trabajo.
Preguntas detonantes: están identificadas con el símbolo #, y están dirigidas a activar el razonamiento del tema que se trata.
Ejercicios: contiene los que se proponen para cada epígrafe.
Ejercicios del capítulo: agrupa los que integran los contenidos tratados
en todo el capítulo.
Autoevaluación: aparece al final de cada capítulo estructurada en dos
tipos de test.
Respuesta a los ejercicios: contiene las soluciones de los ejercicios de
cada capítulo del libro
Ponemos en tus manos esta obra y confiamos que sabrás aprovechar
el contenido que en ella se recoge, no solo para tu enriquecimiento personal, sino también para compartir los conocimientos que adquieras con
todos los que rodean.
Los autores
CAPÍTULO 1
Inducción completa.
Sucesiones numéricas
Q
uienes tienen el privilegio de vivir en esta época –el siglo xxi– les es
imposible concebir el progreso de la humanidad, sin relacionarlo
con el desarrollo científico-tecnológico, expresado en la automa-
tización creciente de los procesos productivos, el desarrollo de la informática y de otras ciencias, que requieren de encontrar soluciones creativas
y sostenibles.
Para ello es necesario desarrollar la capacidad de hacer razonamientos
inductivos y deductivos para orientarse, juzgar la veracidad de una proposición o la validez de una conjetura, a partir de los hechos y las condiciones
de un contexto determinado, y que en no pocas ocasiones se explican o se
demuestran por modelos, procedimientos y métodos matemáticos.
Entre las situaciones que se modelan o demuestran por métodos matemáticos se encuentran las que generan listas de números, como: la velocidad de crecimiento bacteriano al transcurrir cierto tiempo; los ingresos
obtenidos por el interés financiero de una cuenta bancaria; la concentración en sangre de un medicamento; la frecuencia de las notas musicales
medidas en ciclos por segundos; la depreciación del valor de un artículo en
uso, o la secuencia de alturas que alcanza el rebote de una pelota lanzada
1
MATEMÁTICA
al aire (figura 1.1). En Matemática estas listas de números se
llaman sucesiones numéricas.
Al respecto, ¿qué vas a aprender en este capítulo?
Aprenderás a diferenciar entre
razonamientos deductivos e inFig. 1.1
ductivos y a comprender el valor
de estos para orientarte en cual-
quier situación o contexto, a hacer predicciones y juzgar la veracidad del
contenido de una declaración, o la validez de un determinado juicio a partir
de los hechos disponibles.
Profundizarás en los métodos inductivos que te permitirán demostrar
propiedades de los números naturales. Ampliarás tus conocimientos sobre
las sucesiones numéricas, a partir de los cuales aplicarás procedimientos y
métodos inductivos para la demostración de propiedades, que luego podrás transferir a diversas situaciones de la realidad y a otras disciplinas
durante tus estudios superiores.
1.1 Inducción completa
Un llamado a razonar es la invitación que con frecuencia nos hacemos
unos a los otros en la vida cotidiana. Lo hacemos de forma natural, con
razonamientos inductivos o deductivos, por ser una capacidad inherente
al hombre. En varias asignaturas la utilizaste, para obtener las leyes de
gravitación universal, la ley de Ohm, la ley de Hoocke o la demostración
del carácter conservativo de ciertos sistemas, entre otros ejemplos.
En Matemática, para identificar las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva de las operaciones con números naturales (figura 1.2), entre otros ejemplos, hiciste uso de razonamientos inductivos y deductivos.
Ahora se trata de comprender la utilidad de los métodos definidos
por estos razonamientos, para demostrar proposiciones en los números
2
CAPÍTULO 1
naturales, en las que cualquier sustitución de la variable las transforma en
propiedades con validez universal.
Fig. 1.2
¿Cuándo un razonamiento es deductivo o inductivo?
¿Cómo inciden los razonamientos deductivos e inductivos en la determinación de métodos matemáticos?
¿Será necesario demostrar que una proposición es una propiedad, probando que se cumple para cada número natural?
¿Cómo demostrar la validez universal de una proposición matemática?
Razonamientos deductivos e inductivos
Para comprender la diferencia entre un razonamiento deductivo y uno
inductivo, es conveniente que te detengas en una situación de la vida cotidiana como la siguiente:
• Si tienes conocimiento del horario de una ruta de ómnibus se puede
saber a qué hora pasará por cierto lugar: razonamiento deductivo.
• Si observas durante varios días, que una ruta de ómnibus pasa entre
las 7:20 a.m. y las 7:25 a.m. por ese lugar, se puede afirmar con cierta
seguridad que siempre pasa en ese intervalo de tiempo por el referido
lugar: razonamiento inductivo.
3
MATEMÁTICA
Observa que del razonamiento inductivo anterior, también, se pueden
diferenciar proposiciones particulares y generales.
La proposición: el ómnibus pasó el lunes a las 7:25 a.m. por ese lugar,
tiene menor nivel de generalidad, que la proposición: el ómnibus pasa todos los días entre las 7:20 a.m. y las 7:25 a.m. por ese lugar. Esta, resulta a
su vez particular, con respecto a: el 80 % de los ómnibus de esa ruta pasan
todos los días entre las 7:20 a.m. y las 7:25 a.m. por ese lugar.
Del análisis anterior se infiere que lo general y lo particular son conceptos relativos.
Ejemplo 1.1
La tabla 1.1 de frecuencia recoge, en datos agrupados, los resultados
de las mediciones de la presión arterial máxima (sistólica), en una muestra
de pacientes con edades de 16 años a 18 años.
Tabla 1.1
Presión
arterial
máxima
Marca
de
clase
Frecuencia
absoluta
Frecuencia
relativa
Frecuencia
absoluta
acumulada
Frecuencia
relativa
acumulada
[80;100)
90
40
0,16
40
259
0,16
1,0
[100;120)
110
120
0,46
160
219
0,62
0,84
[120;140)
130
65
0,25
225
99
0,87
0,38
[140;160)
150
22
0,084
247
34
0,954
0,130
[160;180)
170
7
0,028
254
12
0,982
0,046
[180;200)
190
5
0,018
259
5
1,0
0,018
Se conoce que la presión arterial máxima a partir de 139 es considerada
delicada y más de 150 grave, entonces se pueden hacer los razonamientos
siguientes:
a) Más del 50 % de la muestra tiene la presión arterial máxima normal.
b) 65 jóvenes están en una situación de riesgo.
c) Hay 34 jóvenes en situación grave, con respecto a su presión arterial
máxima.
4
CAPÍTULO 1
Clasificar y fundamentar, en deductivo o inductivo, particular o general
al tipo de razonamiento utilizado para el análisis de la situación dada.
Resolución
Tipo de razonamiento
Fundamentación
a) deductivo
particular
160 jóvenes están entre 80 a 120
b) inductivo
general
En cada caso se generaliza, al considerar
la marca de clase.
c)
general
Si los datos fueran simples el análisis sería
otro.
inductivo
En general se puede concluir que:
• Mediante el razonamiento deductivo se obtienen proposiciones verdaderas a partir de premisas verdaderas, con ayuda de reglas de inferencias deductivas.
• Mediante el razonamiento inductivo, se pasa de una proposición particular a otra de mayor generalidad. Este tipo de razonamiento no conduce necesariamente a conclusiones verdaderas a partir de premisas
verdaderas.
Conéctate
Accede al sitio www.cubaeduca.cu en la sección curricular, busca en Matemática
duodécimo grado la lección Inducción completa y responde la interrogante que
se da a continuación:
¿Por qué el razonamiento deductivo es una herramienta fundamental en la enseñanza de las matemáticas?
Métodos deductivos e inductivos
S ¿Cómo demostrar verdades infinitas?
Piensa en ejemplos de la vida en los que se han utilizado los razonamientos inductivos y deductivos. Debes saber que como métodos
5
MATEMÁTICA
permiten comprender y modelar fenómenos y procesos del mundo que
nos rodea. En particular, el método inductivo es útil para generar nuevas
ideas y teorías, y el método deductivo para probarlas. Estos métodos son
muy utilizados en la demostración de proposiciones matemáticas y en
otras ciencias.
Investiga y aprende
Investiga y socializa con tus compañeros cómo se complementan los métodos
inductivo y deductivo en la producción de conocimientos en un área de tu
interés.
Por ejemplo, una afirmación sobre números naturales es una propiedad en el conjunto de los números naturales, en la cual al sustituir la variable n por un número natural dado obtenemos una proposición verdadera
o falsa. Es decir, la propiedad puede cumplirse para todos los números
naturales, para algunos o para ninguno.
Reflexiona
¿Cómo utilizarías el método inductivo y el deductivo en la demostración de propiedades de números naturales?
Ejemplo 1.2
Sean A, B y C proposiciones sobre los números naturales, tal que:
A: El producto de dos números naturales consecutivos es par.
B: Un número natural es par.
C: El producto de un número natural distinto de cero, por cero es el
mismo número.
a) Representar simbólicamente las propiedades dadas, con la variable n.
b) Analizar si es verdadera o falsa. Justificar y ejemplificar para un valor
de n.
6
CAPÍTULO 1
Resolución:
A(n): n n 1 es par,
o
n n 1 k ; k N
Es verdadera, porque de dos números naturales cualesquiera, si uno es par el producto siempre es par.
Ejemplos: A(4): 4 (4 + 1) = 20, es par.
A(7): 7 (7 + 1) = 56 , es par.
B(n): n es par
Es verdadera, para los pares. Ejemplo: B(6): 6, es par.
No se cumple para los impares. Ejemplo: B(11):11,
es impar.
C(n): n 0 n; n 0
Es falsa, porque la multiplicación de cualquier número natural por cero siempre es cero.
Ejemplo: C(13): 13 · 0 = 0 y 13 ≠ 0.
Para la Matemática son especialmente importantes aquellas proposiciones en las que, para cualquier sustitución de la variable n por un número natural, se obtienen proposiciones que siempre se cumplen.
Ejemplo 1.3
Probar que A(n): n n 1 es par, para todo n.
Resolución:
Sea n ∈ N, en ese caso hay dos posibilidades
Primera: n es par, luego n = 2k y n 1 2k+ 1; k ∈ N y se tiene que
n n 1 2k 2k 1
Segunda: n es impar, luego n 2k 1y n 1 2k 2 2 k 1 ; k ∈ N
y se tiene que
n n 1 2k 1 2 k 1
Luego, en cualquiera de las dos posibilidades n n 1 , es par.
En realidad, las demostraciones de este tipo no siempre son tan evidentes. Para comprobar que una propiedad se cumple para todos los números naturales es necesario realizar una demostración, que puede ser
deductiva, como las ejemplificadas anteriormente, o mediante métodos
inductivos.
En particular es muy efectivo el llamado método de inducción completa.
7
MATEMÁTICA
Definición 1.1
La inducción completa es el razonamiento que conduce a una conclusión
general, a partir del estudio de todos los casos del fenómeno observado
y tiene su validez garantizada. Un caso particular de ella es la inducción
matemática.
En este método se parte de probar que la propiedad se cumple en dos
casos bajo ciertas condiciones, lo que permite generalizarla para todos los
números naturales.
Ejemplo 1.4
Demostrar que el producto de n números impares, es impar.
Resolución:
Sean a1 ; a2 ; a3 ;… ; an, números impares cualesquiera tales que:
a1 2k 1; k N
y a2 2r 1; r N.
Luego, para n = 2 se tiene que: a1 a2 2k 1 2r 1
4kr 2 k r 1
2 2kr k r 1 , es impar
Para n = 3 se tiene que: a1 a2 a3 (a1 a2 ) a3 b1 a3
Como b1 (a1 a2 ) es impar, entonces b1 ⋅ a3 es impar, luego a1 ⋅ a2 ⋅ a3 es
impar. Podemos repetir este procedimiento para n = 4 y así sucesivamente.
Luego, a1 a2 a3 an , es impar para todo n.
Observa que en este caso comenzamos por demostrar la propiedad
para n = 2 y hemos “inducido” su validez general.
Reflexiona
¿Qué significado tienen los tres puntos suspensivos entre dos términos?
Aunque la demostración del ejemplo anterior parece convincente, al
incluir la expresión “así sucesivamente”, no explicita a todos los elementos
8
CAPÍTULO 1
que se consideran en la propiedad que se va a demostrar, esto puede dar
lugar a imprecisiones que conducen una inducción incompleta o empírica.
Saber más
La inducción incompleta o empírica es el razonamiento del cual se llega a inferir
una conclusión o ley general, a partir de observaciones de casos particulares
del fenómeno estudiado; puede dar lugar a conclusiones verdaderas o falsas. Es
utilizada en las ciencias experimentales, pero las conclusiones que se obtienen
solo poseen cierto nivel de plausibilidad, que depende, entre otras cosas, del
número de observaciones realizadas y su posterior comprobación; por tanto,
siempre están sujetas a las modificaciones que los nuevos datos puedan aportar.
En Matemática es útil para el descubrimiento de nuevas propiedades, pero no
garantiza su validez.
Un ejemplo matemático de inducción incompleta que conduce a una
conclusión falsa es el siguiente:
Ejemplo 1.5
Demostrar si es posible la validez universal de la proposición
P(n): n2 n 41, es primo.
Resolución:
Al sustituir n por un número natural, obtenemos sucesivamente:
P(0): 02 – 0 + 41 = 41, es primo. Verdadero
P(1): 12 – 1 + 41 = 41, es primo. Verdadero
P(2): 22 – 2 + 41 = 43, es primo. Verdadero
P(3): 32 – 3 + 41 = 47, es primo. Verdadero
Pareciera que la proposición es verdadera para todo n ∈ N, sin
embargo:
P(21): 212 – 41 + 41 = 1 681, no es primo. Es divisible por 41.
Luego, la proposición no se cumple para todo número natural.
9
MATEMÁTICA
El ejemplo anterior ilustra que, no siempre se puede asegurar el valor
de verdad de una conjetura, sin considerar cuántos casos particulares se
verifiquen. Se necesita una demostración para determinar la verdad de la
proposición.
De la historia
En el siglo xvii el matemático alemán Godofredo Wilhelm Leibniz (1646-1716)
demostró que cualquiera sea el entero positivo n:
el número n n es divisible por 3,
3
el número n n es divisible por 5;
5
el número n n es divisible por 7.
7
K
De aquí supuso que para todo k impar y cualquier natural n n era divisible
por k.
Sin embargo, pronto observó que
29
2 510 no es divisible por 9.
También el jurista y matemático francés Pierre de Fernant (1607-1665) supuso
n
2
que el número 2 1 era un número primo para todo número natural n, des-
pués de haber probado que para:
0,
22
0
1 3
n 1,
22
1
1 5
2
1 17
23
1 257
n
n
2, 22
n
3, 2
n
4 , 22
4
1 65 537
Sin embargo, el matemático físico suizo Leonhard Euler (1707-1783) refutó esta
suposición cuando demostró que para n 5,
5
22
1
4 294 967297
es divisible por 641.
Principio de inducción completa
La importancia del método de inducción completa, radica en que garantiza la validez de una proposición, sin necesidad de probar para cada
número natural.
La validez de sus resultados se garantiza en virtud del teorema siguiente:
10
CAPÍTULO 1
Teorema 1.1 Principio de inducción completa
Si para una propiedad P n , sobre el conjunto de los naturales se cumple:
I) P(a) es verdadera, a N
II) Para todo número natural K, de P(K) se deduce P(K+1)
Entonces P(n) es verdadera para todo n a .
Este teorema lo aceptamos como verdadero y lo aplicaremos a la demostración de propiedades que dependen de un número natural.
¿Sabías que...?
La esencia del método de inducción completa se puede representar con las fichas de un juego de dominó. Imagina las fichas colocadas verticalmente, ¿cómo
tumbarlas todas?
Un método sería tumbar las fichas Esto es análogo a demostrar
que la propiedad se cumple
una a una (figura 1.3).
para cada número natural
probando uno a uno.
Fig. 1.3
Otro método sería, colocar las fichas en una fila
de manera que la distancia entre ellas sea siempre
menor que su altura (figura 1.4 a). Al tumbar la
primera caen todas sucesivamente (figura 1.4 b).
Esto es análogo a las dos
condiciones del principio de
inducción completa.
• Probar que la propiedad
se cumple para un primer
número natural.
• Probar que, si la propiedad se cumple para otro
número cualquiera, entonces siempre se cumple
para su sucesor.
Fig. 1.4
a
b
11
MATEMÁTICA
Al aplicar el principio de inducción completa podemos proceder asociando sus condiciones al siguiente procedimiento:
• Inicio o base de inducción. Garantizar que la propiedad se cumple
para un primer número natural.
• Hipótesis de inducción. Suponer que la propiedad se cumple para
un número natural k cualquiera: P(k).
• Tesis de inducción. De la suposición (hipótesis) se deduce que la propiedad también se cumple para el sucesor k + 1, de k: P k 1
• Demostración de la tesis de inducción. Refiere a deducir P k 1 de
P(k).
Ejemplo 1.6
Demostrar por inducción completa que para todos los números naturales se cumple la propiedad P n : n3 – n 3, es múltiplo de 3.
Resolución:
Inicio o base de inducción: verifiquemos que la propiedad se cumple
para un primer número natural, probemos para el primer número natural
n = 0, luego: P 0 : 03 – 0 3 3; 3 es múltiplo de 3; es verdadera.
Hipótesis de inducción: supongamos que la propiedad se cumple para
un número natural k cualquiera.
P (k): k3 – k + 3 = 3q;
q∈N
Tesis de inducción: de la hipótesis se deduce que su sucesor k + 1 también se cumple:
P(k+ 1) : (k + 1)3 – (k+ 1) + 3 = 3q;
q∈N
Demostración de la tesis de inducción: para deducir P (k+ 1) de P(k),
desarrollamos el miembro izquierdo de la tesis para identificar el término
12
CAPÍTULO 1
(k + 1), que se debe adicionar en ambos miembros de la hipótesis, para
deducir 3q.
(k 1)3 k 1 3 k 3 3k 2 3k 1 k 1 3
k 3 3k 2 3k k 3
Como k 3 k 3 3q, entonces el término k 1 es 3k 2 + 3k por lo que
3q 3k 2
3k
3 q k 2 k , es múltiplo de 3.
Luego, la propiedad n3 – n 3 3 es múltiplo de 3 para todo n ∈ N.
Atención
Observa que en la demostración se debe llegar al miembro derecho de la tesis.
El principio de inducción completa también se aplica en la demostración de desigualdades.
Ejemplo 1.7
Demostrar por inducción completa que P n :3n n, para n ≥ 1.
Resolución:
Inicio de inducción: probemos que se cumple para el primer número
natural que se indica en la condición de la propiedad, es decir; para n = 1,
P 1 : 31 1; 3 > 1, la propiedad se cumple.
Hipótesis de inducción: supongamos que se cumple para un número
natural k cualquiera.
P k : 3k k
13
MATEMÁTICA
Tesis de inducción: se deduce que se cumple para su sucesor k 1 , se
tiene que:
P k 1 : 3k 1 k 1
3k 3 k 1
Demostración de la tesis de inducción: luego para deducir P k 1 de
P k :
Se multiplica por tres, ambos miembros de P k y se desarrolla el miembro izquierdo 3k 3 k 3
3k 1 3k
3k 1 k k k
Al ser k ≥ 1, se cumple que k k k k 1, luego
3k 1 k k k k 1, y, por lo tanto
3k 1 k 1, lo cual significa queP k 1 es verdadera.
En virtud del principio de inducción, P n es verdadera para todo
n N : n 1.
Reflexiona sobre lo aprendido
1. A partir de la informacion que te ofrece el ejemplo 1.1, di qué análisis
harías en cuanto al siguiente razonamiento:
• Aproximadamente el 38 % de los jóvenes de la muestra aparentan tener
una causa de riesgo para padecer de tensión arterial alta.
2. Elabora y socializa, en tu grupo, ejemplos de al menos dos situaciones de
la vida cotidiana y (o) de la matemática, en las cuales se evidencie que:
mediante el razonamiento inductivo se pasa de una proposición particular
a otra de mayor generalidad, que no siempre conducen necesariamente a
conclusiones verdaderas a partir de premisas verdaderas.
3. Explica cómo el razonamiento deductivo se utiliza para verificar las hipótesis generadas por el razonamiento inductivo.
14
CAPÍTULO 1
4. Es de vital importancia en el método inductivo la observación y la recopilación de datos empíricos. ¿Cómo puedes aplicar este principio a tu vida
diaria para tomar decisiones más objetivas? Escoge una situación personal
o social en la que debas tomar una decisión, ¿qué tipo de información recopilas y cómo la utilizas en tu decisión?
5. ¿Cómo demostrar por el principio de inducción completa que, cualquier
número entero de pesos mayor que 7, puede pagarse con billetes de 3 y
5 pesos, sin necesidad de cambio?
6. En Geometría, también existen propiedades que son verdaderas para cualquier número natural n.
7. Comprueba con el uso de GeoGebra, que por n puntos del plano de los
n n 1
rectas. ¿Cómo demostrar por el
2
principio de inducción completa esta propiedad geométrica?
cuales no hay tres alineados, pasan
Ejercicios del epígrafe 1.1
1. Analiza, para socializar con tus compañeros, la proposición que consideres correcta.
1.1 ¿Qué papel juega el razonamiento inductivo en el proceso de descubrimiento matemático?
a) El razonamiento inductivo se utiliza para probar y verificar las
hipótesis existentes.
b) El razonamiento inductivo se utiliza para encontrar patrones y
regularidades en los objetos matemáticos.
c) El razonamiento inductivo se utiliza para enseñar matemáticas a
los estudiantes.
d) El razonamiento inductivo se utiliza para llegar a conclusiones
definitivas.
1.2 ¿Cuál es la diferencia fundamental entre el razonamiento inductivo
y el deductivo?
a) El razonamiento inductivo se basa en la observación, ya que el
deductivo se basa en la lógica formal.
15
MATEMÁTICA
b) El razonamiento inductivo parte de conclusiones específicas, ya
que el deductivo parte de principios generales.
c) El razonamiento inductivo es utilizado en las ciencias naturales y
formales, ya que el deductivo es utilizado en las ciencias sociales.
d) El razonamiento inductivo es más complejo que el deductivo.
2. Demuestra por inducción completa que para todo n ∈ N, se cumplen las
propiedades siguientes.
a) 5n − 1 es divisible por 4.
b) 3n − 1 es divisible por 2.
c) n n 1 n 2 es múltiplo de 3.
d) 4n 15n 1 es divisible por 9.
e) 7n − 3n es múltiplo de 4.
f) 2n + 2 + 32n +1 es divisible por 7.
3. Demuestra por inducción completa las desigualdades siguientes.
a)
2n > n
e)
1 n 1 n2
b)
n2 n 2n 1
f)
2n ≥ n2
c)
3n n 1
g)
d)
n2 1 n
h)
n 1 2n2
n
1 a 1 na (a 0, a 1)
2
2
4. Demuestra por el principio de inducción matemática que n2 n 41,
siempre es un número natural impar.
5. Demuestra que 8n − 3n es divisible por 5 para todos los números naturales n.
6. Demuestra que 32n − 1 es divisible por 8 para todos los números naturales n.
7. Sean bn 1 3bn y b1 = 5. Demuestra que bn 5 3n 1, para todo número
natural n.
8. Demuestra que la suma de los ángulos interiores de un polígono convexo de n lados es n 2 .
9. Determinar todos los números naturales para los cuales 1 2 3 n 2n.
16
CAPÍTULO 1
10. Demuestra que para todo número natural n > 1 se cumple que
1
1
1
1
n.
2
3
n
Conéctate
11. Accede a https://curricular.cubaeduca.cu/education/category?id=2088&type
=theme
Encontrarás la lección correspondiente a ejercicios sobre el método de demostración por inducción completa, realízalos para que amplíes y verifiques los conocimientos adquiridos en este epígrafe.
1.2 Sucesiones numéricas
Estructura lógica y término general de una sucesión numérica
Nuestra vida cotidiana es diversa en situaciones que suceden siguiendo
un orden, una característica o un patrón (figura 1.5).
Fig. 1.5
El transcurso de los días de una semana y los meses de un año, así como
la estatura que una persona alcanza durante un periodo de su vida, o el
17
MATEMÁTICA
crecimiento de una población bacteriana, son situaciones que, medidas
con las magnitudes correspondientes, constituyen ejemplos de sucesiones
que pasan inadvertidas, pero que, sin embargo, demuestran su natural
presencia en la cotidianidad.
En general, las sucesiones son el objeto matemático que permite explicar o modelar dichos patrones, a partir de sus aplicaciones en diversos
campos de las ciencias y la propia Matemática.
La expresión sucesión numérica la utilizas desde los primeros grados,
con la cual aprendiste, por ejemplo, sobre la sucesión de los números natu-
rales {0; 1; 2; 3; 4; 5; 7; …} o la sucesión de sus cuadrados perfectos {1; 4; 9;
16; 25;…}. Sin embargo, profundizar en su estudio es de gran importancia
por cuanto contribuirá al desarrollo de tu cultura matemática y en variados aspectos que pueden orientar tu futura vida profesional.
En este epígrafe encontrarás respuestas a las interrogantes siguientes:
¿Qué es una sucesión numérica? ¿Cuáles son los elementos que distinguen a una sucesión numérica? ¿Cómo generar una sucesión o identificar
el patrón que la genera? ¿Cómo obtener sumas parciales de los términos
de una sucesión numérica? ¿Cuáles tipos de sucesiones numéricas se pueden identificar?
Algunas sucesiones son particularmente numéricas, debido a que sus
elementos están en una correspondencia biunívoca con los números naturales. En tales casos es posible hacer la representación geométrica de
algunos de sus elementos de dos maneras: en una recta numérica o en un
sistema de coordenadas rectangulares.
Por
ejemplo,
la
representación
geométrica
de
la
sucesión
1; 4; 7;10;13;16; , en la recta numérica se muestra en la figura 1.6.
a¹
a²
a³
a4
a5
a6
1
4
7
10
13
16
Fig. 1.6
18
CAPÍTULO 1
Cuando se utiliza el sistema de ejes coordenados rectangulares se obtienen puntos aislados como se muestra en la figura 1.7.
Fig. 1.7
Recuerda que...
Una función f: de A en B es una correspondencia en la que a cada elemento del
conjunto A se le asocia un único elemento del conjunto B.
También una función f: X → Y es un conjunto de pares ordenados (x; y); tal que
cada x ∈ X, aparece como primera componente de un solo par ordenado.
De lo anterior se deduce que toda sucesión se puede representar
geométricamente como una correspondencia entre los números naturales
y el conjunto de los números reales, es decir, que es una función que a cada
n ∈ N, le hace corresponder un an ∈ R y, en consecuencia, la gráfica consiste en puntos de la forma (n; an ) que debido a la naturaleza discreta del
dominio no forman una curva continua, ni una poligonal.
Observa que cada término se obtuvo de hacer corresponder a cada número natural n, un número real an mediante una función. En estos casos el
conjunto de números reales o imágenes ordenados {a1 ; a2 ; a3 ;… ; an ;…} constituye una sucesión numérica.
19
MATEMÁTICA
Luego, podemos establecer la siguiente definición.
Definición 1.2
Una sucesión numérica es una función de n
f n cuyo dominio es un sub-
conjunto de los números naturales y cuyas imágenes son números reales.
Los elementos f n se llaman términos de la sucesión y se denotan como an .
Según el dominio de la sucesión esta puede ser finita (tiene cardinal) o
infinita (no tiene cardinal) y se denota de las formas siguientes: a1 ; a2 ; a3 ;…
o a1 ; a2 ; a3 ;… ; an ;… así como por an , an . Por ejemplo:
• La sucesión de los dígitos que se utilizan en nuestro sistema de posición
decimal an {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}, es una sucesión finita, se compone de diez términos, es decir; su cardinal es diez (# an 10), de donde
a1 = 0 y a10 = 9.
• La sucesión de los números naturales an {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9;
10; 11; ... ; an ;…}, es una sucesión infinita, no se puede determinar su
cardinal.
•
an {1; 0; 0; 1; 0; 1; 0; 0}, es una sucesión finita de ocho elementos
y muestra que sus elementos pueden repetirse, su cardinal es ocho
(# an 8).
Observa que, en el último de los ejemplos anteriores, es imposible iden-
tificar la forma de obtener los términos de la sucesión a partir del orden
que ocupan en esta (ordinal de un término), no obstante, es importante
destacar que algunas sucesiones con estas características tienen una amplia aplicación en otras ciencias.
¿Sabías que...?
En informática y telecomunicaciones un bit (abreviatura de dígito binario) es la
unidad básica de información digital que solo puede tomar dos valores: 0 o 1. De
manera que la sucesión {1; 0; 0; 1; 0; 1; 1; 0; 1; 0} puede representar una cadena
de bits, mediante la cual los datos numéricos se traducen en un número.
20
CAPÍTULO 1
Por ejemplo, una cadena consecutiva de pulsos de luz representa la información
digital que se transmite a través de un enlace de fibra óptica. El estado “On”
representa un bit con valor 1 y el estado “Off” representa un bit con valor 0.
Fig. 1.8
Modelar el comportamiento de los términos de las sucesiones es unas
de las tareas más importantes de la Matemática.
Existen sucesiones en las cuales se hace más evidente el comportamiento de sus términos, como en los siguientes:
• {0; 2; 4; 6; 8; 10; 12; ...; an ; …}; es una sucesión infinita, donde an = 2n.
Es la sucesión de los números naturales pares. Podemos afirmar que el
ordinal del término 12 es 7.
1 1 1
• 1; ; ; ; an ; , es una sucesión infinita, donde an n1 ; n 1 . Es la
2 3 4
sucesión del recíproco de los números naturales distintos de cero.
La ecuación de la función que permite obtener los términos de una
sucesión numérica se denomina ley de formación explícita de la sucesión.
Al término an se le llama término general de la sucesión a partir del
número natural n o término n-ésimo de la sucesión.
Ejemplo 1.8
Hallar los seis primeros términos de las sucesiones generadas por las
leyes de formación siguientes:
n 1 2
a)
;n 1
n
b) an ( 2)n 1
4n 3
c)
n 1
21
MATEMÁTICA
Resolución:
9 16 25 36 49
;
;
;
a) 4 ; ;
2 3 4 5 6
b) 2; 4 ; 8; 16; 32; 64
1 5 9 13 17
;
c) 3; ; ; ;
2 3 4 5 6
Atención
Observa que según la ley de formación la sucesión puede ser creciente o decreciente, así como tener signos alternos.
¿Sabías que...?
No en todas las sucesiones se puede definir la ley de formación, para obtener
su término n-ésimo. Es conocido el caso de la sucesión de los números primos
{2; 3; 5; 7; 11; ...; an ; …} para la cual aún no se ha podido encontrar las condiciones
que modelan su formación.
Con frecuencia aparecen sucesiones en las que sus términos se definen
por un conjunto de indicaciones de manera que cada uno se obtiene, a
partir de los términos precedentes, así, por ejemplo, la famosa sucesión de
Fibonacci: Fn 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; , que es una sucesión infinita en la que
cada término a partir del tercero, se obtiene de adicionar los dos anteriores, tiene como ley de formación explícita la siguiente:
a=
a=
1 y an 1 an an 1 ; n ≥ 2
1
2
Siempre que el término n-ésimo de una sucesión dependa de algunos o
de todos los términos precedentes, se dice que es una sucesión recursiva o
que son sucesiones definidas recursivamente.
22
CAPÍTULO 1
De la historia
Se considera que la sucesión Fn = {1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; ...}
fue propuesta por el matematico italiano, Leonardo Fibonacci, también llamado Leonardo de Pisa
(1175-1240), figura 1.9. Resultó de resolver el famoso problema sobre ¿cuánto crece una colonia
de conejos a partir de una pareja adulta?, suponiendo que cada mes, el par produce uno nuevo,
el cual a su vez empieza a reproducirse al cabo de
dos meses.
Fig. 1.9
Esta sucesión aparece también en la ramificación de las plantas, en la estructura de algunas flores y en formas espirales que se pueden
apreciar en la naturaleza (figura 1.10).
Fig. 1.10
Conéctate
Utiliza alguna de las aplicaciones de inteligencia artificial reconocidas por tu
grupo y tus profesores e investiga sobre la serie de Fibonacci y la relación que
existe en algunos fenómenos de la naturaleza y su forma.
Ejemplo 1.9
Hallar los seis primeros términos de las sucesiones generadas por las
condiciones siguientes:
a) Los dos primeros términos son 1 y 2, cada término a partir del tercero
es el producto de los dos precedentes.
b) a1 = 1 y an 2 an 1 3
23
MATEMÁTICA
Resolución:
a) Como es una sucesión recursiva de la cual se conocen los dos primeros
términos al calcular los siguientes cuatro términos se obtiene:
a1 = 1, a2 = 2, a3 = 2 ∙ 1 = 2 y a4 = 2 ∙ 2 = 4, a5 = 4 ∙ 2 = 8 y a6 = 8 ∙ 4 = 32
Luego, los primeros seis primeros términos de la sucesión son
1; 2; 2; 4; 8; 32 .
b) Puesto que se trata de una sucesión recursiva de la cual se conoce el
primer término.
a1 = 1, se puede continuar como sigue:
a2 2 1 3 8
a3 2 8 3 22
a4 2 22 3 50
a5 2 50 3 106
a6 2 106 3 218
Luego, los seis primeros términos de la sucesión son
1; 8; 22; 50; 106; 218 .
Ejemplo 1.10
Identificar la ley de formación explícita de los términos de las sucesiones siguientes:
a) 1; 2; 5; 10; 17; ; an ;
1 1 1
b) 1; ; ; ; ; an ;
2 3 4
1 3 5 7
c) ; ; ; ; ; an ;
2 4 6 8
Resolución:
a) Puede ser caracterizada por la ley de formación explícita an n2 1
con n ∈ N.
24
CAPÍTULO 1
También se puede expresar como
an n 2n 2 con n ∈ N*.
an n2 1
para n ∈ N o
2
b) Se puede expresar como an =
1
1
; n ≠ 0 o como an , n N*.
n
n
c) Como en cada término el numerador es un número impar, se expresa
como (2n – 1) y el denominador como 2n por representar números pa2n 1
con n N : n 0.
res; luego an
2n
Atención
Observa que la ley de formación explícita de una sucesión puede ser no única
para una determinada sucesión como el inciso a, del ejemplo 1.10.
Aplica tus conocimientos
¿Cuál es la ley de formación con la que puedes listar la cantidad de ancestros
que tienes, a partir de considerar que perteneces a la quinta generación de
descendientes?
Sumas parciales de una sucesión
Trabajar con las sumas parciales de una sucesión numérica tiene gran
importancia por su amplia aplicación en diversas situaciones cotidianas, de
las ciencias y de la propia matemática. Te permiten conocer el monto de
una cuenta de ahorro o de un interés financiero pasado cierto tiempo, así
como, la depreciación del valor de una maquinaria en explotación pasados
n años, entre otros ejemplos.
Para realizar sumas parciales de los términos de una sucesión
a1 ; a2 ; a3 ; ; an ; es conveniente establecer que:
S1 = a1 es la primera suma parcial.
S2 a1 a2 es la segunda suma parcial o suma hasta el segundo término.
S3 a1 a2 a3 es la tercera suma parcial o suma hasta el tercer término.
25
MATEMÁTICA
S4 a1 a2 a3 a4 cuarta suma parcial o suma hasta el cuarto término.
Sn a1 a2 a3 an es la n-ésima suma parcial o suma hasta el n-ésimo término.
La sucesión S1 ; S2 ; S3 ; … ; Sn; es la sucesión de las sumas parciales.
Siempre que conoces una sucesión y la ecuación Sn a1 a2 a3 an
de las sumas parciales de sus términos, es posible calcular la suma hasta un
término n-ésimo determinado.
Ejemplo 1.11
Sea Sn 1
1
la ecuación de la suma n-ésima de la sucesión que tiene
2
1
como ley de formación de sus términos a an = n .
2
a) Determinar los primeros cinco términos de la sucesión.
b) Calcular la suma hasta el término que ocupa el lugar diez en la sucesión.
n 1
Resolución:
a) Como n = 0, no indefine el denominador de an , entonces los términos
1 1 1 1
de la sucesión, buscados son: 1; ; ; ; .
2 4 8 16
b) Como, en este caso, el primer término de la sucesión es n = 0, el término que ocupa el lugar diez, es n – 1 = 10 – 1 = 9, luego al sustituir en la
ecuación de la suma n-ésima, se obtiene:
S10 1
1
1
311
1
.
9
2
312 312
Luego, la suma hasta el término que ocupa el lugar diez en la sucesión
311
es
312
Aplica tus conocimientos
¿Cómo proceder para determinar las primeras cuatro sumas parciales de la
suceción cuyos términos tienen como ley de formación an
1
1
?
n n 1
Encuentra la fórmula de la suma Sn hasta el término n-ésimo de la suceción.
(Ver la nota 1 al capítulo 1 en los anexos)
26
CAPÍTULO 1
Sucesiones aritméticas
Como parte de un proyecto de restauración, en una ciudad se rescata
un inmueble con valor patrimonial, en el cual se destina una pieza para
una sala de teatro. Si fueras miembro del equipo de diseñadores y arquitectos puedes ofrecer tus criterios y puntos de vista sobre la cantidad de
asientos que se deben ubicar y la mejor manera de distribuirlos, atendiendo al modelo seleccionado y que se representa en la figura 1.11.
Fig. 1.11
¿Cuántos asientos se pueden ubicar en cada fila?
¿Cuántas filas pueden tener cada sección de la sala, si para cada una de
ellas se dispone de un número determinado de asientos?
¿Cuántos asientos se pueden ubicar en la sala?
Observa que la situación planteada, te lleva a generar listas de números, por lo que, para dar una sugerencia acertada al respecto, debes tener
conocimientos elementales sobre las sucesiones aritméticas.
Definición 1.3
Una sucesión numérica a1; a2; a3; ...; an;... es una sucesión aritmética, si existe
un número d tal que an
an 1 d , con n 1, donde d siempre es la diferencia
entre dos términos consecutivos de la sucesión.
27
MATEMÁTICA
Ejemplo 1.12
Determina los cinco primeros términos de la sucesión aritmética que
tienen como primer término a1 = 5 y la diferencia común d = 3.
Resolución:
Si tomando a1 = 5 y se adiciona sucesivamente d = 3, se obtiene
a2 5 3 8
a3 8 3 11
a4 11 3 14
a5 14 3 17
Luego, la sucesión aritmética con sus cinco primeros términos es
5; 8; 11; 14; 17; ; an ; , donde an an 1 3 .
Cuando se conocen los dos primeros términos de una sucesión aritmética, se puede calcular el término n-ésimo por la ecuación: an a1 n 1 d ,
donde a1 es el primer término y d la diferencia común de la sucesión para
n N: n 1.
Ejemplo 1.13
Completar los cinco primeros términos y determinar el término 250 de
la sucesión aritmética cuyos dos primeros términos son:
a) 6 y 10
b) 8 y 3
Resolución:
a) Si a1 = 6 y a2 = 10 , entonces d = 4, y se aplica la definición para completar los restantes tres términos pedidos, estos son: a3 = 14 ,
a4 = 18 y
a5 = 22
Para determinar el término 250, se sustituye en an a1 n 1 d
Se tiene que a250 6 249 4 1 002
Luego, la sucesión aritmética es {6; 10; 14; 18; 22; ...; 1 002; ...; an ; ...}
b) Como a1 = 8 y a2 = 3, entonces d 5 luego los restantes tres términos pedidos son: a3 2, a4 7 y a5 12
28
CAPÍTULO 1
Para determinar el término 250, se sustituye en an a1 n 1 d
Luego a250 8 249 5 –1 237
Luego, la sucesión aritmética es {8; 3; – 2; –7; –12; ...; –1 237; ...; an ; ...}.
Reflexiona
Representa en GeoGebra los gráficos de los términos de las sucesiones aritméticas del ejemplo 1.13.
¿Qué relación existe entre el valor d y la monotonía de la sucesión, y entre las
sucesiones aritméticas y las funciones lineales?
Ejemplo 1.14
Sean a11 = 26 y a19 = 46 términos de una sucesión aritmética.
Calcular el término a101.
Resolución:
Se requiere encontrar el primer término a1 y la diferencia común d, luego al sustituir a11 = 26, y a19 = 46 en an a1 n 1 d , se obtiene:
26 a1 11 1 d a1 10d
46 a1 19 1 d a1 18d
El primer término a1 y la diferencia común d se obtienen de resolver el
sistema de ecuaciones:
26 a1 10d
46 a1 18d
De donde resulta que, a1 = 1 y d = 2,5
Al sustituir en an a1 n 1 d se tiene:
a101 1 101 1 2,5
a101 1 100 2,5
a101 = 251.
Luego, el término a101 es 251.
29
MATEMÁTICA
Aplica tus conocimientos
Verifica el resultado por cualquiera de los métodos conocidos para resolver sistemas de dos ecuaciones lineales con dos variables.
Reflexiona
¿Cómo determinar el término n-ésimo de la sucesión aritmética si el primer término se obtiene para el primer número natural?
Sumas parciales de una sucesión aritmética
Para determinar las sumas parciales de una sucesión aritmética, es
conveniente establecer que la n-ésima suma parcial de los términos
a1 a2 a3 an , de la sucesión donde an a1 n 1 d , está dada por
una de las fórmulas siguientes:
S n
n
2a1 n 1 d
2
o
a a
S n n 1 n
2
Donde a1 es el primer término de la sucesión y d la diferencia común.
Ejemplo 1.15
Los sacos de arroz recibidos en un almacén se organizan en 12 hileras
sobre palés que los levantan del piso. En una primera fila se colocan 25 sacos, en la segunda 24, en la tercera 23 y así sucesivamente. ¿Cuántos sacos
de arroz se recibieron en el almacén?
Resolución:
Como a1 = 25 y d 1 porque en este caso la sucesión es decreciente,
n
luego al sustituir en S n 2a1 n 1 d se obtiene que:
2
S 12
12
2 25 12 1 1
2
S 12 6 50 11 6 39 234
Luego, en el almacén se recibieron 234 sacos de arroz.
30
CAPÍTULO 1
Ejemplo 1.16
La sección A de la platea de un teatro tiene 663 asientos distribuidos en filas, tal que, en las dos primeras tiene 15 y 18 asientos respectivamente, de manera que la diferencia de asientos entre dos filas
consecutivas es constante. ¿Cuántas filas de asientos tiene la sección A
del teatro?
Resolución:
Como a1 = 15 y a2 = 18 , luego d = 3, y S = 663, al sustituir en:
n
S n 2a1 n 1 d se tiene que
2
n
n
663 2 15 n 1 3 27 3n
2
2
2
3n
27n
2
0
663
2
2
3
0 n2 9n 442
0 n 17 n 26 , de donde n = 17 o n 26
Respuesta: la sección A del teatro tiene 17 filas de asientos.
(Ver la nota 2 al capítulo 1 en los anexos)
Investiga y aprende
¿Cómo calcular la suma de los cien primeros números naturales, sin necesidad
de adicionarlos uno a uno? ¿Se puede generalizar una fórmula para la suma
n-ésima de todos los números naturales?
Aplica tus conocimientos
1. Respecto a la restauración de la sala de teatro de la situación inicial,
determina:
a) ¿Cuántos asientos pueden tener las seis primeras filas, si en la primera y
la segunda se ubican 12 y 15, respectivamente, y la diferencia de asientos entre dos filas consecutivas es constante?
b) ¿Cuántas filas puede tener cada sección de la sala, según el modelo, si
para cada una se dispone de 240 asientos?
2. ¿Cómo determinar la suma de los n primeros términos de una sucesión
aritmética que está definida para los números naturales?
31
MATEMÁTICA
Conéctate
Accede al sitio www.cubaeduca.cu en la sección curricular, busca en Matemática
duodécimo grado en Actividades de aprendizaje. Repaso sobre funciones, y realiza los ejercicios propuestos.
Sucesiones geométricas
En microbiología, se realizan estudios para determinar la concentración
de bacterias en una muestra. Partiendo del supuesto de que una bacteria
es capaz de formar una colonia (figura 1.12), se trabaja con una medida
denominada Unidades formadoras de colonias (UFC) por mililitros (mL).
Imagina que eres miembro de un equipo de microbiólogos que realiza un
estudio para determinar la concentración bacteriana en un cultivo que,
tiene 2 500 UFC/mL y observaron que estas aumentan su concentración en
un 5 % cada hora.
Fig. 1.12
¿Cómo puedes determinar las UFC que tiene el cultivo al transcurrir n
horas? ¿Cuál es la fórmula que modela la velocidad de crecimiento bacteriano en ese cultivo?
La situación planteada, se distingue por generar una lista de números, cuyas características te permitirán conocer sobre otro tipo de sucesión
numérica, que se obtiene cuando a partir de un número a, multiplicamos
repetidamente por una constante q ≠ 0, es de las llamadas sucesiones
geométricas que se presentan con bastante frecuencia en diversas situaciones de la cotidianidad, o de las ciencias.
32
CAPÍTULO 1
Definición 1.4
Una sucesión numérica a1; a2; a3; ...; an;... es una sucesión geométrica, si existe un número q tal que, an
q an 1 , con n 1, donde q es la razón entre dos
términos consecutivos cualesquiera de la sucesión.
Ejemplo 1.17
Determinar los cinco primeros términos de una sucesión geométrica
que tiene:
a1 = 2 y q = 3, y encuentra la ecuación de su término n-ésimo.
Resolución:
Como a1 = 2 se multiplica sucesivamente por q = 3 cada producto obtenido, por lo que: a2 2 3 6;
a3 6 3 18;
a4 18 3 54 ;
a5 54 3 162
Luego, la sucesión geométrica es {2; 6; 18; 54; 162; ... ; an; ...} donde la
ecuación de su término n-ésimo es an 3an 1.
A partir del conocer el primer término de una sucesión geométrica, y
la razón común q entre sus términos, se puede calcular el término n-ésimo
por la ecuación:
an a1 qn 1.
Ejemplo 1.18
Dados a1 = 5 y q 3
a) ¿Cuál es la ley de formación de los términos de la sucesión geométrica
que ellos generan?
b) ¿Cuáles son los primeros cinco términos de la sucesión geométrica?
33
MATEMÁTICA
Resolución:
a) Como a1 = 5 y q 3, al sustituir en an a1 qn 1 se obtiene la ley de formación de los términos de la sucesión geométrica que genera:
an a1· 3
n 1
; n 1
Respuesta: la ley de formación de los términos de la sucesión geométrica que generan a1 = 5 y q 3 es an a1· 3
n 1
; n 1.
b) Como a1 = 5 , sustituyendo en la ley de formación encontrada se tiene
que:
a2 5 3
2 1
5 3 15
a3 5 3
3 1
5 9 45
a4 5 3
4 1
5 27 135
5 1
5 81 405
a5 5 3
Respuesta: los primeros cinco términos de la sucesión geométrica es
{5; 15; 45; 135; 405}.
Ejemplo 1.19
1 1 1 1
; an ; , encontrar la ley
Dada la sucesión geométrica 1; ; ; ;
2
4
8
16
de formación de los términos n-ésimos que la genera.
Resolución:
Se tienen que el primer término es a1 = 1, como se conoce que la sucesión es geométrica, para encontrar la razón común q, se divide un término cualquiera por el término anterior. En tal caso se pueden seleccionar:
n 1
1 1 1 8 1
1
:
q, se tiene que an 1 .
16 8 16 1 2
2
Luego, la ley de formación de los términos n-ésimos que genera la sun 1
1
1 1 1 1
; an , es an 1 .
cesión 1; ; ; ;
2 4 8 16
2
(Ver la nota 3 al capítulo 1 en los anexos)
34
CAPÍTULO 1
Reflexiona
1. Representa en un gráfico de GeoGebra los términos de las sucesiones
geométricas de los ejemplos 1.17 y 1.18.
a) ¿Qué relación existe entre el signo del valor q y el signo de los términos de la sucesión? ¿Qué razonamientos puedes hacer con respecto a su
monotonía?
2. ¿Cómo determinar el término n-ésimo de las sucesión geométrica si el primer término se obtiene para el primer número natural?
Sumas parciales de una sucesión geométrica
Para determinar las sumas parciales de una sucesión geométrica,
es conveniente establecer que la n-ésima suma parcial de los términos
a1 a2 a3 an , de la sucesión con an a1 qn 1 , q 0 es:
S n a1
1 qn
con n N : n 1
1 q
Donde a1 es el primer término de la sucesión y q la razón común.
Ejemplo 1.20
Determinar los cinco primeros términos y la suma parcial hasta el décimo término de la sucesión geométrica donde a1 = 2 y q 2 .
Resolución:
a) Para determinar los cinco primeros términos de la sucesión geométrica
se sustituyen los valores a1 = 2 y q 2, en an a1 qn 1 de donde se obtiene que:
an 2 2
n 1
; n 1 luego
a2 2 2 4
1
a3 2 2 8
2
a4 2 2 = −16
3
a5 2 2 32
4
35
MATEMÁTICA
Para hallar la suma parcial hasta el décimo término, se sustituyen los
valores de
a1 = 2, q 2 y n = 10, en S n a1
S 10 2
1 2
10
1 2
2
1 qn
, luego se tiene que:
1 q
1 1 024
682 .
3
Luego, la sucesión geométrica es {2; – 4; 8;– 16; 32; ...; an ;...} y la suma
parcial hasta el décimo término es −682.
(Ver la nota 4 al capítulo 1 en los anexos)
Reflexiona sobre lo aprendido
1. ¿Cómo determinar la suma de los n primeros términos de una sucesión
geométrica si está definida para los números naturales?
2. Según la información que tiene el centro de costo de una entidad laboral el
precio de un televisor asignado a una oficina, es de 11 125 CUP, y su depreciación anual es de un 10 % con respecto a su valor original. El estado de la
tarjeta de depreciación del valor anual del televisor, se muestra en la tabla
siguiente:
Valor
inicial
1.er
año
11 125
2.o
año
3.er
año
8 900
4.o
año
5.o
año
6 675
6.o
año
7.o
año
4 450
3 337,5
8.o
año
a) Analiza la información anterior y socializa en tu grupo la vía que utilizarías
para calcular en cuánto decrece el valor del televisor cada año.
b) Completa la tarjeta en tu cuaderno de trabajo con el valor anual del televisor
en cada año.
3. Los asientos de una sala de cine que se construye para una comunidad del
Plan Turquino, se disponen de manera que en cada una de las filas después
de la primera, hay dos asientos más que en la fila anterior. Se sabe que en la
última fila hay 35 asientos.
a) ¿Cuántos asientos hay en la primera fila?
b) ¿Cuántas filas hay en la sala del cine?
c) ¿Cuántos asientos tiene en total la sala del cine?
36
CAPÍTULO 1
4. De la situación inicial planteada respecto al estudio realizado por el equipo
de microbiólogos, di cuántas unidades formadoras de colonias (UFC) habrá
en el cultivo pasadas 3 h.
5. Los términos n-ésimos de una sucesión geométrica se generan por la ley de
1 n1
2 .
formación an
5
a) Representa los cinco primeros términos en un gráfico de GeoGebra e identifica la función real de la cual son imágenes.
b) Analiza el comportamiento de la función si 0 q 1 .
c) ¿Qué pasaría si q = 1?
d) Calcula la suma hasta un término n-ésimo cualquiera.
6. Investiga sobre los procesos de reproducción celular de los organismos por
Mitosis y por Meiosis. ¿Cuál de ellos puede ser modelado mediante una sucesión aritmética o por una geométrica? Socializa en el grupo tu razonamiento.
7. ¿Cómo se obtiene el antecesor y el sucesor del término general de una
sucesión?
Demostración de fórmulas de términos y sumas n-ésimas de una sucesión
por Principio de inducción completa
Consideremos que la relación matemática entre descubrimiento y demostración tiene gran importancia, ya que solo podemos atribuir valor de
verdad a un descubrimiento después que se ha demostrado. En tal sentido, la inducción matemática que estudiaste en el primer epígrafe de este
capítulo resulta un poderoso método para demostrar la propiedad que
cumplen los términos de una sucesión numérica y sus sumas parciales.
Ejemplo 1.21
Sea S n 0 2 4 2n, la adición de los términos de una sucesión
aritmética.
a) Demostrar que S n n n 1 , se cumple, para todo n ∈ N.
b) Determinar el sumando que ocupa el lugar 58.
c) Calcular la suma hasta el término 102.
37
MATEMÁTICA
Resolución:
a) Inicio o base de inducción: probar que S n se cumple para n = 0, luego:
S 0 0 0 1 0, a1 = 0; 0 = 0, la propiedad es verdadera para n = 0.
Hipótesis de inducción: supongamos que la propiedad se cumple para
un número natural k cualquiera.
S k 0 2 4 2k k k 1
Tesis de inducción: de S(k) se debe deducir que su sucesor k + 1 también
cumple la propiedad, es decir;
S k 1 0 2 4 2 k 1 k 1 k 2
Demostración de la tesis de inducción: para deducir S k 1 de S k ,
basta adicionar el término 2 k 1 obtenido en el miembro derecho de
S k 1 , en ambos miembros de S k ; resulta que:
S k 0 2 4 2k 2 k 1 k k 1 2 k 1 (como los miembros izquiedos de la tesis y de la demostración son iguales, probemos
que los miembros derechos, también son iguales)
k 2 3k 2
k 1 k 2
Luego, se puede afirmar que S n n n 1 , para todo n ∈ N.
b) Como la ley de formación del término es an = 2n y el primer término se
obtiene para n = 0, se sustituye para n = 57.
a58 2 57 114
Respuesta: el sumando que ocupa el lugar 58 en la propiedad es 114.
c) En este caso, como el término es 102 y ley de formación del término
es an = 2n, entonces el término 102 ocupa la posición 51 y se obtiene para n = 50 para calcular la suma hasta el término 102, se sustituye
n 51 1
n = 50, pues el primer término se obtiene para n = 0.
38
CAPÍTULO 1
S n n n 1 ,
50 50 1 2 550
Respuesta: la suma hasta el término 102 es 2 550.
Ejemplo 1.22
Sea S n la suma n-ésima de la sucesión aritmética:
5; 8; 11; 14; 17; ; 3n 2 ;
3
Demostrar por inducción completa que: S n 5n n n 1
2
Resolución:
Inicio o base de inducción:
Debemos garantizar que la propiedad se cumple para un primer número natural.
3
0 0 1 0; 0 ≠ 5; no se cumple
2
Probemos para n = 0
S 0 5 0
para n =1 S 1 5 1
3
1 1 1 5; a1 = 5 y 5 = 5; se cumple.
2
Hipótesis de inducción: supongamos que se cumple para un número
natural k cualquiera.
3
S k 5k k k 1
2
S k
3 2 7
k k
2
2
Tesis de inducción: de la suposición se debe deducir que para su sucesor
k + 1 también se cumple, de donde resulta que:
S k 1 5 k 1
S k 1
3
k 1 k 1 1 ,
2
3 2 13
k k 5
2
2
39
MATEMÁTICA
Demostración de la tesis de inducción: debemos demostrar que la tesis
S k 1 es verdadera, partiendo de la hipótesis S k , para ello adicionemos
el término 3k 5 , en ambos miembros de S k y desarrollemos el miembro derecho.
S k 3k 5
3 2 7
k k 3k 5
2
2
3 2 7
k k 3k 5
2
2
3 2 13
k k 5
2
2
3
Luego, se cumple que S n 5n n n 1 para todo n natural con
2
n ≥ 1 permite determinar la suma n-ésima de la sucesión aritmética
5; 8;11;14;17; ; 3n 2 ; .
(Ver la nota 5 al capítulo 1 en los anexos)
Ejemplo 1.23
Sea la sucesión geométrica 3; 6;12; 24 ; ; 3 2n 1 y S n , la suma n-ésima
de sus términos.
a) Demostrar por inducción completa que: S n 3 2n 1 , para todo n natural con n ≥ 1.
b) Determinar cuántos de los primeros términos se deben adicionar para
obtener como suma parcial 381.
Resolución:
a)
Inicio de inducción: garantizar que S n se cumple para el primer número natural que se indica, es decir; para n =1.
a1 = 3 S n 3 2n 1 , S 1 3 21 1 3 2 1 3 1 3 3 = 3; se cumple.
Hipótesis de inducción: suponer que S(n) se cumple para un número
natural kcualquiera:
3 6 12 24 3 2k 1 3 2k 1
40
CAPÍTULO 1
Tesis de inducción: de la suposición debe deducirse que el sucesor k + 1
también cumple la propiedad, es decir:
3 6 12 24 3 2k 3 2k 1 1,
Demostración de la tesis de inducción: deducir S k 1 partiendo de
S k , adicionar el término 3 2k , en ambos miembros de S k .
3 6 12 24 3 2k 1 3 2k 3 2k 1 3 2k
Como el miembro izquierdo de la tesis es igual al miembro izquierdo
de la demostración, nos quedaría desarrollar el miembro derecho de la
demostración hasta obtener el miembro derecho de la tesis:
3 2k 3 3 2k
2 3 2k 3
3 2k 1 3
3 2k 1 1
Luego, se cumple que S n 3 2n 1 , para todo n natural con n ≥ 1 ; permite determinar las sumas parciales de los n-ésimos términos de la sucesión geométrica 3; 6;12; 24 ; ; 3 2n 1 .
b) S n 3 2n 1 381
3 2n 1 381
2n 1 127
2n = 128
2n = 27
n=7
Para obtener la suma parcial 381 se deben adicionar los siete primeros
términos de la sucesión.
41
MATEMÁTICA
Conéctate
Busca una herramienta de inteligencia artificial (IA) y:
a) Demuestra que la cantidad de diagonales de un polígono de n lados, es
n n 3.
2
b) Valora el procedimiento seguido por la IA.
Ejemplifica la demostración, con ayuda del GeoGebra.
Ejercicios del epígrafe 1.2
Sucesiones numéricas
1. Identifica, en tu cuaderno de trabajo, cuál de los conjuntos de pares
ordenados no constituye una sucesión. Justifica en cada inciso.
a) A 0; 0 ; 1;5 ; 2;10 ; 3;15 ; 4 ; 20 .
b) B n; an : an 2n2 3, n N.
c) C 1; 0 ; 2;1 ; 3;1 ; 4 ; 2 ; 5; 3
d) D 1; 2 ; 2; 1 ; 3; 0 ; 4 ;1 .
1
3
e) E 1; ; 2,1 ; 1; ; 4 , 2 .
2
2
f) F n; an : an 3n 1, n Z.
g) G 1; 0,5 ; 2;1,5 ; 3; 2,5 ; 4 ; 3,5 .
1.1 De las que son sucesiones, diga cuáles son aritméticas y cuáles
geométricas.
2. Calcula los primeros cinco términos de las sucesiones que tienen la ley
de formación siguiente.
a) an 3n 1
b) an n2 2
c) an
42
n
n 2
CAPÍTULO 1
d) an
3n
2n
e) an 4n 3
f) an 2an 1 1 y a1 = 1 ; n ≥ 2
g) an 2 an 1 2 y a1 = 3; n ≥ 2
h) an
1
y a1 = 3 ; n ≥ 2
an 1
i) an
n2 1
,n≥0
n 3
2.1 Representa en un sistema de coordenadas cartesianas utilizando
GeoGebra, los cuatro primeros términos encontrados de cada sucesión y analiza su monotonía.
3. Determina una ley de formación explicita para calcular el n-ésimo término de las sucesiones siguientes:
a) 1; 4 ; 7; 10; … c) 5; 25; 125; 625;
b) 1; 3 ; 5 ; 7 ; 9 ; …
4 9 16 25
d) 2; 6; 2; 6; …
3.1 Calcula en cada caso el término duodécimo de la sucesión.
4. Calcula los primeros cuatro términos y la suma hasta el término indicado de las sucesiones dadas:
a)
an =
b) an
1
2n
y
S n 1
1
2n
para n = 6
1
1
1
y S n 1
para n = 10
n n 1
n 1
5. Dada la sucesión de pares ordenados de números racionales
1
1 1
1 1
1; 2 ; ;1 ; 2; 4 ; ; ; 3; 8 ; ; ; 4 ;16 , el par ordenado siguiente es:
2
4
2
8
3
1 1
a) ;
8 4
1 1
b) ;
16 4
1 1
c) ;
4 16
d) 5; 32
43
MATEMÁTICA
6. Los cinco primeros términos de una sucesión de tríos ordenados de números naturales son:
1;2;3 ; 2; 3; 4 ; 3; 4;5 ; 4; 5;6 ; 5;6;7 .
Entonces el cuadragésimo término es:
a) 39; 40; 41
b) 40; 41; 42
c) 40; 41; 42
d) 41; 42; 43
7. ¿Cuál de los números dados falta en la sucesión formada por
0; 1; 8; 27; 125; ...?
a) 64
b) 49
c) 169
d) 144
8. Los cinco primeros términos de una sucesión de polinomios son
1; 2 x ;
x2
x4
; 8 x 3 ; . Entonces el noveno término es:
16
4
a) 512 x 8
b)
x9
256
c)
x8
256
d) 512 x 9
9. En el año 2024 se inaugura un nuevo reparto residencial, con una población de 3 500 habitantes. A partir de la eficiencia que tiene la empresa constructora, para generar nuevos fondos habitacionales, se estima
que la población aumente anualmente en una tasa de 2 %. Además,
se prevé que n años después, a partir de 2024, la tasa de crecimiento
poblacional se represente mediante la fórmula P n 3 500 1, 02 .
n
a) Calcula los primeros cinco términos de la sucesión que genera.
b) ¿Cuál debe ser la población actual del reparto residencial según la
fórmula de tasa de crecimiento poblacional estimada?
10. En una cooperativa pesquera deciden ampliar sus producciones, con
un nuevo embalse en el que inician un cultivo de 5 000 tilapias. Se
conoce que la cantidad aumenta un 8 % cada mes y se cosechan
300 tilapias todos los meses, para una industria local. ¿Cuál es la ley
de formación, que permite calcular la cantidad de tilapias que hay en
el embalse pasado n meses? ¿Cuántas tilapias se pueden contar en el
embalse cumplido el primer año?
44
CAPÍTULO 1
11. Determina los cinco primeros términos de la sucesión aritmética y la
suma parcial de los n-ésimos términos que se indican, dados el primer
término a1 y la diferencia común d.
a)a1 = 5 , d = 3 y
S15
b)a1 = 2 y d 2 y S27
3
y S41
4
11.1 Selecciona para a1 y d dos valores cualesquiera.
c)a1 = 3 y d = 4 y S12
d)a1 = 1 y d =
a) Escribe los seis primeros términos de la sucesión aritmética que
generan.
b) Calcula la suma n-énsima hasta un valor de n, determinado.
12. Dados los dos primeros términos de una sucesión aritmética:
1
4
a) Determina el término 78 de la sucesión aritmética que generan
a) 6; 10
b) 8; 3
c) -15; -13
d) 1;
cada caso.
b) Calcula la suma hasta el término 23.
13. Dados los términos a10 = 16 y a20 = 86 de una sucesión aritmética.
a) Calcula el término a100 .
b) Calcula S100 .
14. Calcula la suma de los términos de las sucesiones aritméticas siguientes hasta el término indicado.
a) 6 10 14 202
b) 15 17 19 213
c) 5 5,5 6 6,5 1 000
d) 31 35 39 319
15. Determina los cinco primeros términos de una sucesión geométrica
que tiene:
a) a1 = 2 y q 2
c) a1 = 3 y q
1
4
1
3
1
d) a1 15 y q =
5
b) a1 1 y q
45
MATEMÁTICA
16. Calcula en cada caso del ejercicio anterior, la suma n-ésima para un
valor: 0 n 100.
17. Expresa una ley de formación explícita de cada una de las sucesiones
geométricas siguientes:
a) 3; 30; 300;
b) 2; 10;50; 250;
1 1 1
c) 1; ; ; ;
3 9 27
5 7
d) 3; 33 ; 33 ; 27;
18. Calcula la suma de los términos de las sucesiones geométricas siguientes hasta el término indicado.
a) 2 6 18 54 1 458.
b) 4 2 1
1
1
.
2
256
c) 2 4 8 6 32 8 192.
d) 48 96 192 24 576.
19. Un estudiante de 12.o grado se prepara para los exámenes de ingreso
a la Educación Superior, se propone estudiar Geometría Plana, desde
el 6 de septiembre, y resolver dos problemas geométricos cada día.
a) Si el estudiante pretende dar solución a 30 problemas geométricos
y estudia todos los días hasta lograrlo, ¿Qué parte del total de problemas geométricos que se propuso resolver, le faltará por resolver
al concluir el día 10 de septiembre?
b) ¿En qué día de septiembre el estudiante debe terminar con la resolución de todos los problemas geométricos propuestos?
20.
Conéctate
Accede al sitio www.cubaeduca.cu en la sección curricular, busca en Matemática duodécimo grado la lección Sucesiones numéricas y realiza los ejercicios de
autoevalución.
46
CAPÍTULO 1
Demostración de fórmulas de términos y sumas n-ésimas
de sucesiones por el Principio de inducción completa
21. Demuestra por inducción completa que para todo n ∈ N se cumple:
3
a) 0 3 6 3n n n 1
2
b) 5 7 9 2n 5 n 1 n 5
c) 11 13 15 2n 11 n 1 n 11
d) 2 7 12 5n 2
n 1
e) 1 2 4 2 2
n
n 1 5n 4
2
1
f) 7 6 7 6 72 6 7n 7n 1
21.1 Selecciona al menos tres de las propiedades dadas:
a) Determina el término que ocupa el lugar an − s .
b) Calcula la suma hasta el término determinado.
22. Demuestra por inducción completa que para todo n N : n 1 se
cumple:
a) 6 12 18 6n 3n n 1
b) 7 9 11 2n 5 n n 6
c) 3 7 11 4n 1 n 2n 1
d) 7 13 19 6n 1 n 3n 4
e) 12 22 32 n2
n n 1 2n 1
6
1
f) 1 3 5 2n 1 n 4n2 1
3
2
2
2
2
g) 13 33 53 2n 1 n2 2n2 1
3
h) 1 2 2 3 3 4 n n 1
n n 1 n 2
3
22.1 Selecciona al menos cinco de las propiedades anteriores:
a) Determina el sumando que ocupa el lugar an − s .
b) Calcula la suma hasta el sumando determinado.
47
MATEMÁTICA
23. Demuestra por inducción completa que para una sucesión aritmética
a1 ; a2 ; a3 ;⋅ ⋅ ⋅, an ;...; se cumple:
an a1 n 1 d
a1 a2 a3 an na1
n 1 n
2
d
24. Demuestra por inducción completa que en la sucesión geométrica
a1 ; a2 ; a3 ; ⋅ ⋅⋅; an ;...; se cumple:
an a1 qn 1
a1 a2 a3 an a1
qn 1
q 1
25. Observa que 1 = 1, 1 3 4 , 1 3 5 9, 1 3 5 7 16. ¿Cuál es la
fórmula para determinar la suma de los primeros n números impares?
Demuestra que se cumple para todos los números naturales.
26. Sea la igualdad 1 7 13 6n 5 S n :
2 2 2
2
a) Demuestra aplicando el principio de inducción completa que para todo
n N: n 1 se cumple que S n
n 3n 2
.
2
b) Calcula la suma de los 20 primeros términos de la igualdad.
3n
3 6 9
27. Dada la sucesión an ; ; ; ; ; con n N: n 1:
5
5 5 5
a) Determina la posición que ocupa el término 2 025 en la sucesión.
b) Demuestra aplicando el principio de inducción completa que
3 6 9
3n 3n n 1
para todos los valores de n N: n 1.
5 5 5
5
10
28.
Conéctate
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aparecen.
48
CAPÍTULO 1
Ejercicios del capítulo
1. Determina si las proposiciones siguientes son verdaderas o falsas. En los
casos en que consideres que son verdaderas demuéstralo. Si consideras
alguna falsa, escribe un contraejemplo que lo confirme.
a) P n : n3 n, es divisible por 3 para todo n ∈ N.
b) P n : 32n 7 es divisible por 8 para todo n ∈ N.
c) P n : 34 n 1 es divisible por 15 para todo n ∈ N.
d) P n : 4n 2n para todo n ≥ 5.
e) P n : n 1 n3 para todo n ≥ 2.
2
f) P n : 32n 7 es divisible por 8 n ∈ N.
2. Demuestra por inducción completa que 22n 1 32n 1 es divisible por 5
para todos los números naturales n.
3. Demuestra por inducción completa que 100n ≤ n2 , para todo
n N : n 100.
4. Demuestra aplicando el principio de inducción matemática que 8n − 3n ,
es divisible por 5 para todo n ∈ N.
5. Halla los siete primeros términos de las sucesiones siguientes:
n
a)
3
b) 2 3n 1
c) 4 2 n 1
1
d)
2n 1
e) 3n2 n
f) Los términos de orden impar son sucesivamente los cuadrados perfectos enteros y los términos de orden par son los sucesivos múltiplos
de 3.
6. El lunes, Camila inició su nuevo trabajo (torcido de tabaco). Ese día
preparó 105 tabacos. Su jefa espera que con la experiencia que vaya
adquiriendo sea más productiva y que cada día de esta primera semana
(de lunes a sábado), se espera que ella prepare 10 tabacos más que el
total del día anterior.
49
MATEMÁTICA
a) ¿Cuántos tabacos se espera que prepare Camila al tercer día de
trabajo?
b) Determina una expresión algebraica que permita obtener la cantidad de Tabaco torcido por Camila en cada uno de los días de la
primera semana de trabajo. Compruébala.
c) Determina una expresión algebraica que permita obtener la cantidad total de tabaco torcido por Camila en la primera semana de
trabajo. ¿Cuántos tabacos se espera que prepare Camila en sus primeros seis días de trabajo?
d) Investiga cuántos tabacos como promedio puede torcer una persona. Elabora una situación que refleje la cantidad de tabacos que
puede torcer Camila en la segunda semana de trabajo, a partir de
los datos obtenidos en los incisos anteriores.
7. Demuestra por inducción completa que para todo n ∈ N , se cumple:
1 3 32 3n
3n 1 1
2
8. Demuestra por inducción completa que para todo n N : n 1 se cumple:
a) 2 5 5 8 8 11 3n 1 3n 2 n 3n2 6n 1
1
1
1
1
n
n n 1 n 1
1 2 2 3 3 5
b)
1
1
1
1
n
1 3 3 5 5 7
2n 1 2n 1 2n 1
9. Prueba que para todo número natural n ≥ 1 se cumple:
13 23 33 n3 1 2 3 n
2
10. Dada la sucesión numérica an 3; 6; 9; 12; ... :
a) Identifica si la sucesión es aritmética o geométrica.
b) Determina la ley de formación explícita de la sucesión.
c) Calcula el término de orden 100.
d) ¿Qué lugar ocupa el término 801?
50
CAPÍTULO 1
e) Determina la propiedad que permite adicionar los términos n-ésimos de la sucesión.
f) Calcula S 19 .
g) Calcula 3 6 9 12 900.
h) Demuestra aplicando el principio de inducción completa que la
propiedad obtenida se cumple para todo n N: n 1.
11. Dada la sucesión 4 ;14 ; 30; ; n 3n 1 ; para n N: n 1 :
a) Determina el decimotercer término de la sucesión.
b) Verifica si el término 1 220 ocupa la posición 20 en la sucesión
anterior.
c) Demuestra aplicando el principio de inducción completa que las
sumas parciales de los términos de la sucesión anterior se obtienen
por la fórmula n n 1 para n N: n 1.
2
d) Calcula la suma de los 10 primeros términos.
12. Sea an 3n 2 con n N: n 1, el término n-ésimo de una sucesión
aritmética.
a) Calcula el término que ocupa el lugar 100.
b) Determina el ordinal del término 152 en la sucesión.
c) Demuestra por inducción completa que la suma hasta el n-ésimo término de la sucesión se puede calcular por la fórmula
n 3n 7
S n
para todos los valores de n N: n 1.
2
d) Determina la posición del término para el cual se obtuvo la suma
185.
13. Sea la sucesión an 2; 7;12; ; 5n 2 ; :
a) Determina el término que ocupa la posición 31.
51
MATEMÁTICA
b) Demuestra aplicando el principio de inducción completa que la
suma hasta el término n-ésimo en la sucesión dada se puede calcu n 1 5n 4
lar por la fórmula S n
.
2
14. Dada la igualdad 9 + 11 + 13 +… 2n 7 n n 8 para todo n N: n 1:
a) Demuestra aplicando el principio de inducción completa que la
igualdad anterior es verdadera.
b) Determina el trigésimo quinto sumando.
c) Verifica si el término 602 ocupa la posición 298 en el miembro izquierdo de la igualdad.
d) Calcula la suma de los primeros 50 términos.
e) Calcula a100 .
f) Calcula S 62 .
15. Dada la sucesión an 4 ; 7;10; ; 3n 4 ; para n ∈ N.
a) Determina el decimotercer término de la sucesión.
b) ¿Qué posición ocupa el término 94 en la sucesión?
c) Demuestra aplicando el principio de inducción completa que
las sumas parciales de sus términos se calculan por la fórmula
S n
n 1 3n 8
2
para todos los números naturales.
d) Calcula S 29 .
16. Demuestra que la inecuación siguiente es válida para n > 1.
1
1
1 13
n 1 n 2
2n 14
17. Demuestra por inducción completa que para todo número natural se
cumple que:
x x 1 x x 1 x 2 x 1 x n x n 1
a) Formula al menos dos sucesiones que cumplan la condición
anterior.
52
CAPÍTULO 1
b) Determina un término n-ésimo de las sucesiones encontradas y la
suma parcial hasta el término determinado.
c) Demuestra por inducción completa la validez de las sumas n-ésimas de los casos particulares encontrados.
18. Demuestra por inducción completa que para todo número natural se
an 1 1
cumple que 1 a a2 an
.
a 1
a) Plantea al menos dos sucesiones que cumplan la condición anterior.
b) Determina un término n-ésimo de las sucesiones encontradas y la
suma parcial hasta el término determinado.
c) Demuestra por inducción completa la validez de las sumas n-ésimas de los casos particulares encontrados.
Autoevaluación
1. Determina el término general de las sucesiones siguientes:
a) 8;5; 2; 1; 4 ;
b) 4 ; 6; 8;10;12;
c) 5;11;14 ;17;
d) 0; 2; 4 ; 6; 8;
e) 5; 2; 1; 4 ; 7;
f) 1; 6;11;16; 21; 26;
g) 2; 3; 8; 13; 18; h) 50;51;52;53;54 ;
1 1 1 1 1
i) ; ; ; ; ;
3 5 7 9 11
2 3 4 5 6
j) ; ; ; ; ;
5 7 9 11 13
13 13 13 13
l) ; ; ; ;1
5 7 9 11
2 3 4 5
k) 1; ; ; ; ;
3 5 7 9
m) 5;10;19; 32; 49; 70; 95;
n) 6;15; 28; 45; 66; 91;
ñ) 1;10; 25; 46; 73;
1.1 Calcula la suma de los 20 primeros términos de las sucesiones de
los incisos b, c y f.
2. Comenta algún ejemplo de la vida práctica en el que hayas utilizado
una función o un patrón para resolver un problema o tomar una decisión. ¿Cómo te ayuda el concepto de función a comprender mejor el
mundo que te rodea?
53
MATEMÁTICA
3. Elabora una proposición verdadera sobre los conceptos asociados a
las sucesiones numéricas, atendiendo a la condición de que aparezcan
en cada caso las palabras siguientes:
a) función, dominio y conjunto imagen.
b) recursiva.
c) aritmética.
d) razón común.
e) n-ésimo término.
f) suma parcial.
4. Demuestra por inducción completa las proposiciones siguientes sobre
números naturales.
a) 32n − 1, es divisible por 8.
b) n2 + n, es divisible por 2.
c) 1 2n 3n.
d) 3n n 1 .
2
5. Verifica por inducción completa que las propiedades que aparecen a
continuación, son verdaderas.
a) 4 4 5 4 52 4 5n 5n 1 1.
b) 4 14 30 n 3n 1 n n 1 para n ≥ 1.
2
5.1 Determina en cada sucesión el término que ocupa el lugar an − s y
calcula la suma hasta ese término.
6. Copia en tu cuaderno de trabajo la respuesta correcta en cada caso.
La figura 1.13 está formada por cuadraditos que se van comportando
de una forma regular. Según la cantidad de cuadraditos en cada una
de las posiciones (1, 2 y 3):
Fig. 1.13
54
CAPÍTULO 1
6.1 En la posición n-ésima, la cantidad de cuadraditos será de:
a) 3n − 2 b) n2 + 1
c) 2n − 1
d) 4n − 3
6.2 Se puede afirmar que hasta la posición 20 la cantidad de cuadraditos total es de:
a) 77
b) 761
c) 800
7. Dada la propiedad 3 8 13 5n 2
d) 58
5n2 n
:
2
a) Demuestra aplicando el principio de inducción completa que la
propiedad se cumple para todo número n distinto de cero.
b) Determina el ordinal del sumando 498.
c) ¿Cuántos de los primeros términos se deben adicionar para obtener la suma parcial 1 010?
8. Dada la igualdad 2 4 8 2n 1 S n :
a) Demuestra aplicando el principio de inducción completa que para
todo n ∈ N, se cumple que S n 2 2 2n 1 .
b) Determina el sumando que ocupa la quinta posición.
c) Determina hasta qué término se obtiene la suma parcial 1 022.
9. Sea la igualdad 3 12 21 9n – 6 S n :
a) Demuestra aplicando el principio de inducción completa que
S n
3n 3n 1
2
se cumple para todo n N : n 1 .
b) Determina el término que ocupa la cuadragésima posición.
c) Verifica si la suma de los diez primeros términos es 436.
55
CAPÍTULO 2
Estadística y probabilidades. Combinatoria
D
urante tus estudios sobre las diferentes áreas de las matemáticas
has comprobado que estas tienen
un importante papel en el desarrollo de las
ciencias, la tecnología y la interpretación
de la vida cotidiana. Al respecto Einstein
(1879-1955) (figura 2.1), decía: “estoy convencido de que mediante construcciones
puramente matemáticas se pueden descubrir los conceptos y las leyes que los conecten entre sí, que son los elementos que nos
ofrecen la clave para la comprensión de los
fenómenos naturales”1.
Fig. 2.1
En ese sentido, requerirás conocimientos sobre estadística, probabilidades y combinatoria, por ser áreas matemáticas que van de la mano, en el análisis de hechos y fenómenos que
ocurren tanto en la naturaleza como en la sociedad y que tienen influencia en todas las ciencias.
Respecto a ¿qué vas a aprender en este capítulo?
1
A. Einstein: Mi credo humanista, p. 95.
56
CAPÍTULO 2
Sistematizarás tus conocimientos sobre Estadística Descriptiva mediante
la resolución de problemas y la interpretación de situaciones en diferentes
campos de aplicación. Los ampliarás al adquirir nociones de la Teoría de las
probabilidades y la Combinatoria. Estos conocimientos te permitirán comprender fenómenos y procesos que se manifiestan en otras disciplinas, que
formarán parte de tus estudios superiores o de tu futura vida profesional.
2.1 Procesamiento estadístico de datos
La Estadística, está muy difundida en la actualidad, debido a que sus
métodos, proporcionan la base necesaria para tomar decisiones acertadas, en cuanto a la planificación de estrategias, cumplimiento de metas y
objetivos en diversos campos de aplicación (figura 2.2), que requieren del
trabajo con grandes masas de datos.
Fig. 2.2
En particular la estadística descriptiva que estudias, desde grados anteriores, tiene como objetivo describir las características principales de fenómenos, procesos, problemas o situaciones de diversos contextos, que
57
MATEMÁTICA
requieran, la aplicación y el análisis de las medidas de tendencia central,
de posición y de dispersión.
Considera que administras una cooperativa y que requieres realizar un estudio de la experiencia laboral (en meses trabajados) de sus miembros hombres y mujeres, para lo cual empleas determinados métodos estadísticos que
al ser aplicados ofrecieron los resultados que se presentan en la tabla 2.1.
Tabla 2.1
Experiencia Laboral (en meses)
Mujeres
Media
Hombres
98,8095238
Media
95,3441558
Mediana
48
Mediana
68,5
Moda
0
Moda
0
Cuartil1 (Q1)
Cuartil 3 (Q3)
Desviación
estándar
12
149,5
120,422733
Cuartil 1 (Q1)
Cuartil 3 (Q3)
Desviación
estándar
20
136,75
94,1206554
Rango
476
Rango
408
Mínimo
0
Mínimo
0
Máximo
476
Máximo
408
Una vez calculadas las medidas de posición y de dispersión, ¿cómo caracterizar la experiencia laboral de los hombres y las mujeres de la cooperativa? ¿Cuáles de los estadígrafos permiten una interpretación más
objetiva de los resultados?
Recuerda que...
En un análisis estadístico de datos un estadígrafo es una función numérica, evaluada por los datos de una distribución que actúa como estimador, por ejemplo,
la media, la varianza y la desviación típica. También es usual que se identifiquen
como indicadores o estadísticos.
Las interrogantes del estudio anterior indican la necesidad de comprender el significado de cada estadígrafo y su utilidad para caracterizar
el fenómeno que se investiga a partir del comportamiento de los datos,
58
CAPÍTULO 2
debido a que existen situaciones en las cuales unos estadígrafos determinan o influyen más que otros en la interpretación y la toma de decisiones.
Ejemplo 2.1
Para seleccionar el equipo de mejores resultados en un concurso de
conocimientos de Matemática, se analizaron las calificaciones obtenidas en el examen que les fue aplicado (calificado sobre 100 puntos) a los
10 integrantes de cada uno de los equipos A y B como se muestra en la
tabla siguiente.
Tabla 2.2
Calificación de los estudiantes
Equipo A
100
75
66
50
70
54
60
20
45
60
Equipo B
62
61
65
60
63
59
60
55
58
57
¿Cuál de los equipos obtuvo mejores resultados?
Resolución:
Para decidir se parte de calcular estadígrafos de posición y dispersión.
Tabla 2.3
Medidas de tendencia central
media
moda
mediana
xA = 60
(mo)A = 60
(md )A = 60
xB = 60
(md )B = 60 (mo)B = 60
Como las medidas de tendencia central alcanzan los mismos valores en ambos equipos, no aportan elementos en el análisis
para determinar cuál de los dos equipos obtuvo mejores resultados.
Se hace necesario analizar el comportamiento de los estadígrafos de
dispersión.
