Matemática Octavo Grado
Medios
- Título
- extracted text
-
Matemática Octavo Grado
-
MATEMÁTICA
octavo grado
MATEMÁTICA
octavo grado
M. Sc. Susana Acosta Hernández
M. Sc. Oscar Domínguez Escobar
M. Sc. Margarita Gort Sánchez
M. Sc. Lourdes Báez Arbesú
Dr. C. Aurelio Quintana Valdés
M. Sc. Rita M. Cantero Pérez
Dra. C. Luisa García de la Vega
Dra. C. Cristina González Dogil
M. Sc. Jesús Cantón Arenas
Este material forma parte del conjunto de trabajos dirigidos al Tercer Perfeccionamiento
Continuo del Sistema Nacional de la Educación General. En su elaboración participaron maestros,
metodólogos y especialistas a partir de concepciones teóricas y metodológicas precedentes, adecuadas y enriquecidas en correspondencia con el fin y los objetivos propios de cada nivel educativo, de las exigencias de la sociedad cubana actual y sus perspectivas.
Ha sido revisado por la subcomisión responsable de la asignatura perteneciente a la Comisión Nacional Permanente para la revisión de planes, programas y textos de estudio del Instituto Central de
Ciencias Pedagógicas del Ministerio de Educación.
Queda rigurosamente prohibida, sin la autorización previa y por escrito de los titulares del
copyright y bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra
por cualquier medio o procedimiento, así como su incorporación a un sistema informático.
Material de distribución gratuita. Prohibida su venta
Edición y corrección:
► M. Sc. Susana Acosta Hernández
Diseño y cubierta:
► Instituto Superior de Diseño (ISDi)
► Anelís Simón Sosa ♦ María Paula Lista Jorge ♦ Sara Sofía Delgado Méndez ♦ Isell
Rodríguez Guerra ♦ Daniela Domínguez Ramírez ♦ Amanda Serrano Hernández
♦ Rocío de la C. Ruiz Rodríguez ♦ Evelio de la Sota Ravelo ♦ Ana Laura Seco Abreu ♦
Arianna Ruenes Torres ♦ Reynier Polanco S omohano ♦ Celia Carolina Céspedes
Pupo ♦ Elizabeth Diana Fajardo Céspedes ♦ Laura Rosa Armero Fong ♦ Elizabeth
Blanco Galbán ♦ Laura Reynaldo Jiménez ♦ Daniela Arteaga Martínez ♦ Daniela Alpízar Céspedes ♦ Roberto Pérez Curbelo ♦ Ariel Abreu Ulloa ♦ M. Sc. Maité
Fundora Iglesias ♦ Dr. C. Ernesto Fernández Sánchez ♦ D.I. Eric Cuesta Machado ♦
D.I. Julio Montesino Carmona
Ilustración:
► Dariel A. Hernández Pérez
Emplane:
► Yaneris Guerra Turró
© Ministerio de Educación, Cuba, 2024
© Editorial Pueblo y Educación, 2024
ISBN 978-959-13-4758-9 (Versión impresa)
ISBN 978-959-13-4759-6 (Versión digital)
EDITORIAL PUEBLO Y EDUCACIÓN
Ave. 3.ª A No. 4601 entre 46 y 60,
Playa, La Habana, Cuba. CP 11300.
epueblo@epe.gemenide.cu
ÍNDICE
1
El conjunto de los números reales, las estadísticas
y estadística descriptiva��������������������������������� 1
► 1.1 Repaso sobre los números racionales������������������������������� 1
► 1.2 Nuevos números������������������������������������������������� 10
► 1.3 Estadística descriptiva�������������������������������������������� 23
2
Geometría plana y cálculo de cuerpos�������������� 59
2.1 Ángulos en la circunferencia•••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 59
► 2.2 Longitud de la circunferencia y área del círculo••••••••••••••••••••• 88
► 2.3 Igualdad de figuras geométricas en el plano•••••••••••••••••••••• 123
► 2.4 Prisma y pirámide••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 142
►
3
Variables, ecuaciones y funciones������������������ 183
3.1 Sistematización de la traducción de situaciones de la vida al lenguaje
algebraico y viceversa••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 183
► 3.2 Operaciones con monomios y polinomios••••••••••••••••••••••••• 196
► 3.3 Profundización sobre las ecuaciones lineales•••••••••••••••••••••• 217
► 3.4 Funciones lineales••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 246
►
RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS •••••••••••••••••••••••• 366
ANEXO������������������������������������������������������������ 427
CAPÍTULO 1
El conjunto de los números reales,
la estadística y estadística descriptiva
“Con el inicio del curso”
¡
Qué vacaciones! ¡Las mejores de mi vida, pues me ocurrieron cosas maravillosas! Y, además, las primeras desde que estoy en secundaria. Ahora,
que dentro de poco comenzará el curso escolar, pienso que tendré nuevas
asignaturas y se mantendrán otras; entre estas la Matemática, asignatura que
siempre me preocupa, aunque en séptimo grado obtuve buenos resultados y
espero que también sea así en octavo grado; haré todo lo posible para lograrlo”.
¡Ya estás en octavo grado! Comienza este capítulo reactivando lo estudiado
de aritmética en séptimo grado; después, conoceremos peculiares números y
ampliaremos lo estudiado sobre la estadística descriptiva.
¡Claro está!, que no faltarán momentos con la Historia, con la cual, pretendemos, y esperamos que así se logre, hacerte más placentero tu aprendizaje y
enriquecer tu cultura, lo que implica que serás un estudiante mejor.
¡Bienvenido seas a este nuevo curso escolar! ¡Éxitos para ti! Esta frase de
nuestro José Martí te llenará de aliento cuando lo necesites: “[…] los estudios
hechos no inspiran más que una profunda vergüenza por lo que todavía nos
queda que estudiar”.1
1.1 Repaso sobre los números racionales
Recordemos algunas de las características más importantes de estos
números.
Ramiro Valdés Galarraga: Diccionario del pensamiento martiano, Editorial de Ciencias
Sociales, La Habana, 2012, p. 198.
¹
1
MATEMÁTICA
En séptimo grado, estudiaste el conjunto de los números racionales, los
a
cuales se pueden representar en la forma , donde: a, b ∈ Z; b ≠ 0.
b
Pensemos, mediante el conocido diagrama de Venn2 (fig. 1.1), qué conjuntos son subconjuntos del conjunto de los números
Q
racionales, por ejemplo:
Q
+
{–0,3; –4} ⊂ Q; {5; –1} ⊄ N; Q+ ⊂ Q; N ⊂ Q; Z ⊂ Q
N
El conjunto de los números racionales es infinito,
Z
pero ya debes haber recordado algunos elementos
que pertenecen a dicho conjunto.
Fig. 1.1
De dos números racionales diferentes, es menor
el que está situado más a la izquierda en la recta
numérica.
16
Por ejemplo, en el fragmento de recta numérica
10
de la figura 1.2 es fácil percatarse de que:
2
16
4
< − ; 1 > –2; 0 > –2; 0 < 1.
1 < 2; −
–2 –1 0
1 2
5
10
5
En el conjunto de los números racionales:
► la adición, la sustracción, la multiplicación, la
división (excepto la división por cero) y la potenciación (con las restricciones que ya conoces),
siempre se pueden realizar; por ejemplo:
4
5
1
2
5
Fig. 1.2
4
1
1 1
1
q ; si el
− ; –7 : 3; –90 : (–2) tienen solución en Q;
81
4 2
3
exponente es cero, la base tiene que ser diferente de cero para poder
efectuar la potenciación; (b0 = 1, con b ≠ 0).
► la extracción de las raíces cuadrada y cúbica no siempre puede realizarse,
pues como sabes la raíz cuadrada de un número racional negativo no
existe en el conjunto de los números racionales, también sucede que la
raíz cuadrada de un número racional no siempre es un número racional,
algo que también puede ocurrir al extraer la raíz cúbica, por ejemplo:
las raíces cuadradas de 144 son 12 y –12, {12; –12} ⊂ Q, pero
como
5 ∉ Q ; la raíz cúbica de –125 es –5 ∈ Q; 3 7 ∉ Q .
17 ∉ Q , así
John Venn (1834-1923) matemático británico. Se destacó por sus investigaciones en la
rama de la Lógica Matemática. Es especialmente conocido por su método de representación gráfica de proposiciones (según su cualidad).
2
2
CAPÍTULO 1
► Las operaciones de adición y de multiplicación en Q son conmutativas y
1
1
1 3
3 1
y 2, 7 5 5 2, 7 .
5 8
8 5
2
2
► La operación de multiplicación en Q es distributiva con respecto a la
asociativas; por ejemplo:
adición, por ejemplo,
2
5 2
2 5
1, 3 1, 3 .
15
4 15
15 4
Recuerda que...
En ejercicios donde aparecen operaciones combinadas con números racionales, hay que tener en cuenta el orden en que se realizan, así como si
intervienen signos de agrupación:
► Primero se calculan las potencias y raíces en el orden en que aparecen.
► Segundo se realizan las multiplicaciones y divisiones en el orden en que
aparecen.
► Tercero se realizan las sumas algebraicas que resultan al final.
► Si intervienen signos de agrupación (paréntesis, corchetes y llaves)
se resuelven estos primero manteniendo el orden establecido anteriormente.
Por ejemplo:
Calcula:
a) 3 22 : (–0,12) + 1
b)
3 64 1 151
= 3 4 : (–0,12) + 1
= 4 1
= 12 : (–0,12) + 1
= 5
= –100 + 1
= −
1
3
1
15
1
15
c) 32 – 12 : 6 + 7
=9–2+7
=7+7
= 14
= –99
Si coleccionaste porcentajes, tal y como te sugerimos en el capítulo 1
del libro de séptimo grado, debes tener una buena cantidad de estos; pues
en incontables circunstancias ilustran y ayudan a comprender fenómenos.
Es muy valioso que tú sepas interpretar la información que se expresa
en tanto por ciento y que significa tantos de cada 100, es decir, la cantidad
3
MATEMÁTICA
de elementos que se toman de cada conjunto de 100. Esta es otra oportunidad de comprenderla ¡No la desperdicies!
Hallar el tanto por ciento de un número.
Ejemplo 1:
En mi grupo de séptimo grado, el 95 % de los estudiantes aprobó la prueba
final de Matemática. Si en total éramos 40, ¿cuántos aprobamos?
95
95 % de 40 =
· 40
100
19
40
20
= 38
Respuesta: Aprobaron 38 estudiantes
¿Qué tanto por ciento es un número de otro?
Ejemplo 2:
Mi grupo de séptimo grado tenía una matrícula de 35 estudiantes y 28 obtuvimos la máxima puntuación en la pregunta de Geometría en la prueba
final. ¿Qué porcentaje de la matrícula logró ese buen resultado?
.
28
100 80
35
Respuesta: El 80 % de los estudiantes alcanzó la máxima calificación en
dicha pregunta.
Hallar el número, conocido un tanto por ciento de él.
Ejemplo 3:
En mi grupo de séptimo grado, 16 estudiantes, lo que representa el 40 % de
la matrícula, tuvieron faltas de ortografía en la prueba final de Matemática.
¿Cuántos estudiantes tenía mi grupo de séptimo grado?
16 :
.
40 16 100
40
100
40
Respuesta: Mi grupo tenía 40 estudiantes.
Con lo estudiado sobre números racionales, puedes resolver los más
variados problemas, proponerte solucionar aquellos que te representen un
mayor reto, pensando en estos todo el tiempo que necesites; ese tiempo
será muy provechoso para mejorar tu sagacidad, por eso:
4
CAPÍTULO 1
► Antes de hacer, trata de entender.
► Busca tu estrategia y llévala adelante.
► Examina a fondo el resultado obtenido.
► Reflexiona acerca de la manera en que pensaste y llega a conclusiones
para el futuro.
Ejercicios
1.
El pequeñísimo gusano del diablo es el organismo terrestre pluricelular
que vive a más profundidad en el planeta; esta especie fue descubierta
a 1,3 km bajo tierra en una mina de oro en Sudáfrica, […], a lo mejor
algún día se encuentre ese u otro organismo en la mina más profunda
del mundo con sus 3 377 m bajo tierra y que también es sudafricana.3
a) Escribe el texto de forma tal que aparezcan números negativos,
representados en una recta numérica vertical que apoye la información.
b) ¿Cuántos metros tendría que trasladarse ese raro gusano para
llegar al punto más bajo de la mina más profunda?
Nota: supón que están dadas todas las condiciones y que va en línea
recta.
c) La catarata más alta de África está en Sudáfrica, es Tugela con
948 m, ¿cuál será la distancia entre el punto en que se ubica el
curioso gusano y el más alto de esta impresionante caída de agua?
Nota: considera que están en una línea recta perpendicular al nivel
del mar.
2.
Si diez niños de cada 100 usan espejuelos, ¿cuántos no usan espejuelos
en un grupo de 400 niños?
3.
Una botella y un tapón cuestan $1,10. La botella cuesta $1,00 más
que el tapón. ¿Cuánto cuesta la botella?
4.
Sean A = – 24 + 35,3
C
3 5 7
16 8 10
B = 18,1 – 3,85 · 6
D
1 3
81
729 :
3
7
Ríos Rodríguez, Marta y Rosa Leiva Gutiérrez: El mundo. Sus banderas, 2009 y Órgano
de prensa Juventud Rebelde, 1.º de junio de 2012.
3
5
MATEMÁTICA
Selecciona la respuesta correcta y márcala con una cruz (X) en la línea
dada.
4.1. En la recta numérica A, B, C y D quedan ubicados aproximadamente como se muwestra en la figura 1.3.
b) ___ DC
a) ___ CD
0 6
c) ___
12 18
CD B
0
6
12
AB
18
A
0 6
d) ___
12
B D C
–6 0 6
18 A
12
B
A
18
4.2. El conjunto formado por A, B, C y D:
a) ___ es subconjunto de los números enteros,
b) ___ solo tiene dos elementos que son números racionales,
c) ___ es infinito,
d) ___ es subconjunto del conjunto de los números racionales.
4.3 Entre los valores de B y D hay:
a) ___ nada más cuatro números racionales,
b) ___ infinitos números racionales menores que –6,
c) ___ solamente cuatro números racionales mayores que –5,
d) ___ cuatro números enteros.
4.4 El opuesto de A y el de C son dos números:
a) ___ racionales mayores que –20
b) ___ racionales menores que –20
c) ___ racionales positivos d) ___ enteros.
5.
Sean E 2 16
G
2
2
3
45
2
17 1 3
2
16 3 28
170 ; F = (–73,44)2 : 4,082 – 331;
Completa de forma tal que se obtenga una proposición verdadera.
a) El conjunto numérico más restringido al que pertenecen los valores
de E, F y G es el de los números _______________.
b) El conjunto formado por los valores de E, F y G es _______________
conjunto de los números _________________.
c) Al compararlos podemos afirmar que E y F son números____________.
d) De E, F y G, el mayor valor es el de ___ porque _____________________.
e) El antecesor de E es _____.
f) El sucesor de F es ______.
6
CAPÍTULO 1
g) El valor de F se ubica entre los números enteros consecutivos ____
y ____.
h) El opuesto de E es igual al ________ de F.
i) Una propiedad de la potencia utilizada para hallar E es
________________.
j) Entre los valores de F y G hay ____ números enteros.
6.
¿Cuál es el valor de la expresión: 25 % de 14?
7.
2
5
Sean: A 8,5 144 y B
12
17
35 33
4
618
a) Calcula A + B
b) ¿A qué dominio numérico más restringido pertenece el resultado
obtenido?
8.
2 3
-2
2
Sean: A 2; ; - ; - 2, 3; 3, 2; - 3; 3 ; - 3
3
2
B 1, 32 12, 986 : 4 , 3
327 4 4 332
49
yC
4
1
7
2 4 19
2
4
0
12
8.1 Ordena los elementos del conjunto A de manera decreciente y
determina:
a) Las parejas de números que multiplicados sean igual al mayor
número entero negativo.
b) La diferencia entre el primer y último número.
c) La base de la potencia que resulta del producto entre los dos
últimos números.
d) El resultado de sustraer el menor negativo no entero del
mayor positivo.
8.2 ¿Entre qué números naturales consecutivos se encuentra el valor
de B?
8.3 ¿Qué fracción hay que adicionarle al valor de C para completar
la unidad?
7
MATEMÁTICA
9.
Las rosas del Ecuador son sus bellas embajadoras ante el mundo. El
sector florícola ecuatoriano ingresó en 2016 cerca de 802 461,25 miles
de dólares, resultado de sus exportaciones. Rusia fue la segunda mejor
compradora con el 14,24 %, aproximadamente 114 246, 96 USD.4
Verifica la información subrayada con los recursos que te brinda el
cálculo porcentual.
10. Desde que, en 2010, en Cuba se amplió el trabajo no estatal, suman
385 775 los trabajadores en este sector, de los cuales 73 118 son jóvenes de entre 18 y 35 años. 5 ¿Qué porcentaje representa dicha cifra
del total?
11. El comercio exterior de China aumentó un 9,7 % interanual en 2018
y llegó a un récord histórico de 30,51 billones de yuanes (4,5 billones
de dólares) por encima del resultado del año 2017.6
¿Cuánto sumó el comercio exterior chino en el año 2017?
12. Francia contaba con sesenta y siete millones doscientos mil habitantes
al concluir el año 2017 y la tasa de empleo de la población de entre
15 y 64 años de edad se establecía en el 65,7 %. 7 ¿Cuántas personas
estaban laborando en el país al concluir el año 2017?
13. Imagina que eres dueño(a) de una
cafetería y parte del anuncio es
como se muestra en la figura 1.4.
a) Si el viernes se paga más que el
sábado y el sábado menos que
el domingo; propón valores
para cada uno de los espacios.
b) ¿Cómo quedaría tu idea si en
vez de decir se reduce a, dijera
se reduce en?
Cafetería Fin de Semana
horas
24
Lo que tengas que pagar se reduce a un:
%
¡Qué te aproveche!
el viernes
el sábado
el domingo
Fig. 1.4
Banco Central del Ecuador. Elaborado por Subgerencia de Análisis e Información.
Google, 20 de marzo de 2019.
4
5
Órgano de prensa Juventud Rebelde, 17 de junio de 2012.
6
Buscado en Google, 20 de marzo de 2019 (http://spanish.peopledaily.com.cn).
Buscado en Google, 20 de marzo de 2019 (http://www.mitramiss.gob.es/es/mundo/
consejerias/francia/trabajar/contenidos/DatosEst.htm).
7
8
CAPÍTULO 1
14. a) Un dependiente vende en la primera hora de trabajo el 20 % de los
60 pomos de perfume que tiene exactamente una caja; si en la segunda hora vende las dos terceras partes del resto, ¿cuántos pomos
quedan en la caja?
b) Si en dos meses se han vendido 320 pomos de perfume, ¿cuántas
cajas se han abierto durante ese tiempo?
15. Una maestra jubilada tenía 196 libros, el 25 % lo entregó a la biblioteca de la secundaria básica más cercana y la tercera parte del
resto la donó a un preuniversitario de la localidad. ¿Con cuántos
libros se quedó?
a) Di si la proposición siguiente es verdadera (V) o falsa (F).
A la secundaria y al preuniversitario la profesora entregó igual
cantidad de libros.
b) Completa para que la proposición sea verdadera:
La profesora se quedó con el ____ % de los libros que tenía.
16. En una lámina de metal se corta un trozo que constituye el 60 % de
dicha lámina. Si el pedazo que queda tiene una masa de 24,2 kg, ¿cuál
es la masa del trozo cortado?
17. Eduardo tiene cuatro botellones de 30 litros cada uno y los quiere
llenar en una fuente que arroja 20 litros por minuto. ¿Cuántos minutos
tardará en hacerlo?
18. Una fábrica produce 24 000 instrumentos agrícolas en un mes. El
30 % de esta producción es de machetes, las tres cuartas partes del
resto en guatacas y lo que queda en otros instrumentos.
a) ¿Cuántos instrumentos de cada tipo se producen en un mes?
b) ¿Qué porciento del total de instrumentos producidos en el mes
corresponden a las guatacas?
c) ¿En qué razón se encuentran el total de otros instrumentos con
respecto al total de guatacas?
19. Cristina dice estar cumpliendo 18 años. Si sabemos que Cristina se
rebaja la cuarta parte de su edad, menos un año, ¿qué edad en años
y meses tiene Cristina?
9
MATEMÁTICA
20. Un trabajador por cuenta propia vende a singulares precios; él tiene
432 dulces, si la cuarta parte son tartaletas y la novena parte del resto
son pasteles, ¿cuántos dulces no son ni tartaletas ni pasteles?
a) Si compra las tartaletas a $15,00 y logra vender todas las que tiene
a $20,00, ¿cuál es su ganancia?
b) Un día tuvo una ganancia de $180,00 por la venta de cierta cantidad
de pasteles que compró a $15,00. Halla la cantidad de pasteles, si
los vendió a $25,00.
21. En un quiosco de mi barrio hay 140 revistas; el vendedor, un profesor
de Matemática jubilado, ha querido medir mi habilidad para resolver
problemas, por eso me ha dicho:
“Las dos séptimas partes de las revistas que tengo son Somos Jóvenes, el
20 % de las que quedan son Juventud Técnica y me quedan 80 revistas”.
¿Tendrá sentido lo que dice?
22. El 75% de los 40 integrantes de un círculo de interés pedagógico
quiere ser maestro primario, la quinta parte del resto, profesores de
matemática y los otros profesores de inglés.
a) ¿Cuántos quieren ser profesores de inglés?
b) ¿Qué porcentaje representa del total, los que quieren ser profesores
de matemática?
23. Forma el número 68, sumando, restando, multiplicando y dividiendo
con estos cinco números: 1 2 3 14 32
24. ¿Cuántas bolas de 10 cm de diámetro pueden introducirse en una
caja vacía de 100 cm de lado?
1.2 Nuevos números
¿Hay más números? ¿Cuáles son? ¿Para qué?
Reflexiona un instante
No se sabe cuándo ni dónde sucedió esta historia, 8 lo más seguro es que
nunca ocurrió, pero… sea un hecho real o producto de la imaginación, esta
historia que vamos a relatar es casi una fábula y vale la pena conocerla:
8
Elaborada por la M. Sc. Rita María Cantero Pérez, 2013.
10
CAPÍTULO 1
Dicen que sucedió en un lejano pueblito, que cuentan, se distinguía por sus
recursos naturales y el buen uso que se hacía de estos; la belleza del entorno y el nivel cultural de sus habitantes adultos; nivel cultural entre comillas,
pues de Matemática solo querían saber de: adicionar, sustraer, multiplicar y
dividir números racionales, algo de tanto por ciento, otro poco de figuras
geométricas y de mediciones, nada más. ¿Te imaginas, qué sabrían los niños?
Comentaban que con eso bastaba, tratándose de Matemática. En múltiples
ocasiones tuvieron que pedir colaboración a especialistas de los pueblos
vecinos para solucionar problemas cotidianos que se presentaban, siempre
salían victoriosos, pues todos quedaban resueltos; de ahí que, al oír hablar
un poquito más de esta ciencia, decían:
–¿Y eso para qué sirve?
Hasta que un día… llegó al pueblo un pícaro que conocía de los saberes
matemáticos de los que vivían en ese peculiar pueblito; por eso, puso en el
lugar más concurrido un cartel como se muestra en la figura 1.5.
¡Un millón de dolarines!
si responde esta pregunta:
¿Cuál es el número racional
que multiplicado por sí mismo
da como resultado 2?
¡Apurese, estaré aquí 15 días!
Según el momento en que
llegue, pagará para inscribirse
¡Solo pueden concursar 26!
Fig. 1.5
Expresó ser un filántropo y enamorado de la Matemática y difundió su
propuesta por todos los medios que pudo; no pocos quedaron seducidos
por el fascinador anuncio.
Dadas las condiciones no era fácil concursar; había pocas cuotas y las últimas
eran muy costosas, el primero en inscribirse pagó 0,02 D; el segundo, 0,04 D;
el tercero, 0,08 D; pero el vigésimo sexto, abonó 671 088,64 D, sin embargo,
era una excelente oferta la del millón de dolarines (D).9
9
Dolarín (D): Moneda del pueblito, válida en las cinco naciones más cercanas.
11
MATEMÁTICA
Todos, concursantes o no, buscaban día y noche con sus escasos conocimientos matemáticos, el dichoso número, a veces creían tenerlo porque
se aproximaban, más se exigía exactitud en el resultado, dos y no otro.
Quien no concursaba y encontrara la respuesta, podía darla a un participante
que estuviera dispuesto a compartir el premio; de ahí que el apasionamiento
fue general.
No, no pidieron ayuda, todos creían poder encontrar la solución.
Así transcurrieron los días, en los que nadie se daba cuenta de la aritmética burla, nadie imaginó que el pícaro al decimocuarto día huyera con la
fastuosa cifra de: ¡1 342 177,26 D!, resultado de su concurso, eso sí, de la
respuesta nada; él sabía que su astuto acertijo no tenía solución.
Al enterarse, todos se sintieron estafados, veintiséis perdieron su dinero y
todos, su tiempo. Nunca más supieron de él.
Tres días después, llegó al pueblo un director de cine con el propósito de
crear condiciones para la filmación de un documental sobre aquel lugar; el
alcalde de allí, por cierto, uno de los más burlados, le contó lo sucedido y
Félix Andrés, el hijo del cineasta, al escucharlo, explicó:
No existe número racional que multiplicado por sí mismo, dé como resultado
dos. Mi profesor lo ha dicho en las clases de séptimo grado, ha comentado otros ejemplos parecidos y ha dicho, además, que pronto sabremos el
porqué.
Ustedes fueron engañados por no saber nada del cuadrado y la raíz cuadrada de un número racional no negativo, espero que hayan aprendido la
lección y que ya tengan una buena cantidad de respuestas a la pregunta:
Y eso, ¿para qué sirve?
Reflexiona un instante
Seguramente leíste esta historia con todo esmero, por eso ahora queremos
que pienses un minuto en un vocablo que te permita caracterizarla.
El vocablo que pensaste para caracterizar la historia tiene que ver por
lo que comprendiste de esta. A propósito, algunos comentarios que valen
la pena:
Al hallar el valor numérico del término 0,01 · 2x, siendo x el número que
indica el lugar que se ocupó para concursar, se hallaba el dinero que se debía
entregar al rufián ¡claro está!, aquella gente no lo sabía y el vil ladrón se
valió de otro recurso para explicar cuánto tenían que abonar cada uno de
12
CAPÍTULO 1
los veintiséis participantes, y no por gusto hizo la aclaración, el veintisiete
tenía que abonar ¡1 342 177,28 D!
¡Más de lo que él ofrecía como premio!
Y sí, lo que estafó el promotor es la suma de todos los abonos.
¡Compruébalo tú mismo(a)!
Félix Andrés convenció a todos del papelazo que habían hecho, se valió
de sus conocimientos y le sirvió, además, para hacerles ver que la matemática que nos enseñan en la escuela, provee de conceptos, teoremas, reglas,
relaciones y procedimientos que nos sirven en esa etapa y en el futuro.
Tú también puedes dar una respuesta correcta ante una situación como
esa, pues ya en séptimo grado resolviste ejercicios en los que te enfrentaste
a la búsqueda de raíces cuadradas y/o cúbicas de un número racional y en
varias ocasiones seguro que tu profesor o profesora, o tu monitor o monitora te puntualizaron:
“En este caso la raíz cuadrada no es un número racional, busquemos la
raíz cuadrada de dos y verás que posee infinitas cifras no periódicas”
Si tienes alguna duda, piensa en los números racionales más próximos
al valor dado, cuyas raíces cuadradas sean exactas.
Los números racionales no cubren totalmente la recta numérica.
También encontraste advertencias parecidas a esas al hallar las raíces cúbicas.
Recuerda que…
► A todo número racional le corresponde un punto en la recta numérica,
sin embargo, no a todo punto de la recta numérica le corresponde un
número racional.
► La extracción de la raíz cuadrada de un número racional no negativo, no
siempre puede realizarse dentro del conjunto de los números racionales.
Y a lo mejor tuviste que resolver el famoso ejercicio del charlatán:
x·x=2
x: número racional buscado
2
x =2
x= 2
Respuesta: No existe número racional que multiplicado por sí mismo dé
como resultado dos.
13
MATEMÁTICA
Piensa que
1 = 1 y que
4 = 2 , por tanto, ¿dónde hallar un
número racional que elevado al cuadrado dé dos?,
2 no es
un número racional, es una expresión decimal infinita no periódica
2 1,41421356237309504880168872420969... ..Gracias a las reglas de re-
dondeo, que ya estudiaste, se puede adoptar la aproximación 2 ≈ 1,41. .
¡Con ustedes el burlador hubiese salido burlado!
Ha llegado el momento de conocer qué números son esos, de ampliar
tus horizontes matemáticos, de conocer nuevos números.
Saber más
Los números que se representan mediante expresiones decimales infinitas no
periódicas, reciben el nombre de números irracionales, se denotan por I, por
ejemplo: π = 3,1415926535897932384626433832795…
11 = 3, 31662479035539984911493273667... .
De la historia
Teodoro de Cirene (siglo v a.n.e), famoso geómetra, uno de los maestros
de Platón, fue uno de los primeros en
plantear una teoría de los números
irracionales que sería recogida en los
Elementos de Euclides.
De su autoría es la conocida espiral
que representa longitudes irracionales
como hipotenusas de triángulos rectángulos (fig. 1.6), cuyas longitudes de
catetos fueron seleccionadas inteligentemente.10 ¿Te diste cuenta? Atrévete y
complétala, llegarás hasta la raíz cuadrada de 17.
1
3
1
2
1
1
Fig. 1.6
Ejemplos tienes muchísimos, pero aquí te proponemos otros:
Carlos Sánchez Fernández y Rita Roldán Inguanzo: Números y figuras en la historia,
primera parte, Curso Universidad para todos, Editora Política, p. 14.
10
14
CAPÍTULO 1
19 3
7
; −25 ; − 0, 3 ; 3 ; − 3 1,1.
2
8
¡Embúllate y busca sus aproximaciones!
Son múltiples los ejemplos que corroboran la necesidad de introducir
un nuevo conjunto numérico.
Reflexiona un instante
¿Cuál es el número del conjunto de los números racionales Q que satisface
la igualdad a3 = –12?
La longitud (en centímetros) del lado de un cubo cuya área total es 12 cm,2
¿es un número que pueda ser ubicado en la recta numérica?
De la historia
Pitágoras de Samos (582-501 a.n.e.) (fig. 1.7) es un
famoso filósofo y también un notable matemático,
de la antigüedad, vasta fue su obra.
En Crotona, ciudad al sur de Italia, crea la Escuela
Filosófica de los Pitagóricos; en esta, enseña entre
otras materias Aritmética y Geometría.
El conocimiento para el maestro significa matemática. Todo es número, era la idea primordial de
Pitágoras y para sus discípulos, número expresaba
Fig. 1.7
número racional positivo. A todo lo físico o espiritual, los pitagóricos le asignaban un número y una
forma.
Los pitagóricos partían de la idea de que la razón entre las longitudes de
dos segmentos cualesquiera es siempre un número racional, lo cual resumían
con el planteamiento de que: todos los segmentos son conmensurables;
es decir, que se puede encontrar una unidad común a ambas longitudes,
siendo estas múltiplos de dicha unidad, para ellos su existencia estaba garantizada siempre.
Por ejemplo: Los segmentos de longitud 6,0 cm y 12,0 cm tienen como
unidad común el segmento de longitud 6,0 cm.
Los segmentos de longitud 24,0 dm y 60,0 dm tienen como unidad común
el segmento de longitud 12,0 dm.
15
MATEMÁTICA
Irónicamente, se supone que son los propios pitagóricos, en la figura de Hípaso
de Metaponto11 (fig. 1.8), quienes descubren los inconmensurables (entre 450 a.n.e. y 375 a.n.e.) y con
estos números que no eran racionales.
No se sabe con exactitud en qué objeto matemático se realizó este descubrimiento, que fue el más
difícil para Pitágoras y los geómetras griegos; es
este hallazgo el que desmoronará toda su teoría.
Cuenta la leyenda que a Hípaso le costó la vida, sus
disgustados compañeros lo lanzaron al mar, por
hacer público tan demoledor descubrimiento, lo
Fig. 1.8
cual violaba las estrictas leyes de esta hermandad y
como si fuera poca su deslealtad, se valió de cierto recurso que en nuestras
pinceladas históricas conocerás.
Hípaso descubrió que no todos los segmentos son conmensurables, lo dio
a conocer y contribuyó, quizás sin quererlo, a la destrucción de la famosa
asociación; pero dejó un legado al desconocido mundo de los números. Ya
verás por qué.12
Saber más
Los números racionales y los números irracionales forman el conjunto de
los números reales, que se denota por R.
Al retomar lo estudiado sobre conjuntos, tenemos que:
q ⊂ R, I ⊂ R, q ∪ I = R y q ∩ I = ∅
El diagrama de Venn de la fi-
gura 1.9 muestra la relación entre
los conjuntos numéricos estudiados.
Q+
n
7
2
Q
z
3
r
19
25
Fig 1.9
Hípaso de Metaponto (siglo VI a.n.e.) fue un matemático, teórico de la música y filósofo
presocrático, miembro de la Escuela pitagórica. Se encuentra entre los más renombrados
de los pitagóricos de la época más temprana.
11
12
Turnbull, Herbert W.: Grandes matemáticos, Editorial Científico-Técnica, La Habana, 1984.
16
CAPÍTULO 1
Ahora sabemos que el número para el que tiene sentido la igualdad
a3 = –12, es el número irracional 3 −12 .
x
2u
Para responder la segunda reflexión, es necesario conocer que:
A los números irracionales se les puede hacer corresponder un punto
en la recta numérica.
Como verás a continuación, al número
irracional 2 se le hace corresponder un
punto en la recta numérica; para esto trans1u
portaremos sobre una recta numérica la
3
longitud del lado x = 2 de un triángulo 0 1u 1 2 2
rectángulo e isósceles, tal como se ilustra en
Fig 1.10
la figura 1.10.
De la historia
El filósofo Aristóteles sugiere que la demostración de la irracionalidad de
2 se realizó al asumir como hipótesis que es un número racional y llegar
a una contradicción. Un número es par e impar a la vez. Esta es una inteligente manera de probar proposiciones matemáticas verdaderas.13 Cuando
se llegó a la conclusión de que este número no se podía expresar como
cociente de dos números enteros, se quedaron espantados y les pareció
tan contrario a toda lógica que lo llamaron algo así como: improcedente,
incierto, o sea, irracional.
Los babilonios utilizaron la relación pitagórica en triángulos con hipotenusa
irracional, y sus aproximaciones a las raíces cuadradas pueden considerarse
pasos hacia el descubrimiento que nunca hicieron. En una tablilla que se
conserva en la Universidad de Yale aparece la aproximación (muy parecida
al valor que hoy conocemos):14
2 1
24 51
1, 414 213
60 603
Los griegos encontraron la forma de descubrir una expresión para los números irracionales; aunque no tenían un sistema de numeración decimal,
emprendieron esa colosal tarea y nos regalaron un maravilloso ejemplo de
aritmética antigua.
13
Herbert W. Turnbull: Ob. cit.
14
Sánchez Fernández, Carlos y Rita Roldán Inguanzo: Ob cit, p. 14.
17
MATEMÁTICA
Saber más
En la recta numérica existen puntos a los cuales se les puede hacer corresponder números irracionales, a estos los denominaremos puntos irracionales.
De la historia
Sabemos que no se conoce con certeza cómo tuvo lugar el descubrimiento
de los irracionales, aunque pueden citarse dos primitivos ejemplos:
1. Si un segmento es el lado de un cuadrado y el otro es una de las diagonales,
no tiene sentido la búsqueda de la medida común, eso bien lo sabes.
2. Si el segmento a es dividido en dos partes
b
c
b y c (fig. 1.11) de forma tal que a : b = b : c,
c
a=b+c
aparece que: a : b 5 1 : 2 , y ya sabes
a
que esa no puede ser la medida común,
Fig. 1.11
pues 5 es un número irracional.
Dicen que Hípaso descubrió lo inconmensurable al ver las longitudes de a, b y c en las tres partes
en que quedan divididas las cinco líneas del pentagrama
(fig. 1.12), símbolo de la orden de los pitagóricos.15
Este irracional:
5 +1
, se llama número de oro, por eso,
2
Fig. 1.12
los números a y b del segundo ejemplo están en proporción o razón áurea.
Desde principios del siglo XX se denota con la letra griega φ (Fi) en homenaje al escultor griego Fidias (siglo V a.n.e.), quien la usó sistemáticamente
en sus obras; una evidente muestra de ello lo tenemos en el hecho de que
es un rectángulo áureo el frente del Partenón, obra majestuosa ideada y
supervisada por ese creativo escultor.
El dorado número es sinónimo de belleza, perfección, equilibrio y valor estético máximo; por eso muchas construcciones antiguas y modernas siguen
cánones áureos.16
Investiga y aprende
Cómo construir un rectángulo de dimensiones
5 1 cm y 2,0 cm.
No es complicado, manos a la obra.
15
Herbert W. Turnbull: Ob. cit.
16
Sánchez Fernández, Carlos y Rita Roldán Inguanzo: Ob. cit., p. 15.
18
CAPÍTULO 1
Reflexiona un instante
¡El conjunto de los números reales es denso! ¿Por qué?
En disímiles ocasiones has operado, sin saberlo, con números reales,
para resolver problemas propios de la asignatura y de la práctica, para esto,
los has aproximado, siguiendo las reglas correspondientes y has utilizado
todo lo estudiado sobre los números racionales, así seguirás trabajando en
octavo grado.
Los números irracionales que has estudiado en este epígrafe, aparecen
por la extracción de raíces cuadradas y cúbicas, y son ejemplos de irracionales algebraicos.17
Saber más
En los números irracionales no siempre se cumple que al multiplicar dos
números irracionales se obtenga un número irracional, por ejemplo,
y
8 son números irracionales, pero
2
2 8 16 4 y cuatro no es un
número irracional.
Existe otro tipo de expresiones decimales infinitas no periódicas, se les llama
números trascendentes, uno de los más conocidos de esta excepcional familia
lo conocerás en el capítulo dos de este libro.
Los números reales harán más atractivo tu quehacer matemático y están
muy cerca de nosotros, ¡más de lo que te imaginas!
George Cantor (1845-1908) (fig. 1.13)
y Richard Dedekind (1831-1916)
(fig. 1.14), matemáticos alemanes, con
sus diferentes maneras de introducir
el conjunto de los números reales, son
los verdaderos responsables de que
los números irracionales adquirieran
el permiso de residencia en el reino de
Fig. 1.13.
Fig. 1.14.
los números.18
Los números irracionales algebraicos surgen de resolver alguna ecuación algebraica
y se escriben con un número finito de radicales libres o anidados. En general, las raíces
no exactas de cualquier orden se encuentran dentro de este conjunto, es decir las raíces
cuadradas, cúbicas, etc. (Buscado en Google, 23 de mayo de 2019)
17
18
Sánchez Fernández, Carlos y Rita Roldán Inguanzo: Ob. cit., p. 14.
19
MATEMÁTICA
Ejercicios
1.
Rodrigo dice que un número irracional es un número que no puede
x
ser expresado como una fracción , donde x, y ∈ Z, con y ≠ 0; ¿Tendrá
y
razón? ¿Por qué?
2.
Coloca, en el espacio en blanco, según convenga: ∈, ∉, ⊂, ⊄, ∩, ∪.
a) Z ___ R
b) 15 ___ N
c) R ___ Q
d) 5 ___ R
e) N ___ R
f) –3,217 ___ I
g) 2,0 ___ N
h) 3 19 ___ Q
i) Q+ ___ R
j) 6,2830 ___ Q+
k) R ___ I = I
l) Q ___ R = Q
n) 3 −8 ___ Z
1
ñ) ; 0,19; 0 ___ I
2
m)
3.
−25 ___ R
Clasifica las proposiciones siguientes en verdaderas (V) o falsas (F). De
las que consideres falsas, justifica por qué lo son.
a) ___ Q ⊂ Q ⊂ R
b) ___ I ∈ R
c) ___ F 2 ; 3 4 ; 3 9 R
3
7
22
⊄ I f) ___
∉ R g) ___ Q ∩ II = { }
7
7
h) ___ Cualquier expresión decimal infinita es un número racional.
d) ___ 145 ∈ I e) ___
k) ___ 2,71 ∈ R
i) ___ 1,414 2… ∈ Q+ j) ___ {1,73} ⊂ I
l) ___ Si la raíz cuadrada aritmética de un número racional, es irracional, la raíz cúbica también lo es.
m) ___ Si r es un número real, entonces r es racional o es irracional.
n) ___ I ∈ R
ñ) ___ El cubo de un número irracional nunca es un número racional.
o) ___ El cuadrado de un número irracional puede ser un número
racional.
p) ___ La suma algebraica de dos números irracionales, siempre es un
número irracional.
q) ___ El conjunto de los reales es denso.
4.
20
Indica el dominio numérico más restringido al cual pertenece cada
uno de los números siguientes:
3
a) – 0,37 ___
b) 89 ___
c) 4 ___
7
CAPÍTULO 1
5.
d) –2,44 ___
e) – 91 ___
g) 2,71 ___
h) 3
1
___
125
f)
21
___
5
i) 1,112 ___
2
1
Sea el conjunto A ; 3; 5; 0,4; 4; 4 ; 0;6, 0;1 ; 5,6
3
3
a) Determina el conjunto numérico más restringido de cada uno de
los elementos que forman el conjunto A.
b) Ordena los elementos de A de manera decreciente, conociendo
que: 5 ≈ 2, 23607
c) Forma:
► El conjunto B que contiene a todos los números racionales que
están en el conjunto A.
► El conjunto C formado por todos los números fraccionarios negativos que están en el conjunto A.
► El conjunto D integrado por los elementos que están en el conjunto A y sean, a la vez, enteros y fraccionarios.
► El conjunto E integrado por los elementos del conjunto A,
formado por todos los números enteros que sean mayores
que el menor elemento del conjunto A y menores que el mayor
elemento de dicho conjunto.
d) Con el conjunto A y los conjuntos B, C, D y E formados anteriormente y con la utilización de las relaciones entre conjuntos; completa
los espacios en blanco de manera que obtengas proposiciones
verdaderas:
1) B__A
2) C__D
3) E__D
4) D__B
5) C__B
e) Cuántos números reales hay entre los dos menores números naturales del conjunto A. Fundamenta
6.
¿Qué harías para ubicar en la recta numérica el número real – 17 ?
7.
La diferencia de los conjuntos A y B es el conjunto de elementos que
pertenecen a A, pero no a B. Se denota la diferencia de A y B por
A \ B (A – B), que se lee “A diferencia B” o simplemente “A menos B”.
Halla: R \ Q
R\I
Q\I
I\Q
21
MATEMÁTICA
8.
En el siglo XX se han estudiado otros números irracionales que por la
forma que se definen constituyen una generalización del número de
oro. Son los llamados números metálicos que son determinados
2
por la ecuación n n 4 .19 Verifica que para n = 1, obtienes
n
2
el número áureo y halla el número de
plata y el de bronce sustituyendo por
n = 2 y n = 3 respectivamente en la ecuación dada.
9.
Gilberto y Estefanía participan en el concurso “Unámonos a favor del PAURA”
con la caricatura de la figura 1.15. Emite
tu criterio sobre esta.
10. Elabora un texto que responda al con-
Fig. 1.15
tenido de esta cuarteta; debe tener
como mínimo 150 palabras y puedes
utilizar la bibliografía de los aspectos históricos dados.
Al de Metaponto
Pitágoras en su escuela,
una verdad defendía,
pero un día el sabio Hipaso,
la verdad destruiría.
11. Si tuvieras la posibilidad de tener un cubo de 3,0 cm3 de volumen,
¿qué harías para representar en la recta numérica, 3 3 ?
12.* Busca tríos de valores (l, a, h) de números racionales para las dimensiones del
ortoedro (fig. 1.16), de forma tal, que
el segmento PQ, en centímetro, tenga:
a) Un número racional de centímetros.
b) Un número irracional de centímetros.
Fig 1.16
19
Carlos Sánchez Fernández y Rita Roldán Inguanzo: Ob. cit., p. 16.
22
CAPÍTULO 1
1.3 Estadística descriptiva
En séptimo grado estudiaste aspectos relacionados con el procesamiento de datos,
conociste sobre sus orígenes en las civilizaciones antiguas, sobre su historia en
diferentes regiones del mundo y cómo ha ido evolucionando hasta nuestros días.
Aplica tus conocimientos
La gráfica muestra el medallero de los cuatro primeros lugares en el XVII
Campeonato Mundial de Atletismo celebrado en la capital de Catar, desde
el 27 de septiembre al 6 de octubre de 2019.
a) ¿Qué países alcanzaron la misma cantidad de medallas de oro y plata?
b) ¿Cuál fue el número de medallas que más se alcanzó?
c) ¿Qué países no obtuvieron algún tipo de medalla?
d) ¿Qué tanto porciento representa la cantidad de medallas alcanzadas por
China con relación a las 25 medallas de Oro que en total se alcanzaron
en el mundial de atletismo?
e) ¿Cómo calcular
cular la media aritmética del total de medallas alcanzadas por China?
f) Identifica el tipo de gráfica utilizada (fig. 1.17)
Fig. 1.17
De la historia
En China aparecen innumerables documentos con referencias a poblaciones,
censos, recuentos bienes agrícolas, ganaderos, de origen militar. Por ejemplo,
en uno de sus clásicos “Shu-King” escrito hacia el año 550 a.C., nos narra cómo
23
MATEMÁTICA
el Rey Yao en el año 2238 mandó hacer una estadística agrícola, industrial
y comercial en todos sus dominios.
En muchos monumentos egipcios se encontraron interesantes estelas, jeroglíficos, en una palabra, “documentos” en los que se puede interpretar una
gran organización y administración estatal en lo que se refiere a contabilización de riqueza, movimientos poblacionales, censos, etcétera.
Grecia, la cuna del pensamiento occidental, también tuvo importantes observaciones estadísticas en lo que refiere a distribución de terreno, servicio militar,
etcétera. Es en Roma donde puede decirse que la Estadística adquiere un gran
desarrollo. La burocracia romana utiliza la Estadística como instrumento de
apoyo a la gran capacidad organizativa política, jurídica y administrativa
del imperio. Una muestra es el Census que se realizaba cada 5 años y que
tenía por objeto no sólo saber el número de habitantes, sino también su
cantidad de bienes.20
Los hechos anteriores demuestran que, desde los tiempos más remotos, los
pueblos sintieron la necesidad de contar sus pobladores y sus recursos para
organizar su vida.
Con el transcurso de los siglos, la organización de los pueblos y sus modos
de contar se fueron perfeccionando. Los pueblos se convirtieron en estados y nació una parte importante de las matemáticas, la estadística, que se
ocupó, principalmente, de enumerar y describir las situaciones de interés
para el Estado.
Saber más
El nombre estadística se derivó del latín status en sus dos sentidos:
► el estado en cuanto a la situación geográfica,
► y el estado en cuanto a entidad política.
En la actualidad la estadística está muy difundida; su uso es inevitable y se
manifiesta en la recopilación, procesamiento y análisis de la información
relacionada con datos económicos, políticos, sociales, biológicos, geográficos, psicológicos, físicos, químicos, en las investigaciones, etc.; procesos
estos que se han ido perfeccionando con el desarrollo de la informática
y las posibilidades crecientes de comunicación, a la vez que se dispone de
eficaces sistemas, tabuladores electrónicos y asistentes matemáticos para
el procesamiento estadístico.
20
https://proyectodescartes.org. Buscado en Google, 18 de octubre de 2019.
24
CAPÍTULO 1
La estadística es la ciencia que provee de métodos que permiten recolectar,
organizar, resumir, presentar y analizar datos relativos a un conjunto de
individuos u observaciones, con la finalidad de extraer conclusiones válidas
y tomar decisiones lógicas basadas en los análisis.
La estadística de cualquier naturaleza se caracteriza por:
► No estudia hechos aislados, como la edad de una persona, el precio de
un artículo en un día determinado, las calificaciones de un estudiante en
un examen, entre otros.
► Trabaja con datos relativos a conjuntos de datos, individuos u observaciones (de personas, objetos, hechos, etc.) lo más numerosos posible y
ocurridos en diferentes instantes de tiempo.
Reflexiona un instante
Al estudiar:
► La calidad de las piezas producidas por una fábrica durante un año de trabajo.
► Los índices de natalidad de un país durante los diez últimos años.
► Las características personales de los pobladores de una determinada región de un país.
► La preferencia de los jóvenes por la práctica de deportes.
► La temperatura promedio en los meses de verano en una zona determinada de un país.
► La frecuencia con que una parte de la población asiste a los teatros.
¿Las características del estudio son iguales?
Definición de estadística descriptiva
La estadística descriptiva es la parte de la estadística que se ocupa de recolectar, organizar, resumir, presentar y analizar datos relativos a un conjunto
de individuos u observaciones con el objetivo de describirlos o caracterizarlos,
para poner de manifiesto, de forma gráfica o analítica, sus propiedades.
Atención
La estadística descriptiva, estudia una población a partir de considerar todos los elementos que la integran, sin derivar conclusiones sobre un grupo
mayor que esta.
25
MATEMÁTICA
1.3.1 Conceptos básicos
Reflexiona un instante
En la asamblea de rendición de cuentas de una circunscripción, los electores
manifestaron opiniones y solicitudes sobre la atención médica que reciben
en el consultorio. ¿Cómo realizarías el estudio que te permita hacer una
valoración sobre los criterios manifestados por los electores en esa asamblea?
Recuerda que...
Para realizar el estudio de una problemática o analizar una situación o
fenómeno, el procedimiento general para el procesamiento de los datos es:
1. Analizar la situación inicial que es objeto de estudio.
2. Obtener los datos
3. Simplificar los datos.
4. Comunicar los resultados
Para simplificar los datos debes primero organizar los datos recopilados,
tabularlos, cuantificarlos y representarlos en tablas y gráficos
► La distribución de frecuencia es la organización de los datos en una
tabla convenientemente preparada, de manera que exprese un conjunto
de puntuaciones ordenadas en un grupo de categorías establecidas.
► La frecuencia absoluta de un dato es el número de veces que aparece
repetido este.
► La frecuencia relativa es el cociente de la frecuencia absoluta entre el
tamaño de la muestra.
Reflexiona un instante
Para realizar el procesamiento de datos, podrás recopilar la información de
todas las personas que pertenecen a tu consultorio del médico de la familia,
¿entrevistarás a todos?
Definición de población y de muestra:
► Población es el conjunto de individuos (objetos, sucesos o procesos)
que poseen entre sus características una común y que va hacer objeto
de estudio.
► Muestra es cualquier subconjunto de una población, o sea la parte de la
población que se estudia.
26
CAPÍTULO 1
Atención
La muestra tiene que ser representativa de la población, no solo por su
tamaño, sino porque realmente representa todas las características de la
población.
Ejemplo 1:
En una fábrica de la industria ligera se producen 30 400 unidades diariamente de jabones de tocador. Para efectuar un control de calidad se analizan
7 600 unidades de la producción registrada en un día.
Solución:
Población: la producción diaria de jabones que, en este caso, es de
30 400 unidades.
Muestra: unidades seleccionadas para realizar el control que, en este
caso, son 7 600, como tamaño de la muestra.
Al estudiar distintos hechos o fenómenos seguramente te has dado
cuenta que están relacionados con características que tienen los elementos (individuos) de una población, las que son de diferentes tipos y que no
necesariamente son valores numéricos; por ejemplo, cuando realizamos el
estudio del sexo de un grupo de personas, determinamos como característica
que sean masculinos o femeninos; al realizar el estudio del comportamiento
de la temperatura durante un día en una región de Cuba, la característica
es el valor de la temperatura en la mañana y en la tarde.
Definición de variable estadística
Variable estadística es cualquier característica o propiedad de los miembros de una población susceptible de tomar determinados valores mediante
un procedimiento de medición, de modo que dichos valores pueden ser
clasificados de forma exhaustiva en un cierto número de categorías posibles.
Ejemplo 2:
Son variables estadísticas las siguientes:
a) La profesión de las personas (profesor, médico, mecánico, etcétera).
b) La cantidad de estudiantes de un grupo o de una escuela (15, 30, 230,
400, 500, ...).
c) El color de los ojos de un grupo de personas (verdes, azules, pardos).
27
MATEMÁTICA
d) El promedio de la cantidad de lluvia caída en una determinada zona de
un país durante los 12 meses del año (cualquier valor real no negativo).
e) El número de habitantes en determinadas regiones de un país o de un
país (35 550; 150 800; 10 835 500; 150 200 100; …).
f) El rendimiento académico de un grupo de estudiantes de una escuela
(bajo, medio, alto).
g) La magnitud de los terremotos en la escala de Richter (cualquier valor real
mayor que cero) ocurridos en los últimos diez años en el continente asiático.
Reflexiona un instante
¿En qué se diferencian las características de las variables estadísticas descritas
en el ejemplo dos?
Definición de variable estadística cualitativa
Las variables estadísticas que se refieren a las características o atributos que
expresan una cualidad se denominan variable estadística cualitativa.
Ejemplo 3:
Son variables estadísticas cualitativas las variables estadísticas de los incisos
a), c) y f) del ejemplo dos.
Definición de variable estadística cuantitativa
Las variables estadísticas que se refieren a las características o atributos
que expresan una cantidad o cantidad de magnitud (valores numéricos) se
denominan variable estadística cuantitativa.
Ejemplo 4:
Son variables estadísticas cuantitativa las variables estadísticas de los
incisos b), d), e), g) del ejemplo dos.
Reflexiona un instante
Observa los valores numéricos que pueden tomar las variables cuantitativas
del ejemplo cuatro, todos los valores tienen las mismas características.
28
CAPÍTULO 1
Definición de variable estadística discreta
Las variables estadísticas que alcanzan un número finito o a lo sumo numerable de valores que suelen coincidir con números enteros se denominan
variables estadísticas discretas.
Ejemplo 5:
Son variables estadísticas cuantitativas discretas las variables estadísticas de
los incisos b) y e) del ejemplo dos.
Ejercicios
1.
Selecciona cuáles de las proposiciones siguientes corresponden a estudios realizados dentro de la estadística descriptiva y fundamenta
tu selección en cada caso.
a) La calidad de la producción de huevos de una granja avícola en un día.
b) La nota promedio de los estudiantes de un grupo de octavo grado
en la asignatura Matemática es superior a 85 puntos.
c) La cantidad de países que votan a favor por poner fin al bloqueo
contra Cuba aumentó en el período comprendido del año 1990
al 2013.
d) La preferencia por los programas musicales de un estudiante de
Secundaria Básica.
e) La cantidad de lluvia caída como promedio en La Habana durante
los 12 meses del año 2012 fue de 185 mL de agua.
2.
Determina la población y la muestra en cada caso:
a) Del total de estudiantes de octavo grado de una escuela secundaria básica, se seleccionaron 40 para hacer un estudio sobre sus
preferencias en materia de deportes.
b) En una fábrica de lámparas LED se producen 12 100 unidades
diariamente. Para efectuar un control de calidad de estas, se
analizan 3 025 unidades de la producción registrada en un día.
c) En las viviendas de un consejo popular se realiza un estudio del
consumo eléctrico durante un mes con el objetivo de reducirlo;
para esto, se realizan controles al reloj tres veces por semana al
20 % del total de las viviendas.
29
MATEMÁTICA
d) En agosto ingresaron en un hospital 540 pacientes por diferentes
motivos y 135 de estos fueron seleccionados para hacer un estudio
sobre el colesterol en sangre.
e) Una prueba hecha en Pensilvania por científicos pertenecientes a la
Escuela de Medicina de la Universidad de esta localidad a 200 personas
que practican el mal hábito de fumar, demostró que el 80 % concentró su atención por mucho tiempo en imágenes de enfermedades,
resultado de esa adicción.21
3.
Menciona tres ejemplos de cada tipo de variables estadísticas estudiadas (cualitativas, cuantitativas, y cuantitativa discreta).
4.
En el periódico Juventud Rebelde se destacó la información siguiente:
“De los 760 074 niños nacidos en Cuba desde 2010 hasta 2015, un
total de 10 052 fueron resultado de partos o cesáreas gemelares, es
decir, 5 026 pares de gemelos en ese período”.22
a) ¿La cantidad de gemelos referida en la información corresponde
a la población o a la muestra? Justifica tu respuesta.
b) Investiga en tu consultorio del médico de la familia, la cantidad
de partos en los últimos cuatro años.
c) Investiga cuales son las causas biológicas que propician este tipo
de embarazo desde el punto de vista genético.
5.
Analiza y escribe en la línea dada si estás de acuerdo o no con las proposiciones siguientes, si no estás de acuerdo, fundamenta tu respuesta.
a) ___ La edad es una variable estadística cuantitativa.
b) ___ La cantidad de estudiantes que asisten a una escuela en la
sesión de la mañana no es una variable cuantitativa discreta.
c) ___ La variable cantidad de juegos ganados y perdidos por un
equipo de béisbol en las últimas cuatro series nacionales es una
variable cualitativa.
d) ___ Es una variable cualitativa la preferencia por las carreras pedagógicas de los estudiantes de noveno grado de un municipio.
e) ___ La efectividad de un medicamento en el tratamiento de una
determinada enfermedad a un grupo de individuos es una variable
cualitativa.
21
Semanario Orbe, 23 al 29 de junio de 2012.
22
Órgano de Prensa Juventud Rebelde, 14 de diciembre de 2016.
30
CAPÍTULO 1
f) ___ La calidad de las clases que imparten los monitores de Matemática de una escuela es una variable cuantitativa.
6.
En una granja avícola trabajan 25 personas, diariamente se recogen
aproximadamente 6 000 huevos; si se quiere hacer un estudio de la
eficiencia de la granja durante el primer trimestre del año selecciona
cuál de los índices siguientes es el adecuado:
► Promedio de la cantidad de huevos que ponen diariamente las
gallinas durante el trimestre.
► Nivel cultural de los trabajadores.
► Cantidad de ausencias de cada trabajador durante el trimestre.
► Organización de los trabajadores por turnos de trabajo.
a) ¿Cuál será la población y la muestra que seleccionarías para el
estudio que se va a realizar?
b) Completa la tabla 1.1 identificando la variable estadística en cada
caso, el tipo de variable y los valores que puede tomar cada variable.
Tabla 1.1
Variable
Tipo de
variable
Valores
de la variable
Promedio de la cantidad de huevos diarios que ponen las gallinas en el trimestre
Nivel cultural de los trabajadores
Cantidad de ausencias de cada trabajador durante el trimestre
Organización de los trabajadores por
turno de trabajo
c) Investiga cuáles son las variables que se analizan para determinar
la calidad de la producción de huevos en una granja avícola y los
criterios para seleccionar la muestra a la cual se le aplicarán los
parámetros de calidad.
7.
Identifica cuáles de las proposiciones siguientes son falsas. Conviértelas en verdaderas.
a) ___ Las distribuciones de frecuencia se clasifican en numéricas y
categóricas.
31
MATEMÁTICA
b) ___ La frecuencia absoluta de un dato es el cociente del número
de veces que se repite el dato por la cantidad total de estos.
c) ___ La suma de las frecuencias absolutas coincide con el número
de veces que aparece este dato en la población.
d) ___ La frecuencia relativa de un dato es el número de veces que
aparece repetido este dato.
e) ___ La suma de las frecuencias relativas es igual a la cantidad total
de datos.
f) ___ La suma de las frecuencias relativas es igual a la unidad cuando
se expresa en porcentaje.
g) ___ Las distribuciones de frecuencia se confeccionan con el propósito de condensar grandes grupos de datos y mostrarlo de una
manera fácil de interpretar.
8.
Clasifica la distribución de frecuencia en las situaciones siguientes.
Escribe su nombre en la línea dada.
a) El estudio que realiza un director del rendimiento académico de
los estudiantes de un grupo. ____________________
b) El estudio de la cantidad de estudiantes que asisten a los concursos de
conocimientos y habilidades en un municipio. ___________________
c) El estudio de la calidad de los helados que produce la fábrica de
helados Coppelia. ____________________
d) El estudio de la cantidad de puntos anotados por un equipo de
baloncesto, en cada uno de los juegos celebrados en un torneo.
__________________
e) El estudio del nivel cultural de las personas que viven en tu cuadra
de acuerdo al título académico que poseen. _________________
f) El estudio de la estatura promedio de los integrantes de los equipos
de voleibol que participan en un torneo. _________________
9.
Un estudiante realiza un estudio sobre la cantidad de hermanos que
tienen los compañeros de su grupo. La información la recoge en una
hoja donde aparecen los valores referidos por cada uno como muestra
la lista siguiente:
200125224410122231105223046214
a) Construye una tabla de distribución de frecuencia.
32
CAPÍTULO 1
b) ¿Cuántos estudiantes tienen más de dos hermanos? ¿Qué porciento
representan estos?
10. La tabla 1.2 muestra información sobre la trayectoria del deportista
cubano Javier Sotomayor (fig. 1.18) el ser humano que más ha saltado con sus propios pies.23
Fig. 1.18
a) ¿Qué acciones de la construcción de una tabla de frecuencia se
muestran en esta tabla?
b) Completa la tabla 1.2.
c) ¿Cuál es el salto que realizó con más frecuencia?
d) ¿Cuál es la altura promedio de los saltos realizados?
e) Investiga cuántas medallas de oro, plata y bronce obtuvo en su
trayectoria deportiva y en que evento alcanzó su récord mundial
el príncipe de las alturas.
Tabla 1.2. Historia de un recordista
Salto de
altura
(m)
Conteo
2,30
//// //// //// //// ////
//// //// //// //// //// /
2,31
//// //// //// //// /
Frecuencia
absoluta
(Fi)
Frecuencia
relativa
decimal
(fi)
Frecuencia
relativa
porcentual
(fi%)
Velázquez Videaux, Juan: “Mis estadísticas y las otras”, en Sotomayor el saltanubes,
Editora Política, La Habana, 1997, pp. 103-111.
23
33
MATEMÁTICA
Salto de
altura
(m)
Conteo
2,32
//// //// ////
2,33
//// //// ///
2,34
//// //// //// ///
2,35
//// //// //// //// /
2,36
//// //// //// //
2,37
//// //// ////
2,38
//// //
2,40
//// //// ///
Frecuencia
absoluta
(Fi)
Frecuencia
relativa
decimal
(fi)
Frecuencia
relativa
porcentual
(fi%)
11. La cantidad de flores que tenían los ramos vendidos, el Día de las
Madres, en una florería se muestra en la lista siguiente:
24 6 12 18 24 12 10 18 24 6 12 10 12 18 12
10 10 6 10 10 12 12 24 18 12 10 6 10 18 12
a) Identifica la variable estadística objeto de estudio. Clasifícala.
b) Clasifica el tipo de distribución de frecuencia.
c) Organiza la información en una tabla de distribución de frecuencias, donde aparezcan la frecuencia absoluta y la frecuencia
relativa (expresada como expresión decimal).
d) ¿Cuál de los tipos de ramos fue el más vendido?
e) ¿Qué tanto por ciento representa la cantidad de ramos que tenían
una docena de flores del total de ramos vendidos?
f) Si fueras a representar la distribución de frecuencia en un gráfico,
¿cuál utilizarías? ¿Por qué?
12. La tabla 1.3 muestra la distribución de frecuencias por edades de un
grupo de jóvenes que asistieron el fin de semana a una base de
campismo. Marca con una X cuáles de las proposiciones siguientes
consideras correcta.
34
CAPÍTULO 1
Tabla 1.3
Edades (años)
Cantidad de jóvenes
13
20
14
15
15
30
16
40
17
55
a) ___ La variable estadística objeto de estudio es la cantidad de jóvenes que asistieron a la base de campismo.
b) ___ La edad media de los jóvenes que asistieron es de 32 años.
c) ___ La frecuencia relativa correspondiente a la edad de 16 años es
el 25 %.
d) ___ La distribución de frecuencia se clasifica como categórica.
13. En una secundaria básica que tiene una matrícula de 500 estudiantes
se quiere investigar acerca de la motivación que sienten los estudiantes por el estudio de las matemáticas; entre otros instrumentos, se
aplicó una encuesta en la que, aparece en una de las preguntas: ¿Te
sientes motivado por el estudio de las matemáticas? Para responder
la pregunta se dan los ítems siguientes:
Siempre (S) Casi siempre (CS) A veces (AV) Casi nunca (CN) Nunca(N)
El registro de las respuestas fue el siguiente:
CS
AV
CN
AV
CN
CS
AV
AV
CS
S
AV
CN
AV
CN
S
S
AV
CS
CS
CN
AV
S
AV
CN
N
AV
CN
AV
CN
CN
CN
CN
S
N
S
CS
S
AV
AV
AV
a) Determina la población y la muestra de la situación anterior
b) Identifica la variable objeto de estudio. Clasifícala.
c) Construye una tabla de distribución de frecuencias donde la frecuencia relativa este expresada en tanto por ciento.
d) Clasifica la distribución de frecuencias en correspondencia con la
característica de la variable.
e) ¿Cuál es la categoría más y menos frecuente?
35
MATEMÁTICA
f) ¿Es posible calcular el promedio del conjunto de datos? Fundamenta tu respuesta.
g) Analiza los resultados obtenidos y escribe tu valoración en cuanto
a la motivación que sienten los estudiantes encuestados por el
estudio de la Matemática.
h) Realiza una Investigación en tu grupo sobre la problemática
planteada y compara los resultados con la información ofrecida
anteriormente. Sugiere recomendaciones para elevar la motivación
por el estudio de esta ciencia.
14. En un concurso de conocimientos de habilidades matemáticas, contra
reloj, se aplicaron 20 problemas. La tabla 1.4 muestra la frecuencia
relativa de la cantidad de problemas resueltos por los 20 concursantes.
Tabla 1.4
Problemas resueltos
fi
20
3
20
15
7
20
12
10
1
10
5
3
20
a) Cuál es la variable objeto de estudio? Clasifícala.
b) ¿Cuál es la frecuencia absoluta correspondiente a los concursantes
que resolvieron 15 problemas? Fundamenta tu respuesta.
c) ¿Cuántos estudiantes resolvieron 12 problemas? Explica el procedimiento que aplicaste para llegar a la respuesta.
d) Completa la tabla.
e) ¿Qué parte del total de concursantes resolvió menos de 12 problemas?
f) Si para aprobar se necesitaba tener 12 problemas resueltos, ¿qué
tanto por ciento de los participantes aprobó?
g) ¿Cuál fue el promedio de la cantidad de problemas resueltos por
los concursantes?
36
CAPÍTULO 1
1.3.2 Construcción de gráficos (de barras y poligonales)
Investiga y aprende
Sofía necesita representar en un gráfico la información relacionada con las
edades de los estudiantes de su secundaria básica y otro con la asistencia de
los estudiantes de su grupo en una semana, puedes ayudarla, qué algoritmo
de trabajo debe realizar para la construcción de estos gráficos.
Recuerda que...
► Una de las formas de presentar la distribución de frecuencias es median-
te gráficos los cuales permiten una fácil e inmediata captación visual
que facilita describir inmediatamente las características del fenómeno
que es objeto de estudio.
► Los gráficos, se confeccionan con el propósito de condensar grandes
grupos de datos.
► El gráfico de barras es recomendable para la comparación de datos
organizados por categorías y consiste en un conjunto de columnas o
rectángulos en los cuales cada categoría se representa por una columna.
► El gráfico poligonal es recomendable para el análisis de tendencias de un
determinado fenómeno y consiste en una gráfica de segmentos en que
las categorías aparecen en el eje horizontal y en el vertical, la frecuencia.
Ejemplo 1:
Construye una gráfica de barras que ilustre los resultados de una encuesta
aplicada a los 390 estudiantes de una secundaria básica, con el objetivo
de conocer su opinión sobre la transmisión televisiva de la Serie Nacional de Béisbol en el horario de la telenovela, los que se describen en la
tabla 1.5 de frecuencia absoluta.
Tabla 1.5
Categoría
Fi
A favor
120
En contra
180
Indiferentes
60
No respondieron
30
37
MATEMÁTICA
Solución:
Pasos para construir un gráfico de barras con el uso de los instrumentos
de trazado:
1. Construir un sistema de coordenadas rectangular en el primer cuadrante.
2. Colocar en el eje de las abscisas las diferentes categorías de la característica medible.
3. Ubicar en el eje de las ordenadas los valores de las frecuencias absolutas
en una escala adecuada.
4. Trazar barras perpendiculares, todas de igual ancho, cuya altura sea
igual al valor de la frecuencia absoluta.
5. Escribir el nombre de los ejes en correspondencia con la información de
la tabla y el título de la gráfica de acuerdo a la variable.
En la gráfica mostrada en la figura 1.19, se puede observar que las
cuatro categorías fueron ubicadas en el eje de las abscisas y que la frecuencia absoluta (cantidad de estudiantes que dan su opinión por categorías)
fue ubicada en el eje de las ordenadas.
Frecuencia absoluta
Opinión sobre el horario de transmisión de la
Serie Nacional de Béisbol vs Telenovela
200
150
100
50
0
A favor
En
Indiferentes
No
contra
respondieron
Fig. 1.19
Aplica tus conocimientos
Construye un gráfico de barras con los datos del ejemplo uno, utilizando
aplicaciones informáticas o un asistente matemático.
Es importante que sepas que la disposición de los ejes puede variar de
acuerdo con la posición que se elija para las barras (vertical u horizontal).
38
CAPÍTULO 1
Ejemplo 2:
Construye una gráfica poligonal que ilustre el indicador de natalidad de
Cuba en los años del período comprendido de 2015-2020, los cuales se
describen en la tabla 1.6. 24
Tabla 1.6
Año
Natalidad
por 1000 habitantes
2015
11,1
2016
10,4
2017
10,2
2018
10,4
2019
9,8
2020
9,4
Solución:
Pasos para construir una gráfica poligonal:
1. Construir un sistema de coordenadas rectangular en el primer cuadrante.
2. Colocar en el eje de las abscisas las diferentes categorías de la característica medible.
3. Ubicar en el eje de las ordenadas los valores de las frecuencias absolutas
en una escala adecuada.
4. Asociar cada categoría con su frecuencia absoluta correspondiente mediante pares ordenados de la forma (x; y), (x: representa la categoría,
y: la frecuencia absoluta correspondiente) y así se ubica el punto que
determina cada par ordenado en el sistema de coordenadas rectangular.
5. Trazar los segmentos rectilíneos que se forman de la unión de los puntos
representados y así queda construida la línea poligonal.
6. Escribir el nombre de los ejes en correspondencia con la información de
la tabla y el título de la gráfica de acuerdo a la variable.
Puedes observar en la gráfica de la figura 1.20 que fueron ubicadas en
el eje de las abscisas los años que se analizan y en el eje de las ordenadas,
los índices de natalidad.
24
Anuario estadístico de salud, 2020.
39
MATEMÁTICA
Natalidad por 1 000 habitantes
11,5
11
10,5
11,1
10,4
10
9,5
10,4
9,8
10,2
9
9,4
8,5
2015 2016 2017 2018 2019 2020
Años
Fig. 1.20
Ejercicios
1.
En la tabla 1.7 se muestra información sobre las tasas de mortalidad
infantil de seis países de Las Américas al finalizar el año 2017.25
Tabla 1.7
País
Tasa de Mortalidad
Colombia
13,6
Cuba
4,4
Estados Unidos
5,8
Haití
46,8
México
11,6
República Dominicana
17,5
a) Identifica la variable estadística y clasifícala.
b) Investiga cómo se calcula la tasa de mortalidad infantil.
c) ¿Por qué nuestro país es el que menor tasa de mortalidad tiene?
Responde con tres elementos.
d) Construye un gráfico de barra que muestre la información que se
brinda en la tabla.
25
www.indexmundi.com, Google, 1 de abril de 2019
40
CAPÍTULO 1
2.
La tabla 1.8 corresponde a la cantidad de plazas ofertadas por el
Ministerio de Educación Superior para el curso escolar 2020-2021.26
Tabla 1.8
Carreras
Curso diurno
Ciencias Pedagógicas
8 818
Ciencias Médicas
11 487
Ciencias Técnicas
6 001
Ciencias Económicas
1 850
Ciencias Sociales y Humanidades
2 470
Ciencias Agropecuarias
1 554
Ciencias Naturales y Matemática
1 415
Cultura Física
1 548
Arte
166
Relaciones Internacionales
35
Carreras Militares
3 400
a) ¿Cuál es el total de plazas ofertadas en este curso?
b) ¿De cuál carrera se ofertó mayor cantidad de plazas? ¿Por qué?
c) ¿Qué tanto por ciento representan las carreras brindadas para las
ciencias médicas del total de carreras ofertadas en este curso?
d) Ilustra en una gráfica la información que se brinda en la tabla.
e) Actualiza la información que se brinda en la tabla.
3.
En la tabla 1.9 se muestran los datos que se han recopilado como
el resultado de medir la temperatura ambiental durante diez horas
consecutivas de un día invernal en Chile.
Tabla 1.9
Hora (p.m.)
26
1
2
3
4
5
6
7
8
Temperatura °C 5,5
5
4,5
3
1
0
–1 – 0,5
9
10
–2
–3
www.mes.gob.cu Google, 8 de abril de 2022.
41
MATEMÁTICA
a) Representa la variación de temperatura en una gráfica poligonal.
b) ¿Cuándo hubo más frío, a las 8:00 p.m. o a las 10:00 p.m.? Fundamenta tu respuesta.
c) ¿Cuántos grados descendió la temperatura desde la 1:00 p.m. hasta
las 10:00 p.m.?
4.
La tabla 1.10 muestra las temperaturas, en grado Celsius, registradas
en una ciudad durante distintas horas del día.
Tabla 1.10
Temperatura
Fi
38
2
37
6
36
10
35
8
34
4
Marca con una X la respuesta correcta.
4.1. Se puede afirmar que:
a) ___ La variable objeto de estudio es la ciudad en que registró
la temperatura
b) ___ La temperatura se registró cinco veces en el día.
c) ___ La frecuencia relativa correspondiente a los 37 °C es 0,2.
d) ___ La temperatura promedio fue 36 °C.
4.2. ¿Qué significado tiene la frecuencia absoluta correspondiente
a la temperatura de 38ºC?
4.3. Construye un gráfico poligonal que represente la información
de la tabla
5.
42
Únete con un grupo de compañeros de tu aula y crea un equipo de
no más de cinco estudiantes para que investiguen en la escuela y en
su comunidad: ¿Por qué comienzan a fumar los jóvenes? Te sugerimos
que cada uno de los integrantes del equipo entreviste a 20 jóvenes y
complete la tabla 1.11 en correspondencia con la respuesta que den
los jóvenes entrevistados.
CAPÍTULO 1
Tabla 1.11
Motivos27
Cantidad de
estudiantes
Estímulo y desafío: rebelión contra los padres o la
sociedad, curiosidad, emoción y placer.
Formación de la propia identidad y necesidad de
autoestima: sentirse bien, parecer más adulto y moderno, creer tener mejor apariencia.
Pertenecer a un grupo: necesidad de ser apr obado
y aceptado, de evitar desaprobación o rechazo.
Seleccionen un responsable del equipo que reúna la información en
una tabla de frecuencia absoluta y relativa.
Una vez recogidos los datos:
5.1. Completen los espacios en blanco:
a) La variable estadística es: ______________________
b) Se clasifica como: _____________________
c) El motivo más frecuente es: ______________________
5.2. ¿Qué tanto por ciento de los encuestados refiere que es por
la necesidad de pertenecer a un grupo? ¿Cuál es tu opinión al
respecto?
5.3. Construyan un gráfico que ilustre los resultados anteriores.
6.
Haciendo uso de los recursos informáticos construye:
a) Un gráfico de barras que ilustre en porcentaje los resultados de
las pruebas de ingreso de Matemática al Instituto Preuniversitario
Vocacional de Ciencias Exactas en tu escuela durante los últimos
cinco años.
b) Un gráfico poligonal que ilustre en porcentaje el comportamiento de la asistencia de los estudiantes de octavo grado de lunes a
viernes de la semana pasada.
27
Plegable del Centro Nacional de Promoción y Educación para la Salud, Mayo 2013.
43
MATEMÁTICA
1.3.3 Medidas de tendencia central (media, moda
y mediana)
Reflexiona un instante
Utiliza en las dos situaciones siguientes los conceptos de media aritmética
y moda que estudiaste en grados anteriores en la resolución de ejercicios
y problemas sencillos que te exigían hacer descripciones y análisis del comportamiento de datos.
Situación A
El director de una secundaria básica con la finalidad de evaluar el rendimiento de los estudiantes de dos grupos de octavo grado, aplicó una prueba
diagnóstico en la asignatura Matemática, a 17 estudiantes del grupo 8o.1 y
a 24 del grupo 8o.2. La calificación se registró con las categorías de MB (muy
bien), B (bien), R (regular) y M (mal). Los resultados de cada estudiante se
corresponden con los datos siguientes:
Grupo 8º.1
Estudiante
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
11 12 13 14 15 16
17
Calificación MB MB M M
R
B
R
B
M M
MB B
R
R
4
5
6
7
8
9 10
11 12 13 14 15 16
17
Calificación M
M R R
B
B MB MB M M
M R
M
Estudiante
18
19 20 21 22 23 24
Calificación R
R MBMB MB MB B
R MB M
Grupo 8º.2
Estudiante
1
2
3
R
R MB MB
► ¿Cuál grupo consideras obtuvo mejor rendimiento? ¿Por qué?
Para responder esta pregunta se analiza el comportamiento de las calificaciones obtenidas por cada estudiante en cada grupo.
En el primer grupo cuatro estudiantes fueron evaluados de MB, dos
de B, cinco de R y también cinco de M, por tanto, los valores más frecuentes,
o sea, la moda de los datos son las calificaciones de R y M. En el segundo
grupo ocho estudiantes fueron evaluados de MB, tres de B, siete de R y seis
de M, por tanto, la moda de los datos es la calificación de MB.
La media aritmética de las calificaciones no es posible calcularla porque
los datos son variables cualitativas.
44
CAPÍTULO 1
► ¿Consideras que con el análisis de la moda en ambos grupos es su-
ficiente para dar un criterio sobre el grupo de mejor rendimiento?
Fundamenta tu respuesta.
Situación B
Con la finalidad de evaluar los conocimientos sobre Historia de Cuba de los
estudiantes de los grupos 8o.3 y 8o.4 el director de la misma escuela aplicó
una prueba de conocimientos y habilidades a los 23 estudiantes del grupo
8o.3 y a los 30 estudiantes del grupo 8o.4, pero en este caso calificó la prueba
de los estudiantes en una escala de cero (0) a diez (10). Una vez calificados
los trabajos, registró en su libreta de control las calificaciones obtenidas
por cada estudiante de la forma siguiente:
Grupo 8º.3
Estudiante
1
2
3
4
5
6
7
Calificación
Estudiante
Calificación
8
9
10
11
12 13 14 15
10
5
6
10
4
5
16
10
4
4
5
10
5
17 18 19 20 21 22
23
5
7
5
8
4
8
7
6
Estudiante
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12 13 14 15
Calificación
6
5
8
3
9
7
9
4
10
6
3
8
Estudiante
16
Calificación
4
17 18 19 20 21 22
23 24 25
26
27 28 29 30
7
9
3
9
6
5
4
Grupo 8º.4
6
9
3
9
5
4
8
5
6
4
5
3
4
Analiza el comportamiento de las calificaciones obtenidas a los estudiantes de los grupos 8o.3 y 8o.4 de manera análoga al realizado en la situación A.
► ¿Qué grupo consideras tú que obtuvo mejores calificaciones?
► ¿Cuál es el valor de la media aritmética de las calificaciones obtenidas
en cada grupo?
► ¿Cuál es el valor de la moda en cada grupo?
Para dar respuesta a las interrogantes anteriores se calcula el valor de la
media aritmética y determinas la moda de cada grupo. En el grupo 8o.3 el valor
de la media aritmética es la calificación de seis puntos, pero más del 50 % de
los estudiantes están desaprobados (12 estudiantes), por haber obtenido una
calificación inferior a seis puntos y la moda es la calificación de cinco puntos,
mientras en el grupo 8o.4 el valor de la media aritmética es, aproximadamente, la calificación seispuntos, sin embargo, 16 de los estudiantes del grupo
(más del 50%) están aprobados y la moda es la calificación de nueve puntos.
45
MATEMÁTICA
¿Cuál es tu criterio sobre el conocimiento de la Historia de Cuba en estos
dos grupos después de analizar el comportamiento de la media aritmética
y de la moda? Fundamenta tu respuesta.
¿Serán los resultados obtenidos de la media aritmética y la moda valores suficientes para demostrar cuál de los grupos posee más conocimiento
sobre la Historia de Cuba?
Investiga y aprende
Investiga si existe otra medida de tendencia central que te permita emitir
un criterio más certero sobre cuál de los dos grupos obtuvo mejores calificaciones. La mediana es otra de las medidas de tendencia central que
te permite realizar un análisis de los datos para que tu criterio sobre las
situaciones anteriores sea más certero.
Definición de mediana
La mediana Me de un conjunto de datos x1, x2, x3,…, xn dispuestos en orden
creciente (o decreciente) es:
► el valor que equidista de los extremos, si n es impar,
► la media aritmética de los valores centrales, si n es par.
Pasos para calcular la mediana de un conjunto de datos simples
1. Ordenar los datos en forma creciente o decreciente atendiendo a la
presencia o intensidad de la característica medible.
2. Contar la cantidad de datos.
► Si la cantidad de datos es un número impar, el dato que representa la
mediana tendrá la misma cantidad de elementos delante y detrás de
n +1
.
este y es el que ocupa la posición
2
► Si la cantidad de datos es un número par y:
a) expresan una cantidad o cantidad de magnitud (valores numéricos),
la mediana es la media aritmética de los dos datos centrales.
b) expresan una cualidad, se le hace corresponder a cada valor de los
datos un número de orden de manera tal que se forme una sucesión ordenada de números. La mediana en este caso es la media
aritmética de los dos valores centrales.
46
CAPÍTULO 1
Ejemplo1:
En las situaciones dadas a continuación, calcula la mediana de los datos en
cada caso.
a) La cantidad de personas que asistieron a un bufete colectivo de lunes
a viernes por día fue:
Día de la semana:
L
M
M
J
V
Cantidad de personas: 25
23
22
30
28
b) En la lista siguiente se muestra la masa en Kg de un grupo de niños de
un Consejo Popular
Nombre del niño: David Ana
Oscar Luisa
Raúl
Félix
Masa (Kg):
46
51
45
48
43
40
c) Para conocer la frecuencia con que las personas que integran un núcleo
familiar observan el Noticiero Dominical, se aplicó una encuesta de opinión, donde los participantes debían seleccionar una de las categorías
siguientes: Siempre (S), Frecuentemente (F), A veces (AV), Casi nunca
(CN) y Nunca(N.
Los resultados de la encuesta fueron:
S
S
F
CN
N
N
a) Los datos ordenados son: 22
23
Solución:
25
28
30
la cantidad de datos n = 5 (impar)
22 23 25 28 30
Entonces la mediana del conjunto de datos es Me = 25.
b) Los datos ordenados son: 40 43 45 46 48 51
la cantidad de datos n = 6 (par)
La mediana del conjunto de datos se calcula de la forma siguiente:
45 46
Me
45,5
2
c) En este caso para determinar la mediana, se hace corresponder a cada
uno de los valores de los datos, una sucesión ordenada de números:
Siempre ---5; Frecuentemente ---4; A veces ---3; Casi nunca ---2; Nunca ---1
Se sustituye los datos cualitativos por su correspondiente número.
S
S
F
CN
N
N
5
5
4
2
1
1
47
MATEMÁTICA
Los datos ordenados son: 5, 5, 4, 2, 1, 1 y la cantidad de datos es seis
(par), por tanto, se calcula la media aritmética de los dos valores
centrales.
Me
4 2
3
2
Como la media de los valores centrales es tres, entonces de acuerdo
con la sucesión ordenada de números que se le hizo corresponder a cada
categoría, la mediana es la categoría A veces.
Saber más
La mediana de un conjunto de datos se caracteriza por:
► Es aplicable a cualquier tipo de datos que puedan ser ordenados.
► Se puede utilizar en distribuciones de frecuencias numéricas y categóricas.
► Siempre que existe, es única.
► No varía fácilmente al modificar los valores extremos.
► Es apropiada para un grupo pequeño de datos.
► Es fácil de determinar.
