5SB025- Matemática 9no. Grado.pdf
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MATEMÁTICA
noveno grado
Dra. C. Susana Acosta Hernández
M. Sc. Oscar Domínguez Escobar
M. Sc. Margarita Gort Sánchez
M. Sc. Lourdes Báez Arbesú
Dra. C. Rita María Cantero Pérez
Dr. C. Jesús Cantón Arenas
Dr. C. Aurelio Quintana Valdés †
Este material forma parte del conjunto de trabajos dirigidos al Tercer Perfeccionamiento
Continuo del Sistema Nacional de la Educación General. En su elaboración participaron maestros,
metodólogos y especialistas a partir de concepciones teóricas y metodológicas precedentes, adecuadas y enriquecidas en correspondencia con el fin y los objetivos propios de cada nivel educativo, de las exigencias de la sociedad cubana actual y sus perspectivas.
Ha sido revisado por la subcomisión responsable de la asignatura perteneciente a la Comisión Nacional Permanente para la revisión de planes, programas y textos de estudio del Instituto Central de
Ciencias Pedagógicas del Ministerio de Educación.
Queda rigurosamente prohibida, sin la autorización previa y por escrito de los titulares del
copyright y bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra
por cualquier medio o procedimiento, así como su incorporación a un sistema informático.
Material de distribución gratuita. Prohibida su venta
Edición y corrección:
► Lic. Amada Díaz Zuazo
Diseño y cubierta:
► Instituto Superior de Diseño (ISDi)
► Anelís Simón Sosa ♦ María Paula Lista Jorge ♦ Sara Sofía Delgado Méndez ♦ Isell
Rodríguez Guerra ♦ Daniela Domínguez Ramírez ♦ Amanda Serrano Hernández
♦ Rocío de la C. Ruiz Rodríguez ♦ Evelio de la Sota Ravelo ♦ Ana Laura Seco Abreu ♦
Arianna Ruenes Torres ♦ Reynier Polanco S omohano ♦ Celia Carolina Céspedes
Pupo ♦ Elizabeth Diana Fajardo Céspedes ♦ Laura Rosa Armero Fong ♦ Elizabeth
Blanco Galbán ♦ Laura Reynaldo Jiménez ♦ Daniela Arteaga Martínez ♦ Daniela
Alpízar Céspedes ♦ Roberto Pérez Curbelo ♦ Ariel Abreu Ulloa ♦ M. Sc. Maité
Fundora Iglesias ♦ Dr. C. Ernesto Fernández Sánchez ♦ D.I. Eric Cuesta Machado
♦ D.I. Julio Montesino Carmona
Ilustración:
► Camila Noa Clavero
Emplane:
► Yaneris Guerra Turró
© Ministerio de Educación, Cuba, 2025
© Editorial Pueblo y Educación, 2025
ISBN 978-959-13-4921-7 (Versión impresa)
ISBN 978-959-13-4994-1 (Versión digital)
EDITORIAL PUEBLO Y EDUCACIÓN
Av. 3.ª A No. 4601 entre 46 y 60,
Playa, La Habana, Cuba. CP 11300.
epueblo@epe.gemined.cu
ÍNDICE
1
Prólogo••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• V
Estadística Descriptiva•••••••••••••••••••••••••••• 1
► 1.1Sistematización sobre los conjuntos numéricos•••••••••••••••••• 1
► 1.2Sistematización sobre Estadística Descriptiva para datos simples•••• 17
► 1.3Estadística Descriptiva para datos agrupados•••••••••••••••••• 25
► 1.3.1Distribución de frecuencias para datos agrupados en clases•••••• 27
► 1.3.2Construcción de histogramas y polígonos de frecuencia••••••••• 32
2
Geometría Plana••••••••••••••••••••••••••••••••• 53
2.1Segmentos proporcionales y sus aplicaciones•••••••••••••••••• 53
► 2.1.1Sistematización sobre razones y proporciones entre longitudes
►
de segmentos••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 54
2.2Figuras semejantes•••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 83
► 2.3Semejanza de triángulos•••••••••••••••••••••••••••••••••• 96
► 2.3.1Teoremas de semejanza de triángulos•••••••••••••••••••••• 99
► 2.3.2Razón entre perímetros y áreas en triángulos semejantes••••••• 108
► 2.4Grupo de Teoremas de Pitágoras••••••••••••••••••••••••••• 115
► 2.5Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo•••••••••••• 132
►
3
Sistemas de ecuaciones lineales•••••••••••••••• 163
3.1Ecuaciones lineales con dos variables••••••••••••••••••••••• 163
► 3.2Sistemas de ecuaciones lineales con dos variables•••••••••••••• 169
► 3.3Procedimiento gráfico para resolver sistemas de dos ecuaciones
►
lineales con dos variables••••••••••••••••••••••••••••••••••• 181
3.4Procedimientos analíticos para resolver sistemas de dos ecuaciones
lineales con dos variables••••••••••••••••••••••••••••••••••• 189
► 3.4.1Procedimiento de sustitución•••••••••••••••••••••••••••• 192
► 3.4.2Procedimiento de adición-sustracción••••••••••••••••••••• 202
► 3.5Resolución de problemas que conducen a sistemas de dos
ecuaciones lineales con dos variables•••••••••••••••••••••••••• 212
►
III
4
Trabajo con variables, ecuaciones
de segundo grado y funciones cuadráticas••••• 245
► 4.1 Repaso sobre el trabajo con variables••••••••••••••••••••••• 245
► 4.2Algunos productos notables•••••••••••••••••••••••••••••• 252
► 4.2.1Cuadrado de la suma de dos términos. Cuadrado de la diferencia
de dos términos•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 253
► 4.2.2Suma por la diferencia de dos términos•••••••••••••••••••• 262
► 4.2.3Producto de dos binomios que tienen un término común••••••• 266
► 4.3Introducción a la descomposición factorial••••••••••••••••••• 271
► 4.3.1Extracción del factor común••••••••••••••••••••••••••••• 272
► 4.3.2Diferencia de dos cuadrados•••••••••••••••••••••••••••• 278
► 4.3.3Descomposición factorial de trinomios••••••••••••••••••••• 282
► 4.4Ecuaciones cuadráticas o de segundo grado•••••••••••••••••• 301
► 4.4.1 Ecuación general para la resolución de las ecuaciones de segundo grado• 315
► 4.4.2Despeje de variables en ecuaciones••••••••••••••••••••••• 324
► 4.4.3Problemas que conducen a la resolución de ecuaciones cuadráticas•• 327
► 4.5Repaso sobre la función lineal••••••••••••••••••••••••••••• 338
► 4.6El concepto de función cuadrática•••••••••••••••••••••••••• 347
► 4.6.1Representación gráfica de la función cuadrática y = ax2 (a ≠ 0)
y sus propiedades••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 357
► 4.6.2La función cuadrática de la forma y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) •••••• 371
► 4.6.3Traslación de la parábola en la dirección de los ejes de coordenadas••••385
5
Cuerpos••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 419
► 5.1Repaso sobre cálculo de áreas y volúmenes del prisma y la pirámide ••••• 419
► 5.2El cilindro, el cono y la esfera••••••••••••••••••••••••••••• 428
► 5.2.1 Representación geométrica del cilindro, el cono y la esfera•••••• 432
► 5.3Áreas lateral y total del cilindro y el cono
mediante sus desarrollos. Área de la esfera•••••••••••••••••••••• 437
► 5.3.1 Cálculo del área lateral y del área total del cilindro circular recto•••• 438
► 5.3.2 Cálculo del área lateral y del área total del cono circular recto••• 440
► 5.3.3 Cálculo del área de una esfera••••••••••••••••••••••••••• 443
► 5.4Determinación del volumen de cilindros, conos y esferas••••••••• 447
► 5.4.1 Volumen del cilindro•••••••••••••••••••••••••••••••••• 447
► 5.4.2 Volumen del cono•••••••••••••••••••••••••••••••••••• 450
► 5.4.3 Volumen de la esfera•••••••••••••••••••••••••••••••••• 451
ANEXOS•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 461
PRÓLOGO
E
ste libro de texto de Matemática está diseñado especialmente para
estudiantes de noveno grado. Su contenido te permitirá vincular esta
asignatura con diferentes situaciones de la vida práctica. Al hojear sus
páginas te percatarás que está estructurado en cinco capítulos, cada uno
dividido en epígrafes, en los cuales se presenta una pequeña introducción
del tema que se va a tratar, ejemplos resueltos, ejercicios al final de cada
epígrafe y del capítulo.
A lo largo de este libro encontrarás diferentes secciones que lo distinguen, lo hacen más ameno y permiten enriquecer tus conocimientos.
Estas secciones son:
De la historia. En esta se destacan aspectos de personalidades vinculadas al
descubrimiento, surgimiento de nuevos contenidos o al origen y desarrollo
de aspectos de la matemática, tratados.
Reflexiona. Presenta situaciones problémicas en las que debes pensar como
resolverlas y te conducen a un nuevo contenido.
¿Sabías que…? Expresa brevemente informaciones relevantes: una noticia,
un descubrimiento o una aplicación de la Matemática.
Recuerda que... Presenta pequeños resúmenes de contenidos que debes
saber para obtener otros nuevos.
¡Atención! Esta sección es una alerta en algunos aspectos para ser cuidadoso y no incurrir en errores. También destaca algunos elementos que se
van a considerar en la resolución de las actividades o ejercicios propuestos.
Investiga y aprende. Se proponen tareas para investigar y así enriquecer
el conocimiento con el aprendizaje de nuevos contenidos y procederes.
Saber más. Se trata de aspectos relacionados con el contenido para ampliar
tus conocimientos.
V
Aplica tus conocimientos. Aparecen tareas para aplicar los conocimientos
adquiridos que pueden solucionar nuevas problemáticas intramatemáticas
y extramatemáticas.
Autoevaluación. Esta sección aparece al final de cada capítulo estructurada en dos tipos de test.
Esperamos que este material sea una herramienta valiosa para ti, tus
profesores y tu familia. Te invitamos a aprovechar estos conocimientos para
aplicarlos a lo largo de tu vida, los puedas compartir con tus compañeros y
descubras el maravilloso mundo de la reina de las ciencias: La Matemática.
Los autores
VI
CAPÍTULO 1
Estadística Descriptiva
1.1 Sistematización sobre los conjuntos numéricos
M
is objetivos se van haciendo realidad. ¡Ya estoy en noveno grado!
Me propongo nuevas metas en el cumplimiento de los deberes
escolares; quiero mejorar mis calificaciones en todas las asignaturas, por eso voy a retomar mi compromiso con el estudio, descubrir una
vez más cuánta sabiduría encierran los libros y tener un buen profesor o
una buena profesora.
¿La Matemática?... En esa asignatura tengo que seguir mejorando mucho más los resultados alcanzados, porque no estoy conforme con lo que
he logrado, aunque es grande el esfuerzo que he hecho; sin embargo, no
puedo decir que ha sido en vano: ya sé trabajar con rapidez y con mucha
seguridad, por lo que ahora puedo aplicar mejor la Matemática, además,
he comprendido que mucho de lo estudiado permite solucionar problemas
de diversas esferas de la vida.
Ante el cumplimiento de estas nuevas metas, siempre buscaré alternativas para dar solución a los problemas que se presenten. El apoyo de mi
familia, los profesores, la comunidad, mis amistades, de toda la sociedad,
me dará la oportunidad de adquirir conocimientos y nuevas formas de
comportarme, todo ello me preparará para ser un adulto mejor.
Este curso escolar es decisivo para el resto de mi vida porque tendré
que definir mi continuidad de estudios, ya sea en un preuniversitario o en
un centro de la Educación Técnica y Profesional o, ¿por qué no?, en una
Escuela Pedagógica; así seré cada día mejor, me haré de una profesión o
un oficio, que es hacerme útil.
1
MATEMÁTICA
¡Bienvenido seas a este nuevo curso! El colectivo de autores de este libro
se ha esmerado, como hizo en los textos de séptimo y de octavo grados, para
que la Matemática no sea la barrera que impida el cumplimiento de todos
tus propósitos en noveno. Esta es nuestra modesta contribución, porque
como tú bien sabes se impone la sistematicidad en su estudio, que es sinónimo, fundamentalmente, de atender a clases y de no dejar de realizar las
tareas que se orienten; lo cual te hará ser muy responsable, por eso serás
capaz de lograr tus sueños y de poder vivirlos. Sea cual sea la continuidad de
estudios que alcances, seguirá junto a ti la Matemática; disponte a conocer
mucho más de ella, te deseamos ¡éxitos!
Aplica tus conocimientos
Determina el valor de A, B, C, D, E, F, G, H e I si:
22
A 3 343 2, 225
10
23
2 025
B 7, 7 : 7, 7 121 : 4
98
96
2
36
D 52 1, 23
15
C = 2,54 · 44 – 5 · 123
3
3
E 3,152 : 0, 632 3 125 : 5
1
6 12
F : 3
5
5
512
G 1 1739 : 1786
H = 3–1 + 4–2 +9–1
53
24
I es el opuesto de 3 17
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
Escribe cómo se lee cada resultado obtenido.
¿Cuántos de los valores hallados son números racionales? ¿Por qué?
Ubica en la recta numérica los valores de A, E, F e I.
¿A qué conjunto numérico más restringido pertenecen los valores
hallados?
Halla el opuesto de A, C, E y G.
¿Cuál es el valor absoluto de B, D, F y H?
¿Entre qué números enteros consecutivos se encuentran los valores
hallados de A, B, D, H e I?
¿Cuántos números enteros hay entre el menor y el mayor valor hallado?
¿Cuáles son?
Los dos últimos incisos te hacen pensar en todo lo que has estudiado sobre las operaciones y las propiedades de los conjuntos numéricos
estudiados.
2
CAPÍTULO 1
Definición de recta real
El conjunto de los números reales se puede representar sobre una recta
(figura 1.1) de forma tal que a cada número real se le haga corresponder
un punto y viceversa. Esta recta recibe el nombre de recta real.
Fig. 1.1
Ejemplo 1
Representa sobre la recta real el conjunto de los números reales mayores o iguales que – 2 y menores o iguales que 3
Solución:
Los números reales mayores que – 2 se encuentran a la derecha de – 2
y los menores que 3 se encuentran a la izquierda de 3, el conjunto pedido está formado por los puntos que están entre – 2 y 3. Además, x puede
ser igual a –2 y a 3, ambos se incluyen. El conjunto pedido se destaca en
la figura 1.2, los puntos rellenos –2 y 3 indican que estos puntos se incluyen. Observa que podemos representarlo de la forma siguiente: 2 x 3.
Fig. 1.2
¡Atención!
Los conjuntos, como el del ejemplo uno, formados por todos los números
reales comprendidos entre otros dos números reales, se llaman intervalos.
Cuando se incluyen ambos extremos (como en el ejemplo uno) reciben
el nombre de intervalos cerrados; cuando no se incluye ningún extremo,
entonces se llaman intervalos abiertos. Cuando se incluye un extremo
y el otro no, recibe el nombre de intervalo semicerrado o semiabierto.
Para representar un intervalo (u otro conjunto formado, al igual que
estos, por infinitos puntos) se utiliza la notación: x r : 2 x 3
3
MATEMÁTICA
En esta notación, x ∈ R indica que se toman elementos del conjunto de
los números reales y después de los dos puntos aparece la condición que
deben satisfacer los elementos.
Ejemplo 2
a) x r : 2 x 3
b) x r : 2 x 3
Solución:
a) En la figura 1.3 a, hemos destacado el intervalo, los puntos huecos (blancos) indican que los extremos no pertenecen al intervalo (intervalo
abierto).
b) En este caso (figura 1.3 b), el punto hueco en – 2 indica que no pertenece; el punto relleno en 3 que pertenece.
Fig. 1.3 a
Fig. 1.3 b
Ejemplo 3
Di si son verdaderas o falsas las afirmaciones siguientes. Justifica tu
respuesta.
a) n ⊂ Q
b) x r : x 3 x r : x 20
c) x r : 1 x x r : 2 x 3
d) Ø ⊂ Z
Solución:
a) Verdadera, pues todo número natural es número racional.
b) Verdadera, porque como 3 < 20 , todo número menor o igual que
tres es menor o igual que 20, se puede expresar también: si x ≤ 3,
entonces x < 20 . Estos conjuntos pueden representarse como se
indica en la figura 1.4
Fig. 1.4 a
4
Fig. 1.4 b
CAPÍTULO 1
c) Falsa, pues 2 pertenece al primer conjunto y no pertenece al segundo;
o uno pertenece al primer conjunto y no pertenece al segundo.
d) Verdadera, porque el conjunto vacío está incluido en todo conjunto.
¡Atención!
Otra manera de denotar los intervalos es con el uso de corchetes y paréntesis. Los corchetes cuando el intervalo es cerrado, los paréntesis cuando
es abierto y la combinación de estos cuando es semiabierto o semicerrado.
Ejemplo 4
Utilizando esta notación, representar los intervalos de los ejemplos
uno y dos.
Solución:
El intervalo del ejemplo uno, se denotaría 2; 3 y los intervalos del
ejemplo 2 a y 2 b, se denotarían 2; 3 y 2; 3 .
Para el estudio de la estadística descriptiva, en este grado, es de suma
importancia que comprendas cuándo un número real pertenece o no a un
intervalo numérico.
Investiga y aprende
Los intervalos numéricos se aplican en situaciones de la vida. Busca ejemplos
donde estén presentes.
A continuación, algunas de las situaciones de la vida que nos hacen
pensar en intervalos de números reales.
Los horarios hacen pensar en
un rango de tiempo y, así organizamos las actividades que se van
a realizar.
La cafetería Tapiñao está
abierta cualquier día, siempre des
de las nueve de la mañana hasta
las nueve de la noche (figura 1.5).
Fig. 1.5
5
MATEMÁTICA
La Ranita Monte Iberia (Eleuthero
dactylus iberia), descubierta en 1996,
considerada una de las joyas de la fauna
cubana, siendo la rana más pequeña en el
hemisferio norte. Su tamaño oscila entre
9,0 mm y 9,8 mm .1
Muchas personas de 100 años y más viven en Cuba. Para el año 2017 Cuba tenía
una población de 2 153 personas con 100
Fig. 1.6
años y más, y al menos 3 de ellas tienen
edades comprendidas entre 113 y 115 años.
De esa población centenaria, más de 1 200 personas son mujeres. Mientras que por distribución geográfica la longevidad se concentra, sobre todo,
en las provincias orientales del país. Con La Habana como excepción.2
Desde el año 2008, en Cuba se efectuó la entrega de tierras en usufructo,
pues se puso en vigor el Decreto Ley 259.
Hasta la primera quincena de junio de 2012, 166 247 personas en todo
el país se habían acogido a esta opción.
De ellas, 11 121 son jóvenes de entre 18 años y 25 años, y 32 816 de 26
años a 35 años, según apunta Pedro Olivera Gutiérrez, director del Centro
Nacional de Control de la Tierra.3
Los huracanes según la escala Safir-Simpson, se clasifican en categorías
atendiendo a los vientos máximos sostenidos:4
Categoría
Vientos máximos sostenidos
(km/h)
1
118 - 153
2
154 - 177
3
178 - 209
4
210 - 250
5
> 250
Google, 24 de octubre de 2022. Disponible en: https://www.ecured.cu/Ranita_Monte_Iberia
1
Google, 24 de octubre de 2022. Disponible en: www.todocuba.org/cifras-revelan-cubavive-la-increible-cantidad-2-135-personas-mas-100-anos.
2
3
Periódico Juventud Rebelde, 17 de junio de 2012.
Gilberto N. Ayes Ametller: “Impacto ambiental”, Medio ambiente: impacto y de
sarrollo, p. 83.
4
6
CAPÍTULO 1
Investiga y aprende
¿Cuál es el huracán que más se recuerda en tu localidad en el momento en
que estudias este contenido y cuál fue su categoría?
Te ponemos como ejemplo la trayectoria del Huracán Ian por el Mar
Caribe y Cuba (figura 1.7) del 25 de septiembre de 2022.5
Fig. 1.7
Para saber cuán intenso es un terremoto hay que conocer la escala sismológica de Richter, la que se expresa en intervalos numéricos (tabla 1.1).6
Tabla 1.1
Magnitud
Descripción
Efectos de un sismo
Menos de 0,2
Micro
Los microsismos no son perceptibles.
2,0 – 2,9
Menor
Generalmente no son perceptibles.
3,0 – 3,9
4,0 – 4,9
Perceptibles al inicio, pero rara vez
provocan daños.
Ligero
Movimiento de objetos en las
habitaciones que generan ruido.
Sismo significativo, pero con daño
poco probable.
Buscado en Google, 24 de octubre de 2022. Disponible en: http://www.cubadebate.
cu/noticias/2022/09/24/tormenta-tropical-ian-sobre-el-caribe-central-cono-de-trayectoria
5
6
Consulta en Wikipedia el 13 de enero de 2014.
7
MATEMÁTICA
Magnitud
Descripción
Efectos de un sismo
5,0 – 5,9
Moderado
Puede causar daños mayores en
edificaciones débiles o mal construidas. En edificaciones bien diseñadas
los daños son leves.
6,0 – 6,9
Fuerte
Pueden llegar a destruir áreas pobladas,
en hasta unos 160 km a la redonda.
7,0 – 7,9
Mayor
Pueden causar serios daños en
extensas zonas.
8,0 – 8,9
Gran
Pueden causar grandes daños en
zonas de varios cientos de kilómetros.
9,0 – 9,9
10,0+
Devastadores en zonas de varios
miles de kilómetros
Épico
Nunca registrado
Según datos de la Encuesta Nacional de Salud del 2019, la media de
inicio en el consumo del tabaco fue de 17,4 años, similar en las zonas urbana
y rural, y mayor en las mujeres que en hombres, comportamiento similar a
lo observado en el año 2010.
Uno de cada diez fumadores se inició antes de los 12 años, aproximadamente cinco de cada diez entre los 12 años y 16 años, y dos de cada diez
entre los 17 años y 19 años. Al comparar con el año 2010, los fumadores se
iniciaron más tempranamente. El mayor incremento se observó en los grupos
de 10-11 años (21,4 %); de 12-14 años (10,8 %), seguido del de menos de
10 años (7,8 %) Se destacó que en los que se iniciaron antes de los 10 años
hubo una tendencia al predominio en las mujeres en la actual encuesta.7
El índice de masa corporal (IMC) es una medida de asociación entre
la masa8 y la talla de un individuo, ideada por el estadista belga Adolphe
Quetelet, por lo que también se conoce como índice de Quetelet.
masa kg
Se calcula según la expresión matemática: ICM
estatura m 2
Buscado en Google, 24 de octubre de 2022. http://www.cubadebate.cu/especiales/2021/05/31/dos-personas-fallecen-cada-hora-por-tabaquismo-activo-en-cuba/
7
8
Masa, lo que erróneamente se conoce como peso.
8
CAPÍTULO 1
IMC
kg
2
m
la masa expresada en kilogramos y la estatura
xpresada en metros
ex
En el caso de los adultos se ha utilizado como uno de los recursos para
evaluar su estado nutricional, de acuerdo con los valores propuestos por la
Organización Mundial de la Salud 9 (tabla 1.2).
Tabla 1.2
IMC (kg/m2)
Valores principales
Valores adicionales
Bajo peso
< 18,50
< 18,50
Delgadez severa
< 16,00
< 16,00
Delgadez moderada
16,00 – 16,99
16,00 – 16,99
Delgadez leve
17,00 – 18,49
17,00 – 18,49
Normal
18,5 – 24,99
18,5 – 22,99
23,00 – 24,99
Sobrepeso
≥ 25,00
≥ 25,00
Preobeso
25,00 – 29,99
25,00 – 27,49
27,50 – 29,99
Obesidad
≥ 30,00
Obesidad leve
30,00 – 34,99
30,00 – 32,49
32,50 – 34,99
Obesidad media
35,00 – 39,99
35,00 – 37,49
37,50 – 39,99
Obesidad mórbida
10
≥ 40,00
La tabla 1.3 fue confeccionada con información extraída del Anuario
Estadístico de Salud 2020.10
¡Aquí los intervalos nos hacen pensar en el peligro del tabaquismo!
9
Consulta en Wiquipedia el 13 de enero de 2014.
La obesidad mórbida significa que una persona es tan gorda que su bienestar y su salud
realmente están en peligro. La obesidad mórbida se define, generalmente, como: un peso de
45 kg o más, de lo recomendado por los médicos. Buscado en Google, 4 de diciembre de 2019.
10
9
MATEMÁTICA
Tabla 1.3
Incidencia de cáncer bronquios-pulmón
Edad
(años)
Número de casos
Masculino
Femenino
[15-19]
0
0
[20-24]
2
0
[25-29]
0
3
[30-34]
1
3
[35-39]
1
4
[40-44]
33
19
[45-49]
76
44
[50-54]
207
123
[55-59]
340
207
Más de 60
3 096
1 758
Ejercicios
1.
En la figura 1.8 se representan gráficamente subconjuntos de números reales. Escribe estos subconjuntos.
a)
b)
2
3
c)
d)
–3
2,75
–2 1
5
Fig. 1.8
2.
Dados los conjuntos siguientes:
A x r : 6 x 3
B x r : x 2, 8
C x r : 3,52 x 4
10
4,3
CAPÍTULO 1
a) Representa gráficamente cada uno de los conjuntos dados.
b) Determina dos subconjuntos y tres elementos de cada uno de ellos.
3.
Sean las funciones f(x) = 2x – 3; g(x) = x2 – 5x + 2; h( x ) =
a) Halla f(5); g(–2); h(0,4)
2
(x ≠ 0)
x
b) Calcula f(7,3) + g(8)
5
f g(10)
c) Efectúa g(–3) ⋅ h(5)
d) Prueba que: 2
75
h(3)
7
6h(3) g 2 f
4
e) Resuelve
0 ,5
4.
Selecciona, de entre las tres posibilidades dadas, la descripción más
acertada para el conjunto dado.
a) A = {1;4;9;16}
a1) El conjunto formado por cuatro cuadrados perfectos.
a2) El conjunto formado por los cuadrados perfectos menores que 20.
a3) El conjunto formado por cuatro números naturales.
b) B = {x;y;z}
b1) El conjunto formado por las tres últimas letras del alfabeto.
b2) El conjunto formado por tres consonantes del alfabeto.
b3) El conjunto formado por tres letras.
5.
¿Cuál es el conjunto numérico más restringido al que pertenecen
estos números?
3
4
b) 1
f) 0
g) −
a)
375
23
c) – 5
d) 0,375
e) – 0,375
h) 4
i) 2
j) 3 −8
6.
Determina, si es posible, todos los números enteros p y q que cumplen,
en cada caso, la condición pedida. Si no es posible, explica por qué:
a) 0 < p ∙ q < 3
b) 2 < p ∙ q < 3
c) – 2 ≤ p ⋅ q < 0
7.
Halla el valor numérico de la expresión que se obtiene para:
3
1
a ;
b = 0;
y
c=
4
2
11
MATEMÁTICA
a) Al doble del opuesto del valor de a sumarle el recíproco de la suma
de los valores de b y c.
b) A la suma del valor de a y del valor de c multiplicarla por el recíproco del valor de c.
c) Al opuesto de recíproco del valor de a sumarle la tercera parte del
valor de c.
8.
Sean a b 0, a + b = 8, b ≠ 0. Calcula el valor de a y b.
9.
Si a b a. ¿Cuáles son los valores posibles de a y de b?
10. Calcula, si es posible, los valores de las variables en cada caso:
a) b 5 0
b) 7, 2 a 1,5
c) m 2 0
d) p
2
3
1
3
4
11. *Dado el conjunto: A x : 6 x 4
a) Elige dos pares de números del conjunto A cuya suma sea cero.
b) Elige dos números del conjunto A para los cuales la suma de ambos
sea la mayor posible.
c) ¿Cuáles son los pares de números que elegirías del conjunto A tal
que la suma de sus valores absolutos sea la menor posible?
12. Determina si las proposiciones siguientes son verdaderas (V) o falsas (F).
Justifica las que sean falsas:
a) __ El valor absoluto de un número real negativo es positivo y el
valor absoluto de un número real positivo es negativo.
b) __ El valor absoluto de un número real es siempre positivo.
c) __ El valor absoluto de un número real negativo no existe, porque
debe ser positivo.
d) __ El valor absoluto de cero no existe.
e) __ Si 6 x 4 , entonces x < 4.
1
1
< x < 0, entonces x > .
2
2
g) __ Si x > 0, entonces x = x.
f) __ Si −
h) __ Si x ≤ 3, entonces – 3 ≤ x ≤ 3.
12
CAPÍTULO 1
i) __ Si x < 0, entonces x < 0.
j) __ Si x < 0, entonces x > 0.
k) __ Si x < 4, entonces x < 4.
l) __ Si x < 4 entonces x < 4.
13. Sean los conjuntos:
1
1
A x R : m x 1 B = (– 5; 8) y C ; 1; 2,1; 1 ; 16 ; 25
2
3
a) Ordena de manera decreciente los elementos del conjunto C.
b) ¿A qué dominio numérico más restringido pertenecen los
elementos del conjunto C?
c) Determina el valor de m en el conjunto A, si A ∩ B = [– 4;– 1].
14. Escribe auxiliándote de los recursos de la Matemática la información
que aparece subrayada. En cada caso indica un valor que pertenezca
al intervalo.
En Chile fue inaugurado el observatorio más potente del mundo.
En la zona existe una oscilación térmica en el año de 40 oC (– 20 ºC
a 20 ºC), de manera que se debe lograr que el funcionamiento de los
equipos no varíe, a pesar de esos cambios de temperatura.11
El microorganismo tardígrado u oso de agua puede llegar a medir
entre 0,1 mm y 1,5 mm.12
China crea poderosa cámara fotográfica que soporta temperaturas
desde – 20 ºC hasta 55 ºC.13
Desde la zona central de Canadá hasta la costa del Atlántico, los
termómetros se sitúan en marcas por debajo de los 20 ºC bajo cero,
dada la ola de frío en ese país.14
En Estados Unidos, las temperaturas estuvieron entre – 22 ºC y – 11 ºC,
en varias zonas dado el frente gélido que golpea a la región central
de esa nación.15
11
Semanario Orbe, 16 al 22 de marzo de 2013.
12
Órgano de prensa Juventud Rebelde, La Habana, 10 de mayo de 2013.
13
Semanario Orbe, La Habana, 13 al 19 de julio de 2013.
14
Órgano de prensa Granma, La Habana, 3 de enero de 2014.
15
Órgano de prensa Granma, La Habana, 7 de enero de 2014.
13
MATEMÁTICA
15. Sean los conjuntos: P = (– 2; 2)
Q = [ –1; 5)
a) Escribe los conjuntos en notación constructiva.
b) Completa los espacios en blanco de manera que obtengas proposiciones verdaderas:
P = [ –1; 2) ∪ (__; 0)
16. Sean los conjuntos:
Q = [ –8;__) ∩ [__; 9)
A x R : 2 x 4 B = (–1;8] C = { –1;0;1;2;3} y D: el conjunto
formado por las raíces cuadradas de los diez menores números naturales.
a) Escribe B y C en notación constructiva.
b) Escribe A en notación de intervalo.
c) Determina si las proposiciones siguientes son verdaderas (V) o falsas
(F). Fundamenta las falsas:
1) __ 4 ∈ A
2) __ –1 ∉ B
3) __ 2 ∈ D
4) __ C ⊂ A
5) __ D ⊄ B
6) __ El conjunto C tiene tres números no negativos.
7) __ El conjunto B no tiene enteros negativos.
d) Determina: el conjunto H formado por los números naturales que
pertenecen al conjunto A.
17. Completa los espacios en blanco de manera que obtengas proposiciones verdaderas:
Sean los conjuntos A x R : 3 x 3 y B 1; 4 , entonces:
A B x R : ___ x ___
A ∩ B = (___; ___)
18. El domingo 14 de octubre de 2012, el austriaco Félix Baumgartner se
lanzó desde la estratósfera, en el borde del espacio, y pasó a la historia como el primer ser humano en romper, en caída libre, la barrera
del sonido, a un poco más de 39 km de altura y demoró en realizarlo
10 min a una velocidad máxima de 1 342 km/h.16
Investiga qué es la barrera del sonido y calcula en cuántos kilómetros
por hora la superó el austriaco Félix Baumgartner.
16
Órganos de Prensa Granma y Juventud Rebelde, La Habana, 19 de octubre de 2012.
14
CAPÍTULO 1
19. Una familia italiana de Perdasdefogu, Cerdeña, se ha ganado el título
de más longeva del mundo: las edades de los seis hermanos Melis
suman 818 años y 205 días. Determina el promedio de las edades.17
20. ¿Dónde, cuándo y cómo surgió la vida? Ata, el humanoide de Atacama,
encontrado en Chile en el año 2003, posee ADN humano,18 por lo tanto, ahora son otras las respuestas. Si el llamado Pulgarcito de Atacama
mide 15 cm, halla la razón entre su estatura y la tuya.
21. Si 30 000 semillas de orquídea pesan 1,0 g,19 ¿cuánto pesa una semilla?
22. RoboBee, el robot volador más pequeño, puede mover sus alas 120 veces
por segundo.20 ¿Cuánto las habrá movido en una hora?
23. ¿Sabías que cada 28 años los calendarios son exactamente iguales en
todas las fechas? ¿Qué calendario podrás utilizar dentro de 28 años?
24. Las catástrofes naturales costaron al mundo 125 mil millones USD,
aproximadamente, en el año 2013. En los más recientes 10 años, los
hechos de este tipo provocaron pérdidas por un promedio de 184 mil
millones USD en el planeta.21
a) Escribe cada cifra en notación exponencial.
b) ¿Aproximadamente, de cuánto fue la pérdida mensual en 2013?
c) ¿Aproximadamente, de cuánto fue la pérdida anual en el período
2004-2013?
25. Después de dos décadas de un activo intercambio comercial, Vietnam
concluyó 2012 con un superávit de 284 millones USD, pues las ventas
al exterior alcanzaron un valor de 114 631 000 000 USD, para un incremento del 18,3 %, en comparación con 2011.22 ¿Cuánto exportó
la nación indochina en 2011?
17
Órgano de Prensa Juventud Rebelde, La Habana, 23 de septiembre de 2021.
Órgano de Prensa Juventud Rebelde, La Habana, 10 de mayo de 2013 y Semanario
Orbe, 4 al 10 de mayo de 2013.
18
19
Revista Zunzún, no. 309, La Habana, julio de 2013.
20
Revista Juventud Técnica, no. 373, La Habana, julio-agosto de 2013.
21
Órgano de Prensa Granma, La Habana, 8 de enero de 2014.
22
Órgano de Prensa Granma, La Habana, 26 de diciembre de 2012.
15
MATEMÁTICA
26. A Solenne San José, vecina de Burdeos, Francia, por poco se le paraliza el corazón cuando la compañía de teléfono Bouygues Telecom le
presentó una cuenta de ¡11 721 000 000 000 000!, todo fue un error,
pues el importe a pagar solo era de 117, 21 €.23 ¿Por qué potencia de
10 se multiplicó dicho importe?
27. El mar Amarillo de China se ha teñido de verde, se investigan las
causas que han provocado la presencia de algas en las playas, ya
alcanzan las 7 335 t y cubren 28 900 km2. Piensa en las dimensiones
de un triángulo, un trapecio, un paralelogramo, un rectángulo, un
rombo y un cuadrado, cuya área coincida con la de la afloración de
algas, que hace que el famoso mar pierda el nombre.24
28. Para muchos, la cantidad de oro en el mundo constituye un misterio. Los datos más frescos sobre el tema arrojaron 171 300 t, por lo
que un cubo puede tener esa cantidad si sus aristas miden 20,7 m.25
Verifica la información con los recursos que te brindan el cálculo
numérico y la Física.
29. Todos los estudiantes de noveno grado de un centro participaron activamente en la preparación de la gala cultural Dile no a las adicciones.
2
Del total de alumnos, trabajaron en la limpieza de los locales, el
7
80 % del resto en la confección de murales alegóricos al tema, y los
19 restantes prepararon la merienda que se repartió.
a) ¿Cuál es la matrícula de noveno grado?
b) Propón una actividad que harías en tu centro, para hacerle ver a
tus compañeros de grupo el peligro de las adicciones.
30. El 31 de mayo Joel repartió afiches sobre la importancia del uso del
condón. En la primera hora distribuyó el 20 % de todos los que tenía,
en la segunda hora repartió las dos terceras partes del resto y aún le
quedan 16 afiches.
a) En total, ¿cuántos tenía que repartir?
b) ¿Qué harías tú para repartir esa cantidad?
23
Órgano de Prensa Juventud Rebelde, La Habana, 21 de octubre de 2012.
24
Órgano de Prensa Granma, La Habana, 6 de julio de 2013.
25
Semanario Orbe, La Habana, 20 al 26 de abril de 2013.
16
CAPÍTULO 1
31. Como parte de las tareas de prevención de una secundaria básica,
el Instructor de Arte, especialista en Pintura, convocó a un concurso
de esa especialidad y la mayoría de los estudiantes de noveno grado participó. En el primer trimestre del curso, el 25 % del total de
estudiantes ya había entregado su trabajo; de diciembre a febrero,
lo hizo la mitad del resto de la matrícula, en el tercer trimestre del
período lectivo se sumaron, a la propuesta artística, 116 estudiantes
y al participar la octava parte que faltaba, ya se puede afirmar que
todos los alumnos de noveno dijeron Sí a tan hermoso concurso.
¿Cuál es la matrícula de noveno en esta institución educativa?
32. Luis resolvió la colección de ejercicios de Matemática que orientó su
profesor de la forma siguiente: El primer día contestó el 40 % del total
de preguntas; el segundo día, la tercera parte del resto; 18 preguntas
el tercer día, y 10 el último día; quedándole por resolver 2 preguntas
por dudas que tenía.
a) ¿Cuántas preguntas tenía la guía?
b) ¿Qué tanto por ciento del total de preguntas no pudo resolver?
33. Los estudiantes de un grupo se distribuyeron en tres equipos para
1
del
9
5
total le correspondió la confección del mural; a
del resto, la
8
pintura y a los restantes se les asignó la tarea de limpiar el aula.
realizar trabajos de ambientación y limpieza en su aula. A
Si para la confección del mural y la pintura se seleccionaron 18
estudiantes, ¿qué parte del total se encargó de la limpieza y cuál
es la matrícula del grupo?
1.2 Sistematización sobre Estadística Descriptiva
para datos simples
En octavo grado estudiaste temas relacionados con la estadística, ampliaste tus conocimientos sobre sus orígenes, su historia y cómo esta ha ido
evolucionando hasta nuestros días.
Te propongo continuar ampliando tus conocimientos sobre este tema y
otros relacionados con sus aplicaciones a la ciencia y la tecnología.
17
MATEMÁTICA
¿Sabías que…?
En el siglo xviii la estadística matemática se consideró una ciencia, y en la
actualidad está muy difundida, su uso es inevitable y se manifiesta en la
recopilación, procesamiento y análisis de información relacionada con datos
económicos, políticos, sociales, biológicos, geográficos, psicológicos, físicos,
químicos, etc. El desarrollo de la informática y las posibilidades crecientes de
comunicación beneficiaron sustancialmente la aplicación de la estadística
en todas las esferas de la vida.
Hoy día, es relativamente fácil acceder a múltiples datos de alcance local,
nacional o mundial, relacionados con temas de la cotidianidad o de cualquier gestión investigativa que se esté abordando, a la vez que se dispone
de eficaces sistemas, tabuladores electrónicos y asistentes matemáticos, para
el procesamiento estadístico. Esto significa que la preparación del hombre
en el uso de la Estadística y de las nuevas tecnologías es el principal reto
de hoy, al cual no se puede renunciar.
Investiga y aprende
El origen de la palabra estadística, sobre su historia y aplicaciones, hoy día,
a la ciencia y la tecnología.
En octavo grado recordaste algunos conceptos relacionados con el procesamiento de datos, además, ampliaste tus conocimientos sobre el tema a
partir de los conceptos básicos que caracterizan la estadística, la distribución
de frecuencias, la construcción de gráficos y medidas de tendencia central
para datos simples (generalmente en variables discretas), así como las formas de proceder para hacer la interpretación de datos representados en
tablas y gráficos y dar respuesta a situaciones de la vida que requieren de
la realización de análisis y valoraciones.
En noveno grado continuarás ampliando tus conocimientos sobre el tema
y aprenderás otros nuevos relacionados con la estadística, específicamente
para datos agrupados y otra clasificación de las variables cuantitativas.
Reflexiona un instante
¿Qué aspectos caracterizan la estadística? ¿De qué se ocupa la estadística?
18
CAPÍTULO 1
Recuerda que…
La estadística es la ciencia que provee de métodos que permiten recolectar,
organizar, resumir, presentar y analizar datos relativos a un conjunto de
individuos u observaciones, con la finalidad de extraer conclusiones válidas
y tomar decisiones lógicas basadas en dichos análisis.
Reflexiona un instante
¿Cómo hacías para procesar datos estadísticos?
Recuerda que…
1. Para realizar el estudio de una problemática o analizar una situación o
fenómeno, el procedimiento general para el procesamiento de los datos es:
Analizar la situación inicial que es objeto de estudio.
Obtener los datos
► Simplificar los datos.
► Comunicar los resultados
►
►
Reflexiona un instante
¿Cómo puedes simplificar los datos, después de recopilarlos?
Recuerda que…
2. Para simplificar los datos debes primero organizar los datos recopilados,
tabularlos, cuantificarlos y representarlos en tablas y gráficos
► La distribución de frecuencia es la organización de los datos en una
tabla convenientemente preparada, de manera que exprese un conjunto de puntuaciones ordenadas en un grupo de categorías establecidas.
► La frecuencia absoluta de un dato es el número de veces que aparece
repetido este.
► La frecuencia relativa es el cociente de la frecuencia absoluta entre
el tamaño de la muestra.
19
MATEMÁTICA
Reflexiona un instante
Para realizar el procesamiento de datos, ¿podrás recopilar la información
de todos los elementos que intervienen?
Recuerda que…
Población el conjunto de individuos (objetos, sucesos o procesos) que poseen entre sus características una común y que va hacer objeto de estudio.
Muestra es cualquier subconjunto de una población, o sea la parte de la
población que se estudia.
Reflexiona un instante
Cuando estudias distintos hechos o fenómenos, los elementos (individuos)
están relacionados con características que tienen los elementos de la población, ¿estas características son iguales?
Recuerda que…
Variable estadística es cualquier característica o propiedad de los miembros de una población susceptible de tomar determinados valores mediante
un procedimiento de medición, de modo que dichos valores pueden ser
clasificados de forma exhaustiva en un cierto número de categorías posibles.
Variable estadística cualitativa son las variables estadísticas que se refieren a las características o atributos que expresan una cualidad.
Variable estadística cuantitativa son las variables estadísticas que se refieren a las características o atributos que expresan una cantidad o cantidad
de magnitud (valores numéricos).
Variable estadística discreta son las variables estadísticas que alcanzan
un número finito o a lo sumo numerable de valores que suelen coincidir
con números enteros.
Reflexiona un instante
¿Cuáles son las medidas de tendencia central que conoces?
20
CAPÍTULO 1
Recuerda que…
La media aritmética también llamada promedio o media es el valor
característico de una serie de datos cuantitativos alrededor del cual se
encuentran los datos, se obtiene sumando todos los datos cuantitativos y
dividiendo la suma obtenida entre la cantidad de datos.
La moda es el dato que más se repite o la categoría de datos que tiene mayor frecuencia absoluta en un conjunto de datos. Se determina por conteo.
La mediana (Me) de un conjunto de datos x1, x2, x3,…, xn dispuestos en
orden creciente (o decreciente) es:
► el valor que equidista de los extremos, si n es impar,
► la media aritmética de los valores centrales, si n es par
Ejercicios
1.
Identifica cuáles de las situaciones siguientes corresponden a estudios
realizados dentro de la Estadística y fundamenta en el caso que no
corresponda. Redacta una situación relacionada con el tema que exija
de estudios estadísticos.
a) La calificación obtenida por un estudiante en un trabajo de control
parcial.
b) Los índices de mortalidad infantil de los países latinoamericanos
durante los diez últimos años.
c) La calidad de los bombillos incandescentes producidos en una
fábrica, durante el primer semestre del año.
d) La enfermedad de una persona.
e) La talla de los niños comprendidos entre las edades de cinco a diez
años, en una región del país.
2.
¿Cómo procederías tú, si tuvieras que hacer el estudio de la calidad
de los bombillos ahorradores producidos en una fábrica, durante el
primer semestre del año? ¿Y de los índices de mortalidad infantil de
los países latinoamericanos durante los diez últimos años? Explica el
procedimiento utilizado en cada caso.
3.
Completa la tabla 1.4, escribiendo a la derecha el concepto que le
corresponda.
21
MATEMÁTICA
Tabla 1.4
Población
Muestra
Variable estadística
Variable estadística cualitativa
Variable estadística cuantitativa
Variable estadística discreta
4.
Clasifica las proposiciones siguientes en verdaderas o falsas. Escribe
V o F en la línea dada. De las que sean falsas, justifica por qué lo son.
a) ___ La estadística se caracteriza por realizar estudios de hechos
aislados que ocurren en la sociedad.
b) ___ La población en estadística se caracteriza por el conjunto de
individuos que tienen características diferentes.
c) ___ Cualquier subconjunto representativo de una población se
denomina muestra.
d) ___ Cualquier característica o propiedad de los miembros de una
población susceptible de tomar determinados valores, se denomina variable estadística.
e) ___ Las variables cualitativas se refieren a atributos que expresan
una cantidad o cantidad de magnitud.
f) ___ La variable estadística cuantitativa se clasifica como discreta
cuando solo puede tomar un número finito o a lo sumo numerable de valores.
5.
22
Lee detenidamente cada una de las situaciones siguientes e identifica:
población, muestra y variable estadística (clasifícala en cualitativa o
cuantitativa).
a) De un consultorio del médico de la familia de una circunscripción,
se seleccionaron 45 personas de la tercera edad para hacer un
estudio de la hipertensión arterial.
b) En una fábrica de perfumes se producen 50 000 unidades diariamen
te. Para efectuar un control de calidad se analizan 50 unidades de
la producción registrada en un día.
CAPÍTULO 1
c) Se desea hacer un estudio del nivel profesional de las personas que
asisten al Festival de Cine Latinoamericano; para ello se aplicaron
encuestas a 100 personas de las que asistieron diariamente durante
los días del Festival.
d) En un hospital materno se controló la masa (en kilogramos) de
40 de los recién nacidos durante un mes.
e) Se aplica una encuesta a 100 estudiantes de una escuela secundaria básica, para conocer sus preferencias sobre los programas
televisivos que emitió la televisión cubana durante la programación de verano.
6.
Di cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Escribe
V o F en la línea dada y de las que sean falsas justifica por qué lo son.
a) ___ Las distribuciones de frecuencia se confeccionan con el propósito
de mostrar de una manera resumida los datos para facilitar su
descripción.
b) ___ El estudio que realiza un director de empresa del nivel profesional de sus trabajadores corresponde a una distribución de
frecuencia numérica.
c) ___ La frecuencia absoluta de un dato es el número de veces que
aparece repetido el dato.
d) ___ El cociente de las frecuencias absolutas por el número de observaciones es a lo que se le llama frecuencia relativa.
e) ___ La suma de las frecuencias relativas es igual a la cantidad total
de datos.
7.
Un estudiante de un grupo de noveno grado desea hacer un estudio
de la cantidad de horas semanales que dedican, aproximadamente,
al estudio de la Matemática cada uno de sus compañeros del grupo.
Para eso les reparte una hoja en la que deben escribir la cantidad de
horas que aproximadamente dedican al estudio. Una vez recogida la
hoja de cada uno de sus compañeros, anota en su libreta los resultados siguientes:
6
1
0
1
8
5
2
8
2
4
6
6
8
5
6
3
6
1
2
0
5
0
2
3
8
6
2
1
a) Identifica la variable estadística objeto de estudio. Clasifícala.
23
MATEMÁTICA
b) Clasifica el tipo de distribución de frecuencia.
c) Organiza la información en una tabla de frecuencias, en la que
aparezcan la frecuencia absoluta y la frecuencia relativa (en forma
de expresión decimal).
d) Describe los pasos que seguiste para construir la tabla.
e) Calcula, aproximadamente, la cantidad de horas promedio que los
estudiantes de ese grupo dedican al estudio de la Matemática. Da
tu valoración al respecto.
f) Te invito a que realices un estudio similar en tu grupo y des tus valoraciones al respecto. Para eso debes seguir las acciones que conoces,
de grados anteriores, en relación con el procesamiento de datos.
8.
24
Di cuáles de las proposiciones siguientes son verdaderas o falsas. Las
que sean falsas justifica por qué lo son.
a) __ La media aritmética es el valor promedio alrededor del cual se
encuentran los datos de un conjunto de datos.
b) __ La media aritmética de un conjunto de datos no es única.
c) __ La media aritmética se puede calcular cuando la distribución
de frecuencia es numérica.
d) __ La moda es el dato que tiene mayor frecuencia absoluta en un
conjunto de datos.
e) __ La moda es única.
f) __ La media aritmética se calcula sumando los valores medidos en
un conjunto de datos y dividiéndolos por el número de datos.
g) __ La mediana siempre ocupa el valor central de un conjunto de
datos.
h) __ La mediana se puede calcular solamente en distribuciones de
frecuencias que sean numéricas.
i) __ La moda puede no ser única.
j) __ La moda se calcula adicionando la frecuencia absoluta de cada
uno de los datos y dividiéndola por el total de estos.
k) __ La moda se utiliza únicamente en el análisis de situaciones en
que intervienen variables cualitativas.
l) __ La media aritmética está influenciada por valores extremos lo
que dificulta su confiabilidad.
m) __ La mediana siempre existe y es única.
n) __ La mediana se calcula adicionando la cantidad de datos y dividiéndola por dos.
CAPÍTULO 1
9.
Elabora una tabla que te resuma los conceptos de media, moda y
mediana, así como sus características fundamentales. Puedes consultar
el libro de texto de octavo grado u otro que trate estos contenidos.
10. La tabla 1.5 muestra las notas obtenidas por los 15 estudiantes de un
grupo. Calcula media, moda y mediana de las notas obtenidas por
los estudiantes del grupo.
Tabla 1.5
Notas obtenidas
Frecuencia absoluta (F i )
6
1
7
2
8
4
9
6
10
2
11. Formula dos problemas en que, para resolverlos, se exija el cálculo
de la media aritmética, dos que exijan la determinación de la moda
y dos, la mediana.
1.3 Estadística Descriptiva para datos agrupados
Los datos siguientes muestran las anotaciones realizadas por el entrenador de la jabalinista cubana Osleydis Menéndez (figura 1.9), referidos
a los resultados (longitud del lanzamiento en metros), obtenidos en 30
de los lanzamientos realizados por esta campeona mundial y olímpica,
durante la preparación para sus competencias.
58,00
58,60
58,95
58,95
59,04
59,26
59,30
59,35
59,35
60,00
61,50
62,20
62,50
63,20
64,55
65,40
65,65
66,00
66,85
67,00
67,20
67,25
67,25
68,30
68,78
69,00
69,05
69,40
69,70
70,00
25
MATEMÁTICA
Si los técnicos hubiesen querido analizar cómo iban comportándose los
resultados de la preparación de esta atleta, seguramente tendrían que haber
hecho un estudio estadístico de los resultados que iba logrando Osleydis
durante todos los entrenamientos.
Fig. 1.9
Con la finalidad de facilitar el análisis, ¿qué acciones realizarían los
técnicos? Seguramente pensaste que primeramente debían organizar los
datos como se muestra a continuación.
58,00
58,60
58,95
58,95
59,04
59,26
59,30
59,35
59,35
60,00
61,50
62,20
62,50
63,20
64,55
65,40
65,65
66,00
66,85
67,00
67,20
67,25
67,25
68,30
68,78
69,00
69,05
69,40
69,70
70,00
Esta organización facilita realizar el conteo de los datos para hacer la
distribución de frecuencias.
Reflexiona un instante
¿Cómo organizarías los datos recopilados de los lanzamientos realizados
por la jabalinista cubana Osleydis Menéndez en una tabla de distribución
de frecuencias, sería factible construir una tabla como las que estás acostumbrado a construir en grados anteriores?
26
CAPÍTULO 1
1.3.1 Distribución de frecuencias para datos
agrupados en clases
Seguro pensaste que la tabla de distribución de frecuencias te quedará muy
extensa, como se muestra en la tabla 1.6, porque hay 27 datos diferentes, lo
que no daría una idea clara del comportamiento del fenómeno que se analiza.
Tabla 1.6
Longitud del lanzamiento
(m)
Fi
58,00
Longitud del lanzamiento
(m)
Fi
1
65,65
1
58,60
1
66,00
1
58,95
2
66,85
1
59,04
1
67,00
1
59,26
1
67,20
1
59,30
1
67,25
2
59,35
2
68,30
1
60,00
1
68,75
1
61,50
1
69,00
1
62,20
1
69,05
1
62,50
1
69,40
1
63,20
1
69,70
1
64,55
1
70,00
1
65,40
1
Además, si observas, la longitud del lanzamiento puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo real.
A este tipo de variable cuantitativa, que puede tomar cualquier valor real
dentro de un intervalo, se le denomina variable cuantitativa continua.
En casos como este, cuando se tienen grandes cantidades de datos, sean
discretos o continuos, el procedimiento preliminar más adecuado para su
tratamiento consiste en distribuirlos en clases o categorías, de acuerdo con
el número de casos que pertenecen a cada una de las clases.
27
MATEMÁTICA
Definición
El conjunto de todos los individuos u observaciones de la variable, que se
encuentran entre determinados límites, se denomina clase de frecuencia.
Estas clases se pueden denotar de las formas siguientes:
Ejemplo 1
Forma A
[20;24]
[25;29]
[30;34]
Forma B
60 ≤ x < 62
62 ≤ x < 64
64 ≤ x < 66
Para realizar la distribución de frecuencia en que se agrupa un conjunto
de datos, mediante clases de frecuencias, es necesario que aprendas determinados conceptos y términos que te harán falta para este tipo de distribución:
Límites de clase: son los valores extremos, que delimitan cada clase.
El menor es el límite inferior Li y el mayor es el límite superior Ls. Cuando
se habla de los límites de las clases se refiere a los puntos superior e inferior de cualquier clase.
Ejemplo 2
En la forma A: son límites inferiores 20; 25 y 30 y límites superiores
24; 29 y 34.
En la forma B: son límites inferiores 60; 62 y 64 y límites superiores
62; 64 y 66.
Definición
La amplitud del intervalo de clase que ese obtiene calculando la diferencia
Ls – Li se denomina amplitud de clase.
Ejemplo 3
En la forma A para la clase [20;24]:
El límite inferior Li es 20 y el límite superior Ls es 24.
La amplitud de la clase Ls – Li = 4.
En la forma B para la clase 60 ≤ x < 62:
El límite inferior Li es 60 y el límite superior Ls es 62.
La amplitud de la clase Ls – Li = 2.
28
CAPÍTULO 1
Definición
Marca de clase: es el punto medio de la clase y se obtiene sumando los
límites de clase inferior y superior y dividiendo por dos.
En la forma A para la clase [20;24]: la marca de clase es 22.
En la forma B para la clase 60 ≤ x < 62: la marca de clase es 61.
En este caso hay que aclarar que los límites presentados no son los
límites de clases reales.
Siempre que se trate de variables continuas hay que tener presente los
límites de clases reales, los cuales obtenemos sumando media unidad (0,5)
al límite superior y restando media unidad al límite inferior.
Ejemplo 4
En el caso presentado, en la forma A para la clase [20;24] serían
19,5 – 24,5.
Para la distribución de frecuencias en datos agrupados es necesario
aplicar el concepto de rango o recorrido de la variable.
Definición
Rango o recorrido de la variable: es la diferencia entre el dato mayor y
el dato menor del conjunto de valores que toma la variable.
Ahora estás en condiciones de conocer las recomendaciones para la
distribución de frecuencia por clases:
Las clases deben ser exhaustivas y abarcar todas las mediciones.
Deben ser mutuamente excluyentes, o sea, cada medición debe pertenecer a una y solo una de las clases.
El número de clases no puede ser muy pequeño ni excesivamente
grande (cuando el número de clases es pequeño se puede producir
concentración de los datos, y cuando es muy grande se puede producir
dispersión. En ambos casos puede haber pérdida de la información).
Las clases deben tener, siempre que sea posible, igual amplitud.
Deben evitarse clases nulas, o sea, no deben existir clases que no
tengan mediciones.
El número de clases se puede determinar de acuerdo con el número
de mediciones disponibles.
29
MATEMÁTICA
Reflexiona un instante
Cómo proceder para hacer la distribución de frecuencia, en el ejemplo propuesto de la jabalinista Osleydis Menéndez, agrupando los datos en clases.
Pasos para confeccionar la tabla de distribución de frecuencia de datos
agrupados en clases.
1. Hallar el recorrido o rango de la variable (datos): para eso se identifican de
los datos dados el mayor y el menor, y se calcula la diferencia entre estos.
Dato menor: 58,00; dato mayor: 70,00; diferencia: 70 – 58 = 12. Por tanto,
12 es el recorrido o rango.
2. Determinar el número de clases: se piensa en el número de clases que se
desea obtener en correspondencia con el rango o recorrido de la variable,
de manera que propicien una distribución adecuada de estos en la que no se
favorezca la concentración ni la dispersión de los datos. En este caso, como
el recorrido es igual a 12, se pueden elegir seis clases.
3. Hallar la amplitud de cada clase: Para eso, dividimos el valor del recorrido
entre el número de clases determinado, 12 : 6 = 2. Luego, cada clase tendrá
una amplitud igual a dos.
4. Determinar las clases: La primera clase tendrá por límite inferior el valor
del dato más pequeño, y por límite superior la suma del número que
corresponde al dato más pequeño, con el número que corresponde a la
amplitud de la clase.
En este caso es: 58 ≤ x < 60 (esta notación significa que esta clase abarca los
datos desde 58 hasta 60, incluye el 58, no así el 60).
Las clases siguientes tienen por límite inferior, el límite superior de la anterior y
para obtener el límite superior, se suma al límite inferior de cada clase la amplitud.
Para obtener el límite superior de la última clase, se le suma al límite inferior
el valor correspondiente al recorrido o rango.
60 ≤ x < 62
62 ≤ x < 64
64 ≤ x < 66
66 ≤ x < 68
68 ≤ x ≤ 70
(el límite superior de la última clase puede o no estar incluido, depende si
existe ese dato entre los que se analizan).
5. Construir la tabla de distribución frecuencias en datos agrupados como se
presenta en la tabla 1.7.
Tabla 1.7
30
Longitud del lanzamiento
(m)
Frecuencia absoluta
(Fi)
58 ≤ x < 60
9
60 ≤ x < 62
2
CAPÍTULO 1
64 ≤ x < 66
3
66 ≤ x < 68
6
68 ≤ x < 70
7
Como se puede observar, esta tabla es mucho más representativa del
comportamiento de los datos, lo que facilita hacer el análisis de la situación
objeto de estudio y de su análisis.
Ejercicios
1.
En el laboratorio de un policlínico, se analiza la sangre de 25 pacientes que asistieron con la finalidad de realizarse un análisis de
sangre para la determinación del calcio en sangre. Los resultados
obtenidos fueron:
9,7
9,3 10,1
10,2 9,5
9,6
9,2
9,1
9,3
9,4
8,7
8,8
8,7
9,2
8,3
9,7
9,2
9,3
8,8
9,5
9,8
9,1
9,2
9,6
8,4
a) Determina población y muestra.
b) Identifica la variable objeto de estudio.
c) Clasifica la variable en discreta o continua.
d) Clasifica la distribución de frecuencia en numérica o categórica.
e) Construye una tabla de frecuencias que incluya las clases, la frecuencia absoluta de cada clase y la marca de clase. ¿Qué acciones
realizaste para construir la tabla?
f) ¿Qué importancia tiene para el organismo la presencia de calcio
en la sangre?
g) Busca en la tabla periódica la nomenclatura del calcio y en el libro
de texto de Química, de noveno grado, sus propiedades.
2.
Los datos siguientes corresponden a las puntuaciones alcanzadas por
32 de los estudiantes que participaron en un concurso de Matemática,
el cual fue calificado sobre 35 puntos:
4
23 7
16 12 18 21 14 13 9
17 29 33 12 16 22
11 15 22 30 21 16 25 20 27 23 20 18 26 20 20 21
a) Di cuál es la población y la muestra.
b) ¿Cuál es la variable objeto de estudio?
31
MATEMÁTICA
c) Clasifica la variable en discreta o continua.
d) Construye una tabla de frecuencias de datos agrupados, que incluya
la frecuencia absoluta y la relativa de cada clase.
3.
En una fábrica en la que se confeccionan balones de fútbol se han
producido, en un día, balones de distintos volúmenes. Al medirse, en
centímetros cúbicos, se han registrado los resultados que aparecen
en la tabla 1.8.
a) ¿Qué amplitud de clase se utilizó para agrupar los datos?
b) ¿Cuál es la variable estadística objeto de estudio?
c) ¿Es la variable discreta o continua? ¿Por qué?
d) Calcula el rango de la variable. Explica cómo procediste para el
cálculo.
e) Completa la tabla.
f) ¿Cuántos balones se produjeron en el día?
Tabla 1.8
Volumen
(cm3)
Fi
1 500 ≤ x < 2 000
125
2 000 ≤ x < 2 500
129
2 500 ≤ x < 3 000
139
3 000 ≤ x < 3 500
124
Marca
de clase
fi
1.3.2 Construcción de histogramas y polígonos
de frecuencia
En grados anteriores resolviste ejercicios y problemas que te exigían
el análisis e interpretación de gráficos (de barras, poligonales, pictogramas y circulares o de pastel), aprendiste que una de las formas de
presentar la distribución de frecuencia era mediante gráficos, los cuales
permiten una fácil e inmediata captación visual que te facilita describir
las características del fenómeno que es objeto de estudio; estudiaste las
características de cada uno de estos, su utilidad y, además, en octavo
grado, aprendiste su construcción.
32
CAPÍTULO 1
Reflexiona un instante
¿Será posible representar en pictogramas, gráficas de barras, poligonales o
circulares los datos agrupados en clases? ¿Existirán otros tipos de gráficos
para representar los datos agrupados?
Seguramente recuerdas que, uno de los tipos de gráfico utilizados con
más frecuencia son los de barras, útiles para comparar el comportamiento
de los datos de la información recopilada, en estos las barras se colocaban
separadas, pues la distribución de frecuencia se realizaba para datos simples
en variables discretas.
Cuando los datos están agrupados en clases o son variables continuas, las
características del gráfico de barra, en cuanto a su separación no es el adecuado, pues entre dos valores enteros siempre hay infinitos valores reales.
Para representar los datos cuando están agrupados en clases, suelen
emplearse los histogramas y los polígonos de frecuencia.
Representación gráfica mediante un histograma
Definición
Histograma: consiste en un conjunto de columnas o rectángulos unidos,
empleando una columna para representar la frecuencia de acuerdo con
cada clase.
En el eje x (horizontal) se marcan las bases de estos rectángulos, que son dados por las clases (pueden ser los límites reales o los límites de anotaciones).
En el eje y (vertical) se marca la altura de los rectángulos, la cual está determinada por la frecuencia absoluta o la relativa de las clases correspondientes.
En estos tipos de gráficos se representan distribuciones de variables continuas o discretas (que, por su elevado número de datos, se suelen agrupar
en clases); al igual que en los gráficos de barras hay que indicar en los ejes
la categoría y los valores de la frecuencia absoluta en una escala adecuada.
En el caso en que las clases no tuviesen la misma amplitud, las alturas
de los rectángulos ya no podrían corresponder a las frecuencias absolutas,
y habría que calcular las áreas de los rectángulos proporcionales a las frecuencias de cada clase.
Para su construcción se sigue el mismo procedimiento que utilizas para
construir un gráfico de barra.
33
MATEMÁTICA
Si dibujamos el histograma que corresponde a la longitud del lanzamiento realizado por Osleydis Menéndez en un entrenamiento, quedaría como
se muestra en la figura 1.10.
Fig. 1.10
El histograma sirve para mostrar cómo se distribuyen los datos internamente.
Investiga y aprende
¿Cómo procederías para elaborar un histograma utilizando los recursos
informáticos o un asistente matemático?
Representación gráfica mediante polígono de frecuencia
Definición
Polígono de frecuencia: consiste en una gráfica de líneas, dibujada a
partir de la línea poligonal que se forma uniendo los puntos medios de
cada clase. Para su construcción, se sigue el mismo procedimiento que para
los histogramas, pero las frecuencias se marcan en los puntos medios de
cada clase y no en sus límites, luego, se unen los puntos consecutivamente
y queda representado el polígono.
Representemos el polígono de frecuencia que corresponde a la longitud
del lanzamiento realizado por Osleydis Menéndez en un entrenamiento;
quedaría como se muestra en la figura 1.11.
34
CAPÍTULO 1
10 9876543210-
Lanzamientos
59
61
63
65
67
69
Fig. 1.11
Ejercicios
1.
Enlaza con una línea las características de los gráficos descritas en la
columna A con la clasificación dada en la columna B.
Columna A
Columna B
a) Consiste en un conjunto de columnas o
rectángulos separados en que se emplea
una columna para cada categoría.
b) Es muy útil cuando se realiza el análisis de
las partes con respecto a un todo.
c) Cada figura o símbolo alusivo representa
la misma cantidad.
d) Consiste en una gráfica de líneas, dibujada
en función del punto medio de las clases.
e) Consiste en una gráfica de segmentos en
la que las categorías aparecen en el eje
horizontal y en el vertical, la frecuencia.
f) Consiste en un conjunto de columnas o rectángulos unidos, empleando una columna
para representar la frecuencia de acuerdo
con cada clase.
g) Es recomendable para el análisis de tendencias de un determinado fenómeno.
h) La altura del rectángulo está dada por la
frecuencia que corresponde a la categoría
que representa.
1. Polígono de
frecuencia
2. Gráfico de barra
3. Gráfico poligonal
4. Gráfico de pastel
5. Pictograma
6. Histograma
35
MATEMÁTICA
2.
Los datos siguientes corresponden a las calificaciones obtenidas por
50 estudiantes que participaron en un concurso de conocimientos y
habilidades (calificaciones de 0 a 100 puntos).
40 – 44
1
60 – 64
4
80 – 84
5
45 – 49
3
65 – 69
6
85 – 89
4
50 – 54
2
70 – 74
10
90 – 94
2
55 – 59
4
75 – 79
8
95 – 99
1
Representa estos datos en un histograma y en un polígono de
frecuencia.
3.
Durante el mes de febrero en un país se han registrado en grados
Celsius las temperaturas máximas, por día, siguientes:
2,7
2,5
2,8
3,2
4
4,5
4,7
5
6
12
7
8,1
9
10,5
11
7,5
8,5
9,5
3,9
3
10,5
5
6,5
5
6,5
8
2
7
11,5
10
a) Según la información recogida, ¿es un país cálido o frío? Justifica
tu respuesta.
b) ¿Durante cuántos días se realizó el control de la temperatura?
c) ¿Cuál es la variable objeto de estudio? Determina el recorrido o
rango de la variable.
d) Construye una tabla de frecuencias absoluta y relativa.
e) Representa la información en un gráfico. ¿Por qué seleccionaste
este tipo de gráfica?
f) Menciona cinco posibles países en que se pueden registrar estas temperaturas y di en qué continente se encuentra cada uno de ellos.
1.3.3 Medidas de tendencia central para datos agrupados
En grados anteriores estudiaste las medidas de tendencia central,
para datos simples (media aritmética, moda y medina), sus conceptos, el significado de cada una de ellas, su utilidad para el análisis y
procesamiento de datos, así como los procedimientos para determinarla; los que aplicaste a la resolución de ejercicios y problemas que
te exigían hacer descripciones y analizar el comportamiento de datos,
36
CAPÍTULO 1
a partir de una problemática objeto de estudio preferiblemente en
variables discretas para datos simples. También conociste algunas de
sus características, ventajas y desventajas de su utilización. Te invito
a recordar estos conocimientos.
Aplica tus conocimientos
Identifica las proposiciones que consideras correctas
a) ___ La media aritmética es el valor promedio alrededor del cual se encuentran los datos de un conjunto de datos.
b) ___ La media aritmética de un conjunto de datos no es única.
c) ___ La moda es el dato que tiene mayor frecuencia absoluta en un conjunto de datos.
d) ___ La moda es única.
e) ___ La mediana siempre ocupa el valor central de un conjunto de datos.
f) ___ La mediana se puede calcular solamente en distribuciones de frecuencias que sea numéricas.
g) ___ La moda se calcula adicionando la frecuencia absoluta de cada uno
de los datos y dividiéndola por el total de estos.
h) ___ La moda se utiliza únicamente en el análisis de situaciones en que
intervienen variables cualitativas.
Investiga y aprende
¿Cómo proceder para calcular la moda, la media aritmética y la mediana de los datos recopilados, de la longitud de los 30 lanzamientos que
realizó Osleydis Menéndez, durante el entrenamiento, si estos datos se
agruparon en clases?
Cálculo de la media aritmética para datos agrupados
Calcular la media aritmética de la longitud de los 30 lanzamientos que
realizó Osleydis Menéndez durante ese período de entrenamiento.
Es evidente que si se quiere hallar el producto de cada dato por su frecuencia, como procedimos para el cálculo con datos simples, no es posible,
37
MATEMÁTICA
porque los datos están agrupados en clases y hay varios valores dentro de
cada clase que podríamos escoger.
Para solucionar este problema es necesario aplicar el concepto de
marca de clase, el cual es un valor representativo de la variable que se
estudia. Esta se determina calculando la media aritmética de los valores
correspondientes al límite inferior y superior de cada clase. Así, la marca
L L
de la clase i es: xi s i (tabla 1.9).
2
Tabla 1.9
Longitud (m)
Fi
Marca de clase
58 ≤ x < 60
9
59
60 ≤ x < 62
2
61
62 ≤ x < 64
3
63
64 ≤ x < 66
3
65
66 ≤ x < 68
6
67
68 ≤ x < 70
7
69
Ahora sí podemos efectuar la multiplicación de la marca de clase por
la frecuencia absoluta de cada clase, después se adicionan los productos
resultantes para cada clase y la suma final se divide por la cantidad total de
datos. En este caso quedaría como se ilustra a continuación:
9 59 2 61 3 63 3 65 6 67 7 69
30
531 122 189 402 483
30
64
Este resultado nos permite decir que Osleydis Menéndez logró una
longitud media aproximada de 64 m en sus 30 lanzamientos.
En general, si la serie de datos está presentada en una distribución de
frecuencias, todos los valores que se encuentran en la clase dada se consideran coincidentes con el punto medio de esta, entonces podemos utilizar
la ecuación siguiente:
f x f x fn xn
X 1 1 2 2
f1 f2 fn
donde X, significa la media aritmética, fi es la frecuencia absoluta y xi es la
marca de clase.
38
CAPÍTULO 1
Cálculo de la moda para datos agrupados
En este grado solo se limitarán a determinar la clase modal, la cual te
permite tener una idea del posible valor de la moda.
Definición
La clase modal es la clase de mayor frecuencia cuando las anotaciones se
presentan reunidas en clases.
Para su determinación, se acostumbra a tomar por la moda el punto
medio de esta clase, que es un valor aproximado.
En el ejemplo sobre los resultados de la jabalinista Osleydis Menéndez, la
clase modal es 58 ≤ x < 60, porque es la clase de mayor frecuencia absoluta
(nueve lanzamientos) y la moda es aproximadamente de 59 m.
Cálculo de la mediana para datos agrupados
Para la determinación de la mediana cuando los datos están agrupados
en clase, como en el caso de la moda, se aplican ecuaciones que se estudiarán en décimo grado.
En este grado solo se limitarán a determinar la clase mediana.
Definición
La clase mediana es la clase en la que se encuentra ubicada la mediana.
Cuando los datos están agrupados en una distribución de frecuencias,
la mediana, por definición, será el punto que indique el 50 % de los casos.
Para determinar la clase mediana se realizan los pasos siguientes:
1. Se determina la mitad de la cantidad de los datos de la distribución.
2. Se determina la clase donde la frecuencia acumulada es inmediatamente
superior a la mitad de los datos.
En el ejemplo que se analiza, la clase mediana es 64 ≤ x < 66, pues es
donde está situado el 50 % de los casos, porque el tamaño de la muestra
es 30 datos, el 50 % es 15 datos, en la primera clase (58 ≤ x < 60) existen
nueve lanzamientos, en la segunda clase (60 ≤ x < 62) hay dos lanzamientos, en la tercera clase (62 ≤ x < 64) tres lanzamientos y en la cuarta clase
39
MATEMÁTICA
(64 ≤ x < 66), también tres lanzamientos, luego, se han realizado hasta la
cuarta clase (9 + 2 + 3 + 3 = 17), 17 lanzamientos, por tanto, el lanzamiento
número 15 se encuentra en esta clase.
Ejercicios
1.
Di cuáles de las proposiciones siguientes son verdaderas o falsas.
Escribe V o F en la línea dada y de las que sean falsas justifica por
qué lo son.
a) __ La media aritmética para datos agrupados se calcula multiplicando la marca de clase por la frecuencia absoluta de cada clase
y dividiendo el resultado por la cantidad de datos.
b) __ La clase modal es la clase donde está ubicado el valor central
del conjunto de datos.
c) __ La clase mediana es la clase en que se encuentra el mayor número de datos.
2.
Al realizar el control, en una revisión médica, del ritmo cardíaco en
pulsaciones por minuto, a varias personas, se han obtenido los resultados de la tabla 1.10 (se considera normal un ritmo cardíaco de 60
a 100 pulsaciones por minuto).
Tabla 1.10
Pulsaciones por minuto
Fi
[46; 60)
10
[60; 74)
50
[74; 88)
40
[88; 102)
30
[102; 116)
20
a) ¿Cuántas personas se controlaron?
b) ¿Qué amplitud de clase se utilizó en la confección de la tabla 1.10?
c) Halla la frecuencia relativa de cada clase, y exprésala en tanto por ciento.
d) Determina la clase modal y la clase mediana.
e) Calcula la media aritmética del ritmo cardíaco de las personas
controladas.
f) Representa la información en un histograma.
40
CAPÍTULO 1
g) Si ninguna persona tuvo 101 pulsaciones por minuto, ¿qué porcentaje
de las personas controladas no tenían un ritmo cardíaco normal?
h) Investiga las principales causas que pueden afectar el ritmo cardíaco
en las personas y sus consecuencias en la salud de estas.
3.
Para hacer un estudio sobre la obesidad de los estudiantes en un grupo
de noveno grado, el profesor guía les solicitó a estos pesarse en su
consultorio médico y traer los resultados en kilogramos. Al recibir la
información se registraron los datos siguientes:
40
52
61
46,2 50
50
55
66 56,8
53 62,5 48,2 50,5 56,5 56
53,5 54
47 52,5 52 58,5
57
58
55
42,5
57
60
51
63
67
a) ¿Qué valor tiene el rango de los pesos obtenidos?
b) Construye la tabla de frecuencias con los datos agrupados en clase.
c) Representa la información en un histograma. Explica cómo procediste para su construcción.
d) Halla el peso promedio del grupo. ¿Cómo lo calculaste?
e) Determina la clase modal y clase mediana.
f) Consulta con tu profesor de Educación Física, la relación talla/peso
y elabora un informe en el que valores los resultados obtenidos.
4.
Se realiza una encuesta a varias personas sobre el tiempo promedio
diario que dedican a la lectura. La tabla 1.11 muestra los resultados
obtenidos.
Tabla 1.11
Tiempo promedio
dedicado a la lectura (min)
Fi
0 ≤ x < 15
15
15 ≤ x < 30
40
30 ≤ x < 45
20
45 ≤ x < 60
25
4.1 ¿Cuál de las proposiciones siguientes es falsa?
a) __ 55 personas leen menos de 30 min.
b) __ El tiempo promedio de lectura de los encuestados es de
media hora.
41
MATEMÁTICA
c) __ La clase modal y la mediana coinciden.
d) __ Tres de cada cuatro encuestados leen más de 45 min, como
promedio.
4.2 ¿Qué tipo de libro es el que más te gusta leer? ¿Por qué?
4.3 ¿Qué importancia tiene para ti la lectura?
5.
La gráfica de la figura 1.12 muestra el comportamiento de la estatura de los jugadores de la preselección de baloncesto de una escuela
de deportes.
Frecuencia
10
8
6
4
2
150-160 160-170 170-180 180-190 190-200 Altura (cm)
Fig. 1.12
a) ¿Cuántos jugadores tiene la preselección?
b) ¿Qué amplitud de clase se utilizó para agrupar los datos?
c) ¿Cuál es la clase que muestra la estatura más frecuente de los
jugadores?
d) Halla la estatura media de la preselección.
e) Determina la clase mediana y explica cómo procediste.
6.
La tabla 1.12 muestra el consumo eléctrico, en kilowatts-hora, durante
un mes en los apartamentos que hay en un edificio.
a) ¿Cuántos apartamentos hay en el edificio?
b) ¿Cuál fue el consumo promedio de los apartamentos durante
ese mes?
c) Si el plan de consumo para cada apartamento era hasta 200 kWh,
¿qué porcentaje de ellos incumplió con su plan?
d) Halla la frecuencia relativa de la clase modal.
e) Di la amplitud de clase utilizada.
42
CAPÍTULO 1
f) Controla el consumo eléctrico de tu casa durante diez días, elabora una tabla de frecuencia y construye un gráfico en el que se
reflejen estos resultados.
Tabla 1.12
7.
Consumo
No. de apartamentos
50 ≤ x < 100
2
100 ≤ x < 150
8
150 ≤ x < 200
6
200 ≤ x < 250
3
250 ≤ x < 300
2
Recopila en tu grupo con tus compañeros los datos que corresponden
al consumo de agua del mes anterior de cada una de las casas.
a) Identifica el tipo de variable.
b) Construye una tabla de frecuencia absoluta.
c) Representa los datos en un gráfico utilizando los recursos informáticos de que dispones.
d) Calcula la media aritmética e identifica la clase modal y la mediana.
e) ¿Cómo valoras el consumo de agua en las viviendas de los
integrantes de tu grupo?
f) ¿Qué medidas propondrías para propiciar el ahorro en los casos
en que consideres que hay despilfarro?
g) ¿Cuál es la composición química del agua? Represéntala con la
nomenclatura correspondiente.
h) Prepara una presentación digital con el uso del PowerPoint que
ilustre los resultados del estudio realizado.
EJERCICIOS DEL CAPÍTULO
1.
3,1
A
En un cuadrado mágico la suma de las tres casillas
horizontales, verticales y diagonales es la misma.
En el cuadrado mágico de la figura 1.13:
A + B + C = 2,1. Determina el valor de A, B y C.
1,5
B
– 0,1
C
Fig. 1.13
43
MATEMÁTICA
2.
Los monitores de noveno grado, de una secundaria básica, le proponen a la guía base realizar una fiesta del saber.
Los de Matemática proponen que se respondan las interrogantes
siguientes.
Sean:
2 4
3 6
A 5 7
1 1
1 1
5 3
C
B
10 83 4
3
2 27
D
6 , 3 2, 7
3,5 102 53
4 ,5
123 : 63
8
1
4
256
a) Determina el valor de A, B, C y D.
b) ¿Cuál es el dominio numérico más restringido al que pertenecen
los valores hallados?
3.
Si mn = 3, determina el valor numérico de P si P = m4n – 5.
4.
Una secundaria básica tiene una matrícula de 720 estudiantes. El 25 % de
2
ellos está incorporado al círculo de interés de deportes, las partes
5
de los estudiantes restantes están vinculados a los culturales, y los estudiantes que quedan se dedican al estudio del medio ambiente.
a) ¿Cuántos estudiantes se dedican a cada actividad?
b) ¿Qué tanto por ciento representan del total de la matrícula los
que se dedican al estudio del medio ambiente?
5.
En una fábrica de la capital del país, los trabajadores que pertenecen
al colectivo de innovadores lograron por medio del ahorro de materiales, que el costo de producción de una pieza se reduzca en un 9 %
y es ahora de $ 455.00. ¿En qué cantidad de dinero se ha reducido el
costo de una pieza?
6.
La gráfica de la figura 1.14 representa la cantidad de frutas que contiene una cesta.
a) ¿Qué parte del total de frutas representan las guayabas?
44
CAPÍTULO 1
u
Guayabas
Naranjas
Mangos
Fig. 1.14
b) ¿Qué porciento representan los mangos del total de frutas?
c) Si en la cesta hay 36 naranjas, ¿cuántas frutas contiene la cesta?
d) Elabora un problema a partir de la situación planteada.
7.
Dada la suma de los recíprocos de dos, tres, cuatro, cinco, seis, siete y
ocho, ¿qué fracciones debes eliminar para que la suma sea igual a uno?
8.
Como parte de la Misión Milagro se midió la vista a 200 personas en
un poblado de Bolivia. Se considera con agudeza visual normal a las
personas que tengan medidas de 0,7 a 1,0 y a los que tienen medidas
por debajo de 0,7 se les diagnostica catarata. La tabla 1.13 muestra
los resultados obtenidos.
Tabla 1.13
Medida
Cantidad de personas
0,5 ≤ x < 0,6
2
0,6 ≤ x < 0,7
0,7 ≤ x < 0,8
70
0,8 ≤ x < 0,9
5
0,9 ≤ x < 1,0
3
8.1 ¿Cuáles de las proposiciones siguientes son verdaderas y cuáles
falsas? En el caso de las falsas, argumenta el porqué.
a) __ El 50 % del total de personas fue diagnosticado con catarata.
b) __ En la información brindada se aprecian dos clases modales.
c) __ Tres de cada cuatro personas tiene su visión normal.
d) __ La clase mediana en esta distribución es la tercera.
e) __ La amplitud de cada clase es 1,0.
f) __ La marca de clase de la cuarta es 0,85.
45
MATEMÁTICA
8.2 Localiza en el mapa de América a Bolivia. Indaga sobre su población, extensión territorial y características climatológicas.
8.3 Elabora un párrafo en el que valores las relaciones existentes
entre Cuba y Bolivia.
9.
El Índice de Masa Corporal (IMC) es un parámetro que se utiliza en la
medicina para estudiar el peso ideal de las personas, según su talla
p
y su masa. Se calcula utilizando la ecuación: IMC = 2 , donde p es la
t
masa, en kilogramos, y t la talla, en metros.
Una persona cuyo IMC esté por debajo de 18,5 es considera con bajo
peso y de 25 en adelante, se considera con sobrepeso. La directora
de una secundaria básica orientó a sus profesores entregar un informe con el IMC de cada estudiante de su grupo. Al recoger los informes,
se construyó la figura 1.15 con los resultados generales de la escuela.
Cantidad
de estudiantes
150
120
90
60
45
35
[17,2;18,5) [18,5;19,8) [19,8;21,1) [21,1;22,4) [22,4; 23,7) [23,7;25) IMC
Fig. 1.15
a) ¿Cuántos estudiantes tiene la escuela?
b) ¿En cuántas clases se distribuyó la información?
c) ¿Cuál fue la amplitud de clase utilizada?
d) ¿Cuál es el IMC medio de los estudiantes?
e) Di cuál es la clase modal y la clase mediana.
f) ¿Qué parte de la matrícula tiene bajo peso? ¿Y sobrepeso?
g) ¿Qué tanto por ciento de la matrícula tiene un peso adecuado?
46
CAPÍTULO 1
10. La situación siguiente muestra algunas de las cuestiones del contenido
de una encuesta aplicada a personas seleccionadas al azar de un CDR.