Tabla 2.4
Medidas de dispersión
Rango
RA = 80
RB = 10
Desviación típica
SA = 19,8
SB = 2,8
Varianza
S2A = 392,2
S2B = 7,8
Desviación media
D x A = 20, 9
D x B = 2, 8
59
MATEMÁTICA
Al analizar los resultados expuestos se puede apreciar que:
• Las calificaciones en el equipo A están más dispersas que en el equipo
B, por lo que los resultados del equipo B son más homogéneos que los
del equipo A.
• La desviación media de los resultados del equipo B es mucho menor
que la del grupo A, por tanto, tuvieron un rendimiento más homogéneo entre sí que los del equipo A.
• La varianza de los resultados del equipo B es menor que la varianza de
los resultados del equipo A y, por tanto, las calificaciones son más homogéneas dado que hay menor variabilidad en las calificaciones.
• La desviación típica o estándar del equipo B es menor que la del equipo
A, lo que demuestra que los resultados del equipo B son más homogéneos y están mejor distribuidos alrededor de la media.
Conclusión:
Los resultados muestran que el equipo B obtuvo globalmente mejores
resultados que el equipo A, dado que están mejor distribuidos alrededor
de la media.
Aplica tus conocimientos
Busca en periódicos locales o nacionales, dos noticias en las que se muestre la
aplicación de la estadística a situaciones de la vida cotidiana; estúdialas y haz un
comentario acerca de la información obtenida.
Identifica: el objetivo de la situación descrita, la población, la muestra, las variables, la unidad estadística y los indicadores que consideres más pertinentes.
Ejemplo 2.2
Con la finalidad de perfeccionar el proceso de instalación de paneles
solares en las zonas del Plan Turquino, se probó la aplicación de dos métodos A y B con la intención de identificar el más adecuado y generalizarlo.
Se seleccionaron al azar cien especialistas que aplicaron ambos métodos
y se les determinó el coeficiente de destreza (en una escala de 1 a 15) demostrado en la actividad. Los resultados se muestran a continuación.
60
CAPÍTULO 2
Tabla 2.5
Coeficiente de destreza
7
8
9
10
11
12
13
Frecuencia (Método A)
10
15
40
25
10
0
0
Frecuencia (Método B)
0
0
10
15
40
25
10
Determinar cuál de los dos métodos de instalación de paneles solares se
consideró más adecuado para su posterior generalización.
Resolución:
Al calcular las medidas de tendencia central (media, moda y mediana)
se obtuvo:
Tabla 2.6
Media
Mediana
Moda
xA = 9,1
(md )A = 9
(mo)A = 9
xB = 11,1
(md )B = 11
(mo)B = 11
Al calcular las medidas de dispersión se obtuvo:
Tabla 2.7
Rango
RA = 4
RB = 4
Varianza
S2A = 1,184
S2B = 1,19
Desviación estándar
SA = 11,1
SB = 11,1
En los resultados de las medidas de tendencia central se observan valores diferentes en el comportamiento de la media, moda y mediana. Sin
embargo, al analizar las medidas de dispersión se aprecia, en ambos métodos, valores similares lo que demuestra igual nivel de homogeneidad en
la dispersión de los datos. En este caso la decisión se toma a partir de los
resultados de las medidas de tendencia central y no de dispersión, dado
que estas no aportan al análisis que se realiza.
61
MATEMÁTICA
Conclusión:
Como los valores de la media, la moda y la mediana del Método B están
por encima de los valores obtenidos al aplicar el método A, evidencia que
el coeficiente de destreza demostrado por los obreros en la aplicación del
método B es superior con respecto al método A. Luego el método B es el
más adecuado para su generalización.
Conéctate
Accede al sitio www.cubaeduca.cu en la sección curricular, busca en Matemática duodécimo y resuelve los ejercicios que aparecen en el tema Estadística
Descriptiva.
Ejemplo 2.3
El grupo de desarrollo de software de una empresa Informática debe
analizar su eficiencia, respecto a su capacidad de respuesta a nuevos requerimientos (NR) a los productos, que solicitaron sus clientes durante el
año pasado. Se conoce que en ese periodo recibieron 552 solicitudes de
NR. Al ingresar los datos en una hoja de cálculo, determinaron los valores
de los estadígrafos que se muestran en la tabla 2.8.
Tabla 2.8
Rango
Media
Moda
Mediana
34 días
5,94 días
1 día
2 días
¿Cuál es el estadígrafo que mejor caracteriza la eficiencia del grupo de
desarrollo?
Resolución:
A partir de esos resultados se consideró, que la mediana es el estadístico que mejor caracteriza la eficiencia del grupo de desarrollo de la
empresa.
62
CAPÍTULO 2
Reflexiona
En el estudio del ejemplo 2.3 se consideraron las 522 solicitudes recibidas. ¿En tu
opinión qué pudo estar determinando esa decisión?
¿Por qué se puede considerar que es la mediana el estadígrafo que mejor explica la capacidad de respuesta a los NR del grupo de desarrollo de software de la
empresa de informática?
¿Cómo intervienen el rango, la moda y la media?
¿Cuál de los estadísticos de dispersión te hubiera aportado mayor objetividad en
el análisis? Explica tu razonamiento.
Se reconoce que, el desarrollo de la informática y las comunicaciones
han determinado en el auge actual de la estadística, por cuanto permiten
acceder a múltiples datos de alcance nacional o mundial, relacionados con
sus campos de aplicación.
¿Sabías que...?
La utilización de la Estadística es tan extensa que se aplica en diversos campos de
investigación. Entre los que se encuentran la:
• Estadística en la economía, en la salud y en la industria.
• Geoestadística, Bioestadística, Física Estadística.
• Estadística en agronomía, Estadística en planificación, Cienciometría.
• Estadística en la comercialización o mercadotecnia, Econometría.
• Estadística del medio ambiente.
• Estadística Computacional.
• Estadística en la planificación de obras civiles.
• Estadísticas de negocios y mercadeo.
• Estadística en Psicometría y Ergonomía Laboral.
• Estadística en los controles de Calidad y Productividad.
• Estadística en Técnicas de Muestreo y Control.
• Estadística en el análisis de procesos y quimiometría (para análisis de datos en
química analítica e ingeniería química).
63
MATEMÁTICA
Entre los estadígrafos de posición que ya conoces, además de los cuartiles, también son utilizados los percentiles, conocidos también como cuantiles, estos se relacionan con las frecuencias acumuladas y son equivalentes
a porcentajes acumulados.
Definición 2.1
El percentil de orden P de la variable X es el puntaje XP tal que por debajo
de él se halla el P % de la distribución de X y por encima de él se halla el
(100 − P) % de esa distribución.
Ejemplo 2.4
El percentil de orden 80 de los puntos de la distribución del segmento
de la figura 2.3 comprendido entre los números reales 0 y 5, es el punto
correspondiente al número 4, por debajo de él se haya el 80 % de los puntos del segmento y por encima, el 20 %.
Fig. 2.3
¿Cuál es la posición de los percentiles de órdenes 0,50; 0,90 y 0,25 de los
puntos del segmento de recta dada?
Resolución:
Como se muestra en la figura 2.4 los percentiles:
0
1
2
X25
3
X50
Fig. 2.4
X50 = 2,5 ; X90 = 4,5 ; X25 = 1,25
64
4
5
X90
CAPÍTULO 2
¿Sabías que...?
Los percentiles se utilizan en la valoración del desarrollo físico de las niñas y
niños a través de indicadores somatométricos, como la talla, el peso (masa corporal), la circunferencia cefálica y del brazo, entre otros.
Ejemplo 2.5
Para evaluar las influencias de algunas condiciones maternas, como la
diabetes gestacional en el crecimiento fetal, se toman los datos de la circunferencia abdominal (CA), en milímetros, de un grupo de 12 fetos en el
séptimo mes de embarazo.
Tabla 2.9
Feto
1
CA
280
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
301 305
305
310
325
332
335
340
345
348
350
Interpretar el significado del percentil 75 de la circunferencia abdominal del grupo de fetos.
Resolución:
Procedimiento para calcular el percentil:
1. Ordenar de menor a mayor el Como los datos se presentan en la
conjunto de datos.
tabla ordenados se procede a calcular Xp.
2. Identificar el lugar que ocupa el
percentil buscado con la fórmula
Xp
p
n 1
100
X 75
75
12 1
100
= 0,75 · 13 = 9,75
Significa que el percentil 75 se encuentra entre la novena y la décima posición en los datos ordenados
que son 340 y 345, respectivamente.
65
MATEMÁTICA
3. Calcular el percentil buscado con
la fórmula:
X 75 340 345 340 9, 75 9
X 75 340 5 0, 75
X 75 ni n i 1 ni x k i
X 75 340 3, 75
Donde:
X 75 = 343, 75
– ni es el valor en la posición i.
– n i 1 es el valor en la siguiente
El percentil 75 es 343,75 mm
posición.
Significa que el 75 % de los fetos, del grupo en estudio en el séptimo
mes de embarazo, presentan una circunferencia abdominal menor o igual
a 343,75 mm, mientras que el 25 % la tienen mayor que 343,45 mm.
Investiga y aprende
1. Investiga si una circunferencia abdominal de 343,75 mm es normal con respecto a los valores establecidos para un feto en el séptimo mes de embarazo.
¿Cuáles son las posibles interpretaciones de ese resultado para fetos de entre
28 y 32 semanas de gestación?
2. Indaga, en diferentes fuentes de información, acerca de la importancia de los
percentiles en el análisis de datos y plantea ejemplos de su aplicación.
Ejemplo 2.6
Con la intención de reorientar las estrategias de publicidad de un hotel
se hace un estudio sobre: la procedencia y cantidad de días que permanecen hospedados sus clientes. Para ello, se registró la procedencia y la
cantidad de días hospedados (indicado entre paréntesis) por cada cliente
durante una semana como se muestra a continuación donde: A es Argentina, B es Brasil, C es Canadá, E es Ecuador, P es Perú y V es Venezuela.
B(3)
B(3)
B(3)
E(2)
C (7)
C(7)
V(5)
V(5)
A(2)
C(3)
P(1)
V(5)
P(1)
P(1)
C (2)
C(2)
C (2)
C (1)
C (3)
C (3)
B(3)
V(3)
V(3)
C(3)
E(7)
B(2)
B(2)
B(2)
B(2)
B(2)
B(2)
V(5)
V(5)
V(5)
C(7)
B(2)
C (7)
A(2)
A(2)
A(3)
C(7)
C (7)
P(1)
P(1)
P(1)
P(1)
C(5)
P(1)
V(5)
V(5)
V(5)
P(1)
P(1)
V(5)
V(5)
B(2)
B(2)
E(5)
E(5)
V(5)
66
CAPÍTULO 2
C(3)
C(3)
P(3)
A(2)
A(2)
A(2)
A(3)
A(3)
C (2)
E(2)
C(2)
A(3)
V(7)
V(7)
V(7)
V(7)
V(7)
V(7)
C (1)
A(4)
A(4)
A(4)
C (3)
C(1)
P(1)
P(1)
C (1)
C(1)
C (1)
B(3)
P(1)
E(5)
E(5)
P(1)
P(1)
P(1)
B(3)
B(3)
E(2)
E(2)
E(2)
E(2)
V(3)
V(3)
V(3)
V(3)
V(3)
V(3)
C (7)
C (7)
C (7)
C(7)
C (7)
C (7)
V(3)
A(1)
B(6)
B(6)
A(1)
V(3)
B(2)
B(2)
B(2)
E(4)
C (5)
C(5)
V(3)
V(3)
A(2)
C(3)
P(4)
V(5)
P(2)
P(2)
C (4)
C(3)
C (3)
C (3)
C (3)
C (3)
B(3)
V(2)
V(2)
C(3)
V(3)
V(3)
V(5)
P(2)
P(2)
V(5)
V(5)
B(4)
B(4)
E(2)
E(2)
V(5)
a) Explicar el procedimiento que se va a seguir para realizar el estudio.
b) Determinar los indicadores más pertinentes, con el uso de recursos informáticos disponibles.
c) Representar gráficamente la información.
d) Elaborar un informe con los resultados del estudio realizado.
Resolución:
a) Procedimiento para el estudio: a partir de seleccionar de manera aleatoria varias semanas dentro de un periodo prudencial de tiempo, se
determina la tendencia en cada semana y la variabilidad (dispersión)
de la cantidad de días hospedados en cada semana con el propósito de
compararlas y tomar algunas decisiones en cuanto a los momentos de
mayor demanda por los clientes y el país de procedencia.
b) Para realizar el procesamiento estadístico de los datos, se puede utilizar
paquetes estadísticos profesionales como el SPSS o el STATGRAPHICS,
también el Microsoft Excel, el GeoGebra (versión 6.0 o superior), o de
otros softwares más avanzados.
Para determinar los indicadores más pertinentes hay que considerar
que se estudia la relación entre dos tipos de variables: procedencia de
los clientes y cantidad de días que se hospedan los clientes durante una
semana.
67
MATEMÁTICA
Atención
Como la variable procedencia de los clientes es cualitativa, le corresponde una
escala nominal y al introducir los datos en la hoja de cálculo del software de
deben recodificar. Por ejemplo: A = 1, B = 2 y así sucesivamente. Se debe tener
presente que son códigos numéricos establecidos para representar a cada categoría de la variable que se estudia.
Resultados de procesar la primera variable:
Tabla 2.10
Variable cualitativa
Procedencia de los clientes
Válido
Frecuencia
absoluta
Frecuencia
relativa
Argentina
16
10,3
Brasil
24
15,4
Canadá
41
26,3
Ecuador
14
9,0
Perú
22
14,1
Venezuela
39
25,0
Total
156
100,0
Al ser una variable cualitativa, el único indicador o estadístico que caracteriza su comportamiento es la moda. Significa que la mayor procedencia de clientes al hotel es de Canadá.
Resultados de procesar la segunda variable.
68
CAPÍTULO 2
Tabla 2.11
Variable cuantitativa discreta
Cantidad de días que se hospedaron los clientes durante la semana
Válido
Frecuencia
absoluta
Frecuencia
relativa
Frecuencia relativa
acumulada
1
24
15,4
15,4
2
38
24,4
39,7
3
41
26,3
66,0
4
8
5,1
71,2
5
24
15,4
86,5
6
2
1,3
87,8
7
19
12,2
100,0
Total
156
100,0
Estadígrafos
Válido
156
Perdidos
0
Media
3,33
Varianza
3,501
Desviación estándar
1,871
Mínimo
1
Máximo
7
Percentiles
25
2
50 (Mediana)
3
75
5
Como es una variable cuantitativa discreta en escala de razón, la media
(en este caso 3,33) es el indicador o estadístico que caracteriza el comportamiento de este tipo de variable estadística.
69
MATEMÁTICA
También se determinó la mediana (en este caso 3) la cual coincide con
el segundo cuartil Q2. Como la media y la mediana en este ejemplo no difieren mucho, puede decirse que la distribución es algo simétrica.
Al determinar la varianza y la desviación típica (o estándar), se observa
que los valores hallados de estas medidas de dispersión son un tanto menor, lo que indica que la distribución es bastante homogénea a la media.
c) Para comparar la procedencia de los clientes se puede utilizar el gráfico
de barras (figura 2.5), también se puede utilizar el gráfico circular o de
pastel (figura 2.6) con la finalidad de representar el porcentaje de clientes por países que se hospedaron del total de hospedados en la semana.
Fig. 2.5
Fig. 2.6
70
CAPÍTULO 2
Para representar la cantidad de días que se hospedaron los clientes durante la semana se utilizó el gráfico de barras, como se muestra en la figura 2.7, y para representar la cantidad de clientes hospedados por cada día
durante una semana, se utilizó el gráfico de cajas (figura 2.8) en el que se
aprecia que la mediana está muy próxima a la media.
Fig. 2.7
Fig. 2.8
71
MATEMÁTICA
d) Para la elaboración del informe se consideran los resultados de los indicadores y su interpretación en correspondencia con el significado del
estadístico calculado.
Informe
Los resultados del estudio realizado sobre la procedencia y cantidad de
días que permanecen hospedados los clientes en el hotel, evidencian que:
• El país de mayor procedencia de clientes es Canadá con 41 (26,3 %) de
los 153 clientes hospedados durante la semana, seguido de Venezuela y
Brasil y, los de menor frecuencia en ese orden son Ecuador, Argentina
y Perú, por lo que se deben analizar las estrategias publicitarias para
estos últimos, a fin de lograr mayor afluencia de turistas (significado de
la moda).
• El promedio de permanencia de los 153 clientes hospedados en una semana es de 3 días aproximadamente (significado de la media) y el 50 %
de los clientes que se mantienen hospedados durante una cantidad de
días mayor o igual a 3 (significado de la mediana que coincide con el
segundo cuartil).
• Además, se observa poca variabilidad en la distribución del tiempo de
hospedaje de los clientes por cantidad de días, lo que ofrece mayor
homogeneidad en el tiempo de permanecía de los clientes en el hotel
(significado de la varianza y la desviación típica).
Se recomienda a la gerencia del hotel valorar los resultados obtenidos
y reanalizar las estrategias de publicidad para su perfeccionamiento, fundamentalmente en los países de menos afluencia.
Reflexiona
¿Cómo analizar el estado de permanencia de los clientes por países?
72
CAPÍTULO 2
¿Sabías que...?
Las terminologías:
Minería de datos: revela los nexos cada vez más estrechos entre la Estadística y
la Informática determinando, entre otros aspectos, la posibilidad de trabajar con
toda la población en un estudio estadístico. En ese sentido, disponer de eficaces
sistemas de procesamiento electrónicos, y asistentes matemáticos, permiten
optimizar el procesamiento de los datos, la interpretación de sus resultados, ya
sea para comprender el entorno socio cultural y económico, como para tomar
decisiones a nivel laboral ante situaciones de incertidumbre.
Sesgo: significa errores que se comenten en la investigación, no debido al azar,
que hacen que el resultado del muestreo difiera del verdadero. Generalmente
no son cuantificables y se pueden prevenir con medidas que se deben tomar
al realizar la recopilación de la información. Estos pueden ocurrir entre otras
causas: al no considerar todas las unidades de observación, a la incorrecta enumeración de los elementos, por un inadecuado tipo de muestreo, al no controlar
la mayor cantidad de variables que intervienen en el objeto que se investiga, así
como por errores de cálculo.
Saber más
Fórmula para calcular los percentiles de un conjunto de datos agrupados en
intervalos de clases
k
Pk
Li
n
100
Fi
Fai 1
l
Donde: k 1, 2, 3,
, 99
Li: límite inferior real de la clase del percentil k.
n: tamaño de la muestra.
Fai 1: frecuencia absoluta acumulada (Fai ) de la clase que antecede a la clase
del percentil k.
Fi: frecuencia absoluta de la clase del percentil k.
I: amplitud de la clase del percentil k.
73
MATEMÁTICA
Aplica tus conocimientos
1. Una microempresa ha tenido durante los últimos ocho años los siguientes
rendimientos: ganancias del 11 %, 15 %, 18 %, 12 %, 11 % y 5 % y pérdidas
del 4 % y 9 %.
a) Representa la información gráficamente.
b) ¿Podrías determinar el rendimiento promedio de esta microempresa? Fundamenta tu respuesta.
2. El inspector del área de recursos humanos de una empresa dedicada a la recuperación de materia prima, argumenta que los trabajadores vinculados a la
producción realizan un menor número de tareas por día, que los de oficina.
Para comprobarlo se registró la cantidad de tareas realizadas durante diez
días por los trabajadores de cada grupo y se obtuvo la siguiente información:
Cantidad de tareas realizadas por los trabajadores vinculados a la producción:
12, 18, 19, 15, 18, 16, 15, 18, 19, 18
Cantidad de tareas realizadas por los trabajadores vinculados a la oficina:
15, 18, 17, 16, 18, 15, 19, 19, 18, 19
Determina los indicadores que consideres más pertinentes para comparar estos dos grupos en cuanto a la cantidad de tareas realizadas. Según los resultados, ¿qué le dirías al inspector?
3. Selecciona, junto a tu equipo de estudio, uno de los campos de aplicación de
la estadística, que se relacione con alguno de los temas siguientes:
•
•
•
•
•
•
•
•
Historia de la localidad
Cultura ciudadana y jurídica
Salud y sexualidad
Cultura y tradiciones
Tarea Vida
La ciencia y tecnología
Desarrollo económico y sostenible
La FEEM en las redes sociales
a) Indaguen sobre los resultados de esos campos de la estadística en Cuba.
b) Formulen un problema para resolver a nivel de escuela, comunidad, provincia o nación, y desarrollen el ciclo investigativo del procesamiento
estadístico de datos estudiado en 10.o grado.
c) Socialicen los resultados en el grupo y decidan sobre su presentación en
una jornada científica estudiantil.
(Ver la nota 1 al capítulo 2 en los anexos)
74
CAPÍTULO 2
Ejercicios del epígrafe 2.1
1. Decide sobre la veracidad de las proposiciones siguientes. Justifica en
cada caso tu decisión.
a) La Estadística estudia las regularidades de fenómenos aleatorios no
deterministas.
b) La Estadística Descriptiva se ocupa de caracterizar conjuntos de datos, hacer generalizaciones y posteriormente tomar decisiones en
base a estos.
c) La población es cualquier conjunto de individuos sean: objetos, sucesos o procesos.
d) En las investigaciones, una variable estadística es considerada como
cualquier característica medible de un fenómeno o proceso.
e) La unidad estadística es el objeto o elemento sobre el cual se observa
o mide una característica en una investigación estadística.
f) Las variables estadísticas cualitativas son aquellas que están dadas
por mediciones y observaciones numéricas en los objetos de interés.
g) Las escalas de medición de las variables estadísticas se clasifican en
nominal, ordinal, de intervalo y de razones.
h) La escala nominal se refiere a la clasificación de variables cuando
se utilizan cualidades para designar categorías que no generan un
orden explícito.
i) Los estadígrafos de tendencia central (media, moda y mediana) son
medidas de posición.
j) La media de una muestra divide siempre a los datos en dos partes, la
mitad con valores mayores y la otra con valores menores que esta.
k) La moda puede ser utilizada para cualquier tipo de datos y escala.
l) La mediana siempre existe y puede no ser única.
m) El segundo cuartil Q2 equivale al 50 % de los datos y es el valor equivalente a la mediana.
n) Los estadígrafos de dispersión son aquellas medidas que indican la
variabilidad o dispersión de los datos de una distribución alrededor
de un valor central.
75
MATEMÁTICA
ñ) Son medidas de dispersión el recorrido o rango, la desviación media,
la varianza y la desviación típica o estándar.
o) La varianza mide la variabilidad de una muestra y puede tomar cualquier valor real.
p) La desviación típica o estándar mide cuánto se desvían los datos con
respecto a la media, es la de mayor confiabilidad y la más utilizada
por los investigadores
2. Gestiona en CubaEduca y en otras fuentes de información digitales los
contenidos relacionados con la Estadística Descriptiva, e indaga sobre:
a) ¿Por qué consideras importante la estadística? Menciona situaciones
de tu entorno en que sea necesario utilizar la estadística.
b) ¿Qué significado tiene para ti planear y recopilar datos, analizarlos
e interpretarlos? ¿Qué diferencias existe entre estas acciones?
c) ¿Para qué se utiliza la tabla de frecuencias?
d) ¿Qué significa y cómo se interpreta la frecuencia absoluta y la
frecuencia relativa? ¿Qué significa y cómo se interpreta la frecuencia
absoluta acumulada y la frecuencia relativa acumulada?
e) ¿Cuándo se debe utilizar la marca de clase? ¿En qué consiste?
f) ¿Qué entiendes por datos agrupados? ¿Por qué se utilizan?
g) ¿Con qué finalidad se utilizan los gráficos? ¿Qué tipos de gráficos
conoces? ¿Se utilizan de igual forma en todos los casos?
h) ¿Qué diferencia existe entre un estadígrafo de tendencia central, uno
de variabilidad y uno de posición no central? ¿Cuándo es pertinente
utilizar cada uno de los indicadores de tendencia central? ¿El tipo de
variable incide en la pertinencia del estadígrafo? ¿La escala puede
incidir en la pertinencia?
i) ¿Qué es la moda? ¿Cómo se representa y se calcula? ¿Varía el
procedimiento para calcularla según las características de sus datos?
j) ¿Qué es la mediana? ¿Cómo se representa y se calcula? ¿Varía el
procedimiento para calcularla según las características de sus datos?
k) ¿Qué es la media? ¿Cómo se representa y se calcula? ¿Varía el
procedimiento para calcularla según las características de sus datos?
76
CAPÍTULO 2
l) ¿Qué es el percentil? ¿Cómo se representa y se calcula? ¿Cambia la
forma de hallarlo según la forma de sus datos? ¿Qué es un cuartil,
cómo se representa y se calcula? ¿Varía el procedimiento para
calcularlo según las características de sus datos?
m) ¿Qué significa que haya sesgo?
2.1 Elabora un cuadro resumen en el que sistematices los conceptos
y las propiedades de la Estadística Descriptiva: población, muestra,
variable (su clasificación), tipos de escalas (su clasificación), distribución de frecuencias (su clasificación), clase, marca de clase, límite y
amplitud de clase, rango o recorrido de la variable, frecuencia absoluta y relativa y acumulativa, tipos de gráficos y su utilización, medidas de tendencia central, de dispersión y de posición no central.
3. Clasifica cada una de las variables siguientes, según sean cualitativas o
cuantitativas (discretas o continuas) y según la escala de medición, además, determina en cada caso cuál es la población.
a) Cantidad de botellas de refresco envasadas en un día, por la corporación Los Portales S.A.
b) Índice de mortalidad infantil por cada mil nacidos vivos en Cuba el
año pasado.
c) Tipos de defectos observados por día en la producción de accesorios
para computadores DGM.
d) Motivación que sienten los estudiantes de una escuela por el estudio
de la matemática.
e) Respuesta al cliente por cada pedido que se hace por teléfono en
una de las oficinas de Transtur S.A.
f) Cantidad de hojas de papel desechadas por día en una imprenta.
g) Cantidad de pacientes infantiles que asisten a una consulta médica.
h) Nivel de aceptación de cada uno de los clientes del servicio de mantenimiento que ofrecen los trabajadores del taller de reparación de
televisores.
i) Resultados por categorías del test de conocimientos aplicado a los
aspirantes al cargo de inspector de transporte.
77
MATEMÁTICA
j) Cantidad de estudiantes que optan por carreras pedagógicas en un
preuniversitario.
4. Clasifica en tu cuaderno de trabajo las proposiciones o planteamientos
siguientes en verdaderos o falsos y justifica tu respuesta.
a) En una tabla de frecuencias absolutas, si una de las frecuencias se
triplica, la media aritmética del conjunto de datos no variará.
b) Si a cada una de las frecuencias de los intervalos de clase de una tabla
se le agregan dos datos, la moda cambia.
c) Si a cada una de las frecuencias de los intervalos de la clase en una
tabla, le disminuyen dos datos, la mediana no cambia.
d) Si a cada una de las frecuencias de los intervalos de la clase de una
tabla se le adiciona dos, la media aritmética varía.
e) Si a cada uno de los datos de una muestra se le incrementan tres
unidades su desviación típica aumenta en tres unidades.
f) Después de calcular la media de los salarios mensuales en una cooperativa de transporte, el departamento de personal informa que
todos los salarios deben ajustarse multiplicándolos por un factor
igual a 1,10. De acuerdo con lo anterior se puede decir que el salario
promedio de cada trabajador aumentó en 10 pesos.
5. El director de una cooperativa agropecuaria, dedicada a la producción
porcina, desea evaluar las características de las razas que mejor responden a las necesidades del mercado actual en el territorio (municipal,
provincial, nacional o internacional) en el que pretenden insertar a la
empresa y presupuestar su desarrollo acorde con las características que
requieren.
5.1 Investiga sobre las razas que más abundan en nuestro país o tu
territorio, y sus características.
5.2 Identifica en la situación planteada:
a) El problema que se va a estudiar.
b) Los objetivos.
c) Las variables y clasifícalas.
d) Las escalas de medición de las variables identificadas.
78
CAPÍTULO 2
5.3 Elabora el instrumento para recoger la información.
5.4 ¿Cómo codificaría la información para usar una hoja de cálculo?
6. El departamento de planificación del Municipio de Educación en coordinación con el Programa Educa a tu Hijo de un consejo popular o demarcación, tomó una muestra del número de niñas y niños que cumplen
5 años de edad antes de finalizar el mes de diciembre, con el propósito
de estimar la posible matrícula de Preescolar en la escuela primaria de
la circunscripción. Esta arrojó los siguientes resultados por cuadra:
2
0
1
2
1
3
0
2
1
2
1
3
1
0
0
1
0
2
3
0
1
2
2
1
4
3
2
1
0
0
1
1
2
0
1
0
2
1
1
2
2
1
0
1
2
1
1
2
0
1
1
0
2
1
2
1
3
1
1
0
1
0
2
3
0
1
2
2
1
0
1
2
1
0
2
0
1
0
0
1
0
2
2
0
1
1
1
2
1
2
1
2
1
0
a) Determina los indicadores que consideres más pertinentes. Fundamenta el porqué de la selección.
b) Haz una interpretación de la información con base en los indicadores.
7. El gerente de la Empresa CUBACONS aplicó una encuesta de opinión, a
varios clientes, sobre la calidad de atención del servicio, con los siguientes resultados (Donde: 1 es muy insatisfecho, 2 insatisfecho, 3 satisfecho
y 4 muy satisfecho).
1
2
1
2
1
4
4
3
3
3
4
4
4
3
3
3
3
2
2
3
2
2
2
2
3
3
1
3
2
4
2
3
4
3
2
1
1
4
4
3
2
1
3
2
4
1
2
3
1
2
1
2
1
4
4
3
3
3
4
4
4
3
3
3
3
2
2
3
2
2
2
2
3
3
1
3
2
4
2
3
4
3
2
1
1
4
4
3
2
1
3
2
4
3
4
2
1
2
2
3
79
MATEMÁTICA
a) Calcula los indicadores más pertinentes.
b) Elabora el gráfico que consideres más adecuado para esta
información.
c) Haz una interpretación de la información con base en los indicadores.
8. Para incrementar el número de comidas vendidas por el restaurante El
Cochinito se inició un proyecto, para el cual se registraron datos de 50
observaciones sobre la cantidad de almuerzos vendidos por día, cuyos
resultados son:
53
47
75
44
96
51
83
21
56
58
55
92
49
97
39
82
53
32
68
37
58
72
81
57
74
23
85
85
73
80
63
57
37
35
80
81
29
47
80
81
54
67
43
72
81
31
69
57
81
82
a) Utilizando los recursos informáticos que posees, representa en una
tabla de frecuencias la información anterior y elabora el gráfico que
consideres más adecuado para esta información.
b) Calcula los indicadores que consideres más adecuado. Fundamenta
tu selección.
c) Haz una interpretación de la información con base en los indicadores.
9. El director de una prestigiosa institución educativa, desea implementar
una reforma curricular que permita a los egresados de la institución,
un desempeño eficiente en su continuidad de estudio y, que al mismo
tiempo, estimule las capacidades intelectuales de los estudiantes desde
el primer año de entrada a la institución. Para desarrollar el estudio seleccionó una muestra de estudiantes del primer año, a los que les aplicó
una prueba para medir el coeficiente intelectual. La prueba puntúa
entre 12 y 71 puntos (valores enteros) en una escala directamente proporcional. La información sobre la medición del coeficiente intelectual
de los estudiantes se muestra a continuación:
80
CAPÍTULO 2
Tabla 2.12
Intervalo de
clase
Marca de
clase
Frec.
absoluta
Frec.
relativa
Frec.
absoluta
acum.
Frec.
relativa
acum.
(11,5; 21,5]
16
5
0,05
5
0,05
(21,5;31,5]
26
15
0,15
20
0,20
(31,5;41,5]
36
25
0,25
45
0,45
(41,5;51,5]
46
30
0,30
75
0,75
(51,5;61,5]
56
15
0,15
90
0,90
(61,5;71,5]
66
10
0,10
100
1,00
100
1,00
TOTAL
De acuerdo con la información de la tabla, di si estás o no de acuerdo
con las afirmaciones siguientes. Fundamenta en cada una de ellas:
a) El coeficiente intelectual es homogéneo.
b) Para el puntaje del coeficiente intelectual de los estudiantes seleccionados, la mediana sería 41,5, puesto que es el valor que está en la
mitad de los valores desde 11,5 hasta 71,5.
c) La mayoría de estudiantes poseen un coeficiente intelectual entre
41,5 y 51,5 puntos.
(Ver la nota 2 al capítulo 2 en los anexos)
2.2 Probabilidades
¿Cómo predecir las ocurrencias de fenómenos?
Hasta ahora la matemática que has estudiado es adecuada para la descripción causal de fenómenos; este tipo de descripción nos permite conocer con seguridad las consecuencias si se conocen las causas. Por ejemplo:
“si se deja caer una pelota en el aire” podemos asegurar que caerá atraída
por la fuerza de gravedad de la tierra y, si conocemos la altura, podemos
calcular la velocidad con que choca con el suelo.
Además, de los fenómenos que pueden ser modelados mediante una
descripción causal, existen fenómenos para los que no es posible una
81
MATEMÁTICA
descripción de ese tipo en el estado actual de nuestros conocimientos o no
hay recursos para realizar los cálculos que estos requerirían.
En estos casos, se habla de fenómenos sujetos a influjos casuales o
fenómenos aleatorios que se dan en la naturaleza y la sociedad y que pueden ser comprendidos mediante la aplicación de métodos teórico-probabilísticos los que constituyen objeto de estudio en este epígrafe.
Si lanzamos al aire una moneda de
un peso (figura 2.9) esperamos que el
hecho de que muestre hacia arriba la
cara que representa la estrella y el hecho
de que muestre hacia arriba la cara del
escudo sean igualmente probables.
¿Cuál es la probabilidad de que sea
estrella?
Si se lanza una moneda 5 000 veces,
Fig. 2.9
¿deberá resultar la estrella aproximadamente el mismo número de veces
que el escudo? ¿Cuántas veces saldría estrella y cuántas veces escudo?
¿Cómo se expresa la probabilidad de un suceso? ¿Qué relación existe
entre la estadística y las probabilidades? ¿Cuáles son las propiedades que
se cumplen en la probabilidad de ocurrencia de un suceso o fenómeno?
En fenómenos aleatorios o casuales como el comentado anteriormente
no se puede predecir con exactitud qué ocurrirá, aunque se puede esperar
la ocurrencia de un suceso dado, con una frecuencia relativa o probabilidad determinada. Estudiarlos nos permite hacer predicciones con cierto
margen de seguridad, como por ejemplo sobre:
– El tiempo de vida de un equipo eléctrico.
– La esperanza de vida de las personas en una región o país.
– La cantidad de personas que llegan a una estación para abordar un
tren.
– El sexo de un niño antes de formarse el embrión.
La Teoría de las probabilidades proporciona modelos matemáticos
para la descripción de fenómenos sujetos a influjos casuales y tiene como
82
CAPÍTULO 2
objetivo esencial la comprensión matemática de la regularidad de los fenómenos aleatorios. Por su parte la Estadística proporciona sobre la base
de la teoría de las probabilidades métodos mediante los cuales se puede
obtener información de las distintas poblaciones que se van a investigar
utilizando datos muestrales aleatorios sobre la base de datos concretos.
De la historia
La primera vez que la palabra probabilidad aparece en la historia occidental
de las matemáticas es en un comentario, en 1477, sobre la Divina Comedia de
Dante, aunque la mayoría de los historiadores afirman que se originó en una
partida de dados.
El matemático francés Blaise Pascal (1623-1665) (figura 2.10) recibió una carta de su amigo el Chavalier
de Meré, un jugador profesional, quien le preguntó
cómo dividir las apuestas si dos jugadores comenzaban, pero no terminaban un juego constituido por
cinco encuentros en que el triunfador es el que gana
tres de los cinco encuentros.
Los jugadores decidieron dividir las apuestas de
acuerdo con sus probabilidades de ganar el juego.
Fig. 2.10
Pascal compartió el problema con Pierret Fermat
(1601-1665), y juntos lo resolvieron, iniciándose así el
desarrollo de las probabilidades.
Posteriormente el astrónomo y matemático francés
Pierre Simón Laplace (1749-1827) (figura 2.11) entre
sus múltiples trabajos destaca el de la Teoría analítica
de las probabilidades, en 1812.
Fig. 2.11
Las probabilidades son razones expresadas como fracciones decimales
o porcentajes determinadas al considerar los resultados o consecuencias
de experimentos, que se realizan como una actividad cuyos resultados
pueden observarse y registrarse.
83
MATEMÁTICA
Si por ejemplo en 1 000 lanzamientos de una moneda salen 600 estrellas,
600 3
= = 0, 6 lo que se puede inla frecuencia relativa de las estrellas es
1000 5
terpretar como que de cada 5 lanzamientos en 3 sale estrella de ahí que la
probabilidad de que al lanzar la moneda sea estrella es de un 60 %.
Como puedes apreciar el concepto de frecuencia relativa en estadística
está relacionado con el concepto de probabilidad de un suceso aleatorio,
de ahí que en la Teoría de las probabilidades y de la Estadística estén fuertemente ligadas y te encuentres con la definición de Frecuencia relativa
de probabilidad.
En este epígrafe, incursionarás en los llamados sucesos aleatorios, los
cuales son considerados como aquellos que pueden presentarse bajo determinadas condiciones, pero no de forma obligatoria. Por ejemplo:
– Al tirar dos dados la suma de los números es siempre menor e igual
que 12.
– Al escoger una vocal de la palabra “solidaridad” puede ser escogida
una de las tres vocales: a, i, o.
El concepto de probabilidad que estudiarás en este grado es el clásico, que se atribuye a Laplace, el cual se sustenta en el concepto de casos
igualmente posibles, es decir, que no se diferencian en relación con el grado de indeterminación de la ocurrencia en el marco de un experimento
aleatorio, considerado este, como aquel cuyo resultado es incierto en el
marco de distintas posibilidades y se puede repetir un número de veces
arbitrario (al menos mentalmente), manteniendo las mismas condiciones
exteriores. Por ejemplo:
– El lanzamiento de una moneda.
– La tirada única de un dado después de ser agitado en un cubilete.
– La extracción al azar de una muestra de n objetos en una población.
– Toda medición que se realice.
84
CAPÍTULO 2
Definición 2.2
Si un suceso A puede ocurrir en nA casos de n casos posibles e igualmente
probables, se define la probabilidad de A y se denota p(A) al cociente:
p A
nA
n
Ejemplo 2.7
Si se escoge al azar una letra de la palabra “prisma”:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea la letra “s”?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que sea una vocal?
Resolución:
– Primero se determinan los sucesos en correspondencia con lo que se
pide. En este caso se consideran dos sucesos A y B, dados por:
a) Suceso A: escoger la letra “s”.
b) Suceso B: escoger una vocal.
– Luego se identifican los casos posibles (n), para cada uno de los sucesos
A y B. Para ambos sucesos es 6, dado que la palabra “prisma” tiene seis
letras.
– Posteriormente se determinan los casos favorables (nA). En el caso del
suceso A es un caso favorable dado que en la palabra “prisma” aparece
solo una vez la letra “s” y en el caso del suceso B son dos, dado que
existen en la palabra dos vocales.
– Finalmente se sustituye en la fórmula y se calcula la probabilidad del
suceso como se muestra a continuación.
a) n = 6 ; nA = 1 entonces p A
b) n = 6 ; nB = 2 entonces p(B)
nA 1
0,17
n 6
nB 2 1
0, 3
n 6 3
85
MATEMÁTICA
Respuesta:
a) La probabilidad de que se escoja al azar la letra “s” es aproximadamente igual al 17 %.
b) La probabilidad de que se escoja al azar una vocal es aproximadamente igual al 33 %.
Ejemplo 2.8
En una fábrica dedicada a la producción de dispositivos electrónicos, se
realiza al azar un muestreo de calidad. Para realizarlo se seleccionó al azar
una caja con 68 dispositivos electrónicos en la que se detectó la existencia
de 17 defectuosos. ¿Cuál es la probabilidad, de que al extraer aleatoriamente uno de estos dispositivos no sea defectuoso?
Resolución:
Suceso A: extraer un dispositivo no defectuoso.
Casos posibles: n = 68, porque extraer uno cualquiera de estos dispositivos debe ser igualmente posible.
Casos favorables:
=
nA 68
=
– 17 51, porque en la caja hay 17 dispositivos
defectuosos.
Entonces la probabilidad de extraer un dispositivo electrónico no defectuoso es:
p A
nA 51 3
0, 75
n 68 4
Luego, la probabilidad de extraer un dispositivo electrónico no defectuoso es de un 75 %.
El ejemplo anterior, también permite hacer las observaciones siguientes:
– Si los 68 dispositivos de la caja son no defectuosos, entonces
p A
68
1.
68
Este caso A es llamado suceso seguro. Es el que siempre se verifica al
realizar el experimento y su probabilidad es igual a uno.
86
CAPÍTULO 2
– Si los 68 dispositivos de la caja son defectuosos, entonces
p A
0
0.
68
En este caso A es un suceso imposible. Es el que nunca se verifica y su
probabilidad es igual a cero.
Otra manera de resolver el problema del ejemplo 2.8 es determinando
la probabilidad de que al extraer aleatoriamente uno de estos dispositivos
sea defectuoso, en este caso:
Suceso A: extraer un dispositivo no defectuoso.
Casos posibles: n = 68, porque extraer uno cualquiera de estos dispositivos debe ser igualmente posible.
Casos favorables: nA = 17, porque en la caja hay 17 dispositivos defectuosos.
Entonces la probabilidad de extraer un dispositivo electrónico defectuoso es:
p A
nA 17 1
0, 25
n 68 4
Y al sustraer el proceso seguro de que ocurra con el suceso de que no
ocurra tenemos;
1 0, 25 0, 75
Luego, la probabilidad de extraer un dispositivo electrónico no defectuoso es de un 75 %.
Teorema 2.1
La probabilidad satisface las propiedades
a) Para todo suceso A, 0
p A
1.
b) Si A y B son dos sucesos excluyentes (es decir, no pueden ocurrir simultáneamente) entonces: p A o B
c) p no A
1 p A
p A
p B .
.
87
MATEMÁTICA
Demostración
a) Si nA representa los casos favorables y n los casos posibles, se cumple
que:
0 ≤ nA ≤ n luego, 0
demostrar.
nA n
1, significa que 0 p A 1 como se quería
n n
b) Como A y B no pueden ocurrir simultáneamente, si nA es el número de
veces que ocurre A y nB el número de veces que ocurre B, el número de
veces que ocurre A o B es la suma de nA + nB luego:
nA nB nA nB
p A p B
n
n n
c) Si nA es el número de veces que ocurre A, entonces, no ocurre en n − nA
p AoB
casos, luego:
p no A
n nA n nA
1 p A .
n
n n
Este teorema es muy útil para calcular la probabilidad de un suceso.
Ejemplo 2.9
Como parte de las actividades recreativas que se desarrollan en un instituto preuniversitario, los estudiantes realizan diferentes juegos de mesa.
Uno de los juegos utilizados contiene 25 fichas, de las cuales hay 6 de color
rojo, 8 azules y el resto de otros colores. Si se selecciona una ficha al azar,
¿cuál es la probabilidad de que esta sea roja o azul?
Resolución:
Sean los sucesos:
A: seleccionar una ficha azul.
B: seleccionar una ficha roja.
C: seleccionar una ficha que sea roja o azul. En este caso la ocurrencia
de A no depende de la ocurrencia de B (y viceversa), es decir los dos sucesos pueden ocurrir independientemente uno del otro, por tanto la unión
de ellos es el suceso C , es decir:
C = AoB.
88
CAPÍTULO 2
Primera vía de solución:
n = 25 y nC = 14 así: p C
ficha que sea roja o azul.
14
0,56 es la probabilidad de extraer una
25
Segunda vía de solución:
p A
8
0, 32 es la probabilidad de extraer una ficha azul y
25
p B
6
0, 24 , es la probabilidad de extraer una ficha roja
25
De esta forma, p A p B
8
6
0,56 p AoB
25 25
Tercera vía de solución:
no C: Extraer una ficha que no sea ni azul, ni roja.
p no C p C 1 entonces p C 1 – p no C 1
11 14
0,56
25 25
Luego, la probabilidad de seleccionar al azar una ficha roja o azul es
del 56 %.
Ejemplo 2.10
Considera tres urnas (figura 2.12) con la siguiente composición: la urna I
contiene 2 bolas blancas y 4 bolas rojas, la II contiene 1 bola blanca y
3 bolas rojas y Ia urna III contiene 3 bolas blancas y 3 bolas rojas. Una bola
es seleccionada de cada urna. Determina la probabilidad de que:
a) Las tres bolas que se escojan sean
blancas,
b) Se escojan exactamente dos bolas blancas,
c) Al menos una de las tres bolas
sea roja.
Fig. 2.12
89
MATEMÁTICA
Resolución:
Experimento: seleccionar una bola de cada urna.
n 6 4 6 144 posibilidades en total.
a) Suceso A: se seleccionan tres bolas blancas
nA 2 1 3 6, p A
6
1
0, 04.
144 24
Respuesta: la probabilidad de seleccionar las tres bolas del mismo color
es aproximadamente igual a 0,04.
b) Suceso B: se escogen exactamente dos bolas blancas. Para este suceso se
pueden analizar tres casos:
Tabla 2.13
Caso 1
(blanca; blanca; roja)
Caso 2
Caso 3
(blanca; roja; blanca)
(roja; blanca; blanca)
2 3 3 18
4 1 3 12
2 1 3 6
nB 6 18 12 36
p B
36
1
0, 25
144 4
Respuesta: la probabilidad de seleccionar exactamente dos bolas blancas es 0,25.
c) Suceso C: se selecciona al menos una bola roja.
Suceso no C: ninguna bola seleccionada es roja (suceso A)
1 23
0, 96.
24 24
Respuesta: la probabilidad de seleccionar al menos una bola roja es
p C 1 p no C 1
aproximadamente igual a 0,96.
Ejemplo 2.11
Se tienen dos cajas (I y II). En la caja I hay 6 lápices azules y en la caja II
hay 2 lápices azules y 5 lápices rojos. Si se escoge al azar un lápiz de cada
caja. Calcula la probabilidad de los sucesos.
Suceso A: los dos lápices son rojos,
Suceso B: uno de los lápices es rojo y el otro azul,
90
CAPÍTULO 2
Suceso C: los dos lápices son azules,
Suceso D: al menos uno de los lápices es azul.
Resolución:
Caja I: lápices azules: 6 y lápices rojos: 0
Caja II: lápices azules: 2 y lápices rojos: 5
Experimento: extraer un lápiz de cada caja.
Dado que el total de lápices que existen en la caja I es 6, y el total
de lápices que existen en la caja II es 7, para todos los sucesos existen
n = 6 · 7= 42 posibilidades de extraer un lápiz de cada caja.
a) Suceso A: los dos lápices son rojos.
Como en la caja 1 no hay lápices rojos nA = 0 · 5 = 0 p A
0
0
0.
42 42
Respuesta: la probabilidad de seleccionar un lápiz de cada caja y que
los dos lápices sean rojos es 0. Luego, es un suceso imposible de que
ocurra
b) Suceso B: uno de los lápices es rojo y el otro es azul.
Como se extrae un lápiz de cada caja y en la caja I no hay lápices rojos
obligatoriamente el rojo se tiene que extraer de la caja I y el azul de la
30 5
caja II luego, nB = 5 · 6 = 30 por tanto p B
0, 71.
42 7
Respuesta: la probabilidad de seleccionar un lápiz de cada caja y que
estos sean uno rojo y el otro azul es 0,71.
c) Suceso C: los dos lápices son azules.
En este caso como los dos son azules y se extrae un lápiz de cada caja
entonces
nC = 6 · 2 = 12
y
p C
12 2
0, 23.
42 7
Respuesta: la probabilidad de seleccionar un lápiz de cada caja y que
ambos sean azules es 0,23.
d) Suceso D: al menos uno de los lápices es azul entonces
Suceso no D: Ninguno es azul (o sea los dos son rojos).
91
MATEMÁTICA
En este caso no D = A y p(D) = 1 – p(no D) = 1 – 0 = 1. Es decir, extraer al
menos un lápiz azul, es un suceso seguro.
Respuesta: la probabilidad de seleccionar un lápiz de cada caja y que al
menos uno de los lápices sea azul es 1.
Saber más
Las probabilidades y la Estadística constituyen la base de la teoría de colas. Esta
teoría permite analizar y mejorar la eficiencia en el manejo del tiempo de espera
y del uso de recursos. Al modelar los sistemas y predecir comportamientos, se
pueden tomar decisiones para optimizar la espera del cliente y mejorar la productividad. La teoría de colas utiliza modelos que se basan en procesos aleatorios. Esto implica que tanto las llegadas de clientes como los tiempos de servicio
son variables aleatorias, en el que las distribuciones de probabilidad juegan un
papel crucial.
Constituye un marco poderoso para analizar y optimizar sistemas en los que
ocurre la espera. Al aplicar métodos estadísticos y probabilísticos, permiten predecir comportamientos futuros y tomar decisiones sobre cómo mejorar la eficiencia del servicio.
Ejemplo 2.12
En una caja se encuentran diez breakers entre los cuales hay 4 de
40 amperes. Se extraen sucesivamente dos breakers no reponiéndose el
tomado al inicio antes de haber extraído el segundo. Cada breaker tiene
la misma probabilidad de ser tomado. Calcula la probabilidad de que los
breakers extraídos tengan un amperaje diferente de 40.
Resolución:
Suceso A: extraer dos breakers con amperaje diferente a 40.
En este caso se analizan dos subprocesos:
A1: extraer un breaker con amperaje diferente a 40 la primera vez.
A2: extraer un breaker con amperaje diferente a 40 la segunda vez.
Si son 10 breakers y 4 son de 40 amperes, entonces 6 tienen un amperaje diferente de 40.
92
CAPÍTULO 2
Utilizando la definición clásica de probabilidad se obtiene que:
6 3
n = 10 y nA = 6 luego p(A=
) =
1
1
10 5
5
n = 9 y nA = 5 luego p(A2) =
(es 9 y 5 dado que ya fue extraído la
2
9
primera vez un breaker).
Atención
Si A y B son dos sucesos independientes, p A y B
p A p B
Por tanto, para determinar la probabilidad de que los dos breakers extraídos tengan amperaje diferente de 40 basta determinar
p(A)
3 5 15 1
.
5 9 45 3
Respuesta: La probabilidad de que los Breakers extraídos tengan un
1
amperaje diferente de 40 es .
3
Conéctate
Accede al sitio:
Inicio a la combinatoria. Formas de conteo. Resuelve los ejercicios que aparecen.
https://curricular.cubaeduca.cu/education/category?id=2758&type=theme
Ejercicios del epígrafe 2.2
1. Al lanzar un dado (homogéneo), ¿cuál es la probabilidad de obtener
una cara que tenga tres puntos?
2. ¿Cuál es la probabilidad de que se muestre una cara que tenga dos o
tres puntos con el lanzamiento de un dado (homogéneo)?
3. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar dos dados (homogéneos) la
suma de los puntos sea 14?
4. En un grupo de 35 estudiantes de 12.o grado en el cual todos optan
por carreras universitarias, hay 14 que optan por Ciencias médicas. Si
se selecciona un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que
opte por otras carreras?
93
MATEMÁTICA
5. Se tiene un juego de dominó de 28 fichas (desde el doble blanco hasta
el doble seis). ¿Qué probabilidad hay de que al escoger una ficha haya
en esta exactamente cuatro puntos?
6. En una caja hay 30 tornillos de los cuales 6 están oxidados. Si se extrae
un tornillo al azar ¿cuál es la probabilidad de que no esté oxidado?
7. Si se escoge al azar una letra de la palabra “humanismo” ¿cuál es la
probabilidad de que sea la letra “s”? ¿Cuál es la probabilidad de que
sea una vocal?
8. Se lanzan dos dados (homogéneos), ¿cuál es la probabilidad de que la
suma de los puntos sea 7?
9. Se lanzan dos dados (homogéneos), uno es rojo y otro es blanco.
Calcula la probabilidad de que el dado rojo muestre un número mayor que el dado blanco.
10. Calcula la probabilidad de que al lanzar dos dados (homogéneos), se
obtenga el número cinco en la primera tirada y sea un número par en
la segunda tirada.
11. Calcula la probabilidad de obtener “estrella y un número mayor que
4” al lanzar una moneda y un dado (homogéneo).
12. Se lanzan dos dados (homogéneos), calcula la probabilidad de que la
suma de los puntos obtenidos:
a) Sea mayor que 9.
b) Sea múltiplo de 3.
13. Calcula la probabilidad de que al lanzar un dado (homogéneo) se
obtenga un número múltiplo de 7.
14. Al lanzar tres dados (homogéneos), ¿Qué es más probable; obtener
en total diez puntos o alcanzar solo nueve puntos?
15. Se tiene una urna que contiene 4 bolas blancas, 5 azules y 1 roja.
Calcula la probabilidad de que al seleccionar al azar 3 bolas sean:
a) Las tres del mismo color.
b) Dos sean blancas y la otra azul o roja.
c) Una de cada color.
94
CAPÍTULO 2
16. Un examen clínico tiene una sensibilidad del 95 % (detecta correctamente a los enfermos) y una especificidad del 95 % (identifica correctamente a los sanos).
a) Si una persona está enferma, ¿cuál es la probabilidad de que el
examen sea positivo?
b) Si la prevalencia de la enfermedad en la población es del 2 %, ¿cuál
es la probabilidad de que un paciente sano obtenga un resultado
positivo (falso positivo)?
17. En una ciudad, la probabilidad de lluvia en un día cualquiera es del 30 %.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que llueva hoy?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que no llueva ni hoy ni mañana?
18. En la tabla 2.14 se registró las alturas en centímetros de 50 plantas y
se agruparon en intervalos de clases:
a) Determina la altura media aproximada
de las plantas.
Tabla 2.14
Clases
Plantas
[10; 20)
8
b) ¿Cuál es la probabilidad de que al es-
[20; 30)
15
coger al azar una de las plantas, esta
[30;40)
20
tenga una altura de [30;40) cm?
[40; 50)
7
2.3 Combinatoria
Con frecuencia realizas operaciones básicas de conteo y acciones en las
que tienes que organizar, seleccionar y combinar elementos de conjuntos
para lo cual los colocas en correspondencia con la sucesión de los números
naturales.
Por ejemplo, para conformar y asignar el número de identidad de los
ciudadanos, los códigos de las tarjetas de recarga de la telefonía móvil o
de una cuenta bancaria, entre otros casos, se necesitan de técnicas mucho
más elaboradas. ¿Cómo determinar la cantidad de combinaciones posibles
de 8 dígitos, para formar los números de los celulares de los usuarios en
Cuba?
95
MATEMÁTICA
En este epígrafe estudiarás algunas técnicas
de conteo que corresponden a una rama de las
matemáticas que se conoce como Teoría combinatoria, y que son muy útiles en la resolución de diversos problemas en los que son necesarios ordenar de
formas diferentes los elementos de un conjunto o
seleccionar de diferentes formas un subconjunto de
elementos de un conjunto mayor. Incluye entre sus
temas, además, el Principio de inclusión-exclusión,
grafos y redes, sobre los cuales conocerás en tus estudios superiores.
Fig. 2.13
De la historia
El análisis combinatorio desde su propio origen está estrechamente vinculado con la teoría de las probabilidades. Esto puede afirmarse ya que, tanto Pierre Fermat
(1601-1665) como Blas Pascal (1623-1662) al intentar resolver ciertos problemas relacionados con los juegos al
azar se vieron obligados a analizar y numerar las combinaciones que brindaban los datos de estos problemas.
Más como disciplina científica la Teoría combinatoria
aparece por primera vez en los trabajos de G.W. Leibniz
Fig. 2.14
(figura 2.14) en su obra Razonamientos sobre el arte
combinatorio.
Principios básicos de la teoría combinatoria
¿De qué forma optimizar recursos en la vida?
Existen variadas técnicas de conteo que permiten dar solución a situaciones, en las cuales es necesario determinar primero los conjuntos que se
van a tener presente en el conteo.
96
CAPÍTULO 2
Ejemplo 2.13
Suponiendo que tienes que registrar en una tabla de frecuencia el grupo sanguíneo (GS) de las personas que ingresan en una instalación de salud. ¿Cuántas características de la variable GS debes identificar en la tabla
de frecuencia?
Resolución:
En este caso es necesario tener en cuenta que el GS se identifica primero por la presencia o no, de los tipos de aglutinógenos y sus combinaciones (A, B, AB y O) y en segundo lugar la presencia o no del factor RH,
positivo (+) o negativo (−). Podemos modelar la situación en un diagrama
como el de la figura 2.15.
Fig. 2.15
Recuerda que...
Este tipo de diagrama recibe el nombre de diagrama de árbol, porque cada
punto se ramifica de la misma forma que lo hace un árbol. Es muy utilizado en
la programación y para modelar procesos.
En este diagrama cada flecha representa la clasificación de un grupo
sanguíneo a partir de los tipos de aglutinógenos y sus combinaciones. Para
completar la clasificación es necesario seleccionar dos flechas sucesivas;
en el diagrama se aprecia que hay tantos grupos sanguíneos como flechas entre los aglutinógenos y el factor RH, es decir existen ocho grupos
97
MATEMÁTICA
sanguíneos, luego en la tabla de frecuencia la variable debe tener los valores siguientes:
A , A , B , B , AB , AB , O y O .
Observa que en la situación ocurren dos sucesos, uno después de otro,
y el total de clasificaciones se obtuvo multiplicando 4 ∙ 2 = 8
Este resultado se fundamenta en el principio de multiplicación o principio fundamental de conteo.
Teorema 2.2 (Principio de multiplicación)
Si un suceso cualquiera puede ocurrir de n maneras diferentes y, después
que ha ocurrido de una cualquiera de esas maneras, un segundo suceso
puede ocurrir de p maneras diferentes, entonces los dos sucesos, en ese
orden, pueden ocurrir de n ∙ p maneras.
¿Sabías que...?
El teorema anterior recibe el nombre de principio de multiplicación pues afirma que si dos sucesos ocurren uno después del otro, el total de formas en que
pueden ocurrir se obtiene multiplicando el número de formas del primero por el
número de formas del segundo.
Ejemplo 2.14
Para viajar del municipio Pinar del Río hasta la ciudad de Santiago de
Cuba, con escala en La Habana, existen 11 salidas de ómnibus en diferentes horarios. El viaje desde La Habana hasta al destino final, se puede
hacer por dos vías, en un ómnibus con ruta La Habana-Santiago de Cuba
o La Habana-Guantánamo. ¿De cuántas formas diferentes se puede llegar
del municipio Pinar del Río a la ciudad de Santiago de Cuba?
Resolución:
El primer suceso es la selección de una de las 11 salidas de ómnibus de
Pinar del Río a La Habana y el segundo la selección de una de las dos rutas
posibles hacia Santiago (La Habana-Santiago o La Habana-Guantánamo).
98
CAPÍTULO 2
En total se puede llegar de 11 ∙ 2 = 22 formas diferentes, según los
horarios establecidos.
Ejemplo 2.15
En un cruzamiento entre dos plantas de guisantes de semillas amarillas
y de textura lisa Aa, se obtuvo en la descendencia, individuos de diferentes
fenotipos.
a) ¿Cuántas combinaciones se obtuvieron en los genotipos de los
descendientes?
b) Si el carácter dominante (semillas amarillas) está determinado por el
alelo dominante A, ¿cuál es la probabilidad de que se manifieste el
carácter dominante en la descendencia?
Resolución:
a) El primer suceso es la separación de los
progenitores
Aa
dos genes alelos de los progenitores, y el
Aa
x
segundo es la combinación de los alelos
a
A
A
de un progenitor, con los del otro. Se ob-
a
tuvieron 2 ∙ 2 = 4 genotipos de tres comAA
Aa
Aa
aa
Genotipos descendientes
Fig. 2.16
binaciones en los descendientes
(AA o Aa o aa)
1 1 3
4 2 4
dado que la ocurrencia de los sucesos
b) p AA o 2 Aa p AA 2 p Aa
AA o Aa son mutuamente excluyentes.
3
Luego, p A .
4
En la práctica no se requiere usar siempre los diagramas de árbol, sin
embargo, constituyen un recurso esencial para comprender problemas de
mayor nivel de complejidad.
Para aplicar el Teorema 2.2 no es necesario que los sucesos se continúen
en el tiempo; lo esencial es que se distinga cuál es el primero y cuál es el
segundo.
99
MATEMÁTICA
Ejemplo 2.16
¿Cuántas sílabas de dos letras, que comienzan por una consonante,
existen en el idioma español?
Resolución:
Este es un caso en que el conteo directo se hace más difícil por el número de posibilidades. El primer suceso es la selección de la primera letra (una
consonante) y el segundo la selección de la segunda letra (una vocal).
Como en el español hay 22 consonantes, el primer suceso puede ocurrir
de 22 formas y como hay 5 vocales, el segundo puede ocurrir de 5 formas.
Entonces en total se pueden obtener 22 ∙ 5 = 110 sílabas.
El principio de multiplicación puede extenderse también a más de dos
sucesos.
Ejemplo 2.17
¿Cuántos números de cuatro cifras son múltiplos de dos?
Resolución:
En este caso tenemos cuatro sucesos. Consideremos las cifras de izquierda a derecha.
• Primero seleccionar las cifras de la unidad de millar: puede ocurrir
9 veces porque no puede ser cero.
• Segundo seleccionar las cifras de las centenas: puede ocurrir 10 veces.
• Tercero en seleccionar las cifras de las decenas: puede ocurrir 10 veces
• Cuarto seleccionar las cifras de las unidades: puede ocurrir cinco veces,
porque los múltiplos de dos terminan en 0; 2; 4; 6 y 8.
Luego, aplicando el principio de multiplicación encontramos que existen:
9 10 10 5 4 500, números de cuatro cifras que son múltiplos de dos.
Reflexiona
¿Cuántos teléfonos celulares, que inician con el número 52 pueden existir en
Cuba?
100
CAPÍTULO 2
Existen otros problemas de conteo, para lo cual se requieren otros recursos o procedimientos, como los diagramas conjuntistas.
Ejemplo 2.18
En una jornada científica, de los 30 estudiantes de un grupo 16 se presentan con un proyecto de Historia de la localidad (H); 14, en Ciencias
para todos (C); y 16, con resultados de la Tarea Vida (V). Si 3 estudiantes
participaron en los tres resultados, 8 en Ciencias para todos y la Tarea Vida,
3 solamente en la tarea Vida y 4 solamente en Historia de la localidad.
a) ¿Cuántos estudiantes participaron en los proyectos de Historia de la
localidad y de Ciencias para todos?
b) ¿Cuántos participaron solamente en Ciencia para Todos?
c) ¿Cuántos no presentaron resultados en ninguno de los tres proyectos?
Resolución:
Denotemos por H el conjunto de los que se presentaron por el proyecto
de Historia de la localidad, por C a los del proyecto de Ciencias para todos
y por V a los de la Tarea Vida. La figura 2.17 recoge los datos de la situación que se analiza.
Total de estudiantes del grupo: 30
Presentados en H: 16
Presentados en C: 14
Presentados en V: 16
Presentados en C y V: 8
Presentación solo en V: 3
Presentaron solo en C: 2
Presentados en los tres proyectos: 3
Fig. 2.17
101
MATEMÁTICA
Recuerda que...
Para completar el diagrama es recomendable empezar de adentro hacia afuera,
es decir, por los elementos que pertenecen a un mayor número de conjuntos.
a) Participaron en los proyectos de Historia de la localidad y de Ciencias
para todos, 4 estudiantes.
b) Participaron solamente en los proyectos de Tarea Vida 3 estudiantes.
c) No presentaron resultados en ninguno de los tres proyectos, 4 estudiantes.
Este problema también se puede resolver por el llamado Principio de
las inclusiones y exclusiones y se recoge en el teorema siguiente, que no
vamos a demostrar.
Teorema 2.3 (Principio de las inclusiones y exclusiones)
Para cualquier sistema de n conjuntos A1 , A2 , …, An se cumple:
# A1
A2
An
# A1 # A2
# A1
A2
# An
# A1
A3
# An 2
A2
# A1
An 1
# An 1
A3
An
1
n 1
# A1
An
A2
A3
El principio de las inclusiones y exclusiones es muy utilizado cuando
en el problema de conteo intervienen una cantidad de considerable de
conjuntos o cuando la cantidad de elementos que tienen no se pueden
determinar con facilidad. Analicemos un ejemplo sencillo que ilustre cómo
se pudiera aplicar este principio.
Ejemplo 2.19
En una encuesta realizada a un grupo de estudiantes de un grupo de
duodécimo grado sobre las plataformas digitales que utilizaron el fin de
semana pasado. Los resultados indicaron que 22 estudiantes utilizaron
WhatsApp (W), 15 Telegram (T) y 13 Facebook (F). 5 estudiantes utilizaron
estas tres plataformas digitales, 3 utilizaron solo WhatsApp y Facebook,
4 solamente Facebook y 3 solamente Telegram.
102
CAPÍTULO 2
a) ¿Cuántos estudiantes del grupo utilizaron solo Telegram y WhatsApp?
b) ¿Cuántos estudiantes utilizaron solamente WhatsApp?
c) ¿Cuántos estudiantes tiene el grupo si dos de ellos utilizaron otras
plataformas digitales (O)?
d) ¿Cuál es la probabilidad de que al seleccionar al azar un estudiante
entre los que utilizaron algunas de estas tres plataformas digitales, este
haya utilizado solo una de ellas?
Resolución:
M
En la figura 2.18 a están los daRepresentamos por W c el con-
3
4
junto de elementos que no pertenecen a W y por #W : la cantidad de
W
F
tos conocidos.
5
O
3
elementos de W .
T
Fig. 2.18 a
a) # F T W c # F 4 5 3 13 12 1
Es decir, un estudiante del grupo utilizó solo Telegram y WhatsApp.
b) # F T W c # T 3 1 5 15 9 6
# T W F c #W 3 6 5 22 14 8
Es decir, 8 estudiantes del grupo utilizaron solamente WhatsApp.
c) # M # F W T O # F #W # T # O
# F W # F T # F O # W T # W O # T O
# F W T # F W O # F T O # W T O
# M 13 22 15 2 8 6 0 11 0 0 5 0 0 0
# M # F W T O 52 25 5 52 20 32
El grupo tiene 32 estudiantes.
103
MATEMÁTICA
d) En la figura 2.18 b se han refle-
M
jado los resultados obtenidos en
4
analicemos:
un estudiante entre los que uti-
8
3
Para determinar la probabilidad
Experimento: seleccionar al azar
W
F
los tres incisos anteriores.
5
6
1
O
2
3
T
lizaron algunas de estas tres plataformas digitales (A).
Fig. 2.18 b
n : Casos posibles n # M # O 32 2 30
nA : Casos favorables nA # T F c W c # W F c T c # F F c W c
n 3 8 4 15
p A
nA
15
, p A
0 ,5
30
n
Finalmente, la probabilidad de que al seleccionar al azar un estudiante entre los que utilizaron algunas de las plataformas digitales, WhatsApp,
Facebook o Telegram; este haya utilizado solo una de ellas es de un 50 %.
Variación y combinación
Existen algunos casos de problemas de conteo para cuya solución no
son suficientes los recursos de la Teoría combinatoria tratados anteriormente, estos exigen tener una mayor claridad de lo que se quiere o aspira,
conocer cuáles son las condiciones con las que se cuenta para lograr tales
aspiraciones o tomar decisiones en diferentes contextos, estos pueden ser
en el plano político- económico-social, en las investigaciones científicas
para el desarrollo de las ciencias e incluso en el plano personal.
Un momento decisivo para la toma de decisiones en la definición de tu
proyecto de vida, está relacionado con la selección de tu futura profesión, al llenar la boleta para el otorgamiento de plazas (figura 2.19).
Has pensado:
104
CAPÍTULO 2
¿De cuántas formas diferentes pueden quedar ordenadas las diez
opciones de carreras universitarias, si tienes la posibilidad de escoger
de entre 23 ofertas?
¿Tiene alguna importancia el orden en que finalmente quedan
dispuestas las opciones de carreras seleccionadas?
Supongamos que las cinco especialidades que más te atraen para continuar estudios universitarios son Matemática (M); Física (F); Biología (B),
Microbiología (Mcr) y Bioquímica (Bq). Al intentar llenar la boleta de ingreso, ocurre que cuando escribes la tercera o cuarta opción, la indecisión
te lleva a plantear otra variante de selección.
Fig. 2.19
Fig. 2.20
El diagrama de árbol de la figura 2.20, indica todas las posibles variantes que te han quedado en cada uno de los intentos.
Como en una boleta no se pueden repetir las especialidades, para contarlas apliquemos el principio de multiplicación.
La primera especialidad se puede escoger 5 veces, la segunda 4 veces
(no se puede repetir la primera especialidad), y la tercera de tres formas
(no se pueden repetir ninguna de las dos anteriores).
105
MATEMÁTICA
Es decir, puedes haber llegado a realizar 5 ∙ 4 ∙ 3 = 60 variantes diferentes de llenar las boletas, solo planteando 3 de 5 especialidades posibles.
En este caso se pone de manifiesto una variación de un suceso sin
repetición.
Definición 2.3
Se llaman variaciones (sin repetición) de n objetos tomados p a p , a todas
las posibles ordenaciones de p objetos tomados de los n.
Ejemplo 2.20
Entre las tradiciones populares de Cuba, que caracterizan a la región
central del país, se identifican las Parrandas, que son Patrimonio Cultural
de la Humanidad desde 2018. Si en un encuentro regional participan los
Jutíos y los Nañacos, los Sapos y los Chivos, el Carmen y el Salvador, el Gallo
y el Gavilán, el Bando Rojo y el Bando Azul. ¿Cuántas variaciones tomadas
2 a 2 se pueden hacer con las 5 parejas de barrios o bandos para organizar
una competencia?
Resolución:
Como son 5 parejas: 5 · 4 = 20 formas diferentes.
En los casos en que n = p hablamos de permutaciones de orden n.
Teorema 2.4
El número de permutaciones de orden n se denota Pn y se calcula con la
fórmula
Pn
n n 1
n 2
2 1
Demostración
Procedemos por inducción completa en n: para n = 2
P2 2 2 1 es cierta pues solo existen dos permutaciones a1a2 y a2 a1.
Supongamos que es cierta para n = k, o sea Pk k k 1 2 1.
106
CAPÍTULO 2
Para formar las permutaciones
de orden k+1 podemos proceder
como se ilustra en la figura 2.21, seleccionar uno cualquiera de los k+1
elementos y después para cada selección, escoger una permutación de
orden k. Entonces según el principio
de multiplicación
Pk 1 k 1 k k 1 k k 1 k 2 1
Como se quería:
Pn n n 1 n 2 2 1
Fig. 2.21
Reflexiona
Si al concluir el encuentro regional de parrandas, se ubican en una tabla de posiciones las preferencias del público por cada uno de los diez barrios o bandos,
¿De cuántas formas diferentes se pueden ordenar?
Ejemplo 2.21
En la liga élite de béisbol realizada en 2025 en Cuba, participan los seis
mejores equipos, de entre los que representan a cada provincia y al municipio especial Isla de la Juventud.
¿De cuántas formas diferentes pudo quedar ordenada la tabla de
posiciones al concluir la liga si no hubo empates?
Resolución:
Cada posición final es una permutación de los seis equipos, por tanto,
en total pueden existir; P6 6 5 4 3 2 1 720 .
Respuesta: la tabla de posición al concluir la liga élite pudo quedar ordenada de 720 formas diferentes.
107
MATEMÁTICA
El número n n 1 2 1 de permutaciones, aparece con frecuencia
en otras formas de ordenamiento o selección de elementos de un conjunto, por lo que se hace conveniente definir una notación.
Definición 2.4
Se llama factorial de un número n y se denota n! al número
n! n n 1
2 1
En general se cumple que:
Teorema 2.5
n
El número de variaciones de n objetos tomados p a p se denota Vp y se
n
calcula mediante la fórmula Vp
n n 1
n 2
Utilizando factoriales se puede escribir como: Vpn
n p 1.
n!
n p!
En efecto se cumple que
Vpn n n 1 n p 1
n n 1 n p 1 n p n p 1 ... 2 1
n p n p 1 ... 2 1
n!
n p !
Para dar generalidad a esta fórmula es necesario que se incluya el caso
n
n = p, en este caso Vp=
P=
n! y debe ser n p ! 1, esta es una de las
n
razones por las que se define que 0! = 1.
En general se tiene que la permutación es un caso particular de la
variación.
Ejemplo 2.22
Si se quisiera decidir sobre los tres primeros lugares del encuentro entre
barrios y bandos de parrandas del ejemplo 2.20 ¿De cuántas formas puede
hacerse?
Resolución:
Se trata de formar grupos de tres en los cuales el orden juega un papel
muy esencial. Pues no es lo mismo que los primeros lugares los ocupen
108
CAPÍTULO 2
Nañacos, Sapos y Bando Rojo, que Sapos, El Carmen y Jutíos o cualquiera
de las otras variaciones encontradas.
El hecho de que el orden sea esencial, nos indica que son variaciones,
luego se trata de calcular las variaciones de 10 elementos tomados 3 a 3.
Empecemos en 10 y tomemos tres factores decrecientes sucesivos.
Vpn
n!
10! 10 9 8 7!
720
7!
n p ! 7!
Respuesta: existen 720 formas diferentes de obtener los tres primeros
lugares.
Ejemplo 2.23
a) ¿De cuántas formas diferentes pueden distribuirse en los días de la
semana los cumpleaños de cuatro personas, de modo que no haya
coincidencias?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que en un grupo de cuatro personas haya
al menos dos que nacieran el mismo día de la semana?
Resolución:
a) Se trata de distribuir los 7 días de la semana en 4 grupos en los que el
orden es esencial, ya que no es lo mismo que el lunes sea el cumpleaños
de Alejandro a que sea el de José. Esto significa que hay que contar las
variaciones (sin repetición) de 7 elementos tomados cuatro a cuatro.
V47
7! 7 6 5 4 3 2 1
7 6 5 4 840
3!
3 2 1
Respuesta: los cumpleaños de cuatro personas pueden distribuirse en
los días de la semana los, de modo que no haya coincidencias de 840
maneras diferentes.
b) En este caso se trata de calcular la probabilidad de que al menos dos
cumpleaños coincidan; es más simple calcular la probabilidad de que no
coincidan y aplicar el teorema 2.1.
109
MATEMÁTICA
Calculamos la probabilidad de que no coincidan. El número de casos
favorables es el calculado en el inciso a, nA = 840.
Calculemos el número de casos posibles: el primer cumpleaños puede
ocurrir cualquier día de la semana, es decir, de 7 formas; para cada una de
estas formas cada uno puede ocurrir de 7 formas y así sucesivamente.
Luego, según el principio de multiplicación n 7 7 7 7 2 401
P (no coincidencia)
=
840
= 0, 35
2 401
Luego, si A es el suceso que consiste en que al menos dos coincidan
p A 1 p no A 1 0, 35 0, 65
Respuesta: la probabilidad de que en un grupo de cuatro personas haya
al menos dos que nacieran el mismo día de la semana es de un 65 %.
Existen diversidad de situaciones tales como seleccionar un equipo de
personas, elegir cartas de una baraja o formar subconjuntos específicos de
objetos, en los cuales el orden en que se elijan no es relevante, en tales
casos únicamente interesa que los elementos formen parte del subconjunto. Para los problemas de conteo con tales características resulta que las
llamadas combinaciones son una herramienta fundamental.
Definición 2.5
Se llama combinaciones de n objetos tomados p a p, a todos los subconjuntos de p elementos que se pueden tomar con los n elementos.
Ejemplo 2.24
En un IPU hay 5 sociedades científicas (SC) que investigan sobre temas
de la Tarea Vida ¿De cuántas maneras se pueden seleccionar tres cualesquiera de ellas para que participen en un evento científico auspiciado por
el CITMA en el Consejo Popular?
Resolución:
En la figura 2.22 se indica cómo formar las combinaciones.
110
CAPÍTULO 2
Fig. 2.22
Para contarlas debemos observar que, con cada tres SC diferentes, se
forma una sola combinación, en lugar de 3! = 6 variaciones diferentes que
se forman con ellas, luego el total será
V35 5! 5 4 3!
10
3! 3!
3!
Respuesta: las tres SC que participarían en el evento del CITMA, se
pueden seleccionar de 10 formas diferentes.
Atención
Las combinaciones se diferencian de las variaciones en el hecho de que se forman
subconjuntos en los que el orden no influye en los resultados de la selección.
El principio aplicado en el ejemplo 2.23 se cumple en general.
Teorema 2.6
El número de combinaciones o coeficiente binomial de n elementos toman
n
n!
y se calcula con la fórmula
.
dos p a p se denota C pn o
p
n p ! p!
p
111
MATEMÁTICA
Demostración
Para demostrar este teorema basta observar que cada p! variación da
lugar a una sola combinación, pues no importa el orden, luego,
n
n Vp
n!
p p! n p !p!
Ejemplo 2.25
De un grupo de diez miembros del ejecutivo de la FEEM de un IPVCE,
hay que seleccionar 3 delegados a la asamblea Municipal. ¿De cuántas
formas pueden elegirse?
Resolución:
Como en este caso no importa el orden, se trata de combinaciones:
C 310
10!
10 9 8 7!
5 3 8 120
7! 3!
7! 3 2
Respuesta: los delegados a la asamblea municipal de la FEEM se pueden
seleccionar de 120 formas diferentes.
Ejemplo 2.26
Un proyecto sociocultural que promueve el conocimiento de las tradiciones culturales está integrado por 6 hembras y 4 varones. Se selecciona al
azar a dos de sus miembros para que presenten sus resultados en un evento comunitario. ¿Cuál es la probabilidad de que se escojan dos hembras?
Resolución:
En esta oportunidad los casos favorables son los que consisten en que
los dos miembros seleccionados sean hembras y el total de casos posibles
son todas las formas de extraer dos hembras.
Como no se marca el orden de extracción (las dos personas son las mismas, cualquiera sea el orden en que se sacaron), se trata de combinaciones
10!
10 9
45
y la cantidad de casos posibles es: n C 810
8! 2!
2
Los casos favorables son los que consisten en extraer dos hembras
(suceso A) de nuevo no interesa el orden y como son 4.
112
CAPÍTULO 2
nA C 24
4!
4 3 2
6
2! 2!
4
luego p A
C 24
6
2
0,13
10
C2
45 15
Respuesta: la probabilidad de que se escojan tres hembras es de 13 %.
Aplica tus conocimientos
1. Entre los números naturales del 1 al 1 000 hay 500 que son divisibles por
2; 333 que los son por 3 y 166 divisibles por 6. ¿Cuántos números entre 1 y
1 000 son impares y múltiplos de 3?
2. Si se selecciona al azar un número de tres cifras. ¿Cuál es la probabilidad de
que la suma de sus dígitos sea 4?
3. Del ejemplo 2.25 calcula:
a) La probabilidad de que se seleccionen dos varones.
b) La probabilidad de que se seleccione una hembra y un varón.
Conéctate
Accede al sitio: https://curricular.cubaeduca.cu/education/category?id=2802&type=content-manager a la lección Ejercicios sobre técnicas de conteo y realiza
los ejercicios que aparecen.
Ejercicios del epígrafe 2.3
Principios básicos de la teoría combinatoria
1. ¿Cuántos números de tres cifras son múltiplos de 5?
2. De la ciudad A hasta la B conducen cinco caminos, y de la ciudad B a la
C tres. ¿Cuántos caminos que pasan por B conducen desde A hasta C?
3. ¿De cuántos modos se pueden escoger una vocal y una consonante de
la palabra número?
4. A la cima de una montaña conducen 5 caminos. ¿De cuántas maneras
puede subir un turista y descender de ella utilizando esos caminos? ¿Y
si el ascenso y el descenso tienen lugar por caminos diferentes?
113
MATEMÁTICA
5. En una reunión de 18 personas todas se saludan entre sí y ningún par
de personas se saluda más de una vez. ¿Cuántos saludos de mano se
dan?
6. En una tienda de ropa hay camisas para hombres en 4 tallas diferentes, y en tres colores distintos cada talla. ¿Cuántos tipos diferentes de
camisa hay en la tienda?
7. De entre 3 ejemplares de un texto de Algebra, 7 de Geometría y 7 de
Trigonometría hay que escoger un ejemplar de cada texto. ¿Cuántos
modos de hacerlo existen?
8. Hay 6 pares de guantes de distintas medidas. ¿De cuántas maneras se
pueden escoger entre ellos un guante de la mano izquierda y otro de
la mano derecha, de forma que estos sean de distintas medidas?
9. Se forman signos que consisten en una figura geométrica (circunferencia, cuadrado, triangulo o hexágono), una letra y una cifra.
¿Cuántos signos de este tipo pueden formarse?
10. Dados los conjuntos A a; b; c , B 1; 2 y C p; q . Determina cuán-
tas ternas ordenadas (x; y; z) pueden formarse tales que x ∈ A, y ∈ B,
z ∈C.
11. ¿De cuántas maneras diferentes pueden escribirse las letras ABCD,
una detrás de la otra y sin repetir ninguna?
12. Un niño tiene un juego de figuras plásticas. Cada figura es de uno
de los tres colores (azul, rojo, blanco); uno de los tamaños (pequeño,
mediano, grande) y de una de las cuatro formas (cuadrada, redonda,
triangular, ovalada) el juego tiene una figura de cada uno de los tipos
posibles.
a) ¿De cuántas figuras consta el juego?
b) ¿Cuántas figuras triangulares hay?
c) ¿Cuántas figuras no son ovaladas?
d) ¿Cuántas figuras azules tiene el juego?
e) ¿Cuántas figuras difieren de la figura triangular roja grande en
exactamente dos características?
114
CAPÍTULO 2
13. ¿Cuántos números de dos dígitos pueden formarse con las cifras 1; 2;
3; 4; 5; 6 y 7? ¿Cuántos de ellos tienen sus dos cifras diferentes?
14. ¿Cuántos números de tres dígitos pueden formarse con las cifras del
número 24 356? ¿Cuántas de ellas son pares?
15. ¿Cuántos números de tres cifras pueden formarse que son múltiplo
de 2?
16. Determina la cantidad de números impares que tienen tres cifras y
son menores que 500.
17. ¿Cuántos números de cuatro cifras existen?