Aplica tus conocimientos
Determina la mediana de las situaciones A y B que aparecen en la sección
“Reflexiona un instante”, al inicio de este epígrafe.
Atención
La media aritmética, la moda y la mediana son medidas necesarias que de
cierto modo caracterizan o representan al conjunto de datos, son valores
que tienden a ocupar una posición alrededor de la cual se agrupa el mayor
número de datos que facilitan la descripción de la variable (o variables) que
es objeto de estudio. Estas medidas son llamadas medidas de tendencia
central o de posición.
Ejercicios
1.
48
Clasifica las proposiciones siguientes en verdaderas o falsas. Justifica
las que sean falsas.
CAPÍTULO 1
a) ___ La media aritmética es el valor promedio alrededor del cual se
encuentran los datos de un conjunto de datos.
b) ___ La media aritmética se puede calcular cuando la distribución
de frecuencia es categórica.
c) ___ La moda es el dato que tiene mayor frecuencia absoluta en un
conjunto de datos.
d) ___ La moda siempre existe en un conjunto de datos.
e) ___ La media aritmética se calcula sumando los valores medidos
en un conjunto de datos y dividiéndolos por dos.
f) ___ La mediana siempre ocupa el valor central de un conjunto
de datos.
g) ___ La media aritmética es única.
h) ___ La moda puede no ser única.
i) ___ La moda se calcula adicionando la frecuencia absoluta de cada
uno de los datos y dividiéndola por el total de estos.
j) ___ La moda se utiliza únicamente en el análisis de situaciones en
que intervienen variables cualitativas
2.
Formula tres problemas en los que, para resolverlos, sea necesario
calcular la media aritmética, y otros tres donde sea preciso determinar la moda.
3.
Un estudiante sabe que la media de sus calificaciones en los concursos a nivel de escuela en Historia, Matemática, Español, Biología y
Física es 94,8 y que los resultados en las cuatro primeras asignaturas
son, 100, 95, 97 y 92 puntos respectivamente. Su calificación en el
concurso de Física es:
a) ___ 57,84 puntos
b) ___ 72,3 puntos
c) ___ 90 puntos
d) ___ 96 puntos
4.
En una secundaria básica fueron encuestados 30 estudiantes de
noveno grado para conocer su interés en relación con la continuidad de estudios de acuerdo a las especialidades del nivel medio
superior y del nivel de educación técnica profesional. Las categorías
utilizadas para conocer los resultados se agruparon en: Instituto
Preuniversitario Vocacional de Ciencias Exactas (IPVCE), Instituto
Preuniversitario del MININT (IPM), Instituto Preuniversitario Urbano
49
MATEMÁTICA
(IPU), Escuelas Militares Camilo Cienfuegos (EMCC), Instituto Politécnico (ETP).
Los resultados obtenidos en la encuesta fueron:
IPVCE IPVCE EMCC ETP
ETP
IPU
ETP
IPM
IPVCE IPU
IPM
IPM
IPM
ETP
IPVCE IPVCE EMCC EMCC
IPVCE PVCE EMCC PU
EMCC IPM
IPVCE ETP
ETP
EMCC EMCC IPVCE
a) ¿Será posible calcular la media aritmética para conocer sus preferencias en relación con la continuidad de estudios? Fundamenta
tu respuesta.
b) Construye una tabla de distribución de frecuencias.
c) Determina la moda. Justifica tu respuesta.
d) Representa los datos en un gráfico.
5.
Se desea conocer la preferencia que tiene un grupo de jóvenes por
la música. Para esto se aplica una encuesta de opinión y se tabulan
los resultados.
¿De la media aritmética y la moda, cuál sería la que utilizarías para
hacer el análisis de estos resultados? Fundamenta tu respuesta.
6.
Analiza la situación propuesta en el ejercicio tres y di si es posible
determinar la moda. Argumenta tu respuesta.
7.
Un profesor propone analizar los resultados del aprendizaje en las
pruebas finales de Matemática del curso anterior de 15 de sus estudiantes y los registra en la pizarra de la forma siguiente:
100; 70; 50; 90; 90; 80; 60; 60; 90; 70; 90; 60; 50; 50; 70
A continuación, le propone a los estudiantes que hagan algunas reflexiones sobre la media y la moda de los resultados anteriores.
► María considera que la moda es 100 porque es la mayor nota que
se obtuvo.
► Luis supone que la media aritmética es 60 porque es el valor
central.
► José responde que la moda es 90 porque es la nota más frecuente.
► Beatriz plantea que la media aritmética no es representativa para
hacer el análisis de las notas.
¿Cuál de los cuatro estudiantes tiene la razón?
50
CAPÍTULO 1
a) ___ Beatriz
b) ___ María
c) ___ José
d) ___ Luis
8.
Elena y Marcos respondieron la tarea evaluativa de Matemática
donde tenían que calcular la mediana de los datos siguientes:
16; 18; 5; 3; 12; 15.
Selecciona cuál de ellos respondió correctamente, sin hacer los cálculos.
Elena, responde que la mediana de los datos es cuatro.
Marcos expresa que la mediana de los datos es 13,5.
9.
Determina la mediana de los datos siguientes:
a) 2,84; 1,3; 18; 0,7; 1,26; 15,09; 15,2; 0,82.
3
2
b) a ; 6a; a ; a; 2a.
8
3
c) a + 7; a + 1; a + 12; a – 1; a – 3.
10. Escribe tres ejemplos de situaciones de la vida donde sea necesario la
determinación de la mediana y no del cálculo de la media aritmética.
11. Identifica las proposiciones verdaderas y escribe un ejemplo en que
se cumpla.
a) ___ La mediana es siempre igual a la moda.
b) ___ La mediana es siempre distinta de la media aritmética.
c) ___ La mediana es siempre distinta de la moda y de la media aritmética.
d) ___ Mediana, media aritmética y moda pueden ser iguales.
12. El Comité Estatal de Finanzas, realiza un estudio de los salarios mensuales de los médicos, estomatólogos y enfermeras de un policlínico
según su categoría, los que se relacionan a continuación:
$5 810; $5 560; $5 310; $5 060; $4 810; $4 610; $4 410; $4 610; $4 410;
$4 010; $3 810
Si tuvieras que identificar cuál es el salario más representativo de los
trabajadores de este policlínico, ¿cuál seleccionarías? ¿Por qué? ¿En
qué medida de tendencia central te auxiliaste para tomar tu decisión?
13. Una encuesta para saber el uso de aplicaciones matemáticas Geómetra y GeoGebra en las clases, se aplicó a estudiantes de octavo
grado escogidos al azar de cinco secundarías básicas; se pudo constatar que, de los encuestados, 45 estudiantes respondieron que
casi nunca lo usan, 22 refirieron que lo usaban frecuentemente,
51
MATEMÁTICA
25 que nunca lo usaban, diez que lo usaban siempre y 35 que lo
utilizaban a veces.
¿Cuál es tu opinión sobre el uso de estas aplicaciones matemáticas en
las clases en estas cinco escuelas? Justifica tu respuesta basándote en
el cálculo de alguna medida de tendencia central.
Ejercicios del capítulo
1.
En la recta numérica de la figura 1.21 están representados los números d, c, cero, a y b (todas las subdivisiones son iguales).
d
c
0
a
b
Fig. 1.21
Señala cuál de las relaciones dadas es la que se cumple:
a) ___ b = d
2.
c) ___ −c > a
d) ___ c + d > 0
En una competencia de pioneros exploradores de una secundaria
básica se enfrentaron dos tropas de noveno grado. La tropa Avispa
3
obtuvo
del total de puntos, entonces esta tropa obtuvo el:
5
__ 40 %
3.
b) ___ 2a < d
__ 60 %
__ 20 %
__ Ninguno de los anteriores
De un tanque que contiene agua y se encuentra lleno completamente,
se saca 1 de su capacidad para cocinar, el 50 % del resto para lavar
3
y el resto del agua para limpiar.
Se puede afirmar que:
a) ___ Se utilizó mayor cantidad de agua para limpiar que para lavar
y cocinar.
b) ___ Se utilizó la mitad de la cantidad de agua para limpiar y cocinar.
c) ___ Se utilizó la misma cantidad de agua para las tres actividades.
d) ___ Se utilizó mayor cantidad de agua para lavar que para limpiar.
4.
52
En una Cooperativa de Producción Agropecuaria (CPA) un campesino
separó las guayabas buenas de las que se echaron a perder. De las
buenas la tercera parte estaban maduras y el resto pintonas. Si entre
las guayabas buenas y las que se echaron a perder había 180 guayabas
CAPÍTULO 1
y de ellas el 20 % estaban echadas a perder, la cantidad de guayabas
pintonas es:
a) ___ 36
b) ___ 48
c) ___ 96
d) ___ 144
5.
Para la limpieza de una piscina que contiene aproximadamente
3 750,3 m3 de agua se programa hacer tres extracciones. En la primera extracción se desagua la tercera parte del agua contenida en la
piscina y en la segunda se desaguan 387 400 dm3 más. La cantidad de
agua que quedó en la piscina previo a la tercera extracción fue de:
a) ___ 2 112,8 m3
b) ___ 2 112,8 dm3
c) ___ 21 128 dm3
d) ___ ninguna de las anteriores
6.
Una fuente ha tardado 10 minutos en llenar un barril de 300 litros.
¿Cuánto tardará en llenar una cisterna de 12 000 litros?
7.
Un camión sin carga tiene una masa de 3 950 kg. ¿Cuál será su peso
total si se cargan 180 sacos de 46 kg cada uno? ¿Cuál será su masa
después que hayan bajado el 70 % de la cantidad de sacos?
8.
Un ómnibus sale de su primera parada con 60 pasajeros. En la segunda parada se baja el 5 % de las personas que estaban en el ómnibus
y suben la tercera parte de los que se mantuvieron en el ómnibus.
La cantidad de pasajeros que se bajan en la tercera parada excede
en uno a los que se bajaron en la parada anterior y sube entonces el
12,5 % de los pasajeros que quedaron en el ómnibus.
a) ¿Cuántos pasajeros viajaban en el ómnibus de la tercera a la cuarta
parada?
b) ¿Qué por ciento representan los pasajeros que viajaban al término de la tercera parada con relación a los que salen en la
primera parada?
9.
Sean: P
6
5 y Q = 2 400 000 000
3
10003
125
13, 2 2,5
a) Compara los valores numéricos de P y Q.
b) El promedio de P y Q es:
___ 2,22
___ 2,4
___ 4,44
___ Ninguno de los anteriores
53
MATEMÁTICA
10. Por cada minuto que pasa, una araña estira su hilo 10 mm, pero
el hilo se encoge 2,0 mm. Su hilo habrá sobrepasado los 3,0 m, al
cabo de ____ horas.28
11. Determina
el
valor
numérico
de
la
expresión
2
950 320
950 320
9
D 3
y di a qué conjunto numérico más
121
121
3
3
restringido pertenece el resultado obtenido.
12. Selecciona la respuesta correcta marcando con una cruz (X).
0, 236 0, 264
1 2 15 2
y B
Si A 3 :
, entonces se cumple que:
100
2 3 6 3
1
5
___ A > B
___ A < B
___ A = B
13. Simplifica las expresiones siguientes:
a)
a2 b 3 c 4
y
b)
, dando el resultado:
25 ⋅ 32 ⋅ 57 ⋅ 73
a 1 b 2 c 6
6 ⋅ 33 ⋅ 352
13.1 De forma que todos los exponentes sean positivos.
13.2 De forma que no aparezca cociente de potencias.
2
1523 57 314
1
14. Sean A 3 1, 44 : 0, 4 y B
2
2
3
15 8 6
14.1 Representa en la recta real el valor obtenido al calcular A.
14.2 Determina el valor de B. ¿A qué conjunto numérico más
restringido y más amplio pertenece este resultado?
15. Se conoce que la media aritmética de tres números es 2,5·104, siendo
dos de los números 1,2·104 y 5,6·104; entonces el tercer número escrito
en notación científica es:
___ 1,82·104
___ 0,7·104
___ 7,02·104
___ Ninguno de los anteriores
Cantón Arenas, Jesús: Ejercicios y problemas integradores de Matemática para los
estudiantes de Secundaria Básica, Ed. Pueblo y Educación, La Habana, 2011, p. 110.
28
54
CAPÍTULO 1
16. Si X
215 2 45
4
29
,Y
229 511
a) ___ Z > Y > X
10
30
yZ
22,5 3
8 ; entonces se cumple que:
5
___ Y < Z < X
___ Z = Y > X
___ X = Y = Z
b) El conjunto numérico más restringido al que pertenece el valor
de X es: ___
17. Dados los conjuntos M = {x ∈ R; x ≥ –3}; N = {x ∈ R; x – 3 < x < 2}
y P: conjunto de los números naturales pares.
Completa los espacios en blanco, utilizando los símbolos ∈, ∉, ⊂, ⊄;
de forma tal que se obtenga una proposición verdadera.
a) 2 ___ P b) 6 ___ M
c) M ___ N
d) –2 ___ M
e) P ___ M
f)
2 __N
g) 5 ___ P
h)
3 ___ N
i) N ___ P
18. Lee detenidamente la información que muestra la tabla 1.12.29
Tabla 1.12
Medallero Juegos olímpicos Tokio 2020
Países
Oro
Plata
Bronce
Total
Estados Unidos
39
41
33
113
China
38
32
18
88
Japón
Reino Unido
ROC
27
22
20
14
21
28
17
22
23
58
65
71
Australia
17
7
22
46
Países Bajos
Francia
10
10
12
12
14
11
36
33
Alemania
Italia
Canadá
Brasil
Nueva Zelanda
10
10
7
7
7
11
10
6
6
6
16
20
11
8
7
37
40
24
21
20
Cuba
7
3
5
15
Hungría
6
7
7
20
Buscado en Google. 20 de septiembre de 2022. https://es.wikipedia.org/wiki/
Anexo:Medallero_de_los_Juegos_Ol%C3%ADmpicos_de_Tokio_2020.
29
55
MATEMÁTICA
18.1 Completa los espacios en blanco de forma tal que se obtenga
una proposición verdadera para cada caso:
a) El total de medallas doradas de China excede en ___ a las de
Oro de Francia.
b) El porciento que representa el total de medallas de plata con
respecto al total de medallas obtenidas por estos 15 países
es______.
c) Los países que tienen una cantidad impar de preseas de oro
son _____.
d) Si Brasil hubiera obtenido tres medallas de plata menos, entonces representaría la ___________ parte del total de medallas
brasileñas.
e) Cuba obtuvo el ___% de medallas de plata.
f) El total de medallas de Cuba es al total de medallas de bronce
de los cuatro primeros países como uno es a ____.
18.2 Haciendo uso de los recursos informáticos construye:
a) Un gráfico de barras que ilustre la cantidad de medallas de
Oro de los 15 países.
b) Un gráfico poligonal que ilustre la cantidad de medallas de
Plata de los 15 países.
Para la autoevaluación
Reflexiona sobre lo aprendido
1.
¿Qué es un número irracional?
2.
¿Qué es un número real?
3.
¿Qué conjuntos numéricos son subconjuntos del conjunto de los números reales?
4.
¿Qué operaciones sabes hacer con números reales?
5.
¿Conoces los pasos que se deben seguir para resolver un ejercicio de
operaciones combinadas de números reales?
6.
¿Sabes qué es la estadística?
7.
¿Qué importancia tiene la estadística para la sociedad?
56
CAPÍTULO 1
8.
¿Sabes identificar cuando una variable estadística es cuantitativa o
cualitativa? ¿Qué características tiene cada una?
9.
¿Consideras más ventajoso presentar datos en forma gráfica que en
forma de tablas? ¿Por qué?
10. ¿Será posible calcular la mediana en cualquier tipo de distribución?
11. ¿Qué información te aporta la mediana al hacer el análisis de un
conjunto de datos?
12. ¿Cómo calcular la mediana cuando los datos están representados en
una tabla de frecuencias?
13. ¿Por qué es importante dominar el procedimiento general para el
procesamiento de datos?
Ponte a prueba
1.
2.
Después de un tornado, los trabajadores de la Empresa de Telecomunicaciones de Cuba S. A. (ETECSA) arreglaron una buena cantidad de
líneas telefónicas en una localidad afectada, exactamente, 165. El
primer día repararon el 20 % de los números afectados; el segundo
5
del resto y el tercer día las dos terceras partes de lo que se
día
12
hizo el primer día.
a) Si la reparación duró cuatro días, ¿cuántos números telefónicos
hubo que reparar el último día?
b) ¿Qué porcentaje del total representa el trabajo realizado el segundo día?
1 2
810
3
2
Calcula 2 3 30 ( 2) (1,5)
1 2
2
2 3
a) Indica el dominio numérico más restringido al cual pertenece el
resultado obtenido.
3.
Escoge el conjunto de datos que se ajustan a la descripción dada.
La media aritmética es tres; no tiene moda, la mediana es tres.
57
MATEMÁTICA
A = {3; 3; 3; 3}
B = {5; 4; 3; 0}
C = {0; 3; 6}
Describe las medidas de tendencia central que caracterizan los conjuntos de datos que no cumplen la condición dada.
4.
Un profesor propone analizar en su grupo de entrenamiento, la cantidad de respuestas correctas que los 15 estudiantes que se entrenan
para participar en las olimpiadas populares de Matemática respondieron y para eso las registra en la pizarra de la forma siguiente:
10; 7; 5; 9; 9; 8; 6; 6; 9; 7; 9; 6; 10; 5; 7
Pide a sus estudiantes que analicen las medidas de tendencia central.
► María dice que la mediana es seis.
► Luis dice que la moda es cuatro.
► José responde que la moda es 9 y que la media aritmética está muy
próxima a 7,5.
► Beatriz plantea que la mediana es siete y que la media aritmética es ocho.
¿Cuál de los cuatro estudiantes tiene la razón?
5.
La mediana de los resultados de María en las tres pruebas realizadas
para su ingreso al Instituto Preuniversitario Vocacional de Ciencias
Exactas fue 90 puntos. Si su promedio fue de 92 puntos y no hubo
coincidencia en ninguna de las calificaciones. Determina las posibles
calificaciones obtenidas por María en las tres pruebas realizadas.
(Las calificaciones se otorgan en números enteros).
58
CAPÍTULO 2
Geometría plana y cálculo de cuerpos
E
n este capítulo vas a ampliar el estudio de algunas de las figuras
planas que conoces desde la Educación Primaria, nuevos conceptos
de ángulos relacionados con la circunferencia, así como otras figuras
que te permitirán resolver diferentes problemas geométricos de cálculo,
demostración y construcción.
Consejos útiles
Para estar en condiciones de enfrentar con éxito el estudio de los ángulos
en la circunferencia, te proponemos repasar los elementos de la circunferencia que estudiaste en séptimo grado, tales como el centro, el radio, el
diámetro, los arcos y todas las propiedades relacionadas con estos. Después
completarás tu estudio resolviendo los cinco primeros ejercicios del primer
epígrafe u otros similares que te oriente tu profesor.
2.1 Ángulos en la circunferencia
Investiga y aprende
Claudia invita a los estudiantes de su grupo a su
cumpleaños, Vivian se detiene a observar el cake
de la fiesta y piensa si la parte superior del cake es
semejante a una circunferencia, ¿existirá alguna
propiedad geométrica para cortar este en ángulos como los que se ilustran en la figura 2.1?
Fig. 2.1
59
MATEMÁTICA
El estudio de nuevos conceptos de ángulo, relacionados con la circunferencia, que ahora iniciaremos te permitirá responder esta y otras
muchas interrogantes.
Reflexiona un instante
¿Cuántas posibilidades existen de que dos rectas se corten y que al
mismo tiempo sean secantes a una circunferencia? ¿Puedes dibujar
todos los casos?
Estarás de acuerdo con que hay cuatro posibilidades y en cada una de
estas existe un ángulo particular (fig. 2.2).
1
2
3
4
Fig. 2.2
2.1.1 Ángulos centrales en la circunferencia
Investiga y aprende
Observa la figura 2.2. ¿Qué distingue al ángulo determinado en el caso 1? ¿Cuál
es la posición de su vértice respecto a la circunferencia trazada?
Definición de ángulo central:
Cualquier ángulo que tenga su vértice en el centro de la circunferencia y
las semirrectas que constituyen sus lados tengan origen común en el centro
de la circunferencia se denomina ángulo central.
Ejemplo 1:
En la figura 2.3, el ángulo AOB es un ángulo central de la circunferencia dada.
Observa que su vértice O coincide con el centro de la circunferencia y
que los puntos A y B de intersección de sus lados con la circunferencia
60
CAPÍTULO 2
determinan su arco correspondiente AB situado en el interior de dicho
ángulo y también su cuerda correspondiente AB.
A
o
B
Fig. 2.3
Ejemplo 2:
En la figura 2.4, aparece señalado el ángulo central COD. Observa que C y D
son los puntos de intersección de sus lados con la circunferencia y que determinan su arco correspondiente CMD, situado en el interior de dicho ángulo y
su cuerda correspondiente CD.
D
M
O
C
Fig. 2.4
Definición de arco y de cuerda correspondiente a un ángulo
central y amplitud del ángulo central:
El arco correspondiente a un ángulo central es el arco que determinan
sus lados al cortar la circunferencia a la cual pertenece el ángulo y cuyos
puntos están contenidos en el interior de dicho ángulo.
La cuerda correspondiente a un ángulo central es el segmento que determinan los puntos de intersección de sus lados con la circunferencia a la
cual pertenece el ángulo.
61
MATEMÁTICA
La amplitud de un ángulo central es la amplitud de su arco correspondiente y recíprocamente la amplitud de un arco de circunferencia es la
misma que la de su ángulo central.
Con las amplitudes de los arcos puedes operar de la misma forma que
sabes hacerlo con las amplitudes de los ángulos.
Ejemplo 3:
En la figura 2.5, los puntos A, D, C y B están
dispuestos consecutivamente en una de las semicircunferencias de la circunferencia de centro
O y diámetro AB ∢AOD = 30º; ∢DOC = 120º;
= 30 º.
CB
Calcula la amplitud del AC .
C
D
A
O
B
Fig. 2.5
Solución:
DC
AC
Primera vía de solución (por suma de amplitudes de arcos: AD
DC
AC
30 º 120 porque la amplitud del arco es la de su ángulo
AD
central
150 º
150 º
AC
CB
AB
Segunda vía de solución (por diferencia de amplitudes de arcos: AB
)
CB
180 º 30 º
AB
150 º
AC
= 150 º.
Respuesta: La amplitud del arco AC
Ejemplo 4:
En un informe del CITMA1 aparece reflejado que cuando los colonialistas
españoles llegaron a Cuba aproximadamente el 85 % de su superficie estaba
constituida por bosques y que al triunfo de la Revolución el área de bosques
había descendido al 12 % del total de nuestra superficie.
a) Identifica el tipo de gráfica donde se representan los datos.
b) ¿Cuál es aproximadamente la amplitud del ángulo central correspondiente
a la superficie que representan los bosques en 1492?
c) Reflexiona, ¿cómo puedes contribuir a preservar los árboles de la comunidad
en que está ubicada tu escuela?
1
CITMA: Ministerio de Ciencia Tecnología y Medio Ambiente.
62
CAPÍTULO 2
Área de bosques en 1942
15 %
85 %
Bosques
Sin vegetación
Fig. 2.6
Solución:
a) El tipo de gráfica utilizada es gráfica circular o de pastel.
b) Primera vía de solución (por tanto por ciento).
Determinar el 85 % de 360º : 85 360 º 306 º
100
Segunda vía de solución (por proporcionalidad).
Si denotamos por xº la amplitud del ángulo central que corresponde
al ángulo del sector angular que representa el 85 % de la superficie de
bosques en 1492, entonces:
100 % 360 ”
85 360 ”
306 ”
de donde x
85 % x ”
100
Tercera vía de solución (por tanteo).
A un 75 % de la gráfica le correspondería un arco de:
50 % 25 % 75 %
180 ” 90 ” 270 ”
1
es el 5 % de la gráfica total
5
y su doble es el 10 %, que debemos calcular para sumarlo al 75 % y
Del 25 % restante, que representa 90º,
1
obtener el 85 %, por tanto: 2 90 º 2 18 º 36 º.
5
Así, al 85 % de la gráfica correspondería un arco de (270º + 36º) = 306º.
63
MATEMÁTICA
Cuarta vía de solución (por porcentajes cómodos).
85 % = 75 % + 10 %
3
1
y 10% =
Luego, como: 75% =
4
10
3 1
85% 360° 360 ”,
4 10
= 270º + 36º = 306º
pues:
1
3
360 º 36 º
360 º 270 º y
10
4
Respuesta: El ángulo central correspondiente al 85 % de la gráfica es de 306º.
Teoremas sobre relaciones entre ángulos centrales, arcos y cuerdas
Teorema sobre la relación entre ángulos centrales y arcos iguales
En una circunferencia o en circunferencias iguales a ángulos centrales iguales
corresponden arcos iguales.
Demostración del teorema
Premisa: En la C(O;OB), ∢AOB y ∢COD ángulos centrales tales que: A, D y C
pertenecen a la circunferencia y ∢AOB = ∢COD (fig. 2.7 a)).
Tesis: AB = CD
B
B
D
A
O
D
A
C
O
a)
C
b)
Fig. 2.7
Demostración:
∢AOB = ∢DOC por lo tanto existe un movimiento mediante el cual ∢AOB se
transforma en el ∢DOC. Consideremos que este movimiento es una rotación
de centro O y ángulo de rotación de amplitud a = ∢BOC.
64
CAPÍTULO 2
Por este movimiento se tiene que:
► El punto O es el vértice común de esos dos ángulos y su imagen coinciden.
► La semirrecta OB al recorrer el ángulo de rotación ∢BOC se transforma
necesariamente en la semirrecta OC.
Como además se cumple que:
∢BOC = ∢BOD + ∢DOC por suma de amplitudes de ángulos
= ∢BOD + ∢AOB sustituyendo ∢AOB = ∢DOC
= ∢AOB + ∢BOD por propiedad conmutativa de la adición de
amplitudes de ángulos
= ∢AOD por suma de amplitudes de ángulos
Es decir: ∢AOB = ∢BOC. De esta igualdad de ángulos: ∢AOD se transforma
en ∢BOC por el movimiento considerado y como sabemos que la semirrecta
OB se transforma por ese movimiento en la semirrecta OC, se puede afirmar
que la semirrecta OA se transforma en la semirrecta OD (fig. 2.7 b). Así:
A se transforma en un punto de la semirrecta OD. ¿En cuál?
B se transforma en un punto de la semirrecta OC. ¿En cuál?
► Como OA = OD y OB = OC por ser radios de la circunferencia, la imagen
del punto A es el punto D y la imagen del punto B es el punto C.
es imagen de AB
y AB
= CD
.
► Luego por el movimiento considerado, CD
Recíproco del teorema sobre la relación entre ángulos centrales
y arcos iguales
En una circunferencia o en circunferencias iguales, a arcos iguales corresponden ángulos centrales iguales.
Te proponemos que realices la demostración del teorema de manera
análoga a la del teorema anterior.
Ejemplo 5:
En la figura 2.8, las circunferencias
C1 (O1 ; O1 A ) y C2 (O2 ; O2 C ) son iguales y
∢AO1B = ∢CO2D
Entonces se cumple que: AB = CD
D
A
O1
C
O2
B
Fig. 2.8
65
MATEMÁTICA
Teorema sobre la relación de ángulos centrales y cuerdas iguales
En una misma circunferencia o en circunferencias iguales, a ángulos centrales
iguales corresponden cuerdas iguales.
Recíproco del teorema sobre la relación entre ángulos centrales
y cuerdas iguales
En una misma circunferencia o en circunferencias iguales, a cuerdas iguales
corresponden ángulos centrales iguales.
Atención
El teorema y el recíproco sobre la relación entre ángulos centrales y arcos
iguales, podrás demostrarlos fácilmente cuando estudies el epígrafe de
igualdad de triángulos.
Ejemplo 6:
En la circunferencia de centro O y diámetro BD de la C
figura 2.9: ∢AOB = ∢COD
D
O
Entonces se cumple que: AB = CD
B
A
Fig. 2.9
Aplica tus conocimientos
Formula ahora de manera análoga a las parejas de teoremas anteriores,
el teorema sobre la relación entre arcos y cuerdas iguales y su recíproco.
Como no siempre los arcos o las cuerdas son iguales vamos a formular
también un teorema que te permitirá comparar los arcos o las cuerdas;
veámoslo a continuación.
Teorema sobre la relación de comparación entre arcos y cuerdas
En una misma circunferencia o en circunferencias iguales, al arco del mayor
de dos ángulos centrales corresponde la mayor cuerda.
66
CAPÍTULO 2
Ejemplo 7:
En la figura 2.10:
A, B y C son puntos de la circunferencia de centro
O y diámetro AB ∢AOC = 75º.
C
A
B
O
Fundamenta que: BC > AC
Solución:
∢AOC = 75º por datos
∢COB = 105º por ser ángulo adyacente con el
ángulo ∢AOC
∢COB > ∢AOC
Fig. 2.10
Como en una circunferencia, a mayor ángulo central corresponde mayor
arco: BC > AC y por este teorema le corresponde también la mayor cuerda: BC > AC.
Ejercicios
1.
En la figura 2.11 aparecen una circunferencia y los puntos A, B,
C y D puntos que pertenecen a esta; O ∈ AF; O punto medio del
diámetro DB.
Enlaza la columna A con la B según corresponda.
A
Radio
Arco
Diámetro
Recta tangente
Recta secante
Cuerda
Centro
2.
B
O
D
E
AF
F
AC
A
AD
AO
C
AB
B
ED
Fig. 2.11
En la figura 2.12: A, B y C puntos de la
circunferencia de centro O y radio AO; O
punto de AC , OC ⊥ CD .
Completa los espacios en blanco de forma
tal que obtengas una proposición verdadera:
a) Son radios de la circunferencia, ___, ___
y ___.
A
O
B
C
D
Fig. 2.12
67
MATEMÁTICA
b) Son cuerdas de la circunferencia, ___, ___ y ___.
c) La cuerda ____ es el doble del radio.
d) El arco que mide 180º es _____.
e) Los arcos que miden menos de 180º son ___ y ___.
f) La recta que contiene los puntos C y D recibe el nombre de
_______________.
3.
Forma proposiciones verdaderas aplicando los conceptos estudiados
al completar los espacios en blanco.
a) La longitud de la cuerda mayor de una circunferencia de radio
igual a 1,5 cm es ____________.
b) La tangente a una circunferencia en un punto A y el radio de contacto en este punto forman un ángulo de amplitud igual a _______.
c) La recta que no tiene puntos comunes con una circunferencia se
denomina recta _______________.
d) La recta que tiene dos puntos comunes con una circunferencia se
denomina recta _______________.
4.
Di si son verdaderas o falsas las siguientes proposiciones y fundamenta
tu respuesta en caso de ser falsas.
a) ___ Si dos circunferencias tienen el mismo centro, entonces son iguales.
b) ___ Dos puntos cualesquiera de una circunferencia son centralmente simétricos con respecto al centro de esta circunferencia.
c) ___ La longitud del radio de una circunferencia es igual al 50 % de
la longitud del diámetro de esta circunferencia.
d) ___ Una circunferencia es simétrica respecto a cualquier recta que
pase por su centro.
5.
Construye una circunferencia de 0,2 dm de radio e indica dos puntos
A y B, que pertenezcan a esta. Traza la
� la secante OB y una tangente
E
D
cuerda AB,
por el punto A.
6.
En la figura 2.13, los puntos C y D pertenecen a la circunferencia de centro O y
diámetro AB Enlaza con una flecha, el arco
de la columna I con el ángulo central que
le corresponde de la columna II.
68
A
O
C
Fig. 2.13
B
CAPÍTULO 2
I
II
CBD
∢COA
AC
CD
BD
7.
∢DOB
∢AOD
∢DOC
B
La circunferencia de centro O y radio AO
de la figura 2.14 contiene los puntos B, C y
D, con:
AB = CD, ∢BOC = 38º y ∢AOD = 82º
Completa los espacios en blanco de forma tal
que se obtenga una proposición verdadera.
= ___ y BC
= ____
a) Los arcos AD
C
O
A
D
Fig. 2.14
= ____
b) Los arcos AB = ___ y CD
B
8.
9.
A
c) La amplitud de ∢AOB = ___ y ∢COD = ___
En la figura 2.15, los puntos A, B, C y D
pertenecen a la circunferencia de centro O
y radio OD que también cumple que:
► AB = CD
► ∢AOB= 65,7º
Calcula las amplitudes del ∢COD y AB.
C
O
D
Fig. 2.15
En la figura 2.16, se tiene una circunferencia de centro O y de 2,0 cm de radio, AB es
una cuerda, la semirrecta CB es tangente a la
circunferencia en el punto B, los puntos A, O,
D y C están alineados y ∢OCB = 30º.
a) Calcula las amplitudes de ∢COB, ∢DAB,
∢ABO, ∢ABC y BDA.
C
D
O
B
A
Fig. 2.16
69
MATEMÁTICA
10. En la figura 2.17, S, Q y P son puntos de la
Selecciona la respuesta correcta:
a) El triángulo OSQ es:
acutángulo obtusángulo rectángulo
RQ
RQ
,
, SR
b) SR
SR RQ
c) La amplitud de PR es:
105º 140º 175º Otra amplitud
11. En la figura 2.18:
C1 O1 ; O1 B C 2 O2 ; O2 C
A punto de C1 O1 ; O1 B
Q
O
P
Fig. 2.17
B
O1
D punto de C 2 O2 ; O2 C
C
R
Fig. 2.18
A, B, C y D puntos de los lados del
triángulo O1RO2 isósceles de base
O1O2 .
Si ∢R = 40º, calcula AB y CD.
A
rencia de centro O y radio OD
30°
CD
AB =
CD ; BD
=
y AB
C
B
O
D
Determina las amplitudes de:
, DC
, ABC
y DOC .
AC
Fig. 2.19
13. En la figura 2.20 se han trazado una circun-
B
ferencia de centro O, radio OC, cuerdas AB
� = 140º.
y BC iguales y AB
�
a) Calcula AC.
b) Clasifica el ∆ABC según la longitud de
sus lados.
14. ¿Qué amplitud tiene el ángulo menor formado por las agujas del reloj a las 8:00 a.m.?
O2
D
A
12. En la figura 2.19, dada una circunfe-
70
R
S
circunferencia de centro O y radio
OR , OR SQ y SOQ 70 .
O
C
A
Fig. 2.20
CAPÍTULO 2
15. En la figura 2.21, los puntos A, B, D y E pertenecen a la circunferencia
= 3 AB
de centro O y radio OC, tal que se cumple: AB
= CD
= 36 º y AED
Entonces la amplitud del ∢AOC es: 144º 108º 72º 216º Otra amplitud.
16.* En la figura 2.22: AB y DC son cuerdas de la circunferencia de centro
= BD
.
O y radio OC, AC
Demuestra que son iguales AB y CD.
D
D
A
C
C
B
E
A
Fig. 2.21
C
B
Fig. 2.22
2.1.2 Ángulos inscritos en la circunferencia
Reflexiona un instante
Piensa de nuevo en las posibilidades que dibujaste al inicio del epígrafe
sobre dos rectas que se corten y al mismo tiempo sean secantes a una circunferencia (fig. 2.2).
► No es difícil para ti identificar en el primer caso dos parejas de ángulos
centrales.
► ¿Qué distingue al ángulo determinado en el tercer caso?
► ¿Cuál es la posición del vértice del ángulo determinado en este caso?
Definición de ángulo inscrito:
Cualquier ángulo que tenga su vértice en la circunferencia y las semirrectas
que constituyen sus lados son secantes de la circunferencia se denomina
ángulo inscrito a la circunferencia.
Ejemplo 1:
En la figura 2.23, el ∢ABC es un ángulo inscrito en la circunferencia de centro O. Observa que su vértice es el punto B que pertenece a la circunferencia
� es el arco
y los lados la intersecan en los puntos A y C, entonces el arco AC
71
MATEMÁTICA
correspondiente al ángulo inscrito ABC. Es correcto
decir que, al ángulo inscrito ABC le corresponde la
� también se puede expresar
cuerda AC o el arco AC,
� le corresponde el
que a la cuerda AC o el arco AC
ángulo inscrito ABC.
Ejemplo 2:
¿Cuál es la posición del centro de una circunferencia
con respecto a sus ángulos inscritos? Dibuja todos
los casos posibles.
B
O
A
C
Fig. 2.23
Solución:
Los casos posibles puedes observarlos en la figura 2.24.
B
B
O
O
C
B
C
O
A
C
A
A
Fig. 2.24
Teorema sobre la amplitud de un ángulo inscrito
La amplitud de un ángulo inscrito en una circunferencia es igual a la mitad
de la amplitud de su arco correspondiente.
Demostremos este teorema, para lo cual consideremos un ángulo inscrito ABC
.
en una circunferencia cualquiera de centro O, cuyo arco correspondiente es AC
AC
Tesis: ABC =
2
Atención
Este ángulo puede ocupar diferentes posiciones en la circunferencia, por lo que
es conveniente ahora hacer una diferenciación de casos, como la que aparece
en la figura 2.24 del ejemplo dos y demostrar por separado cada caso.
Caso A
El centro de la circunferencia está sobre un lado del ángulo.
Demostración (Fig. 2.25).
72
CAPÍTULO 2
B
Tracemos el radio OC y obtenemos el ∆OBC.
AC
y ∢AOC tienen la misma amplitud por tratarse de
un ángulo central y su arco correspondiente.
∢AOC = ∢OBC + ∢OCB por la propiedad del ángulo
exterior en el ∆OBC
∢AOC = 2∢OBC porque ∢OCB = ∢OBC por ángulos
base del ∆OBC isósceles
∢AOC = 2 ∢ABC porque ∢OBC = ∢ABC, porque O ∈ AB
O
C
A
Fig. 2.25
AOC
= ABC .
De donde:
2
Y, por tanto, ABC =
AC
2
Caso B
El centro de la circunferencia es un punto interior del ángulo ABC
Demostración (Fig. 2.26):
Haremos la demostración basándonos en el caso A.
Trazamos la semirrecta BD que pasa por O, el ∢ABC
queda dividido en dos ángulos: ∢ABD y ∢DBC y el
en los arcos AD
y DC
.
arco AC
AD
DC
y ABC ABD DBC (I)
Luego: AC
=
ABD
AD
DC
=
( II ) y DBC
2
2
B
O
A
C
D
( III ) por el caso A
Fig. 2.26
ya demostrado.
Sustituyendo (II) y (III) en (I) se llega a la tesis por suma de arcos:
ABC
AD
2
DC
2
AC
luego
2
ABC =
AC
.
2
Caso C
El centro de la circunferencia es un punto exterior
al ángulo ABC.
B
O
C
Demostración (Fig. 2.27):
La demostración podemos hacerla también basándonos en el caso A.
A
D
Fig. 2.27
73
MATEMÁTICA
Traza el diámetro BD y prolóngalo para formar los ∢ABD y ∢CBD, ambos
inscritos.
∢ABC = ∢CBD – ∢ABD (I) por diferencia de amplitudes de ángulos.
CD
( II )
Se cumple, por el caso A ya demostrado: CBD =
2
Se cumple, por el caso A ya demostrado: ABD =
Sustituyendo (II) y (III) en (I): ABC
Se llega a la tesis: ABC =
AC
2
CD
2
AD
2
AD
AC
2
( III )
2
por diferencia de arcos
.
Investiga y aprende
La profesora de Matemática dejó de tarea una
actividad para investigar, en la cual pidió construir una circunferencia, determinar en esta un
arco cualquiera y trazar algunos ángulos inscritos correspondientes a él.
Para medir todos los ángulos trazados y a partir
de esto arribar a una conclusión con respecto a
sus amplitudes, Alicia construyó una figura similar a la figura 2.28, en la cual ∢ABE,
ABE ∢ACE
ABE,
ACE y ∢ADE
.
son inscritos correspondientes al arco AE
C
D
B
O
A
E
Fig. 2.28
Raúl dijo que no era necesario hacer mediciones porque se podía aplicar
directamente a los tres ángulos el teorema de la amplitud de un ángulo
inscrito. Haz tú también una figura similar a la de Alicia y compara el
procedimiento seguido por ella con la idea dada por Raúl y saca tu propia
conclusión.
Teorema sobre ángulos inscritos en el mismo arco
Los ángulos inscritos en una circunferencia a los cuales les corresponde el
mismo arco son iguales.
Respuesta: Cuando se revisó la tarea, se pudo apreciar que este teorema
confirma los resultados que obtuvo Alicia al resolver la tarea de Matemática.
74
CAPÍTULO 2
Esteban también llegó a igual resultado que Alicia, pero la profesora le
dijo que, sin proponérselo, al mismo tiempo encontró otro teorema, ¿saben
por qué? Pues, porque el arco que corresponde a los ángulos inscritos que
dibujó Esteban es una semicircunferencia. El teorema siguiente es al que se
refería la profesora y cuando lo leas podrás entender mejor lo que ella dijo.
Teorema de Tales
Si a un ángulo inscrito en una circunferencia le corresponde un arco que
es una semicircunferencia o su cuerda correspondiente es un diámetro,
entonces es un ángulo recto.
Observa que el teorema de Tales es un caso particular del teorema sobre
la amplitud de un ángulo inscrito.
Ejemplo 3:
En la figura 2.29, el ∢ACB está inscrito en la circunferencia de centro O y diámetro AB: Halla la
amplitud del ∢ACB.
Solución:
AB
ACB =
2
C
A
O
B
por ser un ángulo inscrito, pero el
es una semicircunferencia, luego
arco AB
AB = 180 º y ∢ACB = 90º
Fig. 2.29
Recíproco del teorema de Tales
Si un ángulo inscrito en una circunferencia es recto, entonces su arco correspondiente es una semicircunferencia y la cuerda correspondiente es
un diámetro.
De la historia
¿Quién fue Tales?
Tales de Mileto (625-546 a.n.e.) (Fig. 2.30) nació en
Mileto. Hijo de un rico comerciante, realizó en su
juventud muchos viajes por Egipto y Babilonia, quizás sea esta una de las principales fuentes de sus
conocimientos matemáticos.
Fig. 2.30
75
MATEMÁTICA
Se consideró por los helenos como un hombre de inteligencia superior.
Entre sus principales aportes científicos están: el cálculo de la altura de la
pirámide de Keops, el cálculo de la distancia de una nave en el mar respecto
a la costa, el teorema que acabas de estudiar, entre otros.
Fue también un excelente astrónomo, pues predijo el eclipse solar que
ocurrió en el año 585 a.n.e.2 Por todos estos motivos se le califica como el
primero de los siete sabios de la Antigua Grecia.
Reflexiona un instante
Traza en tu cuaderno de trabajo, un ángulo central
y un ángulo inscrito que les corresponda el mismo
arco, como puedes observar en la figura 2.31, luego
mide sus amplitudes con el semicírculo graduado y B
compáralas. ¿A qué conclusión llegaste? ¿Se cumplirá
siempre esta relación?
A
C
Fig. 2.31
Teorema sobre la relación entre ángulo central y ángulo inscrito
Si a un ángulo central y a un ángulo inscrito en una circunferencia les corresponde el mismo arco, entonces la amplitud del ángulo inscrito es igual
a la mitad de la amplitud del ángulo central.
Ejemplo 4:
En la circunferencia de la figura 2.32, el ∢ABC = 68°.
Determina la amplitud del ∢ADC.
Solución:
Por el teorema anterior su amplitud es igual a la
amplitud del ángulo central que le corresponde
A
el mismo arco:
ADC
ABC 68
34
2
2
D
B
C
Fig. 2.32
Respuesta: La amplitud del ∢ADC es 34º.
2
Davidson San Juan, Luis J.: Ecuaciones y matemáticos. Ed. Pueblo y Educación,
La Habana, 2008.
76
CAPÍTULO 2
Analiza de nuevo la figura 2.2 del inicio del epígrafe sobre las posibilidades de dos rectas que se cortan y al mismo tiempo son secantes a una
circunferencia.
¿Qué distingue al ángulo determinado en el segundo y cuarto caso?
¿Cuál es la posición del vértice del ángulo determinado en estos casos respecto a la circunferencia?
¿Puedes clasificar los ángulos en el segundo y cuarto caso como uno de
los ángulos estudiados? Por supuesto que no.
B
Ejercicios
1.
2.
3.
En la figura 2.33: A, B, C y D son puntos
de la circunferencia de centro O y diá = 94 º . Selecciona de las A
metro AC y AD
afirmaciones siguientes cuál es la verdadera.
a) ___ ∢ABC = 94º
b) ___ ∢ACD = 94º
c) ___ ∢ACD = 47º
En la figura 2.34, ∢ACB y ∢ADB están inscritos en la circunferencia de centro O y
radio OC, ∢ACB = 35º. Enlaza los ángulos
de la columna I con la amplitud que les
corresponde en la columna II de forma tal
que se obtenga la respuesta correcta.
I
II
∢AOB
35º
70º
AB
En la figura 2.35, los puntos A, B, C, D y E
pertenecen a la circunferencia de centro
O y radio OB.
∢ABE + ∢ACE + ∢ADE = 84º, entonces AE
es igual a:
a) ___ 84º b) ___ 28º c) ___ 56º d) ___ Falta
información
C
O
D
Fig. 2.33
C
D
O
A
B
Fig. 2.34
C
D
B
O
E
A
Fig. 2.35
77
MATEMÁTICA
4.
5.
6.
En la figura 2.36, P y Q son puntos de la
circunferencia de centro O y diámetro MN;
∢MQP = 40º.
Selecciona la respuesta correcta:
a) El triángulo MNP es:
Acutángulo obtusángulo rectángulo
b) La amplitud del ∢PMN es:
40º 90º 50º
En la figura 2.37, los puntos S y R pertenecen a la circunferencia de centro O y radio
OP, QROP es un cuadrado.
La amplitud del ∢RSP es igual a:
a) ___ 22,5º
b) ___ 45º
c) ___ 90º
M
O
P
Q
N
Fig. 2.36
S
P
O
Q
R
Fig. 2.37
En la figura 2.38, C y B; pertenecen a la
circunferencia de centro O y radio OA;
∢AOB = 2∢ABO, entonces la amplitud
del ∢ACB es igual a:
a) ___ 92º
b) ___ 60º
c) ___ 45º
d) ___ Otra amplitud
O
A
7.
En la figura 2.39, A, B, C y D son
puntos de la circunferencia de centro
O y radio OE; C punto medio de AE
y ∢A = ∢E.
Si el ∢B = 40º, calcula ∢AOE.
8.
78
C
B
Fig. 2.38
B
C
O
A
E
En la figura 2.40: B, C y D son puntos de
la circunferencia de centro O y radio OAB,
E, O, D puntos alineados.
C
Fig. 2.39
CAPÍTULO 2
B
8.1. Completa el espacio en blanco:
a) Un ángulo central es ∢____
b) Un ángulo inscrito es ∢____
8.2. Selecciona la respuesta correcta:
Si el ∢AOC = 110º, entonces ABC
tiene una amplitud de:
a) 55º
b) 110º
c) 250º
d) No se puede determinar
9.
E
O
A
C
D
Fig. 2.40
P
En la figura 2.41, P es un punto de la circunferencia de centro O y diámetro MN.
Si ∢PMN = 3x + 15º y ∢MNP = 5x –5º
a) Halla la amplitud del arco NP.
M
b) Clasifica el triángulo MNP según la longitud de sus lados.
N
O
Fig. 2.41
C
10. En la figura 2.42, se trazó una circunferencia de centro O y radio OB; AB es una
cuerda de 0,4 dm de longitud, la semirrecta CB es tangente a la circunferencia en
el punto B, el punto O pertenece a AC y
∢COB = 60º.
a) Calcula la amplitud de ∢OAB y ∢ABC.
b) Calcula la longitud de CB.
11. En la figura 2.43, AC es un diámetro de
O
A
Fig. 2.42
B
la circunferencia de centro O; EB es una
cuerda.
A
100 y AC BE
EC
.
Calcula ∢ABE, ∢ABC y BC
B
O
C
E
Fig. 2.43
79
MATEMÁTICA
12. En la circunferencia de centro O y radio OR de
la figura 2.44: OR ⊥ SQ y ∢SOQ = 70º.
R
S
� si SQ es una cuerda y PQ es un
Calcula PR
diámetro.
O
P
13. En la figura 2.45: AD y CB son diámetros de
la circunferencia de centro O y radio OC, AB
= 60º y AD = 4,2 cm
AB
� y DB.
�
a) Calcula la amplitud de los arcos CD
b) Calcula el perímetro del ∆AOB.
Q
Fig. 2.44
A
B
O
C
D
Fig. 2.45
14. En la figura 2.46: A, B y C puntos de la cir-
A
cunferencia de centro M y radio MD, AD
= 140º y ∢C = 50º.
bisectriz de ∢A; AC
a) Calcula la amplitud del ∢BAC y los ar y ABD
.
cos BDC
b) ¿Puede ser AD un diámetro de la circunferencia? Fundamenta.
B
O
D
Fig. 2.46
B
15. En la figura 2.47: B y D son puntos de la
circunferencia de centro O y diámetro AC;
= 80º.
∢ACB = 50º y AD
a) Halla la amplitud del ∢B.
b) Prueba que DB es un diámetro de la circunferencia.
A
80
C
O
D
Fig. 2.47
16. En la figura 2.48:
P, R son puntos de la circunferencia de centro
O y diámetro MN .
= 90º, demuestra que PR es la biseca) Si MR
triz del ∢MPN
b) Si MN = 4,0 cm y NP = 3,0 cm, calcula el
área del triángulo MNP
c) Calcula el perímetro del triángulo MNP.
C
P
M
C
R
Fig. 2.48
N
CAPÍTULO 2
D
17. En la figura 2.49: C y D son puntos de la circun-
C
ferencia de centro O y diámetro AB, OD ⊥AB,
∢OBC = 70º.
A
Halla la amplitud de los ∢ODC y ∢BCD.
Sugerencia: traza el radio OC
B
O
Fig. 2.49
18. En la figura 2.50, los puntos A, B
y C pertenecen a la circunferencia
de centro O y radio AO, las intersecciones de la recta AB con las
semirrectas CA y CB son respectivamente los puntos A y B, que
determinan los ángulos a = 80º
y β = 50º.
Halla la amplitud del ángulo AOB.
C
O
A
a
B
β
Fig. 2.50
2.1.3 Ángulos seminscritos
Investiga y aprende
Dibuja todos los casos posibles en que dos rectas se corten y que a su vez
corten a una circunferencia dada y al menos una de las rectas que se cortan
sea también tangente a la circunferencia dada.
Analicemos los casos que dibujaste.
Existen cinco posibilidades:
Caso 1: Ambas rectas tangentes a la circunferencia
Observa la ilustración del caso 1 en la figura 2.51
¿Cuál es aquí la posición del vértice del ángulo formado respecto a la circunferencia?
En el resto de los casos posibles, que están representados en la figura 2.52, solamente una de las rectas
es tangente a la circunferencia.
Fig. 2.51
81
MATEMÁTICA
Caso 2
Caso 3
Caso 4
Caso 5
Fig. 2.52
¿Cuál es la posición del vértice del ángulo formado en cada uno de
estos casos respecto a la circunferencia? ¿Qué propiedades geométricas
aparecen en estos?
En los casos dos, tres y cuatro, el ángulo formado tiene como vértice a un punto de la circunferencia, uno de sus lados es tangente a la
circunferencia y el otro lado secante. Este tipo de ángulo se define a
continuación:
Definición de ángulo seminscrito:
Cualquier ángulo que tenga su vértice en la circunferencia y las semirrectas
que constituyen sus lados una de estas sea tangente a la circunferencia y la
otra sea secante se denomina ángulo seminscrito.
Ejemplo 1:
En la figura 2.53:
BC es tangente a la circunferencia de centro O y diámetro
AB en el punto B.
es su arco
El ángulo ABC es seminscrito y el AB
correspondiente, ya que el arco correspondiente a un A
ángulo seminscrito es el que está en su interior, comprendido desde su vértice hasta el punto de intersección de
la circunferencia con el lado secante del ángulo.
En la figura 2.52 identifica todos los casos de ángulos
seminscritos que se han representado.
O
B
C
Fig. 2.53
Ejemplo 2:
¿Cuál es la posición del centro de una circunferencia con respecto a todos
los casos de ángulos seminscritos que se pueden presentar?
Solución (fig. 2.54).
82
CAPÍTULO 2
A
A
O
B
D
B
O
D
C
C
O
B
A
Fig. 2.54
Teorema sobre la amplitud del ángulo seminscrito
La amplitud de un ángulo seminscrito en una circunferencia es igual a la
mitad de la amplitud de su arco correspondiente.
Vamos a demostrar este teorema, para lo cual consideremos en una
circunferencia cualquiera de centro O y radio OB un ángulo seminscrito
ABC, de arco correspondiente AB.
Premisa: ∢ABC seminscrito Tesis: ABC =
AB
2
Como este ángulo seminscrito puede ser de tres tipos diferentes según
analizamos en el ejemplo dos, vamos a realizar la demostración por separado
para cada uno de esos casos, en los que se añade otra condición a la premisa.
Caso A (Ver figura 2.54 a)
El centro de la circunferencia está en el lado AB del ∢ABC que es una cuerda,
por eso este es un diámetro.
Premisa: ∢ABC seminscrito; O ∈ AB.
Demostración:
∢ABC = 90º (I) por propiedad de la tangente
AB = 180º por ser una semicircunferencia
AB = 2 ⋅ 90º descomponiendo el producto
AB
= 90° (II) despejando.
2
AB
Luego, de I y II: ABC =
2
Caso B (Ver figura 2.54 b)
El centro de la circunferencia es un punto interior al ángulo.
Premisa: ∢ABC seminscrito
O punto interior del ∢ABC
83
MATEMÁTICA
Demostración:
Vamos a trazar un diámetro por el vértice A para reducir este al caso anterior.
∢ABC = ∢ABD + ∢DBC (I) por suma de amplitudes de ángulos
AD
DB
(II) por ángulo inscrito y DBC =
(III) por el caso A.
Pero ABD =
2
2
AB
DB
Luego sustituyendo (II) y (III) en (I): ABC
2
2
2
AB
Por suma de arcos: ABC =
AD
2
Para demostrar el caso C te recomendamos considerar un diámetro
por el vértice del ángulo, para reducirlo al caso A y aplicar diferencia de
amplitudes de los arcos correspondientes para llegar a la tesis. ¿Te atreves?
Teorema sobre la relación entre ángulo inscrito-seminscrito y central
► Si a un ángulo inscrito y a un ángulo seminscrito en una circunferencia les
corresponde el mismo arco, entonces sus amplitudes son iguales.
► Si a un ángulo inscrito o a un ángulo seminscrito en una circunferencia
les corresponde el mismo arco que a un ángulo central, entonces la amplitud del ángulo inscrito o seminscrito es igual a la mitad de la amplitud
del ángulo central.
En los ejemplos siguientes podrás aplicar el teorema anterior:
Aplica tus conocimientos
Davel y sus amigos pertenecen al grupo de educación energética; ellos han
construido nada menos que un ventilador casero que quieren acoplar a un
panel solar. Para presentar el diseño del enrejado de las aspas, que puedes
apreciar en la figura 2.55, necesitan calcular la amplitud de algunos ángulos.
¿Puedes ayudarlos en este empeño?
7
8
Fig. 2.55
84
12 3
65 4
CAPÍTULO 2
Se sabe que en el dibujo:
∢1 = ∢2 = ∢3, que la flecha representa una línea tangente y que las líneas
continuas son diámetros.
La línea discontinua es una cuerda que parte del punto de tangencia hasta
el extremo de uno de los diámetros trazados.
Solución:
Los ángulos 1, 2, 3, 4, 5, 6 son iguales (por datos y porque forman parejas
de ángulos opuestos por el vértice). A su vez cada uno mide 60º, ya que son
360
60
seis ángulos centrales consecutivos:
6
Al ∢7 le corresponde el mismo arco que un ángulo central a = ∢1 + ∢6 = 120º
120
y 7
60 por ser ángulo seminscrito. Al ∢8 le corresponde el mismo
2
60
arco que al ángulo central ∢5, luego: 8
30 por ser un ángulo inscrito.
2
Respuesta: Los ángulos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 son iguales a 60º y el ∢8 = 30º.
Aplica tus conocimientos
Q
R
En la figura 2.56, la recta RQ es tangente
a la circunferencia de centro T y radio TP;
TP
los puntos P,
P S y Q están alineados.
Demuestra que los triángulos PQR y SQR
son equiángulos.
T
S
P
Fig. 2.56
Saber más
La palabra equiángulo se forma añadiendo a la palabra ángulo el prefijo:
equi, que significa igual, por eso equiángulo significa de iguales ángulos.
Por tanto, debemos probar que ambos triángulos tienen respectivamente
iguales sus ángulos.
Solución:
∢PQR = ∢SQR (por ser ángulo común).
∢RPQ = ∢QRS (por inscrito y seminscrito correspondientes al mismo arco).
∢QRP = ∢RSQ (por terceros ángulos).
85
MATEMÁTICA
De las tres igualdades anteriores se cumple que ambos triángulos tienen
sus ángulos respectivamente iguales, es decir, son equiángulos.
D
Ejercicios
1.
2.
En la figura 2.57, los puntos D y G pertenecen a la circunferencia de centro M
y diámetros EB y CF. Las rectas CH y BI
son tangentes a la circunferencia dada
respectivamente en los puntos C y B.
a) Nombra los ángulos inscritos.
b) Nombra los ángulos seminscritos.
C
M
E
B
F
H
G
I
Fig. 2.57
M
En la figura 2.58, la recta AD es tangente a la
circunferencia de centro O y diámetro CB en el
punto A; ∢M = 50º y AM = MB cuerdas.
C
Calcula la amplitud de los ángulos: ∢DAB;
∢AOB; ∢CAB.
O
B
D
Fig. 2.58
3.
Fundamenta o refuta la afirmación siguiente:
“Un ángulo seminscrito cuyo arco correspondiente es una semicircunferencia es recto”.
A
Utiliza una figura análoga a la 2.59 en tu análisis.
O
B
C
Fig. 2.59
4.
En la figura 2.60, las rectas ON y NP que se
cortan en un punto N, exterior a la circunferencia de centro Q y radio PQ son al mismo tiempo
tangentes a dicha circunferencia, en los puntos O y P respectivamente. Fundamenta que el N
cuadrilátero NPQO tiene dos ángulos iguales.
O
Q
P
Fig. 2.60
86
CAPÍTULO 2
5.
6.
El punto M pertenece a la circunferencia de
centro P y radio PB de la figura 2.61; la recta
AT es tangente a dicha circunferencia en el
punto A y ∢TAB = 70º.
Calcula la amplitud del AB y del ∢AMB.
T
A
P
En la figura 2.62, los puntos B, C y D pertenecen
a la circunferencia de centro O y radio OA
∢ADB = 2x + y; ∢DCA = x + y – 9º
∢DBA = 2x + y – 34º; ∢ACB = 2x – y + 40º
D
∢AMB = 5x – y – 1º
Calcula las amplitudes del ∢AMB y del
∢AOB.
¿Qué tipo de ángulo es cada uno de estos?
M
Fig. 2.61
C
M
O
A
7.
Demuestra que en una circunferencia cualquiera de centro O y radio OB, todo ángulo
seminscrito ABC de arco correspondiente
� con el centro de la circunferencia punto
AB,
exterior al ángulo ABC, cumple que:
AB
ABC =
(ver figura 2.54 c)
M
B
Fig. 2.62
C
A
T
2
8.
9.
En la figura 2.63, la recta AT es tangente
a la circunferencia de centro O y diámetro CB, en el punto A, ∢M = 46º y
= AM
.
AB
Calcula la amplitud de los ángulos:
∢ABM; ∢BAT; ∢MAB; ∢AOB
Demuestra que, si a un ángulo inscrito
o a un ángulo seminscrito en una circunferencia les corresponde el mismo
arco que a un ángulo central, entonces
D
la amplitud del ángulo inscrito o seminscrito es igual a la mitad de la amplitud
del ángulo central, fig. 2.64.
B
O
B
Fig. 2.63
C
E
B
A
Fig. 2.64
87
MATEMÁTICA
10. En la figura 2.65, se han trazado desde
O
el punto R dos tangentes a la circunferencia de centro A y radio AK, en los
R
puntos Q y K, respectivamente.
A
H
¿Quién hizo la afirmación correcta Rosa
o Pepe? ¿Por qué?
K
Rosa: ∢RQH = 90º porque RQ es tangente
a la circunferencia en Q, según los datos.
Fig. 2.65
Pepe: ∢RQH ≠ 90º porque, aunque RQ
es tangente a la circunferencia en Q,
el ángulo recto se forma con el radio en el punto de tangencia y el
lado QH del ángulo no contiene un radio
2.2 Longitud de la circunferencia y área del círculo
De la historia
Hace mucho tiempo los hombres se esforzaron por calcular el perímetro
y el área de figuras planas, entre las que se encontraba la circunferencia,
por la importancia en la vida práctica de distintos objetos circulares, tales
como el torno de alfarero, la rueda de hilar, la rueda de las carretillas u
otros objetos rodantes.
Estos cálculos se remontan aproximadamente a 2000 años a.n.e. en el Antiguo Egipto, según se pudo conocer en los papiros egipcios con contenidos
matemáticos, como el denominado Papiro de Rhind, nombre que le fue dado
por el científico inglés que lo descubrió y que se encuentra actualmente
en el Museo de Londres. Este papiro contiene 84 problemas de aplicación
práctica, entre los que aparece el cálculo del área del círculo.
La cultura babilónica aplicó también el cálculo en la circunferencia y el
círculo. Babilonia era una región situada entre los ríos Tigris y Éufrates,
aproximadamente donde se encuentra actualmente la República de
Irán. Los aportes científicos de los babilónicos llegaron a nuestra época
por tablillas de barro de contenido matemático, que se conservan diseminadas en famosos museos del mundo y muchas de las cuales aún no
han sido descifradas.
En este epígrafe aprenderás cómo calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo, procedimientos que están basados en las ideas
básicas que sobre esto tuvieron estas antiguas civilizaciones.
88
CAPÍTULO 2
2.2.1 Polígonos inscritos y circunscritos
Investiga y aprende
La inscripción de polígonos fue una de las primeras ideas del hombre para
determinar la longitud de la circunferencia.
¿Qué significa esta idea? ¿Cuándo está inscrito un polígono en una circunferencia?
Definición de polígono inscrito:
Un polígono está inscrito en una circunferencia cuando todos sus vértices
son puntos de dicha circunferencia.
Si un polígono está inscrito en una circunferencia, entonces se dice que la
circunferencia está circunscrita al polígono.
Ejemplo 1:
Juan Pablo observa la figura 2.66 y le dice a Rosario:
“En la figura existen dos polígonos y están inscritos
en la circunferencia”. Pero Rosario le refuta:
“Te equivocas, hay tres polígonos, pero solo el pentágono ABCDE está inscrito en esta, el cuadrilátero
AODE y el pentágono ABCDO no lo están, porque
su vértice O no es un punto de la circunferencia”.
¿Quién hizo la afirmación correcta? ¿Por qué?
E
A
D
O
B
C
Fig. 266
Solución:
Rosario hizo la afirmación correcta, porque solamente está inscrito el pentágono ABCDE, en los otros dos el punto O no pertenece a la circunferencia,
por lo cual el cuadrilátero AODE y el pentágono ABCDO no están inscritos
en la circunferencia.
Definición de polígono circunscrito:
Un polígono está circunscrito a una circunferencia si sus lados son tangentes
a dicha circunferencia.
Si un polígono está circunscrito a una circunferencia, entonces se dice que
la circunferencia está inscrita en el polígono.
89
MATEMÁTICA
D
Ejemplo 2:
En la figura 2.67, el polígono ABCD está circunscrito
a la circunferencia de centro O y radio OB. Podemos
también, en este caso, decir que la circunferencia está
inscrita en el polígono.
C
O
A
B
Fig. 2.67
Reflexiona un instante
¿Cómo inscribir o circunscribir un polígono?
Si pensamos en el polígono más sencillo: el triángulo, siempre es posible
inscribir o circunscribir un triángulo cualquiera. Un procedimiento para esto
se basa en el estudio de sus rectas notables. Veamos cómo.
Ejemplo 3:
Dado un triángulo cualquiera ABC inscribe una circunferencia en él.
Solución:
1. Traza las bisectrices de dos de sus ángulos,
del ∢B y del ∢C. Sea I el punto de intersección de ambas bisectrices.
2. Construye la perpendicular desde I a uno de
los lados del triángulo. Es este el radio r de
la circunferencia inscrita, porque I equidista
de los lados del triángulo.
3. Construye la circunferencia inscrita al
∆ABC, con centro en I y radio r (fig. 2.68).
A
I
C
B
Fig. 2.68
El trazado de las bisectrices te permite
inscribir una circunferencia en un triángulo, pues el punto en que estas se
cortan es el centro de la circunferencia inscrita, cuyo radio está determinado por la distancia de este punto a uno de los lados del triángulo. Con
el centro y el radio ya está determinada de manera única la circunferencia
inscrita y puedes trazarla.
Ejemplo 4:
Dado un triángulo cualquiera ABC traza la circunferencia que lo circunscribe.
90
CAPÍTULO 2
Solución:
1. Traza las mediatrices de dos de sus lados,
del lado AB y AC. Sea M el punto de intersección de ambas mediatrices.
2. Determina el radio r de la circunferencia
circunscrita desde M a uno cualquiera de
los vértices del triángulo.
3. Construye la circunferencia circunscrita al ∆ABC, con centro en M y radio r
(fig. 2.69).
A
M
C
B
Fig. 2.69
El trazado de las mediatrices te permite circunscribir una circunferencia a un
triángulo, pues el punto en que estas se cortan es el centro de la circunferencia
circunscrita, cuyo radio está determinado por la distancia de este punto a uno
de los vértices del triángulo. Con el centro y el radio ya está determinada de
manera única la circunferencia circunscrita y puedes trazarla.
Aplica tus conocimientos
¿Cómo inscribir o circunscribir otros polígonos?
Nuestro estudio estará limitado a inscribir o circunscribir solamente polígonos regulares.
A continuación, te presentaremos algunos ejemplos sobre esto, pero antes
vamos a definir algunos elementos importantes sobre los polígonos regulares inscritos o circunscritos y a enunciar algunas de sus propiedades.
Ejemplo 4:
En la figura 2.70 se han trazado las circunferencias inscrita y circunscrita
de un polígono regular ABCD de cuatro lados, por supuesto, se trata de un
cuadrado. En este se destacan el centro O, el radio r y la apotema a.
Elementos
Descripción
Centro
Punto en que coinciden los centros de
la circunferencia inscrita, la circunscrita
y del polígono regular.
Apotema
Segmento que une el centro del polígono regular con uno cualquiera de sus
vértices. Es también el radio de la circunferencia circunscrita al polígono.
D
C
O
A
B
Fig. 2.70
91
MATEMÁTICA
Radio
Segmento perpendicular a un lado trazado desde el centro. La apotema es el
radio de la circunferencia inscrita a un
polígono.
¿Cuál es la amplitud de los ángulos centrales que se asocian al cuadrado ABCD, inscrito en la circunferencia trazada con la línea continua en la
figura 2.70?
Recuerda el procedimiento que aplicaste para determinar esta amplitud,
porque lo vamos a utilizar en el ejemplo 5.
Teorema sobre la existencia de polígonos regulares inscritos
y circunscritos a una circunferencia
Dada una circunferencia cualquiera, siempre se puede inscribir o circunscribir
en esta un polígono regular.
El problema de construir un polígono regular de n lados inscrito a una
circunferencia de centro O y de radio r dada, se reduce a dividir la circunferencia en arcos iguales, utilizando el semicírculo. Para esto solo basta
hallar la amplitud de un ángulo central a de la circunferencia dada, cuya
360
amplitud se calcula de la forma: ±
n
Con este valor no hay más que tomar este ángulo sucesivamente
n veces alrededor del centro de la circunferencia. Los radios trazados dividirán a la circunferencia en n arcos iguales cuyos extremos son los vértices
del polígono deseado.
Ejemplo 5:
Construye un pentágono regular inscrito en una circunferencia de 2,0 cm
de radio.
Solución:
Describiremos los pasos de esta construcción:
1. Trazar la circunferencia con centro en O y radio igual a 2,0 cm.
2. Calcular la amplitud de los ángulos centrales a para: n = 5 en la
360°
.
expresión:
n
360
Luego:
72
5
92
CAPÍTULO 2
3. Trazar consecutivamente con centro O
cinco ángulos centrales de 72°, para esto
puedes utilizar el semicírculo. De este
modo, el ángulo completo en O quedará dividido en cinco ángulos iguales,
cuyos lados al cortar la circunferencia
determinarán cinco puntos.
4. Unir mediante segmentos los cinco puntos obtenidos sobre la circunferencia,
que son los vértices del polígono inscrito que se desea construir. Así, queda
determinado el pentágono ABCDE de
la figura 2.71.
B
C
Ejemplo 6:
Construye un pentágono regular circunscrito a una circunferencia de 2,0 cm de radio.
Solución:
I
De forma análoga al ejemplo 5, para trazar
un pentágono, describiremos los pasos de
esta construcción, que puedes apreciar en
la figura 2.72:
1. Por los puntos A, B, C, D y E trazar las
tangentes a la circunferencia de centro O
y radio OA.
A
72º 72º
72º O
72º 72º
D
E
Fig. 2.71
H
B
G
C
72º 72º
A
72º O
72º 72º
F
D
E
J
Fig. 2.72
2. Donde se cortan las tangentes se determinan cinco puntos que son los
vértices del pentágono FGHIJ.
Aplica tus conocimientos
Utiliza algún asistente matemático, por ejemplo, el GeoGebra, para realizar
las construcciones de los ejemplos 5 y 6; comprueba que el lado del hexágono(1) regular es igual al radio de la circunferencia circunscrita.
La Real Academia de la Lengua Española, adoptó la acepción hexágono para el polígono
de 6 lados, aunque aún se acepta exágono, como aparece en el libro de texto de séptimo
grado (N. del E.)
1
93
MATEMÁTICA
Ejercicios
1.
Identifica el término que se define en cada afirmación y escríbelo en
las cuadrículas horizontales del acróstico (fig. 2.73).
1
P
O
2
L
3
4
I
G
5
O
6
7
N
8
O
Fig. 2.73
1) Segmento perpendicular trazado desde el centro de un polígono
regular a uno de sus lados.
2) Paralelogramo que tienen cuatro lados iguales.
3) Segmento que une dos vértices no consecutivos de un polígono.
4) Recta perpendicular que pasa por el punto medio de un segmento.
5) Nombre del polígono de cinco lados.
6) Nombre del polígono cuando sus vértices son puntos de una circunferencia.
7) Nombre del polígono cuando sus lados son tangentes a una circunferencia.
8) Nombre del polígono de seis lados.
2.
94
De las siguientes proposiciones, determina cuáles son falsas y conviértelas en verdaderas.
a) Todo pentágono es un polígono regular.
b) Los ángulos centrales de los polígonos de 10 lados miden 36°.
c) Un triángulo es un polígono regular si todos sus ángulos son iguales.
d) Todo polígono se puede inscribir a una circunferencia.
e) Todo polígono regular se puede circunscribir a una circunferencia.
CAPÍTULO 2
3.
Construye polígonos regulares inscritos en una circunferencia como
se te indica en cada inciso.
a) Un triángulo equilátero en una circunferencia de radio igual a 2,0 cm.
b) Un cuadrado y un octágono en una circunferencia de diámetro
igual a 25 mm.
c) Un hexágono de perímetro igual a 1,2 dm.
4.
Construye la circunferencia circunscrita al hexágono del ejercicio 3 c).
5.
Trabaja con el asistente matemático Geómetra, construye varios polígonos inscritos y circunscritos a una circunferencia de radio r.
6.
Completa los espacios en blanco de manera que se obtenga una
proposición verdadera:
a) La suma de las amplitudes de los ángulos interiores de un polígono
regular de 11 lados es _______________.
b) La suma de las amplitudes de los ángulos interiores de un polígono regular es igual a 1 260º, entonces el número de sus lados es
_____________.
c) La amplitud de un ángulo interior de un polígono regular de
15 lados es _____________.
P
D
C
7.
En la figura 2.74, los lados del cuadrado
ABCD son tangentes a la circunferencia
de centro O y radio r = 3,0 cm en los puntos M, N, P y Q.
Selecciona la respuesta correcta:
a) La longitud de la apotema OM es:
___ 1,5 cm ___ 3,0 cm ___ 6,0 cm
b) El perímetro del cuadrado ABCD es:
___ 12 cm ___ 24 cm2 ___ 24 cm
c) El área del cuadrado ABCD es:
___ 9,0 cm2 ____ 24 cm2 ____36 cm2
8.
En la figura 2.75, el cuadrado ABCD está
inscrito en la circunferencia de centro O
y diámetro AC = 10,0 cm Calcula el área
del cuadrado ABCD.
Q
N
A
M
B
Fig. 2.74
A
D
O
B
C
Fig. 2.75
95
MATEMÁTICA
9.* Demuestra que la longitud de la diagonal
E
D
de un cuadrado inscrito a una circunferencia es igual al diámetro de esta.
10. En la figura 2.76 está inscrito un polígono
F
C
O
regular en la circunferencia de centro O y
diámetro AD = 10,0 cm.
11. Completa los espacios en blanco de
A
B
Fig. 2.76
forma que se obtenga una proposición
verdadera.
a) El triángulo AEF según sus lados se clasifica en ________________
b) El triángulo ADE según sus ángulos se clasifica en: _______________.
c) La amplitud del arco AFD es igual a: _______.
d) La amplitud del arco ACE es igual a: _______.
El perímetro del polígono ABCDEF es igual a: _______.
2.2.2 Longitud de la circunferencia
Saber más
La palabra perímetro proviene de las voces griegas peri que quiere decir
alrededor y metron que quiere decir medida, esto se traduce como la
medida del borde. En el caso de la circunferencia, que estudiaremos en
este epígrafe, al perímetro se le denomina longitud de la circunferencia.
Investiga y aprende
Desde la Antigüedad el hombre se percató que en la medida que una circunferencia era mayor se hacía también mayor su diámetro, lo que los llevó
a pensar que seguramente existía determinada relación entre ambos. Te
proponemos indagar sobre esa relación.
Reflexiona un instante
Enrique y Ricardo tomaron diferentes objetos de la vida cotidiana en forma
de círculo como los que aparecen en la figura 2.77, para indagar lo que
mide la longitud de su borde. ¿Cómo lo hicieron? Rodearon cada uno de
96
CAPÍTULO 2
estos objetos con un hilo, que después estiraban cuidadosamente sobre una regla
para medir su longitud.
Ricardo tomó la moneda de un peso y al
estirar el hilo obtuvo un segmento de 8 cm
de longitud, que consideró la longitud de
la circunferencia de la moneda. Enrique
tomó la moneda de 5 centavos y obtuvo
que la longitud de la circunferencia descrita por esa moneda es 6,8 cm (Fig. 2.78).
Fig. 2.77
Al comprobar que en la medida que se tomaba una circunferencia de mayor diámetro la
longitud de la circunferencia era mayor, les hizo suponer que la longitud de una
circunferencia depende de la longitud de su diámetro y decidieron determinar
cuántas veces está contenido el diámetro de una circunferencia en su longitud.
Longitud de la moneda de $0.05
1
4566
1
11
1
11
Longitud de la moneda de $0.05
1
4566
Fig. 2.78
Así verificaron que en cada circunferencia que midieron el diámetro está
contenido completamente tres veces en su longitud y sobraba un pedazo
pequeño, como puedes observar en la figura 2.79.
C1
C2
C3
B
A
Fig. 2.79
97
MATEMÁTICA
Siguiendo este procedimiento, al dividir la longitud de la moneda de $1,00,
que es 8,0 cm, entre su diámetro de 2,55 cm obtuvieron:
L
8
≈
≈ 3 ,137254901 ≈ 3 ,1
14
d 2 ,5
55
Aplica tus conocimientos
Las circunferencias construidas con un asistente matemático de la figura 2.80,
también cumplen la misma relación.
Longitud
d C1(O ; OB ) 8, 0
00
0 ccm Longitud C 2 (O ; OD
OD ) 10,00
, 00 cm
AB 2, 55
5 cm
8
LC1
3,1
14
55
AB 2, 5
A
18
CD 3,1
8 cm
LC 2 10, 00
3,1
14
4
3,1
18
8
CD
O
C
B
O
D
Fig. 2.80
Utiliza un asistente matemático para comprobar esta relación en otras
circunferencias.
¿Se obtendrán los mismos resultados?
De la historia
En Grecia, allá por los años 287-212 a.n.e., el más
genial de los matemáticos de la Antigüedad,
Arquímedes de Siracusa (fig. 2.81), utilizó este
mismo procedimiento para calcular la longitud de
la circunferencia, según el cual el cociente
de la longitud de una circunferencia cualquiera y
la longitud de su diámetro es siempre el mismo.
Arquímedes también se percató, que el diámetro
de una circunferencia estaba contenido en estas
98
Fig. 2.81
CAPÍTULO 2
tres veces y un “pedacito” y que ese pedacito es un séptimo del diámetro.
Estos fueron aproximadamente sus cálculos (fig. 2.82).
Fig. 2.82
L
1
1 22
3 ;3
3 ,141
14159
59
d
7
7 7
L
3 ,14159...
d
De aquí surgió la idea para la ecuación de la longitud de la circunferencia.
L
La razón
es un número que universalmente se designa con la letra
d
griega π.
Este número es una constante que representa una expresión decimal
infinita no periódica: π ≈ 3,141 59…, por tanto, este número es irracional.
En los cálculos en que interviene lo tomaremos con un valor aproximado
π ≈ 3,14.
De esta expresión:
L
se deduce que: L = π ⋅ d = π ⋅ 2r = 2πr.
d
Aplica tus conocimientos
Para calcular la longitud L de una circunferencia de centro O, diámetro
d y radio rr, podemos utilizar cualquiera de las expresiones del recuadro
siguiente, ¿por qué?
L=π·d
r
r)
L = π · (2r)
L = 2πr
Ejemplo 1:
Calcula la longitud de una circunferencia de centro A, cuyo radio tiene una
longitud r = 2,5 cm.
99
MATEMÁTICA
Solución:
L = 2πr
L = 2·3,14·2,5
L = 15,7 cm
L ≈ 16 cm
Respuesta: La circunferencia mencionada tiene aproximadamente 16 cm
de longitud.
Ejemplo 2:
La longitud de una circunferencia es igual 31,4 cm. Calcula la longitud del
radio.
Solución:
L = 2πr
31,4 = 2·3,14·r
31,4 = 6,28·r
=
r
31, 4
= 5 , 00 cm
6 , 28
Respuesta: La longitud del radio de la circunferencia es igual a 5,00 cm.
Ejemplo 3:
El tronco de un árbol tiene 4,0 m de diámetro. ¿Cuántos hombres se necesitan
para abrazarlo, si cada hombre con las manos extendidas abarca 1,60 m
aproximadamente?
Solución:
L = π·d = 3,14·4,0 m = 12,56 m
12,56 : 1,60 = 7,85
Respuesta: Se necesitan ocho hombres para abrazar el árbol con las manos
extendidas.
Longitud de un arco de circunferencia
Reflexiona un instante
Beatriz mece a su hermanita en un columpio con mucho cuidado, siempre
tratando de recorrer un pequeño arco para que no ocurra un accidente
(fig. 2.83).
100
CAPÍTULO 2
Fig. 2.83
¿Cómo se podrá calcular aproximadamente la longitud del arco recorrido
por el columpio?
Para calcular esta longitud, se debe determinar
B
una relación entre la longitud del arco que recorre el columpio y la longitud de la circunferencia
a
A
correspondiente a este arco. Representemos esta
O
situación geométrica en una circunferencia de
centro O y radio r (fig. 2.84), en la cual:
Fig. 2.84
► La longitud del arco considerado a se denota como b.
► La amplitud del ángulo central correspondiente al
arco de longitud b, como a.
► La longitud de la circunferencia dada, con la letra L y la amplitud del
ángulo completo de toda la circunferencia, como 360º.
La longitud b de un arco de circunferencia que corresponde a un grado
de amplitud es: b L .
360
L
.
Luego para un arco de amplitud aº su longitud sería: b
b
.
De lo anterior podemos formar la proporción:
L 360
360
Ahora, Beatriz podrá calcular aproximadamente la longitud del arco
recorrido por el columpio utilizando la proporción anterior.
Ejemplo 4:
¿Cuál es la longitud de un arco correspondiente a un ángulo central de
amplitud 60º en una circunferencia de radio 12,0 cm?
101
MATEMÁTICA
Solución:
Se conocen la amplitud del ángulo a y la longitud del radio; luego, para aplicar
la proporción
b
hay que calcular la longitud de la circunferencia (L).
L 360
L= 2πr = 2·3,14·12 = 6,28·12 = 75,36 cm
Sustituyendo en la proporción para calcular la longitud de b, obtenemos:
b
60
=
75 , 36 360
b 75 , 36
60
12 ,56 b 12 , 6 cm
360
Respuesta: La longitud de un arco correspondiente para ese ángulo central
de 60º es de aproximadamente 12,6 cm.
Aplicación práctica de la relación longitud
de la circunferencia-radio
Investiga y aprende
En el desplazamiento de los vehículos rodantes se
establece una determinada relación entre la longitud de las circunferencias de sus ruedas y sus
respectivos radios.
Veamos algunos ejemplos. El primero con las ruedas
de un tractor, equipo motorizado de suma importancia para el desarrollo de la agricultura en nuestro
país. Fíjate en la figura 2.85 que sus ruedas traseras
no tienen igual diámetro que las delanteras.
Fig. 2.85
¿Dan la misma cantidad de vueltas ambos tamaños
de ruedas cuando el tractor ha avanzado un trayecto de 100 m?
Con el estudio que vamos a realizar podemos darle respuesta a la interrogante antes planteada; vamos a realizar el análisis a partir del cálculo de la
longitud de diferentes circunferencias.
Ejemplo 5:
Observa en la tabla 2.1 la variación de la longitud de la circunferencia,
cuando la longitud de su radio varía. O sea, a medida que la longitud del
102
CAPÍTULO 2
radio aumenta, la longitud de la circunferencia aumenta, por lo cual, a
mayor diámetro, será mayor también la longitud de la circunferencia.
Tabla 2.1
Circunferencias
Longitud
del radio
Longitud
de la circunferencia
C1
1,0 cm
2
C2
2,0 cm
4
C3
3,0 cm
6
C4
4,0 cm
8
Recuerda que...
Cuando dos magnitudes están relacionadas de modo que los valores de
una de estas se obtienen multiplicando por un mismo número los valores
correspondientes de la otra, se dice que son directamente proporcionales.
En una proporcionalidad directa, dos cantidades cualesquiera de una magnitud y su correspondiente en la otra, forman una proporción.
Ejemplo 6:
Observa que en la ecuación L = 2πr, si
hacemos k = 2π, obtenemos la ecuación
L = kr, donde el factor de proporcionalidad es 2π.
Luego decimos que la longitud de la
circunferencia es directamente proporcional a la longitud de su radio. Esta
relación se puede representar en un
sistema de coordenadas rectangulares,
toma para esto las cantidades proporcionales de la tabla 2.1 y confecciona
una gráfica en la figura 2.86.
L
8π
6π
4π
2π
0
1
2
3
4
r
Fig. 2.86
Ejemplo 7:
El radio de la rueda delantera de una bicicleta de circo mide 20 cm y de la
rueda trasera 30 cm.
103
MATEMÁTICA
a) Al recorrer una determinada distancia, ¿qué rueda habrá dado más
vueltas? Argumenta.
b) Cuando la rueda trasera da una vuelta completa, ¿cuántas habrá dado
la rueda delantera?
Solución:
a) Habrá dado más vueltas la rueda delantera por tener menor radio.
b) Ld = 2π·20 = 40π.
Lt = 2π·30 = 60π
Lt 60 3
1,5
Ld 40 2
Respuesta: La rueda delantera habrá dado 1,5 vueltas.
Ahora podrás responder el problema relacionado con las ruedas de un
tractor.
Solución: Las ruedas delanteras del tractor darán mayor cantidad de vueltas
que las traseras en un trayecto de 100 m.
Ejercicios
1.
Calcula la longitud de una circunferencia cuyo diámetro mide:
a) 3,5 cm
b) 4,0 dm c) 60,0 mm
2.