Señala con una cruz (X) donde corresponda:
Preferencia
Sexo
Estado civil
A. Femenino ____
A. Soltero ____
A. Escuchar música ____
B. Masculino ____
B. Casado ____
B. Leer ____
C. Viudo ____
D. Separado ____
Supongamos que esta encuesta se aplica a una muestra representativa constituida por diez personas. Las respuestas obtenidas aparecen
reflejadas en la tabla 1.14.
Tabla 1.14
Sujetos
S
EC
P
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A
A
B
A
B
B
A
A
B
A
B
A
C
D
C
A
A
B
B
C
B
A
A
B
A
B
A
A
B
A
S: variable sexo EC: variable estado civil
P: variable preferencia
a) Construye la tabla de distribución de frecuencias.
b) Clasifica las variables medidas en esta encuesta, ¿cómo son?
c) ¿Hay diferencias notables entre los solteros, casados y viudos?
47
MATEMÁTICA
d) ¿Qué es más frecuente en la muestra, encontrar mujeres u
hombres?
e) ¿Será posible encontrar la media del sexo? Justifica tu
respuesta.
11. Determina, con tus compañeros de grupo el dato que correspon
de al valor del consumo eléctrico del mes anterior de cada una de
sus casas.
a) Identifica la población y la muestra.
b) Di cuál es la variable y clasifícala.
c) Ordena la lista de mayor a menor.
d) Construye una tabla de frecuencia absoluta y frecuencia relativa.
e) Compara el primero de los datos de la lista y el penúltimo. ¿A qué
conclusión llegas?
f) Calcula la media aritmética e identifica la clase modal y la mediana.
g) ¿Qué puedes inferir a partir de los datos recopilados?
h) Elabora un informe que refleje los resultados del estudio realizado.
Ilustra los resultados mediante gráficos construidos, haciendo uso
de los recursos informáticos.
12. Compila con tus compañeros de grupo los datos que corresponden
al pago del teléfono del mes anterior de cada una de sus viviendas.
a) Organiza los datos recopilados.
b) Construye una tabla de distribución de frecuencia absoluta y
frecuencia relativa.
c) Representa los datos en el gráfico, que consideres más adecuado,
utilizando los recursos informáticos o un asistente matemático.
d) Calcula la media aritmética del pago telefónico e identifica la clase
modal y la mediana. Comprueba la media calculada utilizando
los recursos informáticos.
e) Analiza el recibo del teléfono de tu casa del mes anterior y desglosa el pago por diferentes conceptos. ¿A qué conclusión puedes
llegar?
f) ¿Cómo valoras el pago del teléfono en las viviendas de los
integrantes de tu grupo?
g) Elabora un informe que resuma los resultados del estudio realizado y haz una presentación con los recursos informáticos.
48
CAPÍTULO 1
PARA LA AUTOEVALUACIÓN
Reflexiona sobre lo aprendido
1.
¿Qué es un número real?
2.
¿Qué conjuntos numéricos son subconjuntos del conjunto de los
números reales?
3.
¿De cuántas formas puedes escribir un subconjunto de números reales?
4.
¿Qué operaciones sabes hacer con números reales?
5.
¿Conoces los pasos que se deben seguir para resolver un ejercicio de
operaciones combinadas de números reales?
6.
¿Por qué es importante dominar el procedimiento general para el
procesamiento de datos?
7.
¿Qué es una variable cuantitativa continua?
8.
¿A qué se denomina clase de frecuencias?
9.
¿Qué es la amplitud de clases y la marca de clase?
10. ¿Qué es el rango o recorrido de la variable?
11. Recuerdas cómo proceder para realizar la distribución de frecuencia
por clases.
12. ¿Cuáles son los gráficos más apropiados para representar gráficamente
los datos agrupados en clases? Cómo realizarlos.
13. ¿Cuáles son las medidas de tendencia central para datos agrupados?
¿Cómo obtenerlas?
Ponte a prueba
1.
Clasifica las proposiciones siguientes en verdaderas o falsas. En el caso
de las proposiciones falsas, justifica por qué lo son:
a) __ La operación de sustracción no se puede realizar de manera
ilimitada en el conjunto de los números naturales.
49
MATEMÁTICA
b) __ Es un número fraccionario que es a la vez menor que 0,6 y mayor
1
que .
5
c) __ La estadística se caracteriza por realizar estudios de datos
relativos a conjuntos de datos, individuos u observaciones lo
más numerosas posibles y ocurridos en diferentes instantes
de tiempo.
d) __ La estadística descriptiva estudia una muestra, derivando conclusiones sobre un grupo mayor que esta.
e) __ El estudio que realiza un director de empresa de la edad de
sus trabajadores corresponde a una distribución de frecuencia
categórica.
f) __ El rango o recorrido de la variable es la diferencia entre el dato
mayor y el dato menor del conjunto de valores que toma la
variable.
g) __ La marca de clase es el punto medio de la clase y se obtiene,
restando los límites de clase superior e inferior y dividiendo
entre dos.
h) __ La clase modal es la clase de menor frecuencia cuando las anotaciones se presentan reunidas en clases.
i) __ La clase mediana es la clase en que se encuentra el mayor número de datos.
2.
Identifica la respuesta correcta:
Si C x n :x 2 144 y D x r : 12 x 12, entonces:
a) __ C ∪ D = C
b) __ C ∪ D = D
c) __ C ∪ D = {– 12;12;144 }
d) __ C D z r : 12 x 144
3.
50
En un hospital materno se controló la masa (en kilogramos) de
50 de los recién nacidos durante un mes y se obtuvieron los resultados
registrados de la manera siguiente:
CAPÍTULO 1
3
3
3,3
2,5
2,6
4,5
3,5
3,5
4
4
3
3,3
3,4
3,6
3,7
3,2
3,3
3,4
3
3
3,9
3,7
3,5
3,1
3,1
3,2
4,3
4,2
4
4
2,7
2,8
2,9
3,4
3,2
3,1
2,5
3,3
3
3
3,6
3,8
3,5
3,1
3,2
4,1
4,2
3,6
3,9
3,2
a) ¿Los datos registrados corresponden a la población o a una muestra? Justifica tu respuesta.
b) ¿Cuál es la variable objeto de estudio? Clasifícala.
c) Construye una tabla de distribución de frecuencias con amplitud
de clase igual a 0,5. ¿La distribución de frecuencia es numérica o
categórica? ¿Por qué?
d) Representa en un histograma la información recogida.
e) ¿Qué porcentaje de recién nacidos tienen peso inferior a 3,2 kg?
f) Calcula el peso promedio de los recién nacidos.
g) Si un kilogramo es aproximadamente igual a 2,2 lb, ¿cuántos niños
nacieron con más de 8 lb? ¿Cómo consideras la masa de este conjunto de niños?
h) Visita el consultorio del médico de la familia al cual perteneces y
registra la masa de los niños nacidos en los últimos seis meses.
51
CAPÍTULO 2
Geometría Plana
E
n este capítulo conocerás relaciones geométricas que se presentan
en la realidad cotidiana, en la técnica o en distintas formas de expresión artística y, en particular, aplicarás procedimientos para calcular
longitudes de segmentos y construir figuras geométricas, algunos de los
cuales fueron planteados por el hombre desde hace miles de años. También podrás estimar cálculos y realizar demostraciones de propiedades
sencillas. En fin, nuevos conocimientos para describir, analizar, explicar
y comprender mejor el mundo; apreciar la belleza de sus formas y consolidar ideas de manera que un día puedas contribuir a transformarlo.
2.1 Segmentos proporcionales y sus aplicaciones
En la educación primaria aprendiste que en Matemática el término
razón expresa el resultado de la comparación entre dos cantidades y
la proporción es la igualdad entre dos razones. Medias y proporciones fueron bases de la matemática griega y el nexo de la unión entre
aritmética y geometría, porque las magnitudes se pueden medir, por
lo que se le asigna un valor numérico a esa medida entonces también
se puede hablar de proporciones entre cantidades. Te invitamos a
ampliar tus conocimientos para que aprendas las aplicaciones de la
proporcionalidad de segmentos, síguenos…
53
MATEMÁTICA
2.1.1 Sistematización sobre razones y proporciones
entre longitudes de segmentos
Reflexiona un instante
La profesora de Matemática le dejó de tarea a su grupo encontrar la longitud de un segmento MN, dadas las condiciones siguientes: PQ = 5,8 cm y
MN 3
la razón
= ¿cómo procederías tú?
PQ 2
Hagamos primero algunas precisiones necesarias para calcular razones
y proporciones y, en particular, para hallar la razón entre la longitud de dos
segmentos a partir de algunos ejemplos.
Ejemplo 1
La gráfica de la figura 2.1 muestra la cantidad de materia prima en kilogramos, recolectada por los grupos noveno uno y noveno dos de una
secundaria básica. ¿Cómo determinar cuántas veces más recogió el grupo
dos la cantidad que recogió el grupo uno?
kg
80 –
60 –
40 –
20 –
0–
69
34,5
Grupo 1
Grupo 2 Grupos de 9.º grado
Fig. 2.1
Solución:
Para saber cuántas veces más recogió el grupo dos la cantidad que recogió el grupo uno, planteamos la razón entre estas dos cantidades, tal
como aprendiste en grados anteriores. Observa que la razón entre 69 kg y
34,5 kg es la fracción:
69 kg
=2
34,5 kg
54
CAPÍTULO 2
Como en toda razón, sus términos son:
69 Antecedente
34,5 Consecuente
Respuesta:
El grupo noveno dos recogió dos veces más la cantidad de materia prima
que recogió el grupo noveno uno.
Ejemplo 2
Alberto investigó en el círculo de interés patriótico de su escuela las
dimensiones que tiene cada tipo de la bandera cubana: la de gala, la de
diario y la de tempestad, para establecer entre sus dimensiones relaciones
de proporcionalidad.
¿Cómo procedió Alberto para lograr su propósito?
Solución:
Alberto observó que la bandera tiene forma rectangular (figura 2.2) y
que su largo y su ancho, geométricamente, lo determinan segmentos.
Midió el largo y ancho de esos segmentos
en cada tipo de bandera cubana:
Bandera de gala: 6 m de largo por
3 m de ancho.
Bandera de diario: 3 m de largo por
1,5 m de ancho.
Bandera de tempestad: 18 dm de largo
Fig. 2.2
y 0,90 m de ancho.
Para expresar matemáticamente estas relaciones, recordó que la razón
de segmentos es la razón entre sus medidas, expresadas estas en la
misma unidad de medida y escribió tres razones, con la igualdad entre
cada dos de estas razones planteó las tres proporciones posibles entre ellas:
Razones:
6
3
;
3
1,5
;
1,80
0,90
Como te darás cuenta en los tres casos la razón es igual a dos. Fíjate que,
para la bandera de tempestad, Alberto tuvo que hacer las conversiones de
unidad necesarias para expresar primero la medida de los segmentos
en la misma unidad de longitud: 18 dm = 1,80 m.
Proporciones:
6
3
=
3
1,5
;
3
1,5
=
1,80
6
;
0,90
3
=
1,80
0,90
55
MATEMÁTICA
En estos casos se dice que los segmentos de las dimensiones de los tres
tipos de banderas son respectivamente proporcionales entre sí.
Que también pueden escribirse así:
6 : 3 = 3 : 1,5
3 : 1,5 = 1,80 : 0,90
6 : 3 = 1,80 : 0,90
Por lo cual, si:
6 1,80
=
, entonces 6 0,90 3 1,80.
3 0,90
Medio
Extremo
6 1,80
3 0,90
Medio
Medios
Extremo
6 : 3 = 1,80 : 0,90
Extremos
En ese caso se lee: 6 “es a” 3 “como” 1,80 “es a” 0,90.
Todo esto se cumple para las tres proporciones y, en general, para toda
proporción.
Respuesta:
Alberto comprobó que, en cada una de las banderas, la longitud del
largo es siempre el doble de la longitud del ancho.
En la clase de repaso para sistematizar sus conocimientos, Luis le dice
a Alberto:
¡Atención!
Siempre se cumple que un medio es igual al producto de los extremos dividido entre el otro medio y un extremo es igual al producto de los medios
dividido entre el otro extremo.
a c
= , aplicando la propiedad fundamentalmente de las proposiciones
b d
b c
a d
a d
b c
a · d = b · c, entonces despejando: a
,b
,c
,d
d
c
b
a
Si
56
CAPÍTULO 2
Recíprocamente se cumple que si el producto de dos números es igual
al producto de otros dos, con los cuatro factores se puede formar una proporción, siendo extremos los dos factores de un producto y medios los del
otro producto.
También en una proporción:
► al intercambiar los medios,
► al intercambiar los extremos,
► y al invertir las razones,
Se obtiene de nuevo en cada caso, una proporción.
Ejemplo 3
Halla el valor de x en las proporciones siguientes y comprueba:
a)
x 12
=
6 18
b)
0, 05 1,5
=
x
1,5
c)
3
x
=
x 12
Solución:
x 12
a) =
6 18
x 18 6 12 (aplicando la propiedad fundamental de las prroporciones)
x 18 72
72
x
18
x 4
(despejando la x )
En general, la cuarta proporcional de tres números dados a, b y c es
a c
b c
el cuarto término x, que cumple la condición:
= donde x
b x
a
4 12
Comprobando: =
(sustituyendo la x)
6 18
4 · 18 = 6 ·12
72 = 72
b)
0, 05 1,5
=
1,5
x
0,05 · x = 1,5 · 1,5 (aplicando la propiedad fundamental de las proporciones)
0,05 · x = 2,25 (despejando la x)
2, 25
0, 05
x = 45
x=
57
MATEMÁTICA
En general, la tercera proporcional a dos números a y b, es el cuarto
b2
a b
término x, que cumple la condición: = donde x =
b x
a
0, 05 1,5
Comprobación:
(sustituir la x)
=
1,5
45
0,05 · 45 = 1,5 · 1,5
2,25 = 2,25
3
x
=
x 12
c)
x 2 = 36
(aplicar la propiedad fundamental de las proporciones)
x = 36
(hallar la raíz cuadrada)
x =6
En general, la media proporcional a dos números a y b, es el valor x,
a x
=
que cumple la condición:
donde x 2 a b ; x a b
x b
Comprobar: para x = 8;
3 · 12 = 6 · 6
36 = 36
3 6
=
(sustituir la x)
6 12
Respuesta: x = 4; x = 45; x = 6
Ahora ya puedes resolver la problemática inicial planteada.
MN 3
=
PQ 2
MN 3
=
(se sustituye a PQ = 5,8 cm )
5, 8 2
2 MN 3 5, 8 (aplicar la propiedad fundamental de las proporciones)
17, 4
(despejar a MN )
2
MN = 8, 7 cm
MN =
Observa que los segmentos MN y PQ están en la razón
3
.
2
Ejemplo 4
¿Cuál es la razón entre las longitudes de dos segmentos dados en la
figura 2.3, de los cuales no se conoce la longitud?
58
CAPÍTULO 2
Solución:
Debemos determinar primero la longi- A
B
tud de estos segmentos, porque la razón
D
de segmentos es la razón entre sus medi- C
das, expresadas estas en la misma unidad.
Fig. 2.3
Al medir la longitud de un segmento
realizamos la comparación con otro (segmento unidad) convenientemente
seleccionado, o sea, investigamos cuántas veces el segmento unidad está contenido en el segmento que medimos.
u
Tomando como unidad de medida,
B
un segmento conveniente de longitud A
u (unidad), en este caso, el segmenu
u
to AB = 5 u y el segmento CD = 7 u
C
D
(figura 2.4).
Fig. 2.4
Luego si AB = 5 u, el número cinco
es la medida y u es la unidad, de igual
forma sucede con CD = 7 u, el número siete es la medida y u es la unidad.
Entonces la razón de AB a CD es
entre los segmentos AB y CD es
Respuesta:
5
.
7
AB 5
= esta relación se lee: la razón
CD 7
AB 5
=
CD 7
¡Atención!
Para encontrar fácilmente y de manera precisa la razón entre dos segmentos
dados, de los cuales no se conoce la longitud, se aplica un procedimiento
basado en los teoremas que estudiarás en el próximo epígrafe.
Ejercicios
1.
Amplia las fracciones siguientes por n = 2; 3; 4; 5….
a)
2.
1
4
b)
2
3
Halla la razón entre:
a) 10 y 2
b) 18 y 12
c)
15
5
y
7
13
d) 0,8 y 1,6
59
MATEMÁTICA
3.
Completa los espacios en blanco según corresponda:
a) La razón entre 9 y 45 es ____.
b) La razón entre 10 y ____ es 4.
c) La razón entre 10–1 y 102 es ____.
d) La razón entre ____ y 20 es
4.
1
15
Selecciona de las parejas de números siguientes la que está en la
misma razón de:
a) 4
5
I) ____ 12 y 20
II) ____ 28 y 35
III) ____ 40 y 60
IV) ____ ninguno de los anteriores.
b) 7
3
I) ____ 14 y 12
II) ____ 21 y 15
III) ____ 0,7 y 0,3
IV) ____ ninguno de los anteriores.
c) 4 : 11
I) ____ 0,4 y 0,11
II) ____ 60 y 165
III) ____0,04 y 1,1
IV) ____ ninguno de los anteriores.
5. Selecciona el valor de x que corresponda en cada caso para que se
mantenga la proporción:
a) x = 24
10 40
I) ___ x = 8
III) ___ x = 12
b) 1,5 = 3
x
2
I) ___ x = 2,25
c)
60
II) ___ x = 6
IV) ____ ninguno de los anteriores.
II) ___ x = 1
III) ___ x = 4
IV) ____ ninguno de los anteriores.
4 x
=
x 16
I) ___ x = 64
II) ___ x = 4
III) ___ x = 8
IV) ____ ninguno de los anteriores.
CAPÍTULO 2
1
2
d) = 2
x 2
3
6.
I) ___ x = 1
6
II) ___ x = 6
III) ___ x = 2
3
IV) ____ ninguno de los anteriores.
Completa los espacios en blanco de forma tal que se cumpla que es
una proporción:
a) La cuarta proporcional de la serie de números 24; 51; 104 es _____.
1
b) La tercera proporcional a 5 y 7 es _____.
4
c) La media proporcional entre 7 y 63 es _____.
7.
Un recipiente contiene 4 L de alcohol, se le añade 0,4 L de agua. ¿En
qué relación se encuentra el agua con el alcohol?
8.
La edad del padre de Carlos es de 42 años; si conoces que la razón
entre la edad de Carlos y su padre es 2 . ¿Qué edad tiene Carlos?
7
Halla la razón de los segmentos AB y CD, sabiendo que:
9.
a) AB = 36 cm y CD = 12 cm
b) AB = 0,25 m y CD = 75 cm
c) AB = 0,7 dm y CD = 28 cm
d) AB = 152 mm y CD = 9,8 mm
9.1 Clasifica si son verdaderas (V) o falsas (F) las proposiciones siguientes. Convierte en verdaderas las falsas.
a) __ Si AB = 0,2 m y BC = 199 mm, entonces AB 1
BC
AB 5
b) __ Si AB = x u; BC = y u y x = 3 y , entonces
= (u: unidades)
BC 3
5
c) __ Si el área de un cuadrado 1 es a2 y el área de un cuadrado
2 es 16 a2, entonces la razón entre los lados del cuadrado
1 con respecto a los lados del cuadrado 2 es 1 .
4
61
MATEMÁTICA
d) __ Si el ancho (a) de un rectángulo es 18 cm y el largo (L) excede
al ancho en 6 cm, entonces a = 3
L 2
10. El segmento AB (figura 2.5) se ha dividido en 15 segmentos iguales.
En este se han ubicado los puntos C, D, E y F.
A
D
E
C
B
F
Fig. 2.5
Selecciona la razón numérica de la columna II que le corresponda a la
razón de segmentos de la columna I.
I
II
1.
AC
BD
a)
2.
AD
CD
3.
ED
FB
4.
CE
AC
5.
CD
EF
7
3
b) 1
c)
1
2
d) 2
e)
1
4
11. En la figura 2.6 se tienen representados tres segmentos con sus respectivas medidas. ¿Qué longitud debe tener un cuarto segmento GH
AB EF
=
para que se cumpla la proporción
?
CD GH
6,0 cm
2,0 cm
A
B
C
D
4,0 cm
E
F
Fig. 2.6
62
CAPÍTULO 2
12. El segmento AB (figura 2.7) se ha dividido en 12 segmentos iguales y
se ha ubicado el punto C.
A
C
B
Fig. 2.7
a) Determina la razón en la que el punto C divide al segmento AB.
b) Ubica un punto D en el segmento AB de forma tal que se cumpla
AC CD
=
CD AC
13. Completa los espacios en blanco de forma tal que se cumpla que MN = RT .
PQ
EF
a)
=
Si MN 15
=
cm; PQ 3, 0 cm y RT = 4 ,5 cm , entonces EF = ___
=
,5 cm; RT 42 mm y EF = 0, 7 cm , entonces MN = ___
b) Si PQ 2=
c) Si MN = 180 mm; RT = 3,60 mm y EF = 12,0 cm, entonces PQ = ___
d) Si MN 2=
=
, 8 cm; PQ 1, 4 mm y EF = 3, 2 cm, entonces RT = ___
14. Construye un segmento AB y otro MN que sean proporcionales a los
segmentos CD y EF (figura 2.8) respectivamente si:
C
D
E
F
Fig. 2.8
AB MN 1
a) = =
CD
EF
2
AB MN
b) = = 3
CD
EF
15. En la figura 2.9 aparecen representados cuatro segmentos con sus respectivas longitudes. Plantea todas proporciones posibles entre los segmentos.
6,0 cm
A
D
B
4,0 cm
E
30 mm
F
8,0 cm
G
H
C
Fig. 2.9
63
MATEMÁTICA
16. Dos autos deben recorrer 60 km y 80 km respectivamente. El primer auto ha avanzado 12 km. ¿Cuántos kilómetros ha avanzado el
segundo auto si ambos han hecho la misma parte de su recorrido?
17. Mientras un peatón recorre 3 600 m, otro recorre 5 400 m. Halla
la razón de sus velocidades.
18. En la figura 2.10, la longitud de la circunferencia de centro O y
radio r1 = OA es igual a 62,8 cm, la razón entre r1 y r2 es igual a
Halla la longitud del radio r2.
r1
O
r2
A
2
.
3
B
O
Fig. 2.10
19. En la figura 2.11 se sabe que la razón de las alturas de los postes A y B,
es igual a la razón de las sombras que proyectan. ¿Cuál es la altura del
poste A?
Fig. 2.11
64
CAPÍTULO 2
2.1.2 Teorema de las transversales
Reflexiona un instante
En una actividad de exploración y campismo, un grupo de pioneros de
noveno grado quiere medir la distancia entre dos puntos A y C separados
por una laguna artificial, como se muestra en la figura 2.12.
C
A
Fig. 2.12
Luis plantea que es imposible, pero Roberto refiere que sí se puede. Situación parecida él la había encontrado en un libro de Geometría Recreativa
en la biblioteca de la escuela.
¿Será cierto lo que plantea Roberto?
Ahora vamos a estudiar un teorema sobre segmentos proporcionales,
de mucha importancia por su aplicación a la resolución de problemas, tanto
geométricos como de la vida práctica, que nos ayudará a resolver el problema
antes propuesto, este teorema se denomina Teorema de las transversales,
descubierto por el famoso matemático Tales de Mileto (625-546 a. n. e.).
Para comprender mejor ese teorema debes primero interpretar correctamente la definición que sigue:
Recuerda que…
Definición de segmentos de semirrectas correspondientes: son
aquellos segmentos de semirrectas de origen común que tienen sus extre
mos respectivamente en la misma paralela secante a dichas semirrectas
o aquellos que tienen un extremo común y el otro en la misma paralela
secante a ambas semirrectas.
65
MATEMÁTICA
Ejemplo 1
En la figura 2.13, son correspondientes: OA
y OB; AC y BD; OC y OD
El Teorema de las transversales se estudia
dividido en tres partes. Queremos que tú mismo llegues a encontrar la primera parte de este
teorema, a partir de la búsqueda de relaciones
entre segmentos. Para eso, realiza los siguientes pasos utilizando los instrumentos de dibujo.
O
A
C
B
D
Fig. 2.13
Investiga y aprende
1. Traza dos semirrectas de origen común O, cortadas por dos rectas paralelas (figura 2.13).
2. Mide los segmentos OA; OC; OB y OD.
3. Calcula la razón entre los segmentos
4. Compara los resultados obtenidos.
OA OB
y
.
OC OD
Aplica tus conocimientos
Otra forma mediante la que puedes llegar al planteamiento de la primera
parte del Teorema de las transversales es con el empleo del asistente matemático GeoGebra (figura 2.14), sigue para esto el algoritmo anterior.
Fig. 2.14
66
CAPÍTULO 2
Reflexiona un instante
OA
OB
¿Qué ocurre con las razones entre los segmentos
y
, al variar la
OC OD
posición del punto O?
Teorema de las transversales. Primera parte
Recuerda que…
Si dos semirrectas de origen común son cortadas por varias rectas paralelas,
entonces se cumple que la razón entre dos segmentos de una de ellas es
igual a la razón entre los dos segmentos correspondientes en la otra.
Vamos a realizar la demostración
del teorema, utilizando la figura 2.15.
Demostración
Premisa: sean las rectas AB || CD , las
que cortan a las semirrectas OC y OD.
Según la cual son correspondientes:
OA y OB; AC y BD; OC y OD, luego
obtenemos tres proporciones para
la tesis:
OA OB
=
AC BD
OA OB
=
(2)
OC OD
O
h1
h2
B
A
h3
h4
C
D
Fig. 2.15
Tesis: (1)
(3)
AC BD
=
OC OD
Realicemos la demostración para la proporción (1).
En el △OAB, trazamos las alturas h1 y h2 respectivas a los lados OA y OB
Entonces se cumple que:
OA h1 OB h2
, luego OA h1 OB h2 (1)
2
2
Trazamos los segmentos AD ; BC ; h3 y h4
A1
67
MATEMÁTICA
AC h1
2
BD h2
En el △ABD se cumple que: A3
2
En el △ABC se cumple que: A2
h3 y h4 son las alturas al lado común AB de los triángulos ABC y ABD y
como h3 = h4 (por ser la distancia entre las rectas AB y CD, AB || CD), luego
AB h3 AB h4
, por lo tanto, se cumple
se cumple que A2 = A3 porque
2
2
AC . h1
BD ⋅ h2
=
, o sea, AC h1 BD h2 (2)
2
2
Dividiendo miembro a miembro (1) y (2), obtenemos:
OA h1 OB h2
OA
OB
simplificando en cada miembro obtenemos
=
AC BD
AC h1 BD h2
Te propongo que demuestres las proposiciones 2 y 3.
Solución del problema planteado en la sección Reflexiona
un instante
Roberto tiene razón, para medir de forma
indirecta la distancia AC entre dos puntos
extremos separados por la laguna artificial
(figura 2.16), se puede proceder utilizando el
Teorema de las transversales.
1) Se selecciona un punto E alineado con A y C.
2) Se construye AD y ED
3) Se construye BC || ED
4) Se miden las longitudes de CE; AB y BD
E
C
A
B
D
Fig. 2.16
Aplicando la proposición (1) se obtiene:
CE . AB
AC AB
=
de donde AC
CE BD
BD
Observa que el teorema que acabamos
de demostrar es absolutamente general, se cumple para cualquier número de
rectas paralelas AE; BF; CG y HD y para cualquier posición de las transversales HE y AD
(figura 2.17).
68
H
A
B
F
G
O
C
E
D
Fig. 2.17
CAPÍTULO 2
Para una mejor comprensión de las dos partes restantes del Teorema de las
transversales, tienes que interpretar correctamente las definiciones siguientes:
Recuerda que…
Haz de semirrectas es el conjunto de todas las semirrectas que tienen un
origen común.
Haz de rectas paralelas es el conjunto de todas las rectas paralelas entre sí.
Segmentos correspondientes de dos paralelas son los segmentos contenidos en dos rectas paralelas determinados por su intersección con dos
segmentos de semirrectas correspondientes.
Segmentos correspondientes de una paralela son los segmentos contenidos en una paralela determinados por su intersección con tres segmentos
de semirrectas correspondientes.
Ejemplo 2
a) En la figura 2.18, son segmentos correspondientes de dos paralelas: AC y BD, además
CE y BF.
b) En la figura 2.18, son segmentos corres
pondientes de una paralela: AC y CE;
además BD y BF.
O
A
C
E
F
B
D
Fig. 2.18
Teorema de las transversales. Segunda y tercera partes
Recuerda que…
Segunda parte: la razón entre dos segmentos de una semirrecta es igual
a la razón entre los dos segmentos correspondientes de paralelas a ellos.
Observa que según el teorema en la figura 2.18 se cumple:
OA AC
OC CE
=
y
=
OB BD
OD DF
Nota: los segmentos de semirrectas tienen que tener siempre un extremo
que coincide con el origen de las semirrectas.
Tercera parte: la razón entre dos segmentos de una paralela es igual a la
razón entre los dos segmentos de paralela correspondientes en otra paralela.
69
MATEMÁTICA
Observa que según el teorema en la figura 2.18 se cumple:
AC BD AC BD
=
y
=
CE
DF AE BF
Ejemplo 3
En la figura 2.19, QS || PR; OP = 2, 0 cm
PQ = 4 , 0 cm y OR = 3, 0 cm . Halla la longitud
de los segmentos RS; OS y OQ
O
P
R
Solución:
Podemos aplicar la primera parte del teorema de las transversales.
OP OR
Q
S
(sustituyendo los segmentos por
=
PQ RS
las longitudes conocidas, obtenemos)
Fig. 2.19
2
3
=
(aplicando la propiedad funda4 RS
mental de las proporciones)
2 RS = 4 · 3 (despejando RS)
4 3
RS
2
RS = 6,0 cm
Para calcular las longitudes OS y OQ podemos hacerlo mediante la suma
de segmentos.
OS OR RS
OQ OP PQ
OS 3 cm 6 cm
OQ 2 cm 4 cm
OS = 9, 0 cm
OQ = 6, 0 cm
Respuesta:
RS = 6,0 cm; OS = 9,0 cm; OQ = 6,0 cm
A
Ejemplo 4
Sea el triángulo ABC (figura 2.20) se conoce
que:
E
F
G
► EG || BC
► F punto de intersección de AD y EG
► B, C y D puntos alineados.
70
B
D
Fig. 2.20
C
CAPÍTULO 2
AE = 3,5 cm; AB = 7,0 cm; EG = 2,5 cm y BD = 3,0 cm
Calcula la longitud de EF y DC.
Solución:
Para calcular la longitud de EF podemos formar la proporción siguiente:
AE EF
=
Segunda parte del teorema de las transversales
AB BD
3,5 EF
7
3
3,5 3 7 EF
3,5 3
EF
7
EF 1,5 cm.
Para calcular la longitud de DC podemos formar la siguiente proporción:
EF BD
=
Tercera parte del teorema de las transversales
FB DC
Para calcular la longitud de FG podemos hacerlo mediante la sustracción
de segmentos.
FG = EG – EF
FG = 2,5 cm – 1,5 cm
FG = 1,0 cm
1,5
3
=
1 DC
1,5 · DC = 3 · 1
DC
=
3
= 2, 0 cm
1,5
Respuesta:
EF = 1,5 cm; DC = 2,0 cm
Después de estudiado el teorema de las transversales:
Reflexiona un instante
¿Qué pasará si intercambiamos una de las condiciones de la premisa y la tesis?
¿Has pensado sobre el recíproco de la primera parte?, entonces obtendrías
un teorema muy apropiado para demostrar el paralelismo entre dos rectas.
71
MATEMÁTICA
Recíproco del Teorema de las transversales
Recuerda que…
Si dos semirrectas de origen común son cortadas por varias rectas de manera que la razón entre dos segmentos de una de ellas es igual a la razón
entre los dos segmentos correspondientes en la otra, entonces esas rectas
son paralelas.
Vamos a demostrar este teorema mediante una
demostración indirecta, a partir de suponer que no
se cumple la tesis (figura 2.21).
O
A
B
Premisa: las rectas AB y CD cortan a las semirrectas
OA OB
C
D
OC y OD y
=
.
AC BD
Tesis: AB || CD.
E
Demostración:
Supongamos que las rectas no son paralelas.
Fig. 2.21
Si AB CD, entonces la recta paralela a AB que pasa
por D cortaría a la semirrecta OC en un punto E diferente de C y según el
teorema de las transversales se cumple que:
OA OB
=
(1)
AE BD
Pero la premisa establece que:
OA OB
=
(2)
AC BD
OA OA
=
; pero esta proporción es falsa porque
AE AC
AC ≠ AE ; entonces se ha llegado a una conG
De (1) y (2) obtenemos que
tradicción, por lo tanto la suposición que AB
CD no es verdadera y se cumple lo contrario,
es decir que AB || CD.
D
H
A
Ejercicios
1.
72
En la figura 2.22, AC || DF y GI DF , intersecan a las semirrectas OG, OH y OI.
E
B
O
C
F
Fig. 2.22
I
CAPÍTULO 2
Di si son verdaderas (V) o falsas (F) las proposiciones siguientes. Las
falsas conviértelas en verdaderas.
a) __ BH es un segmento de semirrecta.
b) __ DE es un segmento de paralela.
c) __ OD es el segmento correspondiente al segmento DG
d) __ DG no es el segmento correspondiente al segmento FI
e) __ OE + EH es el segmento correspondiente al segmento OI.
2.
C
En la figura 2.23, ABC es un triángulo,
EF || AB, DF || AC, G es punto de intersección de EF y CD. Identifica qué parte del
teorema de las transversales se ha utilizado en cada una de las proporciones
escritas.
a)
CE CG
=
________.
EA GD
b)
BF FD
=
________.
BC CA
c)
GD FB
=
________.
CD CB
E
G
A
F
D
Fig. 2.23
B
d) AB = EF ________.
DB GF
CF FG
e)
=
________.
CB BD
f)
3.
BF BC
=
________.
BD BA
La figura 2.24, muestra un haz de
semirrectas con origen en Z cortadas por AG || BH || CI.
Completa los espacios en blanco
por el segmento correspondiente
para que se cumplan las proporciones siguientes.
a)
GH
=
HI BC
b)
EH
FI
=
EB
C
B
A
D
Z
F
E
H
G
I
Fig. 2.24
c)
ZA
=
AD
CF
73
MATEMÁTICA
d)
g)
4.
ZG
=
DE
=
BH
AG
BC
f)
h) CF : ___ = ___ : EH
i) AG =
CI
AC
HZ
GI
=
e) AD : ___ = BE : BH
En la figura 2.25, se cumple que:
► Las rectas r y s se intersecan en O.
► Los puntos A; D y F pertenecen
a r.
► Los puntos B; C y E pertenecen
a s.
► CD || AB
S
B
r
A
F
D
O
C
E
Fig. 2.25
Determina si las proposiciones siguientes
son verdaderas (V) o falsas (F). En el caso de las falsas, argumenta.
DF CE
=
, entonces CD || EF
OF OE
OD DC
b) __
por la segunda parte del teorema de las transversales.
=
DF
FE
a) __ Si
5.
c) __
OB OA
por la primera parte del teorema de las transversales.
=
BC AD
d) __
OA AB
por la segunda parte del teorema de las transversales.
=
OF
FE
En la figura 2.26 se cumple:
► AC || BD e intersecan a las semirrec
tas OB y OD.
OA 1
= =
; AB 12 cm
► AB 4
y OD = 1,6 dm
B
D
A
C
O
Fig. 2.26
Calcula la longitud de los segmentos
OA ; OC y CD.
6.
EFG en el que AB || CD || EF con G, A, C y
E puntos alineados; así como los puntos
G, B, D y F. Si AC = 2, 0 cm, GB = 3, 0 cm,
74
A
La figura 2.27 muestra un triángulo
E
C
G
B
D
Fig. 2.27
F
CAPÍTULO 2
BD = 4 , 0 cm, EF = 7, 84 cm y AB = 2, 4 cm . Calcula las longitudes de los
segmentos AG ,CD ,GF , DF ,CE y GE .
7.
8.
En la figura 2.28, ABCD es un rectángulo, FD interseca a BC en E. A, B y F son
puntos alineados. Se cumple, además
BE 3
que
= , AF = 16 cm y BE = 4 ,5 cm.
BC 4
a) Identifica el cuadrilátero ABED.
b) Calcula el área del rectángulo.
D
E
A
B
En la figura 2.29, ABCD es un trapecio de
bases BC y AD , E es el punto medio de CD,
AB || EG y CF = AD, además se cumple que
B, G, C y F están alineados; así como A, E y F.
En la figura 2.30, ABCD es un paralelogramo, E es el punto de intersección
de las rectas CB y DF. Se cumple además que EF = 2 . Calcula las longitudes
ED 3
de los lados del paralelogramo ABCD
A
rectángulo en F y PQ || DF.
D
E
B
G
C
F
Fig. 2.29
D
C
E
A
B
Fig. 2.30
si AF = 20 cm y BE = 3,0 cm.
10. En la figura 2.31, DEF es un triángulo
F
Fig. 2.28
a) Prueba que △ADE = △EFC.
b) Calcula la longitud de EF, EG, BG y BF si,
AB = 6, 0 cm, AE = 4 , 0 cm y FG = 5, 0 cm.
9.
C
F
F
Q
a) Si se sabe que DE = 10 cm, DF = 6,0 cm,
EF = 8,0 cm y FQ = 2,4 cm, calcula el
área del triángulo EPQ.
D
P
E
b) Calcula el perímetro del cuadrilátero
Fig. 2.31
DPQF.
c) ¿Qué tanto por ciento del área del triángulo DEF representa el
área del triángulo PQE?
75
MATEMÁTICA
11. En la figura 2.32 se representa un trián-
C
E
gulo ABC rectángulo en A, además se
conoce que:
► D ∈ AB y E ∈ BC
► DE || AC
► AC
=
A
B
D
Fig. 2.32
AD
= 4 , 00 cm
► AB = 16, 0 cm.
a) Halla la longitud de BD y BE.
b) Calcula el área del cuadrilátero ADEC.
C
12. En la figura 2.33, AC es tangente en B y
B
en C a C1 O1 ; r1 y C 2 O ; r2 respecr2
r1
A
tivamente. Además, se cumple que:
E
D
O
1
r
1
► 1 =
r2 2
Fig. 2.33
► Los puntos A, D, O1, E y O2 están alineados.
► E = C1 ∩ C2
a) Demuestra que O1 es el punto medio de AO2
O2
b) Demuestra que AO = 6 r1
C
13. En la figura 2.34, ABC es un triángulo.
Ubica el punto D en AB y el punto E en
AD AE 3
AC tal que: = =
.
BD EC 5
A
B
Fig. 2.34
14. En la figura 2.35, ABC es un triángulo.
C
DE || AB, DE = 9 u
(u: unidades)
a) Ubica al punto F en DE y el punto G
en AB, tal que:
DF AG 4
= =
.
FE GB 5
b) ¿Cuántas unidades (u) mide el
segmento AB, si
76
CD 1
= ?
CA 2
D
E
A
B
Fig. 2.35
CAPÍTULO 2
15. En la figura 2.36, ABC es un
E
triángulo, CD es la bisectriz del
ángulo exterior ACE y los puntos
B, A y D están alineados. Además,
se cumple que AF || CD
Demuestra que:
BC BD
=
.
CA AD
C
F
B
D
A
Fig. 2.36
16. En la figura 2.37, se ha representado el triángu
C
lo ABC rectángulo en B; D es el punto medio
del lado AC y BC || DC.
a) E es punto medio de AB Justifica dicha afirmación.
b) Prueba que: AD = DC = BD
D
A
E
Fig. 2.37
B
2.1.3 Aplicaciones del teorema de las transversales
En este subepígrafe aprenderás a resolver problemas para construir
segmentos que estén en una razón dada, cuya interpretación corresponde
al significado geométrico de la cuarta, la tercera o la media proporcional
de segmentos dados.
De la historia
Desde la Antigüedad los hombres utilizaban la razón entre segmentos en
la práctica. “Uno de los más famosos
edificios de los tiempos antiguos es el
Partenón, en la antigua Grecia (figura 2.38). La razón entre el ancho y la
altura del frente de esta construcción
es la conocida razón áurea o número
de oro. Actualmente, las dimensiones
Fig. 2.38
de algunas construcciones, cuadros, libros, cuadernos y hasta las banderas de diversos países corresponden a estas
proporciones.1
1
Luis J. Davidson: Ecuaciones y matemáticos, pág. 38.
77
MATEMÁTICA
Reflexiona un instante
Conocida la razón entre dos segmentos y la longitud de uno de estos, ¿cómo
construir el otro segmento?
Si tenemos un segmento AB podemos construir un segmento CD de manera
que dichos segmentos estén en una razón dada (k) y que se cumpla que el
CD
= k , luego, se puede expresar CD k AB (observa que el
AB
segmento CD es un múltiplo del segmento AB.
cociente de
Ejemplo 1
Dado el segmento AB construir el segmento CD = 4 · AB.
Solución:
Trazamos una recta r y sobre ella a
partir de un punto cualquiera C transportamos AB (4 veces) y obtenemos el
segmento CD (figura 2.39)
A
B
C
E
F
G
r
D
Fig. 2.39
Reflexiona un instante
¿Cómo proceder para dividir un segmento en segmentos proporcionales
que estén en una razón dada?
Ejemplo 2
Dado el segmento AB figura 2.40, construye el
A
B
segmento AC, de manera que AC = 2
AB 5
Solución:
Se aplica el teorema de las transversales:
► Sobre el extremo A de AB (figura 2.41),
se traza la semirrecta AD.
► Se transporta cinco veces el segmento
arbitrario de longitud (u) consecuti
vamente sobre la semirrecta a partir de
A y se obtiene AD
78
Fig. 2.40
D
U
B
A
C
Fig. 2.41
CAPÍTULO 2
► Se une el extremo D con el extremo B.
► Se trazan cuatro rectas paralelas a BD por los puntos obtenidos en AD y
se obtienen cinco segmentos iguales en AB
Respuesta:
AC 2
El segmento AC tal que
= aparece en la figura 2.41.
AB 5
Ejemplo 3
Dado el segmento AB figura 2.42, dividirlo en
3
dos segmentos que estén en la razón .
4
A
B
Fig. 2.42
Solución:
► Se traza con origen en A una semirrecta (figura 2.43).
► Se transporta siete veces el segmento
arbitrario de longitud (u) consecutivaU
mente sobre la semirrecta a partir de A
y se obtiene AC
E
► Se une el extremo C con el extremo B.
► Se determina sobre AC el punto E que
lo divide en dos segmentos cuya razón
3
es .
4
► Se traza por el punto E una recta paralela
A
C
B
D
Fig. 2.43
a BC que corta a AB en el punto D, así queda dividido en dos segmentos
3
cuya razón es .
4
Respuesta:
AD 3
Luego, por el teorema de las transversales, se cumple: AE
= =
AC AB 4
Ejemplo 4
Hallar la cuarta proporcional a tres segmentos dados a, b y c (figura 2.44).
Solución:
Observa que para hallar este segmento
se aplica el teorema de las transversales.
a
b
c
Fig. 2.44
79
MATEMÁTICA
► Se traza con origen común O
a
b
dos semirrectas (figura 2.45).
c
► Sobre una de las semirrectas
B
con origen O, se transportan
b
consecutivamente los segA
mentos a y b, obteniendo los
a
puntos A y B respectivamente.
x
c
C
D
► Sobre la otra semirrecta con O
Fig. 2.45
origen O, se transporta el segmento c y se obtiene el punto C.
► Se unen los puntos A y C y se obtienen el segmento AC.
► Se traza por B una recta paralela a AC y se determina en la otra semirrecta el punto D y obtienen el segmento x = CD que es la cuarta
proporcional a los segmentos a, b y c.
a c OA OC
► Luego por el teorema de las transversales, se cumple:
=
.
= o
b x AB CD
Respuesta:
La cuarta proporcional a los tres segmentos dados de longitudes respectivas: a, b y c es x = CD de la figura 2.45.
Ejemplo 5
Halla la tercera proporcional a dos
segmentos dados a y b (figura 2.46).
a
b
Fig. 2.46
Solución:
Observa que este es un caso
a
particular de la cuarta proporb
cional, con los términos medios
b
A
iguales, entonces se cumple que
es también una aplicación del teoa
rema de las transversales.
► Se traza con origen común O
x
O
b
C
D
dos semirrectas (figura 2.47).
► Sobre una de las semirrectas
Fig. 2.47
con origen O, se transportan
consecutivamente los segmentos a y b, obteniéndose los puntos A y B respectivamente.
80
B
CAPÍTULO 2
► Sobre la otra semirrecta con origen O, se transporta el segmento b y se
obtiene el punto C.
► Se unen los puntos A y C y se obtiene el segmento AC.
► Se traza por B una recta paralela a y se determina en la otra recta AC
se determina en la otra semirrecta el punto D y se obtiene el segmento
x = CD que es la tercera proporcional a los segmentos a y b.
Luego por el teorema de las transversales, se cumple:
a b OA OC
= o
=
.
AB CD
b x
Respuesta:
La tercera proporcional a los dos segmentos dados de longitudes respectivas a y b es x = CD de la figura 2.47.
Ejemplo 6
Hallar la media proporcional a dos segmentos dados a y b.
Solución:
► Se traza una semirrecta de origen A
► Sobre la semirrecta con origen A, se transportan consecutivamente los
segmentos a y b, obteniéndose los puntos A, C y B respectivamente.
► Se determina el punto medio de AB y se
denota por O.
a
b
► Se traza una semicircunferencia de cenD
tro O y diámetro AB.
► Se traza por el punto C una perpen
x
dicular al segmento AB que cortará a la
semicircunferencia en D.
O C
B
► El segmento CD = x es la media propor- A
cional buscada (figura 2.48).
Fig. 2.48
El triángulo ABD es rectángulo en D y CD es su altura con respecto a la
hipotenusa AB.
D
Ejercicios
1. En la figura 2.49, AC y AD son semirrectas de origen en A.
Construye sobre la semirrecta AD, un
segmento AE, tal que AB = AE .
AC
AD
A
B
C
Fig. 2.49
81
MATEMÁTICA
2.
Hallar gráficamente la cuarta proporcional a segmentos que tienen
una longitud igual a:
a) 2,0 cm; 3,0 cm y 4,0 cm
b) 1,5 cm; 9,0 mm y 2,0 cm
3.
Hallar gráficamente la tercera proporcional a segmentos que tienen
una longitud igual a:
a) 3,0 cm y 4,0 cm.
b) 4,0 cm y 60 mm.
4.
5.
Describe y fundamenta los pasos que se
deben seguir, aplicando la primera parte del teorema de las transversales, para
calcular la distancia que separa a los dos
puntos inaccesibles A y B (figura 2.50).
A
B
Fig. 2.50
Alejandro y Joan se encuentran en una base de campismo y al recorrer
sus alrededores se percatan de la existenD
cia de un terreno limpio muy apropiado
para acampar. De inmediato se proponen
C
calcular el área aproximada de este terreno
para saber si el grupo de amigos que lo
acompañan puede instalarse en ese lugar.
A
B
Para eso sitúan una estaca en la tierra que O
Fig. 2.51
se identifica en el gráfico (figura 2.51).
Por el punto O. Alejandro le dice a Joan que solamente necesitan
medir las distancias OA, OB y AC, lo cual realizan utilizando una soga
y considerando que un metro es aproximadamente igual a cuatro
pasos consecutivos de Joan. Este último agrega: “Se debe considerar
además que AC y BD y sean perpendiculares a OB “.
a) ¿Tiene razón Alejandro en su planteamiento? Justifica.
b) ¿Es necesaria la observación que hace Joan? ¿Por qué?
c) Si las mediciones realizadas son:
► De O a A hay 130 pasos.
► De O a B hay 200 pasos.
► De A a C hay 55 pasos.
82
CAPÍTULO 2
6.
Un explorador observa una
torre a través de un aro
en forma de circunferencia (figura 2.52). Describe y
fundamenta los pasos que
se deben seguir, aplicando la
Fig. 2.52
segunda parte del teorema
de las transversales para calcular la altura de la torre, conociendo
el diámetro del aro, la distancia del observador al aro y a la torre
respectivamente.
Observación: el ojo del observador, el centro del aro y el punto medio
de la torre están alineados. Calcula el área aproximada del terreno.
2.2 Figuras semejantes
En séptimo grado conociste que dos figuras A y A’ son congruentes o
iguales si al superponerlas coinciden, como ocurre con la figura 2.53. En tal
caso dichas figuras tienen la misma forma e iguales dimensiones.
A
A´
Fig. 2.53
Reflexiona un instante
¿Será la congruencia la única relación que se puede establecer entre dos
figuras geométricas?
Veamos algunas interrogantes cuyas respuestas te permitirán llegar a
conclusiones interesantes.
83
MATEMÁTICA
Reflexiona un instante
¿Qué relación existe entre una fotografía y
una ampliación de esta, como por ejemplo
en la figura 2.54?
Fig. 2.54
Reflexiona un instante
Al comparar parejas de objetos de diferentes tamaños como los que se
muestran en la figura 2.55, ¿qué particularidades observas en cada pareja?
Fig. 2.55
¿Y si comparas los mapas de la figura 2.56? ¿Sucede lo mismo?
Fig. 2.56
Habrás notado que en todos los casos anteriores a pesar de tener tamaño
diferente la forma de las figuras es la misma.
84
CAPÍTULO 2
¡Atención!
Cuando la “forma” de dos figuras es la misma, las denominamos figuras
semejantes o figuras equiformes.
Investiga y aprende
¿Qué significa que tengan “la misma forma”? ¿Qué relación tiene con esta
denominación el prefijo “equi” que se utiliza para nombrarlas?
Veamos otros casos con figuras geométricas conocidas, por ejemplo, los
polígonos.
Investiga y aprende
¿Recuerdas qué es un polígono? ¿De qué dependerá que dos polígonos F y F’
sean semejantes?
Ejemplo 1
Observa las parejas de figuras geométricas que se dan en las figuras 2.57
a 2.59. ¿Serán figuras geométricas semejantes? Compara las amplitudes de
sus respectivos ángulos y la longitud con respecto a la unidad (u) de sus
lados correspondientes:
a) Rectángulos MNPQ y M’N’P’Q’, tales que:
MN = 3,0 u; NP = 2,0
=
u; M ’ N ’ 6=
,0 u y N ’P ’ 4,0 u
Rectángulos ABCD y A’B’C’D’ con AB = 5,0 u; BC = 2,0; A B 3u y
B´C ´ = 1, 0 u
Q’
Q
P
M
N
P’
u
M’
N’
Fig. 2.57
85
MATEMÁTICA
D
C
D’
C‘
u
A
B
A’
B’
Fig. 2.58
H
E
G H’
G‘
F
E’
F’
Fig. 2.59
b) Trapecios isósceles EFGH y E’F’G’H’, en los que las dimensiones del segundo
triplican a las del primero y ∢H = ∢H’.
Solución:
1. a) Observa, en este caso, que los ángulos de ambos rectángulos son respectivamente iguales, es decir, ∢M = ∢M’, ∢N = ∢N’, ∢P =∢P’ y ∢ Q = ∢Q’
y, además, la longitud de cada lado del rectángulo MNPQ es la mitad
de la longitud de su lado correspondiente en el rectángulo M’N’P’Q’
(figura 2.60); fíjate que:
MN
NP
PQ
MQ 1
M N N P P Q M Q 2
Q’
P’
u
Q
P
u
u
M
u
N
M’
Fig. 2.60
86
N’
CAPÍTULO 2
Por tanto, sus respectivos lados son segmentos proporcionales.
b) Sin embargo, en este caso se puede apreciar que aunque los ángulos
de los rectángulos son respectivamente iguales; sus lados no son proporcionales (figura 2.61):
D
C
D’
u
u
u
B
A
C’
u
A’
B’
Fig. 2.61
AB
CD 5 BC
DA 2
AB CD 3 BC
D A ’ 1
c) También, en este otro caso los ángulos de ambos trapecios son respectivamente iguales: ∢E = ∢E’, ∢F = ∢F’, ∢G = ∢G’ y ∢H = ∢H’ y fíjate que
como las dimensiones del segundo trapecio triplican a las del primero,
puede decirse también que la longitud de cada lado del primero es
la tercera parte de la longitud de su lado correspondiente en el seEF
FG
GH
EH 1
gundo, es decir:
Sus respectivos lados son
E F F G G H E H 3
segmentos proporcionales.
Respuesta:
Entonces la semejanza de dos polígonos F y F’ depende de la igualdad
de sus ángulos y de la proporcionalidad de sus lados.
Vamos a definir esta nueva relación y ya puedes responder la interrogante formulada al inicio. Obviamente existe otra relación que se puede
establecer entre dos figuras: la semejanza.
Definición de polígonos semejantes
Recuerda que…
Dos polígonos F y F’ son semejantes si tienen sus ángulos respectivamente
iguales y sus lados homólogos son proporcionales.
El coeficiente de esa proporcionalidad también se denomina razón de
semejanza.
Notación: F ∼ F’
87
MATEMÁTICA
Respuesta:
Por lo tanto:
a) MNPQ y M’N’P’Q’ tienen sus ángulos iguales y sus lados proporcionales,
son polígonos semejantes.
b) ABCD y A’B’C’D’ aunque tienen sus ángulos iguales sus lados no son
proporcionales, no son semejantes.
c) EFGH y E’F’G’H’ tienen sus ángulos iguales y sus lados proporcionales,
son polígonos semejantes.
En octavo grado estudiaste los lados homólogos en los triángulos iguales
¿Te acuerdas?, los lados que se oponen a los ángulos respectivamente
iguales son lados homólogos, por ejemplo: en los trapecios isósceles del
inciso 1 c), el lado EF es homólogo al lado E’F’.
Debes tener en cuenta que los lados homólogos de dos polígonos semejantes son los que unen los vértices que corresponden a los ángulos
respectivamente iguales.
Ejemplo 2
En la figura 2.62 se muestran los polígonos ABCD y A’B’C’D’ que cumplen
las igualdades siguientes: ∢A = ∢A’, ∢B = ∢B’, ∢C = ∢C’ y ∢D = ∢D’; además
en A’B’C’D’: A B 7, 0 u ; B C 5 , 0 u ,C D 3 ,5 u y A D 6, 0 u y en ABCD:
AB = 14 u; BC = 10 u; CD = 7,0 u y AD = 12 u.
a) ¿Son semejantes los polígonos dados? Fundamenta.
b) ¿Cuál es el coeficiente de proporcionalidad o razón de esa semejanza?
D
C
D’ C’
A
B
Fig. 2.62
A’
B’
Solución:
a) Para saber si los polígonos ABCD y A’B’C’D’ son semejantes comparamos
sus ángulos: ∢A = ∢A’, ∢B = ∢B’, ∢C = ∢C’ y ∢D = ∢D’ que según los datos
son respectivamente iguales; además, debemos determinar la razón entre
88
CAPÍTULO 2
la longitud de sus respectivos lados que unen los vértices de ángulos
iguales o sea entre: AB y A′B′; BC y B′C ′; CD y C ′D′; AD y A′D′.
AB
BC
CD
AD
2, se sigue de sustituir las longitudes de los
A B B C C D A D
segmentos dados en los datos y al calcular según la definición de razón
entre segmentos.
Por tanto ABCD ∼ A’B’C’D’ por tener sus ángulos respectivamente iguales
y sus lados homólogos proporcionales.
b) Tomamos una pareja de lados homólogos cualquiera para calcular la razón entre sus longitudes y así obtener el coeficiente de proporcionalidad
AB
o razón de semejanza, tomemos AB y A′B′, entonces
2
A B
El coeficiente de proporcionalidad es k = 2.
En el ejemplo anterior el cuadrilátero ABCD tiene mayores dimensiones
que el cuadrilátero A’B’C’D’, es decir, la figura ABCD es una “ampliación” o
“dilatación” con respecto a A’B’C’D’. Esto ocurre cuando el coeficiente de
proporcionalidad k es mayor que 1, en este caso de este ejemplo se calcula
AB
2 1. Fíjate que se pone en el antecedente de la razón un lado del
A B
polígono mayor.
Pero si por el contrario, tomamos como referencia el polígono A’B’C’D’,
decimos que este es una “reducción” o “contracción” del polígono ABCD;
lo cual sucede si el coeficiente de proporcionalidad k es menor que 1, en el
A ´B ´ 1
caso particular del ejemplo se calcula
1. Fíjate que se pone en el
AB
2
antecedente de la razón un lado del polígono menor.
Cuando el coeficiente de semejanza es k = 1 se obtiene una igualdad de
figuras, como caso especial de la semejanza.
Recuerda las propiedades de las figuras semejantes:
Recuerda que…
Para figuras F, F´ y F’’ cualesquiera y, en particular, para polígonos semejantes,
se cumplen las propiedades siguientes:
a) F ∼ F (propiedad reflexiva o idéntica de la semejanza)
b) Si F ∼ F’ entonces F‘ ∼ F (propiedad simétrica de la semejanza)
c) Si F ∼ F’ y F‘ ∼ F’’ entonces F ∼ F’’ (propiedad transitiva de la semejanza)
89
MATEMÁTICA
La semejanza de figuras tiene aplicaciones en diversas esferas de la vida
práctica, por ejemplo, en la fotografía, la cartografía, la arquitectura, el
diseño, la mecánica, la industria, la pintura, entre otras.
Como apreciamos, la semejanza de figuras está ligada a la razón de dos
segmentos y esta a su vez a las escalas, pero… ¿qué son las escalas?
Si bien el término escala tiene diversos significados atendiendo al contexto en el que se utiliza, desde el punto de vista matemático, en una
representación sobre un plano se asocia a la razón que existe entre las
dimensiones reales y las del dibujo que representa, y se escribe como la
a
razón
o a : b , donde el antecedente a indica el valor en el plano y el
b
consecuente b, el valor en la realidad.
Saber más
Una escala puede ser natural, de reducción o de ampliación, según se considere respectivamente la medida de la representación en el plano igual,
menor o mayor que la medida en la realidad.
Ejemplos de escalas:
a) La escala E: 1:500 significa que 1 cm en el plano equivale a 500 cm en la
realidad.
b) La escala E: 1:1 corresponde a una escala natural.
c) Las escalas E: 1:2, E: 1:5, E: 1:1 000, E: 1:10 000 000 corresponden a escalas
de reducción.
d) Las escalas E: 2:1, E: 10:1 corresponden a escalas de ampliación.
Ejemplo 3
En la figura 2.63 puedes apreciar el cuadro de
La Gioconda, también conocido como La Mona
Lisa. Es una obra pictórica de Leonardo Da Vinci,
cuyas dimensiones son de 77 cm x 53 cm. Si se
fuera a hacer una reducción de este con escala
E: 1:10, ¿qué dimensiones tendría esa representación?
Solución:
Escala: 1:10
Ancho del cuadro original: a = 53 cm
Altura del cuadro original: h = 77 cm
90
Fig. 2.63
CAPÍTULO 2
Ancho de la reducción: a’ = ?
Altura de la reducción: h’ = ?
1 a
(definición de proporción).
10 a
1
a
(sustituyendo).
10 53
53
(propiedad fundamental de las proporciones).
a
10
a 5, 3 cm
Análogamente se obtiene que h’ = 7,7 cm.
Respuesta:
Las dimensiones del dibujo serían: ancho 5,3 cm y altura 7,7 cm.
Ejemplo 4
La figura 2.64 muestra la sortija del Señor de los
Anillos, en una representación que ocupa la superficie de un cuadrado de 3,0 cm de lado. ¿Qué superficie
debe tener un óleo para hacer una ampliación de la
figura con una escala E: 20:1?
Fig. 2.64
Solución:
Escala: 20:1
Lado
original: l = 3,0 cm
Lado
ampliado: l’ = ?
Superficie
del óleo: A = ?
20 l
(definición de proporción)
1
l
20 l
(sustituyendo)
1 3
l 3 20 (propiedad fundamental de las proporciones)
l 60cm
A l 2 602 3 600cm2
Respuesta:
El óleo debe tener una superficie de 36 dm2.
¡Atención!
De los ejemplos anteriores puedes concluir que:
► Al aplicar la escala de reducción para hallar una medida en el plano, conocida la medida real, es preciso dividir esta por el término consecuente
91
MATEMÁTICA
de la escala. Si se tratara del proceso inverso habría que multiplicar el
término consecuente de la escala por la medida en el plano.
► Al aplicar la escala de ampliación para hallar una medida en el plano,
conocida la medida real, es preciso multiplicar esta por el término antecedente de la escala. Si se tratara del proceso inverso habría que dividir
la medida en el plano por el término antecedente de la escala.
Desde la Educación Primaria ya has trabajado con los mapas. Primero, claro
está, con el mapa de Cuba y luego con los mapas de otras regiones, pero…
Reflexiona un instante
¿Qué utilidad tienen las escalas en los mapas? ¿Cómo se representan estas
escalas en los mapas?
De las tantas utilidades de las escalas, una específica es su presencia en los
mapas (figura 2.65).
Fig. 2.65
Si sobre un mapa tomamos medidas de distancias, ángulos o superficies,
¿cómo podemos determinar sus medidas reales? Observa que los mapas se
elaboran sobre la base de una escala de reducción.
Como habrás podido observar en tu trabajo con los mapas, estos traen
indicado en su parte inferior una escala, que puede ser expresada de tres
maneras diferentes.
92
CAPÍTULO 2
Saber más
Escala numérica: es la forma que hemos visto más arriba (ejemplo:
E: 1:100 000).
Escala unidad por medida: se relacionan las dos medidas (real y en el plano)
por un signo de igualdad (ejemplo: E: 1 cm = 4 km).
Escala gráfica: se dibuja un segmento cuya longitud en centímetros es igual
a la medida real que se indica (figura 2.66).
0
10 km
Escala gráfica
Fig. 2.66
Entonces, puedes responder las preguntas anteriores formuladas acerca
de las escalas. ¿Estás en condiciones de resolver los ejercicios siguientes?
Ejercicios
1.
Los lados de dos polígonos están en la razón 2:7. ¿Se puede afirmar
que son semejantes? ¿Por qué?
2.
Dos heptágonos son equiángulos. ¿Se puede afirmar que son semejantes? ¿Por qué?
3.
¿Son semejantes dos triángulos equiláteros cualesquiera? Fundamenta
tu respuesta.
4.
Dos polígonos regulares de n lados, ¿son semejantes? ¿Por qué?
5.
¿Son semejantes dos rectángulos cualesquiera? Fundamenta tu
respuesta.
6.
El perímetro de un rombo es la cuarta parte del perímetro del otro.
¿Son semejantes? Explica tu respuesta.
7.
Dos rectángulos son semejantes. Los anchos respectivos tienen una
longitud de 16 m y 24 m y el primero tiene 30 m de largo. ¿Cuál es el
largo del segundo rectángulo?
8.
Los lados de dos decágonos regulares miden 2,0 cm y 5,0 cm, respectivamente. Halla las razones de:
93
MATEMÁTICA
a) Sus lados;
b) Sus radios;
d) Sus perímetros; e) Sus apotemas.
9.
c) Sus diámetros;
Considera un paralelogramo ABCD y traza los puntos medios E y F
de los lados AB y DC, respectivamente. Si AB = 4,0 cm y BC = 3,0 cm
¿son semejantes los polígonos ABCD y AEFD? ¿Y los polígonos AEFD
y EBCF? Fundamenta tu respuesta.
10. Dos canteros en forma de cuadrado ocupan una superficie de 64 dm2
y 36 dm2, respectivamente.
a) ¿Cuál es la razón de semejanza de los cuadrados?
b) ¿Cuál es la razón entre sus perímetros?
c) ¿Cuál es la razón entre sus áreas?
11. En un croquis se aprecia un rectángulo de 40 cm de largo y 30 cm de
ancho que representa un recinto ferial utilizado durante una feria
expositiva. Si el croquis fue realizado con una escala E: 1:50, ¿cuál es
el perímetro del recinto ferial?
12. El área de un cuadrado es de 121 cm2. Si este representa, con escala
E: 10:1, una de las caras de un dado ¿Cuál es la superficie total del dado?
13. La base de un monumento tiene forma rectangular y su ancho y
profundidad miden 4,0 m y 2,5 m, respectivamente. ¿Con qué escala
habrá que hacer un esbozo de esta si se desea que su perímetro sea
de 130 cm en el plano de dibujo?
14. Un campesino dibuja su finca con una escala E: 1:10 000, resultando
un cuadrilátero cuyos lados AB, BC, CD y AD miden 24 cm, 18 cm,
14 cm y 20 cm, respectivamente. ¿Qué cantidad de alambre requerirá
el campesino para cercar su finca con tres vueltas de alambre?
15. Construye a escala E: 1:100 el plano de tu aula de clase.
16. ¿Qué procedimiento práctico seguirías para calcular la distancia verdadera entre dos lugares ubicados en un mapa, conociendo la escala
del mapa?
17. En un plano de La Habana realizado con una escala E: 1 cm :750 m
se aprecia que entre Ciudad Escolar Libertad y el Gran Teatro
94
CAPÍTULO 2
de La Habana Alicia Alonso media una distancia de 11,5 cm. ¿Qué
distancia real existe entre estos puntos?
18. Entre la Colina Lenin, localizada en el municipio Regla de La Habana,
y la Biblioteca Nacional José Martí, ubicada en el municipio Plaza de
la Revolución de la misma provincia, existe una distancia de 6,4 km
aproximadamente. ¿A qué distancia se hallarán los puntos que los
representan sobre un mapa elaborado con una escala E:1:75 000?
19. Un turista desea viajar desde la ciudad de Camagüey a la ciudad de
Guantánamo. Si dispone de un mapa de Cuba, realizado a escala
E: 1:5 000 000, en el que se puede ver que la distancia entre estas
ciudades es de 6,2 cm, ¿qué tiempo demorará el turista en realizar
el viaje a una velocidad de 80 km/h?
20. En sus ratos de ocio, Yunior se dedica a confeccionar modelos en
miniatura de medios de transporte y objetos relacionados con estos. Conociendo que las vías férreas tienen un ancho de 1 435 mm,
recientemente confeccionó varios modelos miniaturas de estas a
diferentes escalas. ¿Qué ancho de vía tienen los ferrocarriles miniaturas hechos por Yunior, con escalas de transformación:
a) 1:87
b) 1:120
c) 1:160
21. En la oficina de turismo nacional se encuentra un mapa en escala 1: 50 000
unidades y se indica que la distancia entre La Habana y Holguín es
aproximadamente 734 km (figura 2.67). ¿Cuántos centímetros medirá
la distancia en el papel entre ambas ciudades ajustada a esta escala?2
Fig. 2.67
2
Alexis Carrasco Trujillo: Heurística. Aprender Matemática resolviendo problemas, p. 113.
95
MATEMÁTICA
2.3 Semejanza de triángulos
De la historia
Cuentan que en la Antigüedad el célebre matemático Tales de Mileto midió
la altura de la Gran Pirámide de Keops (figura 2.68), auxiliado solamente de
su bastón, con bastante precisión ¿te gustaría saber cómo lo hizo?
Fig. 2.68
Los teoremas que estudiarás en este epígrafe te permitirán comprender
ese procedimiento
De cursos anteriores te habrás percatado de la importancia de los
triángulos, que precisamente son polígonos de tres lados y como tales,
deben cumplir las propiedades de los polígonos semejantes que ya estudiamos, por eso ahora para profundizar en el estudio de la semejanza de
triángulos podemos formular una definición similar para los triángulos
semejantes.
Definición de triángulos semejantes
Recuerda que…
Dos triángulos son semejantes si tienen sus ángulos respectivamente iguales
y los lados opuestos a estos ángulos respectivamente proporcionales.
En triángulos semejantes se denominan lados homólogos a los que se oponen a los ángulos respectivamente iguales.
96
CAPÍTULO 2
Ejemplo 1
En △MNP y △M’N’P’ de la figura 2.69 se cumple que:
∢PMN = ∢P’M’N’= 90° y ∢MNP = ∢M’N’P’
MN = 4,0 u; NP = 5,0 u; MP = 3,0 u
M’N’ = 8,0 u; N’P’ = 10,0 u; M’P’ = 6,0 u
¿Son semejantes estos triángulos? ¿Cuál es la razón de semejanza?
u
P1
P
u
u
M
u
M1
N
N1
Fig. 2.69
Solución:
(1) Los ángulos de ambos triángulos son respectivamente iguales, pues:
∢PMN = ∢P1M1N1 = 90° y ∢MNP = ∢M1N1P1 según los datos dados y se
cumple por el teorema de terceros ángulos que: ∢NPM = ∢N1P1M1.
(2) Debemos determinar la razón entre la longitud de lados homólogos, que
son los que se oponen a los ángulos iguales o sea entre: MN y M1N1;
NP y N1P1; PM y P1M1 : MN 4 ; NP 5 ; PM 3
M1N1
8
N1 P1
10
P1 M1 6
k
1
2
Luego, podemos afirmar que los lados homólogos de esos triángulos
son proporcionales.
Respuesta:
Por cumplir los requisitos (1) y (2) los triángulos dados son semejantes, lo
cual se expresa simbólicamente como: △MNP ∼ △ M1N1P1.
Al valor k o coeficiente de proporcionalidad entre los lados homólogos, que en este ejemplo es k = 1 se le denomina también razón de
2
semejanza.
97
MATEMÁTICA
Ejemplo 2
¿Son semejantes dos triángulos iguales?
Solución:
Claro que sí, pues en ese caso también sus ángulos son iguales y la razón
de semejanza es k = 1, porque sus lados tienen la misma longitud.
Respuesta:
Los triángulos semejantes como polígonos particulares de tres lados cumplen
también las propiedades de la semejanza de figuras.
Propiedades de la semejanza de triángulos
Recuerda que…
Para triángulos MNP, M’N’P’ y M”N”P” cualesquiera, se cumplen las propiedades siguientes:
a) △MNP △MNP (propiedad reflexiva o idéntica)
b) Si △MNP ∼ △M’N’P’ entonces △M’N’P’∼ △MNP (propiedad simétrica)
c) Si △MNP ∼ △M’N’P’ y △MNP ∼ △M”N”P” entonces △MNP ∼ △M”N”P”
(propiedad transitiva)
La proporcionalidad de lados homólogos de los triángulos semejantes,
es de gran importancia por su aplicación al cálculo de longitudes y a la
demostración de propiedades geométricas sobre razón, proporción, áreas
o perímetros. Por tal motivo queremos insistirte en el procedimiento para
establecer dicha proporcionalidad.
Ejemplo 3
¿Cómo establecer la proporcionalidad entre lados homólogos de dos
triángulos semejantes ABC y A’B’C’ con ∢A = ∢A’, ∢B = ∢B’, ∢C = ∢C’?
Solución:
Organiza cada razón asociada a una pareja de ángulos iguales y escribe
como antecedentes de estas razones, los lados homólogos correspondientes a
cada pareja de ángulos de solamente uno de los dos triángulos. Por ejemplo:
98
CAPÍTULO 2
Ahora, convenientemente, escribe como consecuentes, los lados homó
logos del otro triángulo, que se corresponden con cada antecedente
planteado:
Antecedente
Consecuente
Respuesta:
Así concluye el proceso, pero en la medida que tengas más práctica
para identificar los lados homólogos, no será necesario escribir al inicio
las parejas de ángulos iguales, puesto que las identificarás mentalmente y
directamente pasarás a escribir cada razón.
2.3.1 Teoremas de semejanza de triángulos
Para fundamentar que dos triángulos son semejantes a partir de la
definición de triángulos semejantes es evidente que deben justificarse seis
condiciones geométricas: la igualdad de las tres parejas de sus respectivos ángulos y la igualdad de las tres razones entre sus respectivos lados.
Reflexiona un instante
¿Existirá una vía más sencilla para fundamentar que dos triángulos son
semejantes?
Recuerdas que existen teoremas de igualdad de triángulos que con solo
tres elementos iguales bajo determinadas condiciones permiten demostrar la igualdad, encontraremos menos relaciones entre elementos de
los triángulos que permitan demostrar que son semejantes, te propongo
que investigues.
Esta vía se concreta en los denominados criterios de semejanza de triángulos
y el nombrado teorema fundamental de la semejanza de triángulos, que
constituyen un grupo de teoremas que permiten probar la semejanza de
dos triángulos a partir de menos propiedades que cuando lo hacemos
aplicando la definición de triángulos semejantes.
99
MATEMÁTICA
Teorema fundamental de la semejanza de triángulos
Recuerda que…
Toda recta paralela a un lado de un triángulo, forma con los otros dos lados
(o con sus prolongaciones) otro triángulo que es semejante al triángulo dado.
Observa que, según el enunciado teorema, para fundamentar que dos
determinados triángulos sean semejantes debe justificarse solamente una
relación de paralelismo.
El teorema fundamental de la semejanza de triángulos fue demostrado por
Tales de Mileto en la Antigüedad. Para hacer la demostración, es necesario
distinguir los dos casos que existen a partir de las premisas del teorema (figura 2.70) ¿estás de acuerdo con los dos que se plantean a continuación?
Caso 2
Caso 1
Fig. 2.70
Vamos a demostrar el primero de ellos, pero análogamente se demuestra el otro (figura 2.71)
Demostración:
Sea △ABC cualquiera:
Premisa: r || AB
r AC = {A’}
r ∩ BC = {B’}
Tesis: △ ABC ∼ △ A’B’C
En los triángulos ABC y A’B’C’ se cumple que:
(1) ∢ACB es común a ambos triángulos
100
C
A’
B’
A
B
Fig. 2.71
CAPÍTULO 2
(2) ∢CAB = ∢CA’B’ por ser ángulos correspondientes entre AB || A’B’ y la
secante AC.
(3) ∢CBA = ∢CB’A’ por ser ángulos correspondientes entre AB || A’B’ y la secante
CA´ CB´
=
(4)
Primera parte del Teorema de las Transversales.
CA CB
(5) CA´ = A´ B´ Segunda parte del Teorema de las Transversales.
CA
AB
CA ’ CB ’ A ’ B ’
= =
por transitividad de la igualdad (4) y (5)
CA CB AB
De (1), (2), (3), (4), (5) y (6) se cumple: △ABC ∼ △A’B’C por definición de
triángulos semejantes. l.q.q.d.
Veamos ahora los teoremas que emplearemos como criterios de semejanza de triángulos.
Teorema de semejanza de triángulos (a.a.)
Recuerda que…
Si dos triángulos tienen dos ángulos respectivamente iguales entonces son
semejantes.
Demostración:
Premisa:
Sean dos triángulos cualesquiera
△ABC y △PQR
tales que: ∢PQR = ∢ABC y
∢QRP = ∢BCA
Tesis: △ABC ∼ △PQR (figura 2.72)
C
R
P
Q
A
B
Como según la premisa:
Fig. 2.72
∢PQR = ∢ABC y ∢QRP = ∢BCA, entonces por teorema de terceros ángulos se tiene también igual la tercera
pareja de ángulos respectivos: ∢RPQ = ∢CAB (I). Comparemos ahora los
lados CA y PR
Si CA = PR entonces los triángulos dados serían iguales por el teorema de
un lado y los ángulos adyacentes a él respectivamente iguales (a l a) y según
el ejemplo 2, serían también semejantes, de lo cual se sigue la tesis.
101
MATEMÁTICA
Sin perder generalidad, consideremos CA > PR y tomemos en la semirrecta
CA, a partir del punto C, otro punto A’ tal que CA´ = PR y tracemos por él una
paralela A’B’ al lado AB que corta al lado BC en el punto B’, como observas en
la figura 2.73. Así, se ha determinado el △A’B’C.
R
C
A’
P
B’
Q
A
B
Fig. 2.73
(1) por el teorema fundamental de la semejanza de
triángulos.
ABC
PQR por el teorema un lado y los ángulos adyacentes a él
respectivamente iguales (a.l.a), pues: CA´ = PR según el transporte de segmentos realizado y porque tienen dos parejas de ángulos iguales, lo cual
se fundamenta a continuación:
CA B por transitividad, pues RPQ CAB según (1) y
a) RPQ
CAB
CA B por ser correspondientes entre A’B’ || AB y secante CA
b)
por transitividad, pues QRP BCA por premisa y
BCA
B CA ángulo común.
ABC
PQR (2) porque A B C
PQR, ya que dos triángulos iguales
son semejantes.
De (1) y (2) por transitividad se cumple que ABC
PQR. l.q.q.d.
Según este teorema, para que dos triángulos sean semejantes deben
cumplir solamente dos condiciones: ¡dos parejas de ángulos respectivamente iguales!
Es por esto que, junto al teorema fundamental de la semejanza, son los
teoremas más utilizados para demostrar que dos triángulos son semejantes.
También son aplicados para probar semejanza de triángulos otros dos
criterios o teoremas de semejanza que permiten fundamentar la semejanza de dos triángulos a partir de solamente tres condiciones. Veamos
estos criterios a continuación.
102
CAPÍTULO 2
Teorema de semejanza de triángulos (p.a.p.)
Recuerda que…
Si dos triángulos tienen dos lados respectivamente proporcionales e igual
el ángulo comprendido entre dichos lados entonces esos triángulos son
semejantes.
Teorema de semejanza de triángulos (p.p.p.)
Recuerda que…
Si dos triángulos tienen tres lados respectivamente proporcionales entonces
esos triángulos son semejantes.
Ejemplo 1
En el triángulo isósceles ABC de base AB de la figura 2.74:
A, M, N, B alineados; QM ⊥ AB y PN ⊥ AB con Q ∈ AC; P ∈ BC
C
Q
P
A
M
N
B
Fig. 2.74
a) Demuestra que son semejantes los triángulos AMQ y NBP.
b) Establece la proporcionalidad entre sus lados homólogos
Solución:
a) En los triángulos AMQ y NBP se cumple que:
(1) ∢QAM = ∢NBP por ángulos base del triángulo isósceles ABC.
(2) ∢AMQ = ∢BNP = 90° porque QM ⊥ AB y PN ⊥ AB.
103
MATEMÁTICA
Respuesta:
De (1) y (2) se cumple que △AMQ ~ △NBP por tener dos ángulos respectivamente iguales (a.a.).
QAM = NBP
QAM
b)
Respuesta:
NBP
AMQ
MQ
PN
Ejemplo 2
En la figura 2.75
DEFG cuadrado de lado de 3,0 cm
D, I, J, E puntos alineados
GI ∩ FJ = {H}
IJ = 1,5 cm
a) Demuestra que △GHF ~ △IHJ.
b) Calcula la razón de semejanza.
BNP
MQA
BPN
AM
NB
QA
BP
G
D
F
I
J
E
Solución:
H
a) Primera vía de solución: por el teorema fundamenFig. 2.75
tal de la semejanza.
En los triángulos GHF y IHJ se cumple que: IJ || GH
porque están contenidos en lados opuestos del cuadrado DEFG según
los datos.
Respuesta:
De donde: △GHF ~ △IHJ por el teorema fundamental de la semejanza
de triángulos.
Segunda vía de solución: por el teorema de dos ángulos respectivamente
iguales (a.a).
En los triángulos GHF y IHJ se cumple que:
(1) ∢GHF = ∢IHJ por ser ángulo común.
(2) ∢FGH = ∢JIH porque son ángulos correspondientes entre GH || IJ (en
lados opuestos del cuadrado DEFG) y la secante GH
Respuesta:
De (1) y (2) se cumple que: △GHF ~ △IHJ por tener dos ángulos respecti
vamente (a.a.).
104
CAPÍTULO 2
Tercera vía de solución: el teorema dos lados proporcionales e igual el ángu
lo comprendido entre dichos lados (p.a.p.).
En los triángulos GHF y IHJ se cumple que:
(1) ∢GHF = ∢IHJ por ser ángulo común
(2) HG = HF por parte uno del teorema de las transversales, pues:
HI HJ
GH || IJ (en lados opuestos del cuadrado DEFG)
GH ∩ FH = {H} lados del △GHF con vértice común H.
Respuesta:
De (1) y (2) se cumple que: △GHF ~ △IHJ por tener dos lados respectivamente proporcionales e igual el ángulo comprendido entre dichos
lados (p.a.p.).
Cuarta vía de solución: por el teorema tener tres lados respectivamente
proporcionales (p.p.p.).
En los triángulos GHF y IHJ se cumple que:
(1) HG = GF por la primera parte del teorema de las transversales, pues:
HI
IJ
GH || IJ (en lados opuestos del cuadrado DEFG)
{H} = GH ∩ FH pues son lados del △GHF con vértice común H
(2) HG = HF por la segunda parte del teorema de las transversales, pues:
HI HJ
GH || IJ (en lados opuestos del cuadrado DEFG)
{H} = GH ∩ FH pues son lados del △GHF con vértice común H
Respuesta:
GF HF se cumple que: △GHF ~ △IHJ por tener tres
a) De (1) y (2): HG
= =
HI
IJ
HJ
lados respectivamente proporcionales (p.p.p.)
b) Para determinar la razón de semejanza, tomamos respectivamente en
cada triángulo el lado que se opone a un ángulo igual, cuya longitud
sea dada o se pueda calcular con los datos, en este caso es conocida la
longitud de los lados que se oponen al ángulo común y son: IJ = 1,5 cm
y GF = 3,0 cm
=
k
GF 3, 0
=
=2
IJ 1,5
105
MATEMÁTICA
Ejemplo 3
En la figura 2.76:
QM = 6,0 cm ; MP = 9,0 cm ; QP = 7,0 cm
MS = 1,8 dm ; ST = 1,4 dm ; MT = 1,2 dm
a) Demuestra que △MQP ~ △STM
b) Señala las parejas de ángulos iguales que
se corresponden con cada pareja de lados
homólogos
c) Calcula la razón de semejanza
M
Q
P
T
S
Solución:
Fig. 2.76
a) Como no tenemos datos sobre amplitudes
de ángulos ni sobre rectas paralelas, sino
solamente sobre longitudes de lados, estamos obligados a aplicar el teorema de semejanza, tres lados respectivamente proporcionales (p.p.p.)
Se relacionan entre sí los lados que se oponen a los ángulos iguales,
pero… ¿cómo lo hacemos si desconocemos las amplitudes de los ángulos
de los triángulos dados?
¡Ah! Pero conocemos un teorema que plantea que, en un triángulo,
al mayor lado se opone el mayor ángulo y viceversa, entonces de una
mirada a los datos, comparando y ordenando las longitudes dadas,
podemos deducir que:
En △MQP: QM = 6,0 cm; ∢QP = 7,0 cm; ∢MP = 9,0 cm.
En △STM: MT = 1,2 dm; ∢ST = 1,4 dm ∢MS = 1,8 dm.
De esta forma vamos a calcular la razón entre la longitud de las parejas
de lados: QM y MT; QP y ST; MP y MS
Falta un detalle; debes hacer las conversiones necesarias para que
todas las longitudes estén expresadas en la misma unidad de medida,
antes de hacer los cálculos. Ahora debemos calcular la razón que
corresponde a cada pareja de lados, para determinar si son iguales.
Así planteamos que:
QM 6
QP
7
MP 9
= =
=
;
;
MT 12
ST 14
MS 18
Luego,
106
QM
=
MT
QP
=
ST
MP
MS
CAPÍTULO 2
Respuesta:
△MQP ~ △STM porque sus lados son proporcionales por el teorema, tres
lados respectivamente proporcionales (p.p.p.).
b) Como ya están determinadas las parejas de lados homólogos, fácilmente
se determinan las parejas de ángulos iguales que se oponen a estas en
cada triángulo.
P S
M M
Q T
QM
QP
MP
MT
ST
MS
c) Toma cualquiera de las anteriores parejas de lados homólogos para
6
1
calcular la razón de semejanza, por ejemplo: QM
= =
MT 12 2
Respuesta:
k=
1
2
Estás en condiciones de comprender el procedimiento que empleó Tales
para la medición de la altura de la Pirámide de Keops. Observa la figura 2.77:
Tales esperó el momento en que la sombra de su bastón clavado perpendicularmente sobre el suelo fuera igual a la longitud del bastón y midió la
sombra de la pirámide ¿Ingenioso verdad? ¿Pero en qué basó su idea?