18. ¿Cuántos números naturales de cuatro cifras existen que no contiene
la cifra 7?
19. ¿Cuántos de los primeros 1 000 números enteros positivos tienen todas
sus cifras diferentes?
20. ¿Cuántos números naturales mayores que 53 000 tienen las dos propiedades siguientes?
I. Todos sus dígitos son diferentes.
II. Entre sus dígitos no están ni el 0 ni el 9.
21. ¿De cuántas formas se puede indicar en un tablero de ajedrez dos
casillas, una blanca y otra negra?
22. ¿De cuántas formas se puede escoger en un tablero de ajedrez, un
cuadro blanco y uno negro de manera que no estén ni en la misma
fila ni en la misma columna?
23. Al transmitir informaciones por telégrafo se utiliza el código Morse.
En este código, las letras, las cifras y los signos de puntuación se representan por puntos y rayas.
Por ejemplo, la letra E se representa por un punto (.) y la letra L por
tres puntos y una raya (...-). Empleando hasta cinco signos ¿cuántas
letras pueden codificarse?
24. ¿Cuántos números naturales existen entre 10 y 96, ambos inclusive?
¿Y entre 158 y 2 030? ¿Y entre los números naturales a y b con a < b?
115
MATEMÁTICA
25. Cuántos pares ordenados (x;y) de números enteros ordenados no negativos existen tales que:
a) x + y = 4
b) x + y = 20
c) x + y = n ;n ∈ N
26. ¿Cuántos números naturales de tres cifras existen tales que la suma de
sus dígitos es 5?
27. En una Facultad de idiomas se conoce que de un grupo de 67 estudiantes: 47 hablan el idioma inglés, 35 el ruso y 23 ambos idiomas.
¿Cuántas personas en el instituto no hablan ni el inglés ni el ruso?
28. De un grupo de jóvenes se conoce que a 19 les gustan las matemáticas, a 17 las artes plásticas, a 11 les gusta la historia, 12 prefieren matemáticas y artes plásticas; 7, historia y matemáticas; 5, artes plásticas
e historia. A 2 les gustan las 3 y a 5 ninguna de ellas ¿Cuántos jóvenes
hay en el grupo?
29. En una encuesta relacionada con los hábitos de lectura se obtienen
los datos siguientes:
El 60 % de los encuestados lee el periódico A, el 50 % lee el periódico B,
el 50 % lee el periódico C, el 30 % lee los periódicos A y B, el 20 %
los periódicos B y C, el 30 % los periódicos A y C y el 10 % lee los tres
periódicos.
a) ¿Qué tanto por ciento de los encuestados lee exactamente los dos
periódicos?
b) ¿Qué tanto por ciento no lee ninguno de los tres periódicos?
30. El responsable de un grupo de estudiantes dio los siguientes datos sobre ellos: “en nuestra aula hay 45 alumnos, de los cuales 25 son varones, 30 alumnos tienen buenas notas entre ellos 16 varones. Entre los
28 estudiantes que practican deporte hay 10 varones y 17 con buenas
notas. Hay 15 varones que tienen buenas notas y practican deportes”.
Días después el profesor guía, quien les impartía matemáticas, lo llamó y le dijo que había un error en los datos.
Muestra que, efectivamente los datos son erróneos.
(Sugerencia: calcula la cantidad de estudiantes del grupo que no practican deportes ni tienen buenas notas).
116
CAPÍTULO 2
31. En un grupo de 30 estudiantes de la Escuela de Arte, se conoce que
12 estudian música, 16 estudian danza y 16 estudian canto. Si tres
estudian las 3 (música, canto y danza), 5 estudian solamente música y
danza, 2 solamente música y 6 solamente canto. ¿Cuál es la probabilidad de que al seleccionar uno de ellos estudie solamente danza?
32.
Un grupo de 40 estudiantes conversan acerca de las carreras que
habían seleccionado. 21 estudiantes pidieron Arquitectura, 21 estudiantes pidieron Ingeniería Industrial, 17 Economía. 3 seleccionaron
las tres carreras, 5 solo Ingeniería Industrial y Economía, 2 solamente
Economía y 4 solamente Ingeniería Industrial.
a) ¿Cuántos estudiantes seleccionaron solo Arquitectura?
b) ¿Cuántos estudiantes seleccionaron solo Arquitectura e Ingeniería
Industrial?
c) ¿Cuántos estudiantes no seleccionaron ninguna de estas carreras?
d) ¿Cuál es la probabilidad de que al seleccionar al azar uno de los
estudiantes que pidieron una de estas tres carreras, este haya seleccionado solamente una carrera?
Variación y combinación
33. Forma todas las variaciones de las letras A, B, C, D, E, F tomadas dos a
dos.
34. Forma las variaciones de los números 1; 2; 3; 4 tomadas tres a tres.
35. Calcula el número de variaciones de siete objetos tomados cinco a
cinco.
36. ¿De cuántas maneras se pueden depositar 4 cartas en 7 buzones, no
depositando más de una carta en cada buzón?
37. Una línea de ferrocarriles tiene 30 estaciones, cada una de las cuales
expide boletos a las demás estaciones. Determina cuántas clases de
boletos se necesitan.
38. En una carrera de 100 metros planos participan 8 corredores. ¿De
cuántas maneras diferentes pueden quedar ubicados los corredores
en la carrera (sin considerar empates)?
117
MATEMÁTICA
39. Una sala de teatro tiene 6 puertas. ¿De cuántas maneras es posible
entrar por una puerta y salir por otra diferente?
40. ¿Cuántos números entre 100 y 999, ambos inclusive, están formados
solamente por dígitos impares diferentes?
41. ¿De cuántas formas puede confeccionarse una bandera de tres franjas
de colores distintos si tienen telas de colores azul, blanco, rojo,
amarillo y verde? ¿Y si la franja superior debe ser de color rojo?
42. ¿Cuántos diccionarios diferentes hay que editar para que se puedan
hacer traducciones directamente entre cualquiera de los idiomas:
español, ruso, inglés, francés y alemán?
43. Con los dígitos 1; 2; 3; 4; 5 y 6, ¿Cuántos números menores que
1 000 pueden formarse que no tengan cifras repetidas?
44. ¿Cuántos números de cuatro cifras diferentes pueden formarse con
las cifras del número 2 574? ¿Cuántos de ellos son impares?
45. Escribe todas las permutaciones del conjunto azul , rojo, blanco .
46. Calcula el número de todas las “palabras” tengan sentido o no, que
se obtienen permutando las letras de la palabra AMOR. Escríbelas.
47. ¿De cuántas maneras pueden disponerse los 9 jugadores de un equipo
de béisbol? ¿De cuántas maneras si el lanzador y el receptor son fijos?
48. ¿De cuántas maneras 6 soldados pueden colocarse en fila? ¿De cuántas
maneras si a uno de ellos no se le permite ocupar los extremos?
49. ¿De cuántas maneras pueden sentarse 5 personas alrededor de una
mesa redonda?
50. ¿De cuántas maneras pueden colocarse 8 llaves en un llavero?
51. Escribe las combinaciones de las letras A, B, C, D tomadas tres a tres.
52. Un equipo de 8 estudiantes realizó un trabajo de investigación. En la
exposición del trabajo participan 4 estudiantes. ¿De cuántas maneras
se pueden seleccionar los 4 estudiantes?
53. Hay 20 puntos en el plano, de los cuales no hay tres alineados.
¿Cuántas rectas pueden trazarse uniendo pares de puntos? ¿Cuántos triángulos pueden formarse cuyos vértices sean tres de estos
puntos?
118
CAPÍTULO 2
54. En una circunferencia están situados 20 puntos. Considerando estos
puntos como vértices, ¿cuántos triángulos inscritos en la circunferencia pueden trazarse?
55. En un plano hay 12 puntos, pero 4 están en línea recta. Determina el
número de rectas de unión.
56. Calcula el número de diagonales de un polígono de n lados.
57. Durante la etapa clasificatoria de la liga élite del béisbol cubano participan 6 equipos. Si cada par de equipos se enfrentan 8 veces, ¿cuántos juegos se realizan en total?
58. Una compañía está formada por 3 capitanes, 6 sargentos y 60 soldados reclutados. ¿De cuántos modos puede elegirse entre ellos un
destacamento formado por un capitán, dos sargentos y 20 soldados
reclutados?
59. ¿Cuántas formas existen de escoger 12 personas de entre 17, si dos
personas de estas 17 no pueden ser elegidas juntas?
60. En una urna hay fichas con los números 1; 2; 3;…; 10. De ella se sacan
tres fichas a la vez. ¿En cuántos casos la suma de los números escritos
en esas fichas será igual a nueve? ¿Y no menor que 9?
61. Un coro está formado por diez participantes. ¿De cuántos modos se
pueden escoger seis participantes durante tres días, de forma que
cada día el coro tenga distintas composiciones?
62. Alejandro necesita encender su televisor, pero su hermano menor le
quitó las dos pilas al control remoto y las juntó con tres pilas iguales
pero que ya no funcionan. ¿Cuántas veces como máximo Alejandro
debe probar las pilas para acertar con las dos que funcionan?
63. Dados 5 segmentos de longitud 4 cm, 6 cm, 7 cm, 8 cm y 9 cm, respectivamente. ¿Cuántos triángulos diferentes pueden formarse?
Nota: dos triángulos se consideran diferentes si no son congruentes.
64. ¿Cuántos números naturales entre 10 000 y 100 000 tienen como
únicos dígitos 6; 7 u 8? ¿Cuántos 6; 7; 8 y 0?
65. En una reunión deben intervenir cinco personas: A, B, C, D y E ¿De
cuántas maneras se pueden distribuir en la lista de oradores con la
condición de que B debe intervenir inmediatamente después de A?
119
MATEMÁTICA
66. Hay nueve libros diferentes en un estante: cuatro son de color rojo y
cinco son de color verde. ¿De cuántas maneras diferentes es posible
colocarlos uno al lado del otro en el estante de tal forma que?
a) No haya restricciones.
b) Los libros de color rojo deben estar juntos y los de color verde
también.
c) Los libros de color rojo deben estar juntos, pero los de color verde
pueden estarlo o no.
d) No hay dos libros juntos del mismo color.
67. Un examen consta de diez preguntas ¿De cuántas maneras puede un
estudiante responder de manera correcta, exactamente 8 preguntas?
¿De cuántas maneras puede responder erróneamente a lo sumo a dos
preguntas?
68. Un grupo de danza está formado por 7 hombres y 4 mujeres. Es necesario seleccionar 6 personas de forma tal que entre ellas haya no menos de 2 mujeres. ¿De cuántas maneras puede efectuarse la elección?
69. Para los premios de un concurso de Matemáticas se tienen tres ejemplares de un libro, 2 de otro y 1 de un tercero. ¿De cuántos modos
se pueden entregar los premios (primero, segundo y tercer lugares),
si en el concurso participan 20 personas y a nadie se le otorgan dos
ejemplares de un mismo libro, pero se le pueden entregar dos o tres
libros diferentes?
70. Dos muchachos y dos muchachas se colocan en fila, al azar, para tomarse una fotografía, ¿Cuál es la probabilidad de que las muchachas
y los muchachos queden alternados en la fotografía?
71. En una habitación hay 5 personas que llevan números de identificación del 1 al 5. Si se seleccionan al azar, dos personas, ¿cuál es la probabilidad de que entre estos dos números de identificación el mayor
sea el 3?
72. Tomando al azar tres dígitos del conjunto se forma un número de
tres cifras distintas. Calcula la posibilidad de que sea múltiplo de tres.
73. Un profesor de Educación Física decide dividir a sus estudiantes en
dos equipos de a cinco para jugar baloncesto. Para esto anota los
120
CAPÍTULO 2
nombres en 10 papelitos (uno en cada papelito) y los coloca en una
caja. Uno de los muchachos le dice a su mejor amigo: “ojalá caigamos
en el mismo equipo“. El amigo le responde: “tenemos 50 % de probabilidad de jugar juntos”. ¿Fundamenta si es correcta su afirmación?
74. Se lanzan cuatro dados. ¿Cuál es la probabilidad de que los cuatro
números mostrados sean diferentes?
75. En un lote de 12 artículos se conoce que hay 4 de ellos que son defectuosos. Si se escogen dos artículos del lote al mismo tiempo, calcula la
probabilidad de que:
a) Los dos sean defectuosos.
b) Los dos sean buenos.
c) Uso sea bueno y el otro defectuoso.
d) Al menos un artículo sea bueno.
76. Se reúnen 7 personas: calcula la probabilidad de que todas cumplan
años en diferentes días de la semana.
77. Una delegación deportiva está formada por 5 boxeadores, 3 esgrimistas y 4 luchadores para representar a Cuba en un evento deportivo
internacional.
a) ¿De cuántas formas se pueden seleccionar dos deportistas para
que sean los abanderados de la delegación?
b) ¿De cuántas formas se pueden ordenar sus nombres en la relación
de participantes por Cuba si los boxeadores deben encabezarla?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que al escoger 2 deportistas uno sea
boxeador y el otro esgrimista?
78. Una Sociedad Científica de Matemática está integrada por tres hembras y dos varones. Determina:
a) ¿De cuántas maneras diferentes en que pueden sentarse uno al lado
de otro, de modo que los varones queden uno en cada extremo,
para exponer ante el grupo el resultado de sus investigaciones?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que al seleccionar al azar un integrante
de la Sociedad Científica, este resulte una hembra?
121
MATEMÁTICA
c) Si se desea seleccionar al azar 2 estudiantes entre los integrantes
del de la Sociedad Científica, determina la probabilidad de que:
– Ambos sean hembras.
– Que sean del mismo género.
– Que sea una hembra y un varón.
79. Un pelotón de estudiantes Camilitos está integrado por 30 estudiantes, de ellos 10 son hembras.
79.1 Copia en tu cuaderno de trabajo la respuesta correcta en cada
incisos:
a) La cantidad de maneras posibles en que pueden colocarse en una
columna para la marcha todos los estudiantes de modo que los
varones marchen al final es:
A) 2 ∙ 20! ∙ 10!
B) 20! ∙ 10!
C) 30!
D) Ninguna de las anteriores
b) La cantidad de maneras posibles de seleccionar 4 estudiantes del
grupo de modo que solo uno de ellos sea hembra es:
A ) 10V320
B) 20
4
C) 20
3 10
D) V410
c) El número de maneras diferentes de seleccionar un monitor de
Química, uno de Física y uno de Matemática es de:
A ) 30 29 28
B) 30
3
C) P3
D) V310
79.2 Calcula la probabilidad de que al seleccionar al azar 3 estudiantes del grupo como mínimo 2 sean hembras.
80. Una fábrica produce 1 200 lámparas LED, de las cuales 18 son defectuosas.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir una al azar sea defectuosa?
b) Si se compran 5 lámparas, ¿cuál es la probabilidad de que ninguna
sea defectuosa?
81. Un gen recesivo sigue un patrón de herencia mendeliana. En una pareja heterosexual en la que ambos son portadores heterocigotos (Aa),
se sabe que la probabilidad de que un hijo manifieste el gen recesivo
(aa) es del 25 %.
122
CAPÍTULO 2
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un hijo herede el gen y lo manifieste (es decir, sea aa)?
b) Si se estudian 5 hijos de familias independientes, cada uno con padres heterocigotos (Aa), ¿cuántas combinaciones distintas pueden
darse en las que exactamente 2 de los 5 hijos manifiesten el gen
recesivo?
82. Un sistema de seguridad requiere contraseñas de 6 caracteres con 3
letras (sin repetir) y 3 números (sin repetir).
a) ¿Cuántas contraseñas únicas pueden crearse?
b) Si alguien prueba una contraseña al azar, ¿cuál es la probabilidad
de acertar?
83. Demuestra que si n, p ∈ N y n > p, entonces
n n
a)
0 n
n n
b)
p n p
n n n 1
c)
p p 1 p 1
84. Calcula de la manera más ventajosa
a) C 27 + C 37
13
c) C 913 + C 914 + C10
b) C 39 − C 38
21 23 21 22
d)
12 18 16 6
2.4 Teorema del binomio
¿Qué beneficios ofrece el conocimiento de la estadística y la combinatoria?
En el desarrollo del capítulo has apreciado que la teoría combinatoria proporciona conceptos y recursos matemáticos para contar y combinar
elementos de conjuntos en diversidad de situaciones. Sin embargo, existen
otros contextos combinatorios en campos tales como Economía y Finanzas,
Ingenierías y Ciencias Sociales, Biología y Genética, entre otros, que exigen
modelaciones matemáticas más específicas.
Considera que eres especialista en genética de un laboratorio de la
Agricultura, en el cual se investiga sobre el mejoramiento genético de
123
MATEMÁTICA
la papa (figura 2.23), a partir de dos variedades que difieren en su resistencia a
plagas de nemátodos.
Esa característica, está controlada por un
alelo dominante (R) sobre un alelo recesivo (r) y al realizar un cruce entre dos
plantas heterocigotas para este rasgo
(Rr x Rr), las posibles combinaciones
genotípicas de la descendencia que se
obtienen NN , Nn y nN resultan en plantas
Fig. 2.23
resistentes a plagas de nemátodos, mientras que el genotipo nn resulta
en plantas no resistentes, luego la probabilidad de que una planta sea
resistente a plagas de nematodos es de 75 % y la probabilidad de que
no sea resistente es de 25 %.
¿Cómo puedes determinar la probabilidad de obtener exactamente k
plantas resistentes a plagas de nemátodos de un total de n plantas en
la descendencia?
Situaciones como la anterior, se modelan con la fórmula:
n
P x k ak bn k, donde
k
• n, es el total de ensayos, pruebas o estudios (total de plantas de la
descendencia)
• k, es el número exacto de ensayos éxitos deseados (total de plantas
deseadas con la característica en estudio)
• a, es la probabilidad de éxito en un ensayo (probabilidad de que una
planta tenga la característica estudiada).
• b, es la probabilidad de éxito en un ensayo (probabilidad de que una
planta no tenga la característica estudiada)
n
• C kn , son las combinaciones posibles de obtener exactamente k éxi k
tos de n ensayos (total de combinaciones posibles de obtener k plantas
con las caracteristicas en estudio, de una descendencia de n plantas).
124
CAPÍTULO 2
Esta fórmula aplicada al cálculo de la probabilidad específica de sucesos
que siguen un patrón binomial, resulta ser un sumando del desarrollo de
binomios de la forma a b , de los cuales son casos particulares a b y
2
n
a b , que ya conoces. En general el desarrollo de binomios con grados
n N: n 2 se presenta en el teorema siguiente:
3
Teorema 2.7 Teorema del binomio
El desarrollo de un binomio de grado n, es:
a b
n n
a
0
n
n n1
a b
1
n n2 2
a b
2
n
n 1
abn 1
n n
b
n
n
se denomina coeficiente binomial y es igual al número combik
Donde
n
natorio C k .
Observa que la suma de los exponentes de a y b es siempre n y que el
coeficiente es el número combinatorio C kn donde k es exponente de b.
(Ver la nota 3 al capítulo 2 en los anexos)
Ejemplo 2.27
Hallar el desarrollo de a b
6
Resolución:
Según el Teorema del binomio se tiene:
6
0
6
1
6
2
6
3
6
4
6
5
6
6
a b a6 a5 b a4 b2 a3b3 a2 b4 ab5 b6
6
Atención
Observa que los exponentes de a y b suman 6.
Se calcula cada coeficiente binomial
=
C 06 1=
; C16 =
6; C 26 15
=
; C 36 20; C 46 = 15=
; C56 6=
; C 66 1
Luego, el desarrollo de a b es
6
a b a6 6a5 b 15a4 b2 20a3b3 15a2 b4 6ab5 b6.
6
125
MATEMÁTICA
De la historia
El teorema del binomio fue formulado por Isaac Newton, en el siglo XVII, como
parte de su trabajo en análisis matemático y en el desarrollo del cálculo. Aunque
los desarrollos de los binomio (a + b)2 y (a + b)3 se conocían desde tiempos antiguos, y fueron exploradas por matemáticos árabes e indios, la generalización de
Newton, que incluía exponentes fraccionarios y negativos, representó un avance
significativo, en el desarrollo de las teorías matemáticas y sus aplicaciones.
Ejemplo 2.28
Determinar el coeficiente del término a3 b9 en el desarrollo del binomio
a b .
n
Resolución:
n
Como en el coeficiente binomial , k es el exponente de b y la suma
k
de los exponentes de a y de b es n, se deduce que el coeficiente de a3 b9 es
12 12!
220.
9 3!9!
Ejemplo 2.29
10
1
Encontrar del desarrollo de m
m
a) El cuarto término.
b) El término independiente.
Resolución:
1
es cero y
m
3
1
este exponente aumenta de 1 en 1, en el cuarto término aparece ,
3
m
10 7 1
10! 7 1
4
entonces este término es: m
m 3 120m .
7!3!
m
m
3
a) Como el primer término es m10,, porque el exponente de
1
deben aparecer con el mismo exm
ponente como la suma de ambos es 10, el exponente de cada uno es 5,
10
1 10 10!
luego, el término independiente es: m5 5
252.
m
5
5 5!5!
b) En el término independiente m y
126
CAPÍTULO 2
En general el teorema del binomio resulta una herramienta poderosa
para resolver problemas que permiten dar significado a la teoría matemática con sus aplicaciones del mundo real en muchos campos. Cada sumando
de su desarrollo representa una posible combinación de la probabilidad de
éxitos y fracasos de un suceso.
Ejemplo 2.30
De la investigación para el mejoramiento genético de las plantas de papas, planteado en la situación inicial. ¿Cuál es la probabilidad de obtener
exactamente dos plantas resistentes a plagas de nemátodos de un total de
cuatro plantas en la descendencia?
Resolución:
De la información que brinda la situación inicial se conoce que:
• el total de plantas de la descendencia es n = 4.
• el número exacto de plantas resistentes a plagas de nemátodos, deseadas es k = 2.
• la probabilidad de que una planta sea resistente a plagas de nemáto3
dos es de (75 %), a = .
4
• la probabilidad de que una planta no sea resistente a plagas de nemá1
todos es (25 %), a = .
4
Como se quiere calcular la probabilidad de obtener exactamente 2 plantas resistentes en 4 plantas descendientes, al tomar del Teo n
rema del binomio la fórmula: P ak bn k y sustituir, obtenemos que
k
2
2
4 3 1
P x 2 de donde:
2 4 4
n
el coeficiente binomial C kn
k
n!
4
C2
n k ! k !
4!
3 4 2! 12
6
4 2 ! 2! 2! 2! 2 1
Significa que existen 6 combinaciones diferentes en las que puede
ocurrir que se obtengan 2 plantas
resistentes de un total de 4 plantas
descendientes.
127
MATEMÁTICA
Como estamos interesados en 2 éxi-
2
9
3
ak
16
4
tos (resistentes), elevamos la probabilidad de éxito al cuadrado y se
obtiene la probabilidad de que 2 de
las plantas sean resistentes al calor.
Como 4 – 2 = 2 fracasos (no resis-
2
1
1
bn k
16
4
tentes), se eleva la probabilidad de
fracaso al cuadrado. Y se obtiene la
probabilidad de que las otras 2 plantas no sean resistentes.
Luego, P x 2 6
9 1
54
0, 2109.
16 16 256
Por lo tanto, la probabilidad de obtener exactamente 2 plantas resistentes a la plaga de nemátodos de un total de 4 plantas descendientes es
de aproximadamente 0,2109 (21,09 %).
También existe otro recurso matemático que permite encontrar los coeficientes del desarrollo de un binomio, conocido como Triángulo de Pascal
o de Tartaglia.
Potencia de binomio a b
n
a b 1
0
n=0
a b a b
n =1
a b a2 2ab b2
n=2
a b a3 3a2 b 3ab2 b3
n=3
1
2
3
Fig. 2.24
Nótese en la figura 2.24 que a partir de n = 2 (coeficientes de la
tercera fila del triángulo) después del primer coeficiente (1) el resto,
excepto el último (1); se obtienen de adicionar los dos coeficientes que
se encuentran en la parte superior de este. Así aparecen: 1, el coeficiente
2 = 1 + 1 y 1. Para n = 3 (cuarta fila) tenemos: 1, 3 = 1 + 2, 3 = 2 + 1, 1 y
así sucesivamente.
128
CAPÍTULO 2
Ejemplo 2.31
Hallar del desarrollo de x y
4
a) El coeficiente correspondiente al tercer término.
b) El cuarto término.
Resolución:
a) En el desarrollo de x y tiene 5 términos.
4
Para n = 4 los coeficientes son: 1, 4 1 3 , 6 3 3 , 4 3 1 y 1
Respuesta: el coeficiente correspondiente al tercer término es 6.
b) El exponente de la x va decreciendo iniciando por n = 4 y el de la y por
el contrario va creciendo desde n = 0.
De manera que x y tiene 5 términos x 4 y 0, x 3 y 1, x 2 y 2, x 1y 3 , x 0 y 4;
4
pero ya conocemos sus coeficientes, 1x 4 y 0 , 4 x 3 y 1, 6 x 2 y 2 , 4 x 1y 3, 1x 0 y 4 ;
que se puede expresar: x 4, 4 x 3 y, 6 x 2 y 2 , 4 xy 3, y 4 .
Respuesta: el término que ocupa la cuarta posición en el desarrollo de
x y es 4 xy 3.
4
Investiga y aprende
1. Indaga en otras fuentes de información de reconocimiento científico sobre
las propiedades del triángulo de Pascal. ¿Cómo puedes aplicar algunas de
ellas en el desarrollo de potencias de binomio?
1.1 ¿Qué relación tiene alguna de estas propiedades con el Teorema del
binomio?
1.2 ¿Qué ventajas y desventajas tienen la utilización de estas dos
herramientas?
Aplica tus conocimientos
1. Halla el coeficiente del tercer, quinto y décimo término en el desarrollo de:
a) x 1
6
b) a b
28
1.1 ¿Existen otros términos con esos mismos coeficientes? ¿Cuál es el coeficiente de a1b5 y a17b11?
129
MATEMÁTICA
1.2 ¿Qué herramienta utilizaste para determinar los coeficientes?
2. Para probar un algoritmo de procesamiento del lenguaje natural para analizar la frecuencia de aparición de ciertas palabras en los textos científicos y
literarios, se selecciona un artículo de Economía, con el interés de calcular la
probabilidad de que la palabra “sostenible”, aparezca exactamente 5 veces
en un párrafo de 7 oraciones, asumiendo que la probabilidad de aparición de
1
3
la palabra en cada oración es p = . ¿Escribe el algoritmo y calcula el resultado
que se obtiene?
Conéctate
Indaga en Internet sobre: el desarrollo e implementación de softwares que aplican el teorema del binomio y otras técnicas probabilísticas, Elabora un informe
de los campos de utilización de esas herramientas y bibliotecas informáticas.
Ejercicios del epígrafe 2.4
1. Halla el desarrollo de:
a) m n
b) a 3
6
1
d) h
2
c) a b
4
5
3
2. Determina el coeficiente del término:
a) x 3 y 8 en el desarrollo de x y
b) x 3 en el desarrollo de x 2
5
3. Desarrolla:
a) x 2 y
3
b 2 x 5y
4
c)
2 a
4
1
1
d) u2 v
4
2
6
4. Calcula:
a) El sexto término de x y
15
b) El octavo término de 2a x
10
c) El cuarto término de x 3 y
9
d) El décimo término de 2a b
15
5. Halla el término independiente de x en el desarrollo de:
14
1
a) x
x
130
1
b ) 3x 2
2x
9
1
c) 5 2 x 2
x
7
1
d) x 2
x
3n
CAPÍTULO 2
6. Calcula y expresa el resultado como un poliniomio
a) x 1 x 1
4
4
b) 1 4a 1 4a
3
3
7. Del triángulo de Pascal, determina:
a) ¿Cuál es la suma de los números en la fila 5?
b) El sexto número de la sucesión de Fibonacci.
8. Demuestra que para todo n natural se cumple que:
n n n
n
a) 2
0 1 2
n
n n n
n n
b) 1 0
0 1 2
n
Ejercicios del capítulo
1.
En la tabla 2.15 se le plantean seis características, de un grupo de
estudiantes de 12.o grado, seleccionados al azar de la matrícula del
grado para hacer un estudio sobre sus preferencias por tipo de carrera para su ingreso a la educación superior, obtenidas a partir de una
encuesta realizada.
Tabla 2.15
Sexo
Opinión soColor bre la calidad
de la de la prepapiel
ración que
reciben
Tipo de carrera
por la que opta
Resultados
docentes
en Matemática
10.o
grado
11.o
grado
M
N
Muy Buena
C. Técnicas
95,75
92,5
M
B
Buena
C. Naturales y Matemática
96
99,5
M
B
Muy Buena
C. Naturales y Matemática
85
89,5
M
M
Regular
C. Pedagógicas
90,3
94
M
M
Mala
C. Técnicas
92
93.5
M
B
Buena
C. Médicas
98,5
92,5
F
B
Muy Buena
C. Económicas
93
97
M
N
Muy Buena
C. Técnicas
92
91,5
M
M
Buena
C. Naturales y Matemática
94,75
95
M
M
Buena
C. Médicas
97
97,5
M
M
Muy Buena
C. Técnicas
91
90,5
131
MATEMÁTICA
Sexo
Opinión soColor bre la calidad
de la de la prepapiel
ración que
reciben
Tipo de carrera
por la que opta
Resultados
docentes
en Matemática
10.o
grado
11.o
grado
F
B
Muy Buena
C. Económicas
96
95,5
M
B
Muy Buena
C. Naturales y Matemática
99
99,5
F
N
Regular
C. Soc. y Humanistas
95
98,5
F
B
Buena
C. Médicas
95,4
96
F
M
Muy Buena
C. Pedagógicas
91,5
94
M
M
Buena
C. Pedagógicas
92,7
90
M
N
Buena
C. Técnicas
89,5
92,4
M
M
Regular
C. Pedagógicas
74,5
79
F
M
Buena
C. Técnicas
87
86
M
B
Muy Buena
C. Agropecuarias
89,2
81
M
B
Muy Buena
C. Médicas
88,3
89,5
M
N
Mala
C. Agropecuarias
77
71,5
F
N
Muy Buena
C. Técnicas
99,2
96.5
M
M
Buena
C. Técnicas
90
92,5
M
M
Regular
C. Pedagógicas
87,7
80
M
B
Buena
C. Naturales y Matemática
97,7
94,5
M
B
Buena
C. Pedagógicas
92
96
F
B
Muy Buena
C. Naturales y Matemática
96,5
98
F
B
Muy Buena
C. Soc. y Humanistas
94,3
92,5
M
B
Muy Buena
C. Técnicas
95,5
97,5
F
B
Buena
Arte
98,5
99
F
N
Buena
C. Médicas
95,8
92,1
M
M
Muy Buena
Arte
97,4
96
M
M
Muy Buena
Cultura Física
87
92,5
F
M
Buena
C. Económicas
98
99,5
F
M
Buena
C. Médicas
99
99,5
F
N
Muy Buena
C. Pedagógicas
94
97.5
M
M
Buena
C. Pedagógicas
92,5
94
M
M
Regular
C. Técnicas
74,5
89
132
CAPÍTULO 2
Sexo
Opinión soColor bre la calidad
de la de la prepapiel
ración que
reciben
Tipo de carrera
por la que opta
Resultados
docentes
en Matemática
10.o
grado
11.o
grado
M
B
Muy Buena
C. Técnicas
97
96
F
B
Buena
C. Médicas
94,2
91
F
M
Muy Buena
C. Soc. y Humanistas
88,3
92,5
F
N
Buena
C. Económicas
87
91,5
M
M
Buena
C. Técnicas
99,3
96,5
M
B
Buena
C. Médicas
90
92,5
F
B
Muy Buena
C. Agropecuarias
89,7
90
F
B
Muy Buena
C. Soc. y Humanistas
96
95,5
F
M
Buena
C. Económicas
97
99,5
F
B
Buena
C. Médicas
95
98,5
F
M
Buena
C. Agropecuarias
90
91
M
N
Regular
Cultura Física
90
91,5
M
B
Regular
C. Soc. y Humanistas
98,5
99,2
F
M
Muy Buena
C. Técnicas
91,4
95,8
M
B
Muy Buena
Cultura Física
87,5
85
Leyenda
Sexo: M (masculino) F (femenino)
Color de la piel: B (blanco) M (mestizo) N (negro)
a) Determina los indicadores que consideres más adecuados en cada
caso utilizando un asistente matemático.
b) Representa gráficamente los resultados utilizando el tipo de gráfico más adecuados en cada caso.
c) Elabora un informe que refleje la caracterización del grupo seleccionado de acuerdo con los resultados obtenidos.
2.
Una obra de cuatro tomos se coloca en el estante al azar. Calcula la
probabilidad de que los tomos no queden en orden ni de derecha a
izquierda ni de izquierda a derecha.
3.
Un cubo, cuyas caras están pintadas, se ha dividido en 1 000 cubos
iguales más pequeños, los cuales son colocados en una bolsa. Calcula
133
MATEMÁTICA
la probabilidad de que uno de los cubos pequeños tomado al azar
tenga exactamente.
a) Una cara pintada
b) Dos caras pintadas
c) Tres caras pintadas
4.
En una competición de halterofilia hay tres jueces: A, B y C. Cada uno
de ellos dispone de un botón o pulsador independiente y oculto a los
demás. Si en opinión de un juez el levantador ha alzado el peso manteniéndolo inmóvil sobre su cabeza, con brazos y piernas extendidos,
entonces pulsa su botón. Cuando dos o los tres jueces han pulsado su
botón, se enciende la luz blanca de “peso superado”.
a) Se necesita un circuito eléctrico que conecte los tres botones A, B
y C con la luz y que se encienda de acuerdo con la norma anterior.
El esquema lógico de dicho circuito se corresponde con el suceso
“2 o 3 jueces pulsan su botón”. Utiliza el Álgebra de Sucesos y sus
propiedades para expresarlo de la forma más simplificada posible.
b) La probabilidad de que un juez falle en su apreciación es del 10 %.
¿Cuál es la probabilidad de que el veredicto final sobre un levantamiento sea erróneo?
5.
En una encuesta realizada a un grupo de 50 estudiantes de un IPVCE,
sobre los lugares que frecuentan los fines de semana; los resultados
fueron los siguientes: 14 estudiantes afirman que asisten al cine,
12 plantean que van al teatro, 22 asisten a una discoteca; 5 dicen asistir solamente al cine y a una discoteca, pues no le gusta el teatro, 12
plantean que ellos solamente van a la discoteca, 4 señalan que asisten
al cine y al teatro, y tres manifiestan que cuando salen los fines de
semana les da tiempo para ir al cine, al teatro y a una discoteca.
a) De los 50 estudiantes, ¿cuántos no prefieren ninguna de estas tres
actividades de esparcimiento?
b) ¿Cuántos estudiantes prefieren solamente asistir a una de las tres
actividades?
134
CAPÍTULO 2
c) Si entre los estudiantes que prefieren al menos dos de estas diversiones se seleccionan dos al azar, ¿cuál es la probabilidad de que
frecuenten el teatro y la discoteca?
6.
En un campeonato de voleibol masculino y femenino, intervienen
equipos de 6 países en ambos sexos. ¿De cuántas formas diferentes se
pueden repartir los primeros lugares?
7.
Luis tiene 9 libros y Ana 7. Todos los libros son diferentes entre sí.
a) ¿De cuántas maneras diferentes puede ordenar Ana sus libros en
un estante uno al lado del otro?
b) ¿De cuántas maneras puede escoger Luis 2 de sus libros para
prestárselos a Ana?
c) ¿De cuántas maneras pueden intercambiar Ana y Luis dos de los
libros de uno por dos de los libros del otro?
8.
Un estudiante necesita llamar por teléfono a una compañera de estudio, pero solo recuerda las cuatro primeras cifras de su número telefónico, y que las otras cuatro son distintas entre sí y menores que 5. Si
la llama por teléfono al azar, ¿qué probabilidad tiene de acertar?
9.
En una mueblería hay 14 lámparas de noche de las cuales se sabe que
5 tienen defectos. Si se escogen al azar 2 lámparas para hacer un chequeo de calidad. Calcula la probabilidad de que:
a) ninguna sea defectuosa,
b) exactamente una sea defectuosa,
c) al menos una sea defectuosa.
10 Si se escriben las 27 letras del alfabeto en un orden aleatorio. ¿Cuál es
la probabilidad de que las letras x, y queden juntas?
11. En la figura 2.25 cada par de puntos consecutivos, horizontal y verticalmente dista una unidad.
a) ¿Cuántos cuadrados existen cuyos vértices
son cuatro de esos puntos?
b) Si se seleccionan al azar cuatro de los puntos
de la figura ¿cuál es la probabilidad de que
sea un cuadrado?
Fig. 2.25
135
MATEMÁTICA
12. Las hortalizas poseen un valor nutritivo significativo, porque en su
composición contienen miligramos de vitaminas y minerales. En la tabla 2.16 se muestra las vitaminas contenidas en las hortalizas seleccionadas .
Tabla 2.16
Hortaliza
Vitamina
A
Vitamina
B1
Vitamina
B2
Vitamina
C
1
Coliflor
x
x
x
x
2
Pepino
-
x
x
-
3
Espinaca
-
x
x
-
4
Lechuga
x
x
x
x
5
Melón
-
x
x
x
6
Tomate
-
x
x
x
7
Zanahoria
x
x
x
x
8
Rábano
x
x
x
x
9
Ajo
-
-
-
-
a) ¿De cuántas maneras pueden listarse las hortalizas?
b) ¿De cuántas maneras pueden seleccionarse 3 de las hortalizas que
contienen vitamina B1?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que al tomar al azar 3 de ellas, para una
ensalada estas posean las cuatro vitaminas?
13. En un IPU, como parte del Proyecto Educativo de Grupo, 25 estudiantes de un grupo participan en los cursos complementarios: Los asistentes
matemáticos, el GeoGebra (G),
La Programación Informática
(PI) y El Desarrollo de habilidades artísticas (A). La figura 2.26
representa la distribución de
todos los estudiantes (M) del
grupo. Se conoce que: 13 asistieron al curso de G, 14 al curso
de PI, y 9 al curso de A.
136
Fig. 2.26
CAPÍTULO 2
a) ¿Cuántos estudiantes asistieron solamente al curso Los asistentes
matemáticos, el GeoGebra?
b) ¿De cuántas maneras es posible seleccionar dos estudiantes entre
los que asistieron exactamente a dos de estos tres cursos?
c) ¿Cuál es la matrícula del grupo?
d) Calcula la probabilidad de que, al elegir un estudiante entre los
participantes en estos tres cursos, este no haya asistido al curso Los
asistentes matemáticos, el GeoGebra.
14. Un hospital debe programar cuatro cirugías en diferentes horarios
para cuatro pacientes.
a) ¿De cuántas formas se pueden organizar las cirugías?
b) Si una cirugía de emergencia debe ser la primera, ¿cuántas opciones quedan?
15. Una molécula está compuesta por seis átomos de carbono distinguibles (etiquetados C1, C2, C3, C4, C5, C6), los cuales se enlazan en una
cadena lineal, en la cual el orden de los átomos determina una estructura única:
a) ¿Cuántas secuencias lineales distintas pueden formarse con los seis
átomos?
b) Si los átomos C1 y C2 deben permanecer siempre adyacentes en la
secuencia, ¿cuántas configuraciones diferentes son posibles?
16. Como parte de un estudio médico, se registraron los tiempos de
Tabla 2.17
reacción en milisegundos (ms) en
Clases
Pacientes
[100; 200)
5
30 pacientes con una enfermedad
[200; 300)
12
determinada, como se muestra en
[300;400)
10
la tabla 2.17:
[400; 500)
3
a) Calcula el valor aproximado de la
mediana.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que al seleccionar uno de los pacientes,
este tenga menos de 300 ms de reacción?
137
MATEMÁTICA
17. Se lanza una moneda cuatro veces.
a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente dos caras?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una sea escudo?
18. En una fábrica, dos de cada cien componentes tienen defectos.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que una caja de diez componentes todos funcionen?
b) ¿Cuántas formas hay de inspeccionar tres componentes específicos
en un lote de 20?
19. Un equipo de investigación tiene un grupo de 12 ratones sanos para
seleccionar cinco de ellos al azar para un experimento:
a) ¿Cuántas combinaciones diferentes de ratones se pueden formar
con los 12 disponibles?
b) Antes de realizar la selección, se descubre que dos de los 12 ratones
están enfermos y deben ser excluidos del experimento. ¿Cuántas
combinaciones de cinco ratones sanos son posibles ahora?
20. Desde un telescopio se puede observar cuatro estrellas de un cúmulo
de 15 en una noche.
a) ¿Cuántos conjuntos de estrellas se puede observar?
b) Si es obligatorio observar una estrella en particular, ¿cuántos conjuntos incluyen a esa estrella?
21. Demuestra que para toda n ≥ 4 se cumple n! > 2n .
Autoevaluación
1. Clasifica en tu cuaderno de trabajo cada una de las proposiciones siguientes en verdaderas o falsas. Justifica las que sean falsas.
a) El objeto de la estadística al igual que el de las probabilidades es
estudiar fenómenos aleatorios.
b) La Estadística Descriptiva se dedica a estudiar la descripción y caracterización de un universo, representado por un conjunto de datos
para derivar conclusiones acerca de un universo mayor.
138
CAPÍTULO 2
c) La muestra es cualquier subconjunto de la población.
d) Las variables discretas tienen su recorrido numerable con valores enteros que no son divisibles por la unidad.
e) En las escalas ordinales se utilizan cualidades para generar categorías y estas no generan un orden explícito.
f) En las escalas de intervalo las opciones son valores numéricos y estos
números se pueden utilizar para hacer comparaciones de valores, en
que el cero es un valor arbitrario en una escala y no absoluto.
g) La media aritmética es un valor cuantitativo que describe la variabilidad de los datos con respecto a un valor central.
h) La moda siempre representa la frecuencia relativa de más del 50 %
de los datos.
i) La mediana de una variable es el punto por debajo del cual se encuentra el 50 % de sus valores.
j) El rango mide la amplitud de una muestra o la dispersión de los valores extremos.
k) Si a todos los datos de una muestra se le adiciona la misma constante, o se le cambian los datos de origen, la varianza varía.
l) La Desviación Típica o Estándar mide cuánto se desvían los datos con
respecto a la mediana.
m) La Teoría de las Probabilidades proporciona modelos matemáticos
para la descripción de fenómenos deterministas.
n) La probabilidad de un suceso cualquiera A es P(A) ≥ 0.
ñ) La permutación es un caso particular de variaciones sin repetición.
o) Se llaman variaciones de n objetos tomados p a p, a todos los subconjuntos de p elementos que se pueden formar con los n objetos.
2. Lee detenidamente y responde:
2.1 Clasifica en tu cuaderno de trabajo las proposiciones siguientes en
verdaderas (V) o falsas (F). Justifica las falsas.
139
MATEMÁTICA
En la tabla 2.18 se muestran los
rangos de notas alcanzados (sobre
100 puntos) por los estudiantes de
11.o grado de un IPU, en el examen final de Matemática el pasado
curso.
a) La variable estudiada se clasifica
como cuantitativa discreta.
b) El límite inferior real de la clase
mediana es 85,5.
c) La nota más frecuente es 87,5
Tabla 2.18
Rango
de notas
Fi
x_i∙F_i
A: [55; 60)
15
862,5
B: [60; 65)
3
187,5
C: [65; 70)
17
1 147,5
D: [70; 75)
2
145
E: [75; 80)
30
2 325
F: [80; 85)
15
1 237,5
G: [85; 90)
45
3 937,5
H: [90; 95)
30
2 775
I: [95; 100)
23
2 242,5
puntos.
d) Los estudiantes suspensos representan el 12 %.
e) La probabilidad de que al seleccionar al azar una nota, resulte de
uno de los estudiantes con notas de [80; 90) es de aproximadamente 33 %.
f) Si a partir de 90 puntos se considera una nota con calidad, entonces el promedio de calidad de notas es de 94,7 puntos.
2.2 Completa en tu cuaderno de trabajo cada una de las afirmaciones
siguientes, de manera que obtengas una proposición verdadera en
cada caso.
En la tabla 2.19 se ha registrado la
cantidad de pulsaciones por minuto de 35 estudiantes después de
una carrera de velocidad en Educación Física.
a) El rango de las pulsaciones fue
de
b) El valor de la moda se encuentra en la clase
140
Tabla 2.19
Ritmo de
pulsaciones
Cantidad de
estudiantes
por minuto
91-100
7
101-110
8
111-120
15
121-130
5
CAPÍTULO 2
c) Las maneras diferentes en que los estudiantes que tuvieron entre 121-130 pulsaciones por minutos se pueden sentar en tres
asientos dispuestos uno al lado del otro es de
d) La probabilidad porcentual de que al seleccionar al azar un estudiante, este haya tenido una pulsación por minuto registrada en
la clase 91-100 es de
3. En una empresa de mantenimiento de computadoras. Se consultó a
50 clientes, sobre la calidad del servicio de atención al cliente, con los
resultados en los que: 1 es muy insatisfecho, 2 insatisfecho, 3 satisfecho y 4 muy satisfecho.
2 1 2 1 4 4 3 3 3 4 4 4 4 3 3 3 3 2 2 3 2 2 2 2 3
2 3 1 3 2 4 3 2 2 2 3 2 3 1 3 1 1 4 2 2 3 3 2 3 2
a) Identifica la variable y clasifícala, el tipo de escala y la población.
b) Determina los indicadores que consideres más pertinentes.
c) Elabora el gráfico que consideres pertinente para esta información.
d) Haz una interpretación de la información con base en los
indicadores.
4. En uno de los policlínicos del municipio se estudió el nivel de glucosa
en sangre de los niños que asistieron a consulta, durante una semana.
Se tomó la muestra de 48 niños en ayunas, en la cual se obtuvo la siguiente información.
64 36 49 53 67 57 61 58 72 58 40 56
68 63 42 50 56 30 79 54 65 63 34 54
74 52 50 42 51 45 57 51 32 49 58 55
60 42 53 50 38 69 47 59 49 50 76 66
a) Identifica la variable y clasifícala, el tipo de escala y la población.
b) Calcula los indicadores que consideres más pertinentes.
c) Elabora el gráfico que consideres pertinente para esta información.
141
MATEMÁTICA
d) Haz una interpretación de la información con base en los
indicadores.
5. En un grupo de estudiante hay 20 hembras y 15 varones. Escribe en
tu cuaderno de trabajo si se trata de variación (V), permutación (P),
combinación (C) o probabilidad (p) y escribe su fórmula en casa inciso:
a) ¿De cuántas formas pueden ordenarse todos los estudiantes en una
fila?
b) ¿De cuántas maneras pueden ubicarse en una hilera de 8 asientos 3
varones en el extremo izquierdo y 5 hembras en el derecho?
c) ¿De cuántas maneras se puede seleccionar un monitor de Matemática, uno de Física y otro de Química?
d) ¿De cuántas formas pueden formarse 3 equipos de 5 varones cada
uno?
e) ¿Cuál es la probabilidad de escoger 5 estudiantes para una actividad en la que a lo sumo 3 sean hembras?
6. Completa en tu cuaderno de trabajo cada una de las afirmaciones siguientes de manera que obtengas una proposición verdadera en cada
inciso.
En la tabla 2.20 se recoge las notas alcanzadas
en la evaluación final de Química de 33 estudiantes de un grupo de 12. grado:
o
a) La variable estadística objeto de estudio es
b) La escala que se puede utilizar para medir
la variable estadística estudiada es
Tabla 2.20
Notas
alcanzadas
Fi
A:[60;70)
5
B:[70;80)
15
C:[80;90)
10
D:[90;100)
3
c) La cantidad de estudiantes que alcanzaron notas superiores e
iguales a 80 puntos en la evaluación final es
d) La amplitud o el rango de la clase C es de
e) La probabilidad de que al seleccionar al azar un estudiante, este
haya alcanzado una nota igual o superior a 90 puntos es
142
CAPÍTULO 2
f) La nota central entre las notas alcanzadas por el grupo es
aproximadamente
g) La nota más frecuente alcanzada por el grupo es aproximadamente
7. Completa en tu cuaderno de trabajo cada una de las afirmaciones
siguientes de manera que obtengas una proposición verdadera en
cada inciso.
Tabla 2.21
Los resultados de una investigación realizada
para determinar el comportamiento del con-
Consumo
sumo de electricidad de 30 viviendas en el mes
(kW h)
de septiembre, se muestra en la tabla 2.21:
[100;150)
7
[150;200)
10
[200;250)
6
[250;300)
5
[300;350)
2
a) La variable estudiada se clasifica como
cuantitativa
b) La mediana se encuentra en la clase
Fi
c) La cantidad de viviendas que consumió menos de 200 kW h es
d) La longitud de clase es
e) El consumo promedio por vivienda es
8. Si se selecciona al azar un número de tres cifras, ¿cuál es la probabilidad de que las sumas de sus dígitos sean igual a 4?
9. En un instituto de investigaciones científicas trabajan 55 personas, de
estas 26 conocen el idioma ruso, 20 el alemán y 16 el francés. Además,
13 conocen el ruso y el alemán; 8 el ruso y el francés. Hay tres personas que hablan los tres idiomas. Si se selecciona al azar una de las
personas que trabajan en el instituto, ¿cuál es la probabilidad de que
no hable ninguno de estos tres idiomas?
10. En la figura 2.27 se representa la distribución de los 30 estudiantes
del grupo 12.o B en cuanto a su participación en los concursos de Matemática (M), Física (F) y Química (Q) a nivel de grupo. Los números
colocados en cada región informan sobre la cantidad de elementos de
los conjuntos representados.
143
MATEMÁTICA
Fig. 2.27
a) Expresa qué significa “x” en el diagrama y determina su valor.
b) Determina de cuántas maneras diferentes se pueden otorgar los
tres primeros lugares entre los participantes en el concurso de
Matemática.
c) Calcula la probabilidad de que, al elegir un estudiante entre los
participantes en los concursos, este no haya concursado en Física.
11. Copia en tu cuaderno de trabajo la respuesta correcta en cada inciso.
En la figura 2.28 se representa la distribución de 16 estudiantes que
participaron en los concursos de Matemática (M), Física (F) e Informática (I). Los números colocados en cada región del diagrama informan
la cantidad de elementos de los conjuntos representados:
Fig. 2.28
144
CAPÍTULO 2
11.1 La cantidad de estudiantes que solo participó en el concurso de
Informática es:
a) 11
b) 7
c) 4
d) 8
11.2 La probabilidad de que al escoger al azar un estudiante entre
los participantes y este haya participado solo en los concursos de
Matemática y Física es:
1
a)
5
b)
1
16
c) 1
d) 2
12. En una carrera de 400 metros planos participan 5 corredores. ¿De
cuántas maneras diferentes pueden quedar ubicados los corredores
en la carrera (sin considerar empates)?
13. Se lanza tres veces una moneda bien equilibrada y sale cara las tres
veces. Si la moneda se lanza una cuarta vez, ¿qué es más probable que
salga, cara o escudo?
14. En una circunferencia están situados 15 puntos. Considerando estos
puntos como vértices, ¿cuántos triángulos inscritos en la circunferencia pueden trazarse?
15. En un lote de 4 artículos se conoce que hay 4 de ellos que son defectuosos. Si se escogen dos artículos del lote al mismo tiempo, calcula la
probabilidad de que:
a) los dos sean defectuosos,
b) los dos sean buenos,
c) uno sea bueno y el otro defectuoso,
d) al menos un artículo sea bueno.
16. Dado el binomio a b 22. Determina:
a) La cantidad de término que tiene su desarrollo.
b) ¿En qué posición se encuentra el término cuyo coeficiente es
simétrico con relación a los demás coeficientes?
c) Determina el vigésimo término.
145
MATEMÁTICA
17. De los 30 estudiantes del grupo 12..o A de un preuniversitario, 12 participan en un concurso de ortografía a nivel de centro.
a) Determina de cuántas maneras diferentes todos los estudiantes
que participaron en el concurso pueden quedar ubicados en los
tres primeros lugares (sin considerar empates).
b) Calcula de cuántas formas diferentes se puede seleccionar dos estudiantes del grupo 12.o A para que divulguen los resultados obtenidos en el concurso.
c) Determina la probabilidad de que, al seleccionar un estudiante,
este no haya participado en el concurso.
18. El equipo de ajedrez del grupo 12.o C tiene 7 integrantes, de ellos 2
son del sexo femenino. Si como parte de su preparación realizan un
torneo a nivel de grupo:
a) ¿De cuántas formas puede quedar conformada la tabla de posiciones al finalizar el torneo sin que haya empates?
b) ¿De cuántas maneras diferentes se pueden repartir los tres primeros lugares sin que haya empates?
c) Al seleccionar un miembro del equipo para una entrevista. ¿Cuál es
la probabilidad de que no sea del sexo femenino?
19. Se cruzan dos individuos heterocigóticos para dos caracteres (Aa Bb).
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el genotipo del hijo sea AABB?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el fenotipo del hijo corresponda a
los dos caracteres dominantes?
146
CAPÍTULO 3
Números Complejos
E
n los siglos xvi y xvii, matemáticos como Gerolano Cardano, Leonard
Euler y Johann Carl Friedrich Gauss desarrollaron toda una teoría sobre los llamados números complejos, que desde entonces y hasta la
actualidad se utilizan en diversos campos de las matemáticas, en especial
en la geometría fractal, y en otras áreas como la física, la cinematografía,
las telecomunicaciones, la informática, la ingeniería hidráulica, la electrónica, así como en la aerodinámica,
de la cual te resultará interesante
saber, que entre los numerosos problemas que se resuelven mediante
operaciones con números complejos, se encuentra el diseño de las
alas de los aviones (figura 3.1).
Fig. 3.1
Al respecto ¿qué vas a aprender
en este capítulo?
Aprenderás acerca de las limitaciones del dominio de los números reales, que dieron lugar a la introducción de números imaginarios, y con ellos,
a un dominio numérico más amplio con características, relaciones y propiedades que permiten realizar las operaciones de cálculo sin restricciones.
Conocerás, además, algunas de sus aplicaciones en otras ciencias en las
cuales puedes encontrar intereses profesionales.
147
MATEMÁTICA
3.1 Introducción a los números complejos
A la par del desarrollo de la humanidad y de la necesidad de utilizar
en la vida cotidiana los números para ordenar, medir, repartir y calcular al
explicar o modelar diversos fenómenos o procesos, fueron apareciendo las
limitaciones de las operaciones de cálculo, que han dado origen en cada
momento histórico a nuevos dominios numéricos hasta llegar al dominio
de los números reales.
¿Cuál es la limitación del dominio de los números reales que motivó la
necesidad de su ampliación hacia un nuevo dominio numérico? ¿Qué es
un número complejo? ¿Cuáles son sus características?
Limitaciones y ampliaciones sucesivas de los dominios numéricos
¿Por qué se requiere el conocimiento de los números complejos?
Hasta ahora han sido problemas
prácticos, los que han motivado
las sucesivas ampliaciones de los
dominios numéricos (figura 3.2).
Conoces que el primero y más res-
Q
Z
N
R
Q+
tringido de ellos es el conjunto de
los números naturales (ℕ), de cuyas
Fig. 3.2
limitaciones se originan las primeras ampliaciones.
■ Es así que, el dominio de los números fraccionarios surge para re-
solver el problema de dividir una unidad en varias partes proporcionales, o sea, para solucionar ecuaciones de la forma ax = b en las que b no
es múltiplo de a. El problema se resuelve añadiendo nuevos números
b
de la forma , donde a ℕ : b ℕ , a 0.
a
■ Por su parte el dominio de los números enteros (Z), surge para resolver
el problema de magnitudes que tienen dos sentidos diferentes; matemáticamente, esto conduce a la resolución de ecuaciones de la forma
148
CAPÍTULO 3
x + a = b (b < a). El problema se resuelve añadiendo los números negativos – a a ℕ .
■ Posteriormente el dominio de los números racionales se origina
para resolver la división entre dos cantidades enteras, que permiten
resolver ecuaciones de la forma ax = b en las que b, puede o no ser
múltiplo de a y el cociente es una cantidad finita o infinita periódica. El
b
problema se resuelve añadiendo nuevos números de la forma , donde
a
a Z, b Z, a 0 .
Más adelante se completa con la aparición del dominio de los reales
(R) para medir cantidades irracionales, como la longitud de la diagonal
del cuadrado de lado unitario; equivalente a la solución de la ecuación,
x 2 = a (a > 0).
Ejemplo 3.1
Justificar las proposiciones que aparecen a continuación:
3
es Q+ .
4
b) El número – 5,3 es un elemento del conjunto .
a) El dominio más restringido al cual pertenece
c) El número π no es un valor racional.
d) Todo número natural es fraccionario.
e) El dominio de los números reales, es una ampliación del dominio de los
números racionales.
f) El número −8 no pertenece a R
.
Resolución:
a) Porque el dominio Q+ se expresa como el cociente de dos números
naturales diferente de cero.
b) Toda expresión decimal finita positiva o negativa, es un número raciop
con
nal, que pueda ser expresado como una fracción de la forma
q
q ≠ 0.
149
MATEMÁTICA
c) El número π, es un número con infinitas cifras decimales no periódicas,
por eso no es un número racional.
d) Todo número natural es fraccionario, porque puede ser expresado
12
o 12, 0.
como el cociente de dos números naturales, por ejemplo: 12 =
1
e) El dominio de los números reales, es una ampliación del dominio de los
racionales, porque le fue adicionado a los racionales, las expresiones
decimales no periódicas (irracionales) ejemplos: log2 y e.
f) La −8 = 2 −2, y como el radicando es negativo no es posible calcular
la raíz cuadrada en R
.
Aplica tus conocimientos
1. Calcula y expresa el dominio más restringido al cual pertenece el resultado.
2
a) 2, 5 : 0, 50 3, 4
b)
0,1
1 3
3 :
0, 01
7 7
3
3
:
4
16
c)
1
1
4
1
5
1
4
2. Determina los valores de x R que satisfacen las ecuaciones siguientes:
a) 3 x
2
2
x2
3 2
4
b) 4 x
2 x
3
4x
4
0
3. Identifica el dominio numérico más restringido al que pertenecen ambas componentes del par o los pares ordenados del conjunto solución del sistema de
log 2 y x
1
ecuaciones siguiente: 3
2
2
x y 1
Números complejos. Expresión binómica de un número complejo
¿En qué aspectos de la vida cotidiana, son importantes los números
complejos?
Desde la antigüedad, se han identificado problemas prácticos que revelan la limitación que tienen los números reales para extraer raíces de
índice par de números negativos, y cuya solución ha dado lugar al surgimiento de un dominio numérico más amplio. Al respecto, consideremos el
problema siguiente:
150
CAPÍTULO 3
Se quiere construir una caja similar a la imagen de la figura 3.3 de forma tal, que su volumen sea numéricamente igual a su perímetro
disminuido en 10 2 unidades. ¿Cuál sería la
longitud de las aristas del cubo?
Por los datos de la imagen la figura representada es un cubo y la solución del problema
conduce a la ecuación siguiente:
Fig. 3.3
x3 = 12x − 10 2 .
De la historia
Fue el matemático e ingeniero italiano Nicolo Fontana
(1499-1557) apodado Tartaglia (figura 3.4) a causa de su
tartamudez, quien demostró que las ecuaciones de tercer
grado de forma x3 = px + q, pueden ser resueltas y que su
raíz se expresa en la forma: x 3 u . Esta es una ecuación
de tercer grado que puede ser resuelta por:
(I)
u+v=q
(II)
p
u∙v=
3
Fig. 3.4
3
En el caso de la situación del volumen de cubo que se plantea, p = 12,
q = − 10 2 y el sistema de ecuaciones es:
u + v = − 10 2
[1]
u ∙ v 4 64
[2]
3
Para resolverlo, despejamos u en [2], u =
v
+ v = − 10 2
64
v
, y sustituimos en [1]:
64
64 +v2 = − 10 2v
v2 + 10 2v + 64 = 0.
151
MATEMÁTICA
Al tratar de resolver la ecuación se aplica la fórmula del discriminante:
D b2 4ac y se obtiene:
D = (10 2 )2 – 4 ∙ 64 = 200 – 256 = − 56 < 0
b2 56
no se puede calcular por lo que el
2a
sistema no tiene solución real. Significa que:
Como D < 0, entonces, v
– el dominio de los números reales R, resulta insuficiente para dar solución a situaciones que requieran de la extracción de la raíz cuadrada de
números negativos.
– por lo que si se amplía el campo real, entonces todas las ecuaciones de
segundo grado tendrían solución.
Es así que se introduce un elemento llamado unidad imaginaria que se
denota por i y cumple con la condición:
i 2 1
(1)
A partir de la condición (1) es posible conocer las potencias sucesivas de
la unidad imaginaria
Potencias de exponente natural de la unidad imaginaria
i0 1
i1 i
i2
i 4 i 3 i �1
i5 i 4 i i
i 6 i 5 i � 1
i 7 i 6 i � i
i 8 i 7 i �1
i9 i8 i i
i 10 i 9 i � 1
i 11 i 10 i � i
En general, i 4 n 1 i 4 n 1
Es decir que, i 4 n k
152
i
i k; (k = 0,1, 2, 3).
i 4n 2
i3
1
1
i 4n 3
i2 i
i
i
CAPÍTULO 3
Ejemplo 3.2
Calcula:
a) i 12
b) i 21
c) i 38
d) i 15
Resolución:
Dividiendo en cada caso el exponente por 4, tenemos:
�
a) i 12 i 12 0 i 0 1
b) i 21 i 20 1 i 1 � i
c) i 38 i 36 2 i 2 � 1
d) i 15 i 12 3 i 3 � i
La introducción de la unidad imaginaria que da solución a la operación
de radicación de índice par, de números negativos en el dominio de los
números reales, dio origen a los números complejos.
Definición 3.1
Un número complejo, es la adición de un número real y el producto de la unidad
imaginaria por un número real. Su notación es z
a bi , donde:
a es la parte real y se denota R z ,
b es la parte imaginaria y se denota I z .
En símbolos: R a bi = a y I a bi = b.
La expresión a + bi con a, b∈ R , se llama forma binómica, aritmética o
rectangular de un número complejo.
Cuando R z 0, tal que z = bi con b ≠ 0 , se dice que z es un número
imaginario o imaginario puro.
Cuando I z 0, tal que z = a, se dice que z es un número complejo real
o real.
153
MATEMÁTICA
Saber más
W. R. Hamilton (1805-1865), figura 3.5, notable matemático irlandés, definía los números complejos como pares ordenados de
números reales, atendiendo a un conjunto
formal de reglas.
En otras fuentes bibliográficas puedes encontrar que un número complejo, también
se define como un par ordenado de números reales z
a; b ; donde a es la parte real
Fig. 3.5
y b es la parte imaginaria.
Al par ordenado a;0 se le denomina número complejo real y al 0;b , con b 0
número imaginario puro.
En esta notación, la unidad imaginaria se define como i = (0;1).
También en ingeniería puedes encontrar la notación de unidad imaginaria
como j. Por ejemplo, en el cálculo de la impedancia en un circuito RLC en serie.
Supongamos que un circuito eléctrico compuesto por una resistencia R = 10 Ω,
un inductor L 0,1 H , y un capacitor C
100 F, conectados en serie a una fuente
de voltaje sinusoidal de 100 V y frecuencia f 50 Hz. La unidad imaginaria j permite
modelar la oposición de inductores y capacitores en corriente alterna, simplificando
cálculos que de otra manera requerirían resolver ecuaciones diferenciales. En este
ejemplo, la corriente resultante tiene una magnitud de casi 10 A y un pequeño
defasaje debido a la reactancia neta casi nula. La resolución de este tipo de problemas es esencial en el diseño de filtros eléctricos, sistemas de potencias y dispositivos
electrónicos que operan con señales variables en el tiempo.
Ejemplo 3.3
Fundamentar por qué los números siguientes se definen como números
complejos:
a) 3 + 2i
b) −5 − i
c) 6i
d) 10
Respuesta:
Estos números son complejos porque cumplen con la definición, es decir que:
154
CAPÍTULO 3
a) 3 + 2i está formado por la adición del número real 3 y el producto de la
unidad imaginaria por el número real 2.
b) −5 − i está formado por la adición del número real −5 y el producto de
la unidad imaginaria por el número real −1.
c) 6i está formado por la adición del número real 0 y el producto de la
unidad imaginaria por el número real 6.
d) 10 está formado por la adición del número real 10 y el producto de la
unidad imaginaria por el número real 0.
Ejemplo 3.4
Determinar la parte real y la parte imaginaria de los números complejos siguientes:
a) z1 3 7i
b) z2 10i 2
c) z3 = 12i
Parte real
d) z3 = 12i
Parte imaginaria
a) z1 3 7i
R 3 7i 3
I 3 7i 7
b) z2 10i 2
R 10i 2 2
I 2 10i 10
c) z3 = 12i
R 12i 0
I 12i 12
d) z 4 = 45
R 45 45
I 45 0
De la historia
Los antecedentes del número complejo datan del Renacimiento, siglos xv
y xvi, cuando matemáticos italianos encontraron ecuaciones de segundo y
tercer grados con soluciones “sin sentido”. El nombre unidad imaginaria,
es una reminiscencia de la época en que se consideraba que estos números
eran imaginarios, absurdos y envueltos en misterio.
Jerónimo Cardano (1515-1576) fue el primero en representar este “sin sentido” con un símbolo. Discursando sobre la imposibilidad de partir 10 en dos
partes, cuyo producto fuera 40, demostró que conduciría a las expresiones
imposibles 5
15 y 5 15 .
155
MATEMÁTICA
Continuaron llamándose números imaginarios hasta finales del siglo xviii,
cuando fueron denominados complejos por el matemático alemán C. F.
Gauss (1777-1855) al dar la primera prueba rigurosa del Teorema fundamental del Álgebra, durante su disertación doctoral.
Los números complejos caracterizados en su forma binómica, por sus
componentes reales −parte real R y parte imaginaria I − hace que tengan el mismo comportamiento que tienen los números reales, y propicia
que no se tengan que introducir nuevas operaciones, por lo que bastará
operar con el nuevo elemento introducido.
Bajo estas condiciones, a partir de la condición (1) que se ha introducido con la unidad imaginaria i, los números reales quedan como un subconjunto del conjunto ampliado, de manera que estos y los imaginarios puros
son casos particulares del dominio de los números complejos.
El diagrama de Venn, de la figura 3.6 presenta las relaciones conjuntista entre los Dominios numéricos estudiados. Se puede inferir que el Conjunto de los números complejos es un Dominio numérico.
C
Q
Z
N
R
Q+
Fig. 3.6
Significa, que sus elementos expresados en la forma binómica a bi
cumplen determinadas condiciones con respecto a las operaciones de adición y multiplicación, así como, de las propiedades que lo dotan de cierta
estructura que permiten considerarlo un dominio numérico.
Sobre estas condiciones que caracterizan al Dominio de los números
complejos, denotado por (C), se profundizará en los próximos epígrafes
de este capítulo.
156
CAPÍTULO 3
¿Sabías que...?
En los proyectos informáticos, se emplea el Lenguaje de Modelado Unificado
(UML) basado en diagramas para la especificación, visualización, construcción
y documentación de modelos de sistemas de software en los que se utilizan
operaciones que requieren de la manipulación de los números complejos. Por
ejemplo, para adaptar las notaciones gráficas a lenguajes de programación concretos, en el caso de las operaciones por la sintaxis propia de Java, como se
muestran en las siguientes imágenes de las figuras 3.7 a, b.
Fig. 3.7
Reflexiona sobre lo aprendido
1. ¿Qué es un número imaginario?
a) Un número complejo con parte real igual a cero.
b) Un número que no se puede representar en la recta numérica.
c) Un número que se utiliza para resolver ecuaciones de segundo grado.
d) Un número que se utiliza para medir la distancia entre dos puntos.
(IA https://app.diffit.me/packet/82492cf1-2ee8-4462-a579-d18681c86465)
2. Los números imaginarios fueron inicialmente considerados “ficticios” o
“inútiles”. ¿Has tenido alguna experiencia en la que algo que parecía inútil
o sin sentido te haya resultado útil o interesante después?
(IA https://app.diffit.me/packet/82492cf1-2ee8-4462-a579-d18681c86465)
157
MATEMÁTICA
3. Los números complejos son importantes en la física y las matemáticas.
¿Qué te parece más importante en tu vida la lógica y la razón, o la imaginación y la creatividad? Explica tu respuesta.
(IA https://app.diffit.me/packet/82492cf1-2ee8-4462-a579-d18681c86465)
4. Verifica si la siguiente ecuación tiene solución en R.
x2
x2
x 16
x 1
6
1
x
x
x 36
x3 1
5. ¿A partir de introducir la unidad imaginaria y la condición (1) cuál sería la
solución de v
b2
56
2a
, y cuál la longitud del cubo de la figura 3.3?
6. Simplifica:
a) i4(i12 − 2)
b) i13 + 1
e) 4i2 – 3i3
f) i2026 – i38
c) (i16 − 1)
d) 2 i301 i3
g) (i2)1014 ∙ (i3)91
7. Escribe números complejos que cumplan las condiciones siguientes:
a) La parte real en cada número complejo es: −2; 1; 6; 0; −1
b) La parte imaginaria en cada número complejo es: 7; 0; −3; 4; −5
c) Es un imaginario puro cuya parte imaginaria es un elemento de Q.
7.1 Elabora un diagrama de Venn que represente las relaciones conjuntistas
entre dominios numéricos, y ubica los números escritos en el dominio más
restringido al cual pertenecen.
Investiga y aprende
Sobre el impacto del surgimiento de los números complejos para el desarrollo de
la humanidad, el matemático y científico Ian Stewart escribió un libro titulado
17 ecuaciones que cambiaron el mundo, el capítulo 5 lo dedicó a los números
complejos.
www.libromaravillosos.com y www.cubaeduca.cu
a) Fundamenta por qué el autor considera que los números complejos, produjeron cambios en el mundo.
b) Existen otros autores como Michael Guillen, quien escribió el libro Cinco ecuaciones que cambiaron al mundo, y en una de ellas define la unidad imaginaria.
Establece una comparación crítica entre ambas lecturas.
158
CAPÍTULO 3
Para profundizar en el tema, te sugerimos consultar el contenido y resolver las actividades propuestas en:
Conéctate
Forma binómica de un número complejo
https://curricular.cubaeduca.cu/education/category?id=1563&type=theme
Ejercicios del epígrafe 3.1
1. Enuncia una situación de la vida práctica en la que solo tengan sentido
los elementos del conjunto numérico dado:
a) Naturales
b) Enteros
c) Fraccionarios
d) Irracionales
2. Identifica en tu cuaderno de trabajo cuáles de las relaciones que se dan
a continuación son verdaderas o falsas:
3
∈ℕ
2
a) 0 ∈ ℕ
b)
f) – 6 ∈ Z
g) 4,7
c) tan
R
3
h) 400 ∈ ℕ
d) 7,66 ∈
e) I ⊂
i) log 0, 01∈ ℕ j) log2 0, 25 ∈ Z
3. Analiza y escribe en tu cuaderno de trabajo (ℕ, , Z, ℝ ) según corresponda al dominio numérico más restringido al cual pertenece el resultado de calcular:
a)
4,9 ⋅
100
2sen 30
b)
12
o
c) log2 3 4 −
5
3
d)
2
log2 9 1
4. Sean tres conjuntos formados por los números que tienen como dominio más restringido el indicado:
A: números enteros B: números fraccionarios C: enteros y fraccionarios
4.1 Selecciona de la lista, que aparece a continuación, los números que
cumplen con las condiciones dadas y conforma el conjunto escribiendo sus elementos.
Lista:
2
;
3
9+7 ;
1
;
log2 3 2
3 ;
4
sen
3π
π
; sen
; 0,8
2
6
4.2 Elabora un diagrama de Venn que relacione a los conjuntos A, B y C.
159
MATEMÁTICA
5
1
5. Sea el conjunto: U ; 0; 1; 25 ; ; ; 2, 09; 6 ; e
2
3
Escribe en notación tabular los elementos de los conjuntos siguientes:
A x U y x ℕ
B x U y x
C x U y x Z
D x U y x R
E x U y x Z
F x U y x R
6. Fundamenta si las proposiciones dadas a continuación son verdaderas
o falsas:
2
a) sen ; ; e2 ; 5 R
4 3
1
b) e 2 ; 2; 5; 0 Z
2
5
ln 2 1
c) sen ; 2sen ;1; cos ; 16 ;log2
d) e
; ; 0 ;5
3
6
6
2
7. Determina cuál es el domino numérico más restringido al que perte-
necen los resultados de las operaciones siguientes.
4
10 2 103
log4 81
7 − 12
3
c) 2
b)
d)
a) 2 2
10 5
12 − 6
8. Verifica si las ecuaciones siguientes tienen solución en el conjunto U
dado:
a)
4 x 2 3 x 5
2
x 2 2 x 13
b)
3x
39
45
−
5−
2 x −1 2 x 1
4 x 2 1
U=ℕ
c) (m − n)x 2 – nx = m
U Z
U = , m, n ∈
d) 2 x − 2 x − 3 – 4 x 4 0
U=R
9. Argumenta por qué son verdaderas o falsas las proposiciones
siguientes:
a) El dominio numérico más amplio de los estudiados, es el conjunto
de los números complejos.
b) El conjunto de los números naturales, no es un subconjunto de los
números complejos.
c) La ecuación x 2 x 1 0, tiene a lo sumo una solución compleja.
d) El número complejo 5 + 3i pertenece a los números reales.
160
CAPÍTULO 3
10. Determina el dominio numérico más restringido al que pertenecen
los números siguientes:
a) 5
b)
2
3
f) 6 8
g)
3
k) −7.56
l) π
4
π
2
c) –7
d) sen
h) −42
i) 4log2 3
j) −3 − 4
m) 0 − i
n) 7+1,5i
ñ) −3i 120
e) 3i
11. De los números complejos dados a continuación, escribe en tu cuaderno de trabajo cuáles representan un número complejo real y cuáles
son imaginarios puros.
a) z1 – 3 – 2i
b) z2 – 4
c) z3
e) z5 = 5 i
f) z6 = i
g) z7 =
i) z9 = − 2,7
j) z10 = 4i
1
i
2
11
3
k) z11 = x
d) z4 – 0
11
3
l) z12 = yi (y≠ 0)
h) z8 = 4 −
12. Identifica y justifica en tu cuaderno de trabajo si las proposiciones que
aparecen a continuación se cumplen siempre, nunca o algunas veces.
a) El número 4i es un elemento del conjunto de los números reales.
b) El conjunto de los números reales es un subconjunto de los números complejos.
c) El número real 0,87 es un elemento del conjunto de los números
complejos.
d) El número complejo 5 + i pertenece al conjunto de los números
reales.
e) El dominio más restringido al cual pertenece i 2 es Z.
13. Identifica en tu cuaderno de trabajo, cuáles de las proposiciones que
aparecen a continuación son falsas y escríbelas en tu cuaderno de trabajo como verdaderas.
a) La parte imaginaria del número complejo 3 − 4i es 4.
b) La parte real del número complejo 87i − 2 es –2.
c) Un número es imaginario puro si su parte real es cero.
d) Un número es real cuando la parte imaginaria es 1.
161
MATEMÁTICA
e) Si P y Q son dos conjuntos tal que: P 2; 1; 0;1;5 y
Q x R : x 1 , entonces P Q 5 .
f) 1,5i ∉ R.
g) Sean A y B dos conjuntos no vacíos, si 6i ∉ A y 6i A B , entonces 6i ∉ B .
h) Si
AyB
son
dos
conjuntos
tales
B x R : x 3,5 , entonces A B
i)
3 4i 4i ℕ.
que
5i .
7
A 3; 5 ;
2
y
2027
j) Una ecuación de la forma ax 2 bx c 0 (a ≠ 0, b y c parámetros
reales) siempre tiene solución en el dominio de los números reales.
3.2 Relaciones y operaciones entre números
complejos en forma binómica
Para describir formas irregulares impredecibles (figura 3.8), como una llama o
una nube se emplea un ente geométrico,
llamado fractal, que al ampliarse aumenta su definición infinitamente, conservándose semejante a sí mismo. Los fractales
se emplean además en la compresión de
Fig. 3.8
imágenes digitales para su almacenamiento compacto por una computadora, y en la creación cinematográfica, entre otros usos, por sus bellas
figuras.
Estos se obtienen como resultado de realizar operaciones de cálculo
con números complejos, en particular la adición y la multiplicación sin restricciones, que además cumplen propiedades y relaciones que lo distinguen como un Dominio numérico.
¿Cuándo dos números complejos son iguales? ¿Cómo adicionar y multiplicar números complejos expresados en forma binómica? ¿Cuáles
conceptos asociados a las operaciones con números reales se pueden
transferir por analogía al cálculo con números complejos? ¿Qué propiedades cumplen las operaciones con números complejos?
162
CAPÍTULO 3
De la historia
Fue el ingeniero hidráulico y matemático italiano Rafael Bombelli (1526-1572),
el primero en exponer la forma a ± b 1 como expresión del número complejo
y en efectuar operaciones con ellos en su libro Algebra, publicado en 1572 (figura 3.9).
Fig. 3.9
Relación de igualdad entre números complejos
¿Qué condiciones deben cumplir dos o más números complejos para
declarar la igualdad entre ellos?
Teniendo en cuenta la condición (1) y que los múltiplos de i no son comparables con los números reales, se cumple que dos números complejos
son iguales cuando coinciden en sus partes reales y también en sus partes
imaginarias.
Es decir que:
a ib c id si y solo si
a = c y b = d.
La relación de igualdad entre números complejos permite resolver
ecuaciones como la del ejemplo siguiente.
163
MATEMÁTICA
Ejemplo 3.5
Determinar los valores de x , y si: x 2 3i 1 (y 2 + 2 y )i
Resolución:
Partes reales: x + 2,−1
Identificación de la parte real y la parte
imaginaria de cada número complejo.
Partes imaginarias: 3,
y 2 + 2y
x 2 1 y 3 = (y 2 + 2 y )
Por la relación de igualdad, se igualan las
partes reales y de la misma forma las partes imaginarias
x 2 1
Se toma la ecuación de la parte real y se
resuelve
x 1 2
x 3
Se toma la parte imaginaria y se resuelve
la ecuación cuadrática obtenida.
3 y 2 2y
y 2 2y 3 0
y 3 y 1 0
y1 3
y2 = 1
Se puede comprobar sustituyendo los valores reales encontrados:
Sustituyendo x 3 y y1 3 en la ecuación x 2 3i 1 (y 2 + 2 y )i,
se obtiene:
x 2 3i
3 2 3i
1 (y 2 + 2 y )i
1 3 2 3 i
2
1 3i 1 3i
Sustituyendo x 3 y y 2 = 1 en la ecuación, se obtiene
x 2 3i
1 (y 2 + 2 y )i
1 3i
1 1 2 1 i
2
1 3i 1 3i
Luego, el conjunto solución de la ecuación es S = 3; 3 , 3;1 .
164
CAPÍTULO 3
Como se aprecia en el ejemplo 3.5, existen ecuaciones con expresiones
complejas en forma binómicas, que al aplicarles la relación de igualdad de
números complejos, su resolución se reduce a la resolución de ecuaciones
lineales y (o) cuadráticas en una variable, e incluso a un sistema de ecuaciones cuyo conjunto solución está en R. Su aplicación desde el dominio de
los números complejos es de gran utilidad para las ciencias.
¿Sabías que...?
El término fractal fue “acuñado” por el matemático polaco
Benoit Mandelbrot (1924-2010), figura 3.10. Muchas de estas
formas como la de la figura 3.11 a, cuyo detalle se ve en la
3.11 b se logran iterando funciones de números complejos.
Fig. 3.10
a
b
Fig. 3.11
Su ejemplo más famoso denominado conjunto de Mandelbrot, emplea la función cuadrática f(z) = z2 + c, donde c es un número complejo. Así, comenzando
con z0 = 0, las iteraciones son:
z1 = f(0) = c,
z2= f(c) = c2 + c,
z3 = f(c2 + c)= (c2 + c)2 +c, etcétera.
Es decir, que la sucesión z0 , z1 , z2 , z3 , …, dependiendo de la elección de c, será
acotada o no: aquí, para c = 0,1 + 0,2i, se estabiliza en 0,5 + 0,22i. Mientras que
para c = 1 –i, crece sin cota.
Por su capacidad de definición y facilidad de formación basta una imagen inicial
a escala y una simple regla para repetirla.
165
MATEMÁTICA
Investiga y aprende
En el dominio de los números reales, la relación de orden entre sus elementos
establece los conceptos de “mayor y menor que” y se cumplen propiedades de
la Ley de Monotonía. Luego, si consideramos que R C :
¿Se pueden establecer relaciones de orden en el dominio de los números
complejos?
¿Tienen sentido las desigualdades a bi
c di ?
Adición y multiplicación de números complejos en forma binómica
La forma binómica a + bi de los números complejos hace posible calcular con ellos igual que si fueran elementos de cualquier conjunto numérico
que sea un Dominio. Siempre se puede adicionar y multiplicar números
complejos, como cuando lo hacemos con los números reales.
En general para los números complejos a bi y c di con a, b, c , d∈ R
se cumple que:
Adición
a bi c di a c b d i
Multiplicación
a bi c di ac bd ad bc i
Ejemplo 3.6
Calcular
a) (2 + 3i) + (3 –2i)
b) (1 + 3i) (7 + 4i )
c) 5i + 2 (8 − 5i)
Resolución:
a) (2 + 3i) + (3 –2i)
Se agrupa la parte real con la parte real
de cada sumando y de igual forma las
partes imaginarias, luego se reducen los
términos semejantes.
= (3 + 2 ) + (3 – 2)i
= 5+i
(1+ 3i) (7 + 4i)
7 4i 21i 12i
7 25i 12 1
5 25i
166
2
Aplicar la ley distributiva de la multiplicación con respecto a la adición.
Se aplica la condición (1) de la unidad
imaginaria y se reducen los términos
semejantes.
CAPÍTULO 3
b) 5i 2 8 –5i
Se efectúa el producto indicado, aplicando la ley distributiva de la multiplicación
con respecto a la adición y se reducen los
términos semejantes.
5i 16 –10i
=16 –5i
Saber más
Iniciamos el capítulo planteando la limitación del dominio de los números reales, que dio lugar a su ampliación, sin embargo, la aparición del dominio de los
números complejos también resolvió la restricción existente en la operación de
logaritmación con números reales negativos, al introducir la ecuación ei
1 0,
conocida como Identidad de Euler.