Calcula la longitud de una circunferencia cuyo radio es igual a:
a) 1,0 km b) 6,0 dm c) 1,4 m
3.
Calcula el radio de una circunferencia cuya longitud es igual a:
a) 6,28 m b) 22 km
c) 125,6 cm
4.
El radio de la esfera terrestre tiene
6 370 km. Determina la longitud
aproximada del arco del horizonte
correspondiente a un ángulo de 30º
de la circunferencia que se obtendría al proyectar paralelamente la
esfera terrestre en un plano, como
se representa en la figura 2.87.
104
Fig. 2.87
CAPÍTULO 2
5.
La longitud del radio de las ruedas traseras de un tractor mide 0,60 m.
¿Cuántos kilómetros avanza el tractor cuando cada rueda ha dado
400 vueltas?
6.
Las ruedas de un auto tienen 25 cm de radio. ¿Cuántas vueltas tiene
que dar cada rueda para recorrer 78,5 m?
7.
Una parte de la lona de la caseta que utilizaron los pioneros en la
acampada aparece sombreada en la figura 2.88 de manera que:
— Los puntos A, B, C y D donde se fijó al suelo están alineados, siendo
AB = 1 .
C el punto medio del segmento AD y
2
AC
8.
Los puntos E y F en que se fijó al
techo, se ubicaron en estacas a una
altura de 2,0 m formando el cuadrado CDEF.
También está representada la puerta ajustada al marco ED.
Calcula la suma de las longitudes de
los cinco arcos que aparecen en la
figura.
9.
A
B
F
E
C
D
Fig. 2.88
Completa la tabla 2.2 sabiendo que los datos de cada fila corresponden
a la misma circunferencia.
L: longitud de la circunferencia.
d: diámetro de la circunferencia
r: radio de la circunferencia
b: longitud de un arco
a: amplitud de un ángulo central al que le corresponde el arco de longitud b
Tabla 2.2
L
d
r
b
13,2 cm
a
50º
7,8 cm
200º
5,00 m
3,93 m
14,8 cm
10,0 cm
2,5 m
0,43 cm
60º
30º
105
MATEMÁTICA
10. Calcula la longitud de una circunferencia conociendo que uno de sus
arcos cuya amplitud es igual a 20º tiene una longitud de 5,4 cm.
C
11. En la figura 2.89, el triángulo ABC es equilátero y está inscrito en la circunferencia de
centro O y radio igual a 9,0 cm. Selecciona
la respuesta correcta.
es igual a
La longitud del arco AB
a) __ 120º
b) ___ 19 cm
c) __ 9,4 cm
d) ___ No se puede determinar por falta de datos.
O
A
B
Fig. 2.89
C
12. En la figura 2.90, el triángulo ABC está
inscrito en la circunferencia de centro O,
diámetro AB = 4,0 dm y la amplitud del
ángulo CAB es igual a 36º.
Selecciona la respuesta falsa y conviértela
en verdadera.
a) La longitud del radio es igual a 20 cm.
b) El ángulo ACB tiene amplitud igual a 90º.
c) La longitud del arco BC es igual a 1,256 dm.
es igual a 108º
d) La amplitud del arco AC
B
O
A
Fig. 2.90
13. En la figura 2.91, A, B y C son puntos
= 120º y ∢CAB
de la circunferencia, AC
= 30º.
a) Clasifica el ∆ABC según la amplitud
de sus ángulos.
A
AB
para
b) ¿Qué representa la cuerda
la circunferencia? Argumenta.
c) Si AB = 2,4 cm, calcula la longitud de
la circunferencia.
C
O
B
Fig. 2.91
14. Los brazos de un columpio miden 1,8 m de largo y pueden describir
como máximo un ángulo de 120º (fig. 2.92). ¿Cuál es el recorrido del
asiento del columpio cuando el ángulo es máximo?
106
CAPÍTULO 2
Fig. 2.92
15. El minutero de un reloj tiene 6,0 cm de longitud. ¿Cuántos centímetros
recorre su extremo libre al avanzar 20 min?
2.2.3 Área del círculo
Reflexiona un instante
El disco es un implemento deportivo que se
emplea desde la Antigüedad en uno de los
eventos de lanzamiento del atletismo. Su masa
es de 2,0 Kg y su sección circular, similar a la
que se ilustra en la figura 2.93 con un diámetro
de 219 a 221 mm en la categoría masculina y
en la femenina, de 180 a 182 mm.
Fig. 2.93
¿Cuál es el área que ocupa un disco de lanzamiento de diámetro 220 mm
sobre el terreno?
El estudio de este epígrafe te permitirá responder esta interrogante.
Área de un polígono regular de n lados
Aplica tus conocimientos
¿Cómo calcular el área de un hexágono regular de n lados?
107
MATEMÁTICA
Considera un hexágono regular de lado l; para calcular el área
de este polígono, puedes descomponerlo en triángulos y obtener
seis triángulos equiláteros cuya F
altura es la apotema del polígono
y de base uno de los lados iguales.
El área del polígono ABCDEF es la
suma de las áreas de los seis triángulos formados como se muestra
en la figura 2.94.
E
D
o
O
C
a
a
A
I
B
A
I
B
Fig. 2.94
Área del hexágono ABCDEF:
AE 6 A ABC
Área del triángulo ABO: A ABC
l a
2
Se sustituye la ecuación para calcular el área del triángulo ABC en la ecuación para calcular el área del hexágono y obtenemos:
l a
AE 6
2
El perímetro del hexágono es igual a: PE = 6 · l
Al sustituir la ecuación del perímetro del hexágono en la ecuación para
a
calcular su área, obtenemos una nueva relación: AE P .
2
Como se puede apreciar esta última ecuación depende de la apotema y
del perímetro del polígono cuya área se desea calcular, de lo cual se deduce
la ecuación para calcular el área de cualquier polígono regular.
cuación del área de un polígono regular:
Ecuación
El área de un polígono regular es igual al semiproducto3 del perímetro por
la apotema: APr
P a
2
Semiproducto: significa en matemática que es la mitad del producto, o sea el producto
se divide por dos.
3
108
CAPÍTULO 2
Área del círculo
Para obtener una ecuación para calcular el área del círculo, considera varios
polígonos regulares inscritos en una circunferencia de radio r y apotema a,
como se muestra en la figura 2.95.
o
n=5
o
r
a
n=6
o
r
a
r
a
n=7
a
o
a
n=8
o
r
a
o
r
n=9
a
r
n = 10
Fig. 2.95
Aplica tus conocimientos
Observa qué sucede con la circunferencia y el polígono regular inscrito
en esta, si continúas aumentando cada vez más el número n, de lados del
polígono, responde después las interrogantes siguientes:
1. ¿Qué relación existe entre la longitud de la apotema y la longitud del
radio?
Respuesta: La longitud de la apotema a se aproxima cada vez más a la
longitud del radio r, hasta llegar a ser la apotema igual a la longitud del
radio de la circunferencia.
2. ¿Qué relación existe entre el perímetro del polígono inscrito de n lados
y la longitud de la circunferencia?
Respuesta: El perímetro n·l del polígono se aproxima cada vez más a la
longitud L de la circunferencia hasta llegar a ser el perímetro del polígono
igual a la longitud de la circunferencia.
3. ¿Qué relación existe entre el área del polígono inscrito y el área del
círculo?
Respuesta: El área del polígono se aproxima también cada vez más al
área del círculo hasta llegar a ser: AP = AC.
109
MATEMÁTICA
¿Cómo calcular el área del círculo?
Sabes que el área del polígono Ap se aproxima cada vez más al área del
círculo Ac, por eso podemos utilizar la ecuación del área de un polígono
de n lados para calcular el área del círculo:
P a
A
pero P L
P
2
L a
A
pero a r y L 2 r
P
2
2 r r
A
P
2
A r2
C
Ecuación del área de un círculo:
AC = π · r2
d
Si sustituimos el radio por la expresión: r = , obtenemos otra ecuación
2
que no es necesario que memorices, porque puedes obtenerla fácilmente,
cuando tengas en los datos el diámetro en lugar del radio. ¿Te atreves
a intentarlo?
Ejemplo 1:
a) Calcula el área de un círculo de radio igual a 10,0 dm.
Solución:
Sustituimos r = 10,0 dm en la ecuación estudiada:
AC = π⋅ r2
AC = 3,14 ⋅ 102
AC = 3,14 ⋅ 100
AC = 314 dm2
Respuesta: El área del círculo es 314 dm2.
Ejemplo 2:
a) Halla el radio del círculo cuya área es igual a 78,5 dm2.
Ac = 78,5 dm2
Ac = π · r2
78,5 = 3,14 · r2
110
CAPÍTULO 2
r2 =
78 ,5
3 ,14
r 2 = 25
r = 5 , 00 dm
Respuesta: El radio del círculo es 5,00 dm.
Consejos útiles
No olvides que el resultado final del cálculo de áreas de figuras planas y
longitudes de segmentos se debe expresar con el menor número de cifras
significativas que posean los valores de los datos.
Solución del problema planteado para calcular el área de un disco de lanzamiento de diámetro igual a 220 mm:
Datos
d = 220 mm
Utilicemos la ecuación: AC
d2
4
Sustituyendo:
AC 3 ,14
Ac 3 ,14
2202
4
48 400
4
Ac 3 ,14 12 100
Ac 37 994 mm2
Ac 380 cm2
Respuesta: El área del disco de lanzamiento del atletismo es aproximadamente 380 cm2.
Área de la corona circular
Reflexiona un instante
De una pieza metálica en forma de círculo, de diámetro igual a 8,0 mm, como
se muestra en la figura 2.96 se quiere fabricar una arandela para un tornillo
111
MATEMÁTICA
de diámetro igual a 2,0 mm. ¿Qué
área ocupará la arandela sobre
una superficie plana? ¿Qué forma geométrica tiene la arandela
fabricada?
Fig. 2.96
Esta forma geométrica, nueva para ti, se denomina anillo; veamos su
definición.
Definición de corona circular:
El conjunto de puntos del plano limitado por dos círculos concéntricos de
diferentes radios, en el cual también se incluyen sus circunferenciasborde,
se llama corona circular.
Aplica tus conocimientos
Busca qué ecuación te permite calcular el área de la corona circular utilizando la ecuación estudiada para determinar el área del círculo.
Ejemplo 3:
En la figura 2.97, tenemos que: r1 es el radio del círculo
uno y r2 es el radio del círculo dos. Entonces, se expresan
las ecuaciones para calcular las áreas de los dos círculos
en función de r1 y r2, con r2 > r1.
r1
o r2
AC r12 ; AC2 r22
1
Acorona A C AC 1
2
Acorona A corona r22 r12
Fig. 2.97
A corona r22 r12
Así, se obtiene que el área de la corona circular es igual a la diferencia entre
2
2
el área del círculo mayor y el área del círculo menor: A corona r2 r1 .
112
CAPÍTULO 2
Solución del problema relacionado con la arandela para un tornillo
utilizando la ecuación del área de la corona circular:
Datos:
r2 = 4,0 mm
r1 = 1,0 mm
Aarandela = 3,14·(42 – 12)
A corona r22 r12
Aarandela = 3,14 · (16 – 1)
Aarandela = 3,14 · 15
Aarandela = 47,1 mm2
Aarandela ≈ 47 mm2
Respuesta: El área de la arandela será aproximadamente 47 mm2.
Ejemplo 4:
Calcula el área de un anillo circular determinado respectivamente por las
circunferencias de radio r1 = 2,0 dm y r2 = 30,0 cm.
Datos:
r1 = 2,0 dm = 20 cm
r2 = 30 cm
A corona ( r22 r12 )
Acorona = 3,14 (302 – 202)
Acorona = 3,14 (900 – 400)
Acorona = 3,14 ⋅ 500
Acorona = 157,0 cm2
Acorona = 15,70 dm2
Acorona ≈ 16 dm2
Respuesta: El área del anillo circular determinado es aproximadamente
16 dm2.
Área del sector circular
Reflexiona un instante
En la figura 2.98 se tiene un círculo de centro O
y radio OA = 2,0 cm, los radios OA y OB forman
un ángulo de 120º.¿Puedes identificar la figura
geométrica que representa la parte sombreada
en el círculo? ¿Cuál será su área?
B
o
A
Fig. 2.98
113
MATEMÁTICA
Definición de sector circular:
Se llama sector circular al conjunto de puntos del círculo limitado por los
lados de un ángulo central y su arco correspondiente, que incluye también
a los puntos contenidos en estos.
Para calcular el área de un sector circular (ASC) de un ángulo de amplitud a
en un círculo de área (AC), planteamos la proporción que representa la igualdad
entre la razón de las áreas de dos sectores circulares en la misma unidad de
medida y la razón entre sus amplitudes correspondientes expresadas en grados.
Como en toda proporción, conociendo el valor de tres de sus cuatro
términos puedes hallar el cuarto término (fig. 2.98).
ASC
360
AC
360
ASC r 2
360
ASC AC
Ejemplo 5:
En un círculo de radio igual a 4,0 dm se ha trazado un sector circular de 60º
de amplitud. Halla su área.
Solución:
ASC
AC
360
360
60
ASC 50 ,24
360
1
ASC 50 ,24
6
ASC AC
ASC 8 , 4 dm2
Cálculo auxiliar:
Ac = Área del círculo
Ac = πr2
Ac = 3,14·42
Ac = 3,14·16
Ac ≈ 50,24 dm2
Respuesta: El área del círculo es aproximadamente 8,4 dm2.
En la figura 2.98 puedes identificar que la parte que aparece sombreada
es un sector circular y determinar su área.
Datos:
r = 2,0 cm
114
CAPÍTULO 2
ASC
AC
360
ASC AC
360
ASC 12 , 56
ASC 12 , 56
120
360
1
Cálculo auxiliar:
Área del círculo
Ac = πr2
Ac = 3,14·22
Ac = 3,14·4
Ac = 12,56 cm2
3
ASC 4 , 2 cm2
Aplica tus conocimientos
Construye el gráfico que aparece en la figura 2.99 con instrumentos de dibujo o con
alguna aplicación informática.
La composición de la superficie terrestre
es (fig. 2.99):
► Las tres cuartas partes corresponden
a agua.
► La cuarta parte corresponde a tierra.
Fig. 2.99
Consejos útiles
Observa que los datos que se muestran en la figura 2.99 son fracciones con
igual denominador, por tanto, es fácil representarlos en un gráfico circular,
solo basta dividir el círculo en cuatro partes iguales, trazando dos diámetros
perpendiculares, luego se selecciona la cuarta parte que le corresponde a
la tierra y las tres cuartas partes que le corresponden al agua.
Reflexiona un instante
¿Cómo proceder para construir un gráfico circular o de pastel cuando los
datos son fracciones con diferentes denominadores?
Ejemplo 6:
En una secundaria básica la matrícula es de 600 estudiantes, 150 cursan el
séptimo grado, 200, el octavo grado y 250, el noveno grado. Representa la
información en un gráfico circular (Ver figura 2.100).
115
MATEMÁTICA
Solución:
Matrícula por grados
Séptimo grado:
150
1
360 360 90
600
4
150
250
Octavo grado:
200
1
360 360 120
600
3
8vo
200
Noveno grado:
7mo
9no
Fig. 2.100
250
5
360
360 150
600
12
Pasos para construir un gráfico de pastel
1. Determinar la medida del ángulo central correspondiente al sector
multiplicando la frecuencia relativa por 360º.
2. Comprobar que las amplitudes obtenidas suman 360º.
3. Trazar un círculo de radio r.
4. Trazar en el círculo los sectores circulares obtenidos con ayuda de un
semicírculo.
5. Identificar en el gráfico los datos objeto de análisis en el problema.
Se puede construir fácilmente una gráfica de pastel utilizando aplicaciones informáticas o un asistente matemático, para insertarla en un
documento con los recursos informáticos. Para esto sigue los pasos que se
describen a continuación.
Ejemplo 7:
a) Abre el documento en el que vas a insertar la gráfica o un nuevo documento en un procesador de texto.
b) Da clic con el mouse en la opción: Insertar (fig. 2.101).
Fig. 2.101
116
CAPÍTULO 2
c) Después en la opción: Gráfico.
d) Selecciona ahora: Circular y allí el tipo de gráfico circular que deseas y
a seguidas: Aceptar (fig. 2.102).
Fig. 2.102
e) Rellena la tabla que se abre en la hoja de cálculo con los datos necesarios, (fig. 2.103); para cada dato toma una fila. En el caso del ejemplo 6,
estos datos serían: 150, 200 y 250, que son las cantidades de educandos
de cada grado y reescribe el nombre del gráfico.
Fig. 2.103
Aplica tus conocimientos
En una secundaria básica la matrícula es de 600 educandos, 150 cursan el
séptimo grado, 200 el octavo grado y 250 el noveno grado. Representa la información en un gráfico circular utilizando un asistente matemático (GeoGebra).
Ejercicios
1.
Enlaza la ecuación de la columna II para calcular la longitud o área
que se muestra en la columna I.
117
MATEMÁTICA
I
► Área del sector circular
π·d
► Longitud del arco de circunferencia
► Longitud de una circunferencia
► Área de un círculo
► Área de un anillo circular
► Amplitud de un arco de circunferencia
2.
II
d2
4
r22 r12
L
360
b
360
AC
360
L
Identifica cuál de las proposiciones siguientes es verdadera.
a) ___ El número irracional p = 3,14.
b) ___ La parte del círculo limitada por un arco y los lados del ángulo
central correspondiente se calcula utilizando la relación.
c) ___ El área del círculo se puede calcular utilizando la relación
d2
.
4
d) ___ La longitud de la circunferencia se puede calcular utilizando
la relación: L = 2πd.
3.
Calcula el área de un círculo cuyo radio es igual a:
a) r = 7,00 cm
b) r = 5,0 m
c) r = 100 mm
4.
Dada la longitud del diámetro de un círculo, calcula su área.
a) d = 30,0 cm
b) d = 1,7 m
c) d = 13,0 mm
5.
Determina la longitud de los elementos del círculo indicados entre
paréntesis conocido el valor de su área en cada inciso:
a) A = 24 mm2, (r)
b) A = 314 cm2, (d)
c) A = 19,6 dm2, (r y d)
6.
Si conoces las longitudes de los radios de dos circunferencias concéntricas.
¿Cuál será el área de la corona circular que se forma en cada caso?
a) r1 = 1,0 dm y r2 = 12,0 cm
b) r1 = 0,30 m y r2 = 4,5 dm
118
CAPÍTULO 2
7.
Halla las longitudes y áreas indicadas, utilizando los datos dados en
cada caso.
a) Dados AC = 36p m2 y a = 45º, (r, d y ASC)
b) Dados L = 14,8 cm y b =120 mm, (r, d, AC y a) D
C
c) Dados r = 5,0 cm y b = 60 mm, (a, AC , ASC y L)
8.
En la figura 2.104, la circunferencia de centro
O y radio r está inscrita al cuadrado ABCD de
lado igual a 4,0 cm. Calcula el área de la parte sombreada.
A
B
Fig. 2.104
9.
En la figura 2.105, el cuadrado ABCD de 5,00 cm
de lado está inscrito en una circunferencia de
70 mm de diámetro. Calcula el área sombreada.
D
C
A
B
Fig. 2.105
10. En la figura 2.106, la circunferencia de centro
Q
P
M
N
O y radio r1 está inscrita al cuadrado MNPQ de
lado igual a 8,0 cm. La circunferencia menor
tiene su centro en O y su radio es r2 = 2,0 cm.
Calcula el área sombreada.
Fig. 2.106
11. En la circunferencia de centro O y radio ON = 2,2 m (fig. 2.107), el ángulo
∢MON = 90º. Calcula el área sombreada.
N
M
O
Fig. 2.107
119
MATEMÁTICA
12. La superficie de una mesa está formada
por una parte central cuadrada y dos semicírculos adosados en dos lados opuestos
(fig, 2.108). Calcula el área de la superficie
de la mesa.
80 cm
Fig. 2.108
13. El minutero de un reloj tiene 12 mm de
largo. ¿Qué parte de la superficie barre al pasar de las 2:00 p.m. a
las 2:35 p.m.?
14. En un parque infantil de forma circular de 50 m de radio, hay situada
una fuente concéntrica a él de forma circular de 5,0 m de radio. ¿Cuál
es el área que disponen los niños para jugar?
15. Se tienen dos figuras S1 y S2 de cartulina con forma de sector circular.
S1 tiene 2,0 cm de radio y un ángulo de 60º y S2 tiene 3,0 cm de radio
y un ángulo de 30º. Halla la razón entre las superficies de S1 y S2.
16. Se trazan tres circunferencias concéntricas cuyos respectivos radios
tienen longitud: r1 = 4,0 cm, r2 = 6,0 cm y r3 = 9,0 cm. ¿Cuántas veces
es mayor la superficie comprendida entre las circunferencias dos y tres
que la superficie comprendida entre las circunferencias uno y dos?
17. Una pizza familiar circular es cortada en varios trozos (sectores) iguales
con un ángulo central igual a 45º.
a) ¿En cuántos trozos (sectores) se cortó la pizza?
b) Si la superficie de uno de los trozos es de aproximadamente
88,3 cm2, ¿cuál es la longitud aproximada de la pizza?
18.* En la figura 2.109, se tiene un hexágono regular
de 6,9 cm de apotema inscrito en una circunferencia de 8,0 cm. Calcula el área sombreada.
Fig. 2.109
120
CAPÍTULO 2
19.* En la figura 2.110, se tiene una circunfe-
C
rencia de longitud igual a L = 12,56 cm
inscrita en un triángulo equilátero. Calcula
el área de la parte sombreada.
A
B
Fig. 2.110
20.* En la figura 2.111, se tienen tres circunferencias iguales, tangentes entre sí, de centros en
O1, O2 y O3 de radio igual a r = 20 mm. Calcula
el área de la parte sombreada.
O2
O1
O3
Fig. 2.111
B
21.* En la figura 2.112, AB es una cuerda de la
circunferencia de centro O; AO ⊥ OB.
Calcula el radio de la circunferencia si el área
A
sombreada es de 1,14 cm2.
O
Fig. 2.112
22. En la figura 2.113, AD es diámetro y E es un
B
punto de la circunferencia de centro O. La
recta BC es tangente a la circunferencia en
el punto F. ABCD es un rectángulo. Calcula el
área sombreada si se conoce que AE = 1,6 dm
y DE = 12 cm
A
F
C
O
D
E
Fig. 2.113
23. En la tabla 2.3 se muestran los resultados de la actuación de Cuba en
los juegos panamericanos de Lima 2019.
121
MATEMÁTICA
Tabla 2.3
Medallas
Cantidad
Oro
Plata
27
Bronce
38
Total
98
a) ¿Cuántas medallas de oro obtuvo Cuba?
b) Calcula la frecuencia relativa en cada caso.
c) Representa la información en un gráfico de pastel.
24. En la tabla 2.4 se muestra el tanto por ciento de estudiantes de una
secundaria básica incorporados a círculos de interés.
Tabla 2.4
Círculos de interés
Porciento de incorporados
Gastronomía
20
Salud Pública
33
Deportes
27
No incorporados
a) ¿Qué tanto por ciento de la matrícula está aún sin incorporarse a
los círculos de interés?
b) Si la matrícula de la escuela es de 520 estudiantes, ¿cuántos de
ellos prefieren el círculo de interés de gastronomía?
c) Representa la información en un gráfico de pastel.
25. En un trabajo práctico de Matemática relacionado con los datos de un consultorio médico
de la familia aparece una gráfica como la que
muestra la figura 2.114, sobre la distribución
de sus pacientes.
Obsérvala y responde cada una de las preguntas siguientes:
a) Selecciona la respuesta correcta.
122
Niños
Hombres 25 %
Mujeres
40 %
Fig. 2.114
CAPÍTULO 2
► La mayor cantidad de pacientes está representada por:
___ Mujeres
___ Hombres
___ Niños
► La expresión: “Los niños representan el 25 %” significa que:
__ En el consultorio atienden a 25 niños.
__ La cuarta parte de los pacientes que se atienden son niños.
__ De cada 1 000 pacientes que se atienden, 25 son niños.
b) Si en el consultorio se atienden 240 pacientes, determina la cantidad de pacientes que corresponde a niños, mujeres y hombres.
26. Investiga en tu consultorio médico de la familia la cantidad de personas de la tercera edad que:
a) Padecen de hipertensión arterial.
b) Son diabéticos.
c) Son cardiópatas.
27. Construye un gráfico de pastel con los datos recopilados con el uso
de una aplicación informática o un asistente matemático.
2.3 Igualdad de figuras geométricas en el plano
Reflexiona un instante
En séptimo grado aprendiste cómo dada una figura geométrica puedes
construir otras figuras iguales a partir de los diferentes movimientos del
plano y de las construcciones geométricas. Ahora tenemos ante nosotros
otra nueva interrogante:
¿Si se tienen dos figuras geométricas, cómo podremos determinar si son iguales?
Atención
La veracidad de una proposición no debe asegurarse por “lo que parezca”,
solamente podemos afirmar que una proposición matemática es verdadera
si puede ser fundamentada o demostrada a partir de los axiomas considerados o de otras proposiciones verdaderas.
Resolver la interrogante anterior es el propósito fundamental de este
epígrafe; recordemos antes las propiedades fundamentales de los movimientos del plano.
123
MATEMÁTICA
2.3.1 Sistematización de los movimientos del plano
Observa los cuatro ejemplos de diferentes figuras que fueron construidas aplicando los movimientos del plano que estudiaste en séptimo grado (fig. 2.115).
I. Simetría axial o reflexión de eje m
M
M´
N
Q
Q´
C´
N´
A
B´
B
E
D
F
G
P = P´
m
III. Traslación de vector AC
C = A´
II. Simetría central o reflexión de
centro O
O
F´
G´
E´
D´
IV. Rotación de centro O y ángulo a
A→C
B → B´
Ψ
C → C´
a
Ψ´
O
Fig. 2.115
Recuerda que...
Cada movimiento del plano posee una propiedad fundamental:
► Reflexión respecto a una recta: el eje de simetría es la mediatriz de todo
segmento determinado por un punto y su imagen.
► Reflexión respecto a un punto: el centro de simetría es el punto medio
de todo segmento determinado por un punto y su imagen.
► Traslación: todo punto del plano y su imagen en una misma traslación
determinan segmentos paralelos, de igual longitud y sentido.
► Rotación: todo punto P y su imagen P’ equidistan del centro de rotación
O y al unir estos puntos con el centro de rotación se determinan ángulos
iguales de la forma ∢POP’, con vértice en el centro de rotación. Orientamos
los ángulos de rotación siempre en sentido antihorario.
124
CAPÍTULO 2
Ejercicios
1.
Identifica en cada uno de los cuatro ejemplos de movimiento de la
figura 2.115 los elementos siguientes:
► Los puntos fijos
► Una recta y su imagen
► Un segmento y su imagen
► Un ángulo y su imagen.
2.
Construye la imagen de las figuras que se describen en cada inciso
por el movimiento que se indica:
a) La mediana del lado AB en un triángulo acutángulo ABC; su imagen
por la simetría axial de eje r, donde r es la recta que contiene al
lado AB.
b) Un triángulo MNP rectángulo en el vértice M; su imagen por la
simetría central con centro en el ortocentro de dicho triángulo.
c) La bisectriz del ángulo agudo ∢QPR; su imagen por la traslación
que transforma el punto P en el punto Q.
3.
Traza el eje s de la simetría axial
que transforma al segmento MN
en el segmento PQ, de modo que
Q es la imagen de M (fig. 2.116).
M
N
Q
P
Fig. 2.116
2.3.2 Figuras iguales
Reflexiona un instante
En la vida cotidiana aplicamos movimientos para obtener otras figuras
iguales, pero también comprobamos si dos figuras son iguales, tratando
de “mover” una figura hasta que coincida con la otra.
Por ejemplo:
a) En la figura 2.117 se observa cómo un artesano pudo, con la plantilla que
se encuentra a la derecha, dibujar otras figuras iguales en una pieza
de tela, es decir, “movió” la figura para obtener otras figuras iguales
en la tela.
125
MATEMÁTICA
Fig. 2.117
b) Si “movemos” la palma de la
mano hasta hacerla coincidir
con la otra, comprobamos que
son iguales (fig. 2.118).
c) Construimos figuras iguales
para los diagramas de bloque
(fig. 2.119).
Fig. 2.118
Fig. 2.119
d) Los pasteles de la dulcería se confeccionan también a partir de moldes
iguales (fig. 2.120).
Fig. 2.120
Cuando “movemos” una figura del plano utilizando una hoja de papel
transparente, obtenemos una figura igual a la original y en ese caso se hace
corresponder a cada punto de esta, un único punto en la figura imagen y
viceversa, decimos entonces que ambas figuras son iguales.
En los casos anteriores, dada una figura se obtuvo otra igual aplicando
un movimiento. Ahora tenemos ante nosotros una problemática diferente,
tenemos dos figuras y debemos determinar si son iguales.
126
CAPÍTULO 2
Definición de figuras iguales:
Dos figuras son iguales si existe un movimiento que transforma una en la otra.
Observa los dos polígonos dados en la figura 2.121.
D
C
A
D´
B
C´
A´
B´
Fig. 2.121
Parecen iguales, pero no se debe decir que lo son a partir de una simple
apreciación visual, tampoco se tiene información acerca de algún movimiento que haga que estas figuras coincidan ni podemos recortar o doblar la
página del libro para comprobarlo porque esto es inadmisible.
Al superponer dos polígonos iguales por un movimiento podemos apreciar que sus lados tienen respectivamente la misma longitud y sus ángulos
tienen respectivamente la misma amplitud, porque los movimientos conservan la distancia entre dos puntos y las amplitudes de los ángulos. Esta
idea conduce a definir en particular, la igualdad de polígonos.
Definición de polígonos iguales:
Dos polígonos son iguales si sus ángulos interiores tienen respectivamente
la misma amplitud y si los lados opuestos a estos ángulos tienen respectivamente la misma longitud.
Resulta de interés para esta temática de la igualdad de figuras, cómo
fundamentar si son diferentes dos segmentos o dos ángulos. Por supuesto,
en el caso de los segmentos, sucede si sus longitudes son diferentes y en el
caso de los ángulos, si sus amplitudes son diferentes.
Reflexiona un instante
¿Y si no conocemos sus longitudes o amplitudes cómo justificar si son diferentes dos segmentos o dos ángulos? Veamos.
127
MATEMÁTICA
Comparación de longitudes de segmentos y amplitudes de ángulos
a) Si un punto B pertenece a un segmento AC,
AC determina el segmento AB en él
(fig. 2.122); y para las longitudes de estos
segmentos se cumple que: AB < AC
b) Si una semirrecta BD está contenida en el interior de un ángulo ABC,
determina en él al ángulo ABD
(fig. 2.123); y para las amplitudes de
estos ángulos se cumple que:
A
B
C
Fig. 2.122
C
∢ABD < ∢ABC
B
D
Una semirrecta está contenida en
el interior de un ángulo si su origen
A
coincide con el vértice del ángulo y
existe un segmento que corta a los
lados del ángulo que corta también
Fig. 2.123
a esa semirrecta.
Para un ángulo llano basta con que el origen de la semirrecta coincida con el vértice del ángulo y que la semirrecta esté contenida en el
semiplano que ese ángulo llano determina.
Esta propiedad se aplicará en demostraciones que realizaremos en los
próximos epígrafes.
Ejercicios
1.
Cita ejemplos de figuras iguales a tu alrededor y cómo compruebas
en la práctica que realmente lo son.
2.
Confecciona un resumen con todas:
a) Las propiedades geométricas que conozcas y que te permitan asegurar que dos segmentos son iguales.
b) Las propiedades geométricas que conozcas y que te permitan asegurar que dos ángulos son iguales.
c) Las propiedades de los triángulos.
2.3.3 Igualdad de triángulos
Sabes lo importante que son los triángulos para la vida práctica y también
para la matemática, por ejemplo, para el cálculo de áreas de figuras planas
y en la demostración de propiedades geométricas.
128
CAPÍTULO 2
Aplica tus conocimientos
Estudiaste cuándo dos polígonos son iguales, entonces puedes definir cuándo dos triángulos son iguales.
Definición de triángulos iguales:
Dos triángulos son iguales si sus ángulos interiores tienen respectivamente
la misma amplitud y si los lados opuestos a estos ángulos tienen respectivamente la misma longitud.
Investiga y aprende
El significado del vocablo homólogos. Busca sus sinónimos
Elementos homólogos de triángulos iguales:
► Los lados y ángulos homólogos de dos triángulos iguales son los
elementos que se corresponden por el movimiento que generó estos
triángulos iguales y son siempre respectivamente iguales.
► Se cumple siempre que, en triángulos iguales, a lados respectivamente
iguales (lados homólogos) se oponen ángulos respectivamente iguales
(ángulos homólogos) y recíprocamente, a ángulos respectivamente
iguales (ángulos homólogos) se oponen lados respectivamente iguales
(lados homólogos).
Reflexiona un instante
De la definición anterior se deduce que para fundamentar que dos triángulos son iguales deben justificarse seis igualdades geométricas: las tres
igualdades referidas a sus lados y las tres igualdades referidas a sus ángulos.
¿Existirá una vía más racional para fundamentar que dos triángulos son
iguales?
Esta vía se concreta en los denominados criterios de igualdad de
triángulos, pero queremos que tú mismo llegues a encontrar las exigencias que estos plantean, a partir de la búsqueda de relaciones entre
sus elementos.
129
MATEMÁTICA
Investiga y aprende
Confecciona plantillas de varios triángulos de diferentes tipos, agrúpalas
según tengan iguales:
► Un lado, dos lados y tres lados
► Un ángulo, dos ángulos y tres ángulos
► Combinaciones de lados iguales con ángulos iguales.
Consejos útiles
Comprueba ahora que la exigencia declarada para formar cada grupo basta
para asegurar que todos los triángulos del grupo son iguales, es decir, que
al superponer los triángulos con tal exigencia coinciden, lo cual significa
que el resto de sus lados y ángulos son también respectivamente iguales.
Este análisis es el mismo que se plantea a continuación, en el cual los
elementos iguales se señalaron en los triángulos dados con la misma marca.
Caso 1: Exigencias respecto a igualdades de ángulos.
a) Triángulos con un ángulo respectivamente igual. ¿Es suficiente esta condición para plantear la igualdad de los triángulos dados en la figura 2.124?
2
1
Fig. 2.124
b) Triángulos con dos ángulos respectivamente iguales. ¿Es suficiente esta
condición para que los triángulos dados en la figura 2.125 sean iguales?
4
3
Fig. 2.125
130
CAPÍTULO 2
c) Triángulos con tres ángulos respectivamente iguales, es la misma situación que el caso anterior. ¿Por qué?
Primera conclusión: no es suficiente tener los ángulos respectivamente
iguales para que los triángulos dados sean iguales.
Caso 2: Exigencias respecto a igualdades de lados.
a) Triángulos con un lado respectivamente igual. ¿Es suficiente esta condición para plantear la igualdad de los triángulos dados en la figura 2.126
1
3
2
Fig. 2.126
b) Triángulos con dos lados respectivamente iguales. ¿Es suficiente esta
condición para plantear la igualdad de los triángulos dados en la
figura 2.127?
1
2
Fig. 2.127
c) Triángulos con tres lados respectivamente iguales. ¿Es suficiente esta
condición para plantear la igualdad de los triángulos dados en la
figura 2.128?Segunda conclusión: Parece que los triángulos dados
son iguales cuando tienen respectivamente iguales sus tres lados.
1
2
Fig. 2.128
131
MATEMÁTICA
Caso 3: Exigencias respecto a igualdades de lados y ángulos.
a) Triángulos con un lado y un ángulo respectivamente iguales.
b) Triángulos con dos lados y un ángulo respectivamente iguales.
c) Triángulos con un lado y dos ángulos respectivamente iguales.
Combina plantillas de triángulos con las exigencias planteadas en el
caso tres y arriba tú mismo a la tercera conclusión. Resume todas las conclusiones y responde:
¿En qué casos se pudo afirmar que los dos triángulos dados son iguales?
Atención
De las conclusiones a que arribamos en el análisis anterior se obtienen los
criterios de igualdad de triángulos, conocidos también como teoremas de
igualdad de triángulos, pero hasta el momento, para nosotros son solamente suposiciones porque han sido planteadas sobre la base del análisis con
dos o tres triángulos particulares y eso no es suficiente para afirmar que se
cumplirán para todos los triángulos. Es necesario para hacer esta afirmación
demostrar las suposiciones planteadas, lo cual veremos a continuación.
Criterios o Teoremas de igualdad de triángulos
► Si dos triángulos tienen respectivamente iguales dos lados y el ángulo
comprendido entre estos, entonces son iguales.
► Si dos triángulos tienen respectivamente iguales un lado y los dos ángulos
adyacentes a ese lado, entonces son iguales.
► Si dos triángulos tienen respectivamente iguales tres lados, entonces son
iguales.
Sobre la demostración de los criterios de igualdad de triángulos
En el recuadro anterior vamos a adoptar el primer criterio como un
nuevo axioma, es decir, la igualdad de dos triángulos cuando tienen respectivamente iguales dos lados y el ángulo comprendido entre estos y que vamos
a incluir en nuestro grupo de axiomas, que formulamos en séptimo grado.4
En otras teorías este axioma se asume como teorema y se le reconoce como Teorema
lal. La decisión de seleccionar un determinado sistema de axiomas para desarrollar una
teoría no es arbitraria, puesto que los sistemas de axiomas deben cumplir determinados
requisitos. El sistema de axiomas aquí considerado es del texto Geometría elemental
del autor A. V. Pogorelov, Editorial MIR.
4
132
CAPÍTULO 2
Esto significa que su veracidad se acepta en la teoría geométrica sin
demostración. A partir de este se demuestran los dos teoremas restantes
de igualdad de triángulos.
Aquí se presentará solamente la demostración del teorema de la igualdad de triángulos: por tener respectivamente iguales un lado y los dos
ángulos adyacentes a ese lado o criterio a.l.a, pero de la misma forma se
demuestra también el teorema de la igualdad de triángulos: por tener
respectivamente sus tres lados iguales o criterio l.l.l. Para la demostración
emplearemos el método indirecto, que conoces de séptimo grado y el
axioma l.a.l.
Criterio de igualdad de triángulos a.l.a
Tesis: ABC = A’B’C’
Demostración (del teorema):
C´
B
C
Sean ABC y A’B’C’, dos triángulos
cualesquiera (fig. 2.129).
Premisa: AB A B ; ∢CAB = ∢C’A’B’ y
∢ABC = ∢A’B’C’
A
B´
A´
Fig. 2.129
Para probar la igualdad de los dos
triángulos a partir del teorema lal, son necesarias, de las premisas, las que
se relacionan con una pareja de ángulos iguales y con los lados en que
están comprendidos los ángulos, en ese caso están dos de las premisas dadas: AB A B y ∢CAB = ∢C’A’B’
Por lo cual, bastaría probar que es igual la otra pareja de lados en que
está comprendido respectivamente cada ángulo que es igual, o sea, bastaría probar A´B solamente que: CA C A .
Vamos a probarlo por el método indirecto, supongamos: CA C A ,
entonces: CA C A o CA C A . Supongamos que: CA C A
Transportemos C ′A′ (supuesto como el menor de los dos lados
considerados) sobre CA y así, queda determinado el punto C’’ tal que:
C CA y C A C A
Esto se ilustra en la figura de análisis 2.130. Unamos los puntos C′′ y B,
de esta forma queda determinado otro triángulo: ABC′′, que vamos a
comparar con el A’B’C’.
133
MATEMÁTICA
En esos triángulos se cumple
C´
que: AB = A’B’y ∢C’A’B’ = ∢CAB C
B´
B
(por premisa) y C A C A (por
el transporte del segmento reaC´´
lizado entonces ABC = A’B’C’
por teorema l.a.l
De esta igualdad de triángulos
A
A´
Fig. 2.130
se obtiene que: ∢ABC′′ = ∢A’B′C’
por elementos homólogos y como ∢A’B’C’ = ∢ABC por premisa, se cumple que:
∢ABC′′ = ∢ABC por transitividad (1)
Pero también ∢ABC′′ < ∢ABC porque el primero de estos ángulos tiene
un lado contenido en el interior del segundo ángulo. ¡Contradicción con (1)!
De igual forma se prueba que es falsa la segunda desigualdad: CA C A
por lo cual se cumple el teorema.
¿Cómo aplicamos los criterios de igualdad de triángulos?
Ejemplo 1:
En la figura 2.131: R punto medio de AB;
∢ARP = ∢QRB y PRQ isósceles de base PQ.
Si P ∈ AC y Q ∈ BC . Demuestra que ABC
es isósceles.
Solución:
► Si los triángulos ARP y RBQ fueran iguales
sus ángulos ∢A y ∢B serían respectivamente iguales y con esto ABC es isósceles. A
Probémoslo:
C
Q
P
R
B
Fig. 2.131
En los triángulos ARP y RBQ se cumple que:
(1) AR = RB porque R es punto medio de AB
(2) PR = RQ porque PRQ es isósceles de base PQ
3) ∢ARP = ∢QRB por datos
Por tanto: ARP = RBQ por tener dos lados y el ángulo comprendido
respectivamente iguales.
Como ∢A = ∢B son elementos homólogos por ser ángulos opuestos a
lados iguales, entonces ABC es isósceles.
Ejemplo 2:
Dania y Maritza han dibujado cada una en el croquis de la figura 2.132
dos recorridos diferentes. El recorrido de Dania va desde el punto B hasta
134
CAPÍTULO 2
B
el punto P y está representado C
por la poligonal BDCP en línea
O
discontinua. El recorrido de
Maritza va desde el punto A
hasta el punto C y está repreA
sentado por la poligonal ABPC
D
P
con una línea continua fina.
Fig. 2.132
Ellas necesitan saber si estos
recorridos están determinados
por segmentos de la misma longitud y solamente conocen que: O es punto
medio de CP y DB; D, P, A alineados y DBA isósceles de base DA, trazado
con línea continua más oscura. ¿Puedes ayudarlas a resolver esta interrogante con los datos dados?
Solución:
Si comparas los segmentos que forman ambos recorridos puedes apreciar
que tienen un segmento común: CP y un par de segmentos respectivamente
iguales: DB = AB porque constituyen los lados iguales del triángulo isósceles
DAB según los datos.
Descontando estas partes, la comparación de los recorridos depende
de la relación entre los segmentos DC y PB. Vamos a probar que estos son
elementos homólogos de los triángulos iguales DOC y OPB y, por tanto,
son también iguales.
En DOC y OPB se cumple que:
(1) CO = OP y (2) DO = OB porque O es punto medio de CP y de DB por datos.
(3) ∢DOC = ∢BOP por opuestos por el vértice.
Por tanto: ARP = RBQ por tener dos lados y el ángulo comprendido respectivamente iguales y como DC y PB se oponen a ángulos iguales,
entonces son elementos homólogos.
Respuesta: Ambos recorridos son iguales porque el último tramo también es
igual debido a la igualdad de los triángulos que contienen estos segmentos.
Ejemplo 3:
Para medir la distancia entre los puntos F y G entre los cuales hay un obstáculo que impide medirla, los pioneros exploradores del destacamento de
8.ºA clavaron unas estacas en esos puntos y amarraron a estas unos cordeles
135
MATEMÁTICA
dispuestos como se observa en
la figura 2.133, de manera que:
CD = FC y EC = CG. Así, fijaron
los extremos restantes a otras
estacas en los puntos E y D, respectivamente. Alberto, el jefe
de Destacamento asegura que la
longitud de FG es la misma que
la de ED.
F
E
O
G
D
Fig. 2.133
¿Puedes explicar por qué Alberto hizo esta afirmación y en qué se fundamenta esta?
Solución:
Puede probarse con los datos dados que los triángulos GFC y CDE son
iguales. De esta forma los segmentos FG y ED serían iguales por elementos
homólogos y quedaría resuelta la problemática planteada.
Respuesta: La igualdad de los triángulos GFC y CDE es el fundamento de
que las longitudes de los segmentos FG y ED sean iguales.
Ejercicios
1.
En la figura 2.134 los elementos iguales de los diferentes triángulos
se han señalado con la misma marca.
Identifica todas las parejas de triángulos que consideres iguales y
fundamenta qué criterio de igualdad de triángulos te permite hacer
esa afirmación.
1
5
6
7
Fig. 2.134
136
4
3
2
8
CAPÍTULO 2
2.
Considera en los triángulos dados en la figura 2.135 que los elementos iguales tienen la misma marca y señala las parejas de triángulos
que no cumplen ninguno de los criterios de igualdad de triángulos.
Fundamenta tu respuesta
C
P
O
1
2
A
7
B
R
6
3
5
4
8
Fig. 2.135
3.
Selecciona entre las igualdades dadas a continuación, las que sean a
tu juicio necesarias, para que los triángulos de la figura 2.136 sean
iguales. Fundamenta qué criterio de igualdad de triángulos aplicaste
en cada caso.
T
a)
= PQ = EM
R
b)
= PR = ET
c)
Q = M
d)
4.
RQ = MT
E
A
P
M
Fig. 2.136
¿Cuáles de las igualdades siguientes seleccionarías para probar que los
triángulos ADC y DBC de la figura 2.137 sean iguales? Si D ∈ AB.
a)
AD = DB
b)
ACD = DCB
c)
AB = BC
C
A
d)
CAD = CBD
D
B
Fig. 2.137
137
MATEMÁTICA
5.
En la figura 2.138: MNPQ es un
trapecio isósceles, RSPQ es un
rectángulo y MS = RN. Completa los espacios en blanco para
demostrar que: MRQ = SNP.
Demostración: En los triángulos
MRQ y SNP se tiene que:
Igualdades
6.
R
S
N
Fig. 2.138
Fundamentación
______________________________
por ser lados opuestos en el rectángulo RSPQ.
(c) ________
porque son segmentos que tienen como
longitud, la diferencia de las longitudes de
segmentos respectivamente iguales.
(d) Por tanto:
MRQ = SNP
por: __________________________
El triángulo EFG de la figura 2.139 es isósceles
rectángulo de base FG y con ángulo recto en
E, EH es la mediana relativa del lado FG.
Llena los espacios en blanco para completar
las igualdades o fundamentaciones necesarias
para demostrar que: EFH = GEH
Demostración: En los triángulos EFH y GEH
se cumple que:
a) HGE = ∢EFH
138
P
(a) MQ = PN
(b) ________
Igualdades
7.
M
Q
G
H
E
F
Fig. 2.139
Fundamentación
___________________________________
b) GH = HF
___________________________________
c) ____________
porque son lados iguales del EFG isósceles
d) Por tanto:
EFH = GEH
por el teorema: ______________________
D
Gretel observó la figura 2.140, en la cual ABCD
es un rectángulo; AE ⊥ BD ; CF ⊥ BD y afirmó:
“Hay tres parejas de triángulos iguales”.
Nombra las tres parejas de triángulos iguales
A
que vio Gretel y explica por qué son iguales.
C
E
F
Fig. 2.140
B
CAPÍTULO 2
8.
9.
En la figura 2.141:
AD BC y AD = BC . O punto medio de AB
y DC.
a) Prueba que AOD = COB.
b) ¿Qué otros criterios de igualdad de
triángulos diferentes puedes aplicar
para resolver este ejercicio?
D
B
O
A
C
Fig. 2.141
Completa los espacios en blanco convenientemente, según los elementos homólogos de las parejas de triángulos iguales que señaló
en el ejercicio 7.
a) El lado homólogo al lado BC es el lado ___ en los triángulos
___ y ___.
b) El lado AE es homólogo al lado ___ en los triángulos ____ y _____.
10. En la figura 2.142, MNPQ rectángulo,
Q
MNR isósceles de base MN y R punto
de QP.
a) Demuestra que MQR = NPR.
b) Demuestra que R es punto medio de
QP
c) Si el área del MNR es de 12 cm2
y MN = 60 mm, calcula el perímetro del
rectángulo MNPQ.
M
D
R
P
Fig. 2.142
F
N
C
11. En la figura 2.143, ABCD rectángulo, E y F
puntos de AB y DC respectivamente, EB = DF
y AECF paralelogramo.
A
a) Demuestra que ADF = BCE.
b) Clasifica el triángulo ADF de acuerdo
con la amplitud de sus ángulos.
D
c) Si AD = 4,0 cm, AB = 7,0 cm y AE = 5,0 cm,
calcula el área del triángulo ADF.
E
B
Fig. 2.143
C
E
12. En la figura 2.144 se tiene que:
ABCD es un rectángulo.
► ABEC es un paralelogramo.
► D, C y E punto alineados.
►
Fig. 2.144
139
MATEMÁTICA
a) Prueba que ADC = BCE.
b) Si AB = 8,0 dm y el área del paralelogramo ABEC es igual 72 dm2,
calcula la longitud de BC
F
13. En la figura 2.145, se cumple que:
C pertenece a la circunferencia de centro
O y diámetro AB
A
B
► D ∈ AB
O
D
► AF tangente a la circunferencia en el
punto A
C
► FD || AC
Fig. 2.145
► AC = AD
a) Prueba que AF = BC
b) Si la longitud d la circunferencia es igual a 10π dm y AC = 8,0 dm,
calcula el área sombreada.
S
Q
P
►
14. En la figura 2.146, MNPQ paralelogramo, S
punto de QP, R punto de MN y ∢MRQ = ∢PSN
a) Prueba que QR = NS
b) Si ∢SNR = 72º y ∢MQR = 28º, halla la
amplitud de los ángulos interiores del
paralelogramo MNPQ.
R
M
N
Fig. 2.146
C
D
E
B
15. En la figura 2.147, se cumple que:
Triángulo ABC equilátero
► Los puntos C, D, E y B están alineados
► ∢CAE = ∢DAB
a) Prueba que ABE = ACD
b) Calcula el área del triángulo ABC si conocemos que su perímetro es igual a 6,0 dm
y su altura mide 17 cm.
►
A
Fig. 2.147
B
16. En la figura 2.148 se cumple que:
B y D puntos de la circunferencia de centro O A
y diámetro AC
► AC bisectriz del ∢BAD
a) Prueba que ABC = ADC
b) Selecciona la respuesta correcta:
►
140
C
O
D
Fig. 2.148
CAPÍTULO 2
es:
Si ∢BAC = 32,5º, entonces la amplitud del arco AB
a) ___ 32,5º
c) ___ 115º
las anteriores
b) ___ 65º
d) ___Ninguna de
B
E
D
17. En la figura 2.149:
ABC isósceles de base AC
BF altura del ABC relativa al lado AC
► DE paralela media de del ABC
a) Prueba que AFD = CFE
b) Si AC = BF = 4,0 cm, halla el área del
ro mbo BDFE.
►
►
18. En la figura 2.150, se cumple que:
A
Fig. 2.149
C
B
E
D
A
O
B y C puntos de la circunferencia de centro O.
AD diámetro.
BC ⊥ AD en el punto E.
C
a) Prueba que las cuerdas AB y AC son
Fig. 2.150
iguales.
b) Si la amplitud del arco BD es igual a 60º, entonces el triángulo ABC
es equilátero. Argumenta esta afirmación.
F
19. En la figura 2.151, ABC equilátero, inscrito
en la circunferencia de centro O y radio , además se cumple:
► BD mediana del ABC relativa al lado AC.
► AF mediatriz del segmento BC
► A, O, E y F puntos alineados.
► ∢F = 30º
a) Prueba que ABD = CEF
b) *Demuestra que el polígono ABFC es un
rombo.
E
C
D
A
B
O
Fig. 2.151
20. Formula un ejercicio de igualdad de triángulos en que se aplique la
propiedad de la bisectriz y el teorema ala.
21. Investiga los criterios de igualdad de triángulos rectángulos.
141
MATEMÁTICA
2.4 Prisma y pirámide
Reflexiona un instante
En séptimo grado comenzaste el estudio de los cuerpos geométricos, aprendiste a calcular el volumen del cubo y el ortoedro; ahora trabajaremos,
además, con otros cuerpos geométricos.
Pero, ¿qué es un cuerpo geométrico?
Definición de cuerpo geométrico:
Llamamos cuerpo geométrico a la región del espacio limitada por superficies
planas o curvas o por la combinación de estas superficies.
Ejemplo 1:
Desde la Antigüedad el hombre ha utilizado los cuerpos geométricos en
sus construcciones. Observa las imágenes de la figura 2.152.
Fig. 2.152
Otros ejemplos de cuerpos geométricos pueden ser: tu lápiz, el libro de
Matemática, la caja de tizas de tu profesor, los edificios y otros muchos que
tú y tus compañeros pueden encontrar.
En este grado nos ocuparemos del estudio de dos cuerpos geométricos
particulares: el prisma y la pirámide.
142
CAPÍTULO 2
Definición de prisma
Llamamos prisma al cuerpo geométrico limitado por dos polígonos iguales
de n lados situados en planos paralelos, llamados bases, y por n paralelogramos, llamados caras laterales.
De los cuerpos de la figura 2.152 del ejemplo uno, ¿cuáles, según la
definición dada, representan prismas? Te darás cuenta que son: el libro
de Matemática, la caja de tizas de tu profesora, la computadora, la caja
de colores, los bloques de letras y el tipo de lápiz que aparece dibujado
en la figura.
Los prismas se denominan por el número de lados de los polígonos de
sus bases. Así si las bases son triángulos, se llama prisma de base triangular;
si son cuadrados prisma de base cuadrada; si son pentágonos, prima de
base pentagonal, etcétera.
Investiga y aprende
Observa las alturas de los cuerpos de la figura 2.153, ¿notas alguna diferencia entre estas?
R
F
D
E
C
A
Q
P
O
B
M
N
S
Fig. 2.153
En efecto, en el prisma ABCDEF las alturas coinciden con las aristas laterales, mientras que no ocurre así en el prisma MNOPQR. ¿Por qué crees
que pasa esto?
Recuerda que en un polígono la altura es el segmento de perpendicular
que parte de uno de los vértices y llega hasta el lado opuesto.
143
MATEMÁTICA
Elementos del prisma (tabla 2.5)
Tabla 2.5
Prisma ABCDEF
Prisma MNOPQR
Bases
ABC, DEF
MNO, PQR
Caras laterales
ABED, BCFE, ACFD
MNQP, NORQ, MORP
de la
base
AB, BC, CD, DE, EF, FD
MN, NO, OM, PQ, QR, RP
laterales
AD, BE, CF
MP, NQ, OR
Vértices
A, B, C, D, E, F
M, N, O, P, Q, R
Altura
AD = BE = CF
QS
Aristas
Analicemos, ¿por qué en el prisma MNOPQR la altura no coincide con
las aristas laterales? Claro que esto se debe a que en este prisma las aristas
laterales no son perpendiculares a la base, en este caso decimos que es un
prisma oblicuo y en caso contrario, prisma recto.
Ejemplo 2:
¿Qué tipo de paralelogramo serán las caras de un prisma recto? Observemos
la figura 2.154: por ejemplo, la arista lateral AD es perpendicular al plano
de la base ABC y por tanto, es también perpendicular a la arista AB, luego
el ángulo ∢DAB = 90º. De aquí podemos afirmar que el paralelogramo ABDE
es un rectángulo, pues es un paralelogramo con un ángulo recto.
D
E
A
B
Fig. 2.154
144
CAPÍTULO 2
Definición de prisma regular:
Un prisma regular es un prisma recto cuyas bases son polígonos regulares.
Recuerda que...
Un polígono regular tiene todos sus lados de igual longitud y todos sus
ángulos interiores de igual amplitud (por ejemplo: un triángulo equilátero,
un cuadrado, un pentágono regular, etcétera).
Las caras de un prisma regular son rectángulos iguales, pues todas las
aristas de las bases son iguales y también lo son las aristas laterales.
Definición de ortoedro
Un prisma recto de base rectangular se denomina ortoedro.
Ejemplo 3:
a) Observa en la figura 2.155a un ortoedro.
Para nombrarlo primero planteas los vértices de la base inferior y
después en ese mismo orden sus vértices correspondientes en la base
superior.
Así el ortoedro de la figura lo nombramos MNOPQRST.
¿Conoces qué nombre recibe el prisma recto formado por seis cuadrados
iguales?
Efectivamente, es el cubo.
El cubo de la figura 2.155b lo denotamos MNOPQRST.
T
Q
S
R
R
Q
M
N
Fig. 2.155 a
O
P
O
P
S
T
M
N
Fig. 2.155b
145
MATEMÁTICA
Veamos ahora la pirámide.
La Gran Pirámide de Keops en Gizéh, fue construida hace más de
5000 años. En esta se empleó el trabajo de más de 100 000 hombres y su
construcción duró treinta años (Figura 2.156).
Fig. 2.156
Definición de pirámide:
Denominamos pirámide al cuerpo limitado por un polígono cualquiera
de n lados contenido en un plano a y por n triángulos, uno por cada
lado del polígono, los cuales concurren en un vértice común que no
pertenece al plano a.
Ejemplo 4:
Observa en la figura 2.157 ejemplos de pirámides.
Para nombrarlas, primero planteas los vértices de la base y después el vértice en que concurren sus aristas laterales.
Así, las pirámides de la figura las nombramos ABCDE y HIJKN.
E
N
a = 90º C
D
F
A
B
M
Fig. 2.157
146
K
β = 90º
P J
I
CAPÍTULO 2
Elementos de la pirámide (tabla 2.6)
Tabla 2.6
Pirámide ABCDE
Pirámide HIJKN
Base
ABCD
HIJK
Caras laterales
ABE, BCE, CDE, DAE
HIN, IJN, JKN,
KHN
de la
base
AB, BC, CD, DA
HI, IJ, JK, KH
laterales
AE, BE, CE, DE
HN, IN, JN, KN
Vértice
E
N
Altura
EF
NP
Aristas
Analicemos, como en el caso del prisma, las diferentes posiciones que
puede ocupar la altura. En la pirámide ABCDE su altura parte del vértice E
y llega hasta el centro de la base ABCD, el punto F, que es su circuncentro.
En este caso decimos que es una pirámide recta. No ocurre así, en la pirámide HIJKN, donde la altura corta a la base HIJK en un punto diferente al
centro de la base; entonces decimos que se trata de una pirámide oblicua.
Definición de pirámide regular
Una pirámide regular es una pirámide recta cuya base es un polígono
regular.
Saber más
E
Las caras de una pirámide regular son triángulos isósceles iguales. La altura de estos
triángulos recibe el nombre de apotema
(fig. 2.158).
Altura
Apotema
D
A
C
B
Fig. 2.158
147
MATEMÁTICA
Se denomina tetraedro a una pirámide de
cuatro triángulos, que puedes ver representada
en la figura 2.159. El prefijo tetra significa cuatro, es decir, el nombre está relacionado con el
número de caras del cuerpo.
Fig. 2.159
2.4.1 Representación geométrica del prisma y la pirámide
Como te habrás dado cuenta, la representación de los cuerpos del espacio no
refleja de forma exacta todas sus características, por ejemplo, en la figura 2.155a
la cara NORS es un rectángulo, pero en la figura se ha representado como un
paralelogramo. Esto hace necesario precisar una forma para representar los
cuerpos en el plano, una de las más usadas es la perspectiva caballera.
Procedimiento para representar cuerpos en perspectiva caballera
Para representar un cuerpo en perspectiva caballera debes seguir las indicaciones siguientes:
1. Los segmentos en la dirección del ancho y la altura se representan con la misma
dirección y longitud que tienen en el cuerpo que queremos representar.
2. Los segmentos en la dirección de la profundidad se trazan formando un
ángulo de 45º con la horizontal y con la mitad de la longitud que tienen
en el cuerpo (fig. 2.160 a) y b)).
S
T
T
R
Q
S
R
Q
Altura
O
P
M
P
Profundidad
Ancho
N
Fig. 2.160 a y b
148
y = 45º
M MN = 2 cm N
O
NO = 1 cm
CAPÍTULO 2
Ejemplo 1:
Representa en perspectiva caballera un ortoedro de base cuadrada si sabes
que las aristas de las bases miden 2 u y la altura 4,5 u.
Solución:
Denotemos por ABCD y EFGH las bases del ortoedro (fig. 2.161).
D
CD= 2
C
DA = 2
A
H
BC = 2
AB = 2
G
GH = 2
FG = 2
HE = 2
E
B
EF = 2
F
Fig. 2.161
B
A
1. Representemos la arista AB (ancho) (fig. 2.162).
AB = 7
Fig. 2.162
2. Construyamos a partir del segmento AB un ángulo
de 45º de vértice A (fig. 2.163).
A
a = 45º
B
Fig. 2.163
D
3. Determinemos en la semirrecta obtenida el punto D, tal que AD = 1 cm (fig. 2.164).
A
a = 45º
AB = 2
B
Fig. 2.164
4. Tracemos la paralela a AB por el punto D (fig. 2.165).
D
AD = 1
a = 45º
A AB = 2
B
Fig. 2.165
5. Tracemos la paralela a AD por el punto B
(fig. 2.166).
D
AD = 1
A
a = 45º
AB = 2
B
Fig. 2.166
149
MATEMÁTICA
6.
Denotemos por C el punto de intersección
de ambas paralelas (fig. 2.167).
D
AD = 1
A
a = 45º
AB = 2
C
B
Fig. 2.167
7.
Tracemos la recta perpendicular a AB que
pasa por A (fig. 2.168).
AE = 4,5
D
A
C
B
Fig. 2.168
8.
E
Determinemos en la recta obtenida el
punto E, tal que AE = 4,5 u (fig. 2.169).
AE = 4,5
D
A
C
B
Fig. 2.169
9.
Tracemos la recta perpendicular a AB que pasa por E
B (fig. 2.170).
H
AE = 4,5
D
A
150
B
Fig. 2.170
C
CAPÍTULO 2
E
10. Determinemos en la recta obtenida el
punto F, tal que BF = 4,5 u (fig. 2.171).
H
AE = 4,5
BH = 4,5
D
C
A
B
Fig. 2.171
E
H
11. Tracemos la recta perpendicular a DC
que pasa por C (fig. 2.172).
AE = 4,5
BH = 4,5
D
C
A
B
Fig. 2.172
G
12. Determinemos en la recta obtenida el punto G, tal que CG = 4,5
u (fig. 2.173).
E
F
CG = 4,5
AE = 4,5
BF = 4,5
D
A
C
B
Fig. 2.173
151
MATEMÁTICA
13. Tracemos la recta perpendicular a
CD que pasa por D (fig. 2.174).
G
E
F
CG = 4,5
AE = 4,5
BF = 4,5
D
C
A
B
Fig. 2.174
14. Determinemos en la recta obtenida el punto H, tal que DH = 4,5 u
(fig. 2.175).
G
H
E
F
CG = 4,5
DH = 4,5
AE = 4,5
BF = 4,5
C
D
A
B
Fig. 2.175
15. Unimos los puntos que determinan
el cuadrilátero EFGH (fig. 2.176).
G
H
F
E
CG = 4,5
DH = 4,5
AE = 4,5
BF = 4,5
D
A
152
B
Fig. 2.176
C
CAPÍTULO 2
16. Como las aristas AD, DC y DH no son
visibles, se representan con líneas discontinuas (fig. 2.177).
G
H
E
F
Hemos representado el ortoedro
ABCDEFGH.
CG = 4,5
DH = 4,5
AE = 4,5
BF = 4,5
D
A
C
B
Fig. 2.177
Ejemplo 2:
Representa en perspectiva caballera una pirámide recta de base rectangular
que tiene 6 u de ancho, 4 u de profundidad y 5 u de altura.
Solución:
Sea MNOP la base de la pirámide.
1.
2.
Representemos la arista MN
(ancho) (fig. 2.178).
M
MN = 6
N
Fig. 2.178
Construyamos a partir del sega = 45º
mento MN un ángulo de 45º de M
vértice M (fig. 2.179).
MN = 6
N
Fig. 2.179
MP = 2
3.
Determinemos en la semirreca = 45º
ta obtenida el punto P, tal que M
MP = 2 u (fig. 2.180).
MN = 6
N
Fig. 2.180
P
4.
Tracemos la paralela a MN
por el punto P (fig. 2.181).
MP = 2
a = 45º
M
MN = 6
N
Fig. 2.181
153
MATEMÁTICA
5.
Tracemos la paralela a MP
por el punto N (fig. 2.182).
P
MP = 2
a = 45º
M
N
MN = 6
Fig. 2.182
6.
O
P
Denotemos por O el punto
de intersección de ambas
paralelas (fig. 2.183).
MP = 2
a = 45º
MN = 6
Fig. 2.183
M
N
O
P
7.
Tracemos las diagonales
del rectángulo MNOP
(fig. 2.184).
MP = 2
a = 45º
M
N
MN = 6
Fig. 2.184
8.
P
Determinemos el punto S
de intersección de las diagonales (fig. 2.185).
S
a = 45º
M
9.
O
Fig. 2.185
N
Tracemos la recta perpendicular a MO que pasa por S (fig. 2.186).
10. Determinemos en la perpendicular trazada el punto Q tal que SQ = 5 u
(Fig. 2.187)
Q
P
S
Fig. 2.186
154
O
S
N
M
P
O
N
M
Fig. 2.187
CAPÍTULO 2
Q
11. Tracemos las aristas laterales del
prisma (fig. 2.188).
O
P
S
N
M
Fig. 2.188
Q
12. Representemos con líneas discontinuas los segmentos no visibles: OP,
PM, NP, MO, SQ, MQ (fig. 2.189).
Hemos representado la pirámide
MNOPQ.
O
P
S
M
N
Fig. 2.189
Cuando la base del cuerpo geométrico es un polígono que no contiene
ángulos rectos, nos auxiliamos del trazado de su altura, por ejemplo, ¿cómo
construir un prisma triangular regular?
Ejemplo 3:
Construye un prisma recto cuya base es un triángulo equilátero de 4 u de
lado si su altura tiene una longitud de 3,5 u.
J
Solución:
Sean HIJKLM el prisma y HIJ la base inferior.
1. Representemos el triángulo HIJ (fig. 2.190).
H
Fig. 2.190
I
155
MATEMÁTICA
2. Tracemos la altura relativa al lado HI, como el
triángulo es equilátero, esta pasa por el punto
medio del lado HI. Denotemos este punto por X
(fig. 2.191).
J
H
X
I
Fig. 2.191
3. Representemos en perspectiva caballera el
triángulo HIJ. Tracemos el segmento HI = 4 u y
determinemos su punto medio X (fig. 2.192).
4. Representemos la altura del triángulo HIJ.
Para esto comenzamos por construir el ángulo ∢IXJ = 45º (fig. 2.193).
H
X
I
Fig. 2.192
a = 45º
H
X
I
Fig. 2.193
5. Determinemos el punto J. Para esto necesitamos medir la longitud del segmento
XJ (fig. 2.194).
► XJ = 3,46 u
1
► 3 , 46 u 1, 73 u
2
J
XJ = 1,73
a = 45º
H
X
I
Fig. 2.194
Luego, la representación del segmento XJ en
perspectiva caballera debe medir 1,73 u.
J
6. Tracemos los segmentos IJ y HJ (fig. 2.195).
a = 45º
H
X
Fig. 2.195
156
I
CAPÍTULO 2
7. Tracemos las aristas laterales del prisma
(fig. 2.196).
M
L
K
J
H
X
a = 45º
I
Fig. 2.196
M
8. Tracemos la base superior KLM (fig. 2.197).
K
L
J
H
X
a = 45º
I
Fig. 2.197
M
9. Representemos en líneas discontinuas los
segmentos no visibles: HJ, XJ, IJ, MJ (fig.
2.198).
L
K
Hemos representado el prisma HIJKLM.
J
H
X
I
Fig. 2.198
Aplica tus conocimientos
Construye los cuerpos geometricos que realizamos en perspectiva caballera
con el uso de un asistente matemático, utilizando un asistente matemático.
157
MATEMÁTICA
Ejercicios
1.
Determina cuáles de las proposiciones siguientes son falsas. Fundamenta tu respuesta.
a) Las caras laterales de una pirámide son cuadrados.
b) El número de caras laterales de un prisma coincide con el número
de lados de que tengan sus bases.
c) Los lados de las caras de un prisma se denominan aristas.
d) Las aristas de las caras laterales de una pirámide reciben el nombre
de apotema.
e) En un prisma oblicuo la altura es menor que la arista lateral.
2.
¿Cuál es el menor número de caras laterales que puede tener una
pirámide? ¿Por qué?
3.
El número de caras que tiene una pirámide con siete vértices es:
a) Ocho caras
b) Seis caras
c) Siete caras
4.
Dibuja en perspectiva caballera:
a) Un prisma de base cuadrada de 2,4 cm de lado, cuya altura
mide 5,2 cm.
b) Una pirámide de 4,0 cm de altura, cuya base es un triángulo isósceles de lados a, b, c (a = b = 5,0 cm; c = 3,0 cm).
2.4.2 Cálculo de áreas de prismas y pirámides
Reflexiona un instante
Para regalarle a una amiga un pomo de perfume por su cumpleaños, Gabriela necesita saber si
el pliego de papel de colores que su hermana le
proporcionó le alcanza para forrar el estuche del
perfume que tiene la forma de la figura 2.199.
¿Qué debe calcular Gabriela para saber si el pliego
de papel le alcanza?
Fig. 2.199
158
CAPÍTULO 2
Gabriela debe determinar el área del cuerpo geométrico que posee el
pomo de perfume para saber la cantidad de papel que necesitará y poder
responder.
¿Cómo calcular las áreas de estos cuerpos geométricos, si estos poseen
caras laterales y bases?
Definición de área lateral de un cuerpo geométrico:
El área lateral de un cuerpo geométrico es la suma de las áreas de cada
una de sus caras laterales.
Resulta muy útil el desarrollo de un cuerpo para calcular su área; esto
no es más que el resultado de “abrir” el cuerpo y extenderlo en un plano,
lo cual aplicaremos en el ejemplo siguiente.
Ejemplo 1:
Representa el desarrollo de la pirámide
MNOPQ de base rectangular (fig. 2.200).
Q
Solución:
AL = AMNQ + ANOQ + AOPQ + APMQ
Como la base es un rectángulo, las caras MNQ
y OPQ son triángulos iguales, lo mismo ocurre
con las caras NOQ y PMQ (fig. 2.201), luego:
P
O
I
M
N
Fig. 2.200
AL = 2 AMNQ + 2 ANOQ
P
O
M
N
Fig. 2.201
Ejemplo 2:
Representa el desarrollo del prisma HIJKLM donde la base es un triángulo
equilátero (fig. 2.202).
159
MATEMÁTICA
Solución:
AL = AHILK + AIJML + AJHKM
En este caso, como las bases son triángulos equiláteros, las caras laterales
son rectángulos iguales.
AL = 3 AHILK
El desarrollo del prisma HIJKLM queda como se muestra en la figura 2.203.
M
K
L
J
H
X
I
Fig. 2.203
Fig. 2.202
Definición de área total de un cuerpo geométrico
El área total de un cuerpo geométrico es igual a la suma del área lateral
y el área de las bases.
Ejemplo 2:
¿Mediante qué ecuación se puede calcular el área total de una pirámide?
Q
Solución:
Se calcula mediante la ecuación:
AT = AB + AL
En el caso de la pirámide MNOPQ
(fig. 2.204), que la base es un paralelogramo sería:
AT = AMNOP + AL
AT = AMNOP + 2 AMNQ + 2 ANOQ
O
P
S
M
N
Fig. 2.204
160
CAPÍTULO 2
Ejemplo 3:
¿Mediante qué ecuación se puede calcular el área total de un prisma?
Solución:
Observa que los prismas tienen dos bases (por ejemplo, ver fig. 2.177), que
son polígonos iguales, por eso su área total se calcula mediante la ecuación:
AT = 2 AB + AL.
En el caso del prisma HIJKLM (ver figura 2.202) cuya base es un triángulo
equilátero, sería:
AT = 2 AHIJ +3 AHILK
Como puedes apreciar, el cálculo de las áreas de prismas y pirámides se reduce
al cálculo del área de figuras planas, que ya conoces de grados anteriores.
Ejemplo 4:
Dado el prisma ABCDEFGH, si conoces que sus bases son rectángulos de
lados iguales a 3,5 cm y 2,0 cm respectivamente y su altura tiene una longitud de 5,0 cm, represéntalo en perspectiva caballera y calcula su área
lateral y su área total.
H
Solución (fig. 2.205):
AL = AABFE + ABCGF + ACDHG + ADAEH
G
E
F
AL = 2 AABFE + 2 ABCGF (Como la base es un rectángulo ABFE = CDHG
y BCGF = DAEH)
AABFE = AB · AE
AABFE = 3,5 cm·5 cm
AABFE = 17,5 cm2
ABCGF = BC · BF
ABCGF = 2 cm · 5 cm
ABCGF = 10 cm2
AL = 2 AABFE + 2 ABCGF
AL = 2 · 17,5 cm2 + 2 · 10 cm2
AL = 35 cm2 + 20 cm2
AL = 55 cm2
C
D
a = 45º
A
AB = AABCD
B
Fig. 2.205
AB = AB · AD
AB = 3,5 cm · 2 cm
AB = 7,0 cm2
Como AABCD = AEFGH, entonces:
161
MATEMÁTICA
2 AB = 2 AABCD
2 AB = 2 · 7,0 cm2
2 AB = 14 cm2
AT = 2 AB + AL
AT = 14 cm2 + 55 cm2
AT = 69 cm2
Ejemplo 5:
Dada la pirámide cuadrangular regular RSTUV, cuya arista de la base tiene 2,0
cm de longitud y la altura de cada cara es de 5,1 cm, represéntala en perspectiva
caballera y calcula su área lateral y su área total.
Solución:
AL = ARSV + ASTV + ATUV + AURV
AL = 4 ARSV (como la base es un cuadrado, todas sus caras son iguales)
(fig. 2.206).
V
1
ARSV RS XV
2
1
ARSV 2 cm 5 ,1 cm
2
ARSV 5 ,1 cm2
AL = 4 ARSV
AL = 4 ⋅ 5,1 cm2
AL = 20,4 cm2 AB = ARSTU
U
AB = RS2
AB = (2 cm)
AB = 4 cm2
T
a = 45º
2
AT = AB + AL
AT = 4 cm2 + 20,4 cm2
S
R
Fig. 2.206
AT = 24,4 cm2
AT ≈ 24 cm2
Ejemplo 6:
Calcula el área total de los cuerpos representados en las figuras 2.207
y 2.208.
162
CAPÍTULO 2
20 cm
3,0 cm
6,0 cm
Fig. 2.207
Solución:
La figura 2.207 representa un ortoedro cuyas dimensiones son:
a = 6,0 cm; b = 3,0 cm y c = 20 cm,
entonces:
AT = 2 AB + AL
Calculemos primero el área de la
base. Como es un rectángulo utilizaremos la ecuación:
AB = a·b = 6,0·3,0
AB = 18 cm2
Para calcular el área lateral debemos tener en cuenta que las caras
son rectángulos y que las caras
opuestas son iguales, por consiguiente:
AL = 2 (a · c) + 2 (b · c)
AL = 2 (a · c + b · c)
AL = 2 (6,0 · 20 + 3,0·20)
AL = 2 (120 + 60)
AL = 2 · 180
AL = 360 cm2
h
a
a = b = 4,2 cm
h = 10,2 cm
b
Fig. 2.208
Solución:
En este caso se trata de una pirámide recta de base cuadrada
(fig. 2.208). Las aristas de la base
miden 4,2 cm y la apotema de las
caras mide 10,2 cm. Utilizaremos
la ecuación:
AT = AB + AL
La base es un cuadrado, luego:
AB = a2
AB = (4,2)2
Las caras laterales son triángulos
isósceles iguales, entonces el área
lateral será igual a cuatro veces el
área de una de las caras.
AL = 4 Acara
1
AL 4 b h
2
1
AL 4 ( 4 , 2 10 , 2 )
2
1
AL 4 42 , 84
2
AL = 4 21,42
AL = 85,68 cm2
163
MATEMÁTICA
AT = 2 AB + AL
AT = AB + AL
AT = 2 · 18 + 360
AT = 17,64 + 85,68
AT = 36 + 360
AT = 103,32 cm2
AT = 384 cm2
AT ≈ 1,0 dm2
AT ≈ 4,0 dm2
Ejemplo 7:
Halla el área lateral de un prisma recto cuya altura mide 5,4 m si la base es
un rombo cuyas diagonales miden 6,0 m y 8,0 m.
Solución:
Para calcular el área lateral necesitamos conocer
la longitud del lado del rombo (fig. 2.209).
Las diagonales d1 y d2 dividen la figura en cuatro triángulos rectángulos iguales, donde la
hipotenusa es el lado a del rombo y los catetos
corresponden a la mitad de cada una de las
diagonales.
D
A
C
B
Fig. 2.209
Entonces, aplicando el teorema
de Pitágoras se tiene:
2
d
d
a 1 2
2
2
2
2
2
6 ,0
8 ,0
2
2
a2
a2 = 3,02 + 4,02
a2 = 9,0 + 16
a2 = 25
a = 5,0 m
164
2
El área lateral será:
AL = 4·ah
AL = 4·5·5,4 = 108 m2
AL ≈ 1,1 dm2
CAPÍTULO 2
Ejercicios
1.
2.
El área lateral de un prisma recto de 2,5 dm de altura, cuya base es
un rectángulo de 1,6 m por 90 cm es igual a:
b) 1,2 m2
a) 125 cm2
–3
2
c) 1,25 ⋅ 10 km
d) Ninguno de los anteriores
Un prisma recto de base rectangular tiene una altura de 6,8 cm y las
dimensiones de la base son 3,2 cm y 4,1 cm. Calcula su área lateral.
3.
Calcula el área total de un prisma recto de 2,0 m de altura, cuya base
es un cuadrado de 50 cm de lado.
4.
Halla el área total de una pirámide cuadrangular regular si la altura
de cada cara mide 8,15 dm y cada lado de la base mide 52,0 cm.
5.
Determina el área total de un prisma cuya base rectangular tiene
90,00 cm de perímetro y 450,00 cm2 de área y cuya altura mide 25,00 cm.
6.
Las áreas total y lateral de un prisma son 3,629 cm2 y 0,201 dm2 respectivamente. ¿Cuál es el área de la base?
7.
Las áreas total y lateral de una pirámide de base cuadrada miden
435 cm2 y 2,91 dm2 respectivamente. Calcula la longitud del lado de
la base.
8.
Si la altura de un prisma es de 6,6m y su base es un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 5,0 m y uno de sus catetos mide 3,0 m.
Calcula el área de este cuerpo geométrico.
9.
¿Cuál es el área lateral de una pirámide triangular si cada lado de la
base mide 10,0 m y la altura de cada cara es de 14,82 m?
10. Las aristas de un ortoedro miden 32, 54 y 8 cm. Calcula la diferencia
entre el área total del ortoedro dado y la de un cubo que tenga el
mismo volumen que el ortoedro.
11. Obtén una ecuación para calcular el área total de un cubo cuya arista
es de longitud a.
165
MATEMÁTICA
2.4.3 Volumen del prisma
Investiga y aprende
¿Qué volumen tendrá el acuario más
pequeño del mundo, si conoces que
este acuario lo creó el artista ruso
Anatoly Konenko, especialista en la
construcción de réplicas a menor escala, con un tanque de 30,0 mm de
longitud, 14,0 mm de ancho y 24,0 mm
de altura5?
Fig. 2.210
En séptimo grado estudiaste el volumen del cubo y
del ortoedro. El volumen del cubo se calcula mediante la
ecuación V = a·a·a = a3, donde a representa la longitud
de una cualquiera de las aristas del cubo (fig. 2.211).
a
a
a
Fig. 2.211
Para calcular el volumen del ortoedro se utiliza la
ecuación V = a·b·c, donde a, b y c representan las longitudes del largo, el ancho y la altura del ortoedro (fig. 2.212).
En ambos casos el producto de los dos primeros
factores corresponde al área de la base de los cuerpos
correspondientes; la base del cubo es un cuadrado y el
producto a·a = a2 representa su área; análogamente el
producto a·b es el área del rectángulo determinado por
el largo y el ancho del ortoedro, es decir, su base.
c
a
b
El último factor de cada ecuación representa la longiFig. 2.212
tud de la altura, para el cubo es a y para el ortoedro es c.
Estos cuerpos son prismas rectos y, en general, podemos utilizar la misma ecuación para calcular el volumen de cualquier
Google, 16 de abril de 2012 y órgano de prensa Juventud Rebelde, 25 de septiembre
de 2011
5
166
CAPÍTULO 2
prisma. El área de la base se calcula en dependencia de cuál es el polígono
de la base del prisma.6 Por consiguiente en ambos casos la ecuación para
calcular el volumen puede escribirse como:
Ecuación del volumen del prisma:
V = AB·h
Ejemplo 1:
Halla el volumen de un cubo de 3,5 cm de arista.
Solución:
V = a3 = (3,5 cm)3 ≈ 42,88 cm3
V ≈ 43 cm3
Ejemplo 2:
Halla el volumen de un ortoedro que tiene 4,00 cm de ancho, 6,00 cm de
profundidad y 8,00 cm de altura.
Solución:
V = a·b·c
= (4,0 cm)·(6,0 cm)·(8,0 cm)
= 192 cm3
= 0,19 dm3
Ejemplo 3:
El área total de un cubo es igual a 96 cm2. Halla su volumen.
Solución:
AT = 6 a2 = 96 cm2
V = a3
a2 = 96 cm2 : 6 = 16 cm2
V = (4 cm)3
a = 4 cm
V = 64 cm3
Ejercicios
1.
6
Halla el volumen de un prisma de 10,0 cm de altura, que tiene por
base un cuadrado de 12,0 cm de lado.
Colectivo de autores: Matemática 7º grado, Ed. Pueblo y Educación, La Habana, 1989, p. 183.
167
MATEMÁTICA
2.
¿Cuánto mide la altura de un prisma cuyo volumen es de 6,75 dm3 si
el área de la base es de 15 dm2?
3.
La base de un prisma recto es un triángulo rectángulo cuyos catetos
miden 6,0 cm y 8,0 cm respectivamente. Halla el volumen del prisma
sabiendo que su arista lateral mide 20 cm.
4.
¿Qué volumen de aire hay en una habitación herméticamente cerrada
de 7,50 m de largo, 5,40 m de ancho y 3,20 m de altura?
5.
¿Cuántos metros cúbicos de hormigón serán necesarios para construir
una cisterna de forma cúbica con capacidad para 8 000 L de agua si
las paredes han de tener 0,20 m de grueso y el fondo, 0,12 m?
6.
¿Qué cantidad de arena se necesita para cubrir un parque rectangular
de 15 m de largo y 38 m de perímetro con una capa de 1,0 dm de
altura?
7.
Un ortoedro tiene 12 in7 de largo y su ancho y altura están en la razón 4:3. Halla su área total si se conoce que su volumen es de 576 in3.
8.
Se quiere construir un estanque en forma de prisma cuya base tenga
6,0 m2 de área. ¿Qué altura debe tener el estanque si este debe almacenar hasta 15 m3 de agua?
9.
*Un cubo de 5,0 cm de arista ha sido construido con una cierta cantidad de cubos blancos de 1,0 cm de arista. Luego se pinta de negro
el cubo construido.
a) ¿Cuántos cubos blancos forman el cuerpo?
b) ¿Cuántos cubos hay totalmente blancos?
c) ¿Cuántos cubos hay con una sola cara negra?
d) ¿Cuántos cubos hay con dos caras negras?
e) ¿Cuántos cubos hay con tres caras negras?
2.4.4 Volumen de la pirámide
Para obtener una relación entre el volumen de la pirámide y el del prisma
podemos realizar el experimento siguiente:
7
En el Sistema Internacional de Unidades la pulgada se representa por in, del inglés inch.
168
CAPÍTULO 2
Aplica tus conocimientos
Construyamos un prisma y una pirámide de igual base y altura, de modo
que podamos llenarlos de arena.
Llenamos de arena la pirámide y la vertemos en el prisma, así comprobaremos que será necesario hacer esta operación tres veces para que el
prisma quede totalmente lleno.
Esto significa que el volumen del prisma es tres veces el volumen de la
pirámide:
1
Vprisma = 3·Vpirámide, de donde: VpirÆmide = Vprisma8
3
Podemos obtener así una expresión para calcular el volumen de la pirámide.
Ecuación del volumen de la pirámide:
V
1
AB h
3
Veamos ahora otra forma de obtener esta relación:
En el prisma recto ABCDEF de base triangular, tracemos la diagonal
AE de la cara ABED, la diagonal CE de la cara BCFE y la diagonal AF
de la cara ACFD. De esta manera el prisma se descompone en las pirámides
oblicuas AFDE, ABCE y ACFE (fig. 2.213).