Fig. 2.77
Con las condiciones planteadas podemos imaginar en el plano que tenemos frente o plano frontal a dos triángulos rectángulos isósceles semejantes:
el primero, determinado por la longitud del bastón y su sombra, y el segundo, determinado por la altura de la pirámide y su sombra. Observa esos
triángulos en la figura 2.78.
107
MATEMÁTICA
l s
k
h s´
l=s
h = s’
Fig. 2.78
Reflexiona un instante
¿Por qué son triángulos semejantes? ¿Qué criterio de semejanza permite
fundamentar la semejanza entre ellos? ¿Por qué la longitud de la sombra
de la Pirámide es igual a su altura?
2.3.2 Razón entre perímetros y áreas
en triángulos semejantes
La profesora de David, un estudiante de noveno grado, orientó de tarea
calcular el perímetro y el área de los triángulos semejantes MQP y STM del
ejemplo tres del epígrafe anterior, pero antes debían trazar la altura relativa
a los lados QP y ST, la longitud de la altura relativa a QP es de 4,0 cm y la
relativa a ST es de 0,8 dm. Te invito a calcular.
Seguro habrás obtenido que el perímetro del triángulo △MQP es de
22 cm y su área de 14 cm2, mientras en triángulo △STM el perímetro es
de 4,4 dm y el área de 0,56 dm2.
Reflexiona un instante
¿Existirá alguna relación entre los perímetros y las áreas de estos triángulos?, ¿Cuál es la razón entre los perímetros de estos triángulos y cuál entre
las áreas?
Ahora estudiaremos dos teoremas que te permitirán calcular perímetros y
áreas de dos triángulos semejantes y que tiene también otras aplicaciones.
108
CAPÍTULO 2
Teorema sobre el perímetro de triángulos semejantes
Recuerda que…
Si △ABC ~ △A’B’C’; k la razón de esa semejanza; P el perímetro del △ABC y
P’ el perímetro del △A’B’C’ entonces se cumple que: P’ = k · P.
Teorema sobre el área de triángulos semejantes
Recuerda que…
Si △ABC ~ △A’B’C’; k la razón de esa semejanza; A el área del △ABC y A’ el
área del △A’B’C’ entonces se cumple para esas áreas que: A’ = k2 · A.
Recuerda siempre que esos dos teoremas se cumplen en triángulos semejantes, pero también puedes aplicarlos en otros polígonos semejantes.
Ejemplo 1
En la figura 2.79 aparecen representados los
triángulos MNP y MQR, se cumple también que:
PN || QR
a) Fundamenta por qué los triángulos MNP y MQR
son semejantes.
R
P
b) Si MN = 2 y el área del triángulo MNP es igual
MQ 3
a 12,6 cm2; calcula el área del triángulo MQR.
Fundamenta tu respuesta.
Solución:
M
N
Q
En los triángulos MNP y MQR se cumple que PN || QR, según los datos. Por lo cual:
Fig. 2.79
△MNP ∼ △ MQR por el teorema fundamental de
la semejanza de triángulos.
a) En la semejanza de triángulos anterior, se cumple por propiedad del área
de triángulos semejantes, con A’: área del △MNP y A: área del △MQR,
que es la que debemos calcular, puede plantearse que:
A’ = k2 · A y sustituyendo: k = MN = 2 y A’ = 12,6 cm
MQ 3
109
MATEMÁTICA
2
2
12, 6 A
3
4
12, 6 A
9
9
12, 6 A
4
A 28, 35 cm2
Respuesta:
El área del △MQR es aproximadamente 28,4 cm2
Ejemplo 2
Dadas las longitudes de los tres lados del △MNR
y del lado QS del △MQS semejante a él (figura 2.80)
QS = 7,0 cm; MN = 1,8 dm; NR = 1,4 dm; RM = 12 cm
Calcula perímetro de ambos triángulos.
M
Q
S
Solución:
En triángulos semejantes dados: MNR y MQS:
P’ perímetro del △MNR y P perímetro del △MQS.
Debemos hacer primero las conversiones de unidades que sean necesarias para después calcular
k, P’ y P:
R
N
Fig. 2.80
Calculemos:
QS
7
1
=
=
NR 14 2
P’ = MN + NR + RM
P’ = 18 cm +14 cm +12 cm
P’ = 44 cm
=
k
Por propiedad del perímetro de triángulos semejantes puede plantearse que:
P = k · P’
1
44 22 cm
2
Respuesta:
El perímetro P’ del △MNR es 44 cm y el perímetro P del △MQS es 22 cm.
P
110
CAPÍTULO 2
Ejercicios
1.
En los grupos de triángulos de la figura 2.81 a 2.84, en cada inciso se
han marcado de la misma forma los ángulos iguales, además, se dan
otros datos. Selecciona las parejas de triángulos semejantes en cada
inciso y fundamenta tu selección.
a) △QPS equilátero (figura 2.81).
b) MN || AB (figura 2.82)
E ∈ QS; F ∈ QP; G ∈ PS
C
S
N
B
G
E
Q
M
F
Fig. 2.81
A
P
Fig. 2.82
c) (figura 2.83)
d) (figura 2.84)
C
A
C
D
B
D
E
F
Fig. 2.84
Fig. 2.83
2.
Establece la proporcionalidad entre los lados homólogos de las parejas de triángulos que seleccionaste en el ejercicio anterior.
3.
En la figura 2.85 se muestra la circunferencia
C (o; r), D, F, G puntos de la circunferencia,
∢ FDG = ∢ GOH y ∢ HG tangente en G.
a) El ∢DFG es recto por
b) El ∢FGO es recto por
c) △DFG ~ △GHO por
F
G
O
D
H
Fig. 2.85
111
MATEMÁTICA
4.
En la figura 2.86, ABCD es un rec
tángulo, E y F son los puntos medios
de AD y AB respectivamente. Prueba
que los triángulos AEF y BCD son semejantes. Establece la proporcionalidad
entre sus lados homólogos.
A
E
D
F
B
C
Fig. 2.86
5.
Responde verdadero o falso y justifica en cada caso las respuestas
falsas.
a) __ Todos los cuadrados son semejantes entre sí.
b) __ Todos los rectángulos son semejantes entre sí.
c) __ Si dos triángulos son semejantes y el coeficiente de proporcionalidad es 3 y el área de uno de ellos es igual a 18 u2, entonces
el área del otro es igual a 6 u2.
d) __ Si la figura A es semejante a la figura B y el coeficiente de proporcionalidad que permite obtener la figura B en la figura A es
k2, entonces el área de la figura A es mayor que el de la figura B.
e) __ Si dos paralelogramos son semejantes entre sí y los lados de
uno miden 4,0 cm y 6,0 cm, y los lados del otro son iguales a
8,0 cm y 12 cm, entonces el coeficiente de proporcionalidad
es igual a 2.
6.
C
A
B
Construye un rectángulo semejante al
dado en la figura 2.87, utilizando como
coeficiente de proporcionalidad:
k = 2; k =
7.
D
1
2
; k = 3,5; k =
2
3
Fig. 2.87
Sea ABCD un cuadrado (figura 2.88);
E, F y G son puntos de AD, AB y EC respectivamente
FG ⊥ EG,
ED CD
= = 2 EC = 2 5 cm. Entonces, EF mide:
EG FG
a) ____ 2 5 cm
112
b) ____
5 cm
D
C
G
E
A
F
Fig. 2.88
B
CAPÍTULO 2
c) ____ 4 5 cm
d) ____ no sé.
Porque: _____________________________________________________
8.
En los triángulos ABC y NKL, AB = 3,0 cm; ∢A= 72º; ∢C = 63º, NK = 9,0 cm;
∢N = 72º y ∢A = 45º
a) Fundamenta porque △ABC ~ △MKL
b) Halla la razón de semejanza.
9.
En la figura 2.89 AC || DE, los puntos E y D
pertenecen a los segmentos BC y AB respectivamente, ∢C = ∢E. Demuestra que:
B
a) △ABC ~ △BDE
b) AB DE AC DB
E
D
C
A
Fig. 2.89
10. Calcula el valor de x,
apoyándote en la figura 2.90.
x
8,0
12,0
6,0
Fig. 2.90
11. En la figura 2.91:
M
► MNPQ es rombo, R y T pertenecen a MQ
y QP respectivamente.
► ∢MNT = ∢RNP
a) Prueba que el triángulo RNT es isósceles de
base RT.
Si el área del triángulo MNR es igual a 10,5 cm2,
la altura h, relativa al lado NR es igual a 35 mm
y la razón entre las longitudes de los lados NR
y RTdel triángulo RNT es igual a 3,0. Calcula el
perímetro del triángulo RNT.
R
Q
N
T
P
Fig. 2.91
113
MATEMÁTICA
12. En la figura 2.92:
M, N, P son puntos de la circunferencia de centro O y diámetro MN;
QM || MP; QR || MN.
R pertenece a MP.
a) Demuestra que: NP · MR = QM · MP
b) Si se conoce que: ON = 5,0 cm,
PN = 8,0 cm y la razón de semejanza entre los lados homólogos de los
triángulos MNP y QMR es igual a 2,
calcula el perímetro del pentágono
MNPRQ.
P
Q
R
M
N
O
Fig. 2.92
13. Dada la circunferencia de centro O y radio OA, en el que las cuerdas
y BD
se cortan en el punto E (figura 2.93).
AC
a) Prueba que △ADE ~ △BEC.
b) Si se conoce además que:
OA = 2 3 dm , ∢AOB = 60º,
A
B
E
D
O
AE
=1
EB
Calcula el área del triángulo BEC.
BC = OC; DE = 4 dm y
C
Fig. 2.93
14. En la figura 2.94:
► MNPQ es cuadrado,
► T y S puntos de MN y NP respectivamente,
R
► MNR triángulo equilátero,
► RQ y MS se cortan en U y
► ∢SMQ = ∢PQT
a) Prueba que △NSM ~ △TQM.
b) Prueba que NS = MT.
c) Calcula la amplitud del ángulo ∢MRQ.
d) Si el perímetro del cuadrado es 32 cm, halla el
área del triángulo △MRQ.
114
T
N
S
M
U
P
Q
Fig. 2.94
CAPÍTULO 2
15. En la figura 2.95:
D
H
C
► ABCD es un cuadrado de 16,0 cm2 de área.
► DH = FB = 1,0 cm.
► I punto medio de AC, donde se cortan AC y HF
a) Prueba que △FAI ~ △HIC
b) Halla el área del trapecio EIHD de bases
EI y DH.
E
I
A
F
B
Fig. 2.95
16. En la figura 2.96 se muestra un semicírculo
de centro O y diámetro AB en que se ha
inscrito el triángulo ADB.
BC tangente al semicírculo en el punto B.
A, D y C puntos alineados.
El perímetro del semicírculo es igual a
10,28 cm y ∢BAC = 30º.
Fig. 2.96
a) Demuestra que △ADB ∼ △BDC
b) Halla el área de la región sombreada.
17. En la figura 2.97, C es un punto de la circun-
D
ferencia de centro en O y diámetro AB; AD
es tangente a la circunferencia en A; E ∈ AB,
ED || CB, AC ∩ DE = {F} y AE = CB.
C
F
Prueba que:
a) ED = AB
b) △ABC ~ △AFD
c) Halla DF si BC = 6,0 cm; AC = 8,0 cm y
AF = 5,0 cm
A
O
E
B
Fig. 2.97
2.4 Grupo de Teoremas de Pitágoras
Reflexiona un instante
Para sostener la cubierta de una nave industrial un soldador necesita cinco
vigas metálicas como se muestra en la figura 2.98.
115
MATEMÁTICA
9,0 m
16,0 m
Fig. 2.98
Sí solo conoce la longitud de dos de las vigas que empleará como base
de esta pieza metálica en forma de triángulo rectángulo con un soporte
de altura relativa a su base. ¿Cómo calcular la longitud del resto de las
vigas necesarias?
Investiga y aprende
¿Cómo solucionar este problema utilizando lo estudiado sobre la semejanza
de triángulos?
Para esto te guiarás por los pasos siguientes.
1. Construye una figura de análisis en la que denotes todos los triángulos
y sus ángulos agudos que en esta aparecen (figura 2.99)
2. Nombra los elementos denotados en la figura
C
en el △ABC rectángulo en C
AB: hipotenusa
AC y CB: catetos
CD: altura relativa a AB
a y β: ángulos agudos
A
D
B
∢ACB: ángulo recto
Fig. 2.99
3. Determina cuántos triángulos aparecen en
la figura y nómbralos
Son tres triángulos △ABC, △ADC, △DBC
4. Encuentra cuáles de estos triángulos son semejantes.
Como puedes observar los tres triángulos son rectángulos, tienen un
ángulo de 90°. Luego, para probar que estos triángulos son semejantes
nos faltaría encontrar que tienen un ángulo agudo igual.
Los △ABC y △ADC tienen el ángulo α común y en el caso de los △ABC y
△DBC tienen el ángulo β común también.
116
CAPÍTULO 2
Entonces △ABC ~ △ADC y △ABC ~ △DBC por tener dos ángulos respectivamente iguales.
Por tanto △ABC ~ △ADC ~ △DBC por carácter transitivo.
5. Denota los lados por una sola letra para facilitar el procedimiento como
aparece en la figura 2.100.
C
b
a
h
A
D
q
p
B
c
Fig. 2.100
6. Establece los lados homólogos en estos triángulos, auxíliate de la tabla
siguiente:
Tabla 2.1
△ABC
△ADC
△DBC
Hipotenusa
c
b
a
Cateto opuesto al ángulo de amplitud
a
h
p
Cateto opuesto al ángulo de amplitud
b
q
h
7. Determina las proporciones entre los lados homólogos de los triángulos
semejantes.
h p
7.1 En los △ADC ~ △BDC se cumple que: = y aplicando el teorema
q h
fundamental de las proporciones obtenemos: h · h = p · q y el producto quedaría: h2 = p · q
La relación en los triángulos rectángulos obtenida se corresponde
con uno de los tres teoremas que estudiarás.
Teorema de las alturas
En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la altura
relativa a la hipotenusa es igual al producto de las longitudes de los
segmentos que la altura determina sobre la hipotenusa.
117
MATEMÁTICA
Continúa determinando las proporciones entre los lados homólogos
de los otros triángulos semejantes.
b c
7.2 En los △ADC ~ △ABC se cumple que:
= , aplicando el teorema
q b
fundamental de las proporciones obtenemos: b · b = c · q y el producto
quedaría: b2 = c · q
a c
7.3 En los △BDC ~ △ABC se cumple que:
= , aplicando el teorema
p a
fundamental de las proporciones obtenemos: a · a = c · p y el producto
quedaría: a2 = c · p
Observa que la altura determina sobre la hipotenusa dos segmentos,
el correspondiente a un cateto determinado es el que tiene con este
un extremo común.
¡Atención!
En la figura 2.100 al cateto a le corresponde el segmento p y al cateto b le
corresponde el segmento q.
Teorema de los catetos
Recuerda que…
En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de cada cateto
es igual al producto de la longitud de la hipotenusa por la longitud del
segmento de hipotenusa correspondiente al cateto.
Estos dos teoremas que acabas de obtener, junto al teorema de Pitágoras
que estudiaste desde la Educación Primaria recibe el nombre de grupo de
teoremas de Pitágoras:
Teorema de Pitágoras
Recuerda que…
En todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de las longitudes
de los catetos es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa.
118
CAPÍTULO 2
Este teorema lo has aplicado con frecuencia en la resolución de problemas. Te propongo deducirlo ahora aplicando el teorema de los catetos.
Ya conoces que: a2 = c · p y b2 = c · q por teorema de los catetos.
Sumando ambos miembros de estas dos igualdades, obtendrás:
a2 c p
b2 c q
a2 b2 p · c q · c
Aplicando la propiedad distributiva en el miembro derecho les queda:
a2 + b2 = c · (p + q) (I)
Pero como p + q = c (II) por suma de segmentos, entonces sustituyendo
(II) en (I) tenemos que: a2 + b2 = c2
Ahora ya puedes determinar la longitud de las restantes vigas necesarias
para la cubierta de la nave industrial que plantea el ejercicio inicial.
Respuesta de la sección Reflexiona un instante (figura 2.101)
C
b
a
h
A
D
q 9,0 cm
p 16,0 cm
c
B
Fig. 2.101
Datos
p = 16,0 m
q = 9,0 m
h-?
a-?
b-?
h2 p q 16 9 144
=
h
=
144 12 m
a2 c p 12 16 192
a 192 13, 8 m 14 m
119
MATEMÁTICA
b2 c q 12 9 108
b 108 10, 3 m
b ≈ 10, 3 m
Respuesta:
Las longitudes de las vigas metálicas serán aproximadamente de
12 m,14 m y 10 m.
Reflexiona un instante
¿Será posible afirmar que si se cumplen algunas de las igualdades obtenidas
en los teoremas del grupo de Pitágoras, entonces el triángulo es rectángulo?
Aplica tus conocimientos
En una tarea (figura 2.102) a Frank
le correspondió resolver el ejercicio
siguiente:
Este fue el algoritmo que siguió:
1. Pensó en las maneras de demostrar que un triángulo es
rectángulo y optó por una de
estas.
2. Construyó un triángulo semeFig. 2.102
jante al dado (figura 2.103).
3. Buscó el punto medio de EF y lo
G
llamó O.
4. Con centro en O trazó la semicircunferencia.
5. Al ver que el punto G pertenecía a
ella concluyó que el ∢G es recto por
E
O H
el Recíproco del Teorema de Tales.
Fig. 2.103
6. De ahí que el △EFG es rectángulo,
pues este que se construyó es semejante al dado.
F
El área pedida, sabes cómo hallarla.
Pienso que estés de acuerdo con Frank, aunque después de haber construido
el triángulo semejante, puedes comprobar con un cartabón que la amplitud
del ángulo G es de 90º. Ahora conocerás otra vía (ya sabes, que no siempre
se garantiza exactitud en la medición). Sucede que también se cumple el
Recíproco del Teorema de las Alturas, ¿te atreves a enunciarlo?
120
CAPÍTULO 2
¡Atención!
Cuando se desea formar el recíproco de un teorema, es necesario diferenciar claramente la premisa de la tesis. Para esto es conveniente expresar el
teorema en la forma de si-entonces.
Si tenemos un teorema Si A entonces B y la proposición recíproca Si B
entonces A es verdadera, entonces esta última proposición es el teorema
recíproco del primero.
Recíproco del Teorema de las Alturas
Recuerda que…
Si en un triángulo el cuadrado de la longitud del lado mayor es igual a la
suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados entonces el
triángulo es rectángulo.
Respuesta:
Si conoces el Recíproco del Teorema de la Alturas, puedes resolver el
ejercicio de la tarea de Frank rápidamente, porque al cumplirse que:
2
2
HG HE HF 9, 6 5, 4 51, 84 y como HG = (7,2 mm)2 = 51,84 mm2 entonces se puede afirmar que el triángulo es rectángulo y que el ángulo
G es recto.
Reflexiona un instante
En la portada de una revista como aparece en
la figura 2.104 se plantea el siguiente acertijo,
¿puedes ayudar a resolverlo?
Respuesta:
El acertijo se parece mucho al Teorema de los
Catetos, más que al teorema, a su recíproco,
que también se cumple, por tanto, se puede
afirmar que el △EFG es rectángulo.
Fig. 2.104
Vamos a formular el recíproco de ese teorema.
121
MATEMÁTICA
Recíproco del Teorema de los catetos
Recuerda que…
Si en un triángulo, el cuadrado de la longitud de cada uno de los dos lados
más pequeños es igual al producto de la longitud del lado mayor por el
segmento de lado mayor que le corresponde al trazar la altura relativa a
este, entonces el triángulo es rectángulo
Verifica que, en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud
del lado mayor es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los
otros dos lados. Busca la amplitud del ángulo que se opone al lado mayor.
Recíproco del Teorema de Pitágoras
Recuerda que…
Si en un triángulo, el cuadrado de la longitud del lado mayor es igual a la
suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados, entonces el
triángulo es rectángulo.
¡Atención!
Estos teoremas son de gran utilidad en la resolución de los más disimiles
problemas, por eso es importante que elabores un resumen que te ayude
a comprender teoremas y recíprocos.
Ejemplo 1
Demuestra que △ABC y △PQR son semejantes, con los datos que aparecen en la figura 2.105:
C
P
2,0 cm
Q
12,8 cm
D
7,2 cm
B
R
Fig. 2.105
122
1,
2
cm
cm
6
1,
A
CAPÍTULO 2
► Lee cuidadosamente el ejercicio para que comprendas su enunciado, aquí
es más que evidente, pero nunca está de más hacerlo.
► Centra tu atención en los datos, observa que en el △ABC te dan la longi-
tud de los segmentos que determina en la hipotenusa la altura relativa
a esta y en △PQR, las longitudes de los tres lados.
► Piensa en las maneras que tienes de probar que dos triángulos son semejantes: muchas pueden ser tus ideas, sin embargo, no debe faltar lo
que plantean los criterios de semejanza de triángulos.
► Observa que te dan información de longitudes de lados por lo que una
buena idea será aplicar el teorema de tres lados proporcionales (p.p.p).
► Si vas por ese camino, te estarás preguntando de qué forma hallar la
longitud de BC y AC y, se impone aplicar el Teorema de los catetos.
► Rápidamente obtienes que BC = 12 cm y AC = 16 cm.
AC BC AB
► No cabe duda que = =
= 10, los lados son respectivamente
PR RQ PQ
proporcionales. Por tanto, los triángulos son semejantes y quedó resuelto
el problema.
► Es bueno que critiques todo el trabajo que realizaste, de ese modo analizas
una vez más la estrategia que te condujo a la resolución del ejercicio; también
piensas en los conocimientos y destrezas que tuviste que poner en práctica.
► Comprueba la validez de la solución es sumamente útil. A propósito, la
que se siguió aquí, ¿es única?
Seguidamente te presentamos una colección de ejercicios para que apliques las proposiciones del grupo de Teoremas de Pitágoras y otros muchos
contenidos que has aprendido de Geometría.
A continuación, un comentario que vale la pena:
Para resolver los ejercicios del 3 al 6 es necesario recordar algunos temas
sobre triángulos. Buscar las respuestas de las actividades de la 7 a la 14 implica
recordar temáticas de trapecios, paralelogramos y paralelogramos especiales.
También tendrás que reactivar lo estudiado sobre cálculo de cuerpos.
Lo estudiado sobre circunferencia y círculo es fundamental para resolver
las situaciones intramatemáticas de la 15 a la 21.
Los últimos ocho situaciones, muy cercanas a la vida práctica, deben
resultarte más sencillas. También será muy cómodo que elabores todas las
respuestas de la frase siguiente:
Hay ángulo(s) recto(s) si:
► Tenemos ángulos adyacentes iguales.
► Dos rectas paralelas que son cortadas por una perpendicular a ellas.
123
MATEMÁTICA
Ahora cuatro consejos para asumir el reto:
¡Consejos útiles!
1. Enfrenta la resolución de un ejercicio con todo el ánimo, la confianza,
el optimismo y la motivación posibles, piensa que eres la persona que
mejor preparada está para encontrar la solución.
2. No te desesperes, ni te angusties: resolver un ejercicio lleva su tiempo y
en ocasiones requiere además de mucho esfuerzo, pero eso no quiere
decir que no lo logres.
3. Un ejercicio puede resolverse por diferentes vías, aunque puedes encontrarte alguno que no tenga solución.
4. Al equivocarte en la resolución de un ejercicio, no te aflijas, aprende de
ese error, es una provechosa experiencia.
Ejercicios
1.
Lee detenidamente la pregunta y responde:
1.1 Clasifica las siguientes proposiciones en verdaderas (V) o falsas
(F). De las que consideres falsas argumenta por qué lo son.
a) __ En todo triángulo rectángulo la longitud de la altura
relativa a la hipotenusa es media proporcional entre las
longitudes de los segmentos que ella determina en dicho
lado.
b) __ En todo triángulo rectángulo el área del cuadrado cuyo
lado tiene una longitud igual a la longitud de la altura
relativa a la hipotenusa difiere del área del rectángulo
cuyos lados tienen las longitudes de los segmentos que
dicha altura determina sobre la hipotenusa.
c) __ Existen triángulos en los que la longitud de la altura relativa a la hipotenusa es igual a la de los segmentos que ella
determina en dicho lado.
d) __ En cualquier triángulo el cuadrado de la longitud de la altura
relativa al lado mayor es igual al producto de las longitudes
de los segmentos que la altura determina en dicho lado.
e) __ En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la longitud
de cada cateto es igual al producto de la longitud de la
124
CAPÍTULO 2
hipotenusa por la longitud de la proyección del cateto
sobre la hipotenusa.
f) __ En todo triángulo rectángulo e isósceles la longitud
de los catetos está dada por el término 2 a, donde
a es la longitud de la altura relativa a la hipotenusa.
g) __ Existen triángulos isósceles en los que el cuadrado de
la longitud del lado mayor es igual a la suma de los
cuadrados de las longitudes de los otros dos lados.
h) __ Existen triángulos rectángulos en los que el cuadrado
de la longitud de la altura relativa al mayor de los
lados difiere del producto de las longitudes de los
segmentos que la altura determina en dicho lado.
1.2 Selecciona la respuesta correcta en cada caso, marcando con
una X en la línea dada. Observa la figura 2.106.
1.2.1 El cuadrado de h coincide con:
R
a) ___ a · b
RS a
a
b) ___ a
c) ___ a2 + b2
d) ___ a
b
(NA: ninguno de los anteriores
ND: no se puede determinar)
S
b
b) ___ a2 a b
c) ___ a ⋅ b
d) ___NA
SP b
Q
h
r
P
1.2.2 La raíz cuadrada aritmética de r es:
a) ___ b2 a b
p
Fig. 2.106
1.2.3 La suma de los cuadrados de p y r es:
a)
___ a ⋅ b
2
c) ___ a b
b) ___ a2 + b2
d) ___NA
1.2.4 La diferencia de los cuadrados de r y b es:
a) ___ a ⋅ b
b) ___ a + b
c) ___ a − b
d) ___ND
125
MATEMÁTICA
2.
3.
Plantea para las alturas de △ACF, △CFE
y △ACE de la figura 2.107, las ecuaciones
correspondientes al Teorema de las Alturas. Plantea las del Teorema de los Catetos.
A
Un punto interior de un ángulo recto
se encuentra a las distancias a y b de los
lados del ángulo. ¿Cuál es la distancia
del punto al vértice del ángulo?
B
F
C
D
E
Fig. 2.107
4.
Las longitudes de los lados de un triángulo son proporcionales a los
números 26, 24 y 10. Demuestra que este triángulo es rectángulo.
5.
Los lados de un △ABC miden 9,0 cm; 12 cm y 15 cm. Calcula las tres
alturas.
6.
* Sea M un punto cualquiera de la altura AH de un △ABC. Demuestra
2
2
2
2
que AC AB CM BM
7.
En la figura 2.108 se tiene
el paralelogramo ABCD.
∢ADB y ∢DEB son rectos.
DE =12 cm y EB = 9,0 cm.
Halla el área y el perímetro del cuadrilátero
EBCD.
D
A
E
C
B
Fig. 2.108
8.
En un trapecio isósceles
las bases miden 10 cm y 24 cm respectivamente y los lados no paralelos miden 25 cm. Calcula la altura del trapecio.
9.
En el trapecio rectángulo ABCD de
bases AB y CD, P(△BCD) = 66 cm,
CD = 11 cm, BC = 25 cm y AB = 18 cm
de la figura 2.109. Halla el A(ABCD) y
el A(△BCD).
D
C
A
B
Fig. 2.109
126
CAPÍTULO 2
10. Prueba que, si en un cuadrilátero sus diagonales se cortan perpen
dicularmente, las sumas de los cuadrados de las longitudes de los
lados opuestos son iguales.
11. Demuestra que la diferencia entre los cuadrados de las longitudes de
las diagonales de un trapecio rectángulo, es igual a la diferencia entre los cuadrados de las longitudes de las bases.
12. El rectángulo ABFE de la figura 2.110 es
una de las caras laterales de un prisma
recto de base cuadrada. Halla el volumen y el área total de dicho prisma.
QB = 6,4 cm y EQ = 3,6 cm
E
F
Q
A
B
Fig. 2.110
13. *En la figura 2.111 se tiene que ABCD
D
es un rombo OP ⊥ AB; si AP = 1,6 dm y
PB = 0,9 dm; halla el área y el perímetro
del rombo y el perímetro del cuadrilátero
PBCO.
C
O
A
P
B
Fig. 2.111
C
14. En la figura 2.112, el punto C pertenece
a la semicircunferencia de centro O y diámetro AB, R ∈ OD, BR ⊥ OD, OB = 4,0 cm,
OR = 32 cm, BD = 3,0 = 3,2 cm y RD = 18 cm.
a) Determina la relación de posición entre la semicircunferencia y la recta
que contiene a BD
b) Halla el área de toda la figura.
A
B
O
R
D
Fig. 2.112
127
MATEMÁTICA
15. En la figura 2.113 se tiene que A, D, B y C
pertenecen a la circunferencia de centro O.
A, O, R y B están alineados, el punto medio
de CD es R.
Si AR = 4,0 cm y RB = 2,25 cm, halla el perímetro (P) de ADBC y el área sombreada.
Fig. 2.113
16. En la figura 2.114 se tiene que los puntos A,
B y C pertenecen a la C (O ;OB) . Si el ∢C tiene
C
una amplitud de 45º, OB = r y OP ⊥ AB, de2
muestra que OP
= AP
= PB =
r.
2
1
Dato: =
2
1
=
2
O
2
2
P
Fig. 2.114
A
B
17. *En la figura 2.115 se tiene que el punto C
B
pertenece a la circunferencia de centro O y a
AB · Si OB = 32 cm, OA = 24 cm y AB = 40 cm,
halla el área sombreada.
OC AB
C
O
18. Una antena de 66 m de altura debe ser sujeta-
A
da por cuatro cables a una altura equivalente
5
a de esta. Los cables están sujetos al suelo
6
a una distancia de 48 m del pie de la torre.
Calcula la longitud de cada cable, tal y como
se ilustra en la figura 2.116.
Fig. 2.115
T
Nota: P1, P2, P3 y P4 son los pies de los cables
con el piso. B es el pie de la antena, C un
punto de la antena y T su punto cima.
Al considerarla un segmento perpen
dicular al piso te será muy fácil hallar la
longitud de cada cable.
128
C
C
P3
P4
B
P2
P1
Fig. 2.116
B
P1
CAPÍTULO 2
19. Se tienen estructuras metálicas formadas
por ocho triángulos rectángulos, tal y
como se ilustra en la figura 2.117, con las
dimensiones que se indican. Piensa como
puedes utilizar la cantidad de estructuras
que desees para elaborar diferentes objetos, por ejemplo, una reja, una separación
entre dos locales, etc. ¿Tendrán forma
rectangular todos los objetos? ¿Alguno
tendrá forma de cuadrado? Crea tu objeto
y halla el área que ocupa y su perímetro.
Fig. 2.117
Nota: No puedes separar las estructuras.
Solo se pueden unir por lados de igual longitud.
20. Se tienen pedazos de linóleo
de colores diferentes, de igual
forma triangular, tal y como
se muestra en la figura 2.118.
Determina las dimensiones del
área de forma rectangular más
pequeña que podemos cubrir
si usamos una cantidad par de
pedazos de los dos colores. ¿Se
podrá cubrir con ellos una superficie de forma cuadrada?
1,0 dm
0,75 dm
1,25 dm
Fig. 2.118
21. Elabora un triángulo de papel o cartón con las
I
medidas que se dan en la figura 2.119 y ponlo a
girar al considerar como eje el lado HI.
a) Determina la longitud de la circunferencia que
describe el punto J al efectuarse el giro.
b) Cuando estudies con profundidad un cuerpo
geométrico llamado cono circular recto, haz un
modelo del cuerpo que se obtiene al efectuar
el giro.
IJ = 12 cm
JH = 9,0 cm
k
J
H
Fig. 2.119
129
MATEMÁTICA
22. Después de estudiar las proposiciones del Grupo de Teoremas
de Pitágoras, el profesor Ramón
analiza con sus estudiantes una
manera más de hallar la altura
de un poste y la de un tensor
que lo sostiene, observa cuidadosamente la figura 2.120 y lee
los pasos que siguieron:
Fig. 2.120
► Realizaron la modelación
correspondiente.
► Con ayuda de una cinta métrica y con mucho cuidado determinaron
la longitud de PT, PA y AT.
► Al aplicar el Teorema de las Alturas en el △SPT, se cumple que
2
AP
.
AT
► ST = SA + AT, por tanto ya tenemos la longitud del tensor.
2
AP SA AT , de ahí que SA =
► SP
2
SA ST , al aplicar Teorema de los Catetos,
► SP
SA ST por tanto, ya tenemos el tamaño del poste.
a) ¿Estás de acuerdo con esa vía? ¿Por qué?
b) Tú conoces otras formas de realizar esta actividad.
¿Con cuál de las vías te quedas? Justifica tu respuesta.
23. Osmani, jefe de la Cátedra de Monitores de Matemática, de
noveno grado de su Secundaria Básica, afirma en una reunión
de trabajo lo siguiente:
“En la figura 2.121, basta con tener dos de los elementos: a, b, c,
p, q y h, para que podamos hallar
los cuatro restantes”. Para que
determines si estás de acuerdo o
no con él, completa esta tabla,
te ejemplificamos una de las posibilidades.
AD = q
CD AB
ACB = 90º
DB = p
C
CD = h
AB = c
a
h
b
A
q
D
Fig. 2.121
130
p
B
CAPÍTULO 2
Elementos
dados
ayb
Elementos que
puedo hallar
¿Qué aplico?
c
Teorema de Pitágoras en △ABC
p
Teorema de los Catetos en △ABC
q
Teorema de los Catetos en △ABC
h
Teorema de las Alturas en △ABC
ayq
ayp
ayc
ayh
byq
byp
byh
byc
cyq
cyp
cyh
pyh
pyq
qyh
24. Conoces las proposiciones del Grupo de Teoremas de Pitágoras. Por
eso te proponemos elaborar la ficha “Yo pensé en el GTP” a partir
de la observación de un objeto que te haga pensar en el Grupo de
Teoremas de Pitágoras, verás que no es tarea difícil, solo es proponértelo, aquí tienes dos ejemplos que te indicarán los parámetros que
tendrás en cuenta:
Objeto: vitral que adorna una casa de campo.
Función social: ornamentación.
Lugar en que lo vi: excursión con mis compañeros de grupo.
Dibujo del objeto y modelación matemática: figura 2.122.
Objeto: puente giratorio sobre el río cubano San Juan.
Función social: paso de las embarcaciones por ese río matancero.
131
MATEMÁTICA
Fig. 2.122
Lugar en que lo vi: foto del artículo Los puentes de Matanzas, en el
No. 316 de la revista Zunzún.
Foto del objeto y modelación matemática: figura 2.1233
Entrega la ficha a tu profesor(a).
Fig. 2.123
2.5 Razones trigonométricas en un triángulo
rectángulo
Determinar distancias entre dos puntos no siempre resulta fácil, muchas
veces imposible poder emplear algún instrumento de medición de longitud,
porque nos encontramos que uno de los puntos o ambos están en un terreno
inaccesible o por existir entre estos un obstáculo insuperable.
3
La imagen es el resultado de una búsqueda en Google el 11 de agosto de 2014.
132
CAPÍTULO 2
Reflexiona un instante
Mediante la semejanza de triángulos has
podido resolver algunos de estos problemas, pero… ¿existirá otra manera de
determinar estas longitudes?
Si conocieras relaciones matemáticas entre
los lados y los ángulos de un triángulo ¿podrías calcular estas longitudes?
¿Cómo hallar la altura de un poste y la
longitud de un tensor que lo sostiene?
(figura 2.124). Conoces varias vías para
hacerlo.
Fig. 2.124
La geometría nos enseña a construir un triángulo si se conocen tres de sus
seis elementos fundamentales, pero no nos permite calcular los elementos
restantes sin recurrir a procedimientos geométricos.
Precisamente estudiarás como hallar los elementos de un triángulo mediante el cálculo, siendo los resultados más exactos.
La trigonometría es la rama de la matemática que nos permitirá resolver estos problemas, porque se ocupa de las relaciones existentes entre los
lados y los ángulos de los triángulos, lo que posibilita operar con dichas
magnitudes, de ahí su importancia.
Etimológicamente significa medida de triángulos (figura 2.125).
Fig. 2.125
133
MATEMÁTICA
Investiga y aprende
1. Traza en tu libreta un ángulo agudo y denótalo por ∡MON (figura 2.126)
M
O
N
Fig. 2.126
2. Traza rectas perpendiculares al lado ON que intersequen al otro lado
(figura 2.127)
M
M4
M2
M3
M1
O
N1
N2
N3
N4
N
Fig. 2.127
3. Establece las razones iguales entre el lado que se opone al ángulo común
∢MON y la hipotenusa en cada triángulo.
N1M1 N2M2 N3M3 N4 M4
=
= = = k1
OM1
OM2
OM3
OM4
4. Establece las razones iguales entre el otro cateto y la hipotenusa.
ON3 ON4
ON1 ON2
=
= =
= k2
OM1 OM2 OM3 OM4
5. Establece las razones iguales entre el cateto que se opone al ángulo
común △MON y el otro cateto.
N1M1 N2M2 N3M3 N4 M4
=
= = = k3
ON1
ON 2
ON3
ON4
134
CAPÍTULO 2
También pudieras plantear otras tres series de razones iguales formadas
por las razones recíprocas de las anteriores.
Te percatarás de que para el mismo ángulo agudo △MON la razón entre
dos lados de uno de los triángulos rectángulos formados y las razones de
sus lados homólogos en los otros, son iguales (permanece constante). Por
tanto, su valor no depende de los lados de los triángulos.
Sin embargo, si varía la amplitud de △MON y hacemos el mismo análisis,
comprobaremos que las razones consideradas son desiguales.
Efectivamente, si las amplitudes de los ángulos M’ON y MON son diferentes entonces △OM’N’ y △OMN no son semejantes y las razones consideradas
son desiguales (figura 2.128)
M
M’
O
N’
N
Fig. 2.128
Se tiene que los valores de las razones de los lados de un triángulo rectángulo dependen solo de las amplitudes de los ángulos agudos, y para cada
ángulo diferente hay un conjunto diferente de valores. A estas razones se les
da el nombre de razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.
En un triángulo rectángulo llamaremos cateto opuesto a un ángulo
agudo, al cateto que se opone a él y al otro cateto
R
lo llamaremos cateto adyacente a este ángulo.
Ejemplo 1
En el △PQR el ángulo Q es recto (figura 2.129).
El lado p es el cateto opuesto al ángulo P.
El lado r es el cateto adyacente al ángulo P.
El lado r es el cateto opuesto al ángulo R.
El lado p es el cateto adyacente al ángulo R.
Estas son las definiciones, las tres razones trigonométricas que estudiarás en este curso.
p
q
P
r
Q
Fig. 2.129
135
MATEMÁTICA
Definición de seno de un ángulo agudo
Recuerda que…
El seno de un ángulo agudo de triángulo rectángulo es la razón entre la
longitud del cateto opuesto a este ángulo y la longitud de la hipotenusa.
Definición de coseno de un ángulo agudo
Recuerda que…
El coseno de un ángulo agudo de triángulo rectángulo es la razón entre el
cateto adyacente al ángulo y la hipotenusa.
Definición de tangente de un ángulo agudo
Recuerda que…
La tangente de un ángulo agudo de triángulo rectángulo es la razón entre
el cateto opuesto y el cateto adyacente al ángulo.
Para designar el seno, el coseno y la tangente de un ángulo A utilizaremos la siguiente notación: sen A, cos A y tan A.
Ejemplo 2
En el △PQR, de la figura 2.129, tenemos que:
=
sen P
cateto opuesto p
=
hipotenusa
q
cos P
cateto adyacente r
=
hipotenusa
q
=
tanP
cateto opuesto
p
=
cateto adyacente r
Saber más
Existe la razón trigonométrica cotangente, esta es el recíproco de la tangente. Cotangente de un ángulo A se denota cot A.
136
CAPÍTULO 2
Reflexiona un instante
¿Sucederá que para conocer las razones trigonométricas de un ángulo agudo habrá que construir un triángulo rectángulo, que tenga dicho ángulo y
efectuar el cálculo correspondiente?
No, es bueno que sepas que, en la práctica, para no tener que calcularlos
cada vez que se necesitan, existen tablas de fácil manejo en las que aparecen los valores del seno, el coseno la tangente y la cotangente de cualquier
ángulo a con 0º 90º. Estas tablas aparecen al final de este libro.
Los valores que encontramos en las tablas han sido calculados con suficiente precisión, se dan los valores de las razones con cuatro cifras correctas
para los ángulos de 0º a 90º con incremento de 0,1º. Casi siempre la mayor
parte de las cantidades con que trabajamos son valores aproximados, sin
embargo, mantendremos el convenio de escribir el signo igual en todos
los casos.
Las tablas de las páginas finales del libro contienen los valores del seno y el
coseno. El valor de la razón aparece en la intersección de la fila que corresponde
al número de grados y la columna que corresponde a las décimas.
Cada valor pertenece al seno de un ángulo y al coseno del ángulo complementario.4; para el seno los grados aparecen en la columna del extremo
izquierdo y crecen de arriba hacia abajo, para el coseno los grados aparecen
en la columna del extremo derecho y crecen de abajo hacia arriba. En la tabla
solo aparecen las cifras decimales, la parte entera que es 0 para todos los
valores se escribe únicamente en la columna que corresponde a 0 décimas.
Ejemplo 3
Busca en la tabla:
a) sen 4°
b) sen 9,3°
c) cos 47°
d) cos 54,4°
Solución:
a) En la columna más a la izquierda en la tabla encontramos la fila que comienza por 4 y en la intersección con
la columna encabezada por ,0 encontramos el valor
buscado: 0,0698. Luego, sen 4° = 0,0698 (ver ejemplificación en la tabla 2.3).
4
Tabla 2.3
Grad.
0
1
2
3
4
,0
0000
0175
0349
0523
0698
Dos ángulos agudos son complementarios cuando sus amplitudes suman 90°.
137
MATEMÁTICA
b) Buscamos la fila que en su extreTabla 2.4
mo izquierdo comienza con 9 y la
Grad. ,0
,1
,2
,3
columna encabezada por ,3; en la
0
0,0000 0017 0035 0052
intersección, encontramos 1616.
1
0,0175 0192 0209 0227
Luego, sen 9,3° = 0,1616 (ver ejem2
0,0349 0366 0384 0401
plificación en la tabla 2.4)
3
0,0523 0541 0558 0576
c) Buscamos 47 en la columna más a
4
0,0698 0715 0732 0750
la derecha en la tabla. En la inter5
0,0872 0889 0906 0924
sección de esta fila con la columna
6
0,1045 1063 1080 1007
en cuyo pie aparece ,0 encontra7
0,1219 1236 1253 1271
mos el valor buscado: 6820. Estas
8
0,1392 1409 1426 1444
son las cifras decimales, luego,
0,1564 1582 1599 1616
9
cos 47° = 0,6820 (ver ejemplificación en la tabla 2.5).
d) Buscamos la fila que en su extremo derecho comienza con 54 y la columna
en cuyo pie aparece ,4; en la intersección, encontramos 5821. Luego,
cos 54,4° = 0,5821 (ver ejemplificación en la tabla 2.6).
Tabla 2.6
Tabla 2.5
6691
48
6820
47
6947
46
7071
45
,0
Grad.
5821
5962
6101
6239
6374
6508
5835
5976
6115
6252
6388
6521
5850
5990
6129
6266
6401
6534
5864
6004
6143
6280
6414
6547
5878
6018
6157
6293
6428
6561
54
53
52
51
50
49
6639
6769
6896
7022
6652
6782
6909
7034
6665
6794
6921
7046
6678
6807
6934
7059
6691
6820
6947
7071
,4
,3
,2
,1
,0
48
47
46
45
Grad.
Las tablas de las páginas 512 y 513 contiene los valores de la tangente y
la cotangente, el valor de la razón aparece en la intersección de la fila que
corresponde al número de grados y la columna que corresponde a las décimas.
Cada valor pertenece a la tangente de un ángulo y a la cotangente del
ángulo complementario; para la tangente los grados aparecen en la columna
138
CAPÍTULO 2
del extremo izquierdo y crecen de arriba hacia abajo, para la cotangente
los grados aparecen en la columna del extremo derecho y crecen de abajo
hacia arriba.
La estructura de la tabla en la página donde se encuentran los ángulos
menores que 45° es como la de la tabla de senos y cosenos pues en ese
intervalo tan α ≤ 1.
En la página aparecen los ángulos mayores que 45º cuya tangente es
mayor que uno; en ella hasta los 63º se mantiene la estructura, pero el primer valor de cada fila contiene una parte entera diferente de cero que es
la que corresponde a los ángulos de esa fila, excepto los valores destacados
con un asterisco que corresponden a la parte entera de la fila siguiente.
Ejemplo 4
Busca en la tabla:
a) tan 52° b) tan 50,43°
c) cot 10°
d) cot 11,1°
Solución:
a) En la columna más a la izquierda en la tabla encontramos la fila que
comienza por 52 y en la intersección con la columna encabezada por ,0
encontramos el valor buscado: 1,280. Luego, tan 52° = 1,280 (ver ejemplificación en la tabla 2.7).
b) Redondeamos la amplitud a las décimas, que es la precisión de la tabla
y obtenemos 50,4º.
En la columna más a la izquierda en la tabla encontramos la fila que
comienza por 50 y en la intersección con la columna encabezada por ,4
encontramos: 209. Luego, tan 50,4°= 1,209 (ver ejemplificación en la
tabla 2.8).
Tabla 2.7
Grad.
45
46
47
48
49
50
51
52
Tabla 2.8
,0
Grad.
,0
,1
,2
,3
,4
,5
1,000
1,036
1,072
1,111
1,150
1,192
1,235
1,280
45
46
47
48
49
50
51
1,000
1,036
1,072
1,111
1,150
1,192
1,235
003
039
076
115
154
196
239
007
043
080
118
159
200
244
011
046
084
122
163
205
248
014
050
087
126
167
209
253
018
054
091
130
171
213
257
139
MATEMÁTICA
Al hacer el redondeo a la amplitud del ángulo se introTabla 2.9
dujo un error, esto significa que no todas las cifras de
671
10
la tabla se pueden asumir como correctas, solo resultan
6,314
9
válidas, tres. La precisión del resultado final queda limi7,115
8
tado a tres cifras significativas, por eso tan 50,43º = 1,21.
8,144
7
9,514
6
c) Buscamos 10 en la columna más a la derecha en la tabla.
11,4
5
En la intersección de esta fila con la columna en cuyo
14,30
4
pie aparece ,0 encontramos el valor buscado: 671. Estas
19,08
3
son las cifras decimales, luego, cot 10° = 5,671
28,64
2
La parte entera es 5 (ver ejemplificación en la tabla 2.9)
57,29
1
d) Buscamos la fila que en su extremo derecho comien…
0
za con 11 y la columna en cuyo pie aparece uno; en
,0
Grad.
la intersección, encontramos *097. Luego,
cot 11,1º = 5,097, porque la parte entera
Tabla 2.10
que le corresponde es la que aparece en la
*097
*145
11
fila siguiente: 5 (ver ejemplificación en la
614
671
10
tabla 2.10).
6,243
6,314
9
También puedes recurrir a las tablas para hallar la amplitud de un ángulo agudo si conocemos
el valor de una de las razones trigonométricas.
7,026
8,028
9,357
11,2
13,95
18,46
27,27
52,08
573,0
7,115
8,144
9,514
11,4
14,30
19,08
28,64
57,29
…
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Ejemplo 5
Busca el valor de α, β y C en cada caso:
a) tan α = 1,046 b) cos β = 0,55 c) sen C = 0,072
a) Buscamos en la tabla la sucesión de cifras
046 y la encontramos en la intersección de la
,1
,0
Grad.
fila 46 (a la izquierda) y la columna
tres, luego el ángulo será α = 46,3°
Tabla 2.11
(tabla 2.11).
Grad.
,0
,1
,2
,3
b) En este caso el valor dado tiene dos
45
1,000 003
007
011
cifras, luego se debe redondear
46
1,036 039
043
046
mentalmente hasta la segunda cifra
al buscar en la tabla. Hay varios valores que conducen a la sucesión de cifras buscadas: en las filas 56° (por
la derecha); estos valores comienzan en 56,4° y terminan 56,9° (recuerda
que para el coseno los valores crecen hacia arriba). Esto nos hace pensar
140
CAPÍTULO 2
que no podemos garantizar la cifra de las décimas y debemos expresar
la amplitud del ángulo con dos cifras significativas: β = 56° (tabla 2.12).
Tabla 2.12
5461
5306
5750
5892
6032
6170
6307
6441
6574
6704
6833
6959
,9
5476
5621
5764
5906
6046
6184
6320
6455
6587
6717
6845
6972
,8
5490
5635
5779
5920
6060
6198
6334
6468
6600
6730
6858
6984
,7
5505
5650
5793
5934
6074
6211
6347
6481
6613
6743
6871
6997
,6
5519
5664
5807
5948
6088
5225
6361
6494
6626
6756
6884
7009
,5
5534
5678
5821
5962
6101
6239
6374
6508
6639
6769
6896
7022
,4
5548
5693
5835
5976
6115
6252
6388
6521
6652
6782
6909
7034
,3
5563
5707
5850
5990
6129
6266
6401
6534
6665
6794
6921
7046
,2
5577
5721
5864
6004
6143
6280
6414
6547
6678
6807
6934
7059
,1
5592
56
5736
55
5878
54
6018
53
6157
52
6293
51
6428
50
6561
49
6691
48
6820
47
6947
46
7071
45
Grad.
,0
Coseno
c) Buscamos en la tabla la sucesión de cifras
Tabla 2.13
072. Como la tabla tiene 4 cifras debemos
Grad.
,0
,1
redondear mentalmente los valores hasta
0
0,0000
0,0017
la tercera cifra; en la intersección de la fila
cuatro y la columna uno encontramos un
1
0,0175
0,0192
2
0,0349
0,0366
valor que al redondear conduce a esta
3
0,0523
0,0541
sucesión: 0715 ≈ 072 (tabla 2.13).
4
0,0698
0,0715
Luego, C = 4,1º con dos cifras significativas.
Aquí trabajamos con igualdades que contienen variables, en cada caso la variable es la amplitud del ángulo. ¿Serán
ecuaciones? Pregúntale a tu profesor(a).
Para el trabajo con los valores de estas tablas tendrás en cuenta la Regla
Fundamental del Cálculo Aproximado que ya conoces.
Te percatarás de que: hallar la amplitud de un ángulo agudo, si conocemos el valor de una de las razones trigonométricas, es un recurso certero.
La mayoría de las veces, encontrarlo implica obtener el cociente de las
longitudes de segmentos, hasta las cien milésimas, para redondearlo hasta
cuatro cifras correctas y hacer uso de las tablas con la mejor precisión.
141
MATEMÁTICA
Las calculadoras científicas nos brindan la posibilidad de hallar las razones trigonométricas seno, coseno y tangente de ángulos agudos. En la
calculadora de una computadora puedes hallar las razones trigonométricas
de un ángulo agudo.
1. Haz Clic izquierdo en Inicio (figura 2.130).
Fig. 2.131
Fig. 2.130
Fig. 2.132
2. Haz Clic izquierdo en Todos los programas (figura 2.131).
3. Haz Clic en Accesorios (figura 2.132).
4. Haz Clic en Calculadora (figura 2.133) (puede que la
Fig. 2.133
encuentres directamente al hacer Clic en Inicio) y percátate de que esté en Científica, Decimal y Sexagesimal
(figura 2.134).
5. Observa las teclas que te hemos señalado (figura 2.135), estas te permitirán hallar la razón trigonométrica seno, coseno y tangente de un ángulo
agudo, por ejemplo: para hallar el seno de 45°, haz clic en 45 y luego en
sin. ¡Compruébalo tú mismo!
Fig. 2.134
Fig. 2.135
El sen 45° ≈ 0,707 106 781 186 547 524 400 844 362 104 85…
En la calculadora científica de un teléfono móvil, también puedes hallar
las razones trigonométricas de un ángulo agudo, aunque puede suceder que
al intentar hallar el sen 45 (así, sin los grados), obtengas un error, pues en vez
π
de escribir sin 45, tienes que escribir: sin ¿Por qué? Te propongo investigarlo.
4
142
CAPÍTULO 2
Respuesta:
Es fácil hallar la longitud del segmento cuyos extremos son la base del
poste y la base del tensor (figura 2.124). No es difícil saber la amplitud del
ángulo cuyos lados son el tensor y el segmento
ya citado.
Si a la longitud del segmento le llamas d, a
la altura del poste le llamas p y a la longitud del
tensor, t (figura 2.136), se cumple que tan p
d
al despejar p puedes hallar la altura del poste,
p d tan .
Para determinar la longitud del tensor, pued
des aplicar que, cos , y despejando obtienes
t
d
.
t
cos
Fig. 2.136
Consejos útiles
Los ejercicios siguientes te permitirán la aplicación de lo aprendido en
trigonometría y reactivarás lo que conoces de geometría. Resolver estas
situaciones propias de la matemática y de la vida te posibilitará confirmar
la valía de la amplitud de un ángulo agudo y la longitud de un lado en un
triángulo rectángulo.
Los consejos para asumir este reto los conoces, una vez más, ponlos en
práctica.
Ejercicios
1.
En la figura 2.137, todos
los triángulos son diferentes, determina en cada caso
el término (o razón) que
designa el seno, coseno y
tangente de los ángulos
agudos.
A
Q
G
F
T
B
C
J
I
E
R
N
P
L
M
V
C’
B’
H
K
A’
Fig. 2.137
143
MATEMÁTICA
2.
Indica a cuáles de los triángulos de la figura 2.138 corresponden las
características siguientes:
a) __El seno de uno de sus ángulos es aproximadamente 0,7241.
b) __Los ángulos agudos suman 90°.
c) __El coseno de uno de sus ángulos es 0,96.
d) __La cotangente de un ángulo es aproximadamente 1,1458.
e) __Uno de los catetos mide aproximadamente 1,4 u.
f) __La tangente de uno de sus ángulos es aproximadamente 2,92.
g) __Uno de sus ángulos tiene una amplitud de 43,6°.
h) __El seno de uno de sus ángulos agudos es 2.
C
F
I
E
G
D
B
A
AC 20 u
DE 5,0 u
E 73,8º
L
K
AB 21u
H
IH 3,7 u
GI 1,2 u
JK 4,8 u
L 48,9º
J
Fig. 2.138
3.
Completa en cada caso según corresponda:
a)
a
sen α
c)
17º
84º
tan
73º
b) (β; cos β)
(20º;
)
(12º;
)
(87,7º;
)
d) Sea t(x) = cot x
t(5,2º) = _____
44º
74º
t(26,5º)
= _____
61º
t(53,5º) = _____
Fig. 2.139
144
CAPÍTULO 2
4.
En un △DEF, DE = 77 mm, EF = 36 mm y DF = 85 mm. ¿Será posible
hallar las razones trigonométricas de los ángulos agudos? Si tu respuesta es afirmativa, hazlo.
5.
En un triángulo rectángulo, los valores del seno y la tangente de uno
de sus ángulos agudos son 24 y 24 respectivamente. Determina las
40 32
longitudes de los lados de un triángulo que cumpla las dos condiciones. Justifica tu respuesta.
6.
En el △GHI rectángulo en I, ∢IGH = 58º y GH = 75 dm.
7.
a) Calcula HI
b) Calcula IG y ∢IHG.
Representa en un Sistema de coordenadas rectangulares los puntos
A(2;– 3), B(5;– 2) y C(4;1),vértices de un triángulo.
a) Clasifícalo según la amplitud de sus ángulos y la longitud de sus lados.
b) Si tu respuesta es rectángulo e isósceles, ¿cuál es el seno de sus
ángulos agudos?
8.
La gráfica de una función lineal es una recta. El valor de la pendiente
de una función lineal coincide con la tangente del ángulo que forma
la recta con el semieje positivo de las abscisas.
a) Determina la ecuación de la función lineal cuya gráfica forma
un ángulo de 49° con el semieje x positivo y pasa por el punto
P(20;60)
b) ¿Cuál es el ángulo de inclinación con respecto al semieje positivo
de las abscisas de la gráfica de una función lineal que pasa los
puntos Q(–1;–2) y R(1;8).
9.
Sea cual sea la vía que utilices para hallarlos, el seno y el coseno de un
ángulo agudo siempre es un valor que está entre 0 y 1. Ejemplifícalo para
el caso de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo.
10. Demuestra que en un triángulo rectángulo: tan
sen
si 0 < α < 90º.
cos
11.* Comprueba que en un triángulo rectángulo: sen2 cos2 1 si
0 < α < 90º.
145
MATEMÁTICA
12. Con lo que has estudiado de Trigonometría, ¿te será posible hallar
las razones trigonométricas de los ángulos
agudos de:
a) un triángulo que tenga el ortocentro en un
vértice?
b) un triángulo que tenga el circuncentro en el
lado mayor?
Justifica tu respuesta en cada caso.
13. En la figura 2.140, P punto medio de AB;
C
Q
60º
30º
A
P
B
Fig. 2.140
∢APD = 30º y ∢CPD = 60º
Demuestra que: BC = 3 · DA
C
14. Dada la figura 2.141, demuestra que el área
del △ABC, se puede calcular al utilizar las
expresiones:
B
A
BC AC sen
AC AB sen
BC AB sen
Fig. 2.141
o
o
.
2
2
2
Nota: Primero considera que el △ABC es acutángulo y después que es
rectángulo. Investiga qué sucederá si es obtusángulo.
a) A partir del trabajo realizado, piensa en otra forma de hallar el área
de un paralelogramo.
D
C
15. En la figura 2.142 se tiene que ABCD es un
trapecio de bases AB y CD, △DPA es rec
tángulo en P, A, B y P son puntos alineados.
AB CD
2, 8 u , AP 1, 3u y 81, 2 ,
2
halla el área del trapecio ABCD.
Si
16. En la figura 2.143 se tiene que ABCD
A B
P
Fig. 2.142
D
C
A
E
es un trapecio rectángulo de bases
AB y CD.
△CEB es rectángulo en E.
=
Si AE 14
=
, 1u , BC 8, 9 u y B = 64” , halla
el área y el perímetro del trapecio ABCD.
Fig. 2.143
146
B
CAPÍTULO 2
17. *En la figura 2.144 se tiene que ABCD es
C
D
un trapecio isósceles de bases AB y CD. Si
AB = 4,0 u, DA = 65 u ∢DAB = 104,1º, halla
el área y el perímetro del trapecio ABCD.
18. En la figura 2.145 se tiene que ABCD es
A
un rombo, cuyo perímetro es 100 mm. Si
∢BCD = 32,6°, halla el área del rombo.
B
Fig. 2.144
19. En la figura 2.146 ABCDEFGH es un prisma recto de base rectangular.
Si HB = 17 cm, AD = 6,0 cm y α = 61,9º, halla el volumen y el área total
de dicho prisma.
20.* En la figura 2.147 se tiene una pirámide recta cuya base es un rombo.
Si su altura mide 12 cm, ∢ASO = 53,1º y ∢SBO = 67,4º, halla su volumen
y la suma de sus aristas.
S
H
C
G
E
D
F
B
D
A
Fig. 2.145
A
D
C
C
O
B
A
Fig. 2.147
Fig. 2.146
B
21. En la figura 2.148 se tiene una circunferencia
de centro O y diámetro AB, Q y R pertenecen
a ella. Si BR = 33 mm y ∢BQR = 30,5º, halla
la longitud de la circunferencia.
B
Q
R
O
22. En la figura 2.149 se tiene que el punto C
pertenece a la circunferencia de centro O y
diámetro AB. Si AB = 84,5 cm, AC = 59,5 cm
y BC = 60 cm, halla el área del círculo y del
A
Fig. 2.148
147
MATEMÁTICA
sector circular limitado por el arco AC y los
lados del ∢AOC.
B
23. En la figura 2.150 se tiene que QR es
tangente en Q a la semicircunferencia de
centro O y diámetro PQ. Si el radio tiene
una longitud de 25 mm y a = 50º, halla el
área sombreada. En la figura 2.151 se tiene que CD es tangente a la circunferencia
se centro P y diámetro RQ. Si ∢QCD = 49°
y CQ = 23 u, halla el perímetro del △CQR
y la longitud de la circunferencia.
O
C
A
Fig. 2.149
24. *En la figura 2.152 se tiene una circunferencia de centro O y radio OC,
△BOA rectángulo en ∢AOB. Si ∢A = 36,9º y OC = 8,0 cm, determina
cuántos centímetros cuadrados tiene la superficie del △ABC que no
pertenece al círculo de centro O.
P
Q
O
B
R
OC AB
O
C
C
R
Fig. 2.150
D
A
Fig. 2.151
O
A
Fig. 2.152
25. En la figura 2.153 se tiene que los puntos C y
Q pertenecen a la circunferencia de centro O
y diámetro AB y longitud 10π. AK es tangente
en A. Si AC = 8,0 dm y AK = 12 dm, halla la
amplitud de los ángulos interiores de los dos
triángulos y el área del sector circular limitado
por el arco QB y los lados del ∢QOB.
C
A
O
Q
k
Fig. 2.153
148
B
CAPÍTULO 2
26. A partir de tu experiencia describe un
algoritmo de 4 pasos que se deben seguir para resolver una situación de la vida
práctica, que se modela con un triángulo
rectángulo, en el que se tienen un lado y
un ángulo agudo de este.
27. En la imagen de la cubierta del libro de
la figura 2.154, el futbolista se encuentra
en el vertice del ángulo a, a una distancia de 23 m y 24 m de los extremos de
la portería. ¿Qué valores puede tener el
ángulo de tiro a para que la pelota entre
en la portería?
Fig. 2.154
28. *Por el paso de un huracán, un poste se desbarató de forma tal que
su extremo choca con el piso y dista 8,85 m de su base formando un
ángulo de 41,4º con el suelo. ¿Qué harías para confirmar que la altura
del poste es aproximadamente 20 m?
29. Para medir la distancia desde el punto A hasta el punto inaccesible
C se puede realizar una construcción como la que se ilustra en la
figura 2.155. Calcula AC si β = 60º y AB = 45 mm.
C
A
B
Fig. 2.155
30. Busca una expresión que permita hallar la distancia entre las puntas
de un compás, si se conoce la longitud de sus brazos y el ángulo
que ellos forman.
149
MATEMÁTICA
EJERCICIOS DEL CAPÍTULO
1.
Se tienen tres segmentos a, b y c tales que a : b = 4 : 3 y b : c = 1 : 3
si a = 8,0 cm, entonces c es igual a:
a) ___ 6,0 cm
2.
b) ___ 2,0 cm
Los segmentos con longitudes 0,3 cm y 1,5 cm son proporcionales a
los segmentos que miden:
a) ___ 0,1 dm y 5 cm
3.
c) ___18 cm
b) ___ 2 cm y 2,0 dm
c) ___15 cm y 30 cm
Utilizando el asistente matemático GeoGebra, traza un triángulo
isósceles de perímetro 16 cm, tal que su base a y la altura h, estén en
h 2
la razón: =
a 3
a) Entonces la longitud de los lados iguales es:
___ 4 cm
___ 5 cm
___ 6 cm
b) El área del triángulo es igual a:
___3 cm2
4.
___16 cm2
___ 12 cm2
En la figura 2.156, las semirrectas AC
y AE son cortadas por las rectas BD y
CE y se cumple que:
B
C
D
► La longitud AB es igual a la ter-
cera parte de la longitud de AC
► La longitud de DE excede en 5
unidades a la longitud de AD
y AE = 15 u
a) Prueba que CE || BD
5.
E
En la figura 2.157, EGCD es un cuadrado,
EF || AB, E pertenece a AD, G es el punto
1
de intersección de BC y BF, BG = GC y el
3
△BFG es isósceles, de base BF .
150
a) Clasifica el cuadrilátero ABFE.
b) Halla la amplitud del △ABF
c) Demuestra que △BFG ∼ △EGC
A
Fig. 2.156
D
C
E
G
A
B
Fig. 2.157
F
CAPÍTULO 2
6.
En la figura 2.158, I pertenece a la circunferencia de centro O y diámetro GH,
L ∈ GI, LOHI es un trapecio de bases
HI y OL, ∢G = 35º
I
H
L
a) Halla la amplitud del ∢LOH
b) Demuestra que △OLG ∼ △GHI.
c) Si el área del triángulo OLG es igual a
6,0 cm2. Calcula al área del triángulo
GHI.
O
G
Fig. 2.158
7.
Responde verdadero o falso y justifica en cada caso las respuestas falsas.
a) Todos los cuadrados son semejantes entre sí.
b) Todos los rectángulos son semejantes entre sí.
c) Si dos triángulos son semejantes y el coeficiente de proporciona1
lidad es
y el área de uno de ellos es igual a 18 u2, entonces el
2
área del otro es igual a 6 u2.
d) Si la figura A es semejante a la figura B y el coeficiente de propor5
cionalidad que permite obtener la figura B en la figura A es ,
3
entonces el área de la figura A es mayor que el de la figura B.
e) Si dos paralelogramos son semejantes entre sí y los lados de uno
miden 4,0 cm y 6,0 cm, y los lados del otro son iguales a 8,0 cm y
12 cm, entonces el coeficiente de proporcionalidad es igual a 2.
8.
El polígono D es mayor que el polígono C y se conoce que sus áreas
son iguales a 20 cm2 y 12,8 cm2 respectivamente; además, se sabe que
el perímetro del polígono D es igual a 15 cm. Calcula el perímetro del
polígono C.
9.
En la figura 2.159, ADEF es un cuadrado,
G es punto de intersección de BC y DE, D
pertenece a AB y C pertenece a EF.
a) Si ∢B = 50º, halla la amplitud del ∢CGD.
b) Demuestra que △BGD ∼ △GEC
c) Si BD = 3,0 cm, calcula la longitud de BG.
F
C
E
G
A
D
B
Fig. 2.159
151
MATEMÁTICA
10. En la figura 2.160, F pertenece a la
D
circunferencia de centro O y diámetro AD = 20 mm, ABCD es un cuadrado,
DF || OB
C
F
O
a) Demuestra que △OAB ∼ △AFD
b) Prueba que OB · AF = 4r2 (r, radio de
la circunferencia)
c) Si el ángulo ∢ABO = 27º, halla la longitud de OB
A
B
Fig. 2.160
A
11. En la figura 2.161, △ABC isósceles de
base BC, AD es la altura del △ABC y
DE ⊥ AB, además: AD = 4,0 cm, BC = 6,0 cm
y BE = 1,8 cm.
a) Prueba que △EBD ∼ △ABD.
b) Halla la razón entre los lados proporcionales de los triángulos EBD y ABD.
c) Calcula el perímetro y el área del
triángulo ABC.
E
B
12. En la figura 2.162:
D
C
Fig. 2.161
C
► El △ABC es rectángulo en A.
► El △ABD es equilátero.
► Los puntos AEB y BDC están alineados respec-
tivamente.
► DE altura △ADC del △ABD
a) Clasifica el △ADC atendiendo a la longitud
de sus lados.
b) Demuestra que △BDE~△ABC
c) Si DE = 2 3 cm y AB = 4,0 cm. Calcula el área
del △ABC.
13. En la figura 2.163:
► ABCD es rectángulo,
► EFCD trapecio rectángulo de bases CD y EF
► DE ⊥ AC
152
D
A
E
Fig. 2.162
B
CAPÍTULO 2
► AB = 4,0 cm, AC = 8,0 cm y sen ∢CDE = 0,5º
C
D
CE
CD
b) Halla la longitud de EF
c) Prueba △CDE ∼ △ABC
a) Halla la razón
F
E
14. En la figura 2.164:
► Circunferencia de centro O y diámetro AB
► CD tangente en C a la circunferencia.
B
A
► BD || AC
Fig. 2.163
AB BC
=
a) Prueba que
CD BD
b) Si AC = 8,0 cm y AC = 6,0; halla el área sombreada.
D
B
O
15. En la figura 2.165, el triángulo ABC rectángulo
C
en B, AC = 5,0 cm, AB = 4,0 cm, tal que:
A
► M = sen α, N = cos α y P = tan a
Fig. 2.164
► Q = sen g, R = cos γ y S = tan γ
C
15.1 Calcula el valor numérico de:
a) T
M 3 N
P
b) U 15 Q R S
16. En la circunferencia de centro en O y diámetro
A
B
Fig. 2.165
AB = 10 cm, de la figura 2.166 se tiene que:
► C y D son puntos de la circunferencia.
A
► M punto de intersección de AD y BC.
► ∢BAD = 30º
a) Prueba que los triángulos △AMC y △BMC
son semejantes.
b) Calcula el área sombreada.
c) Verifica que M divide a AD en la razón: 0,73.
C
O
► △AMC es isósceles de base AM
M
B
D
Fig. 2.166
153
MATEMÁTICA
17. En la figura 2.167 ABCD trapecio rectángulo de bases AB y CD, F pertenece
a la circunferencia de centro O y diámetro BF, los puntos E, F y G están
alineados, E ∈ AB, C es el punto de
intersección de AG y la prolongación
de BF, △CFG es isósceles de base FG y
AD || EG .
G
D
C
F
O
B
E
A
Fig. 2.167
a) Demuestra que △BFE ∼ △ACD.
b) Si el senGAE = 3 y EG = 9, 0 cm,
4
3
calcula cos GAE y tanGAE 63 7, 9 .
4
D
18. En la figura 2.168:
E
► ABCD es un paralelogramo
C
A
► ABCE es un trapecio rectángulo en E y A.
► E ∈ CD
a) Demuestra que los triángulos AED y ABC son
semejantes.
b) Si AE = 12 cm y DE = 9,0 cm. calcula el área del
paralelogramo ABCD.
O
B
Fig. 2.168
C
D
19. En la figura 2.169:
► ABCD y AEFC trapecios rec
tángulos de bases AB, CD y
AC, EF respectivamente.
► E ∈ AB y F ∈ BC
► EC ⊥ AB
► AB = 5,0 cm y EB = 1,0 cm
F
E
A
B
Fig. 2.169
C
D
a) Demuestra que △ACD ∼△EBF
b) Calcula el área del trapecio ABCD.
E
20. En la figura 2.170:
► ABCD es un trapecio rectángulo de ba-
ses AB y CD.
► AC bisectriz del ∢BAD.
154
► DE ⊥ AC
B
A
Fig. 2.170
CAPÍTULO 2
a) Prueba que △ABC ∼△AED.
b) Si tan 40º ≈ 0,84 y AB = 8,0 cm, calcula el
área de △ABC .
B
D
C
E
21. En la figura 2.171:
O
► C y D pertenecen a la circunferencia de cen-
tro O y diámetro AB
► E punto medio de CD
A
a) Prueba que △ABC ∼ △BDE
b) Si AE = 1,6 cm y BE = 0,9 cm, calcula el área
sombreada.
Fig. 2.171
F
B
22. En la figura 2.172:
► D y E pertenecen a la circunferencia de centro
C
D
O y diámetro AB
► BCEF trapecio rectángulo de bases EF y BC
► B punto medio del arco DE
E
O
2
a) Prueba que BD AB BC
A
b) Si AC = 9,0 cm. CD = 6,0 , calcula el área del
trapecio BCEF.
Fig. 2.172
A
23. En la figura 2.173:
A1
Las circunferencias de centros O y O’
tienen 5,0 mm y 3,6 mm de radio respectivamente y el centro de la menor
pertenece a la de mayor radio.
O1
O
La recta A1A es tangente a las dos circunferencias en esos puntos.
Fig. 2.173
C
D
Halla la longitud de A1A el área y el perímetro del cuadrilátero OO1A1A.
Q
24. En la figura 2.174:
ABCD es un paralelogramo,
BD es diagonal y altura.
DQ es la distancia de D a BC
Si DQ = 6,0 u y QC= 8,0 u, halla el área y el
perímetro del paralelogramo.
A
B
Fig. 2.174
155
MATEMÁTICA
25. Dada la figura 2.175, demuestra
que:
2
a
2
b
=
p
q
AD = q
DB = p
CD = h
C
b
A
a
h
26. Clasifica las proposiciones siguientes en verdaderas (V) o falsas (F).
De las que consideres falsas argumenta por qué lo son.
CD AB
∢ ACB = 90º
q
D
p
B
Fig. 2.175
a) __ El seno de un ángulo agudo
de un triángulo rectángulo es la razón entre la longitud del
cateto opuesto al ángulo y la longitud de la hipotenusa.
b) __ El coseno de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo difiere
de la razón entre la longitud del cateto adyacente al ángulo y
la longitud de la hipotenusa.
c) __ La tangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo
difiere de la razón entre el seno y el coseno del ángulo.
d) __ La cotangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo
es la razón entre la longitud del cateto adyacente al ángulo y
el cateto opuesto a dicho ángulo.
e) __ En un triángulo isósceles la tangente de los ángulos adyacentes
a la base coincide con la razón entre la longitud de la mediana
relativa la base y la mitad de la longitud de dicha base.
f) __ No existe ángulo agudo en el que el valor del seno y el coseno
sean iguales.
g) __ La tangente de un ángulo agudo no puede ser un número mayor
que 1.
h) __ Si sen β = sen θ, β y θ son ángulos agudos, entonces β = θ.
27. Observa cuidadosamente la ima-
gen de la figura 2.176 en la que
a cada elemento del conjunto A
se le asocia el elemento del conjunto B.
a) Verifica con el uso de las tablas
trigonométricas que la información es real.
156
B
A
sen 77,4º
cos 12,6º
tan 44,3º
cot 45,7º
Fig. 2.176
9,9759
CAPÍTULO 2
b) ¿En qué contenidos matemáticos te ha hecho pensar?
c) ¿Será esta correspondencia una función numérica? Argumenta.
d) ¿Por qué sen 77,4° = cos 12,6° y tan 44,3° = cot 45,7°?
e) ¿Existirá una función como la que se muestra en la tabla? ¿Por
qué?
28. Ahora, aviva tu curiosidad, capacidad de asombro, imaginación y
mente abierta para que, dada la información, crees y resuelvas en
cada caso tu ejercicio cuya solución te conduzca a trabajar con la
razón trigonométrica que se indica.
El 14 de diciembre de 2013 el robot chino Yutu o Conejo de Jade
(figura 2.177) alunizó en nuestro satélite natural (…) Puede subir pendientes de hasta 30° y moverse a una velocidad de hasta
200 metros por hora.5
El tornillo de Arquímedes ha sido muy utilizado para elevar agua.
(…) para su funcionamiento debes introducir la parte inferior del
“tornillo” en el recipiente e inclinarlo aproximadamente 45°.6
¡El ángulo recto que necesitas está garantizado! Observa la maqueta
de la figura 2.178.
Esta es una escalera de tijeras o doble (figura 2.179), una escalera
transportable que se forma con dos escaleras de mano (conformada
por dos largueros unidos por travesaños paralelos que son los pel
daños) unidas en uno de los extremos.
¡Aquí el ángulo lo determinas tú!
seno
coseno
tangente
Fig. 2.177
5
Fig. 2.178
Fig. 2.179
Juventud Rebelde 27.12.14. Foto: Búsqueda en Google el 11.08.14
Francisco H. Pérez Sanfiel, Michel Hernández Mazón y Ernesto Benítez Hechabarría:
Ciencia por doquier, pp. 24, 87-89 (foto: búsqueda en Google el 11.08.14).
6
157
MATEMÁTICA
29. En la figura 2.180, ABCD es un parale
D
C
logramo,
MN: paralela media de △BCD
DP: mediana del △ABD
BQ: mediana del △MBN
M
Demuestra que:
a) △APD~ △BNQ
b) DP || BQ
A
30. En el △AFH de la figura 2.181:
P
Q
N
B
Fig. 2.180
B: punto medio del AC, C: punto medio del BE, E: punto medio del CF,
H
CG: paralela media del △AFH y B,
C, D y E puntos de AF
G
Demuestra que:
a) △ACH ∼ △CEG
A
b) △HCF ∼ △GEF
C
B
D
E
F
Fig. 2.181
31. Los lados del △ABC miden el triplo de los del △PQR semejante a él.
Si la superficie del triángulo PQR es de 36 cm2, ¿cuál es la razón de
semejanza entre los triángulos y el área del △ABC?
C
A
32. En la circunferencia C(O; OE) de la
figura 2.182, AC y BD tangentes a la circunferencia en A y B respectivamente, OD || BC
y ∢ACB = 60º, AB diámetro.
E
O
a) Prueba que: △DBO ∼ △ABC
b) Calcula AC, si AB = 7,2 cm
PARA LA AUTOEVALUACIÓN
D
B
Fig. 2.182
Reflexiona sobre lo aprendido
1.
¿Sabes determinar la razón entre dos segmentos?
2.
¿Qué condiciones debe existir para que los segmentos sean proporcionales?
158
CAPÍTULO 2
3.
¿Cómo construir un segmento que está en una razón dada?
4.
¿Sabes aplicar el teorema de las transversales?
5.
¿Cuándo dos figuras geométricas son semejantes?
Tabla 2.14
Razones trigonométricas
del ángulo agudo
sen
cos
tan
cot
Número real
k
k
k
k
6.
¿Cómo demostrar que dos triángulos son semejantes?
7.
¿Sabes calcular la altura relativa a un lado de un triángulo rectángulo?
8.
¿Se puede determinar la longitud de un cateto o la hipotenusa de un
triángulo rectángulo? ¿Cómo hacerlo?
9.
¿Conoces las razones trigonométricas en un triángulo rectángulo?
10. ¿Cómo determinar la amplitud de un ángulo agudo en un triángulo
rectángulo conociendo la longitud de sus lados?
11. ¿Qué relación existe entre el área y el perímetro de dos triángulos
semejantes?
12. Establece un debate con tus compañeros de grupo, toma como punto
de partida la idea siguiente:
El grupo de teoremas de Pitágoras son seis proposiciones matemáticas verdaderas que permiten establecer relaciones entre los seis
elementos que aparecen al trazar la altura relativa al lado mayor en
un triángulo rectángulo.
13. Enuncia las proposiciones matemáticas verdaderas del grupo de teoremas de Pitágoras en la forma si-entonces.
14. ¿En qué consiste la utilidad de esas proposiciones? Si lo crees necesario
enriquece tu explicación con algunos ejemplos.
15. ¿Qué son las razones trigonométricas de los ángulos agudos de
un triángulo rectángulo? ¿Cómo se definen las que estudiaste
159
MATEMÁTICA
en noveno grado? ¿En qué se fundamenta su indiscutible valor?
Escribe una igualdad en la que relaciones tres de estas.
Ponte a prueba
1.
Clasifica cada una de las proposiciones siguientes en verdaderas (V) o
falsas (F). Escribe V o F en la línea dada. De las que consideres falsas,
justifica por qué lo son.
a) __ La razón entre dos segmentos es el cociente entre los números
que expresa sus longitudes.
b) __ El seno de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es la
razón entre los lados que determinan el ángulo.
c) __ El cuadrado de la razón de proporcionalidad en triángulos
semejantes es igual al cociente de sus áreas.
d) __ Si un ángulo de un triángulo isósceles es igual a un ángulo de
otro triángulo isósceles, entonces los triángulos son semejantes.
e) __ Todos los triángulos rectángulos son semejantes.
f) __ Dos polígonos iguales son también semejantes.
g) __ La longitud de la altura relativa a un lado de un triángulo rectángulo es igual al producto de la hipotenusa por este lado.
2.
a) Demuestra que △ADT ∼ △TBC.
b) Calcula CT y TD si se sabe que:
CAO = 6,0 cm, TO’ = 10 cm y
CD = 3,2 dm.
3.
En la figura 2.184 se tienen dos
rectángulos ABCD y AEFG con
BC || EF, DC || GF, y los tres tríos
de puntos A, B, E; A, C, F y A, D,
G están alineados.
a) ¿Son semejantes los rectángulos ABCD y AEFG?
160
C
Las circunferencias C1(O; AO y
C2(O; O’B) de la figura 2.183 son
tangentes en el punto T.
C1
C2
O
A
T
O1
B
D
Fig. 2.183
F
G
C
D
A
B
Fig. 2.184
E
CAPÍTULO 2
b) Calcula el perímetro y el área de ambos rectángulos si se sabe que
AB = 5,0 cm y AD = BE = 3,0 cm
4.
Construye el segmento de longitud.
a)
m2 + n2
b)
m ⋅ n , si:
m
Sugerencia: recuerda una vez más
lo estudiado sobre construcción de
triángulos y lo que plantean el teorema de Pitágoras, el teorema de las
alturas y el teorema de Tales.
5.
6.
n
Fig. 2.185
Nivel del mar
5,0 pies
Una mina está fija por un cable de
90 pies. Cuando el cable está vertical la mina queda a 5,0 pies de la
superficie del mar. Si una corriente
la desvía, formando ahora el cable
un ángulo de 48º con respecto a su
posición vertical (figura 2.186), ¿a
qué distancia de la superficie se
encuentra ahora la mina?
?
90 pies
90 pies
48º
Fig. 2.186
Analiza si con las imágenes de la figura 2.187, puedes elaborar una
que ilustre lo que plantea el teorema de los catetos, si tu respuesta
es afirmativa, constrúyela y justifica tu proceder.
Rectángulo
de lados q y c
Rectángulo
de lados p y c
AD q
DB p
C
CD h
Cuadrado de
lados a
a
b
h
Cuadrado de
lado b
A
q
c
D
p
B
Fig. 2.187
161
CAPÍTULO 3
Sistemas de ecuaciones lineales
3.1 Ecuaciones lineales con dos variables
Reflexiona un instante
La cantidad de estudiantes, integrantes del Círculo de Interés Pedagógico,
es el triplo de la cantidad de los pertenecientes al Círculo de Interés de
Medicina Natural y Tradicional. Si se incorporan cinco estudiantes más al
Círculo de Interés de Medicina Natural y Tradicional, entonces este círculo
tendría la mitad de integrantes que tiene el Círculo de Interés Pedagógico.
¿Cuántos integrantes tiene cada uno de estos círculos de interés?
En grados anteriores has resuelto problemas con el auxilio de tus cono
cimientos algebraicos y has seguido determinadas indicaciones para encontrar
una ecuación que te permita determinar la solución del problema.
Esta reflexión trata sobre la cantidad de integrantes que tienen dos
círculos de interés. En el texto aparece una relación existente entre la can
tidad de estudiantes integrantes del Círculo de Interés Pedagógico y la
cantidad de estudiantes pertenecientes al Círculo de Interés de Medicina
Natural y Tradicional, pero no conoces cuántos integrantes tiene cada uno
de estos círculos de interés, ni cuántos en total pertenecen a estos círcu
los de interés. Si asignas a la variable x la cantidad de integrantes del Círculo
de Interés Pedagógico y a la variable y la cantidad pertenecientes al otro
círculo, entonces cuando traduces esta relación del lenguaje común al alge
braico obtienes la ecuación x = 3y.
163
MATEMÁTICA
Esta no es la única información que aparece en el texto del problema
sobre los integrantes de estos círculos de interés, también se plantea que, si
se incorporan cinco estudiantes más al Círculo de Interés de Medicina Natu
ral y Tradicional, entonces este tendría la mitad de integrantes que tiene el
Círculo de Interés Pedagógico. Luego, esto quiere decir que ahora el Círculo
de Interés de Medicina Natural y Tradicional tiene y + 5 integrantes y que
esa cantidad es la mitad de la cantidad de integrantes que tiene el Círculo
de Interés Pedagógico, por lo tanto, cuando haces la traducción del lenguaje
x 3
común al lenguaje algebraico obtienes la ecuación
x .
y 5 2
Para encontrar la solución de este problema tienes que hallar los valores
de las variables x y y que satisfagan estas dos ecuaciones, pero con lo que has
estudiado hasta el momento no puedes resolver este problema, por lo que es
necesario que continúes ampliando tus conocimientos sobre las ecuaciones.