Como la potenciación es la operación inversa a la logaritmación, de la identidad
de Euler se obtiene ei
1, de ahí que log
1
i log e .1
Opuesto, conjugado y módulo de un número complejo
Los conceptos de opuesto, conjugado y módulo, que conoces asociados a las operaciones con números reales, se transfieren por analogía al
dominio de los números complejos, esto permite establecer nuevas relaciones y otras operaciones entre números complejos expresados en forma
binómica.
Opuesto de un número complejo en forma binómica
Recuerda que...
Los números opuestos, o también llamados números simétricos, son los que tienen el mismo número o valor absoluto, con el signo contrario.
Luego, por analogía, para los números complejos se establece la definición siguiente:
Definición 3.2
Dos números complejos se llaman opuestos, si difieren en los signos de la
parte real y de la parte imaginaria.
En símbolos, si z a bi , donde a, b R, su opuesto, que se denota z (se
a bi, donde a, b R.
lee opuesto de z), es z
1
Carlos Sánchez Fernández y Rita Roldán Inguanzo: Paseo por el universo de los
números, p. 102.
167
MATEMÁTICA
Ejemplo 3.7
Determinar el opuesto de los números complejos siguientes:
a) – 5 + 4i
b) – 3i + 2,5
c) 2,3
d) – 9,2i
Resolución:
Se puede plantear que:
a) – (– 5 + 4i) = 5 – 4i
b) – (–3i + 2,5) = –2,5 + 3i
c) – (2,3) = – 2,3
d) – –9, 2i 9, 2i
Al introducir el concepto de opuesto de un número complejo, se puede
realizar la operación de sustracción, para la cual se procede de forma análoga a como se realiza en el dominio de los números reales.
Ejemplo 3.8
Calcular
a) (4+2i) – (8 – i)
b) 2i (1+7i) – (6 – i)
Resolución:
a) (4 + 2i) – (8 – i)
= (4 + 2i) + (– 8 + i)
como – (8 – i) = (– 8 + i) entonces se procede como en la adición.
= (4 – 8) + (2i + i)
= – 4 + 3i
b) 2i (1+7i) – (6 – i)
= 2i – 14 – 6 + i
= – 20 + 3i
Por orden de operaciones primero se
realiza a multiplicación, después se haya
el opuesto del sustraendo y luego se
procede como en la adición.
Conjugado de un número complejo en forma binómica
Al estudiar la operación de radicación con números reales, te familiarizaste con el concepto de conjugada de una expresión binómica, en la
cual al menos uno de los términos contenía la operación de radicación.
En particular, se aplicaba esa relación para racionalizar denominadores en
una operación de división de fracciones algebraicas.
168
CAPÍTULO 3
Recuerda que...
a b y a – b son dos expresiones conjugadas.
Este concepto se transfiere al nuevo dominio numérico como conjugado de un número complejo, expresado en forma binómica.
Definición 3.3
Dos números complejos se llaman conjugados si difieren solo en el signo
de la parte imaginaria. En símbolos, si z = a + bi, donde a, b R, su conjugado, que se denota: z (se lee z barra), es z
a bi , donde a, b R.
Ejemplo 3.9
Escribir el conjugado de los números complejos siguientes:
a) z = 2 + πi
b) z =
8
i− 2
3
c) z = 5
d) z = 3i
Resolución:
a) Como I(z) = π; luego el conjugado de z es: z 2 i
b) z =
8
8
8
i − 2 = − 2 + i , luego, z = − 2 − i
3
3
3
c) z = 5, luego z = 5, porque I(z) = 0
d) z = 3i, luego z = − 3i, porque R(z) = 0.
Atención
Como puedes apreciar, para obtener el conjugado de un número complejo, debes determinar el opuesto de la parte imaginaria.
Entre un número complejo y su conjugado se cumplen ciertas relaciones con respecto a las operaciones de adición, sustracción y multiplicación.
Teorema 3.1
Sea a + bi un número complejo, z C cualquiera; entonces se cumple:
a) z z = 2R(z)
b) z z = 2I(z)i
c) z ∙ z a2 b2
169
MATEMÁTICA
Demostración:
Se reduce a un simple cálculo de las operaciones indicadas.
Si z = a + bi y , z = a – bi, entonces:
a) z + z = (a + bi) + (a – bi) = 2a = � 2R(z)
b) z − z = (a + bi) – (a – bi = 2 bi = 2I(z)i
2
2
c) z ⋅ z = (a + bi)(a – bi) = a bi a2 b2 i 2 a2 + b2 por ser una sustracción de cuadrados y la condición (1) de la unidad imaginaria.
Reflexiona
Si z y w son números complejos,
b) z + w = z w
a) z = z
c) z w = z w
d) z
n
= z , n N.
n
En general, para probar estas propiedades, ¿cómo lo harías y qué método usarías? En 10.° y 11.° grados, con las identidades trigonométricas, empleaste un
método similar.
División de un número complejo en forma binómica
La introducción del concepto de conjugado de un número complejo
y sus relaciones con respecto a las operaciones de adición, sustracción y
multiplicación, permiten realizar sin restricciones la operación de división.
Recuerda que...
Para racionalizar el denominador de fracciones algebraicas de la forma
donde B
b
c , se amplía la fracción, para ello se multiplica por la conjugada
del denominador, es decir, por b c , debido a que b
con b, c
R :c
A
,
B
0, b
c b
c
b2
c
c.
Ejemplo 3.10
Realizar las divisiones de los números complejos siguientes, expresar el
resultado en forma binómica.
a)
1 − 3i
3i
170
b)
1
2 +i
c)
2 3
1 3i
CAPÍTULO 3
Resolución:
a)
1 − 3i
3i
1 3i i
3i i
Como se está dividiendo por un número
imaginario, se puede ampliar la fracción
(multiplicar numerador y denominador),
por una potencia de i de manera que el
exponente del denominador sea par, el
más cómodo es 2.
i 3i 2 i 3
3i 2
3
Efectuar la multiplicación indicada (numerador con numerador y denominador
con denominador. Tener presente que las
potencias de i, en particular i 2 1.
1
Separar en fracciones simples.
1
2�� + i
b)
c)
i
3
1
2 �i
2� i 2 �� i
Se debe ampliar la fracción (multiplicar
numerador y denominador), por el conjugado del denominador.
2 �� i
2 �� i
2� 1
3
Efectuar la multiplicación indicada (numerador con numerador y denominador
con denominador. Tener presente que en
el denominador siempre se va a multiplicar z ⋅ z y por tanto se obtiene a2 + b2 )
=
2 1
− i
3 3
Separar en fracciones simples.
2 3
1 3i
Proceder de forma análoga.
2 3 1 3i
1 3i 1 3i
171
MATEMÁTICA
=
2 2 3i – 3i
3i
2
4
2 3 3i – 3
4
–1 3 3i
4
1 3 3
i.
4
4
Módulo de un número complejo en forma binómica
El producto de un número complejo y su conjugado, está asociado al
concepto de módulo de un número complejo, con el cual se generaliza la
noción de valor absoluto de un número.
Definición 3.4
Se llama módulo de un número complejo z C, y se denota z , al número
real
z z .
Ejemplo 3.11
Calcular el módulo de los números complejos siguientes:
a) z = 2 + 3i
b) z = 2
c) z = 2 – 3i
Resolución:
a) z z z
2 3i 2 3i
b) z z z
2 2 2.
c) z z z
2 3i 2 3i
22 32 13 .
22 32 13 .
En general, se cumple que si z a bi, entonces: z a2 b2 por tanto:
z z z z .
Reflexiona
Si el número complejo z es un imaginario puro, ¿a qué es igual su módulo?
172
CAPÍTULO 3
Propiedades de las operaciones con números complejos
Como las operaciones con números complejos se efectúan calculando
con sus partes reales e imaginarias, cumplen las propiedades de las operaciones con números reales.
Teorema 3.2
La adición y multiplicación de números complejos son conmutativas y
asociativas, es decir:
z1
z2
z2
z1 z2
z2 z1
z1
z3
z2
z1 z2 z3
•
(propiedad conmutativa de la adición)
(propiedad conmutativa de la multiplicación)
z1
z2
z1 z2 z3
z3
(propiedad asociativa de la adición)
(propiedad asociativa de la multiplicación)
La adición de dos números complejos z y –z se anulan, es decir,
z
•
z1
0 para todo z C.
z
El cero es el elemento neutro de la adición, es decir,
z + 0 = 0 + z = z para todo z C.
•
El uno es el elemento neutro de la multiplicación, es decir,
z ∙ 1 = 1 ∙ z = z y z ∙ z–1 = 1 para todo z C.
La multiplicación de números complejos es distributiva respecto a la
adición y la sustracción, es decir, para todo z, z1 y z2 C, se cumple:
z
z1
z2
z z1
z z2 .
Ejemplo 3.12
1 2 1 2
a) Comprobar que: 2 3i i i 2 3i
2 3 2 3
b) Calcular de la forma más ventajosa posible:
2 55 i 4 i 2 55 i
Resolución:
a) Calculando tenemos:
1 2
1
2
3 7
i 2 3 i i
2
3
2 3
2 3
3 7
1 2
1
2
= i 2 3i 2 3 i
2 3
2 3
2
3
2 3i
173
MATEMÁTICA
Luego, se cumple la igualdad.
b) Aplicando las propiedades conmutativa y asociativa, obtenemos:
2 55 i 4 i 2 55 i
2 55 i 4 i 2 55 i
5
5
2
i 2
i 4 i
5
5
5
5
2
i 2
i 4 i 4 i .
5
5
Atención
En la práctica, se cancelan directamente los opuestos, sin necesidad de efectuar
todas las trasformaciones que hemos realizado en el ejemplo con el fin de que
se comprenda por qué resulta así.
Reflexiona sobre lo aprendido
1. ¿Cuáles condiciones deben cumplir los componentes de dos números
complejos, para que su producto sea un número complejo imaginario puro?
2. ¿Cómo demostrar con el principio de inducción completa que la propiedad
z
n
z n , con n N?
3. ¿Para qué valores de x y y (x, y R) los números complejos
z1 = 9y2 − 4 − 10xi y
z2 = 8y2 + 20i7 son conjugados?
4. ¿Qué relación debe existir entre a y b (a, b R) para que
imaginario puro?
3 2ai
b 2i
sea un
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complejos de Matemática Duodécimo grado, y realiza los ejercicios 1; 2; 3; 6 y 7.
174
CAPÍTULO 3
Ejercicios del epígrafe 3.2
1. Aplica la definición de igualdad de números complejos y determina los
valores de x, y R que satisfacen las ecuaciones siguientes:
a) x2 – y – yi = 5 – 2x + 3(1 − x)i
b) (2x2 + y2 − 11) + (2y 2 – x2) i = 17i
c) (4 + 2i)x + (5 − 3i)y = 13 + i
d) (3x −i) + (y − x + 5) = 8 −iy.
2. Calcula la suma de los números complejos siguientes:
a) (3 + 2i) + (5 + 3i)
b) (1 + 7i) + (4 + 5i)
c) (5 + 5i) + (–8 + 2i)
d) (–3 + 2i) + (16 – 11i)
e) (–15 – 8i) + (−1 − i)
1
2
f) 6 i 5 i
3
3
g) ( 4 2i) + i
h) (5 + 2i) + (2 + 4i)
i) (6 + 3i) + (3 – 5i)
j) (7 + 2i) + (5 − 4i)
k) (2 + 0i) + (4 + 0i)
l) (3 + 0i) + (0 + 3i)
m) (–3 – 5i) + (4 +5i )
n) (–8 – 5i) + (–2 – 2i)
ñ) (9 +2i) + (4 −2i)
2 1
m
1 5 2
i 2i
o) 2 p 3qi i n p) i i q)
2
5
3
3
3
3
1
1 2
r) 0,5i + i
2
4 5
1
1
1
1
s) 0,5i 0,5i t) 3i 3 i
2
2
2
4
3. Calcula.
a) (4 + 2i) (5 +i)
b) (2 + 0i) (3 + 0i)
c) (5 + 0i) (0 + 2i)
d) 4(5 + 2i)
e) – 5(4 + 3i)
f)
g) (3 + 2i) (3 – 2i)
h) (8 +i) (3 – 2i)
i) (–5 – 4i) (2i)
j) (1 + 2i) (2 + 5i)
k) (2 + 3i) (3 +15i)
l) 1 2i
1
(–2 – 4i)
4
2i 1
4. Calcula:
1
a) 2 – i 3 i – 4i b) (3−i ) (7 + i) 5i 3 2i
2
2
5
d) 5 3i 2 5i
3 5i 2i i
c) 3 – 5i
2
175
MATEMÁTICA
5. Halla la diferencia de los números complejos que se indican
z1
z2
a) (4 + 2i)
(2 + 4i)
b) 8 2i
3 6i
c) (10 + 3i)
(–5 – 2i)
d) 2 2i
(2 –i)
e) (–8 + 2i)
1
3i
2
f) (6 – 2i)
(2 + 7i)
6. Calcula:
c) – (55 – 2i) – (2 −i) (4 + 3i)
i
b) ( 2 i – 3)( 2 + i) – 2 1
2
d) (2 + 3i)2 − (2 − 3i)2
e) (1 + i)3 − (1 − i)3
f) ( 2 + i)2 − ( 2 − i)2
g) i(1 + i)4 − (1 − i)3
h) ( 5 − i)2 − 2i( 5 + i)
a) (1+ i) (1−i) 3 2 3i
7. El voltaje en un capacitor es VC 5i y en una resistencia VR = 7.
a) Calcula el voltaje total VT si VT VC VR .
b) Clasifica al número VC .
8. En un circuito de corriente alterna, las impedancias son los números
complejos z1 y z2. Si z1 3 4i (resistencia y bobina) y z2 = 2 − 5i (resistencia y capacitor):
a) Calcula la impedancia total si z1 y z2 están en serie.
b) Clasifica z1 y z2 en real, imaginario puro o complejo.
9. Determina los valores de x, y con x , y ∈ R ) si:
a) x2 – 3x + (y − 4) = − 2 + 3i
b) x + y – i(2x − y) = 4– 4i
c) x2 + i(y2− 2) = x –iy d) x2 + y−i(y + 1) = 2 −3i
e) x + y + ixy = 4 f) x – 2y + 3ix – 3iy = 5 –i
g) 2 + x + 3i(y − 24) = 3i
176
h) x –iy = 4
CAPÍTULO 3
x
+ 3ixy =1
y
i) x4– x2 + i(y − 4) = − 1 + 3i
j)
k) (x – 3i) + (5 + iy) = 6 – 6i
l) [x2 + 1 + (y − 1)i] – [2x + (y2 + 1)i] = 0
m) (x2 + iy) + (–3 – 4i) = 2x – i
n) (x + iy) + (x –iy) = 5
ñ) (x + y) – (x –iy) = 4
o) (x + 2 − i)(y– 1 − i) = 3 – 4i
10. Calcula los valores de x , y ∈ R que satisfacen las ecuaciones siguientes:
a) (x + iy) (1 – 5i) = 2 + 5i
b) (x + iy) (−1 + 4i) = − 9 + 5i
c) (x + iy) (3 – 7i) = 2 + 4i
d) (x + iy) (2 + i) = 1 + 3i
11. Determina la parte real y la parte imaginaria de los números complejos siguientes:
a) 3 – 4i
b)
2 + 5i
2
c) x – xy + (3 – 4i)
d) x2 + y2
e) 12 – (i + 4)
f) (2 – i) (i – 5)
g) −9
h)
j) 2 (i + 5 )
k) 50 ,6 – i10 4
l)
m) (x + i) (yi – 4) (2 – 3)
n) 2 3i
ñ) (2 – i) – (i – 2)
1
i
i) 5 − 2i
1
4
2 5i
1 i
12. ¿Para qué valores de x ∈ R los números complejos dados son imaginarios puros? ¿Para qué valor de y ∈ R su parte imaginaria es 0?
a) z = x x 1 5 + (2y − 1)i
b) z
1
3
1
(y2 + y +1)i
2
2x 2 x 1 4
c) z
5x
4x 5
5
y 9 2y 1 i
2x2 x 1 x2 1 2x 1
13. Sea z = (a + 2i) + 3i y z1 = 5 + (b − 1)i, con a, b ∈ R :
Determina a y b para que:
a) z z1 0
b) � R z z1 0
c) � I z z1 0
d) � I z z1 0
e) � R z z1 0
f) � I z z1 0
177
MATEMÁTICA
14. La velocidad en un flujo se describe como V 2 k 3 k i .
a) Si la parte imaginaria es 1, determina el valor de k.
b) ¿Para qué valor de k, V alcanza un valor real?
15. Selecciona en tu cuaderno de trabajo la respuesta correcta.
En un circuito en paralelo, dos tensiones complejas V1 y V2 son iguales.
Si V1 x 1 y 2 i y V2 3 4i , entonces los valores de x y de y en
ese orden es:
a) x = 3 , y = 5
c) x = 2 , y = 6
b) x = 6 , y = 2
d) x = 4 , y = 2
16. Determina el conjugado de los números complejos siguientes:
a)
3
− 2 i b) i4 – i3 + 5i2 – 1
2
c) 2 – i ∙ 3 log 5
d)
2 3i 2 3i e) 2 – i
f)
h) 1 i
g) 5 − 4i
m) (2 + 4i)
o) cos
4
i) (2 −i) + (2 + i)
2 5i 2 5i
n) 6 7i 5 2i
j) 3 5i – 4 i
2
2 3i 23 0,73i
2
k)
3 5i
i sen
4
4
2
3
l) 10 3 − 5 4
ñ)
2i
2 i 3i 4
p) cos i sen q) (1 + i) − (1 − i)
4
4
r) log 5 − (31,5 + log 3)i
t) 2log2 10 −1 − tan 225o
s) i tan60o
17. Si z 4 3i (2 + 6i) (1 − 4i) es un número complejo. Calcula z.
2
18. Dado el número complejo z 1 i 1 i i 1 , determina
2
2
R(z) e I(z).
19. Si z es un número complejo. Demuestra que z ∈ R si y solo si z = z .
20. Determina el número complejo z que satisface:
a) z2 = z
b) z2 z
21. Calcula las operaciones siguientes con números complejos:
a)
178
4 + 2i
2 + 2i
b)
3
4 + 2i
8 + 2i
c)
5 + 5i
2 + 2i
d)
4 i
2 3i
CAPÍTULO 3
e)
i)
10 −10i
4 − 2i
f)
2 – i 3i 1 j)
1 3i
20 + 10i
2 + 5i
g)
i 3 2 i
2 i 2 i
k)
1 i 2 2i
3 3i
3 5i 2 3i
1 i
h)
11 2i 7 i
2i 1 1 i
l)
1 i
1 i
:
2 2i i 2
22. Calcula el módulo de los números complejos siguientes:
a) z = 3 + 4i
b) z = (− 24; 7)
c) z 3 i
d) z = cos x i sen x
e) z = tan 45°+ i
f) z x 2 y 2 2 xyi
g) z = 7 + i h) z = 27
i) z = 0,3 + 1,7i
j) z = 15 + 8i
l) z = 3 – 2i
k) z = − 24 − 7i
23. Calcula el módulo del número complejo w con la condición indicada:
b) w = z2 + z + 1; z 3i 1
a) w = z – 1 ; z = 2,5 − i
c) w = z3 ; z 1 i d) w = z4 – z ; z 1 i
24. Calcula el módulo del número complejo s con la condición indicada:
a) s
z
; z =i
z 1
b) s
z 1
; z 1 2i
z z 2
2
z2 i
; z 2 3i
z 1
25. Si z, z1 y z2 son números complejos. Prueba que:
c) s
a)
z
z
= 2
z
z
b) z1 z2 z1 z2
c)
z
z1
= 1
z2
z2
26. Calcula las operaciones siguientes con números complejos:
1 3
i
3i + 1
2 4i
i3 − 4
5 6i
b)
c) 2 5
d)
e) 2 4
a)
1 3
i
2 i
i −i
5 6i
i
2 4
27. Si z1 = 1 – i, z2 = – 2 + 4i y z3 2 2i , son números complejos, calcula
z z
I 1 2 .
z3
28. Si z1 = 1 – i, z2 3 i
y
z3 1 3i, son números complejos,
calcula:
a) z1 �:� z1
b)
z3 ⋅ z2
z1
c)
z2 ⋅ z3
z1
d)
z2
z3
e)
z1 ⋅ z2
z3
179
MATEMÁTICA
29. Identifica cuáles de las proposiciones que aparecen a continuación son
falsas y escríbelas en tu cuaderno de trabajo como verdaderas.
a) Si z1 1 3i y z2 1 i son dos números complejos, entonces
z1 z2 2.
b) Si w1 = 4 – 3i 3 y w 2 – i 2 son dos números complejos, entonces al
calcular w1 − w 2 se obtiene 6 + 2i.
c) Calcular 1 3i 3i 1 i 2022 se obtiene un número entero.
d) El opuesto del número complejo que resulta de calcular i 117 1 2i
es −2 − i.
e) La suma de un número complejo con su conjugado es siempre un
número real.
30. Determina la relación entre a y b (a, b ∈ R ), si z – a + bi y z =
son dos números complejos.
1
(z ≠ 0)
2
31. Resuelve la ecuación lineal ax b 0, donde a, b ∈ C si:
a) a 1 2i
b i
b) a 2i
b i
c) a 3 4 2i
b 3 2i
d) a 3 i 4 2i
b 2 i 5 3i
32*. Demuestra que:
a)
1 x 2 i
i
(x ∈ R)
1 i
2
b)
3 i
3 i 1 i
2 ki
33*. Determina el valor que debe tener k en la expresión z
(k ∈ R )
1 4i
a) para que z sea un número real;
1 i 1 x
2
2
b) para que z sea un número imaginario puro.
34. Resuelve los sistemas de ecuaciones siguientes, donde z1, z2 ∈ C:
2 z1 – z2 + z1 1 – 2i
z1 z2 –1 – i
b)
a)
3z1 z2 2 – 3i
z2 – z1 – 3z1 2 – 4i
3 z1 z2 – z1 – 3z2 –4 – 2i
c)
z1 3z2 – z2 – 2z1 1 2i
180
z1 z2 1 3i
d)
iz1 z2 –1 3i
CAPÍTULO 3
35*. La diferencia de dos números complejos es 2 −2i y el producto es
4 + 2i. Determina estos números
36*. Halla dos números complejos cuya suma es −i y su producto es 8 −14i.
37*. Determina si existen dos números complejos cuya suma es 6, la diferencia es 4 y el producto es 3i .
38. Resuelve:
a) z2 + 9 = 0
b) z2 – 3z = 0
c) z2 + 15 = 0
d) z2 + z + 1 = 0
e) z3 – 8i = 0
f) z2 2 iz 0
g) z3 = 8iz
h) z3 = 64
i) z4 + 2z2 + 1 = 0
j) z2 – 3z + 4 = 0
k) z2 – z + 5 = 0
l) z2 − 2z 2 1
39. Sean los números complejos:
z1 3 3i , z 2 3 2 3 2i , z3 6,5i , z 4 2 cos 180o, w1 7 yi ,
w 2 a 1 bi , w 3 x 2 2 x 1 i y w 4 3 i
39.1 De cada número complejo:
a) Menciona la parte real y la parte imaginaria.
b) Clasifícalos en complejo real e imaginario puro.
c) Determina su módulo, opuesto y conjugado.
39.2 Determina los valores de la variable en cada caso si:
a) w1 = w 2
b) w1 = w 3
c) w 2 = w 4
39.3 Calcula
a) w 4 − z3 − 3i 3
b) z1 z2 3 6
c ) z1 ⋅ z1
d ) z2
e) z 4
f ) w 4
g ) z 4 i 63 2i 2032
h)
2
5
z4
z1
3
i)
z1
z4
40. La función de onda de una partícula es 2 i eiw t , si t = 0:
a) Identifica la parte real y la parte imaginaria de ψ.
b) Calcula el módulo de ψ.
181
MATEMÁTICA
3.3 Forma trigonométrica de un número
complejo
Los números complejos, también han devenido herramienta imprescindible para modelar matemáticamente fenómenos tales como el movimiento vibratorio, las oscilaciones armónicas, en los cuales es de utilidad
su interpretación geométrica y las
relaciones trigonométricas, debido a
que permiten una descripción objetiva de las señales periódicas variables. En consecuencia, es importante
conocer acerca de otras formas de
representación de los números complejos, a partir de su relación con la
forma binómica.
Fig. 3.12
¿Cómo se representan gráficamente los números complejos? ¿Qué
interpretación geométrica se obtiene de su representación? ¿Cuáles
elementos y relaciones se revelan a partir de su representación geométrica? ¿Cómo intervienen esos elementos para obtener otra forma de
expresar un número complejo? ¿Cómo convertir un número complejo
de una forma de representación a la otra? ¿Cómo calcular con números
complejos expresados en otra forma?
Representación geométrica de números complejos
Los números reales se representan en una recta, de modo que a cada
uno corresponda un punto en ella y recíprocamente, lo que significa que
en la recta solo pueden ser representados números reales, o sea, no hay
lugar para los números complejos cuyas partes imaginarias sean distintas
de cero.
Podemos notar que cada número complejo z a bi está determinado
por un par de números reales (a;b); de ahí surge la idea de representar los
números complejos utilizando el plano coordenado.
182
CAPÍTULO 3
Como se observa en la figura 3.13, sobre el eje de las abscisas (eje x) se
representa la parte real del número complejo y, por esta razón, recibe el
nombre de eje real. Sobre el eje de las ordenadas (eje y) se representa la
parte imaginaria y recibe el nombre de eje imaginario.
Fig. 3.13
En general se tiene que:
• El punto (a; b) se denomina afijo del número complejo z a bi.
• La representación gráfica de un número complejo es el vector de origen (0;0)
cuyo extremo es el afijo de z .
Como se analizó en el epígrafe anterior, los módulos de dos números
complejos opuestos tienen el mismo valor, z z , sin embargo, se representan en cuadrantes diferentes. Si z a bi se encuentra en el primer
cuadrante su opuesto –z estará en el tercer cuadradante. Los afijos a; b y
a; b determinan una recta que pasa por el origen 0; 0 del plano coordenado, es decir estarían en la misma dirección, la diferencia está en el
sentido, ambos están en sentido diferente en relación al origen: luego, un
número complejo tiene módulo, dirección y sentido; representa por tanto
un vector.
La perpendicularidad de los ejes real e imaginario, se conoce como Diagrama de Argand.
183
MATEMÁTICA
Recuerda que...
• En Física se utilizan las características de los vectores para representar magnitudes como la velocidad y la fuerza, cuya interpretación necesita de una
dirección y un sentido. De manera que, un vector AB cuyos extremos son A y
B están en orden para señalar su sentido, denominando al origen del primero
A y conservándose la denominación de extremo para el segundo B, que se
identifica con la punta de la saeta.
• Habitualmente, su longitud, norma o módulo se designa por la magnitud
vectorial correspondiente (fuerza, velocidad, aceleración, entre otras) y su dirección, por el ángulo , medido en sentido antihorario respecto al eje de las
abscisas o semieje (x) positivo.
Ejemplo 3.13
a) Identificar los números complejos
que aparecen representados en la figura 3.14
b) Representar gráficamente los números complejos:
z1 3 i
z2 1 2i
z 4 2 i
z5 = 3,5
z3 = 2i
Fig. 3.14
Resolución:
a)
En la figura 3.14 se tiene que:
– el vector sobre el eje real corresponde a un número real, es
decir tiene afijo 3; 0 , luego es el número complejo 3 0i 3.
– el vector sobre el eje imaginario, tiene afijo 0; 4 , representa
al número complejo 0 – 4i = 4i , es un imaginario puro.
– el vector representado en el segundo cuadrante tiene afijo
–3; 2 , por lo que se trata del número complejo –3 + 2i.
184
CAPÍTULO 3
b) En el sistema de coordenadas
rectangulares de la figura 3.15
se han representado los afijos de
los números complejos dados y
los vectores que determinan. Al
observar la representación puedes apreciar lo siguiente:
Fig. 3.15
Número
Análisis
z1
Como la parte real es –3 y la parte imaginaria es 1, que es
el coeficiente de la unidad imaginaria i, tiene afijo 3;1
significa que es un vector del segundo cuadrante.
z2
Su parte real es 1 y la parte imaginaria es –2, que es el
coeficiente de la unidad imaginaria i, luego tiene afijo
1; 2 significa que es un vector del cuarto cuadrante.
z3
Por ser un número imaginario puro, su parte real es 0 y la
parte imaginaria es 2, que es el coeficiente de la unidad
imaginaria i, luego, su afijo es 0; 2 significa que es un
vector situado sobre el eje imaginario.
z4
Su parte real es –2 y la parte imaginaria es –1, que es el coeficiente de la unidad imaginaria i, luego tiene afijo 2; 1
significa que es un vector del tercer cuadrante.
z5
Como su parte real es 3,5 y la parte imaginaria es 0, que es
el coeficiente de la unidad imaginaria i, tiene afijo 3,5; 0
significa que es un vector situado sobre el eje real.
Al igual que en los números reales, en los números imaginarios el módulo es la longitud que hay desde el origen hasta donde está situado el
número (afijo). En el caso de los números complejos z = a + bi con a ≠ 0 y
b ≠ 0 esa distancia se obtiene de calcular la hipotenusa de un triángulo
rectángulo cuyos catetos son los valores de a y b.
185
MATEMÁTICA
Puede comprobarse fácilmente que la longitud del vector que representa al número complejo z a bi es z a2 b2 , o sea:
El módulo de un número complejo es igual a la longitud del vector
que lo representa y se designa por la letra griega ρ, tal que:
z a2 b2
Equivale a decir que, esa longitud se obtiene de calcular la hipotenusa
de un triángulo rectángulo cuyos catetos tienen las longitudes a y b
correspondientes a la parte real e imaginaria del número complejo z.
Del resultado anterior se deduce que el lugar
geométrico de los afijos de los números complejos de módulo 1, o sea, el conjunto solución
de la ecuación z =1, es una circunferencia de
centro en el origen y radio 1 (figura 3.16). Esta
es la circunferencia unitaria.
Ejemplo 3.14
Fig. 3.16
Dado el número complejo z 1 3i , representado gráficamente en la
figura 3.17 determinar:
a) El módulo de z.
b) El ángulo que forma el vector que representa a z con el semieje real
positivo.
Resolución:
a) Del número complejo z 1 3i , se tiene
que R z a 1 y I z b 3 de donde
resulta su representación en la figura 3.17.
Para determinar el módulo, se tiene:
z a2 b2 3 1 2
Fig. 3.17
186
CAPÍTULO 3
b) Sea θ el ángulo que forma z con el eje real del plano complejo;
entonces:
tan
b
3
3
a
1
y
0 ; luego, .
3
2
Ejemplo 3.15
Determinar el número complejo de módulo 1 cuya representación
geométrica forma un ángulo de 40° con el semieje real positivo.
Resolución:
En la figura análisis (figura 3.18), y aplicando las razones trigonométricas en un triángulo rectángulo tenemos,
a z cos 40° – 1 ∙ cos 40° = 0,776
b z sen 40° – 1 ∙ sen 40° = 0,643
luego, z a ib 0, 776 0, 643i .
Dado que los números complejos se representan mediante vectores, la adición y
Fig. 3.18
sustracción de estos números pueden efectuarse geométricamente mediante la adición y sustracción de vectores.
Ejemplo 3.16
Representar geométricamente la adición y la sustracción de los números complejos: z1 = 2 – i y z2 1 2i .
Resolución:
En la figura 3.19 a, se han representado los vectores que representan
los números complejos z1 = 2 – i y z2 1 2i dados, y se ha construido el
paralelogramo que estos determinan.
La suma pedida es 3 i que está representada por el vector contenido
en su diagonal.
187
MATEMÁTICA
De igual forma, en la figura 3.19 b se ha representado z1 = 2 – i y −1 − 2i,
que es el opuesto de z2 1 2i . La diagonal del paralelogramo contiene al
vector que representa la diferencia pedida 1 –3i .
a)
b)
Fig. 3.19
Reflexiona
¿Por qué puede afirmarse que de la inecuación z 1 no se obtiene un lugar
geométrico?
Ejemplo 3.17
Representar geométricamente el conjunto z C : 3 z 5
Resolución:
Sabemos que la representación gráfica de z = 3 es la circunferencia con
centro en el origen y radio 3.
Igualmente, z = 5 es la circunferencia con centro en el origen y radio 5.
Si z > 3, el afijo de z es exterior a la circunferencia de radio 3 y si
z < 5, su afijo es interior a la circunferencia de radio 5.
188
CAPÍTULO 3
Luego, la representación gráfica del conjunto es el anillo circular que
determinan ambas circunferencias (figura 3.20).
Fig. 3.20
Ejemplo 3.18
Dados los números complejos: z1 1 2i , z2 4 2i , z3 1 3i y z 4 4 3i
a) Probar que los afijos de los números complejos dados determinan
un rectángulo.
b) Comprobar que las diagonales son congruentes.
Resolución:
a) Como la representación gráfica de los números complejos se realiza
mediante vectores, z2 − z1 , z 4 − z3 y z3 − z1 , z 4 − z1 estarán representando a los dos pares de lados opuestos del cuadrilátero.
Para que la figura sea un paralelogramo, z2 − z1 debe ser igual a
z 4 − z3 así como z3 − z1 igual a z 4 − z2:
z2 z1 4 2i 1 2i 3
z 4 z3 4 3i 1 3i 3
z3 z1 1 3i 1 2i i
z 4 z2 4 3i 4 2i i
189
MATEMÁTICA
Efectivamente, el primer par es
igual a 3 y el segundo, a i. Además,
forman ángulos de 90o, ya que los
valores del primer par están en el
eje real y los del segundo, en el eje
imaginario, por lo que el paralelogramo es rectángulo (figura 3.21).
b) Para comprobar que sus diagonales z 4 − z1 y z1 − z3 son congruen-
Fig. 3.21
tes, debemos demostrar que sus
módulos son iguales:
z 4 z1 4 3i 1 2i 3 i
z 4 – z1 3 i 10
z1 z3 4 2i 1 3i 3 i
z3 – z2 3 i 10
Luego, z 4 – z1 = z3 – z2 , por lo que las diagonales son congruentes.
Expresión trigonométrica de un número complejo
La representación geométrica del número complejo sugiere otra forma
de expresión, que tiene importantes aplicaciones en la propia matemática
y en algunas ingenierías.
Por ejemplo, en la robótica (figura 3.22)
donde se integran las ingenierías mecánica, eléctrica, electrónica, biomédica y las
ciencias de la computación, se facilita la
realización de gráficos por computadora,
las transformaciones y rotaciones en el
plano para las animaciones, simulaciones
y control de movimiento.
Fig. 3.22
Para obtener la otra forma de representación de un número complejo
consideremos que, dado en su forma binómica z a bi [1], de módulo
190
CAPÍTULO 3
a2 b2 , cuya representación forma
un ángulo θ con el semieje real positivo
(figura 3.23 a), se tiene que, a cos y
b sen , [2]
por lo que, sustituyendo [2] en [1], resulta z cos i sen ,
y, extrayendo factor común, se obtiene:
z (cos i sen )
Fig. 3.23a
Esta forma de representar los números complejos recibe el nombre de
forma trigonométrica o forma polar de los números complejos.
El ángulo θ se denomina argumento del número complejo y se determina excepto por un múltiplo de 2π, ya que el seno y el coseno son periódicos con período 2π.
Asimismo, dado su número complejo conjugado z = a – bi (figura 3.23 b),
se tiene que a cos y b sen ,
por lo que, z cos i sen ,
y al extraer el factor común, se obtiene:
z cos i sen
Por tanto, como en la forma binómica el conjugado de un número complejo en forma trigonométrica se escribe cambiando el signo de la
parte imaginaria:
Fig. 3.23b
cos i sen cos i sen
De aquí resulta que las representaciones geométricas de los números
complejos conjugados son simétricas respecto al eje real (figuras 3.23 a y
3.23 b).
191
MATEMÁTICA
Reflexiona
¿Cómo determinar el opuesto de un número complejo en forma polar?
Ejemplo 3.19
Expresar en forma trigonométrica:
a) 2 + 2i
b) 2 + 2i
c) −1 – 2i
Resolución:
a) Para expresar el número complejo 2 + 2i dado en forma binómica a la
trigonométrica, debemos partir de que 2 2i (cos i sen θ)
[1]
Identificamos en qué cuadrante se encuentra el afijo, como a 2 0 y
b 2 0, está en el primer cuadrante.
Luego, se calcula el módulo ρ del número complejo
a2 b2 22 22 8 2 2
[2]
Posteriormente se determina el ángulo θ de la siguiente forma
2
b
, tan 1, luego 45o k 180o , k 0, 1, 2, 3,
2
a
Aunque θ admite cualquiera de esos valores,
tan
aquí y en lo sucesivo fijaremos y emplearemos
el intervalo principal 0o ; 360o o 0 ; 2 .
Como el afijo está en el primer cuadrante (figura 3.24 ), o sea , k = 0; por lo que 45o
[3]
Por tanto, sustituyendo [2] y [3] en [1], se tiene:
2 2i 2 2 cos 45o i sen45o .
b) Para expresar en forma trigonométrica
2 2 i 2 − 2i representado en la figura la 3.24
determinamos en qué cuadrante se encuentra
el número:
Fig. 3.24
Como a 2 0 y b 2 0, el afijo del número complejo 2 − 2i está en
el cuarto cuadrante,
a2 b2 22 1 2 2 y
2
192
CAPÍTULO 3
2
b
1; luego,
tan , tan
2
a
45o k 180o con k ∈ Z.
Como el afijo está en el IV cuadrante k = 2 y
45o 2 180o 45o 360o 315o, luego:
2 2 i 2 2 cos 315o i sen315o (en el intervalo principal) o
= 2 2 cos 45o i sen 45o (−45o está en el cuarto cuadrante),
= 2 2 cos 45o i sen45o .
Atención
Observa que, si un número complejo está en forma trigonométrica, el conjugado
se obtiene restando el argumento de 360°, y en la forma trigonométrica, cambiando solo el signo de la parte imaginaria.
c) Análogamente, para expresar en
forma trigonométrica el número
complejo −1 − 2i , representado en la
figura 3.25, tenemos que:
Como a = –1 y b = – 2 son negativos, el
ángulo θ está en el tercer cuadrante.
a2 b2 1 4 5.
b
2
tan , tan
2; luego,
a
1
63, 4o y
Fig. 3.25
63, 4o k 180o;
el ángulo θ está en el tercer cuadrante, por lo que k = 1 y
63, 4o 1 180o 243, 4 °;
Entonces, 1 2i 5 cos 243, 4o i sen243, 4o .
193
MATEMÁTICA
Ejemplo 3.20
Expresar en forma binómica:
2
2
i sen
a) 2 cos
3
3
b) 3 cos 50o i sen50o
Resolución:
Para la conversión de la forma trigonométrica a la binómica, basta
hacer las operaciones indicadas en el número propuesto:
2
2
2
2
i 2sen
2 cos
i sen 2 cos
3
3
3
3
2 cos i 2sen
3
3
3
1
2 i 2
2
2
2
6
i
2
2
Luego,
2
6
2
2
i
2 cos
i sen
3
3
2
2
b) 3 cos 50o i sen50o 3 cos50o i 3sen50o
3(0, 643 i 3 0, 766
1, 93 2, 30i.
Luego 3 cos 50o i sen50o 1, 93 � 2, 30i
De la historia
La representación Geométrica del número complejo pertenece al agrimensor
danés Gaspar Wessel (1745-1818) (figura 3.26 a), quien la expuso en su ensayo
Sobre la representación analítica de la dirección, enviado a la Academia de Ciencias de Copenhague, en 1798, en el cual estuvo inadvertido por largo tiempo.
194
CAPÍTULO 3
En 1799, fue introducida independientemente por el matemático alemán K. F.
Gauss (1777-1855) (figura 3.26 b). Y en 1806, por el contador suizo J. R. Argand
(1768-1822) (figura 3.26 c) -a quien se le debe, además, el nombre de módulo
para la longitud del vector que lo repesenta.
a
b
c
Fig. 3.26
La notación i de la unidad imaginaria fue introducida por el mátemático suizo
L. Euler (1707-1783) (figura 3.27 a). Mientras que las denominaciones de afijo y
argumento para designar un punto del plano complejo y el ángulo del vector
que lo reperesenta, se atribuyen al matemático francés A. L. Cauchy (1789- 1857)
(figura 3.27 b). Por otra parte la notación IzI para el módulo del número complejo se debe al matemático alemán K. Weierstrass (1815-1897) (figura 3.27 c).
a
b
c
Fig. 3.27
Multiplicación y división de números complejos en forma
trigonométrica
La forma trigonométrica de los números complejos resulta particularmente útil para las operaciones de multiplicación y división.
195
MATEMÁTICA
Teorema 3.3
Sean z1
cos 1 i sen 1 y z2
1
2
cos 2
1
2
i sen 2 , dos números
complejos, entonces:
a) z1 z2
1
b) z1 : z2
2
1
cos
cos
1
1
2
2
i sen
i sen
1
2
,
2
0
2
Demostración
a) z1 z2 1 cos 1 i sen1 2 cos 2 i sen2 Se efectúa la multiplicación indicada
1 2 cos 1 cos 2 i cos 1 sen2 i sen1 cos 2 sen1 sen2
Se agrupan los términos semejantes y se extrae factor común i.
1 2 cos 1 cos 2 sen1 sen2 i sen1 cos 2 cos1 sen2 .
Al escribir las expresiones entre paréntesis como el coseno y el seno
de la adición de dos ángulos, resulta, como se quería:
z1 z2 1 2 cos 1 2 i sen 1 2 .
b) z1 : z2
1 cos1 i 1 sen1
2 cos2 i 2 sen2
1 cos 1 i 1 sen 1 2 cos 2 i 2 sen 2
Se efectúa la división
2 cos 2 i 2 sen 2 2 cos 2 i 2 sen 2
de números complejos en forma binómica, ampliando la fracción
por el conjugado de z2:
12 (cos1 cos2 sen1 sen2 i sen1 cos2 cos1 sen2 ]
22
.
Si escribimos las expresiones entre paréntesis como el coseno y el
seno de la sustracción de dos ángulos, resulta:
z1 : z2
196
1
cos 1 2 i sen 1 2 .
2
CAPÍTULO 3
Ejemplo 3.21
Calcular z1 ⋅ z2 y z1 : z2 si:
a) z1 5 cos 30o i sen 30o ;
z2 5 cos 75o i sen 75o
b) z1 = 21 cos – i sen ;
3
3
z2 = 7 cos 1, 2 i sen1, 2
Resolución:
a) z1 ∙ z2 = 5 5 [cos (30° + 75°) + i ⋅ sen (30° + 75°)]
= 5 5 (cos 105° + i ⋅ sen 105°)
z1 : z2 =
5
[cos (30°− 75°) + i ⋅ sen (30° − 75°)]
5
= 5 (cos 45° − i ⋅ sen 45°)
b) z1 ∙ z2 = 21 7 cos 1, 2 i sen 1, 2
3
3
= 49 ⋅ 3 (cos 2,25 + i ⋅ sen 2,25)
= 7 3 (cos 2,25 + i ⋅sen 2,25)
z1 : z2 =
21
cos 3 – 1, 2 i sen 3 – 1, 2
7
= 3 [cos (– 0,153) + i ⋅sen (– 0,153)]
= 3 (cos 0,153 − i ⋅sen 0,153).
Saber más
Geométricamente, empleando su representación
vectorial, el producto z de dos números complejos z1
y z2 puede realizarse como sigue (figura 3.28).
Si OA y OB son los vectores de z1 y z2, con el vector
unidad O1 y el vector OA, se traza el triángulo O1A;
luego, con OB como lado homólogo de O1, en el mismo sentido se traza el triángulo semejante OBC, cuyo
lado OC es el vector de z.
Fig. 3.28
197
MATEMÁTICA
En efecto, por semejanza de triángulos,
z
z1 z2 ;
O1 OA
OB OC
o
1 z1
, de donde
z2
z
además, COB = AO1 = 1,
por lo que
CO1 = AO1 + BO1 = 1
2.
El cociente se hace de forma parecida, pero con OC y OA como dividendo y divisor,
respectivamente, y construyendo en opuesto sentido el triángulo semejante OBC
Dado que el cálculo de la multiplicación y división de números complejos en forma trigonométrica se reduce a operar con los módulos y argumentos por separado, es usual representar la forma trigonométrica de
manera abreviada:
cos i sen cis
En esta expresión:
c : es la inicial de la palabra coseno.
i : es la unidad imaginaria.
s : es la inicial de la palabra seno.
Con esta notación, los resultados del teorema 3.3 se expresan:
ρ1cis 1 2 cis 2 1 2 cis ( 1 2)
1
ρ1cis 1 : 2 cis 2
cis ( 1 2 ) 2 0
2
Ejemplo 3.22
Calcular z1 ∙ z2 y z1 : z2 si:
a) z1 = cis 141°;
z2 = cis 63°
b) z1 = cis 2,17;
z2 = cis 5
Resolución:
a) z1 ∙ z2 = cis 141° ∙ cis 63° = cis 204°
z1 : z2 = cis 141° : cis 63° = cis 78°
198
CAPÍTULO 3
b) z1 ∙ z2 = cis 2,17 ∙ cis 5 = cis 7,17 = cis (7,17 – 6,28) = cis 0,89
z1 : z2 = cis 2,17 : cis 5 = cis (−2,83) = cis (2π 2,83) = cis 3,45.
En general, en el plano complejo, el afijo
de un número puede representarse por coordenadas rectangulares a; b o por coordenadas polares ( ; ) (figura 3.29), relacionadas
entre sí por las ecuaciones que permiten convertir de una forma a la otra.
La primera: a cos y b sen
[1]
Convierte de trigonométrica (polar) a
binómica (rectangular). En este caso basta
Fig. 3.29
hacer las operaciones indicadas en el número
de forma trigonométrica propuesto, o sea, calcular cos θ y senθ y multiplicar por ρ.
La segunda: a2 b2 tan− 1
b
a
[2]
Convierte de binómica (rectangular) a trigonométrica (polar). En este
caso para el cálculo de θ, debe determinarse su cuadrante (C) por los signos de b y a, o sea:
– ambos positivos, primer cuadrante (I C)
– b positivo y a negativo, segundo cuadrante (II C)
– ambos negativos, tercer cuadrante (III C)
– b negativo y a positivo, cuarto cuadrante (IV C)
Como el ángulo de la tangente puede ser θ + k ∙ 180° (o k ∙ π), donde
k = 0,1,2, ..., se fija y se emplea el intervalo principal [0°;360°) o [0, 2π).
Por ejemplo, si
b
− 3
a
tan−1 (− 3) = −60° + k ∙ 180°,
Como b es positivo y a, negativo, θ es del II cuadrante; luego,
k = 1 y −60° + 1 ∙ 180° = 120°.
199
MATEMÁTICA
¿Sabías que...?
Además de la abreviatura cis para la forma trigonométrica del número complejo ρ(cosθ + i ∙ senθ), existen otras:
(se lee “con ángulo ”) y es equivalente a
, donde
La forma fasorial
cosθ + i ∙ senθ.
o 0
+ i i∙ sen30
Por ejemplo ww= 5(cos30
5 cos 30
sen 30o0) = 5
30o0.
donde ei
La forma exponencial o Fórmula de Euler z
ei
nocida como identidad de Euler. Ejemplo z
2 cos
cos
i sen
i sen , coi
2 e 4.
4
4
Ambas formas se emplean en la tecnología, fundamentalmente en la ingeniería
eléctrica para el análisis de circuitos excitados con señales sinusoidales, es decir,
por curvas que describen las funciones seno y coseno (figura 3.30).
Fig. 3.30
Por su sencillez, a su entrada, en lugar de una señal sinusoidal, se em-
t y i la unidad imaginaria como
plea esta función exponencial para
e
cos t sen t , por ser expresiones de un mismo número, y a la salida
se toma su parte real o imaginaria, por cuanto la respuesta a una señal sinusoij t
dal es otra sinusoide de igual frecuencia.
Curiosamente, estas dos formas equivalentes del número complejo, con ρ = 1,
y cos
permiten obtener sen
… ¡sin usar la Trigonometría!
En efecto, por la multiplicación de dos potencias,
ei
e
i
=e
i
cos
e i [1], y, por equivalencia, ei
i sen
,e
e i
cos
+ i ∙ sen
= cos
,
i sen
por lo que, sustituyendo estas relaciones en [1], resulta
+ i sen
cos
cos
cos
∓ sen
= cos
sen
i sen
i sen
cos
i sen
cos
cos
sen
.
Igualando las partes reales y las imaginarias por separado, finalmente se tiene:
cos
cos
cos
∓ sen
sen
sen
sen
cos
cos
sen
200
CAPÍTULO 3
Potenciación y radicación de números complejos en forma
trigonométrica
A partir de la definición de unidad imaginaria y sus potencias de exponente natural para números complejos, se puede definir la potencia de
números complejos y su operación inversa, la radicación.
Ejemplo 3.23
Calcular 3 2 i
2
Resolución:
Al aplicar la fórmula del cuadrado de un binomio, se obtiene
3 2i (3)2 + 2 3 2i 2 2 ⋅ i 2
2
= 9 12i 4 1
5 12i.
El cálculo de potencias de mayor orden resulta más complejo. Sin embargo, el siguiente teorema permite calcular las potencias en notación
trigonométrica.
Teorema 3.4 (Teorema de Moivre)
cos
Si z
zn
n
cos n
i sen
es un número complejo y n N, se cumple:
i sen n
(fórmula de Moivre)
Demostración:
Haremos la demostración aplicando el principio de inducción completa
estudiado.
Para n = 1 se cumple, pues z1 = z (cos i· ∙ senθ).
Supongamos que se cumple para un número natural cualquiera k:
zk k (cos k i· ∙ senkθ).
Entonces, para el sucesor de k, es decir k + 1
201
MATEMÁTICA
zk+1 = zk ∙ z k cos k + i senk cos + i sen
k 1 cos k i sen k
k 1 cos k 1 i sen k 1 o sea,
zk+1 k 1 cos k 1 i sen k 1
y, por tanto, la fórmula de Moivre se cumple para todo n.
En notación abreviada, el teorema de Moivre se expresa:
cis n cis n
n
Ejemplo 3.24
Calcular zn si:
a) z 2 3 2 cos i sen , para n = 3
2
2
b) z = 0,2 (cos 25° i sen25°), para n = 5
c) z = 3 − i, para n = 4
Resolución:
a) Utilizando la fórmula de Moivre, tenemos:
3
z3 2 3 2 cos 3 i sen 3
2
2
3
3
3
3
8 2 cos
i sen 16 cos
i sen
2
2
2
2
16i
b) En este caso:
z5 = (0,2)5 (cos 5 ∙ 25° i sen 5 ⋅ 25°)
= 0,000 32 (cos 125° i sen 125°)
= 3,2 ∙ 10-4 (cos 125° + i ⋅sen 125°)
c) Expresemos z en forma trigonométrica:
z
tan
202
2
3 1 2.
2
1
; − 30° + k ∙ 180°
3
CAPÍTULO 3
y como el afijo de z está en el IV cuadrante, debe ser k = 2, por lo que
− 30° + 2 ∙ 180° = − 30° + 360° = 330°,
z = 2(cos 330° i sen 330°) y por tanto:
z4 = 24 (cos 4 ⋅330° i sen 4 330 )
= 16(cos 1 320o + 1 ⋅ sen 1 320o)
=16(cos 240° i sen 240°).
De la historia
Abraham de Moivre (1667-1754) (figura 3.31), francés, matemático protestante,
emigrado en Londres después de dos años de prisión en Francia por represión
religiosa, contribuyó al desarrollo del cálculo de probabilidades, la geometría
analítica, la teoría de los números complejos y la trigonometría.
El carácter analítico de la trigonometría comenzó con la fórmula que lleva su
nombre, al asociarla con el dominio de los números complejos.
Fig. 3.31
Llevó una existencia de pobreza durante gran parte de su vida. Pese a su eminencia científica y ser miembro de la Real Sociedad de Londres, jamás pudo
obtener un puesto de profesor universitario.
Murió en la miseria, en 1754, cinco meses después de ser nombrado miembro
externo de la Academia de Ciencias de París.
Una vez definidas las potencias, es posible definir las raíces de los números complejos.
Definición 3.5
Sea z C ; z0 es una raíz n-ésima de z si se cumple: z0n = z
203
MATEMÁTICA
Ejemplo 3.25
Calcular z si z 2 2 3 i
Resolución:
Como al operar con números complejos en forma binómica siempre se
obtiene un número complejo también en forma binómica, las raíces de z
tendrán la forma z0 x yi con x , y ∈ R, es decir, una de las raíces cuadrada de z es: z z0 x yi ; entonces:
z z0 x yi x 2 y 2 2 xyi , es decir,
2
2
2 2 3i x 2 y 2 2 xyi
aplicar la relación de igualdad de números
complejos en forma binómica (igualar las partes reales y de manera similar
las partes imaginarias),
x2 y 2 2
2 xy = 2 3
[1]
[2]
Para resolver el sistema cuadrático:
x=
3
[3]
y
Despejar la variable x en la ecuación [2],
2
3
2
y 2
y
Sustituir [3] en [1]:
3
y2 2
y2
Aplicar propiedad de las potencias.
3 y 4 2y 2
Eliminar denominador multiplicando por y 2 (y ≠ 0).
y 4 2y 2 3 0
Igualar a cero la ecuación.
y 3 y 1 y 3 y 3 y 1 y 1 0 Factorizar.
2
2
y 3i y 1 Hallar los ceros (solo se toma la solución positiva, pues
por definición de números complejos x , y ∈ R).
3
3 sustituir y 1 en [3] (observa que el signo de y es opues 1
to al de x).
x
204
CAPÍTULO 3
Encontramos las raíces cuadradas del número complejo z 2 2 3i ,
z0 – 3 + i
z1 = − 3 − i .
Aplica tus conocimientos
Expresa en forma trigonométrica al número complejo z
cuadradas obtenida en el ejemplo 3.25.
2 2 3i y a sus raíces
De manera análoga a la potenciación en las raíces, el cálculo se simplifica utilizando la forma trigonométrica de los números complejos.
Teorema 3.5
Si z
cos
i sen es un número complejo y n N, entonces z tiene n
raíces n-ésimas dadas por la expresión:
zk
n
cos
2k
n
i sen
2k
n
, k = 0, 1, …, n – 1
Aquí n representa a la raíz aritmética de
R.
Demostración:
Sea zk (cos k i sen ϕk ) una raíz n-ésima de z; entonces, de
la fórmula de Moivre resulta:
z zkn kn (cos n k i sen n ϕk ), o sea,
ρ(cos i sen θ) kn (cos n k i sen nϕk ),
De esta igualdad se deduce que los módulos son iguales, kn, y los
argumentos se diferencian en un múltiplo de 2π , n k . De aquí resulta:
2k 2k
ρk n
y
.
k
n
n
n
Un número real tiene una única raíz aritmética, es decir, para todo
kρk n ;
sin embargo, ϕk toma k valores diferentes, por lo que:
ϕk − 0
2k k
− 2 ;
n
n
n n
luego, ϕk y ϕ0 se diferencian en un múltiplo de 2π solo si k es un múltiplo de n y, por tanto, se obtienen n valores para k = 0, 1, 2, …, n – 1 como
se quería.
205
MATEMÁTICA
En notación abreviada:
n
2k
cis n cis
, k = 0, 1, 2, …, n – 1
n
n
Ejemplo 3.26
Calcular:
a) las raíces quintas de z = 32 ∙ cis
b) las raíces cuartas de z = 1.
5π
.
6
c) las raíces cúbicas de z = i.
d)
2
3
3 i .
Resolución:
a) Aplicando el teorema 2, resulta:
5
k
2
5
z 5 32 cis 6
, k = 0, 1, 2, 3, 4.
5
5
2k
= 2 ∙ cis
, k = 0, 1, 2, 3, 4.
5
6
Explícitamente las raíces se obtienen dándole valores a k:
z0 2 cis cis
6
17
2
z1 = 2 cis
2 cis
30
6 5
z2 2 cis 4 2 cis 29
30
6 5
z3 2 cis 6 2 cis 41
30
6 5
53
8
z4 2 cis
2 cis
30
6 5
En la figura 3.32 se han representado estas raíces.
206
Fig. 3.32
CAPÍTULO 3
b) Escribimos 1 en forma trigonométrica:
1 cos 0o i sen 0o ; entonces:
4
360 k
360 k
1 cos
i sen
, k = 0, 1, 2, 3.
4
4
Dando valores a k obtenemos las raíces:
z0 = 1;
z1 = (cos 90° i sen90 ) = i
z2 = (cos180° i sen180 ) = −1
Fig. 3.33
z3 = (cos 90 i sen90 ) i
En la figura 3.33 se han representado estas raíces
π
c) En este caso, z = cis ; luego:
2
2k
3
z cis
, k = 0, 1, 2.
3
6
Dando valores a k, obtenemos:
z0 = cis
π
;
6
z1 = cis
5π
6
Fig. 3.34
3
z2 = cis
i
2
En la figura 3.34 se han representado estas raíces.
d) Interpretamos el exponente fraccionario como en R:
2
3
3 i 3 i
3
2
Pero en C obtenemos tres valores. En efecto, usando la forma
trigonométrica:
3 i 2 cis 315
3 i 2 cis 315 = 4 ⋅ cis 630° = 4 ⋅ cis 270°
2
3
2
270
k 120o ; k = 0, 1, 2.
3
3 i 3 4 cis
2
207
MATEMÁTICA
Dando valores a k, obtenemos:
z0 = 3 4cis90° = 3 4 i
z1 = 3 4 cis (90° + 120°) = 3 4 cis 210°
z2 = 3 4 cis (210° + 120°) = 3 4 cis 330°
Cabe destacar una diferencia notable en relación con los números reales.
En R, el símbolo n ρ ( 0) representa un único valor, la raíz aritmética de ρ;
en C, el símbolo n z (z cualquiera) representa las n raíces n-ésimas de z.
Las figuras de la 3.32 a la 3.34 muestran que los afijos de las raíces
n-ésimas de un número complejo forman los vértices de un polígono regular de n lados, inscrito en la circunferencia de centro en el origen y radio
n
ρ como se muestra en la figura 3.35.
Fig. 3.35
Por otra parte, dado que las raíces n-ésimas de 1 se expresan por:
2k
2k
2k
i sen
cis
, k = 0, 1,…, n – 1
n
n
n
y para todo z ∈ C , se tiene:
n
2k
2k
z n cos
i· sen
n
n
2k
2k
i· sen
n cos i · sen ·cos
n
n
2k
n cis cis
; k = 0, 1, 2,…, n – 1.
n
208
CAPÍTULO 3
Podemos concluir:
Las n raíces n-ésimas de un número complejo z se obtienen multiplicando una raíz n-ésima de z por las n-ésimas raíces de 1.
Saber más
De la identidad fundamental logarítmica z e , z C , elevándola al número
ln z
complejo w, o sea, zw = ew ln z, se obtienen las potencias de base y exponente
complejos, con las que se determinan las potencias de base negativa y exponente irracional de números reales, cálculo que, en ese dominio numérico, es imposible. Así, se elimina la limitación que quedaba pendiente de solución.
Por ejemplo:
, al calcular zw, se tiene que:
como zw= ew ln z,
Si z
1yw
ln1 i
0
π ln (−1)
(−1)π = e
=e
=e
i
=e
i 2
= cosπ2 + i senπ2,
donde se ha escogido el valor principal del logaritmo (k = 0), pues las potencias
de exponente complejo tienen también k N valores.
Reflexiona sobre lo aprendido
1. Los números complejos se utilizan en la tecnología que usamos a diario, como
los amplificadores, filtros, teléfonos, computadoras y motores. Reflexiona sobre cómo la tecnología ha transformado tu vida y cómo te sientes al saber
que los números complejos están detrás de ella.
2. La forma trigonométrica de los números complejos ofrece una perspectiva
geométrica. Explica desde tu experiencia, dónde una perspectiva diferente te
ayudó a comprender mejor una situación o un problema.
3. La forma trigonométrica facilita la comprensión de las potencias de los números complejos. Explica un ejemplo de tu vida en el que la comprensión de un
concepto matemático te ayudó a resolver un problema práctico.
4. ¿Cuál es la representación geométrica de un número complejo z que cumple
las condiciones siguientes:
a) I z
0
b) R z 0
c) Es el producto de dos números complejos opuestos.
209
MATEMÁTICA
5. Sean los números complejos z1 = 3 − 2i
y z2 = – 1 + i:
a) Representa gráficamente la adición y la sustracción con el uso del GeoGebra.
b) Expresa su producto en forma trigonométrica.
1 i 2 cis 45 )
3 cis 120
6. Determina los valores de a y b si se cumple que: a + bi =
7. Calcula las raíces cúbicas de z si z
4 3 4i.
¿Sabías que...?
En mecánica ondulatoria, una de las distintas
formulaciones de la física cuántica aportada, en
1926, por el físico alemán, premio Nobel de Física Edwin Schrödinger (1887−1961) (figura 3.36)
considera el comportamiento dual de la materia,
como onda y como partícula, una cantidad importante es la función de onda –cuyo carácter
cíclico frecuente hace que se exprese naturalmente como un número complejo, –. Su interpretación física es:
Fig. 3.36
Dado cualquier punto y una partícula en un volumen V , el producto complejo
2
–un nú-
mero real− es la probabilidad de que la partícula
esté en ese punto, aplicable a los componentes del
átomo (electrón, neutrino, etcétera).
Ejercicios del epígrafe 3.3
Representación geométrica de números complejos
1. Representa gráficamente los números complejos siguientes:
a) 3 + 5i
b) 4 – i
d) − 4i
e)
g) − 4
o
o
h) 4 cos 60 − i 2 sen 45
210
1 3
− i
2 4
c) − 2 – 2i
f) − 0,2 + 0,5i
CAPÍTULO 3
2. Obtén gráficamente la suma y diferencia de los números complejos
z1 y z2. Con ayuda del asistente matemático GeoGebra:
a) z1= 4 − 6i y z2= – 3 + 2i
c) z1 = i y z2 = –
b) z1 = – 2i y z2 = – 2 − i
1
– i
2
e) z1 = 3 + i y z2 = (–3;– 1)
d) z1 = − 3,5 + 6i y z2 =
5
−i
2
f) z1 = 3i y z2 = 1 – 3i
3. Determina los números complejos cuyos afijos son los vértices de las
figuras representadas en cada caso (figura 3.37).
Fig. 3.37
4. Escribe en tu cuaderno de trabajo, los números complejos asociados a
los lados de las figuras del ejercicio 3.
5. Calcula:
a) la longitud de las diagonales del rectángulo del ejercicio 3 a, y los
ángulos que forman.
b) los ángulos del triángulo isósceles del ejercicio 3 b, y la longitud de
la base.
211
MATEMÁTICA
c) la longitud de los lados y de las diagonales del cuadrilátero del ejercicio 3d, la amplitud de los ángulos de ese paralelogramo (comprueba que las diagonales se cortan en su punto medio).
6. Analiza la figura 3.19 b y determina otra manera gráfica de obtener la
sustracción de los números complejos 2 – i y 1 + 2i.
7*. Representa geométricamente los conjuntos dados con el uso del
GeoGebra
a) z : 2 z 4
b) z : z 1 3
2
c) z : z
3
d) z : z i 2
e) z : z 1 i 2
f) z : 1 z 2 i 3
h) z : z 1 3
i) z : z z 1
g) z : z 2
j) z : z 1 z i
k) z : z 1 i z 1 i l) z : R z 1
m) z : R z 3
n) z : 1 R z 5
ñ) z : I z 3
o) z : I z 1
p) z : 4 I z 1
1
q) z : R 1
2
r) z : z R z 1
s) z : z z z 1
t) z : z I z 1
u) z : R z I z 2 v) z : R z I z 3
w) z : R z I z
x) z : z R z
z) z : z I z
y) z : z z z
8*. Explica el significado geométrico de las trasformaciones dadas, en las
que z´→ z:
a) z´ = z − 2i
b) z´ = z + 1 – i
c) z´ = z – 4
d) z´ = 1 − z e) z´ = 2 z
f) z´ =i − 2z
g) z´ =
z
z
h) z´ = −
1
z
3
z
(z − i)
z
1
i) z´ + 1 = (z – i)
3
j) z´ = z(1 + i)
k) z´ =
1
m) z´ = z
i
n) z´ = − z
ñ) z´ = − 3iz
o) z´ = iz − 1
p) z´− 1 = i(z − 1)
q) z´ = (1 − i)(1 + i)z
212
l) z´ = 2iz
CAPÍTULO 3
9*. Determina z´ en función de z (z´ = f(z), si z → z´ en las trasformaciones
siguientes:
a) Traslación de 2 unidades, paralela al eje real y en sentido positivo.
1
b) Traslación de unidad en la dirección positiva del eje imaginario y
2
después 2 unidades en la dirección negativa del eje real.
c) Traslación de 2 unidades en dirección de la bisectríz del cuadrante I.
d) Rotación de centro en el origen y ángulo de 90°.
e) Rotación de centro en el origen y ángulo de 45°.
f) Homotecia de centro en el origen y razón 3.
1
g) Homotecia de centro en – 1 + i y razón .
2
h) Simetría respecto al eje real.
i) Simetría respecto al eje imaginario.
j) Simetría respecto al origen.
k) Simetría respecto al punto (2 – i).
m) Simetría respecto a la recta R z 1.
n) Simetría respecto a la recta R z I z .
ñ) Semejanza de centro en el origen, ángulo de 45° y razón
o) Semejanza de centro en 3 + 4i , ángulo de 45° y razón 5.
1
.
2
1
3
i :
10*. Si z´ = z – 1−i y z´´ = z´
2 2
Determina la trasformación z´ → z´´ y descríbela geométricamente.
¿Hay algún punto invariante por esta trasformación compuesta?
11*. Sea z tal que z = 1 y z1 = z2, z2 = z3. ¿Qué tipo de triángulo es el formado por los afijos de z, z1, z2 . Fundamenta el análisis de tu afirma-
ción con el uso del GeoGebra.
12*. El tesoro del pirata
Un joven se encontró un pedazo de papel, en el cual se describe la posición del tesoro de un pirata en una isla desierta. La descripción era:
En la isla hay una palmera, un cedro y una horca. Caminar desde la
horca hasta la palmera contando los pasos; al llegar a la palmera,
213
MATEMÁTICA
girar 90° a la derecha, contar el mismo número de pasos y clavar una
estaca.
Regresar a la horca, caminar hasta el cedro contando los pasos; al
llegar al cedro, girar 90° a la izquierda, contar el mismo número de
pasos y clavar otra estaca. El tesoro está en el centro de la línea determinada por ambas estacas.
Al llegar a la isla, estaban el cedro y la palmera, pero la horca había
desaparecido por el tiempo transcurrido. El joven no pudo encontrar
el tesoro y regresó a casa.
Lo triste de la historia es que, si el joven hubiera sabido calcular con
números complejos, podía haber encontrado el tesoro. Explica cómo
lo hubiera hallado.
Expresiones trigonométricas de números complejos
13. Expresa en forma trigonométrica los números complejos siguientes:
a) z = − 2
b) z = 2i
c) z 2 i 2
d) z = – 2 + 2 3 i
e) z = 1 + 3i
f) z = 4 + 3i
h) z 2 3 i
i) z = cos α − i sen
g) z = −
5
5
−
3i
2
2
j) z = (– 1; 3)
m) z
1 2
i
3 5
k) z = 3 cos 120° − i ∙ 3 sen120° l) z = cos
n) z = i 0,125 – 0,2
ñ) z
π
− i sen
4
4
4 5
i
17 31
14. Expresa en forma binómica los números complejos siguientes:
a) z = cis 90° b) z = 2 cis180°
3
3
d) z = 5 2 cos i sen
4
4
3
(cos 32,4° + i ⋅3 sen32,4°)
4
7
7
i sen
f) z = 3 2 cos
4
4
c) z = 4(cos α − i sen )
e) z =
214
g) z = 5 cis 40,1°
h) z = 3 cis (−15°)
i) z = 3,27 cis
6
j) z = 3,51cis
12
CAPÍTULO 3
k) z =
3
cis (− 57°)
4
m) z = 5 cis (−175°)
ñ) z = 2,15cos i sen
6
6
2
cis ( 175°)
7
n) z = 1,53 cis
2
l) z =
o) z = cis 0°
p) z = cis270°
15*. Calcula el módulo y el argumento del número complejo w:
a) Si una de las raíces de la ecuación z 3 az 4 0 es z0 1 i con
a ∈ C y w a 2i .
b) Si z
i 5
1
es un número complejo y w
i 3.
z 2
2
16. Halla los valores de ρ y ϕ en:
a) ρ cis
c) ρ cis
1 3
18 i 12
b) ρ cis
i
1 i
2 3i
2 i 1 i
1 i
3 4i
4
d) ρ cis
3 2i 1 i 4 4 3i
2 3i 1 i
3 i
17. Representa con ayuda del GeoGebra los números complejos siguientes, sin expresarlos en forma binómica.
a) z1 = 2 cis 0°
d) z4 =
b) z2 = 4 cis180°
11
(cos 36° + i ∙ 3 sen 36°)
2
c) z3 = cos
π
i ∙ sen
3
3
e) z5 = 3 (cos 30° – i ∙ sen30°)
18*. Sean los números complejos z1 = ρ1 (cos 1 i ∙ senϕ1) = ρ1 (cos 1 i ∙ senϕ1)
y z2 = ρ2 (cos 2 i ∙ senϕ2). ¿Qué condiciones deben cumplirse para establecer la igualdad entre z1 y z2 expresados en forma trigonométrica
o polar?
Multiplicación y división de números complejos en forma
trigonométrica
19*. La suma de dos números complejos es 6; el módulo del primero es 13
y el del segundo, 5. Halla a esos números, su producto y su cociente.
215
MATEMÁTICA
20. Calcula las siguientes operaciones con números complejos.
b) 2cis
a) (cos 15° + i ∙ sen 15°) ∙ 2 (cos 30° + i ∙ sen 30°)
1
cis
4 2
4
c) 0,8 (cos 7,2° + i ∙ sen 7,2°) ∙ 4,2 (cos 1,8° + i ∙ sen 1,8°)
d)
7
5
5
cis cis
10 4 21
6
1
2 cis 20° cis
5 5
1
π
h) cis 41,3° ⋅ cis 1,5°
3
4
f)
9
4
2
cis 20° ⋅ cis (−120°) ⋅ cis 100°
8
3
3
e)
g) 1,27cis 2 ⋅
2
cis 3
3
i)
10 cis (−27°) ⋅ 2 cis 3,1°
j)
1
cis42° ∙ 1,57cis
2
6
k)
2
cis71,21° ∙ cis (−176°)
11
l)
2
cis 48,3° ∙ 1,65cis 50°
11
m)
2
1 5
cis cis
3 12 5
6
n) 3,89 cis 145° ∙ 3 cis 67,2°
ñ)
3,17 cis 3,09 ∙ cis 2,51
o) cis 53° ∙ cis 41,3°
p) 2 cis 80° cis
q) 3,57 cis 1,5 ∙ 2,17 cis
π
5
r) −3 2 cis
2
5 cis10 i
6
21. Calcula:
a)
c)
8 cos 70 i sen70
2 cos 40 i sen40
2, 8 cos 21,5 i sen 21,5
0, 07 cos17, 8 i sen17, 8
5
20 cis
2
e)
5
4 cis
18
g)
5cis 54,3° : 3,21cis (−127°)
4
cis 463° : cis 178°
17
π
: 2,17cis 3
k) 1,7 cis
15
i)
m) 51 cis 41,5o : cis 2,5
216
b)
3 cis 20
5 cis 100
2 5 4
d) cis : cis
3 9 9
3
f) 3,27 cis 2 : 1,51cis1,5
h)
3
cis(−27,5°) : cis (157)
13
j) 51 (cos 3 – i ∙ sen 3) : 15 cis 1,67
l) cis 2,59 : cis
π
2
n) 3,91 cis 179o : 5,83 cis
π
6
CAPÍTULO 3
ñ)
6
4π
5
(cos 31,2° i sen31,2°) : cis
13
3
12
o) cis 185° : cis 200°
17 cis 4,15 : cis 57,4°
p) cis 4 : cis 5
q)
π
r) 5,2 cis : 6,25 cis 43° : cis (−2,17)
12
2
9
s)
1
3 cis5 cis 35 : 0, 2 cis
12
5
10 cis 30 2 cis 10 5 cis
22. Calcula las siguientes operaciones con números complejos.
2 cis
a) (4 cis 18° – 2 cis 18°) : 3 cis45°
c)
b)
5
3 cis
4
4
6 cis 2
5 cos 30 i sen40 2 cos 75 i sen75
3 cos 120 i sen120 4 cos 60 i sen60
2
4
24 cis
3
3
d)
5
2 cis 6 cis
6
6
4 cis
23. Escribe en forma trigonométrica el número complejo z:
1 i 9 3i 3
d) z
a) z
1 i 3 i
1 3i
b) z
1 i
1 i 3 i
c) z
3 – i
1 i 3 i
2i
4 4i 5i
24. Halla el valor de ρ y ϕ en las expresiones siguientes:
1 1
i 4 cis 65
2 2
a) ρ cis
2i 15
c) ρ cis
3
1
cos i sen i
3
3 2
2
b) ρ cis
i
3 i 21 23 i
3
3
2cos
i sen
4
4
25. Sea la expresión w
z1
(z ≠ 0 y z3 ≠ 0):
z2 z3 2
Calcula w y arg (w) si z1 = 1 + i, z2 3 i y z3 = 1 + 3 i.
217
MATEMÁTICA
26*. Simplifica las siguientes expresiones.
a) 2 cis 45° + 2 + 3i +
3
cis 60°
2
3
3
cos i sen 1
i
2
3
3
2
b) 3 – i
c) (− 1 − i) ⋅ 2 (cos 30° + i ⋅ sen 30°)
d) (2 + 2i) ∙ 3 cis 75° ∙ 5(cis 105°)
3 i
cos150 i sen150
e)
3
2 i 2 cos i sen
2
3
3
f)
1
3cis 3i
2
27. Determina los valores de a y b para los que se cumpla que:
a bi
1 3i 23
2 cos ( ) i sen
6
6
28. Efectúa y expresa el resultado en forma binómica o rectangular:
a)
c)
2 cis
π
4
b)
π
3 2 cis
4
3 cis 60 9 3 3i
3i cis 135
8 cos 40 i sen40 2 cos 170 i sen170
4 cis 190 )
29. Calcula x y y si:
2 cis 40 8 cis5
4 cis 195
b) Determina el módulo y el argumento del conjugado del opuesto
a) z = x + yi
de z.
30. a) Determina el valor de la siguiente expresión:
z
2 cis15 1 i
2 cos120 i sen120
b) Representa gráficamente el resultado anterior.
218
CAPÍTULO 3
31. Halla el valor de z en la siguiente expresión y expresa el resultado en
forma binómica:
3
3
2 cos i sen 3 cos
i sen
2
2
4
4
z
5
5
6 cos i sen
4
4
32*. El cociente de dos números complejos es imaginario puro, su suma es
real e igual a 5, y el módulo del dividendo es el duplo del módulo del
divisor. Halla los números.
Potenciación y radicación de números complejos
33. Calcula las operaciones siguientes con números complejos:
a) (2 + 3i)2
b) (1 + i)3
c) (3 − 4i )2
e) (6i − 5)2
f) (i − 1)6
g) (x – i)2
d) (−1 − 5i )2
h)
2 i
2
34. Calcula las operaciones siguientes con números complejos:
a) zn si z = 2 cis 30° y n = 4, 5, 6.
b) [3(cos 18,6° i sen 18,6°)]3
8
c) (cis 2)6 d) 5 cis
5
4
6
cos
i
sen
e) [2 cis (− 1)] f)
3
3
g) ( 3 cis 0,5)10
h) (cis 45°)4
14
8
i) 10 cis j) cis
7
9
4
k) [4(cos 25° i sen 25°)]
l) (3 cis 120°)5
10
1
n) [1,5(cos 18,2° i sen 18,2°)]3
m) cis
20
2
4
1
5
ñ) 3 cis o) 2 cis 180o 3
6
4
p) (2 + 3i) q) (−1− i)5
10
1
3
r)
i s) (2,5i – 1,5)6
2
2
t) (− 2 − 2i)20 u) ( 3 − i)100
v) (− i − 3 i)10
w) (− 9− 27 i)8
219
MATEMÁTICA
35. Determina el valor de la expresión:
z1 z3
π
, si z1 = 1−i , z2 = 3i y z3 = 2 cis
z2
2
1
36. Sea a ∈ C*. Si se conoce que el valor de a + es el que se indica, calcua
la la expresión pedida:
w
a) a
1
1
2 + 3i. Calcula a2 + 2
a
a
b) a
c) a
1
1
1. Calcula a2 + 2
a
a
d) a
37. Determina w =
1
1
2. Calcula an + n
a
a
1
1
0. Calcula an + n
a
a
ab3
en forma binómica si:
c
a = − 3 +3i , b = 2 cis 20o y c = 2 (cos π + i sen π )
38. Halla el módulo y el argumento de w en:
3 i (i 3 )
w
3
( 2 2i )6
4
empleando la forma trigonométrica o polar.
2
3
2 cis 3 cis
4
2
. Calcula z y arg z.
39. Sea z
3
6 cis
2
2
2 cis 1 i
4
40. Calcula los valores ρ y ϕ en: ρ cis
4 cis
4
3
2 i 2
41. Efectúa z
y calcula z y arg z.
1 i 3 4 cis 75
2
2 cis 3 cis
6
4
42. Sea el número complejo c
6 cis
a) Expresa c en notación trigonométrica.
b) Expresa c en forma binómica.
c) Calcula arg c .
1 i 3 1 i (3 i ) − 3 + 11i
43. Calcula z y arg z, si z
5
( 2 2i )4
220
3
(1 i 3 )3
4
2
CAPÍTULO 3
44. Dado z = −
1
3
4
−
i. Calcula z .
2
2
45. Calcula las raíces cuadradas de los números siguientes:
π
6
b) 3 +i
c) − 1 −i
1
3
+
i
2 2
g) 24 − 10i
e) −5i
f) 24i − 7
h) − 8
i) 8i + 15
j) 3 − 4i
k) 4 + 4i
l) − 5 − 5i
m) 5 – 12i
n) 4i − 3
ñ) 8 − 6i
o) 16i
p) −144i
q) 2 − 2i
a) 36 cis
d)
46. Calcula las siguientes operaciones con números complejos.
a) 3 8 cis60°
b) 4 81cis120°
e) 7 cis3
f) 8 cis
c) 5 32 cis150°
5π
6
g) 10 100 cis
d) 6 729 cis50°
5π
6
h) 4 13, 6 cos 2 i sen 2
i) 4 18 cos 35 i sen 35
j) 6 3,5 cis 1, 7
l) 4
k) 3 4 + 4 3 i
3
1
+ i
2
2
m) 5 2 3 − 2i
1
n) z1 z2 3 si z1 = 2 + 2 3i y z2 3 i − 1
47*. Denota por a1 una de las raíces complejas de 1, por a2 la otra y por a3
la raíz real. Demuestra que:
a) a1 + a2 + a3 = 0
b) a1 ∙ (a2)2 = a3
48. ¿Para qué valor de x ∈ C se cumple que x3 – 8i = 0?
49. Halla las soluciones de las ecuaciones siguientes:
a) x6 + 27 = 0 (z ∈ C)
b) x6 = i (z ∈ C).
3
2 cis 3 cis
6
4
. Calcula w .
50*. Sea w ∈ C tal que w3
2 cos i sen
221
MATEMÁTICA
51. Halla z si z
z1 z2
, sabiendo que:
z3
1
π
cis .
2
6
52. Halla las raíces sextas de la unidad y represéntalas gráficamente en una
z1 = 4 3 − 4i,
z2 = 2 cis150°
y
z32 =
circunferencia. Comprueba en el GeoGebra tus resultados obtenidos.
53. Dados los números complejos
z1 2 cos 60o isen60o , z2 3 cis , z3 10 cos 315o isen315o ,
4
w1 3 i , w 2 3i , w 3 = cis 30o y w 4 2 ; 2
a) Menciona en cada caso, la parte real y la parte imaginaria.
b) Determina su opuesto y conjugado.
c) Expresa cada número en forma binómica o polar según corresponda.
d) Calcula
z1 ⋅ z2
z3
z1 : z2
w 3
8
z3 ⋅ w 1
w4
w1 ⋅ w 2
w2 : w3
w1 : w 3
w 1
4
3
w3
54. Identifica, cuáles de las proposiciones que aparecen a continuación
son falsas y escríbelas en tu cuaderno de trabajo como verdaderas.
a) El afijo del número complejo w 6 2i se encuentra en el segundo cuadrante.
b) Si z 1 i es un número complejo en forma binómica, entonces
expresado en forma trigonométrica es z cis .
4
3
y z2 2 cis son dos números complejos, entonces
c) Sean z1 4cis
4
7
si z1 z2 8 cis , necesariamente .
4
d) Al realizar la operación de números complejos 4 cis 2 cis se ob3
5π
tiene 8 cis .
3
e) La parte imaginaria del número complejo 3 cos i sen es 0.
f) Si z representa un número complejo en forma binómica y z su conjugado, entonces z = z .
g) Al expresar el número complejo z 2 2i en forma polar se obtiene z = 2 cis135o.
222
CAPÍTULO 3
h) Si z = 2 cis 25o es un número complejo en forma trigonométrica,
entonces z 4 = 16 cis100o .
i) El
conjugado
del
w1 7 cos 25 i sen 25 .
o
número
complejo
w1 = 7 cis 25o
es
o
j) Al expresar el número complejo z = 3cis 270o en forma binómica se
obtiene z = 3i .
k) Si z1 y z2 son dos números complejos tal que z1 2 2i y z2 = 2 cis 45o,
entonces z1 = z2.
l) El conjugado del número complejo z1 8 2i es z1 8 2i .
m) Si z1 2 3i y z2 2 3i son dos números complejos, entonces
z1 z2 10.
3.4 Resolución de ecuaciones en el dominio
de los números complejos
Desde el inicio del capítulo aprendiste sobre las aplicaciones de los números complejos en otras áreas de la Matemática, en particular las relacionadas con la resolución de ecuaciones.