D
F
C
B
a)
F
F
E
E
A
F
D
E
C
A
A
B
b)
c)
C
A
d)
Fig. 2.213
8
Colectivo de autores: Matemática 7º. grado, Ed. Pueblo y Educación, La Habana, 1989, p. 184.
169
MATEMÁTICA
El volumen de la pirámide
AFDE es igual al volumen de la
pirámide ABCE, ya que sus caras
ABC y DEF son iguales, según la
definición de pirámide, y sus alturas AD y BE también son
iguales, por ser aristas laterales
del prisma recto (fig. 2.214).
D
F
E
E
C
A
A
B
Fig. 2.214
Además, el volumen de la pirámide ABCE es igual al volumen
de la pirámide ACFE, porque sus
caras BCE y CFE son iguales, ya
que la diagonal CE divide al rectángulo BCFE en dos triángulos
iguales, como puedes observar
en la figura 2.213 (a) y la altura A
AC es común a ambas pirámides
(fig. 2.215).
E
F
E
C
B
A
C
Fig. 2.215
Por consiguiente, según la propiedad transitiva se cumple que el volumen de la pirámide AFDE es igual al volumen de la pirámide ACFE, es decir,
las tres pirámides tienen igual volumen.
El volumen del prisma ABCDEF es igual a la suma de los volúmenes de las
tres pirámides, o sea, es igual al triplo del volumen de cualquiera de estas y, por
tanto, el volumen de una de estas pirámides es la tercera parte del volumen
del prisma.
V
=
AFDE
170
V
=
ABCE
VACFE =
1
V
3 ABCDEF
CAPÍTULO 2
Este resultado puede ser generalizado para pirámides cuya base sea
cualquier polígono, lo cual podrás demostrar en grados posteriores, es decir:
1
VpirÆmide = Vprisma
3
V
1
A h
3 B
Ejemplo 1:
Halla el volumen de una pirámide regular cuya base es un cuadrado de
4,0 m de lado y cuya altura mide 12 m.
Solución:
1
A h
3 B
1
V a2 h
3
V
2
1
4 , 0 m 12 m
3
1
V 16 12
3
V 64 m3
V
Ejemplo 2:
Sobre dos caras opuestas de un cubo de 4,0 cm
de arista se construyen dos pirámides regulares
de 2,7 cm de altura. Halla el volumen del sólido
formado (fig. 2.216).
Solución:
El volumen del sólido formado es la suma de los volúmenes del cubo y de las dos pirámides; estas tienen
igual volumen, pues sus bases son iguales (por ser
caras del cubo) y sus alturas tienen igual longitud.
Vcubo = a3 = (4,0)3 = 64 cm3
Fig. 2.216
1
1
1
VpirÆmide aB h a2 h 42 2 ,7 14 , 4 cm3
3
3
3
Vsólido = Vcubo + 2 Vpirámide
Vsólido = 64 + 14,4 = 78,4 cm3
Vsólido ≈ 78 cm3
171
MATEMÁTICA
Ejemplo 3:
De un cubo de 6,0 cm de arista se corta la
porción ABCD. Halla el volumen de la porción restante del cubo (fig. 2.217).
Solución:
El volumen del cuerpo restante es igual a la
diferencia entre el volumen del cubo y el volumen de la pirámide ABCD. La base de esta
pirámide es el triángulo BCD, rectángulo en
C, ya que BC y CD son aristas consecutivas
del cubo.
Entonces:
AB
A
D
B
C
Fig. 2.217
1
1
BC CD 6 , 0 6 , 0 18 cm2
2
2
Otra forma de calcular el área de la base es teniendo en cuenta que
el triángulo BCD es la mitad de una cara del cubo, cuya área es igual a
a2 = 36 m2, con lo cual se tiene que AB = 18 cm2.
1
1
VpirÆmide AB h 18 m2 6 ,0 36 cm3
3
3
Vcubo = a3 = (6,0)3 = 216 cm3
Vresultante = 216 – 36 = 180 m3 = 1,80 dm3 ≈ 1,8 dm3
Ejercicios
1.
El volumen de una pirámide de 9,60 m de alto, siendo el área de su
base de 5,0 m2 es:
b) 16 m3
c) 24 m3
d) 1.6 m3
a) 48,0 m3
2.
Una pirámide de base triangular posee una altura de 2,10 m, si las
dimensiones del triángulo son base 0,40 m y altura 0,36 m. Calcula el
volumen de la pirámide.
3.
Calcula el volumen de una pirámide hexagonal regular de arista lateral
26,0 dm y lado de la base, 10,0 dm.
172
CAPÍTULO 2
4.
La base de una pirámide es un trapecio
cuyas bases miden 4,0 y 2,5 dm respectivamente, y la altura 30 cm. La altura
de la pirámide es de 5,0 m. Halla su volumen.
5.
A una pirámide de 72,2 cm3 de volumen
se le da un corte paralelo a su base, de
forma tal que se obtienen dos cuerpos
(fig. 2.218). Si uno de estos es una pirámide de 4,3 cm de altura, cuya área
de la base mide 12,6 cm2, calcula el volumen del otro cuerpo.
Fig. 2.218
6.
Al preparar una línea de ferrocarril se
Fig. 2.219 (2)
levantó un terraplén de 80 m de largo
y 3,0 m de altura. Su ancho superior es de 5,0 m y
el inferior mide 10 m (fig. 2.219). Halla el volumen
de tierra acumulada en el terraplén.
7.
Un monumento está formado por un prisma de base
cuadrada de 2,5 m de lado y 6,00 m de altura y por
una pirámide apoyada sobre la base superior del
prisma de modo que ambas bases coinciden. Halla
el volumen del si su altura es de 15,5 m (fig. 2.20).
Fig. 2.220
8.
Una pieza en forma de pirámide tiene un agujero cúbico de 20 mm de arista. La base de la
pirámide es un cuadrado de 5,3 cm de lado y
la altura de la pieza es de 8,0 cm (fig. 2.221).
¿Cuál es el volumen de la pieza?
Fig. 2.221
173
MATEMÁTICA
9.
Una cisterna mide 15 dm de largo, 12 dm de ancho y 75 cm de altura.
Si usamos un recipiente de 12 L para extraer el agua, ¿cuántas veces
será posible llenar el recipiente?
10. Una de las famosas pirámides de Egipto tiene una altura de 1,38 hm
y uno de los lados de su base cuadrada mide 2,24 hm. ¿Cuál es su
volumen?
EJERCICIOS DEL CAPÍTULO
1.
El ojo humano abarca horizontalmente un ángulo de 120º. Imagina
una persona situada en el vértice de un pentágono regular. Haz la
construcción y responde:
a) ¿Cuántos de entre los demás vértices sería capaz de ver simultáneamente?
b) ¿Y si se sitúa en el vértice de un hexágono regular?
2.
Construye las tres mediatrices de un triángulo rectángulo inscrito en
una circunferencia.
a) ¿Dónde se cortan estas mediatrices?
b) Observa detenidamente la construcción que realizaste y menciona
todas las propiedades geométricas que se evidencian en esta.
3.
Traza una circunferencia.
a) Ubica en esta, cinco puntos que formen cinco arcos iguales.
b) Une cada punto para formar un polígono.
c) Nombra el polígono obtenido y calcula la amplitud de sus ángulos
y de los arcos que determinan las cuerdas que forman sus lados.
4.
Selecciona la respuesta correcta.
4.1. Observa la esfera de un reloj, si el horario señala al número 12
y el minutero al número cinco, la amplitud del ángulo comprendido entre las agujas del reloj es:
a) ___ 180º
b) ___ 120º
c) ___ 150º
d) ___ 210º
4.2. La amplitud del arco correspondiente al ángulo determinado
anteriormente es de:
a) ___ 30º
b) ___ 210º
c) ___ 150º
d) ___ 300º
174
CAPÍTULO 2
La figura 2.222 representa una instalación para practicar atletismo,
los puntos A y B son los centros respectivamente de dos semicircunferencias concéntricas iguales donde el radio de la semicircunferencia
exterior es de 49,70 m.
99,40 cm
5.
R
R = 49,70 m
R
74,34 m
Fig. 2.222
a) ¿Qué longitud recorre un deportista que se mueva de C a D, sobre
el borde de la semicircunferencia mayor?
b) ¿Cuál es el área de superficie que ocupa la instalación?
6.
Sabiendo que el radio terrestre mide 6,378·103 km, calcula la longitud
del Ecuador de la Tierra.
7.
En un segmento AB con centro en A se traza una circunferencia de
5,0 cm de radio y con centro en B otra de 4,0 cm de radio. Completa
este problema para que resulten dos problemas diferentes y resuélvelos.
8.
Traza una circunferencia con un vaso. Determina el radio de esta
circunferencia y elabora un problema.
9.
Alberto no conoce la cantidad de cartulina que necesita para confeccionar un juego de fichas que tengan la misma superficie que las
monedas de un peso. Completa los datos que le faltan a Alberto,
elabora con estos un problema y resuélvelo.
10. La rueda de un camión tiene 90 cm de radio. ¿Cuánto avanza el camión
cuando la rueda ha dado 100 vueltas?
11. En la cocina de la casa de Mariana hay un estante de 2,0 m de longitud
para colocar platos como muestra la figura 2.223. ¿Cuantos platos cuyo
diámetro es de 25 cm se pueden colocar en este estante?
175
MATEMÁTICA
Fig. 2.223
12.* Laura, Raúl y Alex están sentados en el borde de una piscina circular.
Raúl y Alex se encuentran en puntos diametralmente opuestos. Ambos se lanzan a nadar en línea recta en dirección a Laura. Cuando ya
han nadado 10 m, Raúl está junto a Laura y a Alex aún le faltan 14 m.
¿Qué longitud tiene el borde de la piscina?
13. De las proposiciones siguientes marca las que son falsas y enuncia la
propiedad verdadera para cada una.
a) ___ Dos triángulos cualesquiera son iguales si tienen respectivamente iguales sus tres ángulos.
b) ___ El diámetro es la mayor de todas las cuerdas de una circunferencia.
c) ___ El sector circular es la porción del círculo determinada por un
ángulo inscrito.
d) ___ En una circunferencia las cuerdas que equidistan de su centro
son diferentes.
e) ___ Desde un punto exterior a una circunferencia se trazan dos
tangentes a la circunferencia y los segmentos determinados por
el punto exterior y los puntos de tangencia son iguales.
f) ___ El volumen de un prisma de base rectangular es igual a la suma
del doble del área de la base más el área lateral.
g) ___ Dos triángulos rectángulos son iguales si tienen respectivamente iguales los catetos.
h) ___ La amplitud de todo ángulo inscrito o seminscrito es igual a la
del arco que determinan.
i) ___ La longitud de una circunferencia se determina por la ecuación
L = 2πd.
j) ___ El centro de la circunferencia circunscrita a un polígono regular
es el centro del polígono.
176
CAPÍTULO 2
14. En la figura 2.224, aparecen represen-
F
E
tados diferentes elementos de una
circunferencia.
Define cada uno de los que se mencionan a continuación:
Cuerda, diámetro, ángulo central, arco,
ángulo inscrito, ángulo seminscrito, recta tangente.
DC
B
G
H
Nombra también algunos ejemplos de
estos.
I
J K
A
L
Fig. 2.224
15. Para inscribir un círculo en un triángulo se trazan sus:
a) ___ bisectrices
d) ___ diagonales
b) ___ alturas
e) ___ mediatrices
c) ___ medianas
16. Completa los espacios en blanco, analizando los da-
Q
tos de la figura en cada caso:
R
P, Q están en la circunferencia
Si ∢PRQ = 145º, entonces PQ = ____
P
14
5º
a) R centro de la circunferencia (fig. 2.225).
Fig. 2.225
A
b) A, B, C están en la circunferencia (fig. 2.226).
Si ∢ACB = 60º, entonces = AB____
60º C
B
Fig. 2.226
c) P, R están en la circunferencia (fig. 2.227).
R es también un punto de la recta RQ
Si PR = 50º, entonces ∢PRQ = ____
R
P
Fig. 2.227
Q
177
MATEMÁTICA
d) A, B, C están en la circunferencia (fig. 2.228).
Si AB = 42º entonces ∢ACB = ____
e) R centro de la circunferencia (fig. 2.229).
P, Q están en la circunferencia
= 240º entonces ∢PRQ = ____
Si PQ
B
P
R
Q
A
240º
C
Fig. 2.228
Fig. 2.229
16.1.Nombra el tipo de ángulo representado en la figura de cada
inciso.
17. En la circunferencia (fig. 2.230) de centro O y diámetro BC, AH y AM
altura y mediana relativa a BC y BH respectivamente, ∆AMC isósceles
de base AC
Calcula la amplitud de los ángulos 1, 2, 3, 4, 5 y 6.
18. La C(O; OC) (fig. 2.231), AB diámetro, BC = OC, BD tangente a la circunferencia en B.
a) Demuestra que: ∆ACO = ∆BCD.
b) Si AB = 8,2 cm calcula el área sombreada.
19. En la C(O; OA) (fig. 2.232), P, Q ∈ C, AB: diámetro; MN: tangente en
A
B
60º
M
62
O H
3 C
A
B
C
Fig. 2.231
A a la circunferencia dada y PQ || MN.
178
A
N
D
Fig. 2.230
P
M
5 41
C
O
Q
Fig. 2.232
B
CAPÍTULO 2
Prueba que: ∆BPQ es isósceles.
20. En la figura 2.233, ∆ACB isósceles de base
B
AC, DFBE es un cuadrado cuya diagonal
BD es altura del ∆ACB y AM = CN .
Prueba que:
E
b) ∆DBM = ∆DNB
A
F
N
M
a) EA = CF
C
D
Fig. 2.233
21. Demuestra que en todo paralelogramo los
lados opuestos son iguales.
22. Demuestra que en todo paralelogramo los ángulos opuestos son
iguales.
23. Demuestra que en todo paralelogramo las diagonales se bisecan.
24. Demuestra que si un triángulo ABC es isósceles de base AB, entonces
los ángulos de la base son iguales.
25. Demuestra que si un triángulo ABC es isósceles de base AB, entonces
la mediana de AB es bisectriz del ángulo ACB y también altura de
dicho lado AB.
26. Sea ABCD un rectángulo, F es el punto
medio de AD y rBF ∩ rCD = {E} (fig. 2.234).
a) Prueba que F es también el punto medio de BE.
b) Si DF = 4,4 cm y DC = 3,5 cm, calcula
el área del trapecio BCDF.
c) Clasifica el triángulo BCE según sus
ángulos. Fundamenta tu respuesta.
E
A
F
D
C
B
Fig. 2.234
27. Una de las técnicas que comúnmente se usan para el tratamiento
del cultivo del tabaco consiste en protegerlo con una tela que se
coloca sobre el campo de modo semejante a un mosquitero en
forma de prisma.
179
MATEMÁTICA
Halla la cantidad de tela necesaria
para cubrir un campo de 104 m de
largo y 78 m de ancho si la tela debe
alcanzar una altura uniforme de 2,5 m.
28. Un pionero explorador ha levantado
una tienda de campaña cuya forma
aparece representada en la figura
2.235. La tienda de campaña tiene
Fig. 2.235
dos caras triangulares iguales de 1,8
m de base y 1,2 m de altura. Las otras caras son rectangulares y miden
ambas 2,4 m de largo y 1,5 m de ancho. Halla la cantidad de lona que
se necesitó para confeccionar la tienda.
(Fig. 2.235)
29. Halla el área total de un cubo equivalente a un ortoedro de 18 cm de
largo, 16 cm de ancho y 6,0 cm de alto.
30. ¿Qué cantidad de tierra hay que extraer para abrir una cisterna en
forma de ortoedro de 8,10 m de largo, 5,40 m de ancho y 1,80 m de
profundidad?
31. Dos pirámides tienen igual altura. Sus bases son cuadradas, siendo
el lado de uno de los cuadrados el doble que el lado del otro. ¿Qué
relación existe entre sus volúmenes?
32. En La Habana hay una piscina llamada Complejo Baraguá que su base
tiene forma rectangular, su perímetro es 150 m y uno de sus lados tiene
un largo de 50 m. Diga cuál de las siguientes respuestas corresponde
al ancho de la base de la piscina.
a) 100 m
b) 25 m
c) 50 m
d) 150 m
33. Una piscina cuya forma es de prisma recto de base rectangular tiene
50 m de largo, 25 m de ancho y 400 cm de profundidad.
a) ¿Cuál es, en litros, su capacidad?
b) Si está hecha completamente con azulejos cuadrados de 0,04 m2
de superficie, ¿cuántos azulejos se utilizaron?
180
CAPÍTULO 2
34. Se quiere construir una columna de 20 m de altura y base h exagonal.
Si los lados del hexágono miden 1 m, calcula, en metros cúbicos, el
cemento necesario para construirla.
Para la autoevaluación
Reflexiona sobre lo aprendido
1.
¿Cuáles son los tipos de ángulos que respecto a una circunferencia
puedes trazar?
2.
¿Qué características tienen cada uno de los ángulos que trazaste?
3.
¿Qué ecuación se utiliza para calcular la longitud de una circunferencia?
4.
¿Qué ecuación se utiliza para calcular el área de un círculo?
5.
¿Qué expresión matemática empleamos para determinar la longitud
de un arco de circunferencia?
6.
¿Qué expresión matemática empleamos para determinar el área de
un sector circular?
7.
¿Cuáles son los criterios de igualdad de triángulos que estudiaste?
8.
¿Qué ecuación se utiliza para calcular el volumen de todo prisma? ¿Y
cuál para su área total?
9.
¿Qué ecuación se utiliza para calcular el volumen de toda pirámide?
¿Y cuál para su área total?
Autoexamen
1.
La circunferencia de un círculo cuyo diámetro tiene el valor de 1 cm
es de longitud:
a) 1 cm
b) 6,48 cm
c) 3,14 cm
2.
Se desea rodear de coníferas un jardín circular. El terreno ocupa una
superficie de 314 m2. ¿Cuántos pinos se pueden sembrar a una dis-
181
MATEMÁTICA
tancia de 6,28 m cada uno? Considere un punto el lugar que ocupará
cada pino.
a) 50 pinos
b) 20 pinos
c) 100 pinos d) 10 pinos
3.
Demuestra que los puntos medios de los lados de un triángulo isósceles ABC de base AB son vértices de otro triángulo isósceles.
4.
Sea O el centro de una circunferencia C de radio OQ. Q, P son
puntos de C; N punto exterior de
C donde se cortan las rectas QP y
MO con PN = OP; ∢N = 40º (fig.
2.236).
a) Calcula la amplitud de ∢PON,
∢OQP.
b) Determina la amplitud del arco
QP.
c) ¿Cuál es la amplitud del
∢MOQ?
5.
182
Q
P
N
O
M
Fig. 2.236
Una cisterna mide 15 dm de largo, 12 dm de ancho y 7,5 dm de altura. Si usamos un recipiente de 12 L para llenarla, ¿ cuantas veces será
necesario rellenar este recipiente?
CAPÍTULO 3
Variables, ecuaciones y funciones
3.1 Sistematización de la traducción de situaciones
de la vida al lenguaje algebraico y viceversa
Reflexiona un instante
Lee detenidamente la información siguiente y traduce las situaciones de la
vida al lenguaje algebraico:
Los Objetivos de Desarrollo del Milenio (ODM) se establecieron en el
año 2000 en la llamada Cumbre del Milenio que organizó la ONU y fueron
ocho en total: reducir a la mitad la pobreza extrema y el hambre; lograr
la enseñanza primaria universal, igualdad de género y la autonomía de la
mujer; disminuir la mortalidad infantil en dos tercios, mejorar la salud materna y combatir efectivamente el sida, el paludismo y otras enfermedades.1
Recuerda que...
Para realizar la traducción del lenguaje común al lenguaje algebraico se
deben identificar las palabras claves en el texto para expresarlas en el código
de las variables, designando una variable a cada incógnita.
Para traducir del lenguaje algebraico al común se le debe asignar a las
variables un significado.
Ejemplo 1:
Escribe en el lenguaje algebraico las situaciones prácticas siguientes
señalando en cada caso el significado de la variable utilizada:
1
Tomado de Cubadebate, 13 de junio de 2013.
183
MATEMÁTICA
a) La cantidad de estudiantes que solicitan ingresar a las escuelas pedagógicas es cuatro veces la cantidad de los estudiantes que solicitan
gastronomía.
b) La tercera parte de los asistentes a una asamblea pioneril son hembras.
c) La cantidad de especies de anélidos aumentado en 81 500 representa
la cantidad de especies de moluscos.
d) El 70 % de la población mundial se encuentra en Eurasia.
e) La cantidad de hembras de un grupo excede en 10 a la cantidad de
varones.
Solución:
a) Palabras claves: cuatro veces
Traducción al lenguaje algebraico:
cantidad de estudiantes que solicitan gastronomía: 4x
cantidad de estudiantes que solicitan ingresar a las escuelas pedagógicas: 4x
b) Palabras claves: tercera parte
Traducción al lenguaje algebraico:
Asistentes a una asamblea pioneril: y
1
y
Cantidad de asistentes son hembras: y o
3
3
c) Palabra clave: aumentado en
Cantidad de especies de anélidos: a
Cantidad de especies de moluscos: m
Traducción al lenguaje algebraico: a + 81 500 = m
d) Palabra clave: 70 %
Población mundial: p
Traducción al lenguaje algebraico:
70
7
po
p.
Población en Eurasia: .
100
10
e) Palabras claves: excede en
Cantidad de hembras: h
Cantidad de varones: v
Traducción al lenguaje algebraico:
h – 10 = v
h = v + 10
h – v = 10
184
CAPÍTULO 3
Ejemplo 2:
Traduce al lenguaje común las expresiones algebraicas siguientes:
w
+ 5
d) 3e
a) x + 5
b) 2(a+b)
c)
10
Solución:
a) x: la cantidad de municipios de la provincia Cienfuegos
Traducción al lenguaje común: La cantidad de municipios de la provincia
Cienfuegos aumentado en cinco.
Otro ejemplo: la estatura de Luis aumentada en cinco.
b) a: longitud del ancho de un rectángulo
b: longitud del largo de un rectángulo
Traducción al lenguaje común: la ecuación del perímetro de un rectángulo.
Otro ejemplo:
a: edad de un hermano
b: edad de otro hermano
Traducción al lenguaje común: el duplo de la suma de las edades de
dos hermanos.
c) w: cantidad de árboles sembrados
Traducción al lenguaje común: la décima parte de los árboles sembrados
aumentada en cinco.
Otro ejemplo: w: es un número
Traducción al lenguaje común: el 10% de un número aumentado en cinco.
d) e: consumo de electricidad de febrero
Traducción al lenguaje común: El triplo de electricidad consumida
en febrero.
Otro ejemplo: El triplo de la cantidad de latas de mermeladas producidas por una Mipyme.
Ejercicios
1.
Expresa utilizando variables las situaciones siguientes:
a) El cuádruplo de un número.
b) Seis veces un número.
c) Las tres quintas partes de un número.
d) El antecesor de un número natural.
e) Un número impar.
f) El 25 % de un número.
g) Dos números naturales consecutivos.
185
MATEMÁTICA
h) Un múltiplo entero de ocho.
i) Un número excede en cinco a otro número.
j) El triplo de un número aumentado en el 40 % de otro.
2.
Traduce al lenguaje algebraico las situaciones prácticas siguientes:
a) La cantidad de piezas producidas por una fábrica.
b) Reducir a la mitad de la pobreza extrema y el hambre.
c) La quinta parte del área de un terreno se dedica al cultivo de cebollas.
d) La suma de las amplitudes de los ángulos interiores de un triángulo
isósceles.
e) El perímetro de un rombo.
f) La empresa provincial de construcción y mantenimiento (EPCOMA)
de Guantánamo cerró el 2012 con una ganancia un 6 % superior
a lo que había planificado.2
g) La cantidad de playas arenosas de la costa norte de Cuba excede
en 61 a la cantidad de playas de la costa sur
h) El área de un triángulo rectángulo.
i) El 80 % de los gastos de una empresa.
j) Los índices de desocupación han crecido en Portugal en cinco años
en un 10 %.3
k) El incremento de la promoción de una escuela en un 20 %.
l) El 90 % de los fumadores empiezan a fumar antes de los 19 años.4
m) Las dos terceras partes de los estudiantes de una escuela secundaria
saben jugar ajedrez.
n) Al 60 % de los estudiantes de un grupo les gusta la asignatura
Matemática.
3.
En cada uno de los incisos siguientes selecciona, marcando con
una X, la expresión algebraica correcta que refleja la situación
planteada:
3.1 Si y es la longitud en centímetros de un segmento MN, ¿cómo
puedes representar la longitud de otro segmento que excede en
3,0 cm a la mitad de la longitud del segmento MN?
y
a) ___ 2y + 3
b) ___ + 3
2
2
Órgano de Prensa Trabajadores, 25 de marzo de 2013.
3
Ibidem, 20 de mayo de 2013.
4
Ibidem, 27 de mayo de 2013.
186
CAPÍTULO 3
d) ___ y – 3
2
3.2 Si p es el perímetro en metros de un terreno rectangular, ¿cómo
puedes representar el perímetro de otro terreno que es mayor en
2,5 metros a la tercera parte de l perímetro del terreno rectangular?
c) ___ 2y – 3
a) ___ 3p + 2,5
p
b) ___ 3p – 2,5
p
+ 2, 5
3
3
3.3. Si x es la cantidad de lápices que tiene Daniel, ¿cómo puedes
representar la cantidad de lápices que tiene Laura, si sabes que
tiene cuatro lápices menos que el triplo de los que tiene Daniel?
c) ___
– 2, 5
a) __ x – 4
d) ___
b) __ 3x + 4
c) __ 3x – 4
d) __ 4x – 3
3.4 Tres paquetes de caramelos pesan 9 lb, el paquete (y) pesa el doble
de lo que pesa el paquete (x), disminuido en media libra, y el paquete
(z) pesa 1,5 lb más de lo que pesa el x. Si asumes que x, y, z son los
pesos respectivos de los paquetes, la afirmación correcta es:
a) ___ x = y = z
b) ___ y x 1
2 2
1
d) ___ y = 2x – 0,5
c) ___ z x
5
3.5 La edad de Josefina es x años, la edad de Pedro excede en cinco
años al triplo de la edad de Josefina. La edad de Pedro puede
expresarse como:
a) ___ 3x + 5
b) ___ 3x – 5
c) ___ x – 5
d) ___ x + 5
3.6 Carlos necesita representar utilizando el lenguaje algebraico el
quíntuplo de la cuarta parte de un número aumentada en uno. Si x
representa el número, ¿cuál de las expresiones siguientes debe utilizar?:
a) ___ 5 x + 1
b) ___ 5 x 1
4
4
c) ___ 5 x 1
4
d) ___ Ninguna de las anteriores
3.7 La expresión algebraica, que significa el 75 % de un número n,
disminuido en su duplo más cinco:
a) __ 3 n – 2n + 5
4
b) __ 3 n – 2 n 5
4
187
MATEMÁTICA
3
1
3
c) __. n – n + 5
d) __ n – (2n + 5)
4
2
4
3.8 La tercera parte de un número es 36. Esta afirmación puede expresarse como:
1
36
=x
a) ___ x = 36
b) ___
3
3
c) ____ x = 36
d) ___ 3x = 36
3.9 El sucesor del cuádruplo de un número natural puede expresarse
como:
a) ____ 4x – 1
1
c) ____ x + 1
4
4.
b) ___ 4x + 1
1
d) ___ x − 1
4
Completa la tabla siguiente:
Tabla 3.1
Situación
matemática
Área de
un cuadrado
El perímetro de
un triángulo
equilátero
Significado
de la variable m
m: longitud del
lado del cuadrado
Expresión
algebraica en
función de la
variable m
m2
3
m
5
El producto de
un número natural
y su sucesor
1
m 3
2
188
Valor
numérico de
la expresión
para m = 5
CAPÍTULO 3
3.1.1 Sistematización y profundización
sobre las expresiones algebraicas
Aplica tus conocimientos
Por el Día del amor y la amistad el grupo de octavo
grado, se propuso elaborar un buzón para que los estudiantes depositaran sus mensajes de felicitación a la
persona deseada. Un estudiante trajo de su casa una
caja como la que aparece en la figura 3.1 para forrarla
con papeles de colores.
a) ¿Cómo puede saber el estudiante la cantidad de
papel que tendría que utilizar para forrar la caja?
b) Escribe la expresión algebraica que le permita al
estudiante calcular la cantidad de papel necesaria.
Fig. 3.1
Para saber la cantidad de papel que tendría que utilizar para forrar la
caja, el estudiante tiene que calcular el área total de la caja, que en este
caso es un ortoedro (fig. 3.1), luego, necesita calcular primero el área de la
base y el área lateral.
Para escribir la expresión algebraica que le permite calcular el área
total de la caja tiene primero que designar variables a las dimensiones del
ortoedro o sea a las incógnitas o datos desconocidos.
a: longitud del ancho del ortoedro
b: longitud del largo del ortoedro
h: longitud de la altura del ortoedro
La expresión algebraica para calcular el área total es: 2ab + 2ah + 2bh
Recuerda que...
► Una variable o combinaciones de variables y números por una o varias
operaciones suelen llamarse expresiones algebraicas.
► Un monomio es un número, una variable o cualquier combinación de números
y variables relacionados por las operaciones de multiplicación y potenciación,
en la que las variables solo están elevadas a un exponente natural.
► Un polinomio es la suma de dos o más monomios que no son semejantes.
La expresión algebraica que permite calcular el área total de la caja que
utilizarán como buzón los estudiantes está formada por tres monomios,
189
MATEMÁTICA
si observas estos monomios recordarás que tienen un coeficiente y una
parte literal, por ejemplo, en el monomio 2ab, el coeficiente es 2 y la parte
literal es ab.
Investiga y aprende
Observa los exponentes de las variables que aparecen en la parte literal de
los monomios siguientes:
Determina si todos tienen los mismos valores.
Adiciona los exponentes de las variables que aparecen en la parte literal de
cada monomio y averigua qué nombre recibe la suma obtenida.
a) 2ab
b) – 3,75m2n
c) 97
Atención
La suma de los exponentes de las variables que aparecen en la parte literal
de un monomio se le denomina grado del monomio.
Ejemplo 1:
Determina el grado de los monomios siguientes.
2 2
a) – 5,8t
b) 4 m
c) xy2z
3
d) 17
Solución:
a) Como la parte literal solo está conformada por la variable t que está
elevada al exponente uno, entonces el monomio es de grado uno o de
primer grado.
b) El grado del monomio es dos o de segundo grado.
c) En este monomio como la parte literal tiene tres variables adicionamos sus
exponentes. Luego, el monomio xy 2z es de grado cuatro o de cuarto grado.
d) El monomio 17 es de grado cero.
Atención
El monomio que no tiene parte literal su grado es cero, pues la parte literal
se considera que está elevada al exponente cero, recuerda que xxº = 1 para
todo x ∈ ℝ con x ≠ 0.
190
CAPÍTULO 3
En general todos los números reales son monomios de grado cero.
Cuando los monomios tienen más de una variable puede determinarse su grado con respecto a una variable, por ejemplo, para el monomio
2p 4 r 3
su grado es cuatro con respecto a la variable p y tres con respecto
3
a la variable r.
Reflexiona un instante
¿Cuál será el grado de la expresión algebraica siguiente?
4p2 + 8q5 – 16m3
En este caso la expresión algebraica está formada por tres monomios
que no son semejantes, el monomio 4p 2 es de segundo grado, el monomio 8q 5 es de quinto grado, el monomio 16m 3 es de tercer grado;
entonces, el grado de esta expresión algebraica que constituye un
polinomio será el mayor grado de los monomios que lo componen.
En este caso, el polinomio es de quinto grado.
Ejemplo 2:
Determina el grado de los polinomios siguientes:
b) 2m2 + m – 5
d) 7xy – x2y2 + 1 + 8xy2 – 3x
a) 5x + 2
c) 6p – 3 + 11p5 – p3
Solución:
a) Tabla 3.2 (a)
Monomio
Grado
5x
1
2
0
Luego, el término de mayor grado es 5x,
por tanto, el polinomio es de grado uno
o de primer grado.
b) Tabla 3.2 (b)
Monomio
Grado
2m
2
2
m
1
–5
0
El término de mayor grado es 2m2, luego
el grado del polinomio es dos o es un
polinomio de segundo grado.
191
MATEMÁTICA
c) Tabla 3.2 (c)
Monomio
Grado
6p
1
–3
11p
El monomio de mayor grado es 11p5,
luego el grado del polinomio es cinco o
es un polinomio de quinto grado.
0
5
p3
5
3
d) Tabla 3.2 (d)
Monomio
Grado
7xy
1
– x2y2
2
1
1
8xy
1
– 3x
0
Observa que en este caso los monomios
que conforman el polinomio tienen
más de una variable, luego para determinar el grado de cada uno de estos
hay que adicionar los exponentes de
las variables.
Luego, el polinomio es de cuarto grado.
Atención
El grado de un polinomio es el mayor grado de los monomios que lo
componen.
De la historia
El álgebra simbólica es la fase moderna del desarrollo
del álgebra que se inicia con los trabajos del matemático francés Francoise Viéte (1540-1603) (fig. 3.2) al
ser el primero en utilizar las letras para las incógnitas
y desarrollar una notación que combinaba símbolos
con abreviaturas y letras, llevando al álgebra a su fase
simbólica tal y como hoy se emplea.
Fig. 3.2
Aplica tus conocimientos
Si las dimensiones de la caja para el buzón del día del amor de la situacion
inicial fueran: 20,0 cm de ancho, 35,0 cm de largo y 50,0 cm de altura, ¿qué
cantidad de papel necesitaría el estudiante para forrar la caja?
192
CAPÍTULO 3
Para calcular la cantidad de papel necesario, determinaste el valor numérico de la expresión algebraica que se utiliza para determinar el área
total del ortoedro (caja).
Ejemplo 3
Calcula el valor numérico de las expresiones algebraicas siguientes, para los
valores de la variable que se indican.
a) 5mn2 para m = 5, n = –1
3
b) a 5a para a 5a
5
c) 2xy2 + x2y – 11 para x = 2, y = – 3
d)
p r
2
− para p = 4, q = – 1, r = , s = – 2
3q s
3
Solución:
a) 5mn2
= 5 · 5·(–1)2
= 25
3
b) a – 5a
5
3
= –5 – 5 –5
5
Sustituir las variables por el valor asignado y
efectuar las operaciones indicadas.
Sustituir las variables por el valor asignado
Efectuar las operaciones indicadas.
= – 3 + 25
= 22
Sustituir las variables por el valor asignado.
c) 2xy2 + x2y – 11
2
2
= 2 · 2 · (– 3) + 2 · (– 3) – 11 Efectuar las operaciones indicadas.
= 36 – 12 – 11
= 13
Sustituir las variables por el valor asignado.
p r
−
d)
Efectuar las operaciones indicadas.
3q s
2
2
4
2 1 1
3
=
3
3 -1 -2
-2
3 2 3
4 2 1
=
3 3 2
4 1
= = –1
3 3
193
MATEMÁTICA
Ejercicios
1.
Determina el valor numérico de las expresiones algebraicas siguientes
para los valores de las variables que se indican.
a) 3,5xy para x = 3, y = –1
b) – 2x + 3 para x = 8
1
1
c) 0, 4a + para a
d) 5a + b –1 para a = – 4, b = 2
2
4
1
e) – 2,5c2 + 4b – 0,5 para c = 2, b = 2
4
f) 3(x +5) – x para x = 2,7
g) 6s3t2 – 3ts2 + s para s = –1, t = 2
2
h) 5pq + r – 2 para p = , q = – 3, r = 1
5
1
i) 2m – n2 para m = , n = – 2
4
2
z − 8z
j)
para z = – 4
2
1
1 −1
2 2
k) 36a b − a b para a = , b = –3
2
2
2.
Completa la tabla siguiente:
Tabla 3.3
Expresión
algebraica
m=2
m = –1
1
m –
4
m = 1,5
–3m
2m – 7
4m2 – 1
m2 + 3m + 2
3.
194
Marca en cada uno de los incisos siguientes con una X, la respuesta
correcta.
a) El valor numérico del polinomio 4x + 5y 2z para x = 4, y = –1,
z = 2, es:
____ 6 ____ 76
____ 26
____ 36
m
es:
b) Si m = 7 y n = – 7, entonces el valor numérico de
m−n
CAPÍTULO 3
____ 0
____ 2
____
1
2
____ No se puede calcular
c) Para p = –1, q = 2 el valor numérico de
q−2
es:
pq
3
3
____ −
2
2
1
d) Cuando – y = el valor numérico de – 6 (y2 – y)
2
3
____
____ 9
____ – 3
____ – 9
2
2
2
2
____ 1
4.
____ 0
____
es:
Calcula el valor numérico de las expresiones algebraicas siguientes
para los valores dados de las variables y determina al conjunto numérico más restringido al que pertenece.
a) 5mn2 – 10 para m = – 2,5 y n = 0,5
2
xy
b)
7, 8 para x = 3, y = – 4
8
c) 3(ab – 1) + a2b – 2,2 para a = 1,2; b = 3,4
d) 8rs + t – 5 para r =
1
1
2
;s = ;t = –
4
3
3
5.
¿Cuál es el valor numérico de la expresión algebraica 8mn + 4m2 + 4n2
si m = 0,75 y n = – 0,25?
6.
Comprueba que el valor numérico del polinomio 9x2 + 6xy + y2 para
1
x = – , y = – 5, es un múltiplo de cuatro.
3
7.
Determina el grado de los monomios siguientes:
3
b) a
c) 8xy
d) 2,7
a) – 5x2
5
4 3 5
a3b2c4 g)
11pq3r2
h) −2 w r
e) 2m2n f)
7
8.
Selecciona el monomio de mayor grado. Fundamenta tu respuesta.
a) ____ 7b8
c) ___
9.
5 2 4
m n
11
b) ___ – 3,2x2y2z3
d) ___ 4a2b4c3
Determina el grado de los polinomios siguientes:
c) 5m2 – 7m + 8
a) 5p – 1
b) p2 + 3p – 1
d) 2,8a3 + 1,5a + 3
e) 4x2 + 4xy + y2
f) – r2t2 + 6rt2 + 9t2
g) m2n2ñ3 – 8mnñ2 +16ñ
195
MATEMÁTICA
10. Escribe un polinomio y argumenta tu respuesta:
a) de primer grado
b) de segundo grado c) de tercer grado
3.2 Operaciones con monomios y polinomios
Investiga y aprende
¿Cómo encontrar la expresión algebraica que se
obtiene al dividir el área lateral y el perímetro
de la base de un cuerpo geométrico como el que
aparece en la figura 3.3 que permite calcular la
longitud de su altura?
h
a
b
Fig. 3.3
Para buscar la idea de la solución te sugerimos escribir el área lateral
de este cuerpo geométrico y su perímetro como una expresión algebraica
e investigar cómo se pueden dividir los polinomios que se obtienen.
3.2.1 Adición y sustracción de polinomios
Aplica tus conocimientos
Escribe la expresión algebraica más reducida que te permite calcular el perímetro de
la figura 3.4 formada por un rectángulo, un
cuadrado y un triángulo rectángulo, si se conoce que: la longitud del lado más pequeño
del rectángulo es dos unidades menor que la
Fig. 3.4
longitud del lado del cuadrado, la longitud de
la hipotenusa del triángulo es una unidad mayor que el lado del cuadrado
y la longitud del cateto menor es una unidad menos que la longitud del
lado del cuadrado.
Recuerda que...
Los términos o monomios semejantes tienen su parte literal igual.
Para reducir polinomios debes primero identificar los términos o monomios
semejantes y luego reducirlos, o sea operar con estos.
196
CAPÍTULO 3
Ejemplo 1
Reduce las expresiones algebraicas siguientes:
a) 2,4c + 5 – 1,2c
b) 5y – 4z + 0,7z – 8y + y
1 3 3
2 3
3 3
2 3
c) 4m n m n 4m n 3 n m
2
d) – 5,3a + 3b – 7c +2,5a + 1,7c – 8b + abc
Solución:
a) 2,4c + 5 – 1,2c = 1,2c + 5
b) 5y – 4z + 0,7z – 8y + y = – 2y – 3,3z
1 3 3
1 3 3
2 3
3 3
2 3
c) 4m n m n – 4m n 3 n m 4 m n
2
2
d) – 5,3a + 3b – 7c +2,5a +1,7c – 8b + abc
= – 2,71a – 5b – 5,3c + abc
Reflexiona un instante
¿Cómo adicionar o sustraer dos o más polinomios, si en séptimo grado
aprendiste a reducir términos de una expresión algebraica con la aplicación
de los procedimientos para adicionar y sustraer números racionales, que
constituyen el coeficiente de cada término semejante?
Ejemplo 2:
Adiciona los polinomios siguientes:
a) (3m + n) + (m – 2n)
b) (2ab + c – 1) + (ab + 3c + 5)
c) (5y2 + 2y – 3) + (5y + 3)
d) (zt – 3t) + (2zt + t – z) + (3zt + 5t + 2z – 3)
Solución:
a) (3m + n) + (m – 2n) = 3m + n + m – 2n = 4m – n
b) (2ab + c – 1) + (ab + 3c + 5) = 2ab + c – 1 + ab + 3c + 5 = 3ab + 4c + 4
c) (5y2 + 2y – 3) + (5y + 3) = 5y2 + 2y – 3 + 5y + 3 = 5y2 + 7y
d) (zt – 3t) + (2zt + t – z) + (3zt + 5t + 2z – 3)
197
MATEMÁTICA
Cuando los polinomios tengan más de tres monomios o términos, puedes colocar los sumandos en columna, ubicando los términos que son
semejantes en la misma columna:
zt – 3t
2zt + t – z
3zt + 5t + 2z – 3
6 zt + 3t + z – 3
Atención
Para adicionar polinomios se reducen los términos semejantes.
La adición de polinomios es asociativa y conmutativa, es decir, los paréntesis en la adición de tres polinomios se pueden colocar indistintamente y el
orden en que se tomen los sumandos no altera el resultado, es decir, para
A, B y C polinomios se cumple que (A + B) + C = A + (B + C) y A + C = C + A.
Para sustraer dos polinomios se procede de manera análoga a la sustracción de números racionales, es decir al polinomio que es el minuendo se le
adiciona el polinomio que es el sustraendo cambiándole el signo a cada
uno de sus términos y después se reducen los términos semejantes.
Ejemplo 3:
Sustrae los polinomios siguientes:
a) (2m + 3n) – (m + n)
b) (5x + 3) – (x – 6)
c) (3x3y2 + 5x2y – 2x) – (x3y2 + 2x2y – x)
d) (abc – 3ab + bc – 8) – (– 4abc + 2ab – 3bc + 3)
Solución:
a) (2m + 3n) – (m + n)
= 2m + 3n – m – n (se cambia el signo de los términos del sustraendo)
= m + 2n (se reducen los términos semejantes).
b) (5x + 3) – (x – 6)
= 5x + 3 – x + 6 = 4x + 9
c) (3x3y2 + 5x2y – 2x) – (x3y2 + 2x2y – x)
= 3x3y2 + 5x2y – 2x – x3y2 – 2x2y + x
= 2x3y2 + 3x2y – x
198
CAPÍTULO 3
d) (abc – 3ab + bc – 8) – (– 4abc + 2ab – 3bc + 3)
= abc – 3ab + bc – 8 + 4abc – 2ab + 3bc – 3
= 5abc – 5ab + 4bc – 11
Investiga y aprende
Conoces que la adición de polinomios es conmutativa, ¿será la sustracción
de polinomios también conmutativa? Te sugiero investigar con la comprobación de varios ejemplos.
Atención
Observa que los polinomios se encuentran escritos entre paréntesis; en la
práctica se están eliminando los paréntesis, para lo que siempre debes tener
en cuenta que cuando los paréntesis están precedidos de:
► un signo más (+) se eliminan dejando cada término del polinomio con el
mismo signo.
► un signo menos (–) se eliminan cambiando el signo de cada término del
polinomio.
Ejemplo 4:
Calcula:
8x2 – (7xy – x2 + 3xy2) + (xy – 2y2)
Cambia el signo de cada término
= 8x2 – 7xy + x2 – 3xy2 + xy – 2y2
= 9x2 + 6xy – 3xy2 – 2y2
No hay cambio de signo de cada término
De la historia
El uso de los paréntesis en Matemática fue introducido por primera vez por el francés Albert Girard
(1595-1632) en su libro Invention Nouvelle en Algebre
(Fig. 3.5), donde también enuncia el teorema fundamental del álgebra, y usa la raya colocada entre el
numerador y el denominador.
2x - (x + 2)
Los paréntesis se utilizan en Matemática, entre otras
cosas, para el cálculo numérico y con variables donde
Fig. 3.5
199
MATEMÁTICA
es importante el orden operacional. También se utilizan otros signos de
agrupación como el corchete y la llave.
Ejemplo 5:
Elimina los paréntesis y reduce términos semejantes.
a) x2y + (3x2y + xy2)
c) (7b – 2) – (3b – 5)
b)2rt – (5 + rt)
d) 3ab + (7 – 4ab) – 5ab – (2ab +3)
Solución:
a) x2y + (3x2y + xy2) = x2y + 3x2y + xy2 = 4 x2y + xy2
b) 2rt – (5 + rt) = 2rt – 5 – rt = rt – 5
c) (7b – 2) – (3b – 5) = 7b – 2 – 3b + 5 = 4b + 3
d) 3ab + (7 – 4ab) – 5ab – (2ab +3) = 3ab + 7 – 4ab – 5ab – 2ab – 3 = – 8ab + 4
Para facilitar la realización de las operaciones con polinomios, en ocasiones es conveniente asociar algunos de sus términos con la utilización de
los paréntesis, que pueden estar precedidos de signo “+” o de signo “–“.
En este caso se dice que se introducen los paréntesis.
Atención
Si se introduce un paréntesis que estará precedido por el signo:
► más (+) los términos que se colocan dentro del paréntesis mantienen su
signo.
► menos (–) los términos que se colocan dentro del paréntesis cambian su
signo.
La introducción de paréntesis es el procedimiento inverso de la eliminación de paréntesis.
Eliminación de paréntesis
8x
2
8x2
7 xy
x
2
3y
2
7 xy x 2 3 y 2
1442443
Cambia el signo
de cada término
200
Introducción de paréntesis
2
8x2
7 xy
xy 2 y 2
1424
3
8x2
7 xy x 2 3 y 2
144
42444
3
xy
2y
No hay
cambio de
signo
x2
3y 2
Cambia el signo
de cada términ
no
xy
2y 2
xy 2 y 2
14243
No hay
cambio de
signo
CAPÍTULO 3
Ejemplo 6:
En el polinomio 3x3 + 5x2 – x + 2
a) Introduce en un paréntesis, que esté precedido por el signo +, al segundo
y tercer término del polinomio.
b) Encierra en un paréntesis, que esté precedido por el signo –, al tercero
y cuarto términos del polinomio.
Solución:
a) 3x3 + 5x2 – x + 2 = 3x3 + (5x2 – x) + 2
b) 3x3 + 5x2 – x + 2= 3x3 + 5x2 – (x – 2)
Reflexiona un instante
En la práctica muchas veces es necesario que polinomios que se encuentran
entre paréntesis se incluyan dentro de otros paréntesis; para evitar confusiones se emplean otros signos de agrupación como son los corchetes ([ ]) y las
llaves ({ }), incluidos unos dentro de otros, pero ¿cómo eliminar estos signos de
agrupación? ¿Consideras que el procedimiento sea análogo al que se utiliza
con los paréntesis, por cual signo de agrupación se debe comenzar a eliminar?
Te propongo eliminar los signos de agrupación del ejercicio siguiente,
de manera que comiences por el signo de agrupación interior o el que se
encuentra adentro y otro estudiante de tu grupo lo haga comenzando por
el signo de agrupación exterior o el que se encuentra afuera.
Procedimiento para eliminar los signos de agrupación “de adentro hacia afuera”
7q + {3p – [2q – (q + p)] – 11}
= 7q + {3p – [2q – q – p] –11}
= 7q + {3p – [q – p] – 11}
= 7q + {3p – q + p] – 11}
= 7q + {4p – q – 11}
= 7q + 4p – q – 11
= 6q + 4p – 11
Eliminar paréntesis
Reducir términos semejantes
Eliminar corchetes
Reducir términos semejantes
Eliminar llaves
Reducir términos semejantes
Procedimiento para eliminar los signos de agrupación “de afuera hacia adentro”
7q + {3p – [2q – (q + p)] – 11}
= 7q + 3p – [2q – (q + p)] – 11
= 7q + 3p –2q + (q + p) – 11
= 5q + 3p + (q + p) – 11
= 5q + 3p + q + p – 11
= 6q + 4p– 11
Eliminar llaves
Eliminar corchetes
Reducir términos semejantes
Eliminar paréntesis
Reducir términos semejantes
201
MATEMÁTICA
Atención
Las expresiones algebraicas que contienen varios signos de agrupación incluidos uno dentro de otros suele decirse que tienen paréntesis superpuestos.
Los signos de agrupación superpuestos sucesivamente se pueden eliminar de adentro hacia afuera o de afuera hacia dentro, siempre observando
el signo (“+” , “–”) que precede al signo de agrupación que se va a eliminar.
También es conveniente que reduzcas los términos semejantes que aparecen dentro del signo de agrupación antes de eliminarlo, porque reduce el
número de términos que hay que extraer y facilita el trabajo.
Ejemplo 7:
Simplifica las expresiones algebraicas siguientes:
a) m – [2n + (5n + m)]
b) 3xy + [5 – (2xy + 3)]
c) 5p + [2p – (p – 1) ]
d) 7 – [2a – (3b – 5)] + 8a
Solución:
a) m – [2n + (5n + m)] = m – [2n + 5n + m]= m – [7n + m]
= m – 7n – m = – 7n
b) 3xy + [5 – (2xy + 3)] = 3xy + [5 – 2xy – 3]
= 3xy + [2 – 2xy ]
= 3xy + 2 – 2xy
= xy + 2
c) 5p + [2p – (p – 1)]= 5p + [2p – p + 1 ]= 5p + [p + 1 ]
= 5p + p + 1 ]= 6p + 1
d) 7 – [2a – (3b – 5)] + 8a = 7 – [2a – 3b + 5] + 8a
= 7 – 2a + 3b – 5 + 8a
= 2 + 6a + 3b
Ejemplo 8:
Sea la expresión algebraica 7uv2 – [5 – (2uv2 – 3u) – 7u].
a) Elimina los signos de agrupación en la expresión algebraica.
b) Calcula el valor numérico de la expresión obtenida para v = 0,5 y
u = – 2.
202
CAPÍTULO 3
Solución:
a) 7uv2 – [5 – (2uv2 – 3u) – 7u] = 7uv2 – [5 – 2uv2 + 3u – 7u]
= 7uv2 – [5 – 2uv2 – 4u]
= 7uv2 – 5 + 2uv2 + 4u
= 9uv2 – 5 + 4u
2
b) 9uv – 5 + 4u
= 9 · (– 2) · (0,5)2 – 5 + 4 · (– 2)
= – 18·0,25 – 5 – 8
= – 17,5
Ejemplo 9:
Sean H = 11m3n2p + 7n2p – 3 y K = 5m3n2p – 13.
Calcula: H – K.
Solución:
H–K
= (11m3n2p + 7n2p – 3) – (5m3n2p – 13)
= 11m3n2p + 7n2p – 3 – 5m3n2p + 13
= 6m3n2p + 7n2p + 10
(Para sustituir las letras por los polinomios se introducen paréntesis
porque es una sustracción de polinomios y se debe diferenciar el
minuendo del sustraendo)
Ejercicios
1.
Reduce los términos semejantes en las expresiones algebraicas siguientes:
2
1 1
2
a) 7p – 3p + 5p
b) d d 3d
3
3 3
3
3
2
3
c) 4jk + 8 + 2jk – 6 – 7jk
d) q + 2q – 2q + 7q – 5q2+ 1
e) 2w2 – 6wv + wv –v2
f) a2b – ab +a2b +3ab – 6ab2
g) 12x3y2 – 4x2y + x3y3 – 3x3
h) 5,6 e2g2h + 0,3 eg2h + 1,2 e2g2h – 7,8 eg2h
i) – st + 8s2t – 5st + 3st2 + 2st – 10st
2 3 2
1 3 2
3 2
3 2
3 3 3
j) a bc 5 3a b c a bc 2a b c 10 a b c
5
5
2.
Elimina los signos de agrupación en las expresiones algebraicas
siguientes:
a) 2st + [3st – (2 + 8st)]
b) 3z – [4 + (7z – 3)]
203
MATEMÁTICA
e) 3mn2 mn mn2 mn 5 8mn2
2
2
d) 8 x 4 xy x xy 2 x
c) – 5q – [2q + 8 – (p – 3)]
2
f) 7p q – 2 pq 3p q – 8 p q 5 pq – 5 – p q
2
3
2
2
3
2
2
2
2
g) 14 9 ,5 z 8 , 3 5 , 75 z 10 7 , 25 z 3 z
h) 5, 4a 2ab 3, 8a a b 1,2a
2
2
i) 5p + 3[(p + 2) – (p – 2) + (2p + 1)]
3.
Simplifica las expresiones algebraicas siguientes y calcula su valor
numérico para los valores indicados de las variables:
a) 11,8g – [– 2,3g + (5,5g – 7)] para g = –1.
b) 4hkj + [5 – (9hkj + 3)] para h = 2, k = – 2, j = 3.
4.
Comprueba que se cumplen las igualdades siguientes:
a) w + [5w – (v – w) + 2v] = 7w + v
b) 8 + 15zt – [5 + (2 – 3zt) + 18zt] = 1
5.
Si A = 2a – 7b + 5, B = 1,3a – 3b +1,5, C = 11a – 3,2b + 2 y D = 1,4a + b – 7,
calcula:
a) A + B
b) C – D
c) B + D
d) D – A – B
e) A + C – D
f) A – B + C
6.
Dados los polinomios:
3 3
2
H = x x 3 x 3, K = x – 7 y J = 4x4 + x3 + x2 – x – 3, calcula:
4
a) H + (K – J)
b) H – (K – J)
7.
Sean M = 5pq2, N = pq2 – 2, Q = – 3pq2 + 5.
a) Calcula M – (N + Q).
1
b) Halla el valor numérico de M – (N + Q) para p = , q = – 5.
5
8.
204
En la figura 3.6, ABCD es un cuadrado de
perímetro igual a x centímetros, A, B, G
puntos alineados, BEFG rectángulo con E
punto medio de BC y B punto medio de AG.
a) Expresa en el lenguaje algebraico el perímetro de la figura AGFECD.
D
A
C
E
F
B
C
Fig. 3.6
CAPÍTULO 3
b) Si x = 48,0 cm halla el perímetro y el área de la figura AGFECD.
9.
Sean A = 2x3 – 7x2 + 2x – 1 y B = 4x2 + 3.
a) Halla un polinomio C para que se cumpla que A – C = B.
b) ¿Qué grado tiene el polinomio resultante C?
10. Escribe dos polinomios R y S tal que:
a) R + S = x2 – 2x + 1
b) R + S = x3
c) R + S sea un polinomio de grado uno.
11. Dados los polinomios P = 2x3 – 3x + 4 y Q = 5x – 7 + 2x2.
a) Calcula S = P – Q.
b) Indica el grado del polinomio resultante S.
c) Halla el valor numérico de S para x = – 3,5
12. Sean M = x3 – 2x2 + 7 y N = x3 – 2x + 1.
a) Encuentra un polinomio P tal que P + M = N.
b) ¿Cuál es el grado de P?
3.2.2 Multiplicación de polinomios
Aplica tus conocimientos
Las páginas del libro de Física de Sofía tienen 5,0 cm más de ancho que de
largo, las dimensiones de las páginas del libro de Educación Laboral son
tres centímetros más grandes que las del libro de Física.
Escribe las expresiones algebraicas que le permitirán a Sofía calcular las
superficies de las páginas de los dos libros.
Para escribir las expresiones que te permiten calcular las superficies de
las páginas de los libros, aplicarás los conocimientos adquiridos en la multiplicación de polinomios en séptimo grado.
Recuerda que...
Para multiplicar monomios por monomios y polinomios por monomios se
aplica:
► el producto de números racionales para multiplicar los coeficientes y el
producto de potencias de igual base para multiplicar la parte literal.
► la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición.
205
MATEMÁTICA
Ejemplo 1:
Calcula:
a) 2(a + b)
d) (4m – 7)(m + 2)
g) (x2 + x3)(x2 – 5x + 1)
b) 5a(a+ 2)
c) (p + 2)(3 + 2p)
2
f) (2q2 + 3qt + t)(2q + 3)
e) (x – 2)
h) (w2 + v2 + wv)(w2 – wv + v2)
Solución:
a) 2(a + b) = 2a + 2b
b) 5a(a+ 2) = 5a2 + 10a
c) (p + 2)(3 + 2p)
= (p + 2)(3 + 2p)
= 3p + 2p2 + 6 + 4p = 7p + 2p2 + 6
(Multiplicar el monomio p por cada uno
de los términos del binomio (3 + 2p) y
multiplicar el monomio 2 por cada uno
de los términos del binomio (3 + 2p)
= 2p2 + 7p + 6
d) (4m – 7)(m + 2) = 4m2 + 8m – 7m – 14 = 4m2 + m – 14
e) (x – 2)2 = (x – 2)(x – 2) = x2 – 2x – 2x + 4 = x2 – 4x + 4
f) (2q2 + 3qt + t)(2q + 3)
= (2q2 + 3qt + t) 2q + (2q2 + 3qt + t) 3
= 2q2 · 2q + 2q2 · 3 + 3qt · 2q + 3qt · 3 + t · 2q + t · 3
= 4q3+ 6q2 + 6q2t + 9qt + 2qt + 3t
= 4q3 + 6q2 + 6q2t + 11qt + 3t
g) (x2 + x3)(x2 – 5x + 1
= x2 · x2 + x2(– 5x) + x2+ x3 x2 + x3(– 5x) + x3
= x4 – 5x3 + x2 + x5 – 5x4 + x3
= x5 – 4x4 – 4x3 + x2
h) (w2 + v2 + wv)(w2 – wv + v2).
w 2 v 2 wv
w 2 wv v 2
w 4 w 2v 2 w 3v
w 2v 2 w 3v wv 3
w 2v 2
wv 3 v 4
w 4 w 2v 2
v4
Cuando los polinomios tienen muchos
términos es más aconsejable al efectuar
la multiplicación realizar la operación
en columna. Colocas en cada fila los
productos de los términos del primer
polinomio por los términos del segundo, polinomio de manera tal que en
cada columna queden ubicados los términos que son semejantes.
Luego, (w2 + v2 + wv)(w2 – wv + v2) = w4 + w2v2 + v4
206
CAPÍTULO 3
g) (x2 – 9)(3x + 1)
x2 9
3x 1
3x 3
x2
27 x
9
3 x x 27 x 9
2
2
Por tanto: (x2 – 9)(3x + 1) = 3x3 + x2 – 27x – 9.
Atención
Al multiplicar dos polinomios efectuamos la multiplicación de cada término
del primer polinomio por cada término del segundo polinomio.
La multiplicación de polinomios también es asociativa y conmutativa,
es decir, para A, B y C polinomios se cumple que:
(A · B)C = A·(B · C) y A · B = B · A.
Ejercicios
1.
2.
Efectúa:
a) 3hk2 · 5hk
b) 2,8g3·(– 1,7g4s2)
c) 5k(k + 2)
d) 3v5(x2 – 9)
e) – 2zp(z + zp)
f) 8,3n(n2 – 3n + 2)
g) 3w(w3 + 2w2 – 4)
h) h2k2(h2k + hk2 – 3hk)
i) (h + 9)(5 + h)
j) (a – 7)(a + b)
k) (8m + 2n)(m + n)
l) (2q – r)(q2r – 2r3)
m) (xy + 3z)(xy + 3z)
n) (k + 5)(k2 + k + 1)
ñ) (v – 1)(v2 +3v + 2)
o) (5m + 2)(m2 – 2m + 4)
p) (3ab + 5)(a2 + 2ab + b2)
q) (2d2c + 1)(c2d2 – 2cd + 5)
r) (1,4x2 – 0,2)(5x2 +2x – 5)
s) (4p2 +3p – 2)(2p3 – p +2)
t) (2q3 – q + 2p)(q – p)
u) (4z – 2t)(z2 – t2 – 3)
v) (3x + 4)(x – 2y +1)
w) (2x3 – x + 2)(4x2 – 1)
Completar la tabla siguiente:
207
MATEMÁTICA
Tabla 3.4
A
B
C
x + 7x + 10
x + 10x + 25
x+5
x2 – 6x – 7
x2 – 9x + 14
x–7
2x2 + 3x – 2
2x3 – x2 – 8x + 4 2x – 1
2
2
5x2 + 23x + 12 10x2 + 11x + 3
5x + 3
– x2 + 12x – 11 – x2 – x + 2
1–x
3.
A – (B + C) (A + B)C A + B · C A · C + B
Sean las expresiones algebraicas siguientes:
N = 7a(2 – b + 3ab), T = 5ab, Q = 32a2b + b – 12.
a) Calcula N + T.
b) Efectúa T · Q
c) Halla el valor numérico de la expresión Q para a = –
4.
1
, b = 0,5.
4
Si P = x – 2y, W = x2 – 2xy + y2, R = x + 3y, calcula:
5.
a) P · R
b) W · R
d) P · W + R
e) (P – R)W
c) P · W
Sea A = 7k2 – 1, B = 3k + 7, C = 2k2 + 3k. Halla:
a) B – C
b) 3A + C
c) C – 2A
d) (A + B) – C
6.
Prueba que:
a) (p – q)(p + q) = p2 – q2
e) C + A · B
b) (p –1)(p + 2) = p2 + p – 2
c) (p + q)(p + q) = p2 + 2pq + q2 d) (3p + 1)(p + 2)= 3p2 + 7p + 2
t
2
Fundamenta que: 3t 9 t 2 t 7 2 t t 7 0
3
Demuestra que A + 2a · A = A · B si A = a – 3b y B = 2a + 1.
7.
8.
9.
Determina el polinomio que adicionado a 3x2y2 + 5xy2 – x2y da como
resultado 2x2y2 + 7xy2 – 4 x2y.
3.2.3 División de polinomios
Recuerda que...
El cociente de dos monomios es otro monomio que resulta de dividir el
coeficiente del monomio dividendo por el del divisor y sus partes literales
aplicando la propiedad del cociente de potencias de igual base.
208
CAPÍTULO 3
Ejemplo 1:
Halla el resultado de las divisiones siguientes:
a)
d)
21m
b)
7m
11d 5 c 3
44d 5 c 5
c)
7,5w 3 k 6 − 3,5w 2 k 4
0,5w 2 k 4
2bh + 2ah
h
e) (24p5q3r2 – 56 p3q2r + 72 p2q):(8pq)
Solución:
a)
21m
7m
=3
c3
1
d5
3 5
2
y
c
c
d 0 1, para d 0, c 0
5
2
5
c
c
d
b)
11d 5 c 3
1
1
c 2 2
44d 5 c 5 4
4c
c)
2bh 2ah 2bh 2ah
2b 2a 2 b a
h
h
h
d)
7,5w 3 k 6 3,5w 2 k 4
0,5w 2 k 4
7,5w 3 k 6 3,5w 2 k 4
0,5w 2 k 4 0,5w 2 k 4
= 15wk 2 7
e) (24p5q3r2 – 56p3q2r + 72p2q) : (8pq)
= 24p5q3r2 : 8pq – 56p3q2r : 8pq + 72p2q : 8pq
= 3p4q2r2 – 7p2qr + 9p
Reflexiona un instante
Un grupo de estudiantes pertenecientes al círculo de interés Amigos del
medio ambiente se propusieron hacer una recogida de botellas vacías para
reciclarlas y devolverlas a la industria. En total recogieron 519 botellas y
disponen de cajas en las que se pueden envasar 24 botellas solamente y
quieren saber cuántas cajas se podrán llenar con las botellas recogidas. Para
esto se auxiliaron de la matemática y calcularon:
dividendo
519 24
divisor
48 21
39
24
15 resto
En esta división 519 es el dividendo, 24
es el divisor, 21 es el cociente y 15 el
resto o residuo.
209
MATEMÁTICA
► Conoces la relación entre estos componentes de la división:
► Dividendo es igual a la suma del producto del cociente por el divisor más
el resto, donde el resto es menor que el divisor.
► En este caso 519 = 21 · 24 + 15.
► Luego, pueden llenar 21 cajas y quedarían 15 botellas.
Recuerda que...
La relación entre el dividendo, divisor, cociente y resto nos permite comprobar que el resultado de la división es correcto (D = d · c + r).
r
Investiga y aprende
¿Será posible efectuar la división de polinomios por binomios aplicando
este mismo procedimiento?
Probemos efectuar la división de (x2 + 5x +8) por (x + 3).
1. Se divide x2 por x y el resultado es x.
2. Se coloca el resultado x en el cociente.
x 2 3 x
x
3. Se multiplica x por todo el divisor (x+ 3)
2x
y se obtiene x2+3x.
4. Se realiza la sustracción (x2+ 5x) – (x2+3x) y
Dividendo
Divisor
se obtiene 2x.
x2 5x 8 x 3
5. Se considera como dividendo a 2x + 8.
x 2 3x
x 2 Cociente 6. Se divide 2x por x y se obtiene 2.
2x 8
7. Se coloca el resultado de esta división en
2 x 6
el cociente.
2 Cociente
8. Se multiplica 2 por todo el divisor (x+ 3)
y se obtiene 2x + 8.
9. Se realiza la sustracción (2x + 8) – (2x + 6) y
se obtiene 2.
10. Como el resultado de la sustracción, es decir,
el resto, es un polinomio constante su grado
es cero, por lo tanto, es de un grado menor
que el divisor y se termina la división.
x2 5x 8 x 3
En esta división el dividendo es el polinomio (x2 + 5x +8), el divisor es
(x +3), el cociente es (x + 2) y el resto es 2.
210
CAPÍTULO 3
Luego para comprobar que la división está correcta se verifica que
D = d · c + r, por tanto: (x + 3)(x + 2) + 2 = x2 + 2x + 3x + 6 + 2 = x2 + 5x +8.
Ejemplo 2:
Calcula:
a) (5x2 + 4x – 3) : (x + 2)
b) (3x2 + x – 10) : (x + 2)
c) (8a2 + 14a + 10) : (2a + 3)
d) (2b3 – 5b2 – 2b + 12) : (b – 3)
e) (5b4 + 11b2 – 8) : (b + 1)
Solución:
a) (5x2 + 4x – 3):(x + 2)
5x2 4 x 3 x 2
5 x 2 10 x
5x
6x
5x2 4 x 3 x 2
5 x 2 10 x 5 x
6x 3
6 x 12
9
Observa que al dividir el primer término del dividendo por el primer término del divisor obtienes
5x. Multiplicas 5x por el divisor y se obtiene
5x2 + 10x. Ahora debes sustraer al dividendo el
binomio 5x2 + 10x, para esto se coloca el opuesto
de este binomio, es decir, – 5x2 – 10x debajo del
dividendo. Como el resto que obtienes en esta
sustracción es – 6x y el grado de este monomio
es igual al grado del divisor tienes que continuar
el procedimiento, repitiendo los mismos pasos.
Divides el primer término del resto – 6x por el
primer término del divisor y se obtiene – 6. Se multiplica – 6 por el divisor y el resultado es – 6x – 12
y como tienes que sustraer al resto este resultado,
colocas debajo del resto obtenido el opuesto del
binomio que es 6x + 12. Al efectuar la sustracción
obtienes como resto un monomio de grado cero,
por lo que se concluye la división.
Comprobación:
(x + 2)(5x – 6) + 9
= 5x2 – 6x + 10x – 12 + 9
= 5x2 + 4x – 3
211
MATEMÁTICA
b) (3x2 + x – 10) : (x + 2)
Al igual que en la división de números naturales cuando el resto es cero significa que el
dividendo es un múltiplo del divisor y se dice
que el polinomio del dividendo es divisible por
el polinomio del divisor. En este caso el polinomio 3x2 + x – 10 es divisible por x + 2
Comprobación:
(x + 2)(3x – 5) = 3x2– 5x + 6x – 10 = 3x2 + x – 10
3x 2
x 10 x 2
2
3x 6 x
5x
5 x 10
5 x 10
0
c) (8a2 + 14a + 10) : (2a + 3)
Comprobación:
(2a + 3)( 4a + 1) + 7 = 8a2 + 2a + 12a + 3 + 7
= 8a2 + 14a + 10
8a2 14a 10 2a 3
8a2 12a
4a 1
2a 10
2a 3
7
d) (2b3 – 5b2 – 2b + 12):(b – 3)
8b3 5b2 8b 12 b 3
2b3 6b2
4a 1
b2 8 b
b2 3b
5b 12
5b 15
3
Comprobación:
– 3 = 2b3 + b2 – 5b –
(b – 3)(2b2 + b – 5)
2
6b – 3b + 15 – 3
= 2b3 – 5b2 – 8b + 12
e) (5b4 + 11b2 – 8):(b + 1)
5b4
11b2
4
3
5b 5b
5b3 11b2
5b3
212
5b2
16b2
1 6 b2
8
b 1
5b3 5b2 16b 16 Cuando no aparecen
en el dividendo todas
las potencias consecutivas de la variable debe
16b
dejarse el espacio en el
16b 8
lugar que le corresponda
16b 16
8
CAPÍTULO 3
Comprobación:
(b + 1)(5b3 – 5b2 + 16b – 16) + 8
= 5b4 – 5b3 + 16b2 – 16b + 5b3 – 5b2 + 16b – 16 + 8
= 5b4 + 11b2 – 8
En la división de polinomios el grado del dividendo es mayor o igual que
el grado del divisor porque, de lo contrario, el cociente tendría exponentes
negativos y entonces no sería un polinomio.
Pasos para dividir un polinomio por un binomio:
1. Ordenar el dividendo y el divisor en potencias decrecientes de la misma
variable.
2. Dividir el primer término del dividendo por el primer término del divisor.
Colocar el resultado en el lugar del cociente.
3. Multiplicar el divisor por el resultado obtenido en el paso previo (el primer término del cociente). Escribir el resultado debajo de los primeros dos
términos del dividendo.
4. Sustraer a los términos correspondientes del dividendo original el producto obtenido en el paso anterior y escribir el resultado.
5. Agregar al resto obtenido el próximo término del dividendo.
Repetir los pasos dos, tres y cuatro, utilizando como dividendo el resultado
obtenido en el paso anterior, hasta obtener un resto cuyo grado sea menor
que el grado del divisor.
De la historia
La división por galera (o por el método de la
galera) es un antiguo algoritmo de división, utilizado de manera corriente por lo menos hasta
el siglo XVII, y que fue sustituido progresivamente por el método actual de la división larga.
El nombre deriva del parecido gráfico que se
genera con este método y una galera (fig. 3.7).
Fig. 3.7
Una versión primitiva de este método fue
utilizada en el año 825 por Al-Khwarizmi, por lo que se cree que su origen
puede ser árabe o hindú; sin embargo, las investigaciones de Lam Lay Yong
señalan que el método de división por galera se originó en la antigua
China. El matemático italiano Tartaglia (siglo xvi) lo describe en su Trattato
di numeri et misure.
213
MATEMÁTICA
¿Sabías que…?
Se pueden efectuar operaciones combinadas con polinomios en las que debes tener en cuenta el orden en que se realizan las operaciones al igual que
con la adición, sustracción, multiplicación y división de números racionales.
Ejemplo 3:
Sea H = – 2 w3 t2, K = 5wt3 – 4w2t, L = 9w4t5 – 4w5t3 + 3w2. Calcula L + H·K
Solución:
L+H·K
= (9w4t5 – 4w5t3 + 3w2) + (– 2w3 t2) · (5wt3 – 4w2t)
= (9w4t5 – 4w5t3 + 3w2) + (– 10w4 t5 + 8w5t3)
= 9w4t5 – 4w5t3 + 3w2 – 10w4 t5 + 8w5t3
= – w4t5 + 4w5t3 + 3w2
Nota que al sustituir L, H y K por las expresiones dadas se colocaron
paréntesis y que el resultado de la multiplicación está entre paréntesis.
Ejemplo 4:
Prueba que 3m m 2 m 2 2m 1 m2 3m 2
Solución:
3m m 2 m 2 2m 1 m2
= 3m2 +6m – (2m2 – m + 4m –2) – m2
= 3m2 +6m – (2m2 + 3m –2) – m2
= 3m2 +6m – 2m2 – 3m +2 – m2
= 3m + 2
Es necesario introducir un paréntesis, porque delante de la
multiplicación de binomios existe
un signo menos.
Ejemplo 5:
12 x 3 y 2 6 x 2 y
Simplificar la expresión algebraica
5 x 2 y 3 x xy 1 y calcular
3 xy
1
su valor numérico para los valores de las variables x = ; y = – 2.
3
Solución:
12 x 3 y 2 6 x 2 y
=
3 xy
12 x 3 y 2
3 xy
5 x 2 y 3 x xy 1
6x2 y
3 xy
5x 2 y 3x 2 y 3x
= 4 x 2 y 2 x 2 x 2 y 3 x = 6x2y + x
214
CAPÍTULO 3
Para calcular el valor numérico:
2
1
1
1
4 1
1
6 2 6 2 1
3
9
3
3 3
3
Ejemplo 6:
Sean los polinomios A = 4 x 2 19 x 10 , B = 4 x − 2, C = 2 x 2 + 3 x + 8 .
Calcula A : B – B · C.
Solución:
A:B–B·C
= 4 x 2 19 x 10 :(4 x − 2) – (4 x − 2) · (2 x + 3 x + 8 )
2
2 1
3
2
= x x 5 8 x 8 x 26 x 16
2
=x
2
1
2
x 5 8 x 8 x 26 x 16
3
2
Cálculo auxiliar:
4x3
4 x 2 x 2
= 8 x 7 x 25,5 x 21
3
19 x 10 4 x 2
3
2
x2
2 x 2 19 x
2x2
x
20 x 10
20 x 10
0
1
x 5
2
2
(4x – 2)(2x + 3x + 8 )
= 8x3 +12x2 + 32x – 4x2 – 6x – 16
= 8x3 + 8x2 + 26x – 16
Ejercicios
1.
Calcula
a) 14p2 : 2p
b) 32m3n2 : (–8mn)
c) 10,58w5v3 : 2,3w2v3
d) (8p2 + 12p) : 4p
e) (9x3 + 6x) : 3x
f) (a2 + a4 + a3) : a2
g) (c – 3d2) : 2c
h) (2a3b – 2ab3) : 3ab
i) (10z2 – 5z) : 5z
j) (2h3k2 – h5k – h2k3) : (–h3k2)
k) (10q4p5 – 5q3p6 – q4p5) : 5q4
l) (6x3y3 + 12x2y3 – 4x4y2 + 3x2y2) : 12xy
2.
Halla el cociente y el resto de las divisiones siguientes:
b) (w2 + w – 2w3 + 5) : (w – 2)
a) (m2 + 5m –14) : (m + 7)
d) (2d2 + 7d + 13) : (d – 3)
c) (t2 – t + 9) : (t + 2)
2
f) (a3+5a2+10a+14) : (a+3)
e) (2q + 11q + 5) : (2q + 1)
h) (6p2 – 7p – 6) : (2p – 1)
g) (2x3 + x2 – 2x – 8) : (x – 1)
215
MATEMÁTICA
i) (k3 – 2k – 4):(k – 2)
j) (8y2 + 3y3 + 13y + 7):(3y + 2)
8
9
4
2
k) x 3 x 2 x 6 : x 1
5
5
5
5
3.
Completar los cuadrados en blanco según convenga:
b) x( +
a) 4( +
) = 4x2 + 4x
) = 6x2 + 2x
c) 2y(
d) (x + 3)( –
) = 6xy + 4y
e) (2x + 1)( – +
) = 4x4 + 2x3 – 6x2 + x + 2
f) ( –
) (3x + 2) = 3x4 + 2x3 – 15x – 10
+
) = x2 – 2x – 15
4.
Halla la expresión algebraica que multiplicada por 2ab2c3 dé como
resultado 14a3b3c5 – 6a3b4c4 + 18ab2c3.
5.
Encontrar el polinomio que multiplicado por m – 5 da como resultado
m2 – m – 20.
6.
¿Cuál es el resto de la división del polinomio 2x2 + 3x – 11 por x – 2?
7.
Si se sabe que el dividendo en una división es 10x2 + 11x – 1, el cociente
es 5x – 2 y el resto es 5, ¿cuál es el divisor?
8.
Sean A = x3 – 2x2 + x – 2 y B = x – 2.
Halla el polinomio C tal que C · B = A.
9.
Completa la tabla 3.5 siguiente:
Tabla 3.5
Dividendo
Divisor
x2 – x + 8
x–2
2x2 + 7x + 3
x3 + 1
Cociente
Resto
2x + 1
0
x+3
2
x+2
x–1
10. Sean los polinomios M = 2x3 + 3x2 – 32x + 15, P = 3x2 – 7x + 8, N = 2x – 1.
Halla:
a) M : N + P
d) N2 – P
216
b) (M – N) – P
e) M – N·P
c) N · P – M
CAPÍTULO 3
11. Completa la tabla 3.6:
Tabla 3.6
A
B
C
x2 + 7x + 10
x2 + 10x + 25
x+5
x2 – 6x – 7
x2 – 9x + 14
x–7
2x2 + 3x – 2
2x3 – x2 – 8x + 4
2x – 1
5x2 + 23x + 12
10x2 + 11x + 3
5x + 3
– x + 12x – 11
–x – x + 2
1–x
2
2
12. Halla el polinomio A si
A + B· C
A· C + B
A
= 2x + 1.
x −3
a) Indica el grado del polinomio A.
x 2 7x 8
y N = (x + 2)(x – 2)
x 8
a) Calcula: M – N + 3.
b) Indica el grado del polinomio resultante.
c) Halla el valor numérico del resultado obtenido para x = – 1,5.
13. Sean M
14. Prueba que en un prisma recto de base rectangular el producto del
perímetro de una de las bases por su altura es igual al área lateral.
3.3 Profundización sobre las ecuaciones lineales
Aplica tus conocimientos
En un triángulo isósceles, la longitud del lado base
es igual al triplo de la longitud de los lados no base
disminuido en 15 cm, si el perímetro del triángulo es
de 40 cm, escribe la ecuación que te permite calcular
la longitud de cada lado.
¿Es la ecuación obtenida una ecuación lineal? Fundamenta tu respuesta.
X
X
3X - 15
Fig. 3.8
217
MATEMÁTICA
Si designas por x la longitud de los lados no base del triángulo isósceles, entonces al traducir del lenguaje común al algebraico la relación “la
longitud del lado base es igual al triplo de la longitud de los lados iguales
disminuido en 15 cm”, se obtiene que la longitud de lado base es 3x – 15.
Como el perímetro de un triángulo es igual a la suma de las longitudes de
sus tres lados y el de este triángulo es 40 cm, entonces obtienes la ecuación
x + x + 3x – 15 = 40.
Definición de ecuación lineal con una variable:
Una ecuación se denomina ecuación lineal con una variable o de primer
grado con una variable si y solo si puede reducirse mediante las transformaciones equivalentes a la forma ax
x b 0 con a, b números
racionales y a ≠ 0.
Atención
Las transformaciones equivalentes que se realizan en una ecuación permiten obtener una ecuación equivalente. Son transformaciones equivalentes:
intercambiar los miembros de la ecuación, adicionar (sustraer) el mismo
término a ambos miembros de la ecuación y multiplicar (dividir) ambos
miembros de la ecuación por un número distinto de cero.
Reflexiona un instante
¿Cómo transformar las ecuaciones:
10
a) (2xx – 1)(3x
1)(3x + 2) =6x(x
=6x(x
(x – 4) + 28 b) 3 x 4 x 5 3 - 2 x 1 4 x 1
(x
para que se obtenga una ecuación de la forma axx b 0 con a, b números
racionales y a ≠ 0?
Atención
La eliminación de los signos de agrupación y la reducción de términos semejantes tambien son transformaciones equivalentes.
Cualquier término de una ecuación se puede transponer de un miembro
a otro cambiándole el signo.
218
CAPÍTULO 3
Ejemplo 1:
Determina cuáles de las ecuaciones siguientes son lineales en una variable.
2
c) x 3 x 4 x x 2
a) x + x + 3x – 15 = 40
b) 3m + 5 = 2m – 7
d) 8 x 2 x 1 3 x x 1
e) (2y – 3)(y + 2) + 5y = 12 + y(2y + 1)
f) 3 x 4 x 5 3 2 x 1 4 x 10
Solución:
a) x + x + 3x – 15 = 40
5x – 15 = 40
5x – 55 = 0
Reducir los términos semejantes en el miembro izquierdo
Adicionar – 40, a ambos miembros de la ecuación luego, x + x + 3x – 15 = 40 es una ecuación
lineal en una variable pues se transforma en
la ecuación equivalente 5x – 55 = 0
b) 3m + 5 – 2m +7= 0
Adicionar – 2m y 7, a ambos miembros de la
ecuación.
Reducir los términos semejantes en el miembro
izquierdo.
Por tanto, 3m + 5 = 2m – 7 es una ecuación
lineal en una variable pues se transforma en
la ecuación equivalente m + 12 = 0
m + 12 = 0
Eliminar el paréntesis en el miembro derecho
aplicando la propiedad distributiva de la mulx 2 3x 4 x 2 2 x
tiplicación.
x 2 3x 4 x 2 2 x 0
Adicionar – x2 y 2x a ambos miembros de la
5 x 4 0 ecuación.
Reducir los términos semejantes en el miembro
izquierdo.
2
Entonces, x 3 x 4 x x 2 es una ecua-
c) x 2 3 x 4 x x 2
ción lineal en una variable pues se transforma
en la ecuación equivalente 5 x 4 0.
Consejos útiles
Cuando aparecen términos iguales (sus signos son iguales) en los dos
miembros de la ecuación, estos se pueden eliminar para racionalizar el
procedimiento.
219
MATEMÁTICA
d)
8 x 2 x 1 3 x x 1 Eliminar paréntesis en ambos miembros
Reducir los términos semejantes en el
miembro izquierdo.
10 x 2 3 x 2 3 x
Adicionar – 3x2 y – 3x, a ambos miembros
10 x 2 3 x 2 3 x 0
de la ecuación o transponer los términos
del miembro derecho con signo opuesto
para el miembro izquierdo. Reducir los
términos semejantes.
8 x 2 x 2 3x 2 3x
e) (2y - 3)(y + 2) + 5y = 12 + y(2y + 1)
2y2 + 4y – 3y – 6 + 5y = 12 + 2y2 + y Efectuar las multiplicaciones indicadas en cada miembro.
2y2 + 6y – 6 = 12 + 2y2 + y
2y2 + 6y – 6 –12 – 2y2 – y = 0
Reducir los términos semejantes.
Adicionar –12, – 2y2, –y, a ambos
miembros de la ecuación o transponer los términos del miembro
derecho con signo opuesto para el
miembro izquierdo
5y – 18 = 0
Reducir los términos semejantes
Por tanto, la ecuación (2y – 3)(y + 2) + 5y = 12 + y(2y + 1) es una ecuación
lineal en una variable pues se transforma en la ecuación equivalente
5y – 18 = 0.
f) 3 x 4 x 5 3 2 x 1 4 x 10
3 x 4 x 5 3 2 x 1 4 x 10 Eliminar el paréntesis
Reducir términos semejantes dentro del
3 x 4 x 5 2 2 x 4 x 10
corchete
3 x 4 x 10 10 x 4 x 10
Eliminar el corchete.
3 x 6 x 10 4 x 10
Reducir términos semejantes dentro de
la llave.
3x + 10 – 6x = 4x + 10
3x + 10 – 6x – 4x – 10 = 0
– 7x = 0
Eliminar la llave.
Reducir los términos semejantes.
Entonces la ecuación 3 x 4 x 5 3 2 x 1 4 x 10 es una ecuación lineal en una variable pues se transforma en la ecuación
equivalente – 7x = 0.
220
CAPÍTULO 3
Recuerda que…
La solución de una ecuación depende del conjunto numérico al que pertenece la variable, pues hay ecuaciones que tienen solución en un conjunto
numérico y en otros no.
Ejemplo 2:
Determina el conjunto solución de las ecuaciones lineales siguientes para
cada conjunto numérico al que pertenece la variable como se indica.