Recuerda que…
Las ecuaciones lineales con una variable son aquellas que pueden reducirse
mediante las transformaciones equivalentes a la forma ax + b = 0 con a, b
números reales y a ≠ 0.
Reflexiona un instante
¿Existen otros tipos de ecuaciones lineales?
Definición de ecuación lineal en dos variables
Una ecuación se denomina ecuación lineal en dos variables si y solo si
puede reducirse con la utilización de las transformaciones equivalentes a
la forma ax + by = c donde a, b, c son números reales y a, b no sean simul
táneamente cero.
164
CAPÍTULO 3
x
, que encontraste en el texto del pro
2
blema son ecuaciones lineales en dos variables. Son también de este tipo
5
1
las ecuaciones siguientes: a b 2; - 4m + 6n = 3; 5(x - 8) = 17y.
8
2
Las ecuaciones x = 3y, y y 5
Las variables de estas ecuaciones toman los valores del conjunto de los
números reales, si no se especifica otro conjunto de definición para estas.
Como las ecuaciones tienen dos variables, las soluciones son pares ordena
dos de números reales.
¡Atención!
El conjunto solución de estas ecuaciones es un conjunto donde los elementos
son pares ordenados de números reales.
Las ecuaciones lineales con dos variables tienen, en general, infinitas
soluciones, lo que significa que existen infinitos pares ordenados de núme
ros reales que transforman la ecuación en una proposición verdadera. Por
ejemplo, la ecuación 2x + 4y = 20 tiene, entre otras, las soluciones siguientes
(-2;6), (0;5), (8;1) y (12;-1), en los que el valor del primer componente del
par ordenado corresponde a la primera variable según el orden del alfabeto
y el segundo componente a la segunda variable. Estos pares son soluciones
de la ecuación, porque al sustituir la variable x por el primer componente
del par y la variable y por el segundo componente del par, obtienes una
proposición verdadera:
2(-2) + 4(6) = - 4 + 24 = 20
2(0) + 4(5) = 0 + 20 = 20
2(8) + 4(1) = 16 + 4 = 20
2(12) + 4(-1) = 24 - 4 = 20
Que una ecuación tenga infinitas soluciones no significa que todo par
ordenado de números reales es solución de esta ecuación, por ejemplo, el
par (1;3) no es solución de la ecuación 2x + 4y = 20, porque si sustituyes las
variables por los valores del par ordenado, resulta 2 · 1 + 4 · 3 = 2 + 12 = 14
y obtienes una proposición falsa, ya que 14 ≠ 20.
165
MATEMÁTICA
Análogamente a las ecuaciones lineales con una variable, dos ecuacio
nes lineales con dos variables son equivalentes si tienen el mismo conjunto
solución en un dominio de la variable dado. Las transformaciones equiva
lentes que estudiaste en séptimo grado para las ecuaciones lineales con
una variable son válidas para las ecuaciones lineales con dos variables y
conducen a la obtención de una ecuación equivalente.
Ejemplo 1
Calcula el valor de a para que una solución de la ecuación 2m - 3n = a sea:
a) (1;2)
b) (-3;3)
c) (0;-5)
d) (-2;0)
Solución:
a) 2m - 3n = a
2(1) - 3(2) sustituyendo las variables m y n por los valores del par or
denado (1; 2)
=2-6=-4
Luego, a = - 4
b) 2m - 3n = a
2(-3) - 3(3)
=-6-9
= -15
Por tanto, a = -15
c) 2m - 3n = a
= 2(0) - 3(-5)
= 0 + 15
= 15
Entonces, a = 15
d) 2m - 3n = a
= 2(-2) - 3(0)
= -4 - 0
= -4
Luego, a = - 4
Ejemplo 2
Determina cuáles de los pares ordenados siguientes son solución de la
ecuación 5x - y = 8.
a) (-1;3)
166
b) (1;-3)
c) (-3;1)
CAPÍTULO 3
Solución:
a) Sustituyes la variable x por -1 y la variable y por 3 en la ecuación
5x - y = 8
5 (-1) - 3 = - 5 - 3 = - 8 y - 8 ≠ 8.
Como obtienes una proposición falsa, el par (-1;3) no es solución de la
ecuación.
b) (1;-3)
5(1) - (-3) = 5 + 3 = 8 y 8 = 8
Como obtienes una proposición verdadera, el par (1;-3) es solución de
la ecuación.
c) (-3;1)
5(-3) - (1) = -15 - 1= -16 y -16 ≠ 8.
Por lo tanto, el par (-3;1) no es solución de la ecuación.
Observa que mientras que el par (1; -3) es solución de la ecuación, el
par (-3;1) no lo es, por lo que es importante que respetes el orden en que
se le asignen los valores a las variables, recuerda que al primer componente
del par le corresponde la primera variable, según el orden alfabético, y al
segundo componente la otra variable.
Como sabes las funciones lineales se definen por ecuaciones del tipo
y = mx + n, con m y n números reales, donde y es la variable dependien
te y x, la variable independiente; luego, las ecuaciones de las funciones
lineales son ecuaciones lineales con dos variables. Tú conoces que la re
presentación gráfica de estas funciones es una recta del plano y que la
ecuación de una recta es ax + by + c = 0 con a, b, c números reales, a y b
distintos de cero, por lo que las coordenadas de los puntos del plano que
pertenecen a una recta son los pares ordenados de números reales que
son solución de su ecuación.
Saber más
Un caso particular de estas ecuaciones lineales con dos variables son las
llamadas ecuaciones diofánticas. Una ecuación diofántica es una ecuación
en la que los coeficientes de las variables, el término independiente y las
soluciones son números enteros.
Resolver una ecuación diofántica consiste en determinar qué números en
teros la transforman en una proposición verdadera. Este tipo de ecuación
no siempre tiene solución y cuando es soluble tiene infinitas soluciones.
167
MATEMÁTICA
De la historia
Estas ecuaciones reciben este nombre del matemáti
co Diofanto de Alejandría (figura 3.1), quien además
de ser uno de los primeros en utilizar el simbolismo
en álgebra, se dedicó entre otras cosas al estudio de
estas ecuaciones.
Fig. 3.1
Aunque muchos problemas de la vida práctica se resuelven empleando
ecuaciones diofánticas, no es propósito de la asignatura Matemática en la
secundaria básica que aprendas a resolver ecuaciones de este tipo.
Investiga y aprende
¿Cuándo una ecuación diofántica con dos variables tiene solución? ¿Cuál
es el procedimiento para encontrar el conjunto solución de este tipo de
ecuaciones?
Ejercicios
1.
Clasifica las proposiciones siguientes en verdaderas o falsas. Escribe
V o F en la línea dada. Justifica las que sean falsas.
a) __ Toda ecuación lineal admite una solución
b) __ La ecuación 6x + 3 = 0 tiene solución en el conjunto de los nú
meros enteros.
c) __ La ecuación - 8x + 6y = 0 es una ecuación lineal
d) __ La ecuación y2 - 3y = 2 + (y2 - 4)
2.
Calcula el valor de p en la ecuación 4x - 6y = p para que una de sus
soluciones sea el par numérico en cada caso.
a) (1; 2)
3.
c) (0;- 6)
d) (- 1;0)
Determina cuáles de los pares ordenados siguientes son solución de
la ecuación lineal 5x - 8 = y
a) (- 3; 1)
168
b) (- 4;4)
b) (- 1; - 13)
c) (1; - 3)
CAPÍTULO 3
3.2 Sistemas de ecuaciones lineales
con dos variables
Al realizar la traducción del lenguaje común al algebraico de las rela
ciones que aparecen en el texto de la reflexión de inicio de este capítulo,
obtuviste dos ecuaciones lineales con dos variables x = 3y; y + 5 = x .
2
Está claro que como ambas ecuaciones representan relaciones existentes
entre las cantidades que hay que determinar para resolver el problema,
tienes que encontrar valores para las variables x y y que satisfagan simul
táneamente estas ecuaciones.
Definición de sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables
Se denomina sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables a
dos ecuaciones de este tipo que puedan resolverse de la forma
a1x b1y c1
a2 x b2 y c2
Donde a1, a2, b1, b2, c1, c2 son números reales y a1, a2, b1, b2 no sean simul
táneamente cero.
x y 5
p 3q 2
3, 4m 7n 11, 2
Por ejemplo,
,
,
son
0,5m 3,5n 8q 3p 5
2 x 11y 3
sistemas de dos ecuaciones lineales con dos variables.
Un par ordenado (x1; y1) es solución de un sistema de dos ecuaciones li
neales con dos variables si y solo si es solución de cada una de las ecuaciones
del sistema, es decir, si el par (x1; y1) transforma cada una de las ecuaciones del
sistema en una proposición verdadera.
Esto significa que las soluciones de un sistema de dos ecuaciones lineales
con dos variables son las soluciones comunes de las dos ecuaciones que integran
el sistema, por tanto, el conjunto solución de un sistema de ecuaciones es la
intersección de los conjuntos solución de cada una de las ecuaciones del sistema.
Para resolver el problema de la reflexión de inicio del capítulo se deben
encontrar valores para las variables x, y que satisfagan ambas ecuaciones,
debes obtener la solución del sistema de dos ecuaciones lineales con dos
x 3
variables
x
y 5 2
169
MATEMÁTICA
De la historia
La solución de sistemas de ecuaciones lineales forma parte de los problemas
matemáticos más antiguos vinculados de forma directa con la práctica.
Tanto en la matemática mesopotámica como en la china y la japonesa del
medioevo aparecen sistemas de ecuaciones lineales.
En los Nueve capítulos sobre las artes matemáticas (Chiu Chang Suan Shu),
pieza más antigua de la matemática china, que no se conoce quién, ni
cuándo, ni dónde la escribió, aparece un procedimiento elaborado en for
ma de pasos denominado fang-cheg para el tratamiento de los sistemas de
ecuaciones lineales. En China, en el año 1683, fue desarrollado el trabajo
con sistemas de ecuaciones lineales por el matemático japonés Seki Shinsuke
Kowa de una forma semejante a la que se emplea hoy.
Ejemplo 1
Determina si los pares ordenados siguientes son soluciones del sistema
2 x y 7
x y 2
a) (2;3)
b) (3;1)
c) (1;3)
d) (5;3)
Solución:
a) El par (2;3) es solución de la ecuación 2x + y = 7 pues 2 ∙ 2 + 3 = 4 + 3 = 7,
pero no es solución de la ecuación x - y = 2, ya que, si sustituyes la varia
ble x por 2 y la variable y por 3 no obtienes una proposición verdadera,
porque 2 - 3 = - 1 ≠ 2, luego, el par (2;3) no es solución del sistema.
b) El par (3;1) es solución de la ecuación 2x + y = 7 porque 2 ∙ 3 + 1 = 7 y
también es solución de la segunda ecuación, pues 3 - 1 = 2. Por tanto,
el par (3;1) es solución del sistema.
c) El par (1;3) no es solución de la primera ecuación del sistema porque
no la transforma en una proposición verdadera ya que, si sustituyes la
variable x por 1 y la variable y por 3 obtienes, 2 ∙ 1 + 3 = 5. Luego, el par
(1;3) no es solución del sistema.
d) El par (5;3) es una solución de la segunda ecuación del sistema, porque
si sustituyes la variable x por 5 y la variable y por 3 se transforma en una
proposición verdadera, pero este par no es solución de la primera ecuación,
observa que en este caso no se obtiene una proposición verdadera, ya que
2 ∙ 5 + 3 = 13 ≠ 7. Por lo tanto, el par (2;3) no es solución del sistema.
170
CAPÍTULO 3
Conoces que las ecuaciones en general, pueden tener o no solución y
que la solución puede ser única o ser infinita. Ahora analizarás la solubilidad
de los sistemas de dos ecuaciones lineales con dos variables.
Como toda ecuación de la forma ax + by + c = 0 con a, b, x, y ∈ r y a y b
no son simultáneamente iguales a cero, representa una recta en el plano
coordenado y es una ecuación lineal con dos variables, las ecuaciones de
un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables son ecuaciones de
dos rectas, que pueden tener diferentes posiciones en el plano. Ya has es
tudiado que dos rectas en el plano pueden intersecarse en un punto o ser
paralelas, coincidentes o no.
y
En la figura 3.2, observa que las rectas r y s
r
se intersecan en un punto P, esto quiere decir
P
que existe un punto del plano que pertenece a
las dos rectas, por lo tanto, las coordenadas de
x
este punto satisfacen cada una de las ecuacio
s
nes de estas rectas, lo que significa que el par
ordenado de números reales correspondiente
Fig. 3.2
a las coordenadas del punto de intersección de
las dos rectas es solución de cada una de las ecuaciones y, por tanto, es la
solución del sistema formado por las ecuaciones de esas rectas.
¡Atención!
Si las rectas se cortan en un punto el sistema de dos ecuaciones lineales con
dos variables formado con las ecuaciones de estas rectas tiene solución única.
y
Observa, en la figura 3.3, que las rectas r y s
son paralelas, esto quiere decir que no tienen
ningún punto en común, luego, no existe nin
x
gún punto en el plano que pertenezca a las dos
r
rectas, entonces no existe un par ordenado de
números reales que sea solución de cada una de
s
las ecuaciones de estas rectas, lo que significa
Fig. 3.3
que la intersección de los conjuntos soluciones
de cada una de estas ecuaciones es el conjunto vacío, luego el sistema con
formado por las ecuaciones de estas rectas no tiene solución.
171
MATEMÁTICA
¡Atención!
Si las rectas son paralelas el sistema de dos ecuaciones lineales con dos va
riables formado con las ecuaciones de estas rectas no tiene solución.
En la figura 3.4, nota que las rectas r y s
coinciden. Esto significa que existen infinitos
puntos del plano que pertenecen a ambas rec
tas, luego, hay infinitos pares ordenados de
números reales que satisfacen las ecuaciones
de estas rectas, lo que quiere decir que el sis
tema conformado por estas ecuaciones tiene
infinitas soluciones.
y
x
r
s
Fig. 3.4
¡Atención!
Si las rectas coinciden el sistema de dos ecuaciones lineales con dos varia
bles formado con las ecuaciones de estas rectas tiene infinitas soluciones.
Se puede concluir que un sistema de dos ecuaciones lineales con dos
variables puede: o tener solución única o infinitas soluciones o ninguna
solución, en dependencia de la posición relativa en el plano de las rectas
cuyas ecuaciones conforman el sistema.
En octavo grado estudiaste que la pendiente de la recta es el valor de su
inclinación con respecto al eje x, por lo tanto, existe una estrecha relación
entre las pendientes de dos rectas y su posición relativa en el plano.
Si las pendientes de dos rectas son distintas, quiere decir que la inclina
ción de las rectas con respecto al eje de las x es diferente, por lo tanto, las
rectas se cortan en un punto.
Por ejemplo, en las rectas cuyas ecuaciones son a: 6x - 7y + 5 = 0 y
b: - 4x + 3y = 1, para determinar cuáles son sus pendientes y términos
independientes ya sabes que hay que despejar la variable y en cada una
de estas.
y
172
6
5
x
7
7
y
4
1
x
3
3
CAPÍTULO 3
6
5
y el término independiente y para
7
7
4
1
la recta b la pendiente es y el término independiente . Observa que en
3
3
este caso las pendientes de las rectas son diferentes.
Para representar gráficamente estas rectas en el mismo sistema de coor
denadas solo necesitas las coordenadas de dos puntos que pertenezcan a
cada una (figura 3.5).
6
5
4
1
y= x+
y= x+
7
7
3
3
Para la recta a la pendiente es
y
x
–2
5
y
–1
5
4
A(–2;–1), B(5;5)
3
5
2
x
–1
2
y
–1
3
C(–1;–1), D(2;3)
g
B
D
E
1
–3
–2 –1 0
–1
A
1
2
3
4
5
x
C
Fig. 3.5
Observa que las rectas se cortan en el punto E.
Sin embargo, si las pendientes son iguales eso significa que tienen la
misma inclinación con respecto al eje de las x, por lo que puede ocurrir que
sean paralelas, coincidentes o no.
Por ejemplo, en las rectas de ecuaciones
a: 6x - 7y + 5 = 0 y b: - 6x + 7y + 9 = 0, sus pendientes son iguales, pues
si despejas la variable y, obtienes:
y=
6
5
x+
7
7
y=
6
9
x7
7
Observa que en este caso los términos independientes son
9
5
y - , que
7
7
son diferentes.
Cuando representas gráficamente estas rectas en el mismo sistema de
coordenadas (figura 3.6) se tiene:
6
5
6
9
y= x+
y= x7
7
7
7
173
MATEMÁTICA
x
–2
5
y
–1
5
y
B
5
4
A(–2;–1), B(5;5)
2
x
–2
5
y
–3
3
E
1
–3
C(– 2;– 3), D(5;3)
D
3
–2 –1 0
–1
1
A
2
3
4
5
x
6
–2
C
–3
Fig. 3.6
Observa que las rectas son paralelas, luego, cuando las pendientes de
las rectas son iguales y los términos independientes de las ecuaciones son
diferentes, las rectas son paralelas. Entonces, cuando las pendientes y los
términos independientes de las rectas son iguales, las rectas coinciden.
Por ejemplo, en las rectas de ecuaciones
a: 6x - 7y + 5 = 0 y b: - 12x + 14y - 10 = 0, sus pendientes son iguales al
igual que sus términos independientes, porque cuando despejas la variable
y obtienes la misma ecuación:
y=
6
5
x+
7
7
y=
6
5
x+
7
7
Si las representas gráficamente en un sistema de coordenadas (figura 3.7)
resulta:
y
x
y
–2
–1
5
5
B
4
5
3
A(–2;–1), B(5;5)
2
1
–3 –2
A
–1 0
1
2
3
–1
Fig. 3.7
Luego, las rectas son coincidentes.
174
4
5
6
x
CAPÍTULO 3
Como de la relación entre las pendientes de dos rectas y los términos
independientes puedes determinar su posición relativa en el plano, esta
relación te permite conocer cuántas soluciones tiene un sistema de dos
ecuaciones lineales con dos variables, siempre y cuando te sea posible deter
minar la pendiente de la recta, pues como conoces para las rectas paralelas
al eje de las ordenadas la pendiente no está definida.
Recuerda que…
En un sistema de dos ecuaciones lineales en dos variables representado en
a1
c1
y1 b x b
1
1
la forma
con b1 ≠ 0 y b2 ≠ 0 si:
a
c
y 2 x 2
2
b2
b2
►
a1
a
2 , entonces el sistema tiene solución única.
b1
b2
►
c1
c
a1
a
2 , entonces el sistema no tiene solución.
2 y
b1
b2
b1
b2
►
c1
c
a1
a
2 , entonces el sistema tiene infinitas soluciones.
2 y
b
b
b1
b2
1
2
Ejemplo 2
Analiza cuántas soluciones tienen los sistemas de dos ecuaciones lineales
con dos variables siguientes:
2 x 3 y 22
a)
3 x y 0
x y 10
b)
x y 2
9 x 6 y 18
c)
3 x 2 y 6
x 3y
d)
x
y 5 2
Solución:
2 x 3 y 22
a)
3 x y 0
Transformas el sistema de manera que puedas determinar las pendientes
de las rectas cuyas ecuaciones conforman este sistema. Para esto despejas
la variable y en las dos ecuaciones del sistema.
22
2
y x
3
3
y 3 x
175
MATEMÁTICA
Después identificas cuál es la pendiente de cada una de las rectas. En
2
este caso, la pendiente de la primera recta es - y la segunda es - 3.
3
Luego comparas las pendientes de las rectas. Las pendientes son dife
rentes. Como las pendientes son diferentes las rectas se intersecan en
un punto y, por tanto, el sistema tiene solución única.
x y 10
b)
x y 2
Transformas el sistema
y x 10
y x 2
En este caso las pendientes de las rectas son iguales. Luego, para que
puedas determinar el tipo de solución del sistema tienes que comparar
los términos independientes de las ecuaciones. En este caso los términos
independientes son diez y dos, que son diferentes, luego, el sistema no
tiene solución.
9 x 6 y 18
c)
3 x 2 y 6
Transformas el sistema
3
y 2 x 3
y 3 x 3
2
En este caso tanto las pendientes de las rectas como sus términos inde
pendientes son iguales, por tanto, el sistema tiene infinitas soluciones.
x 3y
d)
x
y 5 2
Este sistema es el que tienes que resolver para dar respuesta al problema
que aparece en la reflexión del inicio del capítulo.
Transformas el sistema
1
y 3 x
y 1 x 5
2
176
CAPÍTULO 3
Las pendientes de las rectas son diferentes, luego, el sistema tiene solu
ción única. Todavía no sabes determinar la solución de un sistema de dos
ecuaciones lineales con dos variables, por lo que aún no puedes resolver
el problema planteado en la reflexión de inicio del capítulo.
Ejemplo 3
Encuentra una ecuación que con la ecuación 2x + 4y = 1 forme un sistema
de dos ecuaciones lineales con dos variables que tenga:
a) solución única
b) infinitas soluciones
c) ninguna solución
Solución:
a) Como para que el sistema tenga solución única, las pendientes de las
rectas de las ecuaciones que forman el sistema tienen que ser diferentes,
debes determinar cuál es la pendiente de la recta cuya ecuación es
2x + 4y = 1. Para ello despejas la variable y en esta ecuación, entonces
1
1
1
obtienes que y x , como la pendiente de esta recta es - , cual
2
2
4
1
quier ecuación de una recta con pendiente diferente de - , puede
2
conformar un sistema con la ecuación dada que tenga solución única.
Por ejemplo, la ecuación y = - 2x + 5. Aquí la pendiente de la recta es - 2
y obtienes la ecuación lineal en dos variables
2 x 4 y 1
2x + y = 5. Entonces, el sistema
tiene solución única.
2x y 5
b) Conoces que para que un sistema tenga infinitas soluciones las pendientes
de las rectas y los términos independientes de las ecuaciones de la recta
tienen que ser iguales. Luego, basta que multipliques la ecuación
1
1
y = x por un número real distinto de cero, para que obtengas la
2
4
ecuación de una recta que tiene la misma pendiente y el mismo término
independiente de la ecuación dada. Por ejemplo, si multiplicas por ocho
1
1
la ecuación y = x resulta la ecuación 8 y 4 x 2, y entonces el
2
4
2x 4y 1
sistema
tiene infinitas soluciones.
4 x 8 y 2
c) En este caso las pendientes de las rectas, cuyas ecuaciones conforman
el sistema deben ser iguales y los términos independientes diferentes.
Como la pendiente de la recta que tiene como ecuación 2x + 4y = 1
177
MATEMÁTICA
1
1
y su término independiente es entonces, cualquier ecuación
2
4
1
de una recta con pendiente - y término independiente diferente
2
1
de , conforma con la ecuación dada un sistema de dos ecuaciones
4
1
lineales con dos variables sin solución. Por ejemplo, la ecuación y = 2
2 x 4 y 1
x + 4 tiene estas condiciones, por lo tanto, el sistema 1
no
2 x y 4
es -
tiene solución.
Ejemplo 4
kx 6 y 19
Determina el valor del parámetro k para que el sistema
3 x 2 y 0
tenga:
a) una solución.
b) ninguna solución.
Solución:
a) Para poder determinar el tipo de solución debes despejar la variable y
en las dos ecuaciones para determinar las pendientes de las rectas cuyas
ecuaciones conforman el sistema.
kx 6 y 19
3 x 2 y 0
6 y kx 19
2 y 3 x
k
19
y 6 x 6
y 3 x
2
Como para que el sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables
tenga una solución, las pendientes de las rectas tienen que ser diferentes,
k 3
entonces ≠ , luego, debes determinar para qué valores de k se cumple
6 2
esta desigualdad. Basta que resuelvas la ecuación lineal en una variable
k 3
= .
6 2
178
CAPÍTULO 3
k 3
=
6 2
3
k= ∙6
2
k=9
Luego, el sistema tiene una solución para todo k ∈ r tal que k ≠ 9.
b) Ya determinaste que para k ≠ 9 las pendientes de las rectas son diferentes,
entonces para k = 9 se cumple que son iguales. Observa que los términos
independientes de las dos ecuaciones de este sistema son diferentes, por
tanto, para k = 9 el sistema no tiene solución.
Ejercicios
1.
Lee detenidamente la pregunta y responde:
Clasifica las proposiciones siguientes en verdaderas o falsas. Escribe
V o F en la línea dada. Justifica las que sean falsas.
a) __ El par (1;5) es solución de la ecuación 3x - 2y = 13.
b) __ Resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables
es hallar los pares ordenados de números reales que satisfacen
simultáneamente cada una de sus ecuaciones.
c) __ Los sistemas de dos ecuaciones lineales con dos variables pueden
tener una solución, infinitas soluciones o ninguna solución.
d) __ Las ecuaciones lineales con dos variables no siempre tienen solución.
x y 3
e) __ El sistema
tiene solución única.
2 x y 5
3m n 2
f) __ El sistema
tiene infinitas soluciones.
6m 2n 2
g) __ Una solución de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos
variables es un par ordenado de números reales que transforma
ambas ecuaciones en proposiciones verdaderas.
h) __ Todos los sistemas de dos ecuaciones lineales con dos variables
tienen solución.
p q 1
i) __ El par (- 3;4) es solución del sistema
3p q 13
x y 4
j) __ El par (1;3) es solución del sistema
, entonces el
y x 2
par (3;1) también es solución de este sistema.
179
MATEMÁTICA
2.
Dado el sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables
3m 2n 17
, determina cuál de los pares siguientes es su solución:
5m n 11
a) (4;3)
b) (3;4)
c) (5;1)
d) (3;1)
3.
Marca con una X la respuesta correcta.
x y 3
3.1 El sistema de ecuaciones
tiene como solución al par:
2x 4y 12
a) __ (3;1)
b) __ (4,-1)
c) __ (0;-2)
d) __ (1;-1)
2m 3n 12
3.2 El sistema de ecuaciones
tiene como solución al par:
3m 2n 13
a) __ (0;4)
b) __ (2;3)
c) __ (3;2)
1
d) __ ; 6
3
2a 3b 3
3.3 El sistema de ecuaciones
tiene como solución al par:
5a 6b 3
1
a) __ 1;
b) __ (0;1)
3
c) __ (3; 2)
4.
1
Comprueba que el par 2 ; es solución de los sistemas de dos
2
ecuaciones lineales con dos variables siguientes:
7 x 4 y 12
a)
3 x 2 y 7
5.
x 2 y 1
b)
2 x 6 y 1
Escribe un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables cuya
solución sea:
a) (1;- 2)
6.
1
d) __ ;1
3
b) (-3;1)
c) (-7;0)
Escribe un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables tal que:
a) tenga infinitas soluciones.
b) no tenga solución.
c) tenga solución única.
Fundamenta tu respuesta.
180
d) (0;5)
CAPÍTULO 3
7.
Añade una ecuación a cada una de las ecuaciones siguientes de modo
que en cada caso conformes un sistema de dos ecuaciones lineales
con dos variables que tenga:
► única solución
► infinitas soluciones
► ninguna solución.
8.
a) x - y = 1
1
b) m + n = 5
2
c) 4p + 5q = 11
d) 2x + 3y = 12
Determina cuántas soluciones tienen los sistemas de dos ecuaciones
lineales con dos variables siguientes:
3m 4n 6
a)
4m 5n 0
x 2y 8
b)
x 2y 4
3p q 10
c)
2 p 3q 1
a b 4
d)
2a 2b 8
5v w 0
e)
10v 2w 7
2
s t 0
f) 3
6 s 9t 0
3 j 5k 4
g)
6 j 12k 6
9.
Determina el valor del parámetro k para que el sistema de dos ecuacio
x 2y 4
nes lineales con dos variables
tenga infinitas soluciones.
3 x 6 y k
am 5n 1
tenga como
3m 2n 7
10. Halla el valor de a para que el sistema
conjunto solución a S = {(1;-2)}.
3.3 Procedimiento gráfico para resolver sistemas
de dos ecuaciones lineales con dos variables
Hasta ahora has podido determinar cuántas soluciones tiene un sistema
de dos ecuaciones lineales con dos variables, a partir de la posición relati
va de las rectas en el plano cuyas ecuaciones forman el sistema; también
sabes que cuando las rectas son paralelas el sistema no tiene solución y
en este caso el conjunto solución es el conjunto vacío, y cuando las rectas
181
MATEMÁTICA
coinciden el sistema tiene infinitas soluciones y al conjunto solución del
sistema pertenecen todos los pares ordenados de números reales, que son
las coordenadas de los puntos que pertenecen a la recta. Luego, en estos
casos sabes determinar el conjunto solución, solo te falta hallar el conjunto
solución en el caso de que el sistema tenga solución única.
Conoces que el sistema tiene solución única cuando las rectas se cortan
en un punto, lo que significa que el punto de intersección pertenece a las
dos rectas, entonces, sus coordenadas satisfacen cada una de las ecuaciones
de las rectas, luego, las coordenadas del punto de intersección es el par
ordenado que satisface cada una de las ecuaciones del sistema y, por lo
tanto, es la solución del sistema.
Reflexiona un instante
¿Cómo puedes determinar las coordenadas del punto de intersección de
dos rectas?
Está claro que, si representas gráficamente las rectas, cuyas ecuaciones
forman el sistema, puedes determinar las coordenadas del punto de inter
sección y encontrar el conjunto solución del sistema.
x y 2
Por ejemplo, para el sistema
representas gráficamente las
x y 4
rectas que tienen por ecuación las dadas en el sistema.
Para esto, primeramente, transformas las ecuaciones del sistema des
pejando la variable y.
y x 2
y x 4
Observa que las pendientes de las rectas son diferentes, lo que indica
que las rectas se intersecan en un punto y, por tanto, el sistema tiene so
lución única.
Para representar gráficamente la recta, como conoces, basta con encon
trar las coordenadas de dos puntos que pertenezcan a la recta, para esto
con la ayuda de una tabla le das valores a la variable independiente x para
así obtener los valores de la variable dependiente y (figura 3.8). Recuerda
que para esto también puedes utilizar los puntos cómodos.
Recta a de ecuación y = x + 4
182
Recta b de ecuación y = - x + 2
CAPÍTULO 3
x
–4
0
y
0
4
y
B
6
5
A(– 4;0), B(0;4)
E
x
0
2
y
2
0
C(0;2), D(2;0)
4 F
3
2 C
1
A
–4 –3
D
–2 –1 0
–1
1
2
3
x
Fig. 3.8
Después de representar gráficamente las dos rectas solo te falta determi
nar cuál es el punto de intersección de las dos rectas. Observa que el punto E
es el punto de intersección de estas dos rectas y sus coordenadas son (-1;3)
por lo tanto, el par ordenado de números reales (-1;3) es la solución única
del sistema dado y su conjunto solución es S = {(-1;3)}.
Como la solución del sistema la hallaste a partir de la representación
gráfica de las rectas cuyas ecuaciones conforman este sistema, por eso es
que a este proceder se le denomina procedimiento gráfico para resolver
sistemas de dos ecuaciones lineales con dos variables.
Ejemplo 1
Determina el conjunto solución de los sistemas de dos ecuaciones lineales
con dos variables siguientes:
2 x 4 y 2
a)
x 2 y 1
3 x y 11
b)
9 x 3 y 6
x 3y
d)
x
y 5 2
5x 6y 8
e)
6 x 7 y 4
2 x y 3
c)
x 3 y 2
Solución:
2 x 4 y 2
a)
x 2 y 1
Transformas las ecuaciones del sistema de manera tal que la variable y
quede despejada en las dos ecuaciones del sistema.
183
MATEMÁTICA
4 y 2 2 x
2 y 1 x
2 x 2
y
4
y x 1
2
1
1
y 2 x 2
y 1 x 1
2
2
Observa que las pendientes de las rectas y los términos independientes
son iguales, luego, las rectas en el plano coinciden, lo que significa que las
coordenadas de los infinitos puntos que pertenecen a la recta satisfacen
cada una de las ecuaciones el sistema, es decir, que las coordenadas de
cada uno de los puntos de la recta son solución del sistema.
Representas la recta a partir de determinar las coordenadas de dos puntos
que pertenecen a la recta (figura 3.9).
x
1
3
y
–1
–2
y
A(1;–1), B(3;–2)
2
a
–4 –3
1
–2 –1 0
–1
–2
1
2
3
4
x
A
–3
B
Fig. 3.9
Por tanto, el sistema tiene infinitas soluciones y su conjunto solución es:
1
1
S ( x ; y ) : y x , x r .
2
2
3 x y 11
b)
9 x 3 y 6
184
CAPÍTULO 3
Transformas las dos ecuaciones del sistema:
y 3 x 11
y 3x 2
Observa que las pendientes de las rectas coinciden, pero sus términos
independientes no; por tanto, las rectas son paralelas (figura 3.10).
y = 3x - 11
y = 3x - 2
x
3
4
y
–2
1
A(3;– 2), B(4;1 )
x
1
2
y
1
4
C(1;1), D(2;4 )
y
D
4
3
2
1
–1 0
–1
B
C
1
–2
2
3
4
5
x
A
Fig. 3.10
Luego, el sistema no tiene solución y su conjunto solución es: S = Ø.
2 x y 3
c)
x 3 y 2
R: Transformas las dos ecuaciones del sistema:
y 2 x 3
1
2
y 3 x 3
En este caso, las pendientes de las rectas no son iguales, por lo tanto, el
sistema tiene solución única y para determinar el conjunto solución del
sistema tienes que representar gráficamente las rectas cuyas ecuaciones
lo forman.
Para esto basta que encuentres las coordenadas de dos puntos que perte
necen a cada una de las rectas, los representes en un sistema rectangular
de coordenadas y traces las rectas que pasan por cada pareja de puntos
(figura 3.11).
185
MATEMÁTICA
Recta y = - 3 - 2x
x
0
–1
y
–3
–1
2 1
Recta y = x
3 3
A(0;–3), B(–1;–1)
y
3
2
D
1
2
5
C
1
–2 –1 0
–1
C(2;0), D(5;1)
–2
x
y
0
–3
1
2
3
4
5
x
A
–4
Fig. 3.11
Observa que el punto B, en el que se cortan las rectas, tiene como
coordenadas al par (- 1;- 1), luego, el conjunto solución del sistema es
S = {(- 1;- 1)}.
x 3y
d)
x
y 5 2
Ahora utilizando el procedimiento gráfico vas a encontrar la solución
del sistema que te permitirá resolver el problema planteado al inicio del
capítulo.
Transformas el sistema:
1
y 3 x
y 1 x 5
2
Representas gráficamente las dos rectas en un sistema de coordenadas:
Recta y =
1
x
3
Recta y =
1
x -5
2
Como el punto de intersección de las dos rectas es el punto E (figura 3.12)
de coordenadas (30;10), entonces el conjunto solución del sistema es
S = {(30;10)}.
186
CAPÍTULO 3
x
0
3
y
0
1
y
10
A(0;0), B(3;1)
x
4
6
y
–3
–2
5
B
0A
–5
0C 5
D
-5
10
15
20
25
30 x
-10
C(4;– 3), D(6;– 2)
Fig. 3.12
¡Atención!
Para poder determinar las coordenadas del punto de intersección se tuvo
que utilizar otra escala diferente a la de los incisos anteriores, lo que hace
que no siempre sea fácil determinar el conjunto solución por esta vía.
5x 6y 8
e)
6 x 7 y 4
Transformas las dos ecuaciones del sistema:
8
5
y 6 x 6
y 6 x 4
7
7
Representas gráficamente las dos rectas en un sistema de coordenadas
(figura 3.13)
5
8
6
4
Recta y = x Recta y = x +
3
6
7
7
y
x
–2
4
y
3
–2
A(–2;3), B(4;–2)
x
–3
4
y
–2
4
C(–3;–2), D(4;4)
6
5
A
4
3
2
E
1
–4 –3 –2 –1 0
−1
–2
C
−3
D
1 2
3
4 5
6
7
8
x
B
Fig. 3.13
187
MATEMÁTICA
En este caso no se puede determinar la solución exacta, pues las coor
denadas del punto de intersección de las dos rectas no se pueden
determinar exactamente, las coordenadas del punto E son aproxima
damente (0,5;1).
Este procedimiento te permite analizar rápidamente el tipo de solución
del sistema, pero no siempre se determinan soluciones exactas, a veces son
aproximadas.
Cuando la solución es única siempre puedes encontrarla por el proce
dimiento gráfico, solo debes hacer una adecuada selección de las unidades
de los ejes de coordenadas y tener en cuenta que la solución generalmente
es aproximada.
Reflexiona un instante
Es necesaria la búsqueda de otros procedimientos que te permitan obtener
la solución exacta.
Recuerda que…
Para determinar el conjunto solución de un sistema de dos ecuaciones
lineales con dos variables por el procedimiento gráfico debes:
1. Representar gráficamente las rectas que sus ecuaciones conforman el
sistema.
2. Determinar el tipo de solución según la posición relativa de las rectas en
el plano:
Si las rectas son paralelas entonces el sistema no tiene solución y el
conjunto solución es S = Ø.
► Si las rectas coinciden entonces el sistema tiene infinitas soluciones y
el conjunto solución es el conjunto de pares ordenados que son las
coordenadas de los puntos que pertenecen a la recta.
► Si las rectas se intersecan en un punto, entonces el sistema tiene so
lución única.
►
Si el sistema tiene solución única, determinar las coordenadas del punto
de intersección de las dos rectas y el conjunto solución es el conjunto cuyo
único elemento es el par ordenado en el que sus componentes son las
coordenadas del punto de intersección de las dos rectas
188
CAPÍTULO 3
Ejercicios
1.
Escribe el conjunto solución de los sistemas de dos ecuaciones lineales
con dos variables siguientes empleando el procedimiento gráfico.
x 2y 3
a)
x 3 y 2
2 x 3y 4
d)
4 x 8 6 y
4 x 6 10 y
g)
2 x 5 y 4
2.
b)
x 3y 8
4 x y 1
2 x y 1
e)
x 2 y 2
2x y 1
c)
3 x y 3
2 x 4 3 y
f)
4 x 1 y
2 x 2 y 0
h)
x 2 y 1
Escribe la ecuación de una recta que:
a) sea paralela a la recta de ecuación 3x + 5y - 11 = 0.
b) se interseca en un punto con la recta de ecuación 3x + 2y - 4 = 0.
c) sea coincidente con la recta de ecuación 5x - 4y + 3 = 0
3.
Con la ayuda de un asistente matemático determina el conjunto
solución de los sistemas de dos ecuaciones lineales con dos variables
siguientes utilizando el procedimiento gráfico.
x 2 y 64
a)
6y 5x
6 x 22 5 y
d)
15 y 66 18 x
4.
5 x 3 y 2
b)
x 3y
3x 2y 6 0
e)
8 x 7 y 14 0
2 y 25 5 x
c)
15 x 10 y 35
Utiliza el asistente matemático GeoGebra y determina tres sistemas
de dos ecuaciones lineales con dos variables tales que tengan:
a) solución única
b) infinitas soluciones
c) ninguna solución
3.4 Procedimientos analíticos para resolver sistemas
de dos ecuaciones lineales con dos variables
Reflexiona un instante
Un grupo de 175 personas visitaron el Parque Zoológico Nacional de Cuba; si
el costo de la entrada a esta instalación para los adultos es de $ 20.00 y para
los niños es de $15.00 y ese día se recaudó un total $2 905.00, ¿cuántos niños
y cuántos adultos visitaron ese día el Parque Zoológico Nacional de Cuba?
189
MATEMÁTICA
Como conoces, el procedimiento gráfico para resolver sistemas de dos
ecuaciones lineales con dos variables no te permite encontrar la solución
exacta de cualquier sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables.
Ahora estudiarás otros procedimientos.
Ejemplo 1
Determina la solución del sistema de dos ecuaciones lineales con dos
x y 3
variables siguiente:
2 x y 0
Para determinar el tipo de solución despejas la variable y en ambas
y x 3
ecuaciones:
y 2x
Como las pendientes de las rectas son diferentes puedes afirmar que
el sistema tiene solución única como conoces que la solución del sistema
tiene que ser solución de cada ecuación del sistema, luego, para hallarla
tienes que encontrar el par de números reales que satisfaga ambas ecua
ciones del sistema.
Para encontrar el par de números reales que satisfaga ambas ecuaciones
del sistema puedes utilizar una tabla y darle valores a una de las variables,
sustituir en la primera ecuación el valor dado para hallar el valor de la otra
variable y verificar en la segunda ecuación si esos valores de las variables
la transforman en una proposición verdadera (tabla 3.1).
Tabla 3.1
x
–2
–1
0
1
y=3–x
y = 3 – (–2) = 5
3 – (– 1) = 4
3–0=3
3 –1 = 2
2x – y
2(–2) – 5 = 9
2(–1) – 4 = – 6
0–3=3
2–2=0
Observa que para encontrar la solución
► Le asignas un valor a una variable x.
► Sustituyes el valor dado a la variable x en la primera ecuación y hallas el
valor de la otra variable y.
► Sustituyes las variables por los valores determinados en el miembro
izquierdo de la segunda ecuación y compruebas si satisfacen la segunda
ecuación.
190
CAPÍTULO 3
► Repites este proceso hasta encontrar los valores de las variables que
satisfacen la segunda ecuación.
Luego, la solución del sistema de dos ecuaciones lineales con dos varia
bles es el par (1;2).
Está claro que este procedimiento es muy engorroso, pues no siempre
las soluciones son números enteros ni se encuentran tan fácilmente, por lo
que es necesario encontrar un proceder que posibilite determinar la solución
de lo que has estudiado en grados anteriores.
Primeramente, vas a estudiar otras propiedades que son necesarias para
encontrar el procedimiento de solución.
Teorema
Para todo a, b, c, d ∈ R si se cumple que a = b y c = d entonces:
a+c=b+d
a-c=b-d
a·c=b·d
a b
=
c d
(c ≠ 0, d ≠ 0)
Este teorema expresa que, si adicionas, sustraes, multiplicas o divides
miembro a miembro dos igualdades obtienes una igualdad. Esta propiedad
es válida para las ecuaciones.
Definición de sistemas de dos ecuaciones lineales
con dos variables son equivalentes
Dos sistemas de dos ecuaciones lineales con dos variables son equivalentes
si y solo si tienen el mismo conjunto solución en el mismo conjunto en el
que toman valores las variables.
Conoces las transformaciones equivalentes de las ecuaciones lineales y
que cuando aplicas transformaciones equivalentes a una ecuación obtienes
una nueva ecuación que es equivalente a la inicial, es decir, que tienen el
mismo conjunto solución.
En un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables puedes apli
car a una de sus ecuaciones estas transformaciones, y obtienes un sistema
equivalente. Además, hay otras transformaciones equivalentes para los
191
MATEMÁTICA
sistemas de dos ecuaciones lineales con dos variables, que se aplican en las
dos ecuaciones del sistema y que como resultado de su aplicación resulta
un sistema equivalente.
Transformaciones equivalentes:
► Intercambiar las ecuaciones del Sistema.
1
x 2 y 11
8 x y 5
► Por ejemplo, los sistemas
y
son equivalen
2
1
8 x 2 y 5
x 2 y 11
tes, observa que se han intercambiado sus ecuaciones.
► Sustituir una ecuación del sistema por otra que se obtiene al adicionarle
(sustraerle) un múltiplo cualquiera de la otra ecuación del sistema
3m 7n 13
Por ejemplo, en el sistema
la segunda ecuación la puedes
3m 2n 8
sustituir por la ecuación que resulta de multiplicar la primera ecuación
por -1 y adicionarla con la segunda. Multiplicas 3m + 7n = 13 por -1 y
resulta - 3m - 7n = -13. Adicionas miembro a miembro las ecuaciones
- 3m - 7n = -13 y 3m + 2n = 8 y obtienes la ecuación:
- 3m - 7n = -13
3m + 2n = 8
- 5n = - 5
3m 7n 13
3m 7n 13
Entonces, los sistemas
y
son equivalentes.
5n 5
3m 2n 8
Observa que cuando aplicaste esta transformación equivalente, obtu
viste un sistema equivalente al dado, o sea, un sistema que tiene el mismo
conjunto solución que el sistema original, fíjate que en el sistema obtenido
se puede determinar el valor de la variable n y a partir de este, el valor de
la variable m, por lo tanto, el propósito de emplear las transformaciones
equivalentes es obtener un sistema en el que se pueda determinar fácil
mente su conjunto solución.
3.4.1 Procedimiento de sustitución
Hasta ahora solo sabes determinar cuántas soluciones tiene un sistema
de dos ecuaciones lineales con dos variables y con el procedimiento gráfico
no siempre puedes determinar la solución exacta, luego, es necesario encon
trar cómo resolver los sistemas de dos ecuaciones lineales con dos variables.
192
CAPÍTULO 3
Como conoces el procedimiento de solución de las ecuaciones lineales en
una variable, trata de transformar el sistema de dos ecuaciones lineales con
dos variables de forma tal que obtengas una ecuación lineal en una variable,
que ya sabes resolver.
Por ejemplo, en el sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables
siguiente:
3 x y 17
2 x y 12
Conoces que, si en un sistema de dos ecuaciones lineales con dos va
riables a una ecuación le aplicas transformaciones equivalentes, el sistema
resultante es equivalente al original y, por lo tanto, tienen el mismo conjunto
solución. Luego, si en la segunda ecuación del sistema despejas la variable
y, obtienes el sistema equivalente:
3 x y 17
y 12 2 x
Como estás tratando de transformar el sistema en una ecuación lineal,
observa que si sustituyes en la primera ecuación del sistema la variable y
por la expresión algebraica 12 - 2x, que obtuviste de despejar la variable
y en la segunda ecuación del sistema dado, resulta una ecuación lineal en
una variable: 3x + 12 - 2x = 7.
Ahora, como ya conoces el procedimiento de solución de estas ecua
ciones, puedes determinar el valor de la variable que es solución de esta
ecuación.
3x + 12 - 2x = 17
12 + x = 17
(reduciendo términos semejantes)
x = 17 - 12 (trasponiendo términos de un miembro otro de
la ecuación)
x=5
Falta determinar el valor de la variable y, para esto sustituyes la variable x
por el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones del sistema dado.
Por ejemplo, sustituyes x = 5 en ecuación y = 12 - 2x:
y = 12 - 2(5)
y = 12 - 10
y=2
193
MATEMÁTICA
Solo queda que compruebes que la solución hallada es la solución del
sistema. Recuerda que para que un par ordenado de números reales sea
solución de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables tiene
que transformar cada una de las ecuaciones del sistema en una proposición
verdadera, o sea, el par hallado tiene que ser solución de cada una de las
ecuaciones del sistema, por lo tanto, tienes que comprobar la solución en
cada ecuación del sistema.
Compruebas para x = 5, y = 2:
3(5) + 2 = 15 + 2 = 17
2(5) + 2 = 10 + 2 = 12
Luego, el par (5;2) es solución del sistema y escribes su conjunto solución
S = {(5;2)}
En la práctica procedes así:
3 x y 17
2 x y 12
Despejando la variable y en la segunda ecuación
y = 12 - 2x
Sustituyendo y = 12 - 2x en la ecuación 3x + y = 17
3x + 12 - 2x = 17
12 + x = 17
x = 17 - 12
x=5
Sustituyendo x = 5 en y = 12 - 2x
y = 12 - 2(5)
y = 12 - 10
y=2
Comprobación para x = 5, y = 2
3(5) + 2 = 15 + 2 = 17
2(5) + 2 = 10 + 2 = 12
S = {(5; 2)}
Ejemplo 1
Resuelve los sistemas de dos ecuaciones lineales con dos variables si
guientes:
m n 10
a)
m 5n 2
194
8 x 2 y 14
b)
y 7 4x
p 5q 8
c)
7p 8q 25
CAPÍTULO 3
8 x 5 y 13
d)
3x y 2
a 8 4 b
e)
a 6 3b
w 4v
f)
v w 2
Solución:
m n 10
a)
m 5n 2
m n 10
m 5n 2
Despejando la variable m en la primera ecuación
m = 10 - n
Sustituyendo m = 10 - n en la segunda ecuación del sistema:
10 - n + 5n = 2
10 + 4n = 2
4n = 2 - 10
4n = - 8
n=-2
Sustituyes n = - 2 en m + n = 10 resulta:
m - 2 = 10
m = 10 + 2
m = 12
Comprobación:
12 + (- 2) = 12 - 2 = 10
12 + 5(- 2) = 12 - 10 = 2
Luego, la solución del sistema es (12;-2) y el conjunto solución es
S = {(12;-2)}.
Nota que en este ejemplo se despejó la variable m en la primera ecua
ción, pero se pudo despejar también en la segunda ecuación. En general,
seleccionas cuál variable vas despejar y en qué ecuación, en la cual más
fácil te sea realizarlo.
8 x 2 y 14
b)
y 7 4x
195
MATEMÁTICA
Observa que en este caso es más fácil despejar la variable y en la segunda
ecuación.
8 x 2 y 14
y 7 4x
Despejando la variable y en la segunda ecuación:
y = 4x - 7
Sustituyendo y = 4x - 7 en la primera ecuación del sistema resulta:
8x - 2(4x - 7) = 14
8x - 8x + 14 = 14
0=0
Observa que has obtenido una proposición verdadera para todo x ∈ r,
esto significa que todo número real satisface esta ecuación, luego el sis
tema tiene infinitas soluciones. Como la variable x puede tomar cualquier
valor real y la variable y depende del valor de x, entonces el conjunto
solución del sistema es S = {(x; 4x - 7): x ∈ r}.
p 5q 8
c)
7p 8q 25
En este caso observa que la variable p es más fácil de despejar en la
primera ecuación.
p 5q 8
7p 8q 25
Despejando la variable p en la primera ecuación
p = 8 + 5q
Sustituyendo p = 8 + 5q en la segunda ecuación del sistema resulta:
- 7(8 + 5q) + 8q = 25
- 56 - 35q + 8q = 25
- 56 - 27q = 25
- 27q = 25 + 56
- 27q = 81
81
q=
-27
q=-3
196
CAPÍTULO 3
Sustituyendo q = - 3 en p - 5q = 8 resulta:
p - 5(- 3) = 8
p + 15 = 8
p = 8 - 15
p=-7
Comprobación:
- 7 - 5(- 3) = - 7 + 15 = 8
- 7(- 7) + 8(- 3) = 49 - 24 = 25
Por tanto, solución del sistema es el par (- 7;- 3) y el conjunto solución
es S = {(-7;- 3)}.
8 x 5 y 13
d)
3x y 2
Observa que la variable más fácil de despejar es la variable y en la se
gunda ecuación.
8 x 5 y 13
3x y 2
Despejando la variable y en la segunda ecuación
y = 2 - 3x
Sustituyendo y = 2 - 3x en la primera ecuación del sistema:
8x - 5(2 - 3x) = 13
8x - 10 + 15x = 13
-10 + 23x = 13
23x = 13 + 10
23x = 23
x=1
Sustituyendo x = 1 en 3x + y = 2, resulta:
3(1) + y = 2
3+y=2
y=2-3
y = -1
Comprobación:
8(1) - 5(-1) = 8 + 5 = 13
3(1) + (-1) = 3 - 1 = 2
197
MATEMÁTICA
Luego, el par (1; -1) es la solución del sistema y su conjunto solución
S = {(1;-1)}.
a 8 4 b
e)
a 6 3b
Aquí la variable a está despejada en las dos ecuaciones. Al sustituir la
variable a en la primera ecuación por a = - 6 + 3b, resulta:
- 6 + 3b = 8 - 4b
3b + 4b = 8 + 6
7b = 14
b=2
Este procedimiento es un caso particular del de sustitución, aquí está des
pejada la misma variable en las dos ecuaciones y a partir de sustituir la
variable a en la primera ecuación por la expresión a que es igual la variable
a en la segunda ecuación, observa que obtienes una igualdad entre los dos
miembros de las ecuaciones en los que aparece nada más que una variable,
la variable b. En la práctica al aplicar este proceder, que se conoce con el
nombre de igualación, despejas la misma variable en las dos ecuaciones
del sistema, igualas los miembros de las dos ecuaciones en los que aparece
la otra variable y resuelves la ecuación lineal con una variable resultante.
Sustituyendo b = 2 en a = 8 - 4b resulta:
a = 8 - 4(2)
a=8-8
a=0
Comprobación:
8 - 4(2) = 8 - 8 = 0 = a
- 6 + 3(2) = - 6 + 6 = 0 = a
Por tanto, el par (0; 2) es solución del sistema y su conjunto solución es
S = {(0; 2)}.
w 4v
f)
v w 2
En la primera ecuación está despejada la variable w, despeja esta misma
variable en la segunda ecuación para poder igualar las dos ecuaciones.
w 4v
w 2 v
198
CAPÍTULO 3
Igualando los dos miembros derechos de ambas ecuaciones resulta:
4v = 2 - v
4v + v = 2
5v = 2
2
v=
5
2
Sustituyendo v = en la primera ecuación del sistema:
5
2
w = 4
5
w=
8
5
Comprobación:
2 8
4v = 4 = = w
5 5
2 8 10
v+w= + = =2
5 5 5
2 8
Luego, el par ; es solución del sistema de ecuaciones lineales con
5 5
2 8
dos variables y, por tanto, el conjunto solución es S ; .
5 5
4 j 2k 8
g)
5 j 23k 51
En este sistema no resulta tan fácil despejar una de las dos variables, pero
conoces que en un sistema puedes aplicar a una ecuación las transfor
maciones equivalentes de las ecuaciones lineales, y obtienes un sistema
equivalente al original, es decir, con el mismo conjunto solución. Observa
que, si divides por dos la primera ecuación del sistema, obtienes una
ecuación en la que puedes despejar la variable k fácilmente:
4 j 2k 8 : 2
5 j 23k 51
2j k 4
5 j 23k 51
Despejando la variable la variable k en la primera ecuación
k = 4 - 2j
199
MATEMÁTICA
Sustituyendo k = 4 - 2j en la segunda ecuación del sistema:
-5j - 23(4 - 2j) = - 51
-5j - 92 + 46j = - 51
- 92 + 41j = - 51
41j = - 51 + 92
41j = 41
j=1
Sustituyendo j = 1 en 4j + 2k = 8:
4 + 2k = 8
2k = 8 - 4
2k = 4
k=2
Comprobación:
4(1) + 2(2) = 4 + 4 = 8
-5(1) - 23(2) = - 5 - 46= - 51
Entonces el par (1;2) es solución del sistema y su conjunto solución
S = {(1;2)}.
x 3y
h)
x
y 5 2
Observa que en este caso la variable x ya está despejada en la primera
ecuación, luego, basta sustituir en la segunda ecuación la variable x
por 3y.
x 3y
x
y 5 2
Sustituyendo x = 3y en la segunda ecuación
3y
y+5=
2
2(y + 5) = 3y
2y + 10 = 3y
2y - 3y = - 10
- y = - 10
y = 10
200
(Multiplicando por 2 ambos miembros de la ecuación)
CAPÍTULO 3
Sustituyendo y = 10 en x = 3y
x = 3 (10) = 30
Comprobación:
x = 30
3y = 3(10) = 30, luego, x = 3y
y + 5 = 10 + 5 = 15
x 30
=
= 15
2
2
Por lo tanto, el par (30;10) es la solución del sistema. Observa que es la
misma solución que la que obtuviste por el procedimiento gráfico.
a 5(b 1) 4
i)
a 8 5b
a 5(b 1) 4
a 8 5b
Sustituyendo a = 8 - 5b en la primera ecuación:
8 - 5b + 5(b - 1) = 4
8 - 5b + 5b - 5 = 4
3≠4
Observa que has obtenido una contradicción, esto quiere decir que
no existe un número real que satisfaga esta ecuación, por lo tanto, el
sistema no tiene solución y su conjunto solución es el conjunto vacío,
luego, S = Ø.
Recuerda que…
Para resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables em
pleando el procedimiento de sustitución debes:
1. Despejar una variable en una de las ecuaciones del sistema.
2. Sustituir en la otra ecuación del sistema la expresión obtenida en uno.
3. Resolver la ecuación lineal con una variable obtenida en dos.
4. Sustituir el valor de la variable hallada en cualquier ecuación del sistema
y determinar el valor de la otra variable.
5. Comprobar que los valores determinados para las dos variables satisfacen
las dos ecuaciones del sistema.
201
MATEMÁTICA
3.4.2 Procedimiento de adición-sustracción
Reflexiona un instante
El sistema de ecuaciones que obtuviste para determinar la cantidad de
adultos y niños que visitaron el Parque Zoológico Nacional de Cuba fue:
x y 175
20 x 15 y 2905
¿Qué transformación equivalente te permitirá reducir el sistema anterior a
una ecuación lineal con una variable?
Además del procedimiento analítico que has estudiado, aplicando otras
transformaciones equivalentes a los sistemas de dos ecuaciones lineales
con dos variables puedes obtener un nuevo procedimiento para obtener
la solución del sistema.
Por ejemplo, sea el sistema
3 x y 17
2 x y 12
Conoces que las transformaciones equivalentes conducen a sistemas
equivalentes y el propósito de aplicarlas, a los sistemas de dos ecuaciones
lineales con dos variables, es obtener un sistema en el que se pueda deter
minar fácilmente el conjunto solución.
Observa que en este sistema los coeficientes de la variable y son iguales,
luego, si a una ecuación le sustraes la otra, resulta una ecuación lineal con
una sola variable.
3 x y 17
2 x y 12
3 x y 17
(sustrayendo a la primera ecuación la segunda ecuación)
x 5
Observa que en la segunda ecuación la variable x ha quedado despejada,
luego, ya has determinado su valor, por lo tanto, para determinar el valor
de la variable y solo tienes que sustituir la variable x por cinco en cualquiera
de las ecuaciones del sistema.
Por ejemplo, sustituyendo x = 5 en la primera ecuación resulta:
3(5) + y = 17
202
CAPÍTULO 3
15 + y = 17
y = 17 - 15
y=2
En la práctica procedes así:
3 x y 17
2 x y 12
x = 5 (sustrayendo a la primera ecuación la segunda ecuación)
Sustituyendo x = 5 en 3x + y = 17
3(5) + y = 17
15 + y = 17
y = 17 - 15
y=2
Comprobación:
3(5) + 2 = 15 + 2 = 17
2(5) + 2 = 10 + 2 = 12
Luego, el par (5;2) es solución del sistema y su conjunto solución
es S = {(5;2)}.
Observa que lo esencial de este procedimiento es lograr que los coefi
cientes de una misma variable del sistema sean opuestos o iguales utilizando
las transformaciones equivalentes, para así, adicionando o sustrayendo las
ecuaciones obtener una ecuación lineal con una variable.
Para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos variables por este pro
cedimiento, tienes primeramente que identificar en qué variable del sistema los
coeficientes tienen esta característica y en caso de no tenerla, determinar por
qué números distintos de cero hay que multiplicar las ecuaciones del sistema
para llegar a tener una misma variable con coeficientes opuestos o iguales.
Como en este proceder las ecuaciones del sistema se adicionan o sus
traen para obtener una ecuación lineal en una variable, se le denomina
procedimiento de adición-sustracción.
Ejemplo 1
Resolver los sistemas de ecuaciones lineales con dos variables siguientes:
5 x 5 y 9
a)
4 x 5 y 0
3a 4b 18
b)
5a 4b 6
2m 5n 1
c)
m 8n 3
203
MATEMÁTICA
5x y 3
d)
10 x 2 y 8
9p 2q 30
e)
7p 3q 37
x 3y
f)
x
y 5 2
2(e f ) 11f 4(1 e)
g)
7e 3(3e 5) e 19
Solución:
5 x 5 y 9
a)
4 x 5 y 0
Observa que en este sistema los coeficientes de la variable y son números
opuestos, luego, si a la primera ecuación le adicionas la segunda ecuación
resulta una ecuación lineal en una sola variable.
5 x 5 y 9
4 x 5 y 0
9x = 9 (adicionando ambas ecuaciones del sistema)
x=1
Sustituyendo x = 1 en la ecuación 4x - 5y = 0 resulta:
4 - 5y = 0
- 5y = - 4
4
y=
5
Comprobación:
4
5(1) + 5 = 5 + 4 = 9
5
4
4(1) - 5 = 4 - 4 = 0
5
4
Entonces, el par 1; es solución del sistema.
5
3
a
4
b
18
b)
5a 4b 6
Observa que en este caso la variable b en ambas ecuaciones tiene el
mismo coeficiente, luego, si a la segunda ecuación le sustraes la primera
obtienes una ecuación lineal en una variable.
3a 4b 18
5a 4b 6
204
CAPÍTULO 3
2a = - 12 (sustrayendo a la segunda ecuación la primera)
a=-6
Sustituyendo a = - 6 en 3a + 4b = 18, resulta:
3(- 6) + 4b = 18
- 18 + 4b = 18
4b = 36
b=9
Comprobación:
3(- 6) + 4(9) = - 18 + 36 = 18
5(- 6) + 4(9) = - 30 + 36 = 6
Entonces, el par (- 6; 9) es solución del sistema.
2m 5n 1
c)
m 8n 3
En este caso, tanto la variable m como la variable n, tienen coeficientes
diferentes, pero si multiplicas la segunda ecuación, por ejemplo, por -2
se obtiene un sistema equivalente al inicial, en el cual los coeficientes
de la variable x son opuestos.
2m 5n 1
m 8n 3 ·( 2)
2m 5n 1
2m 16n 6
- 21n = - 7 (adicionando ambas ecuaciones del sistema)
7
n=
21
1
n=
3
1
Sustituyendo n = en m + 8n = 3
3
8
1
m 8 3m 3
3
3
8
m 3
3
1
m
3
205
MATEMÁTICA
Comprobación:
2 5
3
1
3 3
3
1 8 9
+ = =3
3 3 3
1 1
Por tanto, el par ; es solución del sistema.
3 3
5x y 3
d)
10 x 2 y 8
5x y 3 · 2
10 x 2 y 8
10 x 2 y 6
10 x 2 y 8
0 = 14 (adicionando ambas ecuaciones del sistema)
Observa que has obtenido una contradicción, luego, el sistema no tiene
solución (0 ≠ 14).
9p 2q 30
e)
7p 3q 37
En este sistema los coeficientes de las dos variables son diferentes y uno
no es múltiplo del otro, luego, debes decidir cuál es la variable que vas a
eliminar. En estos casos es necesario que multipliques las dos ecuaciones
por números distintos de cero, para que los coeficientes de una de las
variables sean iguales u opuestos. Observa que, es más fácil transformar
el sistema de manera tal que la variable q tenga en las ecuaciones coefi
cientes opuestos. Para esto fíjate que basta que multipliques la primera
ecuación por tres y la segunda por dos.
9 p 2q 30
7p 3q 37
3
2
27p 6q 90
14 p 6q 74
41p = 164 (adicionando ambas ecuaciones del sistema )
164
p=
41
p=4
206
CAPÍTULO 3
Sustituyendo p = 4 en 7p + 3q = 37
7(4) + 3q = 37
28 + 3q = 37
3q = 37 - 28
3q = 9
q=3
Comprobación:
9(4) - 2 (3) = 36 - 6 = 30
7(4) + 3(3) = 28 + 9 = 37
Luego, el par (4;3) es solución del sistema.
x 3y
f)
x
y 5 2
Resuelve este sistema, pero ahora utilizando el procedimiento de
adición-sustracción. Observa que para esto debes, primero, transformar
las ecuaciones.
3y
x
5
2
x
y
x 3y
x
y
2
x 3y
x
0
5 | ·2
0
2y
10
y
10
y
10
Sustituyendo y = 10 en x = 3y
x = 3(10) = 30
Por tanto, el par (30;10) es la solución del sistema.
Observa que este mismo sistema los has resuelto por los tres procedimien
tos para resolver sistemas de dos ecuaciones lineales con dos variables
que has estudiado.
207
MATEMÁTICA
2(e f ) 11f 4(1 e)
g)
7e 3(3e 5) e 19
Presta atención en este caso, primeramente, debes transformar las ecua
a1x b1y c1
ciones del sistema para llevarlo a la forma
.
a2 x b2 y c2
2(e f ) 11f 4(1 e)
7e 3(3f 5) e 19
2e 2f 11f 4 4e
7e 9f 15 e 19
2e + 9f = 4 4e
7e 9f + 15 e 19
2e 4e 9f 4
7e 9f e 19 15
6e 9f 4
6e 9f 4
0 0
(sustrayendo ambas ecuaciones del sistema )
Luego, el sistema tiene infinitas soluciones y todo par ordenado de la
2
4
forma e; e con e ∈ r es solución del sistema.
3
9
Recuerda que…
Para resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables em
pleando el procedimiento de adición-sustracción debes:
a1x b1y c1
a2 x b2 y c2
1. Transformar el sistema a la forma
2. Identificar la variable que se va a eliminar.
3. Determinar qué transformaciones equivalentes son necesarias aplicar
para que los coeficientes de la variable seleccionada sean opuestos o
iguales.
4. Aplicar las transformaciones equivalentes seleccionadas, para que se
obtenga que los coeficientes de una variable sean opuestos o iguales.
5. Adicionar o sustraer miembro a miembro las ecuaciones transformadas
para obtener una ecuación lineal con una variable.
208
CAPÍTULO 3
6. Resolver la ecuación lineal con una variable obtenida.
7. Sustituir el valor de la variable hallada en una de las ecuaciones del sis
tema para determinar el valor de la otra variable.
8. Comprobar que los valores determinados para las dos variables satisfacen
las dos ecuaciones del sistema.
Para resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables
puedes emplear cualquiera de los procedimientos estudiados, aunque siem
pre debes detenerte a analizar cuál de estos es el más ventajoso utilizar
en cada caso.
Por ejemplo:
2 x 3 y 22
y 3x
Observa que en la segunda ecuación hay una variable que
está despejada, por lo tanto, en este caso lo más reco
mendable es que utilices el procedimiento de sustitución.
3 x y 21
8 x y 4
En este caso los coeficientes de la variable y son opues
tos, luego, basta que adiciones las dos ecuaciones para
reducir el sistema a una ecuación lineal con una variable,
por lo tanto, el proceder más recomendable es el de adi
ción-sustracción.
3 x 7 y 13
3 x 2 y 8
Nota que la variable x tiene el mismo coeficiente en las dos
ecuaciones, por lo que, si sustraes a la primera ecuación la
segunda, eliminas una variable y obtienes una ecuación
lineal con una variable, luego, en este caso, el procedi
miento más recomendable es el de adición-sustracción.
x 10 y
x y 2
Como en las dos ecuaciones la variable x está despejada,
en este caso es mejor que utilices el procedimiento de
igualación.
9 x 11y 42 Observa que el procedimiento de sustitución e igualación
5 x 22 y 13 en este caso es muy trabajoso, el más conveniente es el
de adición-sustracción. Aquí los coeficientes de la varia
ble x ni son iguales ni opuestos, y lo mismo ocurre para
la variable y, luego, es necesario que selecciones en qué
variable es más fácil determinar el número por el que hay
que multiplicar las ecuaciones, para que los coeficientes
de esa variable sean opuestos o iguales. Nota que aquí lo
209
MATEMÁTICA
más ventajoso es seleccionar la variable y, pues multiplican
do la primera ecuación por - 2 ya se obtiene el opuesto
del coeficiente de la variable y en la segunda ecuación.
3 x 2 2 y
2 y 5 7 x
En este caso está claro que primeramente debes eliminar
los signos de agrupación y llevar el sistema a la forma
ax by c
.
dx ey f
Cuando elimines los paréntesis observa que los coeficien
tes de la variable y son opuestos, luego, el procedimiento
más ventajoso que se debe utilizar es el de adición-sus
tracción.
Ahora resuelve los sistemas de dos ecuaciones lineales con dos variables
anteriores por el procedimiento seleccionado.
Ejercicios
1.
Resolver los sistemas de dos ecuaciones lineales con dos variables
siguientes:
y 4 x 34
a)
x 5 y 18
5a b 13
d)
3a b 11
3 x 21 15 y
b)
y 2 x 14
9m n 0
g)
3m n 0
x y 2
e)
x y 1
3r s 9
h)
3r 2s 25
2m 4n 6
j)
m 2n 1
3c 6d 16
m)
3c 2d 0
8w v 0
k)
w 2v 17
3w 4v 18
n)
5w v 13
4m 3n 7
o)
5m 2n 26
2 x 3 y 1
p)
3x 4 y 0
3
1
w v 2
,
,
5
p
0
7
q
10
6
2
2
r)
s)
0
,
7
p
0
,
2
q
2
,
3
1
w v 6
2
210
y 3x 5
c)
y x 1
p q 4
f)
p q 4
3r 4 s 7
i)
2r 4 s 16
3 x 4 y 6
l)
x 2y 8
4 x 2 y 10
ñ)
3 x 5 y 14
0, 2a 0,5b 0, 7
q)
0, 7a 0,5b 2
3
2
3 m 2 n 5
t)
1 m 4 n 5
2
3
CAPÍTULO 3
p q 35
u) 1
1
2 p 5 q 7
w v
2 3 4
x)
w v 1
3 2
2.
4.
2(n 3) 3m 2
z)
n 4m 19
3( p 2) 4q 10 j 3k 2 0
b)
c)
p 3 2(q p) 1
2( j k ) 36 0
m 3n
a 1 b 2 2(b a)
5
4 10
5
2
e)
f)
3
2
m
n
a
b
2
b
8a
1
4
1
2
12
18
4
Resuelve el sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables para
completar la tabla siguiente:
x+y–6
x–y+4
4
10
6
–8
2x + 5y
3x + 3y
5 – 3x
4 + 2(x + y)
x
y
Escribe el conjunto solución de los sistemas de dos ecuaciones lineales
con dos variables siguientes:
7p 5q 4
a)
4 p 4q 0
3c 5d 5
c)
3c 25d 25
5.
4 x 3( y 1) 8
y)
4x y 3
Halla el conjunto solución de los sistemas de dos ecuaciones lineales
con dos variables siguientes:
7(a 1) 2b 1
a)
4a (b 6) 12
x y
2 x 1
d)
x y y 1
2
3.
1
c d 60
1
a b 8
v) 2
w) c d
5
6 3 16
b 140 a
14a 7b 21
b)
2a b 3
4e 3 f 4 10 e
d)
2 e 1 5f 7
En el sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables
(2a b) x ay b
determina el valor de a y b para que el par orde
(a b) x y a b
nado (-1;2) sea solución del sistema.
211
MATEMÁTICA
3.5 Resolución de problemas que conducen
a sistemas de dos ecuaciones lineales
con dos variables
Reflexiona un instante
Crees que puedes resolver el problema inicial de este capítulo, referido a la
cantidad de integrantes de dos círculos de interés con los procedimientos
de resolución de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos variables. Te
invito a resolverlo.
La cantidad de estudiantes integrantes del círculo de interés Pedagógico
es el triplo de la cantidad de estudiantes pertenecientes al círculo de interés
de Medicina Natural y Tradicional. Si se incorporan cinco estudiantes más al
círculo de interés de Medicina Natural y Tradicional, entonces este círculo
tendría la mitad de integrantes que tiene el Círculo de Interés Pedagógico.
¿Cuántos integrantes tienen cada uno de estos círculos de interés?
x: cantidad de estudiantes in
tegrantes del Círculo de Interés
Pedagógico
y: cantidad de estudiantes
pertenecientes al Círculo de
Interés de Medicina Natural y
Tradicional
x 3y
x
y 5 2
x 3y 0
1
3
2 x y 5
x 3y 0
3
2 x 3 y 15
1
x 15
2
x 15 2
x 30
Sustituyendo x = 30 en x - 3y = 0 resulta:
30 - 3y = 0, luego, y = 10.
Observa que en este caso para resolver el sistema de dos ecuaciones
lineales con dos variables utilizaste el procedimiento de adición-sustracción
y para eliminar la variable y, en esta ocasión multiplicaste la segunda ecua
ción por tres.
212
CAPÍTULO 3
Compruebas en el texto del problema la solución encontrada. El Círculo
de Interés Pedagógico tiene 30 integrantes y el de Medicina Natural y Tradi
cional diez. Pero, 30 = 3 ∙ 10, luego, la cantidad de estudiantes integrantes
del Círculo de Interés Pedagógico es el triplo de la cantidad de estudiantes
pertenecientes al Círculo de Interés de Medicina Natural y Tradicional.
10 + 5 = 15 y 15 es la mitad de 30, por tanto, si se incorporan cinco estudiantes más al Círculo de Interés de Medicina Natural y Tradicional, entonces
este círculo tendría la mitad de integrantes que tiene el Círculo de Interés
Pedagógico.
Por tanto, el Círculo de Interés Pedagógico tiene 30 integrantes y el de
Medicina Natural y Tradicional, diez.
Observa que en el texto del problema aparecen dos relaciones, que al
traducirlas del lenguaje común al algebraico obtuviste las dos ecuaciones
del sistema, y como se emplearon dos variables escribiste el significado de
cada una de estas.
Recuerda que…
Al resolver un problema, además de seguir los pasos que conoces, debes
siempre reflexionar en cómo procediste y qué recursos empleaste para
encontrar un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables que dé
solución al problema, y analizar si hay otra vía más sencilla para solucionarlo.
Podrás comprobar que muchos problemas que has resuelto con ecuaciones
lineales con una variable ahora los puedes resolver con el empleo de sistemas
de dos ecuaciones lineales con dos variables y viceversa.
Ejemplo 1
Como parte de la campaña de higienización de la ciudad, en un con
sejo popular se formaron dos brigadas de fumigación contra el mosquito
Aedes Aegypti. Un fin de semana las dos brigadas fumigaron un total de
451 viviendas. Si la Brigada 1 hubiese fumigado 20 viviendas más ese fin de
semana, entonces hubiese fumigado el duplo de la cantidad de viviendas
fumigadas por la Brigada 2. ¿Cuál de las dos brigadas fumigó más cantidad
de casas ese fin de semana?
Solución:
Este problema es sobre la cantidad de viviendas de un consejo popular
que fumigan dos brigadas. En el texto se informa la cantidad de casas que
fumigaron en total estas dos brigadas y una relación entre la cantidad de
213
MATEMÁTICA
viviendas que fumigó cada una de las brigadas, en la que aparecen las
palabras claves más y duplo. Observa que, para poder dar respuesta a la
interrogante del problema debes conocer la cantidad de casas que fumigó
cada brigada y las dos informaciones que aparecen en el texto te permiten
establecer dos relaciones de igualdad entre la cantidad de viviendas que
fumigaron cada una de las brigadas. Si asignas a la variable x la cantidad
de viviendas fumigadas por la Brigada 1, y a la variable y la cantidad de
viviendas fumigadas por la Brigada 2, y traduces del lenguaje común al
algebraico las dos relaciones que aparecen en el texto del problema, ob
tienes las ecuaciones x + y = 451, x + 20 = 2y que conforman el sistema de
x y 451
dos ecuaciones lineales con dos variables
x 20 2 y
x: cantidad de viviendas fumiga
das por la Brigada 1.
y: cantidad de viviendas fumiga
das por la Brigada 2.
x y 451
x 20 2 y
x y 451
x 2 y 20
1
x y 451
x 2 y 20
3 y 471
471
y
3
y 157
Sustituyendo y = 157 en x + y = 451
x 157 451
x 451 157
x 294
Compruebas en el texto del problema la solución encontrada. La Brigada
1 fumigó 294 viviendas y la Brigada 2 fumigó, 157. Pero, 294 + 157 = 451 lue
go, entre las dos brigadas fumigaron 451 viviendas. Además, 294 + 20 = 314
y 2 ⋅ 157 = 314, por tanto, si la Brigada 1 hubiese fumigado 20 viviendas más,
entonces hubiese fumigado el duplo de la cantidad de viviendas fumigadas
por la Brigada 2.
Respuesta:
La Brigada 1 fumigó más viviendas ese fin de semana.
214
CAPÍTULO 3
Ejemplo 2
A los estudiantes del noveno grado de una secundaria básica se les
realizó una encuesta para conocer sus preferencias en la continuidad
de estudios. La encuesta arrojó que 65 estudiantes desean en primera
opción ingresar al preuniversitario o a la escuela pedagógica y que el
duplo de la cantidad de estudiantes que prefieren el preuniversitario
excede en diez a la cantidad de estudiantes que optan por la escuela
pedagógica. ¿Cuántos estudiantes del noveno grado de esta secundaria
básica desean ingresar al preuniversitario en primera opción y cuántos
a la escuela pedagógica?
Solución:
El problema trata sobre la preferencia de los estudiantes de noveno
grado en la continuidad de estudios. En el texto te informan la cantidad
de estudiantes que desean ingresar en primera opción al preuniversitario
y a la escuela pedagógica, pero no te dicen cuántos estudiantes desean
ingresar en cada uno de estos tipos de centros de educación media superior.
Si designas por p la cantidad de estudiantes que desean ingresar al preu
niversitario en primera opción y por e la cantidad de estudiantes que desean
ingresar a la escuela pedagógica en primera opción, entonces p + e = 65.
Observa que en el texto del problema hay otra relación entre estas canti
dades en la que aparecen las palabras claves duplo y excede. Al traducir del
lenguaje común al algebraico esta relación, obtienes la ecuación 2p - 10 = e.
Observa que para resolver el problema se tienen que satisfacer las dos
ecuaciones encontradas, luego, para encontrar la solución del problema
hay que resolver el sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables
p e 65
2 p 10 e
p: estudiantes que desean in p e 65
gresar al preuniversitario en 2 p 10 e
primera opción.
Sustituyendo e = 2p -10 en p + e = 65
e: estudiantes que desean in
p 2 p 10 65
gresar a la escuela pedagógica
3p 10 65
en primera opción.
3p 65 10
3p 75
75
p
3
215
MATEMÁTICA
Sustituyendo p = 25 en p + e = 65 resulta:
25 e 65
e 65 25
e 40
En este caso utilizaste el procedimiento de sustitución para resolver el
sistema.
Compruebas en el texto del problema la solución encontrada.
40 estudiantes desean ingresar a la escuela pedagógica y 25 al preuniver
sitario y 40 + 25 = 65, luego, hay 65 estudiantes que desean el ingreso al
preuniversitario y a la escuela pedagógica como primera opción. Además,
2 ⋅ 25 = 50 y 50 excede en diez a 40, por lo tanto, el duplo de la cantidad de
estudiantes que prefieren el preuniversitario excede en diez a la cantidad
de estudiantes que prefieren la escuela pedagógica. Puedes redactar la
respuesta a la interrogante del problema.
Respuesta:
De esa secundaria básica 40 estudiantes de noveno grado desean in
gresar en la escuela pedagógica en primera opción y 25 al preuniversitario.
Otra Vía:
Este problema lo puedes resolver también con una ecuación lineal en
una variable.
p: estudiantes que desean ingresar al preuni
versitario en primera opción.
65 - p: estudiantes que desean ingresar a la
escuela pedagógica en primera opción.
2p - 10 = 65 - p
2p + p = 65 + 10
3p = 75
p = 25
Sustituyes p = 25 en la expresión 65 - p = 65 - 25 = 40. Luego, 25 estu
diantes desean ingresar al preuniversitario en primera opción y 40 a la escuela
pedagógica.
Recuerda que…
Siempre que resuelvas un problema debes detenerte a reflexionar cuál es
la vía óptima para resolverlo.
Halla dos números cuya suma es 184 y al dividirlos el cociente es dos y
el resto siete.
216
CAPÍTULO 3
Solución:
El problema trata sobre dos números que hay que encontrar a partir de
dos relaciones entre estos. La primera relación es que la suma de los dos nú
meros es 184 y la segunda, que al dividir el mayor entre el menor la división
no es exacta, siendo dos el cociente y el resto siete. Como no sabes cuáles son
los números, si designas por m al número mayor y por n al número menor,
entonces como la suma de los dos números es 184, obtienes la ecuación
m + n = 184. Conoces la relación existente entre el dividendo, el divisor, el
cociente y el resto en una división, es decir, que el dividendo es igual al cociente
por el divisor más el resto, luego, la segunda relación que aparece en el texto del
problema indica que m = 2 · n + 7 y obtienes la segunda ecuación del sistema.
m: número mayor
n: número menor
m n 184
m 2n 7
Sustituyendo m = 2n + 7 en m + n = 184
2n 7 n 184
3n 7 184
3n 184 7
3n 177
177
n
3
Sustituyendo n = 59 en m = 2n + 7 resulta:
m = 2 ∙ 59 + 7 = 118 + 7 = 125
En este caso, el procedimiento más fácil para resolver el sistema de dos
ecuaciones lineales con dos variables es el de sustitución.
Compruebas en el texto del problema la solución encontrada.
125 + 59 = 184, luego, la suma de los dos números es 184. Al efectuar la
división de 125 por 59 resulta que el cociente es dos y el resto siete:
125 59
- 118 2
7
Respuesta:
Los números hallados son 125 y 59.
Ejemplo 4
En un triángulo isósceles, la razón entre la amplitud de uno de los án
gulos de la base y la amplitud del ángulo opuesto a esta es 5:8. Calcula la
amplitud de los ángulos interiores del triángulo.
217
MATEMÁTICA
Este problema trata sobre la razón existente entre las amplitudes de
dos ángulos de un triángulo isósceles. Tienes que determinar la amplitud
de cada uno de los ángulos del triángulo y como el triángulo es isósceles,
las amplitudes de sus ángulos base son iguales, luego, si asignas a la variable
a la amplitud del ángulo base y a la variable b la amplitud del tercer ángu
lo, y traduces al lenguaje algebraico la relación “la razón entre la amplitud
de uno de los ángulos de la base y la amplitud del ángulo opuesto a esta
a 5
es 5:8”, obtienes la proporción = , de la que resulta la ecuación 8a = 5b
b 8
(figura 3.14). Observa que con esta sola ecuación no se pueden hallar las
amplitudes de los ángulos interiores del triángulo, pero tú conoces que en
todo triángulo la suma de las amplitudes de sus ángulos interiores es 180°,
luego 2a + b = 180°.
a: amplitud del ángulo base
b: amplitud del ángulo opuesto a la
base
8a 5b
2a b 180
8a 5b 0
2a b 180
5
8a 5b 0
10a 5b 900
b
18a 900
a
Fig. 3.14
a
900
18
a 50
a
Sustituyendo a = 50 en 2a + b = 180
resulta:
2 50 b 180
100 b 180
b 180 100
b 80
50 5
=
80 8
luego, la razón entre la amplitud de uno de los ángulos de la base y la
amplitud del ángulo opuesto a esta es 5:8.
Compruebas las soluciones encontradas en el texto del problema
Respuesta:
La amplitud de los ángulos base del triángulo es de 50˚ y la del opuesto
a la base de 80º.
218
CAPÍTULO 3
Ejemplo 5
Una entrada a un espectáculo musical cuesta veinte pesos y a un cine
dos pesos. Si con 136 pesos compré en total 14 entradas, ¿cuántas entradas
compré para el cine?
El texto del problema se refiere a la cantidad de entradas compradas de cine
y teatro con una determinada cantidad de dinero. En el problema te informan
cuánto cuesta cada tipo de entrada, la cantidad de entradas comparadas con
136 pesos y te piden determinar cuántas entradas se compraron para el cine.
Para encontrar las ecuaciones te puedes auxiliar de una tabla como la 3.3:
Tabla 3.3
x: cantidad de entradas de 20x: cantidad pagada por las entradas
teatro compradas
de teatro
y: cantidad de entradas de 2y: cantidad pagada por las entradas
cine compradas
de cine
x + y: cantidad de entradas 20x + 2y: cantidad empleada de dinero
en la compra de entradas
compradas en total
Luego, obtienes dos ecuaciones lineales con dos variables:
x y 14
20x + 2 y = 136, que conforman el sistema
20 x 2 y 136
x y 14 2
20 x 2 y 136
2 x 2 y 28
20 x 2 y 136
x + y = 14 y
18 x 108
8
108
x
18
x 6
Sustituyendo x = 6 en x y 14 resulta:
x y 14
y 14 6
y 8
Compruebas las soluciones encontradas en el texto del problema:
8 + 6 = 14 y compré en total 14 entradas. Una entrada para el teatro cuesta
20 pesos y compré seis entradas, luego, empleé 120 pesos en la compra
de entradas del teatro. Una entrada para el cine cuesta dos pesos y me
219
MATEMÁTICA
compré ocho, luego, empleé 16 pesos en la compra de entradas del cine.