Ejemplo 3.27
Resolver las ecuaciones en el dominio de los números complejos:
a) z 2 4 0
b) x 3 3 x 2 12 x 10 0
Resolución:
a)
Primera vía: z 2 4 z 2 4 z 2 4i 2 z 2i z 2i 0 ; luego:
z 2i 0
o
z 2i 0
z 2i
o
z = 2i , por tanto, la ecuación tiene dos raíces, que
son los números complejos conjugados −2i y 2i.
S 2i ; 2i
Segunda vía:
z2 4 0
z2 4
z 2 = 4i 2
223
MATEMÁTICA
z 4i 2 2i
S 2i ; 2i .
b)
En este caso al aplicar la regla de Ruffini para descomponer en factores
se obtiene:
x 1 x 2 2 x 10 0
x 1 0 o x 2 2 x 10 0 El trinomio no admite descomposición factorial en el dominio de los número entero Z.
x2
2 x 10
0
Primera vía: por la fórmula general de Segunda vía: por completamiento
resolución de ecuaciones cuadráticas cuadrático
x 2 2 x 10 0
2
2
2 2
x 2 2 x 10 0
2 2
x 2 2 x 1 1 10 0
b b2 4ac
2a
a =1 b 2 c = 10
x1,2
D b2 4 a c
D 2 4 1 10 36 0
Las soluciones de la ecuación cuadrática no son reales.
2 36 2 6i
2 1
2
2 1 3i
x1,2
1 3i
2
x1 1 3i x2 1 3i
x1,2
x 1 9 0
2
x 1 9
2
2
x 1 9
x 1 3i
x1 1 3i x2 1 3i
S 1;1 3i ; 1 3i.
Ahora analicemos, cómo se obtiene la solución de la ecuación
x3 – 12x + 10 2 = 0, considerada en la situación inicial del epígrafe 3.1.
Tenemos que x 3 u 3 v , donde u y v son las soluciones del sistema:
(I) u + v = − 10 2
(II) u ∙ v = 64
que se reduce a la ecuación de segundo grado:
v2 + 10 2v + 64 = 0 cuyas soluciones son:
224
CAPÍTULO 3
v = 5 2 50 64 − 5 2 14 − 5 2 ± i 14 ;
entonces:
x 3 5 2 i 14 3 5 2 i 14
Calculando tenemos:
x 3 5 2 i 14 3 5 2 i 14
3 8 cos 152 i sen152 3 8 cos 152 i sen152
= 2 [cos (50,7° + 120°k) + i ∙ sen (50,7° + 120°k)]
+ [cos (50,7° + 120°k) – i ∙ sen (50,7° + 120°k)]
= 4 ∙ cos (50,7° + 120°k)
k = 0, 1, 2.
La expresión dada tiene tres valores diferentes:
3
k 0
2,53,
5 2 14 5 2 14 3, 95 k 1
1, 41
k 2
3
El valor obtenido para k = 2 coincide, dentro de la precisión utilizada,
con 2, que es la raíz que conocíamos.
Se puede comprobar que los otros dos valores son también raíces. En
este caso, el cálculo con números complejos se ha aplicado para obtener
las tres raíces reales de la ecuación, pero es imposible con los métodos conocidos en grados anteriores en el dominio de los números reales.
También en las ecuaciones de segundo grado puede aplicarse el cálculo
con números complejos; en este caso, se obtienen raíces para cada ecuación.
Ejemplo 3.28
Resolver las ecuaciones siguientes:
a) 4 x 2 – 4 x 1 0
b) x 2 x 1 0
c) x 2 – 2ix 5 0
Resolución:
a) En este caso, se puede descomponer, pues se trata de un trinomio
cuadrado perfecto,
2 x 1 0
2
2x 1 0
225
MATEMÁTICA
x=
1
se obtienen dos raíces iguales.
2
1
S
2
b) Esta ecuación no admite descomposición en Z y podemos aplicar la
fórmula general de resolución de ecuaciones de segundo grado o
completamiento cuadrático.
Aplicando la fórmula general
x
2
x 1 0
Aplicando completamiento
cuadrático
b b2 4ac
2a
a =1 b = 1
c =1
x 2 x 1 0
D 12 4 1 1 3 0
1 1
2
x x 1 0
4 4
x1,2
Aquí el discriminante es negativo y no
2
2
hay raíces reales, pero sí complejas:
1 3
x 0
2 4
1 3 1 i 3
1
3
x1,2
i
2 1
2
2
2
1
3
x
2
4
1
3
x1 i
2
2
x
1
3
2
4
x
1
3
i
2
2
1
3
x2 i
2
2
se obtienen dos raíces conjugadas.
2
1 1
x2 x 1 0
2 2
2
1
3
x
i
2 2
1
3
1
3
i
x1
i − −
2 2
2 2
Al expresar las raíces en forma trigonométrica se obtiene:
2
2
cos 3 i sen 3
S
cos 2 i sen 2
3
3
226
CAPÍTULO 3
c) Aquí es similar al anterior con la diferencia de que uno de los coeficientes es imaginario:
x1,2
b b2 4ac
2a
a=1
b 2i
c 5
D b2 4 a c
D 2i 4 1 5 4i 2 20 4 20 16
2
x1,2
2i 16 2i 4 2 i 2
i 2
2 1
2
2
x1 2 i
x2 2 i
S 2 i ; 2 i.
Saber más
Observa que en este caso de la ecuación x2 + x + 1 las raíces son raíces complejas
x3
x 1 x 1
x3 1
y las soluciones de la ecuación son las
x 1
x 1
raíces cúbicas primitivas de la unidad distintas de 1, es decir, los números com3
plejos que satisfacen x 1 pero no x 1.
xn 1
y las raíces de
x 1
son las raíces n-ésimas complejas de 1.
En general: xn – 1 + xn – 2 + … x + 1
xn – 1 + xn – 2 +… x + 1= 0
Estas ecuaciones se llaman ciclotómicas.
Hemos visto que las ecuaciones de tercer grado tienen tres raíces y las de
segundo grado, dos; ambas son casos particulares de un teorema general.
Teorema 3.6 (Teorema fundamental del Álgebra)
Toda ecuación de grado n en C tiene exactamente n raíces complejas.
En este grado no podemos probar el teorema. Aunque K. F. Gauss dio
cuatro demostraciones en el curso de su vida, ninguna es estrictamente
algebraica, pues demandan conocimientos del Análisis matemático, que
se estudia en el nivel superior.
227
MATEMÁTICA
¿Sabías que...?
En la hidrodinámica o estudio de las fuerzas y movimientos de los fluidos (gases
y líquidos) la descripción de flujos estables incompresibles, irrotacionales (sin
torbellinos) y planos (en dos dimensiones) está formulada por una función de
variable compleja, w = f(z), donde z = x + yi, denominada potencial complejo. Si
los flujos fueran inestables, w dependería también del tiempo, (t).
Estos flujos son el fundamento de la teoría del vuelo,
aplicable al diseño del ala de un avión, tanto en su aerodinamismo (forma de mínima resistencia al aire), como
en su sustentación, desarrollada por Nicolái E. Zhukovski
(1847-1921) (figura 3.38) eminente matemático ruso,
presidente de la Sociedad Matemática de Moscú y profesor de su Universidad, a quien V. I. Lenin llamó padre de
la aviación rusa. Curiosamente, el aire, que es compresible normalmente, deja de serlo a velocidades menores
de unos 500 km/h, que es la velocidad de los aviones en
Fig. 3.38
su aterrizaje y despegue.
Terminaremos este epígrafe con algunos resultados sobre los polinomios con coeficientes complejos.
Como sabemos, los polinomios son expresiones de la forma:
an z n an 1z n 1 ... a1z a0 en los que a0 ∈ C, a 0
n ∈ ℕ es el grado del polinomio y z es la variable compleja sobre la cual
se define el polinomio (que puede tomar valores complejos) y cuya igualdad se determina por la definición siguiente.
Definición 3.6 (Igualdad de los polinomios)
n
Dos polinomios an z ... ai z a0 , an 0 y bm z m ... bi z b0, bm 0
son iguales si y solo si sus grados son iguales n
m
y sus coeficientes
también, es decir:
ak bk
k
0,1, n
Es decir, la igualdad de polinomios se basa en la coincidencia exacta de
sus coeficientes y grados, independientemente de las raíces o valores que
tomen para ciertos valores de z.
228
CAPÍTULO 3
Esta definición es fundamental en álgebra y se aplica en diversos contextos matemáticos, incluyendo la resolución de ecuaciones polinómicas y
la teoría de funciones analíticas.
Ejemplo 3.29
Calcular A y B para que se cumpla:
x 2
A
B
x 5x 6 x 3 x 2
2
Resolución:
Efectuando en el miembro derecho obtenemos:
A x 2 B x 3 Ax 2 A Bx 3B A B x 2 A 3B
x 2
x 5x 6
x2 5x 6
x2 5x 6
x2 5x 6
2
Como los denominadores son iguales, los numeradores deben serlo
también:
Aplicando la definición de igualdad de números complejos, tenemos:
A B 1
2 A 3B 2
Multiplicando la primera ecuación por 2 y adicionando ambas ecuaciones se tiene:
B 4, luego B 4
y sustituyendo B 4 en la primera ecuación resulta:
A 4 1 luego, A = 5, es decir,
5
4
x 2
x 5 x 6 x 3 x 2.
2
El procedimiento introducido en este ejemplo se llama método de los
coeficientes indeterminados, pues se introducen coeficientes que no se
conocen, y cuyo valor se determinan aplicando la definición de igualdad.
Del teorema fundamental del Álgebra resulta que, todo polinomio con
coeficientes complejos puede descomponerse en factores lineales.
229
MATEMÁTICA
Teorema 3.7 (Teorema de factorización total)
a0 es un polinomio con ak C y z1, z2, …, zn
son las raíces de la ecuación an z n an 1z n 1 ... a1z a0 0 , entonces
Si an z n
an 1z n 1 ... a1z
an z n
an 1z n 1 ... a1z a0
an z
z1 z
z2
z
zn
z1 ,
, zn
se llaman también ceros del polinomio.
Sin embargo, es importante que sepas que esta propiedad es fundamental en la criptografía moderna, especialmente en sistemas como RSA,
en los que la seguridad depende de la dificultad de factorizar números
grandes en sus componentes primos. Además, en la vida cotidiana, se aplica en situaciones como la división equitativa de recursos, la gestión del
tiempo y la comparación de precios, demostrando su utilidad práctica más
allá del área matemática.
Ejemplo 3.30
Descomponer en factores x 2 + x + 1
Resolución:
Sabemos que x 2 x 1 0 tiene dos raíces
2
2
2
2
1 cos
i sen y 2 cos
i sen
3
3
3
3
Luego del teorema 3.7 resulta:
x 2 x 1 x 1 x 2 .
Observa que el polinomio del ejemplo 3.30 no tiene descomposición en
polinomios con coeficientes reales.
Combinando el teorema 3.7, podemos descomponer cualquier fracción
A
.
en fracciones simples del tipo
x
Ejemplo 3.31
2x + 1
Descomponer en fracciones simples la fracción algebraica 2
x +1
Resolución:
Como x 2 1 0 tiene raíces ±i, tenemos:
x 2 1 x i x i y entonces escribimos,
230
CAPÍTULO 3
A x i B x i Ax Ai Bx Bi
2x 1
A
B
2
x 1 x i x i
x2 1
x i x i
A B x A Bi
x2 1
Aplicando la definición de igualdad de fracciones de igual denominador, tenemos:
A B 2
A B 2
o
A B 1
A B i 1
pues 1 = i 4 k con k ∈ Z, para k = 1 1 = i 4
Dividiendo por la unidad imaginaria en la segunda ecuación tenemos
A B i 3 , pero i 3 i de donde resulta que A B i
De la resolución del sistema se obtiene:
A
2 i
2 i
y B
, o sea,
2
2
2 x 1
2 i
2 i
.
x 2 1 2 x i 2 x i
Ejercicios del epígrafe 3.4
1. Determina las soluciones de las ecuaciones siguientes en el dominio de
los números complejos:
a) x2 – 3x + 2 = 0
b) 2x2 + x − 2 = 0
c) x2 + x – 5 = 0
d) 3x2 – x – 2 = 0
e) 4x2 + x – 2 = 0
f) x2 + x – 1 = 0
g) x2 + x + 3 = 0
h) x2 + 4 = 0
i) x4 + 2x2 + 1 = 0
j) x4 + x2 – 1 = 0
k) x4 + x2 + 1 = 0
l) x2 – 3x + 5 = 0
m) 5x2 − x + 1 = 0
n) (2x – 1)2 – (x + 2)(x – 2) – 2x2 = −2x – 5
ñ) x2 + 2x – 2 + 4i = 0
o) x2 – (2 + 4i)x + 2i – 3 = 0
2. Resuelve las ecuaciones siguientes (z ∈C ):
a) z2 + iz = 2
b) z2 + iz + 1 = 0
c) z2 + 2iz – 1 = 0
d) z2 + 2iz = 5
e) z2 = 2z – 5
f) z(z – 2 i) = 5
231
MATEMÁTICA
3. Demuestra que la suma de las raíces quintas de la unidad real es nula.
Sugerencia: resuelve la ecuación x 5 = 1.
4. Sean las expresiones algebraicas A x 2 x x 2 , B x 3 x 2 3 y
C x x y:
a) Determina los valores de x ∈ C para los cuales se cumple que
A x B x .
b) Diga la parte real del número complejo que resulta de dividir una de
las raíces de la ecuación entre 1− i.
5
en forma binómica.
4
7
d) Calcula el coeficiente del término x 5 y 2 en el desarrollo de C x
c) Expresa el número complejo z 2 cis
5. Sean las expresiones P x x 3 2 x 2 y Q x x x 2 x 9 :
a) Determina los valores de la variable en el dominio de los números
complejos para que P x Q x .
6. Sean los números complejos z1 = 4 cis120o , z2 4 x 6i , z3 = 2 cis 25o ,
z 4 2 3 yi y w 2 2i :
a) Expresa z1 en forma binómica.
b) Si z2 = z 4 , determina los valores de x , y .
c) Calcula z3 .
4
d) Calcula w .
10
7. Sean las expresiones M x 2 x 1 x 3 y N x x x 2 3 x 4 x :
2
7.1 ¿Para qué valores de x ∈ C se cumple que M x N x ?
7.2 Si z1 i 2 031 2 2i y z2 1 2i y z3 = 2 2 cis 135o
a) Calcula z1 − z2 .
b) Determina la parte real de z3.
c) Calcula
z1
z3
4
.
8. Descompón en factores complejos:
a) 2 x 3 + 7 x 2 + 16
232
b) x 4 − x 3 − 4 x 2 − 5 x − 3
CAPÍTULO 3
9. Reduce los polinomios siguientes y determina su grado:
a) P x 7 x 3 5 x 3 3 x 3 2 x 7
b) Q x 2 x 1 x 1 x 1 3 x 2
2
c) M x ; y 2 x 2 y 3 xy xy 2 1 4 x 3 y 4 6 x 3 y 4 xy
1 3 2 1 2 3 3 3 2 5 2 3
a b a b a b a b 2
2
4
4
8
1
10. Sea P x 2 x 4 3 x 3 x 2 2 x 1, calcula P 1 , P 1 , P 2 y P apli 2
cando la regla de Ruffini o de Horner.
d) S a ; b
11. Dado P x 2 x 3 x 2 2 x 3, calcula P i , P 1 i y P i 1 .
12. Halla un polinomio de tercer grado cuyas raíces sean:
a) x1 = 1
x2 2
x3 = 0
b) x1 1
x2 1
x3 =
1
2
c) x1 x 2 x3 i
d) x1 = 1
x2 = 1
x3 i
x4 = 0
e) x1 = 1
x2 = i
x3 i
f) x1 = 1
x2 = 2
x3 i
g) x1 = 1
1
3
x2
i
2 2
1
3
x3
i
2 2
13. Descompón en fracciones simples:
a)
x 5
x
1 x 1
b)
3
x + 3x
2
c)
8x − 8
x − 2x2 − 8x
3
d)
3x
x − 25
2
Ejercicios del capítulo
1. Escribe en tu cuaderno de trabajo la respuesta correcta en cada inciso.
A. El resultado de multiplicar los números complejos z1 4 2i y
z2 5 i es:
a) 20 − 2i
b) 22 + 6i
c) 18 + 6i
d) 22
233
MATEMÁTICA
B. Sea z1 1 i , z2 2 2i y z3 3 3i son números complejos. Al calcular
z1 ⋅ z2
se obtiene:
z3
a)
4i
3 + 3i
b)
4
i
3
c)
2 2
− i
3 3
d)
2 2
+ i
3 3
C. El conjugado de calcular z1 ⋅ z2 para z1 3 i , z2 5 2i es:
a) 13 − 11i
b) 13 + 11i
c) −11i
d) 13
2. Escribe en tu cuaderno de trabajo cuáles de las proposiciones que
aparecen a continuación, son verdaderas o falsas. Fundamenta tu
elección.
a) Al adicionar dos números complejos conjugados, el resultado es un
número real.
b) El afijo del número complejo −4i se encuentra en el segundo
cuadrante.
c) Los valores x, y reales que satisfacen a la ecuación
1 i x 2 i y 4 x 2i142 son x = 1 y y = 0
d) La raíz cúbica de un número negativo pertenece al dominio de los
números complejos.
3. Simplifica las operaciones siguientes:
a) (3 – i) + (2,5 + i) – (1,3 + 6,7i)
1
2
b) (i – 4)(2 + 3i) – 0, 85i i
3
5
2
c) 2 cis 45o 5,1i 1 i : 2 i
3
2
e) 0, 4 0, 3i 2 cos i sen
5
5
d) 5 cis 40o 3 cis 30o 2 3i
f) (2 + i)5 – 0,45 cis 45°
g) 3,5 cis 48° ∙ 2,7 cis (− 65°) : � 3 cis 70°
h) 2,7cis
π
2π
: 6,1 cis ∙ 7,8 cis
3
3
3
i) 5,65 cis 140° ⋅3 cis 40° : 8 cis 65°
234
j) 3 i 3 i 2 i
CAPÍTULO 3
k) 4 i 1 3i − 7 2i 2 7i
l) (2 – i ) (i 2) 5 cos – i sen
3
3
4. Determina los valores de x y y ∈ R en las ecuaciones siguientes:
a) x 3i 2 5 yi b) x –2i 3 3i yi
c) x – iy y ix d) 2 x iy 9 y –3ix
e) 3 y ix 1 iy –3 x f) 3 x – y – i = 2ix – iy
g) x iy 1 2i 1 8i
i)
x iy x iy 2 ix
2
k) x iy x iy x 1
2
h) x iy 2 i 5
j) x iy 1 i
2
l) 2 x 3i i 9 y y
2
m) x iy 4 n) x 2 – 3 x – i y x –1 y 1
5*. Prueba que:
z 1
a) R (z) = 0, si I
0, con z ≠ i.
z 1
z 1
b) R �
0, si z ∈ C con z = 1.
z 1
6. Cuál es el valor de a ∈ R para que el número z
real.
7*. Sea el número complejo w
2 4ai
sea un número
1 i
z 1
(z ∈ C , z ≠ − 1).
z 1
a) Determina R(w) e I(w).
b) Demuestra que si w es un número imaginario puro, entonces w = 1.
8*. a) Sea z = x + i y (x, y ∈ R). Demuestra que:
x
z z
2
y
y
z z
i
2
b) Sea la ecuación de la recta Ax + By + C = 0 con A ≠ 0 o B ≠ 0
(x, y ∈ R). Demuestra que:
(A + iB) z + (A −iB) z + 2C = 0
235
MATEMÁTICA
9. Resuelve las ecuaciones siguientes:
a) w3 − 4 2 (1 + i) = 0
b) w5 − 4 + 4i = 0
c) w4 –
1 3i
0
2 i
10. Halla dos números complejos tales que su diferencia sea igual a 6i y su
cociente sea un número imaginario puro.
11* La suma de dos números complejos es 3 + 2i. La parte real de uno es 2.
Halla esos números si su cociente es un número imaginario puro.
12. Calcula el valor de la suma: S = 1 + i + i2 + … i 120.
13. Determina las partes real e imaginaria de los números complejos
siguientes:
1 2i
3
a) z
i
i19
b) z
5 2i 3 4i 1
−
2 5i 4 3i i
c) z
2 3i
i6
1 4i
14. Sea la función compleja f(z) = 2z4 − z3 + z2 – z – 1 (z ∈ C):
a) Calcula f (1 − i) y f (1 + 3 i)
b) Investiga si z0 = i es cero de f.
15. Demuestra que si z1 = z2 , entonces
puro.
z1 z2
es un número imaginario
z1 z2
16. Determina ρ y ϕ dado:
ρ cis 3
ma2
, donde m 3 i,
b
a 2 2i y
b
1
3
i
2 2
17. Calcula las raíces cuartas de z si: z = a3bc
Donde, a = 3 2 cis
π
, b = 2(cos 40° i sen 40°) y c = 3 cis50°.
18
18. Un extremo de un diámetro de circunferencia cuyo centro coincide
con el origen de coordenadas es el punto 4 2 + 2i. Halla el número
que representa los extremos del diámetro perpendicular al dado y
calcula la longitud del diámetro de la circunferencia.
18.1 Verifica el resultado obtenido con el uso de GeoGebra.
19. ¿Qué figura del plano representan las ecuaciones siguientes?
a) I(z2) = 2
236
1
b) R 2
z
1 1
c) I
z 2
CAPÍTULO 3
d) z z (1 − i) z + (1 + i) z = 0
e) (z 2 z )2 –8
f) I(z 2 − z ) = 2 − I z
g) 2z z (2 + i)z + (2 – i)z = 0
19.1 Representa con ayuda del GeoGebra la figura obtenida.
20. a) Calcula las raíces cúbicas de z si z = 3 + 3 i.
40 cis 20 2cis 40
.
( 3 i )3
21. El centro de un cuadrado es el afijo de z0 = 1 + i y uno de los vértices
b) Las raíces cuadradas de z si z
es el afijo de z1 = 1 – i
a) ¿Qué números complejos determinan los vértices restantes?
b) Calcula la longitud de la diagonal del cuadrado.
c) Verifica con ayuda del GeoGebra el resultado obtenido
22*. a) Si α es una de las raíces cúbicas complejas de la unidad, comprueba
las relaciones siguientes:
1
(1 )2
3
b) Si α1 es una raíz cúbica compleja de la unidad y α1, la otra, muestra que:
1 2 = 0
(1 2)6 + (1 )4 =
1 2 = − 1
1 22 2
23*. Demuestra que si z1, z3 ∈ C se verifica que:
2
2
2
2
z1 z2 z1 z2 2 z1 + z2 , e interpreta geométricamente este
resultado.
24. Describe geométricamente el conjunto de números complejos z que
cumple la condición siguiente: z − z = i .
25. Comprueba si 1 ± 3i son raíces de la ecuación: x2 – 4x + 3 = −
3
.
x 2 −1
26*. Determina el valor de n para que el polinomio 2x3 – 2x2 + nx – 1 sea
divisible por x – 3.
27*. a) Determina a y b en el polinomio x4 – ax3 + 2x2 – bx + 1, sabiendo
que es divisible por x – 1 y x – 2.
b) ¿Cuál es el polinomio de tercer grado en una variable cuyas raíces
o ceros son: –4i, –1 – i, 1 y toma el valor numérico 9i −3 cuando la
variable toma el valor i?
237
MATEMÁTICA
28*. Dado dos vetores s con origen en (-1;0) y final (–4;4), y t con origen
en (–1;–2) y final (2;1):
Determina las coordenadas del vector con origen en el origen de
coordenadas que resulta de calcular:
a) s + t
b) s − t
c) t − s
d) t + s
e) s t
29. Resuelve las ecuaciones siguientes:
a) x4 + 5x2 + 4 = 0
b) x 3 3 x 2 3 x x 2 3 x 3 0
30. Lee detenidamente y responde.
30.1 Clasifica en tu cuaderno de trabajo las proposiciones siguientes
en verdaderas o falsas. Justifica las falsas.
a) Al calcular 5 − i 2 028 se obtiene un número real.
1
3π
es − .
2
4
c) Al calcular 7 i 7 i se obtiene un número real.
b) La parte real del número complejo 2cis
d) La ecuación x 3 2 x 1 tiene al menos una solución real.
e) Una de las raíces quinta de 32 es z0 = 2cis 0o.
f) El afijo del número complejo z 2cis
2; 0 .
3
tiene como coordenadas
2
g) El conjugado del número complejo w1 2 cos i sen es
7
7
w 1 2 cos i sen .
7
7
7
h) El argumento del número complejo conjugado de w 2 5cis
6
es 30o.
i) Si el módulo del número complejo z es ρ, entonces el módulo de
–z y de z es ρ.
30.2 Escribe en tu cuaderno de trabajo la respuesta correcta en cada
caso.
Dado el número complejo w 2 2 3 i :
238
CAPÍTULO 3
30.2.1 El argumento del número complejo w es:
b) 30o
a) 150o
c) 300o
d) 240o
30.2.2 El número complejo w en forma polar se expresa como:
a) 4cis 60o
b) 2cis 300o
30.2.3 Al calcular
a) 2cis 120o
c) 2cis 240o
d) 4cis 300o
w : 2cis 120o
se obtiene:
cis 360o
b) −2
c) 8cis 420o
d) −2i
30.2.4 Al calcular w se obtiene el número complejo:
4
a) 256cis 120o
b) −256cis 296o
c) 256cis 75o
d) 16cis 296o
30.2.5 Si w = z y z 3a 1 4 6 bi , entonces los valores de a y b en
ese orden es:
2
2
1
2
2
b) 1 y −
c)
y −
d) 1 y
2
4
4
2
3
30.3 Completa en tu cuaderno de trabajo las proposiciones siguientes
a) −1 y −
de manera que sean verdaderas.
30.3.1 Sean los números complejos z1 2 3i , z2 3 4i ,
z3 3 3 i , z 4 3; 4 y z5 = 12cis120o:
a) La parte imaginaria del opuesto del número complejo que resulta
de calcular z1 z2 z 4 es
b) La parte real del número complejo que resulta de calcular z2 ⋅ z 4 es
c) Al calcular z3 ⋅ z3 ⋅ i 2 025 se obtiene el número complejo
d) El módulo de z3 y su argumento θ es
z2
es
z1
f) El número complejo que se obtiene de calcular z1 i 2 026 2 se clasie) El conjugado del número complejo que resulta de calcular
fica como
g) Los afijos de z1 y z2 se encuentran en el cuadrante
h) El número complejo que resulta de calcular z1 ⋅ z2 se encuentran en
el cuadrante
i) Si z1 = z6 y z6 2 p 9 q 1 i , entonces los valores de p y q en ese
orden son
239
MATEMÁTICA
j) z1 expresado en forma trigonométrica es
k) z5 expresado en forma aritmética es
l) Al calcular z1 se obtiene
4
m) Al calcular 6 z3 se obtiene
n) El polígono que resulta de unir los afijos de las raíces 6 z3 es
z5 ⋅ 3cis 30o
se obtiene
4cis 15o
o) El módulo del número complejo representado en la figura 3.39 es:
ñ) Al calcular
Fig. 3.39
31. Determina las raíces de las ecuaciones siguientes en el dominio de los
números complejos:
a) x 2 6 x 10 0
b) z 2 2zi 3 0
c) z 2 3iz 3
d) x 3 1 i x 2 2 i x 2
31.1 Expresa cada raíz en forma trigonométrica.
3 xi
y 2i.
1 2i
33. Determina el valor de x para que el producto de 2 3i 3 xi :
32. Calcula los valores de x y y de modo que
a) Sea imaginario puro
b) Sea un número real
34. En electrónica, las impedancias pueden ser resistivas (reales), reactivas
(imaginarias) o combinadas (complejas).
34.1 Clasifica cada impedancia:
a) z1 = 5
b) z2 3i
c) z3 2 i
34.2 Determina en cada caso su magnitud.
240
d) z 4 = 0
e) z5 4 0i
CAPÍTULO 3
Autoevaluación
1. Argumenta en tu cuaderno de trabajo por qué son verdaderas o falsas las proposiciones siguientes:
a) La parte rayada que representa la operación
entre los conjuntos M y N en la figura 3.40 es
�M ∩ N .
b) Sean los conjuntos P y Q tal que:
P x R : x 3 y
P Q x R : 1 x 1, entonces
Fig. 3.40
Q 1; 0;1 .
c) Todo número real, es un número complejo.
d) El conjugado del número complejo 4i + 1 es −4i − 1.
e) La parte imaginaria del número complejo 1 − 3i es −3i .
f) El conjunto solución de la ecuación z = 2 es una circunferencia de
radio en 0; 0 y diámetro 4.
g) El módulo del número complejo de afijo 1; 3
es 1.
h) Todo número complejo tiene parte imaginaria.
i) La ecuación x 2 c 0, con c R 0 , siempre tiene dos soluciones
reales.
j) La ecuación x 4 2 0 tiene dos soluciones reales.
2
k) La probabilidad de que al seleccionar al azar una solución de la
ecuación x 5 = 32, esta sea real es de un 20 %.
2. Escribe en tu cuaderno de trabajo la respuesta correcta en cada caso:
2.1 La parte real de todo número complejo es un número:
a) entero
b) fraccionario
c) imaginario puro
d) complejo real
2.2 El conjugado de z = 2 2cis 120o es:
a) 2 6i
b) − 2 − 6i
c) 2 − 6i
d) 2i − 6
241
MATEMÁTICA
2.3 El argumento de
a)
1
3
−
i es:
2 2
π
3
b)
5π
3
c)
π
6
d)
11 π
6
2.4 Al resolver la ecuación x 3 x 0 , las soluciones complejas de esta
son:
a) x = 0 o x 1
b) x i
c) x 2
d) x = 3
2.5 Se conoce que el número complejo z = 2 cis 300 determina el afijo
de uno de los vértices de un cuadrado, cuyo centro está en el origen de coordenadas. Escribe en tu cuaderno de trabajo a cuál de
los números complejos siguientes corresponde al afijo de otro de
los vértices del cuadrado.
a) 2 cis 90o
b) 2 cis 150o
d) 2 cis 30o
c) 2 cis 300o
3. Si z1 4 3i 9 y z2 i 3 son dos números complejos:
3.1 El módulo de z2 es:
a) 2
b) 9
c) 10
d) 2
c) (–2 – 2i)
d) (7 – 4i)
3.2 Al calcular z1 − z2 se obtiene:
a) (–1 – 2i)
b) 1 + 2i
3.3 El afijo del conjugado del número complejo representado por z2
se encuentra en el cuadrante:
a) I
b) II
c) III
d) IV
4. Si z1 x yi , z2 5 x 2 yi y w 6 i 2 son números complejos:
4.1 Los valores de x y y que satisfacen la ecuación z1 z2 w son:
1
a) x = , y = 6
2
b) x 3, y 3
c) x = 2, y = 6
d) x 3, y
1
3
4.2 El afijo del opuesto del número complejo representado por w es:
a) 1; 2
b) 2; 1
c) 6;12
d) 12; 6
5. Si z1 5 2i , z2 = 6 cis120o y z3 3 x 2 6 x 27 2 y i son números
complejos.
242
CAPÍTULO 3
5.1 Determina:
a) El módulo de z1
b) La parte imaginaria de z2
c) x2 − x1
5.2 Escribe en tu cuaderno de trabajo la respuesta correcta en cada
caso:
I. Al calcular z2 se obtiene como resultado:
2
a) 6cis 120o
b) 6cis 14 000o
c) 36cis120o
d) 36cis 240o
II. Los valores de x y y que hacen que z1 = z3 son:
a) 5 y – 27
b) 3 y 6
4
c) − ; 6 y − 2
3
d)
4
;6 y 2
3
6. Si 3 m 7 i 6cis120o. Determina el valor de m.
7. Determina el argumento de los números complejos 5i, –7i, 3 y –3.
8. Un rotor gira con velocidad angular representada por el número com
plejo w cos i sen .
4
4
a) ¿Cuál es el valor del ángulo que forma con el semieje real positivo?
b) Calcula
w 4 cis 30o
.
2 cos i sen
4
4
9. En un circuito de AC, el voltaje V z I . Si I 2 i A y z 3 2i . Determina la tensión.
10. El ángulo de fase de un número complejo z 1 i puede representar, por ejemplo, una impedancia, tensión o corriente en un circuito de corriente alterna (AC), es de gran importancia en este tipo de
circuitos.
10.1 ¿Qué representa la parte real, la parte imaginaria y el argumento de un número complejo (fasor)?
10.2 Si z 1 i representa una impedancia. Determina su módulo y el
ángulo de fase.
243
MATEMÁTICA
10.3 En un circuito AC con elementos reactivos (bobinas y capacitores), la impedancia z determina el desfaseje entre la tensión V y
la corriente I. Investiga y determina para la impedancia z 1 i si:
a) La corriente se atrasa respecto a la tensión (comportamiento
inductivo).
b) La corriente se adelanta (comportamiento capacitivo).
c) La corriente y la tensión están en fase (comportamiento resistivo
puro).
10.4 El ángulo de fase en este tipo de circuitos está directamente relacionado con la potencia reactiva y el factor de potencia (cos θ):
Potencia activa P V I cos
Potencia reactiva Q V Isen.
¿Por qué se puede afirmar que el circuito con impedancia z 1 i
consume potencia?
10.5 Investiga qué indica el ángulo de fase de 45o en un circuito AC.
11. En un circuito en serie, con impedancias z1 5 3i y z2 1 2i:
a) Calcula la impedancia total zTotal .
b) Determina el módulo de la impedancia total.
c) Determina el argumento.
d) Si el voltaje es V = 20v , determina la corriente I .
12. Argumenta la afirmación siguiente:
“Los números complejos no son solo una abstracción matemática: son
herramientas esenciales para modelar fenómenos ondulatorios, analizar sistemas dinámicos y diseñar tecnologías que usamos diariamente,
como celulares, internet o equipos médicos. Su capacidad para unificar
magnitudes y fases en una sola expresión los hace insustituibles en la
ciencia moderna”.
244
CAPÍTULO 4
Geometría del espacio
O
tro de los privilegios de vivir
en esta época –el siglo xxi–
es ser parte de las genera-
ciones que hacen y harán sostenible
el desarrollo de la informática y la
computación para disponer y disfrutar de sus aplicaciones en campos tan
importantes para la vida como son la
medicina, las ingenierías, incluso el
entretenimiento, la educación y la seguridad ciudadana (figura 4.1).
Lo anterior se puede apreciar, por
ejemplo, en el desarrollo de software
para modelar moléculas de proteínas y estudiar sus procesos biológicos, con fines farmacéuticos, los
desarrolladores utilizan herramientas
de modelado 3D para crear objetos y
entornos realistas, utilizando conceptos geométricos como la perspectiva,
Fig. 4.1
245
MATEMÁTICA
la escala y la proporción, para lograr una representación visual convincente en los destinados al diseño e impresión de objetos en tres dimensiones,
en los videojuegos y simulaciones de la realidad virtual, se manifiesta en
la tecnología implementada en los vehículos autónomos e incluso en los
asistentes matemáticos que disponemos para la enseñanza y aprendizaje
de la Matemática como el GeoGebra.
En general, son muy importantes los conocimientos y habilidades
geométricas, porque nos permiten estimar y determinar cantidades de
magnitud en situaciones prácticas o de otras áreas del conocimiento o la
técnica, así como, esbozar o construir figuras y cuerpos geométricos que
cumplan determinadas condiciones en los diversos contextos en los cuales
esta se aplica.
Al respecto, ¿qué aprenderás en este capítulo?
Descubrirás y demostrarás otros conceptos, propiedades y relaciones
de la Geometría del espacio, que te permitirán profundizar y ampliar
tus conocimientos sobre esa rama de la matemática, y su aplicación en la
Geometría analítica del espacio, así como en otros campos del saber. Los
nuevos aprendizajes que vas adquirir, son útiles para interpretar y crear
modelos, representaciones de objetos y situaciones de la realidad, por lo
que pueden contribuir al desarrollo de tu pensamiento geométrico y analítico, así como a tus capacidades intelectuales y motivaciones profesionales en especialidades en las que estos conocimientos tienen aplicación.
4.1 Geometría sintética del espacio
S ¿Qué importancia tiene en el mundo actual el conocimiento de la geometría del espacio?
La geometría del espacio (también llamada estereometría) es la rama
de la geometría que se encarga de estudiar las figuras geométricas que
ocupan un lugar en el espacio.
Entre estas figuras voluminosas, también llamadas sólidos o cuerpos, se
encuentran el prisma, el cono, el cubo, el cilindro, la pirámide y la esfera,
246
CAPÍTULO 4
cuyas medidas y propiedades en el espacio tridimensional son ampliamente utilizadas en las matemáticas, las ingenierías, las ciencias naturales, la
informática y la computación.
Con la utilización de un programa de diseño asistido por computadora (CAD), se modeló un trofeo para los ganadores del Concurso Nacional de
Matemáticas, como se muestra en la figura 4.2.
El diseño incluye un cubo macizo y un cono
transparente, cuya base está inscrita en una de
las caras del cubo. Dentro del cono, está inscrita
una esfera dorada, y la sección transversal del
cono es un triángulo equilátero, determinado
Fig. 4.2
por el diámetro de su base.
¿Qué relación existe entre 4 de las generatrices del cono y las aristas de
una cara del cubo? ¿Cómo se puede fundamentar? ¿Cuál será el volumen de la esfera, si las aristas del cubo deben medir 1,0 dm?
Para que amplíes tus conocimientos te sugiero la actividad siguiente.
Investiga y aprende
Utiliza los medios informáticos o de comunicación a tu alcance y describe en tu
cuaderno de trabajo:
¿Cómo se emplea la geometría del espacio para determinar la configuración
absoluta de las moléculas?
Si se conoce que la geometría del espacio es útil en el desarrollo de biofármacos,
explica qué concepto o conceptos se utilizan para optimizar este proceso y qué
se busca lograr con ello.
Para ampliar y profundizar los conocimientos sobre la Geometría del
espacio es necesario sistematizar la Geometría plana, sus elementos básicos: punto, recta y plano, el concepto de polígono en particular, los de
triángulo y cuadrilátero, así como los de circunferencia y círculo; debido
a que sus propiedades y relaciones métricas intervienen en el cálculo de
áreas de superficies y volumen de los cuerpos del espacio.
247
MATEMÁTICA
De la historia
Las primeras indicaciones del estudio de ecuaciones cuantitativas y formas espaciales aparecen en tierras de Egipto y Mesopotamia. Y se considera que lo
conocido como Geometría tiene su origen en los conocimientos logrados por
los antiguos egipcios sobre la “medida de la Tierra”, a propósito de su actividad
creadora. Son ejemplos de ello las construcciones de pirámides, la agrimensura
del Valle del Nilo por las inundaciones anuales, y el estudio de la astrología.
Sin embargo, el documento Instrucciones para el conocimiento de todas las cosas oscuras, escrito hacia 1700 a.n.e., por un sacerdote llamado Ahmes, es una
evidencia de que los conocimientos matemáticos eran un secreto que pertenecía
a sacerdotes y a los encargados de las construcciones de monumentos.
Por su parte los antiguos griegos asimilaron estos conocimientos, y continuaron su desarrollo como una rama del saber. Se destacan entre ellos Tales de
Mileto, Pitágoras, Hipócrates de Quíos, Platón, Aristóteles, Euclides y Arquímedes, entre otros. A los aportes de los dos últimos le debemos la expresión de la
Geometría del espacio actual, así como a los del francés Descartes en el siglo xvii,
cuyos aportes contribuyeron a la obtención de progresos importantes en el
Renacimiento.
Es importante señalar, que también
existen evidencias de que la Geometría
fue una de las principales actividades,
en los pueblos originarios de Mesoamérica, la civilización Maya, por ejemplo,
logró expresar en sus fundamentos de
astronomía, escultura y arquitectura
(figura 4.3), los conocimientos geomé-
Fig. 4.3 Pirámide Maya
tricos que poseían.
Repaso y profundización de Geometría plana
Entre los conocimientos que has aprendido sobre Geometría se destacan las posiciones relativas entre puntos y rectas, entre rectas y, en particular, las relaciones entre pares de ángulos, longitudes de segmentos y las
amplitudes de ángulos de figuras geométricas elementales, como triángulos,
cuadriláteros, círculos, entre otras. Conocerlas te ha permitido comprender,
interpretar, representar y crear modelos de cuerpos del espacio.
248
CAPÍTULO 4
¿Sabías que...?
El método axiomático es un método científico particular de la ciencia, que se
utiliza para sistematizar los conocimientos acumulados en el desarrollo de esta
ciencia. Es aplicable no solo a la Matemática, sino también a otras ciencias, como
la Física y la Biología.
El método consiste en considerar ciertos conceptos como básicos o primarios (no
definidos en esa teoría), así como determinadas relaciones entre estos conceptos
básicos. Para describir las propiedades de estas relaciones se consideran proposiciones que no se demuestran en el desarrollo de esta teoría, son los llamados
axiomas o postulados. A partir de ellos se deducen sus consecuencias, aplicando
las leyes de la lógica formal. Estas consecuencias constituyen las definiciones y
teoremas de la teoría.
El iniciador de este método fue el geómetra griego Euclides de Alejandría
(siglo iv a.n.e.), conocido como el “padre de la Geometría”. En su obra más famosa, Los elementos, hizo una recopilación sistemática de los conocimientos
matemáticos de la época; en ella formuló los cinco postulados siguientes:
1. Entre dos puntos cualesquiera se puede trazar una línea recta.
2. Una línea recta puede prolongarse indefinidamente en ambas direcciones.
3. Se puede trazar un círculo con cualquier centro y cualquier radio.
4. Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.
5. (Postulado de las paralelas) Si una línea recta corta a otras dos líneas formando
ángulos internos en un lado cuya suma es menor que dos ángulos rectos, entonces esas dos líneas se encontrarán si se prolongan lo suficiente en ese lado.
Posteriormente, David Hilbert (1862-1943) reformula la construcción axiomática
de Euclides, incorporándole la lógica a su fundamentación, lo cual contribuye a
su formalización.
Recuerda que...
Un teorema es una proposición de la cual se ha garantizado su veracidad por
medio de la demostración, utilizando razonamientos lógicos y basándose en
axiomas y otros teoremas demostrados previamente.
Un teorema consta de:
249
MATEMÁTICA
Hipótesis o premisas, que son las condiciones bajo las cuales se aplica el teorema.
Tesis o conclusión: lo que se afirma como cierto cuando se cumplen las hipótesis.
Demostración: es el proceso lógico mediante el cual se muestra que se cumple
la tesis, partiendo de las hipótesis y de otros teoremas demostrados en la teoría.
Relaciones entre pares de ángulos
Como se puede apreciar en la figura 4.4, los ángulos alrededor de un
punto y los pares de ángulos determinados por rectas que se cortan, tienen una importante presencia en la vida cotidiana.
Fig. 4.4 Sifón del alcantarillado de La Habana
Las relaciones y propiedades entre pares de ángulos, se aplican en las
demostraciones geométricas.
Reflexiona
En la figura 4.5 se muestran ángulos consecutivos con un vértice común. ¿Qué
los distingue, y qué relaciones se cumplen en cada uno de ellos?
a
b
Fig. 4.5
250
c
CAPÍTULO 4
¿Qué propiedades cumplen los pares de ángulos
determinados por dos rectas paralelas a y b cortadas
por una tercera recta c? (figura 4.6). ¿Y qué pasaría si
las rectas a y b no son paralelas?
Fig. 4.6
Ejemplo 4.1
En la figura 4.7 las rectas que se cortan r1 y r2, forman pares de ángulos
donde 45o. Fundamentar por qué:
a) 45o
b) 135o
c)
d)
Fig. 4.7
Resolución:
a) 45o porque y son ángulos opuestos por el vértice, luego, tienen la misma amplitud.
b) Se cumple que 135o, porque α y β son ángulos adyacentes, lo que
significa que 180o .
c) porque son ángulos opuestos por el vértice, quiere decir que
sus amplitudes son iguales.
d) por ser ángulos opuestos por el vértice, luego tienen la misma
amplitud.
También puedes encontrar otras relaciones entre ángulos, atendiendo
a las relaciones entre las rectas.
251
MATEMÁTICA
Recuerda que...
• Si dos ángulos, ambos agudos (o ambos obtusos), tienen sus lados respectivamente paralelos, entonces sus amplitudes son iguales.
• Si dos ángulos, uno agudo y otro obtuso, tienen sus lados respectivamente
paralelos, entonces la suma de sus amplitudes es 180o.
• Si dos ángulos, ambos agudos (o ambos obtusos), tienen sus lados respectivamente perpendiculares, entonces sus amplitudes son iguales.
• Si dos ángulos, uno agudo y el otro obtuso, tienen sus lados respectivamente
perpendiculares, entonces la suma de sus amplitudes es 180o.
Por la importancia y aplicación de estas relaciones te sugerimos que
realices las actividades propuestas en la sección siguiente:
Aplica tus conocimientos
1. Realiza un resumen sobre los ángulos y sus propiedades que se forman:
a. Entre dos rectas que se cortan.
b. Entre dos rectas cortadas por una secante.
2. Con ayuda del GeoGebra representa las relaciones
entre ángulos descritas en la sección Recuerda que
anterior.
3. ¿Cuál es la amplitud de los ángulos que se indican
en la figura 4.8?
Fig. 4.8
5
4. Dos ángulos adyacentes están en la razón .
7
¿Cuáles son sus amplitudes?
Triángulos. Propiedades y relaciones métricas
Es muy frecuente apreciar que
el triángulo aparece como la figura
plana que conforma la superficie de
los cuerpos, así como de estructuras
geométricas (figura 4.9). Además, se
considera el polígono más estable y
Fig. 4.9
252
CAPÍTULO 4
resistente que se puede construir con tres segmentos de rectas que se cortan dos a dos.
Reflexiona
Explica si es posible construir triángulos con lados de longitudes 12 cm; 5,0 cm
y 4,0 cm. ¿Qué condición se ha de cumplir para garantizar la existencia de un
triángulo? Comprueba con ayuda del GeoGebra esa condición?
Las propiedades y relaciones métricas en los triángulos son aplicadas
para resolver diversas situaciones de la práctica cotidiana, así como en demostraciones geométricas.
Ejemplo 4.2
Demostrar que la suma de los ángulos exteriores de un triángulo es de
360o.
Resolución:
Tracemos la ∆BAC y los ángulos exteriores
δ, θ y ϕ (figura 4.10) entonces:
δ = α + γ (por teorema del ángulo exterior
(δ) del triángulo BAC)
θ = α + β,
ϕ = β + γ , adicionando miembro a miembros
tenemos: δ + θ + ϕ = 2α + 2β + 2γ
Fig. 4.10
δ + θ + ϕ = 2(α + β+ γ)
como α, β y γ son los ángulos interiores del ∆BAC,
tenemos: δ + θ + ϕ = 2 · 180o
δ + θ + ϕ = 360o
Luego, queda demostrado que la suma de los ángulos exteriores de un
triángulo es de 360o.
253
MATEMÁTICA
Reflexiona
• ¿Por qué en todo triángulo existen 6 ángulos exteriores que son iguales 2 a 2?
• ¿La altura relativa a cualquiera de los lados de un triángulo, es siempre un
segmento interior a él?
Recuerda que...
Dos triángulos son iguales si existe un movimiento del plano que transforme
a uno en otro (traslación, rotación, reflexión o cualquier composición de ellos)
o si al superponerlos uno encima del otro sus dimensiones coinciden, es decir, en las longitudes de sus tres lados y en las amplitudes de sus tres ángulos
respectivamente.
Criterios de igualdad de triángulos
Dos triángulos son iguales si tienen respectivamente iguales:
Fig. 4.11
Fig. 4.12
Fig. 4.13
Fig. 4.14
Ejemplo 4.3
En la figura 4.15, ABCD: trapecio isósceles de
bases AD y BC. Se conoce, además que:
DE ⊥ AD, AF⊥ AD y el BCE = FBC .
a) Probar que ∆EDC = ∆BAF.
254
Fig. 4.15
CAPÍTULO 4
b) Calcular el área del triángulo BAF si
DC = 4 2dm, AF = 2, 64 dm y el DAB = 135o.
Resolución:
a) En la figura se cumple que:
(1) CD = AB (por ser lados no paralelos del trapecio isósceles ABCD).
BCE = FBC (por datos).
BCD = ABC (por ser ángulos bases del trapecio isósceles ABCD).
De la sustracción miembro a miembro de las igualdades anteriores se tiene
BCE – BCD = FBC – ABC (por diferencia de ángulos).
(2) DCE = FBA
EDC + CDA + ADE = 360o (I) (por suma de ángulos alrededor
del punto D).
BAF + DAB + FAD = 360o (II) (por suma de ángulos alrededor del punto A).
De (I) y (II) tenemos:
EDC + CDA + ADE = BAF + DAB + FAD
CDA = DAB (por ángulos bases del trapecio isósceles ABCD).
ADE = FAD = 90º (por ser DE ⊥ AD y AF ⊥ AD).
(3) EDC = BAF (por diferencia de ángulos iguales).
Luego, ∆EDC = ∆BAF (por tener un lado y los ángulos adyacentes a
él, respectivamente iguales).
b) Como se cumple que:
FAD DAB BAF 360o (por ser ángulos consecutivos alrededor de un punto-ángulo completo)
90o 135o BAF 360o
225o BAF 360o
255
MATEMÁTICA
BAF = 135o
DC
= AB
= 2 2dm (por lados homólogos de triángulos iguales)
A BAF
AF AB
senBAF
2
2, 64 2 2
2
sen135o 2, 64 2 2
2, 64 2 2 2, 64 2
2
2
5, 28 dm2
A BAF
El valor del área del triángulo BAF es 5, 28 dm2.
Recuerda que...
Las medianas, mediatrices, bisectrices y alturas de un triángulo son rectas notables, y sus respectivos puntos de intercepción en ese orden son: baricentro,
circuncentro, incentro y ortocentro. Estos puntos notables, cumplen las propiedades siguientes:
2
de la lon3
gitud de la mediana correspondiente, y su distanBaricentro: su distancia a un vértice es
cia al punto medio del lado opuesto a ese vértice
1
es de la longitud de la mediana. Es el centro de
3
gravedad del triángulo.
Circuncentro: es el centro de la circunferencia cir-
Fig. 4.16
cunscrita al triángulo.
Incentro: es el centro de la circunferencia inscrita
al triángulo.
Ortocentro: es el incentro del triángulo órtico, el cual tiene como vértices los
pies de las tres alturas del triángulo original (figura 4.16).
Entre las relaciones métricas de los triángulos que conoces se destacan
el grupo de teoremas de Pitágoras, así como las leyes de los senos y los
cosenos que se aplican a la resolución de triángulos rectángulos y no rectángulos, respectivamente.
256
CAPÍTULO 4
Ejemplo 4.4
En la figura 4.17, se tiene que:
■ ∆BCA es isosceles de base AB,
■ D es el punto medio de AB,
■ DEFC es un paralelogramo,
■ DE ⊥ BC .
AD EF
.
CF
b) Si el CDE = 2EDB, probar que el ∆BCA
a) Demostrar que AC
Fig. 4.17
es equilátero.
c) Si CF = 2 3 dm, calcular el valor del perímetro del triángulo BCA.
Resolución:
AD EF
, ello se cumple en triángulos seCF
mejantes, por lo que debemos demostrar que ∆ADC ~ ∆FCE .
a) Para demostrar que AC
En la figura se cumple que:
=
ADC =
CDB 90o (por ser CD mediana y altura del ∆BCA, isósceles
de base AB )
=
DEC =
BED 90o (por ser DE ⊥ BC ).
DEC = FCE = 90o (por ser ángulos alternos entre las paralelas DE y
FC, secante CE y DEC = 90o)
1 : ADC FCE 90o (por tener igual amplitud).
DBE = CDE (por ser ángulos agudos formados por lados respectivamente perpendiculares)
CAB = ABC (por ser ángulos bases del ∆BCA, isósceles de base AB).
CDE = EFC (por ser ángulos opuestos del paralelogramo DEFC ).
2 : CAD EFC (por carácter transitivo).
Entonces, ∆ADC ~ ∆FCE (por tener dos pares de ángulos respectivamente iguales).
257
MATEMÁTICA
AC
AD
CD
AC
AD
Luego, se cumple que = =
= k de donde
=
y
EF
CF
CE
EF
CF
AD
EF como se quería, por lo que queda demostrado.
resulta AC
CF
b) CDE EDB 90o (por ser ángulos complementarios) pero como
CDE = 2EDB se tiene que
2EDB EDB 90o
3EDB = 90o y resulta que
EDB = 30o,
Luego, el DBC = 60o (por ser complementario con el BCD).
Por tanto, el triángulo BCA es equilátero por ser isósceles con un
ángulo interior de 60o.
c) En el triángulo BED rectángulo en E, se tiene que:
DBE = 60o, EDB = 30o (por complementario con el DBE) y
CF
= DE
= 2 3 dm (Por ser lados opuestos del paralelogramo DEFC ).
De donde resulta que:
EB = 2, 0 dm y BD = 4 , 0 dm (por razones trigonométricas o por propiedad del triángulo rectángulo con un ángulo interior de 30o), pero
=
AB 2=
BD 8, 0 dm. Luego,
P BCA 3 AB
P BCA 3 8 24dm
El valor del perímetro del triángulo BCA es de 24 dm.
Reflexiona
• ¿Qué condiciones necesarias y suficientes deben cumplir dos triángulos rectángulos para que sea iguales?
258
CAPÍTULO 4
Recuerda que...
Dos triángulos son semejantes si sus ángulos son respectivamente iguales y sus
lados homólogos son respectivamente proporcionales.
Teorema fundamental de la semejanza de triángulos
Si una recta paralela a un lado de un triángulo corta a los otros dos lados o a sus
prolongaciones, entonces los triángulos así determinados son semejantes.
Criterios de semejanza de triángulos
Dos triángulos son semejantes si tienen respectivamente:
• dos ángulos iguales (a.a.)
• dos lados proporcionales e igual el ángulo comprendido (p.a.p)
• proporcionales sus tres lados (p.p.p.)
Si ∆ABC y ∆A’B’C’ son semejantes y sus perímetros son P y P’ y sus áreas A y A’
2
respectivamente, entonces P’ = kP y A’ = k A, donde k es la razón entre el lado
del ∆A’B’C’ y su homólogo en el ∆ABC.
De la historia
Los siglos vi y v a.n.e. se distinguen por el desarrollo que alcanzó la Matemática
como teoría deductiva, representada por la escuela de Pitágoras. En la Geometría fue notable el estudio de las propiedades de polígonos y cuerpos regulares,
pero sobre todo, se destaca el descubrimiento de la existencia de segmentos
inconmensurables, cuya longitud no se puede expresar como la razón de dos
números enteros.
Esto constituyó la primera crisis de los fundamentos de la matemática y condujo
a que esta se construyera en lo adelante sobre bases geométricas.
Conéctate
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Resumen sobre geometría plana para 12.o grado
259
MATEMÁTICA
Ejemplo 4.5
En la circunferencia (figura 4.18), de centro
O y diámetro AB, se tiene que:
■ C es un punto de la circunferencia,
■ OD AC ,
■ OD ⊥ AD .
a) Demostrar que AB AD BC AO.
Fig. 4.18
b) Si AB = 10dm y AC = 6, 0 dm, calcular el valor aproximado del área de
la región sombreada
Resolución:
a) Primero se debe demostrar que se cumple que ACB ODA.
En la figura se cumple que:
• ACB = 90o (por ser un ángulo inscrito que le corresponde un
arco de 180o).
• ODA = 90o (por ser OD ⊥ AD ).
• ACB = ODA (por tener la misma amplitud).
• BAC = AOD (por ser alternos entre las paralelas OD y AC y secante AB),
Entonces ACB ODA por tener dos ángulos respectivamente iguales (a.a).
Por ser lados homólogos se cumple que:
AB BC AC
= =
=k
AO AD DO
AB BC
=
, de donde
AO AD
AB ⋅ AD = BC ⋅ AO
Luego, queda demostrado que AB AD BC AO.
260
CAPÍTULO 4
b)
AS AsemCír A ODA
AS
r 2 AD DO
2
2
AB = 2 AO
(d = 2r )
AO = 5, 0 dm
En el ∆ODA rectángulo en D (por ser ODA = 90o) se cumple que:
AD = 4 , 0 dm (por sen 3, 4 y 5; trío de números pitagóricos o por
Teorema de Pitágoras).
AS
3,14 52 4 3
2
2
AS
3,14 25 4 3
2
2
AS
78,5
6 39, 25 6
2
AS ≈ 33, 25 dm2
El valor del área de la región sombreada es aproximadamente igual a
33 dm2 .
Ejemplo 4.6
Durante una maniobra un soldado desde la posición de acostado observa con un ángulo de elevación de 39,81o la copa de un árbol que crece en
una pendiente; al desplazarse 2,0 m la observa con un ángulo de elevación
de 51,34o y se percata que está a 4,0 m de la parte del árbol más cercana
a la tierra. Si la copa del árbol y las dos posiciones que asume el soldado
están en línea recta, ¿cuál es la altura del árbol?
261
MATEMÁTICA
Resolución:
El esbozo gráfico del problema
planteado aparece en la figura 4.19
donde:
n = BC = 4,0 m: es la distancia del
pie del árbol al vértice del primer
ángulo de elevación θ = 51,34º.
m = AB = 2,0 m: es la distancia
más abajo del primer punto de obFig. 4.19
servación, donde el ángulo de elevacion α = 39,81º:
c = BD , α = DAC = 39,81o, β = BDA = 51,34°, γ = ABD, θ = DBC:
Se debe calcular el valor de h: altura del árbol
γ + θ = 180º (por ser ángulos adyacentes)
γ + 41,3º = 180º
γ = 138,7º
En ∆ABD: α + γ + β = 180º (por suma de ángulos interiores del triángulo)
39,81º + β + 128,66º = 180º
β = 11,53º
Por la ley de los senos se tiene que:
c=
m
c
sen sen
m sen 2 sen 39, 81 2 0, 640 1, 28
6, 40 m
=
=
0, 2
0, 2
sen
sen11,53
En el ∆BCD, rectángulo en D (por teorema de Pitágoras) se cumple que
c2 = n2 + h2, c2 − n2 = h2 de donde resulta
h c 2 n2
h
6, 4 4
2
2
40, 96 15 24 , 96 4,995
h ≈ 5,0 m
El árbol tiene una altura aproximada de 5,0 m.
262
CAPÍTULO 4
Aplica tus conocimientos
1. Comprueba que es posible fundamentar la propiedad de la altura relativa a la
base del triángulo isósceles del ejemplo 4.4 por las vías siguientes:
a) Con el uso del GeoGebra comprueba que una reflexión de eje CD, transforma el ∆ADC en el ∆CDB.
b) Demuestra la igualdad de los triángulos que determina la altura CD sobre
el lado AB.
2. Verifica las propiedades de los puntos notables de un triángulo, con ayuda del
asistente matemático GeoGebra.
3. Considera el ∆BCA rectángulo en
C (figura 4.20), CD h
AB
.
Demuestra que ∆BCA∼∆ADC∼∆CDB.
¿A qué conclusión llegas sobre los
triángulos determinados por la altura relativa a la hipotenusa de un
triángulo rectángulo?
Fig. 4.20
Cuadriláteros. Propiedades
Los cuadriláteros son figuras geométricas que tiene una importante
presencia en la cotidianidad (figura 4.21), además de que sus propiedades
se aplican ampliamente en diversas demostraciones geométricas.
Fig. 4.21 Exposición del Cartel cubano
En general para resolver problemas o demostraciones geométricas, es
conveniente seguir los pasos siguientes:
1. Analizar toda la información (teoremas y propiedades) que nos brindan los datos.
263
MATEMÁTICA
2. Analizar todos los teoremas relacionados con lo que se debe demostrar,
para verificar si se cumplen las premisas de algunos de ellos.
3. Establecer relaciones entre la información que te brindan los datos
para conformar las premisas de los teoremas relacionado con lo que
quieres demostrar.
4. Realizar la demostración.
Ejemplo 4.7
En la figura 4.22 el ∆EFD es isósceles de base ED.
EF = AC , A = DFB.
Demostrar que AFDC, es un paralelogramo.
Resolución:
Veamos cómo proceder a partir de los pasos
dados:
Fig. 4.22
1. Analizar toda la información
¿Qué significa que el ∆EFD sea isósceles de base ED?
• EF FD ; E = D.
• La altura relativa a la base ED es mediana de la base y bisectriz del ángulo
principal EFD.
Del dato EF AC , ¿qué relaciones podemos establecer con lo analizado
hasta ahora?
• Observa, que tenemos a EF FD y que EF AC , por lo que podemos plantear que: EF FD AC , de donde, FD AC , por propiedad transitiva de la
igualdad de segmentos.
¿Qué información nos aporta el dato A = DFB?
Como A = DFB están en posición de correspondientes entre AC y FD y AB
secante y como son iguales, se puede afirmar que FD AC .
2. Analizar todos los teoremas relacionados y si se cumplen las premisas
Ahora analicemos ¿qué nos piden demostrar?
Para demostrar que el cuadrilátero AFDC es un paralelogramo debemos probar que:
• los lados opuestos son paralelos, o
264
CAPÍTULO 4
• los lados opuestos son iguales, o
• un par de lados opuestos son iguales y paralelos, o
• las diagonales se cortan en su punto medio, o
• los ángulos opuestos son iguales, o
• los ángulos consecutives son suplementarios.
3. Relacionar la información que brindan los datos.
Según lo analizado anteriormente ¿cómo se puede demostrar?
Observemos que se puede demostrar que, AFDC es un paralelogramo a partir
de que un par de lados opuestos son iguales y paralelos, pues según se deduce
de los datos FD AC y FD AC.
4. Realizar la demostración
¿Cómo quedaría planteada la demostración?
Demostración:
EF FD (por ser el ∆EFD isósceles de base ED).
EF AC (por datos)
Luego, FD AC (por el carácter transitivo de la igualdad).
A = DFB por datos, y como están en posición de correspondientes entre AC y
FD, y AB secante, entonces FD AC (por el recíproco del teorema de los ángulos
correspondientes entre paralelas).
Entonces, AFDC es un paralelogramo (por tener un par de lados opuestos paralelos e iguales).
Reflexiona
Los cuadriláteros se pueden clasificar en trapecios y trapezoides; ¿cuál de estos
dos grupos incluye a los paralelogramos?
¿Cuáles son las condiciones adicionales que debe cumplir el paralelogramo para
ser rectángulo, rombo o cuadrado?
¿Cómo quedaría en un esquema lógico la relación entre los cuadriláteros?
265
MATEMÁTICA
Aplica tus conocimientos
1. La figura 4.23 muestra la sección transversal
de una pieza que tiene un hueco rectangular de 1,0 cm de ancho. Si BE CD .
Por cuántas vías diferentes puedes calcular
el área de la sección transversal con los datos que se muestran en la figura, si sabes
que BE = 4,0 cm.
2. Haz un cuadro resumen con las fórmulas de
áreas y perímetros de figuras planas. Declara el significado de cada variable que utilices en cada caso.
Fig. 4.23
Circunferencia y círculo
En la Geometría la circunferencia y el círculo son de los elementos
geométricos que más han aportado al desarrollo de la humanidad (figura 4.24). La invención de la rueda en la prehistoria marcó el punto de partida del desarrollo tecnológico que nos ha traído hasta la actualidad.
Fig. 4.24
Sus relaciones métricas y propiedades tienen diversidad de aplicaciones como, por ejemplo, en la industria automovilística, en el comercio con
la invención de las monedas, en el deporte tanto por la forma de algunos
266
CAPÍTULO 4
implementos como para delimitar áreas en terrenos deportivos o salas de
juego, en la música por la forma que tienen ciertos instrumentos musicales,
en la cartografía para modelar el sistema planetario, también en el sistema
horario, en la arquitectura, en el arte y hasta en un parque de diversiones.
Reflexiona
¿La llanta de una bicicleta representa una circunferencia, un círculo o ninguna
de las dos anteriores?
¿Cuáles relaciones en la circunferencia te permiten trazar dos cuerdas iguales y
paralelas?
¿Qué relaciones de perpendicularidad se pueden encontrar entre elementos de
la circunferencia y entre estos elementos y las rectas del plano?
Ejemplo 4.8
En la figura 4.25, FH ⊥ BC ; EH ⊥ AC;
FH: diámetro,
FH AC BD G
Probar que:
= CD
= EF
a) AB
b) ABCD es un trapecio isósceles.
Resolución:
Fig. 4.25
a) FH ⊥ BC (por datos).
EH ⊥ AC (por datos).
Luego, FHE = BCA (por ser ángulos agudos formados por lados
respectivamente perpendiculares).
= EF
(I) (por ser correspondientes a ángulos inscritos
Entonces, AB
iguales en una misma circunferencia).
FH: está situado sobre la mediatriz de BC (porque todo radio o diámetro perpendicular a una cuerda la biseca (la corta en su punto
medio).
267
MATEMÁTICA
BG =CG (porque todo punto de la mediatriz de un segmento equidista de sus extremos).
Por tanto, ∆CGB es isósceles de base BC (por tener dos lados iguales).
BCA = BDC (por ser ángulos bases del ∆CGB isósceles de base BC).
= CD
(II) (por ser correspondientes a ángulos inscritos
Luego, AB
iguales en una misma circunferencia).
(por el carácter transitivo de
= CD
= EF
De (I) y (II) tenemos que: AB
la relación de igualdad).
b) DAC = BCA (porque a arcos iguales en una misma circunferencia
le corresponden ángulos inscritos iguales).
Como DAC y BCA están en posición de alternos entre BC y AD, y
AC secante, y son iguales, entonces:
BC AD (por el recíproco del teorema de los ángulos alternos entre
paralelas).
AB = CD (porque a arcos iguales corresponden cuerdas iguales).
Luego, ABCD es un trapecio isósceles (por tener un par de lados
opuestos paralelos y los lados no paralelos iguales).
(Ver la nota 1 al capítulo 4 en los anexos)
Ejemplo 4.9
El cuadrado ABCD está inscrito en la circunferencia de centro O y radio
OB (figura 4.26).
Calcular el valor del área sombreada, si la longitud de la circunferencia
es de 50 cm.
Fig. 4.26
268
CAPÍTULO 4
Resolución:
¿Cómo obtener el valor del área de la región sombreada AS?
Se obtiene de sustraer del área del círculo, el área del cuadrado, se deben conocer las longitudes del radio del círculo y del lado o diagonal del
cuadrado.
Asombreada Acírculo AABCD
¿Cómo obtener la longitud del radio del círculo?
Conocemos la longitud de la circunferencia, luego de LC = 2πr se obtiene
r
LC
50
25
≈
≈ 7, 96 ≈ 8, 0 cm
2 2 3,14 3,14
pero, d BD 2r 2 8 cm 16 cm
AABCD =
=
d2
(considerando al cuadrado como un rombo)
2
162
256
=
= 128 cm2 y
2
2
Acírculo r 2
Acírculo 3,14 82 3,14 64 200, 96 cm2
Asombreada Acírculo AABCD
Asombreada 200, 96 cm2 128 cm2
Asombreada ≈ 72, 96 cm2
Asombreada ≈ 73 cm2
El valor del área sombreada es aproximadamente igual a 73 cm2.
Aplica tus conocimientos
1. Fundamenta la veracidad o falsedad de las proposiciones siguientes:
a) En toda circunferencia o en circunferencias iguales a ángulos centrales
iguales corresponden cuerdas desiguales y arcos iguales.
b) En toda circunferencia o en circunferencias iguales a arcos iguales corresponden cuerdas iguales y viceversa.
c) La amplitud de un arco es igual a la amplitud del ángulo central correspondiente.
269
MATEMÁTICA
d) La amplitud de un ángulo inscrito es igual a la amplitud del ángulo central
y del arco correspondiente.
e) En toda circunferencia o en circunferencias iguales algunos de los ángulos
inscritos en un mismo arco son desiguales.
f) Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es de 60o.
g) Todo radio o diámetro perpendicular a una cuerda biseca a esta y al arco
correspondiente.
h) Toda recta tangente a la circunferencia es perpendicular al radio o diámetro en el punto de tangencia.
i) Desde un punto exterior a la circunferencia se pueden trazar infinitas tangentes a la circunferencia.
j) Los segmentos de tangente trazados desde un punto exterior a la circunferencia son iguales.
2. Analiza el ejemplo 4.9 y fundamenta por qué la longitud l, del lado de un cuadrado inscrito en una circunferencia se puede calcular a través de la relación
l 2 r.
3. En la circunferencia de centro O (figura 4.27), AB es un diámetro, AB OD,
BC = 6,0 cm y AC = 8,0 cm.
Fig. 4.27
a) Prueba que ∆AOD ∼∆BCA.
b) Determina el valor del área de la región sombreada.
c) Calcula el valor del perímetro del ∆AOD.
Relaciones entre puntos, rectas y planos en el espacio
Las figuras que se estudian en Geometría plana coexisten con los cuerpos geométricos, que tienen su expresión en un mundo tridimensional
270
CAPÍTULO 4
(figura 4.28), cuyas medidas y propiedades son estudiadas por la Geometría del espacio.
Fig. 4.28
El conocimiento de otras relaciones entre los elementos geométricos
estudiados, además de favorecer tu orientación en el entorno al comprender mejor el espacio, también te preparan para su aplicación en otras
áreas matemáticas, así como en tus futuros estudios de ingeniería u otras
ciencias.
En la Geometría plana a partir de las relaciones entre punto y recta en
un plano, se conocen las propiedades siguientes:
• Dos rectas son paralelas si no tienen puntos comunes.
• Dos rectas perpendiculares a una tercera son paralelas entre sí.
• Por un punto P de una recta r se puede trazar una y solo una recta perpendicular a la recta r.
•
Por un punto T exterior a una recta s se puede trazar una y solo una
recta perpendicular a la recta s.
¿Se cumplirán estas propiedades del plano en el espacio? ¿Qué caracteriza a un plano a partir de las relaciones entre puntos y rectas en el
espacio?
¿Cómo caracterizar al espacio?
Empecemos caracterizando las relaciones entre puntos, rectas y planos,
que ya conocemos de la Geometría plana.
271
MATEMÁTICA
Recuerda que...
La recta está caracterizada por ser un subconjunto de puntos del plano que cumple las propiedades siguientes:
• Dos puntos determinan una recta y solo una.
• Por un punto pasan infinitas rectas.
• El conjunto de puntos de una recta se puede poner en correspondencia biunívoca con el conjunto de los números reales de manera que se conserva el orden.
• Si dos rectas tienen dos puntos en común son coincidentes.
Si observas a tu alrededor comprenderás que, en la Geometría del espacio se manifiestan algunas propiedades que son diferentes respecto a las
que conoces de la Geometría plana.
Ejemplo 4.10
El prisma recto de base rectangular de la figura 4.29 es un esbozo de
uno de los modelos de cajas que se utilizó para envasar los bulbos de la
vacuna cubana Abdala contra la Covid-19 (figura 4.30).
Analizar las relaciones entre puntos, rectas y planos que lo conforman.
Fig. 4.29
Fig. 4.30
Resolución:
• La recta que contiene a la arista EH no
tiene puntos comunes con la recta que
contiene a la arista AB y las rectas EH y
AB no son paralelas (figura 4.30 a).
Fig. 4.30 a
272
CAPÍTULO 4
• La recta que contiene a la arista AE es perpendicular a la recta que contiene a la arista EH y a la recta que contiene a la arista
AB. Las rectas EH y AB no son paralelas (figura 4.30 b).
Fig. 4.30 b
• Las rectas EH y EF son perpendiculares a
la recta AE en el punto E por lo que en el
espacio se pueden trazar más de una perpendicular a una recta por un punto de ella
(figura 4.30 c).
Fig. 4.30 c
Reflexiona
Imagina que el prisma recto de la figura 4.29 es un esbozo del aula o habitación
donde estudias. Identifica en ese entorno las relaciones encontradas entre puntos, rectas y planos en el espacio.
Como puedes observar, la diferencia fundamental entre el plano y el
espacio radica en que el plano tiene dos dimensiones (largo y ancho) y el
espacio tiene tres dimensiones (largo, ancho y alto).
En particular, las relaciones entre puntos y rectas en el espacio son las
que permiten caracterizar al plano, con las propiedades siguientes:
1. Por tres puntos del espacio, no situados en línea recta, pasa un plano
y solo uno.
2. Si una recta tiene dos puntos en un plano, entonces está contenida
en ese plano.
3. Si dos planos tienen un punto común, entonces tienen una recta común que contiene a ese punto (recta de intersección).
273
MATEMÁTICA
¿Sabías que...?
El plano al igual que la recta es una figura
ilimitada (figura 4.31), y del mismo modo
que para representar una recta se dibuja
un segmento de esta, para representar un
plano, se dibuja solo una porción de este, la
Fig. 4.31
cual puede ser un rectángulo que visto en
perspectiva parece un paralelogramo y se
denota con una letra griega.
En el espacio los cuerpos no pueden ubicarse en un plano, estos están
limitados por superficies, y en algunos como el prisma de la figura 4.29, las
superficies son figuras planas. Las relaciones conjuntistas que existen entre
puntos, rectas y planos permiten caracterizar al espacio. En consecuencia,
se dice que:
El espacio es un conjunto de puntos en el cual hay algunos subconjuntos
llamados rectas, y otros subconjuntos llamados planos.
Reflexiona
¿Por qué una mesa o silla de tres patas, nunca cojea? o ¿por qué un pintor para
realizar su obra coloca el lienzo sobre un trípode? ¿Solo tres puntos no alineados determinan un plano único?
¿En el espacio si dos rectas no tienen puntos comunes son siempre paralelas?
Las propiedades de las caracterizaciones de rectas y planos son axiomas
que se aceptan sin demostración; unidas a otras propiedades conocidas,
pueden ser utilizadas para realizar demostraciones geométricas.
Teorema 4.1
Dos rectas que se cortan determinan un plano y solo uno.
274
CAPÍTULO 4
Demostración
Sean p y q (figura 4.32) las rectas y A el punto de intersección, tomemos
en p un punto P ≠ A y en q un punto Q ≠ A.
Entonces los puntos A, P y Q que no están alineados, determinan un
plano α y solo uno, según la propiedad (1) de la caracterización de plano.
Según la propiedad 2, la recta p está contenida en α, pues tiene en él a
los puntos A y P; igualmente la recta q tiene los puntos A y Q en α y está
contenida en él.
Fig. 4.32
Ejemplo 4.11
Demostrar que una recta r y un punto exterior a esta, determinan un
plano y solo uno.
Resolución:
Sea el punto A∉r de la figura 4.33, consideremos un punto B de la
recta r entonces:
Fig. 4.33
Las rectas AB y r se cortan y determinan un plano único α (teorema 4.1).
En general, en el espacio se cumplen todas las propiedades conocidas
relativas al paralelismo, el orden y la congruencia, pero como hemos visto;
dos rectas en el espacio pueden no ser paralelas y no cortarse; luego para el
caso del paralelismo es necesario modificar la definición de rectas paralelas.
275
MATEMÁTICA
Definición 4.1
Dos rectas en el espacio son paralelas si y solo si
a) están contenidas en un plano y ,
b) son paralelas en ese plano.
En consecuencia, en el espacio son posibles las siguientes relaciones
entre rectas:
• Las rectas están en un plano y entonces:
a) se cortan (secante) o,
b) son paralelas.
• Las rectas no están en un plano y entonces no se cortan. En este caso
se dice que se cruzan o que son alabeadas.
Se conviene en llamar ángulo entre rectas que se cruzan (alabeadas), al ángulo que
forman, a partir de un punto dos semirrectas
paralelas a aquellas. En la figura 4.34, β es el
ángulo determinado entre las rectas alabeadas s y p.
Fig. 4.34
Ejemplo 4.12
Probar que dos rectas paralelas determinan un plano y solo uno.
Resolución:
Sean q y p rectas paralelas (figura 4.35);
por definición de paralelismo de rectas
están contenidas en un plano. Este plano
está determinado por los puntos A, B ∈p y
C ∈q , luego es único.
(Ver la nota 2 al capítulo 4 en los anexos)
276
Fig. 4.35
CAPÍTULO 4
Reflexiona
1. Durante el desarrollo de este subepígrafe se identificaron las formas o criterios para determinar planos únicos obtenidos a partir de la propiedad 1, que
se resumen en las figuras 4.36 a, b, c, d.
b
a
c
d
Fig. 4.36
1.1 Completa el resumen en tu cuaderno de trabajo con las condiciones que
deben cumplir los puntos y rectas según corresponda y escribe los criterios
para determinar planos únicos, que sugieren las figuras.
2. Analiza nuevamente el teorema 4.1 e identifica en tu cuaderno de trabajo:
a) Premisas y tesis.
b) Su recíproco. Investiga si se cumple.
Rectas y planos
En diversas ramas de la ciencia y la tecnología tiene importancia considerar las relaciones entre puntos y rectas en el espacio, los criterios para la
determinación de planos, así como, la relaciones entre rectas y planos en el
espacio. Como, por ejemplo, para el diseño de
objetos, estructuras e instalaciones que deben
ser representados por figuras planas.
Para el diseño de las instalaciones hidráulicas en la construcción de un inmueble (figura 4.37). ¿Qué relaciones de posición se
pueden considerar entre una recta con respecto al plano?
Fig. 4.37
277
MATEMÁTICA
De la historia
A la Geometría de los sólidos dedica Euclides los tomos xi, xii; xiii, de su famosa
obra Los elementos, y con excepción de la esfera, desarrolla la geometría del
espacio, de la cual presenta las definiciones, los teoremas relativos a rectas y
planos en el espacio, los teoremas relativos a paralelepípedos y concluye con la
construcción de los cinco poliedros regulares. La estereometría se completa tal
y como la estudiamos hoy con los trabajos del Gran Arquímedes, en sus obras:
Sobre la esfera y el cilindro y De los conoides y esferoides.
Al identificar en tu entorno esas relaciones, reconocerás muchos ejemplos de rectas y planos que no tienen puntos comunes, por ejemplo: las
rectas determinadas por las losas del piso, con el techo de tu aula. En tal
caso lo puedes considerar paralelos.
Analizaremos, teniendo en cuenta la propiedad 2, la relación entre recta y plano a partir de la existencia o no de puntos comunes.
Definición 4.2
Una recta y un plano son paralelos si no se intersecan.
Observa en el prisma recto de la figura 4.38 que:
• un plano paralelo a la recta CD es el plano ABF.
• y la recta BC y el plano DEF son paralelos.
Fig. 4.38
Estos planos y las rectas indicadas no tienen puntos comunes (por mucho que se prolonguen).
278
CAPÍTULO 4
Ejemplo 4.13
Probar que si una recta de un plano es paralela a otro plano que lo interseca, también es paralela a la recta de intersección.
Resolución:
Sea la recta p ⊂ β (figura 4.39), q la recta de
intersección de los planos α y β, p α.
Debemos probar que p q.
Si la recta p cortara a q lo haría en un punto
Q de α, lo que es imposible ya que p α. Ambas
rectas están contenidas en el plano β y no tienen puntos comunes, luego, p q
Fig. 4.39
Reflexiona
¿Cómo probar que una recta es paralela a un plano?
Si una recta es paralela a un plano, ¿a cuántas rectas de ese plano es paralela?
¿A cuáles?
Teorema 4.2 (Criterio de paralelismo de recta y plano)
Una recta es paralela a un plano si es paralela a una recta contenida en ese
plano.
Demostración:
Se tiene en la figura 4.40 que p q y q ⊂ α.
Debemos demostrar que p α.
Como p q, se puede trazar un plano β que
contenga a p y q. Si la recta p cortara al plano α,
cortaría también a q, pues q , lo que es
imposible pues p q.
Fig. 4.40
Luego, p α.
279
MATEMÁTICA
Ejemplo 4.14
Probar que, si dos rectas se cruzan, por cada una de ellas se puede trazar un plano paralelo a la otra.
Resolución:
Sean p y q dos rectas que se cruzan (figura 4.41).
Fig. 4.41
Tracemos por un punto R de p una recta q’paralela a q. La recta p y q’
determinan un plano α (Teorema 4.1) que es paralelo a q (Teorema 4.2).
En tu entorno también se reconocen ejemplos de rectas que tienen un
punto común con el plano, y pueden ocurrir dos casos:
a) La recta es perpendicular a todas
las rectas del plano que pasan
por su punto de intersección (figura 4.42). En este caso se dice
que es una recta perpendicular al
plano. El punto P se denomina pie
o traza de la perpendicular.
b) La recta es perpendicular a solo
una de las rectas que pasan por
su punto de intersección (figura
4.43). En este caso se dice que la
recta es oblicua al plano. El punto P se denomina pie o traza de la
oblicua.
Fig. 4.42
Fig. 4.43
Por “perpendicular” (oblicua) al plano se entiende también el segmento de recta perpendicular (recta oblicua) comprendido entre un punto y
un plano.
En la vida diaria puedes encontrar ejemplos de rectas perpendiculares
y oblicuas a un plano; por ejemplo, la recta de intersección de dos paredes
280
CAPÍTULO 4
del aula es perpendicular al piso, mientras que los tensores que sostienen
un poste determinan rectas oblicuas al piso.
Observa en la pirámide recta de la figura 4.44 que:
• La recta EO es la perpendicular al plano de la base ABCD, en el punto O.
• Las rectas EA, EB, EC y ED son oblicuas al plano de la base.
Fig. 4.44
Reflexiona
¿Son verticales todas las rectas perpendiculares a una recta horizontal?
Ejemplifica.
Puedes profundizar en el tema tratado, por lo que te propongo ejercitarlo en:
Conéctate
Accede al sitio
https://curricular.cubaeduca.cu/education/category?id=2972&type=theme
Encontrarás la lección Relaciones entre rectas y plano.
Realiza los ejercicios de autoevaluación que aparecen en la lección.
¿Bajo qué condiciones necesarias y suficientes se puede afirmar que
una recta es perpendicular a un plano?
Los teoremas y sus demostraciones que estudiarás a continuación te
ofrecerán los conocimientos al respecto.
Teorema 4.3 (Criterio de perpendicularidad de recta y plano)
Si una recta es perpendicular a dos rectas de un plano que se cortan en su
pie, entonces es perpendicular al plano.
281
MATEMÁTICA
Demostración:
Sean m y n dos rectas que se cortan en el plano α (figura 4.45) y p una
recta tal que, p ⊥ m y p ⊥ n.