Tabla 3.7
Ecuación
a) 5 x
7
3 x 1
b) 4 x 1
c)
5
3
x
2x
1
m 2
3
3 x
2
3
d) 2a – (a +2)(a + 5) = 6 – a(a – 3)
Solución:
a) 5 x 7 3 x 1
5 x 7 3x 3
5 x 3x 3 7
2x = – 4
4
x
2
x=–2
b) 4 x 1 x 2 x 3 x
4 x 4 x 2x 3 x
3x 4 x 3
3x x 3 4
2x 1
1
x
2
Dominio de la variable
n
z
q+
q
z
q+
z
q
Como 2 n entonces el conjunto solución de
la ecuación es S = ∅ para cuando la variable
pertenece al conjunto de los números naturales. Pero como 2 z, entonces para el
conjunto de los números enteros la ecuación
tiene como conjunto solución a S= {–2}.
Cuando el conjunto numérico de la variable
es el de los números fraccionarios, como
1
Q , entonces el conjunto solución de la
2
1
ecuación es S = ∅. Pero como q + , enton2
ces en el conjunto de los números racionales
1
el conjunto solución de la ecuación es − .
2
221
MATEMÁTICA
c) 5
3
5
3
Cuando el conjunto numérico de la variable
es el de los números enteros el conjunto solución de la ecuación es S 9 , pero cuando
1
2
m 2
3
3
1
m
2
2
3
3
3
el conjunto numérico de la variable es el de
7 1
2
los números fraccionarios el conjunto solu m
3 3
3
ción de la ecuación es S = ∅.
1
2 7
m
3
3 3
1
9
m
3
3
9
m 3
3
m 9
d) 2a – (a +2)(a + 5) = 6 – a(a – 3)
Entonces, el conjunto solución de la
2
2
2a – (a +7a + 10) = 6 – a + 3a
ecuación es S = {–2} para cuando el
2a – a2 – 7a – 10 = 6 – a2 + 3a
conjunto numérico de la variable es
– a2 – 5a – 10 = 6 – a2 + 3a
el de los números enteros, como el de
– a2 – 5a + a2 – 3a = 6 + 10
los números racionales porque – 2 ∈ z
– 8a = 16
y – 2 ∈ Q.
a=–2
Atención
Siempre que en un ejercicio no se especifique cuál es el conjunto numérico
al que pertenece la variable se asume que la variable pertenece al conjunto
numérico de los números reales.
El procedimiento para resolver las ecuaciones lineales lo aprendiste en
séptimo grado, ahora solo debes aplicar las nuevas transformaciones equivalentes para determinar la solución de estas ecuaciones.
Ejemplo 3:
Resuelve la ecuación siguiente: 5y2 – (y + 2)(y – 6)
– 4y2 = 4 – 7(y – 2)
Solución:
5 y 2 y 2 y 6 4 y 2 4 7 y 2
5 y y 4 y 12 4 y 18 7 y
5 y 2 y 2 6 y 2 y 12 4 y 2 4 7 y 14 Multiplicar los polinomios
2
2
2
5 y y 4 y 12 4 y 18 7 y
2
222
2
2
Reducir los términos semejantes
Eliminar paréntesis
CAPÍTULO 3
4 y 12 18 7 y
4 y 7 y 18 12
Reducir términos semejantes
Adicionar 7y y − 12, a ambos
miembros de la ecuación
Reducir términos semejantes
Dividir ambos miembros de la
ecuación por 11
11y = 6
y=
6
11
Recuerda que...
Cuando se resuelven ecuaciones lineales no es obligatorio realizar la comprobación siempre que se apliquen correctamente las transformaciones
equivalentes, aunque es importante para estar seguro de que no se cometen
errores en la solución de la ecuación.
Investiga y aprende
¿Por qué cuando el conjunto numérico de la variable es el conjunto de los
números racionales o reales toda ecuación lineal tiene una única solución?
Ejemplo 4:
Sea la ecuación 2 a 1 x 2 ax 1 con a ∈ Q y a ≠ 0. Halla el valor de a si la
1
solución de la ecuación es x = .
2
Solución:
1
1
2 a 1 2 a 1
2
2
1
y resolver la ecuación
2
resultante para la variable a.
Sustituir la variable x por
a
1
2
a
a 1 1
2
a
a
1 1
2
2a a
2
2
a
2
2
a 4
a 1 2
223
MATEMÁTICA
Ejercicios
1. Clasifica las proposiciones siguientes en verdaderas o falsas. Escribe
(V o F) en la línea dada. Justifica las que sean falsas.
a) ___ Toda ecuación lineal admite solo una solución.
b) ___ La ecuación 4x + 2 = 0 tiene solución en el conjunto de los
números naturales.
1
c) ___ La ecuación x = 0,5x tiene solución.
2
d) ___ La ecuación 0 x 2 tiene infinitas soluciones.
1
e) ___ La solución de la ecuación x 4 0 es x = 12.
3
f) ___ Existen ecuaciones lineales que no tienen solución en el conjunto de los números reales.
g) ___ La ecuación − 2x + 5 = 8 tiene solución en el conjunto de los
números fraccionarios.
h) ___ La ecuación x 2 3 x 2 x 2 4 es una ecuación lineal en
una variable.
i) ___ Toda ecuación de la forma ax + b = 0 con a, b ∈ Q y a ≠ 0 tiene
solución única en el conjunto de los números racionales.
1
1
15
j) ___ El conjunto solución de la ecuación 5 x 2 es S
3
2
2
2.
Resuelve las ecuaciones lineales siguientes:
a) 4m +1 – 8m = 5
b) 0,4p + 0,2p = − 1,2
c) 5x + 3 – 7x = 4 – 5x
d) 2a a 1 3a 5
5
1
e) 2x + 2(x – 3) = 14
f)
x 2, 5
2
2
g) 2 q 3 3 q 24
h) 5 x 3 10 2 x
i ) 5 x 3 x 8 15 2 x
j) 1 t 6 6t 15 t
k ) b 3 b 8 2 b 5 b 2
l) p 2 p 8 14 5 p 2 17 p
m)
n 5 n 2 3 n 5 2 n n) 7 1, 4 y 2 6 4 y 2, 4 y 3
ñ ) 4 17 m 8 9 3 2 m 5 m 12 2 m 3
o ) d(d – 3) + 2d – 15 = 8d + (d – 7)(d – 1)
p) (w + 5)(w + 1) + 2w – 3 = w(w – 2) + 4
3.
224
Halla el conjunto solución de las ecuaciones lineales siguientes:
b) 3 x 5 8 x 5 8 2 x
a) 14 3 p 6 0
CAPÍTULO 3
c)
y y 2 5 y 1 y 3
d) 8 b 1 5 3 2 b 1
e) 1 5 s 6 6 s 15 s
f) 4 b 9 12 b 2 10 b 1
g) 6 a 2 a 1 3 a
h) 6 n 10 3 n 1 60
i) 2 t 2 t 1 1 3 2 t 9
j) 8 + (5x – 1)(x – 2) + 9x = x(5x + 3) – 2x + 1
k) – 5w + (w – 3)2 + 6 = 2w(2 – w) + 3w2
l) 4 p p 2 p 1 3 4 p 6
m) (m + 6)(2m – 1) – 3(4m – 3) – 10m = 2m(m + 3) + 3(1 – 2m)
4.
Encuentra los valores de la variable que satisfacen las ecuaciones
lineales siguientes:
b) 4 x 5 2 x 100
a) 5,6p − 2,11p = 1,5
c) 8 b 1 7 b 2 2
d) 4 a a a 5 3
e) 0 6 q 11 q 2 q 2
f) 3x + 2(x − 1) = x + 2
g) 3 x 1 x 2 3 x x 1 x 2
h) 3 n 2 2 n 4 n n 1
i) 2 p 3 4 p 5 5 p 2 p 11
j) 2 y 2 8 y 2 y 3 y 4
k) 7d – (2d + 1)(3d – 2) + 12 = 3d(5 – 2d) – 9d
l) 4m2 + m – (2m + 1)2 = 2(m + 2) + 5m
5.
Enlaza la ecuación de la columna A con su solución correspondiente
en la columna B.
3
x 5 4
4
A
4(x + 1) + 12 = 8 + 5 (x + 1)
x x
5
2 3
3(x – 3) = 5(x – 3)
3x – (x – 3)(x + 2) = 5(x – 1) – x2
B
S = {1}
S = {12}
S = {3}
S = {6}
27
S=
4
S = {11}
225
MATEMÁTICA
7.
1
¿Para qué valores de la variable la ecuación − x + 3 = x + 1 se trans2
forma en una proposición verdadera?
8.
¿Para qué valores de la variable la ecuación 3 x 2 x 1 4 3 x x
se transforma en una proposición falsa?
9.
Escribe una ecuación que se pueda transformar a la forma ax + b = 0
1
con a, b números reales y a ≠ 0 que su solución sea x = − .
4
10. Construye una ecuación que se pueda transformar a la forma
ax + b = 0 con a, b números reales y a ≠ 0 y que su conjunto solución sea:
b) S -2
a) S 8
1
c) S -3
d) S 1,5
3
11. Encuentra una ecuación que se transforme en la forma ax + b = c
con a, b, c números racionales y a ≠ 0, tal que:
2
a) su solución sea x .
3
b) el conjunto solución sea S = 4 .
c) no tenga solución en Z.
d) el conjunto solución sea S = ∅.
1
3
12. ¿Qué valor debe tomar a para que la solución de la ecuación ax 8
sea x =
2
?
3
13. ¿Para qué valor de b, con b un número racional, la ecuación
3
2(x – 2) – b = x tiene la solución x = − ?
2
14. Selecciona la respuesta correcta, marcándola con una X.
13.1 La solución de la ecuación 5(x + 2) = 5 + 4x es:
a) __ – 3,5
b) __ – 5
c) __ – 2
d) __ 1
13.2 El conjunto solución de la ecuación 2 3 x 7 5 x es:
a) __ S 18
b) __ S 8
c) __ S 8
d) __ S 6
13.3 De las ecuaciones siguientes cuál es la que tiene como solución
al número 47,4:
a) ___ 1 x 3, 74 b) ___ 2 x 0, 005 9, 45
c) ___ 4 x 1 10 d) ___ x = 94 , 8
0,5
226
CAPÍTULO 3
13.4 Cuál de las ecuaciones siguientes tiene como conjunto solución
S = {–1}:
a) ___ 2 a 4 3 a 6 a
b) ___ 4 a 4 a a 1
c) ___ 2 a 8 3 a 2 a
d) ___ a 4 5 a 2 3 a 1
12. Determina el número que satisface la ecuación 2 x 3 1 5 que
pertenezca al conjunto de números:
a) naturales.
b) fraccionarios.
c) racionales.
15. ¿Qué número fraccionario satisface la ecuación 5 x 2 4 x 4 x 9 ?
Fundamenta tu respuesta.
16. Completa la tabla siguiente:
Tabla 3.8
Conjunto solución
Ecuación
para el dominio de la variable
n
5x
2
3 x
4 2 a
5a
2 y
3,1
z
q+
q
2
2a 9
2 1,1 4 y
2y
(3d + 1)(d – 2) = 3d2 + 7d – 26
(2p +3)(p – 4) – 8 = 2p(p – 1)
17. Determina tres ecuaciones equivalentes a la ecuación y 16 32.
18. Verifica si las dos ecuaciones tienen el mismo conjunto solución. Fundamenta tu respuesta.
a) 4x + 3 = x – 3
b) 4x = 4x + 2
3x = – 6
x=2
c) 7(x – 5) – 7x + 5 = x + 3
0=x+3
19. Sea la ecuación 2(p – 1)x – p(x – = 2p + 3 (p ∈ Q)
a) ¿Para qué valor de p, la ecuación dada no tiene solución en Q?
227
MATEMÁTICA
b) Halla tres valores de p, de manera que la ecuación dada tenga
solución en N.
c) Determina el valor de p, para que el conjunto solución de la ecua 3
ción sea S .
4
3x
1
1 x 1
20. Sean las ecuaciones 2(a x )
5 con a ∈ Q y x
2
2
3 4 12
¿Para qué valor de a estas ecuaciones son equivalentes?
3.3.1 Despeje de variables en ecuaciones
Reflexiona un instante
Los científicos y tecnólogos utilizan diferentes medios para realizar sus
investigaciones, uno de estos son las ecuaciones. Las ciencias utilizan ecuaciones para calcular los valores de diferentes magnitudes; en la asignatura
Física estudiaste la ecuación que relaciona las magnitudes distancia y tiempo
para determinar el valor de la velocidad de un cuerpo que su movimiento
es rectilíneo uniforme.
Analiza y responde:
Si conoces los valores de la velocidad del cuerpo y el tiempo transcurrido
para recorrer una determinada distancia, puedes calcular el valor de la
distancia recorrida. Fundamenta tu respuesta.
Aplica tus conocimientos
El papá de Andrés asistirá a un evento científico en el Palacio de las Convenciones de la provincia La Habana que comienza a las 2:00 p.m. Si su centro
de trabajo se encuentra a 50 km del lugar del evento y la velocidad máxima
a la que puede viajar por la carretera, teniendo en cuenta las regulaciones
del tránsito y el tipo de automóvil que posee, es de 75 km/h, ¿qué tiempo
empleará el papá de Andrés, para llegar a este evento? ¿Para asistir puntualmente al evento, cuál es la hora más tarde que puede salir de su centro
laboral el papá de Andrés?
Consejos útiles
Aplica las transformaciones equivalentes para obtener las ecuaciones que te
permiten calcular los valores de las magnitudes en las situaciones anteriores.
228
CAPÍTULO 3
En la práctica es necesario en muchas ocasiones aislar una variable de
una ecuación para calcular su valor; a este procedimiento se le denomina
despejar una variable de la ecuación
Ejemplo 1:
b.h
a) En la ecuación del área de un triángulo A =
, donde la variable b
2
tiene el significado de la longitud de la base del triángulo y h la longitud
de la altura, despeja la altura.
b) La ecuación para calcular la energía cinética Ec que posee un cuerpo en
1
movimiento es: EC = mv 2, donde la variable m tiene el significado de
2
la masa del cuerpo, la variable v el valor de su velocidad, despeja la masa.
c) En la ecuación del perímetro del rectángulo P = 2(a + b), donde la variable a tiene el significado de la longitud del lado mayor y la variable b
la longitud del lado menor, despeja la variable b.
a c h, en la que a y c son las
d) En la ecuación del área del trapecio A
2
bases del trapecio y h su altura, despeja a.
Solución:
a)
b.h
2
Identificar en la ecuación la variable que se despejará.
2A = b •h
Multiplicar ambos miembros de la ecuación por dos.
2A
=h
b
Dividir ambos miembros de la ecuación por b, que es distinto de cero por ser la longitud de un lado de un triángulo.
A=
1
mv 2 Identificar en la ecuación la variable que se despejará
2
2EC = mv 2 Multiplicar ambos miembros de la ecuación por dos.
b) EC =
Dividir ambos miembros de la ecuación por v2, que es
distinto de cero por ser la velocidad respecto al cuerpo
tomado como referencia.
c) P = 2(a +b) Identificar en la ecuación la variable que se despejará.
2Ec
=m
v2
P = 2a +2b Eliminar paréntesis aplicando propiedad distributiva.
P – 2a = 2b Adicionar a ambos miembros de la ecuación el término
– 2a o transponer con signo opuesto al otro miembro el
término 2a.
P 2a
b Dividir ambos miembros de la ecuación por dos.
2
229
MATEMÁTICA
P
Observa que también puedes realizar el despeje de la
a b
2
variable b de la manera siguiente: P 2 a b .
P
a b
2
Identificar en la ecuación la variable que se despejará.
a c h
d) A
2
a h c h
Eliminar paréntesis.
A
2
Multiplicar ambos miembros de la ecuación por dos.
2A a h c h
2A c h a h
2A c h
a
h
Sustraer a ambos miembros de la ecuación el término
c ⋅ h.
Dividir ambos miembros de la ecuación por h.
Observa que también puedes despejar de la manera siguiente:
A
a c h
2
2A a c h
2A
a c
h
2A
c a
h
Atención
Para despejar una variable en una ecuación primeramente identificamos
la variable que vamos a despejar y después aplicamos las transformaciones
equivalentes, respetando el orden operacional.
Ejercicios
1. Despeja la variable que se indica en las ecuaciones siguientes:
a) Fg g m; (g)
e) AL 2 r h; (h)
h) L = 2πr; (r)
b) t
Q
; (Q)
m
1
AB h; (h)
3
i) D = c.d + r; (d)
f) V
c) A = l ; (l)
2
d) P =
W
; (t)
t
g) s s0 Vt ; (t)
j) v v 0 at ; (t)
k) A 2ab 2 a b h; (h)
l) an al n 1 d ; (d)
d d
m) A 1 2 ; (d1) n) A r g r ; (g)
2
230
CAPÍTULO 3
2.
Selecciona la respuesta correcta, marcándola con una X.
at c
2.1 En la ecuación M
si despejamos la variable t, se obtiene:
b
Mb
a) __ t = bM – c – a
b) __ t
a t
M c b
bM c
a
a
2.2. Al despejar la variable t en la ecuación s v 0t s0, se obtiene:
a) __ t s s
b) __ t s s v
0
0
0
v0
s s0
s
c) __ t
d) __ t
v0
v 0 s0
b(n − 1)
2.3. Si despejamos la variable d en la ecuación A =
, obtenemos
b−d
la expresión:
b( A n 1)
b(n − 1)
a) __
b) __
A
Ab
A
b( A − n)
c) __ b –
d) __
b(n − 1)
A
c) __ t
d) __ t
3.
¿Cuál es la longitud del radio de una circunferencia que tiene 25,0 cm
de longitud?
4.
Completa los espacios en blanco de manera que obtengas una proposición verdadera:
1
4.1 Al despejar la variable q en A h p q r se obtiene
2
_______________
C F 32
4.2 Cuando despejamos en la ecuación
la variable F se
5
9
obtiene _______________.
b
4.3 En la ecuación
al despejar la variable L se obtiene
L 360
___________.
5.
Despeja la variable que se indica en las expresiones algebraicas siguientes:
b) m 2 m 5 a; (a)
a) c a c 3 d ; (d)
c) p
3 m n
5
n; (n)
231
MATEMÁTICA
3.3.2 Sistematización y profundización en la resolución
de problemas que conducen a ecuaciones lineales
Aplica tus conocimientos
Un arquitecto debe realizar el plano de dos habitaciones de igual superficie,
pero en la primera habitación la longitud del largo debe tener el doble de
la longitud del ancho, mientras en la segunda habitación la longitud de su
largo debe ser seis unidades menos que el largo de la primera habitación
y la longitud del ancho debe medir cuatro unidades más que el ancho de
la primera habitación. ¿Cuáles serán las dimensiones de cada habitación?
Recuerda que...
Para resolver un problema que conduce a una ecuación lineal con una variable debes seguir los pasos siguientes:
1. Leer el texto detenidamente cuantas veces te sea necesario.
2. Identificar lo dado y lo buscado, designando una variable a la incógnita.
3. Traducir al lenguaje algebraico las relaciones que se plantean en el texto
(palabras claves).
4. Plantear una ecuación.
5. Resolver la ecuación planteada.
6. Comprobar que la solución de la ecuación satisface las condiciones que
aparecen en el texto del problema.
7. Redactar la respuesta a la pregunta del problema.
Ejemplo 1:
La suma de dos números es 38 y la diferencia de sus cuadrados es 532.
¿Cuáles son los números?
Solución:
El problema trata sobre la búsqueda de dos números que cumplen dos
relaciones entre sí.
La primera relación es que la suma de los dos números es 38, pero
como no conoces cuáles son los números, entonces debes designar una
variable a uno de los números, por ejemplo, si al primer número le
asignas la variable x, entonces el segundo número sería: 38 – x, según
plantea esta relación.
232
CAPÍTULO 3
Los datos del problema pueden quedar de la manera siguiente:
Valor del primer número: x
Valor del segundo número: 38 – x
La segunda relación se refiere a que la diferencia de los cuadrados de
estos números es 532, por tanto, el cuadrado del primer número es x2 y el
del otro número es: (38 – x)2, además como la diferencia de los cuadrados
es 532, la ecuación resultante es: x2 – (38 – x)2 = 532.
Ahora se resuelve la ecuación:
x2 – (38 – x)2 = 532
x2 – (38 – x)(38 – x) = 532
x2 – 1 444 + 76x – x2 = 532
– 1444 + 76x = 532
76x = 532 + 1 444
76x = 1 976
x = 1 976 : 76
x = 26
Como x = 26 entonces, para calcular el otro número efectúas 38 – 26 = 12.
Después debes comprobar en el texto del problema que los números
obtenidos cumplen las dos relaciones:
La suma de dos números es 38: 26 + 12 = 38
La diferencia de sus cuadrados es 532:
(26)2 = 676, (12)2 =144 y 676 – 144 = 532.
Respuesta: Los números son 26 y 12.
Ejemplo 2:
Un huerto dedicado a la siembra de vegetales de forma rectangular tiene
5,0 metros más de largo que de ancho. Se quiere para la próxima cosecha
aumentar la producción de vegetales, para esto es necesario ampliar las
dimensiones del terreno. Si se incrementa en cuatro metros el largo y el
ancho del terreno, entonces el área del terreno aumentaría en 72 metros
cuadrados. ¿Cuáles serían las dimensiones del huerto en la próxima cosecha?
Solución:
Este problema se refiere al aumento de las dimensiones de un huerto de
forma rectangular para incrementar la producción de vegetales. En el texto del problema se explica la relación que existe entre el largo y el ancho
233
MATEMÁTICA
del huerto y que al aumentar el largo y ancho respectivamente, se incrementará su área. Aparecen las palabras claves más que, incrementa en,
aumentaría en y área.
Para facilitar la búsqueda de la so4
lución del problema te puedes auxiliar
X+4
de un esbozo del huerto (fig. 3.8a).
X
a) Si designas por la variable x a la
X+5
4
longitud del ancho del huerto entonX+9
ces su largo tiene de longitud x + 5.
Como el largo y el ancho se incremenFig. 3.8a
tan en cuatro metros, entonces las
dimensiones del huerto para la próxima cosecha serán (x + 4)m de ancho y
(x + 9)m de largo.
En el texto del problema se plantea una relación entre el área del huerto
inicial y el área del huerto que se utilizará para la próxima cosecha.
Para escribir la ecuación que solucionará el problema debes utilizar la
ecuación que permite calcular el área de un rectángulo. El área del huerto
inicial es x(x + 5) y la del huerto ampliado: (x + 4)(x + 9).
Los datos del problema pueden quedar de la manera siguiente:
Tabla 3.9
Al inicio
Después de la ampliación
Ancho
x
x+4
Largo
x+5
x+9
Área
x(x + 5)
(x + 4)(x + 9)
Después debes traducir del lenguaje común al algebraico la relación
entre las áreas de los huertos y así obtener la ecuación que resolverá el
problema, que se puede expresar de tres formas diferentes, todas equivalentes entre sí:
1) x(x + 5) + 72 = (x + 4)(x + 9)
2) x(x + 5) = (x + 4)(x + 9) – 72
3) x(x + 5) – (x + 4)(x + 9) = 72
234
CAPÍTULO 3
x(x + 5) + 72 = (x + 4)(x + 9)
x2 + 5x + 72 = x2 + 9x + 4x + 36
x2 + 5x + 72 = x2 + 13x + 36
5x + 72 = 13x + 36
5x – 13x = 36 – 72
– 8x = – 36
x = 4,5
Como x = 4,5 entonces el ancho del huerto en la próxima cosecha será
4,5 + 4 = 8,5 y el largo 4,5 + 9 = 13,5.
Comprueba en el texto del problema:
Ancho del huerto al inicio: 4,5.
Largo del huerto al inicio: 9,5
9,5 – 4,5 = 5
Área del huerto al inicio: 4,5 m·9,5 m = 42,75 m2
Área del huerto ampliado: 8,5 m·13,5 m = 114,75 m2
114,75 – 42,75 = 72
Respuesta: El huerto en la próxima cosecha tendría 8,5 m de ancho y
13,5 m de largo.
Ejemplo 3:
Rolando se prepara para la prueba final de Matemática de octavo grado y
comenzó a resolver ejercicios. El lunes resolvió la tercera parte del total de
ejercicios, el martes el 25 % del resto y aún le quedan por resolver 21 ejercicios,
el miércoles. ¿Cuántos ejercicios resolverá Rolando para estar preparado
para la prueba final de matemática?
Solución:
El problema trata sobre la cantidad de ejercicios que resuelve Rolando en
tres días. En el texto se plantea la cantidad de ejercicios que resuelve cada
día y hay que determinar el total de ejercicios que resolverá Rolando. En el
texto aparecen las palabras claves tercera parte y 25 % del resto, mediante
las cuales se describe la cantidad de ejercicios que resuelve cada día Rolando. Si designas por la variable x la cantidad de ejercicios que resolverá
Rolando, entonces como el lunes resolvió la tercera parte del total de ejerx
x
cicios, este día resolvió ejercicios. El martes resuelve el 25 % del resto,
3
3
235
MATEMÁTICA
x
2
pero como el lunes resuelve , entonces el resto es x. Por tanto, el martes
3
3
1 2x x
resuelve
ejercicios. Luego, como el total de ejercicios que resolvió
4 3
6
Rolando es igual a la suma de la cantidad de ejercicios que resuelve cada
uno de los tres días y para el tercer día le quedaban 21, resulta la ecuación:
x x
x 21
3 6
Datos:
Cantidad de ejercicios que resolvió Rolando: x
x
Cantidad de ejercicios resueltos el lunes:
3
1 2x x
Cantidad de ejercicios resueltos el martes:
4 3
6
Cantidad de ejercicios que le quedan por resolver: 21
x x
x 21
3 6
6x = 2x + x + 126
6x = 3x + 126
6x – 3x = 126
3x = 126
x = 42
Comprobación en el texto del problema:
La tercera parte de 42 es 14. El resto es 28 (42 – 14 = 28) y el 25 % de
28 es 7. Por último 14 + 7 + 21 = 42.
Respuesta: Rolando resolverá 42 ejercicios para prepararse para la prueba
final de Matemática.
Ejemplo 4:
La edad de la madre de Margarita es cinco veces la edad de ella, dentro de
seis años la madre tendrá el triplo de la edad que tendrá Margarita en ese
momento. ¿Cuál es la edad actual de Margarita?
Solución:
El problema trata sobre las edades de una madre y su hija, la incógnita es la
edad de Margarita (hija); existen dos relaciones la primera se corresponde
con la edad actual de la madre y la hija y la otra con lo que sucederá dentro
de seis años con las edades de ellas. Las palabras claves son: cinco veces,
el triplo, dentro de seis años.
236
CAPÍTULO 3
El análisis de las palabras dentro de seis años te permite pensar que
han transcurrido seis años, luego las dos personas tendrán seis años más
que su edad actual.
Si designas por la variable x, la edad de la hija (Margarita), entonces
puedes traducir del lenguaje común al algebraico cada relación y solucionar
el problema.
Datos (es conveniente utilizar una tabla para diferenciar los dos momentos en que se manifiestan las relaciones):
Tabla 3.10
Edad actual
Dentro de seis años
Margarita
x
x+6
Madre de Margarita
5x
5x + 6
La ecuación se obtiene de la segunda relación: dentro de seis años la
madre tendrá el triplo de la edad que tendrá Margarita en ese momento,
luego escogemos los datos de la tercera columna y la igualdad nos quedará:
5x + 6 = 3(x+6)
5x + 6 = 3x+18
5x – 3x = 18 – 6
2x = 12
x = 6 y la edad de la madre sería: 5 · 6 = 30
Comprobación en el texto del problema:
La edad actual de la madre es el quíntuplo de la edad de Margarita porque 30 es cinco veces seis además 6 + 6 = 12, 30 + 6 = 36 y 36 es tres veces 12.
Respuesta: Margarita tiene seis años.
Investiga y aprende
Busca otras vías de solución para resolver el problema relacionado con la cantidad de ejercicios que resolvió Rolando para la prueba final de matemática.
Atención
Cuando resuelvas problemas analiza la posibilidad de utilizar los procederes
explicados en los ejemplos anteriores para encontrar la ecuación que te
permita resolver el problema.
237
MATEMÁTICA
Si la relación se refiere a la adición o sustracción de dos cantidades puedes escribir una cantidad que dependa de la otra con el uso de la propiedad
de las operaciones inversas.
También puedes esbozar la situación planteada mediante una figura o
utilizar tablas que te facilitan encontrar la ecuación.
Reflexiona un instante
Es posible que con una misma ecuación puedas resolver varios problemas;
¿serías capaz de elaborar un problema cuya solución se obtenga con la
ecuación del ejemplo cuatro?
Atención
Para elaborar un problema es necesario seleccionar los datos apropiados y
determinar las relaciones matemáticas que se establecen entre estos, para
expresarlas en lenguaje común teniendo en cuenta el uso correcto de los
signos de puntuación, de manera que la redacción no tenga errores y la
interpretación del texto no sea la deseada.
Ejemplo 5:
El perímetro de un rectángulo es de 30 cm.Completa el enunciado del problema, si debe originar la ecuación: 2x + 2(x + 5) = 30.
Solución:
Debes primero buscar las relaciones que se establecen en la ecuación,
observa que el texto refiere el perímetro de un rectángulo y para su
cálculo se necesitan las longitudes de sus lados. La ecuación que permite determinar el perímetro de un rectángulo es la suma del duplo del
ancho y el duplo del largo; la variable se le debe asignar a uno de los
lados, pudieras decir que a la longitud del largo se le designa la variable
x y entonces como la otra expresión algebraica que aparece es x + 5, la
longitud del ancho es cinco unidades más que la longitud del largo, por
tanto, el problema puede ser:
El perímetro de un rectángulo es de 30 cm, si la longitud del ancho es
cinco unidades más que la longitud del largo, ¿cuáles son las dimensiones
de este rectángulo?
238
CAPÍTULO 3
Investiga y aprende
Busca en los medios de comunicacion informaciones sobre el medallero
de los ultimos Juegos Panamericanos y determina las relaciones entre sus
datos para que elabores un problema que conduzca a una ecuacion lineal
con una variable.
Ejercicios
1.
Selecciona la respuesta correcta marcándola con una X.
1.1 Un pionero quiere representar mediante una ecuación la situación
siguiente: La tercera parte de la matrícula de su grupo excede
en 21 a los 12 miembros del equipo de voleibol de su escuela.
Si la variable x representa la matrícula de su grupo, entonces la
ecuación que escribió el pionero es:
1
b) ___ 3x – 21 = 12
a) ___ x 21 12
3
1
d) ___ 3x + 21 = 12
c) ___ x 21 12
3
1.2 Para representar mediante una ecuación la situación siguiente:
la cuarta parte de un número m excede en tres a 18, la ecuación
que se escribe es:
a) ____ 4m – 3 = 18
b) ___
c) ___ 4m + 3 = 18 d) ___
1
4
1
4
m 3 18
m 3 18
1.3 En un puesto de frutas las 83 guayabas que hay exceden en siete
al triplo de la cantidad de piñas. Si x es la cantidad de piñas que
hay en el puesto de frutas, entonces la ecuación que representa
la situación anterior es:
a) ___ 3x – 7 = 83
b) ___ 83 = 3x + 7
1
1
x 7 83 d) ___ x 7 83
3
3
1.4 Alina quiere expresar mediante una ecuación la información siguiente: el quíntuplo de los estudiantes que participaron en el concurso de
dibujo de la casa de cultura aumentado en 12 es 72. Si t representa
la cantidad de estudiantes que participaron en el concurso, cuál de
c) ___
239
MATEMÁTICA
las siguientes ecuaciones es la traducción del lenguaje común al
algebraico de esta situación:
a) ___ 5t – 12 = 72
b) ___ 5t + 12 = 72
5t
1
= 72
d) ___
c) ___ t 12 72
12
5
1.5 De un grupo de octavo grado se conoce que el triplo de los
participantes en el concurso de Matemática excede en siete a
los catorce que participaron en el concurso de Historia. Si x es la
cantidad de participantes en el concurso de Matemática, entonces
esta situación se puede expresar por la ecuación:
1
a) ___ x 7 14
b) ___ 3x + 7 = 14
3
1
c) ___ 3x – 7 = 14
d) ___ x 7 14
3
1.6 Cuatro veces un número n aumentado en cinco da como resultado
35. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa esta relación?
a) __ 4n – 5 = 35
c) __ 4n·5 = 35
2.
b) __ 4n + 5= 35
d) __ 4(n + 5) = 35
Dadas las siguientes ecuaciones escribe en el lenguaje común las relaciones que representan:
a) y – 5 = 20
b) 2 x 15 3 x
c)
1
q 2 7
3
d) p
p
3p 15
2
3.
Si la base de un rectángulo tiene una longitud de x centímetros y se
conoce que su altura es tres veces la longitud de la base, entonces:
3.1 su perímetro se representa por _______________.
3.2 su área se representa por _________________.
4.
Si se dobla un alambre de 15 cm para formar un triángulo isósceles
cuya base mida 6 cm, ¿cuánto miden los otros lados?
5.
De una varilla de 2,50 m de largo se serrucharon cuatro pedazos
iguales y queda un pedazo de 10 cm. ¿Qué longitud tiene cada
pedazo serruchado?
6.
En un mercado agropecuario hay un puesto de venta que tiene en
exhibición 135 frutas entre naranjas, mangos, guayabas y limones.
La cantidad de limones es el doble de la cantidad de naranjas, la
240
CAPÍTULO 3
de guayaba es la cuarta parte de la cantidad de naranjas y son
cinco los mangos. ¿Cuántos limones, guayabas y naranjas hay en
el puesto de venta?
7.
En las elecciones pioneriles de este curso fueron propuestos Camilo y
Gabriela para jefe de colectivo. Después de realizada la votación se
contaron en total 220 votos válidos. Si Gabriela recibió 19 votos menos
que el duplo de la cantidad de votos recibidos por Camilo, ¿cuál de
los pioneros fue elegido jefe de colectivo?
8.
Para ayudar a la repoblación forestal de un municipio los estudiantes
de dos secundarias básicas sembraron 536 posturas de árboles. Los
estudiantes de la secundaria básica Antonio Maceo sembraron 25 posturas menos que el duplo de la cantidad de posturas que sembraron
los estudiantes de la secundaria Lidia Doce. ¿Cuál fue la secundaria
básica que menos árboles sembró?
9.
Como parte del ejercicio Meteoro 2013 realizado con el propósito
de fortalecer la capacidad del país para enfrentar huracanes de gran
intensidad y otros eventos extremos, una secundaria movilizó trabajadores, padres y estudiantes para realizar labores de higienización
como parte de la lucha anti vectorial. Si se conoce que participaron
115 estudiantes más que trabajadores y el número de padres fue la
mitad de la cantidad de trabajadores, qué cantidad de estudiantes,
padres y trabajadores participaron en el ejercicio Meteoro 2013 en
esa secundaria, si en total participaron 170 personas.
10. Un pionero compró en la feria del libro realizada este año, un libro de
cuentos que tiene 126 páginas y decidió leerlo en tres días. El primer
día leyó el doble de la cantidad de páginas que las que leyó el tercer
día y el segundo día leyó la mitad de la cantidad de páginas que las
que leyó el tercer día. ¿Cuántas páginas leyó por día?
11. Los estudiantes de un grupo de octavo grado de una secundaria básica
se propusieron recuperar papel y cartón para entregar a la empresa
de recuperación de materias primas de su municipio. Del total de
libras de papel y cartón recuperadas, 151 corresponden a cartón, lo
que excede en 15 libras a la mitad del total de libras de papel y cartón
241
MATEMÁTICA
recuperadas. ¿Qué cantidad de libras de papel y cartón recuperaron
estos estudiantes?
12. En la constitución de las asambleas provinciales del Poder Popular
del XI periodo de mandato (2013 – tomaron posesión de sus cargos
los 1 269 delegados provinciales elegidos por el pueblo. Dos veces la
cantidad de mujeres delegadas provinciales excede en 26 al duplo
de la cantidad de delegados hombres. ¿Qué por ciento del total de
delegados provinciales representa la cantidad de mujeres delegadas?
13. La diferencia entre las longitudes de las bases de un trapecio es de
2,0 dm, su altura mide 40 cm y su área es igual al triplo de la longitud
de la base mayor aumentada en la longitud de la altura. Calcula el
área del trapecio.
14. El triplo del ancho de un rectángulo excede en 9,0 dm al largo. Determina el área del rectángulo si se conoce que su perímetro mide 460 cm.
15. En un triángulo escaleno la amplitud del ángulo menor es el 75 %
de la amplitud del ángulo mediano y la del ángulo mayor excede en
1000 a la diferencia de las amplitudes de los otros dos ángulos. Halla
la amplitud de los ángulos del triángulo.
16. En un frigorífico hay papas almacenadas, de estas la tercera parte es
para el consumo de hospitales, el 25 % del resto para el consumo de
escuelas y círculos infantiles y las 150 000 toneladas restantes para
el consumo de la población. ¿Cuántas toneladas de papas fueron
destinadas al consumo de hospitales?
17. El 25 % de las caballerías de un trabajador agrícola, está dedicado
3
del resto a la
5
cosecha de viandas y las cuatro caballerías restantes a la siembra de
al cultivo de hortalizas, la mitad al cultivo de frutas,
flores. ¿Cuántas caballerías se emplearon en el cultivo de frutas y
cuántas a viandas?
18. En una secundaria básica se aplicó una encuesta a 288 estudiantes
de octavo grado para conocer sus intereses en la continuidad de estudios. La encuesta arrojó que hay 13 estudiantes menos interesados
242
CAPÍTULO 3
en matricular en un tecnológico que en una escuela pedagógica y la
cantidad de interesados en matricular en un tecnológico excede en 22
al 60 % de los que quieren matricular en un preuniversitario. ¿Cuántos
estudiantes están interesados en matricular en la escuela pedagógica?
19. En una competencia de ajedrez la cantidad de ajedrecistas del sexo
masculino triplicó la cantidad de ajedrecistas femeninos. Si hubieran
participado 25 mujeres más y 25 hombres menos, entonces tendrían
la misma cantidad de participantes por sexo. ¿Qué cantidad de ajedrecistas femeninas participaron en la competencia?
20. Un tanque tiene cierta cantidad de litros de refresco. Durante la mañana se vendió las tres quintas partes del total de litros y en la tarde
el 75 % de lo que le quedaba, quedando aún en el tanque 30 L.
a) ¿Cuántos litros de refresco tenía el tanque al inicio?
b) ¿Cuántos litros se vendieron en la mañana?
c) Si la cantidad de refresco en el tanque inicialmente representaba
las tres cuartas partes de su capacidad, ¿cuál es la capacidad del
tanque?
21. En un terreno hay sembradas varias hectáreas de col, lechuga y tomate. De col hay sembradas la tercera parte del total de hectáreas, de
lechuga el 30 % del resto y de tomate, hay sembradas 28 hectáreas.
a) ¿Cuántas hectáreas hay sembradas de lechuga?
b) Si ya se recogieron la mitad de las hectáreas de col, el 25 % de las
de lechugas y 15 hectáreas de tomate, ¿cuántas hectáreas en total
faltan por recoger?
22. Joanna visitó la Feria del Libro. Durante su estancia allí, invirtió
el 60 % del dinero que llevaba en la compra de varios libros, un
cuarto de lo que le quedaba lo destinó para merendar y regresó
a la casa con $30.00.
a) ¿Cuánto dinero llevó Joanna a la Feria?
b) Si los cinco libros que compró tenían el mismo precio, ¿qué precio
tenía cada libro?
c) ¿Qué tanto por ciento del dinero que llevó Joanna a la Feria destinó
a la merienda?
243
MATEMÁTICA
23. En una secundaria, el 25 % de la matrícula de la escuela es de séptimo
grado, el 40% del resto cursa el octavo grado y hay 270 estudiantes
en noveno grado.
a) ¿Cuál es la matrícula de la escuela?
b) Si cada grupo de la secundaria tiene como máximo 40 estudiantes,
¿cuántos grupos de cada grado hay en la escuela?
24. En una secundaria básica se utilizaron dos aulas para la escuela de
padres. En un aula había el doble de sillas que en la otra. Para tener
la misma cantidad de sillas en cada aula de la escuela de padres fue
necesario trasladar 8 sillas del aula que más sillas tenía para la otra.
¿Cuántas sillas tenían cada aula antes de realizar la escuela de padres?
25. La cantidad de integrantes del Círculo de Interés Pedagógico es el triplo de la cantidad de estudiantes pertenecientes al círculo de interés
de Medicina Natural y Tradicional. Si se incorporan cinco estudiantes
más al círculo de interés de Medicina Natural y Tradicional, entonces
este círculo tendría la mitad de integrantes que tiene el Círculo de
Interés Pedagógico. ¿Cuántos integrantes tiene cada uno de estos
círculos de interés?
26. En las elecciones pioneriles de un destacamento de octavo grado
fueron propuestas tres estudiantes para jefa de destacamento: Brenda, Laura y Claudia. Al realizar el conteo de votos se comprobó que
todos los presentes votaron y que todos los votos fueron válidos, que
Brenda obtuvo las dos quintas partes del total de votos, que Laura
obtuvo 7 votos más que Claudia y que Brenda obtuvo el doble de los
votos obtenidos por Claudia.
a) ¿Cuántos pioneros participaron en la votación?
b) ¿Qué pionera fue elegida como jefa de destacamento?
27. En la figura 3.9 α y β ángulos adyacentes.
Si ∠ α = 5x + 1º y ∠ β = 2x – 17º. Calcula las
amplitudes de los ángulos α y β.
28. De dos números se conoce que uno es menor
en tres que el otro. Si al quíntuplo del mayor
se le sustrae 30 se obtiene el duplo del número menor, ¿cuáles son los números?
244
Fig. 3.9
CAPÍTULO 3
29. En la figura 3.10 ABEF cuadrado
F
E
y ACDG rectángulo, con A, B y
C puntos alineados. La longitud
G
del lado AC excede en 24 centímetros a la longitud del lado
del cuadrado y la longitud de
A
B
DC es 12 centímetros menor que
la longitud de EB. Cuáles son las
Fig. 3.10
longitudes de los lados del rectángulo si el cuadrado y el rectángulo tienen la misma área.
D
C
30. Redacta un problema cuya resolución conduzca al planteamiento de
la ecuación siguiente:
a) x + 21 = 2x;
b) x 5 4 602;
c) [(3x + 2) + x] = 36
31. Elabora problemas utilizando la información de las figuras 3.11 a la
3.14 siguientes:
C
D
X
2x B
D
x + 48o
3x + 6o
A
Fig. 3.11
A
C
B
Fig. 3.12
A
x
S
n
B
(2x + 1)(x - 1) + 10
2x(x - 1)
3x
m
C
Fig. 3.13
Fig. 3.14
245
MATEMÁTICA
32. Enuncia un problema relacionado con las edades de dos personas que
conduzca a la ecuación siguiente: 4x + 5 = 3(x + 5)
33. Elabora tres problemas que conduzcan a una ecuación lineal con una
variable y que estén vinculados con la geometría plana.
3.4 Funciones lineales
Los medios de comunicación acostumbran a utilizar tablas y gráficos para
transmitir informaciones y hacerlas más fácilmente comprensibles. Por ejemplo, para reflejar la evolución en el tiempo de la población mundial, la
proporción del total de energía consumida por sectores, costo de teléfonos
celulares por meses, el cálculo de oferta y demanda de un determinado producto, se puede calcular el consumo de un servicio, por ejemplo, agua, luz,
gas, teléfono, etc. En la ciencia, en general, se utilizan con mucha frecuencia,
por ejemplo, para hallar tasas de variación tales como: el cálculo de velocidades o en el estudio de reacciones químicas. También se usan para efectuar
cambios de unidades de medida como la conversión de kilómetros a millas,
o de grados centígrados a grados Fahrenheit y para realizar predicciones.
Aplica tus conocimientos
Mateo necesita saber la cantidad de dinero del saldo que tiene en su teléfono celular que consumirá si realiza una llamada a su madre en la mañana. Si
él conoce que la llamada desde un celular prepago a un número en Cuba,
según ETECSA cuesta 0.35 centavos en horario regular, por cada minuto
íntegro, con sus 60 segundos, ¿de qué manera puede Mateo conocer cuánto
dinero gastará en la llamada a su mamá?
Desde la Educación Primaria has estudiado las relaciones entre cantidades, que se pueden escribir en proporciones, pero también puedes utilizar
tablas o gráficos donde se muestre el comportamiento de los valores de las
magnitudes que intervienen en una situación que se te presente en la vida.
En este caso, las magnitudes presentes en esta situación son: la cantidad
de minutos que habla Mateo cuando realiza la llamada y la cantidad de
dinero que consume del saldo por minuto.
En este epígrafe recordaremos las diferentes formas de representar
las correspondencias o relaciones que se establecen entre magnitudes y
246
CAPÍTULO 3
estudiarás uno de los conceptos más importantes de la Matemática para
designar la dependencia entre los valores de las magnitudes que intervienen
en una proporcionalidad directa.
3.4.1 Sistematización de razones y proporciones
Reflexiona un instante
Ana quiere saber cuántas veces es más alta su hija mayor Rosa que la más
pequeña Ada; ella conoce la estatura de cada una de sus hijas, Rosa mide
1,50 metros y Ada 75 centímetros.
Existen varias formas de comparar dos números o cantidades, se puede
hallar la diferencia o el cociente entre estos.
Ana debe primero expresar las estaturas en la misma unidad de medida
para poder compararlas, p uede llegar a la conclusión de que Rosa tiene
0,75 m más de estatura que su hermana (1,50 m – 0,75 m = 0,75 m) o que
la estatura de Rosa es dos veces (el doble de) la de Ada, también puede
decir que la estatura de Ada es la mitad que la de Rosa pues calcula el
1, 50 m
150 cm
cociente:
= 2,
= 2.
0, 75 m
75 cm
Recuerda que...
La razón de dos números a y b es la fracción
Esta razón también puede escribirse a:b.
a
b
, con b ≠ 0, y se lee a es a b.
Para hallar la razón entre dos números, formas el cociente entre estos y lo
puedes simplificar tanto como sea posible.
De la historia
Desde la Antigüedad clásica, matemáticos, filósofos y artistas han creído en
la existencia de una razón privilegiada o divina que fue llamada número
áureo.
Este número se suele indicar con la letra griega (fi) Φ y es un número irracional aproximadamente igual a 1,618
Pitágoras y sus seguidores ya habían descubierto este número al calcular la
razón entre la longitud del lado de un pentágono y su diagonal.
247
MATEMÁTICA
Los griegos también consideraban que un rectángulo cuyos lados a y b
estén en la relación a : b = Φ era especialmente armonioso y lo llamaron
rectángulo áureo o de oro.
Razón aurea
a
=
= 1,618 033... b
b
a
Fig. 3.15
Este rectángulo lo emplearon los arquitectos griegos en las construcciones
de templos y edificios, como el Partenón de Atenas, por considerarlo de
mayor atractivo artístico.
También pintores famosos han utilizado en sus obras la igualmente llamada
proporción divina.
Como Leonardo Da Vinci, en su dibujo titulado El hombre ideal, donde
la razón entre la distancia desde la cabeza hasta el ombligo y desde éste
hasta los pies, es la misma que la razón entre la distancia desde el ombligo
hasta los pies y desde la cabeza hasta los pies, además sobre el rostro y el
cuerpo se aprecian rectángulos de oro.
Aparece igualmente en pinturas de Salvador Dalí, como la Venus de
Boticelli.
Esta razón también la usaron en sus producciones artistas del Renacimiento.
Por ejemplo, en España, en el Palacio de La Alhambra.
Aplica tus conocimientos
Luisito tiene seis bolas azules y tres bolas rojas; Aldo tiene diez bolas amarillas y cinco bolas verdes. Halla las razones entre las bolas que tiene cada
niño y compara los resultados.
248
CAPÍTULO 3
Recuerda que...
La igualdad entre dos razones recibe el nombre de proporción.
En toda proporción el producto de los extremos es igual al producto de
los medios.
En una proporción al intercambiar los medios o los extremos y al invertir
las razones se obtiene una proporción equivalente.
Ejemplo 1:
Las razones que se obtienen entre las bolas de Luisito y Aldo son iguales,
por tanto forman una proporción.
6 10
es una proporción.
Podemos decir entonces que =
3 5
También puede escribirse 6 : 3 = 10 : 5.
En ambos casos se lee: 6 es a 3 como 10 es a 5.
Observa también qué sucede si intercambiamos los medios o los extremos
de una proporción:
6 3
= es una proporción, porque 6 · 5 = 10 · 3
10 5
5 10
=
es una proporción, porque 5 · 6 = 3 · 10
3 6
Y si se invierten ambas razones:
3 5
=
es una proporción, porque 3 · 10 = 6 · 5.
6 10
De la historia
La teoría de las proporciones fue desarrollada por el gran matemático griego Eudoxio, que nació en la ciudad de Cnido en el Asia Menor en el año
408 a.n.e. Su obra original no llegó hasta los tiempos actuales, pero gracias
a uno de los más ilustres sucesores, Euclides de Alejandría, se pudo conocer
dicha teoría, pues la recogió en su libro V de los Elementos.
Fig. 3.16
Fig. 3.17
249
MATEMÁTICA
Ejemplo 2:
En el Estadio Latinoamericano, del municipio Cerro, de la provincia La Habana se efectuó un juego de béisbol entre dos equipos de la serie nacional,
asistieron 12 000 niños. Si la razón entre el número de niños y adultos que
observaron el juego fue de 3 es a 7:
a) ¿Cuántos adultos asistieron al estadio?
b) ¿Cuántas personas asistieron en total?
Solución:
a) Representas por x la cantidad de adultos que asistieron al estadio.
La razón entre el número de niños y el de adultos se puede expresar
12 000
.
como
x
3
Como la razón es igual a , puedes plantear la siguiente proporción:
7
12 00 3
=
aplicas la propiedad fundamental de la proporción y resuelx
7
ves la ecuación:
12 000 · 7 = x · 3
12 000 ⋅ 5
= 28 000
2
Respuesta: Asistieron al estadio 28 000 adultos.
x=
b) 12 000 + 28 000 = 40 000.
Respuesta: Asistieron un total de 40 000 personas al juego.
Ejemplo 3:
Un destacamento pioneril de octavo grado tiene 28 estudiantes; la razón entre
la cantidad de hembras y la cantidad de varones es 4 : 3. ¿Cuántos varones y
cuántas hembras tiene el destacamento?
Solución:
Este problema puedes resolverlo por varias vías:
Primera vía:
Datos:
cantidad de hembras:
v cantidad de varones: h
Total de estudiantes: 28
250
CAPÍTULO 3
Como conoces la razón entre la cantidad de hembras y la de varones,
planteas la razón dada y la amplías hasta que la suma del numerador y el
denominador sea 28.
4 8 12 16
= =
=
3 6 9 12
Respuesta: El destacamento tiene 16 hembras y 12 varones.
Segunda vía:
Como el total de estudiantes es 28 y no se conoce la cantidad de hembras
y varones, puedes aplicar el procedimiento estudiado, asignando a una de
las cantidades buscadas una variable y utilizando la propiedad de operación
inversa para designar a la otra cantidad.
Datos:
Cantidad de hembras: x
Cantidad de varones: 28 – x
Como la razón entre la cantidad de hembras y varones es 4 : 3, planteamos la proporción siguiente:
x
4
28 x 3
3x = 4(28 – x) aplicando la propiedad fundamental de las proporciones.
3x = 112 – 4x
3x + 4x = 112
7x = 112
x = 16 (cantidad de hembras) 28 – 16 = 12 (cantidad de varones)
Respuesta: El destacamento tiene 16 hembras y 12 varones.
Ejercicios
1.
Halla la razón entre:
a) 20 y 4
b) 4 y 20
f) 4 y
2.
1
2
g) 0,25 y 0,75
c) 4 y 10
h) 8 y
2
7
d) 10 y 4
i)
2 3
y
5 10
1
y4
2
3 27
j)
y
4
2
e)
Busca tres pares de números que estén en la razón:
4
1
3
a)
b)
c)
d) 3 : 7
5
3
2
251
MATEMÁTICA
3.
a)
Cada figura que se muestra (fig. 3.18 está dividida en figuritas iguales
más pequeñas, unas de color blanco y otras de color negro. Halla en
cada inciso la razón entre:
b)
c)
Fig. 3.18
3.1 El número de figuritas blancas y el de figuritas negras.
3.2 El número de figuritas blancas y el total de figuritas.
3.3 El número de figuritas negras y el total de figuritas.
4.
En qué razón se encuentran:
a) Las edades de dos jóvenes de 16 y 18 años respectivamente.
b) Las longitudes de dos segmentos AB = 15 cm y CD = 5,0 cm
c) El área de dos triángulos que miden 20 dm2 y 4000 mm2.
d) Las amplitudes entre los ángulos α y β, si α es un ángulo llano y β
un ángulo recto.
5.
Selecciona cuáles de los pares de números dados están en la razón
cinco es a 1.
2
a) 7 y 2
b) 15 y 3
c) 20 y 5
d) 1,1 y 5,5
e) 2 y
5
6.
¿Cuántos cuadraditos del cuadrado
en blanco hay que sombrear para que
las partes sombreadas de las figuras
(fig. 3.19), del mismo tipo, estén en
la misma razón?
7.
Completa la serie de dibujos de la figura 3.20, conociendo que la razón
entre las partes sombreadas en cada
2
figura es .
3
252
Fig. 3.19
CAPÍTULO 3
Fig. 3.20
8.
Selecciona cuáles de los pares de razones siguientes forman una proporción.
1 4
5 0, 2
y
b) 30 : 7 y 15 : 3,5
c)
y
d) 2,4 : 3,2 = 0,5 : 2
a)
3 5
10 0, 4
9.
Calcula el valor de la variable en cada caso en las siguientes proporciones:
x
5
80
a
=
a)
=
b) 3 : y = 1,2 : 8,4
c)
2 30
a 20
10. Dos números están en la relación de cinco a tres. Si el mayor es 655,
¿cuál es el menor?
11. En una secundaria básica hay 140 pioneros categorizados como pioneros Mambí. Si la razón entre los categorizados como Mambí y Rebelde
es 4 : 3¿Cuántos pioneros están categorizados como Rebeldes?
12. En una acampada pioneril, la razón del número de varones y de
5
. Si hay 126 hembras. ¿Cuántas hembras más que
6
varones hay en la acampada?
hembras es de
13. En un juego de baloncesto por cada siete tiros se anotaron tres canastas. Si en total hubo 63 tiros. ¿Cuántas canastas se dejaron de anotar?
14. Cinco de cada seis personas que asistieron a una base de campismo
son adultos. Si asistieron 55 adultos. ¿Cuántas personas asistieron
al campismo?
15. Cuando María abrió su alcancía encontró que tenía 63 monedas entre
medios y pesetas. Si por cada siete monedas hay cuatro medios. ¿Qué
cantidad de dinero había en la alcancía? (ten en cuenta que todas las
pesetas son de 20 centavos).
253
MATEMÁTICA
3.4.2. Sistematización de proporcionalidad.
Proporcionalidad directa e inversa
Reflexiona un instante
Alicia, la mamá de Carlos, le preparará un pastel para su cumpleaños, que
compartirá, además, con su papá y su hermano mayor.
La receta de un pastel de vainilla indica que para cuatro personas se necesitan 200 g de harina, 150 g de mantequilla, cuatro huevos y 120 g de azúcar.
Carlos le dice a su mamá que invitará a comer pastel a su mejor amigo,
Tony. Ahora la mamá debe preparar para cinco personas y no para cuatro
como lo había previsto ¿Cómo adaptará Alicia la receta para cinco personas?
Es evidente que se debe aumentar en la receta a cada ingrediente una
cantidad determinada de gramos y también la cantidad de huevos a utilizar.
¿Pero será posible hacerlo sin una medida adecuada? Por supuesto que no,
porque el pastel no quedaría con la calidad necesaria.
En esta situación es necesario que la cantidad de cada ingrediente sea
correspondiente al número de personas.
Analicemos la correspondencia que existe entre dos cantidades o magnitudes, donde una depende de la otra:
a) El precio de una libra de malanga en el mercado agropecuario es de
$60,00; si una persona quiere comprar dos libras su precio sería $120,00,
si comprará tres libras su precio sería $180,00 y así sucesivamente.
b) Al cumplir cinco años, Raúl medía 95 cm; a los ocho años, su estatura
era de 110 cm y ahora, que tiene 11 años mide 135 cm.
c) Un campesino deshierba un campo en 10 días, dos campesinos, trabajando al mismo tiempo, lo deshierban en cinco días.
La cantidad de dinero a pagar por la compra de malanga depende de la
cantidad de libras que se compren. La estatura de una persona en edad de
crecimiento depende o está relacionada con su edad. El tiempo que tarda
desyerbar un terreno depende del número de personas que participen en
esta tarea.
En realidad, hay muchas situaciones de la vida que se pueden expresar
como correspondencias de una magnitud con otra.
Si tuvieras que saber: cuánto sería el precio de cuatro libras de malanga, la estatura de Raúl a los 15 años o la cantidad necesaria de campesinos
254
CAPÍTULO 3
para desyerbar el campo en un día, además de identificar que magnitud
depende de la otra, necesitamos saber cuál es el criterio de correspondencia
que existe entre las magnitudes.
Si a los 11 años Raúl medía 135 cm, es razonable pensar que a los 15 años
haya crecido, pero ¿cuánto más? No es posible determinarlo.
Si una libra de malanga cuesta $60,00, cuatro libras, cuanto le costaría,
(el cuádruplo cuatro veces su precio) costará $240. La correspondencia en
este caso es más sencilla y calculas el precio a pagar multiplicando por cuatro
el precio de una libra.
Si un campesino deshierba un campo en diez días y dos campesinos
(el doble), lo hacen en cinco días (la mitad); ¿Cuántos campesinos se necesitan para desyerbarlo en un día (la décima parte)? La correspondencia
en esta ocasión también se puede calcular solo que, a diferencia del caso
anterior, lo hacemos dividiendo por diez la cantidad de días que demora
un solo campesino.
Atención
Dos magnitudes son proporcionales cuando multiplicando o dividiendo una
de estas por un número, la otra queda multiplicada o dividida (o viceversa)
por el mismo número.
Aplica tus conocimientos
En la figura 3.21 se muestra la cantidad de naranjas y su precio.
$0,50
$1,00
$1,50
?
$7,50
Fig. 3.21
¿Qué magnitudes se relacionan en la ilustración?
¿Cómo calcular los datos desconocidos en la ilustración?
Establece las razones entre los valores de la primera magnitud y sus valores
correspondientes de la segunda magnitud y compara los resultados.
255
MATEMÁTICA
Como ves, aquí aparecen relacionadas dos magnitudes: cantidad de
naranjas y precio.
Es evidente que existe una relación entre ambas magnitudes, que nos
permite completar los valores desconocidos:
Puedes observar que:
► Si una naranja cuesta $0,50 y dos naranjas cuestan $1,00, al aumentar en
el doble la cantidad de naranjas, el precio es el doble.
► Si una naranja cuesta $0,50 y tres naranjas cuestan $1,50, al aumentar en
el triplo la cantidad de naranjas, aumenta al triplo el precio.
Puedes calcular el precio de ocho naranjas, utilizando la correspondencia
de que para una naranja su precio es $0,50, por tanto, ocho naranjas sería
multiplicar 0,50 por ocho; entonces, cuestan $4,00 y para determinar cuántas naranjas cuestan $7,50 divides este precio por el precio de una naranja,
obteniendo 15 naranjas.
Recuerda que...
Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando:
► Aumenta una magnitud (doble, triple, …) y la otra aumenta de igual
manera (doble, triple, …).
► Disminuye una magnitud (mitad, tercio, …) y la otra disminuye de la
misma forma (mitad, tercio, …).
El factor de proporcionalidad directa es el cociente que se obtiene dividiendo
cualquier cantidad de la segunda magnitud entre la cantidad a la cual le
corresponde la primera.
Puedes apreciar que en todos los casos el precio de las naranjas se obtiene multiplicando la cantidad de naranjas por un mismo valor, 0,50; que
recibe el nombre de factor de proporcionalidad
Atención
De manera general esta correspondencia entre magnitudes se puede
expresar como y = k·x, donde k es el factor de proporcionalidad
directa.
256
CAPÍTULO 3
Las razones entre dos valores de la magnitud cantidad de naranjas y
sus valores correspondientes a sus precios son iguales, por tanto, forman
una proporción.
1 0,50
2
1
3 1,50
8
4
=
=
=
=
2
1
3 1,50
8
4
15 7,50
La proporcionalidad directa se aplica en la vida frecuentemente
para resolver problemas donde aparecen magnitudes que se relacionan entre sí, por ejemplo: los
Precio
porcentajes, las escalas y el
reparto proporcional.
40
Si representas esta corres30
pondencia en un sistema de
coordenadas, puedes comprobar
20
que los puntos que se obtienen al
15
representar cada par de valores correspondientes, están sobre una
0
1
2
3
4 Cantidad
de naranjas
misma recta (fig. 3.22).
Fig. 3.22
Ejemplo 1:
Una llave abierta completamente durante 5 min hace que el nivel del agua
de un tanque suba 20 cm. ¿Cuánto subirá el nivel del agua si se abre completamente la llave durante 15 min?
Solución:
Asignas la variable x al nivel del
agua en el tanque a los 15 min.
Puedes representar los datos del
problema en una tabla:
Tabla 3.11
Tiempo (minutos)
5
15
Nivel del agua (centímetros)
20
x
Como dos valores de una
magnitud y sus correspondientes
en la otra forman una proporción, puedes plantear la siguiente proporción:
5 20
=
x
15
Para calcular el término desconocido aplicas la propiedad fundamental de las proporciones
20 ⋅ 15
= 60 cm
5
Respuesta: Si se abre la llave completamente durante 15 min, el nivel
del agua subirá hasta los 60 cm.
x=
257
MATEMÁTICA
Recuerda que también puedes resolver el problema hallando el factor
20
de proporcionalidad, que es
= 4 y multiplicas 4 ⋅ 15 = 60.
5
Ejemplo 2:
La Torre Eiffel (fig. 3.23) símbolo de Francia, es
una estructura de hierro pudelado diseñada por
el ingeniero francés Gustave Eiffel.
En un museo se muestra una maqueta de Paris
donde aparece la Torre Eiffel. La maqueta fue
elaborada a escala 1 : 1 620, por lo que la altura
de la torre en la maqueta alcanza solo 20 cm.
¿Cuál es la altura real de la Torre Eiffel?
Fig. 3.23
Solución:
La escala 1 : 1 620 nos indica que por cada centímetro de la maqueta, en
la realidad son 1 620 cm.
Para hallar las medidas reales basta con multiplicar por 1 620 las medidas
que aparecen en la maqueta.
También se puede proceder al cálculo de la altura a partir de una proporción:
1 1620 aplicando la propiedad fundamental de las proporciones
=
h
20
20 1620
h
= 32 400 cm.
1
La respuesta es más adecuada si la expresas en metros por lo que debes
realizar la conversión de unidades de longitud.
Respuesta: La altura real de la Torre de Eiffel es 324 m.
Ejemplo 3:
El Programa de Agricultura Urbana, Suburbana y Familiar, permite a las familias cubanas sembrar en patios y parcelas productos alimenticios. Tres familias
invirtieron $700 en la compra de varias posturas de hortalizas. La primera
familia compró dos posturas de tomate, la segunda cinco y la tercera siete.
Solución:
Datos:
x: Cantidad de dinero invertido por la primera familia
y: Cantidad de dinero invertido por la segunda familia
z: Cantidad de dinero invertido por la tercera familia
258
CAPÍTULO 3
Como el reparto se hizo proporcional al total de dinero invertido, puedes
plantear la proporción siguiente:
x y z
= =
=k
2 5 7
Igualando cada razón a k por separado y despejando la variable obtienes:
x = 2k
y = 5k
z = 7k
Adicionando cada miembro, obtienes:
x = 2k
y = 5k
+ z = 7k
x + y + z = 14k
Como el total de dinero invertido es $70, entonces: x + y + z = 70.
Sustituyes en el miembro izquierdo de la última igualdad y obtienes:
700 = 14k, de donde k = 50.
Conociendo k, ya es posible calcular la cantidad de dinero invertido:
x = 2 · 50 = 100
y = 5 · 50 = 250
z = 7 · 50 = 350
Respuesta: La primera familia invirtió $100.00, la segunda, $250.00.
y la tercera, $350.00.
Reflexiona un instante
En la tabla 3.12 siguiente se muestra el tiempo, en minutos que demora en
llenarse un tanque (fig. 3.24) según la cantidad de llaves que se utilicen, las
cuales vierten igual cantidad de litros de agua por minuto.
Tabla 3.12
T
Cantidad de llaves
1
2
3
4
…
?
Tiempo en minutos
60
30
?
15
5
…
1
10
Calcula mentalmente los valores desconocidos.
¿Qué magnitudes se relacionan en la tabla?
Completa la tabla y deja escrito tus calculos.
Fig. 3.24
259
MATEMÁTICA
Establece las razones entre los valores de la primera magnitud y sus
valores correspondientes de la segunda magnitud y compara los resultados.
Si una llave llena el tanque en 60 minutos y dos llaves lo hacen en
30 minutos, al aumentar en el doble la cantidad de llaves, disminuye en el
doble el tiempo de llenado.
Si una llave llena el tanque en 60 minutos, al aumentar en el triplo la
cantidad de llaves, disminuye en el triplo el tiempo de llenado, por lo que
tres llaves lo harán en 20 minutos.
Mientras que, si el tiempo disminuye seis veces, la cantidad de llaves aumenta seis veces y el tanque se llenará en 10 minutos si se utilizan seis llaves.
Recuerda que...
Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando:
► Al aumentar una magnitud (en el doble, el triplo, …), la otra disminuye
de igual manera (doble, triplo, …).
► Disminuye una magnitud (mitad, tercio, …), la otra aumenta de la
misma forma (mitad, tercio, …).
En una proporcionalidad inversa la razón entre dos cantidades cualesquiera
de una magnitud y el recíproco de la razón de sus correspondientes en la
otra, forman una proporción.
En una proporcionalidad inversa, el factor de proporcionalidad se halla
multiplicando cualquier cantidad de la segunda magnitud por la
cantidad a la cual le corresponde la primera.
De la tabla puedes observar que:
1
1
1
60 = 1· 60; 30 = · 60; 20 = · 60; 15 = · 60
2
3
4
Puedes apreciar que en todos los casos el tiempo que demora en
llenarse el tanque se obtiene multiplicando por 60, los recíprocos de la
cantidad de llaves utilizadas, luego este valor, 60, es el factor de proporcionalidad inversa.
Atención
De manera general esta correspondencia entre magnitudes se puede expresar como y = k ⋅
260
1
, donde k es el factor de proporcionalidad inversa.
x
CAPÍTULO 3
Volvamos a la tabla ya completada:
Tabla 3.13
Cantidad de llaves
1
2
3
4
…
6
Tiempo en minutos
60
30
20
15
…
10
Calculamos las razones entre dos valores de una misma magnitud y los
recíprocos de su razón correspondiente para comparar los resultados:
1 30
2 20
3 15
4 10
=
=
=
=
2 60
3 30
4 20
6 15
Las razones en cada caso son iguales,
o sea, se forma una proporción.
En este ejemplo el factor de proporcionalidad es 60, pues el número por el cual
se multiplica cada recíproco de la cantidad de llaves para obtener el tiempo en
minutos que demora en llenarse el tanque.
También puedes representar gráficamente la relación entre magnitudes
inversamente proporcionales (fig. 3.25).
Tiempo
60
30
20
15
0
1
2
3
4 Cantidad
de llaves
Fig. 3.25
De la historia
Pitágoras (siglo VI a.n.e.) hizo famoso el monocordio,
instrumento que utilizó para identificar y definir los
intervalos musicales y en la enseñanza de la teoría
pitagórica de la relación entre los números y la música; entre otras cosas demostró que la frecuencia
del sonido es inversamente proporcional a la
longitud de la cuerda.
La primera referencia escrita sobre el monocordio
se atribuye a Boecio (siglo VI n.e.); según su relato:
Pitágoras, obsesionado por explicar matemáticaFig. 3.26
mente los intervalos, al pasar por una herrería quedó
sorprendido por el sonido rítmico del golpe de los martillos en el yunque.
Entró, observó y experimentó utilizando cinco martillos.
261
MATEMÁTICA
Comprobó que uno, que rompía la escala perfecta de sonidos, tenía un peso
sin relación numérica con el resto, por lo que lo eliminó.
Con los restantes, obtuvo las siguientes conclusiones: sus pesos estaban en
la proporción 12, 9, 8 y 6; el mayor (12), de peso doble del más pequeño
(6), producía un sonido (una octava) más bajo que el menor.
El peso de los otros dos martillos (9 y 8) correspondía a la media aritmética
y armónica respectivamente de los de peso (12 y 6), por lo que dedujo que
darían las otras notas fijas de la escala.
Ejemplo 4:
En las tablas de la 3.14 a la 3.16, identifica en cuáles se representa una
proporcionalidad inversa y calcula, de ser posible, los valores que faltan.
a) La tabla 3.14 muestra la correspondencia que se establece entre la longitud del largo y la longitud del ancho, en centímetros, de varios
rectángulos de 36 cm2 de área.
Tabla 3.14
Largo (cm)
1
2
Ancho(cm)
36
18
3
4
b) La tabla 3.15 muestra la correspondencia que se establece entre
los valores de las escalas de temperatura expresados en grados centígrados (ºC) y en grados Fahrenheit (ºF), conocimiento muy
importante y necesario para el ser humano que se determina por
F 32 C
la expresión:
9
5
Tabla 3.15
grados centígrados (ºC)
5
10
grados Fahrenheit (ºF)
41
50
15
68
c) La tabla 3.16 muestra la correspondencia que se establece entre la velocidad de un auto y el tiempo que demora en hacer su recorrido.
262
CAPÍTULO 3
Solución:
Tabla 3.16
Velocidad del auto (km/h)
15
Tiempo (horas)
6
60
2
90
1
a) Para comprobar si es una proporcionalidad inversa puedes proceder de
varias formas:
Primera vía:
Compruebas si los valores de una de las magnitudes se obtienen
multiplicando por un mismo número los recíprocos de los valores correspondientes de la otra.
1
36 = 1·36; 18 = ·36; se cumple, luego las magnitudes son inversamente
2
proporcionales y el factor de proporcionalidad inversa es 36.
Segunda vía:
Compruebas si los valores de la tabla forman una proporción, para esto
comparas la razón entre los valores de una magnitud (la longitud del
largo) y el recíproco de la razón de sus valores correspondientes en la
otra (la longitud del ancho):
1
Razón entre dos valores de la longitud del largo:
2
36
Razón entre dos valores de la longitud del ancho:
18
18
Recíproco de la razón entre dos valores de la longitud del ancho:
36
1 18
Comparación: =
, son iguales, luego las magnitudes son inver2 36
samente proporcionales.
Tercera vía:
Multiplicas cualquier valor de la segunda magnitud por su correspondiente en la primera y verificas si se obtiene el mismo resultado.
1 ⋅ 36 = 36 y 2 ⋅ 18 = 36; se obtiene el mismo resultado.
Hemos comprobado por tres vías diferentes que la correspondencia es
una proporcionalidad inversa y es posible hallar los valores que faltan
en la tabla.
1
Como el factor de proporcionalidad es 36, multiplicando 36 · = 12.
3
263
MATEMÁTICA
Respuesta:
Largo (cm)
1
2
3
9
Ancho(cm)
36
18
12
4
36
= 9.
4
b) Para comprobar si es una proporcionalidad inversa aplicas uno de los
procedimientos anteriores.
Multiplicas los valores de la segunda magnitud (escala grados
Fahrenheit (ºF)) por sus valores correspondientes de la primera (escala
grados centígrados (ºC) y verificas si se obtiene el mismo resultado.
41 ⋅ 5 = 205 y 50 ⋅ 10 = 500 (no se obtiene el mismo valor, por lo que
dicha correspondencia no es una proporcionalidad inversa)
El otro valor lo hallamos dividiendo
c) Compruebas si es una proporcionalidad inversa por una de las vías conocidas:
15 ⋅ 6 = 90 y 90 ⋅ 1 = 90
Se obtiene el mismo valor, por lo que esta correspondencia es una proporción y es posible hallar los valores que faltan en la tabla.
Como el factor de proporcionalidad es 90, para hallar la velocidad del
1
auto cuando han transcurrido 2 horas, multiplicamos 90 ⋅ = 45.y se
2
coloca en la tabla.
En el otro caso, dividimos 90 : 60 = 1,5 y se coloca en la tabla.
En la vida frecuentemente es necesario resolver problemas donde
aparecen magnitudes que se relacionan entre sí mediante una proporcionalidad inversa.
Ejemplo 5:
Para descargar un contenedor en
cuatro horas son necesarios seis
operarios.
a) ¿Cuántos operarios se necesitan
para descargarlo en dos horas?
b) ¿Y para descargarlo en 20 min?
Fig. 3.27
Solución:
a) Designas por x la cantidad de operarios que se necesitan para descargar
el contenedor en dos horas.
264
CAPÍTULO 3
Se puede confeccionar la siguiente tabla:
Tabla 3.17
Cantidad de operarios
6
x
Tiempo (hora)
4
2
El problema se puede resolver por varias vías:
Primera vía:
6 2
► Formas una proporción:
=
x 4
4 6
► Hallas el valor de x : x =
12
2
Segunda vía:
► Hallas el factor de proporcionalidad: multiplicas 4 ⋅ 6 = 24.
1
► Multiplicas el factor hallado por el recíproco del valor conocido: 24 12.
2
Tercera vía:
(Reducción a la unidad) – Buscas cuánto demora un operario: 1 operario
→ x horas
► 4 operarios → 6 horas
1 6
► Formas la proporción: =
4 x
► Resuelves: x = 24.
► Divides 24 por el tiempo necesario, dos horas y se obtiene 12 operarios.
Respuesta: Para descargar el contenedor en dos horas se necesitan 12 operarios.
b)
4 operarios
→
360 minutos
x operarios
→
20 minutos
Formas la proporción:
x 360
=
4
20
360 ⋅ 4
= 72.
Hallas el valor de x: x =
20
Respuesta: Se necesitan 72 operarios para descargar el contenedor
en 20 minutos.
265
MATEMÁTICA
Ejercicios
1.
Di cuáles de los pares de magnitudes siguientes son directamente
proporcionales:
a) La cantidad de entradas compradas para el cine y el dinero pagado
por estas.
b) La edad de una persona y su peso.
c) La distancia recorrida por un camión que viaja a 80 km/h y el tiempo
que tarda en recorrerla.
d) La talla de un pantalón y su precio.
e) El tiempo que permanece abierto una pila de agua y la cantidad
de agua que vierte.
f) El grosor de un libro y su precio.
g) La longitud de una circunferencia y la longitud de su radio.
h) El volumen del agua y su peso.
2.
De las correspondencias representadas en las tablas de la 3.18 a la
3.20, cuál de las correspondencias representadas en las tablas es una
proporcionalidad directa.
Tabla 3.18
3.
Tabla 3.19
a) x
2
7
8
y
3
10,5
12
b)
Tabla 3.20
x
2
10
15
y
5
4
35
c)
x
–3
4
-7
y
15
-20
35
Los datos representados en las tablas 3.21 a 3.23 corresponden a
magnitudes directamente proporcionales. Halla en cada caso el factor
de proporcionalidad y calcula los valores que faltan.
Tabla 3.21
Libras de tomate
1
Costo en peso
1,60
2
17,60
Tabla 3.22
Distancia recorrida por un auto (en km)
Litros de gasolina consumidos
266
50
100
8,5
120
CAPÍTULO 3
Tabla 3.23
Horas trabajadas
25
Salario que devenga en pesos
4.
126
120,5
450
Selecciona la respuesta correcta marcando con una X en cada caso.
4.1 Un cuerpo de cobre de 1dm3 de volumen tiene una masa de 8,9 kg.
Un objeto de cobre con una masa de 53,4 kg tiene un volumen de:
a) ___6,0 dm3
c) ___ 60 dm3
b) ___ 475,26 dm3
d) ___47526 dm3
4.2. Un ciclista recorre 54 km en 3 horas; si le faltan por recorrer
72 km, ¿cuántas horas en total se tardará si mantiene la misma
velocidad?
a) ___ 4 h
b)
___ 1,28 h
c) ___ 7 h
d) ___ 2 268 h
5.
Una máquina elabora 180 piezas en tres horas.
a) ¿Cuántas piezas elabora en 18 horas?
b) ¿Cuántas horas necesita para elaborar 9 000 piezas?
6.
El salario de un técnico es $1,25 por hora.
a) ¿Cuál es su salario por 40 horas de trabajo?
b) ¿Cuánto tiempo, en horas, ha trabajado si cobra $215,00?
7.
Un auto consume cuatro litros de gasolina por cada 55 km recorridos.
¿Qué distancia puede recorrer con 20 litros de gasolina?
8.
Si cuatro libros, que tienen igual precio, cuestan $20,00, ¿cuánto
costarán tres docenas de libros a ese mismo precio?
9.
Una torre de 25,05 m da una sombra de 33,40 m. ¿Cuál será, a la misma
hora, la sombra de una persona cuya estatura es 1,80 m?
10. Un auto recorre 206,85 km en 3,5 horas con una velocidad constante.
¿Qué distancia recorre en cinco horas?
11. Un medicamento tiene como dosis 2 mg por cada kilogramo de masa
del paciente. Si la doctora recetó a Luis 32 mg de dicho medicamento,
¿cuánto pesa Luis?
267
MATEMÁTICA
12. En una secundaria básica de los 40 estudiantes de un grupo, el 15%
pertenecen al Círculo de Interés Pedagógico. ¿Cuántos estudiantes
del aula pertenecen a dicho círculo?
13. En una CPA fueron sembradas 80 ha de boniato. Si ya han sido cosechadas 45 ha, ¿qué tanto por ciento del total de hectáreas falta por
cosechar?
14. Un estudiante ha resuelto ya 27 ejercicios de la guía de matemática,
lo que representa el 30% del total de ejercicios de la guía. ¿Cuántos
ejercicios tiene la guía?
15. En un mapa, cada centímetro medido representa 32 km en la realidad.
Se dice que el mapa está hecho a escala 1:32.
a) ¿A qué distancia se encuentran dos ciudades en realidad, si en el
mapa están a 120 cm una de la otra?
b) ¿A cuántos centímetros en el mapa se encuentran dos capitales
que en la realidad están a 464 km de distancia?
16. Descompón el número 78 en tres sumandos proporcionales a los números tres, cuatro y seis respectivamente.
17. Las longitudes de los lados de un triángulo son proporcionales a dos,
cuatro y cinco. Si su perímetro es 16,5 cm, ¿cuánto miden sus lados?
18. En tres campamentos fueron plantados 60 árboles de forma tal que
la cantidad de árboles sembrados en cada campamento es proporcional a tres, cuatro y cinco. ¿Cuántos árboles se sembraron en cada
campamento?
19. Confecciona una tabla en la que relaciones dos magnitudes directamente proporcionales con cinco columnas y en las que sea necesario
completarla con un valor de cada magnitud
20. Elabora tres problemas donde utilices magnitudes directamente proporcionales de las seleccionadas en el ejercicio uno de este epígrafe.
21. Cuáles de los pares siguientes de magnitudes son inversamente proporcionales:
a) La velocidad de un auto y el tiempo que tarda en recorrer la distancia entre dos ciudades.
268
CAPÍTULO 3
b) La edad de un atleta y la velocidad a la que corre.
c) El precio de las naranjas y los kilogramos que puedo comprar
con $120,00.
d) El número de personas que descargan un vagón y el tiempo que
demoran en hacerlo.
e) La cantidad de llaves que se utilizan para llenar un depósito de
agua y el tiempo que demoran en hacerlo.
f) El precio de un libro y la cantidad de páginas que tiene.
22. De las tablas 3.24 a la 3.30, di cuál(es) corresponde(n) a una proporcionalidad inversa.
Tabla 3.24
a)
Tabla 3.25
x
2
3
4
y
12
8
6
b)
Tabla 3.26
x
0,1
2,5
4
y
80
3,2
2
c)
x
-1
1
-0,5
y
0,5 -2
2
23. Los datos representados en las tablas 3.27 y 3.28 corresponden a magnitudes inversamente proporcionales. Halla en cada caso el factor de
proporcionalidad y calcula los valores que faltan.
Tabla 3.28
Tabla 3.27
25
Litros de agua que
recibe un tanque
por minuto
Tiempo necesario
para llenarse
20
50
Velocidad de
un auto
Tiempo de
demora
del viaje en
horas
60
9
90
1,5
24. Selecciona en cada caso la respuesta correcta marcando con una X.
24.1. Una escuela se reparó por diez hombres en seis días. Se necesita
pintarla en cuatro días laborando al mismo ritmo de trabajo, entonces la cantidad de hombres que se necesita para pintarla es:
a) ___ 2
b) ___ 8
c) ___ 12
d) ___ 15
24.2. Un niño recorre del brazo de su padre cierta distancia.
La tabla 3.29 muestra la longitud del paso de cada uno de
estos al caminar y la cantidad de pasos que dio el niño.
269
MATEMÁTICA
Tabla 3.29
Longitud del paso
Cantidad de pasos
Niño
20 cm
120
Padre
50 cm
El dato que faltó en la tabla es:
a) ___ 300
b) ___ 48
c) ___ 480
d) ___ 60
24.3. Una Brigada de nueve mecánicos puede realizar la reparación
de una planta en 45 horas. ¿En qué tiempo pueden realizar este
trabajo, al mismo ritmo, con seis mecánicos más?
a) ___ 27 h
b) ___ 75 h
c) ___ 67,5 h
d) ___ 30 h
25. Un albañil tarda cinco días en levantar una pared de 84 m². ¿Cuánto
tardarán dos albañiles trabajando al mismo ritmo que el primero?
26. Una brigada de diez albañiles levanta las paredes de una casa en
cuatro días de trabajo, ¿cuántos albañiles más se necesitarán para
1
levantarlas en 2 días, trabajando al mismo ritmo?
2
27. Un móvil tarda tres horas para ir de un pueblo a otro si viaja a 60 km/h.
¿Qué tiempo demorará en recorrer esa misma distancia si viaja a una
velocidad de 90 km/h?
28. Nueve hombres recogen un campo de piña en cinco días.
a) ¿Cuántos hombres más se necesitarán para recogerlo en un día,
trabajando al mismo ritmo?
b) ¿Cuántos hombres menos para recogerlo en 15 días?
29. Un tanque puede llenarse en 18 minutos por una llave que vierte
15 litros por minuto. ¿Cuánto tardará en llenarse por otra llave que
vierte diez litros por minuto?
30. Fui ayer al agromercado y compré, con los $ 60,00 que llevaba, diez
aguacates. Al cabo de una semana volví con el mismo dinero y solo
pude comprar seis, ya que el precio había subido. ¿En cuánto aumentó
el precio de una semana a otra de un aguacate?
270
CAPÍTULO 3
31. Confecciona una tabla en la que relaciones dos magnitudes inversamente proporcionales con cinco columnas y en las que sea necesario
completarla con un valor de cada magnitud
32. Elabora tres problemas donde utilices magnitudes inversamente proporcionales de las seleccionadas en el “ejercicio 1” de este epígrafe.
3.4.3. Sistema de coordenadas cartesiano
Reflexiona un instante
Un arqueólogo se dispone a salir del campamento hacia la cueva que va a explorar.
Dispone de un mapa que muestra la ubicación de la cueva y necesita saber a cuántos
kilómetros se encuentra para llevar suficientes provisiones. ¿Cómo saber la distancia del
campamento a la cueva (fig. 3.28)?
Fig. 3.28
La necesidad de orientarse condujo a los seres humanos, desde la antigüedad más lejana, a confeccionar mapas o cartas geográficas y a relacionar
los puntos de una superficie mediante números.
Para elaborar una gráfica nuestra primera necesidad es contar con
un sistema de referencia que nos permita orientarnos en el espacio. Esta
condición no es de reciente data y enfrentarnos a esta nos condujo, como
especie, a confeccionar desde tiempos muy remotos múltiples sistemas de
referencia.
De la historia
Históricamente uno de los sistemas de referencia que con mayor frecuencia
empleamos es el sistema cartesiano, de Cartesius, nombre latinizado de René
Descartes, matemático francés y filósofo del siglo xvii al que se le atribuye
su invención, a pesar de que la idea de este sistema fue desarrollada en
1637 de forma paralela e independiente en dos escritos diferentes, uno
perteneciente a Descartes y otro atribuido a Pierre de Fermat.