120 + 16 = 136, por lo tanto, con 136 pesos compré en total 14 entradas.
Respuesta:
Compré ocho entradas para el cine.
Este no es el único sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables
que te permite resolver este problema, si le das otro significado a las varia
bles entonces la tabla se queda como la tabla 3.4.
x y
14 , por
De los cuales obtienes las ecuaciones x y 136 y
20 2
tanto, el sistema:
x y 136
x y
20 2 14
x y 136
x y
20 2 14
x y 136
x 10 y 280
20
9 y 144
y 16
Sustituyendo y = 16 en x + y = 136 resulta:
x 16 136
x 136 16
x 120
220
CAPÍTULO 3
Compruebas las soluciones encontradas en el texto del proble
ma:120 +16 = 136, luego la cantidad empleada de dinero en la compra de
entradas es 136 pesos. En la compra de las entradas de teatro se destinaron
120 pesos y una entrada para el teatro cuesta 20 pesos, luego compré seis
entradas y en la compra de las entradas de cine se empelaron 16 pesos,
como una entrada para el cine cuesta dos pesos, entonces compré ocho
120 16
entradas para el cine, por tanto,
6 8 14 , luego, con 136 pesos
20
2
compré en total 14 entradas.
Respuesta:
Para el cine compré ocho entradas.
Ejemplo 6
El promedio de notas de un estudiante de noveno grado en las asig
naturas de Matemática y Español en el primer trabajo de control es de
80 puntos. Si la nota de la asignatura Español supera en ocho puntos a la
nota de la asignatura Matemática, ¿cuál es la nota de este estudiante en
cada asignatura en el primer trabajo de control?
Solución:
En el problema tienes que determinar las notas de un estudiante en
dos asignaturas en el primer trabajo de control. En el texto te informan
el promedio alcanzado por el estudiante en estas dos asignaturas y una
relación entre las dos notas obtenidas por él.
Tú conoces que promedio en un problema es una palabra clave que
tiene información para ti, pues sabes cómo determinar el promedio de
varias cantidades, como en este caso se refiere al promedio de dos notas
que no se conocen, si designas por la variable m la nota de la asignatura
Matemática en el primer trabajo de control y por la variable e la nota de
la asignatura Español en el primer trabajo de control, entonces el promedio
m+e
de estas notas lo expresas en el lenguaje algebraico por
y como el
2
m e
80.
promedio de esta notas es 80 obtienes la ecuación
2
En la segunda relación que aparece en el texto del problema sobre las
notas de este estudiante también hay una palabra clave: supera, que sabes
cómo se traduce del lenguaje común al algebraico, entonces como la nota
de la asignatura Español supera en ocho puntos a la nota de la asignatura
Matemática, escribes en el lenguaje algebraico e - 8 = m.
221
MATEMÁTICA
Como se tienen que satisfacer las dos relaciones que aparecen en el texto
m e
80
del problema, tienes que resolver el sistema 2
para darle solución
e 8 m
m: nota de la asignatura
Matemática en el primer
trabajo de control
e: nota de la asignatura
Español en el primer tra
bajo de control
m e
80
2
e 8 m
m e 160
e 8 m
Sustituyendo m = e - 8 en m + e = 160
e - 8 + e = 160
- 8 + 2e = 160
2e = 160 + 8
2e = 168
168
e=
2
e = 84
Sustituyendo e = 84 en e - 8 = m
84 - 8 = m
76 = m
Compruebas las soluciones encontradas en el texto del problema:
Promedio de las notas de las asignaturas de Matemática y Español en
84 76 160
el primer trabajo de control:
80 y 84 - 76 = 8, luego, la nota
2
2
de la asignatura Español excede en 8 puntos a la nota de la asignatura
Matemática.
Respuesta:
La nota del estudiante en la asignatura Español, en el primer trabajo
de control, es 84 puntos y 76 en la asignatura Matemática.
Al igual que en grados anteriores puedes también, además de resolver
problemas, formularlos a partir de datos recopilados por ti, y que para en
contrar su solución tengas que auxiliarte de los sistemas de dos ecuaciones
lineales con dos variables.
222
CAPÍTULO 3
Recuerda que…
Para esto, debes seleccionar palabras claves que representen las relaciones
existentes entre los datos y elaborar un texto en el que de manera clara y
precisa reflejes las relaciones existentes entre lo que se da en el problema y
lo que se debe encontrar. No puede faltar que traduzcas el texto elaborado
al lenguaje algebraico y verificar su correspondencia con los datos recopi
lados, así como resolver el problema.
Ejemplo 7
Una fábrica envasa refresco en pomos de 1,5 L y 2 L de capacidad respec
tivamente. En enero envasaron, entre pomos de ambas capacidades, 14 000 L
de refresco. En febrero por problemas con los pomos de 2 L, utilizaron un
20 % más de pomos de 1,5 L y un 20 % menos de pomos de 2 L respecto a
los utilizados en enero, por lo que se envasaron en ese mes 1 600 pomos
más de 1,5 L que de 2 L.
a) ¿Cuántos pomos se utilizaron de cada tipo en la fábrica en el mes de enero?
b) ¿Cuántos litros de refresco se envasaron en la fábrica en febrero?
c) ¿En qué porcentaje disminuyó la cantidad de refresco envasado de un
mes a otro?
Solución:
Este problema es sobre una fábrica de envase de refresco que utiliza
pomos de dos capacidades diferentes y en el texto te dan información sobre
el envase de refresco en los meses de enero y febrero. Observa que tiene
tres incisos, por lo que debes dar respuesta a cada uno.
a) En este inciso debes determinar cuántos pomos de cada tipo utilizó la fá
brica en enero, luego debes buscar en el texto del problema las relaciones
que se establecen entre los tipos de envases. Como no conoces la cantidad
de pomos utilizados de ambas capacidades, puedes, a la variable x asignarle
la cantidad de pomos de 1,5 L en los que se envasó refresco en enero y
a la variable y la cantidad de pomos de 2 L utilizados. En el texto te infor
man que en enero se envasaron 14 000 L de refresco en pomos de ambas
capacidades, luego, la cantidad de litros envasados en pomos de 1,5 L
más la cantidad de litros envasados en pomos de 2 L es igual a 14 000 L.
Como se utilizaron x pomos de 1,5 L, entonces en este tipo de pomo se
223
MATEMÁTICA
envasaron 1,5x L y de los pomos de 2 L se utilizaron y, entonces en estos
se envasaron 2y L, luego, resulta la ecuación 1,5x + 2y = 14 000.
La otra información que te ofrece el texto del problema está relacionada
con la cantidad de envases utilizados en febrero. Observa que te infor
man que en este mes se utiliza un 20 % más de pomos de 1,5 L que en
1
enero, por tanto, en febrero se utilizaron x + x pomos de 1,5 L, mientras
5
que de los pomos de 2 L se utiliza un 20 % menos, luego en febrero se
1
utilizaron y - y pomos de 2 L.
5
Finalmente, en el texto se plantea una relación entre los envases utili
zados en febrero, observa que te dicen que se envasaron en dicho mes
1 600 pomos más de 1,5 L que de 2 L, por tanto,
1
1
1
1
o x x y y 1600.
x x 1600 y
5
5
5
5
Solución:
x: cantidad de refresco envasado
en pomos de 1,5 L en el mes de
enero.
y: cantidad de refresco envasado
en pomos de 2 L en el mes de
enero.
1,5 x 2 y 14 000
1
1
x 5 x 1600 y 5 y
1,5 x 2 y 14 000
4
6
5 x 5 y 1600 5
1,5 x 2 y 14 000
6 x 4 y 8000
2
3 x 4 y 28 000
6 x 4 y 8 000
9x = 36 000
36 000
x=
9
x = 4 000
Sustituyendo:
x = 4 000 en 1,5x + 2y = 14 000
1,5(4 000) + 2y = 14 000
6 000 + 2y = 1 4000
2y = 14 000 - 6 000
8 000
y=
2
y = 4 000
224
CAPÍTULO 3
Compruebas en el texto del problema la solución encontrada. En
4 000 pomos de 1,5 L se envasaron 4 000 · 1,5 L = 6 000 L y en 4 000
pomos de 2 L se envasaron 4 000 · 2 L = 8 000 L, luego en enero se envasaron 6 000 L + 8 000 L = 14 000 L de refresco.
En febrero se utilizaron un 20 % más de pomos de 1,5 L y un 20 % menos
de pomos de 2 L respecto a los utilizados en enero, luego en febrero
se utilizaron:
1
4 000 + x = 4 000 + 800 = 4 800 pomos de 1,5 L
5
1
4 000 - y = 4 000 - 800 = 3 200 pomos de 2 L
5
y 4 800 - 3 200 = 1 600, por tanto, se envasaron en dicho mes 1 600 pomos
más de 1,5 L que de 2 L.
Observa que en este problema también puedes traducir al lenguaje de
las variables la relación entre los envases utilizados en febrero de la
manera siguiente:
Como en febrero se utilizó un 20 % más de la cantidad de pomos de 1,5 L
respecto a enero, esta cantidad representa el 120 %, luego, la cantidad
120
6
de pomos de 1,5 L utilizados en febrero se representa por
x = x.
100
5
Como en febrero se utilizó un 20 % menos de la cantidad de pomos de
2 L respecto a enero, esta cantidad representa el 80 %, por tanto, se
80
4
representa por
y= y.
100
5
Por lo que la relación entre los envases utilizados en febrero la puedes
6
4
expresar también mediante la ecuación x 1600 y .
5
5
Respuesta:
En enero se utilizaron en la fábrica 4 000 pomos de 1,5 L y 4 000 pomos
de 2 L.
b) En este inciso te piden la cantidad de refresco envasado en febrero. Para
responder debes trabajar con la segunda ecuación donde se tiene la
cantidad de pomos utilizados de cada tipo.
Sabes que en febrero fueron utilizados 4 800 pomos de 1,5 L, luego,
en estos pomos fueron envasados 4 800 ⋅ 1,5 L = 7 200 L de refresco
y de 2 L se utilizaron en febrero 3 200 pomos, por tanto, se envasaron
3 200 · 2 L = 6 400 L de refresco.
Finalmente hallas la cantidad de litros envasados en febrero:
7 200 L + 6 400 L = 13 600 L.
225
MATEMÁTICA
Respuesta:
En el mes de febrero en la fábrica fueron envasados 13 600 L de refresco.
c) Para hallar en qué porcentaje disminuyó la cantidad de refresco enva
sado de un mes a otro, debes buscar en cuántos litros disminuyó, o sea,
14 000 - 13 600 = 400.
400 100
400
x
Ahora planteas:
, por lo que x
2, 9 % .
=
14 000
4 000 100
Este inciso también lo puedes resolver hallando qué tanto por ciento
representa la cantidad de refresco envasado en febrero respecto a enero:
13 600
13 600
x
=
;x
97,1%.
14 000
4 000 100
Luego, sustraes 100 % - 97,1 % = 2,9 %.
Respuesta:
La cantidad de refresco envasada disminuyó en un 2,9 % aproximadamente.
Ejemplo 8
En el departamento de electrodomésticos de una tienda se venden ven
tiladores y televisores. Al ser abastecida contaba con un total de 50 equipos
disponibles para la venta. Después de 15 días se había vendido el 25 % de
los televisores y la mitad de los ventiladores, por lo que quedaban por
vender aún 30 equipos.
a) ¿Cuántos ventiladores y cuántos televisores tenía la tienda disponibles
para la venta?
b) ¿Cuántos equipos de cada tipo fueron vendidos?
Solución:
En el texto del problema te informan la cantidad de equipos disponibles
entre ventiladores y televisores al ser abastecida una tienda, y la cantidad
de equipos que quedaban después de 15 días de ventas.
a) Observa que no conoces la cantidad de ventiladores y televisores con que
fue abastecida la tienda. Luego, puedes asignar a la variable t la cantidad
de televisores disponibles para la venta y a la variable v la cantidad de
ventiladores disponibles para la venta. Como la tienda dispone de 50
equipos en total, entonces t + v = 50.
226
CAPÍTULO 3
En el texto te dicen que se vendieron el 25 % de los televisores, es decir,
la cuarta parte de la cantidad de televisores y la mitad de los ventila
dores y que quedan por vender 30 equipos, luego, se vendieron 20. Por
1
1
tanto, t v 20.
4
2
En este caso también puedes realizar el análisis siguiente: si se vendió el
25 % de los televisores, queda por vender el 75 % que representa las
tres cuartas partes y si se vendió la mitad de los ventiladores, queda la
3
1
otra mitad, por lo que t + v = 30. Por tanto, este problema lo puedes
4
2
t v 50
t v 50
resolver con el sistema 1
o
con
el
sistema
1
1
3
20
t
v
4
4 t 2 v 30
2
t: cantidad de televisores dis
t v 50
ponibles para la venta.
1
1
t v 20 4
v: cantidad de ventiladores 4
2
disponibles para la venta.
t v 50
t 2v 80
-v = -30
v = 30
Sustituyendo v = 30 en t + v = 50
t + 30 = 50
t = 20
Compruebas en el texto del problema la solución encontrada. Si hay 30
ventiladores y 20 televisores disponibles, 30 + 20 = 50, luego, había un
total de 50 equipos disponibles para la venta. Se vendió el 25 % de la
cantidad de televisores y el 25 % de 20 es cinco, por tanto, se vendieron
cinco televisores y como se vendieron la mitad de la cantidad de ventila
dores, entonces fueron vendidos 15 ventiladores, por lo que quedaban
por vender aún 30 equipos.
Respuesta:
Habían disponibles para la venta 30 ventiladores y 20 televisores.
b) Para obtener la cantidad de equipos vendidos de cada tipo debes trabajar
con la segunda información del texto.
227
MATEMÁTICA
30
= 15
2
20
Cantidad de televisores vendidos:
=5
4
Respuesta:
Fueron vendidos 15 ventiladores y cinco televisores.
Cantidad de ventiladores vendidos:
Ejercicios
1. Marca con una X la respuesta correcta.
1.1 Un número excede en 15 a la tercera parte de otro número. Si
m representa el número mayor y n el número menor entonces
esta relación se puede expresar en el lenguaje de las variables:
a) ___15 n
1
m
3
b) ___m 15
n
3
c) ___m 15
n
3
d) ___n 15
1
m
3
1.2 La razón entre las longitudes de la base menor y mayor de un
3
trapecio es igual a . Si representemos por x la longitud de la
7
base mayor del trapecio y por y la longitud de la base menor,
entonces:
x 3
a) ___ =
b) ___ 7x - 3y = 0
y 7
c) ___ 3y = 7x
d) ___ 3x - 7y = 0
1.3 El área de un trapecio es igual a 60 dm2 y su altura tiene una
longitud de 6,0 dm. Si representemos por a la longitud de la
base mayor del trapecio y por b la longitud de la base menor,
entonces:
a) ___ 6 a b 60
b) ___ a b 20
c) ___ 3a b 60
d) ___ a b 120
1.4 La tercera parte de la diferencia de dos números es igual a la
unidad. Si p es un número y q es el otro, entonces:
1
a) ___ p q 1
b) ___ 3 p q 1
3
228
CAPÍTULO 3
c) ___ p q 3
d) ___
p q
3
3
1.5 Si de un número de dos cifras se escriben sus cifras en orden
inverso se obtiene otro número que excede en 15 al número
inicial. Si d representa la cifra de las decenas y u la cifra de las
unidades del número inicial, entonces:
a) __ (10u + d) + 15 = 10d + u
b) __ (10d + u) - 15 = 10u + d
c) __ (10u + d) - 15 = 10d + u
d) __ (10d + u) + 15 = 10u + d
1.6 En dos depósitos A y B se tiene almacenada agua. Si extraigo
dos litros de agua del depósito B y los vierto en el depósito A,
ahora este contiene seis litros más que el depósito B. Si desig
namos por a la cantidad de litros de agua almacenados en el
depósito A y por b la cantidad de litros de agua almacenados
en el depósito B, entonces:
a) __ a = b + 6
b) __ b = a + 6
c) __ b - 2 = a + 8
d) __ b + 4 = a + 2
1.7 Si 15 ejemplares de un libro y diez ejemplares de una revista
cuestan $ 15,50 y 25 ejemplares de un libro y 13 ejemplares de
una revista cuestan $ 24,50 y se quiere conocer cuánto cuesta
el libro y cuánto la revista, entonces el sistema que permite
encontrar la solución, si a la variable x se le asigna el precio del
libro y a la variable y el precio de la revista, es:
15 x 25 y 15,50
a) __
10 x 13 y 24 ,50
15 x 10 y 15,50
b) __
25 x 13 y 24 ,50
15 x 10 y 24 ,50
c) __
25 x 13 y 15,50
15 x 13 y 15,50
d) __
10 x 25 y 24 ,50
1.8 La longitud del largo de un rectángulo excede en 7,0 dm al triplo
de la longitud de su ancho y su perímetro es 36 dm. El sistema de
dos ecuaciones lineales con dos variables que permite resolver
este problema, donde a la variable p se le asigna la longitud del
largo y a la variable q la longitud del ancho, es:
p 7 3q
a) __
p q 36
p 7 3q
b) __
2 p q 36
229
MATEMÁTICA
p 3q 7
c) __
2 p q 36
2.
p 7 3q
d) __
p q 36
Dados los sistemas de dos ecuaciones lineales con dos variables si
guientes, escribe en el lenguaje común las relaciones que representan:
3
x y x
a)
4
x 2 2 y
m n 4
b)
m n 2
p q 210
c) 1
3
4 p 10 4 q
a 4b
d)
a 5 3 b 5
3.
El noveno grado de una secundaria básica tiene 72 estudiantes matricu
lados. En el segundo trabajo de control de la asignatura Matemática
todos los estudiantes del grado examinaron y aprobaron 54. Si el 80 %
de los varones y el 70 % de las hembras aprobaron, cuántos varones
hay matriculados en el noveno grado de esa secundaria.
4.
La diferencia de dos números es 28 y la cuarta parte de su suma es 11.
Hallar los números.
5.
Para transportar potes de helado y envases de jugo se emplean cajas
de diferentes tamaños y diseños. Seis cajas de potes de helado tienen
la misma masa que cuatro cajas de envases de jugo, mientras que una
caja de potes de helado y una caja de envases de jugo tienen en total
una masa de 50 lb. ¿Cuál es la masa de una caja de potes de helado?
6.
Como parte de la preparación de una secundaria básica para el próximo
curso escolar los estudiantes se comprometieron a restaurar los libros
de la secundaria básica durante dos semanas del período vacacional.
En la primera semana restauraron el triplo de lo que restauraron en
la segunda y en total restauraron 668 libros.
a) ¿Qué cantidad de libros restauraron cada semana?
b) ¿Qué porcentaje representan los libros restaurados en la segunda
semana del total?
c) ¿Qué parte del total se restauró en la primera semana?
7.
230
En un laboratorio de Física de una institución educativa hay en total
17 puestos de trabajo, los cuales algunos son para tres estudiantes
y otros para dos. Si en total el laboratorio tiene capacidad para 44
estudiantes, ¿cuántos puestos de trabajo hay de cada tipo?
CAPÍTULO 3
8.
En un taller de reparación tienen tornos y fresadoras. El mes pasado se
realizaron labores de mantenimiento a cinco tormos y a cuatro fresa
doras, por un costo de 3 405 pesos. Este mes se pagó 3 135 pesos por
el mantenimiento de tres tornos y cinco fresadoras. ¿Cuál es el costo
del mantenimiento de cada tipo de máquina?
9.
Con dos camiones cuyas capacidades de carga son respectivamente
de tres y cuatro toneladas se hicieron en total 23 viajes para trans
portar 80 toneladas de madera. ¿Cuántos viajes realizó cada camión?
10. El patio de mi casa tiene forma rectangular y su perímetro es de 40 m. Si se
duplica su largo y se aumentara en seis metros su ancho, entonces tendría
un perímetro de 76 m. ¿Qué largo y qué ancho tiene el patio de mi casa?
11. Encuentra dos números cuya suma sea 40 y su diferencia 14.
12. ¿Cuál es el área de un rectángulo cuyo perímetro es de 16 cm y la
longitud del largo es el triplo de la longitud del ancho?
13. El noveno grado de una secundaria básica tiene 60 estudiantes. El 16
% de los varones usan espejuelos y el 20 % de las hembras. Si en total
hay 11 estudiantes de noveno grado que usan espejuelos, ¿cuántas
hembras y cuántos varones tiene el noveno grado de esta escuela?
14. Emilio le dice a Ernesto Fidel: “la cantidad de libretas que tengo es el doble
de las que tienes tú” y Ernesto Fidel le responde: “si tú me das seis libretas
tendremos los dos igual cantidad”. ¿Cuántas libretas tenía cada uno?
15. Para la instalación de computadoras en una secundaria básica se tiene
un cable eléctrico de doce metros de longitud. Si el cable se corta en dos
partes de manera que una es dos metros más larga que la otra, ¿cuál es
la longitud de cada uno de los cables eléctricos?
16. Zoraida tiene 27 años más que su hija Yaima. Dentro de ocho años, la
edad de Zoraida doblará a la de su hija. ¿Cuántos años tiene cada una?
17. La abuela le dice a la nieta: “Hoy tu edad es un cuarto de la mía, hace
siete años no era más que un séptimo”. ¿Cuántos años tiene la abuela?
18. Para un encuentro de conocimientos de Matemática entre dos grupos
de noveno grado el profesor elaboró 30 ejercicios sobre resolución
231
MATEMÁTICA
de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos variables. Por cada ejer
cicio resuelto correctamente el profesor dio cinco puntos y por cada
ejercicio resuelto incorrectamente el profesor quitó dos puntos. Si un
grupo resolvió todos los ejercicios y obtuvo en total 94 puntos, ¿cuántos
ejercicios resolvió correctamente?
19. La suma de la edad de Alejandro y su papá es 39 y la diferencia es 25.
¿Cuál es la edad de Alejandro?
20. En un parqueo hay estacionados 154 vehículos ente carros y motos. Se
sabe que en total hay 458 ruedas. ¿Cuántas motos hay estacionadas en
este parqueo?
21. En una fábrica de conservas, para envasar la producción, se utilizaron
como recipientes latas y frascos de cristal. La cantidad de frascos excede
en 794 a la cantidad de latas existentes. Al concluir la primera etapa
productiva se habían utilizado tres quintos de la cantidad de frascos y el
25 % del número de latas para un total de 1 102 recipientes. ¿Cuántos
recipientes de cada tipo hay en la fábrica para envasar la producción?
22. Dos grupos de noveno grado de una secundaria básica elaboraron 110
juguetes para los círculos infantiles de la comunidad. Después que uno
de los grupos había elaborado la mitad de lo que se había propuesto y el
otro el 70 % de lo que debía elaborar, solo faltaban 51 juguetes. ¿Cuántos
juguetes elaboró cada grupo de noveno grado?
23. Amanda y Anabel son monitoras de la asignatura Matemática en una
secundaria básica y entre las dos seleccionaron 22 ejercicios para la pre
paración de sus compañeros para el trabajo de control de la asignatura.
Si el doble de los ejercicios seleccionados por Amanda es mayor en ocho
a los seleccionados por Anabel, ¿cuántos ejercicios seleccionó cada una?
24. Una brigada integrada por 25 estudiantes labora en la cosecha de café
de este año. El duplo de los estudiantes que transportan el café recogido
excede en ocho al 80 % de los que lo cosechan. ¿Qué cantidad de estu
diantes hay en cada labor?
25. En un concurso provincial de artes plásticas participaron 159 estudiantes
de secundaria básica. La cantidad de hembras participantes excede en 72
232
CAPÍTULO 3
al duplo de los varones. ¿Cuántas hembras y cuántos varones participaron
en el concurso?
26. Determina el número de dos cifras para el cual se cumple que la suma
del duplo de la cifra de las decenas y el triplo de las unidades es 23, si
se conoce que la diferencia entre el triplo de las decenas y el duplo de
las unidades es 15.
27. Un profesor de Educación Física cuenta con 196 estudiantes de una
secundaria básica para formar seis círculos y cuatro estrellas con estos
estudiantes. Para formar un círculo y una estrella utiliza 40 estudiantes.
¿Con cuántos estudiantes forma un círculo y con cuántos una estrella?
28. El número de asistentes a una base de campismo durante el mes de
agosto triplica la cantidad de asistentes durante el mes de enero. Si en
tre ambos meses asistieron 15 200 personas. ¿Qué cantidad de personas
asistieron en cada mes?
29. Para celebrar la constitución de la organización de pioneros dos grupos de
estudiantes de noveno grado decidieron recoger entre los dos 120 kg de
materia prima. Si la primera brigada hubiera recogido 12 kg más, entonces
tendría el doble de la cantidad de kilogramos recogidos por la segunda
brigada. ¿Cuántos kilogramos de materia prima recogió cada brigada?
30. Los grupos A y B de onceno grado que emulan respecto a la incor
poración de estudiantes para estudiar carreras pedagógicas, tienen
incorporados al predestacamento 16 estudiantes en total. Si el grupo A
logra incorporar seis estudiantes más entonces ambos tendrían la misma
cantidad de incorporados. ¿Cuántos estudiantes pertenecen al predes
tacamento de cada grupo?
31. Durante un trabajo voluntario realizado por los padres en una secundaria
básica se repararon 55 artículos entre mesas y sillas. Si la diferencia entre
el triplo de las mesas reparadas y el duplo de las sillas es cinco. ¿Cuántas
sillas y cuántas mesas se repararon en esa jornada?
32. El huracán Sandy, que en el mes de octubre de 2012 azotó a la región
oriental de nuestro país, dejó pérdidas por más de mil millones de
dólares. A consecuencia de este fueron afectadas un total de 132 733
viviendas. Se conoce que el séxtuplo de las viviendas que sufrieron
233
MATEMÁTICA
derrumbes totales aumentado en 25 479 es igual al número de vi
viendas que sufrieron derrumbes parciales 1.
a) ¿Cuántas viviendas sufrieron derrumbes totales y cuántas parciales?
b) ¿Qué medidas de la defensa civil tendrías en cuenta en caso de
amenaza de tormenta tropical, huracanes y desastre natural?
33. Xiomara y Ana Lidia, durante dos días de recolección de café en las monta
ñas, lograron llenar 104 latas del preciado grano entre las dos. Si Xiomara
le cediera a Ana Lidia el 20 % de la cantidad de latas que logró llenar,
ambas tendrían la misma cantidad de latas llenas de café.
a) ¿Cuántas latas de café llenó cada una?
b) Si entre ambas lograron recolectar el equivalente a 3 640 libras de
café y en todas las latas había la misma cantidad de café, determina
en cuántas libras la cantidad recolectada por Xiomara excede a la
cantidad recolectada por Ana.
34. En un huerto hay sembrados el doble de hectáreas de papa que de to
mate. Hoy se recogieron el 20 % de las hectáreas de tomate y la tercera
parte de las de papa, por lo que faltan por recoger 32 ha.
a) ¿Cuántas hectáreas había sembradas de cada cultivo?
b) ¿Cuántas hectáreas se recogieron de cada cultivo?
c) Si el terreno tiene 50 ha, ¿qué tanto por ciento falta por sembrar?
35. Entre dos apartamentos consumieron durante el mes de marzo 400 kWh
de energía eléctrica. Después de aplicarse medidas de ahorro en el mes de
abril, el apartamento A redujo su consumo en un 20 % y el apartamen
to B lo redujo en 10 kWh. Si este último mes entre ambos consumieron
48 kWh menos que en marzo. ¿Cuál fue el gasto de energía en cada uno
de los apartamentos en el mes de marzo?
36. En diciembre de 2013 se realizó un análisis del consumo eléctrico en los
núcleos de las viviendas A y B, y se comprobó que en la vivienda A se con
sumió el doble de lo consumido en la vivienda B. Sin embargo, al aplicar
medidas de ahorro en enero de 2014 con la nueva tarifa se comprobó que
en la vivienda A se redujo el consumo al 80 % de lo que se consumió el
1
Órgano de prensa Granma, 27 de octubre de 2012, p. 3.
234
CAPÍTULO 3
mes anterior, mientras que la B disminuyó su consumo en 20 kWh. Si entre
ambas viviendas se consumió un total de 292 kWh. ¿Cuántos kilowatt
hora se consumió en cada vivienda en el mes de enero?
37. En un almacén de piezas de repuesto habían almacenado dos tipos de
piezas para la reparación de maquinarias agrícolas. La cantidad de piezas
del tipo A, excedía en 24 a la cantidad de piezas del tipo B. Una empresa
agrícola adquirió en una compra la mitad de la cantidad de las piezas
del tipo A que habían almacenadas y el 75 % de las piezas del tipo B. Si
después de esta compra, lo que quedó en el almacén fue el 40 % de la
cantidad de piezas que había inicialmente. Calcula cuántas piezas de cada
tipo fueron adquiridas por esa empresa.
38. En una cooperativa agrícola en la que solo se cultivan tomates y cebollas,
la cantidad de hectáreas de terreno dedicadas al cultivo de tomates
excede en diez a la cantidad de hectáreas en las que se cultiva cebollas.
En una jornada de trabajo fueron abonadas el 50 % de las hectáreas
dedicadas al cultivo de tomates y la cuarta parte de las hectáreas dedi
cadas al cultivo de la cebolla. Si en esa jornada de trabajo se abonaron
23 ha de tierra. ¿Cuántas hectáreas de tierra están dedicadas al cultivo
de cada producto?
39. En una Secundaria Básica trabajan 31 profesores. El triplo de la cantidad
de profesoras excede en 15 al 25 % de la cantidad de profesores. ¿Cuántas
profesoras trabajan en la escuela?
40. En una cooperativa de producción agropecuaria un campesino separó las
frutabombas buenas de las que se echaron a perder. De las buenas, la
tercera parte estaban maduras, las tres cuartas partes del resto estaban
verdes y el resto pintonas. Si entre buenas y malas había 180 frutabombas
y de ellas el 20 % estaban echadas a perder. ¿Cuántas frutabombas esta
ban pintonas?
B
41. El ángulo CAB de un triángulo tiene
una amplitud de 30° (figura 3.15) y las
amplitudes de los otros dos ángulos,
CBA y BCA, están en la razón de 2:3.
¿Cuál es la amplitud de los ángulos
CBA y BCA?
= 30º
C
A
Fig. 3.15
235
MATEMÁTICA
42. La razón entre las longitudes de los lados de un rectángulo es 11 , si
7
las longitudes de cada uno de los lados aumentan en tres centímetros
el área se incrementa en 117 cm2. Calcula el perímetro del rectángulo.
43. Redacta un problema cuya resolución conduzca al planteamiento
de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables como los
siguientes:
1
3
a 2b 52
m n
p q 552
14
x y 27
a)
b) 2 4
c) 10
d) a 3
5
2
0
p
q
m n 36
x 15 y
b 5
44. Formula un problema utilizando los datos siguientes:
a) Resultados de las votaciones en las elecciones pioneriles:
Candidatos
Cantidad de votos obtenidos
Luisa Margarita
368
Reinaldo
184
b) ABC triángulo, B punto de AD, ∢ACB = 75º y ∢CAB = 3 , ∢DBC - 27º.
5
c) Resultados del trabajo de control de dos grupos de noveno grado
de una secundaria básica.
Grupo
Matrícula
Aprobados
9.1
35
80 %
9.2
32
75 %
d) Composición de sacos de fertilizantes
Tipo
de
fertilizante
Composición de cada saco
de fertilizante
Nitrógeno
Ácido
A
4,0 kg
2,0 kg
B
3,0 kg
3,0 kg
45. Busca datos actualizados de la prensa, revistas y otros medios de
información, y redacta tres problemas en los que para solucionarlos
resuelvas sistemas de dos ecuaciones lineales con dos variables.
236
CAPÍTULO 3
EJERCICIOS DEL CAPÍTULO
1.
Lee detenidamente la pregunta y responde:
1.1 Clasifica las proposiciones siguientes en verdaderas o falsas.
Escribe V o F en la línea dada. Justifica las que sean falsas.
3 2
a) __ El par ; no es solución de la ecuación 5p + 3q = 5.
5 3
b) __ La ecuación 2x + 4y = 7 tiene solución para x, y números
enteros.
x 2y 8
c) __ El sistema
no tiene solución.
3 x 6 y 24
m 3n 6
m 6 3n
d) __ Los sistemas
y
son equivalentes.
5m 2n 13 5m 2n 13
e) __ Un sistema en el que sus dos ecuaciones lineales con dos
variables son iguales, tiene infinitas soluciones.
f) __ El conjunto solución de un sistema de dos ecuaciones lineales
con dos variables es un conjunto vacío o un conjunto unitario,
o un conjunto infinito.
g) __ Si los coeficientes de las variables de un sistema de dos
ecuaciones lineales con dos variables no son proporcionales,
entonces el sistema tiene solución única.
h) __ Si los coeficientes de las variables de un sistema de dos
ecuaciones lineales con dos variables son proporcionales,
entonces el sistema puede tener infinitas soluciones o nin
guna solución.
i) __ Si en un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables,
una ecuación es un múltiplo de la otra, entonces el sistema
tiene infinitas soluciones.
x 2y 8
j) __ El par (0;4) es solución del sistema
, porque es
x 2y 4
solución de la ecuación x + 2y = 8.
2 x 3y 8
2 x 3 y 8
y
k) __ Los sistemas
son equivalentes.
7 y 14
2 x 4 y 16
l) __ En un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables
se pueden permutar sus ecuaciones.
237
MATEMÁTICA
2.
Determina si los sistemas de dos ecuaciones lineales con dos variables
siguientes son solubles o no, y en el caso afirmativo señala el tipo de
solución que tiene.
3a 7b 1
5 x 3y 0
2 p 4q 5
7m 14n 35
a)
b)
c)
d)
11x 3 y 0
p q 3
m 2n 5
12a 28b 3
3.
Completa los sistemas de dos ecuaciones lineales con dos variables si
guientes de manera tal que tengan el tipo de solución que se señala.
Tipo de solución
p 12q
5v w
14
8x
32
y
4
Infinitas soluciones
Solución única
No tiene solución
4.
238
Hallar el conjunto solución de los sistemas de dos ecuaciones lineales
con dos variables siguientes:
4 p 3q 10
2 x y 4
a 18 5b
m 5n 7
a)
b)
c)
d)
2 p 5q 8
3x 1 y
34 b 4a
n 14 2m
a b 2
w 5v 12
2x y 4
e)
f)
g)
5a 5b 4
2w v 6
6 x 6 y 15
1
7p 5q 2
m 4n 13 3a 11b 2
i) 2
j)
k)
6
a
4
22
b
2 p 3q 5
m n 1
3c 5d 21
h)
c 4d 10
1
3
a 12 b
l) 4
2
a b 56
s 2t 1
2 x 9 y 4
7p 2 5q
m)
n)
ñ)
4 s 3t 2
4 x 3y 3
15q 6 21p
3w 5v 21
o)
2w 7v 14
g 1 h
p)
2(g h) 1
m 5(m n) 6
q)
3(m 2) 2(n 5) 1
9a 5(b 2) 12
r)
3(a 7) 11 5b
7(w 2) 5v 6(w 4 )
s)
w 3(v 2) 12
2 x 4 y 9
3
2 2
t)
1
x 2y 3x 2 4
3
3
2m 1 n 3 11
2 3 6
u)
2m n 1 6
5
10
5
CAPÍTULO 3
5.
Escribe un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables que
tenga como conjunto solución a S = {(3;-5)}.
6.
2p q 7
Determina el valor de k para que el sistema
tenga
3p kq 1
solución única.
7.
Halla el valor de m y n para que el par (-1;2) sea solución del sistema
x m 5 y 2m 6n 5

3 x m 5n 2 y n 1 5
8.
3x y a
Determina para qué valores de a el sistema
tiene como
x 2 y 3a
solución:
a) un par de números enteros.
9.
b) un par de números naturales.
Un número excede en 12 unidades a otro; y si restáramos cuatro uni
dades a cada uno de los números, entonces el primero sería el duplo
del segundo. ¿Cuáles son los números?
10. En una tienda se venden pilas AA y AAA. Hoy se han vendido
200 pilas de ambos tipos. Si se hubiesen vendido 20 pilas más AAA,
esto representaría las cinco sextas partes de la cantidad vendida de
pilas AA. Si las pilas se venden en paquetes de dos pilas cada uno.
a) ¿Cuántos paquetes se vendieron de cada tipo de pila?
b) Si el en almacén quedan aún 50 paquetes de pilas AA y 70 de pi
las AAA, ¿qué tanto por ciento del total de paquetes que había
quedan por vender?
11. El perímetro de un triángulo isósceles es de 19,0 cm. La longitud de
cada uno de sus lados iguales excede en 2,0 cm al doble de la longitud
del lado desigual. ¿Cuánto miden los lados del triángulo?
12. Camilo le dice a Gabriela: cuál es el número de dos cifras que su cifra
de las decenas es la tercera parte de la cifra de las unidades y si in
viertes el orden de las cifras el número que obtienes excede en 45 al
número 48. Ayuda a Gabriela a encontrar la respuesta.
2
y Giselle es 15 años
3
mayor que Patricia. ¿Cuál es la edad de cada una de ellas?
13. La razón entre las edades de Patricia y Giselle es
239
MATEMÁTICA
14. Para el embellecimiento de un aula de una secundaria básica hay
almacenados dos recipientes que contienen pintura. La mitad de los
litros contenidos en el recipiente que tiene menos pintura excede en
cinco litros a la tercera parte del que contiene más. Si el 20 % de la
pintura del recipiente que tiene menos litros se traslada al otro reci
piente, entonces este tendría ahora el doble de litros de pintura del
otro. ¿Cuántos litros de pintura tenía cada recipiente originalmente?
15. En el tercer año de una escuela pedagógica solo se estudia la especia
lidad de Primaria y la de Preescolar. La tercera parte de la cantidad de
estudiantes de la especialidad de Primaria y la mitad de la cantidad de
estudiantes de la especialidad de Preescolar es de 108 estudiantes. Si
se sabe que el duplo de los que estudian la especialidad de Primaria
excede en 16 a los que estudian la especialidad de Preescolar.
a) ¿Cuántos estudiantes están en el tercer año de esta escuela pe
dagógica?
b) ¿Qué tanto por ciento representan los estudiantes de la especialidad
de Preescolar del total de estudiantes de tercer año?
16. En un destacamento de 45 pioneros de una secundaria básica, el
doble de la cantidad de varones disminuido en nueve es igual a la
cantidad de hembras. ¿Cuántas hembras y cuántos varones integran
este destacamento?
17. Carolina tiene ahorrado en una alcancía 110 pesos en monedas de
uno y tres pesos. Si en total tiene 62 monedas, cuántas monedas tiene
de tres pesos.
18. La suma de dos números es 85 y su diferencia es 19. ¿Cuáles son los
números?
19. Una cooperativa agropecuaria se dedica a la cría de conejos y gallinas.
Si los trabajadores de la cooperativa cuentan las cabezas, tienen 50 y
si cuentan las patas, tienen 134. ¿Cuántos conejos y cuántas gallinas
tienen en la cooperativa?
20. Un edificio en construcción tiene 96 apartamentos de dos y tres
habitaciones. Si en total el edificio tiene 228 habitaciones, cuántos
apartamentos de tres habitaciones tiene el edificio. ¿En qué cantidad
240
CAPÍTULO 3
excede el número de apartamentos de dos habitaciones al número
de apartamentos de tres habitaciones?
21. El plan de producción de pienso de una fábrica A, excede en 30 t a lo
planificado por otra fábrica B para el mismo año. Al concluir el primer
semestre, la fábrica A había producido el 40 % de su plan y la B las
tres décimas partes del plan, acumulando entre las dos 47 t de pienso.
a) ¿Cuál es el plan de producción de cada fábrica?
b) ¿Cuántas toneladas ha producido cada fábrica?
22. Al dividir un número por otro el cociente es dos y el resto cinco. Si la di
ferencia entre el dividendo y el divisor es 51, ¿cuáles son los números?
23. En una secundaria básica hay matriculados 80 estudiantes en noveno
grado y de ellos 60 son deportistas. Si se conoce que el 50 % de las
hembras y el 90 % de los varones son deportistas, ¿cuántas hembras
y cuantos varones tiene el noveno grado de esta escuela?
24. El organopónico que atiende un preuniversitario tiene 20 canteros, entre
los cultivados y los recién creados. Para fertilizarlos se utilizaron 528 kg
de fertilizante, y se conoce que los canteros cultivados requieren de
32 kg de fertilizante, mientras los recién creados solo necesitan 18 kg.
a) ¿Cuántos canteros de cada tipo hay en el organopónico?
b) ¿Qué tanto por ciento del total de fertilizante se utilizó en los
canteros recién creados?
25. En una fábrica la cantidad de obreros calificados excede en 21 a los téc
nicos medios. Se fueron cinco obreros calificados de la fábrica, por lo que
ahora el 20 % de los obreros calificados es igual a la cantidad de técnicos
medios. ¿Cuántos obreros calificados hay actualmente en la fábrica?
26. En un almacén se tenían almacenados 450 L de agua en dos tanques
de diferente capacidad, los cuales estaban completamente llenos.
Durante el día se utilizó el 50 % de la cantidad de agua contenida
en el tanque de menor capacidad y las tres quintas partes de la alma
cenada en el otro. Al finalizar el día había un total de 200 L de agua
almacenada en los dos tanques.
a) ¿Cuál es la capacidad de cada tanque?
241
MATEMÁTICA
b) ¿Qué tiempo demora en llenarse el tanque de mayor capacidad, si
estando vacío se abre una llave que vierte 12,5 L/min?
27. En un taller de reparaciones se envasaron 274 L de aceite lubricante
en 22 recipientes de dos tipos: unos con una capacidad de 10 L y otros
con una de 16 L. Los 22 recipientes están completamente llenos.
a) ¿Cuántos recipientes de cada tipo se utilizaron para envasar todo
el aceite?
b) ¿Qué tanto por ciento de la cantidad de aceite se envasó en los
recipientes de 16 L?
28. Con la intención de promover el ahorro energético en un sector resi
dencial, dos grupos de estudiantes se comprometieron a visitar entre
ambos, cierto número de viviendas de un Consejo Popular. Las dos
quintas partes de las viviendas asignadas al grupo B, excede en cuatro
a las asignadas al grupo A. Al finalizar la tarea, todas las viviendas fue
ron visitadas; pero el grupo B visitó 20 viviendas menos de las que le
habían asignado, por lo que ambos grupos visitaron la misma cantidad.
a) ¿Cuántas viviendas se comprometió visitar cada grupo?
b) Calcula en qué tanto por ciento el grupo B cumplió su compromiso
PARA LA AUTOEVALUACIÓN
Reflexiona sobre lo aprendido
► ¿Cuándo un par ordenado de números reales es solución de un sistema
de dos ecuaciones lineales con dos variables?
► ¿Cuál es la relación existente entre la posición relativa de dos rectas en
el plano y el tipo de solución de un sistema de dos ecuaciones lineales
con dos variables formado por las ecuaciones de esas rectas?
► ¿Cuál es la relación entre el tipo de solución de un sistema de dos ecuacio
nes lineales con dos variables y las pendientes y términos independientes
de las ecuaciones de las rectas que lo conforman?
► ¿Cuándo dos sistemas de dos ecuaciones lineales con dos variables son
equivalentes?
► ¿Cuáles son las transformaciones equivalentes que puede aplicar a un
sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables?
242
CAPÍTULO 3
► ¿Qué procedimientos puedes emplear para resolver un sistema de dos
ecuaciones lineales con dos variables? ¿Cómo procedes en cada caso?
Ponte a prueba
1.
Resolver los sistemas de dos ecuaciones lineales con dos variables
siguientes:
6m 7n 5
b a 1
4p 3q 5
a)
b)
c)
3n 4m 1
8a 5b 17
8 p 6q 10
5r 3 4 s
d)
4 s 3 5r
3c 2d 4
e)
2c 3d 1
5v 2w 1
g)
3v 3w 5
6b 12 9a
h)
5 3a 4b
4 x 3 y 14
f)
2x y 6
h 2 x 10 3k y h 4
Determinar el valor de h y k si el sistema
5 x 2h 4 y 8k 2
tiene como conjunto solución a S = {(2;-3}.
2.
La cantidad de libros de Matemática para noveno grado que tiene
una secundaria básica excede en 26 a la cantidad de libros de Física
para este mismo grado. Al inicio del curso se repartió el 75 % de la
cantidad de libros de Matemática que tenía la secundaria básica y la
mitad de la cantidad de los libros de Física, y quedaron almacenados
en la secundaria básica 65 libros de estas asignaturas.
a) ¿Cuántos libros de estas asignaturas tiene esta secundaria básica
para el noveno grado?
b) Si el próximo curso la matrícula de noveno grado de esa secundaria
básica será 143 estudiantes, cuántos libros más de Matemática y
de Física necesitará esta escuela.
243
CAPÍTULO 4
Trabajo con variables, ecuaciones
de segundo grado y funciones cuadráticas
4.1 Repaso sobre el trabajo con variables
✀
Aplica tus conocimientos
Una piscina tiene forma de prisma recto de
base rectangular (figura 4.1). Las dimensiones
de la base exceden en 2,0 m y 1,0 m, respectivamente, a su profundidad.
a) ¿Cómo expresarías el volumen de la piscina
mediante un polinomio?
b) ¿Cómo se clasifica el polinomio obtenido?
x
V = AB · h
x+1
x+2
Fig. 4.1
Como la piscina tiene forma de prisma recto de base rectangular, puedes
realizar la figura de análisis como la 4.1.
Si x representa la longitud de la profundidad de la piscina, entonces las
longitudes de sus bases se representan por (x + 2) y (x + 1) respectivamente.
En séptimo grado estudiaste, que el volumen del prisma se calcula multiplicando el área de su base por su altura, y como la base es rectangular, entonces
el volumen se puede expresar de la forma siguiente:
V = (a ⋅ b) ⋅ h
(porque el área del rectángulo se expresa por la ecuación A = a ⋅ b)
Sustituyes las expresiones correspondientes a cada arista del prisma en la
ecuación del volumen y obtienes:
V = (x + 2) (x + 1) ⋅ x
245
MATEMÁTICA
Para expresar el volumen de la piscina mediante un polinomio y clasificarlo,
debes efectuar el producto indicado entre los dos binomios y el monomio.
En grados anteriores estudiaste qué es un monomio, un polinomio, cómo
determinar el grado de un monomio y de un polinomio, así como las operaciones que se realizan con estos.
En este caso debes efectuar algunas de estas operaciones como el producto
de dos binomios y de un monomio por un polinomio, además de la reducción
de términos semejantes. Estas operaciones las puedes realizar de varias formas.
Una de las cuales puede ser la siguiente:
1. Efectúas primero el producto de los binomios. Recuerda que el procedimiento
es multiplicar cada término del primer binomio por cada uno de los términos
del otro binomio.
V = (x2 + x + 2x + 2) ⋅ x
(producto de los binomios)
V = (x + 3x + 2) ⋅ x
(reduciendo términos semejantes)
V = x3 + 3x2 + 2x
(producto del monomio por el trinomio)
2
2. Realizas el producto de un monomio por un polinomio (trinomio) resultante de la primera operación. En este caso multiplicas el monomio por cada
término del trinomio.
Respuesta del a):
El volumen de la piscina se puede expresar mediante el polinomio
3
x + 3x2 + 2x.
Respuesta del b):
El polinomio está compuesto por la suma de tres monomios o términos,
luego se clasifica en trinomio.
La situación inicial planteada te ha permitido recordar algunas de las operaciones que aprendiste a realizar con monomios y polinomios. Pero, seguro
recordarás que también realizaste otras que te ayudaron a resolver algunos
ejercicios en los que se combinaban entre sí estas operaciones y hallaste también el valor numérico de varias expresiones.
A continuación, brevemente, te recordamos algunas de estas operaciones
con los ejemplos siguientes:
Ejemplo 1
Sean A = 2x - 3; B = x + 5 y C = 2x2 + 9x - 5
1.1 Calcula y simplifica:
a) C - A ⋅ B
246
b) A2 - 2C + B
c)
C A
B 2
CAPÍTULO 4
1.2 Di el grado de los polinomios A, B y C.
Solución:
1.1 a) (2x2 + 9x - 5) - (2x - 3) (x + 5) (sustituyes cada letra por su expresión
algebraica introduciendo los paréntesis)
Para eliminar los paréntesis debes aplicar la regla correspondiente en
cada caso:
= 2x2 + 9x - 5 - (2x - 3)(x + 5) (el primer paréntesis está precedido de
signo más, por lo que cuando se va a eliminar el paréntesis permanece
cada término con su mismo signo)
Observa que el producto de los binomios está precedido de signo menos,
por lo que primero se efectúa el producto, multiplicando los términos del
primer binomio por cada término del segundo binomio, y luego debes
cambiar el signo de cada término en el resultado.
= 2x2 + 9x - 5 - (2x2 - 3x + 10x - 15)
= 2x2 + 9x - 5 - 2x2 + 3x - 10x + 15
2
2
= 2 x 9 x 5 2 x 10 x 3 x 15
(identificas los términos semejantes)
= 2x + 10
(reduces los términos semejantes)
2
b) A - 2C + B
(2x - 3)2 - 2(2x2 + 9x - 5) + (x + 5) (sustituyes cada letra por su expresión
algebraica introduciendo los paréntesis)
Para eliminar los paréntesis debes aplicar la regla correspondiente en
cada caso:
= (2x - 3)(2x - 3) - 2(2x2 + 9x - 5) + (x + 5) (expresas (2x - 3)2 aplicando
la definición de potencia como el producto de dos binomios)
= 4x2 - 6x - 6x + 9 - 4x2 - 18x + 10 + x + 5 (eliminas los paréntesis indicados)
(El producto de binomios se efectúa multiplicando cada término del
primer binomio por cada término del segundo binomio, el segundo
paréntesis se elimina aplicando la propiedad distributiva y el tercer
paréntesis se elimina con el análisis del signo que lo precede, como el
signo es más se mantiene el signo de cada término)
2
(identificas los términos
= 4 x2 6x 6x 9
4 x 18 x 10
x 5
semejantes)
= - 29x + 24 (reduces los términos semejantes)
C A
c) B 2
2x2 9x 5 2x 3
(sustituyes cada letra por su expresión algebraica
x 5
2
247
MATEMÁTICA
Observa que en este caso no son necesarios los paréntesis.
Para efectuar los cocientes indicados debes recordar las reglas de división de un polinomio por un binomio y de un polinomio por un
monomio.
✅
Recuerda que…
Al dividir un polinomio por un monomio:
1. Planteas el cociente de cada término del polinomio por dicho monomio.
2. Efectúas cada división indicada.
Al dividir un polinomio por un binomio:
1. Ordenas el dividendo y el divisor en potencias decrecientes de la misma
variable.
2. Divides el primer término del dividendo por el primer término del divisor.
Colocas el resultado en el lugar del cociente.
3. Multiplicas el divisor por el resultado obtenido en el paso previo (el primer
término del cociente). Escribes el resultado debajo de los primeros dos términos del dividendo.
4. Sustraes a los términos correspondientes del dividendo original el producto
obtenido en el paso anterior, y escribes el resultado.
5. Agregas al resto obtenido el próximo término del dividendo.
Repites los pasos dos, tres, y cuatro, utilizando como dividendo el resultado obtenido en el paso anterior, hasta lograr un resto cuyo grado del
término sea menor que el grado del monomio divisor.
2x2 9x 5 x 5
2 x 2 10 x
x 5
x 5
0
2x 1
2x 3 2x 3
3
x
2
2 2
2
(2x - 1) - (x - 1,5)
(sustituyes los resultados obtenidos)
= 2x - 1 - x + 1,5 (eliminas los paréntesis precedidos de signos más y
menos)
= x + 0,5
(reduces los términos semejantes)
1.2 Determina el grado de los polinomios A, B y C.
✅
Recuerda que…
El grado de un polinomio es el mayor grado de los monomios que lo componen.
248
CAPÍTULO 4
Solución 1.2
A = 2x - 3, es de grado uno, porque el monomio 2x tiene grado uno y - 3,
grado cero.
B = x + 5, es de grado uno, porque el monomio x tiene grado uno y 5,
grado cero.
C = 2x2 + 9x - 5 es de grado dos, porque el monomio 2x2 tiene grado dos,
9x tiene grado uno y el termino - 5, tiene grado cero.
En octavo grado también estudiaste la eliminación de paréntesis superpuestos y calculaste el valor numérico de expresiones algebraicas.
Ejemplo 2
Sean A = 2ab2 - [(a + b)(a - b) - ab(a - 2b)] - a2b y
B = 3m - {2m2 - [(m + 1)(m - 2) + 5(m - 2)] + 3}
a) Calcula y simplifica las expresiones A y B.
b) Halla el valor numérico de la expresión A para a = - 1 y b = 1.
2
Solución:
a) En estas expresiones aparecen varios signos de agrupación. Para simplificar
expresiones como estas, una de las formas más cómodas de eliminar los
signos de agrupación es la de suprimir estos comenzando por los signos
más interiores, es decir, de adentro hacia fuera.
A = 2ab2 - [a2 - ab + ba - b2 - a2b + 2ab2] - a2b (eliminas los paréntesis)
A = 2ab2 - a2 + ab - ba + b2 + a2b - 2ab2 - a2b (eliminas el corchete)
A = 2ab2 a2 ab ba b2 a2 b 2ab2 a2 b (identificas los términos
semejantes)
2
2
A= -a +b.
(reduces los términos semejantes)
(Nota que los términos ab y ba son semejantes, lo que sus variables no están
en el mismo orden)
En la expresión algebraica B, tienes tres signos de agrupación, puedes comenzar también de adentro hacia fuera como el anterior o puedes probar
de afuera hacia adentro.
B = 3m - {2m2 - [(m + 1)(m - 2) + 5(m - 2)] + 3}
B = 3m - {2m2 - [m2 - 2m + m - 2 + 5m - 10] + 3} (eliminas los paréntesis)
Como puedes apreciar, dentro del corchete hay varios términos y algunos
de estos son semejantes, por lo que es conveniente antes de eliminarlo; reducir los términos semejantes para operar con menos términos en los pasos
posteriores. Esto te ayuda a reducir la expresión y evitas cualquier omisión
o cambio en alguno de sus términos.
249
MATEMÁTICA
B = 3m - {2m2 - [m2 - 2m + m - 2 + 5m - 10] + 3} (identificas dentro del
corchete los términos semejantes)
B = 3m - {2m2 - [m2 + 4m - 12] + 3} (reduces los términos semejantes)
B = 3m - {2m2 - m2 - 4m + 12 + 3} (eliminas el corchete)
B = 3m - {m2 - 4m + 15} (reduces los términos semejantes)
B = 3m - m2 + 4m - 15 (eliminas las llaves)
B = - m2 + 7m - 15 (identificas y reduces los términos semejantes)
b) Debes hallar ahora el valor numérico de A para los valores indicados.
✅
Recuerda que…
Se denomina valor numérico de una expresión algebraica al número que
se obtiene cuando se sustituyen las variables de dicha expresión por números
y se efectúan las operaciones indicadas.
Solución del inciso b) del ejemplo 2:
A = - a2 + b2 para a = - 1 y b = 1.
2
2
1
A = - (- 1)2 + (sustituyes los valores de a y b en la expresión)
2
1
A= -1+
(efectúas cada cuadrado)
4
A = - 3 = - 0,75
(realizas la sustracción indicada)
4
✁
¡Atención!
El valor numérico de una expresión algebraica se puede calcular en la expresión inicial o en la simplificada, por lo que también podías haber sustituido
las variables por su valor en la expresión inicial y obtienes el mismo resultado.
Sin embargo, puedes apreciar fácilmente que el trabajo en la expresión
simplificada es más racional.
Ejercicios
1. Determina el valor numérico de las expresiones algebraicas siguientes
para los valores de las variables que se indican, y di a qué conjunto
numérico más restringido pertenecen los valores numéricos obtenidos.
3
a) a2b + 2c para a = - 2 ; b = y c = - 5.
4
250
CAPÍTULO 4
1
b) 4x 0 - y – 2z 3 para x = - ; y = 3 ; z = - 6.
5
1
c) (m - n) ⋅ 3p para m = 9,2 ; n = 4 ; p = 2
d) (r2 + s) : 4t para r = - 4 ; s = 8 ; t = - 6.
e)
6c 2 + d
para c = 1,5 ; d = - 10 ; e = - 7.
e
f)
x3y z
1
para x = - 3 ; y = ; z = 11.
x 5
3
g) 6t 0 w 2 - w 3u 1 para t =
2.
Calcula y simplifica. Clasifica las expresiones obtenidas en monomio, binomio o trinomio. Señala en cada caso el grado del polinomio obtenido.
a) 2(x - 5) + (7 - 2x) + 10
b) x(x - 3) + 3(x - 1) - 4x
c) (y - 1)(y + 3) - y(y + 1) - 3
d) (2a + 1)(a - 2) - (a2 + 2a + 3) + 5a
e) (m + 2)2 + 3(m - 5) + 7m - 1
f) (2t - 1) - (2t + 1)(2t - 1) + 11t
g) x(x 2 + x + 7) - (x + 3)2 + 2(x - 9)
h) (ab + 2)(ab - 3) + (a + b)2 - b2 + 6
i)
3.
1
2
; w = - ; u = 2.
2
3
6m3n2 + 12m4 n3
3m2n2
- (2m - 3m2n)
2
j) x 6 x 7+ x (9x - 12) - 2x 2
x 7
3
Simplifica las expresiones algebraicas siguientes:
a) 3a + [2a + 5(a + 4) - 2] - 8a.
b) - xy - 2[(x + 2)(y - 5) + 4xy] + 7y
c) 3m2n + {2m - [ m(mn + 2) - nm2] + 7m}
d) - {3ab + [(3a + b)(a - b) - 3a2] - 2ba} - b2.
4.
2x
y C = 6x - 9.
3
a) Calcula y simplifica D = B · C - A.
Sean A = (2x + 3)(x - 7) ; B =
b) Clasifica la expresión resultante y señala su grado.
c) Halla el valor numérico de D para x = - 2.
5.
Sean M = 4y - 1 ; N = (2y - 1)(2y + 1) ; P = 3 - 2y 2 y R = - 8y + 20.
2
a) Prueba que M - N + 6P = R.
R
b) Calcula y simplifica + 2(y - 2,5).
4
251
MATEMÁTICA
4.2 Algunos productos notables
✆
Reflexiona un instante
La profesora Sonia estimula en sus estudiantes el cálculo mental. Aprovecha
el tema operaciones con polinomios y luego de varias clases de ejercitación,
realizó un concurso de habilidades cuyo ganador sería el que más rápido
calculara los productos siguientes:
a) (x + 3)2
b) (m + 5)(m - 5)
c) (n + 2)(n - 4)
Los dos estudiantes más rápidos resultaron Aldo y Deysi, pero la ganadora fue
Deysi, ya que terminó en menos tiempo.
Observa la respuesta de la hoja entregada por cada uno:
Aldo
a) (x + 3)2 = (x + 3)(x + 3)
Deysi
a) (x + 3)2 = x2 + 6x + 9
= x2 + 3x + 3x + 9
b) (m + 5)(m - 5) = m2 - 25
= x + 6x + 9
c) (n + 2)(n - 4) = n2 - 2n - 8
2
b) (m + 5)(m - 5) = m2 - 5m + 5m - 25
= m2 - 25
c) (n + 2)(n - 4) = n2 - 4n + 2n - 8
= n2 - 2n - 8
Como puedes apreciar Deysi terminó primero, porque escribió la respuesta directamente sin realizar de manera escrita el procedimiento utilizado
por Aldo.
¿Será realmente posible obtener estos resultados mentalmente?
Por supuesto que sí, porque existen multiplicaciones con expresiones
algebraicas cuyos productos cumplen reglas fijas, por lo que su resultado
se puede escribir mediante simple inspección; y resulta útil memorizarlos
para así, no tener necesidad de efectuar las multiplicaciones correspondientes repetidas veces. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de
muchas multiplicaciones habituales. A estos productos se les suele llamar
productos notables.
En este tema aprenderás algunos de estos y los aplicarás a lo largo del
capítulo en ejercicios y problemas.
252
CAPÍTULO 4
4.2.1 Cuadrado de la suma de dos términos.
Cuadrado de la diferencia de dos términos
✄
Investiga y aprende
¿Cómo Deysi obtuvo directamente la solución del producto (x + 3)2 ?
En este caso Deysi aplicó un producto notable, que ahora vas a aprender.
Observa que dentro del paréntesis aparece la suma de dos términos y esta
suma está elevada al cuadrado, luego pudiéramos decir que estamos en
presencia del cuadrado de la suma de dos términos.
Este es el primer producto notable que aprenderás y recibe el nombre de
cuadrado de la suma de dos términos, que algebraicamente se escribe,
como ya conoces, (a + b)2.
Ejemplo 1
Calcula:
a) (x + 1)2
b) (x + 4)2
c) (x + 10)2
d) (2x + 3)2
e) (a + b)2
Solución:
Para calcular estos productos escribes la base de la potencia dos veces
como factor, aplicando la definición de potencia, y realizas el producto de
dos binomios.
a) (x + 1)(x + 1)
= x2 + x + x + 1
= x2 + 2x + 1
(efectúas el producto de los binomios)
(reduces los términos semejantes)
b) (x + 4)(x + 4)
= x2 + 4x + 4x + 16
= x2 + 8x + 16
(efectúas el producto de los binomios)
(reduces los términos semejantes)
c) (x + 10)(x + 10)
= x2 + 10x + 10x + 100
= x 2 + 20x + 100
(efectúas el producto de los binomios)
(reduces los términos semejantes)
d) (2x + 3)(2x + 3)
= 4x 2 + 6x + 6x + 9 (efectúas el producto de los binomios)
= 4x2 + 12x + 9
(reduces los términos semejantes)
e) (a + b)(a + b)
= a2 + ab + ab + b2
(efectúas el producto de los binomios)
2
2
= a + 2ab + b
(reduces los términos semejantes)
253
MATEMÁTICA
Observa las características comunes que tienen los resultados obtenidos:
1. En todos los casos obtuviste como respuesta un trinomio.
2. El primer término del trinomio, es el cuadrado del primer término de los
binomios.
3. El segundo término del trinomio es el doble producto de los dos términos
que forman los binomios.
(nota que los dos términos centrales del polinomio obtenido en cada inciso,
al realizar el producto indicado, son semejantes y tienen el mismo signo,
por lo que siempre se adicionan).
4. El tercer término del trinomio, es el cuadrado del segundo término de los
binomios.
Si realizas el mismo procedimiento con otros productos similares llegarás al mismo resultado, por lo que este es uno de los productos que puedes
realizar aplicando una regla, que se corresponde con el resultado obtenido
en el inciso e).
Producto notable del cuadrado de la suma de dos términos
El cuadrado de una suma es igual al cuadrado del primer término, más el duplo
del primer término por el segundo, más el cuadrado del segundo término.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
✇
Saber más
Este producto notable también lo puedes comprender mejor, a partir de su
interpretación geométrica.
Desde la Antigüedad, los griegos, a diferencia de los babilonios e hindúes,
realizaban la interpretación geométrica de los productos notables a partir
del grado de desarrollo que habían alcanzado con la Geometría.
Tomas un cuadrado y lo divides, trazando dos segmentos perpendiculares
a sus lados, en dos cuadrados de lados a y b, y dos rectángulos de dimensiones a y b. De esta manera, el cuadrado original tiene lado de longitud igual
(a + b), como muestra la figura 4.2.
✆
Reflexiona un instante
¿Si tuvieras que calcular el producto siguiente (x - 7)2, aplicarías el mismo
procedimiento del cuadrado de la suma de dos términos?
254
CAPÍTULO 4
Seguro estás pensando en que estos productos solo se diferencian en el signo
del segundo término que aparece entre paréntesis, o sea del segundo término
del binomio, entonces no es una suma sino una diferencia de términos.
El segundo producto notable que aprenderás recibe el nombre de cuadrado
de la diferencia de dos términos, que algebraicamente se escribe, como
ya conoces (a - b)2.
Fig. 4.2
Ejemplo 2
Calcula:
a) (x - 1)2
b) (x - 4)2
Solución:
a) (x - 1)(x - 1)
= x2 - x - x + 1
= x2 - 2x + 1
c) (x - 10)2
d) (2x - 3)2
e) (a - b)2
(escribes el producto de dos binomios iguales)
(efectúas el producto de los binomios)
(reduces los términos semejantes)
b) (x - 4)(x - 4)
(escribes el producto de dos binomios iguales)
2
= x - 4x - 4x + 16 (efectúas el producto de los binomios)
= x2 - 8x + 16
(reduces los términos semejantes)
c) (x - 10)(x - 10)
(escribes el producto de dos binomios iguales)
2
= x - 10x - 10x + 100 (efectúas el producto de los binomios)
= x2 - 20x + 100
(reduces los términos semejantes)
d) (2x - 3)(2x - 3)
= 4x2 - 6x - 6x + 9
= 4x2 - 12x + 9
(escribes el producto de dos binomios iguales)
(efectúas el producto de los binomios)
(reduces los términos semejantes)
e) (a - b)(a - b)
= a2 - ab - ab + b2
= a2 - 2ab + b2
(escribes el producto de dos binomios iguales)
(efectúas el producto de los binomios)
(reduces los términos semejantes)
255
MATEMÁTICA
Observa las características comunes que tienen los resultados obtenidos:
1. En todos los casos obtuviste como respuesta un trinomio.
2. El primer término del trinomio, es el cuadrado del primer término de los
binomios.
3. El segundo término del trinomio es el doble producto de los dos términos
que forman los binomios, pero con signo menos.
(nota que los dos términos centrales del polinomio obtenido en cada inciso,
al efectuar el producto, son semejantes y tienen el mismo signo, por lo que
siempre se adicionan).
4. El tercer término del trinomio, es el cuadrado del segundo término de los
binomios.
Si realizas el mismo procedimiento con otros productos similares llegarás
al mismo resultado, por lo que este es otro de los productos que puedes
realizar aplicando una regla, la cual se corresponde también el resultado
del inciso e).
Producto notable del cuadrado de la diferencia de dos términos
El cuadrado de una diferencia es igual al cuadrado del primer término, menos
el duplo del primer término por el segundo, más el cuadrado del segundo
término.
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
Como puedes apreciar, estos dos productos notables se diferencian solo
en un signo, por lo que puedes resumirlos de la manera siguiente:
(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2
✇
Saber más
Al igual que en el cuadrado de una suma, conocer la interpretación geométrica
del cuadrado de una diferencia te puede ser útil en su memorización.
Tomas un cuadrado de lado a y le trazas dos segmentos perpendiculares
a sus lados. El cuadrado queda dividido en cuatro rectángulos, cuyos lados
y áreas se muestran en la figura. Para obtener el área del cuadrado sombreado realizas el procedimiento que aparece en la figura 4.3.
256
CAPÍTULO 4
Fig. 4.3
Ejemplo 3
Calcula los productos notables siguientes:
a) (x + 2)2
b) (- x - 2)2
f) (3 - 4x)2
1
g) m
2
2
c) (y - 7)2
d) (7 - y)2
e) (3x + 1)2
h) (- p + 0,7)2
p 3
i)
3 2
2
j) (- mn - 2p)2
Solución:
a) (x + 2)2 = x2 + 4x + 4
1. Primer término al cuadrado: x2.
2. Duplo del primer término por el segundo: 2 ⋅ x ⋅ 2 = 4x.
3. Segundo término al cuadrado: 22 = 4.
(como es el cuadrado de una suma, todos los términos del trinomio resultante son positivos).
b) (- x - 2)2 = x2 + 4x + 4
1. Primer término al cuadrado: (-x)2 = x2.
2. Duplo del primer término por el segundo: 2⋅(- x)⋅(- 2) = 4x.
3. Segundo término al cuadrado: (- 2)2 = 4.
(al igual que en el inciso anterior los dos términos del binomio tienen el
mismo signo, por lo que puedes expresar este producto como una suma)
[(- x) + (- 2)]2. Luego, el cuadrado de cada término siempre resulta positivo,
mientras que el término central también es positivo, ya que el producto
de dos factores de igual signo siempre es positivo)
257
MATEMÁTICA
c) (y - 7)2 = y2 - 14y + 49
1 Primer término al cuadrado: y2.
2. Duplo del primer término por el segundo: 2 ⋅ y ⋅ (- 7) = -14y.
3. Segundo término al cuadrado: 72 = 49.
(como es el cuadrado de una diferencia, el término del medio del trinomio resultante es negativo).
d) (7 - y)2 = 49 - 14y + y2
1. Primer término al cuadrado: 72 = 49.
2. Duplo del primer término por el segundo: 2 ⋅ 7 ⋅ (- y) = -14y.
3. Segundo término al cuadrado: ⋅(- y)2 = y2
(estás en presencia del cuadrado de una diferencia, solo que ambos términos están en otro orden respecto al inciso c). Si ordenas el trinomio
con los exponentes de mayor a menor, obtienes el mismo resultado que
en ese inciso).
e) (3x + 1)2 = 9x2 + 6x + 1
1. Primer término al cuadrado: (3x)2= 9x2
2. Duplo del primer término por el segundo: 2 ⋅ 3x ⋅ 1 = 6x.
3. Segundo término al cuadrado: 12 = 1.
f) (3 - 4x)2 = 9 - 24x + 16x2
1. Primer término al cuadrado: 32= 9
2. Duplo del primer término por el segundo: 2 ⋅ 3 ⋅ (- 4x) = - 24x.
3. Segundo término al cuadrado: (4x)2 = 16x2.
(como es el cuadrado de una diferencia, el término del medio del trinomio
resultante es negativo. Al calcular (4x)2, hallas el cuadrado del coeficiente
y de la parte literal).
2
1
1
g) m m2 m
2
4
1. Primer término al cuadrado: m2.
2. Duplo del primer término por el segundo: 2 ⋅ m ⋅ 1 = m.
2
2
1
3. Segundo término al cuadrado: = 1 .
2 4
h) (- p + 0,7)2 = p2 - 1,4p + 0,49
1. Primer término al cuadrado: (- p)2 = p2.
2. Duplo del primer término por el segundo: 2 ⋅ (- p) ⋅ 0,7 = -1,4p.
3. Segundo término al cuadrado: 0,72 = 0,49.
258
CAPÍTULO 4
(es el cuadrado de una diferencia, que también puedes escribir (0,7 - p)2,
por lo que el término del medio del trinomio resultante es negativo).
2
p2
9
p 3
p
i)
3
2
9
4
2
2
p
1. Primer término al cuadrado: = p .
3
9
p
2. Duplo del primer término por el segundo: 2 ⋅ ⋅ 3 = p.
3 2
2
3 9
3. Segundo término al cuadrado: = .
2 4
(al calcular el cuadrado de una fracción, hallas el cuadrado tanto del
numerador, como del denominador; en el segundo paso simplificas el
dos y el 3)
j) (- mn - 2p)2 = m2n2 + 4mnp + 4p2.
1. Primer término al cuadrado: (- mn)2 = m2n2 .
2. Duplo del primer término por el segundo: 2⋅(- mn) ⋅ (- 2p) = 4mnp.
3. Segundo término al cuadrado: (- 2p)2 = 4p2.
(como ambos términos del binomio tienen igual signo, estás en presencia
del cuadrado de una suma, que puede escribirse [(- mn) + (- 2p)]2, de ahí
que el término central del trinomio resultante sea positivo)
De los incisos a) y b) puedes llegar a la conclusión que: (a + b)2 = (- a - b)2,
mientras que de los incisos c) y d), obtienes que: (a - b)2 = (b - a)2.
✅
Recuerda que…
El cuadrado de una suma y de una diferencia de dos términos se puede efectuar
oralmente a partir de la regla: (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2
► El resultado es un trinomio, donde los términos primero y tercero son siempre
positivos, mientras que el término central o segundo, es positivo (negativo),
si el cuadrado que hallas es una suma (diferencia).
► Al aplicar este producto notable se cumple que:
(a + b)2 = (- a - b)2 y (a - b)2 = (b - a)2
✃
De la historia
Los productos notables son transformaciones algebraicas que, mediante la
utilización de las propiedades conmutativa y distributiva de los números reales,
nos permiten obtener las relaciones que generan los productos correctos para
las multiplicaciones que definen.
259
MATEMÁTICA
No sabemos con certeza quién descubrió estas reglas, sin embargo, algunas culturas antiguas las utilizaban en sus cálculos en forma retórica, o bien
buscaron demostrarlas en forma geométrica. Tal es el caso de
los babilonios que, de acuerdo con lo estudiado en las tablillas
(figura 4.4) que se conservan como constancia de sus avances
matemáticos, consiguieron obtener relaciones como:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
y
(a + b)(a - b) = a2 - b2
Expresándolos en su álgebra retórica en forma de problemas.
Fig. 4.4
Los griegos, se cree que principalmente fueron los pitagóricos, consiguieron demostrar identidades algebraicas de este tipo por métodos
geométricos, como se puede observar en la obra de Euclides, Los Elementos,
en la que diferentes proposiciones del libro II muestran formas de algunos
productos notables como son:
a) La proposición cuatro que establece en forma geométrica
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2.
b) La proposición cinco que equivale a (a + b)(a - b) = a2 - b2.
c) La proposición siete da la demostración geométrica de (a - b)2 = a2 - 2ab + b2.
En China, Zhou Jijie (alrededor de 1280-1303), en su obra Espejos Preciosos
de los Cuatro Elementos, presenta en una de las primeras páginas un diagrama
del triángulo aritmético que llamamos Triángulo de Pascal (figura 4.5), en el
que desarrollan hasta la octava potencia los coeficientes de los términos de un
binomio elevado a una potencia, aproximadamente 300 años antes de que el
propio Pascal lo presentara en Occidente.
Fig. 4.5
260
CAPÍTULO 4
Al-Khwarizmi, en su obra Hisab al-yabr wa’l-muqqabala, expone en la primera parte de su libro el principio de valor de los números y resuelve seis tipos
de ecuaciones, mientras que en la segunda parte cita las
reglas para multiplicar expresiones de la forma (a + b)(a - b),
(a + b)(a - c), etc., y las demostraciones geométricas de algunas de las ecuaciones tratadas en la primera parte.
La humanidad tuvo que esperar hasta el siglo xviii para
ver generalizado por medio del Binomio de Newton (figura 4.6) el desarrollo de cualquier binomio elevado a
una potencia.
Fig. 4.6
Ejercicios
1. Transforma los productos (potencias) siguientes en sumas, aplica los
productos notables estudiados:
a) (x + 3)2
b) (y + 11)2
c) (z + 30)2
2
j) (ab + 2c)2
p 7
h)
5 2
i) (m2 + 1)2
k) (x - 3)2
m) (4x - 5y)2
d
n) 4
2
q) (r - 1,5)
ab c
r) (- 2n - 0,2) s)
3 2
l) (9 - b)2
2
2
p) (p - 7q)
2
3
2
2
2
1
ñ) m n
3
2
2
Completa los espacios en blanco.
2
a) (1 + 2x)2 = 1 + 4x + ____
c) (3m - ___)2 = 9m2 - 2m + 1
9
3.
2
e) n
3
f) (5 + 3x)2 g) 2 y 4
5
y
o) 1
6
2.
d) (m + 0,3)2
2
y
b) 2 = y - _____ + 4
2
4
5
2
d) x y = 4 x 2 + ______ + 25 y 2
3
4 9
16
Marca con una X la respuesta correcta.
2
1
3.1 Al calcular x se obtiene:
10
a) ___ x2 - 1 x + 0,01
5
c) ___ x2 + 0,5x + 0,01
b) ___ x2 + 1 x + 0,01
5
d) ___ - x2 + 1 x - 0,01
5
261
MATEMÁTICA
3.2 Al expresar como producto (a - 3)2 se obtiene:
a) ___ a2 - 9
b)___ a2 + 9
c) ___ a2 - 6a + 9
d)___ a2 - 6a + 6
3.3 Al calcular (- x + 1)2 se obtiene:
a) ___ x2 - 2x + 1
b)___ x2 + 1
c)___ - x2 + 2x + 1
d)___ - x2 - 1
4.2.2 Suma por la diferencia de dos términos
✄
Investiga y aprende
¿Cuál será la regla que le permitió a Deysi obtener más rápido el producto de
(m + 5)(m - 5)?
Observa que, en los productos notables estudiados se presentaba el producto de dos binomios iguales, o sea, (a + b)(a + b) o (a - b)(a - b).
Sin embargo, en este caso tenemos el producto de dos binomios formados
por los mismos términos que solo difieren en el signo entre estos. Pudiéramos
escribirlo como: (a + b)(a - b).
Precisamente este producto también cumple con una regla que te permite
realizarlo de forma oral y rápida.
Observa el ejemplo siguiente:
Ejemplo 1
Calcula:
a) (x + 1)(x - 1)
b) (x + 4)(x - 4)
x 3 x 3
d)
3 2 3 2
e) (a + b)(a - b)
c) (2x + 3)(2x - 3)
Solución:
Para calcular este producto, recuerda que debes multiplicar cada término
del primer binomio por cada uno de los términos del otro.
a) (x + 1)(x - 1)
= x2 - x + x + 1
= x2 - 1
(efectúas el producto de los binomios)
(reduces los términos semejantes)
b) (x + 4)(x - 4)
= x2 - 4x + 4x - 16
= x2 - 16
262
(efectúas el producto de los binomios)
(reduces los términos semejantes)
CAPÍTULO 4
c) (2x + 3)(2x - 3)
= 4x2 - 6x + 6x - 9 (efectúas el producto de los binomios)
= 4x2 - 9
(reduces los términos semejantes)
x 3 x 3
d)
3 2 3 2
2
=x x x 9
9 2 2 4
(efectúas el producto de los binomios)
2
=x -9
(reduces los términos semejantes)
9 4
e) (a + b)(a - b)
= a2 - ab + ab - b2
(efectúas el producto de los binomios)
= a2 - b2
(reduces los términos semejantes)
Observa las características comunes que tienen los resultados obtenidos:
1. En todos los casos obtuviste como respuesta un binomio.
2. El primer término del binomio resultante, es el cuadrado del primer término
de los binomios.
3. El segundo término del binomio resultante, es el cuadrado del segundo
término de los binomios.
(nota que, al efectuar el producto, los dos términos centrales del polinomio
obtenido en cada inciso son semejantes y son opuestos, por lo que siempre
se pueden cancelar).
Si realizas el mismo procedimiento con otros productos similares llegarás al
mismo resultado, por lo que este es otro de los productos que puedes realizar
aplicando una regla, la cual lo constituye el resultado obtenido en el inciso e).
Producto notable de la suma por la diferencia de dos términos
El producto de la suma por la diferencia de dos términos, es igual a la diferencia
de sus cuadrados.
(a - b)(a + b) = a2 - b2
Ejemplo 2
Efectúa los productos notables:
a) (m + 7)(m - 7)
b) (3 + y)(3 - y)
c) (5x + 2)(5x - 2)
d) (mn - 2p)(mn + 2p)
2
2
e) d 0, 2 d 0, 2
5
5
f) (- a + 11)(a + 11)
263
MATEMÁTICA
Solución:
a) (m + 7)(m - 7) = m2 - 49
1. Primer término al cuadrado: m2
2. Segundo término al cuadrado: 72 = 49.
b) (3 + y)(3 - y) = 9 - y2
1. Primer término al cuadrado: 32 = 9
2. Segundo término al cuadrado: y2
c) (5x + 2)(5x - 2) = 25x2 - 4
1. Primer término al cuadrado: (5x)2 = 25x2
2. Segundo término al cuadrado: 22 = 4
d) (mn - 2p)(mn + 2p) = m2n2 - 4p2
1. Primer término al cuadrado: (mn)2 = m2n2
2. Segundo término al cuadrado: (2p)2 = 4p2
2
2
e) d 0, 2 d 0, 2 = 4 d 2- 0,04
5
5
25
2
2
1. Primer término al cuadrado: d = 4 d 2
5 25
2. Segundo término al cuadrado: 0,22 = 0,04
f) (- a + 11)(a + 11)
(ordenas los binomios)
(11 - a)(11 + a) = 121 - a2
1. Primer término al cuadrado: 112 = 121
2. Segundo término al cuadrado: a2
(aunque no es imprescindible ordenar los binomios, es bueno que lo
hagas para evitar cualquier error al colocar el signo menos)
Al igual que en los dos casos anteriores, es posible realizar la interpretación geométrica de este producto notable, la que se muestra continuación
para a > b.
✇
Saber más
Si al cuadrado de lado a se quita el cuadrado de lado b, queda una
figura de área a2 - b2 (figura 4.7). Esta figura se transforma en un rectángulo de lados (a + b) y (a - b), moviendo el rectángulo sombreado R
a la posición R’.
De esta manera se obtiene que, a2 - b2 = (a + b)(a - b)
264
CAPÍTULO 4
Fig. 4.7
Ejercicios
1. Transforma los productos siguientes en sumas, aplicando el producto
notable estudiado:
a) (x + 3)(x - 3)
c) (z + 30)(z - 30)
4
4
g) 2 y 2 y
5
5
2
2
e) n n
3
3
p 7 p 7
h)
5 2 5 2
j) (ab + 2c)(ab - 2c)
k) (2m2 + 3n3)(2m2 - 3n3) l) (0,1 - 1,2x)(0,1 + 1,2x)
d) (m + 0,3)(m - 0,3)
2.
b) (y + 15)(y - 15)
f) (5 + 3x)(5 - 3x)
i) (m2 + 1)(m2 - 1)
Selecciona la respuesta correcta marcando con una X.
2.1 Al calcular (4x - 5)(4x + 5) se obtiene:
a) __ 4x2 - 25
b) __ 4x2 + 25
c) __ 16x2 - 25
d) __ 8x2 - 25
2.2 Al calcular (y - 0,2)(y + 0,2) se obtiene:
a) __ y2 - 0,04
b) __ y2 + 0,4
c) __ y2 - 0,4
d) __ y2 + 0,04
2.3 Al expresar como producto (x + 2)(- x + 2) se obtiene:
a) __ 4
b) __ 4 - x2
c) __ x2 - 4
d) __ x2 + 4
2
2
2.4 Al calcular mn mn se obtiene:
5
5
4
a) __
- mn2 b) __ 4 - m2n
c) __ m2n2 - 4 d) __ 4 - n2m2
25
25
25
25
265
MATEMÁTICA
4.2.3 Producto de dos binomios que tienen
un término común
✄
Investiga y aprende
¿Cómo procederías para obtener de manera más rápida la solución del inciso c)
que propuso la profesora Sonia a los estudiantes en el concurso de habilidades?
c) (n + 2)(n - 4)
Les propongo hacer el mismo análisis de los incisos anteriores para obtener
el procedimiento de cálculo más racional que Deysi realizó.
En reiteradas ocasiones, al efectuar las operaciones con polinomios, tuvieron que multiplicar también dos binomios cuyos segundos términos no eran
iguales como en los productos anteriores. Este caso algebraicamente se puede
representar como: (x + a)(x + b) y recibe el nombre de producto de dos binomios
que tienen un término común.
Por medio del ejemplo siguiente, obtendrás el otro producto notable que
estudiarás en este grado.