B punto de intersección de p, m y n.
Fig. 4.45
Se debe demostrar que p es perpendicular a todas las rectas que pasan
por B. Sea q una cualquiera de esas rectas, luego hay que probar que p ⊥ q.
Tomemos sobre la recta p dos puntos A y A‘ simétricos con respecto a B,
y sobre las rectas m y n dos puntos arbitrarios C y D.
Denotemos por E al punto de intersección de la recta q con CD.
Uniendo los puntos A y A‘ con C, D y E, respectivamente se tiene:
∆ACD = ∆DCA‘. (Como CD es lado común, AC = A‘C y AD = A‘D, por ser
m y n mediatrices de AA‘)
Por tanto: ACE = ECA’ por elementos homólogos de triángulos iguales, luego, ACE ECA’(por tener dos lados y el ángulo comprendido respectivamente iguales (l.a.l).
De donde AE = A’E por elementos homólogos de triángulos iguales y
el ∆AA’E es isósceles de base AA’, luego, EB es la mediana relativa a la base
del triángulo isósceles por lo que también es altura y las rectas p y q son
perpendiculares.
282
CAPÍTULO 4
Ejemplo 4.15
Fundamentar, que en el cubo de la figura 4.46 la recta GH es perpendicular al plano CDE .
Fig. 4.46
Resolución:
GH ⊥ HC , (por ser GH y HC lados consecutivos del cuadrado BCGH).
GH ⊥ HE , (por ser GH y HE lados consecutivos del cuadrado EFGH).
Luego, GH es perpendicular al plano CDE (por ser perpendicular a dos
rectas de ese plano que se cortan en su pie H), (criterio de perpendicularidad de rectas y planos).
Ejemplo 4.16
Probar que por cualquier punto de una recta se puede trazar un plano
perpendicular a esta.
Resolución:
Sean la recta p y un punto A cualquiera de p (figura 4.47).
Fig. 4.47
283
MATEMÁTICA
Tracemos por A dos rectas m y n perpendiculares a p.
Estas rectas m y n determinan un plano α ⊥ p (teorerna 4.3)
Teorema 4.4
Si desde un punto se trazan una perpendicular y varias oblicuas a un plano, la perpendicular es menor que las oblicuas.
Demostración:
Sea A un punto que no pertenece a α,(figura 4.48).
Fig. 4.48
Se traza desde el punto A un segmeto perpendicular α AB y un
segmento de oblicua con pie en C (AC es oblicua a α).
Uniendo los puntos C y B se obtiene el ∆CBA rectángulo en B pues
AB ⊥ α y por tanto lo es a CB(toda recta perpendicular al plano es perpendicular a todas las rectas del plano que pasan por su pie); luego AB < AC,
ya que AB es cateto y AC, es hipotenusa.
Reflexiona
Si una recta es perpendicular a un plano, ¿a cuántas rectas de ese plano es perpendicular? ¿A cuáles?
¿Qué longitud puede tener una cuerda para ser utilizada como tensor de un
poste de 6,5 m si debe fijarse en el extremo superior del poste?
284
CAPÍTULO 4
Como consecuencia del teorema 4.4, se tiene que de todos los segmentos que pueden trazarse desde un punto a un plano, el menor es el segmento de perpendicular. Por lo que se puede definir que:
Definición 4.3
La distancia de un punto a un plano, es la longitud del segmento de perpendicular comprendido entre el punto y el plano.
La proyección de un punto, un segmento y, en general, de una figura
plana sobre una recta; puede hacerse en el plano y puede extenderse al
espacio proyectando, ahora, sobre un plano.
Definición 4.4
a) Llamamos proyección de una oblicua AB sobre un plano α, al segmento A ’ B que une al pie de la oblicua
con el pie de la perpendicular bajada desde el mismo punto A al plano
α (se denota A ’ B = proyαAB) (figura 4.49).
Fig. 4.49
b) Llamamos ángulo de una oblicua AB respecto a un plano α al ángulo θ
formado por la oblicua y su proyección sobre α.
Saber más
Se llama ángulo de inclinación entre
dos planos al menor ángulo formado
por dos rectas, una de cada plano, perpendiculares a la recta de intersección
entre los planos en un mismo punto de
esta. En la figura 4.50, el BOA es el
ángulo de inclinación entre los planos
α y β.
Fig. 4.50
285
MATEMÁTICA
Ejemplo 4.17
Un triángulo isósceles BCA, rectángulo en C, se encuentra sobre un plano α. Por el vértice C se traza la perpendicular CM a α tal que CM = 15 cm
(figura 4.51).
Fig. 4.51
a) Hallar la longitud de la oblicua AM si esta forma un ángulo de 30º
con el plano α.
b) Hallar el área del triángulo BCA.
Resolución:
a) Tenemos que el ∆ACM es rectángulo en C por ser CM por lo que
es perpendicular a toda recta del plano que pasa por su pie, luego:
AM = 2CM por ser el cateto opuesto a un ángulo de 30º en un triángulo rectángulo.
AM 2 15 30 cm
b) AC = BC por ser el ∆BCA isósceles de base AB.
AC CM 3 por ser el cateto adyacente al ángulo de 30º en un
triángulo rectángulo.
AC = 15 3 cm luego, BC = 15 3 cm
1
A BCA AB BC
2
15 3 225 3 675 337,5 cm 3, 4 dm .
2
A BCA
2
2
2
2
2
(Ver la nota 3 al capítulo 4 en los anexos)
Ejemplo 4.18
Demostrar que si desde un punto exterior a un plano, se trazan la perpendicular y varias oblicuas cuyas proyecciones son iguales entonces las
oblicuas son iguales.
286
CAPÍTULO 4
Resolución:
Sea A un punto exterior a un plano α (A ∉ α) (figura 4.52) AD ⊥ α,
AB y AC oblicuas respecto a α,
BD = proyαAB y CD = proyαAC
Fig. 4.52
Debemos probar que los triángulos BDA y ADC son iguales.
Como AD ⊥ α es perpendicular a todas las rectas del plano α que pasan
por su pie, luego: AD⊥ BD y AD ⊥ CD
entonces
=
BDA =
ADC 90o
AD: lado común
BD = CD (por datos), por lo que:
∆BDA = ∆ADC (por tener respectivamente iguales dos lados y el ángulo
comprendido).
Luego, AB = AC (por elementos homólogos de triángulos iguales).
Saber más
Comprueba, utilizando el GeoGebra, el recíproco de la relación demostrada en
el ejemplo 4.18.
“Si desde un punto exterior a un plano se trazan la perpendicular y varias oblicuas iguales entonces las proyecciones correspondientes también son iguales”
Es muy común encontrar a tu alrededor imágenes como la del conjunto escultórico Ernesto Che Guevara, de la Plaza de la Revolución de
287
MATEMÁTICA
la provincia Villa Clara (figura 4.53), que revelan nuevas relaciones entre
rectas y planos.
Fig. 4.53
Observa que esta, en particular, sugiere la necesidad de expresar las
condiciones necesarias y suficientes para establecer la relación entre rectas
paralelas, perpendiculares a un plano.
Teorema 4.5
a) Si una de dos rectas paralelas es perpendicular a un plano, la otra también lo es.
b) Dos rectas perpendiculares a un plano son paralelas entre sí.
Demostración:
a) Sean el plano α y las rectas p y q tales que p ⊥ α y p || q, P y Q los pies
de p y q sobre α respectivamente (figura 4.54 a).
Fig. 4.54a
288
CAPÍTULO 4
Tracemos por P dos rectas m y n y por Q dos rectas m´ y n´ tales que
m´ || m y n´ || n.
Tenemos que: p ⊥ m y p ⊥ n (por ser p ⊥ α).
luego q ⊥ m´ y q ⊥ n´ (por ser p || q, m´ || m y n´ || n, en el espacio se
conservan las propiedades relativas al paralelismo).
Por lo tanto, q ⊥ α (por criterio de perpendicularidad de recta y
plano).
b) Sean p ⊥ α y q ⊥ α, es la intersección de p y α y (figura 4.54 b).
Fig. 4.54b
Supongamos que p ≠ q. Tracemos por P la recta p´ || q. Las rectas
p y p´ determinan un plano β que interseca al plano α según la
recta m. Se tiene que p´ ⊥ α (inciso a) luego, p´ ⊥ m, pero también
q ⊥ m, (por ser p ⊥ α).
Luego, en el plano β se han trazado dos rectas perpendiculares a m
en el mismo punto lo que es imposible, por lo que p || q.
Ejemplo 4.19
Probar que los puntos de una recta paralela a un plano equidistan del
plano.
289
MATEMÁTICA
Resolución:
Sean p || α, A y B dos puntos cualesquiera de p (figura 4.55). Tracemos por A y B
dos segmentos AC y BD perpendiculares a
α, (C y D ∈ α), entonces, AC || BD (teorema 4.5 b). Las rectas AC y BD determinan
un plano β que interseca a α según la recta CD, luego, AC BD (ejemplo 4.13).
Fig. 4.55
Luego, ABCD es un rectángulo y AC = BD .
Teorema 4.6 (Teorema de las tres perpendiculares)
Si una recta de un plano que pasa por el pie de una oblicua al plano es
perpendicular a la proyección de la oblicua, entonces es perpendicular a
la oblicua.
Demostración:
Sean la recta AB oblicua a α (figura 4.56 a), CB = proyαAB, r una recta
contenida en α tal que r ⊥ CB y β el plano determinado por A, B y C.
Fig. 4.56 a
Debemos probar que r ⊥ AB.
Tracemos por C una recta p tal que p || r.
290
CAPÍTULO 4
Tenemos que:
p ⊥ AB (AC ⊥ α y p ⊂ α)
p ⊥ CB (p || r, r ⊥ BC y p, r, BC ⊂ α).
Luego, p ⊥ β (por criterio de perpendicularidad de recta y plano)
pero r || p, luego r ⊥ β (teorema 4.5 a) por tanto r ⊥ AB (figura 4.56 b).
Fig. 4.56 b
Saber más
El recíproco de este teorema 4.6 se
cumple, es decir:
Si una recta de un plano, que pasa
por el pie de una oblicua, es perpendicular a la oblicua, entonces la recta es perpendicular a su
proyección.
La demostración es similar al del
teorema directo (figura 4.56 c).
Fig. 4.56 c
291
MATEMÁTICA
Ejemplo 4.20
En el plano β, se tiene el triángulo rectángulo BCA tal que, AC = 10 cm
y el CAB = 30o. Por el vértice C del ángulo recto se ha trazado una perpendicular al plano α del triángulo, y en ella se ha tomado un punto M tal
que CM = 12 cm.
a) Determinar el valor del área del triángulo ABM.
b) Calcular el valor del área de la proyección del triángulo ABM sobre α.
Resolución:
a) Tenemos (figura 4.57) que el A ABM
1
AC · h (1).
2
Fig. 4.57
Tracemos la altura CD del ∆BCA, se tiene que: AB ⊥ CD , pero
CD proy MD , luego, AB ⊥MD (por el teorema de las tres perpendiculares) por lo tanto, MD = hAB .
En el ∆BCA rectángulo en C se tiene:
AC 3 BC
=
AB
3 · AB
(por el teorema del ángulo de 30º)
2
2 3 · AC 20 3
=
3
3
En el ∆ADC rectángulo en D por ser CD altura del ∆BCA, relativa al
lado AB, se tiene que:
292
CAPÍTULO 4
CD = 5,0 cm (por ser el cateto opuesto al ángulo de 30º) luego,
en el ∆DCM rectángulo en C (por ser CD segmento de recta contenido en β y pasar por C, pie de la perpendicular MC al plano), se tiene
que:
2
MD CD CM
2
(por el Teorema de Pitágoras).
= 25 144 169 13 cm.
Sustituyendo en (1) tenemos:
A ABM
1 20 3
13 75 cm2 75 cm2
2
3
b) proy BMA BCA (por ser MC ) luego:
Aproy BMA
1
AC AB sen 30o
2
1
20 3 1 50 3
10
≈ 28, 8 cm2 .
2
3
2
3
Respuestas:
a) El valor del área del ∆ABM es aproximadamente igual a 75 cm2.
b) El valor del área de la proyección del ∆ABM sobre α es aproximadamente igual a 29 cm2.
Reflexiona
1. La geometría está presente en cada aspecto de nuestra vida diaria. Ejemplifica cómo la geometría se aplica en tu propia vida, tanto dentro como fuera
del aula.
2. La geometría espacial es importante para el desarrollo de habilidades cognitivas. ¿Cómo crees que el estudio de la geometría ha influido en tu capacidad
de razonamiento lógico, pensamiento crítico y resolución de problemas?
3. La geometría nos ayuda a comprender y aprovechar el espacio de manera
eficiente. ¿Describe alguna situación en la que hayas utilizado conceptos
geométricos para organizar tu espacio personal o para resolver un problema
práctico?
293
MATEMÁTICA
Ejemplo 4.21
En el prisma recto ABCDEFGH, cuya base inferior es el cuadrado ABCD
(figura 4.58) se han trazado las oblicuas HA, HO , HC y FO , respecto al
plano que contiene a la base, donde es el punto de intersección de las
diagonales.
Fig. 4.58
a) Probar que FO es la mediatriz de AC .
b) Demostrar que HO es la bisectriz del CHA.
c) Calcular el valor del volumen del prisma si HD = 12,0 cm y
OHD = 30o.
Resolución:
a) Probemos que la oblicua FO es mediatriz de AC .
En el plano α, determinado por los puntos no alineados A, B y C se
tiene que:
FB ⊥ α (por ser arista lateral, es altura).
FO es oblicua y O su pie en α.
OB proy FO.
AC (segmento de recta del plano que pasa por O).
AC ⊥ OB (por ser diagonal y semidiagonal respectivamente del cuadrado ABCD).
294
CAPÍTULO 4
Entonces AC ⊥ FO (por el Teorema de las tres perpendiculares).
Luego, FO es mediatriz de AC (por ser perpendicular a AC en su
punto medio O).
b) Demostremos que la oblicua HO es bisectriz del CHA.
HD en el punto D (por ser arista lateral del prisma recto
ABCDEFGH),
Luego, es perpendicular a todas las rectas de α que pasan por su
pie D, por lo que
AD proy HA y CD proy HC
pero AD = CD (por ser lados del cuadrado ABCD)
y HA = HC (por ser oblicuas que parten de un mismo punto de una
perpendicular al plano y le corresponden proyecciones que tienen
igual longitud), entonces el ∆CHA es isósceles de base AC por lo que
HO es la mediana relativa a la base AC.
Por tanto, HO es bisectriz del CHA (porque en todo triángulo isósceles las rectas notables relativas al lado desigual coinciden en altura, mediana, mediatriz y bisectriz).
c) HD 3 OD
(por ser cateto adyacente al ángulo de 30º en el
triángulo rectángulo HDO).
OD
3 HD
3 12
4 3 cm,
3
3
luego, la diagonal BD 2 OD 8 3 cm.
y se tiene que el volumen del prisma es:
2
BD
Vprisma AABCD HD
HD
2
8 3 12 64 3 6 1 152 cm ≈ 11,5 dm
2
3
3.
2
Respuesta:
El valor del volumen del prisma es aproximadamente igual a 11,5 dm3.
295
MATEMÁTICA
Investiga y aprende
Encuentra otra vía para realizar la demostración del inciso b, del ejemplo 4.21, y
calcula la amplitud del ángulo de inclinación entre los planos ABC y AEC.
Ejemplo 4.22
En la pirámide recta ABCDS, su base romboidal ABCD tiene 52 cm de perímetro (figura 4.59),
ABC = 45°, E ∈ BS
F ∈ BD, F = proyABCE y O es el punto donde se
cortan las diagonales de la base.
Probar que:
a) EO es altura del ∆AEC.
b) ∆ABE = ∆BEC.
Fig. 4.59
VABCE
1
EF 1
si EF 8, 0 cm y
= .
c) = =
VABCDS 4
OS 2
Resolución:
a) En el plano α, determinado por los puntos no alineados A, B y C se
cumple que:
EF ⊥ α (por ser F = proyABCE).
EO es oblicua a α y O su pie.
AC ⊂ α es el segmento de recta del plano que pasa por el pie de EO .
OF proy EO .
AC ⊥ OF (por ser diagonal y segmento de diagonal, respectivamente, del rombo ABCD).
Entonces AC ⊥ OF (por el teorema de las tres perpendiculares).
Luego, OE = hAC en el ∆ACE.
296
CAPÍTULO 4
b) Debemos probar que ABE BEC.
En todo rombo cada diagonal es mediatriz de la otra, luego, AF = FC
porque todo punto de la mediatriz equidista de los extremos del
segmento.
FA proy AE y FC proy CE . Luego, EA = EC (por ser oblicuas que
parten del mismo punto E de la perpendicular EF y tener proyecciones iguales).
BE: lado común.
AB = BC (por ser lados del rombo ABCD).
Entonces ABE BEC (por tener sus tres lados respectivamente
iguales).
c) Primera vía
PABCD 4 AB,
=
AB
PABCD 52
=
= 13 m
4
4
EF 1
= luego, OS 2 EF 2 8 16 cm.
OS 2
2
AABCD AB senABC
132 sen 45o 169
2
84 ,5 2 cm2.
2
1
1
AABCD, AABC 84 ,5 2 cm2 42, 25 2 cm2
2
2
1
1
AABC EF
42, 25 2 8
VABCE
1
3
3
.
1
1
VABCDS
AABCDS OS
84 ,5 2 16 4
3
3
AABC =
Segunda vía
1
AABC · EF
VABCE
1
EF
1
= 3
=
de donde resulta que:
pero AABC = AABCD y
VABCDS 1 A
2
OS 2
OS
·
ABCDS
3
297
MATEMÁTICA
2 AABC AABCD y 2 EF OS
1
AABC EF
VABCE
1
3
=
.
1
VABCDS
4
2 AABC 2 EF
3
Luego, queda demostrado que
VABCE
1
= .
VABCDS 4
Reflexiona sobre lo aprendido
1. Se puede resumir que:
1.1 Dos rectas distintas en el espacio pueden:
a) Tener un punto en común (son secantes, están contenidas en un mismo plano).
b) No tener puntos comunes. Pueden suceder dos casos:
• ser paralelas, las rectas están contenidas en un mismo plano.
• ser alabeadas, las rectas no están contenidas en un mismo plano.
1.2 Una recta y un plano pueden:
a) No tener puntos comunes, es ese caso son paralelas.
b) Tener puntos comunes. Pueden suceder dos casos:
• todos los puntos de la recta pertenecen al plano, la recta está contenida
en el plano.
• tienen un solo punto común, en ese caso se intersecan.
2. Completa el resumen, conformando con tu equipo un catálogo con al menos
cinco imágenes de monumentos patrimoniales de Cuba en los que se manifiesten las posiciones relativas entre rectas y planos, estudiados.
3. Encuentra otra vía para realizar la demostración del inciso b del ejemplo 4.21
y calcula la amplitud del ángulo de inclinación entre los planos ABC y AEC.
4. Respecto al trofeo para los ganadores del concurso nacional de Matemática,
modelado en la figura 4.2, a partir de los conocimientos adquiridos, ya puedes
debatir con tu grupo acerca de las interrogantes:
¿Qué relación existe entre cuatro de las generatrices del cono y las aristas de
una cara del cubo? ¿cómo se puede fundamentar? ¿qué volumen debe tener
la esfera si las aristas del cubo deben medir 1,0 dm?
298
CAPÍTULO 4
Ejercicios del epígrafe 4.1
Repaso y profundización de Geometría plana
180º n 2
360º
y B
comprueba que los ángulos A y B son
n
n
suplementarios.
1. Si A =
2. En la figura 4.60, M, N y P son puntos alineados. Si QNP 2 y M .
Prueba que: MN = NQ.
Fig. 4.60
3. Identifica en tu cuaderno de trabajo si las proposiciones que aparecen
a continuación son verdaderas o falsas. Justifica las falsas.
a) Dos rectas perpendiculares entre sí forman un ángulo recto.
b) La distancia de un punto a una recta, es la longitud del punto a la
recta.
c) Por cada punto de un plano se pueden trazar infinitas rectas paralelas y perpendiculares.
d) Los ángulos que tienen sus lados respectivamente paralelos o perpendiculares son iguales.
e) El segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo
es paralelo al otro.
f) Cada mediana en cualquier triángulo divide a este en triángulos de
iguales áreas.
g) Solo en el triángulo rectángulo se cumple el teorema de las alturas.
299
MATEMÁTICA
h) En un triángulo obtusángulo solo una de las alturas queda trazada
fuera de este.
i) Los puntos de una circunferencia equidistan del punto medio de la
hipotenusa de cualquier triángulo rectángulo inscrito en ella.
j) Si la distancia de una recta al centro de una circunferencia es igual a
la longitud del radio, entonces la recta es secante a la circunferencia.
k) Si dos triángulos tienen sus tres ángulos respectivamente iguales,
entonces son semejantes.
l) Las diagonales de todo paralelogramo se cortan perpendicularmente.
m) El paralelogramo que tiene sus diagonales perpendiculares es un
cuadrado.
n) En todo cuadrado de lado a unidades, la longitud de su diagonal es
siempre a 2 u .
ñ) Un rombo en el que una diagonal sea el doble de la otra tiene un
ángulo interior con amplitud de 60o.
o) Si a es la distancia del centro de un polígono regular a cada lado y P,
su perímetro; entonces el área (A) se puede calcular como A P a .
4. Observa la figura 4.61, correspondiente
al triángulo ACB rectángulo en C con
AC = 4,0 cm y argumenta en tu cuaderno de trabajo por qué se puede afirmar
que.
a. El ACB es recto.
b. El triángulo ACB es isósceles.
c. sen cos .
Fig. 4.61
d. La longitud de AB = 4 2 u.
e. A ACB 8, 0 cm2.
5. Emma, Rosa y José estudian contenidos sobre la circunferencia y el
círculo. Al respecto comentan:
300
CAPÍTULO 4
Emma: -En la circunferencia el diámetro perpendicular a una cuerda la
divide en dos partes iguales.
Rosa: -En la circunferencia los ángulos inscritos y seminscritos sobre un
mismo arco tienen igual amplitud.
José: -La amplitud de un ángulo inscrito sobre una semicircunferencia
es igual a 180°.
Escribe en tu cuaderno de trabajo, quiénes tienen la razón:
a) Emma y José
b) Rosa y José
c) Rosa y Emma
d) Los tres tienen la razón
6. En la figura 4.62 MPQC es un paralelogramo, ∆ABC equilátero, AC = 6, 0 cm, M
es el punto medio de AC, BC MP N
y N es el punto medio de BC y MP,
respectivamente.
a) Calcula la amplitud del QCB, el valor
Fig. 4.62
del A∆ABC y ANPQC .
b) ¿Es BC bisectriz del QCA? Fundamenta tu respuesta.
c) ¿Podemos afirmar que CQ = AB? Justifica tu respuesta.
d) Demuestra que ABQC es un paralelogramo.
7. En la circunferencia de centro O y radio
OA (figura 4.63) BC y MN son diámetros,
MN ⊥ AC en el punto F, BCA = 36, 8o,
ON = 5, 0 cm y MC = 4 , 48 cm.
7.1 Clasifica los triángulos NCM y CAB según
la amplitud de sus ángulos interiores.
7.2 Calcula:
a) La amplitud del MNC.
Fig. 4.63
301
MATEMÁTICA
b) La longitud de FC.
c) El área de los triángulos CAB y CON.
7.3 Sin realizar cálculos, ¿podemos afirmar que A∆MOC = A∆CON? Fundamenta tu respuesta.
8. En la figura 4.64 se tiene que:
• ABCD es un rombo,
• El ∆CFD es isósceles de base DC y FE es su altura relativa al lado DC ,
• BCD = ACF .
a) Prueba que EC
FC OC
.
2
b) Calcula el valor del perímetro del pentágono ABCFD, si BD = 12dm y
el ACD = 30o.
Fig. 4.64
9. En la figura 4.65 el punto C pertenece a la circunferencia de centro O y
diámetro AB. Se conoce, además que:
• DE CB,
• BE es tangente en B,
• CF es la altura del ∆BCA relativa al lado
AB.
a) Demuestra que
ODA CFB EBO BCA.
b) Calcula el valor del área de la región sombreada si FC = 2 3 dm y FB = 2, 00 dm.
Fig. 4.65
c) Determina el valor del perímetro del cuadrilátero DEBC .
302
CAPÍTULO 4
10. En la figura 4.66 se tiene la circunferencia de centro O y diámetro AB.
Se conoce, además que:
• D es un punto de la circunferencia,
• A, D y C son puntos alineados,
• ED ⊥ BC y AB DE .
a) Demuestra que ∆BDA ~ ∆DEC .
b) Si el DAB = 30o y BD = 5, 0 dm, calcula el valor del perímetro de la
región sombreada.
Fig. 4.66
(Ver la nota 4 al capítulo 4 en los anexos)
Relaciones entre rectas en el espacio
11. En los prismas rectos de la figura 4.67, identifica en tu cuaderno de
trabajo utilizando las aristas:
a) Dos rectas paralelas.
b) Dos rectas que se cruzan.
c) Tres rectas que sean perpendiculares dos a dos.
Fig. 4.67
303
MATEMÁTICA
12. Sea el cubo ABCDEFH (figura 4.68). Identifica en tu cuaderno de trabajo, utilizando las aristas:
a) Dos rectas paralelas que no pertenezcan a
una misma cara.
b) Dos rectas alabeadas.
c) Dos rectas perpendiculares.
d) Cuatro puntos que no estén en un mismo
plano.
Fig. 4.68
e) Dos rectas que se corten en un punto que
no sea vértice.
13. ¿Cuántos pares de aristas situados sobre rectas cruzadas hay en una
pirámide triangular?
14. ¿Cuántos pares de aristas paralelas y aristas que se cruzan hay en un
ortoedro?
15. ¿Por qué cojea una mesa de cuatro patas con una más corta que las
otras?
16. Si se unen con dos hilos los extremos inferiores de las patas no consecutivas de una silla, ¿cómo se sabe si estos cuatro extremos están en
el mismo plano?
17. Si dos rectas en el espacio no se cortan por mucho que se prolonguen,
¿se puede afirmar que son paralelas?
18. ¿Cuántos planos determinan tres rectas concurrentes no coplanares?
19. Se tienen siete puntos entre los que nunca hay cuatro en un mismo
plano. ¿Cuántos planos determinan?
20. ¿Cuántos planos determinan 20 puntos, no hallándose nunca cuatro
de ellos en el mismo plano, ni tres en línea recta? ¿Cuántos planos
determinan n puntos en las mismas condiciones?
21. ¿Cuántos planos determinan tres rectas paralelas?
22. ¿Cuál es el número mayor de planos que pueden determinar tres rectas paralelas y un punto cualquiera exterior a estas?
304
CAPÍTULO 4
23. Dos rectas se cortan, si una tercera recta cruza a una de ellas y es paralela a la otra, ¿cuántos planos distintos determinan? Comprueba tu
resultado con un asistente matemático.
24. ¿Cuántos planos determinan dos rectas que se cortan al ser cortadas por
una tercera? Comprueba tu resultado con un asistente matemático.
25. Prueba que si una recta corta a dos rectas paralelas, las tres están en un
mismo plano. Comprueba tu resultado con un asistente matemático.
26. Si cuatro puntos no están en un plano, prueba que tres de ellos no
están alineados. Verifica tu resultado con un asistente matemático.
27. Demuestra que, si las rectas AB y CD no están en un mismo plano, entonces las rectas AC y BD tampoco están en un mismo plano. Verifica
tu resultado con un asistente matemático.
Rectas y planos
28. La figura 4.69 representa un prisma hexagonal regular; identifica en
tu cuaderno de trabajo:
a) Dos rectas paralelas al plano ABC .
b) Una recta paralela al plano AGL.
c) Dos planos paralelos a la recta HI.
d) Una recta paralela a dos planos.
Fig. 4.69
28.1 Fundamenta en cada caso tu respuesta.
29. En la figura 4.69 del ejercicio anterior, identifica en tu cuaderno de
trabajo:
305
MATEMÁTICA
a) Rectas perpendiculares al plano ABC .
b) Rectas oblicuas al plano que contiene al rectángulo ABHG.
30. Dos rectas paralelas a un plano, ¿son paralelas entre sí?
31. ¿Cuántas rectas paralelas a un plano pueden trazarse por un punto
exterior al plano?
32. Si dos rectas son paralelas, el plano que contenga solo a una de estas,
¿qué relación guarda con la otra? Verifica tu resultado con un asistente matemático.
33. Dos rectas se cruzan, ¿cuántos planos pueden trazarse que contengan
a una de estas y sean paralelos a la otra? Verifica tu resultado con un
asistente matemático.
34. Si una recta es paralela a un plano, ¿podrá ser paralela a dos rectas
de ese plano?, ¿a cuántas puede serlo? Verifica tu resultado con un
asistente matemático.
35. Si una recta es perpendicular a un plano, ¿a cuántas rectas de ese plano
es perpendicular? Verifica tu resultado con un asistente matemático.
36. Determina la longitud de la proyección sobre un plano de una oblicua
de 18 cm de longitud que forma un ángulo de 60º con ese plano.
37. Un punto P dista 14,1 cm de un plano α, calcula la longitud de la proyección de la oblicua PM sobre α si esta forma un ángulo de 45º con
ese plano.
38. La oblicua AB a un plano tiene una longitud de 20 cm y su proyección
sobre este mide 10 cm, ¿qué amplitud tiene el ángulo que forma con
el plano?
39. Dos puntos A y B se encuentran en semiespacios distintos con respecto
a un plano α. Si la distancia de A y B al plano son de 20 cm y 40 cm
respectivamente, y la distancia entre sus proyecciones es de 80 cm.
¿Cuál es la distancia entre A y B?
40. Los puntos M y N se encuentran situados en el mismo semiespacio
en relación con el plano β. Si sus distancias al plano se encuentran
306
CAPÍTULO 4
2
y la recta que ellos determinan corta al plano en un
3
punto P, situado a 12 cm del punto M, ¿a qué distancia de P se enen la razón
cuentra N? ¿a qué distancia se hallan entre sí los puntos M y N?
41. Por un punto exterior a un plano se han trazado a este una perpendicular que mide 12 cm y una oblicua que mide 16 cm. Calcula la longitud de la proyección de la perpendicular sobre la oblicua?
42. Si AD es la altura del triángulo CAB y PA⊥ α (figura 4.70):
a) Prueba que el ángulo PDC es rectángulo.
b) Calcula la longitud de PC si PD = 4 , 0 cm y CD = 5, 0 cm.
Fig. 4.70
43. Por el centro de una circunferencia circunscrita a un triángulo se traza
una perpendicular al plano del triángulo. Demuestra que cada punto
de esta recta equidista de los vértices del triángulo. Comprueba tus
resultados con un asistente matemático.
44. La figura 4.71 representa un ortoedro de dimensiones:
AB = 30cm, BC = 20cm y BG = 15cm. De los segmentos trazados en la
figura, determina:
a) Un par de rectas paralelas y un par
de rectas alabeadas. Fundamenta
tu respuesta.
b) Una recta paralela al plano ABD y
una recta perpendicular al plano
BCH. Fundamenta tu respuesta.
Fig. 4.71
c) El valor del área de la región sombreada y el volumen de la pirámide ADEFB.
307
MATEMÁTICA
45. ABCDEFGH es un ortoedro (figura 4.72)
• M ∈ BC; BC 3 MB ; EB = 6, 0 cm;
2
y el valor del área sombreada es de 24 cm2.
2
a) Determina la relación de posición de la recta FG con respecto al
• sen AEB =
plano MBH. Justifica.
b) Demuestra que BMHE es un trapecio rectángulo.
c) Determina el valor del volumen del ortoedro.
d) Calcula el valor del perímetro de la región sombreada.
Fig. 4.72
46. En el cono recto de la figura 4.73 se cumple:
• AB es diámetro de la base y OS es su
altura,
• C es un punto de la circunferencia base,
• M y N son los puntos medios de las
cuerdas AC y BC respectivamente,
•
=
CBA =
OSA 30o y AB = 11, 0 cm.
Demuestra que los triángulos SMC y CNS
son rectángulos.
Fig. 4.73
46.1 Calcula:
a) el valor del volumen del cono y de las pirámides OMNS y CNMS.
b) el valor del área total del cono.
308
CAPÍTULO 4
47. Al cilindro de la figura 4.74 se le ha realizado una perforación cónica
por el centro de la base. Se conoce, además, que:
• AB y CD son diámetros del cilindro y del cono respectivamente,
• A, C , O y D son puntos alineados,
• D es el punto medio de la cuerda RN en la base inferior,
1
AB,
2
• O = proy ARB S y S ∈ OE .
• CD
Fig. 4.74
47.1 Prueba que:
a) SD es la mediatriz de RN.
3
AB .
4
47.2 Calcula el valor del volumen del cilindro perforado si OE = AB y
b) ∆DSC es equilátero si OS
SD = 6, 0 cm.
48. A un cilindro circular recto se le realiza una perforación cónica por el
centro de la base de forma tal que el diámetro de la perforación es
igual al radio de la base del cilindro.
a) Demuestra que las generatrices del cono son perpendiculares a las
cuerdas de la base del cilindro tangentes a la base del cono.
b) Si el diámetro del cilindro es de 20 cm, las generatrices del cono
son de 1,3 dm y la razón entre la altura del cilindro y la del cono es
de 1,5; calcula el valor volumen del cuerpo perforado.
309
MATEMÁTICA
49. La figura 4.75 muestra un cuerpo de madera formado por una pirámide de base cuadrada ABCD y altura SC , y un cono circular recto de
igual altura, donde se cumple que:
• Las bases de ambos cuerpos están en el mismo plano,
•
BD AC O ,
• El centro de la base del cono es el punto C y el radio OC ,
•
AB = 4 , 0cm,
• tanSAC = 2.
Fig. 4.75
a) Demuestra que las caras ABS y SDA de la pirámide son iguales.
b) Calcula el valor del volumen del cuerpo.
c) Calcula el valor del área total del cuerpo.
50. En el prisma recto ABCDEFGH de base cuadrada (figura 4.76); se han
trazado las oblicuas al plano ABC ; AH, OH, OF y CF .
Fig. 4.76
310
CAPÍTULO 4
Demuestra que los triángulos AOH y CFO son rectángulos e iguales.
50.1 Si CFO = 30o y OF = 15cm, calcula:
a) El valor del área del triángulo OCF y del cuadrilátero ACGE.
b) El valor del área total del prisma y su volumen.
51. La figura 4.77 muestra la pirámide ABCDE de altura ED y base el trapecio ABCD rectángulo en A y D.
Fig. 4.77
a) Utilizando los vértices de la figura. Escribe en tu cuaderno de trabajo una recta alabeada a EA.
b) Demuestra que el triángulo EAB es rectángulo.
c) Si EC = 8 2 cm, AD = DC , 2 AB DC y el DCE = 45o. Calcula el
valor del volumen de la pirámide.
52. En el prisma recto MNPQRSTU (figura 4.78) de base rectangular. El
valor del área de la base MNPQ es de 120 cm2.
a) Determina dos segmentos de los trazados en la figura que no determinen un
plano.
b) Demuestra que el ∆RNP es rectángulo.
c) Calcula el valor del volumen del prisma
si RN = 12cm y el MRN = 60°.
Fig. 4.78
311
MATEMÁTICA
53. La figura 4.79 muestra el prisma recto ABCDEFGH, de bases cuadradas
ABCD y EFGH:
• DB es una de sus diagonales de la base inferior,
• O es punto de intersección de las diagonales.
Fig. 4.79
a) Utilizando los vértices de la figura. Escribe en tu cuaderno de trabajo una arista que sea alabeada a HE .
b) Prueba que el triángulo HOC es rectángulo.
c) Si AB = 2 2 cm y OH = 4 , 0 cm. Calcula el valor del volumen del
prisma.
54. La figura 4.80 muestra el prisma recto ABCDEF de bases ABC y DEF,
triángulos rectángulos en B y E respectivamente. Además, se conoce
que:
• I ∈ AD,
• AG corta a HI y ED en los puntos H y G respectivamente,
• HI ED.
Fig. 4.80
312
CAPÍTULO 4
a) De los segmentos trazados en la figura escribe en tu cuaderno de
trabajo uno que sea paralelo al plano que contiene a los segmentos de rectas AG y BE.
b) Demuestra que el triángulo CEG es rectángulo.
AI = 3, 0 cm,
BC = 6, 0 cm
HI = 20 mm,
y
4
senBCA = , calcula el valor del volumen de la pirámide ABEGC.
5
c) Si
AD = 9, 0 cm,
55. En el interior de la esfera de diámetro AB y centro O está situado el
cono circular recto de vértice S (figura 4.81). El diámetro y el centro
de la base del cono coinciden con los de la esfera. El vértice S es un
punto interior de la esfera. El diámetro AB corta a la cuerda PQ de la
base del cono en su punto medio N.
Fig. 4.81
a) Prueba que el triángulo PNS es rectángulo.
b) Si el valor del área de la esfera es de 256 πcm2 y la tanBSO =
Calcula el valor del área total del cono.
4
.
3
56. Se tienen dos piezas macizas: una en forma de esfera y otra en forma
de cilindro circular recto. Se perfora la base superior del cilindro hasta
hacerle una hendidura semiesférica de igual radio que la base del
cilindro. En la hendidura se introduce la esfera resultando el cuerpo
que se muestra en la figura 4.82. Se conoce, además, que:
• O es centro de la esfera y de la base superior del cilindro,
• AC es diámetro de la esfera y de la base superior del cilindro,
• B es un punto de la esfera y AB = 3 2 cm,
313
MATEMÁTICA
• La altura del cilindro es 4 , 00 cm,
• El ∆ABC es isósceles de base AC.
Fig. 4.82
a) Calcula la longitud del radio de la esfera.
b) Calcula el valor del volumen de material que se desechó al perforar la base superior del cilindro.
c) Calcula el valor del área total del cuerpo resultante.
4.2 Geometría analítica del espacio
Entre los conocimientos que adquiriste en Geografía, está el relacionado con el Sistema de Posicionamiento Global (GPS) de localización geográfica de puntos en la superficie de la tierra (figura 4.83). Se basa en el
método de triangulación, que se utiliza para la determinación de las coordenadas de cualquier punto sobre la tierra.
Fig. 4.83 GPS en un celular
314
CAPÍTULO 4
Ese método se utiliza para rastrear celulares, en el sistema de navegación de los automóviles e incluso para calcular la ubicación de un satélite
o de una nave espacial. También se aplica en cartografía, en actividades
forestales y de otras ciencias.
Los conocimientos que contribuyeron a la obtención de progresos tan
importantes en las ciencias y en la tecnología, son parte de los aportes de
matemáticos como el francés Descartes (1593-1662) que, al introducir los
métodos algebraicos en la geometría, aportó los fundamentos de la geometría analítica del espacio, que estudiarás en este epígrafe.
De la historia
Euclides (325 a.n.e.–265 a.n.e.) en Los Elementos partió de cinco postulados para
construir la Geometría (figura 4.84). Si alguno de estos postulados no se cumple,
entonces tenemos lo que se denomina Geometrías no Euclidianas.
Cuando a principios del siglo xix, Matemáticos como Gauss, Lobachevsky, Bolyai,
entre otros, indistintamente intentaron demostrar por reducción al absurdo, el
quinto postulado: “Dada una recta y un punto exterior a ella, hay una única
recta que es paralela a la recta dada y que pasa por el punto”, encontraron que
podían construirse otras geometrías que no lo verificaba, como la Geometría
Hiperbólica, o la Geometría Elíptica, que conocerás de continuar estudios superiores en ingeniería.
Fig. 4.84
Coordenadas en el espacio
Como recordarás, en el plano es posible estudiar analíticamente las
propiedades de las figuras mediante la introducción del sistema rec-
315
MATEMÁTICA
tangular de coordenadas (figura 4.85). Este sistema permite establecer una
correspondencia biunívoca entre los puntos del plano y los pares ordenados de números reales.
Fig. 4.85
En el espacio también se pueden asignar coordenadas a los puntos,
pero, como tiene tres dimensiones se necesitan tres coordenadas.
En efecto, se pueden trazar tres planos mutuamente perpendiculares
que se corten en un punto O (figura 4.86). Las rectas de intersección de
estos planos son los ejes coordenados y los planos son llamados planos
coordenados.
Fig. 4.86
316
CAPÍTULO 4
El determinado por los ejes x y y se llama plano xy.
El determinado por los ejes y y z plano yz.
El determinado por los ejes x y z se llama plano xz.
El sistema obtenido de esta forma se llama sistema rectangular de coordenadas en el espacio.
Para asignar coordenadas a los puntos se procede de la misma forma
que en el plano, pero utilizando tres coordenadas formando la terna o
tripleta ordenada (x; y; z).
Saber más
Estos sistemas rectangulares se llaman sistemas rectangulares directos, pues
un tornillo que se haga girar del eje x al eje y, avanza en el sentido del eje z.
Nosotros solo utilizaremos este sistema y por eso no especificamos que es
directo.
El procedimiento de la representación de puntos en el espacio se realiza similar a como lo realizas en el plano, es decir, en el plano la coordenada x del punto representa la distancia de este al eje y, y la coordenada y la
distancia del punto al eje x.
En el espacio:
–
la coordenada x representa la distancia del punto al plano yz,
–
la coordenada y, la distancia al plano xz,
–
la coordenada z la distancia al plano xy.
Ejemplo 4.23
a) Situar en un sistema de coordenadas los puntos P1(1;2;4), P2(2;0;3) y
P3(3;3;0).
317
MATEMÁTICA
b) Determinar las coordenadas de los puntos representados en la figura 4.87.
Fig. 4.87
Resolución:
a) En la práctica no es necesario representar los planos coordenados,
sino solo los ejes como se muestra en la figura 4.87.
Observa que, para poder obtener una figura en perspectiva, las representaciones de los ejes x, y forman un ángulo de aproximadamente 135º y sobre el eje x se toma una escala que es la mitad de la
de los otros ejes.
La representación de los puntos P1, P2 y P3 se muestran en la figura 4.88.
Fig. 4.88
b) Las coordenadas de los puntos de la figura 4.87 son:
A(3;0;2), B(1;3;1) y C(0;0;3).
318
CAPÍTULO 4
En la representación de puntos en el espacio se tiene que:
la condición x = 0 caracteriza al plano yz,
la condición y = 0 caracteriza al plano xz,
y la condición z = 0 caracteriza al plano xy.
Como cada eje es la intersección de dos planos coordenados:
la condición x = 0, y = 0, caracteriza al eje z,
la condición x = 0, z = 0, caracteriza al eje y,
y la condición y = 0, z = 0, caracteriza al eje x.
¿Sabías que...?
Para generar el modelo digital de un terreno es importante tener en cuenta la
adquisición de datos (Topografía, Fotogrametría o Cartografía existentes), del
cual resulta una nube de puntos con coordenadas tridimensionales (x; y; z), que
representen de manera fiel la superficie topográfica que se va a representar.
Esta nube de puntos, con distribución totalmente irregular, serán los datos de
partida, cuyo procesamiento mediante algoritmos de cálculo, se utilizan para
la formación del modelo digital del terreno, formada por superficies elementales planas triangulares, y que se definen a partir de los puntos de coordenadas
tridimensionales.
Ejemplo 4.24
a) Dado el punto A de coordenadas 3; –1; 4 escribir las coordenadas
del punto donde un plano que pasa por A y es perpendicular al eje z,
corta a este último. Escribir las coordenadas de un punto arbitrario
de ese plano.
b) Dado el punto B –2; 4 ;1 . Escribir las coordenadas del punto donde
una recta paralela al eje z que pasa por B corta al plano xy. Escribir
las coordenadas de un punto arbitrario de esa recta.
Resolución:
a) El punto buscado pertenece al eje z, luego las coordenadas x e y son
cero. Si el plano es paralelo al xy, la coordenada z será la misma del
319
MATEMÁTICA
punto dado, por tanto, las coordenadas del punto son 0; 0; 4 . Su
representación puede observarse en la figura 4.89. Un punto arbitrario de ese plano tendrá coordenadas x ; y ; 4 .
Fig. 4.89
b) El punto buscado está sobre el plano xy, luego z = 0.
Si la recta es paralela al eje z, interseca al plano xy en el punto
P –2; 4 ; 0 . Puede verse en la figura 4.90.
Fig. 4.90
Un punto arbitrario de esta recta tendrá coordenadas –2; 4 ; z .
320
CAPÍTULO 4
Investiga y aprende
Con ayuda de la inteligencia artificial, investiga y debate con tus compañeros
sobre la afirmación siguiente:
La Geometría Analítica del Espacio es una herramienta invisible, pero omnipresente. Desde usar Google Maps hasta lanzar un cohete a Marte, sus ecuaciones
y modelos matemáticos hacen posible resolver problemas complejos en 3D: es la
base de la tecnología moderna.
Teorema 4.7
La correspondencia establecida entre las ternas de números reales (x; y; Z)
y los puntos del espacio mediante un sistema rectangular de coordenadas
es biunívoca.
Demostración:
Si por el punto A del eje x (figura 4.91), trazamos un plano paralelo al
plano yz (dos planos son paralelos si no se intersecan), por el punto B del
eje y un plano paralelo al plano xz y por el punto C del eje z un plano
paralelo al plano xy; estos tres planos son únicos (por un punto exterior
a un plano se puede trazar un plano paralelo y solo uno) y se cortan en
un punto P de coordenadas x ; y ; z con OA = x , OB = y y OC = z . Luego,
a cada terna de números reales corresponde un punto único del espacio.
Fig. 4.91
Recíprocamente, si tenemos un punto P del espacio y trazamos por este
planos paralelos a los planos coordenados, estos cortan a los ejes en los
321
MATEMÁTICA
puntos A, B y C ; con lo que quedan determinados tres números reales. Por
lo tanto, a cada terna de números reales corresponde un punto único del
espacio y viceversa.
¿Sabías que...?
El aumento de la población mundial, así como las necesidades de comunicación,
vivienda, el desarrollo de la producción agrícola y expansión territorial, originaron la topografía, que es una aplicación de la geometría, en la que existe una
correspondencia entre los elementos geométricos y su materialización sobre el
terreno (figura 4.92).
Fig. 4.92 Maqueta de La Habana
En la actualidad existe una urgente necesidad de elaborar planos y mapas topográficos con alta precisión, para determinar límites entre países, tareas en las
que se complementa con la geodesia.
Los planos del meridiano, del horizonte y el vertical, se usan en topografía
para proyectar sobre ellos los objetos geométricos para conocer su posición
en dos o tres dimensiones, formando sistemas de coordenadas (x; y), (x; y; Z),
(n; e), (r; l), son distancias a los ejes de referencia contenidos en los planos ya
mencionados.
La topografía tiene aplicaciones en la ingeniería agrícola, tanto en levantamientos como trazos, deslindes, divisiones de tierra (Geodesia), determinaciones de
322
CAPÍTULO 4
áreas (Agrimensura), nivelación de terrenos, construcción de bordos, canales y
drenes (figura 4.93).
Fig. 4.93
En la ingeniería eléctrica: levantamientos previos y trazos de líneas de transmisión, construcción de plantas hidroeléctricas, instalación de equipos para plantas
nucleoeléctricas.
En la ingeniería mecánica e ingeniería industrial: para la instalación precisa de
máquinas y equipos industriales, configuraciones de piezas metálicas de gran
precisión. En la ingeniería minera: para el levantamiento y trazo de túneles, galerías y lumbreras, cuantificaciones de volúmenes extraídos, entre otras.
Ejemplo 4.25
Si los puntos 2; 3;1 , 2;5;–1 y 0;5;1 son vértices de un ortoedro de bases paralelas a los planos coordenados.
a) Determinar las coordenadas de los vértices restantes.
b) Calcular el valor volumen del ortoedro.
Resolución:
a) Como el ortoedro tiene sus
bases paralelas a los planos
coordenados,
tendrá
cuatro
vértices con una coordenada
constante (figura 4.94). Conocemos los vértices: E 2; 3;1 ,
B 2;5;–1 y G 0;5;1 .
Fig. 4.94
323
MATEMÁTICA
Los vértices estarán en los planos:
x =2; x =0
y =3; y =5
z = 1 ; z = –1
Los vértices restantes serán: A 2; 3;–1 , C 0;5;–1 , D 0; 3;–1 , F 2;5;1 ,
H 0; 3;1 .
b) Como se muestra en la figura 4.94, los lados del ortoedro miden
3
3
AB = 2,0 u, AD =2,0 u y DH = 2,0 u, luego, V = AB V
= 2=
8, 0 u3.
Aplica tus conocimientos
Calcula el volumen de una pirámide recta de base rectangular de lados paralelos
a los ejes coordenados en el plano xy, si dos de sus vértices son (1;0;0) y (3;4;0) y
tiene 6,0 u de altura (figura 4.95).
Fig. 4.95
Determina las coordenadas del vértice principal (cúspide) de la pirámide.
Distancia entre dos puntos en el espacio
En el plano ya habías determinado una relación que te permitía calcular la distancia entre dos puntos, es decir, la longitud de un segmento en
el plano.
324
CAPÍTULO 4
Recuerda que...
La distancia entre dos puntos del plano A x1 ; y1
fórmula d A, B
x1 x 2
2
y1 y 2
2
y B x2 ; y 2
se obtiene por la
.
¿Cómo determinarías la distancia entre dos puntos cualesquiera en el
espacio?
Observa que en la relación de la distancia entre los puntos del plano es
necesario calcular las diferencias entre las coordenadas x y y de los puntos,
pero en el espacio los puntos se representan con tres coordenadas por lo
que es necesario tener la diferencia de las terceras coordenadas.
Teorema 4.8
Sean P x1 ; y 1; z1 y Q x 2 ; y 2 ; z2 dos puntos cualesquiera en el espacio, la
distancia entre estos viene dada por la expresión,
d P ;Q
x1 x 2
2
y1 y 2
2
2
z1 z2 .
Demostración:
Sean P x1 ; y1 ; z1 y Q x2 ; y 2 ; z2 dos puntos cualesquiera del espacio
(figura 4.96) tracemos por estos puntos planos paralelos a los planos
coordenados.
Fig. 4.96
325
MATEMÁTICA
Estos planos se intersecan formando un ortoedro en el cual PQ es una
diagonal interior de este. Tenemos que d P ;Q PQ .
Aplicando el teorema de Pitágoras en los triángulos MNP y QMP se
obtiene que:
2
2
En el MNP , MP MN NP
2
2
En el QMP, PQ MP QM
2
2
(1)
(2)
2
2
2
Sustituyendo (1) en (2) tenemos: PQ MN NP QM
2
Pero MN A2 A1 x1 x2
NP B2 B1 y1 y 2
QM C 2C1 z1 z2 ,
2
luego: PQ x1 x2 y1 y 2 z1 z2
2
2
2
de donde: d P ;Q
2
x1 x2 y1 y 2 z1 z2 .
2
2
Ejemplo 4.26
a) Calcular la distancia entre los puntos A 2;1;–3 y B 1;5; 3 .
3 3 3
; ; 0 , R 0; 3; 0 y
b) Probar que la pirámide de vértices P 0; 0; 0 , Q
2 2
3 3
S
; ; 6 , es un tetraedro regular.
2 2
Resolución:
a) Aplicando la fórmula del teorema 4.8
d A; B
x A x B y A y B z A zB
d A; B
2 1 1 5 3 3
2
2
= 61 ≈ 7, 81 u.
326
2
2
2
2
9 16 36
CAPÍTULO 4
b) En un tetraedro regular todas las caras son triángulos equiláteros y
en cada vértice concurren tres aristas. Veamos si todas las aristas son
iguales.
2
3 3 3 2
27 9
36
d P ;Q
3, 0 u.
4 4
4
2 2
d P ; R 32 3, 0 u.
2
3 3 2
d P ; S
2 2
6 43 94 6 3 6 3,0 u.
2
2
3 3 3 2
27 9
36
d Q ; R
3, 0 u.
4 4
4
2 2
d Q ; S
3 6 3 6 3,0 u
2
2
2
2
3 3
d S ; R
2 2
6 43 94 6 3 6 3,0 u.
2
Como todas las aristas son iguales la pirámide PQRS es un tetraedro
regular.
Conocidas las coordenadas de dos puntos A x1 ; y1 ; z1 y B x2 ; y 2 ; z2 del
espacio también es posible hallar las coordenadas del punto medio del
segmento que estos determinan. Estas coordenadas son:
xM
x1 x 2
z z
y y2
; yM 1
; zM 1 2
2
2
2
Aplica tus conocimientos
1. Dada las coordenadas de los vértices P 2; 2; 0 , Q 0; 0; 3 y R 1;1;1, 5 . Determina si es posible construir un triángulo.
2. Dado el triángulo cuyos vértices son los puntos: A 3; –1; 2 , B 0; 4 ; 2
y
C –3; 2;1 , comprueba que es isósceles y halla la longitud de la mediana relativa al lado desigual.
327
MATEMÁTICA
¿Sabías que...?
Se puede determinar la relación de dos rectas en el espacio conocidas las coordenadas de dos de sus puntos, sin usar vectores ni ecuaciones de las rectas de
manera explícita.
y B x 2 ; y 2 ; z2 y l2 : C x 3 ; y 3 ; z3
Sean las rectas l1 : A x1 ; y 1 ; z1
y D x 4 ; y 4 ; z4 :
1. ¿Son paralelas?
Se calcula las diferencias entre las coordenadas de los puntos de cada recta y
compara sus proporciones:
Para l1 : x1
x2
x1 , y1
y2
y 1, z1
Para l2 : x 2
x4
x3 , y 2
y4
y 3, z2
z4
Condición de paralelismo:
x1
x2
y1
y2
z1
z2
z2
z1.
z3.
Si se cumple, son paralelas.
Luego, se verifica si tienen algún punto en común, para saber si son coincidentes.
Para que las rectas sean coincidentes todos los puntos de l1 deben estar en l2.
Como son paralelas, basta con probar que un punto de los de la recta l2 (C)
pertenece a la recta l1.
• Se calcula la diferencia entre C y A:
xC
x3
x1 , y C
y3
y1 , zC
z3
z1 .
• Se verifica si estas diferencias son proporcionales a las de l1
xC
x1
yC
y1
zC
.
z1
• Si se cumple, C está en l1, y por tanto l1 y l2 son coincidentes.
• Si no, son paralelas pero no coincidentes.
2. ¿Son secantes o alabeadas?
Si no son paralelas, para ver si se cortan:
– Toma las primeras dos coordenadas (x y y) y resuelve el sistema lineal para
t y s:
x1 t x1
y1 t y1
x3
y3
s x2
s y2
– Si tiene solución única, se sustituye t y s en la tercera coordenada z:
– Si z1 t z1
z3
s z2
entonces l1 y l1 son secantes.
– Si z1 t z1
z3
s z2
entonces l1 y l1 son alabeadas.
328
CAPÍTULO 4
3. ¿Son perpendiculares?
Usa el producto de las diferencias:
x1
x2
y1
y2
z1
z2
0
Si es cero, son perpendiculares.
Ejemplo 1 Rectas coincidentes.
Sean las rectas determinadas por los puntos dados:
u: A 1; 2; 3 y B 3; 6; 9 → Diferencias: x1
2 , y1
v: C 2; 4 ; 6 y D 4 ; 8;12 → Diferencias: x 2
1. ¿Son paralelas?
2 4 6
1
2 4 6
4 y z1
2 , y2
6.
4 y z2
6
son paralelas.
2 1
2
Verificar si el punto C 2; 4 ; 6 está en u:
cumple.
4 2
4
6 3
6
1
2
2
4
3
6
1
se
2
Conclusión: las rectas u y v son paralelas coincidentes.
Ejemplo 2 Rectas paralelas no coincidentes.
Sean las rectas determinadas por los puntos dados:
a: A 0; 0; 0 y B 1;1;1 → Diferencias: x1 1 , y1 1 y z1 1.
b: C 0; 0;1 y D 1;1; 2 → Diferencias: x 2
1 , y2
1 y z2
1 1 1
1 son paralelas.
1 1 1
0 0
Verificar si el punto C 0; 0;1 está en α:
1
cumple.
1.
1. ¿Son paralelas?
0 0
1
1 0
1
0
0 1 no se
Conclusión: Las rectas a y b son paralelas no coincidentes.
Ejemplo 3 Rectas alabeadas
Sean las rectas determinadas por los puntos dados:
p: A 1; 0; 0 y B 0;1; 0 → Diferencias: x1
q: C 0; 0;1 y D 1;1;1 → Diferencias: x 2
1. ¿Son paralelas?
1
1
1 , y1
1 , y2
1 y z1 0.
1 y z2
0
1
No son paralelas.
1
329
MATEMÁTICA
2. ¿Son secantes?
Resuelve:
1 t 1
0 t 1
0 s 1
0 s 1
t s 1
t s 0
t s 0, 5
Verifica: z : 0 0 1 0
0 1 no son secantes.
Conclusión: Las rectas p y q son alabeadas.
Saber más
La ecuación general de un plano está dada por:
puntos P1 x1; y1; z1 y P2 x 2 ; y 2 ; z2
: Ax
pertenece a la recta s:
By
Cz
D
0 . Si dos
Podemos saber la relación de posición de la recta y el plano evaluando los puntos de la recta en la ecuación del plano:
Ax1 By1 Cz1 D
d1
Ax 2
d2
By 2
Cz2
D
1. Si d1 d2 0. Ambos puntos pertenecen al plano, por lo que la recta está contenida en él.
2. Si d1 0 y d2 0 (o viceversa). Solo un punto está en el plano, por lo que la
recta corta al plano en ese punto (son secantes).
3. Si d1 0 y d2 0 (tienen el mismo signo). Ambos puntos están en el mismo
semiespacio, por lo que la recta es paralela al plano.
4. Si d1 0 y d2 0 (tienen signos opuestos). Ambos puntos están en semiespacio
diferentes, por lo que la recta corta al plano (son secantes).
Por ejemplo:
Sea el plano β, determinado por la ecuación
: 2x
y
3z 5
0 y los puntos
P1 1; 2;1 y P2 3; – 1; 0 .
a. Evaluaos P1 2 1
b. Evaluaos P2 2 3
2
31
1
3 0
5
5
2
d1
2
2
d2
2
Como d1 0 y d2 0 y tienen signos opuestos, la recta corta al plano (son
secantes).
330
CAPÍTULO 4
Ejercicios del epígrafe 4.2
1. Representa en un sistema de coordenadas los puntos
A 2; 0;– 1 , B 4 ; –3; 7 ,
C –5;–9; 2 y D 3; –2; 4 .
2. Halla las coordenadas de los vértices del cubo de arista a = 4 , 0 u representado en la figura 4.97.
Fig. 4.97
3. Los puntos 3;1; 2 , 3;5; 2 , –1;1; 2 y 3;1; 6 son vértices de un cubo. Halla
los vértices restantes y dibuja el cubo. Comprueba tus resultados con
ayuda de un asistente matemático.
4. Un octaedro regular es un cuerpo de ocho caras que son triángulos
equiláteros y en cada vértice concurren cuatro aristas. Los puntos 2; 2; 0 ,
2; 0; 2 , 4; 2; 2 , 2; 4; 2 , 0; 2; 2 y 2; 2; 4 son los vértices de un octaedro
regular. Dibuja el octaedro. Comprueba tus resultados con un asistente
matemático.
5. Dibuja la pirámide triangular de vértice V 4 ; 4 ;1 si los vértices de la base
son los puntos 4 ;1; 4 , 4 : 4 ; 4 y 1; 4 ; 4 y calcula el valor de su volumen.
6. El punto P 2; 3; 3 es un vértice de un ortoedro formado por los planos
coordenados y los planos que pasando por P son paralelos a estos. Halla
las coordenadas de los otros siete vértices y el valor del volumen del
cuerpo. Verifica tu resultado con un asistente matemático.
7. Calcula la distancia entre los puntos:
a) A 2;5; 3 y B –3; 2;1 . b) C 0; 3; 0 y D 6; 0; 2 .
331
MATEMÁTICA
c) E –4 ;–2; 3 y F 3; 3;5 . d) G –1;–2; 2 y H 2; 2; 1 .
e) I –1; 3; 2 y el origen de coordenadas.
7.1 Comprueba tus resultados con un asistente matemático.
8.
Calcula los valores del perímetro y el área del triángulo cuyos vértices
son los puntos;
A 4 ; 6;1 , B 6; 4 ; 0 y C –2; 3; 3 . Comprueba tus resultados con ayuda
de un asistente matemático.
8.1 Determina las coordenadas del punto medio de cada lado del
triángulo.
9.
Halla la distancia del punto 3; 1; 2 a cada uno de los planos coordenados y a los ejes coordenados.
10. Comprueba que los puntos A 5;1;5 , B –3;–2;1 y C 4 ; 3; 2 son los vértices de un triángulo rectángulo y calcula su área.
10.1 Determina la longitud de la paralela media relativa a la
hipotenusa.
11. Halla la distancia del punto –2;5; 3 a cada uno de los planos coordenados y al origen de coordenadas.
12. Demuestra que el cuadrado de la distancia de cualquier punto del
espacio al origen de coordenadas, es igual a la suma de los cuadrados
de sus distancias a los planos coordenados. Comprueba tus resultados
con ayuda de un asistente matemático.
13. Comprueba que los puntos 1;1; 0 , 3; 3; 0 , 3;1; 2 y 1; 3; 2 son vértices
de un tetraedro regular.
5 3 10 6
;
14. Dados los puntos 0; 0; 0 , 10; 0; 0 , 5;5 3 ; 0 y 5;
.
3
3
a) Comprueba que son los vértices de un tetraedro regular.
b) Calcula el valor del volumen del tetraedro.
15. Los puntos 0;1; 2 , 3;5; 2 , 7; 2; 2 ) y 4 ; –2; 2 son vértices de un
octaedro regular.
332
CAPÍTULO 4
a) Halla las coordenadas de los otros dos vértices si se sabe que están
sobre una recta paralela al eje z y la distancia entre ellos 5 2 u.
b) Calcula el valor del área lateral del cuerpo.
16. Determina las coordenadas de los extremos A y B del segmento dividido entre partes iguales por los puntos P 4 ; 2;1 y Q 1;5;1 .
17. Sea un cubo de lado igual a 4,0 cm, tal que está ubicado en el primer
octante (x > 0; y > 0; z > 0) y tres de sus caras sobre los planos coordenados. Los centros de las seis caras del cubo son los vértices de un
octaedro regular.
a) Halla las coordenadas de los vértices del octaedro.
b) Calcula la longitud de las aristas del octaedro y represente gráficamente tanto el cubo como el octaedro.
18. Halla las coordenadas de los puntos simétricos a los puntos
A 2; 3;1 , B 5; –3; 2 , C –3; 2; –1 y D a; b; c respecto:
a) al plano xy
b) al plano xz
c) al plano yz
d) al eje x
e) al eje y
f) al eje z
19. Un puente tiene vigas definidas por las rectas l1, l2 y l3 que pasan por
los puntos de coordenadas:
l1 : A 1; 2; 3 y B 4 ;5; 6 ,
l2 : C 0;1; 2 y D 3; 4 ;5 ,
l3 : E 2; 1; 4 y F 5; 2; 7 .
19.1 Auxíliate de un asistente matemático que tenga vista gráfica en
3D (GeoGebra) y responde cada uno de los incisos siguientes:
a) Prueba si l1 y l2 son rectas paralelas o rectas alabeadas.
b) Verifica si l3 es paralela al plano : 2 x y 3z 4 . En caso de no
ser paralelo diga las coordenadas de intersección entre el plano y
la recta.
c) Calcula el valor del volumen de una columna cilíndrica del puente
con radio 2,0 m y altura igual a la distancia entre l1 y l2.
(Ver la nota 5 al capítulo 4 en los anexos)
333
MATEMÁTICA
Ejercicios del capítulo
1. Di si las siguientes proposiciones son verdaderas en planimetría, estereometría o en ambas.
a) Por un punto situado fuera de una recta se puede trazar una paralela
y solo una a esta.
b) Por un punto situado fuera de una recta se puede trazar una perpendicular y solo una a esta.
c) Por un punto de una recta se puede trazar una perpendicular y solo
una a esta.
d) Dos rectas paralelas a una tercera son paralelas entre sí.
e) Dos rectas perpendiculares a una tercera son paralelas entre sí.
f) Por un punto de una recta se pueden trazar infinitas perpendiculares
a esa recta.
2. Una recta r corta a un plano α en un punto P. En la recta se toman dos
puntos M y N situados cada uno en distintos semiespacios respecto a
α y equidistantes de P. Si el punto M dista 10 cm del plano α, ¿cuánto
dista N de ese plano?
3. El cuadrado ABCD en el plano α es cortado por el cuadrilátero BNDM
por la diagonal BD como se muestra en la figura 4.98, de forma tal que
y A proy M , C proy N y MN BD O .
Fig. 4.98
a) Demuestra que MN ⊥ BD.
b) El cuadrilátero BNDM es un rombo. Fundamenta esta afirmación.
334
CAPÍTULO 4
3.1 Si el área del cuadrado ABCD es de 2,88 dm2 y el punto M se encuentra a 6,0 cm del plano α, calcula:
a) El valor del área del rombo BNDM y la amplitud del ángulo con que
corta al plano α.
b) El valor del volumen de la pirámide BCDN y su área total.
4. Sea la circunferencia de centro O de
diámetros AB y CD (figura 4.99), y el
triángulo EOD rectángulo en O tal que
el vértice E tiene como proyección sobre el plano ACD el punto B. Demues = 90o .
tra que el BD
4.1 Si el área del triángulo EOD es de
37,5 cm2 y el diámetro de la circun-
Fig. 4.99
ferencia es de 10 cm, calcula:
a) La distancia del punto E al plano de la circunferencia.
b) La longitud de la cuerda BD.
c) El valor del área total y el volumen de la pirámide ODBE.
5. En el vértice B de un ángulo recto del trapecio rectángulo ABCD se ha
trazado la circunferencia base de un cono circular recto (figura 4.100)
de radio BA = 8,0 cm tangente en C a la base mayor del trapecio la cual
es igual al diámetro de la circunferencia.
Fig. 4.100
a) Demuestra que el triángulo SCD es rectángulo.
335
MATEMÁTICA
b) Calcula el valor del volumen de la pirámide oblicua que tiene como
base ese trapecio y su altura coincide con la altura del cono si sus
generatrices tienen una inclinación de 60o con la base.
c) Calcula el valor del área del triángulo SCD.
d) Calcula la amplitud del ángulo de inclinación de la arista SD respecto
al plano de la base.
6. Desde un punto S exterior al plano α que contiene al rombo ABCD, se
traza la oblicua OS (figura 4.101) siendo O la intersección de las diagonales del rombo y D = proyαS.
Fig. 4.101
Demuestra que OS es mediatriz de AC .
6.1 Esboza la figura en tu cuaderno de trabajo, traza las oblicuas AS, BS , CS
y calcula el valor del volumen y el área total de la pirámide ABCDS, si
AB = 14 cm y SBD = BCD = 45o.
6.2 Demuestra que ∆ABS = ∆SBC.
7. El cuadrado ABCD está inscrito en una circunferencia de 25,1 cm de
longitud; por el punto O de intersección de sus diagonales se levanta
una perpendicular OS de 4,0 cm de longitud al plano que contiene al
cuadrado.
a) Haz un esbozo de la figura.
b) Calcula la distancia de S a cada vértice del cuadrado.
c) Determina la amplitud del ángulo que forma la oblicua SA con el plano que contiene al cuadrado.
336
CAPÍTULO 4
8. El lado AB del triángulo equilátero ABC es el diámetro del círculo de
centro O en el plano α (figura 4.102) y el vértice C tiene como proyección sobre α, el punto D interior del círculo.
Fig. 4.102
a) Demuestra que el radio que contiene al punto D es perpendicular al
diámetro AB.
8.1 Si D es el punto medio del radio y el diámetro del círculo mide
8,0 cm:
a) Calcula el valor del volumen y el área total de la pirámide ABCD.
b) Calcula la amplitud del ángulo de inclinación del triángulo ABC
respecto al plano α.
9. Uno de los catetos de un triángulo rectángulo e isósceles está contenido en el plano α y el otro forma con este un ángulo igual a 45o.
a) Demuestra que la proyección de este triángulo en el plano α es un
triángulo rectángulo.
b) Calcula la amplitud del ángulo que forma la hipotenusa con el plano α.
10. En la figura 4.103 se muestra el diseño de una pieza maciza que tiene
forma de prisma recto ABCDEFGH,
además; se conoce que sus bases son
los rectángulos ABCD y EFGH.
Fig. 4.103
337
MATEMÁTICA
a) De los segmentos de rectas trazados en la figura determina uno
que se cruce con HD.
b) Demuestra que el ∆ABG es rectángulo.
c) Si el perímetro de la base ABCD es 12 dm, BC = 2, 0 dm y
tanGBC = 3, calcula el valor del volumen del prisma ABCDEFGH.
11. La figura 4.104 muestra un cubo tal que la suma de sus aristas es de
48 cm. Desde E y H se trazan las oblicuas al centro de la cara ABCD.
Fig. 4.104
a) Demuestra que OE ⊥ AC.
b) ¿Es OH mediatriz de BD? Fundamenta tu respuesta.
c) Calcula la amplitud del ángulo formado por las oblicuas trazadas.
d) Calcula el valor del área del triángulo EOH.
12. Desde un punto exterior a un plano se trazan dos oblicuas iguales de
14,1 cm; el ángulo que esas oblicuas forman con el plano es de 45o y
sus proyecciones son perpendiculares. Calcula la distancia entre los
pies de las oblicuas y la amplitud del ángulo que estas forman.
13. Se tiene un círculo de 4,0 cm de radio, por su centro O se traza una
perpendicular al plano del círculo y sobre esta se toma un segmento OM = 8, 0 cm. Determina la distancia del punto M a una cuerda de
6,0 cm de longitud.
14. En una pirámide triangular regular, la altura es igual al lado de la base.
338
CAPÍTULO 4
a) Determina la amplitud del ángulo formado por la arista lateral y el
plano de la base.
b) Calcula el volumen de esa pirámide si el lado de la base mide 12 dm.
15. El prisma recto ABCDEFGH (figura 4.105) de altura 16,0 cm tiene como
base inferior el trapecio ABCD de área 1, 32 dm2. Se conoce, además,
que:
• AD = 15, 0 cm y BC = 7, 00 cm son las bases del trapecio ABCD.
• CM es una de las alturas del trapecio base,
• GD es una diagonal de la cara CDGH,
• GM es oblicua,
• el CDA = 67, 4o.
Fig. 4.105
a) Demuestra que el ∆DMG es rectángulo.
b) Calcula:
b.1) el valor del área del ∆DMG y el área lateral del prisma,
b.2) el valor del volumen de la pirámide CDMG.
16. Expresa el volumen del tetraedro regular en función de su altura h.
17. Determina los valores del área y el volumen de un octaedro regular de
3,0 cm de arista.
18. La mediana de una de las caras de un octaedro regular mide 17,3 m.
Calcula el valor del área del octaedro.
339
MATEMÁTICA
19. Representa en un sistema de coordenadas los puntos 2;1; 0 , 0; 3; 4 ,
2; 0;–1 , 3; –2; 4 , 1; 2;–3 y –5; 3;–2 .
20. Esboza en tu cuaderno de trabajo el tetraedro cuyos vértices son los
puntos 0; 0; 0 , 2; 0; 0 , 0; 2; 0 y 0; 0; 2 . ¿Es este tetraedro regular?
Calcula el valor de su volumen. Verifica tu resultado con un asistente
matemático.
21. Los puntos 1;1; 0 , 5;1; 0 y 5;5; 8 son vértices de un prisma cuadrangular regular que tiene una base en el plano xy. Halla los vértices
restantes y dibuja el prisma.
22. Comprueba que los puntos A 1;1;1 , B 3;1;1 , C 3; 4 ;1 y D 1; 4 ;1 , tomados en ese orden, son los vértices de un rectángulo.
22.1 Determina la longitud de la altura de la pirámide recta ABCDE
cuya base es el rectángulo ABCD si el valor de su volumen 8, 0 u3.
23. Comprueba que los puntos 4 ; 2; 4 , 10; 2;–2 y 2; 0;–4 son vértices de
un triángulo equilátero y calcula el valor de su área.
23.1 Determina las coordenadas de su incentro.
24. Calcula la distancia del punto 2; 3;–4 a cada uno de los planos coordenados y a los ejes coordenados.
25. Sean los puntos de coordenadas: A 4 ; 3;5 , B –3; 2;1 , C 2; 3; 0 y
C 0; 0;–3 . Determina las coordenadas de sus proyecciones:
a) al plano xy
b) al plano xz
d) al eje x e) al eje y
c) al plano yz
f) al eje z
26. Un arquitecto diseña un edificio con columnas en 3D. Las coordenadas de las bases de dos columnas son A 3; 5; 0 y B 7;1; 0 . Además, un
muro está definido por los puntos C 0; 4 ; 3 , D 4 ; 8; 3 y E 1; 2; 3 .
a) Calcula la distancia entre las columnas A y B.
b) Determina las coordenadas del punto medio entre C y D.
c) Determina si los puntos C , D, E y F 5;10; 3 pertenecen al mismo
plano.
340
CAPÍTULO 4
27. Dos aviones P y Q en el momento en que el radar toma su ubicación
sus posiciones eran P 120; 80;10 y Q 90;120;12 .
a) Calcula la distancia entre los aviones en el momento en que se
toman las coordenadas de sus posiciones.
b) Determina las coordenadas del punto medio entre los aviones en
ese momento.
c) Verifica si la ruta de P y Q está contenida en el plano 2 x 3 y 4 z 50.
28. Dos satélites que orbitan la Tierra, se encuentran en las posiciones
S1 2; – 1; 4 y S2 3;5; 7 en miles de kilómetros.
a) Calcula la distancia entre los satélites.
b) Determina las coordenadas del punto medio entre los dos satélites
para instalar un repetidor (es un dispositivo que recibe, amplifica y
transmite señales para facilitar la comunicación a larga distancia).
c) Determina si las posiciones de los satélites S1 , S2 y la Tierra (origen
0; 0; 0 y una estrella E 1; 2; 2 son coplanares.
29. En una cirugía, un tumor está ubicado en T 5; 2; 8 (cm) y un sensor
en M 1; 3; 4 .
a) ¿A qué distancia se encuentra el sensor del tumor?
b) Determina las coordenadas del punto medio entre las posiciones T
y M para guiar una biopsia.
c) Verifica si los puntos T , M, N(2; 0; 6) y P 3;1;5 definen un plano
quirúrgico.
30. Tres sismos E1, E2 y E3 ocurrieron en la posición E1 2; 3; 5 , E2 4 ; 1; 3 y
E3 2;5; 7 (kilómetros de profundidad) respectivamente.
a) Calcula la distancia entre E1 y E2.
b) Encuentra el punto medio entre E3 y un volcán V , ubicado en
V 1; 2; 4 .
c) Determina si los sismos y el volcán están alineados en una misma
falla plana.
341
MATEMÁTICA
Autoevaluación
1. En la figura 4.106 se tiene el
cuadrado ABCD contenido
en el plano β. Además, se
conoce, que:
• E y F son los puntos medios de los lados AD y
BC del cuadrado ABCD
Fig. 4.106
respectivamente,
• EFHG es un cuadrado,
• G ,
• El ∆BCH es escaleno.
1.1 Clasifica en tu cuaderno de trabajo las proposiciones siguientes en
verdaderas o falsas. Funtamenta las falsas.
a) AE es la proyección de la oblicua GA en el plano β.
b) AB GH.
c) HF ⊥ BC en el punto F .
d) El ángulo de inclinación de la oblicua GF con el plano β es de 45°.
e) Las oblicuas GF y HE tienen sus proyecciones de igual longitud.
2. En la figura 4.107 se tiene el
rombo ABCD contenido en
el plano γ. Además, se conoce, que:
• H es el punto donde se
intersecan las diagonales
(AC y BD) del rombo,
• ACFE es un cuadrado,
• GH EA,
• GH ⊥ DB en H,
• EF .
342
Fig. 4.107
CAPÍTULO 4
2.1 Clasifica en tu cuaderno de trabajo las proposiciones siguientes en
verdaderas o falsas. Funtamenta las falsas.
a) GH es perpendicular al plano γ.
b) HB es la proyección de la oblicua GB en el plano γ.
c) Las oblicuas EH y FH son iguales.
d) G es punto medio de EF .
e) AC es la proyección de la oblicua FA en el plano γ.
3. Dado el prisma recto de base triangular ABCDEF (figura 4.108). Justifica en cada caso la veracidad o falsedad de las siguientes proposiciones:
a) La recta DA es paralela al plano BCE.
b) Las rectas DE y FC se cortan.
c) Los puntos A, B y F determinan un plano.
Fig. 4.108
3.1 Escribe en tu cuaderno de trabajo la opción que garantiza la veracidad de las proposiciones siguientes:
a) Con respecto al plano ACB, la recta FC es:
1) oblicua
2) perpendicular
3) paralela
4) está contenida en ACB
b) El plano EBA está determinado por
1) las rectas AE y FC
2) la recta AE y el punto A
3) la recta AE y el punto B
4) la recta AE y el punto C
343
MATEMÁTICA
c) Si la diagonal AF mide 10, 0 cm y forma con la altura del prisma
un ángulo de 30°, entonces la longitud de su proyección: es:
1) CA =10 3 cm
2) CA = 5,0 cm
3) CA =5 3 cm
4) CA = 20 cm
4. El prisma recto ABCDEFGH tiene su base cuadrada (figura 4.109). La
diagonal del prisma HB = 13 cm y su proyección DB = 12 cm.
Fig. 4.109
4.1 Escribe en tu cuaderno de trabajo las dimensiones y magnitudes
del cuerpo a las que corresponden los valores numéricos siguientes:
a) 5, 0
b) 6 2
c) 72
d) 360
e) 120 2
Precisa en cada caso la unidad de medida que les corresponde.
4.2 Si O es el punto de intercepción de las diagonales de la base ABCD.
Demuestra que ∆EOC es un triángulo rectángulo.
4.3 Escribe en tu cuaderno de trabajo los valores que se aproximan a:
a) El área del ∆EOC .
1) 24 cm2
2) 47 cm2
3) 15 cm2
4) 10 2 cm2
b) El volumen del cuerpo que resulta de perforar el prisma recto
ABCDEFGH por la pirámide oblicua OBCH.
1) 90 cm2
344
2) 30 cm2
3) 330 cm2
4) 360 cm2
CAPÍTULO 4
5. En la figura 4.110 se muestra la pirámide oblicua ABCDF , cuya base es
el paralelogramo ABCD. Además, se conoce que:
• FD es la altura de la pirámide,
• ∆BEF es rectángulo en E,
• E es un punto de DC .
Fig. 4.110
a) De los segmentos trazados, identifica uno que sea paralelo al
plano ADF .
b) Demuestra que BE es una de las alturas del paralelogramo
ABCD.
c) Si BC = 5, 0 dm, BE = 40cm, DC = 9, 0 dm y el DEF = 45o. Determina el valor del volumen de la pirámide ABEDF .
6. A un cilindro circular recto se le realiza una perforación cónica por el
centro de la base de forma tal que el diámetro de la perforación es
igual al radio de la base del cilindro.
a) Demuestra que las generatrices del cono son perpendiculares a las
cuerdas de la base del cilindro tangentes a la base del cono. Comprueba tus resultados en un asistente matemático.
b) Si el diámetro del cilindro es de 20 cm, las generatrices del cono
tienen 1,3 dm de longitud y la razón entre la altura del cilindro y
la del cono es de 1,5 dm, calcula el valor del volumen del cuerpo
perforado.
345
MATEMÁTICA
7. En el cilindro recto de la figura 4.111 se tiene que CD, AB y EF son
diámetros tales que CD⊥ AB y AB EF . Se conoce, además, que A y B
son las proyecciones de E y F respectivamente.
a) Prueba que EOD FDO.
b) Prueba que los triángulo EOF y EDF son isósceles.
7.1 Si FB = 5, 0 dm y AB = 6, 0 dm, calcula:
a) El valor volumen de la pirámide EOFD.
b) La amplitud del EDF .
Fig. 4.111
8. En la figura 4.112, la recta PT está
contenida en el plano de la base del
cono circular recto. OS es la altura
del cono y la recta PT es tangente en
P a la circunferencia de centro O. Si
SP = 24 cm y SP forma un ángulo de
60° con el plano de la base.
a) Clasifica el ∆TPS según las ampli-
Fig. 4.112
tudes de sus ángulos interiores.
Fundamenta.
b) Calcula el valor del área lateral del cono y expresa el resultado en
decímetros cuadrados (dm2).
c) Calcula el valor del volumen del cono.
346
CAPÍTULO 4
9. La figura 4.113 muestra una pieza de cristal maciza en forma de cilindro circular
recto cuyo diámetro es AC = 4 , 0 cm. Se
conoce, además que el ∆DBC representa una lámina de bronce que se inscribe
en el cilindro de forma tal que AD es la
altura del cilindro y B pertenece a la circunferencia de la base inferior.
a) Prueba que la lámina de bronce representa un triángulo rectángulo.
b) Si el área lateral de la pieza es
Fig. 4.113
AL = 37, 0 dm2 . Calcula el valor del volumen del cilindro.
10. En la figura 4.114 se muestra una
pieza maciza en forma de semiesfera de diámetro CD y centro O, de la
cual se quiere obtener un cono circular recto de vértice S, de modo que
la base del cono coincida con la base
Fig. 4.114
de la semiesfera.
• El vértice S es un punto interior de la semiesfera,
• El diámetro CD corta a la cuerda EF de la base del cono en su punto medio Q.
a) Prueba que el QSE y SEQ son complementarios.
3
b) Si el área de la semiesfera es de 192π dm2 y la senOSC = , calcula
5
el valor del área total del cono que se obtendrá.
11. En la figura 4.115 se muestra una pieza maciza de metal en forma de
cubo ABCDEFGH, de la que ha sido extraída la cuña MCNOPQ tal que:
• O y Q son los puntos donde se intersecan las diagonales de las bases ABCD y EFGH del cubo,
347
MATEMÁTICA
• M y N son los puntos medios de los lados BC y DC respectivamente,
• PN es altura del cubo,
• El volumen del cubo es de 64 cm3 .
a) Calcula el valor del volumen de la cuña.
b) ¿Qué parte del volumen del cubo representa el volumen de la
cuña? Fundamenta tu respuesta.