271
MATEMÁTICA
Un amplio número de las gráficas que hoy en día podemos crear son
construidas sobre un sistema de coordenadas cartesianas, en una, dos o
tres dimensiones.
Reflexiona un instante
En grados anteriores aprendiste a asignarle coordenadas a puntos de un
plano, donde los valores de las coordenadas pertenecían al conjunto de los
números fraccionarios.
¿Será posible que los valores de las coordenadas pertenezcan al conjunto
de los números reales; podrán ser estos valores números negativos?
Ejemplo1:
En el sistema de coordenadas de la figura 3.29a
aparecen representados dos puntos:
a) Determina las coordenadas de los puntos A y B.
b) Representa los puntos de coordenadas M(2;4),
N(7;1,5), P(– 2;– 5)
A
B
Solución:
a) Para determinar las coordenadas de un punFig. 3.29a
to del plano debes proceder de la forma
siguiente:
1.
Trazas una perpendicular desde
el punto A hasta el eje x, de esta forma
obtienes el valor de la primera coordenada del punto, el valor es uno.
2.
Trazas una perpendicular desA
de el punto A hasta el eje y, de esta
forma obtienes el valor de la segunB
da coordenada del punto, el valor es
Fig. 3.29b
cinco (fig. 3.29b).
3.
Escribes las coordenadas del
punto A(1;5).
Análogamente por el punto B trazas perpendiculares a los ejes,
como se muestra en la figura, y obtienes las coordenadas del punto
B(3;3).
272
CAPÍTULO 3
b) Para representar el punto M(2;4) procedes
de la forma siguiente:
1. Trazas una perpendicular, con líneas
discontinuas, al eje x por el valor dos
(primera coordenada del punto).
2. Trazas una perpendicular, con líneas discontinuas, al eje y por el valor cuatro
(segunda coordenada del punto).
3. Denota por M al punto donde se intersecan las perpendicular trazadas
De forma análoga (fig. 3.30) procedes
con el punto de coordenadas N(7;1,5).
M(2;4)
N(7;1,5)
Fig. 3.30
¿Cómo procedes para representar el punto P (– 2;– 5)? Los valores de las
coordenadas de este punto son números negativos, por tanto, es necesario
ampliar los ejes coordenados y trazar rectas numéricas como aprendiste
para representar los números racionales.
Atención
Las dos rectas numéricas perpendiculares entre sí,
reciben el nombre de ejes cartesianos (fig. 3.31).
La recta numérica horizontal se llama eje de las
“x” o eje de las abscisas y suele representarse con
la letra x a la derecha.
La recta numérica vertical se llama eje de las “y”
o eje de las ordenadas y suele representarse con
la letra y en la parte superior.
Fig. 3.31
El punto de coordenadas (0;0), donde se cortan
ambas rectas se llama origen de los ejes de coordenadas.
Para representar el punto P (– 2; – 5) se
amplían los ejes de coordenadas como se
muestra en la figura 3.32, colocando a la izquierda en el eje x y hacia abajo en el eje y
del punto origen del sistema de coordenadas,
los números negativos y luego se procede de
manera análoga para ubicar los valores de
Y
5
4
3
2
1
1234 5 6 X
-5 -4 -3 -2-1 0
-1
-2
-3
-4
-5
P(-2;-5)
Fig. 3.32
273
MATEMÁTICA
cada coordenada del punto P y donde se interceptan las perpendiculares
que se deben trazar, se denota el punto.
Atención
El sistema de coordenadas queda dividido en cuatro cuadrantes y cada
eje en dos mitades (semiejes), con una parte donde aparecen los números
positivos (semieje positivo) y otra donde aparecen los números negativos
(semieje negativo).
Las coordenadas de los puntos en cada cuadrante tendrán los signos:
► I cuadrante: (+;+)
► II cuadrante: (–;+)
► III cuadrante: (–;–)
► IV cuadrante: (+;–)
Ejemplo 2:
En el sistema de coordenadas de la figura 3.33:
a) Representa los puntos de coordenadas
A(–1;4); B(– 3;– 1,5); C(5;– 2);
D(0;– 1) y E(5;0).
b) Determina las coordenadas de los
puntos T, Q, R y S.
Solución:
y
5
4
3 S
T 2
R 1
-5 -4 -3 -2-1-1 0 1 2 3 4 5 6 x
-2
-3
Q
-4
-5
Fig. 3.33
a) Para representar estos puntos se procede análogamente al procedimiento del ejemplo uno, solo debes observar detenidamente el signo
del valor de cada coordenada para trazar la perpendicular a cada eje.
En el caso de los puntos D y E, que
tiene una coordenada igual a cero,
quedan representados sobre el eje
cuya coordenada es distinta de cero.
Esto se debe a que una de las rectas
perpendiculares trazadas, la que se
traza por cero, coincidirá siempre
con uno de los ejes de coordenadas.
Observa (fig. 3.34) que:
Fig. 3.34
274
CAPÍTULO 3
► Los puntos A, B y C quedan representados sobre uno de los cuadran-
tes, A en el segundo; B en el tercero y C en el cuarto. Esto se debe a
que las coordenadas de cada uno de estos puntos son diferentes de
cero.
► Los puntos D y E quedan representados sobre los ejes. Esto se debe
a que una de las coordenadas de dichos puntos tiene valor cero.
► El punto A se encuentra a cuatro unidades del eje “x“ y a 1 unidad
del eje “y“; ya que al determinar el punto A de coordenadas (– 1;4) se
forma un rectángulo de lados 4 u y 1u. De manera análoga, el punto
B se encuentra a 1,5 u del eje “x“ y a 3u del eje “y“.
► Los puntos C y E tiene igual abscisa, por lo que quedan situados sobre
la recta vertical que pasa por x = 5.
b) Para determinar las coordenadas
de los puntos T y Q, utilizas el mismo proceder, trazas desde el punto
perpendiculares a los ejes como se
muestra en la figura 3.35 y obtienes las coordenadas de los puntos:
T (– 3; 2) y Q (3; – 2).
Los puntos R y S, que se encuentran
situados sobre los ejes de coordenadas, tendrán una coordenada
igual a cero y la otra toma el valor
del número donde queda situado
sobre ese eje.
Fig. 3.35
Atención
Los puntos de la forma P1(x
((x;0)
xx;0)
;0) están situados sobre el eje “
“x”,
x”, mientras que los
yy), están situados sobre el eje “
“y”.
y”.
puntos de la forma P2(0;y),
Los valores absolutos de las coordenadas de un punto representan las
distancias de este a los ejes de coordenadas.
Los puntos de igual abscisa (ordenada) están situados en una recta vertical o paralela al eje “y” (horizontal o paralela al eje “x”) y recíprocamente
todos los puntos de igual abscisa (ordenada) están contenidos en una recta
vertical o perpendicular al eje “x” (horizontal o perpendicular al eje “y”).
275
MATEMÁTICA
Ejemplo 3:
En el sistema de coordenadas
(fig. 3.36) aparecen representados
los puntos A y C, que son dos de los
vértices de un triángulo ABC.
Y
3
2
1
A
a) Representa el vértice B(6;0) y
traza el triángulo ABC.
b) Si conoces que CD es la mediana
relativa al lado AB, halla las coordenadas del punto D.
c) Calcula el área del ∆ABC.
-3
0
-1
-2 -1
1
2
3
4
5
6
5
6
X
-2
Fig. 3.36
Solución:
a) El vértice B tiene
coordenadas (x;0) y conoces que los puntos
que tienen esta forma
están situados sobre el
eje de x, luego el vértice B queda situado
sobre el 6 en dicho eje
(fig. 3.37).
Unes los puntos A, B y C
y tenemos el triángulo.
C
4
y
4
3
2
1
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x
-1
-2
Fig. 3.37
b) Las coordenadas del punto D son (2;0).
Como sabes la mediana relativa a un lado del triángulo es el segmento cuyos extremos son el vértice opuesto a este lado y el punto
medio del lado, por lo que D debe estar situado en el punto medio
entre los vértices A y B. El valor numérico en el eje de las abscisas
que está a la misma distancia de las coordenadas del punto A(– 2;0)
y de B(6;0) es el valor dos, por lo que la abscisa del punto D es dos.
Como los vértices A y B tienen ordenada igual a cero, porque se encuentran situados sobre el eje “x” y D es un punto que pertenece a
AB, también su ordenada es cero.
276
CAPÍTULO 3
b⋅h
para calcular el área del triángulo ABC,
2
la base es el segmento AB y su altura relativa es el segmento de perpendicular trazado desde C al lado AB (fig. 3.37).
La longitud del lado AB se calcula determinando la suma de los valores
absolutos de las abscisas de A y B que representan las distancias de estos
puntos al eje “y”, por tanto, si la distancia de A al eje “y” es 2 u y la de
B es de 6 u, la longitud de AB es de 8 u.
Para calcular la longitud de la altura (segmento perpendicular a la base)
relativa a la base AB, como la base está contenida sobre el eje “x” entonces la distancia de C a la base AB coincide con el valor absoluto de
la ordenada del vértice C, o sea 4 u.
8⋅4
= 16 u2.
El área del triángulo es A =
2
c) Aplicando la ecuación A =
Ejercicios
1.
Representa en un sistema de coordenadas rectangulares los puntos
cuyas coordenadas son:
a) (1;3)
b) (5;2,5)
c) (0,5;8)
d) (7;0)
1 5
f) ;
g) (0;0)
h) (0;3)
e) 9 ;0
2
4 2
4
i) 0;
j) (– 2;3)
k) (– 4,2;5,3)
l) 2 ; 0
5
8
o) (6; – 5)
m) (– 2; – 5)
n) (– 1,3; – 5,5)
ñ) 0;
3
1
2 3
r) ; .
p) (3,3; –3,3)
q) 7,4;
5
7 5
2.
Determina las coordenadas de los
puntos A, B, C, D, E, F y G que aparecen representados en la figura 3.38:
Fig. 3.38
277
MATEMÁTICA
3.
Determina las coordenadas
de los vértices de los polígonos representados en la
figura 3.39:
a) Clasifícalos y calcula su
área.
4.
Determina, sin representarlos,
en qué cuadrantes se encuentran ubicados los puntos
siguientes:
a) A(– 2 ; 5)
b) B(2,5 ; – 2)
c) C(– 1,2 ; – 3)
1 3
d) D
;
2 2
1 5
f) F 2 ;
3 4
5.
7
e) E ; 6
8
Fig. 3.39
Traza en un sistema de coordenadas los segmentos que tienen como
extremos los puntos:
a) A(2;5) y B(– 2; – 4) b)
C(0;0)
y D(3; – 3)
c) E(– 4;1) y F(– 1;5)
d)
y H(6;0)
G(0;3)
6.
Traza en un sistema de coordenadas rectangulares un segmento:
a) AB que tenga 4 u de longitud y sea paralelo al eje “x“.
b) CD que tenga 2,5 u de longitud y sea paralelo al eje “y“.
c) MN que tenga 1 u de longitud y esté contenido en el eje “x“.
d) PQ que tenga 1,2 u de longitud y esté contenido en el eje “y“.
6.1. Escribe en cada caso las coordenadas de los segmentos que trazaste.
7.
En el sistema de coordenadas siguiente aparecen
representados los segmentos MN, paralelo al eje “x”
y NP, donde P es un punto
del eje “x” (fig. 3.40).
a) Determina las coordenadas de un punto
Q, para que el cuadrilátero MNPQ sea un
paralelogramo.
278
y
4
3
2
1
-3 -2 -1 0
-1
1
2
3
Fig. 3.40
4
5
6
x
CAPÍTULO 3
b) Ubica el punto Q en la figura y completa el paralelogramo.
c) Calcula el área del paralelogramo.
8.
Representa en un sistema de coordenadas el triángulo cuyos vértices
son: A(– 3; – 2); B(1;4) y C(– 5;0). Determina qué tipo de triángulo es
atendiendo a la longitud de sus lados.
9.
Comprueba gráficamente que los puntos cuyas coordenadas son
(5; – 3); (4; – 10); (– 3; – y (– 2; – están situados en una circunferencia
con centro en el punto M(1; – 6).
10. Representa en un plano coordenado los puntos cuyas coordenadas
se indican.
a) P(2;3) y P’ simétrico de P respecto al eje de las ordenadas.
b) R(5; – 2) y R’ simétrico de R respecto al eje de las abscisas.
c) M(– 4; – 1) y M’ simétrico de M respecto al origen de coordenadas.
11. Traza las rectas que pasan por los puntos:
a) A(2;0) y B(0;4)
b) M(– 3;0) y N(0;4)
c) P(– 2;0) y B(0; – 4,5)
11.1 Determina, en cada caso, cuántos puntos de coordenadas enteras
se encuentran en el interior del triángulo limitado por la recta
trazada y los ejes de coordenadas.
3.4.4 Concepto de función
Reflexiona un instante
En la vida cotidiana, y en los distintos campos de la ciencia, se presentan
situaciones en las que se relacionan o se hacen corresponder cantidades de
magnitudes que reflejan las interacciones de los fenómenos que ocurren
en el universo, tales como: a cada estudiante de un grupo le corresponde
un número de lista, a cada madre le corresponde un número determinado
de hijos; a cada número real le corresponde su duplo, a cada persona le
corresponde un número de carné de identidad y una fecha de nacimiento,
el costo de un envío postal varía según el peso de la carta, el costo de un
estacionamiento depende del tiempo que está estacionado el vehículo, el
aumento de la masa corporal de un animal depende del tipo de alimento
que consuma, el número de personas que contraen una enfermedad contagiosa depende del tiempo transcurrido desde que se detectó esta, etcétera.
279
MATEMÁTICA
En el campo de las ciencias, uno de los aspectos más importante de estas
es el establecimiento de las correspondencias que existen entre los fenómenos
que ocurren en el universo; por ejemplo, los relacionados con crecimientos
demográficos, con aspectos económicos, como la inflación o la evolución
de los valores bursátiles, con todo tipo de fenómenos físicos, químicos o
naturales, como la variación de la presión atmosférica, la velocidad y la aceleración, la gravitación universal, las leyes del movimiento, la desintegración
de sustancias radiactivas o la reproducción de especies vegetales y animales.
En las situaciones antes mencionados existe una relación o correspondencia entre dos conjuntos cuyos elementos pueden ser números u objetos
del mundo que nos rodea.
Reflexiona un instante
En las correspondencias siguientes:
a) Determina:
► La cantidad de conjuntos que se relacionan
► La ley o regla por la que se establece la relación entre sus elementos.
► La cantidad de elementos del conjunto de partida
► La cantidad de elementos del conjunto de llegada
► La cantidad de elementos del conjunto de llegada con los que se relaciona
cada elemento del conjunto de partida.
b) Analiza los resultados anteriores teniendo en cuenta sus semejanzas y
diferencias.
1) La correspondencia que a cada madre le hacen corresponder sus hijos.
Como la cantidad de elementos del conjunto madres y la del conjunto
hijos son infinitos, hacemos un diagrama solo con algunos elementos
que nos muestre el comportamiento de esta relación (fig. 3.41).
Fig. 3.41
280
CAPÍTULO 3
Esta correspondencia que se expresa literalmente, relaciona dos conjuntos:
Conjunto de partida: El conjunto de todas las madres.
Conjunto de llegada: El conjunto de todos los hijos.
Regla o Ley: A cada madre se le hace corresponder sus hijos.
Relación entre los elementos: Una madre puede tener uno o varios hijos,
luego, cada elemento del conjunto de partida se relaciona con uno o
más elementos del conjunto de llegada.
2) La correspondencia que a cada hijo le hace corresponder su madre.
En este caso la cantidad de elementos de cada conjunto es amplia,
hacemos un diagrama solo con algunos elementos que nos muestre el
comportamiento de esta relación (fig. 3.42).
Fig. 3.42
La correspondencia se expresa literalmente y relaciona dos conjuntos:
Conjunto de partida: El conjunto de todos los hijos
Conjunto de llegada: El conjunto de todas las madres
Regla o Ley: A cada hijo se le asocia su madre.
Relación entre los elementos: Un hijo tiene una madre, luego, cada
elemento del conjunto de partida se relaciona con un único elemento
del conjunto de llegada.
3) La correspondencia de ℝ en ℝ en la que a cada número real se le asocia
su duplo.
La cantidad de elementos de cada conjunto es infinita porque se correspon
den con el conjunto de los números reales.
Se relacionan dos conjuntos:
Conjunto de partida: El conjunto de los números reales.
Conjunto de llegada: El conjunto de los números reales.
Regla o Ley: Cada número real se multiplica por dos.
Relación entre los elementos: Todo número real tiene duplo y es único,
luego en esta correspondencia cada elemento del conjunto de parti-
281
MATEMÁTICA
da se relaciona con un único
elemento del conjunto de
llegada.
Sodio
O
Oxígeno
Na
4) La correspondeica que a
Nitrógeno
N
cada elemento del conjunto
Cobre
Cu
A = {sodio, oxígeno, nitrógeno, cobre} asocia su símbolo
Fig. 3.43
químico en B = {O, Na, N, Cu}
(fig. 3.43).
La cantidad de elementos de cada conjunto es finito, pues existen cuatro
elementos en cada conjunto.
Conjunto de partida: El conjunto de elementos químicos.
Conjunto de llegada: El conjunto formado por sus símbolos.
Regla o Ley: A cada elemento se le asocia su símbolo químico.
Relación entre los elementos: A cada elemento químico corresponde
un único símbolo, luego en este caso, cada elemento del conjunto de
partida se relaciona con un único elemento del conjunto de llegada.
5) La correspondencia que a cada elemento del conjunto
A = {Mario Benedetti, Juan Ramón Jiménez, Nicolás Guillén}
asocia su obra literaria en el conjunto
B = {¡Oh triste coche viejo! , “Esa boca”, “El piano”. “Platero y yo”,
“Nieve”, “Presidio modelo”}.
Platero y yo
“Mario Benedetti”
“El Piano”
Presidio Modelo
“Juan R. Jiménez”
Esa boca
“¡Oh triste coche viejo!”
“Nicolás Guillén”
“Nieve”
Fig. 3.44
282
CAPÍTULO 3
Realizamos un diagrama (fig. 3.44) con dos columnas A y B y realizamos
el enlace.
En este ejemplo el conjunto A está formado por tres elementos, o sea, es
un conjunto finito, al igual que el conjunto B, formado por seis elementos.
La correspondencia se expresa mediante dos columnas que relacionan
dos conjuntos:
Conjunto de partida: El conjunto formado por los autores.
Conjunto de llegada: El conjunto formado por sus obras.
Regla o Ley: A cada autor se le asocia su obra.
Relación entre los elementos: Cada elemento del conjunto de partida
se relaciona con uno o dos elementos del conjunto de llegada.
6)
Tabla 3.30
Tiempo (s)
0
1
2
3
4
Cantidad de bacterias (m)
1
2
4
8
16
Las bacterias se reproducen por bi0
1
partición. Al colocar una bacteria
1
2
en un recipiente y observar este
proceso durante cuatro minutos,
2
4
se pudo confeccionar la tabla 3.30
3
8
siguiente:
4
16
La correspondencia de la tabla la
expresamos mediante el diagraFig. 3.45
ma siguiente (fig. 3.45):
Observa que se relacionan elementos de dos conjuntos:
Conjunto de partida: El conjunto formado por los valores del tiempo
transcurrido.
Conjunto de llegada: El conjunto formado por la cantidad de bacterias.
Regla o Ley: A cada valor de tiempo se le hace corresponder la cantidad
de bacterias en el recipiente.
Relación entre los elementos: Cada minuto que transcurre, en el recipiente aparece una cantidad de bacterias, luego a cada elemento del
conjunto de partida (tiempo) se le asocia un único elemento del conjunto de llegada (cantidad de bacterias).
283
MATEMÁTICA
7) La gráfica de la figura 3.46 muestra la distancia recorrida por un auto que
se mueve con movimiento rectilíneo uniforme (MRU), en metros, en función
d(m)
del tiempo transcurrido, en segundos.
La correspondencia se expresa mediante una
gráfica en la que aparecen relacionadas dos 1
magnitudes, tiempo y distancia recorrida. 0,5
Conjunto de partida: El conjunto formado 0,25
por el tiempo transcurrido (t).
0
2 t(s)
0,5
1
Conjunto de llegada: El conjunto formado
por la distancia recorrida (d).
Fig. 3.46
Regla o Ley: A cada segundo transcurrido se le
hace corresponder la cantidad de metros recorridos por el auto.
Relación entre los elementos: Cada elemento del conjunto de partida se
relaciona con un único elemento del conjunto de llegada, porque a cada
valor del tiempo le corresponden un único valor de distancia recorrida.
En las correspondencias anteriores se puede encontrar las semejanzas
y diferencias siguientes:
Semejanzas:
En todas:
► se relacionan dos conjuntos, el de partida y el de llegada
► existe una regla o ley que relaciona los elementos del conjunto de partida
con los elementos del conjunto de llegada.
Diferencias:
► En todas las correspondencias los elementos del conjunto de partida no se
relacionan con la misma cantidad de elementos del conjunto de llegada.
► En la segunda, tercera, cuarta, sexta y séptima los elementos del conjunto
de partida se relacionan con un único elemento del conjunto de llegada.
► En la primera y la quinta los elementos del conjunto de partida se relacionan con uno o más elementos del conjunto de llegada.
Definición de función
Una función es una correspondencia en la que a cada elemento de un conjunto de partida se le asocia un único elemento del conjunto de llegada.
De acuerdo a esta definición puedes concluir que las correspondencias
dos, tres, cuatro, seis y siete son funciones.
284
CAPÍTULO 3
El conjunto de partida se denomina dominio de la función y a sus elementos se les llaman argumentos o preimágenes, los cuales se denotan
generalmente utilizando la variable x (fig. 3.47).
x
Ley
y
Dominio
Conjunto imagen
x: argumentos o
preimágenes
y: imágenes
Fig. 3.47
A los elementos del conjunto de llegada que se corresponden con algún
elemento del conjunto de partida se les llaman imágenes, y el conjunto de
estos se denomina conjunto imagen de la función. Las imágenes suelen
denotarse por la variable y.
Ejemplo 1:
Determina el dominio y el conjunto imagen de las correspondencias identificadas anteriormente:
2) La correspondencia que a cada hijo le hace corresponder su madre.
3) La correspondencia de R en R que a cada número real le asocia su duplo.
4) La correspondencia que a cada elemento del conjunto A = {sodio, oxígeno, nitrógeno, cobre} asocia su símbolo químico en B = {O, Na, N, Cu}.
6) Las bacterias se reproducen por bipartición. Al colocar una bacteria en
un recipiente y observar este proceso durante cuatro minutos, se pudo
confeccionar la tabla siguiente:
Tabla 3.31
Tiempo (minutos)
0
1
2
3
4
Cantidad de bacterias
1
2
4
8
16
285
MATEMÁTICA
Solución:
Para el caso dos, el dominio es: el conjunto formado por todos los hijos y el
conjunto imagen es el conjunto formado por todas las madres.
Para el caso tres, tanto el dominio como el conjunto imagen es el conjunto
de los números reales.
Para el caso cuatro, el dominio es: el conjunto formado por los elementos
químicos del conjunto A y el conjunto imagen es el conjunto formado por
todos los símbolos químicos que se corresponden con cada elemento químico del conjunto A.
Para el caso seis, el dominio es: el conjunto formado por los minutos en que
las bacterias estuvieron en el recipiente y el conjunto imagen es el conjunto
formado por la cantidad de bacterias que se reproducen en cada uno de
los cuatro minutos que se observó el proceso.
De la historia
Las funciones son de mucho valor y utilidad para resolver problemas de la
vida diaria, problemas de finanzas, de economía, de estadística, de ingeniería, de medicina, de química y física, de astronomía, de geología, y de
cualquier área social donde haya que relacionar variables. Cuando se va al
mercado o a cualquier centro comercial, siempre se relaciona un conjunto
de determinados objetos o productos alimenticios, con el costo en pesos
para así saber cuánto podemos comprar; si lo llevamos al plano, podemos
escribir esta correspondencia en una ecuación de función “x” como el precio
y la cantidad de producto como “y”.
El concepto de función o simplemente función, es sin duda, el más importante y utilizado en Matemática y en las demás ramas de la Ciencia.
Este concepto está implícito en las matemáticas de las primeras civilizaciones
y ello puede inferirse del estudio de las tablillas de barro babilónicas de la
colección Plimpton, que datan del año 1 900 a.n.e.
No fue fácil llegar a él y muchas mentes muy brillantes han dedicado enormes esfuerzos durante
siglos para que tuviera una definición consistente
y precisa.
Desde los tiempos de Galileo, que fue uno de los
primeros en usarlo (aunque no en la forma que
nosotros lo conocemos actualmente), pasando por
el gran Newton y Leibniz (fig. 3.48), que fue el primero que en 1 673 usó la palabra “función” para
286
Fig. 3.48
CAPÍTULO 3
referirse a la relación de dependencia de dos variables o cantidades, Euler,
que le dio su formulación moderna y = f(x)
f(x
f(
(xx)) en su obra Commentarii de San
Petersburgo en 1 736, Cauchy, Dirichlet o Gauss, las mejores mentes de la
Historia de la Humanidad le dedicaron su atención y sus desvelos.
Ejemplo 2
Analiza cuáles de las correspondencias siguientes son funciones y cuáles
no. Fundamenta tu respuesta. En el caso de ser función señala el dominio
y la imagen.
a) A cada elemento del conjunto P = {España, Venezuela, Bolivia, Rusia, China,
Portugal} asocia su capital C = {Caracas, Moscú, Beijing, Tokio, La Paz, Lisboa,
Madrid, Quito}.
b) La correspondencia definida de n en n que a cada número natural asocia
su antecesor.
c) La que a cada personalidad del conjunto P = {Fidel Castro, José Martí, Antonio
Maceo, Frank País, José A. Echevarría} asocia el hecho histórico en que participó en H = {Protesta de Baraguá, Asalto al Cuartel Moncada, Alzamiento
en Santiago de Cuba, Triunfo de la Revolución, Alegato La Historia me
Absolverá, Asalto al Palacio Presidencial, Fundación del PRC}.
d) La definida de ℝ en ℝ, que a cada número real asocia su valor absoluto.
Solución:
a) La correspondencia es una función, pues cada país le corresponde una
única capital. Para el análisis se puede realizar un diagrama con dos
columnas (fig. 3.49).
Caracas
España
Moscú
Venezuela
Beijing
Bolivia
Tokio
Rusia
La paz
China
Lisboa
Portugal
Madrid
Fig. 3.49
287
MATEMÁTICA
Atención
Todos los elementos del conjunto de llegada no es necesario que estén
relacionados con algún elemento del conjunto de partida. Este elemento
no formará parte del conjunto imagen de la función.
El dominio de esta función es el conjunto formado por los países del
conjunto de partida P y la imagen el conjunto formado por sus capitales, exceptuando a Tokio.
A
n n – 1
B
b) La correspondencia definida n en n que a
0
0
cada número natural asocia su antecesor.
1
1
Como el conjunto de los números naturales
2
3
2
es infinito, confeccionamos el diagrama,
4
3
solo para algunos elementos (fig. 3.50).
Esta correspondencia no es una función,
Fig. 3.50
porque se establece de N a N y el antecesor
de cero es –1, que no es un número natural; por lo que no aparece en el
conjunto de llegada.
Si la correspondencia se estableciera de z en z ¿sería una función?
c) La correspondencia que a cada personalidad del conjunto P = {Fidel Castro,
José Martí, Antonio Maceo, Frank País, José A. Echevarría} asocia el hecho
histórico en que participó en H = {Protesta de Baraguá, Asalto al Cuartel Moncada, Alzamiento en
Protesta de Baragúa
Santiago de Cuba, Triunfo Fidel
Asalto al Cuartel Moncada
de la Revolución, Alegato La
Martí
Historia me Absolverá, Asalto
Alzamiento en Santiago
al Palacio Presidencial, Funda- Maceo
Triunfo de la Revolución
ción del PRC}.
Frank
Observa el diagrama siguiente
La Historia me absolverá
José
con el enlace de los elementos
Asalto al Palacio
de cada columna (fig. 3.51).
Esta correspondencia no es
Fundación del PRC
función, porque hay elemenFig. 3.51
tos del conjunto de partida
(Fidel esta relacionado con tres hechos )que le corresponden más de un
elemento del conjunto de llegada, por lo queno satisface una de las
características del concepto de función.
288
CAPÍTULO 3
d) La correspondencia definida
de ℝ en ℝ, que a cada número
real asocia su valor absoluto.
Como el conjunto de los
números reales es infinito,
confeccionemos un diagrama para algunos elementos
(fig. 3.52).
0
0
1
1
-1
2
2
0,5
-0,5
Fig. 3.52
Esta correspondencia es una función, porque a cada número real le
corresponde un único valor absoluto o módulo.
Observa que a 1 y a – 1 le corresponde un único elemento en el conjunto B,
aunque es el mismo para ambos.
En este caso el dominio y la imagen de la función es el conjunto de los
números reales.
Las funciones cuyo dominio e imagen son conjuntos numéricos, se les
llama funciones numéricas.
Para denotar las funciones se utilizan
x
letras minúsculas: f, g, h, p, etcétera. Para
indicar que entre dos conjuntos se estableció una función escribes f : A → B y lees:
f es una función de A en B. Para denotar
el elemento y del conjunto imagen que
le corresponde al elemento x del dominio
f(x)
por la función f, escribes y = f(x) y lees
“efe de equis”.
Fig. 3.53
Podemos imaginar que una función
es como una máquina que toma una alimentación (entrada) x y la trasforma o
4
convierte en alguna de salida f(x), como
se muestra en la figura 3.53.
Por ejemplo, la máquina siguiente
x-3
)=2
x
(
f
convierte el número cuatro de entrada
en el número cinco de salida a partir de
la función que a cada número real asocia
5
su duplo disminuido en tres (fig. 3.54).
Fig. 3.54
289
MATEMÁTICA
Es posible expresar formalmente la relación existente entre los elementos
de los conjuntos A y B, al representar la función por una ecuación cuando se
realiza la traducción del lenguaje común al lenguaje algebraico.
En la correspondencia representada anteriormente, que a cada número
real se le asocia su duplo, la función puede expresarse por las ecuaciones:
y = 2x o f(x) = 2x
Precisamente estas dos últimas relaciones te muestran otra de las formas
de representar las funciones numéricas, las ecuaciones.
Esta notación es útil para calcular la imagen de cualquier valor del dominio.
Ejemplo 3:
Calcula la imagen de x = 2 por la función f(x) = 2x:
Solución:
Sustituye en la ecuación el valor de x y calcula el valor numérico de su
imagen:
f(x) = 2x
f(2) = 2(2) = 4
f(2) = 4 (que se lee “f de dos es igual a cuatro”)
También esta notación nos permite realizar el procedimiento inverso,
calcular el argumento o preimagen de un valor del dominio conocida la
imagen que le corresponde.
Ejemplo 4:
2
Calcula el valor del dominio (argumento o preimagen) cuya imagen es
3
por la función f(x) = 2x.
Solución:
Sustituye en la ecuación el valor de y (imagen) y calcula el valor numérico
del dominio:
f(x) = 2x
2
= 2x
3
2
x : 2
3
1
x=
3
2 1
f
3 3
290
CAPÍTULO 3
Ejemplo 5:
Dada la función f representada por la ecuación f(x) = 2x – 1, con x ∈ ℝ:
a) Calcula el valor de la imagen para cada una de las preimagenes siguientes: 2,4 y – 5.
b) Determina el valor de la preimagen o argumento para cada una de las
imágenes siguientes: – 2,2 ; 0.
Solución:
a) Para x = 2,4
f(x) = 2x – 1
f(2,4) = 2(2,4) – 1
= 4,8 – 1
= 3,8
f(2,4) = 3,8
Para x = – 5
f(x) = 2x – 1
f(–5) = 2(– 5) – 1
= –10 – 1
= – 11
f(–5) = –11
b) Para f(x) = – 2,2 (y = – 2,2)
f(x) = 2x – 1
– 2,2 = 2x – 1
– 2,2 + 1 = 2x
– 1,2 = 2x
1, 2
x=−
2
x = – 0,6
f(– 0,6) = – 2,2
Para f(x) = 0 (y = 0)
f(x) = 2x – 1
0 = 2x – 1
0 + 1 = 2x
1 = 2x
1
x=
2
1
f =0
2
Observa que el valor de la imagen (variable y), en cada inciso, depende
del valor que se le asigne a la preimagen (variable x) en la ecuación de la
función dada.
En las funciones, la variable x, que representa los elementos del dominio,
se llama variable independiente; mientras la variable y, que representa
los elementos del conjunto imagen, es la variable dependiente, por lo
que es usual decir que y está en función de x o y depende de x.
Atención
Cuando una función se representa por una ecuación, su dominio será el
subconjunto de los números reales para los cuáles está definida la ecuación,
291
MATEMÁTICA
o sea cuando no está definido el dominio de la función se debe analizar los
valores para los cuales la ecuación de dicha función tiene solución.
Ejemplo 6:
Determina el dominio de las funciones siguientes:
1
a) y = 3x b) f(x) = 9x – 4 c) g(x) = x2 d) h x
x
Solución:
a) Para la función: y = 3x, el dominio es el conjunto de los números reales
(x ϵ ℝ)
b) Para la función: f(x) = 9x – 4, el dominio es el conjunto de los números
reales (x ϵ ℝ)
c) Para la función: g(x) = x2, el dominio es el conjunto de los números reales
(x ϵ ℝ)
1
d) Para la función: h x , el dominio es el conjunto de los números
x
reales distintos de cero (x ϵ ℝ, x ≠ 0 porque el valor del denominador de
una fracción no puede ser igual a cero).
Las correspondencias analizadas al inicio del epígrafe se representaron de diferentes formas: descriptiva la primera y la segunda, mediante diagramas la tercera,
cuarta y quinta, como tablas la sexta y con un gráfico la séptima. Las funciones
también se pueden representar de estas mismas formas.
Ejemplo 7:
Representa la función: a cada número real se le asocia su duplo, expresada
en forma descriptiva, por las formas siguientes:
a) Ecuación
b) Tabla
c) Gráfica
Solución:
a) y = 2x
b) Se debe calcular la imagen (variable dependiente) con algunos valores
de x que pertenecen al dominio de la función.
Tabla 3.32
292
x
–2
–1
0
1
2
y
–4
–2
0
2
4
CAPÍTULO 3
c) Determina las coordenadas de algunos puntos del plano que pertenezcan a la función
formando el par ordenado con el elemento
del dominio y su imagen (x; y), se ubican en
el sistema de coordenadas rectangulares y se
unen estos puntos (fig. 3.55).
Las coordenadas en este caso pueden ser:
(– 2; – 4); (– 1; – 2); (0;0); (1;2); (2;4); (3;6) -2
y (4;8)
y
3
2
1
0
-1
1
2
x
-1
-2
-3
-4
Fig. 3.55
Ejercicios
1.
Analiza si las correspondencias representadas en la figura 3.56 son
funciones o no. En caso de no serlo, fundamenta tu respuesta.
Nota: Para determinar si una correspondencia es función dada por
una gráfica, se traza una paralela imaginaria al eje “y“ y se traslada
de izquierda a derecha en el sentido del eje “x”. Si corta a la gráfica
siempre una sola vez es función, de lo contrario no lo es.
a)
A
B
b) A
d)
A
B
e) x 0 1 2 2 2
B
y 0 1
8 -8 1
c) A
f)
B
y
0
x
Fig. 3.56
2.
1
1
Sea el conjunto M = 4 ; 25; ; 1; 0; 1; 1,5; 3; 3 .
2
2
293
MATEMÁTICA
a) Escribe un conjunto N de llegada, cuyos elementos sean el duplo
de los elementos del conjunto M, para que la correspondencia de
M en N sea una función.
b) Escribe un conjunto P de llegada, cuyos elementos sean los opuestos
de los elementos del conjunto M, para que la correspondencia de
M en P sea una función.
c) Escribe un conjunto A de llegada, cuyos elementos sean los valores
absolutos de los elementos del conjunto M, para que la correspondencia de M en A sea una función.
d) Escribe un conjunto B de llegada, cuyos elementos sean los cuadrados de los elementos del conjunto M, para que la correspondencia
de M en B sea una función.
3.
En un estadio de béisbol se pueden dar las posibilidades siguientes:
a) Cada espectador ocupa un asiento, pero hay espectadores de pie.
b) Cada espectador ocupa un asiento, pero hay asientos vacíos.
c) Cada espectador ocupa un asiento y no hay asientos vacíos.
Confecciona un diagrama para cada inciso y di cuáles de esas correspondencias son funciones y cuáles no. Argumenta en cada caso tu respuesta.
4.
Analiza cuáles de las correspondencias siguientes son funciones y
cuáles no. Fundamenta tu respuesta cuando no sea una función.
a) A cada número real se le asocia su cuadrado aumentado en tres
b) A cada hecho histórico del conjunto A = {Triunfo de la Revolución,
Asalto al Cuartel Moncada, Protesta de Baraguá, Invasión a Playa
Girón, Desembarco del Granma, Incendio de Bayamo} se le asocia el año en que ocurrió en
el conjunto B = {1956; 1953;
1959; 1961; 1869; 1878; 1887;
5
1956}
8
c) A cada número real se le aso3
cia su recíproco.
4
d) A cada polígono del conjun6
to M se le hace corresponder
la cantidad de lados en el
conjunto N (fig. 3.57).
Fig. 3.57
294
CAPÍTULO 3
e) A cada persona se le asocia su número de carné de identidad.
f) A cada organismo del conjunto O = {Pie de atleta, Basilo de Koch,
león, tocororo, cocodrilo} se le hace corresponder el grupo al que
pertenecen en el conjunto G = {aves, hongos, bacterias, mamíferos}.
g) A cada palabra en idioma inglés del conjunto I = {one; red; boy;
flag; love; good} se le hace corresponder su significado en el
idioma español del conjunto E = {rojo; bandera; amor; bueno;
uno; niña; hijo}.
i) A cada río del conjunto R = {Cauto; Volga; Amazonas; Nilo; Amarillo}
se le asocia el lugar donde se encuentra situado en el conjunto
L = {África; Suramérica; América; Asia; Europa; Oceanía}
4.1 En los incisos que representan funciones señala el dominio y
la imagen.
5.
Sea el conjunto P = {El señor de los Anillos, Fresa y Chocolate, El ojo
del canario, Casablanca, Corazón valiente}, escribe un conjunto de
llegada A, cuyos elementos sean nombres de actores de esas películas,
para que la correspondencia “película-actor” sea una función.
6.
Sea el conjunto C formado por los continentes C = {América; África;
Eurasia; Oceanía; Antártida}. Escribe un conjunto P formado por varios
países para que la correspondencia “Continente-País”:
a) Sea una función.
b) No sea una función.
7.
Sea el conjunto E = {Ernest Hemingway; Pablo Neruda; José Martí;
Miguel de Cervantes; Carilda Oliver; Dulce María Loynaz; Gabriel
García Márquez}.
a) Escribe un conjunto de llegada P, cuyos elementos sean el país de
origen de cada autor, para que dicha correspondencia represente
una función.
b) Escribe un conjunto de llegada O, cuyos elementos sean obras literarias escritas por esos autores, para que dicha correspondencia
no sea una función.
8.
En el diagrama de la figura 3.58 se muestra una correspondencia entre
los elementos de los conjuntos M y N.
295
MATEMÁTICA
a) ¿Representa esta correspondencia una función?
b) ¿Cuál es el valor de y en el
conjunt N?
c) Descubre la ley de formación de la correspondencia
y exprésala algebraicamente.
0
-1
1
1
1
2
0
3
y
4,5
8
Fig. 3.58
9.
Sean las funciones f, g y h dadas por sus ecuaciones: f(x) = 4x + 3;
1
g( x ) x 1 y h( x ) x 2 , calcula:
2
a) la imagen de – 2 ; 1,5 y de 5 por la función f.
b) la imagen de – 2 ; 1,5 y de 5 por la función g.
c) la imagen de – 2 ; 1,5 y de 5 por la función h.
10. Sean las funciones f, g y h dadas por sus ecuaciones: f(x) = x – 3;
g(x) = – 2x + 5 y h x
x
1 + 1, calcula el valor del dominio para el
3
cual se cumple que:
9
a) f(x) = – 2; f x y f(x) = 0.
8
9
b) g(x) = – 2; g x y g(x) = 0.
8
9
c) h(x) = – 2; h x y h(x) = 0.
8
11. Sean las funciones f y g dadas por sus ecuaciones f x
g(x) = 3 – 2x. Calcula:
a) f(4) + 2g(0)
b)
g 1 f 0
9
x
2 y
4
1
f
2
c)
g 0, 2
12. Sea f(x) = x – 3, halla el valor de a para el cual se cumple que:
a) f(a) + f(a + 1) = 2.
296
b) f(a – 3) – 3f(a) = – 1
c) 2f(a – 2) + 1 = f(5)
CAPÍTULO 3
3.4.5 Función lineal
Reflexiona un instante
La gráfica de la figura 3.59 muestra cómo varía la altura de una vela, al ser
encendida, durante varios minutos a partir de las 10:00 p.m.
h(mm)
200
190
180
170
160
150
140
130
120
110
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0,5
1
1,5
2
t(h)
Fig. 3.59
a) ¿Cuál era la longitud de la vela al ser encendida?
b) ¿Cuál es la ecuación que describe la variación de la longitud de la vela?
c) ¿A los cuántos minutos la longitud de la vela era de 120 mm?
d) ¿A qué hora se gastó completamente la vela?
La correspondencia que se establece entre las magnitudes tiempo,
en horas y la longitud, en milímetros, de la vela es una función porque
a cada valor del tiempo en horas desde que se enciende la vela hasta
que se apaga le corresponde un único valor de longitud de la vela en
milímetros y es función numérica porque el dominio y la imagen son
conjuntos numéricos.
El análisis de los gráficos en estadística y el estudio de estos como medio que emplean los físicos para realizar sus investigaciones, te permiten
responder algunas de las preguntas anteriores, pero quizás no puedas
297
MATEMÁTICA
determinar la ecuación que describe la variación de la longitud de la vela,
por esta razón te propongo analizar las situaciones siguientes:
► La profesora solicitó a Leticia escribir cuatro números reales en la pizarra, luego Maykel tenía que escribir al lado de cada uno, el número
que resulta de multiplicar por dos y adicionarle cinco al número escrito
1
por Leticia. Los números que Leticia escribió fueron: 4; ; – 1 y 0. ¿Qué
2
número escribirá Maykel en cada caso?
Maykel debe escribir los números: 13; seis; tres y cinco, porque:
1
2 · 4 5 13
2 5 6
2 – 1 5 3 2 · 0 5 5
2
¿Existirá una manera general de escribir la relación que se establece
entre los números escritos por Leticia y Maikel, aplicando el lenguaje
algebraico?
Si le designamos a los números reales que escribió Leticia la variable x,
entonces los números que escribió Maykel se representan por la expresión algebraica: (2x + 5).
La correspondencia entre los números escritos por Leticia y Maikel es una
función; si la llamamos por f entonces podemos representarla mediante
la ecuación f(x) = 2x + 5.
► Un tanque contiene 50 litros de agua. Para llenarlo se pone a funcio-
nar una bomba de agua que vierte 20 litros de agua por minuto. ¿Qué
cantidad de agua tendrá el tanque a los cinco minutos de encenderse la
bomba? ¿Y a los diez minutos?
En este caso el tanque contenía 50 litros de agua y cada minuto que
pasa aumenta la cantidad de litros que tiene el tanque. Como la bomba vierte 20 L/min, para hallar la cantidad de agua a los cinco minutos,
debes multiplicar 20 por cinco y adicionar 50 a dicho resultado, o sea,
20·5 + 50 = 150 L, para los diez minutos, serían 20·10 + 50 = 250 L.
Si tuvieras que determinar cada cierto tiempo cuántos litros de agua
tiene el tanque, ¿existirá una manera general de expresar esta relación?
De manera general, puedes designar al tiempo, trascurrido en minutos,
como la variable x y a la cantidad de agua que tendrá el tanque, en
litros, la expresión: (20·x + 50).
Si llamas g a la función que asigna a cada minuto transcurrido, la cantidad de agua que contiene el tanque, puedes representarla mediante
la ecuación: g( x ) 20 x 50.
298
CAPÍTULO 3
► Un kilogramo de arroz cuesta $100,00. ¿Cuánto debe pagar Rosa por
siete kilogramos? ¿Y si compra 15 kg?
Para calcular lo que debe pagar Rosa por siete y 15 kg respectivamente,
debes multiplicar cada cantidad por el precio de un kilo, o sea, por $10,00.
($10,00 · 7 = $70,00 y $10,00 · 15 = $150,00).
De manera general, puedes comprobar que para comprar x kilogramos
de arroz, Rosa tendrá que pagar (10,00 · x) pesos.
Si llamas h a la función que asigna a cada kilogramo de arroz comprado,
la cantidad de dinero a pagar, puedes representarla mediante la ecuación
h(x) = 10,00x
Las correspondencias analizadas son funciones y se pueden expresar de
manera general por una ecuación. En todas las funciones la imagen se obtiene
como el producto de x por un número real, pero en las dos primeras a este
producto se le adiciona un número real. ¿Existirá una forma general de escribir
todas las ecuaciones que se obtuvieron en las correspondencias anteriores?
Definición de función lineal
La función que a cada x∈R le hace corresponder el número real f(x) = mx + n,
donde m y n son números reales dados, se denomina función lineal.
Ejemplo 1:
Justifica por qué las ecuaciones siguientes representan funciones lineales:
2
a) f(x) = 7x – 3
b) g(x) = – 2x + 0,5
c) h( x ) x
3
d) s(x) = 6x
e) t(x) = – 1
Solución:
a) La ecuación f(x) = 7x – 3 se corresponde con la forma: f(x) = mx + n,
donde m y n son números reales, m = 7 y n = – 3.
b) La ecuación g(x) = – 2x + 0,5 se corresponde con la forma: g(x) = mx + n,
donde m y n son números reales, m = – 2 y n = 0,5.
2
c) La ecuación h x x se corresponde con la forma: h(x) = mx + n,
3
2
donde m y n son números reales, m = 1 y n = .
3
d) La ecuación s(x) = 6x se corresponde con la forma: s(x) = mx + n, donde
m y n son números reales, m = 6 y n = 0.
299
MATEMÁTICA
e) La ecuación t(x) = – 1 se corresponde con la forma: t(x) = mx + n, donde
m y n son números reales, m = 0 y n = – 1.
Atención
Los casos en que el valor de n o de m en la ecuación sean cero, también
son ecuaciones de funciones lineales, porque el número cero pertenece al
conjunto de los números reales.
La expresión mx + n está definida para cualquier valor real de x, o sea,
podemos asignar a la variable x cualquier valor real. Luego, siempre que
no se indique otra cosa, el dominio de una función lineal es el conjunto de
los números reales.
Ejercicios
1.
Determina cuáles de las ecuaciones siguientes definen funciones lineales y señala en estas el valor de m y de n:
1
a) y = 3x + 2
b) y = x – 5
c) f(x) = x2 – 3
d) g(x) = ⋅ 2
x
x3
x
h) t(x) = 7,5
g) y = −
e) y = 3x
f) h(x) = + 3
2
3
x
p x x + 3 k) s(x) = 5 – 2x
i) y = – 4 j)
l) y = 2 –
4
2x + 8
x y
1
m) y =
n) 2x + y = 0
o) x – y = 8
p)
2
3
2.
Marca con una X la respuesta correcta.
De las ecuaciones siguientes la que no corresponde a una función
lineal es:
1
y 1
a) ___ y = x
b) ___ y = – 3,4 c) x ⋅ y – 2 = y
d) x
5
3
3.
4.
300
Escribe la ecuación de la función lineal si conoces que:
3
2
a) m = 1 y n = – 1
b) m = – 3 y n = 0,6
c) m = y n = −
2
3
d) m = 4 y n = 0
e) m = 0 y n = 9
f) m = n = 3
3
Dada la función f tal que f(x) = – 2x – .
2
a) Determina los valores de m y n.
CAPÍTULO 3
3
b) Calcula f(0), f(– 1), f y f(1,2).
4
3
c) Determina el valor de x si f(x) = 0, f(x) = 1,5 y f x .
2
5.
Expresa mediante una ecuación las siguientes situaciones:
a) La distancia d en kilómetros que recorre un auto que viaja a 60 km/h
en función del tiempo t en horas.
b) El salario mensual de un trabajador si recibe $450,00 de salario fijo
y $3,00 adicionales por cada hora extra que trabaja en el mes.
c) El precio p de un artículo en función del tiempo transcurrido en
meses, si este precio no se ha alterado desde que salió a la venta
en $85,00.
d) La altura h de un triángulo en función de su área, si su base mide 6,0 cm.
3.4.6 Representación gráfica de una función lineal
Reflexiona un instante
Conoces que una de las formas de representar funciones son las gráficas,
en el epígrafe anterior aparece representada (fig. 3.59) la variación de la
altura de una vela durante el tiempo que está encendida; sabes construir
un sistema de coordenadas rectangulares, pero ¿cómo se determinan los
puntos que se deben ubicar en este sistema?
Recuerda que...
El conjunto formado por los elementos del dominio de una función y sus
respectivas imágenes, se pueden interpretar como las coordenadas de los
puntos de un plano.
Atención
El conjunto de puntos que se obtiene al asignar todos los valores posibles
a la variable independiente xx, se le llama gráfica de la función.
La gráfica de la función se obtiene uniendo con una línea los puntos representados en el sistema de coordenadas cartesiano.
301
MATEMÁTICA
Ejemplo 1:
Representa gráficamente las funciones lineales definidas por las ecuaciones
siguientes:
a) y = 2x – 3
b) y = – 3x
c) y = 2
Solución:
Se determinan las coordenadas de algunos de los puntos en cada función,
para esto podemos auxiliarnos de una tabla. (Recuerda que la x es la variable
independiente, por lo que le puedes asignar los valores del dominio que desees)
a) y = 2x – 3
Tabla 3.33
x
–2
–1
0
3
3,5
y
–7
–5
–3
3
4
Para x = – 2, se tiene y = 2⋅(– 2)– 3 = – 4 – 3 = – 7,
Para x = – 1, se tiene y = 2⋅(– 1)– 3 = – 2 – 3 = – 5
Para x = 0, se tiene y = 2⋅(0) – 3 = 0 – 3 = – 3
Para x = 3, se tiene que y = 2⋅3 – 3 = 6 – 3 = 3
Para x = 3,5, se tiene que y = 2 ⋅ 3,5 – 3 = 7 – 3 = 4
Obtienes los pares ordenados (– 2; – 7), (– 1; – 5), (0; – 3), (3;3) y (3,5;4), los
cuales representas en el sistema de coordenadas rectangulares y unes dichos
puntos y observa qué elemento geométrico se forma (fig. 3.60).
y
4
3
-2 -1
0
3 3,5
-3
-5
-7
Fig. 3.60
302
x
CAPÍTULO 3
b) y = – 3x
Tabla 3.34
x
–2
–1
0
3
3,5
y
6
3
0
–9
– 10,5
Para x = – 2, se tiene que y = – 3⋅(– 2) = 6
Para x = – 1, se tiene que y = – 3⋅(– 1) = 3
Para x = 0, se tiene que y = – 3⋅0 = 0
Para x = 3, se tiene que y = – 3⋅3 = – 9
Para x = 3,5, se tiene que y 3 35 10,5
Obtienes los pares ordenados (– 2;6), (– 1;3), (0;0), (3; – 9) y (3,5; − 10,5),
los cuales representas en el sistema de coordenadas rectangulares, unes
los puntos y observarás que se forma una recta (fig. 3.61).
y
6
3
3 3,5
-2 -1
x
-9
-10,5
Fig. 3.61
c) y = 2
Tabla 3.35
x
–2
–1
0
3
3,5
y
2
2
2
2
2
303
MATEMÁTICA
En este caso la ecuación de la función tiene la forma y = n, o sea m = 0,
por lo que no existe el término mx. Esto significa que esta función lineal
toma valor dos para cualquier valor que tome la variable independiente x.
Obtienes los pares ordenados (– 2;2), (– 1;2), (0;2), (3;2) y (3,5;2), los
cuales representas en el sistema de coordenadas rectangulares y trazas
la recta, que en este caso es paralela al eje “x” (fig. 3.62).
y
2
-2
-1
0
3 3,5
x
Fig. 3.62
Observa que en cada ejemplo se pudo trazar una recta que pasa por
los puntos representados. Si hubieses tomado más puntos dando otros
valores a la x y obtienes su respectivo valor de y mediante la ecuación de
cada función, estos quedarían ubicados también sobre la recta trazada
en cada ejemplo. Mientras más puntos representes tendrás una idea
más clara de la representación.
Atención
La gráfica de una función lineal, cuyo dominio es el conjunto de los números
reales, es una recta.
Atención
¿La recta que representa la función lineal en cada gráfica tiene la misma
inclinación?
¿De qué dependerá la inclinación de la recta de cada función lineal?
304
CAPÍTULO 3
El análisis de las rectas representadas en cada inciso del ejemplo 1, te
permite concluir que:
1. Cada recta tiene una inclinación diferente respecto al eje “x”, la cual
tiene relación directa con el valor que tiene la m en cada ecuación.
Observa que:
a) En el primer ejemplo la ecuación de la función lineal es y = 2x – 3, donde el valor de m es dos, o sea m > 0 y la recta se inclina hacia arriba de
izquierda a derecha.
b) En el segundo ejemplo la ecuación de la función lineal es y = – 3x, donde el valor de m es – 3, o sea m < 0 y la recta se inclina hacia abajo de
izquierda a derecha.
c) En el tercer ejemplo la ecuación de la función lineal es y = 2, donde m = 0,
ya que la ecuación es de la forma y = n y la recta no está inclinada, es
paralela al eje de las “x”.
2. Estas rectas intersecan al eje “y” en los puntos (0; – 3); (0;0) y (0;2) respectivamente, lo que tiene relación directa con el valor de n en cada ecuación.
Observa que:
a) En la ecuación y = 2x – 3, se tiene que n = – 3, o sea, el valor de n coincide
con el valor de y del par ordenado (0; – 3).
b) En la ecuación y = – 3x, se tiene que n = 0, o sea, el valor de n coincide
con el valor de y del par ordenado (0;0).
c) En la ecuación y = 2, se tiene que n = 2, o sea, el valor de n coincide con
el valor de y del par ordenado (0;2).
Atención
En las funciones lineales la inclinación de la recta está relacionada con el
valor de m en la ecuación.
El intercepto de la recta con el eje “y”, o sea el valor de la ordenada,
coincide con el valor que toma n en la ecuación.
Reflexiona un instante
Si por dos puntos pasa una única recta, bastarán dos puntos para representar
una función lineal.
305
MATEMÁTICA
En muchos casos es conveniente para representar la función lineal seleccionar los puntos donde la recta corta a los ejes de coordenadas, o sea,
P1(x;0) y P2(0;y), los que se suelen llamar puntos cómodos.
Ejemplo 2:
Representa en un sistema de coordenadas la función definida en el conjunto
de los números reales por la ecuación: f(x) = 5x – 5.
a) Verifica si el punto (2;5) pertenece a la representación gráfica de f.
b) Sabiendo que el par ordenado (x;8) pertenece a la función f, halla el
valor de la abscisa del par ordenado.
Solución:
f(x) = y = 5x – 5
1. Para representar la recta correspondiente a esta función buscamos los
puntos cómodos:
1.1. Intercepto con el eje “x”. Este punto tiene coordenadas (x;0), por
lo que tienes que hallar la preimagen de cero por esta función
Sustituyes la ordenada “y” en la ecuación por el valor numérico
cero y resuelves la ecuación:
0 = 5x – 5
5 = 5x
5
x=
5
x = 1.
Luego, el punto de intersección con el eje “x” tiene coordenadas
y
(1;0).
1.2. Intercepto con el eje “y”: Como conoces
este punto tiene coordenadas (0;y) entonces el valor de y coincide con el valor de la
n en la ecuación, por lo que en este caso
como n = – 5, el punto tiene coordenadas
(0; – 5).
2. Trazas el sistema de coordenadas, ubicas los
puntos hallados en este y trazas la recta que
pasa por ambos puntos (fig. 3.63).
0
1
-5
Fig. 3.63
306
x
CAPÍTULO 3
a) Para verificar si el punto de coordenadas (2;5) pertenece a la representación gráfica de f:
Como conoces una recta tiene infinitos puntos y podemos obtener los
valores de la variable dependiente (y) sustituyendo la variable independiente (x) por diferentes valores que pertenezcan al dominio de la
función y así se obtienen los puntos de coordenadas (x;y) que pertenecen a dicha recta; entonces, para verificar que el punto pertenece a la
función, o sea si un punto dado se encuentra sobre la recta, debes saber
las coordenadas del punto, en este caso (2;5), y la ecuación de la función
lineal (representada por la recta y = 5x – 5).
Si aplicas el método analítico:
1. Sustituir el valor de la abscisa (x) del punto en la ecuación: y = 5 · (2) – 5
2. Efectuar las operaciones indicadas: y = 10 – 5 = 5
3. Comprobar que el resultado de las operaciones indicadas coincide
con el valor de la ordenada (5 = 5)
Por tanto, el punto (2;5) sí pertenece a la representación gráfica de
la función lineal f.
Atención
Cuando comparas el resultado de las operaciones indicadas con la ordenada
del punto y no son iguales, entonces el punto no pertenece a la representación gráfica de la función lineal.
Si aplicas el método gráfico:
Ubicas en el eje de las abscisas el valor de
la coordenada en x para después trazar por ese
valor una recta perpendicular al eje “x” y otra
recta perpendicular al eje de las ordenadas por
el valor en el punto de y.
Verificar que las rectas perpendiculares trazadas se cortan en un punto que está sobre la
recta que representa la función lineal (fig. 3.64).
5
4
3
2
1
0
-2
1
2
-3
-4
-5
-6
Fig. 3.64
307
MATEMÁTICA
Aplica tus conocimientos
Comprueba si el punto de coordenadas (2;5) pertenece a la representación
gráfica de la función: y = 5x
5x – 5 con la utilización un asistente matemático.
Atención
Generalmente para verificar si un punto pertenece a la representación gráfica
de una función dada, se utiliza el método analítico porque el método gráfico
requiere trazado de rectas que tengan el mismo grosor para que sea preciso.
b) Sabiendo que el par ordenado (xo;8) pertenece a la función f, halla el
valor de la abscisa del par ordenado.
En este caso, a diferencia del inciso anterior el par ordenado (xo;8) pertenece a la función f por tanto f(xo) = 8, por lo que necesitas conocer
la preimagen o argumento de ocho; este proceder, que ya aprendiste,
significa que debes resolver la ecuación: 8 = 5x – 5.
8 + 5 = 5x
13 = 5x
13
x= .
5
13
Luego la abscisa del par ordenado es xo = .
5
¿Sabías que…?
La representación gráfica de algunas funciones nos recuerda objetos conocidos.
La función “Escalonada”, la cual suele indicarse por la ecuación f(
ff(x)
(xx)) = E[x],
(x
que se lee f de x igual a la parte entera de x. Se parece a una escalera (fig. 3.65).
Función escalonada
Función peine inclinado
y
y
-2 -1 0 1 2 3 x
-2 -1 0 1 2 3
x
Función sierra
y
-2
Fig. 3.65
308
-1 0
1
2
x
CAPÍTULO 3
La función “Peine inclinado”, se asemeja a un peine con los dientes inclinados,
g(x)
E[x].
suele indicarse con la ecuación g(x
(xx)) = x – E[x
(x
[x].
[x
x].
La función “Sierra”, que debe su nombre a que su gráfica simula los dientes de
la sierra, su ecuación es la distancia positiva entre x y el entero más próximo.
Ejercicios
1.
Representa en un sistema de coordenadas cartesiano las funciones
lineales siguientes:
a) y = x
b) y = – x c)
f(x) = 5x d)
g(x) = – 5x
3
3
f) y = – x
g) y = 1,3x
h) y = – 1,3x
e) y = x
5
5
1.1. ¿Las representaciones de estas funciones lineales pasan por el
origen de coordenadas? Fundamenta tu respuesta.
1.2. ¿Tienen todas las rectas que representan estas funciones lineales
la misma inclinación respecto al eje “x”? ¿Por qué?
2.
Dadas las funciones lineales siguientes:
a) y = x + 4
b) y = – x + 4
c) y = 2x – 6
d) y = – 2x – 6
1
1
3x
h) y 3 x
3
3
2.1 Represéntalas en un sistema de coordenadas cartesiano.
2.2. ¿Pasa cada una de estas rectas representadas por el origen de
coordenadas? ¿Por qué?
2.3. ¿Tienen la misma inclinación respecto al eje “x”? Fundamenta
tu respuesta
e) y = 3 + 9x
f) y = 3 – 9x
g) y
3.
Representa en un sistema de coordenadas cartesiano las funciones
lineales siguientes:
a) y = 2
b) y = – 2
c) y = 3,5
d) y = – 3,5
4
4
f) y
g) y = 0
e) y =
3
3
3.1. ¿Qué posición tienen las rectas representadas respecto al eje “x”?
¿Por qué ocurre esto?
4.
Sea la función lineal f definida en el conjunto de los números reales
3
por la ecuación f x x – 2.
2
309
MATEMÁTICA
a) Represéntala gráficamente.
f 4
f 0 4.
b) Prueba que:
4
2
c) Verifica si el punto de coordenadas ; 3 pertenece a la repre 3
sentación gráfica de f.
d) Determina el valor de xo para el cual el par ordenado A(xo; – 4)
pertenece a la representación gráfica de la función f.
5.
Una sustancia tiene una temperatura de 3 ºC. Se somete a un proceso de
calentamiento que hace variar su temperatura 2 ºC por minuto. Representa en un sistema de coordenadas la variación de la temperatura de la
sustancia hasta que alcance los 11°C en función del tiempo transcurrido.
6.
Un recipiente que está completamente vacío tiene una capacidad de
50 litros. Se abre una llave que vierte cinco litros por minuto. Representa gráficamente el proceso completo de llenado del recipiente
atendiendo a la relación tiempocantidad de litros.
7.
La policía de tránsito mide la velocidad a un auto, que se acerca por la
autopista, durante dos minutos y constató que viajaba todo el tiempo a
60 km/h. Representa gráficamente la variación de la velocidad del auto
durante el tiempo que fue medida.
3.4.7. Ecuación de una función lineal
Reflexiona un instante
¿Será posible escribir mediante la ecuación de una
función lineal el proceso
de variación de la longitud
de la vela? (fig. 3.66)
y
200
190
180
170
160
150
140
130
120
110
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0,5
1
1,5
2
x
Fig. 3.66
La representación de este proceso es un segmento, pero si prolongamos
sus extremos obtenemos una recta, entonces podemos escribir la ecuación
si conocemos el valor de dos puntos que pertenecen a la recta.
310
CAPÍTULO 3
Como sabes la ecuación de una función lineal tiene la forma y= mx + n,
por lo que es necesario conocer los valores de m y n.
Si solo conoces el valor de la longitud de la vela al comenzar el proceso,
que coincide con el par ordenado (0;200), entonces, el valor del parámetro
n de la ecuación es 200.
¿Cómo proceder entonces para escribir la ecuación de una función lineal
cuando conoces solo uno de los dos valores, m o n, involucrados en la ecuación?
Analicemos cómo proceder para escribir la ecuación de una función lineal:
a) Si conoces el valor de n y un punto de la recta.
Por ejemplo, cuando n = 3 y la gráfica de la función pasa el punto
A(2; – 2)
La ecuación general de la función lineal tiene la forma y = mx + n, por
tanto, debes:
► Sustituir en la ecuación el valor de n: y = mx + 3
► Sustituir las coordenadas del punto A en la ecuación anterior:
– 2 = m·2 + 3 (recuerda que el primer valor de la coordenada es el
valor de x y el segundo es el valor de y?
► Despejas m en la ecuación:
– 2 – 3 = m·2 (transponiendo el tres)
–5=m·2
5
m
2
5
► Escribir la ecuación: y x 3
2
b) Si conoces el valor de m y un punto de la recta
1
Por ejemplo, cuando m = – y su gráfica pasa por el punto B(– 4 ; 5).
2
La ecuación general de la función lineal tiene la forma y = mx + n, por
tanto, debes:
1
► Sustituir en la ecuación el valor de m: y x + n
2
► Sustituir las coordenadas del punto B en la ecuación anterior:
► 5 1 ⋅ (– 4) + n
2
► Despejar n en la ecuación: 5 1⋅(– 4) + n
2
5=2+n
5–2=n
n=3
311
MATEMÁTICA
1
2
c) Si tienes la representación gráfica
y
y conoces las coordenadas de dos
Q
puntos por donde pasa la gráfica
1,5
de la función.
Por ejemplo, cuando uno de los puntos por donde pasa la gráfica de la
0
función es de coordenadas (0;y), o sea
2
el punto que se corresponde con el
valor de n (fig. 3.67) entonces debes:
► Extraer las coordenadas de los
puntos de la gráfica representaP -2,5
da: P(0; – 2,5) y Q(2;1,5), por lo
que en este caso n = – 2,5
Fig. 3.67
► Sustituir en la ecuación el valor
de n en la ecuación general de la función lineal: y mx 2,5
►Escribir la ecuación: y x + 3
x
► Sustituir las coordenadas del otro punto en la ecuación anterior, en
este caso es el punto Q(2; 1,5): 1,5 = m · 2 – 2,5
► Despejar m en la ecuación: 1,5 + 2,5 = m · 2
4=m·2
m=2
► Escribir la ecuación: y = 2x – 2,5
d) Otro caso sería si uno de los dos puntos por donde pasa la gráfica de
la función es el origen de coordenadas entonces el valor de n es cero y
procedes de igual manera al caso anterior; por ejemplo: si la gráfica pasa
1 2
por los puntos M(0;0) y Q ; . Como el punto M tiene la forma (0;y)
3 3
y el valor de su ordenada es 0, luego n = 0 y la ecuación toma la forma
y = mx ; entonces, para calcular el valor de m:
1
2
► Sustituyes las coordenadas del punto Q en la ecuación: − = m ⋅
3
3
2 1
► Despejas m en la ecuación: m :
3 3
2 3
m
3 1
m=–2
► Escribes la ecuación: y = – 2x
312
CAPÍTULO 3
Pasos para escribir la ecuación de una función lineal
lineal:
1. Determinar los valores de m y n:
► Si conoces el valor de m y un punto de la recta, sustituyes m y las coordenadas del punto en la ecuación; luego despejas n.
► Si conoces el valor de n y un punto de la recta, sustituyes n y las coordenadas del punto en la ecuación; luego despejas m.
► Si el valor de n es cero, la ecuación tendrá la forma y = mx y la recta
pasará por el origen de coordenadas (0;0).
Aplica tus conocimientos
Escribe la ecuación de la función lineal que describe el proceso de variación
de la altura de la vela desde que se enciende hasta que se apaga, que aparece representada en la figura 3.66.
Reflexiona un instante
¿Cómo determinar el dominio y la imagen de una función lineal?
Para determinar el dominio de una función lineal se proyecta su gráfica
sobre el eje “x”, como sabemos que la recta es infinita entonces cada punto
de esta se puede proyectar sobre este eje (figura 3.68), realizaremos el análisis a partir de la gráfica de la función y = 2x – 3, que aparece representada
en el ejemplo uno del epígrafe anterior, el procedimiento solo se realizará
para algunos de sus infinitos puntos.
Cuando se observa la figura 3.68 podemos concluir que la gráfica de la
función lineal cubre todo el eje “x”, por lo que su dominio es el conjunto
de los números reales.
yy
0
o
x
Fig. 3.68
313
MATEMÁTICA
Para analizar la imagen de una función lineal procedemos de manera
análoga, pero se proyecta su gráfica sobre el eje “y“, se puede observar en
la figura 3.69 que cada punto de esta se puede proyectar sobre dicho eje.
(Aquí se muestra solo para algunos de sus infinitos puntos).
Fig. 3.69
De esta manera podemos concluir que la gráfica de la función lineal
cubre todo el eje “y“, por lo que su imagen es también el conjunto de los
números reales.
Si la gráfica de la función se inclina hacia abajo, de izquierda a derecha,
puedes comprobar que se obtiene igual resultado.
El dominio y la imagen de una función lineal, de la forma y = mx + n
(m ≠ 0), es el conjunto de los números reales.
Reflexiona un instante
¿Cuál será el dominio y la imagen de la función lineal y = n, o sea cuando
m = 0?
Cuando m = 0, la gráfica de la función es una recta paralela al eje “x”.
Para realizar el análisis tomemos como ejemplo la gráfica de la función de
ecuación y = 2, representada en el ejemplo uno del epígrafe anterior.
La proyección de la gráfica de la función de ecuación y = 2 sobre el eje de
las abscisas, coincide con todos los puntos del eje x, por tanto, el dominio de
esta función también es el conjunto de los números reales, x∈ ℝ. (fig. 3.70a).
Sin embargo, al proyectar la gráfica de la función y = 2 sobre el eje “y”,
(fig. 3.70b) todas las flechas van hacia un único valor de y, el 2. Luego la
imagen de esta función es el conjunto unitario {2}.
314
CAPÍTULO 3
a)
b)
y
2
2
0
y
x
0
x
Fig. 3.70
Las funciones cuyo conjunto imagen consta de un solo número se les
llaman funciones constantes y su gráfica siempre es una recta paralela
el eje “x”.
Es bueno aclarar que si n = 0, la gráfica de la función coincide con el
eje “x” y su imagen es {0}.
El dominio de una función lineal de la forma y = n, es el conjunto de los
números reales; y su conjunto imagen está formado por un único número,
el valor de n.
Es importante aclarar que en algunas situaciones donde se utilizan funciones lineales para modelar procesos o fenómenos de la vida el dominio y
la imagen son subconjuntos del conjunto de los números reales.
En el caso de la variación de la altura de la vela, el dominio y la imagen
son subconjuntos de los números reales, porque los valores de t varían desde
cero hasta dos, o sea 0 ≤ t ≤ 2; mientras la imagen son los valores reales de
h tales que, 0 ≤ h ≤ 120.
Ejercicios
1.
Escribe la ecuación de una función lineal si conoces que:
a) su gráfica pasa por el origen de coordenadas y m = 5.
b) m = – 3 y su gráfica contiene el punto de coordenadas (0;4).
c) su gráfica corta al eje de las ordenadas en y = – 1 y m = 0.
1
2
d) m = y su gráfica pasa por el punto 0; .
3
3
e) el valor de n es tres y la recta contiene al punto (– 2;7).
f) su gráfica interseca al eje de “y” en 2,5 y al eje “x “en 3,5.
1
g) su gráfica pasa por los puntos (8; – 1) y 0;
5
315
MATEMÁTICA
h) su representación gráfica pasa por el origen de coordenadas y por
3 2
el punto ; .
4 5
i) su gráfica es paralela al eje “x” y corta al eje “y” en – 2,4.
2.
Escribe las ecuaciones que definen las funciones representadas en la
figura 3.71:
y
y
y
4
4
0
-2
1
0 1
4 x
x
0
x
Fig. 3.71
2.1. Escribe el dominio y la imagen de las funciones representadas.
3.
Halla el valor de n si se sabe que el gráfico de la función y = 6x + n
pasa por el punto:
3
5 1
a) (2; 5)
b) (0; – 3)
c) (0; 0)
d) ;
e) ; 2
2
6 3
4.
Halla el valor de m si se sabe que el gráfico de la función y = mx – 1
pasa por el punto:
5 1
3
a) (2;5)
b) (3;0)
c) (– 3; – 2)
d) ;
e) ;2
6
3
2
5.
La gráfica de una función lineal f pasa por los puntos A (– 1; – 1)
y B(0; – 5).
5.1. Marca con una X la respuesta correcta:
a) La ecuación de la función f es:
___ f(x) = 4x – 5
___f(x) = – 4x – 5
___f(x) = – x – 5
___f(x) = – 4x + 5
b) De los puntos dados el que pertenece a la gráfica de la
función f es:
1
___ F 1 ; 4
___ C(2;3)
___ D( ; – 4) ___ E(– 2; – 13)
4
4
316
CAPÍTULO 3
c) Al calcular f(– 2,5) se obtiene:
___ 5
___ – 15
___ 4
___ – 4
5.2 Representa gráficamente la función f.
5.3 Determina el dominio y la imagen de la función f.
6.
a) Representa en un sistema de coordenadas la función lineal h definida por la ecuación y = h(x) = 3x – 2 en el tramo de – 5 ≤ x ≤ 5.
b) Determina su dominio y su imagen.
7.
La gráfica de la figura 3.72
C(L)
muestra cómo varía la 100
cantidad de agua en un
recipiente que ya contenía
cierta cantidad, a partir de
las 8:00 am y hasta llenarse
completamente.
20
C: cantidad de agua en litros
40 t(min)
0
t: tiempo en minutos
a) Escribe la ecuación que
Fig. 3.72
describe el proceso de
llenado del recipiente.
b) ¿Qué cantidad de agua tenía el recipiente al iniciarse el proceso
de llenado?
c) ¿Qué cantidad de agua tenía el recipiente a los 15 minutos de
iniciado el proceso de llenado?
d) ¿A los cuántos minutos de comenzar el proceso de llenado, el recipiente tenía 60 litros de agua?
e) ¿A qué hora se llenó
T(OC)
completamente el recipiente?
46
8.
La gráfica de la figura 3.73
muestra la variación de la
temperatura de una sustancia a partir de las 9:05
pm durante varias horas.
T: temperatura en 0C.
t: tiempo en horas
5
0
4
t(min)
Fig. 3.73
317
MATEMÁTICA
a) Escribe la ecuación del proceso representado.
b) ¿Qué temperatura tenía la sustancia a la 1:05 pm?
c) ¿Cuál fue la temperatura mínima alcanzada por la sustancia?
d) ¿A qué hora la sustancia alcanzó los 23ºC de temperatura?
9.
La gráfica (fig. 3.74) muestra la
altura que tiene el agua de un
recipiente a partir de las 11: 50
am durante el proceso de vaciado.
h: altura del agua en el recipiente, en metros.
t: tiempo en minutos
9.1. Marca con una X la respuesta correcta.
h(m)
1
0,8
0
10 t(min)
2
Fig. 3.74
a) La ecuación que describe el proceso representado es:
___ h(t) = – 2t + 1
___ h(t) = 2t + 1
___ h(t) = – 0,1t + 1
___ h(t) = 0,1t + 1
b)
A los 2 minutos la altura del agua del recipiente había descendido:
___ 0,8 m ___ 1,8 m
___ 0,2 m ___ ninguna de estas
9.2. Completa los espacios en blanco.
a) La altura inicial del agua en el recipiente fue de ________.
b) El recipiente se vació completamente cuando el reloj marcaba las ________
3.4.8 Cero de una función lineal
Reflexiona un instante
En distintas ocasiones al analizar el comportamiento de procesos descritos
a través de funciones lineales es de interés conocer el tiempo de duración
del proceso.
¿Cómo saber cuánto tiempo transcurrió hasta que la vela se gastó completamente?
318
CAPÍTULO 3
h(mm)
200
190
180
170
160
150
140
130
120
110
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0,5
1
1,5
2
t(h)
Fig. 3.75
Como puedes observar, figura 3.75, cuando la vela se va gastando, su longitud disminuye, y cuando se gasta completamente, su longitud será
igual a cero. En la gráfica debes buscar el valor del tiempo para el cual
la longitud de la vela es igual a cero. Este valor está precisamente sobre el
eje “x”, o sea, el valor dos.
Este es uno de los valores más importantes de una función lineal, el cual
se denomina cero de la función.
Definición del cero de la función lineal
El elemento del dominio de la función lineal y = mx + n (m ≠ 0) cuya imagen es cero, se denomina cero de esta función.
Atención
Gráficamente, el cero de la función es la abscisa del punto donde la recta
corta al eje “x“,
“, este punto como ya sabes tiene coordenadas ((xxo;0).
Pasos para calcular el cero de una función lineal:
1. Sustituir la ordenada (y)
((yyy)) por el valor cero en la ecuación de la función
lineal.
2. Despejar la abscisa (x).
((xx).
x).
319
MATEMÁTICA
Atención
Es importante que compruebes que el cero es la abscisa de dicho punto (x
(xo)
y no el punto de intersección.
Ejemplo 1:
Calcula el cero de las funciones lineales dadas por las ecuaciones siguientes:
a) y = 2x – 6
x 1
b) 0
3 5
c) y = – x – 2,4
d) y = 6
Solución:
a) Para calcular el cero de la función lineal: y = 2x – 6
1. Sustituye la variable dependiente (y) por el valor cero en la ecuación:
2x – 6 = 0.
2. Resolver la ecuación: 2x – 6 = 0
2x = 6
x=6:2
x=3
Respuesta: El cero de la función dada por la ecuación y = 2x – 6 es xo = 3.
Puedes comprobar de manera oral o escrita este resultado, si sustituyes
el valor hallado de x en la ecuación y el resultado del cálculo es cero.
x 1
b) Para calcular el cero de la función lineal: y = – +
3 5
1. Sustituye la variable dependiente (y) por el valor cero en la ecuación:
x 1
0
3 5
x 1
2. Resolver la ecuación: − + = 0
3 5
1 1
=
5 3
(observa que se transpone el término −
que la x quede positiva)
1
x 3
5
3
x=
5
320
x
para el otro miembro para
3
CAPÍTULO 3
Respuesta: El cero de la función dada por la ecuación: y = –
x 1
3
+ es xo =
3 5
5
c) Para calcular el cero de la función lineal: y = – x – 2,4
1. Sustituye la variable dependiente (y) por el valor cero en la ecuación:
– x – 2,4 = 0.
2. Despejar x en la ecuación: – x – 2,4 = 0.
– x = 2,4
x = – 2,4
Luego el cero de la función dada por la ecuación y = – x – 2,4 es xo = – 2,4.
d) Para calcular el cero de la función lineal dada por la ecuación: y = 6
Al sustituir la variable dependiente por el valor cero en la ecuación obtienes una contradicción 0 = 6, por lo que ningún valor real de x la satisface.
Como conoces esta función es constante y su gráfica es una recta paralela al eje “x”, por lo que para cualquier valor real de x su imagen es 6.
En este caso la recta no corta en ningún punto a dicho eje y la función
no tiene cero.
e) Para calcular el cero de la función lineal dada por la ecuación: y = 0
Al sustituir la variable dependiente por el valor cero en la ecuación, obtienes la igualdad 0 = 0, la que se satisface para cualquier valor real de x.
Esta función también es constante y como n = 0, su gráfica es una recta
contenida sobre el eje “x”.
En este caso, para cualquier valor real de x su imagen siempre es cero;
por lo que esta función tiene infinitos ceros.
Cuando en la ecuación de la función lineal:
► m ≠ 0, la función lineal tiene un único cero, xo = –
n
m
. En este caso, la
recta corta al eje “x” en un único punto.
► m = 0 y n ≠ 0, la función lineal no tiene cero. En este caso, la recta es
paralela al eje “x”.
► m = 0 y n = 0, la función lineal tiene infinitos ceros. En este caso, la
recta coincide con el eje “x”.
Aplica tus conocimientos
Comprueba analíticamente, que la vela se gastó a las dos horas de iniciado
el proceso de medición, como muestra la gráfica del proceso representado.
321
MATEMÁTICA
Consejos útiles
En la práctica es importante comprobar, cuando es posible, que los resultados obtenidos por la vía analítica coinciden o por lo menos que tengan
sentido común cuando se comparan con la vía gráfica y viceversa. Esto te
permite evitar errores de cálculo o apreciación.
Ejercicios
1.
Calcula, si existe, el cero de las funciones lineales siguientes:
a) y = 5x – 25
b) f(x) = 10x – 5
c) g(x) = – x + 3,5
2
x
f) f(x) = x – 8
d) h(x) = – 0,5x – 4
e) y = – 1
3
3
1
3
3
g) g(x) = – x +
h) h(x) = – 2x –
i) y = 2,5 – x
2
4
5
j) f(x) = 4
k) g(x) = – 7
l) h(x) = – 0,1x – 0,001
2.
Señala, si existe, el cero de las funciones lineales representadas en la
figura 3.76. En caso de no existir, argumenta tu respuesta.
y
y
-1 0
x
0
4
1
1
1
y
y
2 x
0
x
0
2 x
Fig. 3.76
2.1. Escribe la ecuación de la función lineal representada en cada caso.
3.
4.
322
2
Sea la función g dada por su ecuación g(x) = – x − 12. Se puede afir3
mar que el cero de la función g es:
a) ____ 18
b) ___ – 8
c) ___ 0
d) ___ – 18
1
El cero de una función lineal f es x0 = . Se puede afirmar que dicha
3
función lineal tiene ecuación:
1
b) ___ f(x) = – 9x + 3
a) ___ h(x) = x +
3
c) ___ g(x) = 9x + 3
d) ___ t(x) = – 3 + 6x
CAPÍTULO 3
5.
Sea la función lineal f definida en el conjunto de los números reales
por la ecuación f(x) = 4x – 2.
a) Calcula su cero.
b) Represéntala en un sistema de coordenadas rectangulares.
c) Determina su imagen.
1
5.1. De los pares ordenados A(– 1; 6); B(0,5; 18) y C ; 1 el que
4
pertenece a la función f es: ___ A
f ( 0 ) 2 f ( 1,5 ) 5
.
5.2. Prueba que:
f ( 1)
3
___ B
___ C
6.
Sean M(2; 6) y N(0; –4) dos de los puntos de la representación gráfica
de una función lineal g.
a) Represéntala en un sistema de coordenadas rectangulares.
b) Escribe su ecuación.
c) Determina su dominio e imagen.
d) Calcula su cero.
e) Calcula la imagen de – 3 por la función g.
f) Determina la abscisa del punto C de la gráfica de g, cuya ordenada
es – 2.
7.
En la gráfica (fig.3.77) se ha representado la función lineal f que
corta a los ejes de coordenadas en
los puntos A y B.
a) Escribe su ecuación.
b) Calcula el área del ∆AOB, donde
O es el origen de coordenadas.
c) Halla el perímetro del ∆AOB.
8.
Un tanque contiene cierta cantidad de agua. A las
10:30 am se abre su llave
para vaciarlo y limpiarlo.
Este proceso se muestra en
la gráfica de la figura 3.78:
C: Cantidad de agua en litros.
t: tiempo en minutos.
y
3
A
B
4
0
x
Fig. 3.77
C(L)
30
27
0
2
t(min)
Fig. 3.78
323
MATEMÁTICA
a) ¿Qué cantidad de agua contenía el tanque inicialmente?
b) Escribe la ecuación del proceso representado.
c) ¿A qué hora se vació completamente el tanque?
d) ¿Qué cantidad de agua había en el tanque a los 15 minutos de
iniciado el proceso de vaciado?
9.
A medida que el tiempo transcurre, desde el momento de compra
hasta el momento de venta, una máquina se desvaloriza.
Si P representa el precio de la máquina en pesos, una empresa calculó
que el valor de una máquina, al finalizar t años, estaba dada por
la ecuación P(t) = 15000 – 1500t.
a) ¿Cuál fue el costo inicial de la máquina?
b) ¿Cuál será el precio de la máquina a los dos años de haber sido
comprada?
c) ¿Qué tiempo debe transcurrir desde la compra de la máquina, para
que esta no tenga valor alguno?
d) Representa gráficamente la función que representa la relación
preciotiempo transcurrido.
3.4.9 Rectas y funciones
Reflexiona un instante
Marvelys observó en la libreta de matemática de su prima Deysi, que la
ecuación: 2x – y + 4 =0 es una ecuación de una recta y se preguntó:
¿Por qué la ecuación de la función lineal es una recta y no tiene la misma
forma que la ecuación que apareceen en la libreta de mi prima?,
¿La manera en que está escrita la ecuación en la libreta de mi prima se
podrá transformar a la forma de la ecuación general de una función lineal?
Ejemplo 1:
Escribe las ecuaciones siguientes como la ecuación de la función lineal:
y = mx + n
a) 4x + 2y – 8 = 0 b) 3x – 2y + 2 = 0 c) ax + by + c = 0 (b ≠ 0)
Solución:
Para escribir una ecuación de la forma y = mx + n, debes aislar la variable
dependiente (y) en un miembro de la ecuación o sea despejar la variable dependiente (y).