Ejemplo 1
Calcula:
a) (x + 1)(x + 3)
1
3
e) x x
2
2
b) (x - 4)(x - 5)
f) (a + 2b)(a + 3b)
c) (x + 3)(x - 7)
d) (x - 5)(x + 11)
g) (x2 + 3)(x2 + 2)
h) (x + a)(x + b)
Solución:
Para calcular este producto, recuerda que debes multiplicar cada término
del primer binomio por cada uno de los términos del otro.
a) (x + 1)(x + 3)
= x2 + 3x + x + 3
(efectúas el producto de los binomios)
2
= x + 4x + 3
(reduces los términos semejantes)
(como los dos términos semejantes tienen igual signo (+), los adicionas y
mantienes su signo)
b) (x - 4)(x - 5)
= x2 - 5x - 4x + 20 (efectúas el producto de los binomios)
= x2 - 9x + 20
(reduces los términos semejantes)
(como los dos términos semejantes tienen igual signo (-), los adicionas y
mantienes su signo)
266
CAPÍTULO 4
c) (x + 3)(x - 7)
= x2 - 7x + 3x - 21
= x2 - 4x - 21
(efectúas el producto de los binomios)
(reduces los términos semejantes)
(como los dos términos semejantes tienen diferente signo, los restas y colocas el signo del término cuyo coeficiente tiene mayor módulo, o sea, el
de - 7x)
d) (x - 5)(x + 11)
= x2 + 11x - 5x - 55 (efectúas el producto de los binomios)
= x2 + 6x - 55
(reduces los términos semejantes)
(como los dos términos semejantes tienen diferente signo, los restas y colocas
el signo del término cuyo coeficiente tiene mayor módulo, o sea, el de 11x)
3
1
e) x x
2
2
= x2 + 3 x - 1x - 3
(efectúas el producto de los binomios)
2 2 4
= x2 + x - 3
(reduces los términos semejantes)
4
(como los dos términos semejantes tienen diferente signo, los restas y
colocas el signo del término cuyo coeficiente tiene mayor módulo, o sea,
el de 3 x)
2
f) (a + 2b)(a + 3b)
= a2 + 3ab + 2ab + 6b2 (efectúas el producto de los binomios)
= a2 + 5ab + 6b2
(reduces los términos semejantes)
(como los dos términos semejantes tienen igual signo (+), los adicionas y
mantienes su signo)
g) (x2 + 3)(x2 + 2)
= x4 + 2x2 + 3x2 + 6
= x4 + 5x2 + 6
(efectúas el producto de los binomios)
(reduces los términos semejantes)
(como los dos términos semejantes tienen igual signo (+), los adicionas y
mantienes su signo)
h) (x + a)(x + b)
= x2 + xb + xa + ab
(efectúas el producto de los binomios)
= x2 + (a + b)x + ab
(reduces los términos semejantes)
(como los coeficientes de los dos términos semejantes, a y b, son números
reales y tienen igual signo (+), los adicionas y mantienes su signo)
267
MATEMÁTICA
Observa las características comunes que tienen los resultados obtenidos:
1. En todos los casos obtuviste como respuesta un trinomio.
2. El primer término del trinomio, es el cuadrado del término común de los
binomios.
3. El segundo término del trinomio es el resultado de adicionar o sustraer, según
los signos de sus coeficientes, los dos términos semejantes que se obtienen
después de efectuar el producto indicado.
4. El tercer término del trinomio, es el producto de los términos no comunes
de los binomios.
Si realizas el mismo procedimiento con otros productos similares llegarás
al mismo resultado, por lo que este producto lo puedes realizar aplicando una
regla, cuya demostración lo constituye el resultado del inciso h).
Producto notable de dos binomios que tienen un término común
El producto de dos binomios que tienen un término común es igual a:
► el cuadrado del término común,
► más la suma algebraica de los términos no comunes por el término común,
► más el producto de los dos términos no comunes.
Algebraicamente este producto se expresa de la forma siguiente:
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
Ejemplo 2
Calcula efectuando el producto notable estudiado:
a) (x + 2)(x + 9)
5
3
e) m m
5
3
b) (x - 2)(x - 9)
c) (x + 2)(x - 9)
d) (x - 2)(x + 9)
f) (n + 5p)(n - 3p) g) (xy2 + 1)(xy2 + 4)
Solución:
a) (x + 2)(x + 9) = x2 + 11x + 18
1. Cuadrado del término común: x2.
2. Suma algebraica de los términos no comunes por el término común:
(2 + 9)x = 11x.
3. Producto de los dos términos no comunes: 2 ⋅ 9 = 18.
b) (x - 2)(x - 9) = x2 - 11x + 18
1. Cuadrado del término común: x2.
2. Suma algebraica de los términos no comunes por el término común:
268
CAPÍTULO 4
[(- 2) + (- 9)]x = - 11x.
3. Producto de los dos términos no comunes: (- 2) ⋅ (- 9) = 18.
c) (x + 2)(x - 9) = x2 - 7x - 18
1. Cuadrado del término común: x2.
2. Suma algebraica de los términos no comunes por el término común:
[2 + (- 9)]x = - 7x.
3. Producto de los dos términos no comunes: 2 ⋅ (- 9) = - 18.
d) (x - 2)(x + 9) = x2 + 7x - 18
1. Cuadrado del término común: x2.
2. Suma algebraica de los términos no comunes por el término común:
[(- 2) + 9]x = 7x.
3. Producto de los dos términos no comunes: (- 2) ⋅ 9 = - 18.
3
5
e) m m = m2 +16 m - 1
5
3
15
1. Cuadrado del término común: m2.
2. Suma algebraica de los términos no comunes por el término común:
16
3 5
5 3 m 15 m
5 5
3. Producto de los dos términos no comunes: 1.
3 3
2
2
f) (n + 5p)(n - 3p) = n + 2np - 15p
1. Cuadrado del término común: n2.
2. Suma algebraica de los términos no comunes por el término común:
[5p + (- 3p)]n = 2np.
3. Producto de los dos términos no comunes: 5p ⋅ (- 3p) = - 15p2.
g) (xy2 + 1)(xy2 + 4) = x2y4 + 5xy2 + 4
1. Cuadrado del término común: (xy2)2 = x2y4.
2. Suma algebraica de los términos no comunes por el término común:
(1 + 4)xy2 = 5xy2.
3. Producto de los dos términos no comunes: 1 ⋅ 4 = 4.
Observa ahora la interpretación geométrica de este producto notable.
✇
Saber más
Tomas un cuadrado de lado x y prolongas sus lados consecutivos con segmentos
de dimensiones a y b. De esta manera se forma un rectángulo de lados (x + a)
y (x + b) (figura 4.8).
269
MATEMÁTICA
Por una parte, el área del rectángulo es
a·x
a·b
a
igual al producto del largo por el ancho,
o sea,
2
x
b·x
x
A = (x + a)(x + b) …. (1).
x
b
Por otra parte, se tiene que el área del
x+b
rectángulo es igual a la suma de las áreas
de las figuras que lo forman, o sea, A = x2
Fig. 4.8
+ ax + bx + ab.
Adicionando los términos semejantes se
obtiene que
A = x2 + (a + b)x + ab … (2)
De (1) y (2) se obtiene que (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab.
x+a
Ejercicios
1. Transforma los productos siguientes en sumas, aplica el producto notable
estudiado:
a) (x + 1)(x + 6)
d) (m + 12)(m - 13)
g) (x - 3)(x - 5)
j) (m - 0,4)(m +2,5)
m) (x2 + 3)(x2 + 9)
2.
3.
b) (y + 11)(y + 8)
2
2
e) n n
3
3
h) (y - 2,5)(y - 1)
4
2
k) p p
3
3
n) (2 + y)(8 + y)
c) (z + 4)(z - 5)
f) (3x + 7)(3x - 4)
i) z 1 z 5 )
2
l) (2x + 1)(2x - 3)
x
x
ñ) 10 20
2
2
Coloca en el espacio en blanco el signo +, - o el término, según corresponda, para que se cumplan las igualdades siguientes:
a) (x + 2)(x + 13) = x2 __11x + 26
b) (y - 7)(y - 6) = y2 __13y + 42
c) (z - 5)(z + 10) = z2 - 5z __ 50
d) (p + 20)(p - 5) = p2 + ___ - 100
e) (m - 9)(m + 12) = m2 + 3m - ___
f) (a2b - 1)(a2b - 2) = ___ - 3a2b + 2
Prueba que las igualdades siguientes son válidas:
a) (x + 2)2 - 2(x - 1) - 3 = x2 + 2x + 3
b) (y - 7)2 - (y + 3)(y - 1) + 8(2y + 6) = 100
c) (5 - m)2 + m(m - 1) + (m - 5)(m + 5) = 3m2 - 11m
d) (2a - 3)2 - (3a + 1)2 + 3a2 = - 2a2 - 18a + 8
270
5
CAPÍTULO 4
e) 2b(b + 1) - (b + 2)(b - 2) - 2b = b2 + 4
f) 3(n - 3)2 + (n + 3)(n + 6) - 3(n2 + 15) = n2 - 9n
g) (xy + 2)2 - (5 + xy)(yx - 5) + (x - 10)(y + 4) + 11 = 5xy + 4x - 10y
2
4.
p
p p
h) 2 - 1 2 + 3p = p + 6
2 2
2
2
1
Sean A = x + 12 ; B = x
y C = 2x - 5
2
a) Calcula y simplifica D = A2 - B ⋅ C - 100.
20
b) Halla el valor numérico de D para x =
.
2-1
5.
Sean M = 3 - 4x ; N = 4 + 3x
5.1 Calcula y simplifica P = M2 - N2
5.2 Marca con una X la respuesta correcta:
El conjunto numérico más restringido al que pertenece el valor
numérico de P para x = - 0,2 es:
___ N
___ Q+
___ Z
___ Q
6.
Sea S = (x + 4)(x - 6) - (x + 9)2 + (x + 6)(x - 6) + 141 y T = - x2 + 20x.
a) Prueba que S = - T. b) Calcula R = T .
2x
4.3 Introducción a la descomposición factorial
✆
Reflexiona un instante
Una piscina tiene forma de prisma recto de
base rectangular (figura 4.9) y su volumen
está dado por la expresión (x3 + 3x2 + 2x) m3.
Determina las expresiones correspondientes
a las dimensiones de dicha piscina.
?
3
2
V = x + 3x + 2x
?
?
Fig. 4.9
En la situación inicial de este capítulo conocías las dimensiones de una
piscina y se te propuso determinar la expresión correspondiente a su volumen.
Para encontrar la expresión correspondiente al volumen, efectuaste
la multiplicación de las expresiones algebraicas que representaban las dimensiones de la piscina: x; (x + 1) y (x + 2) que su producto obtenido fue la
expresión: x3 + 3x2 + 2x.
271
MATEMÁTICA
Ahora tienes la expresión que representa el volumen de la piscina y tienes
que encontrar las expresiones algebraicas que representaban las dimensiones
de la piscina, o sea estás ante una situación inversa.
Por supuesto que la solución a este problema son las expresiones antes
mencionadas, x; (x + 1) y (x + 2). Pero, cómo obtenerlas a partir de la información
dada, cómo se realiza el procedimiento inverso al conocido de multiplicar polinomios. Precisamente en este tema aprenderás a realizar este procedimiento.
En grados anteriores estudiaste cómo obtener los factores o divisores de
un número natural. Por ejemplo, dos y tres son divisores o factores de seis al
igual que uno y seis, pues 2 ⋅ 3 = 6 y 6 ⋅ 1 = 6.
Al igual que los números, las expresiones algebraicas también tienen sus
factores o divisores. De esta manera puedes decir que, si dos expresiones algebraicas A y B se multiplican y su producto es C, cada una de las expresiones
A y B se dice que es un factor o divisor de C.
Por ejemplo, puesto que a(a + b) = a2 + ab, decimos que a y (a + b) son
factores o divisores de a2 + ab.
Del mismo modo (x + 2)(x - 2) = x2 - 4; luego, (x + 2) y (x - 2) son factores
o divisores de x2 - 4.
En la situación inicial, x; (x + 1) y (x + 2) son los factores o divisores del trinomio x3 + 3x2 + 2x.
Frecuentemente en la práctica, resulta conveniente determinar las expre
siones que multiplicadas dan origen a un polinomio como sucede en este
problema. A este procedimiento se le conoce como factorización o descomposición factorial.
4.3.1 Extracción del factor común
✀
Aplica tus conocimientos
Expresa como suma los productos siguientes:
a) 2(x + 4)
b) y(y - 3)
c) 5m(m + 1)
d) 3(2p + 3)
e) ab(a + b + 2)
Solución:
En grados anteriores aprendiste a multiplicar un monomio por un polinomio,
el procedimiento es multiplicar el monomio por cada uno de los términos del
polinomio.
a) 2(x + 4) = 2x + 8
b) y(y - 3) = y2 - 3y
d) 3(2p + 3) = 6p + 9
e) ab(a + b + 2) = a2b + ab2 + 2ab
272
c) 5m(m + 1) = 5m2 + 5m
CAPÍTULO 4
Como puedes apreciar en todos los casos has convertido los productos en
una suma algebraica de monomios. Pero, ya conoces que es posible también
realizar el procedimiento inverso, o sea, la factorización, si buscas los factores
o divisores que dan origen a esa suma algebraica.
Para realizar ese procedimiento, en cada uno de los incisos anteriores, es
necesario buscar un factor que aparezca en todos sus términos, al cual se le
denomina factor común.
Así tienes que en la expresión 2x + 8 un factor común es dos, porque esta
se puede expresar como 2x + 2 ⋅ 4. Al extraer el dos, el segundo factor queda (x + 4), que se obtiene cuando realizas la operación inversa de efectuar
el producto, o sea, en este caso divides cada término de la expresión por el
factor común hallado.
2x
8
=x ; =4
2
2
Luego, 2x + 8 = 2(x + 4).
En la expresión y2 - 3y un factor común es y, porque y2 - 3y = y ⋅ y - 3 ⋅ y,
donde la variable aparece repetida en cada término.
Al dividir cada término del binomio por el factor común señalado, obtienes:
3y
y2
=y y
=3
y
y
Luego, y2 - 3y = y(y - 3).
En la expresión 5m2 + 5m un factor común es cinco, y otro factor común
es m, ya que 5m2 + 5m = 5m ⋅ m + 5 ⋅ m, o sea, el cinco y la m se repiten como
factor en cada término.
5m2
5m
=m;
=1
5m
5m
Luego, 5m2 + 5m = 5m(m + 1).
Observa que cuando el factor común coincide con uno de los términos de
la expresión, al dividirlos obtienes 1, y es necesario escribirlo en la respuesta.
En la expresión 6p + 9 un factor común es tres, porque esta se puede expresar como 3 · 2 p + 3 · 3.
6p
9
= 2p ; = 3
3
3
Luego, 6p + 9 = 3(2p + 3).
En la expresión a2b + ab2 + 2ab un factor común es a y otro factor común
es b, porque: a ⋅ a ⋅ b + a ⋅ b ⋅ b + 2 ⋅ a ⋅ b, o sea, a y b se repiten como factor
en cada término del trinomio.
273
MATEMÁTICA
a2 b
ab2
2ab
=a;
=by
=2
ab
ab
ab
Luego, a2b + ab2 + 2ab = ab(a + b + 2).
✅
Recuerda que…
El factor común puede ser un número, una variable o varias; pero también la
combinación de estos.
De manera general, para factorizar una expresión algebraica aplicando la
extracción del factor común, debes seguir el procedimiento siguiente:
Si en una expresión algebraica dada existe un factor que sea común a todos sus
términos, esta puede descomponerse en el producto de dicho factor común
por el polinomio que resulta al dividir cada uno de los términos de la
expresión por ese factor común.
Ejemplo 1
Factoriza las expresiones siguientes:
a) 16a + 8
b) b3 - 5b2
e) 6m2n - 9mn2 + 3mn
c) 7c5 + 14c3 - 21c2
f) 0,16p5 - 0,4p2q
d) 12d + 18d2
g) 2 x3y2 + 4 x2y3
5
5
Solución:
a) 16a + 8 = 8(2a + 1)
Aquí no existe factor común variable y entre los coeficientes ocho y 16 el
factor común es ocho, ya que 16 = 2 · 8.
Para obtener el otro factor, divides cada término del binomio por el factor
común:
16a
8
= 2a y
= 1 (aquí divides o simplificas los coeficientes)
8
8
b) b3 - 5b2 = b2(b - 5)
Aquí no existe factor común numérico, porque el coeficiente de b3 es uno.
Entre las variables b3 y b2 el factor común es b2, porque tiene el menor
exponente.
Para obtener el otro factor, divides cada término del binomio por el factor
común:
b3
5b2
y
b
=
=5
b2
b2
274
CAPÍTULO 4
(al efectuar el cociente indicado entre las variables, aplicas la propiedad de
las potencias cociente de igual base)
Observa que en la respuesta se mantiene el signo del binomio que se
factoriza.
c) 7c5 + 14c3 - 21c2 = 7c2(c3 + 2c - 3)
Los coeficientes 14 y 21 son múltiplos de siete, luego el factor común numérico es siete. La variable c se repite en todos los términos del trinomio, por lo
que el factor común variable es la de menor exponente de estos, o sea, c2.
Para obtener el otro factor, divides cada término del trinomio por el factor
común:
7c5
= c3 ;
2
14c 3
= 2c y
21c 2
=3
7c
7c 2
7c 2
(simplifica en cada caso los coeficientes y al efectuar el cociente indicado entre las variables, aplicas la propiedad de las potencias cociente de igual base)
Recuerda en la respuesta mantener el signo de cada factor del trinomio.
d) 12d + 18d2 = 6d(2 + 3d)
Entre los coeficientes el factor común es seis, que es el mayor divisor común
de 12 y 18.
La variable está en cada término del binomio y la de exponente menor, o
sea, d es el factor común variable.
Para obtener el otro factor, divides cada término del binomio por el factor
común:
12d
18d 2
=2 y
= 3d
6d
6d
e) 6m2n - 9mn2 + 3mn = 3mn(2m - 3n + 1)
Entre los coeficientes el factor común es tres, que es el mayor divisor común
de 6; 9 y 3.
En este caso hay dos variables que aparecen en cada término del trinomio.
Tanto una como la otra aparecen elevadas a exponente dos y uno, luego,
el factor común contiene las dos variables m y n, que son las de menor
exponente.
Para obtener el otro factor, divides cada término del trinomio por el factor
común:
6m2n
9mn2
3mn
= 2m ;
= 3n y
=1
3mn
3mn
3mn
Recuerda colocar el uno en el tercer término del segundo factor.
275
MATEMÁTICA
f) 0,16p5 - 0,4p2q = 0,4p2(0,4p3 - q)
Entre los coeficientes el factor común es 0,4, porque 0,16 = 0,4 · 0,4.
En el binomio aparecen dos variables, p y q, pero solo p se repite en cada término. Luego, el factor común variable es p2 que tiene el menor exponente.
Divides ahora cada término por el factor común 0,4p2.
0,16 p5
= 0, 4 p3 y
0, 4 p2
0, 4 p2q
0, 4 p2
=q
g) 2 x3y2 + 4 x2y3 = 2 x2y2 (x + 2y)
5
5
5
Entre los coeficientes el factor común es 2 , porque 4 = 2 · 2 .
5
5
5
Aparecen dos variables y ambas están en los dos términos, elevadas en un
caso a exponente 2 y en otro a exponente 3, luego tomas las de menor
exponente de cada una, o sea, x2y2.
Divides ahora cada término por el factor común 2 x2y2.
5
2 3 2
4 2 3
x y
x y
5
5
=
2y
y
x=
2 2 2
2 2 2
x y
x y
5
5
✅
Recuerda que…
► Al extraer el factor común a una expresión algebraica debes considerar tanto
los coeficientes como las variables que aparezcan.
► Entre los coeficientes numéricos, el factor común suele considerarse el mayor
de los divisores comunes de dichos coeficientes, siempre que sea diferente
de uno.
► Entre las variables que se repiten, se toma como factor común la que tenga
el menor exponente entre los términos que forman la expresión.
► Al dividir cada término de la expresión por el factor común, los números se
dividen o simplifican por las reglas que conoces sobre las operaciones con
números reales, mientras que para dividir las variables aplicas la propiedad
de la potencia cociente de igual base.
De esta manera, aplicando la extracción del factor común, has podido
expresar diferentes sumas como productos. Pero en todos los casos el factor
común es un monomio o término compuesto por números, variables o la combinación de ambos. Sin embargo, es bueno que conozcas que una expresión
algebraica dada puede tener como factor común un polinomio.
276
CAPÍTULO 4
Ejemplo 2
Descompón en factores:
a) a (b + 2) + 3(b + 2)
b) 2y(x + 5) - x - 5
c) (x - 1)(x - 3) + 4(x - 3)
Solución:
a) a (b + 2) + 3(b + 2) = (b + 2)(a + 3)
La expresión está formada por dos términos, a(b + 2) y 3(b + 2). En cada
término aparece como factor el binomio (b + 2), por lo que el factor común
en esta expresión es (b + 2).
Para obtener el otro factor, divides cada uno de los términos del binomio
por el factor común:
a(b 2)
3(b 2)
a y
3
b 2
b 2
b) 2y(x + 5) - x - 5 = 2y(x + 5) - (x + 5) = (x + 5)(2y - 1)
En este caso resulta conveniente introducir los dos últimos términos en un
paréntesis precedido de signo menos, para lograr que ambos términos, x y
cinco, tengan igual signo que en el primer término, de esta manera obtienes:
2y(x + 5) - (x + 5), donde el factor común es (x + 5). Al dividir, obtienes:
2 y ( x 5)
( x 5)
2y y
1
x 5
x 5
c) (x - 1)(x - 3) + 4(x - 3) = (x - 3)[(x - 1) + 4] = (x - 3)(x + 3)
El factor (x - 3) es común en ambos términos del binomio, por lo que se
extrae de factor común.
Para obtener el otro factor efectúas la división:
( x 1)( x 3)
4( x 3)
4
x 1 y
x 3
x 3
De esta manera has comprobado que el factor común en una expresión
algebraica puede ser también un polinomio, por lo que no es necesario,
cuando estés en presencia de ejercicios de factorización, como los del ejemplo anterior, eliminar los paréntesis y reducir la expresión para expresarla
como producto.
Sin embargo, en el inciso c, si calculas y simplificas la expresión, obtienes
como resultado x2 - 9.
Ejercicios
1. Extrae factor común y expresa como productos las expresiones siguientes:
a) 2x + 6
b) 4y - 16
c) 7z2 + 7
f) 12 + 22m
g) 3t3 + 6t - 15
h) 9n + 21r
d) 1p + 1
2
4
i) ab + ac
e) 0,5b + 0,25
j) 2p2 + 3p
277
MATEMÁTICA
k) x2 - 2x
l) x3y2 + 5x2y3
m) y5 - 2y4 + 3y3
ñ) 8m2 - 12 mn
o) 5y2 + 20y3
p) 2a2 + 4ab - 6ac
q) 4x2yz3 + 12x2y2z2
r) (a + 5)x + (a + 5)y
t) b(x + 2) + x + 2
u) d(r2 + 2r + 5) + 3e(r2 + 2r + 5)
v) (x + y)(z + 2) + 3(z + 2)
2.
n) 2xy - 10x
s) 2m(b - 7) + n(b - 7)
w) (c - 4)x - c + 4
Marca con una X la respuesta correcta.
2.1 Al descomponer en factores la expresión x6 - x3 se obtiene:
a) ___ x3
b) ___ x9 c) ___ x3(x3 - 1)
d) ___ x3(x3 - x)
2.2 Al factorizar la expresión 6m2n + 8mn se obtiene:
a) ___ 6mn(m + 2)
b) ___ 2mn(3m + 4)
c) ___ 2m2n(3 + 4m)
d) ___ mn(6m + 8)
2.3 Al escribir como producto la expresión 4 x 3 y 2 z 2 x 2 y 2 z 2 xyz
7
7
21
se obtiene:
a) ___
2
1
xyz x 2 y xy
7
3
b) ___
2
1
2
xyz x 2 y xy
7
3
7
c) ___
2
1
xyz 2 x 2 y xy
7
3
d) ___
4
2
xyz x 2 y 2 xy
7
3
4.3.2 Diferencia de dos cuadrados
✆
Reflexiona un instante
¿Cómo puedes obtener los factores del binomio x2 - 9, si no es posible extraer
un factor común?
Precisamente el segundo caso de factorización que estudiarás en este tema
está relacionado con binomios como este.
Si observas el inciso c) del ejemplo tres del epígrafe anterior, después
de extraer el factor común se aplicó el producto notable del producto de
una suma por su diferencia que se obtiene como resultado una diferencia
de dos cuadrados. El producto notable (x + a)(x - a) = x2 - a2, o sea, el cuadrado
del primer término menos el cuadrado del segundo término.
En este caso la factorización de la expresión x2 - 9 es (x - 3)(x + 3), y en esta
no existe un factor común.
278
CAPÍTULO 4
¿Qué procedimiento realizar, si debemos aplicar la operación inversa para
este caso?
Luego, para obtener los factores de x2 - a2, debes realizar la operación
inversa a la elevación al cuadrado, o sea, extraer la raíz cuadrada aritmética de cada término del binomio y escribir los dos factores con los signos
diferentes.
Aplicando este procedimiento el resultado de la situación inicial te quedaría: x2 - 9 = (x - 3)(x + 3), porque al extraer la raíz cuadrada aritmética de cada
término obtienes x y 3.
✅
Recuerda que…
La diferencia de dos cuadrados se descompone en el producto de la suma por
la diferencia de las bases de estos cuadrados.
x2 - a2 = (x + a)(x - a)
✁
¡Atención!
Para hallar las bases de los cuadrados tendremos en cuenta solo las raíces aritméticas (positivas). En la práctica, el reconocimiento de estas raíces cuadradas
debe hacerse mentalmente y escribir directamente los factores.
Observa cómo aplicar este nuevo caso de factorización con el ejemplo
siguiente:
Ejemplo 1
Descompón en factores:
a) x2 - 36
b) 4a2 - 9
c) 1 - 0, 64 y 2
9
d) m2 - 5
e) b2 + 1
f) p4 - 16
Solución:
a) x2 - 36 = (x + 6)(x - 6)
La raíz cuadrada de x2 es x y la de 36 es 6, luego los factores de cada binomio
son (x + 6) y (x - 6).
Los signos en cada factor pueden colocarse en cualquier orden, o sea,
(x + 6)(x - 6) o (x - 6)(x + 6)
b) 4a2 - 9 = (2a - 3)(2a + 3)
La raíz cuadrada de 4a2 es 2a y la de 9 es 3, luego los factores de cada
binomio son (2a + 3) y (2a - 3).
279
MATEMÁTICA
1
1
c) 1 - 0, 64 y 2 = 0, 8 y 0, 8 y
3
3
9
1
1
La raíz cuadrada de es y la de 0,64y2 es 0,8y.
9
3
d) m2 - 5 = (m + 5 )(m - 5 )
Como puedes apreciar cinco no es un cuadrado perfecto, o sea, no tiene
raíz cuadrada exacta, sin embargo, se puede factorizar la expresión si dejas
indicada la raíz cuadrada de dicho término.
e) b2 + 1 no tiene factorización.
A pesar que ambos términos del binomio son cuadrados perfectos, no es
posible descomponerlo en factores, porque es una suma y no una diferencia.
Puedes concluir que, la suma de dos cuadrados no tiene factorización.
f) p4 - 16 = (p2 + 4)(p2 - 4) = (p2 + 4)(p - 4)(p + 4)
La raíz cuadrada de p4 es p2 y la de 16 es 4. Al colocar el producto de los
factores que se obtiene, notarás que el segundo factor, (p2 - 4), también es
una diferencia de dos cuadrados y se debe proceder a descomponerlo en
factores aplicando igual procedimiento.
Como ya ninguno de los otros factores admite a su vez una nueva factorización, se dice que has descompuesto totalmente en factores la
expresión p4 - 16.
✁
¡Atención!
En general, debes tener presente que el proceso de descomposición factorial de
una expresión algebraica debe continuarse mientras sea posible, es decir, hasta
tanto los factores que se obtengan no admitan a su vez una nueva factorización.
Analiza, mediante el ejemplo siguiente, cómo aplicar este procedimiento
de factorización combinada.
Ejemplo 2
Factoriza completamente las expresiones algebraicas siguientes:
a) 5x3 - 20x
b) y4 - 81
Solución:
a) 5x3 - 20x = 5x(x2 - 4) = 5x(x - 4)(x + 4)
280
c) (mn2 + 7n2) - m - 7
CAPÍTULO 4
Primero observas si existe factor común:
► entre los coeficientes es el cinco, porque es el mayor divisor común de
cinco y 20.
► entre las variables es x, que es la de menor exponente.
Al extraer el factor común y efectuar la división de cada término por el factor
común hallado, se obtiene como segundo factor (x2 - 4), que representa
una diferencia de dos cuadrados. Factorizas esta diferencia y mantienes el
factor común hallado inicialmente.
b) y4 - 81 = (y2 - 9)(y2 + 9) = (y + 3)(y - 3)(y2 + 9)
No existe factor común ni numérico, ni entre las variables. Te debes preguntar entonces, si la expresión representa una diferencia de dos cuadrados.
Al realizar la factorización, en uno de los factores se obtiene otra diferencia
de dos cuadrados, la cual se factoriza nuevamente.
Recuerda que y2 + 9 no se factoriza, ya que es una suma de dos cuadrados.
c) (mn2 + 7n2) - m - 7 = n2(m + 7) - (m + 7) = (m + 7)(n2 - 1)
= (m + 7)(n - 1)(n + 1)
En el primer término de la expresión existe un factor común n2, que al extraerlo queda como segundo factor de dicho término (m + 7). Para obtener
igual factor entre los otros dos términos es necesario introducir un paréntesis precedido de signo menos, para que los signos del binomio resultante
coincidan con los del binomio (m + 7). Después extraes (m + 7) como factor
común y obtienes como segundo factor una diferencia de dos cuadrados,
la cual factorizas.
Ejercicios
1. Expresa como productos:
b) b2 - 144
c) 4c2 - 25
f) 49 - 64f2
g) 4 - g2
9
h) 0,25h2 - 1 i) i2p2 - 81m2
81
k) b4 - 196
l) x6 - 225y2 m) 49 m8 - 1
25
4
j2
k2
256 0, 36
n) (x + 2)2 - 16
j)
2.
2
d) d - 1
4
a) a2 - 16
e) e2 - 0,04
ñ) (y - 1)2 - 144
Marca con una X la respuesta correcta:
2.1 Al factorizar x2 - y2 se obtiene:
a) __ (y + x)(x - y)
b) __ (x - y)2
c) __ 2x - 2y
d) __ (x + y)(x + y)
281
MATEMÁTICA
2.2 Al descomponer en factores 2m2 - 1 n2 se obtiene:
4
1
1
a) __ 2m n 2m n
b) __ 2m 0,5n
2m 0,5n
2
2
2
1
c) __ 2m
d) __ ninguna de las anteriores
2
2.3 Al expresar como producto la expresión (p + 5)2 - 36q6 se obtiene:
a) __ (p + 5 + 6q)(p + 5 - 6q)
b) __ (5p - 6q3)5p + 6q3)
c) __ (p + 6q3 + 5)(p - 6q3 + 5)
d) __ ninguna de las anteriores
4.3.3 Descomposición factorial de trinomios
✆
Reflexiona un instante
Descompón en factores la expresión siguiente: 2x3 - 8x2 + 8x.
La expresión es un trinomio, y entre los coeficientes el mayor divisor es
dos, mientras que entre las variables la de menor exponente es x. Al extraer
factor común 2x, queda como segundo factor un trinomio y no un binomio
como en casos anteriores.
¿Será posible factorizar este trinomio, resultante de la extracción del factor
común de la expresión algebraica inicial?
¿Existirá algún procedimiento para factorizar trinomios?
Por supuesto que sí, y es el próximo caso de descomposición factorial que
estudiarás en este grado.
Analicemos el resultado anterior
2x3 - 8x2 + 8x = 2x (x2 - 4x + 4)
Pensemos si es posible que este trinomio se obtenga de algún producto
notable conocido y así pensar en el procedimiento inverso para factorizar.
¿Cuáles son los productos notables estudiados de los que se obtiene como
resultado un trinomio?
Aprendiste cómo calcular el cuadrado de una suma y una diferencia, es
decir el cuadrado de un binomio:
(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2
Por ejemplo: (x + 5)2 = x2 + 10x + 25
282
CAPÍTULO 4
Como puedes apreciar, al desarrollar el cuadrado de un binomio obtienes
como resultado un trinomio.
Aprendiste a calcular el producto de dos binomios que tienen un término común.
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
Por ejemplo: (x + 4)(x + 1) = x2 + 5x + 4
En este caso también al calcular el producto de dos binomios que tienen
un término común obtienes como resultado un trinomio.
En estos dos casos de productos notables se obtiene un trinomio, pero ¿cuál
se identifica con el trinomio x2 - 4x + 4?
Observa que en este trinomio dos de sus términos son cuadrados perfectos
2
(x ;4) y el otro término es doble del producto de las raíces cuadradas de dichos
términos (2 · 2 · x = 4x), y se corresponde con el resultado del producto notable
del binomio al cuadrado o sea el cuadrado de una suma o de una diferencia.
A este trinomio que se factoriza en el cuadrado de un binomio, se le denomina trinomio cuadrado perfecto.
✅
Recuerda que…
Un trinomio es cuadrado perfecto si:
► dos de sus términos son cuadrados perfectos, y
►
el término restante es igual al doble producto de las raíces cuadradas de
dichos términos, o al opuesto de ese producto.
Todo trinomio cuadrado perfecto se descompone en el cuadrado de la suma
o de la diferencia de las raíces cuadradas aritméticas de los términos cuadrados perfectos, según el signo del término restante sea positivo o negativo.
a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2
Ejemplo 1
Comprueba si los trinomios siguientes son cuadrados perfectos. En caso
afirmativo, exprésalo como el cuadrado de un binomio.
a) x2 + 4x + 4
b) x2 - 4x + 4
c) y2 + 6y + 9
e) 9a2 + 6ab + b2
f) x2 + 5x + 4
g) 4y2 + 13y + 3
d) 4m2 - 20m + 25
Solución:
2
a) x 2 4 x 4 x 2
283
MATEMÁTICA
Observa que este trinomio contiene dos términos cuadrados perfectos
(x2 y 4), cuyas raíces cuadradas (aritméticas) son x y 2 respectivamente. El
doble producto de estas raíces es 2 · x · 2 = 4x que coincide con el término
central del trinomio.
2
b) x 2 4 x 4 x 2
Este trinomio se diferencia del anterior solo en el signo del segundo término,
por lo que contiene los mismos dos términos cuadrados (x2 y 4), cuyas raíces
cuadradas (aritméticas) son x y 2 respectivamente y el doble producto de
estas raíces es también 4x que coincide con el término restante del trinomio.
Sin embargo, ahora el término central es negativo, entonces el trinomio
se descompone en el cuadrado de una diferencia. Luego, resulta: (x - 2)2.
2
c) y 2 6 y 9 y 3
Observa que este trinomio contiene cuadrados perfectos (y2 y 9), cuyas
raíces cuadradas (aritméticas) son y y 3 respectivamente. El doble producto de estas raíces es 2 y 3 6 y que coincide con el término central
del trinomio.
Como dicho término es positivo, entonces el trinomio se
descompone en el cuadrado
de una suma. Luego, resulta
y 3 2
Raíz cuadrada
aritmética:
Doble producto:
2
d) 4m2 20m 25 2m 5
4m2 20m 25
Raíz cuadrada
aritmética:
Doble producto:
2m
5
2 2m 5 20m
Hallas las raíces cuadradas de
los términos cuadrados perfectos y verificas si el doble
del producto de ambas raíces
coincide con el signo de término central.
Como el término central es negativo, entonces el trinomio se descompone
2
en el cuadrado de una diferencia. Luego, resulta: 2m 5 .
2
e) 9a2 6ab b2 3a b
284
CAPÍTULO 4
9a2 + 6ab + b2
Raíz cuadrada
aritmética:
3a
Doble producto:
2 3a b 6ab
b
Como término central es
positivo, entonces el trinomio
se descompone en el cuadrado
de una suma. Luego, resulta:
3a b 2
f) x 2 + 5 x + 4
x2 + 5x + 4
Raíz cuadrada
aritmética:
x
Doble producto:
2 · x· 2 = 4x
2
Como puedes apreciar, en este caso
el doble producto de las raíces cuadradas no coincide con el término
central del trinomio dado. El trinomio no es un cuadrado perfecto.
g) 4 y 2 + 13 x + 4
En este trinomio, el término tres, no es un cuadrado perfecto. El trinomio no es cuadrado perfecto, por lo que no se puede expresar como el
cuadrado de un binomio.
✁
¡Atención!
En general, al descomponer trinomios cuadrados perfectos, solamente tendrás
en cuenta las raíces cuadradas positivas (aritméticas) de los términos cuadrados perfectos, mientras que el análisis realizado en cada inciso del ejemplo
anterior lo puedes hacer oralmente y escribir directamente la descomposición
del trinomio.
Como has podido apreciar, no todos los trinomios son cuadrados perfectos,
en unos casos porque el doble producto de las raíces cuadradas de los términos
cuadrados perfectos no coincide con el término central y en otros, porque uno
de los términos de los extremos del trinomio no es cuadrado perfecto.
¿Y se pueden factorizar los trinomios que no son cuadrados perfectos?
Por supuesto que sí, existe también para estos una regla la cual te presentamos a continuación.
Observa que los trinomios x2 + 5x + 4 y 4y2 + 13y + 3 del ejemplo anterior
tienen una característica que los distingue. En el primer caso, el coeficiente
del término x2 es uno, mientras que, en el segundo caso, el coeficiente de y2
es cuatro.
285
MATEMÁTICA
Es por esto que para estudiar la descomposición factorial de trinomios que
no son cuadrados perfectos, vamos a diferenciar dos casos:
1. Los trinomios de la forma x2 + px + q, donde el coeficiente de x2 es uno.
2. Los trinomios de la forma mx2 + px + q, donde el coeficiente de x2 es distinto
de uno, o sea, m ≠ 1.
Entre los productos notables que estudiaste anteriormente, aprendiste a
calcular el producto de dos binomios que tienen un término común.
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
Por ejemplo: (x + 7)(x + 1) = x2 + 8x + 7
Observa que al efectuar este producto se obtiene el trinomio analizado
en el inciso f) del ejemplo anterior, por lo que si realizas el procedimiento
inverso obtendrás su descomposición factorial cuyos factores son (x + 7)
y (x + 1). Como los factores son diferentes, no se puede expresar como el
cuadrado de una suma o una diferencia como en los trinomios cuadrados
perfectos.
Este trinomio lo llamamos trinomio de la forma x2 + px + q, si haces en el
producto notable a + b = p y a · b = q.
¿Cómo realizar la descomposición factorial de este trinomio a partir del
producto notable?
1. Observa que en la regla primero hallas el cuadrado del término común,
luego, al realizar el procedimiento inverso debes hallar la raíz cuadrada
aritmética del término cuadrado perfecto y lo colocas como primer término
de cada factor: x2 + 8x + 7 = (x
)(x
)
2. En este caso: p = a + b = 8 y q = a ⋅ b = 7.
Buscas dos números a y b cuyo producto sea ocho y su suma algebraica sea
siete, en este caso son siete y uno.
3. Finalmente, colocas ambos números como segundo término de cada
binomio:
x2 + 8x + 7 = (x + 7)(x + 1)
✅
Recuerda que…
Un trinomio de la forma x2 + px + q se puede descomponer en el producto de
dos factores (x + a) y (x + b) siempre que puedas encontrar dos números a y b
cuya suma algebraica sea igual a p y cuyo producto sea igual a q.
O sea, x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b) , donde a + b = p y ab = q.
286
CAPÍTULO 4
Ejemplo 2
Descompón en factores los trinomios siguientes:
a) x2 + 3x + 2
b) y2 + 9y + 20
c) p2 + 2p - 3
d) m2 - 2m - 3
e) n2 - 4n + 3
f) d2 + 10d + 25
g) m2 - 7mn + 10n2
h) x4 - 5x2 + 36
Solución:
a) x2 + 3x + 2
(en este trinomio, p = 3 y q = 2)
► Determinas la raíz cuadrada aritmética del término cuadrado perfecto y
la colocas como primer término de cada factor: (x )(x )
► Buscas dos números a y b cuyo producto sea dos y su suma algebraica sea
tres, en este caso son dos y uno.
► Completas los paréntesis: x2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2).
Observa que como q es positivo los signos de a y b son iguales y como p
también es positivo, entonces a y b también serán positivos.
b) y2 + 9y + 20 (en este trinomio, p = 9 y q = 20)
► Determinas la raíz cuadrada aritmética del término cuadrado perfecto y
la colocas como primer término de cada factor: (y )(y ).
► Buscas dos números a y b cuyo producto sea 20 y su suma algebraica sea
nueve, en este caso son cuatro y cinco.
► Completas los paréntesis: y2 + 9y + 20 = (y + 4)(y + 5).
Raíz cuadrada
aritmética:
Doble producto:
Como dicho término es positivo,
entonces el trinomio se descompone
en el cuadrado de una suma. Lue2
go, resulta: x 2
Observa que como q es positivo los signos de a y b son iguales y como p
también es positivo, a y b serán también positivos.
Raíz cuadrada
aritmética:
Doble producto:
c) p2 + 2p - 3 (en este trinomio, p = 2 y q = - 3)
► Determinas la raíz cuadrada aritmética del término cuadrado perfecto y
la colocas como primer término de cada factor: (p
)(p
).
287
MATEMÁTICA
► Buscas dos números a y b cuyo producto sea menos tres y su suma alge-
braica sea dos, en este caso son menos uno y tres.
► Completas los paréntesis: p2 + 2p - 3 = (p - 1)(p + 3).
Observa que como q es negativo los signos de a y b son diferentes y como
p es positivo, el número de mayor módulo será el positivo.
d) m2 - 2m - 3 (en este trinomio, p = - 2 y q = - 3)
► Determinas la raíz cuadrada aritmética del término cuadrado perfecto y
la colocas como primer término de cada factor: (m )(m ).
► Buscas dos números a y b cuyo producto sea menos tres y su suma algebraica sea menos dos, en este caso son uno y menos tres.
► Completas los paréntesis: m2 - 2m - 3 = (m - 3)(m + 1).
Observa que como q es negativo los signos de a y b son diferentes y como
en este caso, a diferencia del anterior, p es negativo, el número de mayor
módulo será el negativo.
e) n2 - 4n + 3 (en este trinomio, p = - 4 y q = 3)
► Determinas la raíz cuadrada aritmética del término cuadrado perfecto y
la colocas como primer término de cada factor: (n )(n ).
► Buscas dos números a y b cuyo producto sea 3 y su suma algebraica sea
menos cuatro, en este caso son menos uno y menos tres.
► Completas los paréntesis: n2 - 4n + 3 = (n - 3)(n - 1).
Observa que como q es positivo los signos de a y b son iguales y como en
este caso p es negativo, entonces a y b también serán negativos.
f) d2 + 10d + 25 (en este trinomio, p = 10 y q = 25)
► Determinas la raíz cuadrada aritmética del término cuadrado perfecto y
la colocas como primer término de cada factor: (d )(d ).
► Buscas dos números a y b cuyo producto sea 25 y su suma algebraica sea
10, en este caso son cinco y cinco.
► Completas los paréntesis: d2 + 10d + 25 = (d + 5)(d + 5).
Observa que como q es positivo los signos de a y b son iguales y como p
también es positivo, entonces a y b también serán positivos.
Como ambos factores son iguales, la respuesta se puede expresar como
(d + 5)2, lo que representa un binomio al cuadrado. Como ya sabes todo trino
mio cuya factorización es el cuadrado de un binomio, representa un
trinomio cuadrado perfecto. Es por ello, que para factorizar trinomios
cuadrados perfectos también puedes apoyarte en este procedimiento.
288
CAPÍTULO 4
g) m2 - 7mn + 10n2 (en este trinomio, p = - 7 y q = 10n2)
► Determinas la raíz cuadrada aritmética del término cuadrado perfecto y
la colocas como primer término de cada factor: (m )(m ).
► Buscas dos números a y b cuyo producto sea 10n2 y su suma algebraica
sea - 7n, en este caso son - 2n y - 5n.
► Completas los paréntesis: m2 - 7mn + 10n2 = (m - 2n)(m - 5n).
Observa que como q es positivo los signos de a y b son iguales y como p es
negativo, entonces a y b también serán negativos.
h) x4 - 5x2 - 36 (en este trinomio, p = - 5 y q = - 36)
Este trinomio es de la forma x2 + px + q, puesto que se puede interpretar
como: ( x 2 )2 - 5 x 2 - 36 y se suele llamar trinomio bicuadrado.
► Determinas la raíz cuadrada aritmética del término cuadrado perfecto y
la colocas como primer término de cada factor: (x2 )( x2 ).
► Buscas dos números a y b cuyo producto sea - 36 y su suma algebraica
sea menos cinco, en este caso son cuatro y menos nueve.
► Completas los paréntesis: (x2 + 4)( x2 - 9).
Observa que como q es negativo los signos de a y b son diferentes y como p
es negativo, entonces a y b tendrán diferente signo y nueve será el negativo
por tener mayor módulo que cuatro.
Como puedes apreciar, uno de los factores es una diferencia de dos cuadrados y el proceso de descomposición factorial debe continuarse mientras
sea posible, por lo que la factorización aún puede continuar, quedando de
esta manera:
x4 - 5x2 - 36 = (x2 + 4)(x2 - 9) = (x2 + 4)(x - 3)(x + 3)
✁
¡Atención!
Acuérdate de que la suma de dos cuadrados no tiene factorización.
✅
Recuerda que…
Para factorizar trinomios de la forma x2 + px + q:
1. Buscas dos números cuya suma sea p y cuyo producto sea q.
2. Al escribir la respuesta ten en cuenta la siguiente regla de los signos:
► Si q es positivo, los signos de a y b son iguales y dependen del signo de p.
289
MATEMÁTICA
► Si q es negativo, los signos de a y b serán diferentes y colocas el signo de
p al que tenga mayor valor absoluto entre a y b.
p positivo: (x + a)(x + b)
Si q positivo:
Si q negativo:
✁
p negativo: (x - a)(x + b)
p positivo y a > b: (x + a)(x - b)
p negativo y a > b: (x - a)(x + b)
¡Atención!
Es importante que conozcas que este algoritmo solo se aplica en aquellos trinomios donde sea posible encontrar los números que cumplen las condiciones
dadas, lo cual solamente ocurre en determinados casos. Por lo que existen
trinomios que no tienen factorización en R, por ejemplo,
x2 - x + 5 y otros cuya factorización no resulta evidente, como x2 - x - 5.
✇
Saber más
La descomposición factorial es utilizada en la
matemática para resolver ejercicios y problemas
relacionados con el Álgebra, pero también puedes
utilizarla en cálculos aritméticos como los que te
presentamos a continuación:
Para calcular 992 - 1 (figura 4.10), seguro efectúas
primero el cuadrado de 99, multiplicando 99 ⋅ 99,
lo que con una calculadora resulta muy rápido,
sin embargo, sin ella puedes demorar algunos
Fig. 4.10
segundos.
Si observas con atención, podrás relacionar esta
expresión con uno de los casos de factorización estudiados, o sea, la diferencia
de dos cuadrados. Es por ello que resulta más cómodo proceder de esta manera:
992 - 1= (99 + 1)(99 - 1) = 100 · 98 = 9 800.
Analiza este otro caso, 992 - 2 · 99 - 3, este cálculo numérico lo puedes realizar
rápidamente si lo relacionas con otro de los casos de factorización, el trinomio
de la forma x2 + px + q.
992 - 2 · 99 - 3 = (99 + 1)(99 - 3) = 100 · 96 = 9 600
En ocasiones también es muy útil la extracción de un factor común como en
este otro ejemplo:
290
CAPÍTULO 4
720 + 721
720
=
720 720 71
720
720 1 7
720
=8
Como has podido apreciar la descomposición factorial es muy útil no solo en
el trabajo con variables, sino también en el cálculo numérico.
✆
Reflexiona un instante
¿Cómo descomponer el trinomio 4y2 + 13y + 3?, ¿es este trinomio, cuadrado
perfecto o tiene la forma x2 + px + q?
Efectivamente no es un trinomio cuadrado perfecto ni tiene la forma
x + px + q.
En este caso delante del primer término cuadrático aparece un coeficiente.
Para encontrar el procedimiento de factorización o descomposición de
este tipo de trinomio, puedes partir del análisis del resultado que se obtiene
al calcular el producto (4y + 1)(y + 3).
Este producto como puedes apreciar no se corresponde con los productos
notables estudiados en este capítulo. Es por esto que su resultado se obtiene
a partir de la multiplicación de cada término del primer binomio por cada
término del otro binomio como estudiaste en grados anteriores.
2
(4y + 1)(y + 3) = 4y2 + 12y + y + 3 = 4y2 + 13y + 3
Este trinomio es el que analizaste en un ejemplo uno en el inciso g) que
no era trinomio cuadrado perfecto y que el primer término está formado por
el producto de un coeficiente por una variable elevada al cuadrado, luego, es
de la forma:
mx2 + px + q, donde m = 4 ; p = 13 y q = 3.
Aquí, los coeficientes m, p y q se obtienen de la manera siguiente:
m = 4 = 4 · 1 (producto de los coeficientes de y)
q = 3 = 3 · 1 (producto de los términos independientes)
m=4
(4y + 1)(y + 3)
q=3
p = 13 = 4 · 3 + 1 · 1 (suma de los productos de
los coeficientes de la variable por los términos
independientes)
12
(4y + 1)(y + 3)
291
MATEMÁTICA
De modo general se cumple que:
(ax + b)(cx + d) = acx2 + (ad + bc)x + bd
= mx2 + px + q ; donde m = ac ; q = bd y p = ad + bc
Por lo tanto, siempre que sea posible determinar los números a, b, c y d,
tales que ac = m ; bd = q y ad + bc = p se cumple que:
mx2 + px + q = (ax + b)(cx + d)
Procedimiento para descomponer en factores el trinomio de la forma
mx + px + q.
Para determinar estos números se aplica el procedimiento siguiente, el
cual recibe el nombre de método de los productos cruzados o de los
coeficientes.
2
1. Se ensaya una descomposición factorial para m y q (m = ac; q = bd),
disponiendo de los factores en dos columnas: a
b
c
d
2. Se calculan los productos cruzados ad y bc, y se adicionan. a
b
c
d
a · d + c· b
3. Si bc + ad = p, entonces los factores del trinomio dado son (ax + b) y
(cx + d). En caso contrario, debe ensayarse con otra combinación de
factores para m y q.
✁
¡Atención!
No siempre es posible encontrar p a partir de los factores m y q. En estos casos,
el procedimiento descrito no es aplicable
Ejemplo 3
Descompón en factores los trinomios siguientes:
a) 2x2 + 5x + 3
b) 2x2 + 7x + 3
c) 3y2 + 2y - 1
d) 3y2 - 2y - 1
e) 5m2 - 12m + 4
f) - 7p2 - 6p + 1
Solución:
a) 2x2 + 5x + 3 (m = 2 ; q = 3 ; p = 5)
Como q es positivo los signos de sus factores son iguales y como p también
es positivo, entonces todos los factores de m y q se escriben con signo “más”.
Consideras 2 = 2 · 1 y 3 = 3 · 1.
292
CAPÍTULO 4
Dispones los factores de la siguiente forma:
2
3
2x + 3 Al multiplicar cruzado y adicionar los productos, se
obtiene el valor de p. Por lo que los factores seleccio-
1
1
2+3=5=p
x + 1 nados son los correctos y la factorización se escribe
tomando los números que se encuentran uno al lado
del otro (no en forma cruzada) y agregando la variable correspondiente del ejercicio
Luego: 2x2 + 5x + 3 = (2x + 3)(x + 1)
Si la disposición de los factores no da el resultado deseado, debes cambiar
de lugar los factores de m o de q, o ensayar con otros factores.
b) 2x2 + 7x + 3 (m = 2 ; q = 3 ; p = 7)
Como m y q son iguales que en el inciso anterior, los divisores serán los mismos y con el mismo signo. Sin embargo, ahora p debe dar siete y no cinco,
por lo que la disposición de los factores no será la misma.
Dispones los factores de la forma siguiente:
2
1
1
3
6+1=7=p
2x + 1
x+3
Luego: 2x2 + 7x + 3 = (2x + 1)(x + 3)
c) 3y2 + 2y - 1 (m = 3 ; q = - 1 ; p = 2)
Como q es negativo los signos de sus factores son diferentes.
Consideras 3 = 3 · 1 y 1 = - 1 · 1.
Dispones los factores de la siguiente forma:
3
-1
1
1
3-1=2=p
3y - 1 Observa que para que el valor de p sea poy+1
sitivo, el mayor producto debe ser positivo,
luego, el signo menos se le coloca al uno del
segundo factor que interviene en el menor de
los productos.
Luego: 3y2 + 2y - 1 = (3y - 1)(y + 1)
d) 3y2 - 2y - 1 (m = 3 ; q = - 1 ; p = - 2)
Los valores de m y q en este caso son iguales a los del inciso anterior, sin
embargo, ahora p es negativo.
293
MATEMÁTICA
Dispones los factores de la siguiente forma:
3
1
3y + 1 Observa que para que el valor de p sea negativo, el mayor producto debe ser negativo,
1
-1
-3+1=-2=p
y-1
luego, el signo menos se le coloca al uno del
segundo factor que interviene en el mayor de
los productos.
Luego: 3y2 - 2y - 1 = (3y + 1)(y - 1)
e) 5m2 - 12m + 4 (m = 5 ; q = 4 ; p = - 12)
Como q es positivo los signos de sus factores son iguales y como p es negativo, entonces los signos de los factores de q se escriben con signo menos.
Puedes comprobar que tomando 1 y 4 como divisores de q, no obtienes con
ninguna disposición en la tabla el valor de p. Luego, los factores que se van
a seleccionar son dos y dos.
Dispones los factores de la siguiente forma:
-2
5
1
-2
- 10 - 2 = - 12 = p
5m - 2
m-2
Luego: 5m2 - 12m + 4 = (5m - 2)(m - 2)
f) - 7p2 - 6p + 1 (m = - 7 ; q = 1 ; p = - 6)
Como m es negativo, sus factores tendrán signos diferentes, mientras los
de q serán con igual signo por ser positivo.
Dispones los factores de la siguiente forma
-7
1
1
1
1-7=-6=p
-7p + 1
p+1
Luego: - 7p2 - 6p + 1 = (- 7p + 1)(p + 1)
Los trinomios de la forma mx2 + px + q (m ≠ 1) también pueden descomponerse en factores reduciéndolos a la forma x2 + px + q, para esto se utiliza
el procedimiento siguiente:
Se multiplica y se divide el trinomio dado por m, con lo que se obtiene:
mx p mx mq
2
mx 2 px q
294
m
CAPÍTULO 4
Así, el numerador queda reducido a la forma x2 + px + q y considerando mx como una sola variable, se procede a descomponer dicho
numerador en un producto de la forma (mx + a)(mx + b) siempre que
sea posible encontrar dos números que multiplicados den mq y que
sumados den p.
Observa cómo se aplica este procedimiento en el ejemplo siguiente:
Ejemplo 4
Descompón en factores:
a) 2x2 - 9x + 4
b) 6y 2 - 7y - 3
Solución:
a) 2x2 - 9x + 4
Multiplicas y divides por dos que es valor de m en el trinomio dado:
2x2 – 9x 4
2 2 x 2 – 9 x 4
2
2 x – 9 2 x 8
2
2
2 x – 8 2 x – 1
2
2 x – 4 2 x – 1
2
reduces el numerador a la forma x2 + px + q
buscas dos números que multiplicados den
8 y cuya suma algebraica de - 9
extraes factor común 2 y simplificas
Luego, 2x2 - 9x + 4 = (x - 4)(2x - 1)
b) 6y2 - 7y - 3
Multiplicas y divides por 6 que es valor de m en el trinomio dado:
6 y 2 – 7y – 3
6 6 y 2 – 7 y – 3
6
6 y – 7 6 y – 18
2
2
6 y – 9 6 y 2
2
3 2 y – 3 2 3 y 1
6
reduces el numerador a la forma x2 + px + q
buscas dos números que su producto sea -18
y su suma algebraica sea menos siete.
extraes factor común tres en el primer paréntesis y factor común dos en el segundo
paréntesis. El producto de ambos factores
comunes es seis, por lo que simplificas con
el seis del denominador.
Luego, 6y2 - 7y - 3 = (2y - 3)(3y + 1)
De esta manera has aprendido a descomponer en factores los trinomios
cuadrados perfectos, los trinomios de la forma x2 + px + q y los de la forma
mx2 + px + q (m ≠ 1).
295
MATEMÁTICA
¿Sabías que…?
Los dos primeros trinomios son casos particulares del trinomio general
mx2 + px + q (m≠1), por lo que el procedimiento estudiado para su factorización es aplicable a los trinomios anteriores. Sin embargo, es bueno que utilices
los procedimientos particulares de cada uno de ellos para su mayor fijación.
En ejemplos resueltos anteriormente, pudiste apreciar que los casos de descomposición factorial pueden aparecer combinados en ciertos ejercicios y que
la factorización debe realizarse mientras aparezca algún caso de los estudiados.
Es por ello que te proponemos un esquema que puedes aplicar en estos casos:
Descomposición factorial
Factor común
Binomio
Trinomios
a2 - b2
Cuadrado perfecto
x2 + px + q
mx2 + px + q
Para aplicar este esquema al realizar ejercicios combinados de factorización
debes proceder como se muestra en el ejemplo siguiente:
Ejemplo 5
Factoriza completamente las expresiones siguientes:
a) 2x3 - 18x
b) 3ab2 - 6ab + 3a
d) p5 - 5p4 - 6p3
e) 6mn2 - 4mn - 10m
c) 3y4 - 3
16
f) x4 + x2 - 2
Solución:
a) 2x3 - 18x
1. ¿Existe factor común? Sí, es 2x y entonces:
2x3 - 18x = 2x(x2 - 9)
2. ¿El segundo factor es un binomio o un trinomio? Es un binomio.
¿Tiene descomposición factorial? Sí, ya que es una diferencia de dos
cuadrados. Luego:
2x3 - 18x = 2x(x2 - 9) = 2x(x + 3)(x - 3)
3. ¿Es posible continuar el proceso de descomposición factorial? No.
296
CAPÍTULO 4
4. Escribes la respuesta: 2x3 - 18x = 2x(x + 3)(x - 3)
b) 3ab2 - 6ab + 3a
1. ¿Existe factor común? Sí, es 3a y entonces:
3ab2 - 6ab + 3a = 3a(b2 - 2b + 1)
2. ¿El segundo factor es un binomio o un trinomio? Un trinomio cuadrado
perfecto, por lo que se puede factorizar.
Luego: 3ab2 - 6ab + 3a = 3a(b2 - 2b + 1) = 3a(b - 1)2
3. ¿Es posible continuar el proceso de descomposición factorial? No.
4. Escribes la respuesta: 3ab2 - 6ab + 3a = 3a(b - 1)2
c) 3y 4 - 3
16
1. ¿Existe factor común? Sí, es 3 y entonces:
1
3y 4 - 3 = 3 y 4
16
16
2. ¿El segundo factor es un binomio o un trinomio? Un binomio bicuadrado
y representa una diferencia de dos cuadrados.
1
1
1
Luego: 3y 4 - 3 = 3 y 4 = 3 y 2 y 2
16
4
4
16
3. ¿Es posible continuar el proceso de descomposición factorial? Si, ya que
uno de los binomios es también una diferencia de dos cuadrados.
Entonces:
3y 4
3
1
1
1
1
1
1
3 y 4 3 y 2 y 2 3 y 2 y y
16
16
4
4
4
2
2
4. ¿Es posible continuar el proceso de descomposición factorial? No.
5. Escribes la respuesta: 3y 4 3 3 y 2 1 y 1 y 1
16
4
2
2
d) p - 5p - 6p
5
4
3
1. ¿Existe factor común? Sí, es p3:
p5 - 5p4 - 6p3 = p3(p2 - 5p - 6)
2. ¿El segundo factor es un binomio o un trinomio? Un trinomio de la forma:
x2 + px + q y se puede factorizar. Entonces:
p5 - 5p4 - 6p3 = p3(p2 - 5p - 6) = p3(p - 6)(p + 1)
3. ¿Es posible continuar el proceso de descomposición factorial? No.
4. Escribes la respuesta: p5 - 5p4 - 6p3 = p3(p - 6)(p + 1)
e) 6mn2 - 4mn - 10m
1. ¿Existe factor común? Sí, es 2m:
6mn2 - 4mn - 10m = 2m(3n2 - 2n - 5)
297
MATEMÁTICA
2. ¿El segundo factor es un binomio o un trinomio? Un trinomio de la forma
mx2 + px + q y se puede factorizar. Entonces:
6mn2 - 4mn - 10m = 2m(3n2 - 2n - 5) = 2m(3n - 5)(n + 1)
3. ¿Es posible continuar el proceso de descomposición factorial? No.
4. Escribes la respuesta: 6mn2 - 4mn - 10m = 2m(3n - 5)(n + 1)
f) x4 + x2 - 2
1. ¿Existe factor común? No
2. ¿La expresión es un binomio o un trinomio? Un trinomio bicuadrado de
la forma x2 + px + q y se puede factorizar. Entonces:
x4 + x2 - 2 = (x2 + 2)(x2 - 1)
3. ¿Es posible continuar el proceso de descomposición factorial? Sí, ya que
uno de los factores es una diferencia de dos cuadrados.
x4 + x2 - 2 = (x2 + 2)(x2 - 1) = (x2 + 2)(x - 1)(x + 1)
4. Escribes la respuesta: x4 + x2 - 2 = (x2 + 2)(x - 1)(x + 1)
Las preguntas que aparecen en cada inciso no se escriben en la resolución
del ejercicio propuesto, son preguntas que te haces para encontrar el procedimiento se debe ordenadamente seguir.
Ejercicios
1. Descompón en factores los trinomios siguientes:
a) x2 + 12x + 36
b) y2 - 12y + 36
c) z2 + 16z + 64 d) z2 - 16z + 64
e) m2 + 14m + 49 f) n2 - 14n + 49 g) p2 - 3p + 9 h) h2 - 10hq + 25q2
4
2
i) 81 + 18x + x2
j) 64y2 - 16yz + z2k) x2 + x + 1
l) y + 3 y + 9
4 7
49
4
2
2
6
3
m) m + 0,4m + 0,04 n) 1,44n + 1,44n + 0,36
ñ) p + 10p + 25
o) 4d2 - 2d + 0,25
2.
3.
298
p) 16a2 + 49b2 - 56ab
Factoriza:
a) x2 + 4x + 3
b) x2 - 4x + 3
c) y2 + 10y + 9
d) y2 - 10y + 9
e) z2 + 10z + 21
f) z2 - 10z + 21
g) p2 + 18p+ 45
h) p2 - 18p + 45
i) x2 - 4x - 5
j) x2 + 4x - 5
k) y2 - 3y - 40
l) y2 + 3y - 40
m) c2 - c - 20
n) c2 + c - 20
ñ) p2 + 15p + 54
o) p2 - 15p + 54
p) n2 - 21 - 4n
q) x2 + 5xy + 6y2
r) b2 - 11bc + 24c2
s) a2b2 + ab - 42
Descompón en factores los trinomios siguientes:
CAPÍTULO 4
4.
a) 2x2 + 7x + 3
b) 2x2 - 7x + 3
c) 3y2 - 5y + 2
d) 3y2 - 7y + 2
e) 6b2 - 5b - 21
f) 6b2 + 5b - 21
g) 3m2 + 13m - 10
h) 3m2 - 13m - 10
i) 4p2 - 23p + 15
j) 8z2 + 6z - 5
k) 10a2 - 17a + 3
l) 8y2 - 37y - 15
m) 3n2 + n - 4
n) 9a2 - 10a + 1
ñ) 2b2 + 9b + 9
o) 5x + 2x2 - 3
p) - 4d2 + 11d + 15
q) 16y - 12y2 + 3
r) 9n2 + 6np - 8p2
s) 8x2 - 6xy - 35y2
t) 4c4 + 13c2 - 3
Factoriza completamente:
a) 2x2 - 32
f) 0,36s5 - s3
5.
c) 4y5 - y3 d) 2t2 - 2
9
2
3
2
g) 2y - 20y + 50 h) m - 4m + 4m
b) x3 - 100x
e) 9 q2 - 4
5
5
3
i) n + 2n2 - 3n
j) 5p2 - 10p - 315
k) 6d2 + 48d + 90
l) 2a3 + 4a2 + 2a
m) 20x2 + 50x + 20
n) 2y5 - y4 - 3y3
ñ) 9z4 + 12z3 + 3z2
o) x4y - 25x2y
p) r4 - 16
q) p8 - 1
r) 2b4 + 4b2 - 6
s) t7 - 7t5 - 18t3
t) 2m5 - 26m3 + 72m
Marca con una X la respuesta correcta.
5.1 Al expresar como producto el trinomio x2 - 18x + 80 se obtiene:
a) ___ (x + 8)(x + 10)
b) ___ (x - 10)(x - 8)
c) ___ (x - 10)(x + 8)
d) ___ (x - 8)(x + 10)
5.2 Al factorizar el trinomio 6m2 + m - 15 se obtiene:
a) ___ (2m - 3)(3m + 5)
b) ___ (2m + 3)(3m - 5)
c) ___ (6m - 3)(m + 5)
d) ___ (3m - 3)(2m + 5)
5.3 Al expresar como producto la expresión a2b2 - 14abc + 49c2 se obtiene:
a) ___ (ab - 7c)(ab + 7c)
b) ___ (abc + 7)2
c) ___ (abc - 7)2
6.
d) ___ (ab - 7c)2
Simplifica las expresiones siguientes y descompón en factores, de ser
posible, la expresión resultante.
a) 2x(x - 3) + (x + 7) - 10
b) (x + 3)2 - x(2 - x) - 9
c) (2y - 1)2 - y(y + 5) + (4y - 3)
d) (z + 5)(z - 5) + z(z2 + 1) + 25
e) (2m + 3)(2m - 3) - 2(m - 4,5) - 2
f) (b + 7)(b - 3) - (4b + 123)
299
MATEMÁTICA
g) (x3 + 4) - (x + 2)2 - x(x + 11)
h) (x2 + 4)2 - 8(x2 + 2) - 1
i) - (x + 10) - (x - 3)(x + 2) + 8
p) 10x2 - (3x - 4)(3x + 4) - 116
j) 2y2 - (y + 1)(y + 15) + 79
14
l) x2(x2 + 1) + 2x x
x
1
n) x3 - (2x + 1)2 - x x + 2
x
1
o) (3a - 2)(3a + 2) - 6 a + 1
2
q) (3 - 4a)2 - 2(17 - 12a)
r) x(x - 3) - (x + 1)2 + 16
s) (x2 - 3)(x2 + 3) - 5(x2 - 2) + 3
k) (2x + 7)2 - 4(7x - 4) - 1
m) 2b3 - (2b + 11)2 - (26b - 121)
ñ) (2x + 3)2 - x(x - 5) - 15
t) m4(m3 + 1) - (m2 - 1)2 - (2m2 + m3 - 1)
u) 2x3 - (2x- 3)2 + 2(2x2 + 4,5 - 22x)
v) (2b2 + 1)2 - b2(b2 - 8) - 16
w) n3(n2 - 8) - (n + 3)2 + (n2 - 3n + 9)
7.
Enlaza la expresión algebraica de la columna A con su expresión factorizada en la columnan B.
A
x2 - 121
x2 - 2x - 15
x6 + x3
x2 + 2x - 15
x2 + 121
x3 - 16x
8.
B
x(x + 4)(x - 4)
(2x + 5)(x - 3)
(x + 11)(x - 11)
(x + 5)(x - 3)
x(x + 8)(x - 8)
(x + 3)(x - 5)
x3(x3 + 1)
(2x + 3)(x - 5)
Un cuadrado tiene un área de (25x2 + 20x + 4) cm2. Determina la expre
sión correspondiente al lado de dicho cuadrado y calcula su valor para
3
x= .
2
9.
El área de un rectángulo viene dada, en cada caso, por las expresiones
siguientes:
a) x2 - 8x
b) y2 - 400
c) n2 - 7n + 12
d) 8a2 + 2a - 15
Determina las expresiones correspondientes a los lados del rectángulo.
10. El volumen de un prisma recto de bases rectangulares viene dado por la
expresión (x 3 + 3x2 - 4x) dm3. Determina las expresiones correspondientes
a sus dimensiones.
300
CAPÍTULO 4
11. Sean P = 2m - 5 ; Q = (m + 3)(m - 3) y R = 13 - 4m.
a) Calcula y simplifica P 2 + Q - R.
b) Descompón en factores el resultado obtenido.
c) Halla el valor numérico de dicho resultado para m = - 2.
12. Sean M = 4ab + b2 y N = (4a + b)(4a - b).
a) Calcula 2M + N.
b) Descompón en factores el resultado.
13. Sean A = x2 + 1 ; B =
x
3
– 1 ; C = (14x + 7) y D = 7x + 3.
7
2
a) Prueba que A2 - B + C = D.
b) Determina para qué valor de x se cumple que A = D.
14. Demuestra que las proposiciones siguientes son verdaderas:
a) El cuadrado de un número natural impar es un número impar.
b) El producto de un número natural par y un número natural impar es
un número par.
c) La diferencia de los cuadrados de dos números naturales consecutivos
es un número impar.
d) La suma de tres números naturales consecutivos es divisible por tres.
e) La diferencia entre un número de dos lugares y el número que se
forma invirtiendo el orden de sus cifras básicas, es divisible por nueve.
4.4 Ecuaciones cuadráticas o de segundo grado
✀
Aplica tus conocimientos
En un municipio del país, para construir un estadio de fútbol (figura 4.11)
y desarrollar este deporte, se le asignó
a una comunidad un terreno con forma rectangular cuyo largo excede al
ancho en 40 m y que tiene un perímetro de 320 m. ¿Qué dimensiones tiene
el terreno asignado a la comunidad?
Fig. 4.11
301
MATEMÁTICA
En grados anteriores aprendiste a resolver problemas como este, a partir
del planteamiento de una ecuación lineal, y en este grado, estudiaste otra
vía de solución a partir del planteo de un sistema de dos ecuaciones con dos
variables.
A continuación, se muestra en síntesis la solución de este problema por
ambas vías estudiadas por ti:
Datos:
Largo del terreno: x + 40
Ancho del terreno: x
P = 320 m
Planteo de la ecuación y solución:
2(x + x + 40) = 320
2(2x + 40) = 320
2x + 40 = 160
2x = 160 - 40
2x = 120
x = 60
Longitud del largo: 60 + 40 = 100
Datos:
Largo del terreno: x
Ancho del terreno: y
Planteo del sistema y solución:
x y 40
2 x y 320
x y 40
x y 160
2 x 200
x 100
Respuesta:
El terreno asignado a la comunidad tiene 100 m de largo y 60 m de ancho.
✆
Reflexiona un instante
En el problema anterior se te ofrece como uno de los datos el perímetro del
terreno rectangular, por esto el problema conduce al planteamiento de la
ecuación lineal referida anteriormente o del sistema de ecuaciones, pero qué
ocurre si en lugar del perímetro se te ofrece como dato el área del terreno.
El largo de un terreno rectangular excede en 40 m a la longitud de su ancho
y tiene una superficie de 6 000 m2. ¿Cuáles son sus dimensiones?
Solución:
Como conoces, el área de un rectángulo se calcula multiplicando el largo
por su ancho. Manteniendo la declaración de variable como en el problema
inicial, planteas la ecuación x(x + 40) = 6 000 y si efectúas el producto indicado,
obtienes que: x2 + 40x = 6 000.
302
CAPÍTULO 4
Observa la ecuación obtenida y responde las interrogantes siguientes:
1. ¿La ecuación obtenida para resolver el problema es una ecuación lineal?
¿Por qué?
2. ¿Cuál es el grado del polinomio del miembro izquierdo de la ecuación
obtenida?
3. ¿Cómo despejarías la variable de la ecuación obtenida en el problema
anterior?
4. ¿Cómo proceder para resolver este nuevo tipo de ecuación?
De las respuestas a estas interrogantes podrás llegar a la conclusión que
existen ecuaciones que no son lineales o de primer grado como las que has
resuelto hasta ahora, luego necesitas:
► Definir este nuevo tipo de ecuación.
► Buscar un procedimiento para resolverla.
Definición de ecuación de segundo grado
Toda ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0 (a, b, c ∈ ℜ, a ≠ 0) se denomina
ecuación de segundo grado o cuadrática en una variable.
Los números a, b y c se llaman primer coeficiente, segundo coeficiente
y término independiente. Cuando está expresada en esa forma, se dice que
la ecuación está escrita en su forma general o estándar.
Son ejemplos de ecuaciones cuadráticas las siguientes:
2x2 + 5x + 3 = 0
- x2 + x - 2 = 0
4x2 - 16 = 0
(a = 2; b = 5 y c = 3)
(a = - 1; b = 1 y c = - 2)
3x2 - 8x = 0
2x2 = 0
(a = 3; b = - 8 y c = 0)
(a = 2 ; b = 0 y c = 0)
(a = 4 ; b = 0 y c = - 16)
1
x2 0
5
1
a ; b 0 y c 0
5
✁
¡Atención!
Observa que las ecuaciones 2x2 + 5x + 3 = 0 y - x2 + x - 2 = 0 tiene los tres términos, el monomio de segundo grado, el monomio de primer grado y el término
independiente. Esto se debe a que los parámetros a, b y c son distintos de cero.
En este caso se dice que son ecuaciones cuadráticas completas.
303
MATEMÁTICA
La ecuación 3x2 - 8x = 0 no tiene término independiente, o sea, el parámetro
c es cero. Se dice que es una ecuación cuadrática incompleta.
A la ecuación 4x2 - 16 = 0 le falta el término en x, o sea, b = 0. Se dice también que es una ecuación cuadrática incompleta.
En las ecuaciones 2x2 = 0 y - 1 x 2 = 0, se tiene que b = 0 y c = 0, por lo
5
que no aparecen los términos en x ni el término independiente. Son ecuaciones cuadráticas incompletas.
✅
Recuerda que…
Una ecuación de segundo grado ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0):
► es completa si b ≠ 0 y c ≠ 0.
► en los demás casos es incompleta.
Toda ecuación de segundo grado, después de aplicarle transformaciones
algebraicas, se puede reducir a su expresión general. Es por esto que para clasificar una ecuación debes realizar primero las transformaciones que se indiquen.
Ejemplo 1
Determina cuáles de las ecuaciones siguientes son lineales y cuáles son
cuadráticas.
a) x(x - 2) + 1 = 2x - 3
x2 - 2x + 1 = 2x - 3
(efectúas el producto indicado)
x2 - 2x - 2x + 1 + 3 = 0 (transpones al miembro izquierdo 2x y - 3)
x2 - 4x + 4 = 0
(reduces los términos semejantes)
El mayor grado de la variable en el trinomio es 2, luego la ecuación
x(x - 2) + 1 = 2x - 3 es una ecuación cuadrática, ya que se transforma a una
ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0.
b) (x + 1)(x - 2) + x2 = - 2
x2 - x - 2 + x2 = - 2
(efectúas el producto notable indicado)
x2 - x - 2 + x2 + 2 = 0
(transpones al miembro izquierdo el - 2)
2x - x = 0
(reduces los términos semejantes)
2
El mayor grado de la variable en el binomio es 2, luego la ecuación
(x + 1)(x - 2) + x2 = - 2 es una ecuación cuadrática, ya que se transforma a
una ecuación de la forma ax2 + bx = 0.
304
CAPÍTULO 4
c) (x + 1)(x + 3) + x = (x + 2)(x - 2)
x2 + 4x + 3 + x = x2 - 4 (efectúas los productos notables en cada miembro)
x2 + 4x + 3 + x - x2 + 4 = 0 (transpones al miembro izquierdo x2 y - 4)
5x + 7 = 0
(reduces los términos semejantes)
El mayor grado de la variable en el binomio es 1, luego la ecuación
(x + 1)(x + 3) + x = (x + 2)(x - 2) no es una ecuación cuadrática, es lineal, y
se transforma en una ecuación de la forma ax + b = 0.
d) (2x + 3)2 = 5 + 12x
4x2 + 12x + 9 = 5 + 12x (efectúas el producto notable cuadrado del binomio)
4x2 + 12x + 9 - 5 - 12x = 0 (transpones al miembro izquierdo 12x y 5)
4x2 + 4 = 0
(reduces los términos semejantes)
El mayor grado de la variable en el binomio es 2, luego la ecuación
(2x + 3)2 = 5 + 12x es una ecuación cuadrática, ya que se transforma a una
ecuación de la forma ax2 + c = 0.
En los grados anteriores estudiaste conceptos relacionados con las ecuaciones lineales como: dominio de la variable, solución de la ecuación y conjunto
solución de la ecuación; estos conceptos también se aplican a las ecuaciones
de segundo grado.
✅
Recuerda que…
► En las ecuaciones, las variables se sustituyen por valores de los conjuntos
numéricos. A estos conjuntos numéricos se les denomina dominio de la
variable.
► Si al sustituir la variable por un valor de su dominio, la ecuación se transforma
en una proposición verdadera, entonces se dice que ese número por el que
se sustituyó la variable es una solución de la ecuación.
► El conjunto formado por todas las soluciones de una ecuación se denomina
conjunto solución.
Por ejemplo, en la ecuación cuadrática x2 - 4 = 0 la variable x puede tomar
cualquier valor real, por lo que el dominio de la variable en este caso es el
conjunto de los números reales.
Para dar solución a la ecuación x2 - 4 = 0 le asignas valores a la variable
hasta que se transforme en una proposición verdadera.
En este caso, debes buscar qué números elevados al cuadrado dan cuatro,
ya que al sustraerle cuatro a dicho número el resultado sería cero, que es el
miembro derecho de la ecuación.
305
MATEMÁTICA
Evidentemente los únicos números que cumplen la condición planteada
anteriormente son dos y menos dos.
22 - 4 = 4 - 4 = 0
(- 2)2 - 4 = 4 - 4 = 0
Al sustituir la x por 2 y - 2, la ecuación se transforma en una proposición
verdadera.
0 = 0; luego las soluciones de la ecuación son dos y menos dos.
Si sustituyes otros valores en la variable x, no se obtiene una proposición
verdadera, por lo que el conjunto solución de la ecuación es S = {2; - 2}.
Hemos encontrado la solución de la ecuación planteada dando valores a x
en la ecuación, pero, como podrás deducir, si la ecuación es más compleja dar
valores a la variable aplicando el tanteo podría llevarte muchísimo tiempo, e
incluso no encontrar la solución, ya que la x puede tomar infinitos valores y
no sería un método racional.
Es por esto, que al igual que las ecuaciones lineales, las ecuaciones cuadráticas tiene su procedimiento de solución.
¿Cuál es el procedimiento que se aplica para resolver las ecuaciones cuadráticas?
Te invito a obtener dicho procedimiento a partir de la ecuación anterior.
Si observas detenidamente podrás comprender que el miembro izquierdo de la ecuación x2 - 4 = 0 es un binomio, que representa una diferencia
de dos cuadrados. Este binomio se puede expresar como el producto de dos
factores aplicando la regla a2 - b2 = (a + b)(a - b), ya estudiada por ti en el
epígrafe anterior.
Al factorizar obtienes: (x - 2)(x + 2) = 0.
Has llegado a un producto de dos factores cuyo resultado es cero.
¿Qué valores debe tomar x para que se cumpla que (x - 2)(x + 2) = 0?
Esta interrogante significa lo mismo que la siguiente:
¿Cuándo el producto de dos factores es igual a cero?
Para dar respuesta a estas interrogantes debes aplicar la propiedad siguiente:
Para todos los números reales a y b se cumple que a · b = 0 si y solo si a = 0 o b = 0.
Si aplicas esta propiedad obtienes las ecuaciones lineales x - 2 = 0 o x + 2 = 0,
las cuales tienen como solución x1 = 2 o x2 = - 2; que son las mismas obtenidas
anteriormente.
Luego, el conjunto solución de la ecuación es S = {2; - 2}.
306
CAPÍTULO 4
Observa cómo aplicar el procedimiento anterior mediante el ejemplo
siguiente:
Ejemplo 2
Resuelve las ecuaciones siguientes:
2
a) x - 2x - 3 = 0
b) x2 + 4x + 4 = 0
c) 2x2 - 3x + 1 = 0
d) 3x2 - 6x = 0
f) x2 + 1 = 0
e) 4x2 - 9 = 0
Solución:
Como cada ecuación está expresada en la forma general, vas directamente al segundo paso.
a) x2 - 2x - 3 = 0
(x - 3)(x + 1) = 0
(factorizas el trinomio x2 + px + q)
x-3=0 o x+1=0
x1 = 3 o x2 = - 1
(igualas a cero cada factor aplicando la propiedad)
(despejas la x)
Comprobación para x1 = 3:
MI: 3 - 2 ⋅ 3 - 3 = 9 - 6 - 3 = 0
2
Comprobación para x2 = - 1:
MI: (- 1)2 - 2 · (- 1) - 3 = 1 + 2 - 3 = 0
MD: 0
MD: 0
Comparación: 0 = 0
Comparación: 0 = 0
Como puedes apreciar hay dos números que satisfacen la ecuación, de
ahí que la ecuación tenga dos soluciones x1 = 3 y x2 = - 1.
Las soluciones de la ecuación son x1 = 3 o x2 = - 1, que también pueden
escribirse en forma de conjunto: S = {3; - 1}.
b) x2 + 4x + 4 = 0
(x + 2)2 = 0 (factorizas el trinomio cuadrado perfecto)
x+2=0
(ya que cero es el único número real cuyo cuadrado es cero)
x1 = - 2 (despejas la x)
Comprobación para x1 = - 2:
MI: (- 2)2 + 4(- 2) + 4 = 4 - 8 + 4 = 0
MD: 0
Comparación: 0 = 0
Luego x1 = - 2 o también S = {- 2}.
✁
¡Atención!
Si al factorizar el trinomio lo expresas como (x + 2)(x + 2) = 0 y aplicas la propiedad obtienes x1 = - 2 o x2 = - 2, o sea, dos soluciones reales iguales, por lo
que la solución es menos dos.
307
MATEMÁTICA
c) 2x2 - 3x + 1 = 0
(2x - 1)(x - 1) = 0
(factorizas el trinomio mx2 + px + q)
2x - 1 = 0 o x - 1 = 0 (aplicas la propiedad)
x1 = 1 o x2 = 1
(despejas la x)
2
Comprobación para x1 = 1 :
Comprobación para x2 = 1:
2
2
3
1
MI: 2 - 3 · 1 + 1 = 2 · 1 - + 1 = 0 MI: 2 · (1)2 - 3 · 1 + 1 = 2 - 3 + 1 = 0
2
2
4 2
1 3
2
= - +1=- +1=-1+1=0
2 2
2
MD: 0
MD: 0
Comparación: 0 = 0
Comparación: 0 = 0
1
1
Luego, x1 = y x2 = 1 o también S = ;1.
2
2
d) 3x2 - 6x = 0
3x(x - 2) = 0
3x = 0 o x - 2 = 0
x1 = 0 o x2 = 2
3
x1 = 0 o x2 = 2
(factorizas el binomio extrayendo el factor común)
(igualas a cero cada factor aplicando la propiedad)
(despejas la x)
Comprobación para x1 = 0:
MI: 3 · 02 - 6 · 0 = 0 - 0 = 0
MD: 0
Comprobación para x2 = 2:
MI: 3 · (2)2 - 6 · 2 = 3 · 4 - 12 = 12 - 12 = 0
MD: 0
Comparación: 0 = 0
0=0
Luego, x1 = 0 y x2 = 2 o también S = {0; 2}.
e) 4x2 - 9 = 0
(2x - 3)(2x + 3) = 0
(factorizas la diferencia de dos cuadrados)
2x - 3 = 0 o 2x + 3 = 0 (aplicas la propiedad)
3
3
x1 = o x2 = (despejas la x)
2
2
3
3
Comprobación para x1 = :
Comprobación para x2 = - :
2
2
2
2
3
3
MI: 4 · - 9 = 4 · 9 - 9
MI: 4 · - 9 = 4 · 9 - 9
2
2
4
4
9-9=0
9-9=0
MD: 0
MD: 0
Comparación: 0 = 0
Comparación:
308
0=0
CAPÍTULO 4
3 3
Luego, x1 = 3 y x2 = -3 o también S = ; .