Fig. 4.115
12. Se conoce que un cubo tiene cuatro de sus vértices de la forma:
A – a;– a;– a , B a; – a; – a , C – a; a;– a y D a; a; a . Halla los demás
vértices.
13. Dados los puntos de coordenadas A 1; –2; –3 , B 2; –3; 0 , C 3;1;–9 y
D –1;1;–12 . Calcula la distancia entre:
a) A y C
b) B y D
c) C y D
14. Calcula la distancia del origen de coordenadas O a los puntos:
A 4 ; –2; –4 , B –4 ;12; 6 , C 12; –4 ; 3 y D 12;16;–15 .
15. . Demuestra que es isósceles el triángulo cuyos vértices son:
P 3; –1; 2 , Q 0; –4 ; 2 y R –3; 2;1 .
16. Demuestra que es rectángulo el triángulo cuyos vértices son:
M 3; –1; 6 , N –1; 7;–2 y P 1; –3; 2 .
348
CAPÍTULO 4
17. Dados los vértices del triángulo ABC de coordenadas:
A 3; 2;–5 , B 1; –4 ; 3 y C –3; 0;1 .
a) Determina las coordenadas de los puntos medios de sus lados.
b) Calcula la longitud de las medianas relativas a cada lado del
triángulo.
18. Clasifica las proposiciones siguientes en tu cuaderno de trabajo, en
verdaderas o falsas. Justifica las falsas.
a) La recta r de ecuación r : 3 x 2 y 1 0 y el punto P 3; 2; 0 , determinan un único plano.
b) Las rectas de ecuaciones s : 2 x y 2 0 y t : x
nan un único plano.
1
y 1 0, determi2
18.1 Con ayuda del GeoGebra, representa el plano α, determinado
por los puntos de coordenadas A 0; 2; 0 , B 0; 1; 0 y C 0; 0; 3 .
18.2 Traza en α:
a) Una recta que tenga dos puntos comunes con el plano.
b) Una recta perpendicular.
c) Una recta oblicua.
d) Un plano paralelo.
e) Un plano perpendicular.
18.3 Determina la distancia entre los dos planos paralelos.
19. En el GeoGebra, con la VISTA 3D (activa solo las opciones: ejes y
cuadrículas).
a) Introduce en la entrada la ecuación x = 0. ¿Qué se ha representado? Determina las coordendas de tres puntos que pertenezcan al
plano yz.
b) Traza una recta perpendicular al eje de las abscisas en el punto
A 3; 0; 0 . ¿Cuál es la relación entre la recta y el plano yz? Determina la distancia que los separa.
349
MATEMÁTICA
20. Argumenta la afirmación siguiente:
“La geometría del espacio es esencial tanto para el avance científico
como para resolver problemas diarios; desde explorar el cosmos hasta
organizar una mudanza, sus principios permiten innovar en campos
tan diversos como la medicina, la ingeniería o el arte. Demuestra cómo
conceptos matemáticos abstractos se convierten en soluciones tangibles para la vida real.”
350
ANEXOS
Respuestas a los ejercicios
Capítulo 1
Epígrafe 1.1 Inducción completa
1. 1.1 b)
1.2 b)
Epígrafe 1.2 Sucesiones numéricas
2.
a) 1; 2; 5; 8; 11; b) 2; 1; 2; 7; 14 ;
3
9
27
81
1 1 3 2
c) 0; ; ; ; ; d) 1; ; ; , ;
2
4
8
16
3 2 5 3
e) 3; 7; 11; 15; 19; f) 1; 3; 7; 15; 31;
g) 3; 2; 0; 4 ; 12;
1
1
h) 3; ; 3; ; 3;
3
3
5 17
1 1
i) ; ; 1; ;
;
3 7
3 2
3. a) an 3n 1 ;
(n ≥ 0)
c) an 1 5n 1 ;
n
3.1 a) a12 = 34
(n≥ 0)
b) a12 =
23
144
b) an
2n 1
; (n ≥ 1)
n2
d) an 4 2 1 ; (n ≥ 0)
n
c) a12 244 140 625
d) a12 = 6
351
MATEMÁTICA
63
1 1 1 1
4. a) ; ; ; y S6 =
64
2 4 8 16
10
1 1 1 1
b) ; ;
;
y S10 =
11
2 6 12 20
5.
1 1
b) ;
16 4
6.
b) 40; 41; 42
7.
a) 64
8.
c)
9.
3 500; 3 570; 3 641; 3 714; 3 789;
x8
256
10. a) P0 5 000 y Pn 1, 08 Pn 1 300
b) 6 898
11. a) 5; 8; 11; 14 ; 17;
S15 = 390
y a15 = 47 ;
b) 2; 0; 2; 4 ; 6; y a27 50 ;
c) 3; 7; 11; 15; 19;
y a12 = 47 ;
7 5 13
d) 1; ; ;
; 4 ;
4
2
4
S27 673
S12 = 300
y a41 = 31 ; S41 = 656
12. Para todo n N : n 1
a) a78 = 314
y S23 = 1 150
c) a78 = 139
y S23 = 161
13. a) a100 = 646
b) a78 377
d) a78
227
4
y S23 1 081
y S23 166, 75
b) S100 = 29950
14. Para todo n N : n 1 a) 5 200 b) 11 400
c) 1 000 477,5 d) 12 775
15. Para todo n N : n 1
a) 2; 4 ; 8; 16; 32,
1
1 1
1
; ;
b) 1; ; ;
3
9
27
81
3 3
3
3
c) 3; ;
;
;
;
4 16
64 256
3
3
3
;
;
d) 15; 3; ;
5
25 125
352
ANEXOS
17. Para todo n N : n 1
b) an 2 5
n 1
a) an 3 10n 1
1
c) an 1
3
n 1
2 n 1
d) an 3 3
18. Para todo n N : n 1
a) 2 186
19. a)
2
3
b)
2 047
256
c) 5 462
d) 49 104
b) El 20 de septiembre
Ejercicios del capítulo 1
1. a) Verdadera: se cumple para todo número n ∈ N.
b) Verdadera: se cumple para todo número natural n ≥ 5.
c) Falsa: para n = 0 se cumple, para n = 1 se obtiene 80 que no es divisible por 15.
d) Verdadera
e) Falsa: para n = 2 se tiene que 9 > 8, contradice la desigualdad.
f) Verdadera
5. Para todo n natural se tiene que:
4 5
1 2
a) 0; ; ; 1; ; ; 2
3 3
3 3
2
b) ; 2; 6; 18; 54 ; 162; 486
3
c) 2; 4 ; 6; 8; 10; 12; 14
1 1 1 1 1 1
d) 1; ; ; ; ; ;
3 5 7 9 11 13
e) 0; 2; 10; 24 ; 44 ; 70; 102
f) 0; 0; 1; 3; 4 ; 6; 9
6. a) 125 tabacos
b) an 10n 95 : n N : n 1
c) S n 5n n 20 , n N : n 1 S 6 780 tabacos
353
MATEMÁTICA
10. a) Es una sucesión aritmética
b) an = 3n con n N : n 1
c) a100 = 300
3n n 1
d) 267
e) S n
11. a) 520
d) 1 210
12. a) 302
b) es el quincuagésimo término (50)
2
f) S 19 570
b) 135 450
d) la décima posición
13. a) 152
14. b) 77
d) 2 900
e) 207
15. a) 40
b) 31
d) 1 425
f) 4 340
Autoevaluación
1. Para todo n N : n 1
a) an 11 3n
b) an 2n 2
5
si n 1
c) an
3n 5 si n 2
d) an 2n 2
e) an 8 3n
f) an 5n 4
g) an 7 5n
h) an n 49
n 1
2n 3
n
k) an
2n 1
1
i) an
2n 1
13
l) an
2n 3
j) an
m) an 2n2 n 4
n) an 2n2 3n 1 ñ) an 3n2 2
1.1 b) S 20 460
c) S 20 727
6. 6.1 a) 3n − 2
6.2 d) 58
7. b) 100
c) 20
354
f) S 20 970
ANEXOS
8. b) 32
c) 8
9. b) 354
Capítulo 2
Epígrafe 2.1 Procesamiento estadístico de datos
1. a) Verdadera. La estadística se ocupa del análisis, interpretación, presentación y organización de datos. Dentro de este campo, se estudian
los fenómenos aleatorios y no deterministas, es decir, aquellos cuyos
resultados no pueden predecirse con certeza y están sujetos a variabilidad. La estadística se emplea para identificar patrones y regularidades
dentro de estos fenómenos.
b) Falsa. Aunque la estadística descriptiva se ocupa de caracterizar conjuntos de datos, hacer generalizaciones sobre una población basándose en una muestra es parte de la estadística inferencial y aunque
la descriptiva proporciona información esencial y puede influir en
la toma de decisiones, la decisión en sí y las inferencias derivadas se
basan en técnicas inferenciales.
c) Verdadera. En estadística, el término “población” se refiere a cualquier conjunto completo de elementos que se desea estudiar, y estos
elementos pueden ser individuos, objetos, sucesos o procesos.
d) Verdadera. Una variable estadística es una característica, atributo
o propiedad de un fenómeno o proceso que puede ser medido o
cuantificado. Son fundamentales en la investigación estadística porque permiten la recolección, análisis e interpretación de datos para
comprender y describir fenómenos o procesos.
e) Verdadera. Por ser el elemento básico de la población sobre el cual
se recolectan los datos.
355
MATEMÁTICA
f) Falsa. Las variables cualitativas se refieren a categorías o cualidades
no numéricas, como el color de los ojos o el tipo de vivienda. Las
variables cuantitativas son las que están dadas por mediciones y observaciones numéricas.
g) Verdadera. Esta es una clasificación estándar, que abarca todas las
posibles formas de medición, de las variables estadísticas.
h) Verdadera. Es la que categoriza los datos sin ningún orden implícito,
como por ejemplo, el género o el estado civil.
i) Verdadera. Media, moda y mediana son medidas de tendencia central, también consideradas medidas de posición ya que indican la
ubicación central de los datos.
j) Falsa. Esta afirmación describe la mediana, no la media. La media es
el promedio aritmético y no necesariamente divide a los datos en
dos partes iguales.
k) Verdadera. La moda es la medida que indica la característica o valor
más frecuente en un conjunto de datos y puede ser utilizada tanto
en datos cualitativos como cuantitativos.
l) Falsa. La mediana siempre existe y es única para un conjunto de datos
ordenados, dividiendo los datos en dos partes iguales.
m) Verdadera. Es el valor que divide el conjunto de datos en dos partes
iguales, por lo que es equivalente a la mediana.
n) Verdadera. Los estadígrafos de dispersión, como la desviación estándar y la varianza, indican la variabilidad o dispersión de los datos en
relación con un valor central.
ñ) Verdadera. Todas indican cuán dispersos están los datos en un
conjunto.
o) Falsa. La varianza mide la variabilidad de una muestra, pero siempre
toma valores no negativos ya que es el promedio de los cuadrados
de las diferencias respecto a la media.
356
ANEXOS
p) Verdadera. La desviación estándar mide la cantidad de variación o
dispersión de un conjunto de datos respecto a la media y es una de
las medidas más utilizadas en estadística debido a su interpretación
directa y utilidad en análisis posteriores.
3.
Variable
Escala
Población
a)
Cantidad de botellas que se envasan por día (cuantitativa
discreta)
De razón
Todas las botellas de refresco que se envasan (en un
turno de trabajo, día, semana o mes, etc.)
b)
Índice de mortalidad infantil
por cada mil nacidos vivos el año
pasado (cuantitativa continua)
De razón
Cantidad de niños nacidos
vivos el año pasado
c)
Tipos de defectos detectados
por día en la producción de accesorios de computadoras DGM
(cualitativa)
Nominal
Todos los accesorios producidos para las computadoras
DGM
d)
Motivación que sienten los estudiantes por el estudio de la matemática (cualitativa)
Ordinal
Todos los estudiantes de la
escuela, grado o grupo.
e)
Respuesta al cliente por el pedido que se hace por teléfono
en las oficinas de Transtur S.A.
(cualitativa)
Nominal
Todos los clientes que solicitan respuesta telefónica en
las oficinas de Transtur S.A.
f)
Cantidad de hojas desechadas
por día en una imprenta (cuantitativa discreta).
De razón
Cantidad de hojas que se
utilizan en un día en la
imprenta.
g)
Cantidad de pacientes infantiles
que asisten a una consulta médica (cuantitativa discreta).
De razón
Total de pacientes infantiles
que asisten a una consulta
médica
h)
Nivel de aceptación de los
clientes por el servicio de mantenimiento que reciben a los
televisores (cualitativa)
Ordinal
Todos los clientes que asistieron al taller de reparación
de televisores
357
MATEMÁTICA
Variable
Escala
Población
i)
Resultados por categorías del
test de conocimientos aplicado
a los aspirantes al cargo de inspector (cualitativa)
Ordinal
Total de aspirantes al cargo
de inspector en transporte.
j)
Cantidad de estudiantes que
optan por carreras pedagógicas
en un preuniversitario (cuantitativa discreta)
De razón
Total de estudiantes
preuniversitario
del
4. a) Falso. Si triplicamos la frecuencia de cada dato, como la media es un
cociente, en este caso aumentaría solamente el numerador. La media
también se triplica.
b) Falso. Si a cada una de las frecuencias de los intervalos de clase de
una tabla se le agregan dos datos, la clase modal se mantiene (no se
altera) pues a todos los intervalos se le agregó la misma cantidad y al
aplicar la fórmula está en sí depende de los datos de la clase modal
por tanto no varía la moda.
c) Verdadero. La mediana es el valor que divide los datos en dos partes iguales. Disminuir la misma cantidad en todas las frecuencias no
afecta la posición de la mediana, ya que la distribución relativa de
los datos no cambia.
d) Verdadero. Si cambia la media pues se incrementa la cantidad de
observaciones, aunque la marca de clase permanece igual.
e) Falso. La desviación típica se mantiene igual ya que la diferencia
(xi – x ) se mantiene constante aunque se adicionen tres a cada dato.
f) Falso. Pues el hecho de multiplicar por 1,10 no significa que aumentó
en 10 pesos el salario. Por ejemplo, los trabajadores que ganan 500
pesos se les incrementan en 50 pesos.
358
ANEXOS
5.2 a) El estudio de las características de las razas porcinas que mejor responden a las necesidades del mercado actual en el territorio en términos de:
Preferencias de los consumidores.
Adaptación a las condiciones locales.
Rentabilidad económica.
Potencial de comercialización.
b) Evaluar las características de las razas que mejor responden a las necesidades del mercado actual en el territorio como calidad de carne,
contenido graso, etc. (municipal, provincial, nacional o internacional) en el que pretenden insertar a la empresa con la finalidad de
presupuestar su desarrollo acorde con las características que requieren las razas seleccionadas.
c) Características de las razas porcinas, es cualitativa
Variable
Tipo
Escala
Raza porcina
Cualitativa
Nominal
Tasa de crecimiento
Cuantitativa continua
De razón
Prolificidad (lechones-partos) Cuantitativa discreta
De razón
Calidad de la carne
Cualitativa
Ordinal
Resistencia a enfermedades
Cualitativa
Ordinal
Adaptación climática
Cualitativa
Ordinal
Costo de alimentación
Cuantitativa continua
De razón
Demanda del mercado
Cualitativo
Ordinal
Precio de venta
Cuantitativo continua
De razón
359
MATEMÁTICA
d) Corresponde a una escala nominal
Nominal: razas (las que más abundan en el territorio).
Ordinal: calidad de carne (de primera, de segunda, de tercera), resistencia (baja, media, alta).
Razón: peso (masa) al sacrificio, costo de producción, precio de venta.
5.4 Dado que la escala es nominal, la codificación se realiza en correspondencia con las razas que fueron investigadas.
6. a)
Indicadores pertinentes
N
Válido
94
Media
1,18
Desviación estándar
0,927
Varianza
0,859
Mínimo
0
Máximo
4
Percentiles
25
0
50 (mediana)
1
75
2
Son estos los indicadores
porque se está en presencia de una variable cuantitativa discreta en escala de
intervalo.
b) Como es una variable cuantitativa discreta, la media (en este caso
1,18) es el indicador o estadístico que caracteriza el comportamiento de este tipo de variable estadística. La media en este ejemplo
significa que el promedio de la cantidad de niñas y niños que cumplen 5 años antes de finalizar el año es aproximadamente de 1 por
360
ANEXOS
cuadra. En el caso de la mediana, para este ejemplo significaría que
en el 50 % de las cuadras la cantidad de niñas y niños que cumplen
5 años antes de finalizar el año es menor o igual a 1. En el caso de la
varianza y la desviación típica (o estándar), en el ejemplo, los valores
hallados de estas medidas de dispersión son un tanto menor, lo que
indica que la distribución es homogénea a la media, es decir, es poco
dispersa.
7. a)
Indicadores pertinentes
N
Válido
Moda
Percentiles
100
Satisfecho
25
2
50 (mediana)
3
75
3
b) Puede elaborarse el gráfico de barras (figura R1) para comparar en
estado de opinión y el circular (figura R2) para observar cómo está
distribuido el estado de opinión del todo.
Fig. R1
361
MATEMÁTICA
Fig. R2
c) Como es una variable cualitativa ordinal o de rango, la mediana (en
este caso es Satisfecho) es el indicador o estadístico que caracteriza
el comportamiento de este tipo de variable estadística. La mediana
en este ejemplo significa que el 50 % de estos clientes considera sentirse satisfecho o más que eso con relación a la calidad de atención
del servicio.
8. a)
Variable: cantidad de almuerzos vendidos por día en el restaurante El Cochinito, en una muestra de 50 días
362
Puntajes
Frecuencia
Porcentaje
Porcentaje
acumulado
21
1
2,0
2,0
23
1
2,0
4,0
29
1
2,0
6,0
31
1
2,0
8,0
32
1
2,0
10,0
35
1
2,0
12,0
37
2
4,0
16,0
39
1
2,0
18,0
ANEXOS
Variable: cantidad de almuerzos vendidos por día en el restaurante El Cochinito, en una muestra de 50 días
Puntajes
Frecuencia
Porcentaje
Porcentaje
acumulado
43
1
2,0
20,0
44
1
2,0
22,0
47
2
4,0
26,0
49
1
2,0
28,0
51
1
2,0
30,0
53
2
4,0
34,0
54
1
2,0
36,0
55
1
2,0
38,0
56
1
2,0
40,0
57
3
6,0
46,0
58
2
4,0
50,0
63
1
2,0
52,0
67
1
2,0
54,0
68
1
2,0
56,0
69
1
2,0
58,0
72
2
4,0
62,0
73
1
2,0
64,0
74
1
2,0
66,0
75
1
2,0
68,0
80
3
6,0
74,0
81
5
10,0
84,0
82
2
4,0
88,0
83
1
2,0
90,0
85
2
4,0
94,0
92
1
2,0
96,0
96
1
2,0
98,0
363
MATEMÁTICA
Variable: cantidad de almuerzos vendidos por día en el restaurante El Cochinito, en una muestra de 50 días
Puntajes
Frecuencia
Porcentaje
Porcentaje
acumulado
97
1
2,0
100,0
Total
50
100
Intervalos
de
clase
Marca de
clase
Frec.
Absoluta
Frec.
Relativa
Frec.
Absoluta
Acum.
[21; 31)
26
3
0,06
3
0,06
[31; 41)
36
6
0,12
9
0,18
[41; 51)
46
5
0,10
14
0,28
[51; 61)
56
11
0,22
25
0,50
[61; 71)
66
4
0,08
29
0,58
[71; 81)
76
8
0,16
37
0,74
[81; 91)
86
10
0,20
47
0,94
[91;101)
96
3
0,06
50
1,00
50
1,00
TOTAL
Fig. R3
364
Frec. Relativa
Acum.
ANEXOS
Fig. R4
b)
Indicadores pertinentes
N
Válido
50
Media
62,06
Mediana (segundo cuartil)
60,50
Desviación estándar
20,002
Varianza
400,098
Mínimo
21
Máximo
97
Percentil 25 (primer cuartil)
47
Percentil 75 (tercer cuartil)
81
Son estos los indicadores
porque se está en presencia de una variable
cuantitativa discreta en
escala de razón.
365
MATEMÁTICA
Fig. R5
c) Como es una variable cuantitativa discreta, la media (en este caso
62,06) es el indicador o estadístico que caracteriza el comportamiento de este tipo de variable estadística. La media en este ejemplo
significa que el promedio de la cantidad de almuerzos vendidos en
estos 50 días es de 62 aproximadamente. En el caso de la mediana,
para este ejemplo, significaría que el 50 % de estos días tiene una
cantidad de almuerzos vendidos mayor o igual a 61 aproximadamente. En el caso de la varianza y la desviación típica (o estándar)
muestran la variabilidad de la distribución indicando si los diferentes puntajes de la variable que se estudia están muy alejados de la
media. En el ejemplo, los valores hallados de estas medidas de dispersión son un tanto mayor, lo que indica que la distribución es poco
homogénea a la media, es decir, es bastante dispersa.
Recomendaciones: investigar los factores que causan tanta variabilidad (días de semana contra fin de semana, clima, eventos especiales)
para estabilizar las ventas, especialmente para evitar días con muy
bajas ventas o nulas.
366
ANEXOS
9. a) No es tan homogéneo, pues el valor de su desviación estándar no es
pequeño
(S ≈ 13, 21 ya que su varianza es S 2 = 174 , 49).
b) No, pues el valor de la mediana para estos datos agrupados en intervalos de clase es de 46,50.
c) Si, pues el intervalo 41,5; 51,5 es la clase modal.
Epígrafe 2.2 Probabilidades
1
6
2.
1
3
3. Imposible
6. 0,8
7.�
1 4
;
9 9
8.
1.
11.
1
6
12. a)
1
6
b)
1
6
1
3
9.
4. 0,6
5
12
5.
10.
3
28
1
12
13. 0
14. Obtener 10 puntos porque la probabilidad de obtener una suma de
27
25
10 puntos es
mientras que la suma de 9 puntos es
.
216
216
15. a) 12 %
b) 30 %
c) 17 %
16. a) 0,95
b) Probabilidad de falso positivo: 0, 05 0, 98 0, 049
17. a) 0,3
b) 0, 7 0, 7 0, 49
18. a) x = 30, 2 cm
b)
20
= 40 %.
50
2.3 Combinatoria. Principios básicos de la teoría combinatoria
1. 180 2. 15
3. 9
4. 25 y 20
5. 153
6. 12
7. 147
8. 30
9. 1 080
10. 12
11. 24
12. a) 36
b) 9
14. 125 y 75
c) 27 d) 12 e) 16 13. 49 y 42
15. 450
16. 200
17. 9 000
367
MATEMÁTICA
18. 5 832
22. 768
19. 738
20. 103 920
21. 1 024
23. 62
24. 87 ; 1 871 (sin incluirlos ); b – a + 1 (incluyendo los extremos)
25. a) 5
b) 21
c) n + 1
28. 30 29. a) 50 %
26. 15
27. 8
b) 10 %
30. La cantidad de muchachas que no practican deportes ni tienen buenas notas es negativa (–2), lo cual es imposible.
31. 10 %
32. a) 2 b) 9 c) 8 d) 25 %
Variación y combinación
33. Son 30 variaciones diferentes: AB; AC; AD; AE; AF; BA; BC; BD; BE; BF;
CA; CB; CD; CE; CF; DA; DB; DC; DE; DF; EA; EB; EC; ED; EF; FA; FB; FC;
FD; FE
34. Son 24 variaciones diferentes: 123, 124, 132, 134, 142, 143, 213, 214,
231, 234, 241, 243, 312, 314, 321, 324, 341, 342, 412, 413, 421, 423,
431, 432.
35. 2 520
36. V47 = 840
37. V230 = 870
40. V35 = 60
41.
=
V35 60
=
; V24 12
44. P4 = 24 ;
P3 = 12
38. P8 = 40 320
42. V25 = 20
39. V26 = 30
43. V16 V26 V36 156
45. Son 6 permutaciones: (azul rojo blanco) (azul blanco rojo) (rojo azul
blanco) (rojo blanco azul) (blanco rojo azul) (blanco azul rojo).
46. P4 = 24 (AMOR; AMRO; AOMR; AORM; ARMO; AROM; MAOR; MARO;
MOAR; MORA; MRAO; MROA; OAMR; OARM; OMAR; OMRA; ORAM;
ORMA; RAMO; RAOM; ROMA; ROAM; RMAO; RMOA).
368
ANEXOS
=
47. P9 362
=
880 ; P7 5 040
1
50.� P7 2 520
2
48. P6 720 6! 2 5! 480
56.C 2n
n n 3
54. C 320 = 1140
55. C 212 C 24 1 61
60
58. � 45 ⋅C 20
57. 8 C 26 120
2
17
15
C10
3 185
59. C12
60. a) 3 b) 116
61. C 610 C 610 1 C 610 2 9 129 120
63. C 36 = 10
64. 243; 768
66. a)P9 = 362 880
67. C 810 = 45 ;
52. C 48 = 70
51. ABC; ABD; ACD; ADE; BCD; CDE
53. C 220 190 C 320 1 140
62. 10
65. P4 = 24
b) 2 P4 P5 5 760 c) P4 P6 17 280
10
C10
+ C 910 C 810 56
20 20 20
69.
3 2 1
70.
49. P4 = 24
d) P4 P5 2 880
68. C 24 ⋅ C 47 + C 34 C 37 C 44 C 27 371
2 P1 P2 1
P4
3
71.
2 1
=
C 25 5
72. 0,4
73. No. Tienen aproximadamente 44.4% de posibilidades.
74.
V46
5
=
1296 18
75. a)
C 24
1
=
12
C 2 11
77. a) 66
b) P5 P7
c)
c) 22,7 %
78. a) 12 b) 60 % c) 30 %, 40 %, 60 %
79. 79.1 a) 20! ⋅ 10 !
80. a) 1,5 %
C18 C14 16
33
C 212
C 28 14
=
C 212 33
b)
20
b) 10
3
b) 92, 7% 81. a) 0,25
6
82. a) V327 V310 252 720 000
3
d)
c) 30 ⋅ 29 ⋅ 28
10
11
76.
7!
≈ 0, 006
77
79.2 25%
b) 10
b)
1
252 720 000
369
MATEMÁTICA
Epígrafe 2.4 Teorema del binomio
1. a) m6 + 6m5n + 15m4 n2 + 20m3n3 + 15m2n4 + 6mn5 + n6
b) a4 + 12a3 + 54a2 + 108a + 81
c) a5 5a4 b 10a3 b2 10a2 b3 5ab4 b5
3
3
1
d) h3 h2 h
2
4
8
11
2. a) 165;
8
5
b) 22 40
2
3. a) x 3 + 6 x 2 y + 12 xy 2 + 8 y 3
b) 16x 4 + 160 x 3 y + 600 x 2 y 2 + 1 000 xy 3 + 625 y 4
c) 4 + 8 2a + 12a2 + 4 2a3 +a4
d)
1
1 12 3 10
15 8 2
5 6 3
15 4 4
3
v6
u
u v
uv
uv
uv
u 2v 5
4 096
64
64
256
128
1 024
1 024
4. a) –3 003x 10 y 5
14
5. a)
7
9 27
b)
6 64
6. a) 2 x 4 + 12 x 2 + 2
7. a) 32
b) −960a3 x 7
7
c) 32
5
c) 2 268 x 6 y 3
d) 320 320 a6 b9
3n
d)
n
b) 24a + 128a3
b) 8
Ejercicios del capítulo
1. a)
Sexo
Válido
370
Frecuencia
Porcentaje
Femenino
23
41,8
Masculino
32
58,2
Total
55
100,0
Moda
Masculino
ANEXOS
Color de la piel
Válido
Frecuencia
Porcentaje
Blanco
23
41,8
Mestizo
22
40,0
Negro
10
18,2
Total
55
100,0
Moda
Blanco
Opinión de la calidad de la preparación que reciben
Frecuencia Porcentaje
Válido
Moda
Mediana
Buena
y
Muy
buena
Buena
Porcentaje
acumulado
Mala
2
3,6
3,6
Regular
7
12,7
16,4
Buena
23
41,8
58,2
Muy
buena
23
41,8
100,0
Total
55
100,0
Tipo de carrera por la que opta
Válido
Frecuencia
Porcentaje
C. Técnicas
13
23,6
C. Naturales y Matem.
6
10,9
C. Pedagógicas
8
14,5
C. Médicas
9
16,4
C. Económicas
5
9,1
C. Soc. y Humanist.
5
9,1
C. Agropecuarias
4
7,3
Arte
2
3,6
Cultura Física
3
5,5
Total
55
100,0
Moda
C. Técnicas
371
MATEMÁTICA
Indicadores pertinentes
Resultados docentes
en Matemática
10.o grado
11.o grado
55
55
Media
92,380
93,064
Desviación estándar
5,6504
5,6186
Mínimo
74,5
71,5
Máximo
99,3
99,5
25
89,700
91,000
50 (mediana)
93,000
94,000
75
96,500
97,000
N
Percentiles
Válido
b)
Fig. R6
372
ANEXOS
Fig. R7
Fig. R8
Fig. R9
373
MATEMÁTICA
Fig. R10
c) El grupo de 55 estudiantes de 12.o grado, seleccionados al azar, se caracteriza por ser del sexo masculino y predominar el color blanco de la
piel, así como tener una buena opinión de la calidad de la preparación
que reciben y la carrera de más preferencia es la de Ciencias Técnicas.
En cuanto a los resultados docentes de los 55 estudiantes en 10.o grado
en la asignatura Matemática, el indicador o estadístico que caracteriza
este tipo de variable estadística es la media, en este caso significa que
el promedio de los resultados docentes de 10.o grado en Matemática
es aproximadamente de 92,4 puntos. Mientras que la mediana indica
que, en el 10.o grado el 50 % de los estudiantes de la media alcanzaron
resultados docentes mayores o iguales a 93 puntos, en esa asignatura.
En el caso de la desviación típica (o estándar), el valor obtenido indica
374
ANEXOS
que la distribución es homogénea a la media, es decir, es poco dispersa;
esto se corrobora en su correspondiente diagrama de cajas, en el que
se muestra poca dispersión o poca variabilidad entre los cuartiles 25, 50
y 75.
En cuanto a los resultados docentes de 11.o grado en Matemática, del
grupo de 55 estudiantes, la media es el indicador o estadístico que caracteriza el comportamiento de este tipo de variable estadística. La media en este caso significa que el promedio de los resultados docentes de
11.o grado en Matemática es de 93 aproximadamente. En el caso de la
mediana, indica que el 50 % de estos estudiantes lograron resultados
docentes mayores o iguales a 94 puntos en la asignatura. En el caso de
la desviación típica (o estándar), el valor hallado indica que la distribución es homogénea a la media, es decir, es poco dispersa; esto se puede
corroborar en su correspondiente diagrama de cajas, en el que se muestra poca dispersión o poca variabilidad entre los cuartiles 25, 50 y 75.
2.
11
12
3. a)
48
125
b)
12
125
c)
1
125
4. a) A B C A B C C A BC C AC B C
A B A B C
b) P (2 fallos ∪ 3 fallos) = 0, 028 (2,8 %)
5. a) 16
b) 23 c) 18,18 %
7. a) P7 = 5 040
9. a)
C 29 36
=
C 214 91
11. a) 20
b)
b) C 29 = 36
b)
5 9 45
C 214 91
20
1
=
16
C4
91
6. 36
c) C 27 ⋅ C 29 = 756
c)
55
91
12. a) 9! = 362 880
8.
10.
1
1
=
5
C 4 120
2
27
b) C 38 = 56
c)
1
21
375
MATEMÁTICA
13.
Fig. R11
a)
7
5
b) 10
2
14. a) 4! = 24
c) 32
d)
12
= 0, 48
25
48%
b) 3! = 6
15. a) 6! = 720
b) 2 5! 240 (tratar los dos átomos como uno solo y multiplicar por 2)
16. a) Me ≈ 283ms
b)
17. a) 0, 375 37,5 %
18. a) 0, 8171 81, 71 %
5 12
100 56, 67 %.
30
b)
15
93, 75 %
16
b) 1 140
12
19. a) 792
5
10
b) 252 (excluyendo los 2 enfermos)
5
15
20. a) 1 365
4
14
b) 364 (elegir 3 de las 14 restantes)
3
376
ANEXOS
Autoevaluación
1.
Proposición
Clasificación
Justificación
a)
F
La estadística estudia datos para tomar decisiones, mientras que la probabilidades modela fenómenos aleatorios.
b)
F
La Estadística Descriptiva se dedica a estudiar
la descripción y caracterización de un universo,
representado por un conjunto de datos para derivar conclusiones acerca de ese universo. Estudia toda y cada una de las observaciones de la
población.
c)
F
La muestra es una parte REPRESENTATIVA de
toda la población, que no depende necesariamente de su tamaño.
d)
F
Las variables discretas tienen su recorrido numerable con valores enteros, pero pueden ser
divisibles (conteo de objetos).
e)
F
En las escalas ordinales se utilizan cualidades
para generar categorías y como su nombre lo
indica generan un orden explícito. (alto, medio,
bajo).
f)
V
g)
F
La media aritmética es una medida de tendencia central que representa el valor típico o central de un conjunto de datos, indica el punto de
equilibrio de una distribución de datos (la varianza o la desviación estándar son las que dan
esa variabilidad alrededor de un valor).
h)
F
La moda es el valor más frecuente, pero no necesariamente supera el 50%. (Ejemplo: 1; 1; 2; 3 ,
la moda es 1 con 50%).
377
MATEMÁTICA
Proposición
Clasificación
Justificación
i)
V
La Desviación Típica o Estándar es una medida
de dispersión que mide cuánto se desvían los
datos respecto a la media, no respecto a la
mediana.
j)
V
k)
V
l)
F
En parte. Es común que la Desviación Típica o
Estándar mide cuánto se desvían los datos con
respecto a cierto valor central, por lo general la
media; pero puede ser también la mediana.
m)
F
Los fenómenos deterministas se rigen por leyes
exactas y la Teoría de las Probabilidades proporciona modelos matemáticos para la descripción
de fenómenos aleatorios sobre todo casuales.
n)
F
Uno de los axiomas de las probabilidades plantea que esta no es negativa pero tampoco mayor que 1. Es decir:
La probabilidad de un suceso cualquiera A es
0 P A 1
ñ)
V
o)
F
Las variaciones de n objetos tomados p a p, son
ordenaciones de p elementos que se pueden
formar con los n objetos.
2.
Proposición Clasificación
378
Justificación
a)
F
La variable estudiada es cuantitativa continua,
pues las notas pueden tomar cualquier valor en
un intervalo real. (Ejemplo, 87,3).
b)
F
El límite inferior real de la clase mediana es
84,5.
ANEXOS
Proposición Clasificación
Justificación
c)
F
La nota más frecuente, es decir la moda la cual
está en la clase G: [85; 90) es aproximadamente
87,8 puntos.
d)
F
Los estudiantes suspensos son 15 de 180, que
representan el 8,3 % del total.
e)
V
f)
V
19. a) P(AABB) =
1
16
b)
9
16
2.2
a) 39 pulsaciones por minuto
b) 111-120
c) 60 maneras diferentes.
d) 20 %
3.
a)
Variable: calidad del servicio de atención al cliente.
Clasificación de la variable: Cualitativa.
Tipo de escala: Ordinal.
Valores de la variable: 1: muy insatisfecho, 2: insatisfecho, 3: satisfecho,
4: muy satisfecho.
Población: 50 clientes encuestados.
379
MATEMÁTICA
Capítulo 3
Epígrafe 3.1 Introducción a los números complejos
2.
Proposición
Clasificación
Justificación
a)
V
0: representa el cardinal del conjunto que no
tiene elementos. El número cero representa el
cardinal del conjunto vacío (ya que se define el
conjunto que no tiene elementos A � y su
cardinal � # A = 0).
b)
F
3
no representa el cardinal de ningún conjunto.
2
c)
V
d)
V
tan
3 , 3 ∈ I y I ⊂ R.
3
7, 66 =
766
, que es racional (es el cociente en100
tre dos números enteros).
e)
F
I: representa el conjunto de los números irracionales (las expresiones infinitas no periódicas) y : el dominio de los números racionales
(las expresiones decimales periódicas, sin periodo 9). Son conjuntos disjuntos, es decir;
I .
f)
V
g)
V
–6, es el opuesto del número natural 6.
4,7 =
43
, que es fraccionario (es el cociente
9
entre dos números naturales).
380
h)
V
400 = 20 y 20 es el cardinal de todos los conjuntos que tienen 20 elementos.
i)
F
log 0, 01 2 , y –2 no representa el cardinal de
ningún conjunto.
ANEXOS
Proposición
Clasificación
j)
V
Justificación
log2 0, 25 log2
1
log2 2 2 2 y –2 no re4
presenta el cardinal de ningún conjunto.
3. a) N
b) R
c) Z
d) R
4. 4.1 A = 1; 3; 4 ; 9
C = 1;3; 4;9;0, 6;0,5;0, 8
B = 0, 6 ; 0,5; 0, 8; 3; 4 ; 9
4.2
Fig. R12
5
1
B ; 0; 1; 25 ; ; 2, 09
3
2
5. A 0; 25
1 5
C ; ; ; 2, 09; 6 ; e
2 3
5
1
D ; 0; 1; ; 25 ; ; 2, 09; 6 ; e U
3
2
F
E 0; 1; 25
6.
Proposición Clasificación
a)
Justificación
2
R, 23 ∈ R, e2 ∈ R , 5 ∈ R .
2
4
V
sen
b)
F
e2 e Z
c)
F
1
5
2sen 1 ,
sen , 2sen
6
4
6
6
1
2
1∈ , 16 4 , log2 ∉
381
MATEMÁTICA
Proposición Clasificación
d)
F
Justificación
2
1
5
ln 2
e
2 ,
sen , 2sen
6
4
6
1
∈ , 1 ∈
3
2
7. a) R
b) +
c) R
d) N
8. a) S 3 ; por tanto, existe una solución en U = Z.
b) S 1 ; por tanto, existe una solución en U = Z.
c) x1 1 o x2
en U = .
m
; m n 0; por tanto al menos tiene una solución
m n
d) 3 0 ; no tiene solución real, por tanto, no existe solución en U = R.
9. a) V, porque el conjunto de los números complejos da solución a las
insuficiencias del dominio de los números reales, luego, este es un
subconjunto.
b) F, porque el conjunto de los números naturales, forma parte de los
reales, luego, es un subconjunto de los números complejos.
c) F, porque a lo sumo significa que, no tiene más de una solución compleja, sin embargo, al resolver la ecuación el discriminante es negativo y sus dos soluciones son complejas.
d) F, porque el conjunto de números complejos no es un subconjunto
de los números reales, luego, ninguno de sus elementos pertenece
a los reales.
10.
a) R
b) +
c) Z
d) N
e) C
f) R
g) N
h) Z
i) N
j) C
k) ℚ
l) R
m) C
n) C
ñ) N
11. Número real: b); d); g); h); i); k) ;
f); j); l)
382
Número imaginario puro: c); e);
ANEXOS
12. a) nunca
b) siempre
c) siempre
d) nunca
e) siempre (su resultado)
13. a) F, porque es –4.
b) V.
c) F, porque la parte real debe ser cero y la parte imaginaria diferente
de cero
d) F, Un número es real cuando la parte imaginaria es 0.
e) F, el 1 pertenece a ambos conjuntos por tanto pertenece a la intersección o P Q 1;5 .
f) V.
g) F, para que un elemento pertenezca a la unión de dos conjuntos es
necesario y suficiente que pertenezca a uno de los conjunto, 6i ∈ B.
h) V
i) V
j) F, para b2 4ac 0 las soluciones no son reales o un contraejemplo
(x 2 4 0, x 2i que son soluciones imaginarias, luego, no pertenecen a ).
Epígrafe 3.2 Relaciones y operaciones entre números complejos en forma binómica
1. a) x1 = 2 ; y1 = 3 o
x2 = − 1; y2 = − 6;
b) x1 = 1, y1 = 3; x2 1, y 2 = 3; x3 = 1, y 3 3 o x 4 1, y 4 3;
c) x = 2; y = 1
d) x = 1; y = 1
2. a) 8 + 5i
b) 5 + 12i
c) – 3 + 7i d) 13 – 9i
e) – 16 − 9i
f) – 1 − i
g) – 4 + 3i
h) 7 + 6i
383
MATEMÁTICA
i) 9 − 2i
j) 12 – 2i
k) 6
m) 1
n) –10 – 7i
ñ) 13
13
2
+ i
15
3
q) 0,138 + i
r)
b) 6
c) 10i
d) 20 + 8i
p) −
3. a) 18 + 14i
3
− 0, 9i
4
l) 3 + 3i
o) (2p + n) −
s) 1
6q + m
i
2
t) 0,75
e) − 20 – 15i
f) –
1
− i
2
g) 13
h) 26 – 13i
i) 8 − 10i
j) – 8 + 9i
k) − 39 + 39i
l) 3
4. a) 7,5 + 5i
b) 32 + 11i
c) 10 + 5i
d) –4 + 8 5 i
5. a) 2 − 2i
b) −11 − 4i
d) 3i
6. a) − 4 – 9i
c) 15 + 5i
e) 8,5 2 3 i f) 4 − 9i
b) 7,64
c) – 66
d) 24i
e) 4i f) 4 2 i
g) 2 – 2i
h) 6 − 4 5 i
7. a) VT 7 5i
b) Número imaginario: Parte real: 0; Parte imaginaria: –5
8. a) zT z1 z2 5 i
b) z1 y z2 son números complejos, tanto la parte real como la parte imaginaria de cada uno son distintas de cero.
9. a) x1 = 1; y = 7 o x2 = 2; y = 7
b) x =
8
4
; y=
3
3
c) x1 = 0 ; x2 = 1 ; y1 2 ; y 2 = 1
d) x = 0 ; y = 2
e) x1 = 0 ; x2 = 4 ; y1 = 4 ; y2 = 0
384
ANEXOS
f) x = −
17
16
; y=−
3
3
g) x = − 2 ; y = 25
h) x = 4 ; y = 0
i) No existen
j) No existen
k) x = 1 ; y = − 3
l) No existen
m) x = –1 ; x = 3 ; y = 3
n) x = 2,5 ; y ∈ R
ñ) No existen
o) x = 0 ; y = 3
10. a) x = −
23
15
; y=
26
26
b) x =
29
31
; y=
17
17
c) x = −
11
13
; y=
29
29
d) x = 1 ; y = 1
11. a) R: 3 ; I: − 4 b) R:1 ; I: 2,5
c) R: x – xy + 3 ; I: − 4
d) R: x2 + y2 ; I: 0
e) R: 8 ; I: − 1 f) R: –2 5 + 1 ; I: 2+ 5
g) R: 0 ; I: 3 h) R: 0 ; I: − 1
i) R: 5, I: − 2 j) R: 5 ; I 2 + 1
1
k) R: 50,6 ; I: −10 4 l) R: − 1,5 ; I: 3,5
m) R: (−4x – y) 2 3 ; I: (2 − 3 ) (xy – 4)
n) R: −119 ; I: −120
ñ) R: 4 ; I: −2
12. a) imaginario puro si: x = 3; real si: y =
1
2
.
b) imaginario puro si: x = –3 o x = 5; no existe: y ∈ R .
c) imaginario. puro si: x = 3 o x =
1
; real si: y = 2.
8
385
MATEMÁTICA
13. a) a = − 5; b = − 4
b) a = 5
e) b a 1 f) a =
c) b = − 4
d) b = 6
25
; b 1
b 1
14. a) k = 2 b) k = 3
15. c) x = 2 ; y = 6
3
+ 2i
2
b) – 5 – i
c) 2 + i 3 log 5
e) 2 +i
f) 2,08 + 2,46i
g) –5 + 4i
j) – 31 – 38i
k) 7
16. a)
3 6 4 i
o)
ñ) 2
p)
h) – 4
125 2 2 i
4
n) 6 5 – 9i
m) 23 + 3i
l) 3 100 +
d) – 1 − 2 6i
2
2
+
i
2
2
q) − 2i
s) 3 i
2
2
−
i
2
2
r) log 5 + (31,5 + log 3)i
t) 4
17. z = 33 + 26i.
18. R (z) = 0 ; I: (z) = –3
1
3
1
3
i o z
i
20. a) z = 0; z = 1; z
2 2
2 2
b) z = 0; z 1; z
21. a)
386
3 1
– i
2 2
b)
1
3
1
3
i o z
i
2 2
2 2
9
2
+ i
17 17
c)
5
2
5 14
− i
d) 13 13
i) 4
ANEXOS
90 80
–
i
29 29
g)
2 2
+ i
3 3
e) 3 – i
f)
i) 2,2 + 0,4i
j) –1 + i
a) z = 5
b) z = 25
c) z = 2
d) z = 1
e) z = 2
f) z = x2 + y2
g) z = 2 2
h) z = 3 3
i) z = 1,73
j) z = 17
k) z = 25
l) z = 7
23. a) w = 3, 25
b) w = 7
c) w = 2 2
d) w = 26
k) 11 – 10i
h) 0
l)
1 3
i
4 4
22.
24. a) s =
26. a) 3 – i
2
2
2
2
c) s
c) 2,5 – 1,5i
d) −
11 60
–
i
61 61
e) −
5 12
–
i.
13 13
c) –2 + 2i
d) –i
e)
3 1
3 1
i
2
2
b) s =
b) – 2i
73
3
27. 2
28. a) –i
b) 3 1
3 1 i
29.
a) V.
b) F, w1 w 2 2 4i.
c) V.
387
MATEMÁTICA
d) F, el opuesto es 2 − i.
e) V.
30. a =
1
2
31. a) x = −
y
b=0
2 1
+ i
5 5
b) x = −
1
2
c) x =
1 15 2
i
+
41
41
d) x = –0,9 + 0,2i
33*. a) k = –8
b)
k=
1
2
b) z1 1 2i ;
34. a) z1 = 1,5 − i ; z2 = − 2,5
1
5
c) z1 = 1 +1 i ; z2 = − 1 – i
7
7
35*. z = 3 – i y z = 1 + i
z2 2 4i.
d) z1 = 1+ i ; z2 = 2i
o z=−1–i y z=−3+i
36*. Los números son 2 + 3i y − 2 − 4i
6
38. a) z1 = ± 3i ; z2 = ± i
2
d) z1,2 = −
1
3
±
i
2
2
f) z1 = 0 ; z2 = 2 i
h) z1 = 4 ; z2,3 = − 2 ± 2 3i
k) z1,2 = 0,5 ±
39.
388
19
i
2
b) z1 = 0 ; z2 = 3
c) z = ± 15i
e) z1 = 3 + i ; z2 = − 3 + i ; z3 = − 2i
g) z1 = 0 ; z2 = 2 + 2i ; z3 = − 2 – 2i
i) z = ±i
l) z1 = 1 ; z2 2 1
j) z1,2 = 1,5 ±
7
i
2
39.1
a)
R :a − 1 y I : b
R :x + 2
w1
w2
w3
w4
Complejo real si
R :7 y I : y
z4
R : − 3 y I :1
x ∈R
I :2 x − 1
y
No es real ni imaginario: es complejo
x 2
Complejo real si x =
Imaginario puro si 2
b ≠ 0 y a=1
Imaginario puro si
b=0
Complejo real si
a R : a 1y
1
Complejo real
R :2 y I :0
z3
a, b ∈ R
Imaginario puro
R :0 y I : − 6,5
z2
y =0
6
No es real ni imaginario: es complejo
R :3 2 y
I :− 3 2
2
5x2 + 5
a2 b2 2a 1
49 + y 2
2
6,5
2 3
No es real ni imaginario: es complejo
z
R :− 3 y I :– 3
b)
Clasif.
z1
RyI
3 −i
x 2 2 x 1 i
a 1 bi
−7 − yi
2 cos 180o
6,5i
3 2 3 2 i
3 + 3i ,
z
c)
− 3 −i
x 2 2 x 1 i
a − 1 − bi
7− y
−2 cos 180o
6,5i
3 2 +3 2i
3 3i
z
MATEMÁTICA
39.2
a)
a=8
b)
y =b
x =5
c)
y =9
a 1 3
b =1
d) −36i
e) 32
39.3
a) 3 10,5i b) 18 2 3 6i
f) 8i
g) 2 − 2i
c) 12
h)
3 i
6 2
ı) −
3 3i
−
2
2
40. a) 2 i . Parte real: 2 y la parte imaginaria: –1 b) 5
Epígrafe 3.3 Forma trigonométrica de los números complejos
Representación geométrica de números complejos
1.
Fig. R13
390
ANEXOS
3. a) – 1 + i ; − 1 – 2i ; 3 – 2i; 3 + i
b) 1 + 2i ; 5 + 2i; 3 + 5i
c) – 2 + 2i ; – 3 ; 1; 2 + 2i
d) 0; 6; 5 + 3i; 1 + 3i .
4. a) 4 y 3i
c) 4 y 1 + 2i
b) 4; − 2 + 3i y 2 + 3i
d) 6; 1 + 3i ; 4 y −1 + 3i.
5. a) diagonales 5,0 u; forman ángulos de 73,8° y 106,2° (lo opuestos son
iguales).
b) lado base: 4,0 u; ángulos bases 56,3° y ángulo principal 76,4°.
c) lados bases 4,0 u y 6,0 u; lados no paralelos 3,16 u (es un trapecio
isósceles); diagonales: 5,83 u; ángulos: 108,4° y 71,6°.
7*.
a) Anillo centrado en el origen con radio interior 2,0 u y radio exterior
4,0 u (abierto) (figura R14).
Fig. R14
391
MATEMÁTICA
b) Disco cerrado, centrado en 1; 0 con radio 3, 0 u (figura R15).
Fig. R15
2
3
c) Exterior de un disco abierto con centro 0; 0 y radio u (figura R16).
Fig. R16
d) Exterior de un disco abierto centrado en i 0;1 con radio 2, 0 u (figura R17).
Fig. R17
392
ANEXOS
e) Disco abierto centrado en 1+ i 1;1 y radio 2,0 u (figura R18).
Fig. R18
f) Anillo centrado en 2 − i 2; 1 con radio interior 1,0 u (abierto) y radio
exterior 3,0 u (cerrado) (figura R19).
Fig. R19
g) Circunferencia centrada en el origen con radio 2 u (figura R20).
Fig. R20
393
MATEMÁTICA
h) Circunferencia centrada en –1 1; 0 con radio 3, 0 u (figura R21).
Fig. R21
i) Recta vertical que es mediatriz del segmento que une 0; 0 y 1; 0 , es
1
decir; x =
(figura R22).
2
Fig. R22
394
ANEXOS
j) Recta que es la mediatriz del segmento que une 1; 0 y 0;1 , es decir;
y = x (figura R23).
Fig. R23
k) Recta que es la mediatriz del segmento que une (1;1) y 1; 1 , es
decir; y x (figura R24).
Fig. R24
395
MATEMÁTICA
l) Semiplanos a la izquierda de la recta vertical x = 1 (excluyendo a la
recta) (figura R25).
Fig. R25
m) Semiplanos a la izquierda de la recta vertical x = 3 (incluyendo a la
recta) (figura R26).
Fig. R26
396
ANEXOS
n) Banda vertical entre las rectas x 1 (incluida) y x = 5 (excluida) (figura R27).
Fig. R27
ñ) Es el conjunto de todos los puntos de la recta horizontal y = 3 (excluyendo la recta) (figura R28).
Fig. R28
397
MATEMÁTICA
o) Semiplanos por encima de la recta horizontal y 1 (incluyendo la
recta) (figura R29).
Fig. R29
r) Es el conjunto de todos los puntos del plano complejo que satisfacen
la ecuación de la parábola y 2 2 x 1 (figura R30).
Fig. R30
398
ANEXOS
s) Es el conjunto de todos los puntos del plano complejo que satisfacen
la rama derecha de la hipérbola
2
2
x
y2
3
1 (figura R31).
1
1
9
3
Fig. R31
u) El conjunto es una recta en el plano complejo que satisface la ecuación de la recta x y 2 0 (figura R32).
Fig. R32
399
MATEMÁTICA
v) Semiplanos por debajo de la recta x y 3 0 (incluyendo la recta)
(figura R33).
Fig. R33
w) Recta y = x (figura R34).
Fig. R34
400
ANEXOS
x) Semirrecta x ≥ 0 en el eje real (parte no negativa del eje x ) (figura
R35).
Fig. R35
y) Es el punto origen del plano complejo (figura R36).
Fig. R36
401
MATEMÁTICA
z) Es el conjunto de todos los puntos del plano complejo que satisfacen
la condición y ≥ 0 (figura R37).
Fig. R37
8*.
a) Es una traslación del vector 2; 0 , (traslación vertical hacia abajo
2 unidades).
b) Traslación por el vector (1;-1), (traslación diagonal hacia la derecha
1 unidad y hacia abajo 1 unidad).
c) Es una traslación de vector 4 ; 0 , (traslación hacia la izquierda en
4 unidades).
d) Reflexión sobre el punto 0,5 seguida de una reflexión sobre el eje
real.
e) Es una homotecia (escalamiento) con centro en el origen y factor de
escala (de razón) 2.
f) Reflexión respecto al origen, homotecia con 2 y traslación vertical
hacia arriba en 1 unidad.
g) Homotecia con centro en el origen y razón
2
(contracción).
2
1
h) Reflexión respecto al origen seguida de una homotecia con razón .
3
402
ANEXOS
1
3 1
i) Es una homotecia centrada ; , de razón .
3
2 2
j) Rotación 45° y homotecia por razón 2.
l) Rotación de 90° y homotecia por razón 2.
m) Rotación de 90 y centro en 0; 0 .
n) Reflexión respecto al origen (inversión central).
ñ) Es una simetría central respecto al origen de coordenadas y una
homotecia de razón 3.
o) Rotación de 90° seguida de una traslación horizontal hacia la izquierda en 1 unidad.
p) Es una rotación de 90° alrededor del 1; 0 .
q) Homotecia con razón 2 (duplica el módulo de z).
9*. a) z´ = z + 2;
d) z´ = z ∙ i;
g) z´ =
b) z´ = z – 2 +
1
i;
2
2
2
e) z´ = z ∙
i ;
2
2
1
(− 1 + i + z);
2
h) z´ = z;
j) z´ = − z; k) z´ = − z + 4 – 2i;
m) z´ = − z − 2;
n) z´ =
1
z (1 − i)2;
2
2
2
o) z´ = 5(z – 3 – 4i)
i + 3 + 4i
2
2
c) z´ = z + 2 (1 + i);
f) z´ = 3z;
i) z´ = − z;
l ) z´ = z + 2i;
ñ) z´ =
1 2
2
z
i
2 2
2
10*. Se ha trasladado z en dirección de la diagonal del tercer cuadrante y
se rota un ángulo de 60° con centro en el origen. El punto invariante es:
z
1 3 1 3
i
2
2
403
MATEMÁTICA
11*. El triángulo formado por z1, z2 y z3 es equilátero cuando el argumento
2
4
es
o
. Si z 1 no se forma un triángulo. Si z = ±i se
3
3
forma un triángulo isósceles.
12*. Con la distancia, 2d, entre los dos árboles y las de las caminatas desde la horca hasta las estacas, HP , PE1 y PC , CE2 se construye a escala la
figura R38 en el plano complejo z, donde el cedro zC y la palmera zP
quedan en el eje real y la horca zH y el tesoro zT , en el imaginario.
La solución es: zT = − izP , donde zP = d.
Fig. R38
El joven pudo haber encontrado el tesoro sin saber de la ubicación de
la horca, usando números complejos:
Tesoro
zP zC zC zP
i.
2
2
Expresiones trigonométricas de números complejos
13. a) 2 cis 180°
b) 2 cis 90°
c) 2 cis 45°
d) 4 cis 120°
e) 2 cis 60°
f) 5 cis 36,8°
g) 5 cis 240°
h) 13cis 344,2°
i) cis(2 )
j) 2 cis 120°
k) 3 cis 240°
l) cis
404
7π
4
ANEXOS
m)
61
cis 50,2°
15
14. a) i
n) 0,236 cis 133,8°
b) – 2
e) 0,633 + 1,206i
ñ) 0,236 cis 325,6°
c) 4cos α – 4i sen α
d) – 5 – 5i
g) 1,712 + 1,437i
h) 1,673 – 0,448i
f) 3 − 3i
i) 2,832 – 1,635i
j) 3,391 + 0,909i
k) 0,409 – 0,629i
l) − 0,285 + 0,0249i
m) 2,227 + 0,194i
ñ) 1,862 + 1,075i
o) 1
n ) 1,53i
p) −i
15*. a) w = 2 2 , 45°
b) w = 5 , arg w = 191,3°
16. a) 1, 94 ; 315°
b) ρ = 4 2 ; 315°
c) ρ = 3,15; 320,58°
d) ρ = 2 3, 0°
18*. ρ1 = ρ2 ; 1 θ2 (en el período principal).
Multiplicación y división de números complejo en forma
trigonométrica
19*. a) z1 = 2 + 3i y z2 = 4 – 3i ; z3 = 2 – 3i y z4 = 4 + 3i ;
z1 ⋅ z2 = 17 + 6i ; z3 ⋅ z4 = 17 – 6i ;
z1 1 18i
=
;
25
z2
z3 −1−18i
=
z4
25
20. a) 2 cis 45°
f)
2
cis 56°
5
b) – 1
c) 3,36 cis 9°
g) 0,847 cis 5º
i) 2 5cis (–23,9°)
j) 1,11 cis 12°
l) 0,3 cis 98,3°
m)
d)
h)
k)
1
π
cis
6
4
e) 1
π
cis 42,8°
12
2
cis (–104, 79°)
11
2
11π
11π
cis
≅ 0,133 cis
15
12
12
n) 11,7 cis 212,2°
405
MATEMÁTICA
ñ) 178 cis 5,6°
o) cis 94,3°
q) 7,75 cis 2,13°
r) 30 cis 310°
21. a) 4 cis 30°
e) 5 cis
16π
9
b)
3
cis 120°
5
f) 2,17 cis 0,5
h)
3
cis 175,5° ≅ 0,231 cis 175,5°
13
j)
17
cis 1, 61
5
c) 40 cis 3,7°
i)
q) 17 cis 180,38°
b) –1
c)
5
cis (-75°) ≅ 0,833 cis 285°
6
d) –8.
b) cis 210°
s) 5 cis 15°.
c) 2 cis 165°
b) ρ = 1, 270°
p) cis (–1)
d)
c) ρ = 1,
3 3
cis 210°
10
5π
12
2
, arg (w) = 315°.
4
26*. a) 3, 43 + 4 , 75i
d) –30 − 30i
406
l) cis 1,02
r) 0,832 cis 1,68
2
cis 333° ≅ 0,667 cis 333°
3
25. a) w =
4
cis 285° ≅ 0,235 cis 285°
17
o) cis 345°
22. a)
24. a) ρ = 2, 35°
14 π
;
9
n) 0,671 cis 149,6°
65
cis 88,8° ≅ 0,903 cis 88,8
72
23. a) 2 cis 105°
d) 1,5 cis
g) 0,70 cis 181,3°
45
k) 0,783 cis
;
15
m) 2 2 cis 258°
ñ)
p) 2 cis 170°
b) 2
e)
3 1 2 3
i
4
4
3 3 1 3 3
i
2
2
c) 1 3 1 3 i
f) –1, 35 − 0,17i
ANEXOS
27. a
3
;
3
28. a)
2
3
b .
3
b) −3 6 −3 6 i
c) 3, 76 + 1, 37i
29. a) x 2 3 ; y 2
b) z 4 ; z 300.
30. a) 2cis 210° .
b) Representación gráfica del número complejo z (figura R39).
Fig. R39
31. z = i .
32*. z1 1 2i ; z2 4 2i o
z1 1 2i ; z2 4 2i
Potenciación y radicación de números complejos
33. a) –5 + 12i
e) –11 − 60i
34. a) z 4 16 cis120 ;
b) 27cis 55, 8°
b) –2 + 2i
c) −7 − 24i
d) 24 10i
f) −8i
g) x 2 2ix 1
h) 2 i
z 5 32 cis 150 ;
c) cis 5, 72
z 6 64 cis 180 64
d) 625 cis
8π
5
e) 64 cis 6
407
MATEMÁTICA
f) cis
4π
3
g) 243 cis 5
i) 107
h) –1
8
j) cis
9
k) 256 cis 100°
l) 243cis 240°
m)
n) 3, 38 cis 54 , 6°
ñ) 9 cis
4π
3
o) 3 2 cis 60°
p) −119 –120i
q) −4 – 4i
r) −
1
3
−
i
2
2
7
s) 611 + 61 i
8
t) –230
u) 299 299 3
v) 1 3
2
3
35. 2 cis
10
8
w) 6 3 cis 240
7π
4
36. a) –7 + 12i
b) 2
c) –1
d) 0 (si n es impar); 2 (si n = 4k); − 2 (si n = 4k + 2); k ∈ Z
an
1 0 si n esimpar
n
an 2 1 2 si n es par
3 1 i.
37. w 6 1 3 6
38. w = 2, arg w
39. z = 3; arg z
40.
4
.
3
7
.
4
2
, .
2
41. z = 1, arg z 0 .
42. a) 2 cis
43. z =
408
19π
12
b)
6 2
6 2
i
2
2
3
; arg z 270°.
4
c)
19
12
i
1024
ANEXOS
1
3
44.
i.
2 2
45.
13
a) z0 6cis y z1 6cis
12
12
13
b) 2 y ; z0 2 cis y z1 2 cis
6
12
12
c) 2 y
d) 1 y
e) 5
y
5
5
13
4
; z0 4 2 cis
y z1 2 cis
4
8
8
3 1
3 1
7
; z0 cis
i
i y z1 cis
2 2
2 2
3
6
6
3
;
2
5
3
z0 5 cis
1 i
2
4
y
5
7
z1 5 cis
1 i
2
4
f) z0 ,1 3 4i
g) z0 ,1 5 i
h) z0 ,1 2 2 i
i) z0 ,1 4 i
j) z0 ,1 2 i
k) 4 2 y ;
4
l) 5 2 y
5
;
4
9
z0 2 4 2 cis y z1 2 4 2 cis
8
8
5
13
z0 5 2 cis y z1 5 2 cis
8
8
m) z0 ,1 3 2i
409
MATEMÁTICA
n) z0 ,1 1 2i
ñ) z0 ,1 3 i
o) z0 2 2 cis
5
y z1 2 2 cis
4
4
3
7
p) z0 12cis 6 2 6 2 i y z1 12cis 6 2 6 2 i
4
4
4
q) 2 2 y ;
46.
7
z0 4 8 cis y z1 4 8 cis
8
8
a) z0 2 cis 20 ; z1 2 cis 140 ; z2 2 cis 260
b) z0 3 cis 30 ; z1 3 cis 120 ; z2 3 cis 210 ; z3 3 cis 300
c) z0 2 cis 30 ; z1 2 cis 102 ; z2 2 cis 174 ;
z3 2 cis 246 ; z 4 2 cis 318
d) z0 3cis 8, 33 ; z1 3cis 68, 3 ; z2 3cis128, 3 ;
z3 3cis188, 3 ; z 4 3cis 248, 3 ; z5 3cis 308, 3
e) z0 cis 0, 429 ; z1 cis 51, 33 ; z2 cis103, 71 ;
z3 cis 208 ; z 4 cis 260,1 ; z5 cis312, 3
f) z0 cis
5
17
29
41
53
; z1 cis
; z2 cis
; z3 cis
; z 4 cis
;
48
48
48
48
48
z5 cis
65
77
89
; z6 cis
; z8 cis
48
48
48
g) z0 1,58 cis
z 4 1,58 cis
410
17
81
29
; z1 1,58 cis
; z2 1,58 cis
; z3 1,58 cis
;
12
60
60
60
53
13
17
; z5 1,58 cis
; z6 1,58 cis
;
60
12
60
ANEXOS
z7 1,58 cis
101
113
89
; z8 1,58 cis
; z9 1,58 cis
60
60
60
h) z0 = 3,11cis 0,5; z1 = 3,11cis 1, 43; z2 = 3,11cis 2, 35; z3 = 3,11cis 3, 273
i) z0 2, 06 cis 8, 75 ; z1 2, 06 cis 98, 8 ;
z2 2, 06 cis 188, 8 ; z3 2, 06 cis 278, 8
j) z0 = 5 3,5 cis 0, 283; z1 = 5 3,5 cis 0, 791; z2 = 5 3,5 cis 1, 865;
z3 = 5 3,5 cis 2, 939; z 4 = 5 3,5 cis 4 , 014; z5 = 5 3,5 cis 5, 089
k) z0 2cis
7
13
; z1 2cis
; z2 2cis
9
9
9
l) z0 cis 7,5 ; z1 cis 97,5 ; z2 cis 187,5 ; z3 cis 277,5
m) z0 5 4 cis
z 4 5 4cis
11
23
35
47
; z1 5 4 cis
; z2 5 4 cis
; z3 5 4 cis
;
30
30
30
30
59
30
7
13
n) z0 3 6 cis ; z1 3 6 cis ; z2 3 6 cis
9
9
9
48. x 2 cis 30 3 i o x 2 cis 150 3 i o x 2 cis 270 2i .
49.
a) z0 3 cis
3
3
i;
6 2 2
z1 3 cis
z2 3 cis
5
3
3
i;
6
2 2
z3 3 cis
z 4 3 cis
9
3i ;
6
z5 3 cis
3i
2
7
3
3
i
6
2 2
11 3
3
i
6
2 2
411
MATEMÁTICA
;
12
z1 cis
5
;
12
z2 cis
3
;
4
13
;
12
z 4 cis
17
;
12
z5 cis
21
12
b) z0 cis
z3 cis
50.
7
1, 85 cis ;
24
25
1, 85 cis
;
24
1, 85 cis ;
24
3
1, 85 cis
8
z 16 2 cis
51.
11
1, 85 cis
;
8
17
o z 16 2 cis
12
12
52.
a) z0 cis 0 1 ;
z1 cis 60
1
3
i;
2 2
1
3
z2 cis 120
i ;
2 2
z3 cis 180 1;
1
3
z 4 cis 240
i;
2 2
z5 cis 300
b) Representación gráfica (figura R40).
Fig. R40
412
1
3
i
2 2
41
1, 85 cis
24
ANEXOS
53.
a)
Números complejos
Parte real
Parte imaginaria
z1 2cis 300
1
− 3
3 2
2
3 2
2
z3 10 cis 315
5
− 5
w1 3 i
3
−1
z2 3 cis
4
w 2 3i
0
−3
w 3 cis 30
3
2
1
2
− 2
− 2
w4 2; 2
b)
Números complejos
z1
Opuesto
2cis 120°
z2
3 cis
5π
4
Conjugado
2cis 60°
3 cis
7π
4
z3
10 cis 135°
10 cis 45°
w1
3 i
3+i
w2
3i
3i
w3
cis 210°
cis 330°
2; 2
2; 2
w4 2; 2
c)
Números complejos
Forma binómica
Forma polar
z1
1 − 3i
2cis 300°
z2
3 2 3 2
+
i
2
2
3 cis 45°
z3
5 − 5i
10 cis 315°
413
MATEMÁTICA
Números complejos
Forma binómica
Forma polar
w1
3 −i
2 cis 330°
w2
−3i
3cis 270°
w3
3 1
+ i
2 2
cis 30°
w4
− 2 − 2i
2 cis 225°
2
cis15 ;
3
z3 w 1
10 cis 60
w4
d)
z1 z2 3
10cis 30 ;
5
z3
z1 : z2
w 3
8
z0 cis 10
w1 : w 3 1
w1 w 2
3
3
2;
cis 60 ; w 3 cis 30 z1 cis 130
4
8
w2 : w3
w 1
z cis 250
2
54. a) Verdadera.
b) Falsa, porque 1 i 2 cis , o 1 i 1
4
c) Verdadera.
4
2 cis 8 cis , o porque en la multiplicación
3
3
de números complejos en forma polar se, multiplican sus módulos y
4 5
se adicionan sus argumentos y
.
3
3
3
d) Falsa, porque 4 cis
e) Verdadera.
f) Verdadera.
g) Falsa, porque z 2 2i 2 2 cis 315 , o porque el 2 2i 2 2 y su
argumento es 315 o que z pertence al cuarto cuadrante no al
segundo cuadrante.
h) Verdadera.
i) Verdadera.
414
ANEXOS
j) Falsa, porque z 3cis 270o 3i , o porque representa un número
imaginario negativo cuyo afijo tiene coordenadas 0; 3 .
k) Falsa, porque ambos números tienen igual argumento pero módulos
diferentes. z1 = 2 2 , z2 = 2 y z1 2 2 z2 2.
l) Falsa, porque en el conjugado de un número complejo en forma
binómica solo cambia el signo de la parte imaginaria, z1 8 2i ; si
cambia el signo de ambas partes sería su opuesto.
m) Falsa, porque z1 z2 13 10.
Epígrafe 3.4 Resolución de ecuaciones en el dominio de los números
complejos
1.
a) x1 = 1 y x2 = 2
b) x1,2 =
1 17
2
c) x1,2 =
1 21
2
2
; x2 = 1
3
e) x1,2 =
1 33
8
f) x1,2 =
1 5
2
d) x1 = –
1
11
i
g) x1,2 =
2
2
j) x1,2
h) 2i ; − 2i
i) ± i
1 5
1 5
; x 3 ,4
2
2
k) x1,2 =
1
3
+
i;
2
2
l) x1,2 =
3
11
±
i
2
2
x 3 ,4
ñ) x1 1 i ; x2 3 i
1
3
i
±
2
2
m) x1,2 =
1
19
±
i
10
2
n) x1,2 1 3i
o) x1 = i ; x2 2 3i
415
MATEMÁTICA
2. a) x1,2
i 7
2
b) x1,2
d) x1,2 2 i
1 5
i
2
c) x1,2 i
e) x1,2 1 2i
4. a) x1,2 2 5i
b)
2 5
2
b) x =
1
y 2
2
f) x1,2 2 i
c) z = –1 – i
d) 21
5. a) x1 = 3i x2 3i
6. a) 2 i 2 3
7.
c) 16 cis 100o
d) −32768i
7.1 x1 = i ; x2 i
7.2 a) 1
b) –2
c) 32 cis 45o
1 31
1 31
i x
i
8. a) x 4 x
4
4
1 3
1 3
i x
i
b) x 1 x 3 x
2
2
9. a) grado: 3
b) grado: 1
c) grado: 7
d) grado: 5
1
10. a) P(1) = –1 ; P(–1) = 9 ; P 0
9
11. a) P(–i) = 2 ; P(1 –i) = 1 – 8i ; P i 2
12. a) P x x 3 x 2 2 x
b) P x x 3
3 2 1
x
c) P x x 3 3ix 2 3 x i
2
2
d) P x x 4 i 2 x 3 1 2i x 2 ix
e) P x x 3 x 2 x 1
f) P x x 3 i 3 x 2 2 3i x 2i
g) P x x 3 1
13. a)
416
3
2
x 1 x 1
b)
1
2
x x 3
c)
1
1
2
x x 4 x 2
e)
3
3
2 x 5 2 x 5
ANEXOS
Ejercicios del capítulo
1. A- b);
B- d);
C- a)
2. a) V, porque x iy x iy 2 x .
b) F, porque su afijo es (0,–4) se encuentra en el eje y, entre el III C y IV C.
c) F, porque los valores que satisfacen a la ecuación son x 2 y y 2.
d) V, porque el dominio más amplio es el de los complejos y todos los
números estudiados pertenecen a este dominio.
3.
4.
a) 4,2 – 6,7i
b) – 11,9 – 8,15i
c) – 0,420 – 2,59i
d) 2,38 + 11,7i
e) 1,69 – 1,42i
f) – 38,3 + 40,7i
g) 5,46 cis 87
h) – 3,45 cis
j) −2 − 4i ;
k) – 7 – 64i;
l) 6,12 – 1,94i;
a) x = 3; y = 3
b) x = 3; y = 5
c) x = y = 0
e) No existen
f) x = 1 ; y = 3;
d) x =
27
9
; y=−
5
5
g) x = 3; y = 2
j) x
4π
3
i) 2,13 cis 35°
h) x = 2; y = 1
1 3
1
;y=
2
2x
k) x
1
; y=0
2
i) x = 0; y ± 2
l) x
3 13
; y 12 x
130
m) Infinitas soluciones 4 x 4
n) x = 1 + 3 ; y = − 3 x = 1 – 3 ; y =
6. a = –
1
.
2
7*. a) R (w) =
2I z
2
z 1
z
2
2R z 1
; I(w) =
3
z
2
2R z 1
.
417
MATEMÁTICA
9. a) 2 cis
π
3π
17π
; 2 cis
; 2 cis
12
4
12
b) 2 cis
7π
17π
;
; 2 cis
20
20
c) 8 2 cis
π 8
9π
; 2 cis
;
16
16
10. z1 =
6a 1 ia
1 a
2
; z2 =
2 cis
8
2 cis
6 a i
1 a2
23π
;
20
17π
;
16
2 cis
8
2 cis
37π
;
4
2 cis
39π
20
25π
16
; a ∈ R *.
Ejemplos: z1 3 3i ; z2 3 3i o z1 3 3i ; z2 3 3i
11. z1 = 2 + 2,73i ; z2 = – 0,73 – 0,73i o z1 = 2 – 0,73i ; z2 =2,73 + 2,73i.
12. S = 1.
13. a) R(z) = − 2; I(z) = 10
b) R(z) = 0; I(z) = 1
11
10
c) R(z) = −1 ; I(z) = −
17
17
14. a) −8 + i y
22 +
16. ρ = 2 ; 1
π
= 20o
9
17. 8 24 cis 60°;
8
3i
24 cis 150°;
8
24 cis 240°;
8
24 cis 300°
18. −4 + 8 2i y −4 + 8 2i . Longitud: d = 12.
19. a) hipérbola
d) dos puntos
b) circunferencia
c) circunferencia
e) hipérbola
f) hipérbola
o 2k
20. a) 6 12 cis 10 +
; k = 0; 1; 2
3
b) 10 cis 75° y
10 cis 195°
21. Los números que representan los vértices restantes son:
418
g) elipse
ANEXOS
z1 = 1 + 3i ; z2 = 3 + i y z3 = − 1 + i . La longitud de la diagonal es 4,0 u.
24. Los afijos de estos números están sobre una recta paralela al eje real
1
que interseca el eje imaginario en .
2
26. n = −
35
3
27. a) a =
17
7
; b=
6
6
28. a) 0; 7
b) 6;1
29. a) z1,2 i , z3,4 2i
b) (x – 4i) (x + 1 + i)(x – 1)
c) 6; 1
d) 0; 7
b) z1 1 ; z2 ,3
e) 6; 1
3 3i
2
2
30.
30.1
a) Verdadera.
b) Falsa, porque la parte real del número complejo
2 cos
2 cis
3
2
1
2 cos 2
1, 1 .
4
4
2
2
3π
es
4
c) Verdadera. z z R.
d) Verdadera. Los polinomios en una variable compleja de grado n impar y coeficientes reales, tienen al menos una solución real.
e) Verdadera.
3
f) Falsa, porque el número complejo z 2 cis
tiene como argumento
2
3π
el ángulo axial
, lo que representa un número imaginario negati2
vo, luego su afijo tiene la forma 0;b ; en este caso 0; 2 .
g) Verdadera.
h) Verdadera.
i) Verdadera.
419
MATEMÁTICA
30.2:
30.2.1 c)
30.2.2 d)
30.2.3 b)
30.2.4 a)
30.2.5 b)
30.3: 30.3.1
a) 11
b) 7
d) z3 = 6 y ¸
c) 25i
4
5
1
e) 1 + i
13 13
f) Imaginario o imaginario puro
g) En el cuarto cuadrante
j) z1 13 cis 303, 7
i) p 1; q = 1
h) tercer cuadrante
1
3
l) z1 119 120i
4
k) z5 6 6 3 i
m) z0 12 6 cis 7,5 , z1 12 6 cis 67,5 , z2 12 6 cis 127,5 , z3 12 6 cis 187,5
z 4 12 6 cis 247,5 , z5 12 6 cis 307,5 n) hexágono regular
ñ) 9 cis 135° o) 10
31. a) x1,2 3 i b) z1 = 3i z2 i ;
c) z1,2
3 3
i
2 2
d) x1 = 1 ; x2 = 2i ; x3 i
32. x = 16 ; y = 7
33. a) x 2
b) x = 4 ,5
34.
34.1 a) Real (resistencia pura)
b) Imaginario puro (reactancia capacitiva)
c) Complejo (combinada) (no es real ni imaginario puro)
d) Real (valor cero)
e) Real (parte imaginaria es cero)
34.2 a) 5
420
b) 3
c) 5
d) 0
e) 4
ANEXOS
Autoevaluación
8. a)
π
4
b) 2 2 cis 30o
9. V 8 i voltios
10.
10.1 Parte real: corresponde a la componente en fase con la referencia.
Parte imaginaria: corresponde con la componente en cuadratura
(desfasaje 90o).
Ángulo de fase: indica el desfasaje entre la señal y la referencia
(usualmente la tensión de entrada).
10.2 z = 2 y el ángulo de fase es 45o.
10.3 a) Si 0o la corriente se atrasa respecto a la tensión (comportamiento inductivo).
Si 0o la corriente se adelanta (comportamiento capacitivo).
Si 0o la corriente y la tensión están en fase (comportamiento
resistivo puro).
Como la parte imaginaria es b 1 0, lo que indica “reactancia
inductiva”. En circuitos inductivos, la corriente se atrasa respecto
a la tensión. Por tanto, el circuito con z 1 i tiene un comportamiento inductivo.
10.4 La Potencia activa: P, P V I cos
cos 45 0 .
2
0, 707. Es positiva P, lo
2
que significa que el circuito “consume” energía real “potencia”
El factor de potencia (cos θ): cos 45o
(convertida en calor o trabajo) debido a la componente imaginaria
de z.
421
MATEMÁTICA
La Potencia reactiva: Q, Q V I sen
sen45 0 .
Aunque Q no “consume” (es energía oscilante), la existencia de
P > 0 confirma un consumo neto de potencia.
Conclusiones. El ángulo de fase de z 1 i en un circuito AC, indica:
■ Un desfasaje de corriente-tensión de 45o (corriente atrasada).
■ Un factor de potencia de 0, 707 (ni totalmente resistivo ni pura-
mente reactivo).
■ La presencia de efectos inductivos y resistivos combinados.
10.5 El ángulo de fase de 45o en un circuito AC indica un desfasaje entre
corriente y tensión, afectando la potencia reactiva y el factor de
potencia del circuito.
Reactancia
1. Indica que la reResistencia
sistencia y la reactancia son iguales R = X .
Balance resistivo-reactivo: tan45 1
Comportamiento: Dominio inductivo si X > 0.
Factor de potencia: cos 45o
2
0, 707. Solo el 70, 7% de la potencia
2
aparente es útil (activa).
Implicaciones:
– Circuito con pérdidas moderadas de energía.
– Presencia de elementos inductivos.
Conclusiones: El ángulo de fase de 45o en un circuito AC indica R = X
y un comportamiento inductivo, con factor de potencia 0,707.
422
ANEXOS
11. a) zTotal 5 1 3 2 i 6 i
c) tan
1
, 9, 46o
6
b) zTotal 6 i 62 11 37
d) V z I
I =
V
zTotal
; I
20
3, 28 A
37
Capítulo 4
Epígrafe 4.1 Geometría sintética del espacio
Repaso y profundización de Geometría plana
3.
a) Verdadera.
b) Falsa, porque para que sea distancia, el segmento tiene que ser perpendicular a la recta.
c) Falsa, porque por cada punto del plano se pueden trazar exactamente una paralela y una perpendicular.
d) Falsa, porque si un ángulo es agudo y el otro es obtuso, la suma es
180°.
e) Verdadera.
f) Verdadera.
g) Verdadera.
h) Falsa, porque en un triángulo obtusángulo solo la altura relativa al
mayor de los lados queda interior al triángulo, las otras dos alturas
son exteriores a este.
i) Verdadera.
j) Es falsa, porque si la recta tiene solo un punto en común con la circunferencia, es tangente; para que sea secante tiene que tener dos
puntos comunes a la circunferencia.
423
MATEMÁTICA
k) Verdadera.
l) Falso, porque el rectángulo general (no es cuadrado) es un paralelogramo y no tiene sus diagonales perpendiculares.
m) Falsa, no necesariamente porque puede ser un rombo.
n) Verdadera.
o) Falso, porque la razón entre las semidiagonales mayor y menor es 2,
tan 2 y 30 , 60 .
p) Falsa, porque el área de todo polígono regular se determina como el
producto del semiperímertro del polígono por la apotema de este,
Pa
es decir; A = .
2
4.
a) Porque el triángulo es rectángulo en C, luego AC ⊥ BC .
b) Porque el ángulo 45o y por suma de ángulos interiores, el otro
ángulo interior 45o, luego los lados que se oponen a estos ángulo
también son iguales.
c) Por ser un triángulo isósceles y rectángulo.
d) Como se conoce que b = 4 , 0 cm, se puede aplicar el Teorema de Pitágoras c 2 a2 b2 o razones trigonométricas.
e) En un triángulo rectángulo sus dos catetos son bases y alturas, luego
el área sería el semiproducto de las longitudes de sus catetos, es decir; A ACB
AC BC
.
2
5. Rosa y Emma
6. a) QCB 60 ; A∆ABC = 9 3 cm2 ≈ 16 cm2;
424
ANPQC=
27 3
≈ 12 cm2
4
ANEXOS
7.
7.1 ∆NCM y ∆CAB son triángulos rectángulos en C y A respectivamente.
7.2 a) MNC = 26,6º
b) FC = 4,0 cm
c) A∆CAB ≈ 24 cm2 ;
A∆CON = 10 cm2
7.3 Si, OC es mediana del ∆CMN luego divide a este en dos triángulos
de iguales áreas.
8. b) 50 dm
9.
b) El área sombreada es aproximadamente 11, 3 dm2 .
c) El perímetro del cuadrilátero DEBC es aproximadamente 31,3 dm.
10. b) El perímetro del área sombreada 12 dm.
Relaciones entre rectas en el espacio
15. Porque las 4 patas no están en el mismo plano.
16. Si los hilos se intersecan en un punto.
17. No necesariamente, pueden ser alabeadas.
18. 3 planos.
19. 35 planos.
20. 1 140;
n n 1 n 2
6
.