324
CAPÍTULO 3
a) 4x + 2y – 8 = 0
2y = – 4x + 8
4 x 8
y=
2
−2 x 8
y=
+
2
2
y = – 2x + 4
Respuesta: La ecuación de la forma y = mx + n, es: y = – 2x + 4 donde
m = – 2 y n = 4.
b) 3x – 2y + 2 = 0
3x + 2 = 2y
3x + 2
y=
2
3x 2
+
y=
2 2
3
y= x+1
2
Respuesta: La ecuación de la forma y = mx + n, es y =
3
x + 1, donde
2
3
y n = 1.
2
c) ax + by + c = 0
by = – ax – c (transponiendo al miembro derecho)
−ax − c
(transponiendo el parámetro b al miembro derecho)
y=
b
ax c
− (división de un binomio por b)
y=−
b b
ax c
− (b≠0), donRespuesta: La ecuación de la forma y = mx + n es y =−
b b
a
c
de m = – y n = – , con (b ≠ 0).
b
b
m=
Como puedes observar al despejar la variable “y” en cada inciso obtie-
nes ecuaciones de funciones lineales, por lo que su representación gráfica
será una recta la cual ya puedes representar sobre un plano coordenado.
Teorema sobre la ecuación de una recta
Toda ecuación de la forma ax + by + c = 0 con x, y ∈ ℝ y a y b no simultáneamente iguales a cero, representa una recta en el plano coordenado.
325
MATEMÁTICA
Investiga y aprende
Un grupo de turistas visitó la provincia
de Pinar del Río, en una excursión a
la Cordillera de Guaniguanico, figura
3.79, los visitantes lograron subir la elevación conocida como el mirador de La
Luna, pero se impresionaron cuando
trataron de bajarla, uno de los turistas
gritó: la pendiente de esta elevación es
demasiado acentuada.
¿A qué se refería el turista con la expresión relacionada con la pendiente de
la elevación?
Fig. 3.79
Seguramente en varias ocasiones has tenido la posibilidad de observar la inclinación, respecto a la horizontal del suelo, de lomas, carreteras,
puentes, cubiertas de techo, árboles, de los aviones al despegar en la pista,
mecanismos simples, etcétera, como las que se muestran en las imágenes
de las figuras 3.80 a 3.84.
Fig. 3.80
Fig. 3.83
326
Fig. 3.82
Fig. 3.81
Fig. 3.84
CAPÍTULO 3
Si trazas un sistema de coordenadas, con el eje “x” paralelo a la línea
recta determinada por el suelo, y trazas la recta que representa la inclinación en cada figura, podrás observar que esta inclinación de la recta en
cada imagen es diferente respecto a ese eje “x”. O sea, unas están más
inclinadas respecto al suelo que otras, por lo que el ángulo que forma la
recta con dicho eje también tiene diferente amplitud.
Recuerda que...
La recta es la representación gráfica de una función lineal, cuya ecuación
tiene la forma y = mx + n; que el valor de m está relacionado con la inclinación de la recta y que si m > 0, la recta se inclina hacia arriba de izquierda
a derecha, si m < 0, se inclina hacia abajo de izquierda a derecha y si m = 0,
la recta es paralela al eje “x”.
Atención
El coeficiente de la variable, que indica la inclinación de la recta, se le denomina pendiente. También se conoce a la pendiente de una recta con el
nombre de coeficiente angular
angular, pues la inclinación de la recta depende del
ángulo que esta forma con el eje “x”.
Reflexiona un instante
Si conoces el valor de n y un punto de la recta puedes calcular el valor de
m para escribir la ecuación de una función lineal.
Si dos puntos cualesquiera determinan una recta, entonces se podrá escribir
la ecuación de una recta también si ninguno de los puntos es el origen de
coordenadas, ni los puntos que son intercepto con los ejes coordenadas.
Pero, ¿cómo calcular la pendiente de una recta?
Aplica tus conocimientos
Una persona se dispone a subir una colina por uno de sus extremos y descender por el otro, como se muestra en la representación de la figura 3.85, la
colina tiene 60 metros de altura y la distancia de un extremo a otro de la base
de la colina es de 100 m. Sabiendo que su cima se encuentra exactamente
sobre un punto situado a la mitad entre ambos extremos, determina qué valor
tiene, respecto al suelo, la inclinación de la colina por el lugar de ascenso y cuál
por el lugar de descenso.
327
MATEMÁTICA
Fig. 3.85
Solución:
Para conocer el valor de la inclinación de la colina por el lugar de ascenso respecto al suelo (base de la colina), se debe calcular el valor de la pendiente (m)
de cada recta trazada sobre la inclinación de ambos lados de la colina respecto
a la línea horizontal. Puedes auxiliarte de una figura similar a la 3.86, para:
1. Trazar un sistema de coordenadas cuyos ejes perpendiculares tiene origen en
el punto que representa el lugar por donde la persona comienza el ascenso.
2. Trazar las rectas que representan las trayectorias de ascenso y descenso
de la colina y las denotas por r1 y r2, respectivamente.
3. Ubicar en el eje x el punto medio de la base de la colina (mitad de 100m)
4. Determinar las coordenadas de los puntos que pertenecen a las rectas
r1 y r2:
► Pares numéricos o coordenadas de los puntos que pertenecen a la
recta r1: (0;0) y (50;60)
► Pares numéricos o coordenadas de los puntos que pertenecen a la
recta r2: (50;60) y (100;0)
5. Calcular la pendiente de las rectas r1 y r2
y
r1
r2
60
50
Fig. 3.86
328
100 x
CAPÍTULO 3
En el caso de la recta r1 se aplica el procedimiento estudiado para escribir
la ecuación de una función lineal conocidos el valor de n y un punto de su
representación gráfica.
Como n = 0, porque el punto de partida de la persona es el origen
de coordenadas (0;0) cuya ordenada es igual a cero, entonces la forma
de la ecuación es: y = mx, después se sustituye en la ecuación el otro
60
, por
punto situado sobre la recta r 1, o sea, (50;60), 60 = m·50, m =
50
6
lo que m = = 1,2.
5
Luego el valor de la pendiente de la recta r1 es 1,2.
En el caso de la recta r2 los puntos extraídos no tienen la forma (0;y),
por tanto no conocemos el valor de n, tenemos que determinar entonces
el valor de m y n.
¿Cómo proceder en este caso para hallar la pendiente de la recta r2?
La pendiente de la recta permite determinar qué tan inclinada está y en
qué dirección entonces la pendiente de una recta es “lo que sube sobre lo
que avanza”, es decir cuánto “sube” la recta dividido por cuánto “avanza”
la recta hacia la derecha. Lo que “sube” la recta es la diferencia entre los
valores de y (recuerda que el eje y se extiende hacia arriba y hacia abajo)
y lo que “avanza” la recta es la diferencia entre los valores de x (el eje x se
extiende hacia la izquierda y hacia la derecha). Simplemente debes pensar
en la pendiente como la “razón de cambio” de una función: si aumenta el
valor de “x”, ¿en cuánto cambia el valor de “y”? Eso es la pendiente.
1. Representación de la función
lineal de ecuación y = x – 4
(fig. 3.87).
Observa en la figura que:
y
1
► la imagen de 1 es – 3.
0
-1
► la imagen de 2 es – 2.
-2
► la imagen de 0 es – 4.
► la imagen de 3 es – 1.
► la imagen de 4 es 0.
Si el valor de la abscisa aumenta
en una unidad, ¿en cuánto cambia
el valor de la ordenada? La ordena-
2
3
4
x
-3
-4
Fig. 3.87
329
MATEMÁTICA
da también aumenta en una unidad, pero
si el valor de la abscisa aumenta en dos
unidades, ¿en cuánto cambia ahora el valor de la ordenada? La ordenada también
aumenta en dos unidades y así sucesivamente (fig. 3.88).
Entonces como la pendiente es la razón
de cambio, se halla la razón entre los
cambios o variaciones de los valores de
las abscisas con los cambios de los valo1 2 3
res de las ordenadas: = = = 1 = m
1 2 3
2. Representación de la función lineal de
ecuación y 3 x 6. (figura 3.89)
y
0
4
2
x
-2
-4
Fig. 3.88
y
Observa que:
► la imagen de 0 es 6.
6
► la imagen de 1 es 3.
► la imagen de 2 es 0.
3
► la imagen de 3 es – 3.
¿Qué ocurre con el valor de la ordenada
cuando la abscisa aumenta una unidad?
Cuando el valor de la abscisa aumenta
una unidad, entonces el valor de la ordenada disminuye tres unidades. (Del valor
seis al valor tres)
Si el valor de la abscisa aumenta dos unidades, ¿en cuánto cambia el valor de la
ordenada?
Si observas la gráfica (fig. 3.90) llegarás a la
conclusión de que el valor de la ordenada
disminuye seis unidades. (Del valor seis al
valor cero)
Y así sucesivamente, cuando la abscisa
aumenta tres unidades, la ordenada
disminuye nueve.
330
0
1
2
x
3
-3
Fig. 3.89
y
6
0
2
-6
Fig. 3.90
4
x
CAPÍTULO 3
Entonces como la pendiente es la razón de cambio, se halla la razón
entre los cambios o variaciones de los valores de las abscisas con los
cambios de los valores de las ordenadas:
3 6 9
3 m
1
2
3
Puedes observas que las razones entre la variación del valor de la ordenada y la variación del valor de la abscisa son constantes e igual al
valor de la pendiente m.
3. Representación de la función lineal de ecuación y = 2 (fig. 3.91).
y
Observa que:
► la imagen de – 2 es 2.
2
► la imagen de – 1 es 2.
► la imagen de 0 es 2.
► la imagen de 1 es 2.
► la imagen de 2 es 2.
-2
-1
0
1
2
x
En este caso cuando la abscisa
aumenta una unidad, la ordenada
Fig. 3.91
no aumenta ni disminuye.
Lo mismo sucede cuando la
abscisa aumenta en dos, tres o más unidades.
Entonces como la pendiente es la razón de cambio, se halla la razón
entre los cambios o variaciones de los valores de las abscisas con los cambios
0 0 0
de los valores de las ordenadas: = = = 0 = m
1 2 3
De estos tres ejemplos puedes concluir que la pendiente está determinada por la razón entre la variación de los valores de la ordenada y la
variación de los valores de la abscisa.
Esta conclusión te permite obtener una ecuación para calcular la pendiente si conoces las coordenadas de dos puntos de su representación
gráfica, la cual te presentamos mediante el teorema siguiente:
Teorema de la pendiente de una recta
La pendiente m de una recta que pasa por los puntos P1(x
( 1;y1) y P2(x
(x2;yy2) se
y y1
, con x1 ≠ x2.
calcula por la ecuación m 2
x 2 x1
331
MATEMÁTICA
Para calcular la pendiente de la recta r2, del esquema reflejado en la
figura 3.86, se aplica la ecuación de la pendiente, con los puntos o pares
ordenados (100;0) y (50;60) que pertenecen a la recta:
1. Se identifican las coordenadas de los dos puntos (recuerda que cada
punto tiene como primera coordenada la x y como segunda la y) con
las variables de la ecuación: (x1;y1); x1 = 50, y1 = 60; (x2;y2): x2 = 100, y2 = 0
y − y1
2. Se sustituye los valores de las variables en la ecuación m = 2
y
x2 − x1
calculas:
6
0 − 60
−60
;m=
; m = − = – 1,2.
m=
5
100 − 50
50
Luego el valor de la pendiente de la recta r2 es – 1,2, un valor negativo,
porque la recta se inclina hacia abajo de izquierda a derecha.
La ecuación para calcular la pendiente de la recta también se puede
utilizar siempre que se conozcan las coordenadas de dos puntos cualesquiera
que pertenezcan a la recta.
Aplica tus conocimientos
Calcula la pendiente de la recta r1 ((yy = x + 4), aplicando la ecuación de la
pendiente.
Ejemplo 2:
Determina la pendiente de la recta que contiene los puntos siguientes:
a) A(2;4) y B(3;8).
b) C(– 3; – 5) y D(– 4;1). c) M 2 ; 1 y N 1 ; 4
3
3 5
d) P(4;3) y Q(– 7;3)
e) H(1;2) y G(1; – 3)
Solución:
a) A(2;4) y B(3;8): x1 = 2 ; y1 = 4; x2 = 3 ; y2 = 8
y − y1
m= 2
x2 − x1
8−4
m=
3−2
4
m=
1
m=4
332
CAPÍTULO 3
Luego el valor de la pendiente de la recta es cuatro.
Observa que al representar en el sistema de coordenadas la recta que pasa por A y B, esta se inclina hacia
arriba de izquierda a derecha. (fig. 3.92).
b) C(– 3; – 5) y D(– 4;1): x1 = – 3; y1 = – 5; x2 = – 4; y2 = 1
y − y1
m= 2
x2 − x1
1 − ( −5)
m=
−4 − ( −3)
1 5
6
6
m=
4 3 1
Luego el valor de la pendiente de la recta
-4 -3
es m = – 6.
Observa que al representar en el sistema
de coordenadas la recta que pasa por C y
D, esta se inclina hacia abajo de izquierda
a derecha (fig. 3.93).
8
4
0
2 3
Fig. 3.92
y
x
0
-1
-5
Fig. 3.93
Consejos útiles
Si las coordenadas ((x1; y1) son negativas debes sustituir su valor en la ecuación
entre paréntesis y luego determinar su opuesto. También puedes sustituir
directamente colocando el opuesto del número en la ecuación.
2
c) M ; 1
3
y
1 4
N ;
3 5
2
M ; 1
3
y
4
2
1
1 4
N ; : x1 = ; y1 = 1; x2 = ; y2 = −
5
3
3
3 5
m=
y 2 − y1
.
x2 − x1
4
−1
5
m=
.
1 2
−
3 3
−
333
MATEMÁTICA
−4 − 5
9
−
9
27
5
5
m=
=
= 3 =
1
1
5
5
−
−
3
3
Luego el valor de la pendiente de la recta es
27
.
m=
5
Observa que al representar en el sistema de
coordenadas la recta que pasa por los puntos
M y N, esta se inclina hacia arriba de izquierda a derecha (fig. 3.94).
d) P(4 ; 3) y Q(– 7 ; 3): x1 = 4; y1 = 3; x2 = – 7; y2 = 3
y − y1
m= 2
.
x2 − x1
3−3
.
m=
−7 − 4
0
m=
=0
−11
Luego el valor de la pendiente de
la recta es m = 0, esto significa que
la recta es paralela al eje “x”, o sea,
no está inclinada a dicho eje, como -7
muestra la representación gráfica de
la figura 3.95.
y
1
1
3
2
3
0
4
5
x
Fig. 3.94
y
3
0
4
x
Fig. 3.95
e) H(1;2) y G(1; – 3) : x1 = 1; y1 = 2; x2 = 1; y2 = – 3
m=
y 2 − y1
x2 − x1
m=
−3 − 2
1− 1
−5
0
Luego la fracción se indefine, esto significa que no existe pendiente y la
recta que pasa por esos dos puntos no está inclinada respecto al eje “x”,
sino que es perpendicular al eje “x”, como se muestra en la figura 3.96.
m=
334
CAPÍTULO 3
y
Las pendientes pueden tener valores positivos, negativos o cero. Este resultado tiene
relación directa con la inclinación de la recta
2
al representarla en un sistema de coordenadas.
Esta relación nos indica otra propiedad de las
0
x
1
funciones lineales, la monotonía.
-3
Si analizas la inclinación y el desplazamiento
de la recta (en el gráfico) y el valor calculado de
la pendiente de la recta en los casos anteriores del
ejemplo dos:
Fig. 3.96
► En el inciso a: la recta se inclina hacia arriba de
izquierda a derecha y el valor de la pendiente es cuatro, un valor positivo.
► En el inciso b: la recta se inclina hacia abajo de derecha a izquierda y el
valor de la pendiente es – 6, un valor negativo.
► En el inciso c: la recta se inclina hacia arriba de izquierda a derecha y el
27
valor de la pendiente es , un valor positivo.
5
► En el inciso d: la recta no se inclina respecto al eje “x“, es paralela a este
eje y el valor de la pendiente es cero, un valor no negativo.
► En el inciso e, la recta no se inclina respecto al eje “x“, es perpendicular a
este eje y el valor de la pendiente no existe. En este caso no es una función, porque a un mismo valor de x, corresponden infinitos valores de y.
La regularidad del análisis anterior permite concluir que:
En los incisos a y c, a medida que aumentan los valores de x, también
aumentan los valores de y; la función crece.
En el inciso b, a medida que aumentan los valores de x, disminuyen los
valores de y; la función decrece.
En el inciso d, a medida que aumentan los valores de x, no varían los
valores de y; la función es constante
Si la pendiente de la ecuación de una función lineal es:
Mayor que cero (m > 0), la función lineal es monótona creciente.
Menor que cero (m < 0), la función lineal es monótona decreciente.
Igual a cero (m = 0), la función lineal es constante.
335
MATEMÁTICA
Ejemplo 3:
Sean las funciones lineales siguientes: f(x) = 2x + 5, g(x) = 6 – x y h(x) = 8,3
Determina el valor de la pendiente y analiza la monotonía de cada función
lineal.
Solución:
La pendiente de f(x) es m = 2 y como la pendiente es mayor que cero (2 > 0),
la función f es monótona creciente.
La pendiente de g(x) es m = – 1 y como la pendiente es menor que cero
(– 1 < 0), la función g es monótona decreciente.
La pendiente de h(x) es m = 0 y como la pendiente es igual a cero), la función h es constante.
Ejemplo 4:
Los puntos (1,5; – 2) y (3,5; – 3) pertenecen a la gráfica de la función lineal
p. Determina la pendiente y la monotonía de la función lineal p(x).
Solución:
a) Si dos puntos pertenecen a la función lineal p, entonces se aplica la
ecuación:
y − y1 3 ( 2) 3 2
1
m= 2
=
2
2
x2 − x1 3,5 1,5
La pendiente es negativa, l uego la función p es monótona decreciente.
Reflexiona un instante
Si conoces dos puntos que pertenecen a la recta que representa la ecuación
de una función lineal, ¿Puedes escribir su ecuación?
Ejemplo 5:
Escribe la ecuación de la función lineal f cuya representación gráfica pasa
por los puntos dados:
1 1
a) A(4;1) y B(2;7)
b) M(2; – 2) y N ;
2 3
Solución:
y − y1
a) m = 2
x2 − x1
336
y = 3x + n
1 = –3 · (4) + n
CAPÍTULO 3
7 −1
2−4
6
= –3
2
m = –3
=
1 = –12 + n
1 +1 2 = n
n = 13
Respuesta: f(x) = – 3x + 13.
y − y1
10
y=− x+n
b) m = 2
9
x2 − x1
1
− − ( −2)
10
= 3
– 2 = − ·2 + n
1
9
−2
2
1
2
20
= 3
+n
1=−
1
9
2
2
1 6
20
= 3
1+
=n
1 4
9
2
5
5
2
9 + 20
= 3 ( )
n=
3 3
3
9
2
10
29
m=−
n=
9
9
10
29
Respuesta: f(x) = − x +
9
9
Ejercicios
1.
Escribe las ecuaciones siguientes de la forma y = mx + n.
a) x + y – 1 = 0
b) y – 3x + 12 = 0
c) 2x + 2y + 4 = 0
d) x – y = 8
e) 6x – 2y = 0
f) x – y = 0
1.1 Determina el valor de la pendiente.
2.
Calcula la pendiente de las rectas que pasan por cada uno de los
puntos siguientes y represéntalas gráficamente.
a) (2;2) y (4;6)
b) (3; – 1) y (4;2)
c) (– 2; – 3) y (– 1;5)
337
MATEMÁTICA
3.
d) (3;0) y (– 1;6)
e) (0;0) y (2,5;10)
1 2 2 1
g) ; y ;
2 5 3 5
1 4
f) 2; y 1;
3 3
h) (3,2; 0,6) y (5,2; – 0,4)
i) (3;9) y (4;9)
Representa en el sistema de coordenadas rectangulares el triángulo
ABC donde: A(– 2; –1); B 3;2 y C(– 8;9). Halla las pendientes de las
rectas que contienen los lados del triángulo ABC.
4.
Determina cuáles de las funciones lineales siguientes definidas por
sus ecuaciones son crecientes, decrecientes o constantes. Fundamenta
tu respuesta.
1
a) y = 2x
b) y = – 2x + 8
c) f(x) = x – 2
3
f) y = x
d) g(x) = – 0,1x – 2
e) y = 2 x + 3
g) h(x) = 3 – 2x
2 1
j) y = − x
3 5
3 − 2x
m) y =
3
h) y = 2
7 x
k) y = +
6 3
i) y = – 12
2x − 4
l) s(x) =
4
5.
¿Por qué no existe la pendiente de las rectas determinadas por los
puntos:
a) A(3 ;1) y B(3;4)?
b) M(0;0) y N(0;5)?
6.
En la figura 3.97 se muestra la representación gráfica de tres funciones lineales:
y
y
4
0
y
4
x
x
0
0
4
x
Fig. 3.97
6.1 ¿Cuál de las gráficas se corresponde con la función lineal de
ecuación
2
f(x) = − x + 4? Fundamenta tu selección.
3
338
CAPÍTULO 3
6.2 Calcula el cero de la función lineal f.
6.3 Representa en el gráfico seleccionado una recta que tenga igual
cero que la función lineal f y su pendiente sea negativa.
7.
A medida que el aire seco se mueve hacia arriba, se expande y se
enfría. La temperatura T (en grados Celsius) del aire a una altura h
(en kilómetros) está dada aproximadamente por una ecuación que
define una función lineal.
Selecciona cuál es el gráfico que le corresponde a la situación planteada, figura 3.98:
T (oC)
0
T (oC)
0
h(km)
T (oC)
h(km)
0
h(km)
Fig. 3.98
8.
La gráfica (figura 3.99muestra cómo varía la temperatura (T(oC)) de
dos sustancias, A y B, a partir de las 10:30 a.m. (t(min))
T(oC)
10
4
0
1
t(min)
Fig. 3.99
a) Identifica cuál de las sustancias se calienta y cuál se enfría. Argumenta tu selección.
b) Si la ecuación que describe la variación de la temperatura, respecto
al tiempo, de la sustancia A es T(t) = 2t + n, ¿a qué hora alcanzaron
las sustancias la misma temperatura y de cuánto fue?
339
MATEMÁTICA
c) ¿A los cuántos minutos de haberse iniciado el proceso de medición
de la temperatura, la sustancia B alcanzó los 0oC?
9.
Se comienzan a llenar dos reh(dm)
cipientes vacíos A y B de igual
A
B
20
altura y capacidad por llaves que
vierten cantidades diferentes de
litros de agua por minuto. La gráfica (fig. 3.100) muestra la altura,
en decímetros, del agua en los recipientes durante varios minutos.
a) Si el proceso de llenado de cada re0
5 10 15 20 25 t(min)
cipiente continúa, vertiendo cada
llave la misma cantidad de agua
Fig. 3.100
por minuto que al inicio del proceso, ¿qué recipiente se llenará más rápido? Argumenta tu respuesta.
b) Escribe la ecuación que representa el proceso de llenado de cada
recipiente.
c) ¿La correspondencia tiempoaltura es una proporcionalidad? En
caso afirmativo identifica el tipo de proporcionalidad.
d) Si la altura de los recipientes es de 30 dm, ¿qué tiempo demorará
en llenarse el recipiente A?
3.4.10 Funciones lineales definidas por tramos
Reflexiona un instante
Un excursionista realizó una caminata desde su campamento hasta un
centro turístico situado a 18 km. Para orientarse contó con un perfil del
trayecto (figura 3.101)
13 km
Cima
10 km
Centro
turístico
Campamento
Descanso
18 km
Hondonada
Fig. 3.101
340
CAPÍTULO 3
La trayectoria del recorrido del excursionista se puede representar mediante
un gráfico como el de la figura 3.102.
¿En qué se diferencia esta gráfica de las gráficas que representan una
función lineal?
¿Sabías que…?
Existen fenómenos de la naturaleza cuyo comportamiento no es estable,
o sea, varía cada cierto tiempo. Es por esto que para representar dicho
comportamiento es necesario trazar varios tramos en un mismo sistema
de coordenadas.
Aplica tus conocimientos
Analiza la gráfica de la figura 3.102 y responde:
d (km)
► ¿Cuántos kilómetros caminó el
excursionista hasta llegar al primer descanso?
► ¿Cuánto tiempo duró el primer
descanso?
► ¿Qué tiempo demoró en llegar
a la cima después de continuar
la marcha?
► ¿Cuántos kilómetros separan la
hondonada del centro turístico?
► Si salió del campamento a las
7:00 a.m., ¿a qué hora llegó al
centro turístico?
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
1
2
3
4
5
6
t(horas)
Fig. 3.102
Ejemplo 1:
La gráfica (figura 3.103) muestra la variación de la temperatura de una
sustancia durante cierto tiempo por un proceso de enfriamiento, que comenzó a las 8:45 a.m.
341
MATEMÁTICA
T(ºC)
20
8
0
4
5,5
9
t(h)
Fig. 3.103
1.1. Completa los espacios en blanco:
a) El valor inicial de la temperatura de la sustancia fue de __________.
b) Durante _____________ el valor de la temperatura de la sustancia
no varió.
c) La sustancia alcanzó su temperatura mínima a las _____ horas de
iniciado el proceso.
d) A la 1:00 p.m. la temperatura de la sustancia era de _________.
1.2. Marca con una X la respuesta correcta:
a) La ecuación de la función lineal que describe el proceso de enfriamiento de la sustancia durante las primeras cuatro horas es:
__ T = – 20t + 8
__ T = 3t + 20
__ T = – 3t + 20
__ T = – 8t + 20
b) Durante las primeras cuatro horas la temperatura de la sustancia
varió:
___ 200C
___ 80C
___ 120C
___ No se puede determinar
c) Después de las cinco horas y media la temperatura estuvo descendiendo durante:
___ 9 horas
___ 4 horas
___ 210 minutos
___ 4 horas y 30 minutos
1.3. Si la ecuación que describe la variación de la temperatura a partir de
las cinco horas y media es T = – 4t + n, ¿a qué hora la sustancia alcanzó
los cero grados centígrados?
1.4. ¿Cuál fue la temperatura mínima alcanzada por la sustancia?
342
CAPÍTULO 3
Solución:
1.1. a) 20 0C. (La gráfica inicia en el valor 20 en el eje “y“).
b) Una hora y media.
La temperatura es constante (80C) en el tramo que es paralelo al eje “x”,
o sea de cuatro a 5,5 horas.
c) nueve horas.
La temperatura mínima corresponde con el menor valor que alcanza
la gráfica en el eje de las ordenadas.
d) 80C.
El proceso de medición de la temperatura se inició a las 8:45 a.m., por
lo que a la 1:00 p.m. habían transcurrido cuatro horas y 15 minutos.
Este valor se encuentra entre las cuatro y las 5,5 horas, donde la temperatura se mantuvo constante en los 8ºC.
1.2. a) T = – 3t + 20
Para seleccionar la ecuación debe identificarse en el gráfico, en el primer tramo, el valor de n (n = 20) y analizar el comportamiento de la
inclinación de la recta con relación al valor de la pendiente (la recta se
inclina hacia debajo de izquierda a derecha por tanto la pendiente es
negativa), como existen dos ecuaciones que cumplen estas condiciones,
debe verificarse a cuál de las ecuaciones pertenece el punto (4;8).
También se puede escribir la ecuación del primer tramo dados dos
puntos que pertenecen a esta, o identificar el valor de n y sustituir en
la ecuación el otro punto para calcular m.
b) 120C.
Al iniciar la medición la temperatura era de 200C y a las cuatro horas
alcanzaba los 80C, por lo que la diferencia es igual a 120C.
c) 210 minutos.
A partir de las cinco horas y media la temperatura estuvo descendiendo hasta las nueve horas. Por lo que descendió tres horas y media
(210 minutos).
1.3 La temperatura alcanza los 0oC cuando la gráfica corta al eje “x”, o
sea, entre las cinco horas y media y las nueve horas; es necesario hallar
el cero de la función.
Primero: Completar la ecuación de la función lineal.
T = – 4t + n, sustituyendo un punto que pertenezca a esta (5,5;8)
8 = – 4 · 5,5 + n
8 = – 22 + n.
343
MATEMÁTICA
8 + 22 = n.
n = 30.
T = – 4t + 30.
Segundo: Calcular el cero de la función lineal
0 = – 4t + 30
4t = 30
30
t=
4
t = 7,5
Siete horas y media
Como la pregunta se refiere a la hora en que la temperatura fue de 0ºC,
entonces se le adiciona a la hora inicial siete horas y media.
Dado que el proceso de enfriamiento de la sustancia comenzó a las 8:45
a.m. la temperatura de 0oC se alcanzó a las 4:15 p.m.
Respuesta: La sustancia alcanzó los 0oC a las 4:15 p.m.
1.4. La ecuación de ese tramo se obtuvo en el inciso anterior T = – 4t + 30,
basta con identificar el valor del tiempo que se corresponde con la
temperatura mínima para sustituirlo en la ecuación y hallar el valor
mínimo de la temperatura
T = – 4t + 30
T = – 4 ⋅ 9 + 30
T = – 36 + 30
T=–6
Respuesta: La temperatura mínima alcanzada por la sustancia fue de – 6oC.
Ejercicios
1.
A las 9:00 a.m. se abre la llave y
comienza el proceso de vaciado,
el cual se detiene cuatro minutos
después para hacer algunos reajustes y luego se vuelve a abrir
la llave. En el gráfico de la figura
3.104 se muestra el proceso de
vaciado del tanque.
h(m)
1
0,8
0
4
4,2
Fig. 3.104
344
t(min)
CAPÍTULO 3
a) ¿A los cuántos minutos de haber comenzado el proceso de vaciado
el nivel del agua en el tanque era de 0,9 m?
b) ¿Cuál era el nivel del agua en el tanque a las 9:03 a.m.?
c) ¿Qué tiempo estuvo cerrada la llave para los reajustes?
d) Si después de abrirse de nuevo la llave el nivel del agua varía según
la ecuación h = mt + 1,5, ¿a qué hora se vació completamente?
2.
La gráfica (fig. 3.105) muestra
cómo varía la temperatura de
una muestra de agua durante varias horas desde las 2:00 p.m. al
exponerse a diferentes procesos.
2.1. ¿Al iniciarse el proceso de
la muestra se calienta o se
enfría? Argumenta tu respuesta.
2.2. Marca con una X la respuesta
correcta:
T(ºC)
70
30
10
0
4,5
0,5
1,5
t(h)
Fig. 3.105
a) La temperatura inicial de
la muestra fue de:
___ 70oC ___ 30oC ___ 10oC
b) La sustancia alcanzó los 30 oC a las:
___ 2:05 p.m.
___ 2:30 p.m.
___ 2:50 p.m.
___ 7:00 p.m.
c) La temperatura estuvo ascendiendo durante:
___ media hora
___ hora y media
___ 70 horas
___ una hora y 50 minutos
2.3 ¿A las cuántas horas de iniciado el proceso, la sustancia alcanzó
la temperatura máxima y de cuánto fue?
2.4 Si la sustancia alcanza los 0 oC de temperatura a las 4:00 p.m,
¿cuál fue la temperatura mínima alcanzada?
3.
Un abuelo salió de su casa a las 7:00 a.m. y caminó para comprar el periódico hasta el quiosco, allí hizo la cola, compró el periódico y después
caminó hasta el parque para hacer ejercicios con los demás abuelos de su
círculo. Al terminar regresó a su casa. El gráfico muestra un aproximado
del recorrido realizado por este abuelo (figura 3.106).
345
MATEMÁTICA
3.1. Completa los espacios
en blanco:
a) El quiosco se encuentra a ___ metros de la
casa del abuelo.
b) El abuelo realizó
ejercicios durante
___ hora.
c) El parque se encuentra a ___ del quiosco.
d(metros)
500
400
0
10
15 18
48
t(min)
Fig. 3.106
3.2. Marca con una X la respuesta correcta.
a) La ecuación que describe el recorrido del abuelo de su casa al
quiosco es:
___ d = 10t + 400 ___ d = 4t
___ d = 40t
___ d = 4t + 400
b) Durante el trayecto, desde que salió de su casa hasta que regresó a esta, el abuelo caminó:
___ 400 m
___ 1 km ___ 1 400 m
___ 900 m
3.3. Si la ecuación que describe el regreso a la casa del abuelo es
125
d t
t n ¿a qué hora regresó el abuelo a su casa?
3
4.
En el complejo de piscinas “Baragua” del municipio La Habana del
Este, se efectuaron las competencias de natación de los Juegos
Nacionales Escolares, estas comenzaron a las 8:00 a.m. Al
C(m3)
finalizar la competencia se colocaron unas bombas de agua
60
para vaciarla y limpiarla. La
48
gráfica (figura 3.107) muestra
la cantidad de agua que contiene la piscina que se utilizó
0
8 8,5
t(h)
en la competencia durante el
tiempo que duró hasta vaciart: tiempo transcurrido en horas.
C: cantidad de metros cúbicos de
se completamente.
agua que hay en la piscina.
Fig. 3.107
346
CAPÍTULO 3
4.1. Completa los espacios en blanco:
a) La piscina tiene una capacidad de _____ m3.
b) La piscina se mantuvo llena durante _____ minutos.
c) A las 4:30 p.m. la piscina tenía ____ m3 de agua.
4.2. Marca con una X la respuesta correcta:
a) La ecuación que describe el proceso de vaciado de la piscina es:
__ C = 24t + 60
___ C = – 24t + 60
__ C = – 24t + 252
___ C = 8t + 60
b) La piscina comenzó a vaciarse a las:
___ 8:00 p.m.
___ 8:08 a.m.
___ 4:00 p.m.
___ 6:00 p.m.
4.3. ¿A qué hora se vació completamente la piscina?
5.
La gráfica (figura 3.108) muestra el proceso de llenado de un depósito
de agua durante cierto tiempo por una bomba de un motor eléctrico.
a) Escribe la ecuación que describe el proceso de llenado del tanque
durante los primeros 12 minutos.
b) Calcula la altura que había alcanzado el agua a los tres minutos de iniciado el proceso.
c) Si la altura máxima que alcanzó el agua en el tanque fue de 20 dm,
¿qué tiempo demoró en llenarse totalmente?
h(dm)
20
15
10
0
12
15
t(min)
h: altura que alcanza el agua del
depósito, en decímetros.
t: tiempo transcurrido en minutos.
Fig. 3.108
347
MATEMÁTICA
d) ¿En qué tramo era mayor la presión del agua? Justifica esta situación mediante cálculos.
6.
La velocidad con que se desplaza un auto en un tramo recto de una
autopista durante las primeras horas de su recorrido aparece representado en la figura 3.109.
6.1. Selecciona la respuesta correcta.
V(km/h)
80
40
0
2
5
7
t(h)
V: (velocidad en kilómetros por hora)
t: (tiempo en horas)
Fig. 3.109
a) La ecuación que describe la variación de la velocidad del auto
durante las dos primeras horas es:
1
t
40
b) La velocidad del auto aumentó durante:
___ V = 2t
___ V = 40t
___ V =
___ V = 2t + 80
___ dos minutos
____ 80 horas
____ 120 minutos
6.2 ¿Cómo se comportó la velocidad del auto entre las dos horas y cinco
horas? Escribe la ecuación que describe la trayectoria en este tramo.
6.3 ¿Cuál era la velocidad del auto a la hora y media de haber iniciado
el recorrido?
6.4. ¿Cuántas horas duró el desplazamiento del auto desde que se
inició el recorrido, si la velocidad después de la cinco primeras
horas se mantiene igual hasta detenerse?
7.
348
En el sistema de coordenadas, los segmentos OA, AB, BC ilustran los
kilómetros recorridos por un ómnibus durante las seis primeras horas
de su viaje a la provincia de Holguín. (fig. 3.110)
CAPÍTULO 3
d(km)
C
390
300
210
120
A
B
0
1 2 3 4 5 6 t(h)
t: tiempo transcurrido en horas
d: kilómetros recorridos
Fig. 3.110
7.1. ¿Cuántas horas estuvo detenido el ómnibus?
7.2. Selecciona la respuesta correcta.
a) En el recorrido de los últimos 180 kilómetros el ómnibus
demoró:
___ 3 horas ___ 1,5 horas
___ 2 horas
___ 2,5 horas
b) Si después de transcurrir las seis primeras horas, el desplazamiento del ómnibus se describe por la función lineal de
ecuación d = 50 t + 90; entonces había recorrido 540 km. al
cabo de:
___ 6,5 horas ___ 8 horas ___ 9 horas
___ 10 horas
7.3. Escribe la ecuación de la función lineal que describe el desplazamiento del ómnibus representado por el segmento BC.
8.
La tabla 3.36 muestra la temperatura en distintas horas de un día
determinado.
Tabla 3.36
Hora
6:00 a.m.
Temperatura
12oC
9:00 a.m. Medio día 3:00 p.m.
17 oC
14 oC
18 oC
6:00 p.m.
15 oC
Identifica el gráfico de la figura 3.111 que muestra la información
de la tabla 3.36.
349
MATEMÁTICA
a)
b)
c)
d)
T(ºC)
T(ºC)
T(ºC)
T(ºC)
0
MD
t(h)
MD
MD
t(h)
MD
t(h
t(h)
Fig. 3.111
9.
Un ómnibus escolar transportó los estudiantes de una secundaria
básica hasta un lugar de interés histórico-cultural. El ómnibus inició
el recorrido a la hora prevista y después de transcurrido cierto tiempo
alcanzó la velocidad máxima que mantiene hasta que inició el proceso
de detención.
De las gráficas de la figura 3.112, ¿cuál es la que representa la situación anteriormente descrita?
c)
V(m/s)
0
t1
b)
V(m/s)
t(seg)
0
t1
a)
V(m/s)
t(seg)
0
t1
t(seg)
Fig. 3.112
10. Al medir la temperatura de 5,0 kg de cobre en estado líquido,
se observa que disminuye durante cierto período de tiempo.
Después, se aprecia que permanece constante y finalmente en un
tercer momento, se observa que la temperatura vuelve a descender. ¿En cuál de los gráficos siguientes se refleja esa situación, si
en el eje de las abscisas se ha indicado el tiempo t transcurrido
(en minutos) y en el eje de las ordenadas, la temperatura T (en
grados Celsius)? (fig. 3.113)
350
CAPÍTULO 3
a) ___
b) ___
c) ___
d) ___
T(ºC)
T(ºC)
T(ºC)
T(ºC)
0
0
0
t(min)
0
t(min)
t(min)
Fig. 3.113
11. Eduardo pasará sus vacaciones en una casa de la playa, situada a 400 km
de su vivienda; el traslado lo hace en auto. Cuando había trascurrido
hora y media y le faltaba la mitad de la distancia por recorrer realiza
la primera parada de 30 minutos para merendar. Continúa su viaje sin
problemas durante una hora, pero a 100 km del final hace una parada
de 15 minutos. En total tarda cuatro horas en llegar a su destino.
a) Representa la situación descrita en una gráfica de la distancia recorrida en función del tiempo.
b) Escribe la ecuación que representa la distancia recorrida por Eduardo durante la primera hora y media.
c) ¿Qué tiempo, en total, estuvo detenido Eduardo durante el recorrido
realizado hasta la casa de la playa?
d) Si Eduardo salió de su casa a las 8:00 a.m., ¿a qué hora llegó a su destino?
EJERCICIOS DEL CAPÍTULO
1.
Determina el valor numérico de las expresiones algebraicas siguientes:
a) 0,5m3n2 – m2n + 1,75m – 3,25 para m = 0,5 y n = –1
b) 2a2b4 + ab2 – ab para a = –2 y b = – 3
2.
Simplifica las sumas algebraicas siguientes:
a) 3b2 + bc2 + 2(7b2 – 4c2)
g) 7a2 + 2ab – 3(4a2 + ab + 1) + 5a3
b) 3q – p – (2 – 8q)
h) (x2 + 2x – 15):(x – 3)
c) 5m – n2 – (2m + 3 – 4n2)
i) (4a2 + b)(a2 – 3b)
d) 2cd + d2 – (4cd – 7d2)
j) (2m3 + 3m2 – 6):(m + 2) + m2 – 4m
e) 2 – 8x2 + (3x – 4)(x + 2)
k) 3x2 – 7 + (3x – 4)(x + 2) + 5x
f) (2m – 5)(m2 + 4m – 1) + 7m
351
MATEMÁTICA
3.
Elimina los signos de agrupación y reduce las expresiones algebraicas
siguientes:
a) 7a2 – [–3ab – (2a2 – ab) + 4]
b) 3p2q – {5pq + [– 2p2q – (pq – 3) + p2q]}
c) 4x2 – [2xy + 3x(x – 5y) – x2]
d) 5q2 + 3[2q2 – (3p + q)(p – 4q)]
4.
Calcula:
a) (2m + n)(m – 3n) – 3(m2 – 5n2)
b) (8b2 – 10b + 3):(2b – 1) + (–3b + 4)
c)
5.
2x 1
Prueba que se cumplen las igualdades siguientes:
a) 7a2 – [2ab + (6a2 – 3ab)] = a2 + ab
b)
6.
3 x 4 x 3 4 x 2 3 x 5
3m2 13mn 10n2
3 m n n
m 5n
Sean:
A = 3c2 + 2d2 B = 2c – 1
6.1 Calcula:
C = c + 4d
D = 8c2 + 7cd
a) 2A + B · C
b) A : B – C
c) (A · B):C
d) B · C – D
e) C2 – A + D
6.2 Halla el valor numérico de la expresión
7.
Resuelve las ecuaciones siguientes:
a) 4x – (x – 3) + 2x(x – 5) = 13 + 2x(x – 1)
b) 4a + a(a + 2) = 4(5 – a) – a2
c) 7(1,4x – 2) – 8 = 3x – (– 4,8x + 6)
d) (2x + 3)(x – 4) = 2x2 + x
e) x(x – 6) + 1 = (x + 5)(x – 3)
8.
352
Completa el crucigrama de la figura 3.114
1
D
para c = y d = – 2
4
2C
CAPÍTULO 3
A
B
C
D
E
G
J
F
I
H
L
M
Ñ
N
K
O
Fig. 3.114
Verticales
A. 3x + 2 = 32
B. 5(x – 2) – 20 = 6(x + 10) – 2(x + 5)
C. 2(x + 4) = 4(110 – 2x)
E. 3x(x – 3) – 9 = x + (x – 1)(3x – 8) + 10
H. 9x + 9 = 900
I.
M.
1
4
x
2
x 8 2 x x 1 2 x 5 x 20 30 x 5 17 x
11 x 233
Ñ. (x – 2) (x – 3) + 6x + 5 = (x + 3)2 – 4(x + 20) – 3
Horizontales
C. 7x – 4 = 171
D. 8(x – 7) – 4 = 7(x + 135)
1
F.
x 2 x 4 10 x 8 11 x
2
G. 8(x – 5) – 3x = 35 705
J. 4(x – 18) = 3x + 8
K. (x + 10)(x + 4) + 5(10x – 25) = (x + 25)2 + 1866
L. 9x – 77 – (8x + 11) = 5
N. (x + 7)(x – 5) –x(x – 1) – 7 = 9x – 7(x + 1)
O. 5x – 4x + 3x + 8 = 8
2
Ñ. 8 x x 9 7 x 5
3
9.
La matrícula de los estudiantes de primer año de una escuela pedagógica en las diferentes especialidades de ciencias para profesor
de secundaria básica es de 360. En la especialidad de Matemática
353
MATEMÁTICA
hay 30 estudiantes más que la cantidad de estudiantes de la especialidad de Física y en la especialidad de Biología hay tantos estudiantes
como en las dos otras especialidades juntas. ¿Cuántos estudiantes se
forman en cada especialidad de ciencias en el primer año?
10. Una cooperativa de producción agropecuaria dedica cierta cantidad
de hectáreas de tierra al cultivo de yuca, boniato y cítricos. La sexta
parte de la cantidad de hectáreas está sembrada de yuca, el 40 % de
boniato y las restantes 65 hectáreas de cítricos. ¿Cuántas hectáreas de
yuca y boniato están sembradas en esta cooperativa de producción
agropecuaria?
11. En la campaña de frío en un organopónico se sembró tomate, cebollinos y lechuga. En el mes de febrero la mitad del total de quintales
cosechado fue de tomate, trece quintales fueron de lechuga y se
cosecharon ocho quintales más de cebollinos que la quinta parte del
total de quintales cosechados. ¿Cuántos quintales de yuca y cebollino
se cosecharon?
12. El perímetro de un triángulo isósceles es de 48 cm, la longitud de sus
lados iguales es dos veces y media la longitud del lado base. ¿Cuál es
la longitud de los lados del triángulo?
13. La amplitud de uno de los ángulos adyacentes, es el duplo de la
amplitud del otro. ¿Cuál es la amplitud de cada uno de esos ángulos
adyacentes?
14. Las longitudes de los tres lados de un triángulo son números consecutivos. Si el perímetro del triángulo es 72 mm, ¿cuáles son las
longitudes de sus lados?
15. Calcula el área de un rectángulo sabiendo que la longitud el ancho
es el 60 % de la longitud de largo y su perímetro es 64 cm.
16. En un torneo de fútbol suramericano se anotaron 48 goles en total, de estos
16 anotó el equipo de Argentina, 12 el de Brasil y cuatro el de Colombia.
Halla la razón entre:
a) El número de goles anotados por Argentina y el total de goles
anotados en el torneo.
354
CAPÍTULO 3
b) El número de goles anotados por Brasil y el total de goles anotados
en el torneo.
c) El número de goles anotados por Colombia y el total de goles
anotados en el torneo.
d) El número de goles anotados por Argentina y el número de goles
anotados por Brasil.
d) El número de goles anotados por Brasil y el número de goles anotados por Colombia.
17. La razón entre las hectáreas sembradas de col y lechuga en un organopónico es dos: Si hay sembradas 30 hectáreas de col,
a) ¿cuántas hectáreas hay sembradas de lechuga?
b) ¿cuántas hectáreas hay sembradas en total?
18. Se realizó una encuesta a 840 personas para conocer quién es el mejor
jugador del mundo actualmente entre el argentino Lionel Messi y el
portugués Cristiano Ronaldo. Dos de cada tres encuestados votó por
el astro argentino.
¿Cuántos votos obtuvo cada jugador?
19. Sea el conjunto M = {1; 3; 7; 9; 12; 2; 24; 60}
Forma subconjuntos de M cuyos elementos estén en la razón:
1
2
1
b)
c)
d) 7
a)
3
5
4
20. Las tablas 3.37 a 3.39 muestran proporcionalidades directas o inversas.
Identifica qué tabla corresponde a cada una, halla el factor de proporcionalidad y completa la tabla.
Tabla 3.37
Masa de aluminio
2,7 5,4
Volumen del aluminio
1
2
13,5
3
Tabla 3.38
Cantidad de obreros
Tiempo (en día)
14
1
18
9
6
42
355
MATEMÁTICA
Tabla 3.39
Cantidad de
piezas producidas
120
Tiempo (en hora)
2
300 510
2,5
5
21. En la CPA de Holguín “Guillermón Moncada” se alcanzó en el año
2012 un rendimiento aproximado de 7,1 toneladas por hectárea en
el cultivo del arroz. Si la CPA cuenta actualmente con 26 hectáreas
sembradas de arroz.
a) ¿Cuántas toneladas de arroz se podrán cultivar de mantener igual
rendimiento?
b) ¿Cuántas hectáreas se necesitan sembrar para obtener 248,5 toneladas de arroz?
22. Un ganadero tiene pienso suficiente para alimentar 220 terneras
durante 45 días. ¿Cuántos días podrá alimentar con igual cantidad
de pienso a 450 terneras?
23. Si cuatro estudiantes pueden escribir en la computadora un trabajo
en ocho días, ¿ cuántos estudiantes más se necesitarían para escribir
el trabajo en el 25% de este tiempo, si se trabaja a igual ritmo?
24. Luis y Ariel observan la longitud de su sombra sobre la arena. Luis
tiene 1,80 metros de estatura y comprueba que su sombra es de
0,60 metros. ¿Cuál es la estatura de Ariel, si su sombra tenía, en
ese momento 0,55 metros?
25. Representa gráficamente las figuras siguientes:
a) Un segmento cuyos extremos son A(3; – 1) y B(0; 6).
b) La recta MN que pasa por los puntos C(– 2; – 2) y D(4;3).
c) El triángulo de vértices M (– 4;0); N(6;0) y P(1;5).
26. Dados los puntos A(3;5); B(– 4;2); C(1; – 1); D(– 2; – y E(0;0).
a) Determina las coordenadas de los puntos simétricos a los dados
respecto al eje “x“.
b) Determina las coordenadas de los puntos simétricos a los dados
respecto al eje “y“.
356
CAPÍTULO 3
c) Determina las coordenadas de los puntos simétricos a los dados
respecto al origen de coordenadas.
27. Identifica cuáles de las correspondencias siguientes son funciones.
Fundamenta tu respuesta.
a) La correspondencia de ℝ en ℝ que a cada número real asocia su
cuádruplo.
b) La correspondencia de q en q que a cada número racional asocia
su raíz cúbica.
c) La correspondencia de n en n que a cada número natural asocia
su antecesor.
d) La correspondencia de z en z que a cada número entero asocia su
sucesor.
e) La correspondencia de ℝ en ℝ que a cada número real se le asocia
el cuadrado de −2.
f) La correspondencia de z en z que a cada número entero le asocia
su mitad.
g) La correspondencia de q en q que a cada número real x → x .
h) La correspondencia de n en n que a cada número natural x → x.
28. Analiza si las correspondencias de las figuras 3.115 son funciones o
no. Fundamenta tu respuesta en cada caso.
29. Determina cuáles de las correspondencias, dadas en las tablas siguientes, son funciones y cuáles no. Fundamenta tu respuesta.
a)
b)
y
0
x
f)
c)
y
0
x
g)
0
x
h)
A
0
d)
y
B
e)
y
0
x
0
x
B
j)
A
B
i)
A
B
A
y
x
Fig. 3.115
357
MATEMÁTICA
29.1. Escribe el dominio y la imagen en las correspondencias que
consideraste como funciones.
Tabla 3.40
Tabla 3.41
x
1 1,5 2 1,5 2
a
–2 –1
0
1
2
y
2
b
8
8
8
8
3
4
5
6
8
Tabla 3.42
a
0 0,3 1,2 1,7 2
b
0
2
0
2
0
30. Sean los conjuntos F ={Messi; Cristiano, Pirlo, Neymar; Ramos; Podolski}
y P = {España; Cuba; Argentina; Brasil; Portugal; Alemania; Italia;
Inglaterra; Uruguay}.
Investiga si la correspondencia que a cada futbolista se le asocia su
país de origen, es una función.
31. Analiza si las correspondencias siguientes son funciones. Fundamenta
tu respuesta.
a) A cada imagen se le asocia su profesión (fig. 3.116).
b) La correspondencia que a cada obra
literaria del conjunto O, se le asocia su género en el conjunto G. O
= {”Oda a las casas”; “La Sierra”;
“Santa Juana de América”} y G =
{Dramático; Lírico; Épico}
c) La correspondencia que a cada país
del conjunto P, se le asocia su capital en el conjunto C. P ={Cuba;
Venezuela; Bolivia; Ecuador, Rusia;
Japón; España} y C = {Tokio; La Paz;
La Habana; Moscú; Caracas; Lima;
Beijing; Buenos Aires}
photographer
teacher
cameraman
sportsman
secretary
actress
policeman
Fig. 3.116
358
CAPÍTULO 3
32. Sea la función f definida en el conjunto de los números reales por la
ecuación f(x) = 3x – 5.
a) Represéntala en un sistema de coordenadas rectangulares.
b) Analiza su monotonía. Argumenta tu respuesta.
1
c) Verifica si el punto M ; 6 pertenece a la función f.
3
d) Calcula: 2f(– 1) + 3 64 .
e) Determina el área del triángulo limitado por la recta que representa
la función lineal y los ejes de coordenadas.
f) Halla el valor de “a” si f(2a) = f(a – 1)
33. Sea la función g definida por la ecuación g(x) = mx – 2 y A(2; –1) un punto
de su representación gráfica.
a) Determina el valor de la pendiente de la recta.
b) Representa gráficamente la función g.
c) Calcula su cero.
d) Analiza su monotonía. Fundamenta tu respuesta.
e) Prueba que:
g( 4 ) 4g(1)
10
7
f) Halla la abscisa del punto de la gráfica de g cuya ordenada es – 3.
34. Determina la ecuación de una función lineal h cuya gráfica pasa por
los puntos P(2;3) y R(– 2;1).
a) Traza en un sistema de coordenadas el segmento PR.
b) Escribe las coordenadas de un punto que se encuentre sobre el
segmento PR
c) Traza desde los puntos P y R segmentos perpendiculares al eje “x“ y
calcula el área del cuadrilátero limitado por el segmento PR, los dos
segmentos trazados y el eje “x“.
y
35. En la gráfica aparece representada una función lineal de
ecuación f(x) = mx + n, figura 3.117.
35.1. Clasifica en verdadero (V)
o falso (F) las proposiciones
siguientes. Argumenta las
que consideras falsas.
4
8
-2
x
-4
Fig. 3.117
359
MATEMÁTICA
a) ___ La función f es creciente.
4
12
b) ___ La ecuación de la función f es f ( x ) x .
5
5
c) ___ El dominio de f es el conjunto de los números reales.
d) ___ El cero de la función f es (3;0).
e) ___ La intersección de la gráfica con el eje de las ordenadas
es el punto de coordenadas (0;2,4).
f) ___ El par (–1; 3,2) pertenece a la representación gráfica de f.
g) ___ Al calcular f(-2,5) se obtiene un número fraccionario.
h(dm)
36. Una piscina de clavado llena de
agua se comienza a vaciar a las 30
8:00 pm utilizando una bom- 25
ba de agua. Al cabo de cierto
tiempo se detiene el proceso
de extracción por fallas de una
bomba y se enciende la otra. La
gráfica (fig. 3.118) muestra la
variación de la altura del agua
0
10 10,5
t(min)
en la piscina.
Fig. 3.118
36.1. Completa los espacios en blanco.
a) Al iniciarse el proceso de vaciado de la piscina, la altura del agua
era de ______.
b) La bomba de agua se cambió a las _____ pm.
c) A las 8:10 pm el agua alcanzaba una altura de: _______.
36.2. Selecciona la respuesta correcta.
a) La ecuación que describe el proceso de vaciado durante los diez
primeros minutos es:
___ h = 0,5t + 30
___ h = – 0,5t + 30
___ h = – 0,5t + 25
___ h = – 25t + 30
b) La bomba de agua se cambió en:
___ 30 minutos ____ 30 segundos ___ 10,5 minutos ____ 5 minutos
36.3. ¿A qué altura se encontraba el agua de la piscina a los cuatro
minutos de iniciado el proceso de vaciado?
36.4. ¿A los cuántos minutos de iniciado el proceso de vaciado la
altura del agua alcanzó los 26 dm?
360
CAPÍTULO 3
36.5. Si a partir de que empieza a funcionar la segunda bomba de
agua, la altura del agua varió según la ecuación h = – 5t + 77,5,
¿cuántos minutos en total demoró la piscina en vaciarse?
36.6. Representa en la misma gráfica el proceso de vaciado de la
piscina después que empieza a funcionar la segunda bomba de
agua.
36.7. ¿Cuál de las bombas de agua utilizadas tuvo mayor rendimiento?
Argumenta tu respuesta.
37. En la gráfica (fig. 3.119) se ha representado la variación de la
temperatura de dos sustancias A
y B, a partir de las 9:00 am. La
ecuación que describe el comportamiento de la variación de la
5
temperatura B es T = − t + 20.
4
T(oC)
0
-15
2
3
4
t(h)
a) Identifica cuál es la gráfica
que representa la variación de
temperatura de la sustancia A.
Fig. 3.119
Argumenta.
b) ¿Cuál era la temperatura inicial de cada sustancia?
c) ¿Cuál de las sustancias es la que su temperatura disminuye?
Argumenta.
d) ¿A qué hora cada sustancia alcanzó los 0oC?
e) ¿A las cuántas horas de iniciada la medición las sustancias A y B
alcanzaron la misma temperatura y de cuánto fue?
38. Una parada de ómnibus se encuentra a 200 m de la casa de María, ella
tarda cinco minutos en llegar a la parada. Al cabo de diez minutos
de estar esperando el ómnibus, decide ir caminando a su centro de
trabajo, situado a dos kilómetros de su casa. Al transcurrir un cuarto
de hora de estar caminando se encontraba a 1 200 metros de su trabajo, se percata que había olvidado en su casa el informe que debía
entregar al director de su centro de trabajo y regresa a buscarlo,
tardando 10 minutos en llegar.
a) Representa la gráfica de tiempo- distancia con la situación descrita.
361
MATEMÁTICA
b) Escribe la ecuación de la función lineal que describe la distancia
recorrida por María entre los 15 y30 minutos.
c) Si María salió de su casa alas 7:00a.m., ¿a qué hora llegó a su casa
cuando regresó?
d) ¿ Cuántos metros caminó María desde que salió de su casa hasta
su regreso?
PARA LA AUTOEVALUACIÓN
Reflexiona sobre lo aprendido
► ¿Cuál es el grado de un polinomio?
► ¿Qué tienes en cuenta cuando eliminas los paréntesis en una expresión
algebraica?
► ¿Cómo procedes al efectuar la multiplicación de dos polinomios?
► ¿Cuál es la relación existente entre el dividendo, el divisor y el resto, en
la división de un polinomio por un binomio?
► ¿Cuándo una ecuación en una variable es lineal?
► ¿A qué llamamos razón? ¿Y proporción?
► ¿Cómo determinas si una proporcionalidad es directa o inversa?
► ¿Sabes resolver problemas de proporcionalidad?
► ¿A qué llamamos función?
► ¿Cuál es el dominio y la imagen de una función?
► ¿A qué llamamos función lineal?
► ¿Qué representan en la ecuación f(x) = mx + n los parámetros m y n?
► ¿Cuál es la representación gráfica de una función lineal?
► ¿Sabes escribir la ecuación de una función lineal?
► ¿Sabes hallar su cero?
► ¿Cuál es la monotonía de una función lineal y de qué depende?
► ¿Cómo interpretar gráficos de funciones lineales definidas por tramos?
PONTE A PRUEBA
1.
362
Dadas las expresiones M = 4x2 + 18x – 7, N = 5x3 – 3x2 – 32x – 12, P = x – 3
a) Halla el valor numérico de la expresión 2P – [M – 3N] para x = – 3.
b) Calcula N : P – M.
CAPÍTULO 3
2.
Resuelve las ecuaciones siguientes
a) 4x + 3(2x – 5) = 19 – 2(7 – 3x) b) 10 – (x +2)(x + 4) = 5x – x(x – 3)
3.
Alejandro le dice a sus compañeros de aula: “Mañana es el cumpleaños de mi mamá. La cantidad de años que cumple es el triplo
de los que cumplió hace 26 años”. ¿Cuántos años cumple la mamá de
Alejandro?
4.
En 50 L de agua de mar hay 1 300 g de sal.
a) ¿Cuántos litros de agua de mar contendrán 5,2 kg de sal?
b) ¿Cuántos gramos de sal hay en 20 L de agua de mar?
5.
Para envasar cierta cantidad de vino se necesitan ocho toneles de
200 L de capacidad cada uno.
a) Para envasar la misma cantidad de vino empleando 32 toneles,
¿cuál deberá ser la capacidad de esos toneles?
b) Si se consiguen toneles de 8 L de capacidad, ¿cuántos toneles se
necesitarán para envasar esa cantidad de vino?
6.
Escribe verdadero (V) o falso (F) según corresponda. Argumenta las
que consideres falsas.
a) ___ La ecuación 2(x + 1) = 7 tiene solución en el conjunto de los
números naturales.
b) ___ Las ecuaciones x(x + 5) + 7 = 2x – x(1 – x) y 5x + 7 = x son
equivalentes.
c) ___ Toda ecuación lineal tiene solución en el conjunto de los números reales.
d) ___ La correspondencia definida de z en z que a cada número
entero le asocia su mitad aumentada en cinco, es una función.
e) ___ La función f definida en el conjunto de los números reales por
la ecuación f(x) = – 2 + 4x es decreciente.
2
f) ___ Sea la función g dada por su ecuación g(x)= – x – 4, entonces
5
2
g = – 3
5
g) ___ Toda ecuación de la forma y = n representa una recta paralela
al eje de las ordenadas.
h) ___ El par (–2;2,5) pertenece a la representación gráfica de la
función t(x) = – 0,2x + 2,1.
363
MATEMÁTICA
7.
Marca con una X la respuesta correcta:
1
a) La función f de ecuación f x x 3;
3
___ tiene cero x = 9
___ es creciente
___interseca al eje y en – 3.
b) La pendiente de la recta que pasa por los puntos M(2; 7) y
N(3; – 1) es:
1
1
___ 6
___ −
___ – 8
___−
8
6
c) De las gráficas de la figura 3.120 la que corresponde a la función
h de ecuación h(x) = 4 – 8x es:
y
y
y
4
4
4
0 0,5
1
x
-1 -0,5 0
0
x
1
1
2
x
Fig. 3.120
d) El par ordenado que pertenece a la representación gráfica de la
2
función g de ecuación g x es:
5
2
2
___ (0;0)
___ ; 0
___ 0;
___ No se puede determinar
5
5
8.
Un frigorífico almacena varios productos. A las 8:00 a.m. se abre para
cargar varios camiones que transy
portarán los productos hacia varios
10
destinos. La gráfica (fig. 3.121)
muestra la variación de la temperatura del frigorífico durante el
tiempo que duró la descarga.
0
x
8.1. Completa los espacios en
2
1
3 4 4,5 5
blanco.
a) La temperatura en el frigorífico a las 8:00 a.m. era
de ___°C.
364
-10
Fig. 3.121
CAPÍTULO 3
b) A las 8:45 a.m., la temperatura en el frigorífico era de ___°C.
c) La temperatura en el frigorífico estuvo ascendiendo durante ___
d) Entre las dos y las cuatro h, la temperatura en el frigorífico
varió ___°C.
8.2. Marca con una X la respuesta correcta.
a) La temperatura en el frigorífico alcanzó los 0 °C a las:
___8:30 a.m. ___11:00 a.m. ___8:03 a.m. ___3:00 p.m.
b) A partir de las 4 h la temperatura del frigorífico no varió durante:
___5 min
___50 min
___30 min
___4 h 5 min
c) La ecuación que describe el proceso de ascenso de la temperatura en el frigorífico es:
___T = 10t – 10 ___T = 10t + 10 __T = 10t + 30 __T = 10t – 30
8.3. A partir de las cuatro horas y media se cierra el frigorífico y la
temperatura comienza a descender. Si la ecuación que describe
dicho proceso es T = mt + 70, ¿qué tiempo demoró el alcanzar
nuevamente los 0 °C la temperatura del frigorífico?
8.4. Representa en la misma gráfica, el proceso de descenso de la
temperatura hasta que el frigorífico alcanza nuevamente su temperatura inicial.
365
Respuestas de los ejercicios
Capítulo 1
Epígrafe 1.1
1.
b) Tendrá que trasladarse 2 077 m
2.
No usan espejuelos 360 niños
3.
La botella cuesta $1,05
4.
A = 19,3 B = – 5. C =
c) La distancia será de 2 248 m
5.
4
9
D
9
80
4.1.1. d)
4.1.2. d)
4.1.3. d)
E = –7 F = –7 G = – 1
6.
a)
Enteros
b) Es subconjunto de los números racionales.
c) Son iguales
d) G, porque está más cerca del cero en la recta numérica.
e) –8
f) –6
g) –8 y –6
h) Al opuesto de F
i) Potencia de potencia o producto de potencias de igual base.
j) cinco
El valor de la expresión es 3,5
7.
a) –13,3
b) Al conjunto de los números racionales.
8.1 3,2 > 2 > 2 3 1 3 2, 3 9
3
2
a) La pareja es: dos y − 3
b) La diferencia es: 12,2
2
c) La base es tres d) 5,5
8.2 Entre dos y tres
3
8.3 Hay que adicionar la fracción
4
366
4.1.4. a)
RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS
10. Representa aproximadamente el 19 %
11. El comercio exterior chino sumó 27,81 billones de yuanes (4,1 · 109 USD)
en el año 2017.
12. Estaban laborando en el país 44 150 400 personas al concluir el año 2017.
14. a) En la caja quedan 16 pomos. b) Se han abierto seis cajas.
15. Se quedó con 96 libros.
a) Verdadero b) 50 %
16. La masa del trozo cortado es de 36,3 kg.
17. Tardará en llenar los cuatro botellones en seis minutos.
18. a) En un mes se producen 7 200 machetes, 12 600 guatacas y 4 200 de
otros instrumentos.
b) El 52,5 % de lo producido en un mes corresponde a las guatacas.
c) Se encuentra en la razón 1 : 3.
19. Cristina tiene 22 años y ocho meses.
20. No son ni tartaletas ni pasteles 288 dulces.
a) Su ganancia es de $540,00. b) La cantidad es de 18 pasteles.
21. Sí, tiene sentido lo que dice.
22. a) Quieren ser profesores de inglés ocho integrantes del Círculo de Interés.
b) Representa el 5 % del total, los que quieren ser profesores de
matemática.
23. 14 + 32 = 46
46 · 3 = 138
138 : 2 = 69
69 – 1 = 68
24. Se puede introducir una bola.
Epígrafe 1.2
1.
Sí, porque los números irracionales son expresiones decimales infinitas
no periódicas.
367
MATEMÁTICA
2.
3.
a) ⊂
i) ⊂
a) V
b) ∉
c) ⊄
j) ∉
d) ∈
k) ∩
l) ∩
e) ⊂
m) ∉
f) ∉
g) ∈
n) ∈
h) ∉
ñ) ∩
b) F, porque es subconjunto.
c) F, porque es subconjunto.
d) V
e) F, porque pertenece.
f) F, porque sí pertenece.
g) V
h) F, porque la expresión tiene que ser infinita periódica.
i) F, porque no pertenece.
j) F, porque no es subconjunto.
k) V
l) F, porque 3 8
m) V
ñ) F, porque
3 3; 3 Q
p) F, porque
5 5 0 ; 0 Q
3
3
n) F, porque es subconjunto.
o) V
q) V
4.
a) Q
5.
a) El conjunto numérico más restringido de:
−
b) N
2
es Q 3 es N
3
4 es N
c) Q+
d) Q
e) z
f) I
g) I h) Q+
5 es I 0,4 es Q+
–4 es z
0 es N 6,0 es N
1
1 es Q+
3
1
2
b) –5,6 < – 4 < − < 0 < 0,4 < 1 <
3
3
2 2 Q.
4 <
i) Q
–5,6 es Q
5 < 3 < 6,0
1
2
c) 1. B ; 3; 0, 4 ; 4 ; 4 ; 0; 6, 0;1 ; 5, 6
3
3
2
2. C ; 5, 6
3
3. D 3; 4 ; 4 ; 0; 6, 0
4. E 4 ; 0; 4 ; 3
d) 1. ⊂ 2. ⊄ 3. ⊂ 4. ⊂ 5. ⊂
e) Infinitos números, porque el conjunto de los números reales
es denso.
368
RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS
7.
R/Q=IR/I=QQ/I=QI/Q=I
8.
n = 1;
5 +1
, n = 2;
2
8 2
2 1 , n = 3;
2
12.* a) l: 3,0 cm; a: 4,0 cm; h: 12 cm
13 + 3
.
2
b) l: 6,0 dm; a: 8,0 dm; h: 24 dm
Epígrafe 1.3.1
1.
a) No corresponde a estudios realizados dentro de la estadística descriptiva, pues se está realizando el estudio de un hecho aislado que
es la producción de huevos en un día.
b) Sí corresponde a estudios realizados dentro de la estadística descriptiva, pues se está realizando el estudio de un conjunto de datos
que se obtienen a partir de las notas que los estudiantes del grupo
han obtenido en Matemática.
c) Sí corresponde a estudios realizados dentro de la estadística descriptiva, pues se está realizando el estudio del comportamiento de
las votaciones durante un período de tiempo que en este caso es
del año 1999 al año 2013.
d) No corresponde a estudios realizados dentro de la estadística
descriptiva, pues se está realizando el estudio de un hecho
aislado que es la preferencia por los programas musicales de
una persona.
e) Sí corresponde a estudios realizados dentro de la estadística descriptiva, pues se está realizando el estudio del comportamiento
de la cantidad de lluvia caída durante un período de tiempo que
en este caso es de 12 meses.
2.
a) Población: Los estudiantes de octavo grado de la escuela secundaria
básica.
Muestra: Los 40 estudiantes seleccionados.
b) Población: Unidades de bombillos incandescentes que se producen
diariamente en la fábrica (en este caso son 12 100 unidades).
Muestra: Las 3 025 unidades seleccionadas.
c) Población: Total de viviendas de la circunscripción.
Muestra: El 20 % de estas viviendas.
d) Población: Pacientes que ingresaron al hospital en un día (en
este caso 540).
369
MATEMÁTICA
Muestra: Los 54 pacientes seleccionados para hacer el estudio.
e) Población: Total de pobladores de Pensilvania.
Muestra: Las 200 personas seleccionadas para hacer el estudio.
4.
a) La muestra, porque es una parte representativa de los nacidos en
el quinquenio.
5.
a) De acuerdo
b) No estoy de acuerdo, porque la variable cantidad de estudiantes
toma un número finito de valores numéricos los cuales se hacen
coincidir con números enteros.
c) No estoy de acuerdo porque la variable la cantidad de juegos ganados o perdidos toma un número finito de valores numéricos los
cuales se hacen coincidir con números enteros.
d) De acuerdo
e) De acuerdo
f) No estoy de acuerdo porque la variable calidad de las clases se refiere a los atributos que expresan una cualidad que no puede tomar
valores numéricos. Por ejemplo: muy bien, bien, regular, mala.
6. a) Seleccionaría una muestra representativa de la producción diaria
y le aplicaría los criterios de calidad establecidos por el Ministerio
de la Agricultura.
b) Población: Producción total de huevos que en este caso es de 6 000.
c) Muestra: La cantidad de huevos seleccionados para aplicarle los
criterios de calidad establecidos por el Ministerio de Agricultura.
d) Tabla 1.1
Tipo de
variable
V
Valo
res
Valores
de la variable
Calidad de la producción
diaria de huevos durante el
trimestre
Cualitativa
Buena, regular y mala
Promedio de la cantidad de
huevos diarios que ponen las
gallinas en el trimestre
Cuantitativa
Cualquier valor real
Nivel cultural de los trabajadores
Cualitativa
Primario, Medio básico, Medio superior y
V
Variable
370
RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS
Tabla 1.1 (cont)
Tipo de
variable
V
Variable
V
Valo
res
Valores
de la variable
Cantidad de ausencias de
cada trabajador durante el
trimestre
Cuantitativa
0; 1; 2; 3; 4; 5;…
Organización de los trabajadores por turnos de trabajo
Cualitativa
Turno A, Turno B,
Turno C, ...
7.
b) Falsa. La frecuencia absoluta es el número de veces que aparece
el dato repetido.
d) Falsa. La frecuencia relativa es el cociente de la frecuencia absoluta
por la cantidad de datos.
e) Falsa. La suma de la frecuencia relativa es igual a la unidad (1).
f) Falsa. La suma de la frecuencia relativa es igual al 100% cuando
se expresa en términos porcentuales.
8.
a) Categórica
b) Numérica
c) Categórica
d) Numérica
e) Categórica
f) Numérica
9.
a)
Cantidad
de hermanos
Frecuencia
absoluta
Frecuencia
relativa
0
5
0,17
1
6
0,2
2
10
0,33
3
2
0,07
4
4
0,13
5
2
0,07
6
1
0,03
Total
30
1,00
c) Nueve estudiantes tienen más de dos hermanos. Representan
el 30 %.
10. b) Tabla 1.2
371
MATEMÁTICA
Salto
de altura
(m)
Conteo
Frecuencia Frecuencia
absoluta
relativa
Frecuencia
relativa
porcentual
2,30
//// //// //// //// ////
//// //// //// //// //// /
51
0,27
27 %
2,31
//// //// //// //// /
21
0,11
11 %
2,32
//// //// ////
13
0,07
7,0 %
2,33
//// //// ///
13
0,07
7,0 %
2,34
//// //// //// ///
18
0,09
9,0 %
2,35
//// //// //// //// /
21
0,11
11 %
2,36
//// //// //// //
17
0,09
9,0 %
2,37
//// //// ////
15
0,08
8,0 %
2,38
//// //
7
0,04
4,0 %
2,40
//// //// ///
13
0,07
7,0 %
c) El salto que realizó con más frecuencia fue de 2,30 m
d) La altura promedio de los saltos realizados fue aproximadamente
de 2,35 m
11. a) Cantidad de ramos vendidos por el Día de las Madres. Variable
cuantitativa.
b) Numérica
c) Tabla de Distribución de Frecuencias
Tipos de ramos
de acuerdo con la
cantidad de flores
Frecuencia
Absoluta (Fi)
Frecuencia
relativa (fi)
6
4
0,13
10
8
0,27
12
9
0,30
18
5
0,17
24
4
0,13
30
1,00
d) El ramo más vendido fue el de 12 flores
372
RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS
e) El porciento que representa del total de ramos vendidos es el 30 %
f) El gráfico de barras pues me permite hacer la comparación de la
cantidad de ramos vendidos de acuerdo con su tipo.
12. c) X La frecuencia relativa correspondiente a la edad de 16 años es
el 25 %.
13. a) Población: Matrícula de la escuela que, en este caso, es de
500 estudiantes.
Muestra: Estudiantes seleccionados que, en este caso, es de
40 estudiantes.
b) Motivación por el estudio de las Matemáticas
c) Tabla de Distribución de Frecuencia Absoluta y Frecuencia relativa:
Categoría
Frecuencia
absoluta (Fi)
Frecuencia
relativa (fi)
Siempre
7
0,175
Casi siempre
6
0,15
A veces
14
0,35
Casi nunca
11
0,275
Nunca
2
0,05
Total
40
1,00
d) Categórica
e) Categoría más frecuente: A veces Categoría menos frecuente: Nunca
f) No es posible, pues la variable es cualitativa.
Tabla 1.4
Problemas Frecuencia
resueltos
relativa
20
3
20
los estudiantes.
Variable: Cuantitativa
b) La frecuencia absoluta es siete, porque
7
la frecuencia relativa es
20
c) Resolvieron 12 problemas cinco estudiantes
15
7
20
12
5
20
10
1
10
d) Tabla 1.4
5
3
20
14. a) Cantidad de problemas resueltos por
373
MATEMÁTICA
e) Resolvió menos de 12 problemas la cuarta parte de los estudiantes
f) El 75 % de los estudiantes aprobó el concurso
g) La media aritmética de la cantidad de problemas resueltos fue de 13
problemas.
Epígrafe 1.3.2
1.
a) Variable: Tasa de mortalidad infantil. Variable cuantitativa
c) (Fig. 1.22)
Tasa de Mortalidad Infantil de seis países
de Las Américas
46,8
...
ica
ico
Re
pú
bl
éx
M
ití
Ha
U
17,5
11,6
0
.U
Cu
ba
4,4
Co
lo
m
bi
a
13,6
EE
50
40
30
20
10
0
Tasa de Mortalidad
Fig. 1.22
a) El total de plazas para el Curso Diurno es de 38 744.
b) Se ofertó mayor
Cantidad de plaza ofertadas por el Ministerio
cantidad de plade Educación Superior para el Curso Diurno
en el curso escolar 2020-2021
zas a las carreras
11
487
de Ciencias Mé12 000 8 818
10 000
dicas.
6 001
8 000
6 000
3 400
c) Representa apro1 850 2 470 1 554 1 415 1 548
4 000
166 35
2 000
0
ximadamente el
30 % del total de
plazas ofertadas.
d) (Fig. 1.23)
3.
a) (Fig. 1.24)
Ci
en
cia
sp
e
Ci dag
en
ci ógi
Ci as M cas
e
Ci nc
en ia édic
ci s T as
Ci as E écn
en co ic
Ci
a
en cias nóm s
cia
So
ica
c
Ci s Ag iale s
en ro
sy
cia p
s N ecu ...
at ari
ur as
Cu ales
ltu
y
ra ...
Fís
ica
R
A
Ca
e
rre lac rte
ra ion
s M es
ilit ...
ar
es
2.
Cantidad de plazas
374
RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS
Temperatura ambiental de un día invernal en Chile
T
e 6
5
m 4
p 3
e 2
r 1
a 0
t –1
u –2
r –3
a –4
Temperatura
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Horas
10
b) Hubo más frío a las 10 p.m., porque a esa hora estaba a 3º bajo cero.
c) Descendió 8,3°C
4.
4. 4.1 c) X La frecuencia relativa correspondiente a los 37°C es 0,2.
4.2. Significa que es la temperatura que menos se registró, solo dos
veces en el día.
4.3 (Fig. 1.25)
Temperatura en grados celsius en una ciudad
durante diferentes horas del día
12
10
8
6
4
2
0
10
6
8
4
2
38 ºC
37 ºC
36 ºC
35 ºC
34 ºC
Frecuencia absoluta
Fig. 1.25
5.
a) La variable estadística es: Motivos por los cuales los jóvenes
comienzan a fumar.
b) Se clasifica como: Variable cualitativa
Epígrafe 1.3.3
1.
a) Verdadera
b) Falsa, porque tendría que ser numérica.
375
MATEMÁTICA
c) Verdadera
d) Falsa, porque puede no existir.
e) Falsa, porque se divide por la cantidad total de datos.
f) Falsa, porque eso solo ocurre cuando el conjunto de datos es impar.
g) Verdadera
h) Verdadera
i) Falsa, porque la moda es el dato que más se repite.
j) Falsa, porque también se puede calcular con variables cuantitativas.
3.
c) ____ 90 puntos
4.
a) No, porque la variable es cualitativa
b) Tabla de Frecuencia absoluta y Frecuencia relativa.
c) La moda es la preferencia por el IPVCE, porque es el dato que más
se repite en este conjunto de datos.
5.
La moda
6.
No hay moda, es amodal.
7.
c)
8.
La respuesta correcta la tiene Marcos.
9.
a) 2,07
b) a
c) a + 1
11. a) Falsa b) Falsa c) Falsa d) Verdadera. Ejemplo: 6; 4; 4; 2.
12. Seleccionaría como salario medio más representativo $4 935,00 y me
auxiliaría para tomar esa decisión en la mediana.
13. a) Que casi nunca se utiliza ese software en las clases de matemática
en esas escuelas. Porque si analizamos la moda, el dato que más
se repite es Casi nunca.
Ejercicios del capítulo
1. –c > a
6.
376
2. 60 %
3. c)
4. c)
5. d)
Tardará en llenar la cisterna 400 min. o seis horas y 40 min.
RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS
7.
Después de cargar los 180 sacos, su masa total es de12 230 kg.
Después de bajar el 70 % de los sacos su masa es de 6 434 kg.
8.
a) De la tercera a la cuarta parada viajaban en el ómnibus 81 personas.
b) El 120 %.
9.
a) Q > P b) 2,22 10. En seis horas y 15 min.
11. – 2 ∈ Z 12. A = B
13.1. a) 1)
13.2. b) 1)
32
2) 2
24 ⋅ 55 ⋅ 7
a3 ⋅ c 2
b
4
32 5 5 7 1
3
1
2
2) a b c (b ≠ 0)
14.2 B = 15. El conjunto numérico más restringido al que pertenece
el valor numérico de B es el conjunto de los números naturales
y el más amplio es el conjunto de los números reales.
15. 0,7 ⋅ 104
17. a) ∈
f) ∈
18. a) 28
16. a) Y < Z < X b) N
b) ∈
g) ∉
c) ⊄
h) ∈
d) ∈
i) ⊄
e) ⊂
b) 31,44 %
c) Estados Unidos, Japón, Australia, Canadá, Brasil, Nueva Zelanda
y Cuba
d) Séptima
e) 20 % f) Seis
Cantidad de medallas de oro obtenidas por los primeros
16 países en la Olimpiada de Tokio 2020
40
30
20
10
0
EE
.U
U
Ch
in
Re Jap a
ino ón
Un
ido
R
Au OC
Pa str
íse ali
sB a
ajo
Fra s
Al ncia
em
an
ia
Ita
lia
Ca
na
Nu
d
ev Br á
a Z as
ela il
nd
a
Cu
ba
Hu
ng
ría
18.1
Medallas de oro
Fig. 1.26
377
MATEMÁTICA
18.2
Cantidad de MEdallas de Plata obtenidas
por los primeros 16 países en la Olimpiada de Tokio 2020
EE
.U
U
Ch
ina
Re Jap
ino ón
Un
ido
Au ROC
s
Pa trali
a
íse
sB
ajo
Fra s
Al ncia
em
an
ia
Ita
l
Ca ia
na
dá
Nu
Br
ev
a Z asil
ela
nd
a
Cu
b
Hu a
ng
ría
50
40
30
20
10
0
Medallas de Plata
CAPÍTULO 2
Epígrafe 2.1.1
1.
� ), diámetro (AF), recta tangente (ED), recta seradio (AO), arco ( AB
cante (AC), cuerda (AD), centro (O).
2.
a) AO, OC, OB
b) AB, AC, BC
c) AC
d) ABC, AC
, BC
e) AB
f) recta tangente
3.
a) 3,0 cm
4.
a) Falso, las circunferencias de igual centro son concéntricas y tienen
diferentes radios
b) V
c) V
d) V
6.
, ∢DOB = BD
, ∢DOC = CBD
∢COA = AC
7.
8.
378
b) 90º
c) recta exterior
= 82º y BC
= 38º b) AB
= 120º, CD
= 120º
a) AD
c) ∢AOB = 120º, ∢COD = 120º
= 67,5º.
∢COD = 67,5º y AB
d) recta secante
RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS
9.
= 240º
a) ∢COB = 60º, ∢DAB = 30º, ∢ABO = 30º, ∢ABC = 120º,BDA
= RQ
c)145º
10. a) acutángulo b) SR
= CD
= 70º
11. AB
= 30º, DC
= 150º, ABC
= 330º, ∢DOC = 150º
12. AC
= 80º b) isósceles
13. a) AC
14. 120º
15. 72º
= BD
(I), AC
AB
BC
y BD
BC
CD
, al sustituir en (I), entonces
16. AC
� + BC
� = BC
� + CD
� de donde AB
� = BC
�
AB
Epígrafe 2.1.2
2. ∢AOB = 70º, ∢ADB = 35º, AB
= 70º
1.
c)
3.
b)
4.
a) rectángulo b) 50º
5.
b)
7.
8.
∢AOE = 160º
9.
a) NP = 90º b) isósceles
6. c)
8.1. a) ∢AOC b) ∢ABC 8.2. 250º
10. 10. ∢OAB = 30º, ∢ABC = 120º
11. 11. ∢ABE = 40º
12. PR
= 145º
120 º
=
60 º y DB
13.
a) CD =
b) 6,3 cm
=
º,
BDC 120 º ,
ABD = 160 º b) No, M ∉ AD
14. =
a) BAC 60
15. a) ∢B = 90º b) sugerencia: probar que ABCD es un rectángulo.
379
MATEMÁTICA
16. b) AMNP = 6,0cm2
c) PMNP = 12 cm
17. ∢ODC = 65º, ∢BCD = 135º
18. ∢AOB = 100º
Epígrafe 2.1.3
1.
2.
3.
4.
5.
a) ∢DEB = ∢DEM b) ∢MCH = ∢FCH, ∢MBI = ∢EBI
∢DAB = 50º, ∢AOB = 100º, ∢CAB = 90º
= 140º, ∢AMB = 70º
∢AMB = 104º ∢AOB = 140º
6.
Los ángulos: ADB, DCA, DBA y ACB son inscritos a la circunferencia,
el ∢AMB es interior a la circunferencia y ∢AOB es central.
7.
10. Pepe
∢ABM = 46º, ∢BAT = 46º, ∢MAB = 88º, ∢AOB = 92º
Epígrafe 2.2.1
1.
Ver figura 2.236 a)
Fig. 2.236 a)
2.
380
a) F (todo pentágono es un polígono convexo).
RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS
d) F (todo polígono regular se puede inscribir a una circunferencia)
3.
a) Ver figura 2.237
b) Ver figura 2.238
c) El lado del hexágono es igual a 0,2 dm o 2,0 cm y r = l = 2,0 cm
(fig. 2.239).
C
B
120º
12
0º
0º
12
H
A
90º
D
E
C
Fig. 2.237
F
Ver figura 2.240
6.
a) 1 620º
b) Puede tener 3, 4, 5, 6, 9 o 10 lados
c) α = 156º
60º
F
B
A
A
Fig. 238
4.