2 2
2
2
La ecuación resuelta en este inciso es de la forma ax2 + c = 0, donde a = 4;
b = 0 y c = - 9. Las ecuaciones expresadas de esta forma pueden ser resueltas
también por la vía del despeje de la variable.
Otra vía de solución:
4x2 - 9 = 0
4x2 = 9
(transpones el nueve al miembro derecho)
x2 = 9
4
(transpones el cuatro dividiendo al miembro derecho)
9
4
x=±
x=±3
2
(despejas x planteando la raíz cuadrada)
9
hallas la raíz cuadrada de
4
3 3
De esta manera obtienes el mismo conjunto solución: S = ; .
2 2
2
f) x + 1 = 0
No es posible descomponer en factores este binomio, porque no existe
ningún número real que elevado al cuadrado y sumado con uno, dé como
resultado cero.
Luego, la ecuación no tiene soluciones en el dominio de los números reales.
También puedes escribir la solución S = ∅.
Procedimiento para resolver una ecuación cuadrática
► Transformas la ecuación a la forma ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) aplicando las trans-
formaciones necesarias.
► Descompones en factores el binomio o trinomio que se obtiene (si es posible).
► Igualas cada factor a cero aplicando la propiedad anterior.
► Resuelves las ecuaciones lineales que resultan del paso anterior.
► Compruebas las soluciones obtenidas (este paso es opcional).
► Escribes el conjunto solución.
Además, pudiste comprobar que las ecuaciones cuadráticas pueden tener
dos soluciones, una solución o no poseer solución en el conjunto de los
números reales.
309
MATEMÁTICA
Recuerda además que las soluciones de las ecuaciones también reciben el
nombre de raíces de la ecuación.
✃
De la historia
El estudio de la ecuación de segundo grado y sus soluciones tienen origen antiguo.
En Grecia fue desarrollada por el matemático Diofanto de Alejandría (figura 4.12);
además, otro importante descubrimiento
del mundo antiguo se puede encontrar
en los escritos del matemático y científico
griego Herón de Alejandría en el siglo i,
es un método de aproximación de la raíz
positiva de ecuaciones como x2 = 2.
Los egipcios utilizaban el método de la
Fig. 4.12
falsa posición para encontrar una raíz en
ecuaciones de segundo grado sencillas.
Para ecuaciones cuadráticas con un término en x, como x2 - 5x = 6, las primeras
soluciones no se encuentran hasta en los libros de matemática babilonios del
2000 a.n.e. Aunque los babilonios no conocían las raíces negativas, su método
de búsqueda de las raíces positivas es el mismo que se utiliza en la actualidad.
La solución de las ecuaciones de segundo grado fue introducida en Europa
por el matemático judeo-español Abraham bar Hiyya, en su Liber embadorum (1145), en el que trata por primera vez, en latín, las ecuaciones de
segundo grado.
En 1629, el matemático francés Albert Girard aceptó raíces de ecuaciones
negativas y fue, por tanto, capaz de finalizar el aún incompleto estudio que
François Vieta había realizado sobre la relación entre las raíces de una ecuación
algebraica y sus coeficientes. Vieta había descubierto que si a y b son las raíces
de x2 - px + q = 0, entonces p = (a + b) y q = a · b.
En la actualidad existen métodos más racionales que los utilizados mucho
tiempo atrás, los que aprenderás en este tema.
✆
Reflexiona un instante
En el ejemplo anterior las ecuaciones cuadráticas estaban expresadas en la
forma general, pero, ¿siempre las ecuaciones están en la forma ax2 + bx + c = 0?
Sabes que no hay ecuaciones en las que es necesario aplicar transformaciones
para expresarlas en dicha forma.
310
CAPÍTULO 4
Ejemplo 3
Halla el conjunto solución de las ecuaciones cuadráticas siguientes:
a) x(x - 2) + 1 = 3x + 1
b) (a + 4)(a - 4) = 4a - 11
d) x(x - 2) = x + 1,5
2
c) (2y - 1)2 + 4y = 3y 2 + 26
Solución:
a) x(x - 2) + 1 = 3x + 1
x 2 - 2x + 1 = 3x + 1
(efectúas el producto de monomio por binomio)
x - 2x + 1 - 3x - 1 = 0 (transpones al miembro izquierdo 3x y uno)
2
x 2 - 5x = 0
(reduces los términos semejantes)
x(x - 5) = 0
(factorizas el binomio extrayendo factor común)
x=0 o x-5=0
(igualas a cero cada factor)
x1 = 0 o x2 = 5
(despejas x)
S = {0;5}.
(escribes el conjunto solución)
b) (a + 4)(a - 4) = 4a - 11
a2 - 16 = 4a - 11
(efectúas el producto notable)
a2 - 16 - 4a + 11 = 0
(transpones al miembro izquierdo 4a y - 11)
a2 - 4a - 5 = 0
(reduces los términos semejantes)
(a - 5)(a + 1) = 0
(factorizas el trinomio x2 + px + q)
a-5=0oa+1=0
(igualas a cero cada factor)
a1 = 5 o a2 = - 1
(despejas a)
S = {5;- 1}.
(escribes el conjunto solución)
c) (2y - 1)2 + 4y = 3y2 + 26
4y 2 - 4y + 1 + 4y = 3y 2 + 26
(efectúas el producto notable (a - b)2)
4y 2 - 4y + 1 + 4y - 3y 2 - 26 = 0 (transpones al miembro izquierdo 3y 2 y 26)
y 2 - 25 = 0
(reduces los términos semejantes)
(y + 5)(y - 5) = 0
(factorizas la diferencia de dos cuadrados)
y+5=0 o y-5=0
(igualas a cero cada factor)
y1 = - 5 o y2 = 5
(despejas y)
S = {5;- 5}.
(escribes el conjunto solución)
Nota: recuerda que también, en este caso, puedes despejar x en la ecuación,
o sea, y 2 = 25 ; y = ± 25 ; y = ± 5.
311
MATEMÁTICA
d) x(x - 2) = x + 1,5
2
x
x 2 - 2x = + 1,5
2
x 2 - 2x - x - 1,5 = 0
2
2
2x - 4x - x - 3 = 0
(efectúas el producto indicado)
(transpones al miembro izquierdo x y 1,5)
2
(multiplicas la ecuación por dos para eliminar el
denominador)
2x2 - 5x - 3 = 0
(reduces los términos semejantes)
(2x + 1)(x - 3) = 0
(factorizas el trinomio mx2 + px + q)
2x + 1 = 0 o x - 3 = 0 (igualas cada factor a cero)
x1 = - 1 o x2 = 3
(despejas x)
2
1
S = ; 3.
2
(escribes el conjunto solución)
Después de haber aprendido el procedimiento de solución de las ecuaciones
cuadráticas, ya puedes dar respuesta al problema del ejemplo uno.
Habías llegado al planteo de la ecuación x2 + 40x = 6 000, la cual se debe
transformar:
x 2 + 40x - 6 000 = 0
(x + 100)(x - 60) = 0
(transpones 6 000 al miembro izquierdo)
(factorizas el trinomio)
x + 100 = 0 o x - 60 = 0
(aplicas la propiedad)
x1 = - 100 o x2 = 60
(despejas x)
Los números - 100 y 60 satisfacen la ecuación cuadrática, pero en este caso,
estás resolviendo un problema y declaraste como incógnita (x) la longitud del
ancho del terreno. Luego, - 100 no puede ser la longitud de un lado del terreno
y quedaría de respuesta 60 como la longitud del ancho.
Como la longitud del largo es según los datos planteados x + 40, entonces:
60 + 40 = 100.
La respuesta del problema será:
El terreno tiene 100 m de largo y 60 m de ancho.
✅
Recuerda que…
► Las ecuaciones cuadráticas pueden tener dos soluciones, una solución o no
tener soluciones en el conjunto de los números reales.
312
CAPÍTULO 4
► Para resolver las ecuaciones cuadráticas se reducen a la forma general
► ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) y se factoriza el binomio o trinomio obtenido, si es
posible.
► En las ecuaciones cuadráticas de la forma ax 2 + c = 0 (a ≠ 0), se puede utilizar
además para hallar su solución, el despeje de la variable.
► Las ecuaciones cuadráticas de la forma ax 2 = 0 (a ≠ 0), se resuelven mediante
el despeje y su solución siempre es x = 0.
Ejercicios
1. Determina cuáles de las ecuaciones siguientes son cuadráticas.
a) 7x2 - 3 = 0
x5
d)
1
x2 2x
g) 9 - (x + 1)2 = 2x
2.
3.
4.
b) 3x 3 + 2x 2 - 3x + 1 = 0
2
e) x 3 x 3
2
2
c) x2 - 2x = - 4
f) x(x - 3) = 3x + 4
h) (x + 2)(x - 1)2 = 3
Resuelve las ecuaciones siguientes:
a) a2 - 2a = 0
b) 3x2 - 9x = 0
e) m2 - 121 = 0
f) 4b2 - 9 = 0
c) y 2 + 1y = 0 d) 4d 2 - d = 0
3
2
g) c + 1 = 0
h) 1 z 2 - 25 = 0
4
i) x 2 + 3x + 2 = 0
j) y 2 - 6y - 7 = 0
k) b2 + 12 = 7b
l) x 2 - 8x = - 16
m) 4y 2 + 4y + 1 = 0
n) 2a2 - 3a + 1 = 0
ñ) 3p2 + 10p + 3 = 0
o) x(x - 4) = 5
p) (x + 2)(x - 1 ) = 5x - 6
Halla el conjunto solución de las ecuaciones siguientes:
a) 5x2 = 45
b) 2z 2 + 5z = - 2
c) 3x2 - 5 = 2x2 + 11
d) 5x 2 + 4 = 2(x + 2)
e) x(5x + 1) = 2(2x + 1)
f) x(x - 1) - 5(x - 2) = 2
g) (x - 6)(x + 1) = 7x - 33
h) (2x - 3)2 - (x + 5) = 1
i) 2(x 2 - 4x) = - x(4x - 5) - 5
Di para qué valores de la variable se satisfacen las igualdades siguientes:
a) (x + 3)2 - (x + 2)2 = x2 + 2x + 1
b) (7 + x)2 + (7 - x)2 = 130
c) (2x + 1)(x - 1) + (2x + 3)(x - 1) = 0
d) (x - 1)(x + 2) = 2(x + 1)(2x - 1)
e) (x - 2)(x + 1) + 2(2 - x) = x - 2
f) 3x(x + 1) + 2(x - 1) = 2(x2 + 2x + 2)
g) (x + 3)2 + (x - 3)2 = 10
313
MATEMÁTICA
5.
Si una de las soluciones de la ecuación 4x2 - 13x + m = 0 es 4, determina
el valor de m y la otra solución.
6.
Escribe una ecuación cuadrática que posea las soluciones dadas en
cada inciso:
a) x1 = 1 ; x 2 = - 3
b) x1 = 1 ; x2 = - 3
c) x1 = 0 ; x2 = - 2
2
2
d) x1 = - 2 ; x2 = - 3
e) x1 = 1,2 ; x2 = - 2,5 f) x1 = x2 = 4
7.
Si x1 y x2 son las soluciones de la ecuación x2 + 9x + 18 = 0, entonces el
valor de (x1 + x2)(x1 · x2) es:
___ - 54
___ 162
8.
___ - 162
___ 54
Si x = 0 es una raíz de la ecuación x2 - 4x + 8k = 0, entonces la otra raíz
de la ecuación es:
___ - 2
9.
___ 81
___ 0
___ 4
___ Ninguna de las anteriores
La ecuación cuadrática cuyas soluciones son a y b es:
___ x 2 - ax + b = 0
___ x2 - bx + a = 0
___ x 2 - (a + b)x + ab = 0
___ x2 + (a + b)x + ab = 0
___ x2 - bx - a = 0
10. Para que una de las soluciones de la ecuación kx2 + 5x - 6 = 0 sea 3 , el
4
valor de k debe ser:
___ 3
___ 4
___ 5
___ 6
___ 7
11. La ecuación de segundo grado cuyas soluciones son recíprocas de las
soluciones de la ecuación 3x2 - 5x - 2 = 0 es:
___ x 2 + 5x - 3 = 0
___ 2x2 + 5x - 3 = 0
___ 2x2 - 5x - 3 = 0
___ 3x2 + 5x - 2 = 0
12. Enlaza las ecuaciones de la columna A con su respectivo conjunto solución en la columna B.
A
1. x - 4 = 0
2. 5x 2 - 4x - 1 = 0
3. x 2 - 18x + 81 = 0
4. x 2 + 7 = 0
5. x 2 - 5x + 6 = 0
2
2
6. x = 0
2
314
B
a) S = {0}
b) S = {9}
c ) S = {± 2}
d) S = ∅
e) S = {0}
f ) S = {- 0,2;1}
g) S = { 2;3}
h) S = {- 3;- 2}
CAPÍTULO 4
4.4.1 Ecuación general para la resolución
de las ecuaciones de segundo grado
✄
Investiga y aprende
Durante el siglo vi, en la India, vivieron dos matemáticos de los cuales se sabe
que escribieron libros sobre variados temas. El más viejo y, a la vez, el más
importante de los dos fue Aryabhata, cuya obra más conocida, escrita hacia
el 499 y titulada Aryabhatiya, es un delgado volumen escrito en verso que
cubre diversos temas de astronomía y matemática. En el aparecen
escritos, en verso, varios problemas
relacionados con las ecuaciones.
Uno de esos curiosos problemas
(figura 4.13) se tradujo así:
Regocíjanse los monos divididos
en dos bandos: su octava parte al
cuadrado en el bosque se solaza.
Fig. 4.13
Con alegres gritos, doce atronando el campo están. ¿Sabes cuántos
monos hay en la manada, en total?
De grados anteriores conoces los pasos para resolver un problema, y el
primero de estos es leer detenidamente el texto para lograr su comprensión.
Como puedes apreciar existen palabras en el texto que necesitas comprender como: regocíjanse, solaza y atronando. Busca en el diccionario su
significado para realizar un mejor análisis del texto del problema.
No obstante, las palabras anteriores no interfieren directamente en la
resolución del problema como podrás apreciar a continuación.
Del texto del problema puedes sacar las conclusiones siguientes:
► Lo que se nos pide hallar es la cantidad de monos en la manada, a lo que
puedes asignar la variable x.
► La manada está divida en dos partes lo que nos da idea de dos sumandos
para formar la ecuación.
► La primera se solaza, que representa la octava parte al cuadrado, o sea,
2
x
.
8
► La segunda parte son 12, atronando el campo están.
315
MATEMÁTICA
Es por esto que la ecuación que permite modelar a este problema se
puede plantear así:
2
x
x = + 12
8
Para resolver la ecuación, como ya conoces, debes transformarla a la
forma general. Para esto:
2
► Hallas el cuadrado indicado: x = x + 12
64
► Multiplicas la ecuación por 64 para eliminar el denominador:
2
x = x + 12 · 64
64
64x = x2 + 768
► Igualas a cero la ecuación: x2 - 64x + 768 = 0
Para hallar los factores aplicas la descomposición factorial del trinomio
obtenido.
Como puedes apreciar c = 768, por lo que buscar dos números cuyo
producto sea 768 y su suma algebraica sea - 64 no es muy fácil de encontrar.
¿Cómo proceder de otra manera para hallar los factores y hallar los
valores que la satisfacen?
Para resolver la ecuación en estos casos en los que a simple vista no
es posible aplicar la factorización, se utiliza una ecuación general la cual
obtendrás de la forma siguiente:
Considera la ecuación general ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) y vamos a descomponer el miembro izquierdo en factores, para ello dividimos ambos
2
b
miembros de la ecuación por a y adicionamos a cada uno la expresión ,
2a
para transformar el miembro izquierdo en un trinomio cuadrado perfecto.
ax2 + bx + c = 0
x2 +
bx c = 0
+
a a
x2 +
bx c + b = b
+
a a 2a 2a
(dividiendo ambos miembros por a ≠ 0)
2
2
2
c
bx + b = b
x +
2
2
a
a
a
4a
2
316
2
2
b
(adicionando a ambos miembros)
2a
(transponiendo c al miembro derecho)
a
CAPÍTULO 4
2
b b2 - 4ac
=
x
2a
4a2
(efectuando la sustracción en el miembro derecho)
Observa que en la expresión
b2 - 4ac
2
se cumple siempre que 4a2 > 0, pero
4a
b2 - 4ac puede ser positivo, cero o negativo, luego hagamos D = b2 - 4ac y
consideremos los casos siguientes:
Caso 1: D > 0
Se puede plantear entonces:
x
b2 4ac o
b b2 4ac
x
2a
2a
2a
b
2a
b b2 4ac o
b b2 4ac
x
2a
2a
En este caso existen dos soluciones que se acostumbran a escribir así:
x
b b2 4ac
2a
Caso 2: D = 0
x1,2
2
b
=0
x
2
a
b
La solución de la ecuación es x = - .
2a
Caso 3: D < 0
En este caso el número b2 - 4ac es negativo y no es posible la extracción
de su raíz cuadrada en el dominio de los números reales.
Por consiguiente la ecuación ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) no tiene soluciones
reales si D < 0.
Puesto que hemos analizado todos los casos posibles, podemos plantear
que se cumple el teorema siguiente:
Teorema
La ecuación ax2 + bx + c = 0 (a, b, c ∈ ℜ, a ≠ 0) tiene soluciones reales si y solo
si D = b2 - 4ac ≥ 0.
► Si D > 0, entonces la ecuación tiene dos soluciones:
x
b b2 4ac y
b b2 4ac
x
2a
2a
► Si D = 0, entonces la ecuación tiene una sola solución x = -
b.
2a
317
MATEMÁTICA
✅
Recuerda que…
La ecuación general para la resolución de las ecuaciones de segundo grado es
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) a la expresión:
x1,2
b b2 4ac
2a
La expresión D = b2 - 4ac se llama discriminante de la ecuación de segundo grado y te permite discriminar,
determinar y distinguir la cantidad
de soluciones que tiene una ecuación antes de aplicar la ecuación
general (figura 4.14)
Ahora puedes resolver la
ecuación obtenida para resolver
el problema planteado al inicio
del epígrafe con la utilización de
la ecuación general para la resolución de las ecuaciones de segundo
grado de la forma siguiente:
Fig. 4.14
x2 - 64x + 768 = 0
a = 1 ; b = - 64 y c = 768
D = b2 - 4ac
D = (- 64)2 - 4 ⋅ 1 ⋅ 768
= 4 096 - 3 072 = 1 024 > 0
La ecuación tiene dos soluciones, que se hallan con la aplicación de la
ecuación general:
b b2 4ac
2a
( 64 ) 1024
=
(sustituyen los valores de a, b y c y el discriminante)
2 1
= 64 ± 32
(hallan el opuesto, la raíz cuadrada y el producto)
2
Separamos las soluciones y efectuamos las operaciones indicadas:
x1,2
x1 = 64 32 96 48
2
2
318
x2 = 64 32 32 16
2
2
CAPÍTULO 4
Comprobamos si estos valores pueden ser soluciones del problema:
Para x1 = 48
Para x1 = 16
MI: 48
MI: 16
2
2
48
MD:
+ 12
8
= 62 + 12 = 36 + 12 = 48
16
MD: + 12
8
= 22 + 12 = 4 + 12 = 16
48 = 48
16 = 16
El problema tiene dos soluciones posibles:
Respuesta:
La manada puede tener 48 o 16 monos.
✃
De la historia
François Viéte (1540-1603), figura 4.15, político y militar
francés, fue magistrado y consejero del Rey de Francia,
tenía como pasatiempo favorito las matemáticas. También es conocido por su latinizado apellido Vieta.
Puede considerársele como el fundador del Álgebra Moderna. Logró la total liberación de esta disciplina de la
aritmética, al introducir el uso de vocales para representar las incógnitas y consonantes para nombrar los
parámetros conocidos.
Vieta calculó sin error los diez primeros decimales de π,
valiéndose de polígonos de un gran número de lados.
Fig. 4.15
De sus estudios realizados sobre las soluciones de las
ecuaciones cuadráticas y completados por el matemático italiano Gerolamo Cardano (1501-1576), figura 4.16,
surgió el teorema siguiente:
Los valores x1 y x2 son las raíces (soluciones) de una
ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (a, b y c
son números reales), solo si se cumplen las siguientes
igualdades:
x1 + x2 =
-b
a
y
x1 ⋅ x2 =
Fig. 4.16
c
a
Además de sus logros en las diferentes ramas de las matemáticas, Vieta
es recordado por su capacidad para descifrar claves secretas. Gracias a él,
Francia descifró los mensajes que Felipe ii de España enviaba a sus tropas
en Flandes.
319
MATEMÁTICA
Observa algunos ejemplos para la aplicación de la ecuación general:
Ejemplo 1
Calcula, si existen, las soluciones de las ecuaciones siguientes:
a) x2 - 2x = 1
b) - 2x2 - 5 = 3x c) x2 - 3x + 1 = 0 d) (2x + 3)2 = 2(6x + 4)
2
Solución:
a) x2 - 2x = 1
x2 - 2x - 1 = 0
(transpones 1 al miembro izquierdo)
a=1;b=-2 y c=-1
(determinas los valores de a, b y c)
D = b2 - 4ac = (- 2)2 - 4 ⋅ 1 ⋅ (- 1) (calculas el discriminante)
=4+4=8>0
Como D > 0, la ecuación tiene dos soluciones distintas, las cuales se obtienen
aplicando la ecuación general:
b b2 4ac = ( 2) 8 ≈ 2 ± 2, 83.
2a
2 1
2
2
+
2
,
83
4
,
83
x1 ≈
≈
≈ 2,42.
2
2
x2 ≈ 2 - 2, 83≈ 0, 83 ≈ 0,42.
2
2
x1,2
Respuesta:
Las soluciones de la ecuación son x1 ≈ 2,42 y x2 ≈ 0,42.
b) - 2x2 - 5 = 3x
2x2 + 3x + 5 = 0
a=2;b=3 y c=5
(transpones al miembro derecho - 2x2 y - 5)
(determinas los valores de a, b y c)
D = b2 - 4ac = 32 - 4 · 2 · 5 (calculas el discriminante)
= 9 - 40 = - 31 < 0
Como D < 0, la ecuación no posee soluciones en el dominio de los números reales.
Respuesta:
La ecuación no tiene solución.
c) x2 - 3x + 1 = 0
2
a=1;b=- 3 y c=
1
2
D = b2 - 4ac = (- 3)2 - 4 · 1 ·
=3-2=1>0
320
(determinas los valores de a, b y c)
1
2
(calculas el discriminante)
CAPÍTULO 4
Como D > 0, la ecuación posee dos soluciones distintas, que se hallan
aplicando la ecuación general:
b b2 4ac ( 3 ) 1 3 ± 1 1, 73 ± 1
=
=
≈
2a
2 1
2
2
1
,
73
+
1
2
,
73
x1 ≈
≈
≈ 1,365.
2
2
x2 ≈ 1, 73 - 1 ≈ 0, 73 ≈ 0,365.
2
2
Respuesta:
Las soluciones de la ecuación son x1 ≈ 1,365 y x2 ≈ 0,365.
x1,2
d) (2x + 3)2 = 2(6x + 4)
4x2 + 12x + 9 = 12x + 8
(efectúas el producto notable y el producto)
4x + 12x + 9 - 12x - 8 = 0 (igualas a cero la ecuación)
2
4x2 + 1= 0
(reduces los términos semejantes)
a=4;b=0y c=1
(determinas los valores de a, b y c)
D = b2 - 4ac = 02 - 4 · 4 · 1 (calculas el discriminante)
= 0 - 16 = - 16 < 0
Como D < 0, la ecuación no posee soluciones en el dominio de los números
reales.
Respuesta:
La ecuación no tiene solución.
✅
Recuerda que…
Cuando tengas que resolver una ecuación cuadrática, después de expresada
en la forma ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0), si vas a utilizar la ecuación puedes seguir
el algoritmo siguiente:
1. Identifica los coeficientes a, b y c
2. Calculas el discriminante sustituyendo los valores en la ecuación
3. Si D < 0, entonces no posee soluciones reales.
Si D = 0, entonces posee una solución x = -
b
.
2a
Si D > 0, entonces posee dos soluciones:
b b2 4ac
b b2 4ac
y x2
.
2a
2a
4. Escribes el conjunto solución.
x1
321
MATEMÁTICA
✁
¡Atención!
La ecuación general de resolución de las ecuaciones cuadráticas siempre se
puede aplicar, lo cual aventaja al procedimiento anterior, no obstante, la
descomposición factorial es más práctica y racional siempre que sea posible,
pues evita el cálculo numérico que a veces es engorroso. Es por esto que al
resolver una ecuación cuadrática trata primero de aplicar la descomposición
factorial.
En general para resolver una ecuación cuadrática o una que mediante
trasformaciones algebraicas se pueda llevar a esta forma, puedes seguir el
esquema de razonamiento (4.1) siguiente:
Esquema 4.1
ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
¿Se puede descomponer en factores fácilmente?
Sí
No
Se descompone en factores
Se identifican a, b y c
Se iguala cada factor a cero
Se calcula D = b2 – 4ac
Se despeja x
Se aplica la ecuación
Se comprueba
Conjunto Solución
✇
Saber más
Las soluciones de las ecuaciones cuadráticas ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) cumplen
interesantes propiedades (figura 4.17)
1. La suma de las soluciones de una ecuación cuadrática cumple la condición
c
x1 + x2 = − b , mientras que su producto, x1 · x2 =
a
a
En la ecuación 2x2 - 7x + 3 = 0, a = 2 ; b = - 7 y c = 3.
1
Las soluciones de la ecuación son x1 = y x2 = 3.
2
322
CAPÍTULO 4
Si sumas estas soluciones obtienes: S = x1 + x2 = 1 + 3 = 7
2
2
Como b = 7 y a = 2, se tiene − b = ( 7) 7
a
2
2
b
Luego, S = x1 + x2 = 7 = −
a
2
Si multiplicas las soluciones de
la ecuación anterior obtienes:
P = x1 · x2 = 1 · 3 = 3
2
2
c 3
Como c = 3 y a = 2, se tiene =
a 2
3 c
Luego, P = x1 · x2 = = .
Fig. 4.17
2 a
2. Las soluciones de las ecuaciones
cuadráticas:
ax2 + bx + c = 0 y cx2 + bx + a = 0 son recíprocas.
Por ejemplo:
2x2 - 7x + 3 = 0
3x2 - 7x + 2 = 0.
1
1
Sus soluciones son: x1 = y x2 = 3.
x1 = y x2 = 2.
2
3
Ejercicios
1. Determina, sin resolver, cuántas soluciones tienen las ecuaciones siguientes:
a) x2 - 2x + 2,5 = 0
d) x2 + 3 = 0
2
b) 3x2 + 1x - 1 = 0
2
3
2
e) x = - x - 1
4
g) (x + 1)2 + 3 (2x - 6) = x - 12
2
2.
f) x(x - 2) + 1,5x = 3,7
h) 3,4x - 2,3 = (2x - 1)(2x + 1) + 2
Halla los valores de x que satisfacen las ecuaciones siguientes:
a) x2 - 6x + 7 = 0
b) x2 - 5x - 7 = 0
d) (x + 2)2 = 2x(x + 2) - 8
3.
c) x2 - 1,2 = 0
c) 3x + 0,5 = 3x2
e) 3x(x - 2) - (x - 6) = 23(x - 3) - 5
Enlaza la ecuación cuadrática de la columna A con el discriminante que
le corresponde en la columna B.
323
MATEMÁTICA
A
3x - 7x + 1 = 0
- x2 - 3 x - 2 = 0
5
2,25x2 + 15x + 25 = 0
2
B
D<0
D=0
D>0
4.
¿Para qué valores de a tiene la ecuación x 2 + 22x + a = 0 exactamente
una solución?
5.
Determina para qué valores de k tiene la ecuación x2 + 6x + k = 0 dos
soluciones, una solución, o ninguna solución real.
6.
¿Qué valores puede asumir m para que la ecuación x2 + (2m + 2)x + (m + 3) = 0
tenga exactamente una solución?
7.
El valor del discriminante de la ecuación - x2 - 1 = 0 es:
___ - 4
8.
___ - 3
___ 1
___ 4
___ -1
El o los valores de k para los cuales la ecuación (k - 1)x2 - (k + 2)x + 4 = 0
tenga sus soluciones reales iguales es o son:
___ - 10 o 2
___ - 10 o - 2 ___ 10 o 2
___ - 10 o - 10 ___ 10
4.4.2 Despeje de variables en ecuaciones
✆
Reflexiona un instante
Una piscina, con forma de prisma recto, tiene su base cuadrada y una profundidad de 5,0 m, cuando está llena totalmente puede almacenar 45 m3 de agua.
¿Cuál es la longitud de las aristas de la base de esta piscina?
La comprensión del texto de este problema te permite identificar los datos
que conoces como la profundidad y el volumen de la piscina y el dato que
debes encontrar que es la dimensión del cuadrado que constituye la base de
esta piscina.
Para resolver este problema utilizarás la ecuación que te permite calcular
el volumen de un prisma recto de base cuadrada, V = AB · h y como el área de
un cuadrado se calcula como la longitud de la arista al cuadrado, al sustituir
obtienes: V = a2 ⋅ h.
324
CAPÍTULO 4
Ahora debes sustituir los valores de los datos conocidos y despejar la variable a, que representa la longitud del lado del cuadrado base.
¿Cómo proceder para despejar la variable en dicha ecuación?
Despejar una variable en una ecuación significa resolver una ecuación
que expresa algún principio, regla o resultado general de índole matemática,
física, química, biológica o relativa a cualquier otra ciencia, por lo que saberlas
despejar resultan de gran utilidad.
En grados anteriores has realizado el despeje de variables en diferentes
ecuaciones, en las que la variable que se va a despejar aparece con exponente
uno, sin embargo, también se pueden despejar variables con exponente mayor
que uno en una ecuación. En la ecuación de la situación inicial la variable que
debes despejar posee exponente dos.
Veamos cómo proceder para despejar a en la ecuación V = a2 · h
Para despejar la variable a en la ecuación V = a2 · h procedes de la manera
siguiente:
V
► Transpones la h para el miembro izquierdo dividiendo: a2 =
h
► Extraes la raíz cuadrada de a, que es la operación inversa de la elevación al
cuadrado: a =
V
.
h
Ejemplo 1
Despeja en cada inciso la variable que se indica.
2
a) s = gt , despeja t
2
b) V = 1 πr 2, despeja r.
3
c) A = πR2 - πr2, despeja r.
Solución:
2
a) s = gt
2
Para despejar la variable t en esta ecuación procedes de la manera siguiente:
► Transpones el dos para el miembro izquierdo multiplicando: 2s = gt2
► Transpones g al otro miembro dividiendo: t2 =
► Extraes la raíz cuadrada de t: t =
2s
g
2s
.
g
b) V = 1 πr 2, despeja r.
3
Para despejar el radio procedes de la manera siguiente:
► Transpones el tres para el miembro izquierdo multiplicando: 3V = πr2
325
MATEMÁTICA
► Transpones la constante π al otro miembro dividiendo: r2 =
► Extraes la raíz cuadrada de r:
r=
3V
.
π
3V .
π
c) A = πR2 - πr2, despeja r
Como habrás notado esta es la ecuación para hallar el área de un anillo o
corona circular, en las que en ocasiones necesitas hallar uno de los radios
de las circunferencias que lo limitan.
► Transpones el término - πr2 para el miembro izquierdo con operación
inversa, para que ese término te quede positivo y para el miembro derecho transpones A también con la operación inversa:
πr2 = πR2 - A
► Transpones la constante π para el miembro derecho dividiendo a todo el
2
miembro: r2 = R A
R2 A
► Extraes la raíz cuadrada de la expresión obtenida: r =
.
► Otra vía de realizar el despeje de r en la ecuación A = πR2 - πr2 puede ser
la siguiente:
► Extraes factor común π en el miembro derecho: A = π(R2 - r2)
► Transpones π dividiendo para el miembro izquierdo: A = R2 - r2
π
► Transpones para el miembro izquierdo a R2 con operación inversa:
A - R2 = - r2 , también puedes transponer A para el miembro derecho
π
π
A
y - r2 para el miembro izquierdo: r2 = R2 π
Si escoges la primera posibilidad debes multiplicar por -1 los dos miembros
para que r2 sea positiva. A - R2 = - r2 · 1
π
A
2
2
y quedaría - + R = r que es igual a r2 = R2 - A
π
π
A
► Extraes la raíz cuadrada de la expresión obtenida: r = R2 .
Ejercicios
1.
Despeja en cada inciso las variables que se indican:
a) A = πr2 (r)
326
b) A = 4πr2 (r)
c) V = πr2h (r;h)
CAPÍTULO 4
d) c2 = a2 + b2 (c;a)
2.
e) Ec = 1mv2 (v)
2
f) Q = I2R∆t (I)
Despeja en cada inciso la variable que se indica y calcula su valor para
los datos dados:
a) V = 1a2h (a) si V = 800 ; h = 6
3
b) A = 2πr2 + AL (r) si A = 36,28 ; AL = 30
2
c) A = d (d) si A = 32
2
4.4.3 Problemas que conducen a la resolución
de ecuaciones cuadráticas
¿Sabías que…?
Las ecuaciones cuadráticas tienen gran uso en la vida cotidiana para la resolución de diversos problemas (figura 4.18).
Fig. 4.18
En el campo laboral tienen utilidad:
► En Química, para describir la variación en la concentración de reactantes
respecto a la concentración de productos en un determinado tiempo.
► En Física, para el movimiento parabólico.
327
MATEMÁTICA
► En el ámbito militar lo usan en artillería de cañones, para hallar las trayec-
torias de las balas.
► En economía usan las ecuaciones cuadráticas para representar modelos eco-
nómicos de oferta y demanda, para producir gráficas; este tipo de modelo se
asemeja más a la realidad en comparación al modelo que usa las ecuaciones
de primer grado.
Además, ayudan a los economistas para tener una orientación de la situación
económica de un mercado.
Desde grados anteriores has utilizado las variables y realizado traducciones del lenguaje común al algebraico que te han permitido resolver distintos
problemas de la Matemática y la vida en general, que conducen a ecuaciones
lineales o a sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Igualmente,
has traducido del lenguaje algebraico al común.
En este tema has notado que también existen problemas que se resuelven
por medio del planteo de ecuaciones cuadráticas, por lo que es importante
saber traducir al lenguaje algebraico situaciones en las que las variables utilizadas aparecen con exponente dos.
Ejemplo 1
Escribe en el lenguaje algebraico las situaciones prácticas siguientes,
señala en cada caso el significado de la variable utilizada:
a) El cuadrado de un número disminuido en 4.
Si designas la variable x como el número, entonces la traducción al lenguaje
algebraico es x2 - 4.
b) El cuadrado del triplo de la edad de Juan.
Si designas la variable e como la edad de Juan, entonces la traducción al
lenguaje algebraico es (3x)2.
c) La mitad del área de una plancha de zinc cuadrada.
Si designas la variable a como la longitud del lado de la plancha cuadrada,
2
entonces la traducción al lenguaje algebraico es a o 1 a2.
2 2
d) La suma de los cuadrados de dos números.
Si designas a las variables a y b como los números, entonces la traducción
al lenguaje algebraico es a2 + b2.
e) El cuadrado de la suma de dos números.
328
CAPÍTULO 4
Si designas a las variables a y b como los números, entonces la traducción
al lenguaje algebraico es (a + b)2.
f) El cuadrado de la diferencia del precio que tenía un artículo y el rebajado
en un 50 % es igual a $ 100,00.
Si designas a la variable p como el precio anterior del artículo, entonces la
2
p
traducción al lenguaje algebraico es p = 100.
2
Ejemplo 2
Traduce al lenguaje común las expresiones algebraicas siguientes:
a) m2 - n2
Puedes traducir esta situación de varias formas. Observa algunas de estas:
► La diferencia de los cuadrados de dos números en la que la variable m es
un número y la variable n el otro número.
► La diferencia de las áreas de dos cuadrados de lados m y n respecti
vamente. Las variables m y n representan las longitudes de los lados de
dos cuadrados.
b) a · b - 6
► El área de un rectángulo disminuida en 6. Las variables a y b son las longitudes de los lados del rectángulo.
► El producto de las edades de dos personas disminuido en seis. Las variables
a y b representan las edades de las dos personas.
► La cantidad de dinero que se debe pagar por el alquiler de un ómnibus
disminuida en 6 pesos. La variable a representa la cantidad de personas
y la variable b, la cantidad de dinero que se va a pagar por cada una.
c) (a + b + c)2
► El cuadrado de la suma de tres números. Las variables a, b y c representan
los tres números.
► El cuadrado del perímetro de un triángulo a, b y c representan las longitudes de sus lados.
Realizar correctamente la traducción del lenguaje común al lenguaje algebraico en el que aparecen variables elevadas al exponente dos, te permitirá
interpretar correctamente las situaciones que aparecen en los problemas que
resolverás en este tema.
También, es necesario seguir los pasos propuestos para resolver problemas
sobre ecuaciones lineales y sistemas de dos ecuaciones con dos variables.
329
MATEMÁTICA
Procedimiento para resolver problemas:
1. Leer el texto detenidamente.
2. Determinar el significado de la variable que se va a utilizar.
3. Traducir al lenguaje algebraico las relaciones que se plantean en el texto.
4. Plantear la ecuación que se corresponde con el texto.
5. Resolver la ecuación planteada.
6. Comprobar que las soluciones de la ecuación satisfacen las condiciones que
aparecen en el texto del problema.
7. Redactar la respuesta a la pregunta del problema.
Ejemplo 3
En un triángulo rectángulo de hipotenusa igual 10 dm, la longitud de un
cateto excede en 2,0 dm a la longitud del otro. Calcula el área del triángulo.
Solución:
El problema trata sobre las longitudes de los lados de un triángulo rec
tángulo y se pide calcular su área. La ecuación para calcular el área de un
triángulo es, como ya conoces, A = b ⋅ h , donde la base y la altura serán las
2
longitudes de los catetos, ya que son perpendiculares entre sí. De la relación
que se te brinda sobre las longitudes de sus catetos, puedes designar x a la
longitud del cateto menor y (x + 2), la del cateto mayor. Para plantear la ecuación
que permite modelar este problema, debes recordar qué teorema estudiado
ya relaciona las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo, cuya respuesta es el teorema de Pitágoras. Precisamente la ecuación que se va a
plantear está relacionada a dicho teorema, o sea, a2 + b2 = c2.
Longitud del cateto menor: x
Longitud del cateto mayor: x + 2
Longitud de la hipotenusa: 10 dm
x2 + (x + 2)2 = 102
(por el teorema de Pitágoras)
x2 + x2 + 4x + 4 = 100
(efectúas el cuadrado del binomio)
2x + 4x + 4 - 100 = 0
(transpones al miembro izquierdo 100)
2x + 4x - 96 = 0
(divides la ecuación por dos)
2
2
:2
x + 2x - 48 = 0
(factorizas el trinomio)
(x + 8)(x - 6) = 0
(igualas cada factor a cero)
x+8=0 o x-6=0
(despejas x)
2
x1 = - 8 o x2 = 6
330
CAPÍTULO 4
Los números - 8 y 6 son soluciones de la ecuación cuadrática resuelta, pero
en nuestro problema, x es la longitud del cateto de un triángulo por lo que no
puede tomar valor negativo.
Luego, la longitud del cateto menor es 6 dm y la del mayor, 6 + 2 = 8 dm.
Para comprobar si la solución es correcta, verificas en el texto del problema. La diferencia entre las longitudes de ambos catetos es de 2 dm y
62 + 82 = 36 + 64 = 100, que es el cuadrado de la longitud de la hipotenusa.
Ahora procedes a calcular el área pedida: A = b ⋅ h = 6 ⋅ 8 = 48 = 24 dm2.
2
2
2
Respuesta:
El área del triángulo es de 24 dm2.
Ejemplo 4
Cada graduado de un grupo de noveno grado escribe la dirección de los
demás compañeros del aula. Si en total se copian 600 direcciones, ¿cuántos
estudiantes hay en el grupo?
Solución:
En este problema desconoces la cantidad de estudiantes del grupo, pero
se te brinda la cantidad de direcciones copiadas. Si declaras n el número de
estudiantes del grupo, cada estudiante copiará (n - 1) direcciones, o sea, una
dirección menos, la suya. Como en total se copiaron 600 direcciones, debes
plantear la siguiente ecuación n(n - 1) = 600.
Cantidad de estudiantes en el grupo: n
Cantidad de direcciones que copia cada estudiante: n - 1
Total de direcciones copiadas: 600
n(n - 1) = 600.
n - n - 600 = 0
(efectúas el producto e igualas a cero la ecuación)
(n + 24)(n - 25) = 0 (factorizas el trinomio)
n + 24 = 0 o n - 25 = 0 (igualas cada factor a cero)
2
n1 = - 24 o n2 = 25
(despejas x)
Los números - 24 y 25 son soluciones de la ecuación cuadrática resuelta,
pero en nuestro problema, n es la cantidad de estudiantes del grupo por lo
que no puede tomar valor negativo.
Luego, hay 25 estudiantes y la cantidad de direcciones copiadas será 24
Comprobando en el texto del problema 24 · 25 = 600.
Respuesta:
En el grupo hay 25 estudiantes.
331
MATEMÁTICA
Ejemplo 5
Una maquinaria produce piezas de repuesto para equipos electrónicos.
Los datos representados en la tabla corresponden a magnitudes directamente proporcionales. ¿En qué tiempo se producirán seis piezas?
Tiempo (h)
2
x
Total de piezas
x–1
6
Solución:
A partir de la tabla se observa que la variable x representa la cantidad de
horas necesarias para producir seis piezas y nos dicen que los datos se corresponden con una proporcionalidad directa, luego, la ecuación que permite
modelar el problema se obtiene de la formación de una proporción.
Cantidad de horas para producir seis piezas: x
Cantidad de piezas producidas en dos horas: x - 1
2
x
(planteas la proporción)
x 1 6
x(x - 1) = 12
(aplicas la propiedad fundamental de las proporciones)
2
x - x - 12 = 0
(efectúas el producto e igualas a cero la ecuación)
(x - 4)(x + 3) = 0
(factorizas el trinomio obtenido)
x-4=0 o x+3=0
(igualas a cero cada factor)
x1 = 4 o x2 = - 3
(despejas x)
Los números menos tres y cuatro son soluciones de la ecuación cuadrática
resuelta, pero en nuestro problema, x es la cantidad de horas por lo que no
puede tomar valor negativo.
Luego, x es igual a cuatro y la respuesta a nuestro problema será:
Respuesta:
Se producirán seis piezas en cuatro horas.
Ejemplo 6
Lena preguntó a Jorgito cuántos años tenía su papá y este le dijo:
mi papá tiene el décuplo de años
que yo y dentro de cinco años su
edad será igual al cuadrado de la
mía. Lena rápidamente le respondió: eso es imposible. ¿Cuál de los
dos tiene la razón? (figura 4.19)
332
Fig. 4.19
CAPÍTULO 4
Solución:
En este problema es necesario hallar la edad del padre de Jorgito y se te
ofrece la relación entre las edades de Jorgito y su papá. Sin embargo, existen
dos relaciones entre sus edades, la actual y dentro de cinco años. En este tipo
de problemas es conveniente para tu mayor comprensión escribir los datos en
forma de tabla.
Edad actual de Jorgito: x
Edad de Jorgito dentro de cinco años: x + 5
Edad actual de su papá: 10x
Edad de su papá dentro de cinco años: 10x + 5
Para escribir la ecuación que permite modelar este problema tomas la
segunda relación que te brinda el texto, o sea, dentro de cinco años su edad
será igual al cuadrado de la mía.
10x + 5 = (x + 5)2
10x + 5 = x2 + 10x + 25
(efectúas el cuadrado del binomio)
x2 + 10x + 25 - 10x - 5 = 0
(igualas a cero la ecuación)
x + 20 = 0
(reduces los términos semejantes)
2
Como la ecuación obtenida es de la forma ax2 + c = 0, puedes resolverla
aplicando el despeje, el discriminante o por reflexión lógica como se muestra
a continuación:
Despeje
x2 + 20 = 0
x2 = - 20
x = -20
La ecuación no tiene
solución, ya que en el
conjunto de los números reales no se puede
extraer la raíz cuadrada
de números negativos.
Discriminante
x2 + 20 = 0
(a = 1; b = 0 y c = 20)
D = b2 - 4ac
D = 02 - 4 · 1 · 20
D = 0 - 80 = - 80 < 0
Como D < 0, la ecuación no tiene solución.
Reflexión lógica
x2 + 20 = 0
Cualquier valor que
tome x, al elevarlo al
cuadro es una cantidad
no negativa y al adicionarle 20, será siempre
una cantidad positiva.
Ningún valor de x satisface dicha ecuación.
Respuesta:
La razón la tiene Lena.
Ejemplo 7
Un campesino tiene un pequeño terreno rectangular que tiene el doble
de largo que de ancho. Para aumentar su producción, la cooperativa, a la que
333
MATEMÁTICA
suministra su cosecha, le dio la posibilidad
de duplicar su superficie aumentando el
largo de su terreno en 40 m y el ancho
en 6,0 m. ¿Cuáles serán las dimensiones
del nuevo terreno? (figura 4.20)
Solución:
En este problema conoces la relación entre las dimensiones del terreno
Fig. 4.20
original, lo que te permite declarar la
variable x como la longitud del ancho y
2x la del largo. La otra relación que se establece entre las nuevas dimensiones
te permite escribir la ecuación que modela el problema.
Aquí también puedes escribir los datos en forma de tabla:
Dimensiones
del terreno original
Dimensiones
del nuevo terreno
Ancho del terreno: x
Largo del terreno: 2x
Área: x · 2x = 2x2
Ancho: x + 6
Largo: 2x + 40
Área: (x + 6)(2x + 40)
En el problema está la palabra clave duplica, lo que significa que el nuevo terreno tiene el doble del área que el anterior. Esto te permite escribir la
ecuación siguiente: (2x + 40)(x + 6) = 2(2x2)
2x2 + 12x + 40x + 240 = 4x2
2x + 12x + 40x + 240 - 4x = 0
2
2
- 2x2 + 52x + 240 = 0
(efectúas los productos indicados)
(transpones 4x2 al otro miembro)
| :2
(reduces los términos semejantes)
x - 26x - 120 = 0
(dividiendo ambos miembros por menos dos)
(x - 30)(x + 4) = 0
(factorizas el trinomio obtenido)
2
x - 30 = 0 o x + 4 = 0
x1 = 30 o x2 = - 4
(igualas a cero cada factor)
(despejas x)
La segunda solución (x = - 4) no satisface las condiciones del problema,
porque las dimensiones del rectángulo no pueden ser negativas.
Luego, el ancho del terreno original es de 30 m y el largo, 2 · 30 m = 60 m.
Las dimensiones del nuevo terreno son:
30 m + 6 m = 36 m y 2 · 30 m + 40 m = 100 m.
334
CAPÍTULO 4
Antes de escribir la respuesta compruebas en el texto del problema:
Área del terreno original: 30 m · 60 m = 1 800 m2.
Área del terreno nuevo: 36 m · 100 m = 3 600 m2.
Como puedes apreciar el área del nuevo terreno es el doble de la otra.
Respuesta:
Las dimensiones del nuevo terreno son 36 m de ancho y 100 m de largo.
Ejemplo 8
Rosa confeccionó un mantel rectangular para colocar en el centro de su mesa
de 4,0 dm x 5,0 dm. Ahora desea agregar un borde de igual ancho por todo
el alrededor del mantel. Si dispone de 10 dm2 de tela para colocar por todo el
borde, ¿qué tan ancho debe hacer el borde para utilizar toda la tela?
Solución:
Esquema 4.2
Haces una figura de análisis del problema (es5 + 2x
quema 4.2)
x
x
Como no conocemos el ancho del borde, le x
x
asignamos la variable x.
Como cada lado del mantel de 4 x 5 original
4m
4 + 2x
tiene un borde de ancho x añadido, la longitud del
x
5m
x
mantel con el borde será de (5 + 2x), y de (4 + 2x).
x
x
Solo estás interesado en el área de las tiras del
borde. Hay que escribir una expresión para el área del borde.
Área del borde = A(rectángulo exterior) - A(rectángulo interior)
► sustituyes por la expresión correspondiente a cada área del rectángulo:
►
10 = (4 + 2x)(5 + 2x) - 4 · 5
► efectúas los productos indicados: 10 = 20 + 8x + 10x + 4x2 - 20
► igualas a cero y formas la ecuación cuadrática: 4x2 + 18x - 10 = 0
► divides la ecuación por dos: 2x2 + 9x - 5 = 0
► factorizas el trinomio: (2x - 1)(x + 5) = 0
► igualas a cero cada factor y despejas la x: x1 = 0,5 o x2 = - 5.
Como el ancho no puede ser una cantidad negativa, la respuesta será 0,5 m.
Respuesta:
El ancho del borde debe ser de medio metro para utilizar toda la tela.
Como habrás podido apreciar en los problemas que conducen a ecuaciones cuadráticas, generalmente, hay una información que te permite hacer la
335
MATEMÁTICA
declaración de la variable y otra, escribir la ecuación que modela el problema.
Para escribir la ecuación tomas la que esté relacionada con la palabra clave
cuadrado o en la que se plantea el producto de dos cantidades.
✅
Recuerda que…
Para resolver un problema que conduce a una ecuación cuadrática debes:
1. Leer cuidadosamente el problema para comprender la situación que se
plantea.
2. Identificar en el texto del problema cuál de las informaciones brindadas te
permiten declarar la variable y cuál escribir la ecuación cuadrática.
3. Determinar los datos y la incógnita.
4. En caso de que exista una sola incógnita identifícarla con una letra, por
ejemplo x. En caso que existan más de una, eligir de manera conveniente
la que se va a representar mediante x y expresar las otras cantidades desconocidas en términos de la misma variable.
5. Escribir la ecuación que permite modelar el problema.
6. Resolver la ecuación planteada.
7. Comprobar la solución en el texto del problema. Esta comprobación puede
ser oral.
8. Verificar, leyendo la pregunta del problema, si los valores hallados de la
incógnita son ya la respuesta o debes realizar otros cálculos.
9. Escribes la respuesta literal del problema.
Ejercicios
1. Marca con una X la respuesta correcta.
a) El enunciado: el cuadrado de la suma de dos números a y b es igual al
doble de la diferencia de los cuadrados de esos números, se expresa:
___ a2 + b2 = 2a2 - b2
___ a2 + b2 = 2(a - b)2
___ a2 + b2 = 2(a2 - b2)
___ (a + b)2 = 2(a2 - b2)
b) La expresión (3x)2 se lee:
___ El triplo del cuadrado de un número
___ El cuadrado del triplo de un número
___ El cuadrado de la tercera parte de un número
___ El doble del triplo de un número
c) El doble de un número n más su cuadrado se expresa por:
___ 2n2
336
___ 2n3
___ n2(n + 1)
___ 3n
___ n(2 + n)
CAPÍTULO 4
d) El 50 % del cuadrado de un número se expresa como:
___ 50x2
2.
2
___ x
50
2
x
___
2
2
___ x
2
Traduce al lenguaje común:
a) 3 x 2
5
b) n2 - 5
c) 2(a2 + b2)
d)
p2
q2
e) y2 - 4y
2
f) (r + 1)
5
3.
El cuadrado de un número entero menos el doble del número es igual
a tres. Halla el número.
4.
Si se añade 25 al cuadrado de cierto número, la suma es igual a 169.
¿Cuál es el número?
5.
El producto de un número disminuido en cinco por el número aumentado
en cinco es 75. Halla el número.
6.
Un número positivo es el 60 % de otro y el producto de ambos números
es 2 160. Halla los números.
7.
La diferencia de dos números naturales es 7 y su suma multiplicada por
el número menor es igual a 184. Halla los números.
8.
Halla un número de dos dígitos en que la cifra de las decenas sea igual
al cuadrado de la cifra de las unidades y la suma de los dígitos sea 12.
9.
Los dígitos de un número de tres cifras son números naturales consecutivos y la suma de sus cuadrados es igual a 50. ¿Cuántos números cumplen
la condición planteada?
10. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 25 cm. Un cateto es 5,0
cm más largo que el otro. Halla el área del triángulo.
11. La base mayor de un trapecio mide 50 cm, la base menor es igual a la
altura, y el área es de 1 200 cm2. ¿Cuánto mide la base menor?
12. ¿En cuánto ha de ampliarse un cuadrado de 5,0 cm de lado para que el
área del nuevo cuadrado sea de 64 cm2?
13. Una cuerda de una circunferencia está a 6,0 cm de distancia del centro
esta. Dicha cuerda es 6,0 cm más larga que el radio de la circunferencia.
Calcula el radio de la circunferencia.
337
MATEMÁTICA
14. El área de una lámina de acero de forma rectangular es de 48 cm2 y su
largo es
3
de su ancho. Halla el perímetro de la lámina.
4
15. Una caja tiene forma de ortoedro y volumen de 1 500 dm3. Su altura
es de 5,0 dm y su largo es 5,0 dm mayor que su ancho. ¿Cuáles son sus
dimensiones?
16. Un jardín de forma rectangular tiene 2 700 m2 de superficie y un perímetro de 210 m. ¿Cuáles son sus dimensiones?
17. Un jardín cuadrado tiene otro cuadrado interior plantado de césped de
forma que los vértices del interior coinciden con los puntos medios de
los lados del jardín. Si el cuadrado sembrado tiene un área de 8,0 m2,
calcula la longitud del lado del jardín.
18. A un cuadro rectangular de 1,50 m de largo por 90 cm de ancho se le
pone un marco de ancho constante. Si el área total del cuadro y el marco
es de 1,6 m2, ¿cuál es el ancho del marco?
19. Por cada metro cuadrado de fachada se ha gastado un kilogramo de
pintura. Si la altura de la fachada tiene 2,0 m menos que la longitud de
la base y se han utilizado 24 kg de pintura, ¿cuáles son las dimensiones
de la fachada?
20. Tres segmentos miden, respectivamente, 8,0 cm; 10 cm y 1,0 cm. Si
añadimos a cada segmento la misma longitud, puedes formar con los
segmentos resultantes un triángulo rectángulo. Halla la longitud añadida.
21. En un torneo de ajedrez cada Gran Maestro juega una vez con cada uno
de los restantes. Si en total se juegan 45 partidas, ¿cuántos jugadores
toman parte en el torneo?
22. A una reunión asistieron varias personas, las que se saludaron al entrar
estrechándose las manos. Uno de los asistentes contó 190 estrechones
de mano. ¿Cuántas personas asistieron a la reunión?
4.5 Repaso sobre la función lineal
En octavo grado aprendiste el concepto de función y comenzaste el
estudio de las funciones, con las lineales, que se definen por ecuaciones
338
CAPÍTULO 4
del tipo y = mx + n con m y n números reales, así como sus propiedades y
representación gráfica.
En este epígrafe repasarás estos conocimientos, que te servirán para iniciar
el estudio de otra nueva función.
Recuerda la definición de función
Una función es una correspondencia que a cada elemento de un conjunto A
asocia un único elemento de un conjunto B.
✀
Aplica tus conocimientos
Determina cuáles de las correspondencias siguientes son funciones y cuáles no.
Fundamenta tu respuesta.
A
B
a) La correspondencia definida de ℜ en ℜ que
a cada número real x asocia su tercera parte
1
0
disminuida en dos.
3
8
b) La correspondencia definida de N en N que
–1
–2
a cada número natural asocia su mitad dismi12
–2
nuida en 1.
c) Ver la figura 4.21
d)
x
y
- 2,5 - 1
-5 -3
0
2
3 4,3 10
6 8,2 15
Fig. 4.21
y
e) Ver figura 4.22
Solución:
a) Esta correspondencia se puede representar
x
como: x → x - 2
0
3
Sí es función, ya que la división y la sustracción de números reales tienen un resultado
único.
Fig. 4.22
b) Esta correspondencia se puede representar
x
como: x → - 1
2
No es función, ya que la correspondencia es de N en N y si asignamos a
x valores naturales impares, al hallar su mitad y sustraerle uno, se obtiene
una expresión decimal, que no representa un número natural.
c) No es función, ya que al elemento 12, del conjunto de partida A, le corres
ponden dos elementos (- 2 y - 2,5) del conjunto de llegada B.
d) Sí es función, ya que a cada elemento x se le asocia un único elemento y.
e) Sí es función, porque al trazar por cada valor de x rectas paralelas al eje y,
estas cortan a la gráfica en un único punto.
339
MATEMÁTICA
Observa la figura 4.23 de análisis para algunos
valores de x:
4–y
3–
2–
1–
–
0
–1–
1
2
3
4
5
6
x
–2–
Fig. 4.23
Recuerda la definición de función lineal
La función que a cada x ∈ ℜ le hace corresponder el número real f x mx n,
donde m y n son números reales dados, se denomina función lineal.
✀
Aplica tus conocimientos
Dada las funciones lineales f, g y h, definidas en el conjunto de los números
reales, por sus ecuaciones: f(x) = 2x - 4; g(x) = - x + 1 y h(x) = 3.
a) Represéntalas gráficamente, figura 4.24
y
y
f
0
–4
2
y
g
x
h
3
1
0 1
x
0
x
Fig. 4.24
b) Escribe sus propiedades.
1
c) Calcula f(1) + 2g - h(10).
2
d) Verifica si el punto H(- 2,5;3,5) pertenece a la representación gráfica de g.
e) Escribe la ecuación de una función lineal t, cuya gráfica pasa por los puntos
H(- 2,5;3,5) y T(- 2;0).
Solución:
a) Para representar gráficamente una función lineal le das valores del dominio
a la variable independiente (x) y calculas sus correspondientes valores de
340
CAPÍTULO 4
la imagen (y), recuerda que este procedimiento se llama ploteo. Luego,
representas los puntos (x;y) obtenidos y se traza la recta que los une.
Como la gráfica de una función lineal es una recta, recuerda que basta con
dos puntos para representarla y, por comodidad, se toman los puntos de
intersección con los ejes de coordenadas, o sea, el cero de la función y el
valor de n.
► cero: valor de x0 en el par (x0;0). Para hallarlo, se sustituye en la ecuación
la y por cero y se despeja la x.
f: y = 2x - 4
g: y = - x + 1
h: y = 3
0 = 2x - 4
0=-x+1
0≠3
2x = 4
x0 = 1
no tiene cero
x0 = 2.
► Intersección con y: par (0;y), donde la y coincide con el valor de n de
la ecuación.
► f: y = 2x - 4
g: y = - x + 1
h: y = 3
n=-4
n=1
n=3
Ubicas sobre el eje x el cero y sobre el eje y, el valor de n; luego unes los
puntos mediante la recta.
b) Propiedades
f(x) = 2x - 4
g(x) = - x + 1
Dominio: x ∈ ℜ
Dominio: x ∈ ℜ
Imagen: y ∈ ℜ
Imagen: y ∈ ℜ
Cero: x0 = 2
Cero: x0 = 1
Monotonía: la función Monotonía: la función es
es monótona creciente monótona decreciente
c) ► Calculas cada valor por separado:
h(x) = 3.
Dominio: x ∈ ℜ
Imagen: y = 3
Cero: no tiene
Monotonía: La función
es constante
1
1
g = - + 1 = 1 + 1 = 1,5
2
2
2
► Sustituyes cada valor numérico en la expresión:
- 2 + 2 · 1,5 - 3
f(1) = 2 · 1 - 4 = - 2
h(10) = 3
► Efectúas las operaciones indicadas:
-5+3=-2
► Escribes la respuesta: - 2
d) Para verificar si el punto H(- 2,5;3,5) pertenece a la representación gráfica
de g:
► Sustituyes la abscisa del punto en la ecuación: y = - (- 2,5) + 1
► Hallas el opuesto de - 2,5: y = 2,5 + 1
► Calculas la suma: y = 3,5
► Comparas el resultado con la ordenada del punto: 3,5 = 3,5
341
MATEMÁTICA
► Concluyes: el punto sí pertenece a la gráfica de la función.
e) Conoces dos puntos de la gráfica H (- 2,5;3,5) y T(- 2;0), pero no tienes el
valor de la pendiente, ni el de n; por lo que es necesario primero hallar m.
y - y1
► Escribes la ecuación: m = 2
x 2 - x1
0 - 3, 5
► Sustituyes las coordenadas de los puntos: m =
-2 - ( -2, 5)
► Efectúas las operaciones indicadas: m = 3, 5 3, 5 7
2 2, 5 0,5
►m=-7
Para hallar n:
► Sustituyes el valor hallado de m y las coordenadas de cualquiera de los
puntos H o T en la ecuación:
y = mx + n ; m = - 7 y T(- 2;0)
0 = (- 7) · (- 2) + n
► Efectúas el producto: 0 = 14 + n
► Despejas n:
n = - 14
Ya puedes escribir la ecuación de la función t: t(x) = - 7x - 14
Como recordarás, distintos procesos y fenómenos que ocurren a nuestro
alrededor se pueden modelar mediante el gráfico de funciones lineales. Algunos de estos mediante una semirrecta y otros por varios tramos, ya que no
mantienen un comportamiento estable todo el tiempo.
✄
Investiga y aprende
La gráfica (figura 4.25) muestra cómo
varía la temperatura de una sustancia
durante cierto tiempo, a partir de las
11:58 a.m.
1. Completa los espacios en blanco:
a) La temperatura inicial de la sustancia fue de _______.
b) La temperatura máxima que
alcanzó la sustancia fue ______.
c) La sustancia se estuvo enfriando
durante ________ minutos.
342
T(ºC)
60
50
40
30
20
10
0
2
4
6
8
Fig. 4.25
10 t(min)
CAPÍTULO 4
2. Marca con una X la respuesta correcta.
a) La temperatura estuvo ascendiendo durante:
___ 2 h
___ 120 s ___ 60 min
b) La temperatura no varió durante:
___ 8 min y medio ___ 9 min
___ 3 min
c) La ecuación que describe la variación de la temperatura durante los
primeros 2 min es:
___ T = 10t + 60 ___ T = 2t + 10 ___ T = 25t + 10 ___ T = - 25t + 10
d) La sustancia alcanzó la temperatura máxima a las:
___ 1:58 p.m.
___ 12 m
___ 12 p.m.
___ 2:00 p.m.
3. ¿Qué temperatura tenía la sustancia a los cuatro minutos de iniciado el
proceso representado?
Solución:
1. a) 10 ºC (la gráfica parte de 10 en el eje horizontal).
b) 60 ºC (el valor más alto alcanzado por la gráfica en el eje vertical es 60).
c) 4 min (la sustancia se enfría cuando la temperatura desciende, lo que
se corresponde con el segundo tramo, que va de los 2 minutos hasta
los 6 min)
2. a) 120 s (2 min = 120 s)
b) 3 min (la temperatura no varía cuando el tramo es paralelo al eje horizontal. Esto ocurre de 6 min a 9 min, o sea 3 min)
c) T = 25t + 10 (calculas m con los puntos (0;10) y (2;60) por sustitución o
por la fórmula:
Primera vía: y = mt + 10 60 = 2m + 10 m = 25
Segunda vía: m = 60 10 50 25
2 0
2
Otra vía de solución puede ser:
► La n = 10, queda descartada la primera opción.
►
La gráfica asciende, luego m > 0, queda descartada la cuarta opción.
►
Tomas el punto (2;60) y lo sustituyes en las dos ecuaciones restantes.
T = 2t + 10
T = 25t + 10
60 = 2 · 2 + 10
60 = 25 · 2 + 10
60 ≠ 14
60 = 60 se cumple.
d) 12 m (la máxima temperatura se alcanza a los dos minutos de iniciado
el proceso y la hora de comienzo es las 11:58 a.m., por lo que adicionas
dos minutos al 58)
343
MATEMÁTICA
3. Para hallar la temperatura a los cuatro minutos, es necesario escribir la ecuación que describe la variación de temperatura en el tramo entre los dos y los
seis minutos, ya que no se puede dar la respuesta a partir de la gráfica dada.
► Extraes los puntos (2;60) y (6;40) que pertenecen a dicho tramo.
► Como no conoces la pendiente, debes hallarla utilizando la fórmula:
y 2 - y 1 40 60 20
=
5
x 2 - x1
6 2
4
► Compruebas el resultado obtenido comparando el signo de la pendiente
y la posición del tramo, o sea, el tramo se inclina hacia abajo por lo que
la pendiente tiene que ser negativa como ocurrió.
m=
► Hallas la n sustituyendo un punto cualquiera y la m hallada en la ecuación:
y = mx + n
60 = (- 5) ⋅ 2 + n
60 = - 10 + n
n = 70.
► Escribes la ecuación: T = - 5t + 70.
► Sustituyes t = 4 en la ecuación y calculas: T = (- 5) ⋅ 4 + 70
T = - 20 + 70 = 50
► Compruebas que el resultado es lógico, o sea, la temperatura es menor
que 60 ºC lo que se corresponde con la gráfica.
Respuesta:
A los cuatro minutos la temperatura de la sustancia fue de 50 ºC.
Ejercicios
1.
Determina cuáles de las correspondencias siguientes entre los conjuntos A y B (figura 4.26) son funciones y cuáles no. Fundamenta tu
respuesta.
a)
A
B
a•
b•
c•
d•
e•
•1
•2
•3
•4
b)
A
B
a•
b•
c•
d•
e•
•1
•2
•3
•4
Fig. 4.26
344
c)
A
B
a•
b•
c•
d•
e•
•1
•2
•3
•4
CAPÍTULO 4
2.
Determina cuáles de las correspondencias siguientes son funciones y
cuáles no. Fundamenta tu respuesta.
a) La correspondencia definida de R en R que a cada número real asocia
su valor absoluto disminuido en dos.
b) La correspondencia definida de Z en Z que a cada número entero
asocia su cuarta parte.
c) La correspondencia definida de Q en Q que a cada número racional
asocia su raíz cuadrada.
d) La correspondencia definida de R en R que a cada número real asocia
la expresión x2 - 2x + 3.
3.
Representa gráficamente las funciones lineales siguientes y escribe sus
propiedades.
a) y = x
f) y = 1x + 2
2
4.
b) y = - x
c) y = 2x
g) y = - 3x - 3 h) y = 4 - 2x
d) y = x - 4 e) y = - x + 6
i) y = 6
Determina la ecuación de la función lineal si:
a) m = - 1 y su gráfica pasa por el punto P(0;6).
1
b) n = 2 y su gráfica pasa por el punto M 1; .
3
3
c) su gráfica pasa por los puntos A(2;- 2) y B(5;- 5).
4.1 Calcula el cero de cada una.
4.2 Determina su monotonía.
5.
Dada la función lineal de ecuación f(x) = 2x - 8 , con - 1 ≤ x ≤ 5.
a) Calcula su cero.
b) Represéntala gráficamente.
c) Determina el conjunto imagen.
d) Di su monotonía.
e) Calcula f(0,5).
f) Verifica si el par (- 1,5;- 11) pertenece a
la función f.
6.
La figura 4.27, muestra la representación
gráfica de las funciones lineales f, g y h.
4
3
2
1
y
f
–2 –1 0 1 2 3 g4 5 6
–1
h
–2
–3
–4
x
Fig. 4.27
345
MATEMÁTICA
a) Escribe la ecuación de cada una.
b) Escribe su monotonía.
c) Halla el cero de la función g.
7.
La gráfica siguiente muestra la relación entre la distancia (d) recorrida por un ciclista
con movimiento uniforme y el tiempo (t)
(figura 4.28).
d (m)
40
20
a) Escribe la ecuación que describe la relación distancia-tiempo.
0
b) ¿Qué distancia había recorrido el ciclista
al cabo de 10 s?
1
2
3
4
t (s)
Fig. 4.28
c) ¿Qué tiempo demorará en recorrer 120 m?
8.
La figura 4.29 ilustra la relación entre
el peso (P) de un recipiente que vacío
pesa 3 kg y la cantidad de agua (C) en
litros que contiene.
a) Escribe la ecuación que describe la relación representada.
b) ¿Qué cantidad de agua contiene el recipiente cuando su peso es de 20 kg?
P (kg)
6
3
0
1
2
3
Fig. 4.29
4 C (L)
c) Si el recipiente contiene litro y medio de agua, ¿cuál es su peso?
9.
346
La figura 4.30 muestra la altura a la que se h (m)
encuentra el agua en una piscina en fun5
ción del tiempo, a partir de las 8:00 a.m. y
3
hasta llenarse completamente.
9.1 Completa los espacios en blanco.
1
a) La altura inicial del agua en la pis0
cina era _____.
1 2
3 4 t (h)
b) El agua alcanzó los 3 m al cabo de
Fig. 4.30
los ____ minutos.
9.2 Marca con una X la respuesta correcta:
a) La ecuación que describe la variación de la altura del agua en la
piscina durante la primera hora es:
CAPÍTULO 4
___ h = t
___ h = 2t
___ h = 2t + 1
___ h = t + 1
b) La altura del agua no varió durante:
___ 1 min
___ 2 h
___ 60 s
___ 1 h
9.3 ¿Qué altura alcanzó el agua a las 11:00 a.m.?
9.4 ¿En cuál de los tramos, primero o tercero, el agua subió más rápidamente? Fundamenta tu respuesta.
9.5 ¿A qué hora se llenó completamente la piscina?
10. Dos recipientes A y B, de igual capacidad, se llenan por llaves que
vierten diferente cantidad de agua
por minuto. La gráfica (figura 4.31)
muestra la cantidad de agua que
contiene cada recipiente hasta llenarse completamente.
C (L)
50
A
B
15
0
C: cantidad de agua en litros.
2
t: tiempo en minutos.
10 t (min)
Fig. 4.31
a) Marca con una X la respuesta correcta.
La ecuación de la función que describe el proceso de llenado del
recipiente A es:
___ C = 7,5t
___ C = 2 t
___ C = t
___ C = 35 t
15
2
b) ¿Qué llave vierte mayor cantidad de litros por minuto? Fundamenta.
c) Si el proceso comenzó a las 11:30 a.m., ¿a qué hora se llenó el recipiente B?
4.6 El concepto de función cuadrática
✃
De la historia
Con puntualidad más allá de la exactitud, todos los días del año, ya sean de
fiesta o de duelo, a las nueve de la noche, ni un minuto más ni un minuto menos, desde la Fortaleza de San Carlos de la Cabaña, en La Habana, se dispara
un cañonazo, llamando a revisar los relojes. Tradición nacida al calor de las
murallas, inmenso cinturón de piedra, que ante el feroz ataque de corsarios y
piratas, fueron construidas en la villa de San Cristóbal, durante casi toda una
347
MATEMÁTICA
centuria desde 1674, por orden de la corona española para defenderse de tan
peligrosos visitantes.
De esta forma, la pequeña ciudad quedó dividida en dos: La Habana de intramuros y La Habana de extramuros, como las llamó el pueblo. En un principio
al recinto amurallado se le abrieron
dos puertas, mas su longitud, con el
paso del tiempo, exigió más entradas
y salidas, por lo que llegó a tener hasta
nueve.
A las cuatro y media de la mañana se
anunciaba la apertura de sus puertas
con un cañonazo (figura 4.32). A las
ocho de la noche, otra detonación, por
Fig. 4.32
el contrario, advertía su cierre, lo cual
significaba, ni más ni menos, que quien fuera sorprendido por la descarga del
otro lado del muro, debía de permanecer allí hasta el amanecer, pese a los
rigores del tiempo o al atraco de los malhechores.
Con los años el cierre de la ciudad se alargó hasta las nueve de la noche, pero
la villa y su gente se desbordaban y con el desarrollo de las artes de la guerra,
las murallas se volvieron inútiles.
✁
¡Atención!
El lanzamiento de un proyectil, como la
bala disparada por un cañón, describe una
trayectoria representada por una línea
curva (figura 4.33). Cómo saber:
► qué distancia recorre la bala,
► qué altura máxima alcanza durante su
recorrido,
ecuación describe el compor
tamiento de la relación entre el tiempo
transcurrido y la altura a la que se encuentra la bala,
► qué gráfica describe este fenómeno.
► qué
Fig. 4.33
Como la trayectoria descrita por la bala no es una línea recta, es imposible
responder esas preguntas con lo que ya aprendiste sobre la función lineal y la
recta. En este capítulo estudiarás una nueva función numérica, que te permitirá
responder a interrogantes como las anteriores, la función cuadrática.
348
CAPÍTULO 4
Ejemplo 1
Calcula el área de los cuadrados cuyos lados tienen longitudes 1,0 cm;
2,5 cm; 5,0 cm y 12 cm.
Solución:
El área de un cuadrado se obtiene calculando el cuadrado de la longitud
de su lado, luego:
12 = 1 2,52 = 6,25 52 = 25
122 = 144
Por lo que las áreas pedidas serán de 1 cm2; 6,25 cm2; 25 cm2 y 144 cm2.
Esta correspondencia como puedes comprobar es una función, ya que el cuadrado de un número real siempre existe y es único.
Si llamas f a la función que asigna a cada longitud del lado del cuadrado, su
área, puedes representarla mediante la ecuación y = f(x) = x2.
Ejemplo 2
Alex juega con su hermanito Luis. El juego consiste en que Luis dice
un número real y Alex debe decir el número que se obtiene de elevar al
cuadrado el número que dijo su hermano y sustraerle 4. Si Luis dijo los números: - 2; 0; 0,5; 2 y 10, ¿qué números dijo su hermano?
Solución:
Luis dijo los números: - 2; 0; 0,5; 2 y 10.
Alex dijo los números: 0; - 4; - 3,75; 0 y 96, ya que:
(-2)2 - 4 = 4 - 4 = 0
02 - 4 = 0 - 4 = - 4
0,52 - 4 = 0,25 - 4 = - 3,75
22 - 4 = 4 - 4 = 0
102 - 4 = 100 - 4 = 96
De manera general, puedes decir que, si Luis dice un número real x, su
hermano Alex dirá el número x2 - 4.
Esta correspondencia, como puedes comprobar, es una función ya que
el cuadrado de un número real es único y al sustraerle cuatro, se obtiene un
único resultado.
Si llamas g a dicha función que asigna a cada número real dicho por Luis,
el correspondiente dicho por Alex, puedes representarla mediante la ecuación
y = g(x) = x2 - 4.
349
MATEMÁTICA
Como puedes apreciar en cada ejemplo, las correspondencias analizadas son
funciones y se pueden expresar mediante una ecuación, en la que la imagen
se obtiene como el cuadrado de un número en el primer caso, y en el segundo
caso sustrayéndole, además, un número real.
Las funciones definidas por ecuaciones como estas donde el mayor expo
nente de la variable es dos, reciben el nombre de funciones cuadráticas.
Definición de función cuadrática
✅
Recuerda que…
La correspondencia que a cada x ∈ R le hace corresponder el número real
f x ax 2 bx c (a ≠ 0), donde a, b y c son números reales dados, se denomina función cuadrática o de segundo grado.
La ecuación correspondiente a esta función es y ax 2 bx c (a ≠ 0)
Son ejemplos de funciones cuadráticas los siguientes:
y = x2 - x + 1
y = 3x2 - 2x - 3
y = - 0,5 x2 + 3x + 0,2
(a = 1; b = - 1; c = 1)
(a = 3; b = - 2; c = - 3)
(a = - 0,5; b = 3; c = 0,2)
y = - x2 + 5x
y = 2x2 - 6x
y = 2 x2 + 1 x
(a = -1; b = 5; c = 0)
(a = 2; b = - 6; c = 0)
3
3
(a = 2 ; b = 1 ; c = 0)
3
3
y = 9 - x2
y = x2 - 4
y = 2x2 + 8
(a = 1; b = 0; c = - 4)
(a = 2; b = 0; c = 8)
(a = - 1; b = 0; c = 9)
y=
y = x2
y = - 3x2
(a = 1; b = 0; c = 0)
(a = - 3; b = 0; c = 0)
✁
1 2
x
2
1
a ; b 0; c 0
2
¡Atención!
Observa que en las ecuaciones de las funciones cuadráticas además de que el
mayor exponente de la variable es dos, estas pueden tener forma de trinomio,
350
CAPÍTULO 4
binomio o monomio, en dependencia de los valores que tomen los parámetros
a, b y c.
Puedes concluir que los parámetros b y c en las ecuaciones de las funciones
cuadráticas pueden tomar valor cero, pero nunca puede ser cero el valor del
parámetro a.
De manera general las ecuaciones de funciones cuadráticas pueden tener
la forma siguiente:
y = ax 2
y ax 2 bx
y ax 2 c
y ax 2 bx c
Como conoces del grado anterior, el dominio de una función es el conjunto
de los valores que le puedes asignar a la variable independiente x; mientras
que los valores correspondientes que se obtienen a partir del cálculo para la
variable dependiente y, representan el conjunto imagen de la función.
El dominio de todas las funciones cuadráticas es (si no se establece ninguna restricción) el conjunto de los números reales, pues las operaciones
que intervienen en la expresión ax2 + bx + c están definidas para todos los
números reales.
Es por esto que, si asignas distintos valores del dominio a la variable x, obtienes sus respectivas imágenes y viceversa, de esta manera se pueden calcular
al igual que con las funciones lineales los valores funcionales de las funciones
cuadráticas.
Ejemplo 3
Sean las funciones f y g dadas por sus ecuaciones
f(x) = x2 - 3x + 1 y g(x) = - x2 + x .
3
1
a) Halla la imagen de 0; 3; - 1; - ; 0,2 por la función f.
3
b) Halla la imagen de 0; 3; - 1; - 1; 0,2 por la función g.
3
Solución:
a) Como sabes, en una función a cada valor del dominio le corresponde un
único valor de imagen, luego aquí se trata de hallar el valor de la imagen,
o sea el valor de y, conocido el valor x del dominio.
f(0) = 02 - 3 ⋅ 0 + 1
(sustituyes x por 0)
=0-0+1
(efectúas el cuadrado y el producto)
=1
(calculas)
351
MATEMÁTICA
Luego f(0) = 1, lo que significa que al elemento del dominio 0, le corresponde como imagen el 1.
f(3) = 32 - 3 ⋅ 3 + 1
(sustituyes x por tres)
=9-9+1
(efectúas el cuadrado y el producto)
=1
(calculas)
Luego f(3) = 1, lo que significa que al elemento tres del dominio le corresponde también como imagen, el uno.
f(- 1) = (- 1)2 - 3 ⋅ (- 1) + 1
=1+3+1
=5
(sustituyes x por - 1)
(efectúas el cuadrado y el producto)
(calculas)
Luego f(- 1) = 5, lo que significa que al elemento del dominio -1, le corres
ponde como imagen, el cinco.
2
1 1
1
f = - 3 ⋅ + 1
3 3
3
= 1+1+1
9
= 19
9
1
sustituyes x por
3
(efectúas el cuadrado y el producto)
(calculas)
Luego f 1 = 19 , lo que significa que al elemento del dominio - 1 le
3
3
9
19
corresponde como imagen, el .
9
2
f(0,2) = 0,2 - 3 ⋅ 0,2 + 1
(sustituyes x por cero)
= 0,04 - 0,6 + 1
(efectúas el cuadrado y el producto)
= 0,44
(calculas)
Luego f(0,2) = 0,44, lo que significa que al elemento del dominio 0,2 le
corresponde como imagen, el 0,44.
x
b) g x x 2
3
g(0) = - 02 + 0
(sustituyes x por cero)
3
=0-0
(efectúas el cuadrado y el producto)
=0
(calculas)
Luego g(0) = 0, lo que significa que al elemento del dominio cero, le corresponde como imagen, el cero.
352
CAPÍTULO 4
g(3) = - 32 + 3
3
=-9+1
=-8
(sustituyes x por tres)
(efectúas el cuadrado y el producto)
(calculas)
Luego g(3) = - 8 , lo que significa que al elemento del dominio tres, le
corresponde como imagen, el - 8.
Observa que - 32 = - 9, ya que es el opuesto de 32, a diferencia de (- 3)2 = 9,
donde el cuadrado es para el número - 3 por estar dentro de un paréntesis.
g(- 1) = - (- 1)2 + ( -1)
(sustituyes x por - 1)
3
= - 1 - 1
(efectúas el cuadrado y el producto)
3
= - 4 (calculas)
3
4
Luego g(-1) = - , lo que significa que al elemento del dominio - 1 le
3
4
corresponde como imagen, el - .
3
Observa que (- 1)2 = 1, pero está precedido de signo menos, por lo que el
resultado queda negativo.
1
2
1
3
1
1
g = - +
sustituyes x por
3
3
3
3
1 1
=- (efectúas el cuadrado y la división)
9 9
2
=(calculas)
9
2
1
Luego g = - , lo que significa que al elemento del dominio - 1 le
9
3
3
2
corresponde como imagen, el - .
9
✅
Recuerda que…
Para dividir fracciones se multiplica por el recíproco del divisor, en este caso
1
1 1
el tres, por lo que te quedaría el producto ⋅ = - , y cambia el signo
9
3 3
en la operación.
g(0,2) = - (0,2)2 + 0, 2
(sustituyes x por 0,2)
3
353
MATEMÁTICA
1
5
= - 0,04 +
3
4
1
=+
100 15
1
1
=+
25 15
2
=
75
(efectúas el cuadrado y expresas como fracción 0,2)
(expresas 0,04 como fracción)
(simplificas 4
100
y efectúas la sustracción)
Luego g(0,2) = 2 , lo que significa que al elemento del dominio 0,2 le corres75
ponde como imagen, el 2 .
75
✁
¡Atención!
Observa que la fracción 1 no se debe convertir a expresión decimal, pues el
15
resultado no es exacto y el cálculo sería aproximado. En este caso expresas 0,04
como fracción y realizas la sustracción de fracciones, hallas el mínimo común
múltiplo de los denominadores.
Ejemplo 4
Dadas las funciones h y t representadas por sus ecuaciones h(x) = x2 - 3
y t(x) = x2 - 2x - 5,
a) Halla los valores del dominio de la función h cuya imagen es: - 2 ; 0 ; 1.
b) Determina los valores del dominio de la función t cuya imagen es: - 6; - 5; 3.
Solución:
a) Para hallar el argumento o valor del dominio al que le corresponde un valor
determinado de la imagen, se debe sustituir la y en la ecuación por el valor
dado y encontrar el argumento x que satisface la ecuación de dicha función.
Como tenemos que h(x) = x2 - 3 y conocemos que y = h(x), obtenemos la
ecuación equivalente y = x2 - 3. Ahora sustituimos y por los valores dados.
- 2 = x2 - 3
(sustituyes y en la ecuación por - 2)
-2=x -3
(transpones - 3 al miembro izquierdo y efectúas la
2
sustracción indicada)
x =1
2
x=± 1
x = ± 1.
354
(realizas la operación inversa)
(calculas la raíz cuadrada de uno)
CAPÍTULO 4
Luego, el elemento de la imagen uno de la función h se obtiene cuando x
toma valores - 1 y uno.
Este resultado puedes comprobarlo sustituyendo los valores de x hallados
en la ecuación y efectuando las operaciones indicadas.
0 = x2 - 3
0 = x2 - 3
x2 = 3
x=± 3
(sustituyes y en la ecuación por cero)
(transpones - 3 al miembro izquierdo)
(realizas la operación inversa)
(planteas la raíz cuadrada de tres)
Luego, el elemento de la imagen cero de la función h se obtiene cuando x
toma valores - 3 y 3.
1 = x2 - 3
(sustituyes y en la ecuación por uno)
1 = x2 - 3
(transpones - 3 al miembro izquierdo y se efectúa la adición)
x2 = 4
(realizas la operación inversa)
x=± 4
(calculas la raíz cuadrada)
x = ± 2.