21. Uno o tres planos.
22. Seis planos.
23. Dos planos.
24. Uno o tres planos.
425
MATEMÁTICA
Rectas y Planos
30. No necesariamente, pueden cortarse o cruzarse.
31. Infinitas.
32. El plano es paralelo a la otra recta.
33. Solo uno.
34. Sí puede ser paralela a dos rectas contenidas en ese plano; a infinitas
rectas contenidas en el plano.
35. A infinitas rectas contenidas en ese
plano.
38. 60°
36. 9,0 cm
37. 14,1 cm
41. 9,0 cm
42. b) PC = 6,4 cm
39. 10 dm
40. 18 cm; 6,0 cm
44. c) AFBE = 3,4 dm2 ; VFBE = 3,0 dm3
2
3
d) V 1,1 10 cm o ≈ 0,11 dm3 ; PBMHE ≈ 21 cm
45. a) Es paralela
46.1. a) VC = 301 cm3; VOMNS = VCMNS = 20,8 cm3
b) AT = 285 cm2
47.2 V = 1,3 dm3
48. b) V ≈ 5,3 dm3
49. b) V = 93 cm3
c) AT = 1,8 dm2
50.1 a) A∆OCF = 65 cm2 ; AACGE = 2,1 dm2
51. a) BC o DC
b) V = 1,8 dm3 ; AT = 9,0 dm2
c) Vpirámide ≈ 0,13 dm3 o Vpirámide 1, 3 102 cm3
52. c) Vprisma ≈ 0, 72 dm3 o 7, 2 102 cm3
53. c) V prisma 28 cm3
54. c) V pirámide ABEGC 90 cm3
55. b) El valor del área total del cono es aproximadamente igual a 452 cm2
56. a) R = 3, 0 cm b) Adesecha ≈ 28 cm3 c) ATcuerpo 1, 6 dm2 1, 6 102 cm2
426
ANEXOS
Epígrafe 4.2 Geometría analítica del espacio
2. A(4;0;0), B(4;4;0), C(0;4;0), D(0;0;0), E(0;0;4), F(4;0;4), G(4;4;4), H(0;4;4)
3. (–1;5;2), (3;5;6), (–1;5;6), (–1;1;6)
5.
9
2
6. (0;0;0), (2;0;0), (2;3;0), (0;3;0), (0;3;3), (0;0;3), (2;0;3), 18 u3
7. a) 6,16 u
b) 7,00 u
c) 8,83 u
d) 5,83 u
e) 3,74 u
8. P ABC 18, 6 u y A ABC 9, 70 u2
8.1 M AB 5;5; 0,5 , MBC 2; 3,5;1,5 y M AC 1; 4 ,5; 2
9. Al plano xy: 2; al plano yz: 3; al plano xz: 1; al eje x: 2,24; al eje y: 3,61;
al eje z: 3,16 u
10. A ABC 16, 2 u2.
10.1 La longitud de la paralela media relativa a la hipotenusa es aproximadamente igual a 4 , 72 u.
11. Al plano xy: 3,0 u; al plano xz: 5,0 u; al plano yz: 2,0 u; al origen: 6,16 u.
14. b)
250 2
= 118
3
7 2
3 2
15. a) 3,5;1,5;
, 3,5;1,5;
2
2
b) 86,5 u2
16. A(–9;–1;1) y B(6;8;1)
17. a) (2;2;0), (2;0;2), (4;2;2), (2;2;4), (2;4;2), (0;2;2)
b) 2 2 u ≈ 2,82 u
18. a) Al plano xy: A′(2;3;–1); B′(5;–3;–2); C′(–3;2;1); D′(a;b;–c)
b) Al plano xz: A′(2;–3;1); B′(5; 3;2); C′(–3;–2;–1); D′(a;–b;c);
427
MATEMÁTICA
c) Al plano yz; A′(–2;3;1); B′(–5;–3;2); C′(3;2;–1); D′(–a;b;c)
d) Al eje x: A′(2;–3;–1); B′(5;3;–2); C′(–3;–2;1); D′(a;–b;–c)
e) Al eje y; A′(–2;3;–1); B′(–5;–3;–2); C′(3;2;1); D′(–a;b;–c)
f) Al eje z: A′(–2;–3;1); B′(–5;3; 2); C′(3;–2;–1); D′(–a;–b;–c)
19. a) En la vista gráfica 3D del GeoGebra:
– Trazar las rectas l_1 y l_2, una vez introducidos los pares de puntos
que pertenecen a cada recta.
– Verificar si es posible determinar un plano con esas dos rectas.
Es posible determinar un único plano, pues las rectas son paralelas.
b) Podemos representarlo en el GeoGebra directamente y tenemos
3
que se cortan en el punto de coordenadas 1, 25; 4 , 25; .
4
3
c) El valor del volumen es aproximadamente igual a 1, 25; 4 , 25; .
4
Ejercicios del Capítulo
1. a) En ambas
b) En planimetría
e) En planimetría
c) En planimetría
d) En ambas;
f) En estereometría.
2. 10 cm
3.1 a) ABNDM = 3,23 dm2 ;NOC = 26,5°
4.1 a) ≈ 14 ,1 cm
5. b) 443 cm3
b) V = 0,288 dm3 ; A = 4,07 dm2
b) ≈ 7, 05 cm
c) 121 cm2; 58,8 cm3
d) 37, 7°
c) 128 cm2
6.1 a) V ≈ 0,50 dm3; AT ≈ 4,9 dm2.
7. b) ≈ 5,6 cm
c) 45°
8.1 a) V = 18 cm3; AT = 65 cm2
9. b) 30°
428
b) COD = 73, 3°
ANEXOS
10. a) AG, BG, BC, AB, EF o GF
11. c) 48, 2
c) 48 dm3
d) ≈ 9, 0 cm2
12. ≈ 14 cm; 60°
13. 8,4 cm
14. a) 60°
b) 0,25 m3
15. b.1) 50,0 cm2; 758 cm3
16. V =
b.2) 240 cm3
3 3
h
8
17. ≈31 m2; ≈13 m3
18. 1,38 ⋅ 102 m2
1
20. No; 1 u3
3
21. (1;5;0), (5;5;0), (1;1;8), (5;1;8), (1;5;8)
22.
22.1 4 , 0 u
23. 31,1 u2
16 4 2
23.1 ; ;
3 3 3
24. plano xy: 4; plano xz: 3; plano yz: 2; eje x: 5; eje y: 4,47; eje z: 3,61
25. a) A′(4;3;0), B′(–3;2;0), C′(2;–3;0), D′(0;0;0)
b) A′(4;0;5), B′(–3;0;1), C′(2;0;0), D′(0;0;–3)
c) A′(0;3;5), B′(0;2;1), C′(0;–3;0), D′(0;0;–3)
d) A′(4;0;0), B′(–3;0;0), C′(2;0;0), D′(0;0;0)
e) A′(0;3;0), B′(0;2;0), C′(0;–3;0), D′(0;0;0)
f) A′(0;0;5), B′(0;0;1), C′(0;0;0), D′(0;0;–3)
429
MATEMÁTICA
26.
a) Distancia entre las columnas A 3;5; 0 y B 7; 1; 0
La distancia d entre dos puntos en el espacio 3D se calcula con la
fórmula:
BA
x B x A y B y A zB z A
BA
7 3 1 5 0 0
2
2
2
2
2
2
42 4 02 2 42 4 2 m
2
Respuesta: la distancia entre las columnas A y B es 4 2 m.
b) Punto medio entre C 0; 4 ; 3 y D 4 ; 8; 3 :
x xC y D y C zD zC
;
;
El punto medio M se calcula como: M D
Sustitu2
2
2
yendo las coordenadas de C y D:
4 0 8 4 3 3
M
;
;
M 2; 6 ; 3
2
2
2
Respuesta: Las coordenadas del punto medio son 2; 6; 3 .
c) Verificar si los puntos C 0; 4 ; 3 , D 4 ; 8; 3 , E 1; 2; 3 y F 5; 10; 3 pertenecen al mismo plano:
Observamos que todos los puntos tienen la misma coordenada z = 3.
Esto significa que todos están en el plano horizontal definido por z = 3.
Por lo tanto, son coplanares.
Conclusión: Los puntos C 0; 4 ; 3 , D 4 ; 8; 3 , E 1; 2; 3 y F 5; 10; 3 pertenecen al mismo plano.
Si no se hubiera notado que todos los puntos comparten la misma coordenada, podríamos haber usado la siguiente estrategia
Se determina la ecuación del plano. Supongamos que los puntos C , D,
E definen un plano. Para verificar si F está en ese plano, sustituimos sus
coordenadas en la ecuación del plano.
430
ANEXOS
Sin embargo, dado que los cuatro puntos tienen z = 3, es evidente que
todos están en el plano z = 3. Como z es constante para todos los puntos, no hay variación en la tercera dimensión, lo que confirma que son
coplanares.
27.
– Posición del avión P 120; 80;10 km y la posición del avión
Q 90;120;12 km
a) La distancia entre los dos aviones en el espacio se calcula con la
fórmula:
PQ
xQ xP y Q y P zQ zP
PQ
90 120 120 80 12 10 30 402 22
2
2
2
2
2
2
2
900 1 600 4 2 504 50, 04 km
Respuesta: la distancia entre los aviones en el momento en que se toman las posiciones es aproximadamente 50, 04 km.
b) Las coordenadas del punto medio M entre los aviones P y Q se calcu x x P y Q y P zQ zP
la como: M Q
;
;
Sustituyendo las coordenadas de
2
2
2
P y Q:
90 120 120 80 12 10
210 200 22
;
;
;
; M 105;100;11
M
M
2
2
2
2 2
2
Conclusión: las coordenadas del punto medio entre los aviones es
105; 100; 11 km.
c) Para verificar si la ruta (recta que une P y Q) está contenida en el
plano 2 x 3 y 4 z 50, ambos puntos deben satisfacer la ecuación del
plano.
1. Para el punto
P 120; 80; 10 : 2 120 3 80 4 10 240 240 40 40 50
431
MATEMÁTICA
Para el punto
Q 90; 120; 12 : 2 90 3 120 4 12 180 360 48 132 50
Como ninguno de los puntos satisface la ecuación del plano, la ruta no
está contenida en él.
Respuesta: la ruta de los aviones P y Q no está contenida en el plano
determinado por la ecuación 2 x 3 y 4 z 50.
28.
a) La distancia entre los satélites S1 y S2 se calcula con la fórmula:
S1S2
x2 x1 y 2 y1 z2 z1
PQ
3 2 5 1 7 4 5 62 32
2
2
2
2
2
2
Sustituyendo los valores:
2
25 36 9 70
≈ 8, 37 mil km
Respuesta: la distancia entre los dos satélites es aproximadamente
8 370 km.
b) Las coordenadas del punto medio M entre los satélites S1 y S2 para
instalar un repetidor se calcula como:
x x1 y 2 y1 z2 z1
M 2
;
;
Sustituyendo las coordenadas de S1 y S2:
2
2
2
3 2 5 1 7 4
1 4 11
M
;
;
M ; ; M 0 , 5; 2; 5, 5
2
2
2
2 2 2
Conclusión: para que el repetidor esté en el punto medio entre los satélites S1 y S2 tiene que estar en las coordenadas 0,5; 2;5,5 miles de
kilómetros.
c) Para verificar si los puntos S1 2; 1; 4 , S2 3; 5; 7 y la Tierra (origen
0; 0; 0 y una estrella E 1; 2; 2 son coplanares usamos la condición de
volumen del tetraedro:
432
ANEXOS
VTetraedro
1
x1 y 2 ze y e z2 y1 x2 ze y e z2 z1 x2 y e xe y 2
6
x1 y 2 ze y e z2 : 2 5 2 2 7 2 10 14 48
y1 x2 ze y e z2 : 1 3 2 1 7 1 6 7 1
z1 x2 y e xe y 2 : 4 3 2 1 5 4 6 5 44
Suma: 48 1 44 93
VTetraedro
1
93 0
6
Respuesta: no son coplanares porque el volumen del tetraedro no es
cero.
29.
a) Distancia sensor-tumor:
MT
xT xM yT y M zT zM
MT
1 5 3 2 4 8 4 5 4
2
2
2
2
2
2
Sustituyendo los valores:
2
2
2
16 25 16 57 cm
Respuesta: la distancia entre el sensor y el tumos es de 57 cm.
b) Punto medio para biopsia:
Punto medio entre T 5; 2; 8 y M 1; 3; 4
x xM y T y M zT zM
;
;
Q T
Sustituyendo las coordenadas de T y M:
2
2
2
5 1 2 3 8 4
1
Q
;
;
Q 3; ; 6 Q 3; 0,5; 6
2
2
2
2
Respuesta: las coordenadas del punto medio entre las posiciones T y M
es 3; 0,5; 6 cm.
c) Plano quirúrgico con T , M, N 2; 0; 6 , P 3;1;5 :
433
MATEMÁTICA
Para que los 4 puntos definan un plano, la ecuación siguiente debe ser
consistente para todos los puntos:
a x x 0 b y y 0 c z z0 0
Tomamos T 5; 2; 8 como punto base y verificamos si M, N, P satisfacen
la misma ecuación.
1. Vector normal implícito:
– Usamos T, M, N para encontrar a, b, c:
– M: a 1 5 b 3 2 c 4 8 4a 5b 4c 0
– N: a 2 5 b 0 2 c 6 8 3a 2b 2c 0
– Resolviendo el sistema:
– De 4a 5b 4c 0 y 3a 2b 2c 0 , obtenemos
a = 2k , b 2k, c 4 ,5k.
2. Verificación para P 3;1;5 :
– Sustituyendo en la ecuación:
2 3 5 2 1 2 4 ,5 5 8 4 6 13,5 3,5 0
Respuesta: los puntos no definen un plano (no son coplanares).
Nota: En este problema el inciso c, aunque no usamos matrices explícitas, la verificación de coplanaridad requiere resolver un sistema de
ecuaciones, que es conceptualmente similar al método del determinante, pero expresado de manera algebraica.
30.
a) Distancia entre E1 y E2:
Las coordenadas de las posiciones de los sismos son E1 2; 3; 5 y
E2 4 ; 1; 3
434
ANEXOS
La fórmula de la distancia entre dos puntos
E1E2
x2 x1 y 2 y1 z2 z1
MT
4 2 1 3 3 5 2 4 2
2
2
2
2
2
2
Sustituyendo los valores:
2
2
2
4 16 4 24 2 6 km
Respuesta: la distancia entre las posiciones de los sismos entre E1 y E2 es
2 6 km.
b) Punto medio entre la posición del sismo E3 y el volcán V :
Las coordenadas son E3 2; 5; 7 y V 1; 2; 4
El punto medio M se calcula como el promedio de las coordenadas
x x 3 yV y 3 zV z3
M V
;
;
Sustituyendo las coordenadas de T y M:
2
2
2
1 2 2 5 4 7
1 7 11
M
;
;
M ; ; M 0,5; 3,5; 5,5
2
2
2
2 2 2
Respuesta: El punto medio es M 0,5; 3,5; 5,5
c) Determinar si E1, E2, E3 y V están alineados o en un mismo plano:
Para verificar si están alineados, calculamos las pendientes o razones
entre las diferencias de coordenadas. Primero, verificamos si E1, E2 y E3
están alineados:
1. Diferencias entre E1 y E2
x12 x2 x1 x12 4 2 2
y12 y 2 y1 y12 1 3 4
z12 z2 z1 z12 3 5 2
2. Diferencias entre E1 y E3
x13 x3 x1 x13 2 2 4
435
MATEMÁTICA
y13 y 3 y1 y13 5 3 2
z13 z3 z1 z13 7 5 2
3.
Verificación de proporcionalidad:
x12
2
1
2
x13 4
y12 4
2
2
y13
z12
2
1
z13 2
Las razones no son iguales, por lo que E1, E2 y E3 no están alineados.
4. Verificación si V está en el mismo plano que E1, E2 y E3:
Usamos la ecuación del plano generado por E1, E2 y E3. La ecuación general de un plano es tiene la forma ax by cz d 0.
Sustituimos las coordenadas de E1, E2 y E3 para obtener un sistema de
ecuaciones:
2a 3b – 5c d 0 1
4a b 3c d 0 2
2a 5b 7c d 0 3
Sustraemos (1) de (3) y obtenemos a 2b c 0 (4)
De manera análoga sustraemos (1) de (2) y obtenemos
2a b c 0 (4)
De despejar a en la ecuación (4), tenemos que a 2b c y la sustituimos
en (5):
2 2b c b c 0
4b 2c b c 0
3b c 0 y c = 3b
436
ANEXOS
Sustituimos c = 3b en (4):
a 2b 3b b
Sustituimos a b y c = 3b en (1):
2 b 3b 5 3b d 0
2b 3b 15b d 0
14b d 0 entonces d = 14b
La ecuación del plano es:
bx by 3bz 14b 0 entonces x y 3z 14 0
Simplificando: x y 3z 14 0
4.
Verificación de V(1;2;–4):
Sustituimos en la ecuación del plano:
1 2 3 4 14 1 2 12 14 3 0
Como no se cumple, V no está en el mismo plano que E1, E2 y E3.
Respuesta: Los sismos E1, E2, E3 y el volcán V no están alineados ni pertenecen a la misma falla plana.
Autoevaluación
5. c) 60 dm3
6. b) V = 5 338 cm3 ≈ 5,3 dm3
7. 7.2 a) V = 15 dm3
b) EDF = 54 ,5°
8. a) ∆SPT es rectángulo en P b) AL ≈ 9,0 dm2;
c) V = 3 129 cm3 ≈ 3,1 dm3
437
MATEMÁTICA
9. b) V = 3 705 cm3 ≈ 3,7 dm3
10. b) 144 π dm2
11. a) 8, 0 cm3 b) 1
8
12. (a;a;–a), (–a;–a;a), (a;–a;a), (–a;a;a)
13. a) 7,0 u b) 13 u c) 5,0 u
14. d(O;A) = 6,0 u ; d(O;B) = 14 u ; d(O;C) = 13 u ; d(O;D) = 25 u
17. a) (2;–1;–1), (–1;–2;2), (0;1;–2)
b) desde A está a 9,0 u, de B a 51 ≈ 7,1 u y desde C a 30 ≈ 5,5 u
18.
a) Verdadera.
b) Falsa, porque las ecuaciones son equivalentes, representan la misma recta y por una recta pasan infinitos planos.
18.3 1, 0 u
Notas al capítulo 1
1. Te proponemos otra manera de determinar la ley de formación explícita de una sucesión.
Sucesiones cuyo término general tiene la forma de una ecuación lineal
an dn e
y mx n .
Donde d es la diferencia entre dos términos consecutivos (la pendiente)
(intersección en y) es el término anterior al primer término, es decir,
e a1 d (se sustrae si es creciente la sucesión)
438
ANEXOS
Ejemplos:
3;5; 7; 9;11;
Variante I
d
6;11;16; 21; 26;
Procedimiento
dn e
a2 a1
n2 n1
b
a2 a1
n2 n1
Determinación del valor
de la pendiente d a partir
de dos puntos:
Para n = 1, y = 3
(1; 3) Para n = 1, y = 6
(1; 6)
Para n = 2, y = 5
(2; 5) Para n = 3, y = 16
(3; 16) m
16 6 10
5
3 1
2
y 2 y1
x 2 x1
d
a2 a1
n2 n1
d
5 3 2
2
2 1 1
d
d=2
d=5
y = dn + e
y = dn + e
3 = 2(1) + e
16 = 5(3) + e
3=2+e
16 = 15 + e
e=1
e=1
Determinación del valor de
e a partir de d y un punto:
2n 1 3;5; 7; 9;11; 5n 1 6;11;16; 21; 26; Obtención del término geo an 2n 1 para
o an 5n 1 para todo
todo n N : n 1
n N : n 1
Variante II
neral de la sucesión.
dn e a1; a2 ; a3 ; ; an ;
an dn e
dn e
Identificación de la diferencia d
d=2
d=5
a1 = 3
a1 = 6
Identificación del primer
término a1
e=3–2
e=6–5
e=1
e=1
Identificación del valor de
e
e a1 d
2n 1 3;5; 7; 9;11; 5n 1 6;11;16; 21; 26; Obtención del término geo an 2n 1
o an 5n 1
para todo n N : n 1
para todo n N : n 1
neral de la sucesión.
dn e a1; a2 ; a3 ; ; an ;
an dn e
439
MATEMÁTICA
Para las sucesiones cuyo término general tiene la forma cuadrática:
an bn2 dn e y mx 2 px q
con
b d e a1, 3b d d1,
2b = d2 ,
Donde, d1 es la primera diferencia entre los dos primeros términos de
la sucesión y d2 la diferencia entre las diferencias anteriores.
Ejemplos:
5;13; 25; 41; 61; 85;
Variante I
4 ; 7;12;19; 28; 39;
Procedimiento
an bn2 dn e
Determinación de los
valor d1 y d2
440
d1 = 8 y d2 = 4
d1 = 3 y d2 = 2
2b = d2
2b = d2
2b = 4
2b = 2
b=2
b =1
3b d d1
3b d d1
3 2 d 8
3 1 d 3
6 d 8
3 d 3
d =2
d =0
a1 = 5
a1 = 4
Identificación del
primer término a1
b d e a1
b d e a1
2 2 e 5
1 0 e 4
Determinación del
valor de e
4 e 5
1 e 4
e =1
e=3
Determinación del
valor de b
Determinación del
valor de d
ANEXOS
2n 2n 1
2
n 3
Obtención del término general de la
sucesión.
2
5;13; 25; 41; 61; 85;
an 2n2 2n 1
o
para
todo n N : n 1
4; 7;12;19; 28; 39;
o an 2n 2n 1
bn dn e
para todo n N : n 1
a1 ; a2 ; a3 ; ; an ;
2
2
o
an bn2 dn e
para todo n N : n 1
Variante II
bn dn e
2
Identificación de la
diferencia d.
Determinación de diferencias entre cada
término de la sucesión y entre las diferencias obtenidas, así
como los valores anteriores al primer término y cada primera
diferencia.
4
e =1
e=3
2b = 4
2b = 2
b=2
b =1
b d 4
b d 1
2 d 4
1 d 1
d =2
d =0
2n 2n 1
2
5;13; 25; 41; 61; 85;
an 2n2 2n 1
todo n N : n 1
Determinación de los
coeficientes
b, d, e
n 3
Obtención del término general de la
sucesión.
2
o
4; 7;12;19; 28; 39;
para o an 2n2 2n 1
para todo n N : n 1
bn dn e
2
a1 ; a2 ; a3 ; ; an ;
o
an bn2 dn e
para todo n N : n 1
441
MATEMÁTICA
Para sucesiones o progresiones aritméticas cuyo primer término se obtiene para n = 0
Demostrar que an dn a1 permite obtener los términos de una sucesión aritmética para todo n natural, donde a1 es el primer término y d la
diferencia entre dos términos consecutivos (si la sucesión es decreciente
d < 0).
Demostración:
Inicio o paso base de inducción (garantizar que para el primer elemento n de ℕ se obtiene el primer término de la sucesión)
Para n = 0 se tiene a1 d 0 a1 0 a1 a1, a1 = a1 se cumple.
Hipótesis de inducción (suponer que para un número natural k cualquiera se obtiene un término de esa sucesión), es decir; ak dk a1
Tesis de inducción (de ak se deduce que el sucesor k + 1 es también un
término de la sucesión) de donde resulta; ak 1 d k 1 a1
Demostración (partiendo de la suposición (hipótesis) ak , debemos deducir la tesis (ak +1 )
ak dk a1 adicionando la diferencia d .
ak 1 dk a1 d
ak 1 dk d a1 d k 1 a1
ak 1 d k 1 a1
Conclusiones: Como an dn a1 se cumple para n = 0 , para un número
natural cualquiera y su sucesor, entonces se cumple para todo n natural.
2. Te proponemos para calcular las sumas parciales hasta el n-ésimo
término de una sucesión o progresión aritmética cuyo primer término
se obtiene para n = 0
442
ANEXOS
Demostrar que S n
n 1 dn 2a1
permite obtener las sumas par2
ciales de los términos de una sucesión aritmética para todo n natural.
Donde a1 es el primer término y d la diferencia entre dos términos consecutivos (si la sucesión es decreciente d < 0).
Se puede planear como: a1 a2 a3 dn a1
n 1 dn 2a1
2
S n .
Demostración:
Inicio o paso base de inducción (garantizar que para el primer elemento n de ℕ se obtiene el primer término de la sucesión)
Para n = 0 se tiene
S 0
0 1 d 0 2a1 1 0 2a1
2
2
2a1
a1, a1 = a1 se cumple.
2
Hipótesis de inducción (suponer que para un número natural k cualquiera se obtiene la suma parcial de n-ésima de los términos de esa
sucesión), es decir;
S k
k 1 dk 2a1
2
Tesis de inducción (de S k se deduce que la suma hasta el sucesor k + 1,
también se calcula mediante la relación) de la cual resulta;
k 1 1 d k 1 2a1 k 2 d k 1 2a1
S k 1
2
2
k 2 dk d 2a1
2
Demostración (partiendo de la suposición (hipótesis) S k , deducir la
tesis de inducción, S k 1
S k
k 1 dk 2a1
2
(adicionando el término sucesor ak 1 d k 1 a1 ).
443
MATEMÁTICA
S k 1
S k 1
k 1 dk 2a1
2
d k 1 a1
k 1 dk 2a1 2d k 1 2a1
2
dk 2 2a1k dk 2a1 2dk 2d 2a1
2
dk 2 2a1k dk 2dk 2d 4a1
2
dk 2 2dk dk 2d 2a1k 4a1
S k 1
2
S k 1
S k 1
dk k 2 d k 2 2a1 k 2
2
k 2 dk d 2a1
k 2 dk d 2a1
2
2
Conclusiones: como S n
n 1 dn 2a1
se cumple para n = 0 , para un
2
número natural cualquiera y su sucesor, entonces se cumple para todo
n natural.
3. Te proponemos para toda sucesión o progresión geométrica cuyo primer término se obtiene para n = 0
Demostrar que an a1 qn permite obtener los términos de una sucesión
geométrica para todo n natural.
donde a1 es el primer término y q el cociente entre dos términos consecutivos (si la sucesión es decreciente q < 1)
Demostración:
Inicio o paso base de inducción (garantizar que para el primer elemento n de ℕ se obtiene el primer término de la sucesión)
Para n = 0 se tiene a1 a1 q0 a1 1 a1, a1 = a1 se cumple, con q ≠ 0
444
ANEXOS
Hipótesis de inducción (suponer que para un número natural k cualquiera se obtiene un término de dicha sucesión), es decir;
ak a1 qk
Tesis de inducción (de ak se deduce que el sucesor k + 1 es también un
término de la sucesión) de donde resulta;
ak 1 a1 qk 1
Demostración
(partiendo de la suposición (hipótesis) ak , deducir la
tesis (ak +1 )
ak a1 qk multiplicando por el cociente q .
ak 1 a1 qk q1
ak 1 a1 qk 1
Conclusiones: Como an a1 qn se cumple para n = 0, para un número
natural cualquiera y su sucesor, entonces se cumple para todo n natural.
4. Te proponemos para toda suma parcial hasta el n-ésimo término de una
sucesión o progresión geométrica cuyo primer término se obtiene para
n=0
qn 1 1
permite obtener las sumas parciales de
q 1
los términos de una sucesión geométrica para todo n natural.
Demostrar que S n a1
Donde a1 es el primer término y d la diferencia entre dos términos consecutivos (si la sucesión es decreciente q < 1).
Se puede plantear como a1 a2 a3 a1 qn a1
qn 1 1
S n .
q 1
Demostración:
Inicio o paso base de inducción (garantizar que para el primer elemento n de ℕ se obtiene el primer término de la sucesión)
445
MATEMÁTICA
Para n = 0 se tiene
S 0 a1
cumple.
q0 1 1
q1 1
q 1
a1
a1
a1,
q 1
q 1
q 1
a1 = a1 se
Hipótesis de inducción (suponer que para un número natural k cualquiera se obtiene la suma parcial n-ésima de los términos de esa sucesión), es decir;
S k a1
qk 1 1
q 1
Tesis de inducción (de S k se deduce que la suma hasta el sucesor k + 1,
también se obtiene mediante la relación) de la cual resulta;
S k 1 a1
qk 2 1
q 1
Demostración (partiendo de la suposición (hipótesis) S k , deducir la
tesis de inducción, S k 1
S k a1
qk 1 1
(adicionando el término sucesor ak 1 a1 qk 1 ).
q 1
S k 1 a1
qk 1 1
a1 qk 1
q 1
qk 1 1 k 1
q 1 qk 1 qk 1 1
q a1
S k 1 a1
q 1
q 1
q qk 1 qk 1 qk 1 1
a1
q 1
S k 1 a1
qk 2 1
q 1
qn 1 1
se cumple para n = 0, para un núq 1
mero natural cualquiera y su sucesor, entonces se cumple para todo n
Conclusiones: como S n a1
natural.
446
ANEXOS
5. Ejemplo de aplicación de sucesiones:
Una microempresa artesanal, en su condición de persona jurídica, solicitó un préstamo de 100 mil pesos a otra empresa a la cual está asociada, con el objetivo de financiar su proyecto principal. El primer mes
debe pagar 500 pesos y cada mes siguiente pagará 500 pesos más que
el anterior hasta liquidar el préstamo. Suponiendo que no se cobrarán
intereses:
a) ¿Cuánto dinero debe la microempresa después del primer pago?
b) ¿De cuántos pesos es la deuda de la microempresa después del quinto pago?
c) ¿En cuántos meses se completará la liquidación del préstamo?
Resolución:
a) Los pagos forman una sucesión aritmética: 500; 1 000; 1 500; …
El primer término es a1 = 500 y la diferencia d = 500
n
Para adicionar los primeros n pagos usamos: S n 2a1 n 1 d .
2
Luego:
• Después del primer pago: pagó 500
Saldo = 100 000 – 500 = 99 500 pesos.
Respuesta: la microempresa debe después del primer pago es de
$99 500.00.
b) Saldos después del quinto pago:
5
• Después del quinto pago: S5 2 500 5 1 500
2
5
1000 2000 7500
2
Saldo = 100 000 − 7 500 = 92 500 pesos.
447
MATEMÁTICA
Respuesta: la deuda de la microempresa después del quinto pago
es de $ 92 500.
c) En este caso se requiere encontrar el menor número n de meses en
que se logra pagar el monto total del préstamo.
Paso 1: Plantear la condición para el número de pagos n,
se sustituye a1 = 500 y d = 500 de la fórmula general y se simplifica:
n
Sn 2 500 n 1 500 500n 250n n 1 250n 2 n 1
2
250n n 1
Paso 2: Resolver la inecuación:
250n n 1 100 000 dividiendo por 250 ambos miembros, se obtiene
n n 1 400 como buscamos el menor n que cumpla esta condición:
•
Si n = 20 → 20 · 21= 420 (sí alcanza).
Entonces, con 20 pagos ya se alcanza o supera la suma de 100 000 pesos.
Paso 3: Comprobar monto total pagado en 20 meses
Calculamos S(20) tenemos que S(20) = 250 · 20 · 21 = 105 000 pesos.
Como efectivamente supera los 100 000 pesos requeridos. Entonces, en
el vigésimo mes se liquida totalmente el préstamo.
Investiga y aprende
El préstamo entre empresas es un proceso que está sujeto a la supervisión
bancaria y a la ley, con la necesidad de contratos formales y garantías adecuadas. Cuando una empresa adquiere un préstamo para sus operaciones o
crecimiento, también asume una deuda y la obligación de pagar intereses
en el futuro.
¿Cuál sería el saldo final que se debe pagar si se acuerda un interés del
10 % sobre el monto total?
448
ANEXOS
Notas al capítulo 2
1. Otros ejercicios
4. Considera que en tu equipo de estudio deciden indagar sobre la
aceptación que tienen las personas acerca de algunos géneros musicales, en dependencia de lo cual deciden si el estudio lo hacen en la
comunidad o en la escuela. Según el género musical seleccionado:
a)
¿Cuál es la población que se debe estudiar?
b) ¿Le preguntarías a todas las personas de la comunidad o de la
escuela?
c) Proporciona un ejemplo de población y explica cuál sería una
muestra representativa, en base al estudio y el género musical
seleccionado.
5. Organicen el grupo en tres equipos al azar, y tomen sus estaturas y
pesos. Establezcan si existe alguna relación entre estas variables. La
variable independiente x será la altura y la variable y será el peso.
a) Realiza la tabla de distribución de frecuencias.
b) Realiza el diagrama de dispersión.
c) Calcula el coeficiente de correlación, ¿Qué tipo de correlación se
presenta entre las variables?
d) Consideras que existe una correlación nula, débil o fuerte entre
las variables.
e) ¿Cuál es la estatura media de los integrantes de tu equipo? ¿Cuál
es el peso aproximado de una persona con esa estatura?
f) ¿Cuál es la estatura que debe tener una persona que tiene masa
corporal de 65 kg?
2. Plantea al menos un ejemplo para el cual tenga sentido el uso del estadígrafo que se describe:
449
MATEMÁTICA
a) Es el estadígrafo más usado y mientras más pequeño sea su valor
significa que es más baja la variabilidad de los datos de la distribución de frecuencia.
b) Representa al promedio de las desviaciones elevadas. Sirve para determinar qué tan alejados se encuentran los datos de la media.
c) Es la diferencia entre el dato mayor y menor de la distribución.
d) Es el promedio de todos los datos.
e) Es el estadígrafo representado por el dato que ocupa el centro de
la distribución de frecuencia, cuando se encuentran ordenados de
menor a mayor.
f) Es el estadígrafo que representa al dato de mayor frecuencia en la
distribución.
3. Aquí le proponemos la demostración del teorema del binomio o Teorema del binomio de Newton
n
n
n
n N se tiene que a b an r br
r 0 r
n
n
n
n
n
a b an an 1b an 2 b2 an r br
0
1
2
r
n n 1 n n
ab b
n 1
n
n
n
n
n
n
n N se tiene que a b an an 1b an 2 b2 bn
0
1
2
n
Demostración:
Base de inducción:
Para n = 0, se tiene que:
En el miembro izquierdo tenemos a b 1
0
450
ANEXOS
n
n
Y en el miembro derecho, an bn según el teorema (el resto de
0
n
los términos se anulan, pues n es menor que k),
0
0 0 0 0
a o b 1 pues 1 no se adicionan los términos, para n = 0
0
0
0
el desarrollo del binomio solo tendrá n + 1 término, 1 en este caso es el
término independiente 1,
Se tiene que 1 = 1, se cumple la propiedad.
Hipótesis de inducción:
Supongamos que se cumple para un número natural arbitrario k, esto es
k
0
k
1
k
2
k
k
a b ak ak 1b ak 2 b2 bk
k
Tesis de inducción:
Debemos demostrar que se cumple para el sucesor de k, k + 1, es decir
que:
a b
k 1
k 1 k 1 k 1 k
k 1 k 1 2
k 1 k 1
a
a b
a b
b
0
1
2
k 1
Demostración:
Multipliquemos la hipótesis por a b para obtener el miembro izquierdo de la tesis.
k
0
k
1
k
2
k
k
a b a b a b ak ak 1b ak 2 b2 bk
k
Se aplica propiedad de la potencia en el miembro izquierdo y propiedad distributiva en el derecho.
a b
k 1
k
k
k
k
a ak ak 1b ak 2 b2 bk
1
2
k
0
k
k
k
k
+ b ak ak 1b ak 2 b2 bk
1
2
k
0
451
MATEMÁTICA
k
k
k
k
ak 1 ak b ak 1b2 abk
0
1
2
k
k
k
k
k k k k 1
ak b ak 1b2 ak 2 b3
ab b
1
2
k 1
k
0
k k
se agrupan los términos semejantes y se aplica 1
0 k
k
k
k
k
k
ak 1 ak b ak b ak 1b2 ak 1b2 abk
1
0
2
1
k
k k
k k 2 3
k 1
ab a b b
1
2
k
se extrae factor común en parejas
k k
k k
ak 1 ak b ak 1b2
1 0
2 1
k k k
k
k 1
ak 2 b3
ab b
1
k
k
2
n n n 1
por fórmula de Pascal
, tenemos que:
p p 1 p 1
k 1 k
k 1 k 1 2 k k 2 3
k 1 k
k 1
ak 1
a b
a b a b
ab b
1
2
2
k
k 1 k 1
pero
1
0 k 1
k 1 k 1 k 1 k
k 1 k 1 2 k k 2 3
k 1 k
a
a b
a b a b
ab
0
1
2
2
k
k 1 k 1
b
k 1
pero el exponente de b, representa contar todas las formas posibles
de elegir k elementos b y la suma de los exponentes de a y b es el ex k
ponente del binomio, en este caso k + 1, de donde ak 2 b3 equivale a
2
452
ANEXOS
k 1 k 2 3
k 1 k 1 2
a b que es precisamente el término sucesor de
a b que
3
2
no es necesario colocar, es decir;
k 1 k 1 k 1 k
k 1 k 1 2 k 1 k 2 3
a
a b
a b
a b
0
1
2
3
k 1 k
k 1 k 1
ab
b
k
k 1
como se quería,
Luego,
n
0
n
1
n
2
n n 1 n n
ab b
n 1
n
a b an an1b an2 b2
n
se cumple para todo n ∈ N.
Usando el símbolo de sumatoria n N se tiene que:
n
r 0 r
n
a b anr br
n
Demostración:
Base de inducción:
Para n = 0, se tiene que:
En el miembro izquierdo tenemos a b 1 (por propiedad de la
0
potencia)
Y en el miembro derecho,
n
n n r
r 0
0
0 0 r
r 0
r a b
r
n n
0 0 0 0
b 1 1 1 1, por propiedad 1
0 n
r a b 0a
r
Se tiene que 1 = 1, se cumple
453
MATEMÁTICA
Hipótesis de inducción:
Supongamos que la se cumple para un número natural arbitrario k,
esto es
k
r 0 r
k
a b ak r br
k
Tesis de inducción:
Debemos demostrar que la se cumple para el sucesor de k, k + 1, es decir
que:
a b
k 1
k 1 k 1
k 1 r r
b
a
r 0 r
Demostración:
Multipliquemos la hipótesis por a b para obtener el miembro
izquierdo de la tesis.
k
r 0 r
k
a b a b a b ak r br
k
Se aplica propiedad de la potencia en el miembro izquierdo y propiedad distributiva en el derecho.
a b
k 1
k
k
k
k
a ak r br b ak r br
r 0 r
r 0 r
Se introduce cada factor en la sumatoria
k
k
k
k
a ak r br b ak r br
r 0 r
r 0 r
Se aplica propiedad de la potencia.
k
k
k
k
ak 1 r br ak r br 1
r 0 r
r 0 r
Adicionamos 1 a r en el segundo sumando para obtener los mismos exponentes (por propiedad de la sumatoria) tenemos que:
454
ANEXOS
k
k
k
k k r 1 r 11 k k k 1 r r k k k 1 r r
ak 1 r br
b
b
b
a
a
a
r 0 r
r 0 1 r 1
r 1 r 1
r 0 r
k
k
k
k
ak 1 r br ak 1 r br
r 0 r
r 1 r
Desarrollamos el primer sumando para el primer término, es decir; para
r = 0, para poder operar con la sumatoria.
k
k
k
k
k k 1r r
ak 10 b0 ak 1 r br
b
a
0
r
r 1
r 1 r 1
Efectuamos la adición y extraemos factor común.
k
k
k
k k 1 r r
ak 10 b0 ak 1 r br
b
a
r 1 r
0
r 1
k
k k k 1 r r
k
ak 10 b0
b
a
r 1 r
0
r 1
n n n 1
aplicamos la fórmula de Pascal
, tenemos que:
p p 1 p 1
k
k
k 1 k 1 r r
ak 10 b0
b
a
r 1 r
0
k 1 k 10 0
k
pero como ak 10 b0
b es la suma para r = 0 pues
a
0
0
k k 1
, obtenemos que:
0 0
k
k 1 k 1 r r
b
a
r 0 r
Luego,
n
r 0 r
n
a b anr br
n
se cumple para todo n ∈ N.
455
MATEMÁTICA
1.
Atención
Es importante que, al resolver ejercicios y problemas sobre la planimetría,
en el cálculo de área y perímetro, tengas la identificación de herramientas
que te permiten integrar contenidos matemáticos conocidos en grados anteriores. Para el cálculo de la longitud de un lado, necesitas aplicar algunas
de ellas, las que relacionan a continuación:
• Las propiedades de las figuras. Segmentos de rectas notables.
• El despeje en fórmula.
• El grupo de Teoremas de Pitágoras.
• Las razones trigonométricas (directa o indirecta). Propiedad del triángulo
rectángulo con un ángulo interior de 30o.
• La ley de los senos y la ley de los cosenos.
• Los elementos homólogos de triángulos iguales.
• Los lados proporcionales en triángulos semejantes.
• La proporcionalidad entre los perímetros y la razón de semejanza y entre
esta última al cuadrado y las áreas de los triángulos semejantes.
• El Teorema de las Transversales.
Estas, además; te serán de gran utilidad en el cálculo de cuerpos geométricos.
2. Resumen de las relaciones de rectas en el espacio:
Dos rectas en el espacio
Pueden
Tener un punto en
No tener puntos en
común
común
Son secantes
456
Son paralelas
Son alabeadas
ANEXOS
3. Como parte de las relaciones entre rectas y planos, se concluye que:
Una recta y un plano
Pueden tener en común
Dos puntos
Un punto
Ningún punto
Puede ser
La recta está
contenida en el
plano
La recta es
paralela al plano
Oblicua
al plano
Si
Perpendicular
al plano
Si
La recta es
perpendicular a
solo una recta
contenida en el
plano
La recta es perpendicular al menos a dos rectas
contenidas en el
plano que se cortan en el pie de
la perpendicular
4. Otros ejercicios del epígrafe 4.1
11. Demuestra que el área de cualquier cuadrilátero convexo es igual
al semiproducto de sus diagonales multiplicado por el seno de un
ángulo de los que estas determinan al cortarse.
12. Sean θ, un ángulo central (en radianes) de una circunferencia de
radio r ; b y c su arco y cuerda corrrespondiente respectivamente.
Demuestra que:
a) c 2r sen
2
b) b r
5. Otro ejercicio del epígrafe 4.2
457
MATEMÁTICA
20. Un ingeniero diseña un soporte para un panel solar. El soporte consta de:
• 4 columnas verticales ubicadas en los puntos A 1; 0; 0 , B 4 ; 0; 0 ,
C 1; 3; 0 , y D 4 ; 3; 0 (en metros).
• Las vigas diagonales que conectan A con E 2,5; 1,5; 2 y B con E.
• El panel solar está definido por los puntos E(2,5; 1,5; 2),
F 2,5; 1,5; 4 , y G 5; 4 ,5; 4 .
20.1 Verificación de la base del soporte:
a) Demuestra que las columnas A, B, C y D forman un rectángulo
en el plano z = 0.
b) Calcula la longitud de las diagonales AC y BD, las que garantizan la estabilidad.
20.2 Análisis de vigas diagonales:
a) Determina si las rectas que contienen a los puntos A y E, B y E
son rectas oblicuas, paralelas, o si se intersectan.
b) Encuentra el ángulo entre las vigas AE y BE.
20.3 Posición del panel solar:
a) Demuestra que los puntos E, F y G definen un plano.
Fundamenta.
b) Verifica si el panel solar (plano EFG) es paralelo u oblicuo al
suelo (plano z = 0).
20.4 Cálculo de áreas:
a) Calcula el área del panel solar.
b) Si el soporte tiene una estructura prismática entre los planos z = 0
y z = 2, calcula su área lateral.
20.5 Volumen del soporte:
458
ANEXOS
a) Calcula el valor del volumen del espacio entre el suelo (z = 0) y el
panel solar (plano EFG), considerando que el prisma es recto.
Respuestas. Anexos
20. (de la nota 5 al capítulo 4 de los anexos)
20.1 Verificación de la base del soporte
a)
1. Lados opuestos iguales:
x A x B y A y B z A zB
2
– Longitud de AB: AB
2
AB
4 1 0 0 0 0
CD
xC xD y C y D zC zD
CD
4 1 3 3 0 0
BC
xB xC y B y C zB zC
BC
1 4 3 0 0 0
AD
x A x D y A y D z A zD
AD
4 1 3 0 0 0
2
2
2
2
32 3, 0 m
2
2
2
2
2
32 3, 0 m
2
2
2
2
2
2
2
2
99 3 2 m
2
2
2
2
2
99 3 2 m
2. Ángulos rectos:
– Vectores AB 3; 0; 0 y AD 0; 3; 0 .
– Producto escalar: AB AD 3 0 0 3 0 0 0 .
– Conclusión: Es un rectángulo.
Para el análisis de este inciso a) puedes utilizar los conocimientos
adquiridos en Física 10.o y 11.o grado donde trabajaste el producto
459
MATEMÁTICA
vectorial y producto cruz respectivamente. Aquí es conveniente trabajarlo desde las coordenadas de los puntos. O al analizar inciso b)
para concluir que la base es un rectángulo.
b) Longitud de las diagonales AC y BD:
AC
x A xC y A y C z A zC
AC
1 1 3 0 0 0
BD
x B x D y B y D zB zD
BD
4 4 3 0 0 0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
32 3, 0 m
2
2
32 3, 0 m
20.2 Análisis de vigas diagonales
a) Rectas AE y BE:
– Recta AE pasa por los puntos A 1; 0; 0 y E 2,5; 1,5; 2 :
– Recta BE pasa por los puntos B 4 ; 0; 0 y E 2,5; 1,5; 2 :
Ambas rectas pasan por E, por lo tanto se intersectan en E.
b) Ángulo entre las rectas AE y BE:
– Vectores directores: AE 1,5; 1,5; 2 , BE 1,5; 1,5; 2 .
– Producto escalar:
AB AD 1,5 1,5 1,5 1,5 2 2 2, 25 2, 25 4 4.
– Magnitudes:
AE 1,52 1,52 22 2, 25 2, 25 4 8,5 m
BE
1,5 1,52 22
2
2, 25 2, 25 4 8,5 m
– Ángulo θ:
cos
460
4
0, 4706 61, 9o.
8 ,5
ANEXOS
Para el análisis de este inciso 1.2 b) si no es posible llegar por el trabajo con vectores. Te sugerimos la ayuda de un asistente matemático
(GeoGebra)
20.3 Posición del panel solar
a) Demostrar que los puntos E, F , G determinan un plano:
– Puntos:
– E 2,5; 1,5; 2 , F 2,5; 1,5; 4 , G 5; 4 ,5; 4 .
EF
x E x F y E y F zE zF
EF
2,5 2,5 1,5 1,5 2 4
FG
xF xG y F y G zF zG
FG
2,5 5 1,5 4,5 4 4
EG
xE xG y E y G zE zG
ED
2,5 5 1,5 4,5 2 4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22 2, 0 m
61
3, 91 m
2
2
2
77
4 , 39 m
2
Aplicando desigualdad triangular
2 3, 91 m 4 , 39 m
3, 91 m 2 4 , 39 m
4 , 39 m 2 3, 91 m
Tenemos que es posible constriur un triángulo con los tres puntos, lo
que verifica que estos puntos no están alineados y por tanto, determina un único plano (EFG).
b) Paralelismo entre el panel (EFG) y el suelo (z = 0):
– Vector EF F E 2,5 2,5;1,5 1,5; 4 2 0; 0; 2 .
– Vector EG G E 5 2,5; 4 ,5 1,5; 4 2 2,5; 3; 2 .
i
j k
EF EG 0 0 2 6;5; 0
2, 5 3 2
461
MATEMÁTICA
El plano z = 0 es el plano xy, el vector normal de z = 0 es 0; 0;1 y no es
paralelo al vector normal 6;5; 0 del plano EFG.
Los planos no son paralelos se intersectan.
Otra vía sería
– Vector normal del panel: nEFG 6; 5; 0 .
– Vector normal del suelo: nz 0 0; 0; 1 .
– Producto escalar: nEFG nz 0 6 0 5 0 0 1 0.
Como el producto escalar es cero, los vectores normales son perpendiculares lo que implica que los planos también los son.
Otra manera pudiera ser, con ayuda del GeoGebra, al introducir las coordenadas del plano EFG y la ecuación del plano z = 0 en la vista gráfica 3D
y se notará que se cortan. Al seleccionar un punto P que no pertenezca a
ninguno de los planos, se traza una perpendiclar al plano EFG. Indicamos
un punto Q de la recta tal que Q ≠ P y que no pertenezca al plano EFG y,
el origen de coordenadas y procedemos a mediar la amplitud del OPQ,
se verifica que es de 90o por lo que los planos son perpendiculars.
20.4 Cálculo de áreas
a) Área del panel solar (triángulo EFG):
– Vectores EF 0; 0; 2 y EG 2,5; 3; 2 .
– Producto vectorial: EF EG 6;5; 0 .
– Magnitud: EF EG
– Área:
462
6 52 02
1
61 ≈ 3, 905 m2.
2
2
61.
ANEXOS
Otra vía conocida por los estudiantes, como se conocen las longitudes
de los lados del triángulo EFG, su área se puede determinar aplicando
la fórmula de Herón.
Sea p el semiperímetro del triángulo pEFG
AEFG p p EF
EF FG EG
y su área
2
p FG p EG
pEFG
EF FG EG
2
pEFG
2 3, 905 4 , 387 10, 292
5,15 m
2
2
AEFG 5,146 5,146 2 5,146 3, 905 5,146 4 , 387
5,146 3,146 1, 241 0, 759 15, 25 3, 905 m2 3, 9 m2
b) Área lateral del soporte prismático:
– Base: Rectángulo ABCD con perímetro:
2 3 18 2 3 4 , 243 14 , 486 m.
– Altura del prisma: 2 m entre z = 0 y z = 2.
– Área lateral: P base h 14 , 486 2 28, 97 m2 29 m2 .
20.5 Volumen del soporte
a) Volumen entre z = 0 y el plano EFG:
– Método: Usar el área de la base ABCD y la altura promedio, conciderando que el prisma es recto.
– Área de la base: 3 3 2 9 2 m2 (rectángulo).
– Altura promedio: Dado que el plano EFG está en (z = 2) a (z = 4), pero
la estructura prismática llega hasta (z = 2), el volumen se calcula
como:
Volumen = Abase ⋅ h
9 2 2 18 2 25 m3 .
463
Tabla de senos y cosenos
Seno
Grad.
,0
,1
,2
,3
,4
,5
,6
,7
,8
,9
(1,0)
0
0,0000
0,0017
0,0035
0,0052
0,0070
0,0087
0,0105
0,0122
0,0140
0,0157
0,0175
89
1
0,0175
0,0192
0,0209
0,0227
0,0244
0,0262
0,0279
0,0297
0,0314
0,0332
0,0349
88
2
0,0349
0,0366
0,0384
0,0401
0,0419
0,0346
0,0454
0,0471
0,0488
0,0506
0,0523
87
3
0,0523
0,0541
0,0558
0,0576
0,0593
0,0610
0,0628
0,0645
0,0663
0,0680
0,0698
86
4
0,0698
0,0715
0,0732
0,0750
0,0767
0,0785
0,0802
0,0819
0,0837
0,0854
0,0872
85
5
0,0872
0,0889
0,0906
0,0924
0,0941
0,0958
0,0976
0,0993
0,1011
0,1028
0,1045
84
6
0,1045
0,1063
0,1080
0,1097
0,1115
0,1132
0,1149
0,1167
0,1184
0,1201
0,1219
83
7
0,1219
0,1236
0,1253
0,1271
0,1288
0,1305
0,1323
0,1340
0,1357
0,1374
0,1392
82
8
0,1392
0,1409
0,1426
0,1444
0,1461
0,1478
0,1495
0,1513
0,1530
0,1547
0,1564
81
9
0,1564
0,1582
0,1599
0,1616
0,1633
0,1650
0,1668
0,1685
0,1702
0,1719
0,1736
80
10
0,1736
0,1754
0,1771
0,1788
0,1805
0,1822
0,1840
0,1857
0,1874
0,1891
0,1908
79
11
0,1908
0,1925
0,1942
0,1959
0,1977
0,1994
0,2011
0,2028
0,2045
0,2062
0,2079
78
12
0,2079
0,2096
0,2113
0,2130
0,2147
0,2164
0,2181
0,2198
0,2215
0,2233
0,2250
77
13
0,2250
0,2267
0,2284
0,2300
0,2317
0,2334
0,2351
0,2368
0,2385
0,2402
0,2419
76
14
0,2419
0,2436
0,2453
0,2470
0,2487
0,2504
0,2521
0,2538
0,2554
0,2571
0,2588
75
15
0,5288
0,2605
0,2622
0,2639
0,2656
0,2672
0,2689
0,2706
0,2723
0,2740
0,2756
74
16
0,2756
0,2773
0,2790
0,2807
0,2823
0,2840
0,2857
0,2874
0,2890
0,2907
0,2924
73
17
0,2924
0,2940
0,2957
0,2974
0,2990
0,3007
0,3024
0,3040
0,3057
0,3074
0,3090
72
18
0,3090
0,3107
0,3123
0,3140
0,3156
0,3173
0,3190
0,3206
0,3223
0,3239
0,3256
71
19
0,3256
0,3272
0,3289
0,3305
0,3322
0,3338
0,3355
0,3371
0,3387
0,3404
0,3420
70
20
0,3420
0,3437
0,3453
0,3469
0,3486
0,3502
0,3518
0,3535
0,3551
0,3567
0,3584
69
21
0,3584
0,3600
0,3616
0,3633
0,3649
0,3665
0,3681
0,3697
0,3714
0,3730
0,3746
68
22
0,3746
0,3762
0,3778
0,3795
0,3811
0,3827
0,3843
0,3859
0,3875
0,3891
0,3907
67
23
0,3907
0,3923
0,3939
0,3955
0,3971
0,3987
0,4003
0,4019
0,4035
0,4051
0,4067
66
24
0,4067
0,4083
0,4099
0,4115
0,4131
0,4147
0,4163
0,4179
0,4195
0,4210
0,4226
65
25
0,4226
0,4242
0,4258
0,4274
0,4289
0,4305
0,4321
0,4337
0,4352
0,4368
0,4384
64
26
0,4384
0,4399
0,4415
0,4431
0,4446
0,4462
0,4478
0,4493
0,4509
0,4524
0,4540
63
27
0,4540
0,4555
0,4571
0,4586
0,4602
0,4617
0,4633
0,4648
0,4664
0,4679
0,4695
62
61
28
0,4695
0,4710
0,4726
0,4741
0,4756
0,4772
0,4787
0,4802
0,4818
0,4833
0,4848
29
0,4848
0,4863
0,4879
0,4894
0,4909
0,4924
0,4939
0,4955
0,4970
0,4985
0,5000
60
30
0,5000
0,5015
0,5030
0,5045
0,5060
0,5075
0,5090
0,5105
0,5120
0,5135
0,5150
59
31
0,5150
0,5165
0,5180
0,5195
0,5210
0,5225
0,5240
0,5255
0,5270
0,5284
0,5299
58
32
0,5299
0,5314
0,5329
0,5344
0,5358
0,5373
0,5388
0,5402
0,5417
0,5432
0,5446
57
33
0,5446
0,5461
0,5476
0,5490
0,5505
0,5519
0,5534
0,5548
0,5563
0,5577
0,5592
56
34
0,5592
0,5306
0,5621
0,5635
0,5650
0,5664
0,5678
0,5693
0,5707
0,5721
0,5736
55
35
0,5736
0,5750
0,5764
0,5779
0,5793
0,5807
0,5821
0,5835
0,5850
0,5864
0,5878
54
36
0,5878
0,5892
0,5906
0,5920
0,5934
0,5948
0,5962
0,5976
0,5990
0,6004
0,6018
53
37
0,6018
0,6032
0,6046
0,6060
0,6074
0,6088
0,6101
0,6115
0,6129
0,6143
0,6157
52
38
0,6157
0,6170
0,6184
0,6198
0,6211
0,5225
0,6239
0,6252
0,6266
0,6280
0,6293
51
39
0,6293
0,6307
0,6320
0,6334
0,6347
0,6361
0,6374
0,6388
0,6401
0,6414
0,6428
50
40
0,6428
0,6441
0,6455
0,6468
0,6481
0,6494
0,6508
0,6521
0,6534
0,6547
0,6561
49
41
0,6561
0,6574
0,6587
0,6600
0,6613
0,6626
0,6639
0,6652
0,6665
0,6678
0,6691
48
42
0,6691
0,6704
0,6717
0,6730
0,6743
0,6756
0,6769
0,6782
0,6794
0,6807
0,6820
47
43
0,6820
0,6833
0,6845
0,6858
0,6871
0,6884
0,6896
0,6909
0,6921
0,6934
0,6947
46
44
0,6947
0,6959
0,6972
0,6984
0,6997
0,7009
0,7022
0,7034
0,7046
0,7059
0,7071
45
(1,0)
,9
,8
,7
,6
,5
,4
,3
,2
,1
,0
Grad.
Coseno
Tabla de senos y cosenos
Seno
Grad.
,0
,1
,2
,3
,4
,5
,6
,7
,8
,9
(1,0)
45
0,7071
0,7083
0,7096
0,7108
0,7120
0,7133
0,7145
0,7157
0,7169
0,7181
0,7193
44
46
0,7193
0,7206
0,7218
0,7230
0,7242
0,7254
0,7266
0,7278
0,7290
0,7302
0,7314
43
47
0,7314
0,7325
0,7337
0,7349
0,7361
0,7373
0,7385
0,7396
0,7408
0,7420
0,7431
42
48
0,7431
0,7443
0,7455
0,7466
0,7478
0,7490
0,7501
0,7513
0,7524
0,7536
0,7547
41
49
0,7547
0,7559
0,7570
0,7581
0,7593
0,7604
0,7615
0,7627
0,7638
0,7649
0,7660
40
50
0,7660
0,7672
0,7683
0,7694
0,7705
0,7716
0,7727
0,7738
0,7749
0,7760
0,7771
39
51
0,7771
0,7782
0,7793
0,7804
0,7815
0,7826
0,7837
0,7848
0,7859
0,7869
0,7880
38
52
0,7880
0,7891
0,7902
0,7912
0,7923
0,7934
0,7944
0,7955
0,7965
0,7976
0,7986
37
53
0,7986
0,7997
0,8007
0,8018
0,8028
0,8039
0,0849
0,8059
0,8070
0,8080
0,8090
36
54
0,8090
0,8100
0,8111
0,8121
0,8131
0,8141
0,8151
0,8161
0,8171
0,8181
0,8192
35
55
0,8192
0,8202
0,8211
0,8221
0,8231
0,8241
0,8251
0,8261
0,8271
0,8281
0,8290
34
56
0,8290
0,8300
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1,000
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1,000
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(1,0)
,9
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,7
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,1
,0
Grad.
Coseno
Tabla de tangentes y cotangentes
Tangente
Grad.
,0
,1
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,3
,4
,5
,6
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,8
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45
(1,0)
,9
,8
,7
,6
,5
,4
,3
,2
,1
,0
Grad.
Cotangente
Tabla de tangentes y cotangentes
Tangente
Grad.
,0
,1
,2
,3
,4
,5
,6
,7
,8
,9
45
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111
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1,111
115
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Grad.
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Grad.
Cosecante
Tabla de secantes y cosecantes
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53
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685
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1,701
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*013
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278
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559
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764
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*091
*203
7
83
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326
446
569
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9,569
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84
9,569
9,728
9,891
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10,25
10,40
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10,82
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87
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….
0
(1,0)
,9
,8
,7
,6
,5
,4
,3
,2
,1
,0
Grad.
Cosecante
La función y = x²; 1,00 ≤ x ≤ 5,49 (Cuadrados)
x
0
1
2
3
4
5
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7
8
9
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1,000
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1,638
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1,690
1,716
1,742
1,769
1,796
1,822
1,850
1,877
1,904
1,932
1,4
1,960
1,988
2,016
2,045
2,074
2,102
2,132
1,161
2,190
2,220
1,5
2,250
2,280
2,310
2,341
2,372
2,402
2,434
2,465
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1,6
2,560
2,592
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2,657
2,690
2,722
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1,7
2,890
2,924
2,958
2,993
3,028
3,062
3,098
3,133
3,168
3,204
1,8
3,240
3,276
3,312
3,349
3,386
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3,460
3,497
3,534
3,572
1,9
3,610
3,648
3,686
3,725
3,764
3,802
3,842
3,881
3,920
3,960
2,0
4,000
4,040
4,080
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4,285
4,326
4,368
4,796
2,1
4,410
4,452
4,494
4,537
4,580
4,622
4,666
4,709
4,752
2,2
4,840
4,884
4,928
4,973
5,018
5,062
5,108
5,153
5,198
5,244
2,3
5,290
5,336
5,382
5,429
5,476
5,522
5,570
5,617
5,664
5,712
2,4
5,760
5,808
5,856
5,905
5,954
6,002
6,052
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6,250
6,300
6,350
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6,452
6,502
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6,605
6,656
6,708
7,236
2,6
6,760
6,812
6,864
6,917
6,970
7,022
7,076
7,129
7,182
2,7
7,290
7,344
7,398
7,453
7,508
7,562
7,618
7,673
7,728
7,784
2,8
7,840
7,896
7,952
8,009
8,066
8,122
1,180
8,237
8,294
8,352
2,9
8,410
8,468
8,526
8,585
8,644
8,702
8,762
8,821
8,880
8,940
3,0
9,000
9,060
9,120
9,181
9,242
9,302
9,364
9,425
9,486
9,548
3,1
9,610
9,672
9,734
9,797
9,860
9,922
9,986
10,05
10,11
10,18
3,2
10,24
10,30
10,37
10,43
10,50
10,56
10,63
10,69
10,76
10,82
3,3
10,89
10,96
11,02
11,09
11,16
11,22
11,29
11,36
11,42
11,49
3,4
11,56
11,63
11,70
11,76
11,83
11,90
11,97
12,04
12,11
12,18
3,5
12,25
12,32
12,39
12,46
12,53
12,60
12,67
12,74
12,82
12,89
3,6
12,96
13,03
13,10
13,18
13,25
13,32
13,40
13,47
13,54
13,62
3,7
13,69
13,76
13,84
13,91
13,99
14,06
14,14
14,21
14,29
14,36
3,8
14,44
14,52
14,59
14,67
14,75
14,82
14,90
14,98
15,05
15,13
3,9
15,21
15,29
15,37
15,44
15,52
15,60
15,68
15,76
15,84
15,92
4,0
16,00
16,08
16,16
16,24
16,32
16,40
16,48
16,56
16,65
16,73
17,56
4,1
16,81
16,89
16,97
17,06
17,14
17,22
17,31
17,39
17,47
4,2
17,64
17,72
17,81
17,89
17,98
18,06
18,15
18,23
18,32
18,40
4,3
18,49
18,58
18,66
18,75
18,84
18,92
19,01
19,10
19,18
19,27
4,4
19,36
19,45
19,54
19,62
17,71
19,80
19,89
19,98
20,07
20,16
4,5
20,25
20,34
20,43
20,52
20,61
20,70
20,79
20,88
20,98
21,07
4,6
21,16
21,25
21,34
21,44
21,53
21,62
21,72
21,81
21,90
22,00
4,7
22,09
22,18
22,28
22,37
22,47
22,56
22,66
22,75
22,85
22,94
4,8
23,04
23,14
23,23
23,33
23,43
23,52
23,62
23,72
23,81
23,91
4,9
24,01
24,11
24,21
24,30
24,40
24,50
24,60
24,70
24,80
24,90
5,0
25,00
25,10
25,20
25,30
25,40
25,50
25,60
25,70
25,81
25,91
5,1
26,01
26,11
24,21
26,32
26,42
26,52
26,63
26,73
26,83
26,94
5,2
27,04
27,14
27,25
27,35
27,46
27,56
27,67
27,77
27,88
27,98
5,3
28,09
28,20
28,30
28,41
28,52
28,62
28,73
28,84
28,94
29,05
5,4
29,16
29,27
29,38
29,48
29,59
29,70
29,81
29,92
30,03
30,14
Si se corre la coma en x un lugar a la derecha (izquierda), se debe correr en x² dos lugares a la derecha (izquierda).
La función y = x²; 5,50 ≤ x ≤ 9,99 (Cuadrados)
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
5,5
30,25
30,36
30,47
30,58
30,69
30,80
30,91
31,02
31,14
31,25
5,6
31,36
31,47
31,58
31,70
31,81
31,92
32,04
32,15
32,26
32,38
5,7
32,49
32,60
32,72
32,83
32,95
33,06
33,18
33,29
33,41
33,52
34,69
5,8
33,64
33,76
33,87
33,99
34,11
34,22
34,34
34,46
34,57
5,9
34,81
34,93
35,05
35,16
35,28
35,40
35,52
35,64
35,76
35,88
6,0
36,00
36,12
36,24
36,36
36,48
36,60
36,72
36,84
36,97
37,09
6,1
37,21
37,33
37,45
37,58
37,70
37,82
37,95
38,07
38,19
38,32
6,2
38,44
38,56
38,69
38,81
38,94
39,06
39,19
39,31
39,44
39,56
6,3
39,69
39,82
39,94
40,07
40,20
40,32
40,45
40,58
40,70
40,83
6,4
40,96
41,09
41,22
41,34
41,47
41,60
41,73
41,86
41,99
42,12
6,5
42,25
42,38
42,51
42,64
42,77
42,90
43,03
43,16
43,30
43,43
6,6
43,56
43,69
43,82
43,96
44,09
44,22
44,36
44,49
44,62
44,76
46,10
6,7
44,89
45,02
45,16
45,29
45,43
45,56
45,70
45,83
45,97
6,8
46,24
46,38
46,51
46,65
46,79
46,92
47,06
47,20
47,33
47,47
6,9
47,61
47,75
47,89
48,02
48,16
48,30
48,44
48,58
48,72
48,86
7,0
49,00
49,14
49,28
49,42
49,56
49,70
49,84
49,98
50,13
50,27
7,1
50,41
50,55
50,69
50,84
50,98
51,12
51,27
51,41
51,55
51,70
7,2
51,84
51,98
52,13
52,27
52,42
52,56
52,71
52,85
53,00
53,14
7,3
53,29
53,44
53,58
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53,88
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54,61
7,4
54,76
54,91
55,06
55,20
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55,50
55,65
55,80
55,95
56,10
7,5
56,25
56,40
56,55
56,70
56,85
57,00
57,15
57,30
57,46
57,61
7,6
57,76
57,91
58,06
58,22
58,37
58,52
58,68
58,83
58,98
59,14
7,7
59,29
59,44
59,60
59,75
59,91
60,06
60,22
60,37
60,53
60,68
7,8
60,84
61,00
61,15
61,31
61,47
61,62
61,72
61,94
62,09
62,25
7,9
62,41
62,57
62,73
62,88
63,04
63,20
63,36
63,52
63,68
63,84
8,0
64,00
64,16
64,32
64,48
64,64
64,80
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65,12
65,29
65,45
8,1
65,61
65,77
65,93
66,10
66,26
66,42
66,59
66,75
66,91
67,08
8,2
67,24
67,00
13,84
13,91
13,99
14,06
14,14
14,21
14,29
14,36
8,3
68,89
69,06
69,22
69,39
69,56
69,72
69,89
70,06
70,22
70,39
8,4
70,56
70,73
70,90
71,06
71,23
71,40
71,57
71,74
71,91
72,08
8,5
72,25
72,42
72,59
72,76
72,93
73,10
73,27
73,44
73,62
73,79
8,6
73,96
74,13
74,30
74,48
74,65
74,82
75,00
75,17
75,34
75,52
8,7
75,69
75,86
76,04
76,21
76,39
76,56
76,74
7691,00
77,09
77,26
8,8
77,44
77,62
77,79
77,97
78,15
78,32
78,50
78,58
78,85
79,03
8,9
79,21
73,39
79,57
79,74
79,92
80,10
80,28
80,46
80,64
80,82
9,0
81,00
81,18
81,36
81,54
81,72
81,90
82,08
82,26
82,45
82,63
9,1
82,81
82,99
83,17
83,36
83,54
83,82
83,91
84,09
84,27
84,46
9,2
84,64
84,82
85,01
85,19
85,38
85,56
85,75
85,93
86,12
86,30
9,3
86,49
86,68
86,86
87,05
87,24
87,42
87,61
87,80
87,98
88,17
9,4
88,36
88,55
88,74
88,92
89,11
89,30
89,49
89,68
89,87
90,06
9,5
90,25
90,44
90,63
90,82
91,01
91,20
91,39
91,58
91,78
91,97
9,6
92,16
92,35
92,54
92,74
92,93
93,12
93,32
93,51
93,70
93,90
9,7
94,09
94,28
94,48
94,67
94,87
95,06
95,26
95,45
95,65
95,84
9,8
96,04
96,24
96,43
96,63
96,83
97,02
97,22
97,42
97,61
97,81
9,9
98,01
98,21
98,41
98,60
98,80
99,00
99,20
99,40
99,60
99,80
8,47² = 71,74
0,847² = 0,7174
21, 44 = 4 , 63
84,7² = 7174
8,472² = 71,77
21, 44 = 46 , 3
0 , 2144 = 0 , 463
La función y = x³; 1,00 ≤ x ≤ 5,49
x
0
1
2
3
1,0
1,000
1,030
1,061
1,093
1,1
1,331
1,368
1,405
1,443
1,2
1,728
1,772
1,816
1,861
1,3
2,197
2,248
2,300
1,4
2,744
2,803
1,5
3,375
1,6
4
5
6
7
8
9
1,158
1,191
1,225
1,260
1,295
1,482
1,521
1,561
1,602
1,643
1,685
1,907
1,953
2,000
2,048
2,097
2,147
2,353
2,406
2,460
2,515
2,571
2,628
2,686
2,863
2,924
2,986
3,049
3,112
3,177
3,242
3,308
3,443
3,512
3,582
3,652
3,724
3,796
3,870
3,944
4,020
4,096
4,173
4,252
4,331
4,411
4,492
4,574
4,657
4,742
4,827
1,7
4,913
5,000
5,088
5,178
5,268
5,359
5,452
5,545
5,640
5,735
1,8
5,832
5,930
6,029
6,128
6,230
6,332
6,435
6,539
6,645
6,751
1,9
6,859
6,968
7,078
7,189
7,301
7,415
7,530
7,645
7,762
7,881
2,0
8,000
8,121
8,242
8,365
8,490
8,615
83,742
8,870
8,999
9,129
2,1
9,261
9,394
9,528
9,664
9,800
9,938
10,08
10,22
10,36
10,50
2,2
10,65
10,79
10,96
11,09
11,24
11,39
11,54
11,70
11,85
12,01
2,3
12,17
12,33
12,49
12,65
12,81
12,98
13,14
13,31
13,48
13,65
2,4
13,82
140,00
14,17
14,35
14,53
14,71
14,89
15,07
15,25
15,44
2,5
15,63
15,81
16,00
16,19
16,39
16,58
16,78
16,97
17,17
17,37
2,6
17,58
17,78
17,98
18,19
18,40
18,61
18,82
19,03
19,25
19,47
2,7
19,68
19,90
20,12
20,35
20,57
20,80
21,02
21,25
21,40
21,72
2,8
21,95
22,19
22,43
22,67
22,91
23,15
23,39
23,64
23,89
24,14
2,9
24,39
24,64
24,90
25,15
25,41
25,67
25,93
26,20
26,46
26,73
3,0
27,00
27,27
27,54
27,82
28,09
28,37
28,65
28,93
29,22
29,50
3,1
29,79
30,08
30,37
30,66
30,96
31,26
31,55
31,86
32,16
32,46
3,2
32,77
33,08
33,39
33,70
34,01
34,33
34,65
34,90
35,29
35,61
3,3
35,94
36,26
36,59
36,93
37,26
37,60
37,93
38,27
38,61
38,96
3,4
39,30
39,65
40,00
40,35
40,71
41,06
41,42
41,78
42,14
42,51
3,5
42,88
43,24
43,61
43,99
44,36
44,74
45,12
45,50
45,88
46,27
3,6
46,66
47,05
47,44
47,83
48,23
48,63
49,03
49,43
49,84
50,24
3,7
50,65
51,06
51,48
51,90
52,31
52,73
53,16
53,58
54,01
54,44
3,8
54,87
55,31
55,74
56,18
56,62
57,07
57,51
57,96
58,41
58,86
3,9
59,32
59,78
60,24
60,70
61,16
61,63
62,10
62,57
63,04
63,52
4,0
64,00
64,48
64,96
65,45
65,94
66,43
66,92
67,42
67,92
68,42
4,1
68,92
69,43
69,93
70,44
70,96
71,47
71,99
72,51
73,03
73,56
4,2
74,09
74,62
75,15
75,69
76,23
76,77
77,31
77,85
78,40
78,95
4,3
79,51
80,06
80,62
81,18
81,75
82,31
82,88
83,45
84,03
84,60
4,4
85,18
85,77
86,35
86,94
87,53
88,12
88,72
89,31
89,92
90,52
4,5
91,13
91,73
92,35
92,96
93,58
94,20
94,82
95,44
96,07
96,70
4,6
97,34
97,97
98,61
99,25
99,90
100,5
101,2
101,8
102,5
103,2
4,7
103,8
104,5
105,2
105,8
106,5
107,2
107,9
108,5
109,2
109,9
4,8
110,6
111,3
112,0
112,7
113,4
114,1
114,8
115,5
116,2
116,9
4,9
117,6
118,4
119,1
119,8
120,6
121,3
122,0
122,8
123,5
124,3
5,0
125,0
125,8
126,5
127,3
128,0
128,8
129,6
130,3
131,1
131,9
5,1
132,7
133,4
134,2
135,0
135,8
136,6
137,4
138,2
139,0
139,8
5,2
140,6
141,4
142,2
143,1
143,9
144,7
145,5
146,4
147,2
148,0
5,3
148,9
149,7
150,6
151,4
152,3
153,1
154,0
154,9
155,7
156,6
5,4
157,5
158,3
159,2
160,1
161,0
161,9
162,8
163,7
164,6
165,5
Si se corre la coma en x un lugar a la derecha (izquierda), se debe correr en x³ tres lugares a la derecha (izquierda).
La función y = x³; 5,50 ≤ x ≤ 9,99
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
5,5
166,4
167,3
168,2
169,1
170,0
171,0
171,9
172,8
173,7
174,7
5,6
175,6
176,6
177,5
178,5
179,4
180,4
181,3
182,3
183,3
184,2
5,7
185,2
186,2
187,1
188,1
189,1
190,1
191,1
192,1
193,1
194,1
5,8
195,1
196,1
197,1
198,2
199,2
200,2
201,2
202,3
203,3
204,3
5,9
205,4
206,4
207,5
208,5
209,6
210,6
211,7
212,8
213,8
214,9
6,0
216,0
217,1
218,2
219,3
220,3
221,4
222,5
223,6
224,8
225,9
6,1
227,0
228,1
229,2
230,3
231,5
232,6
233,7
234,9
236,0
237,2
6,2
238,3
239,5
240,6
241,8
243,0
244,1
245,3
246,5
247,7
248,9
6,3
250,0
251,2
252,4
253,6
254,8
256,0
257,3
258,5
259,7
260,9
6,4
262,1
263,4
264,6
265,8
267,1
268,3
269,6
270,8
272,1
273,4
6,5
274,6
275,9
277,2
278,4
279,7
281,0
282,3
283,6
284,9
286,2
6,6
287,5
288,8
290,1
291,4
292,8
294,1
295,4
296,7
298,1
299,4
6,7
300,8
302,1
303,5
304,8
306,2
307,5
308,9
310,3
311,7
313,0
6,8
314,4
315,8
317,2
318,6
320,0
321,4
322,8
324,2
325,7
327,1
6,9
328,5
329,9
331,4
332,8
334,3
335,7
337,2
338,6
340,1
341,5
7,0
343,0
344,5
345,9
347,4
348,9
350,4
351,9
353,4
354,9
356,4
7,1
357,9
359,4
360,9
362,5
364,0
365,5
367,1
368,6
370,1
371,7
7,2
373,2
374,8
376,4
377,9
379,5
381,1
382,7
384,2
385,8
387,4
7,3
389,0
390,6
392,2
393,8
395,4
397,1
398,7
400,3
401,9
403,6
7,4
405,2
406,9
408,5
410,2
411,8
413,5
415,2
416,8
418,5
420,2
7,5
421,9
423,6
425,3
427,0
428,7
430,4
432,1
433,8
435,5
437,2
7,6
439,0
440,7
442,5
444,2
445,9
447,7
449,5
451,2
453,0
454,8
7,7
456,5
458,3
460,1
461,9
463,7
465,5
467,3
469,1
470,9
472,7
7,8
474,6
476,4
478,2
480,0
481,9
483,7
485,6
487,4
489,3
491,2
7,9
493,0
494,9
496,8
498,7
500,6
502,5
504,4
506,3
508,2
510,1
8,0
512,0
513,9
515,8
517,8
519,7
521,7
523,6
525,6
527,5
529,5
8,1
531,4
533,4
535,4
537,4
539,4
541,3
543,3
545,3
547,3
549,4
8,2
551,4
553,4
555,4
557,4
559,5
561,5
563,6
565,6
567,7
569,7
8,3
571,8
573,9
575,9
578,0
580,1
582,2
584,3
586,4
588,5
590,6
8,4
592,7
594,8
596,9
599,1
601,2
603,4
605,5
607,6
609,8
612,0
8,5
614,1
616,3
618,5
620,7
622,8
625,0
627,2
629,4
631,6
633,8
8,6
636,1
638,3
640,5
642,7
645,0
647,2
649,5
651,7
654,0
656,2
8,7
658,5
660,8
663,1
665,3
667,6
669,9
672,2
674,5
676,8
679,2
8,8
681,5
683,8
686,1
688,5
690,8
693,2
695,5
697,9
700,2
702,6
8,9
705,0
707,3
709,7
712,1
714,5
716,9
719,3
721,7
724,2
726,6
9,0
729,0
731,4
733,9
736,3
738,8
741,2
743,7
746,1
748,6
751,1
9,1
753,6
756,1
758,6
761,0
763,6
766,1
768,6
771,1
773,6
776,2
9,2
778,7
781,2
783,8
786,3
788,9
791,5
794,0
796,6
799,2
801,8
9,3
804,4
807,0
809,6
812,2
814,8
817,4
820,0
822,7
825,3
827,9
9,4
830,6
833,2
835,9
838,6
841,2
843,9
846,6
849,3
852,0
854,7
9,5
857,4
860,1
862,8
865,5
868,3
871,0
873,7
876,5
879,2
882,0
9,6
884,7
887,5
890,3
893,1
895,8
898,6
901,4
904,2
907,0
909,9
9,7
912,7
915,5
918,3
921,2
924,0
926,9
929,7
932,6
935,4
938,3
9,8
941,2
944,1
947,0
949,9
952,8
955,7
958,6
961,5
964,4
967,4
9,9
970,3
973,2
976,2
979,1
982,1
985,1
988,0
991,0
994,0
997,0
8,47³ = 607,6
0,847³ = 0,6076
3 123 ,5 = 4 , 98
84,7³ = 607 600
8,472³ = 608,0
3 123 500 = 49 , 8
3 0 ,1235 = 0 , 498
MATEMÁTICA
Notación científica
La notación científica es una forma de expresar números muy grandes
o muy pequeños de manera más cómoda y concisa, es muy útil en campos
como la física, la química y la astronomía, que trabajan con números extremadamente grandes o muy pequeños.
Un número está expresado en notación científica si se escribe como:
a a0 10k con a0 , k ∈ Z : 0 < a0 < 10.
Ejemplos: 4 567 4 ,567 10‡ ;
0, 000456 4 ,56 10 –4
Reglas de redondeo
Las reglas de redondeo son muy importantes en la matemática y
en la ciencia en general, permiten redondear números con precisión
y consistencia.
Redondeo por defecto (o hacia abajo): si el dígito que se va a redondear está seguido de 0, 1, 2, 3, o 4, se redondea hacia abajo (por defecto).
Ejemplos: 1514 ≈ 1500
;
1 926 ≈ 1 900
; 1 932 ≈ 1 900 ; 1 853 ≈ 1 850
Redondeo por exceso (o hacia arriba): si el dígito que se va a redondear
está seguido de 5, 6, 7, 8, o 9, se redondea hacia arriba (por exceso).
Ejemplos: 1 868 ≈ 1 900 ; 1 984 ≈ 2 000 ; 2 018 ≈ 2 020 ; 2 025 ≈ 2 030
Valores aproximados y cifras significativas
En un valor aproximado se llaman cifras significativas. Todas las que se
encuentran a partir de la primera cifra diferente de cero. Si un número
está en notación científica, los ceros de la potencia de diez no son cifras
significativas.
Ejemplos:
474
2 020
tiene cuatro cifras significativas
0,022 00
tiene tres cifras significativas
ANEXOS
0,020 60
tiene cuatro cifras significativas
0,000 000 1
tiene una cifra significativa
2, 01 10 4
tiene tres cifras significativas
Un valor aproximado que se obtiene de uno exacto, aplicando las reglas del redondeo, tiene todas sus cifras significativas correctas.
Ejemplos:
1,41 es un valor aproximado de 2 con tres cifras correctas.
0,6667 es un valor aproximado de
2
con cuatro cifras exactas.
3
1, 7 ⋅ 102 es un valor aproximado de 30000 con dos cifras correctas.
Regla fundamental del cálculo aproximado
Cuando se calcula con valores aproximados, el resultado debe darse
con tantas cifras significativas como el dato que tenga menor número de
cifras significativas. Los cálculos intermedios se realizan con una cifra significativa más que las que debe tener la respuesta; en caso de que esto
sea demasiado engorroso, se calcula con tantas cifras como debe tener la
respuesta; nunca con menos.
Para el cálculo del tanto por ciento, la cantidad de decimales y su redondeo dependen del contexto científico, técnico o estadístico. Se le aplica las reglas del redondeo y la del cálculo aproximado.
Para el cálculo de longitudes, perímetro, áreas y volúmenes si los únicos
datos que se proporcionan están en función de números irracionales como
2 , 3 , 5 , π, etc.; la respuesta se expresará con tantas cifras significativas
como la cantidad de cifras significativas que se proporcionan para esos
números. En estos casos, siempre que sea un solo factor, la respuesta puede expresarse en función del número irracional que se tenga como único
dato.
Esto se debe a que un número irracional se considera como un valor
aproximado con una cantidad específica de cifras significativas, y debemos
mantener esa precisión en nuestros cálculos y resultados.
475
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478
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