D
E
G
B
Fig. 239
J
7.
a) 3,0 cm b) 24 cm c) 36 cm
8.
AABCD = 50,0 cm2
E
D
K
I
60º
F
2
es también el centro de la circunferencia
circunscrita al cuadrado, por tanto, las diagonales AC y BD se cortan en O (fig. 2.241).
El triángulo AOB es rectángulo e isósceles
H
B
A
G
Fig. 2.240
D
C
de base AB, AB ⊥ OP, es altura y mediana
r=
AB
C
L
9.* El centro O de la circunferencia inscrita,
a la vez, por tanto, OP =
C
AB
2
0
A
, pero r = OP,
P
B
Fig. 2.241
2
2 r = AB
luego d = AB
10. a) Isósceles de base AE b) Rectángulo en E
= 120 º
c) AF
381
MATEMÁTICA
d) 240º
Epígrafe 2.2.2
e) Pp = 6 ⋅ 6 = 36 cm
1.
a) L = 11 cm
b) L = 13 dm
c) L = 188 mm
2.
a) L = 6,3 km
b) L = 38 dm
c) L = 8,8 m
3.
a) r = 1,00 m
b) r = 3,5 km c) r = 20,00 cm
4.
La longitud aproximada del arco sería 3 334 km.
5.
El tractor ha avanzado 1,5 km, cuando cada rueda ha dado 400 vueltas.
6.
Cada rueda tiene que dar 50 vueltas para recorrer 78,5 m.
7.
La suma de los arcos es aproximadamente de 13 m.
8.
Ver tabla 2.7
Tabla 2.7
9.
9. L ≈ 97 cm
10. b ≈19 cm
11. c) La longitud del arco �
BC es igual a 2,5 dm.
12. a) El triángulo ABC es rectángulo, porque el ángulo C está inscrito en
un arco de circunferencia de amplitud igual a 180º.
b) La cuerda AB es la mayor de las cuerdas, o sea, es el diámetro de
la circunferencia.
c) L = 7,5 cm.
382
RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS
13. El recorrido del asiento del columpio cuando el ángulo es máximo
es de 3,8 cm.
14. El extremo libre del minutero, al avanzar 20 min recorre aproximadamente 13 cm.
Epígrafe 2.2.3
1.
1-F, 2-D, 3-A, 4-B, 5-C, 6-E
2.
El área del círculo se puede calcular utilizando la relación
3.
a) AC ≈ 154 cm2
b) AC ≈ 79 m
a) r ≈ 2,8 mm
b) d = 20,0 cm
4.
5.
6.
7.
8.
9.
a) AC ≈ 707 cm2
a) AA ≈1,4 dm2
b) AC ≈ 2,3 m2
b) AA ≈ 35 dm2
d2
.
4
c) AC ≈ 314 cm
c) AC ≈ 133 mm2
c) r ≈ 2,50 dm y d ≈ 5,00 dm
a) r = 6,0 m; d = 12 m; ASC ≈ 14 m2
b) r ≈ 4,71 cm; d ≈ 9,42 cm; AC ≈ 69,7 cm2; α ≈ 292º
c) L ≈31 cm; AC ≈ 79 cm2; α ≈ 70º; ASC ≈ 15 cm2
AS ≈ 3,4 cm2
AS ≈1,3 ⋅ 102 cm2
10. AS ≈ 1,8 ⋅ 102 cm2
11. AS ≈ 11 m2
12. ASM ≈ 1,1 m2
13. b ≈ 44 mm
14. Los niños disponen para jugar de un área aproximada de 7,8 ⋅ 103 m2.
15. La razón entre sus superficies es 0,9.
16. Es mayor 2,25 veces.
383
MATEMÁTICA
17. a) La pizza se cortó en 8 pedazos.
b) La longitud aproximada de la pizza es 94,2 cm.
18.* AS ≈ 35 cm2
19.* AS = 8,220 cm2
20.* AS = 0,64 cm2
21. * r = 2,0 cm
22. AS ≈ 1,0 dm2
Oro
Plata
Bronce
23. a) 33 medallas.
b) Oro:
33
27
≈ 0 , 34 Plata:
≈ 0 , 27
98
98
c) Ver figura 2.242
24. a) Están aún sin incorporarse el
Fig. 2.242
20 %.
b) Prefieren el círculo de
interés de gastronomía
104 educandos.
c) Amplitud del sector
(fig. 2.243 ).
25. a) Mujeres; la cuarta parte
son niños.
b) Niños: 60; mujeres: 96 y
hombres: 84.
S. Pública
Gastronomía
Deporte
No incorporados
Fig. 2.243
Epígrafe 2.3.1
1.
384
Simetría axial de eje m
Son puntos fijos los que pertenecen al eje de simetría, en particular P.
Se aceptan las rectas: MN, MP, MQ, NP, NQ, PQ y sus respectivas imágenes: M’N’, M’P’, M’Q’, N’P’, N’Q’, P’Q’
Un segmento cualquiera: MNy su imagen: M´N´
Ángulo: ∢MNP y su imagen ∢M’N’P
Simetría central de centro O: El centro O es el único punto fijo.
RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS
Se aceptan las rectas: DE, EF, FG, GD y sus respectivas imágenes: D’E’,
E’F’, F’G’, G’D’
Un segmento cualquiera: DE y su imagen: D´E´
Ángulo: ∢DGF y su imagen: ∢D’G’F’
Traslación: No tiene puntos fijos.
Se aceptan las rectas: AB, BC, AC y sus respectivas imágenes: A’B’ = CB’,
B’C’, A’C’ = CC’
Un segmento cualquiera: AB y su imagen: A´B´
Ángulo: ∢CAB y su imagen: ∢C’A’B’ = ∢C’CB’
Rotación de centro O y ángulo α
El centro O es el único punto fijo. De igual forma que en los casos
anteriores las rectas y segmentos están determinados por dos puntos.
Ver el segundo recuadro del epígrafe 2.3.1.
2.
a) CM mediana de AB; C´M imagen de CM (fig. 2.244).
b) M ortocentro de MNP por ser rectángulo; MN’P’ imagen de
MNP (fig. 2.245).
c) PS bisectriz ∢QPR y PS = QS’ segmento y su imagen por la traslación
que transforma P en Q (fig. 2.246).
3.
Simetría axial de eje s, en la cual s es la mediatriz de los segmentos
NP y MQ (fig. 2.247).
C
A
M
N
r
B
M
P
C´
N´
Fig. 2.245
Fig. 2.244
S
S´
Q = P´
M
P
S
R
Fig. 2.246
P´
Q
P
N
Fig. 2.247
385
MATEMÁTICA
Epígrafe 2.3.2
2.
a) Se ilustra uno de los resúmenes que se piden, para que se tenga
una idea de cómo hacerlo (fig. 2.248).
Diferentes casos de segmentos iguales1
D
C
D
M
C
B
B
A
Lados de un
cuadrado
Q
N
A
Lados de un
rombo
O
R
Diagonales de un
Radios de
rectángulo o
la
circunferencia trapecio isósceles
Lados opuestos
de un
paralelogramo
AM = MB
AM = MB
D
C
M
A
M
A
B
P
D
B
A
B
r
B
M: punto de
M: punto medio
intersección de las de AB : AM = MB
diagonales de un
paralelogramo ABCD
O
P: punto medio
de la matriz
___ r
de
_ AB
AP = PB
B: punto de la
bisectriz de DOC
_
DB y CB distancia del punto B
punto B a los lados del DOC:
_
DB = CB
G
F
AM = MC; BM = MD
C
F
E
E
A
B
Laterales del triángulo
isósceles ABC de base AB
C
D
H
Laterales del trapecio de
bases EH y FG
C
Lados simétricos del
trapezoide simétrico
Fig. 2.248
Epígrafe 2.3.3
1.
1
Parejas de triángulos iguales: 1 y 4; 3 y 6 (criterio lal) 5 y 6 (criterio lll).
Tomado de la tesis del licenciado Heriberto Otaño Hernández, profesor de la Secundaria Básica
Orestes Acosta del municipio Boyeros.
386
RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS
2.
Triángulos que no cumplen ninguno de los criterios de igualdad de
triángulos son: 1 y 2 porque no es suficiente que tengan respectivamente los ángulos iguales para que sean triángulos iguales. 5 y 4
que tengan solo un lado respectivamente igual no es un criterio para
determinar que dos triángulos sean iguales.
3.
Criterio lll: a, b y d Criterio lal: a, c y d
4.
Criterio lal: a, c y d Criterio ala: b, c y d
5.
a) Porque MNPQ trapecio isósceles. b) QR = PS c) MR = SN
d) Por teorema lll.
6.
a) Porque son ángulos base del EFG isósceles.
b) Porque EH es la mediana relativa al lado FG.
c) GE = EF d) Por teorema lal
7.
Pareja 1: AED = FBC por teorema ala, ya que AD = BC por ser lados
opuestos el rectángulo ABCD; ∢ADE = ∢CBF por alternos entre las
paralelas AD y BC, con secante DB; ∢DAE = ∢FCB por teorema de
terceros ángulos.
Pareja 2: ABD = BCD por teorema lll, ya que AD = BC y DC = AB
por ser lados opuestos del rectángulo ABCD y BD lado común.
Pareja 3: ABE = FCD por teorema ala, ya que DC = AB por ser lados
opuestos el rectángulo ABCD; ∢ABE = ∢FDC por alternos entre las
paralelas DC y AB, con secante DB; ∢EAB = ∢FCD por teorema de
terceros ángulos, ya que son iguales respectivamente los ángulos de
la pareja de ángulos ya mencionada, se cumple también que
∢AEB = ∢DFC = 90º porque AE ⊥ BD y CF ⊥ BD según datos.
8.
9.
AOD = COB puede probarse por los tres criterios: teorema ala,
teorema lll y teorema lal.
a) AD en AED = FBC y también en DAB = BCD.
b) FC en BCF = AED y también en FCD = ABE.
10. 10. a) MQR = NPR se sigue por el teorema lal, al considerar:
NP = QM lados opuestos en el rectángulo MNPQ; NR = RM por lados
iguales de MNR isósceles y ∢QMR = ∢PNR con amplitud igual a la
387
MATEMÁTICA
diferencia de dos parejas de ángulos de amplitudes respectivamente
iguales (∢QMR = ∢PNR = 90º) y (∢RMN = ∢RNM) ángulos base del
MNR isósceles.
b) Se sigue del inciso a) por elementos homólogos.
c) El perímetro de MNPQ es igual a 20 cm, ya que si A = 12 cm2, entonces
h = 4,0 cm, pero como segmentos perpendiculares entre paralelas son
iguales, se cumple para los lados NP y QM en el rectángulo MNPQ
que NP = QM = 4 y cm con esto su perímetro es 20 cm, haciendo la
conversión MN = 60 mm = 6,0 cm
11. 11. a) ∆ADF = ∆BCE se sigue por teorema lll de EB = DF por datos,
AD = BC: lados opuestos de ABCD rectángulo y EC = AF: lados opuestos
de AECF paralelogramo; pero también por teorema lal, pues, además de AD = BC lados opuestos de ABCD rectángulo y EC = AF: lados
opuestos de AECF paralelogramo, se cmple ∢D = ∢B por ser ángulos
interiores del rectángulo ABCD.
b) ADF rectángulo en D, porque ∢D es ángulo interior del rectángulo ABCD.
c) Área de ADF es igual a 4,0 cm2, porque EB = AB –AE = 7 – 5 = 2 = DF,
AD
4
DF 2 4 , 0 cm2
luego A
2
2
12. b) BC = 9,0 dm.
13. b) AS ≈ 15 dm2
14. b) 100º y 80º
15. b) A = 5,1 dm2
16. c)
17. b) Área del rombo (AR): 4 cm2. Área del triángulo AFD (AAFD): 2 cm2,
entonces AR = 2 AAFD
18. b) Si AC = AB, entonces ABC es isósceles de base BC, por la condición
de que BC ⊥ AD , entonces D es punto medio del arco BC, luego la
amplitud del arco BC es igual a 1 200 por suma de amplitudes de arcos,
entonces ∢BAC = 60º por ser ángulo inscrito en una circunferencia y
corresponderle el arco BC.
388
RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS
Por tanto, todo triángulo isósceles con un ángulo con amplitud igual
a 600 los demás ángulos tienen amplitud igual a 600 por suma de
amplitudes de ángulos interiores y se cumple que el triángulo ABC
es equilátero.
19. AE = BD por ser rectas notables del ABC equilátero, FE = BD por ser
lados homólogos de triángulos iguales, entonces AE = FE por propiedad transitiva.
Por tanto, se cumple que BC y AF se cortan perpendicularmente en
su punto medio y esta condición es la de las diagonales de un rombo,
luego ABFC es un rombo.
Epígrafe 2.4.1
1.
a) F, las caras son triángulos. b) V
c) V
d) F, la apotema es la altura de las caras laterales.
2.
El menor número de caras posibles es tres.
3.
b)
e) V
Epígrafe 2.4.2
1.
d)
2.
AL ≈ 99 cm2
3.
4.
AT = 4,5 m2
5.
AT ≈ 112 dm2
6.
AB = 82,35 dm2
7.
Arista de la base: 12 cm
8.
AT ≈ 79,2 m2
9.
AT = 3150 cm2
AL ≈ 222 m2
389
MATEMÁTICA
10. 10. AT(ortoedro) = 7 424 cm2; Vortoedro = 13 824 cm3;
Arista(cubo) ≈ 51,7 cm;
11. AT(cubo) ≈ 4 870 cm2;
AT(ortoedro) – AT(cubo) = 13 824 – 4 870 = 8 954 cm3
Epígrafe 2.4.3
1.
V = 1,44 dm3
2.
h = 4,5 cm
3.
V = 9,6 dm3
4.
5.
V ≈ 130 m3
6.
Se necesitan 6,0 dm3 de arena para cubrir el parque.
7.
AT = 432 in2
8.
h = 2,5 m
9.
a) 125
320 m3
b) 27
Epígrafe 2.4.4
1.
b)
2.
V = 50,4 dm3
3.
V ≈ 2,07 ⋅ 103
4.
5.
6.
7.
390
V ≈ 0,16 m3
V ≈ 53 cm3
V ≈ 1,8 dam3
V ≈ 57 m3
c) 54
d) 36
e) 8
RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS
8.
9.
V ≈ 67 cm3
Se podrá llenar 112 veces.
10. V ≈ 2,31 hm3
Ejercicios del capítulo
1.
El análisis se debe centrar en el ángulo que se determina por el
vértice de referencia (B) donde está situado el observador y los dos
vértices a ambos lados de él, porque como la poligonalborde del
polígono va cerrando en el sentido de la flecha como muestra la
figura 2.249 se supone que este ángulo de observación incluya al
resto de los vértices.
54º 54º
72º 72º
Fig. 2.249
a) En el caso del pentágono regular, el ángulo central es de 72º y
determina triángulos isósceles con ángulos base de 54º, por lo
cual el ángulo desde donde se observa es de 108º contenido en el
ángulo de observación de 120º, luego sin incluir a B, se observan
los cuatro vértices restantes.
b) En el caso del hexágono regular, el ángulo central es de 60º y determina triángulos equiláteros con todos los ángulos de 60º, por lo
cual el ángulo desde donde se hace la observación es de 120º que
coincide con el ángulo de observación también de 120º, luego sin
incluir a B, se observan los cinco vértices restantes.
4.
4.1
5.
Recorrido CD = 156 , 0 m; A instalación = 2 290 m2
c) 4.2 c)
391
MATEMÁTICA
6.
L ≈ 40,05·103 km
10. El camión avanza aproximadamente 0,57 km.
11. Longitud de un plato: 62,8 cm = 2πr = πd; entonces d = 20 y caben
20 platos.
12. Lpiscina = 81,6 m
13. Son falsas: a),
c),
d),
f),
h),
i)
15. a)
� = 145º
16. 16.1 a) PQ
� = 120º
b) AB
c) ∢PRQ = 25º d) ∢ACB = 21º; ∢PRQ = 240º
17. ∢1 = 90º; ∢2 = 90º; ∢3 = 55º; ∢4 = 35º; ∢5 = 55º; ∢6 = 35º; ∢7 = 20º
18. La igualdad de los triángulos se sigue por el criterio ala, pues el lado
igual se da en los datos; se comprueba la igualdad de los ángulos
adyacentes a él, calculando sus amplitudes, aplicando propiedades
del triángulo equilátero y de los ángulos adyacentes, centrales y seminscritos, el teorema de Tales y el teorema de la suma de amplitudes
de los ángulos interiores de un triángulo.
19. Demostración: MN perpendicular a AB por propiedad de la tangente
392
en B, luego también es perpendicular a su paralela PQ, AB es perpendicular a la cuerda PQ luego la biseca, y con esto CB está contenida
en esta por lo que sería altura y mediana al mismo tiempo del lado
PQ en el ∆PQB y así ese triángulo sería isósceles.
a) En los triángulos EBA y CBF se cumple que: EB = BF por ser lados
del cuadrado DFBE.
AB = BC por ser lados iguales del ABC isósceles de base AC
∢EBA = ∢CBF porque ∢ EBF = 90° por ser ángulo interior del cuadrado DFBE, como BD es altura relativa a la base AC del ABC isósceles,
entonces es también bisectriz del ∢ABC y es además bisectriz del
∢EBF del cuadrado DFBE, luego: ∢ ABD = ∢DBC y ∢EBD = ∢DBF = 45°
por tanto: ∢ EBD = ∢ DBF
∢EBA + ∢ABD = ∢DBC + ∢CBF por suma de ángulos
∢EBA = ∢CBF
RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS
Por tanto EBA = CBF por tener dos lados y el ángulo comprendido respectivamente iguales. (Teorema l.a.l)
Como EBA = CBF entonces EA = CF por ser lados homólogos
de triángulos iguales.
b) En los triángulos DBM y DNB se cumple que:
BD = BD por ser lado común.
∢MBD= ∢DBN por ser BD es altura relativa a la base AC del ABC
isósceles entonces es también bisectriz del ∢ABC.
∢MDB = ∢NDB porque por ser BD bisectriz del ∢EDF del cuadrado
DFBE
Por tanto: DBM = DNB por tener un lado y los ángulos adyacentes a este respectivamente iguales. (Teorema a.l.a)
20. Sea ABCD un paralelogramo cualquiera, para probar la igualdad
de dos segmentos y también la igualdad de dos ángulos, por lo general, aplicamos la igualdad de
D
C
triángulos. Como la figura es
un cuadrilátero (fig. 2.250), se
necesita una construcción auxiB
liar para “obtener triángulos”,
A
triángulos que se relacionen con
Fig. 2.250
los lados opuestos de ABCD. Tracemos por esto la diagonal AC.
Demostración:
En los triángulos ABC y ACD se cumple:
(1) AC: lado común
(2) ∢1 = ∢2 por alternos entre las paralelas AD y BC, con secante AC
(3) ∢3 = ∢4 por alternos entre las paralelas AB y CD, con secante AC
Por tanto: ABC = ACD por teorema ala.
Se sigue por elementos homólogos que: DC = AB y AD = BC que son
lados opuestos del paralelogramo ABCD y, por tanto, se cumple la tesis.
21. Debe probarse la igualdad de dos parejas de ángulos: ∢ADC = ∢ABC
(I) y ∢DAB = ∢BCA (II).
Demostración:
De la igualdad de triángulos probada en el ejercicio 20 se sigue también que: ∢ADC = ∢ABC (I). Por otro lado, por lo ya fundamentado:
393
MATEMÁTICA
1 2
1 3 2 4 DAB BCA
3 4
( II )
Se tiene por (I) y (II) la igualdad de los ángulos opuestos del paralelogramo ABCD y, por tanto, se cumple la tesis.
22. Ahora la figura de análisis debe
D
C
incluir las diagonales de un pa2
3
ralelogramo (fig. 2.251) y si las
diagonales de ABCD se cortan en
O, entonces la tesis que debo probar es que: AO = OC y DO = OB
4
1
Demostración:
A
B
En los triángulos ABO y CDO se
Fig. 2.251
cumple que:
(1) DC = AB por ser lados opuestos
del paralelogramo ABCD.
(2) ∢1 = ∢2 por alternos entre las paralelas AB y CD, con secante AC
(3) ∢3 = ∠4 por alternos entre las paralelas AB y CD, con secante BD
Por tanto: ABO = CDO por teorema ala.
Se sigue por elementos homólogos que: AO = OC y OD = OB por lo
cual las diagonales del paralelogramo ABCD se bisecan y con esto se
cumple la tesis.
23. Sea ABC isósceles de base AB, para probar la igualdad de dos ángulos, por lo general se aplica la igualdad de triángulos y se necesita
para esto una construcción auxiliar.
En este caso, para probar la igualdad de los ángulos base del ABC,
se necesita obtener en la figura,
C
triángulos relacionados a estos
1 2
ángulos base (fig. 2.252).
Tracemos la bisectriz del ángulo
principal ∢ACB, denotémosla CD.
Tesis: ∢A = ∢B Demostración:
A
D
B
En ADC y CDB se cumple:
Fig. 2.252
(1) ∢1 = ∢ 2 porque CD bisectriz
del ∢ACB
(2) AC = CB porque ABC isósceles de base AB
394
RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS
(3) CD lado común de ADC y CDB
Por tanto: ADC = CDB por teorema lal
Se sigue por elementos homólogos que: ∢A = ∢B, l. q. q. d.
24. Sea CD mediana de AB en ABC isósceles de base AB por lo que
D ∈ AB (fig. 2.244)
Tesis 1: CD es bisectriz del ∢ACB, o sea: ∢1 = ∢2
Tesis 2: CD es altura de AB, o sea ∢ADC = ∢CDB = 90º
La tesis 1 se sigue por elementos homólogos, a partir de probar la igualdad de ADC y CDB, por teorema lal, por propiedad de la mediana
CD y D punto medio de AB, AD = DB; se tiene también la igualdad de los
ángulos base: ∢A = ∢B y la igualdad de los lados laterales del triángulo
isósceles.
La tesis 2 se sigue de la misma igualdad de triángulos anterior,
por elementos homólogos que: ∢ADC = ∢CDB y como, además,
son rectos por ser adyacentes iguales, entonces con esto CD es
altura de AB.
25. a) Se sigue por elementos homólogos a partir de probar la igualdad
de AFB y FDE, por teorema lal, ya que: AF = FD (F punto medio
de AD); ∢BAF = ∢FDE (ángulo rectos porque ABCD rectángulo) y
∢AFB = ∢EFD por opuestos por el vértice.
b) A h
B b
2
BC DF
DC
2
DF AF DF
DC
2
4 , 4 4 , 4 4 , 4
3 ,5
2
23 ,1 23 cm
Respuesta: El área del trapecio BCDF es aproximadamente 23 cm2
c) BCE es rectángulo por ser ∢BCD = 90º, ya que es ángulo interior
del rectángulo ABCD.
26. Cantidad de tela que se necesita: T
395
MATEMÁTICA
T = Alateral + A (una base) = 9 022 m2 ≈ 90,2 hm2
27. Cantidad de lona que se necesitó: 9,36 m2 ≈ 9,4 m2
28. Dos cuerpos equivalentes tienen igual volumen, un cubo equivalente
a ese ortoedro tendrá un volumen de 1 728 cm3 y arista 25,9 cm, dada
por la raíz cúbica de ese número y con esto AT = 4 025 cm2 = 40,2 dm2
29. V = 78,7 m3 ≈ 79 dm3
30. El volumen de una pirámide es cuatro veces el volumen de la otra.
31. b)
32. a) 5 000 000 L
b) 46 250 azulejos
33. AB = p · a con p: semiperímetro y apotema a =
Ab 3
3
;
2
3
2 ,598 2 , 6 m3
2
V = 25,95·20 = 519 m3
b) A las 8:45 a.m., la temperatura en el frigorífico era de ___°C.
c) La temperatura en el frigorífico estuvo ascendiendo durante
___
d) Entre las dos y las cuatro h, la temperatura en el frigorífico
varió ___°C.
CAPÍTULO 3
Epígrafe 3.1
1.
3
a) 4n: un número
b) 6n; n: un número c) n; n: un número
5
d) n – 1; n: un número natural distinto de cero
e) 2n + 1; n: un número natural
1
f) n; n: un número
4
g) n, n + 1; n: un número natural
h) 8z; z: un número entero
396
RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS
i) x – 5 = y x: número mayor y: número menor
2
j) 3n + m n un número m: otro número
5
2.
a) p p: cantidad de piezas producidas por la fábrica.
1
b) h h: pobreza extrema y el hambre
2
c)
1
a
5
a: área de un terreno que se dedica al cultivo de cebollas.
d) 2x + y; x: amplitud de los ángulos base de un triángulo isósceles.
y: amplitud del ángulo opuesto a la base de un triángulo
isósceles.
e) 2(a + b) a: longitud del lado mayor del rectángulo.
b: longitud del lado menor del rectángulo.
3
g g: ganancia planificada por EPCOMA para el 2012.
f) g +
50
g) n – s = 61; n = s + 61; s = n – 61; n: cantidad de playas de la costa
norte;
s: cantidad de playas de la costa sur.
h)
i)
bh
b: longitud de la base del triángulo rectángulo,
2
h: longitud de la altura del triángulo rectángulo
4
g g: gastos de una empresa
5
j) d +
1
d d: índice de desocupación en Portugal hace cinco años.
10
k) p +
1
p p: promoción de una escuela
5
l)
9
f f: cantidad de fumadores
10
2
m) e e: cantidad de estudiantes de una escuela
3
n)
3
m m: cantidad de estudiantes de un grupo.
5
397
MATEMÁTICA
3.
3.1 b)
4.
Ver la tabla 3.43.
3.2 d) 3.3 c) 3.4 d) 3.5 a) 3.6 b) 3.7 c) 3.8 c)
3.9 c)
Tabla 3.43
Situación
matemática
Significado de
la variable m
Expresión algebraica en
función de la
variable m
Valor numérico de
la expresión para
m=5
Área de un
cuadrado
m: longitud del
lado del
cuadrado
m2
m2 = 52 = 25
El perímetro
de un triángulo
equilátero
m: longitud de
los lados de un
triángulo equilátero
3m
3m = 3 · 5 = 15
El 60 % del
área de un
trapecio
m: área de un
trapecio
El producto de
un número
natural y su
sucesor
m: un número
natural
La mitad de la
amplitud de un
ángulo aumentada en tres
m: amplitud
de un ángulo
3
5
3
m
5
m(m + 1 )
1
2
m 3
3
m
5
5
3
m(m + 1)
= 5(5 + 1)
= 30
1
2
m
3
1
5
2
11
2
3
5, 5
Epígrafe 3.1.1
1.
2.
398
a) – 10,5
f) 20,4
b) – 13
g) – 31
Ver la tabla 3.44
c) 0,4
h) – 7
d) – 19
i) – 3,5
e) – 1,5
j) 24
k) 84
RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS
Tabla 3.44
Expresión
algebraica
m=2
– 3m
–6
3
2m – 7
–3
–9
4m2 – 115
m = –1
15
m2 + 3m + 2
m
3
12
1
2
a) 26
b)
4.
a) –13,125 ∈ q
b) 10,05 ∈ q+
m = 1,5
4
3
4
– 4,5
13
–4
2
3
8
4
45
0
3.
1
8,75
16
9
2
c) 0
d) −
c) 14 ∈ n
d) – 5 ∈ z
5.
1
6.
1
El valor numérico del polinomio para x , y = – 5 es 36 que es un
3
múltiplo de cuatro.
7.
a) Segundo grado
d) Cero grado
g) Sexto grado
8.
El monomio de mayor grado es 4a2b4c3, pues es de noveno grado y
los grados de los otros monomios son menores que nueve.
9.
a) Primer grado
d) Tercer grado
g) Séptimo grado
b) Primer grado
e) Tercer grado
h) Octavo grado
b) Segundo grado
e) Segundo grado
c) Segundo grado
f) Noveno grado
c) Segundo grado
f) Cuarto grado
Epígrafe 3.2.1
1.
a) 9p
b) 4d – 1
c) 2 – jk
d) – q3 – 3q2 + 7q + 1
e) 2w2 – 5wv – v2
399
MATEMÁTICA
f) 2a2b + 2ab – 6ab2
g) 12x3y2 – 4x2y + x3y3 – 3x3
h) 6,8e2g2h – 7,5eg2h
i) 8s2t – 14st + 3st2
1 3 2
3 2
3 3 3
j) a bc 5a b c a b c 5
5
2.
a) –3st – 2
d) 8x – 5xy – x2
g) 12,7 – 2,5z2
3.
a) 8,63g + Valor numérico: –1,63
5.
a) 3,3a – 10b + 6,5
d) –1,9a + 11b – 13,5
6.
4
a) −4 x −
7.
a) 7pq2 – 3
8.
a)
9.
a) C = 2x3 – 11x2 + 2x – 4
3
x
2
b) – 4z – 1
e) –6mn2 + 5
h) 8a2 – 1,8ab
c) – 7q + p + 11
f) 13p2q + 3pq3 – 5
i) 7p + 5
b) –5hkj + Valor numérico: 62
b) 9,6a – 2,2b – 7 c) 2,7a – 2b – 5,5
e) 11,6a –11,2b + 14
f) 11,7a – 7,2b + 5,5
1
7 3
x − x − 1 b) 4 x 4 x 3 2 x 2 5 x 7
4
4
b) –32
b) Perímetro de AGFECD: 72 cm, área de AGFECD: 216 cm2
b) Tercer grado
11. a) S = 2x3 – 2x2 –8x + 11
b) Tercer grado
12. a) P = 2x2 – 2x – 6
b) Segundo grado
c) 4425
Epígrafe 3.2.2
1.
400
a) 15h2k3
b) – 4,76g7s2
c) 5k2 + 10k d) 3v5x2 – 27v5
2
2
3
e) –2z p – 2z p2
f) 8,3n – 24,9n2 + 16,6n
g) 3w4 + 6w3 – 12wh) h4k3 + h3k4 – 3h3k3
i) h2 + 14h + 45
j) a2 – 7a – 7b + ab
2
2
l) 2q3r – 4qr3 – q2r2 + 2r4
k) 8m + 10mn + 2n
2
2
m) x2y + 6xyz + 9z
n) k3 + 6k2 + 6k + 5 ñ) v3 + 2v2 – v – 2
p) 3a3b + 5a2 + 6a2b2 + 3ab3 + 10ab + 5b2
o) 5m3 – 8m2 + 16m + 8
q) 2c3d 4 – 4c2d 3 + 10d 2c + c2d2 – 2cd + 5
r) 7x4 + 2,8x3 – 8x2 – 0,4x + 1 s) 8p5 + 6p4 – 8p3 + 5p2 + 8p – 4
t) 2q4 – 2q3p – q2 + pq – 2p2 u) 4z3 – 4zt2 – 12z – 2tz2 + 2t3 + 6t
w) 8x5 – 6x3 + 8x2 + x – 2
v) 3x2 – 6xy + 7x – 8y + 4
RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS
2.
Ver la tabla 3.45.
Tabla 3.45
A – (B + C)
(A + B)C
A+B·C
A·C+B
– 4x – 20
2x3 + 27x2 + 120x + 175
x3 +16x2 + 82x + 135
x3 + 13x2 + 55x + 75
2x – 14
2x3 – 29x2 – 98x – 49
x3 – 15x2 + 71x – 105
x3 – 12x2 + 26x + 63
–2x3 + 3x2 + 9x – 5
4x4 – 11x2 + 9x – 2
4x4 – 4x3 – 13x2 + 19x – 6
6x3 + 3x2 – 15x + 6
–5x2 + 7x + 6
75x3+ 215x2 + 177x + 45
50x3 + 90x2 + 71x + 21
25x3 + 140x2 + 140x + 39
14x – 14
2x3 – 13x2 + 20x – 9
x3 – x2 + 9x – 9
x3 – 14x2 + 22x – 9
3.
a) 14a – 2ab + 21a2b
4.
a) x2 + xy – 6y2
b) x3 + x2y – 5xy2 + 3y3
c) x3 – 4x2y + 5xy2 – 2y3
d) x3 – 4x2y + 5xy2 – 2y3 + x + 3y
2
3
e) – 5x y + 10xy2 – 5y
5.
a) –2k2 + 14
d) 5k2 + 13
7.
t
3
b) 160a3b2 + 5ab2 – 60ab
b) 23k2 + 3k – 10
e) 21k3 + 51k2 – 14
c) –10,5
c) –12k2 + 3k – 5
3t 9 t 2 t 7 2 t 2 t 7
= t2 +3t + (t2 – 7t + 2t – 14) – 2(t2 –t – 7)
= t2 +3t + (t2 – 5t – 14) – 2t2 + 2t + 14
= t2 +3t + t2 – 5t – 14 – 2t2 + 2t + 14
=0
8.
A + 2aA AB
= (a – 3b) + 2a(a – 3b) = (a – 3b) (2a + 1)
= a – 3b + 2a2 – 6ab = 2a2 + a – 6ab – 3b
= 2a2 – 6ab + a – 3b = 2a2 – 6ab + a – 3b
Luego, A + 2aA = AB
9.
– x2y2 + 2xy2 – 3x2y
Epígrafe 3.2.3
1.
a) 7p
b) – 4m2n
c) 4,6w3
d) 2p + 3
e) 3x2 + 2
401
MATEMÁTICA
f) a2 + a + 1
k) 2 p −
2
1 3d 2
g) −
2 2c
h)
p6 p5
−
5
q
l)
2 2 2 2
a − b
3
3
i) 2z – 1
j)
h2
k
2
k
h
1 2 2
1
1
x y xy 2 x 3 y xy
2
3
4
2.
a) Cociente: m – 2, resto: 0
b) Cociente: –2w2 – 3w – 5, resto: – 5
c) Cociente: t – 3, resto: 15
d) Cociente: 2d + 13, resto: 52
e) Cociente: q + 5, resto: 0
f) Cociente: a2 + 2ª +4, resto: 2
2
h) Cociente: 3p – 2, resto: – 8
g) Cociente: 2x + 3x + 1, resto: – 7
2
j) Cociente: y2 + 2y + 3, resto: 1
i) Cociente: k + 2k + 2, resto: 0
k) Cociente: 2x2 – 9x + 18, resto: –24
3.
a) 4(x2 + x) = 4x2 + 4x
b) x(6x + = 6x2 + 2x
c) 2y(3x + 2) = 6xy + 4y
d) (x + 3)(x – 5) = x2 – 2x – 15
3
4
e) (2x + 1)(2x – 3x + 2) = 4x + 2x3 – 6x2 + x + 2
f) (x3 – 5)(3x + 2) = 3x4 + 2x3 – 15x –10
4.
7a2bc2 – 3a2b2c + 9
5.
m+4
6.
Cociente: 2x + 7 y resto: 3
7.
El divisor es 2x + 3
8.
C = x2 + 1
9.
Ver la tabla 3.46:
Tabla 3.46
Dividendo
Divisor
Cociente
Resto
x2 – x + 8
x–2
x+1
10
2x + 7x + 3
x+3
2x + 1
0
x3 + 1
x+2
x2 – 2x + 4
–7
x2 + 2x – 1
x–1
x+3
2
2
10. a) 4x2 – 5x – 7
b) 2x3 – 27x + 8
402
RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS
c) 4x3 – 20x2 + 55x – 23
d) x2 + 3x – 7
e) – 4x3 + 20x2 – 55x + 23
11. Tabla 3.6
A
B
C
A + B ·C
A·C + B
x2 + 7x + 10
x2 + 10x + 25
x+5
x3+16x2+82x+135
x3+13x2+55x+75
x2 – 6x – 7
x2 – 9x + 14
x–7
x3-15x2+71x-105
x3-12x2+26x+63
2x2 + 3x – 2
2x3 – x2 – 8x + 4 2x – 1 4x4-4x3-13x2+19x-6
6x3+3x2-15x+6
5x2 + 23x + 12
10x2 + 11x + 3
– x2 + 12x – 11
-x2 – x + 2
5x + 3 50x3+90x2+71x+21 25x3+140x2+140x+39
1–x
x3-x2+9x-9
x3-14x2+22x-9
12. A = 2x2 – 5x – 3 a) El polinomio A es de segundo grado.
13. a) –x2 + x + 8
b) El polinomio resultante es de segundo grado.
c) 4,25
14. P · h = 2(a + b)h
= (2a + 2b)h
= 2ah + 2bh
= AL
Epígrafe 3.3
1.
a) F, ya que depende del dominio de la variable.
b) F, porque el valor de la variable que transforma la ecuación en una
proposición verdadera no es un número natural.
c) V
d) F, porque para ningún valor de la variable x la ecuación 0 . x = 2
se transforma en una proposición verdadera.
e) V
f) F, ya que toda ecuación lineal en una variable en el conjunto de
los números reales tiene solución única.
403
MATEMÁTICA
g) F, porque la solución de la ecuación no es un número fraccionario.
h) V
i) V
15
y, por lo tanto, su conj) F, pues la solución de la ecuación es x =
2
15
junto solución es S
2
2.
d) a = 2
e) x = 5
f) x =
6
5
5
3
k) b = 2
l) p =
4
5
b) p = –2
c) x =
g) q = 3
h) x = 8
i) x = 1,75 j) t =
m) n =– 5 n) y = 5 ñ) m
3.
1
3
a) m = –1
8
a) S b) S = {2}
3
f) S = {6}
1
3
o) d = – 22 p) w =
c) S = {–2} d)
g) S = {0}
d) S = {3}
1
5
e) S = {1}
1
13
h) S i) S
3
5
j) S = {3}
k) S = {1}
4.
a) p = 0,4 b) x = 20
g) x = 0
h) n = – 5
5.
Ver la figura 3.122
c) b = 8
i) p = – 1
d) a = – 0,5 e) q = – 1
j) y = – 5
k) d= – 7
S = 1
3x–5=4
4
4 x + 1 + 10 = 8 + 5 x + 1
S = 2
S = 3
x
x
+ =5
2
3
S = 6
3 x – 3 = 5 x – 3
S = 6,75
3x – x – 3 x + 2 = 5 x – 1 – x
2
Fig. 3.122
6.
404
Para x =
4
3
S = 11
f) x = 1
l) m = – 0,5
RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS
7.
La ecuación se transforma en una proposición falsa para todos los
números reales distintos de dos.
12. b
11. a = 11, 5
13. 13.1 b) 13.2 c)
11
2
13.3 d) 13.4 a)
14. a) Ningún número natural satisface la ecuación.
b) Ningún número fraccionario satisface la ecuación.
c) El número racional –1 satisface la ecuación.
15. Ningún número fraccionario satisface la ecuación porque el valor
que transforma la ecuación en una proposición verdadera no es un
número fraccionario.
16. Ver la tabla 3.47
Tabla 3.47
Ecuación
Conjunto solución para el dominio
de la variable
n
q+
z
q
5x – 2 = 3(x + 2)
S = {4}
S = {4}
S = {4}
S = {4}
4(2 – a)+ 5a 2a + 9
S=∅
S=∅
S = {– 1}
S = {– 1}
2(y + 3,1) = 2(1,1 – 4 y)+ 2 y
S=∅
S=∅
S=∅
7t – 3 = 2(2t + 3) + 3
S=∅
S=∅
S = {– 11}
S = {– 11}
2(q – 2)+ q = 3(q – 1) – 1
S=n
S = q+
S=z
S=q
(3d + 1)(d – 2) = 3d2+ 7d – 26
S = {2}
S = { 2}
S = { 2}
S = {2}
(2p +3)(p – 4) – 8 = 2p(p – 1)
S=∅
S=∅
S=∅
18. a) Tienen el mismo conjunto solución porque al aplicar transformaciones equivalentes la ecuación 4x + 3 = x –3 se reduce a la
ecuación 3x – 6.
b) No tienen el mismo conjunto solución, pues dos no es una solución de la ecuación 4x = 4x + 2 porque no transforma la ecuación
en una proposición verdadera.
405
MATEMÁTICA
c) No tienen el mismo conjunto solución, ya que la ecuación
7(x – 5) – 7x + 5 = x + 3 no se reduce mediante transformaciones
equivalentes a la ecuación 0 = x + 3.
19. a) Para p = 2
b) Para que la ecuación tenga solución en n se tiene que cumplir que
p 3
n, para eso p + 3 tiene que ser divisible por p – 2. Por
p 2
ejemplo, para p = 3, p = 7 y p = – 3.
6
c) p
7
3
20. Para a =
4
Epígrafe 3.3.1
1.
a)
3.
4.
5.
=g
m
3V
f)
=h
AB
k)
2.
Fg
A 2ab
h
2 a b
b) m∆t = Q
AL
h
2 r
V V0
D r
i)
d j)
t
a
c
d) t =
w
p
h)
L
r
2
an al
d
n 1
m)
2A
A r 2
= d1 n)
g
d2
r
d) 2.
c) 2.
a) La longitud del radio de la circunferencia es aproximadamente 3,9 cm.
4. 2A h p r q
h
9C 160
360o b
F
L
5
4.2
4.3
c a
m 2
5 p 3m
d
a
n
2
a) c 3
b) m 5
c)
Epígrafe 3.3.2
1.
1.
2.
Los otros lados del triángulo isósceles miden 4,5 cm.
3.
Cada pedazo serruchado tiene una longitud de 60 cm.
406
e)
s s0
t
V
g)
l)
c) A = I
a) 1. d) 1. b) 1. b) 1. c) 1. d) 3.8x 3.3x2
RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS
4.
En el puesto de venta hay 40 naranjas, 80 limones y 10 guayabas.
5.
Gabriela fue elegida jefa de colectivo al obtener la mayoría de los
votos.
6.
La secundaria básica Lidia Doce fue la que menos árboles sembró (187).
7.
En el ejercicio Meteoro 2013 en esa secundaria participaron 137 estudiantes, 22 trabajadores y 11 padres.
8.
El pionero el primer día leyó 72 páginas; el segundo, 18 y el tercero, 36.
9.
Los estudiantes recuperaron 272 lb de cartón y papel.
10. El 50,5 % de los delegados provinciales son mujeres.
11. El trapecio tiene un área de 28 dm2.
12. El rectángulo tiene un área de 1,2 m2.
13. La amplitud del ángulo mayor es de 110°, la del mediano 40° y la del
menor 30°.
14. Al consumo de hospitales fueron destinadas 100 000 t de papa.
15. Al cultivo de frutas se emplearon 20 caballerías y 6 a viandas.
16. Están interesados en matricular en la escuela pedagógica 98 estudiantes.
17. En la competencia participaron 25 féminas ajedrecistas.
18. a) El tanque tenía al inicio 300 L de refresco.
b) En la mañana se vendieron 180 L de refresco.
c) El tanque tiene una capacidad de 400 L.
19. a) De lechuga hay sembradas 12 ha.
b) Faltan por recoger en total 32 ha.
20. a) Joanna llevó a la feria 100 pesos.
b) Cada libro tenía un precio de 12 pesos.
407
MATEMÁTICA
c) Joanna destinó a la merienda el 10 % del dinero que llevó a la
feria.
21. a) La matrícula de la escuela es de 600 estudiantes.
b) Hay cuatro grupos de séptimo grado, cinco de octavo y siete de
noveno.
22. Antes de realizar la escuela de padres un aula tenía 16 sillas y la otra
32.
23. El Círculo de Interés Pedagógico tiene 30 integrantes y el de Medicina
Natural y Tradicional, diez.
24. a) En la votación participaron 35 pioneros.
b) Ninguna, porque Brenda y Laura obtuvieron la misma cantidad
de votos, por lo que hubo que realizar una nueva votación.
25. La amplitud del ángulo α es 141° y la del ángulo β es 39°.
26. Los números son cinco y ocho.
27. Los lados del rectángulo tienen 48 y 12 cm de longitud.
Epígrafe 3.4.1
1.
2.
1
2
a) 5 b) 5 c) 5
5
1
d) 2 e) 8 f) 8
1
4
g) 3 h) 28 i) 3
1
j) 18
4.
Algunos números pueden ser:
a) ocho y diez; 16 y 25; 40 y 50 b) seis y cuatro; 21 y 14; 36 y 24
c) cuatro y 12; cinco y 15; 0,3 y 0,9
d) nueve y 21; 12 y 28; 11 y
77
3
2
3
1
1
1
4
3
4
4
3
4
3.
a) 3, b) 2, c) 3 3.
a) , b) , c) 3.3
a) , b) , c)
8
a) 9 b) 3 c) 50 d) 2
5.
a) No
6.
12 cuadraditos
7.
Ver la figura 3.123
3.
408
b) Sí c) No
d) No
e) Sí
RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS
Fig. 3.123
8.
9.
a) No
1
x=
3
a)
b) Sí c) Sí d) No
b) y = 21
c) a = ± 40
10. 393
11. 105
11
12. 21
13. 36
14. 66
15. $7,20.
Epígrafe 3.4.2
1.
a, c, e, g y h
2.
ayc
3.
a) k = 1,6; 3,2 y 11
c) k = 18; 7 y 2 169
4.
4.a 4.c
5.
a) 1 080 piezas
b) 150 h
6.
a) $50,00
b) 172 h
7.
275 km
b) k = 0,085; 4,25 y 10,2
409
MATEMÁTICA
8. $180,00
9. 2,4 m
10. 295,5 km
11. 16 kg
12. Seis estudiantes
13. 43,75 %
14. 90 ejercicios
15. a) 3 840 km
b) 14,5 cm.
16. 18, 24 y 36
17. 3 cm; 6 cm y 7,5 cm
18. 15; 20 y 25
21. a, c, d y e
22. a; b
23. a) k = 250; 12,5 y 5
b) k = 135; 15 y 2,25
24. 24.1 d
24.3 a
24.2 b
25. Dos días y medio
26. Seis hombres más
27. Dos horas
28. a) 36
b) 6
29. 27 min
30. En $4,00
Epígrafe 3.4.3
2.
A(4;3), B(0;-1,5), C(0;2), D(5;0), E(-3;1), F(-2;-2,y G(2;-3)
3.
Triángulo ABC: A(0;3), B(0;y C(2,5;0). Área: 3,75 u2.
Rectángulo DEFG: D(-2;-3), E(1;-3), F(1;-1) y G(-2;-1). Área: 6 u2
410
RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS
Paralelogramo HIJK: H(3;1,5), I(5;1,5), J(6;4) y K(4;4). Área: 5 u2
Trapecio rectángulo LMNÑ: L(0;-2), M(6;-2), N(6;0) y Ñ(4;0). Área: 8 u2
4.
a) II cuadrante
d) I cuadrante
5.
Ver la figura 3.124.
6.
Una solución puede ser la figura 3.125.
b) IV cuadrante
e) III cuadrante
c) III cuadrante
f) IV cuadrante
y
y
A
F
D
3 G
2
E
5
-4
-2
H
0 C
2
3
-3
B
6
C
3
A
B
0,5
x
-2,5
D
-1 Q
M
N
2
3
4
x
-2,2 P
-4
Fig. 3.124
6.1 a) A(0;y B(4;2)
c) M(2;0) y N(3;0)
Fig. 3.125
b) C(–2,5;0,5) y D(–2,5;3)
d) P(0;–2,2) y Q(0;–1)
7.
a) Q(–1;
8.
Triángulo ABC isósceles de AC (fig. 3.126).
c) 12 u2
10. P’(–2;3), R’(5;2), M’(4;(fig. 3.127).
y
P1
B
4
y
P
3
R1
2
M1
1
-5
0
-3
A
1
-2
Fig. 3.126
x
-4
M
-3
-2 -1 0
-1
1
2
-2
3
4
5
x
R
Fig. 3.127
411
MATEMÁTICA
11. a) Un punto (fig. 3.128).
b) Tres puntos (fig.3.129).
c) Dos puntos (fig. 130).
y
y
5
4
4
3
3
2
2
1
1
0
-4
1
2
3
4 5
-3
-2 -1 0
-1
1
2
3
4 5
6
x
-2
x
-3
-4
Fig. 3.129
Fig. 3.128
y
1
-3
-2 -1 0
-1
1
x
-2
-3
-4
-5
Fig. 3.130
Epígrafe 3.4.4
1.
412
a) Sí
b) No, porque al último elemento del conjunto de partida le corresponden
dos elementos en el de llegada.
c) Sí
d) No, porque hay un elemento del conjunto de partida que no está
relacionado con ningún elemento del conjunto de llegada.
RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS
e) No, al elemento 2 del conjunto de partida en la tabla se le asocian
dos elementos.
f) No, si trazas una paralela al eje y y la trasladas hacia ambos lados,
dicha recta corta en varias ocasiones a la gráfica en dos puntos.
1
1
a) P 4 ; 2,5; ;1; 0; 1; 1,5; 3;
2
2
2.
1 7}
b) N = {–8; –5; 1–1; –2; 0; 2; 3; 6;
1 1; 1,5; 3; 3 2 } 1
c) A = {4; 2,5; 2 ; 0;
d) B = {16; 6,25; 4 ;1; 0; 2,25; 9;12 2 }
3.
Ver la figura 3.131.
E
A
E
A
E
A
Fig. 3.131
a) No
4.
b) Sí
c) Sí
a) Sí
b) Sí
c) No, el cero no tiene recíproco
d) Sí
e) Sí
f) No, ya que el cocodrilo no pertenece a ninguno de los grupos relacionados en el conjunto de llegada.
g) No, en el conjunto de llegada no está el significado de boy.
h) Sí
4.1. a) Dominio: conjunto de los números reales, imagen: conjunto
de los números reales
b) Dominio: elementos del conjunto A, imagen: {1959; 1953; 1878;
1961; 1956; 1869}
Imagen: {3; 4; 5; 6}
d) Dominio:
e) Dominio: el conjunto formado por todas las personas,
imagen: el conjunto formado por todos los números de carné
de identidad
413
MATEMÁTICA
h) Dominio: {Cauto; Volga; Amazonas; Nilo; Amarillo},
imagen: {América; Europa; Suramérica; África; Asia}
8.
a) Sí b) 5 c) 2x – 1
7 7
a) Imagen: – 5; 9; y 23 b) Imagen: 0; – ; –
4 2
33
31
3
10. a) 1; ; 3 b) 3,5; ; 2,5
c) – 9; ; – 3
8
16
8
1
5
11. a) 5 b)
c) –
3
8
9.
12. a) a = 3,5 b) a = 2
c) Imagen: 4; 2,25; y 25
c) a = 5,5
Epígrafe 3.4.5
1.
a) (m = 3 y n =
b) (m = 1 y n = – e) (m = 3 y n =
h) (m = 0 y n = 7,5)
1
l) (m =– y n = 2)
4
i) (m = 0 y n = – 4)
2
8
m) (m = y n = )
3
3
ñ) (m = 1 y n = – 8)
o) (m = – 1 y n = 2)
2.
c
3.
a) y = x – 1
b) y = – 3x + 0,6
e) y = 9
f) y = 3x + 3
4.
a) m = – 2 y n = –
1
f) (m = y n = 3)
3
k) (m = – 2 y n = 5)
n) (m =– 2 y n = 0)
2
3
c) y = x –
3
2
d) y = 4x
3
2
3
1 3
b) f (0) = − ; f(– 1) = ; f = 0; f (1, 2) = – 3,9
2
2 4
c) x = –
5.
3
3
;x=− ;x=0
2
4
a) d = 60t b) s = 3h + 450
c) p = 85
d) h =
1
A
3
Epígrafe 3.4.6
1.
414
1.1 Sí, porque en cada ecuación n = 0 que es la intersección de la
gráfica con el eje y.
RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS
1.2 No, porque en unos casos m > 0 y en otros m < 0; y la inclinación
está dada por el signo de la pendiente.
2.
2.2 No, porque en cada caso n ≠ 0.
4.
2.3 No, porque en unos casos m > 0 y en otros m < 0; y la inclinación
está dada por el signo de la pendiente.
3.
3.1 Las rectas son paralelas al eje x, ya que la pendiente en cada caso
es igual a cero.
4.
c) Sí, pertenece
5.
Ver la figura 3.132.
6.
Ver figura 3.133.
d) –
4
3
T(oC)
C(L)
11
50
7
30
3
10
2
4
0
t(min)
4
10 t(min)
Fig. 3.133
Fig. 3.132
7.
2
Ver figura 3.134.
V(km/h)
6
0
2
4
t(min)
Fig. 3.134
415
MATEMÁTICA
Epígrafe 3.4.7
1.
a) y = 5x
b) y = –3x + 4 c) y = –1
1
2
d) y = x –
e) y = – 2x + 3
3
3
f) y = –
5
x + 2,5
7
8
x
15
3
a) y = x– 2
2
h) y =
2.
3.
a) n =–7
6.
14
3
a) m = 3
d) m =
5.
1
1
x+
10
5
i) y = – 2,4
b) y = – x + 1
y
c) y = 4
-1
2.1 a) Dominio: {x ∈ R }, imagen: {y ∈ R }
b) Dominio: {x ∈ R }, imagen: {y ∈ R }
c) Dominio: {x ∈ R}, imagen: {4}
d) n
4.
g) y = –
8
5
b) n –-3
x
A
c) n = 0
e) n = 7
1
3
2
e) m =
3
b) m =
5.1 a) f(x) = – 4x – 5
c) m =
1
3
B -5
Fig. 3.135
1
b) F(– ;– c) 5
4
5.2. Ver la figura 3.135.
5.3 Dominio: {x ∈ R}, Imagen: {y ∈ R}
a) Ver la figura 3.136.
b) Dominio h : x r : 5 x 5 ,
y
13
-5
0
5
Imagen h: y r : 17 y 13
7.
8.
416
a) C = 2t + 20
d) 20 min
a) T
23
46
2
b) 20 L
c) 50 L
e) 8:40 a.m.
b) 0 oC
-17
Fig. 3.136
x
RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS
c) –11,5 oC
9.
d) 8:40 p.m.
9.1 a) h(t) = – 0,1t + 1
b) 0,2 m
9.2 a) 1 m
b) 12 meridiano
Epígrafe 3.4.8
1.
a) x = 5
b) x = 0,5
f) x = 12
g) x = 1,5
k) No tiene l) –0,01
2.
a) x = –1
No tiene
2.1 a) y = x + 1
=1
c) x = 3,5
h) x = – 0,3
b) x = 0
d) x = 2
b) y = 0,5x
d) y = – 2x + 4
3.
– 18
4.
f(x) = – 9x + 3
5.
a) x = 0,5
b) Ver la figura 3.137
c) Imagen: {y ∈ R }
5.1 C
c)
x
Fig. 3.137
7.
a) y
b) A = 6u2 c) 12 u
3
b) C t 30
2
0,5
-2
a) Ver la figura 3.138.
b) y = 5x – 4
c) Dom: x ∈ R, imagen:
y∈R
d) x = 0,8
e) y = –19
f) x = 0,4
a) 30 L
y
0
3
x 3
4
e) x = 3
j) No tiene
c) y
6.
9.
d) x = – 8
i) x = 2,5
y
0
0,8
x
c) 10:50
a.m. d) 7,5 L
9.
-4
a) 15 000 pesos b) 12 000 pesos
c) 10 años x ∈ R
d) Ver la figura 3.139.
Fig. 3.138
417
MATEMÁTICA
C(pesos)
15000
0
10 t(años)
Fig. 3.139
Epígrafe 3.4.9
1.
a) y = –x + 1
b) y = 3x – 12
c) y = –x – 2
d) y = x – 8
e) y = 3x f) y = x
1.1 a) m = – 1 b) m = 3
c) m = – 1
d) m = 1
e) m = 3 f) m = 1
1.2 La recta se inclina hacia: a) abajo
b) arriba c) abajo d),
e) y
f) arriba
2.
a) m = 2
b) m = 3
3
e) m = 4
d) m
2
c) m = 8
f) m = – 1
6
1
h) m
i) m = 0
5
2
3
5
7
mAB = ; mAC y mBC
5
3
11
g) m
3.
4.
5.
418
a) Creciente
c) Creciente
g) Decreciente
k) Creciente
b) Decreciente
d) Decreciente
h) Constante
l) Creciente
e) Creciente
i) Constante
m) Decreciente
f) Creciente
j) Decreciente
Porque el denominador de la fracción se hace cero. En este caso la
recta es perpendicular al eje x
RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS
6.
7.
a) La gráfica b, ya que como m
2
en la ecuación la recta se inclina
3
hacia abajo.
b) x = 6
8.
b
9.
a) A: se calienta, porque su temperatura asciende. B: se enfría, porque
su temperatura desciende.
b) A las 10:31 a.m. y es de 6 °C.
c) A los dos minutos y medio.
10. a) El recipiente A, ya que su gráfica está más inclinada hacia arriba
respecto al eje vertical que la gráfica del recipiente B.
4
4
c) Sí, una proporcionalidad directa.
b) A : h = t y B : h = t
3
5
d) El recipiente A demoró en llenarse 22 minutos y medio.
Epígrafe 3.4.10
1.
a) A los 2 min.
b) Tenía 0,85 m de altura.
c) Estuvo cerrada 12 min. d) Se vació completamente a las 9:09 a.m.
2.
2.1 Se calienta, porque la temperatura asciende
2.2 a) 10 °C
b) 2:30 p.m.
c) Hora y media
2.3 A las 3:30 p.m. y fue de 70 °C
2.4 La temperatura mínima alcanzada fue de – 14 °C
3.
a) 400 m
b) Media
c) 100 m
3.2 a) d = 40t b) 1 km
3.3 El abuelo regresó a su casa a las 8:00 a.m.
4.
4.1 a) 60 m3
b) 8 h
c) 48 m3
4.2 a) C = – 24t + 252 b) 4:00 p.m.
4.3 La piscina se vació completamente a las 6:30 p.m.
5.
a) h =
5
t
6
b) A los 3 min la altura del agua era de 2,5 dm.
419
MATEMÁTICA
c) El tanque demoró en llenarse 18 min.
d) Hubo mayor presión en el tramo de 12 a 18 min, ya que la altura
del agua subió 10 dm en 6 min; mientras en el tramo de 0 a 10 min,
subió también 10 dm, pero en 10 min.
6.
6.1 a) V = 40t
b) 120 min
6.2 La velocidad se mantuvo constante. V = 80
6.3 Tenía una velocidad de 60 km/h.
6.4 El desplazamiento del móvil duró 9 h.
7.
a) 1 h
8.
c
7.1 a) 2 h
9.
7.3 d = 90t – 150
b) 9 h
10. c
a
11. a) Ver la figura 3.140
d(km)
400
300
200
0
1 1,5 2
3 3,25 4
t(h)
Fig. 3.140
b) d =
400
t
3
c) 45 min
d) Llegó a su destino a las 12 m.
Ejercicios del capítulo
11. a) –2,0625
b) 624
12. a) 17b2 + bc2 – 8c2
e) –5x2 + 2
420
b) 11q – p – 2
c) 3n2 + 3m – 3 d) 8d2 – 2cd
f) 2m3 + 3m2 – 15m + 5
g) 5a3 – 5a2 – ab – 3
RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS
h) x + 5 i) 4a4 – 11a2b – 3b2
j) 3m2 – 5m + 2
13. a) 9a2 + 2ab – 4 b) 4p2q – 4pq – 3
k) 4x2 + 5x – 11
c) 2x2 + 13xy
d) 23q2 – 9p2 + 33pq
14. a) –m2 – – 5mn + 12n2 b) b + 1
6.
c) 4x – 5
7.
6.1
a) 6c2 – 24d2 – 4cd – c + 2d
b) c + 6d + 1
c) 6c3 – – 24d 2c – 11c2 + 12d2 – 16cd
2
e) 6c2 + 12cd + 6d2
d) –6c – 20cd – c + 2d
6
6.2
31
a) x = –2
b) a = 10
c) x = 8
d) x = –2
e) x = 2
8.
Ver la figura 3.141
B
A
1
C
8
2
5
1
5
D
1
0
0
F
E
1
2
G
6
0
3
8
7
3
5
I
7
0
J
L
8
0
Ñ
M
9
N
0
K
O
1
8
4
3
0
Fig. 3.141
9.
En la especialidad Educación Preescolar hay 75 estudiantes en primer
año, en Educación Especial 105 y en Educación Primaria 180.
421
MATEMÁTICA
10. En esta cooperativa de producción agropecuaria están sembradas
25 ha de yuca y 60 h de boniato.
11. Se cosecharon 35 q de tomate y 22 q de cebollinos.
12. La base del triángulo tiene 8 cm de longitud y los lados no base 20
cm de longitud.
13. Un ángulo tiene una amplitud de 60° y el otro 120°.
14. Las longitudes de los lados del triángulo son 23 mm, 24 mm y 25 mm.
15. Área del rectángulo: 240 cm2
16. a)
1
3
17. a) 75 ha
b)
1
4
c)
1
12
d)
4
3
e) 3
b) 105 ha
18. Messi: 560 votos y Cristiano: 280 votos
19. a) M1 1; 3 , M2 3; 9 ,M3 7; 21
b) M1 24 ; 60
c) M1 3; 12
d) M1 7; 1 y M2 21; 3
20. a) Proporcionalidad directa, factor de proporcionalidad: 2,7, términos
que faltan: 8,1 y 5
b) Proporcionalidad inversa, factor de proporcionalidad: 252, términos
que faltan: 252 y 28
c) Proporcionalidad directa, factor de proporcionalidad: 60, términos
que faltan: 150 y 8,5.
21. a) 184,6 t b) 35 ha
22. 22 días
23. 12 personas más
422
RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS
24. La estatura de Ariel es de
y
1,65 m
P
B
25. Ver la figura 3.142.
D
26. a) A’(3; –5), B’(– 4; –2),
C’(1;1), D’(–2;y E’(0;0)
b) A’(–3;5), B’(4;2), C’(–1;
–1), D’(2; –5) y E’(0;0)
c) A’(–3; –5), B’(4; –2), C’(–
1;1), D’(2;5) y E’(0;0)
N
M
C
A
x
27. a) Sí, porque el cuádruplo
Fig. 3.142
de un número real siempre existe y es único.
b) No, porque hay raíces cúbicas de números racionales que son irra3
cionales como la 2
c) No, porque el antecesor de 0 es –1 que no es un número natural.
d) Sí, cada número entero tiene un único sucesor.
e) Sí, el cuadrado de –2 es 4, por lo que todos los elementos del conjunto de partida se asocian a un único número, el 4.
f) No, porque hay números enteros cuya mitad no es entera, por
ejemplo, la mitad de 3 es 1,5; que no es un número entero.
g) No, porque las raíces cuadradas de números negativos no existen.
h) Sí, porque todo número tiene módulo y este valor es único.
28. a) Sí, porque si trazas paralelas al eje x, estas cortan a la gráfica en
un solo punto.
b) No, porque a un valor de x se le asocian infinitos valores de y.
c) No, porque si trazas paralelas al eje x, estas cortan a la gráfica en
más de un punto.
d) Sí, porque si trazas paralelas al eje x, estas cortan a la gráfica en
un solo punto.
e) No, porque si trazas paralelas al eje x, algunas cortan en dos puntos.
f) Sí, porque si trazas paralelas al eje x, estas cortan a la gráfica en
un solo punto.
g) Sí, porque a cada elemento del conjunto de partida le corresponde
exactamente un elemento del conjunto de llegada.
423
MATEMÁTICA
h) Sí, porque a cada elemento del conjunto de partida le corresponde
exactamente un elemento del conjunto de llegada.
i) No, porque al elemento del conjunto A le corresponde tres elementos del conjunto B.
j) No, porque a un elemento del conjunto A le corresponde dos elementos del conjunto B.
29. a) No, porque al elemento dos le corresponden dos valores;
b) Sí, porque a cada valor de a se le asocia un único valor de b.
c) Sí, porque a cada valor de m se le asocia un único valor de n.
29.1 b) Dominio: {–2; –-1; 0; 1; 2}, imagen: {8}
c) Dominio: {0; 0,3; 1,2; 1,7; 2}, imagen: {0; 2}
30. Sí
31. Sí
32. a) Ver la figura 3.143.
y
10
5
0
5
3
5
x
Fig. 3.143
b) Creciente, porque m = 3 > 0
33. a) m =
1
2
b) Ver la figura 3.144
c) x = 4 d) Creciente
424
f) x = –2
c) Sí d) –12
e)
25 2
u
6
f) –1
RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS
y
1
0
-1
1
2
4
3
x
-2
-3
Fig. 3.144
1
2
34. a) h x x 2
b) Ver la figura 145.
y
P
3
2
R
-2
1
-1
0 1
2
3
x
Fig. 3.145
c) (0; d) 8 u2
35. a) Falso, porque se inclina hacia abajo de izquierda a derecha. (Otra
variante: porque a medida que aumentan los valores de x, disminuyen
los valores de y).
b) Verdadero.
c) Verdadero.
425
MATEMÁTICA
d) Falso, el cero es la abscisa del punto, o sea, x = 3.
e) Verdadero.
f) Verdadero.
g) Falso, porque se obtiene una fracción negativa y los números
negativos no pertenecen al conjunto de los números fraccionarios.
36. a) 30 dm
b) 8:10 p.m.
c) 25 dm
36.2. a) h = – 0,5t + 30
b) 30 s
36.3. 28 dm
36.4 8 min
36.5 15 min 30 s
36.7 La segunda bomba, ya que en 5 min la altura del agua baja
25 dm; y con la primera en 10 min solo desciende 5 dm.
37. a) La gráfica de B es la que desciende, ya que en la ecuación dada la
pendiente es negativa. La de A es la que asciende.
b) B: 20 °C y A: – 45 °C
c) La B, porque la temperatura desciende.
d) A: 12 m y B: 1:00 a.m.
e) 4 h y de 15 °C.
38. a) Ver la figura 3.146.
d(m)
700
200
0
5
15
30
40 t(min)
Fig. 3.146
b) d
426
100
t 300
3
c) 7:40 a.m.
d) 1 400 m
Anexos
TABLA DE CUADRADOS
x
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
0
1,000
1,210
1,440
1,690
1,960
2,250
2,560
2,890
3,240
3,610
1
1,020
1,232
1,464
1,716
1,988
2,280
2,592
2,924
3,276
3,648
2
1,040
1,254
1,488
1,742
2,016
2,310
2,624
2,958
3,312
3,686
3
1,061
1,277
1,513
1,769
2,045
2,341
2,657
2,993
3,349
3,725
4
1,082
1,300
1,538
1,796
2,074
2,372
2,690
3,028
3,386
3,764
5
1,103
1,323
1,563
1,823
2,103
2,403
2,723
3,063
3,423
3,803
6
1,124
1,346
1,588
1,850
2,132
2,434
2,756
3,098
3,460
3,842
7
1,145
1,369
1,613
1,877
2,161
2,465
2,789
3,133
3,497
3,881
8
1,166
1,392
1,638
1,904
2,190
2,496
2,822
3,168
3,534
3,920
9
1,188
1,416
1,664
1,932
2,220
2,528
2,856
3,204
3,572
3,960
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
4,000
4,410
4,840
5,290
5,760
6,250
6,760
7,290
7,840
8,410
4,040
4,452
4,884
5,336
5,808
6,300
6,812
7,344
7,896
8,468
4,080
4,494
4,928
5,382
5,856
6,350
6,864
7,398
7,952
8,526
4,121
4,537
4,973
5,429
5,905
6,401
6,917
7,453
8,009
8,585
4,162
4,580
5,018
5,476
5,954
6,452
6,970
7,508
8,066
8,644
4,203
4,623
5,063
5,523
6,003
6,503
7,023
7,563
8,123
8,703
4,244
4,666
5,108
5,570
6,052
6,554
7,076
7,618
8,180
8,762
4,285
4,709
5,153
5,617
6,101
6,605
7,129
7,673
8,237
8,821
4,326
4,752
5,198
5,664
6,150
6,656
7,182
7,728
8,294
8,880
4,368
4,796
5,244
5,712
6,200
6,708
7,236
7,784
8,352
8,940
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
9,000
9,610
10,24
10,89
11,56
12,25
12,96
13,69
14,44
15,21
9,060
9,672
10,30
10,96
11,63
12,32
13,03
13,76
14,52
15,29
9,120
9,734
10,37
11,02
11,70
12,39
13,10
13,84
14,59
15,37
9,181
9,797
10,43
11,09
11,76
12,46
13,18
13,91
14,67
15,44
9,242
9,860
10,50
11,16
11,83
12,53
13,25
13,99
14,75
15,52
9,303
9,923
10,56
11,22
11,90
12,60
13,32
14,06
14,82
15,60
9,364
9,986
10,63
11,29
11,97
12,67
13,40
14,14
14,90
15,68
9,425
10,05
10,69
11,36
12,04
12,74
13,47
14,21
14,98
15,76
9,486
10,11
10,76
11,42
12,11
12,82
13,54
14,29
15,05
15,84
9,548
10,18
10,82
11,49
12,18
12,89
13,62
14,36
15,13
15,92
4,0
4,1
4,2
4,3
4,4
4,5
4,6
4,7
4,8
4,9
16,00
16,81
17,64
18,49
19,36
20,25
21,16
22,09
23,04
24,01
16,08
16,89
17,72
18,58
19,45
20,34
21,25
22,18
23,14
24,11
16,16
16,97
17,81
18,66
19,54
20,43
21,34
22,28
23,23
24,21
16,24
17,06
17,89
18,75
19,62
20,52
21,44
22,37
23,33
24,30
16,32
17,14
17,98
18,84
19,71
20,61
21,53
22,47
23,43
24,40
16,40
17,22
18,06
18,92
19,80
20,70
21,62
22,56
23,52
24,50
16,48
17,31
18,15
19,01
19,89
20,79
21,72
22,66
23,62
24,60
16,56
17,39
18,23
19,10
19,98
20,88
21,81
22,75
23,72
24,70
16,65
17,47
18,32
19,18
20,07
20,98
21,90
22,85
23,81
24,80
16,73
17,56
18,40
19,27
20,16
21,07
22,00
22,94
23,91
24,90
427
MATEMÁTICA
x
5,0
5,1
5,2
5,3
5,4
5,5
5,6
5,7
5,8
5,9
0
25,00
26,01
27,04
28,09
29,16
30,25
31,36
32,49
33,64
34,81
1
25,10
26,11
27,14
28,20
29,27
30,36
31,47
32,60
33,76
34,93
2
25,20
26,21
27,25
28,30
29,38
30,47
31,58
32,72
33,87
35,05
3
25,30
26,32
27,35
28,41
29,48
30,58
31,70
32,83
33,99
35,16
4
25,40
26,42
27,46
28,52
29,59
30,69
31,81
32,95
34,11
35,28
5
25,50
26,52
27,56
28,62
29,70
30,80
31,92
33,06
34,22
35,40
6
25,60
26,63
27,67
28,73
29,81
30,91
32,04
33,18
34,34
35,52
7
25,70
26,73
27,77
28,84
29,92
31,02
32,15
33,29
34,46
35,64
8
25,81
26,83
27,88
28,94
30,03
31,14
32,26
33,41
34,57
35,76
9
25,91
26,94
27,98
29,05
30,14
31,25
32,38
33,52
34,69
35,88
6,0
6,1
6,2
6,3
6,4
6,5
6,6
6,7
6,8
6,9
36,00
37,21
38,44
39,69
40,96
42,25
43,56
44,89
46,24
47,61
36,12
37,33
38,56
39,82
41,09
42,38
43,69
45,02
46,38
47,75
36,24
37,45
38,69
39,94
41,22
42,51
43,82
45,16
46,51
47,89
36,36
37,58
38,81
40,07
41,34
42,64
43,96
45,29
46,65
48,02
36,48
37,70
38,94
40,20
41,47
42,77
44,09
45,43
46,79
48,16
36,60
37,82
39,06
40,32
41,60
42,90
44,22
45,56
46,92
48,30
36,72
37,95
39,19
40,45
41,73
43,03
44,36
45,70
47,06
48,44
36,84
38,07
39,31
40,58
41,86
43,16
44,49
45,83
47,20
48,58
36,97
38,19
39,44
40,70
41,99
43,30
44,62
45,97
47,33
48,72
37,09
38,32
39,56
40,83
42,12
43,43
44,76
46,10
47,47
48,86
7,0
7,1
7,2
7,3
7,4
7,5
7,6
7,7
7,8
7,9
49,00
50,41
51,84
53,29
54,76
56,25
57,76
59,29
60,84
62,41
49,14
50,55
51,98
53,44
54,91
56,40
57,91
59,44
61,00
62,57
49,28
50,69
52,13
53,58
55,06
56,55
58,06
59,60
61,15
62,73
49,42
50,84
52,27
53,73
55,20
56,70
58,22
59,75
61,31
62,88
49,56
50,98
52,42
53,88
55,35
56,85
58,37
59,91
61,47
63,04
49,70
51,12
52,56
54,02
55,50
57,00
58,52
60,06
61,62
63,20
49,84
51,27
52,71
54,17
55,65
57,15
58,68
60,22
61,78
63,36
49,98
51,41
52,85
54,32
55,80
57,30
58,83
60,37
61,94
63,52
50,13
51,55
53,00
54,46
55,95
57,46
58,98
60,53
62,09
63,68
50,27
51,70
53,14
54,61
56,10
57,61
59,14
60,68
62,25
63,84
8,0
8,1
8,2
8,3
8,4
8,5
8,6
8,7
8,8
8,9
64,00
65,61
67,24
68,89
70,56
72,25
73,96
75,69
77,44
79,21
64,16
65,77
67,40
69,06
70,73
72,42
74,13
75,86
77,62
79,39
64,32
65,93
67,57
69,22
70,90
72,59
74,30
76,04
77,79
79,57
64,48
66,10
67,73
69,39
71,06
72,76
74,48
76,21
77,97
79,74
64,64
66,26
67,90
69,56
71,23
72,93
74,65
76,39
78,15
79,92
64,80
66,42
68,06
69,72
71,40
73,10
74,82
76,56
78,32
80,10
64,96
66,59
68,23
69,89
71,57
73,27
75,00
76,74
78,50
80,28
65,12
66,75
68,39
70,06
71,74
73,44
75,17
76,91
78,68
80,46
65,29
66,91
68,56
70,22
71,91
73,62
75,34
77,09
78,85
80,64
65,45
67,08
68,72
70,39
72,08
73,79
75,52
77,26
79,03
80,82
9,0
9,1
9,2
9,3
9,4
9,5
9,6
9,7
9,8
9,9
81,00
82,81
84,64
86,49
88,36
90,25
92,16
94,09
96,04
98,01
81,18
82,99
84,82
86,68
88,55
90,44
92,35
94,28
96,24
98,21
81,36
83,17
85,01
86,86
88,74
90,63
92,54
94,48
96,43
98,41
81,54
83,36
85,19
87,05
88,92
90,82
92,74
94,67
96,63
98,60
81,72
83,54
85,38
87,24
89,11
91,01
92,93
94,87
96,83
98,80
81,90
83,72
85,56
87,42
89,30
91,20
93,12
95,06
97,02
99,00
82,08
83,91
85,75
87,61
89,49
91,39
93,32
95,26
97,22
99,20
82,26
84,09
85,93
87,80
89,68
91,58
93,51
95,45
97,42
99,40
82,45
84,27
86,12
87,98
89,87
91,78
93,70
95,65
97,61
99,60
82,63
84,46
86,30
88,17
90,06
91,97
93,90
95,84
97,81
99,80
428
ANEXOS
TABLA DE CUBOS
x
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
0
1,000
1,331
1,728
2,197
2,744
3,375
4,096
4,913
5,832
6,859
1
1,030
1,368
1,772
2,248
2,803
3,443
4,173
5,000
5,930
6,968
2
1,061
1,405
1,816
2,300
2,863
3,512
4,252
5,088
6,029
7,078
3
1,093
1,443
1,861
2,353
2,924
3,582
4,331
5,178
6,128
7,189
4
1,125
1,482
1,907
2,406
2,986
3,652
4,411
5,268
6,230
7,301
5
1,158
1,521
1,953
2,460
3,049
3,724
4,492
5,359
6,332
7,415
6
1,191
1,561
2,000
2,515
3,112
3,796
4,574
5,452
6,435
7,530
7
1,225
1,602
2,048
2,571
3,177
3,870
4,657
5,545
6,539
7,645
8
1,260
1,643
2,097
2,628
3,242
3,944
4,742
5,640
6,645
7,762
9
1,295
1,685
2,147
2,686
3,308
4,020
4,827
5,735
6,751
7,881
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
8,000
9,261
10,65
12,17
13,82
15,63
17,58
19,68
21,95
24,39
8,121
9,394
10,79
12,33
14,00
15,81
17,78
19,90
22,19
24,64
8,242
9,528
10,94
12,49
14,17
16,00
17,98
20,12
22,43
24,90
8,365
9,664
11,09
12,65
14,35
16,19
18,19
20,35
22,67
25,15
8,490
9,800
11,24
12,81
14,53
16,39
18,40
20,57
22,91
25,41
8,615
9,938
11,39
12,98
14,71
16,58
18,61
20,80
23,15
25,67
8,742
10,08
11,54
13,14
14,89
16,78
18,82
21,02
23,39
25,93
8,870
10,22
11,70
13,31
15,07
16,97
19,03
21,25
23,64
26,20
8,999
10,36
11,85
13,48
15,25
17,17
19,25
21,48
23,89
26,46
9,129
10,50
12,01
13,65
15,44
17,37
19,47
21,72
24,14
26,73
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
27,00
29,79
32,77
35,94
39,30
42,88
46,66
50,65
54,87
59,32
27,27
30,08
33,08
36,26
39,65
43,24
47,05
51,06
55,31
59,78
27,54
30,37
33,39
36,59
40,00
43,61
47,44
51,48
55,74
60,24
27,82
30,66
33,70
36,93
40,35
43,99
47,83
51,90
56,18
60,70
28,09
30,96
34,01
37,26
40,71
44,36
48,23
52,31
56,62
61,16
28,37
31,26
34,33
37,60
41,06
44,74
48,63
52,73
57,07
61,63
28,65
31,55
34,65
37,93
41,42
45,12
49,03
53,16
57,51
62,10
28,93
31,86
34,97
38,27
41,78
45,50
49,43
53,58
57,96
62,57
29,22
32,16
35,29
38,61
42,14
45,88
49,84
54,01
58,41
63,04
29,50
32,46
35,61
38,96
42,51
46,27
50,24
54,44
58,86
63,52
4,0
4,1
4,2
4,3
4,4
4,5
4,6
4,7
4,8
4,9
64,00
68,92
74,09
79,51
85,18
91,13
97,34
103,8
110,6
117,6
64,48
69,43
74,62
80,06
85,77
91,73
97,97
104,5
111,3
118,4
64,96
69,93
75,15
80,62
86,35
92,35
98,61
105,2
112,0
119,1
65,45
70,44
75,69
81,18
86,94
92,96
99,25
105,8
112,7
119,8
65,94
70,96
76,23
81,75
87,53
93,58
99,90
106,5
113,4
120,6
66,43
71,47
76,77
82,31
88,12
94,20
100,5
107,2
114,1
121,3
66,92
71,99
77,31
82,88
88,72
94,82
101,2
107,9
114,8
122,0
67,42
72,51
77,85
83,45
89,31
95,44
101,8
108,5
115,5
122,8
67,92
73,03
78,40
84,03
89,92
96,07
102,5
109,2
116,2
123,5
68,42
73,56
78,95
84,60
90,52
96,70
103,2
109,9
116,9
124,3
5,0
5,1
5,2
5,3
5,4
5,5
5,6
5,7
5,8
5,9
125,0
132,7
140,6
148,9
157,5
166,4
175,6
185,2
195,1
205,4
125,8
133,4
141,4
149,7
158,3
167,3
176,6
186,2
196,1
206,4
126,5
134,2
142,2
150,6
159,2
168,2
177,5
187,1
197,1
207,5
127,3
135,0
143,1
151,4
160,1
169,1
178,5
188,1
198,2
208,5
128,0
135,8
143,9
152,3
161,0
170,0
179,4
189,1
199,2
209,6
128,8
136,6
144,7
153,1
161,9
171,0
180,4
190,1
200,2
210,6
129,6
137,4
145,5
154,0
162,8
171,9
181,3
191,1
201,2
211,7
130,3
138,2
146,4
154,9
163,7
172,8
182,3
192,1
202,3
212,8
131,1
139,0
147,2
155,7
164,6
173,7
183,3
193,1
203,3
213,8
131,9
139,8
148,0
156,6
165,5
174,7
184,2
194,1
204,3
214,9
429
MATEMÁTICA
x
6,0
6,1
6,2
6,3
6,4
6,5
6,6
6,7
6,8
6,9
0
216,0
227,0
238,3
250,0
262,1
274,6
287,5
300,8
314,4
328,5
1
217,1
228,1
239,5
251,2
263,4
275,9
288,8
302,1
315,8
329,9
2
218,2
229,2
240,6
252,4
264,6
277,2
290,1
303,5
317,2
331,4
3
219,3
230,3
241,8
253,6
265,8
278,4
291,4
304,8
318,6
332,8
4
220,3
231,5
243,0
254,8
267,1
279,7
292,8
306,2
320,0
334,3
5
221,4
232,6
244,1
256,0
268,3
281,0
294,1
307,5
321,4
335,7
6
222,5
233,7
245,3
257,3
269,6
282,3
295,4
308,9
322,8
337,2
7
223,6
234,9
246,5
258,5
270,8
283,6
296,7
310,3
324,2
338,6
8
224,8
236,0
247,7
259,7
272,1
284,9
298,1
311,7
325,7
340,1
9
225,9
237,2
248,9
260,9
273,4
286,2
299,4
313,0
327,1
341,5
7,0
7,1
7,2
7,3
7,4
7,5
7,6
7,7
7,8
7,9
343,0
357,9
373,2
389,0
405,2
421,9
439,0
456,5
474,6
493,0
344,5
359,4
374,8
390,6
406,9
423,6
440,7
458,3
476,4
494,9
345,9
360,9
376,4
392,2
408,5
425,3
442,5
460,1
478,2
496,8
347,4
362,5
377,9
393,8
410,2
427,0
444,2
461,9
480,0
498,7
348,9
364,0
379,5
395,4
411,8
428,7
445,9
463,7
481,9
500,6
350,4
365,5
381,1
397,1
413,5
430,4
447,7
465,5
483,7
502,5
351,9
367,1
382,7
398,7
415,2
432,1
449,5
467,3
485,6
504,4
353,4
368,6
384,2
400,3
416,8
433,8
451,2
469,1
487,4
506,3
354,9
370,1
385,8
401,9
418,5
435,5
453,0
470,9
489,3
508,2
356,4
371,7
387,4
403,6
420,2
437,2
454,8
472,7
491,2
510,1
8,0
8,1
8,2
8,3
8,4
8,5
8,6
8,7
8,8
8,9
512,0
531,4
551,4
571,8
592,7
614,1
636,1
658,5
681,5
705,0
513,9
533,4
553,4
573,9
594,8
616,3
638,3
660,8
683,8
707,3
515,8
535,4
555,4
575,9
596,9
618,5
640,5
663,1
686,1
709,7
517,8
537,4
557,4
578,0
599,1
620,7
642,7
665,3
688,5
712,1
519,7
539,4
559,5
580,1
601,2
622,8
645,0
667,6
690,8
714,5
521,7
541,3
561,5
582,2
603,4
625,0
647,2
669,9
693,2
716,9
523,6
543,3
563,6
584,3
605,5
627,2
649,5
672,2
695,5
719,3
525,6
545,3
565,6
586,4
607,6
629,4
651,7
674,5
697,9
721,7
527,5
547,3
567,7
588,5
609,8
631,6
654,0
676,8
700,2
724,2
529,5
549,4
569,7
590,6
612,0
633,8
656,2
679,2
702,6
726,6
9,0
9,1
9,2
9,3
9,4
9,5
9,6
9,7
9,8
9,9
729,0
753,6
778,7
804,4
830,6
857,4
884,7
912,7
941,2
970,3
731,4
756,1
781,2
807,0
833,2
860,1
887,5
915,5
944,1
973,2
733,9
758,6
783,8
809,6
835,9
862,8
890,3
918,3
947,0
976,2
736,3
761,0
786,3
812,2
838,6
865,5
893,1
921,2
949,9
979,1
738,8
763,6
788,9
814,8
841,2
868,3
895,8
924,0
952,8
982,1
741,2
766,1
791,5
817,4
843,9
871,0
898,6
926,9
955,7
985,1
743,7
768,6
794,0
820,0
846,6
873,7
901,4
929,7
958,6
988,0
746,1
771,1
796,6
822,7
849,3
876,5
904,2
932,6
961,5
991,0
748,6
773,6
799,2
825,3
852,0
879,2
907,0
935,4
964,4
994,0
751,1
776,2
801,8
827,9
854,7
882,0
909,9
938,3
967,4
997,0
430
Position: 222 (723 views)