Luego, el elemento de la imagen uno de la función h se obtiene cuando x
toma valores - 2 y dos.
b) - 6 = x2 - 2x - 5
(sustituyes y en la ecuación por - 6)
x2 - 2x + 1 = 0
(transpones - 6 al miembro derecho y reduce los términos
semejantes)
2
(x - 1) = 0
(factorizas el trinomio cuadrado perfecto obtenido)
x-1=0
(igualas a cero la base de la potencia)
x = 1.
(despejas la x)
Luego, el elemento de la imagen - 6 de la función t se obtiene cuando x
toma valor 1.
Este resultado lo puedes comprobar sustituyendo en la ecuación la x por uno.
- 5 = x2 - 2x - 5 (sustituyes y en la ecuación por - 5)
x2 - 2x = 0
(transpones - 5 al miembro derecho y reduce los
términos semejantes)
x(x - 2) = 0 (factorizas el binomio obtenido extrayendo el factor común)
x = 0 o x - 2 = 0 (igualas a cero cada factor)
x1 = 0 o x2 = 2
(despejas la x)
Luego, el elemento de la imagen - 5 de la función t se obtiene cuando x
toma valores cero o dos.
355
MATEMÁTICA
3 = x2 - 2x - 5
x2 - 2x - 8 = 0
(sustituyes y en la ecuación por tres)
(transpones el 3 al miembro derecho y reduce los
términos semejantes)
(x - 4)(x + 2) = 0
(factorizas el trinomio obtenido)
x - 4 = 0 o x + 2 = 0 (igualas a cero cada factor)
x1 = 4 o x2 = - 2
(despejas la x)
Luego, el elemento de la imagen tres de la función t se obtiene cuando x
toma valores cuatro o - 2.
Observa en este diagrama (figura 4.34) los resultados obtenidos en los
ejemplos 3 a) y 4 b):
✁
¡Atención!
Ejemplo 3 a
0•
3•
–1 •
1
– –– •
3
0,2 •
Ejemplo 4 b
•1
1 •
•5
0 •
• –6
• –5
2 •
19
• – ––
9
4 •
• 0,44
–2 •
• 3
Fig. 4.34
Observa que, tanto en uno como en el otro, hay valores diferentes del dominio
a los que les corresponde el mismo valor de imagen y viceversa, a un mismo
valor de la imagen se le asocian dos valores diferentes del dominio.
Esta característica de las funciones cuadráticas tiene repercusión en la forma
de su representación gráfica, como verás posteriormente.
Ejercicios
1. Determina cuáles de las funciones siguientes son cuadráticas. Señala en
las funciones seleccionadas los valores de a, b y c.
356
a) y = x2 - 3
b) f(x) = x2 - x + 1
c) g(x) = x3 - 2x + 3
d) h(x) = - x2 + x + 1
2
1
g) y =
x2
e) s(x) = 2x + 3x2
f) r(x) = x4 + 4x2 + 2
h) t(x) = - 1x2 + 1,5
3
2
i) k(x) = 2 x + 4 x
2
CAPÍTULO 4
j) y = 4 - x2
9
2.
l) b(x) = 2x - 5
Marca con una X la respuesta correcta.
De las ecuaciones siguientes la que no corresponde a una función
cuadrática es:
a) __ y = 1 x 2
5
3.
k) p(x) = x3 + x2 - x
c) y = - x2 + 1 - 3
x
b) __ y = - x2 + 7
2
d) y = 2 - x + x
3
Escribe la ecuación de una función cuadrática si conoces que:
a) a = 1 , b = - 2 y c = 5 b) a = 3 , b = 1 y c = 0 c) a = -1, b = 0 y c = 0,2
3
d) a = 2 , b = - 1 y c = 1 e) a = 2,5, b = 0 y c = 0 f) a = b = - 2 y c = - 3,5
3
4
4.
Sea las funciones f, g y h dadas por sus ecuaciones: f(x) = x2 - 4x + 3;
g(x) = 1x2 - 2 y h(x) = 6 - x2, calcula:
2
a) la imagen de - 2 ; 3 y de 8 por la función f.
2
b) la imagen de - 2 ; 3 y de 8 por la función g.
2
c) la imagen de - 2 ; 3 y de 8 por la función h.
2
5.
Sea la función f dada por su ecuación f(x) = 2x2 - 3x + 1, calcula, si es
posible, los valores del dominio que tienen como imagen:
a) 1
b) 0
c) 3
d) - 2
4.6.1 Representación gráfica de la función
cuadrática y = ax2 (a ≠ 0) y sus propiedades
✁
¡Atención!
¿Qué procedimiento se puede utilizar para representar las funciones cuadráticas
siguientes: f(x) = x2 y g(x) = - x2?
Conoces que las ecuaciones de las funciones cuadráticas pueden tener la
forma siguiente:
y = ax 2
y ax 2 bx
y ax 2 c
y ax 2 bx c
357
MATEMÁTICA
Para estudiar su representación gráfica vamos a comenzar por la más sencilla y ax 2 a 0 , considerando los casos a = 1 y a = - 1.
Ejemplo 1
Representa en un sistema de coordenadas rectangulares las funciones
de ecuación:
y = x 2
b) y x 2
Solución:
a) El gráfico de la función f(x) en el sistema de coordenadas rectangulares se
obtiene representando todos los puntos cuyas coordenadas están determinadas por la ecuación f(x) = x2, como la variable x puede tomar cualquier
valor real, es imposible representarlos todos, por lo que determinas las
coordenadas de algunos puntos y los representas.
Puedes confeccionar la tabla siguiente:
x
-2
- 1,5
-1
- 0,5
0
0,5
1
1,5
2
x
4
2,25
1
0,25
0
0,25
1
2,25
4
2
Trazas el sistema de coordenadas y representas cada par obtenido (figura 4.35):
(- 2;4); (- 1,5;2,25); (- 1;1); (- 0,5;0,25); (0;0); (0,5;0,25); (1;1); (1,5;2,25)
y (2;4).
Observa que los puntos representados no quedan contenidos en una línea
recta, ni en una poligonal abierta, por lo que la representación gráfica de
esta función es una línea curva que se obtiene uniendo los puntos representados como se ilustra en la figura 4.36.
Como puedes apreciar para esta curva se cumple que:
► Tiene un punto situado sobre el eje x, que es el de menor ordenada de
todos
► Los puntos situados en el primer cuadrante están a la misma distancia
del eje y, que su correspondiente en el otro cuadrante.
► está representada en el semiplano superior y abre hacia arriba.
b) Para la función g x x 2 confeccionas otra tabla como la anterior:
358
CAPÍTULO 4
x
-x
2
-2
- 1,5
-1
- 0,5
0
0,5
1
1,5
2
-4
- 2,25
-1
- 0,25
0
- 0,25
-1
- 2,25
-4
y
4
3
2
1
x
-2 -1,5 -1-0,5 0 0,5 1 1,5 2
Fig. 4.36
Fig. 4.35
Representas los pares ordenados obtenidos en el sistema de coordenadas
y los unes como en el caso anterior (figura 4.37).
Como puedes apreciar para esta curva se
cumple que:
► tiene un punto situado sobre el eje x,
que es el de mayor ordenada de todos,
► los puntos situados en el tercer cuadrante están a la misma distancia del
eje y que su correspondiente en el otro
cuadrante,
► está representada en el semiplano inferior, abre hacia abajo.
y
-2 -1,5 -1-0,5 0 0,5 1 1,5 2
x
–1
–2
–3
–4
Esta curva que se obtiene al representar
Fig. 4.37
estas funciones cuadráticas y que tienen
las características indicadas, se denomina parábola y como ya conoces,
mientras más puntos representes de ella, más te aproximas a la forma de
dicho gráfico
✅
Recuerda que…
La representación gráfica de una función cuadrática, cuyo dominio es el conjunto de los números reales, es una parábola.
359
MATEMÁTICA
✇
Saber más
En muchas ocasiones has encontrado a tu alrededor diferentes curvas que tiene
forma de parábolas. La parábola con forma de U:
► puede describir trayectorias como el tiro al aro en el baloncesto (figura 4.38
a), el lanzamiento de la bala en el atletismo el (figura 4.38 b), o los chorros
de agua de una fuente (figura 4.38 c)
Fig. 4.38
► es utilizada en las construcciones de puentes o fachadas, cuya forma permite
abaratar costos y mejorar la resistencia de las obras (figura 4.39)
Fig. 4.39
► pueden ser incorporadas en estructuras como reflectores parabólicos que
forman la base de los platos satelitales, a los espejos parabólicos en los faros
de los coches y a los radares y las antenas para radioastronomía y televisión
por satélite (figura 4.40)
Fig. 4.40
360
CAPÍTULO 4
✆
Reflexiona un instante
¿Cómo determinar las propiedades de la función f x ax 2 a 0 , con el
apoyo de su gráfico?
Con el apoyo del gráfico de la función y = x 2, podemos determinar sus
propiedades:
► Dominio: x ∈ R
Para analizar el dominio de una función cuadrática se proyecta su gráfica
sobre el eje x.
Observa que la parábola se prolonga de manera infinita hacia arriba, hacia
ambos lados, por lo que cada uno de sus infinitos puntos se puede proyectar
sobre dicho eje (figura 4.41)
Puedes afirmar que la gráfica barre todo el eje x.
► Imagen: y ∈ R; y ≥ 0.
Para analizar la imagen de una función cuadrática se proyecta su gráfica
sobre el eje y.
Observa que hay un valor de y (y = 0) que es el menor de todos y a partir de
ahí la gráfica solo toma valores positivos de y (figura 4.42)
De ahí que los puntos de la gráfica solo se proyectan sobre el semieje vertical positivo.
y
y
0
Fig. 4.41
x
0
x
Fig. 4.42
► Ceros: x1 = 0.
Recuerda que el cero es el valor de x del punto donde el gráfico de la función corta al eje de las abscisas y como puedes observar la parábola toca al
eje x en x1 = 0.
361
MATEMÁTICA
Para hallarlo analíticamente, al igual que hiciste con el cero de la función
lineal, sustituyes por cero el valor de y en la ecuación de la función, y resuelves la ecuación indicada, o sea, x2 = 0 ; x = 0 ; x = 0.
► Monotonía
Cuando se asignan valores a x, de izquierda a derecha, los valores de y disminuyen hasta que se le asigna a x el valor cero (figura 4.43)
O sea, al aumentar los valores de x, disminuyen los valores de y, hasta
que x = 0.
Por tanto la función es monótona decreciente para x < 0.
Mientras que a la derecha, a partir del cero, al aumentar los valores de x,
aumentan también los valores de y, por tanto la función es monótona creciente para x > 0 (figura 4.44).
y
y
0
x
Fig. 4.43
0
x
Fig. 4.44
Resumiendo:
► para x < 0 la función es monótona decreciente,
► para x > 0 la función es monótona creciente.
► Valor mínimo: y = 0.
Hay un valor de y (y = 0) que es el menor de todos, el cual se denomina valor mínimo. Este valor lo alcanza para x = 0. El punto V(0;0) se denomina
vértice de la parábola.
► Eje de simetría: x = 0.
La gráfica es simétrica respecto al eje y (recta x = 0), porque argumentos
opuestos tienen imágenes iguales, la recta x = 0 se denomina eje de la
parábola.
Propiedades de la función y = ax2 (a < 0)
Con el apoyo del gráfico de la función y = - x2, podemos extraer sus propiedades:
362
CAPÍTULO 4
► Dominio: x ∈ R
Observa que la parábola se prolonga
de manera infinita hacia abajo y hacia ambos lados, por lo que cada uno
de sus infinitos puntos se puede proyectar sobre dicho eje (figura 4.45)
Puedes afirmar que la gráfica barre
todo el eje x.
► Imagen: y ∈ R; y < 0
Observa que hay un valor de y (y = 0)
que es el mayor de todos y a partir
de ahí la gráfica solo toma valores
negativos de y.
0 y
x
Fig. 4.45
0
y
x
De ahí que los puntos de la gráfica
solo se proyectan sobre el semieje negativo vertical (figura 4.46)
► Ceros: x1 = 0.
La gráfica interseca al eje x en x = 0.
► Monotonía:
Cuando se asignan valores a x, de
izquierda a derecha, los valores de y
aumentan hasta que se le asigna a x
el valor 0.
Fig. 4.46
0
y
x
O sea, al aumentar los valores de x,
aumentan también los valores de y,
hasta x = 0 (figura 4.47)
► para x < 0 la función es monótona
creciente.
► Mientras que, a la derecha, a partir
del cero, al aumentar los valores
de x, disminuyen los valores de y
(figura 4.48)
► para x > 0 la función es monótona
decreciente,
Fig. 4.47
0
y
x
► Valor máximo: y = 0.
Fig. 4.48
363
MATEMÁTICA
Hay un valor de y (y = 0) que es el mayor de todos, el cual se denomina
valor máximo. Este valor lo alcanza para x = 0, por lo que el punto V(0;0)
se denomina vértice de la parábola.
► Eje de simetría: x = 0.
La gráfica es simétrica respecto al eje y (recta x = 0), porque argumentos
opuestos tienen imágenes iguales, la recta x = 0 se denomina eje de la
parábola.
Ejemplo 2
Representa en un mismo sistema de coordenadas rectangulares las
funciones f y g definidas, en el conjunto de los números reales, por las
1
ecuaciones f x = 2x2 y g x = x2. Analiza sus propiedades.
2
Solución:
Confeccionas una tabla de valores para cada función (por comodidad
tomas los mismos valores para cada función).
Para la función f(x) = 2x2:
x
-2
-1
- 0,5
0
0,5
1
2
2x2
8
2
0,5
0
0,5
2
8
1
Para la función g(x) = x2:
2
x
-2
-1
- 0,5
0
0,5
1
2
1 2
x
2
2
0,5
0,125
0
0,125
0,5
2
Representas los puntos en el sistema de coordenadas y los unes
mediante la parábola como en el
ejemplo 1 (figura 4.49)
y
5–
f(x) = 2x2
4–
3–
g(x) = 1 x2
2
2–
1–
x
–3
–2
–1
0
1
Fig. 4.49
364
2
3
4
CAPÍTULO 4
Propiedades de las funciones f y g representadas:
1
f(x) = x2
g x x2
2
Dominio: x ∈ R
Dominio: x ∈ R
Imagen: y ∈ R : y ≥ 0
Ceros: x1= 0
Imagen: y ∈ R : y ≥ 0
Ceros: x1 = 0
Vértice V(0;0)
Vértice V(0;0)
Valor mínimo: y = 0
Valor mínimo: y = 0
Eje de simetría: x = 0
Eje de simetría: x = 0
Monotonía: para x < 0 decreciente,
Monotonía: para x < 0 decreciente,
para x > 0 creciente.
para x > 0 creciente.
✆
Reflexiona un instante
Como puedes apreciar en los ejemplos analizados las parábolas representadas
pueden estar en semiplanos diferentes y tener diferente ancho, o sea, unas
son más abiertas que otras, ¿a qué se debe esto?
✄
Investiga y aprende
Para responder esta pregunta vamos a representar en el sistema de coordenadas las
parábolas correspondientes a las funciones analizadas hasta ahora (figura 4.50)
Observa que para un mismo valor de x se
cumple que el valor de la imagen correspondiente y en:
a) f(x) = 2x2, es mayor respecto a y = x2.
Por ejemplo, trazas una recta paralela
al eje y por x = 2 y obtienes que su
imagen por la función f es 8, mientras
que por la función y = x2 es 4; (8 > 4).
En este caso se dice que la gráfica de
f se obtiene por una dilatación de la
gráfica de la función y = x2 respecto al
eje de las x.
b) g(x) = 1x2, es menor respecto a y = x2.
8
7
6
5
4
3
2
1
y
f(x) = 2x2 2
y=x
g(x) = 1 x2
2
–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 x
–1
h(x) = –x2
–2
Fig. 4.50
2
365
MATEMÁTICA
Por ejemplo, para x = 2 obtienes que su imagen por la función g es 2, mientras que por la función y = x2, es 4; (2 < 4).
En este caso se dice que la gráfica de g se obtiene por una contracción de
la gráfica de la función y = x2 respecto al eje de las x.
c) h(x) = - x2, es el opuesto respecto a y = x2 y se dice entonces que la gráfica de
h(x) = - x2 se obtiene por una reflexión de la gráfica de y = x2 considerando
como eje de reflexión el eje x.
Como puedes apreciar, la forma de cada parábola está relacionada con el
valor del parámetro a en cada una de las ecuaciones de las funciones.
✅
Recuerda que…
De manera general, el gráfico de la función y = ax2 (a ≠ 0) se puede obtener
del gráfico de la función y = ax2:
► por una dilatación si a > 1;
► por una contracción si 0 < a < 1; y
► por una reflexión si a = - 1.
Para los restantes valores de a (a ≠ 0) el gráfico se puede obtener por una
composición de las transformaciones anteriores.
✅
Recuerda que…
Las funciones y = ax2 (a ≠ 0):
► tienen como representación gráfica una parábola.
► tienen dominio x∈ R.
► tienen imagen y∈ R; y ≥ 0 (si a > 0) o y ∈ R; y ≤ 0 (si a < 0).
► tienen un único cero, x1 = 0.
► tienen un punto situado sobre el eje x en el origen de coordenadas (0;0) el
cual se nombra vértice de la parábola.
► el eje de las ordenadas es el eje de simetría de su gráfica.
► la parábola tiene un mínimo (y = 0) si a > 0 y un máximo (y = 0) si a < 0, por
tanto, si a > 0 abre hacia arriba, y si a < 0, abre hacia abajo.
► Si a > 0, para x < 0 es monótona decreciente
para x > 0 es monótona creciente
► Si a < 0, para x < 0 es monótona creciente
para x > 0 es monótona decreciente
► cuanto más pequeño es el valor absoluto del coeficiente a, más abierta es la
parábola, y cuanto más grande es, más cerrada es la parábola.
► las gráficas de las funciones y = ax2 y y = - ax2, son simétricas, respecto al eje x.
366
CAPÍTULO 4
✄
Investiga y aprende
Lanza una pelota con un ángulo de inclinación respecto al suelo y observa
su trayectoria.
La trayectoria que sigue una bala disparada por un cañón es similar a la
que sigue la pelota.
Este tipo de movimientos los
estudia la balística.
Podrás observar que la pelota,
primero inicia el ascenso hasta
alcanzar una altura máxima,
que corresponde al vértice de
la parábola; a partir de ahí empieza a descender, hasta llegar
al suelo (figura 4.51)
La distancia que separa el punto desde donde se lanza hasta
el punto donde cae la pelota,
se llama alcance máximo.
¿Sabes con qué ángulo de tiro
Fig. 4.51
la pelota llega más lejos?
Prueba a tirar la pelota con
distintos ángulos de tiro, procurando impulsarla con la misma fuerza. Observa con qué ángulo logras lanzarla más lejos.
La balística enseña que la pelota llega más lejos cuando el ángulo de tiro
es de 45º.
✁
¡Atención!
Al igual que hiciste con las funciones lineales, a las funciones cuadráticas se les
escribe su ecuación y se verifica cuáles puntos pertenecen a su representación
gráfica y cuáles no.
Ejemplo 3
Determina la ecuación de una función cuadrática de la forma y = ax2, si su
gráfica pasa por el punto A(1;3).
1
a) Verifica si el par B ; 0, 3 pertenece a la función.
3
b) Si el punto M (x0; 0,75) pertenece a la representación gráfica de la función,
halla su abscisa.
367
MATEMÁTICA
Solución:
Como A(1;3) pertenece al gráfico de y = ax2:
► sustituyes sus coordenadas en la ecuación 3 = a(1)2
► calculas el cuadrado y obtienes: a = 3.
► escribes la ecuación y = 3x2.
1
a) Para verificar si el par B ;0,3 pertenece a la función, operas de la forma
3
siguiente:
2
1
► sustituyes la abscisa del punto en la ecuación de la función: y = 3 ⋅
3
► calculas el cuadrado: y = 3 ⋅ 1
9
► efectúas el producto: y = 1 .
3
► comparas la ordenada del punto con el valor obtenido: 1 ≠ 0, 3.
3
1
► concluyes: el par B ; 0, 3 no pertenece a la función.
3
✁
¡Atención!
Para que un par pertenezca a la función, la ordenada del punto debe ser igual
al valor de y calculado, en caso contrario, no pertenece
b) Como el punto M pertenece a la representación gráfica de la función, satisface la ecuación y = 3x2 por lo que procedes de la forma siguiente:
► sustituyes la ordenada del punto en la ecuación: 0,75 = 3x2
0, 75
► Transpones el 3 al miembro izquierdo:
= x2
3
► efectúas la división x2 = 0,25.
► despejas la x con la operación inversa: x = ± 0, 25 .
► calculas la raíz cuadrada: x = ± 0,5.
Respuesta:
La abscisa del punto puede tomar valores 0,5 o - 0,5.
✅
Recuerda que…
En las funciones cuadráticas a un mismo valor de imagen y, le corresponden
dos valores diferentes del dominio, excepto para el vértice de la parábola.)
368
CAPÍTULO 4
Ejercicios
1. Dadas las funciones siguientes:
2
1
f(x) = 8x2 ; g(x) = - 4x2 ; h(x) = x2 y t(x) = - x2
3
5
a) Señala cuáles tienen su representación gráfica en el semiplano superior
respecto al eje x y cuáles en el inferior.
b) ¿Cuál es el vértice de cada una?
c) ¿Son todas simétricas respecto al eje y?
d) Indica cuál es la más cerrada y cuál es la más abierta respecto al eje
vertical.
2.
Representa en un sistema de coordenadas rectangulares las funciones
siguientes:
3
a) f x –3 x 2
b) g x = x 2
c) h x = 3x 2
d) t x = - 0,3x2
2
3.
Dadas las funciones f y g cuyas ecuaciones son f(x) = 1,5x2 y g(x) = - 2x2.
3.1 Escribe verdadero o falso según corresponda. Argumenta las que
consideres falsas.
a) __ La parábola que se obtiene al representar gráficamente la
función f abre hacia abajo.
b) __ La imagen de la función g es y ∈ R; y ≤ 0.
c) __ La función g es decreciente para x < 0
d) __ La función f tiene mínimo y = 0.
e) __ g(- 0,5) = 0,5.
3.2 Marca con una X la respuesta correcta.
a) La parábola que representa la función f es más cerrada que la
parábola que representa a la función:
__ s(x) = 3x2
__ h(x) = 0,7x2
5
__ t(x) = x 2
__ p(x) = 12x2
2
b) Para la función g se cumple que:
__ tiene su gráfica situada en el semiplano inferior.
__ tiene máximo x = 0.
__ su gráfica no es simétrica.
__ tiene cero x = - 2.
369
MATEMÁTICA
4.
Utilizando algún asistente matemático a tu alcance, por ejemplo, el
GeoGebra, realiza las acciones siguientes:
a) Traza la gráfica de una función de la forma f(x) = ax2 (a ≠ 0).
b) Varía el valor del parámetro a que seleccionaste dándole valores positivos y negativos y analiza cómo va cambiando la parábola respecto
a la que trazaste inicialmente.
c) Escribe las conclusiones a la que arribaste.
5.
6.
7.
Observa las parábolas de la figura 4.52:
Marca con una X la respuesta
correcta:
__ c > a > b
__ a > b > c
__ b > c > a
__ c > b > a
y
h(x) = cx2
g(x) = x2
f(x) = ax2
Observa las parábolas de la figu
ra 4.53:
Marca con una X la respuesta
correcta:
Fig. 4.52
__ c > a > b
__ a > b > c
y
__ b > c > a
__ c > b > a
0
x
Las parábolas de la figura 4.54
representan las funciones que se
indican:
a) Señala qué coeficientes son positivos y cuáles son negativos.
f(x) = a2
g(x) = bx2
h(x) = cx2
b) Ordena de menor a mayor los
parámetros a, b, c y d.
y
f(x) = ax2
x
Fig. 4.53
y
y
0
x
t(x) = dx2
0
x
y
x
0
0
g(x) = bx2
Fig. 4.54
370
x
0
h(x) = cx2
CAPÍTULO 4
8.
Escribe la ecuación de una función cuadrática de la forma y = ax2 (a ≠ 0),
si su gráfica pasa por el punto:
a) P (2;8)
9.
b) R (- 2;- 2)
c) S (1,5;1)
Sea la función y = - 1 x2 
5
a) Represéntala gráficamente para - 5 ≤ x ≤ 5.
b) Determina su conjunto imagen.
c) Analiza la monotonía para - 5 < x < 1.
10. *Determina analíticamente las coordenadas de los puntos de intersección
de la parábola y = 2x2 con la recta de ecuación:
a) y = x
b) y = 4 x
c) y = 8
d) 5 x – y 3 0
11. Expresa el área de un círculo en función de la longitud de la circunferencia. Traza el gráfico de la función obtenida para 0 cm ≤ L ≤ 10 cm.
12. La relación entre la distancia recorrida y el tiempo empleado por un
cuerpo para recorrerla en el movimiento uniformemente acelerado se
1
expresa por s = at 2 (t ≥ 0 s).
2
a) Traza el gráfico de esta función para a = 0,4 m/s2 con 0 s ≤ t ≤ 5 s.
b) Determina qué distancia ha recorrido el cuerpo al cabo de un minuto.
4.6.2 La función cuadrática de la forma
y = ax2 + bx + c (a ≠ 0)
✆
Reflexiona un instante
Para acceder a su escuela algunos estudiantes como Rey tienen que cruzar un
puente sobre un río cuya arcada central es una parábola, como muestra la figura 4.55, que responde a la función cuadrática y 0, 002 x 2 0, 2 x .
La profesora de Rey les orientó representar en un sistema de coordenadas
rectangulares esta parábola, hallar la altura máxima del puente y calcular la
distancia que hay de la entrada del puente a la salida.
Rey preocupado preguntó a la profesora cómo dar respuesta a estas interro
gantes, si solo ha aprendido a representar funciones cuadráticas de la forma
y = ax2 (a ≠ 0) y esta ecuación no tiene dicha forma.
371
MATEMÁTICA
Fig. 4.55
Tanto Rey como tú, podrán dar respuesta a estas interrogantes a partir
del estudio de este epígrafe, donde estudiarás las funciones cuadráticas de
la forma: y ax 2 bx c a 0 , así como otras que se obtienen a partir
de esta.
Ejemplo 1
Representa en un sistema de coordenadas rectangulares y di las propiedades de las funciones cuyas ecuaciones son:
a) f(x) = x2 - 2x - 8
d) t(x) = x2 - 9
b) g(x) = x2 - 2x + 1
e) s(x) = - x2 + 4x
c) h(x) = - x2 + 2x - 3
Como conoces del epígrafe anterior, para representar las parábolas buscas
las coordenadas de varios de sus infinitos puntos confeccionando una tabla,
los ubicas en el sistema de coordenadas y los unes.
También, de octavo grado, conoces que para representar las funciones
lineales se tomaban los llamados “puntos cómodos”, o sea, los puntos de
intersección de la recta con los ejes de coordenadas. Para ello hallabas el cero
de la función y el valor de n y obtenías los puntos (x0;0) y (0;n).
Sin embargo, para representar las parábolas también puedes, al igual que
hiciste con las rectas, hallar los puntos de intersección con cada eje, pero en
este caso no son suficientes, necesitas, además, determinar las coordenadas
de al menos dos de sus puntos simétricos y las coordenadas de su vértice, para
dar una representación más exacta.
Intersección de la gráfica con el eje de las abscisas
Como recordarás, para hallar el cero de la función lineal (intercepto de la
recta con el eje de las abscisas) sustituyes y por cero en la ecuación y = mx + n,
y despejabas x.
372
CAPÍTULO 4
Definición de cero de una función cuadrática
✅
Recuerda que…
Los elementos del dominio de la función cuadrática y ax 2 bx c a 0
cuyas imágenes toman valor cero, se denominan ceros de esta función.
Cuando sustituyes y por cero obtienes la ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0,
que como ya estudiaste puede tener dos soluciones, una solución o ninguna
solución real. De ahí que la función cuadrática puede tener dos ceros, un cero
o no tener ceros.
O sea, la existencia de los ceros de una función cuadrática depende del
valor del discriminante D = b2 - 4ac de la ecuación cuadrática que la define.
Intersección de la gráfica con el eje de las ordenadas
Para hallar el intercepto con el eje de las ordenadas, sustituyes x por cero
en la ecuación y realizas los cálculos que se indiquen.
O sea, y = a · 02 + b · 0 + c = c.
Obtención de dos puntos simétricos
Como sabes, dos puntos simétricos de una parábola tienen igual ordenada,
por lo que sustituyes en la ecuación general la ordenada por un valor cualquiera de su imagen y determinas las abscisas a las que les corresponde ese valor.
Como toda parábola corta al eje de las y en y = c, puedes hallar las abscisas
de puntos simétricos a los que le corresponde dicha ordenada de la forma
siguiente:
ax2 + bx + c = c
(sustituyes y por c en la ecuación general)
2
ax + bx = 0
(reduces los términos semejantes)
x(ax + b) = 0
(factorizas el binomio obtey
nido)
b
x1 = 0 o x2
(obtienes las abscisas de los
P
P’
a
c
dos puntos simétricos)
Los dos puntos simétricos buscados tienen
b
coordenadas P 0; c y P 1 ; c (figura 4.56)
a
0
–
b
a
x
Fig. 4.56
373
MATEMÁTICA
Coordenadas del vértice
Como sabes, el vértice de una parábola
está situado sobre su eje de simetría y, por
tanto, su abscisa será el punto medio de las
abscisas de dos puntos de la parábola que sean
simétricos (figura 4.57). Si tomas como referencia los dos puntos simétricos obtenidos en
b
el paso anterior, cuyas abscisas son 0 y - , la
a
abscisa del vértice se puede hallar de la forma
y
c
P
0
P’
–
b
2a
–
b
a
x
Fig. 4.57
siguiente:
b
0
a b halla el valor medio entre 0 y b
xv
2
2a
a
b
.
2a
Para hallar la ordenada del vértice yv, sustituyes el valor de xv obtenido en
la ecuación de la función cuadrática y realizas los cálculos indicados.
Observa ahora cómo aplicar cada uno de estos pasos en el ejemplo propuesto.
Luego, la abscisa del vértice será xv
Solución:
a) 1. Hallas los ceros de la función f(x) = x2 - 2x - 8
x2 - 2x - 8 = 0
(sustituyes y por cero)
(x - 4)(x + 2) = 0
(factorizas el trinomio)
x-4=0 o x+2=0
(igualas cada factor a cero)
x1 = 4 o x2 = - 2
(despejas x en cada ecuación)
La parábola interseca al eje x en dos puntos (4;0) y (- 2;0).
2. Determinas el intercepto con el eje y de la parábola.
Para hallar este punto, que como sabes tiene la forma (0;y), sustituyes x
por cero en la ecuación.
y = 02 - 2 ⋅ 0 - 8
(sustituyes x por cero)
y=0-0-8
(efectúas las operaciones indicadas)
y=-8
La parábola interseca al eje y en el punto (0;- 8).
374
CAPÍTULO 4
Nota: observa que el valor de y del punto (0;- 8) coincide con el valor de
c en la ecuación de la función, por lo que en la práctica se puede escribir
directamente las coordenadas de dicho punto (0;c).
3. Determinas las coordenadas del vértice.
Para determinar las coordenadas del vértice se procede de la manera
siguiente:
b
► hallas la abscisa del vértice por la fórmula xv
:
2a
En la ecuación y = x2 - 2x - 8, a = 1 y b = - 2.
2
xv
(sustituyes los valores de a y b)
2 ·1
2
xv = 1
(efectúas las operaciones indicadas).
2
Luego, xv = 1
► Hallas la ordenada del vértice:
Para hallar la ordenada, sustituyes el valor hallado de la abscisa en la
ecuación de la función y efectúas las operaciones indicadas:
yv = 12 - 2 ⋅ 1 - 8
(sustituyes xv en la ecuación)
yv = 1 - 2 - 8 = - 9 (efectúas las operaciones indicadas).
Luego, yv = - 9.
Las coordenadas del vértice son V 1; 9 .
4. Determinas las coordenadas de dos puntos simétricos de la parábola:
Para hallar las coordenadas de dos puntos simétricos, tomas dos valores
del dominio que se encuentren a la misma distancia de la abscisa del
vértice (xv).
Como xv = 1, puedes escoger, por ejemplo el - 1 y el tres que están a dos
unidades del uno.
y = f(- 1) = (- 1)2 - 2 ⋅ (- 1) - 8 = 1 + 2 - 8 = - 5
y = f(3) = 32 - 2 ⋅ 3 - 8 = 9 - 6 - 8 = - 5
(sustituyes y efectúas las operaciones indicadas en cada caso)
Las coordenadas de dos puntos simétricos son (- 1;- 5) y (3;- 5)
Nota: recuerda que como son puntos simétricos tienen el mismo valor de
y, luego en la práctica solo sustituyes en la ecuación una de las abscisas
seleccionadas
5. Representas los puntos determinados en un sistema de coordenadas
rectangulares y unes los puntos (figura 4.58)
375
MATEMÁTICA
y
Propiedades:
f
Dominio: x ∈ R
Imagen: y ∈ R; y ≥ -9 (el menor valor que toma
la y es la yv = - 9)
x
–2 –1
1
3
4
Ceros: x1 = -2 o x2 = 4 (tiene dos ceros)
Vértice: V(1;- 9)
Monotonía: para x < 1 monótona decreciente
para x > 1 monótona creciente
(para escribir la monotonía, se toma como referencia la xv)
–8
–9
Valor mínimo: y = - 9 (es la y del vértice y se
alcanza para x = 1)
Fig. 4.58
Eje de simetría: x = 1
(coincide con xv)
Para comprobar si la gráfica está correcta, puedes verificar que:
Como a > 0, abre hacia arriba.
Los ceros están a la misma distancia de la xv, o sea, del eje de simetría.
b) 1. Hallas los ceros de la función g(x) = x2 - 2x + 1.
x2 - 2x + 1 = 0
(sustituyes y por cero)
(x - 1)2 = 0
(factorizas el trinomio)
x-1=0
(igualas el factor a cero)
x1 = 1
(despejas x)
La parábola interseca al eje x en el punto (1;0), o sea, tiene un solo cero.
2. Determinas la intersección de la parábola con el eje y.
y = 02 - 2 · 0 + 1
(sustituyes x por cero)
y =0-0+1
(efectúas las operaciones indicadas)
y =1
Como viste en el inciso anterior, si c = 1, el punto buscado es (0;1).
La parábola interseca al eje y en el punto (0;1).
3. Determinas las coordenadas del vértice.
En la ecuación y = x 2 - 2x + 1, a = 1 y b = - 2.
► Hallas la abscisa:
xv
376
2
2 ·1
(sustituyes los valores de a y b)
CAPÍTULO 4
2
= 1 (efectúas las operaciones indicadas).
2
Luego, xv = 1
xv=
► Hallas la ordenada del vértice:
Para hallar la ordenada, se sustituye el valor hallado de la abscisa en la
ecuación de la función:
yv = 12 - 2 ⋅ 1 +1
(sustituyes xv en la ecuación)
yv = 1 - 2 + 1= 0 (efectúas las operaciones indicadas).
Luego, yv = 0.
Las coordenadas del vértice son V(1;0).
4. Determinas las coordenadas de dos puntos simétricos de la parábola:
Para hallar las coordenadas de dos puntos simétricos, tomas dos valores
del dominio que se encuentren a la misma distancia de la abscisa del
vértice (xv).
Como xv = 1, puedes escoger, por ejemplo, el - 1 y el tres.
g(- 1) = (- 1)2 - 2 ⋅ (- 1) + 1 = 1 + 2 + 1 = 4 (sustituyes y efectúas las
operaciones indicadas)
g(- 1) = g(3) = 4
Las coordenadas de dos puntos simétricos son (- 1;4) y (3;4).
5. Representas los puntos determinados
en un sistema de coordenadas rectangulares y unes los puntos (figura 4.59)
g
y
4
Propiedades:
3
Dominio: x ∈ R
2
Imagen: x ∈ R; y > 0 (el menor valor
que toma la y es la yv = 0)
1
Ceros: x1 = 1 (tiene un solo cero)
3
–1 0
1
Vértice: V(1;0)
Monotonía:
Fig. 4.59
para x < 1 monótona decreciente
para x > 1 monótona creciente
(para escribir la monotonía se toma como referencia la xv)
Valor mínimo: y = 0 (es la y del vértice y se alcanza para x = 1)
Eje de simetría: x = 1 (coincide con xv)
x
377
MATEMÁTICA
✁
¡Atención!
Cuando la ecuación de la función es un trinomio cuadrado perfecto, la parábola
interseca al eje x en un solo punto, que coincide con su vértice.
c) 1. Hallas los ceros de la función h(x) = - x2 + 2x - 3.
- x2 + 2x - 3 = 0
(sustituyes y por cero)
Este trinomio a simple vista parece no tener factorización y la ecuación
no tendría solución, pero es necesario comprobarlo y ya conoces que
para investigar la cantidad de soluciones de una ecuación cuadrática
aplicas el discriminante.
D = b2 - 4ac
(a = - 1; b = 2 y c = - 3)
D = 2 - 4(- 1)( - 3) = 4 - 12 = - 8 < 0
2
Como D < 0, la ecuación no tiene soluciones reales y la función no tiene
ceros.
La parábola no interseca al eje x.
2. Determinas el intercepto con el eje y de la parábola.
En la ecuación c = - 3.
La parábola interseca al eje y en el punto (0;- 3).
3. Determinas las coordenadas del vértice.
► Hallas la abscisa:
En la ecuación y = - x2 + 2x - 3, a = - 1 y b = 2.
2
xv
(sustituyes los valores de a y b)
2 1
2
1 (efectúas las operaciones indicadas).
2
Luego, xv = 1.
xv
► Hallas la ordenada del vértice:
Para hallar la ordenada, se sustituye el valor hallado de la abscisa en
la ecuación de la función:
yv = -12 + 2 · 1 - 3
(sustituyes xv en la ecuación)
yv = - 1 + 2 - 3 = - 2
(efectúas las operaciones indicadas).
Luego, yv = - 2.
Las coordenadas del vértice son V(1;- 2).
378
CAPÍTULO 4
4. Determinas las coordenadas de dos puntos simétricos de la parábola:
Como xv = 1, puedes escoger, por ejemplo el - 1 y el 3.
h(- 1) = - (- 1)2 + 2 ⋅ (- 1) - 3 = - 1 - 2 - 3 = -6 (sustituyes y efectúas las operaciones
indicadas)
h(- 1) = h(3) = - 6
Las coordenadas de dos puntos simétricos son (- 1; - 6) y (3; - 6).
5. Representas los puntos determinados en
y
un sistema de coordenadas rectangulares
y unes los puntos (figura 4.60).
3 x
–1 0
1
Propiedades:
Dominio: x ∈ R
–2
Imagen: y ∈ R ; y ≤ -2 (el mayor valor que
–3
toma la y es la yv = -2)
Ceros: no tiene (no interseca al eje x)
–6
Vértice: V(1;- 2)
Monotonía:
para x < 1 monótona creciente
Fig. 4.60
para x > 1 monótona decreciente
(para escribir la monotonía se toma como referencia la xv)
Valor máximo: y = - 2 (es la y del vértice y se alcanza para x = 1)
Eje de simetría: x = 1
(coincide con xv)
d) 1. Hallas los ceros de la función t(x) = x2 - 9
x2 - 9 = 0 (sustituyes y por cero)
(x - 3)(x + 3) = 0 (factorizas el trinomio)
x-3=0 o x+3=0
(igualas cada factor a cero)
x1 = 3 o x2 = -3
(despejas x en cada ecuación)
La parábola interseca al eje x en los puntos (3;0) y (- 3;0).
2. Determinas el intercepto con el eje y de la parábola.
En la ecuación dada c = - 9.
La parábola interseca al eje y en el punto (0;- 9).
3. Determinas las coordenadas del vértice.
► Hallas la abscisa:
En la ecuación y = x2 - 9, a = 1 y b = 0.
0 . (sustituyes los valores de a y b)
xv
2 1
379
MATEMÁTICA
0
= 0 (efectúas las operaciones indicadas).
2
Luego, xv = 0.
► Hallas la ordenada del vértice:
xv=
Para hallar la ordenada, se sustituye el valor hallado de la abscisa en
la ecuación de la función:
y v 02 9
y v 0 9 9
(sustituyes xv en la ecuación)
(efectúas las operaciones indicadas).
Luego, y v 9.
Las coordenadas del vértice son V(0;- 9).
4. Determinas las coordenadas de dos puntos simétricos de la parábola:
Como xv = 0, puedes escoger, por ejemplo, el - 2 y el 2.
t = (-2) = (- 2)2 - 9 = 4 - 9 = - 5 (sustituyes y efectúas las operaciones
indicadas)
t 2 t 2 5
Las coordenadas de dos puntos simétricos son (- 2;- 5) y (2;- 5).
5. Representas los puntos determinados en un
sistema de coordenadas rectangulares y unes
los puntos (figura 4.61).
y
t
–3
Propiedades:
–2
2
0
Dominio: x ∈ R
Imagen: y ∈ R: y ≥ -9 (el menor valor que toma
la y es la yv = -9
Ceros: x1 = - 3 o x2 = 3
(tiene dos ceros)
–5
Vértice: V(0;- 9)
Monotonía: para x < 0 monótona decreciente
para x > 0 monótona creciente
(para escribir la monotonía se toma como referencia la xv)
Fig. 4.61
Valor mínimo: y = - 9
(es la y del vértice y se alcanza para x = 0)
Eje de simetría: x = 0
(coincide con xv)
e) 1. Hallas los ceros de la función s(x) = -x2 + 4x
- x2 + 4x= 0
- x(x - 4) = 0
380
–9
(sustituyes y por cero)
(factorizas el trinomio)
3 x
CAPÍTULO 4
-x = 0 o x - 4 = 0
x1 = 0 o x2 = 4
(igualas cada factor a cero)
(despejas x en cada ecuación)
La parábola interseca al eje x en los puntos (0;0) y (4;0).
2. Determinas el intercepto con el eje y de la parábola.
De la ecuación se observa que c = 0.
La parábola interseca al eje y en el punto (0;0).
3. Determinas las coordenadas del vértice.
► Hallas la abscisa:
En la ecuación y = - x2 + 4x, a = - 1 y b = 4.
4
xv
(sustituyes los valores de a y b)
2 · 1
4
xv
2 (efectúas las operaciones indicadas).
2
Luego, xv = 2.
► Hallas la ordenada del vértice:
Para hallar la ordenada, se sustituye el valor hallado de la abscisa en
la ecuación de la función:
yv = -22 + 4 · 2
(sustituyes xv en la ecuación)
yv = -4 + 8 (efectúas las operaciones indicadas).
Luego, yv = 4.
Las coordenadas del vértice son V(2;4).
4. Determinas las coordenadas de dos puntos simétricos de la parábola:
Como xv = 2, puedes escoger, por ejemplo el - 1 y el 5.
s(5) = -52 + 4 · 5 = -25 + 20 = -5 (sustituyes y
y
efectúas las operaciones indicadas)
4
s(-1) = s(5) = -5
Las coordenadas de dos puntos simétricos son
(- 1;- 5) y (5;- 5).
5. Representas los puntos determinados en un
sistema de coordenadas rectangulares y unes
los puntos (figura 4.62)
–1 0
1 2 3 4 5
x
Propiedades:
Dominio: x ∈ R
Imagen: y ∈ R ; y ≤ 4 (el mayor valor que toma
la y es la yv = 4 ∈ R)
–5
Fig. 4.62
381
MATEMÁTICA
Ceros: x1 = 0 o x2 = 4 (tiene dos ceros)
Vértice: V(2;4)
Monotonía: para x < 2 monótona creciente
para x > 2 monótona decreciente
(para escribir la monotonía se toma como referencia la xv )
Valor máximo: y = 4 (es la y del vértice y se alcanza para x = 2)
Eje de simetría: x = 2 (coincide con xv)
✅
Recuerda que…
Para representar gráficamente una parábola:
1) Calculas los ceros, si los posee, aplicando la factorización o la fórmula general.
2) Determinas el intercepto con el eje y sustituyendo por cero x en la ecuación
o tomando el valor de c en la ecuación dada.
3) Hallas las coordenadas del vértice, xv utilizando la fórmula xv
b
; mien2a
tras que yv, sustituyendo xv en la ecuación de la función, o sea calculando
f(xv).
4) Calculas las coordenadas de algunos puntos simétricos respecto al eje de
la parábola.
5) Representas los puntos determinados, en un sistema de coordenadas rectangulares.
6) Unes los puntos representados mediante una parábola.
✅
Recuerda que…
En una función cuadrática se cumple que:
► Su representación gráfica es una parábola que abre hacia arriba si a > 0 y
abre hacia abajo, si a < 0.
► Su dominio, siempre que no se indique otra cosa, es el conjunto de los nú-
meros reales.
► Su conjunto imagen son los números reales mayores o iguales que la yv, si
a > 0 y menores o iguales que la yv, si a < 0.
► El vértice es el único punto de la parábola: en el que a un valor de y le
corresponde un solo valor de x; por donde pasa el eje de simetría.
► Tiene: dos ceros si D > 0, un cero si D = 0, y ningún cero si D < 0.
► Si a > 0, es monótona decreciente para x < xv y monótonas crecientes para
x > xv.
Si a > 0, es monótona creciente para x < xv y monótonas decrecientes para
x > xv.
382
CAPÍTULO 4
► Tienen un mínimo y = yv, si a > 0 y un máximo y = yv, si a < 0.
► Sus gráficas tienen un eje de simetría que es una recta vertical cuya ecuación
es x b .
2a
✇
Saber más
El estudio de las funciones cuadráticas resulta de interés no solo en la Matemática sino también en otras áreas del conocimiento como por ejemplo:
en Física, la trayectoria de una pelota lanzada al aire, la trayectoria que
describe un río al caer desde lo alto de una montaña, la forma que toma
una cuerda floja sobre la cual se desplaza un equilibrista, el recorrido desde
el origen, con respecto al tiempo transcurrido, cuando una partícula es lanzada
con una velocidad inicial tienen forma
de parábolas.
Puede ser aplicada en la ingeniería civil,
para resolver problemas específicos
tomando como punto de apoyo la ecuación de segundo grado, en la construcción
de puentes colgantes que se encuentran
suspendidos en uno de los cables amarra
dos a dos torres (figura 4.63)
Fig. 4.63
Los biólogos utilizan las funciones
cuadráticas para estudiar los efectos nutricionales de los organismos y la
variación de la población de una determinada especie que responde a este
tipo de función, para obtener así información sin necesidad de recurrir a la
experimentación
En la economía, las funciones cuadráticas
también ayudan a predecir ganancias y
pérdidas en los negocios (figura 4.64)
En la arquitectura, para dar mayor belleza
y resistencia a las construcciones. Muchos
de los objetos que usamos hoy día, desde
los carros hasta los relojes, no existirían
si alguien, en alguna parte, no hubiera
aplicado funciones cuadráticas para su
diseño.
Fig. 4.64
383
MATEMÁTICA
Respuesta:
Ahora estás en condiciones junto a Rey de dar respuesta a la situación
inicial de este epígrafe, la cual te recordamos más sintetizada en forma de
ejemplo.
Ejemplo 2
El arco de un puente es una parábola que responde a la función cuadrática de ecuación y = - 0,002x2 + 0,2x. Considerando al eje horizontal sobre
la superficie plana que contiene la entrada y salida del puente:
a) Representa gráficamente la parábola que describe el arco del puente. (considera las divisiones de cada eje en metros).
b) Halla, en metros, la altura máxima que alcanza el puente.
c) Calcula la distancia que hay de la entrada del puente a la salida.
Solución:
a) Hallas los ceros:
- 0,002x2 + 0,2x = 0
Hallas las coordenadas del vértice:
a = - 0,002 y b = 0,2
b
0, 2
xv
50
2a 2 0, 002
x(- 0,002x + 0,2) = 0
x=0
o
2
- 0,002x + 0,2 = 0
y v 0, 002 50 0, 2 50
x1 = 0 o x2 = 100
y v 5 10 5
V(50;5)
Hallas el intercepto con y:
2
y 0, 002 0 0, 2 0
y=0+0=0
(0;0)
Representación gráfica en la figura 4.65.
y
5
0
50
Fig. 4.65
384
100
x
CAPÍTULO 4
Puedes comprobar que:
► Como a < 0, la parábola abre hacia abajo.
► Los ceros están a la misma distancia de la abscisa del vértice.
► Tiene dos ceros, ya que D > 0.
b) La altura máxima del puente es de 5 m.
► La altura máxima del puente coincide con el valor máximo de la parábola,
que como sabes es la ordenada del vértice.
c) La distancia que hay de la entrada a la salida del puente es de 100 m.
La entrada del puente está sobre uno de los ceros y la salida sobre el
otro cero.
4.6.3 Traslación de la parábola en la dirección
de los ejes de coordenadas
Has aprendido a representar funciones cuadráticas cuyas ecuaciones
son de la forma y = ax 2; y ax 2 bx ; y ax 2 c y y ax 2 bx c , en el
que utilizaste el mismo procedimiento.
Sin embargo, es bueno que conozcas, que las parábolas que describen
las funciones cuyas ecuaciones tienen las formas antes descritas, se pueden
obtener a partir de la parábola que describe la función y = x2.
Para analizar esta situación, te invito a situar en un mismo sistema de
coordenadas rectangulares la parábola correspondiente a la función y = x 2,
y las correspondientes a las funciones analizadas en el ejemplo 1:
f(x) = x2 - 2x - 8; g(x) = x2 - 2x + 1 y t(x) = x2 - 9 (figura 4.66).
y
y = x2
g(x) = x2 – 2x + 1
= (x – 1)2
0
1
x
f(x) = x2 – 2x – 8
= (x – 1)2 – 9
t(x) = x2 – 9
–9
Fig. 4.66
385
MATEMÁTICA
✁
¡Atención!
1. La función g tiene la forma y = (x + d)2, donde d = - 1. En este caso la gráfica
de la función g se trasladó, en la dirección del eje x, una unidad a la derecha.
De manera general, los gráficos de las funciones de la forma y = (x + d)2 se
obtienen por una traslación del gráfico de y = x2 en la dirección del eje x. Si
d < 0 hacia la derecha, si d > 0 hacia la izquierda.
2. La función t tiene la forma y = y 2 + e, donde e = - 9. En este caso la gráfica de
la función t se trasladó, en la dirección del eje y, nueve unidades hacia abajo.
De manera general, los gráficos de las funciones de la forma y = x2 + e se
obtienen por una traslación del gráfico de y = x2 en la dirección del eje y. Si
e > 0 hacia arriba, si e < 0 hacia abajo.
Nota que aquí hemos utilizado como parámetro la letra e en lugar de la
letra c.
3. La función f tiene la forma f = (x + d)2 + e, donde d = - 1 y e = - 9. En este
caso la gráfica de la función h se trasladó, en la dirección del eje x, una
unidad a la derecha y en la dirección del eje y nueve unidades hacia abajo.
De manera general, los gráficos de las funciones de la forma y = (x + d)2 + e
se obtienen aplicándole a la parábola y = x 2 una composición de dos traslaciones en la dirección de los ejes de coordenadas, teniendo en cuenta los
casos anteriores.
Como puedes apreciar, las ecuaciones de las funciones cuadráticas pueden
2
estar expresadas en la forma y ax 2 bx c a 0 o y x d e, en las
que se puede observar las traslaciones analizadas anteriormente.
Sabes cómo representar las funciones del tipo y ax 2 bx c a 0 y
determinar sus propiedades, pero para trabajar la función cuadrática expre2
sada en la forma y x d e es bueno que tengas en cuenta que:
► El vértice de la parábola no es necesario calcularlo, se obtiene atendiendo
a las traslaciones, de la forma siguiente V d ; e , o sea, la abscisa es el opues-
to del parámetro d, mientras la ordenada coincide con el valor del
parámetro e.
► Para calcular los ceros puedes expresar la ecuación en la forma
y ax 2 bx c a 0 efectuando el cuadrado del binomio y reduciendo
los términos semejantes o despejando la x directamente en la ecuación
2
y x d e. También puedes, si la expresión es una diferencia de dos
cuadrados, factorizarla como sabes.
386
CAPÍTULO 4
A continuación, observa cómo aplicar estas recomendaciones para la fun2
ción cuadrática y x 2 4.
Por ejemplo, como d = - 2 se toma su opuesto y e = - 4, con su signo. Luego, el vértice de la parábola de esta función es V 2; 4 .
Para hallar los ceros:
Primera vía
y = x2 - 4x + 4 - 4
y = x2 - 4x
0 = x2 - 4x
0 = x(x - 4)
x1 = 0 o x2 = 4
✃
Segunda vía
(x - 2)2 - 4 = 0
(x - 2)2 = 4
x-2=± 4
x-2=±2
x-2=2 o x-2=-2
x1 = 0 o x2 = 4
Tercera vía
(x - 2)2 - 4 = 0
(x - 2 + 2)(x - 2 - 2) = 0
x(x - 4) = 0
x=0 o x-4=0
x1 = 4 o x2 = 0
De la historia
El primero en usar el término parábola fue
el griego Apolonio de Perge (262-190 a.n.e.)
(figura 4.67) en su tratado Cónicas, considerada obra cumbre sobre el tema de las
matemáticas griegas.
Es Apolonio quien menciona que un espejo
parabólico refleja de forma paralela los rayos
emitidos desde su foco, propiedad usada hoy
Fig. 4.67
en día en las antenas satelitales. La parábola
también fue estudiada por Arquímides, nuevamente en la búsqueda de una
solución para un problema famoso: la cuadratura del círculo, dando como
resultado el libro Sobre la cuadratura de la parábola.
Como conoces de la función lineal, es de interés en el trabajo con funciones, además de realizar su representación gráfica y conocer sus propiedades,
escribir su ecuación para analizar el comportamiento posterior de los distintos
fenómenos que se grafican mediante este tipo de curvas.
Veamos mediante el ejemplo siguiente algunos de los casos que se te
pueden presentar.
Ejemplo 3
Escribe la ecuación de una función cuadrática de la forma que se indica
y con los elementos dados en cada inciso.
387
MATEMÁTICA
a) y = (x + d)2 + e y de vértice V(- 1;- 3).
b) y = x2 + bx + c y tiene vértice V(2;- 1).
c) y = x2 + bx + c y su representación gráfica es:
d) y = - x2 + bx + c y su representación gráfica es:
e) y = x2 + bx + c y su representación gráfica pasa por los puntos A(1;1) y B(4;7).
f) y = ax2 + bx + c y su gráfica es:
Solución:
a) y = (x + d)2 + e y de vértice V(- 1;- 3).
Como sabes, las coordenadas del vértice de una parábola son V(- d;e), de
aquí se deduce que d = 1 y e = - 3. Sustituyes en la ecuación dada los valores
de d y e y obtienes la ecuación y = (x + 1)2 -3.
b) y = x2 + bx + c y tiene vértice V (2;- 1).
Escribes primero la ecuación en la forma y = (x + d)2 + e, o sea, y = (x - 2)2 -1
y ahora la transformas a la forma pedida.
y = (x - 2)2 -1 = x2 - 4x + 4 - 1 = x2 - 4 x + 3.
Luego, la ecuación pedida es y = x2 - 4 x + 3.
Otra vía de solución:
De la ecuación dada se conoce que a = 1 y la abscisa del vértice es 2, por lo
que puedes proceder de la siguiente manera:
► Escribes la ecuación para hallar la abscisa del vértice: x b
v
2a
► Sustituyes xv y el valor de a en la ecuación: 2 b
2 1
► Calculas el producto en el denominador y despejas b:
2 = - b ; - b = 4 y b = - 4.
2
De esta manera la ecuación va quedando así: y = x2 - 4x + c, por lo que
falta hallar el valor de c.
► Sustituyes las coordenadas del vértice en la ecuación:
- 1 = 22 - 4 ⋅ 2 + c
► Efectúas la potencia y el producto indicado: - 1 = 4 - 8 + c
► Despejas c: c = - 1 + 8 - 4
► Calculas el valor de c: c = - 5 + 8 = 3
Escribes la ecuación pedida: y = x2 - 4 x + 3
c) y = x2 + bx + c y su representación gráfica es la figura 4.68.
388
CAPÍTULO 4
y
En este caso no conoces las coordenadas del vértice como en los incisos anteriores.
De la gráfica puedes extraer dos puntos (0;- 3) y
(3;0) y de la ecuación se deduce que a = 1 y del
punto de intersección de la gráfica con el eje y
obtienes el valor de c, o sea, c = - 3.
0
3
La ecuación toma la forma y x 2 bx 3, por lo
que falta hallar el valor de b para completar la
ecuación.
x
-3
► Sustituyes las coordenadas del punto (3;0) que
es uno de los ceros de la función: 0 = 32 + b · 3 - 3.
► Efectúas la potencia: 0 = 9 + b ⋅ 3 - 3.
► Efectúas la sustracción: 0 = 6 + 3b.
► Despejas b: b = -6 .
3
► Calculas b: b = - 2.
► Escribes la ecuación pedida: y = x2 - 2x - 3.
Fig. 4.68
y
d) y x 2 bx c y su representación gráfica es la
figura 4.69.
En este inciso se te ofrecen los ceros de la parábola: x1 = - 4 y x2 = 2.
Recuerda que para hallar los ceros:
-4
0
2 x
► Sustituyes en la ecuación la y por cero
► Factorizas e igualas cada factor a cero,
► Despejas la x obteniendo los ceros.
Fig. 4.69
Ahora estás en una situación inversa, o sea,
conoces los ceros y quieres obtener la ecuación que los originó. Para lo
cual realizas el procedimiento de atrás hacia delante.
► Partes de la ecuación con el trinomio expresado como producto
y a x x1 x x2 .
► De la ecuación dada se obtiene que a = - 1, por lo que sustituyes a y los
ceros en la ecuación: y x 4 x 2 .
Nota que se ha sustituido en cada factor el opuesto de cada cero.
► Efectúas el producto indicado: y = - (x2 + 2x - 8).
► Eliminas el paréntesis: y = - x2 - 2x + 8.
389
MATEMÁTICA
► Escribes la ecuación pedida: y = - x2 - 2x + 8.
Otra vía:
Como la parábola es simétrica, los ceros están a la misma distancia de la
abscisa del vértice, esto te permite hallar dicha abscisa:
► Hallas la abscisa del vértice: de - 4 a 2 hay seis unidades y la abscisa está a
la mitad de estos, divides 6 : 2 = 3, por lo que cada cero está a tres unidades
de la abscisa. Cuentas tres unidades a la izquierda de 2 o 3 unidades a la
derecha de - 4 y obtienes que xv = - 1.
► Sustituyes en la ecuación de xv la abscisa hallada y el valor de a:
-b
-b b
b
xv =
;
-1=
=
= ;
b=-2
2a
2 ( 1) -2 2
► La ecuación toma la forma: y = - x2 - 2x + c.
► Sustituyes las coordenadas de cualquiera de los puntos que se obtienen
de la gráfica y despejas el valor de c:
Sustituyendo (2;0): y = - x2 - 2x + c
0 = - (2)2 - 2 ⋅ 2 + c
0=-4-4+c
0=-8+c
c=8
Puedes comprobar que con el punto (- 4; 0) se obtiene igual resultado
para c.
e) y = x2 + bx + c y su representación gráfica pasa por los puntos A(1;1) y B(4;7)
En este caso conoces dos puntos de la representación gráfica que no son
vértice, ceros, ni intercepto con los ejes y de la ecuación se obtiene que a = 1.
Faltarían por hallar los valores de los parámetros b y c.
Como los puntos de una parábola satisfacen la ecuación de la función cuadrática, puedes proceder de la siguiente manera:
► sustituyes las coordenadas de ambos puntos en la ecuación:
► Para el punto A (1;1): 1 = 12 + b · 1 + c
► Para el punto B (4;7): 7 = 42 + b · 4 + c
► Efectúas los cuadrados: 1 = 1 + b + c
7 = 16 + 4b + c
► Transpones al otro miembro el uno y el 16 y efectúas la sustracción, for-
mando un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que aprendiste
a resolver en este grado:
390
CAPÍTULO 4
b+c= 0
4b + c = - 9
Puedes utilizar cualquiera de los métodos de resolución estudiados. Aquí
te lo mostramos con la utilización del método de reducción.
b c 0
4b c 9
b c 0 ( 1) (I)
4b c 9
(II)
b c 0
4b c 9
3b 9
Multiplicas por (-1) la ecuación (I) y calculas
término a término
b 3
Sustituyes b –3 en (I):
–3 c 0
c 3
► Escribes la ecuación pedida: y = x2 - 3x + 3.
Puedes comprobar que el resultado es correcto al verificar si los puntos
dados satisfacen la ecuación hallada.
f) y ax 2 bx c y su gráfica es la figura 4.70.
En este inciso se te ofrecen los ceros de la parábola, x1 = 1 y x2 = 3 y el intercepto con el eje y es 6,
luego c = 6, no conoces los valores de a y b.
y
6
► Partes de la ecuación con el trinomio expresado
como producto como en el inciso d).
y = a(x - x1)(x - x2).
► Sustituyes
los ceros
y = a (x - 1)(x - 3).
en
la
ecuación:
1
3
x
Nota que se ha sustituido en cada factor el
opuesto de cada cero.
Fig. 4.70
► Efectúas el producto indicado: y = a(x2 - 4x + 3).
► Sustituyes las coordenadas del punto (0;6) en la ecuación obtenida:
6 = a(02 - 4 · 0 + 3)
► Efectúas las operaciones dentro del paréntesis: 6 = 3a.
391
MATEMÁTICA
► Despejas y calculas el valor de a: a = 6 : 3 = 2
► Sustituyes en la ecuación: y = 2(x2 - 4x + 3).
► Efectúas el producto: y = 2x2 - 8x + 6.
La ecuación de la función es y = 2x2 - 8x + 6.
Otra vía puede ser:
► Sustituyes el valor de c en la ecuación y = ax2 + bx + 6.
► Sustituyes las coordenadas de los puntos dados en la gráfica: (1;0) y (3;0).
0 = a(1)2 + b · 1 + 6
0 = a(3)2 + b · 3 + 6
► Resuelves el sistema de ecuaciones obtenido:
a+b=-6
9a + 3b = - 6
cuya solución es a = 2 y b = - 8.
✄
Investiga y aprende
Perfiles luminosos parabólicos
Dispón una cartulina
perpendicularmente
a un haz luminoso
(figura 4.71a); obtienes así un perfil
circular sobre la cartulina.
Mueve la cartulina
a
hasta obtener un
perfil parabólico
como el de la otra
lámina.
Trayectorias parabólicas
En una lata de conservas abre agujeros
a distinta altura (figura 4.72). Llénalo de
agua y observa la trayectoria descrita por
los chorros de agua que salen de los distintos agujeros. Son medias parábolas, si tienes
en cuenta la simetría, puedes imaginarte
fácilmente las parábolas enteras.
392
b
Fig. 4.71
Fig. 4.72
CAPÍTULO 4
¿Qué parábola es más abierta? ¿Cuál la más
cerrada? ¿Qué pelota llega antes al suelo?
Coloca en el borde de una mesa dos pelotas
(figura 4.73).
A una déjala caer libremente y a la otra dale un
impulso horizontal.
¿Qué trayectoria sigue cada una? Repite este
Fig. 4.73
experimento tratando de que las dos pelotas se
pongan en movimiento en el mismo instante.
¿Qué pelota sigue una trayectoria más larga? ¿Cuál de las dos llega antes al
suelo? ¿Acaso no llegan al mismo tiempo?
La Física explica estos experimentos. Por ahora no está mal que conozcas al
menos sus resultados.
Analiza estos otros ejemplos interesantes relacionados con las funciones
cuadráticas que te ayudarán a aplicar lo aprendido en este epígrafe.
Ejemplo 4
En la figura se muestra la representación
gráfica de una función cuadrática de la forma
f(x) = x2 + bx + c (figura 4.74)
y
7
4.1 Marca con una X la respuesta correcta.
a) La ecuación de la función f es:
___ f(x) = x2 + 4x + 7
___ f(x) = x2 - 8x + 7
___ f(x) = - x2 - 8x + 7
___ f(x) = x2 - 8x
0
1
4
x
b) El otro cero de la función f es:
__ x = 5 __ x = 6
__ x = 7 __ 4,5.
c) De los pares ordenados siguientes el que pertenece a la función f es:
__ (2;5)
__ (4;0)
Fig. 4.74
__ (- 3;40)
4.2 Completa los espacios en blanco.
a) La función es decreciente para ____________.
b) El dominio de la función es _______________.
c) El eje de simetría es _________.
d) Al calcular f (- 0,5) se obtiene como resultado _________.
393
MATEMÁTICA
4.3 Escribe verdadero (V) o falso (F) según corresponda. Argumenta las que
consideres falsas.
a) __ La imagen de la función f es y ∈ R; y ≥ -9.
b) __ La gráfica de f interseca al eje de las ordenadas en el punto (7;0).
c) __ La función f tiene mínimo y = 4.
d) __ El punto simétrico de A(- 1;16) en la parábola representada es B(9;16).
Solución:
4.1 a) f(x) = x2 - 8x + 7.
Comentario:
► De la gráfica se obtiene que el valor de c es siete, ya que es el inter-
cepto con el eje y, por lo que queda descartada la última opción.
► La parábola abre hacia arriba, por lo que queda descartada la que
tiene valor a = -1
► Para seleccionar la correcta de las dos que quedan puedes realizar
una de las tres acciones siguientes:
1. Hallar la abscisa del vértice.
2. Tomar el par (1;0) dado en la gráfica e investigar a cuál de las
ecuaciones satisface.
3. Calcular los ceros y comprobar en cuál de ellas se obtiene x = 1.
b) El otro cero de la función f es x = 7.
Se puede calcular a partir de la ecuación seleccionada o por la simetría de la parábola, ya que ambos ceros tienen que estar a igual
distancia de la abscisa del vértice, que en este caso es cuatro.
c) (- 3;40). Para verificar si un par ordenado pertenece a una función,
sustituyes la abscisa en la ecuación y calculas el valor de la ordenada. Si
la ordenada del par es igual al valor obtenido el par pertenece, de lo
contrario, no pertenece.
4.2 a) x < 4. Recuerda que para escribir la monotonía se toma como referencia
la abscisa del vértice y a la izquierda de cuatro, la gráfica desciende de
izquierda a derecha.
b) x ∈ R. El dominio de la función cuadrática son los reales, siempre que
no se indique otra cosa.
c) x = 4. El eje de simetría contiene a la abscisa del vértice.
d) f(- 0,5) = 11,25. Sustituyes en la ecuación la x por - 0,5 y realizas las
operaciones indicadas.
394
CAPÍTULO 4
4.3 a) Verdadero. El menor valor que toma la imagen es la ordenada del vértice,
que se obtiene al sustituir la abscisa cuatro en la ecuación y efectuando
las operaciones indicadas.
b) Falso. La gráfica interseca al eje y en siete y todo punto situado sobre
este eje tiene la forma (0;y), el punto correcto es (0;7).
c) Falso. El valor mínimo de la función es la ordenada del vértice que en
este caso es - 9.
d) Verdadero. Para que dos puntos de una parábola sean simétricos, la
abscisa de cada uno de ellos debe estar a la misma distancia de la abscisa
del vértice y, además, tener la misma ordenada.
Ejemplo 5
En la figura 4.75 se muestra la representación gráfica de una función cuadrática de la
forma g(x) = (x + d)2 + e.
y
5.1 Marca con una X la respuesta correcta:
a) La ecuación de la función g es:
__ g(x) = (x + 1)2 - 4
__ g(x) = (x - 1)2 - 4
__ g(x) = (x + 1) + 4
__ g(x) = (x - 1) + 4
2
–1
0
1
x
2
b) El otro cero de la función g es:
__ 2
__ 2,5
__ 3
__ 4
c) La gráfica de la función g corta al eje de las
ordenadas en:
__ - 4
__ - 1
__ - 3
–4
Fig. 4.75
__ otro valor
5.2 Completa los espacios en blanco:
a) La imagen de la función g es _____________.
b) La función g es monótona creciente para ______________.
c) El valor mínimo de g es _________.
d) El eje de simetría de la parábola representada es ______.
Respuesta:
5.1 a) g(x) = (x - 1)2 - 4
(el vértice de la parábola tiene coordenadas
V (1;- 4), por lo que la gráfica de g, respecto a la gráfica de y = x2, se trasladó una unidad a la derecha en el eje horizontal, esto significa que d = - 1;
mientras que se desplazó cuatro unidades hacia abajo, por lo que e = - 4).
395
MATEMÁTICA
Otra forma de reconocer la ecuación pedida es verificando que uno de los
puntos dados sobre la representación gráfica satisfaga alguna de las ecuaciones dadas. Por ejemplo, tomas la abscisa del vértice xv = 1 y la sustituyes
en cada una de las ecuaciones y en la que se obtenga y = - 4, esa será la
ecuación de esa función.
Comprueba en la ecuación seleccionada:
y = (1 - 1)2 - 4 = 02 - 4 = - 4.
Si realizas este procedimiento en las otras tres ecuaciones comprobarás
que no se obtiene y = - 4 en ninguna de estas.
b) 3. Para hallar el otro cero puedes proceder de dos maneras:
1. Como la parábola es simétrica respecto a la recta vertical que pasa
por su vértice, los ceros se encuentran a igual distancia de la xv. Luego,
como de - 1 a uno hay dos unidades, cuentas dos unidades a la derecha
de uno y obtienes x = 3.
2. Como ya conoces la ecuación de la función, das valor cero a la x,
factorizas la expresión y obtiene ambos ceros.
c) - 3 (para hallar el intercepto con el eje de las ordenadas sustituyes la x
por cero en la ecuación y calculas el valor de y).
O sea, y = (0 - 1)2 - 4 = (- 1)2 - 4 = 1 - 4 = - 3.
5.2 a) y ∈ R: y ≥ - 4 (el menor valor de y es - 4 y a partir de ahí aumentan, ya
que la gráfica abre hacia arriba)
b) x > 1 (Como recordarás, para analizar la monotonía se toma como referencia la xv, y a la derecha de uno, a medida que aumentan los valores
de x, también aumentan los valores de y).
c) y = - 4 (recuerda que el valor mínimo es la ordenada del vértice).
d) x = 1 (el eje de simetría es la recta vertical que pasa por el vértice y su
ecuación es x = xv).
Las funciones cuadráticas tienen muchas aplicaciones en la vida real; observa
a continuación algunos problemas cuyo modelo matemático es la expresión
de una función cuadrática.
Ejemplo 6
Un nadador desciende al fondo del mar y luego emerge de nuevo a la
superficie siguiendo la trayectoria que representa el gráfico de la función
y 2 x 2 x 6 (figura 4.76) (considera el metro como unidad de medida).
396
CAPÍTULO 4
Fig. 4.76
a) Representa en un sistema de coordenadas rectangulares la trayectoria descrita por el nadador.
b) ¿A qué distancia del lugar de entrada emergió el nadador?
c) ¿Cuál fue la profundidad máxima que alcanzó?
Respuesta:
a) La trayectoria que describe una gráfica que representa a una función cuadrática es una parábola y como conoces es necesario para trazarla, obtener
las coordenadas del vértice y sus ceros como mínimo.
► Hallas las coordenadas del vértice:
De la ecuación y = 2x2 + x - 6 obtienes que: a = 2 ; b = 1 y c = - 6.
1
-b
1
xv =
=
= - = - 0,25.
4
2a 2 2
yv = 2(- 0,25)2 + (- 0,25) - 6
yv = 2 ⋅ (0,0625) - 0,25 - 6 = 0,125 - 0,25 - 6 = - 6,125.
Las coordenadas del vértice son:
V(- 0,25;- 6,125).
y
► Hallas los ceros: 2x2 + x - 6= 0
(2x - 3)(x + 2) = 0
2x - 3 = 0 o x + 2 = 0
x1 = 1,5 o x2 = - 2
► Determinas el intercepto de la parábola con
el eje y.
–2
0
1,5
x
El intercepto de la parábola con el eje y coincide con el valor de c, o sea y = - 6.
► Representas los puntos obtenidos y los unes
y obtienes el gráfico (figura 4.77).
–6
– 6,25
Fig. 4.77
397
MATEMÁTICA
b) Consideras el eje horizontal situado sobre la superficie del agua, por lo tanto
el lugar de entrada coincide con el cero que se encuentra a la izquierda
en la gráfica y el lugar por donde emergió, el cero que se encuentra a la
derecha. Debes calcular la distancia entre los ceros.
Desde - 2 hasta 1,5 hay 3,5 unidades (1,5 - (- 2))
Respuesta:
El nadador emergió a 3 m y medio del lugar de entrada.
c) La profundidad máxima que alcanzó coincide con la menor ordenada que
toma la parábola, o sea, la ordenada del vértice que representa el valor
mínimo de la parábola.
En este caso, al calcularla obtuviste y = - 6,125. Esto significa que el nadador
alcanzó una profundidad máxima de 6,125 m.
Nota: observa que se toma el valor absoluto, ya que la profundidad no
puede ser negativa, el signo “menos” te indica que se encuentra por debajo
de la superficie del agua.
Ejemplo 7
Una pelota lanzada hacia arriba
desde la azotea de un edificio describe una parábola cuya ecuación
es h = - t2 + 2t + 15 (figura 4.78).
h: altura en metros que alcanza la pelota.
t: tiempo transcurrido en minutos.
Se traza un sistema de coordenadas con el eje vertical sobre la fachada
lateral del edificio y el eje horizontal
sobre el suelo, como muestra la figura,
responde:
Fig. 4.78
a) ¿Qué tiempo tarda la pelota en alcanzar su altura máxima?
b) ¿Cuál fue la altura máxima alcanzada por la pelota?
c) ¿Qué altura aproximada tiene el edificio?
Respuesta:
a) Te piden el tiempo que demora la pelota en alcanzar la altura máxima.
Como conoces el punto más alto de la parábola que abre hacia abajo es el
398
CAPÍTULO 4
vértice y la altura máxima es la ordenada del vértice que se alcanza en la
abscisa de dicho punto.
Luego, es necesario calcular la abscisa del vértice de la parábola
representada.
De la ecuación h = - t2 + 2t + 15 se obtiene que a = - 1; b = 2 y c = 15.
► Hallas tv por la fórmula: tv =
-b
2
-2
=
=
= 1.
2a 2 ( 1) -2
Respuesta:
La pelota tarda en alcanzar su altura máxima un minuto.
b) Del análisis anterior puedes deducir que la altura máxima es la ordenada
del vértice.
► Hallas hv : hv = - 12 + 2 ⋅ 1 + 15 = - 1 + 2 + 15 = 16.
Respuesta:
La altura máxima alcanzada por la pelota fue 16 m.
c) Al observar la figura te darás cuenta de que la altura del edificio coincide
con la intersección de la curva con el eje vertical. Este valor coincide con el
parámetro c en la ecuación o lo puedes hallar dando valor cero a la t en la
ecuación.
Respuesta:
El edificio tiene una altura aproximada de 15 m.
Ejemplo 8
Un campesino dispone de 80,0 m de cerca. Determina el área rectangular
máxima que puede encerrar con la cantidad de cerca disponible.
Respuesta:
Si la variable x representa el largo del rectángulo y la variable y, la longitud
del ancho, entonces su perímetro (P) está dado por la expresión:
P = 2(x + y) y su área (A) es igual al producto xy.
Por lo tanto:
2(x + y) = 80
► Despejas la variable y: x + y = 40, por lo que y = 40 - x.
► Como A = xy, entonces sustituyes y por la expresión obtenida: A = x(40 - x)
► Efectúas el producto indicado: A = 40x - x2.
399
MATEMÁTICA
Observa que el largo y el ancho del terreno rectangular están relacionados
mediante una función cuadrática y su valor máximo representará el área
máxima que se podrá cercar.
Como el coeficiente de x2 es negativo, el área es máxima en la abscisa del
-b
vértice, o sea, en xv =
.
2a
b 40
40
► Hallas la abscisa del vértice: xv
20.
2a 2( 1)
2
Como xv = 20, el área es máxima cuando el largo mide 20 m.
A continuación, determinas el valor de y:
y = 40 - x = 40 - 20 = 20
El ancho también mide 20 m. Se puede probar que el área de un rectángulo
de perímetro dado es máxima cuando es un cuadrado.
El área máxima que puede cercar es: A = 20 m · 20 m = 400 m2.
Respuesta:
El área máxima que puede encerrar el campesino con la cantidad de cerca
que posee es de 400 m2.
Ejercicios
1.
2.
Calcula, si existen, los ceros de las funciones cuadráticas siguientes. En
caso de no existir, argumenta tu respuesta.
a) y = x2 - 3x - 10
b) y = x2 - 100
c) y = - x2 - 12x
d) y = x2 + 4
e) y = x2 - 10x + 25
f) y = 2x2 - 3x - 2
g) y = x2 + 10x
3
j) y = x2 - x + 5
2
h) y = 25 - x2
1
9
k) y = x 2 2
2
i) y = - 3x2 + 2x - 1
Determina las coordenadas del vértice y el conjunto imagen de las funciones:
a) y = x2 - 8x + 7
b) y = x2 + 6
c) y = - x2 + 3x d) y = x2 - 2
e) y = 1 x2 - 2x + 1 f) y = - 3 x2 + 0,5 g) y = 4x2 - 0,8x + 2
4
2
2.1 Señala su valor mínimo o su valor máximo según corresponda.
3.
Analiza la monotonía de las funciones siguientes:
a) y = x2 - 8x + 7
400
b) y = x2 + 6x - 7
c) y = - x2 + 4x + 5
CAPÍTULO 4
4.
5.
d) y = x2 - 2x
e) y = x2 + x
f) y = 6x - x2
g) y = x2 - 9
h) y = - x2 + 4
i) y = 2x2 + 4x + 1
Representa gráficamente las funciones cuadráticas siguientes y determina: dominio, imagen, intervalos de monotonía, valor máximo o valor
mínimo y eje de simetría, en cada inciso.
a) y = x2 - 2x - 15
b) y = x2 - 6x
c) y = - 2x2 - 8
d) y = x2 - 2x + 1
e) y = - x2 - 4x + 5
f) y = x2 + 1
g) y = - x2 + 2x
h) y = 2x2 - x - 1
i) y = (x - 1)2 - 4
j) y = (x + 2)2 + 4
k) y = - (x + 3)2 + 16
En la figura aparecen las representaciones
gráficas de las funciones f(x) = x2 - 6x - 7
y g(x) = - x2 - 6x (figura 4.79).
a) Señala al lado de cada gráfica cuál es
la que corresponde a f y cuál a g. Argumenta tu selección.
b) Halla las coordenadas del vértice de
f y de g.
c) Determina la imagen de cada función.
d) Escribe para qué valores de x la
función f es creciente.
e) Precisa para qué valores de x la
función g es decreciente.
f) Halla los ceros de cada función.
6.
y
0
x
Fig. 4.79
Haz el esbozo gráfico de las parábolas definidas por las funciones siguientes en los dominios dados. Indica en cada caso el conjunto imagen.
a) y = x2 + 10x + 24
b) y = x2 - 10x + 25
para - 6 ≤ x ≤ - 2.
para 2 ≤ x ≤ 8.
c) y = - x2 + 2x - 1
para - 2 ≤ x ≤ 0.
d) y = x2 + 4x + 1
para - 4 ≤ x ≤ 0.
e) y = - x + 4
para - 3 ≤ x ≤ 3.
f) y = - x2 + 4x
para 0 ≤ x ≤ 4.
2
401
MATEMÁTICA
7.
Sean las funciones cuadráticas siguientes cuya forma es y = (x + d)2 + e:
f(x) = (x + 3)2;
g(x) = (x - 3)2; h(x) = x2 + 4; t(x) = x2 - 4 ;
p(x) = (x + 3)2 - 4 y q(x) = (x + 3)2 + 4.
a) Completa la tabla siguiente:
Función
Vértice Dominio Imagen Ceros Monotonía
Eje de
simetría
f(x) = (x + 3)2
g(x) = (x – 3)2
h(x) = x2 + 4
t(x) = x2 – 4
p(x) = (x + 3)2 – 4
q(x) = (x + 3)2 + 4
b) Representa en un mismo sistema de coordenadas las funciones f, t y p,
y analiza su desplazamiento a partir del gráfico de la función y = x2.
8.
Marca con una X la respuesta correcta:
a) En las funciones siguientes la que no corta o toca al eje x es:
___ f(x) = x2 + 4x + 4
___ g(x) = - x2 + 4x + 5
___ h(x) = - x2 - 16
___ t(x) = x2 - 2x
b) La función que tiene imagen y ∈ ℜ; y ≤ 2 de las siguientes es:
___ f(x) = x2 + 2
___ g(x) = - x2 - 2
___ t(x) = - x2 + 2
___ h(x) = x2 - 2
c) De las funciones siguientes la que tiene vértice V(- 1;- 2) es:
___ f(x) = (x + 1)2 + 2
___ h(x) = (x - 1)2 + 2
___ g(x) = (x + 1)2 - 2
___ g(x) = (x - 1)2 - 2
d) La gráfica que corta al eje y en el punto (0;3) de las funciones siguientes es:
___ f(x) = 3x2
___ g(x) = - x2 + 3x
___ h(x) = x2 - 2x - 3
___ t(x) = x2 - 2x + 3
e) El par M(- 2;- 2) pertenece a la función cuya ecuación es:
___ f(x) = 2x2 - 6x
___ g(x) = - x2 - 3x
402
___ h(x) = x2 - 2x - 6
___ p(x) = x2 - 2x - 10
CAPÍTULO 4
9.
Calcula el valor del parámetro c para que la parábola cuya ecuación es
f(x) = x2 - 5x + c pase por el punto (2;2).
a) Verifica cuántos ceros tiene la función f. Fundamenta tu respuesta.
b) Halla su valor mínimo.
10. Enlaza las funciones de la columna A con las propiedades que cumplen
en la columna B.
A
B
y = x - 3x + 5
y = - 2x2 - 8x
y = 4x2 + 4x + 1
y = - x2 + 5
y = x2 + 5
y = x2 - 2x + 1
y = 3x2
tiene imagen y ∈ ℜ; y ≤ 5
Su eje de simetría es x = 0
no tiene ceros
es creciente para x >1
tiene vértice V(- 2;8)
tiene cero x = - 0,5
tiene cero x = 0,5
tiene valor mínimo y = 5
2
11. Escribe en cada inciso la ecuación de una función de la forma y = x2 + bx + c
de la que conoces:
a) el vértice es V(1;- 2).
b) los ceros son x1 = 6 y x2 = - 2.
c) su gráfico pasa por los puntos A(- 1;4) y B(1;- 2).
(sugerencia para el inciso a): escribe la ecuación en la forma y = (x + d)2 + e
y transfórmala a la forma pedida).
12. Escribe en cada inciso dos ecuaciones de la forma y = x2 + bx + c, si se
conoce que la ecuación de la recta que representa el eje de simetría de
la parábola correspondiente es:
y
a) x = 5
b) x = - 3
g
4–
h
c) x = 0
13. Escribe
las ecuaciones del
tipo y = x + bx + c que definen a
las funciones representadas en la
figura 4.80:
2
f
– 3,5
01
3
5
x
Fig. 4.80
403
MATEMÁTICA
14. Escribe la ecuación del tipo y = ax2 + bx + c, que define a cada una de las
funciones representadas en la figura 4.81, si a= 1.
a)
y
f
1
–1
0
b)
y
c)
y
h
g
1
0
–1
x
2
1
3
–2
4 x
0
–1
x
Fig. 4.81
15. Escribe las ecuaciones del tipo y = ± (x + d)2 + e, según corresponda, que
definen a las funciones representadas en la figura 4.82:
b)
a)
y
0
3
c)
y
y
2
x
–1
–2
0 x
0
x
–1
–4
Fig. 4.82
16.* Escribe para cada inciso una ecuación cuadrática de la forma y = x2 + bx + c
de la que se conoce:
a) el eje de la parábola es la recta x = 2 y tiene dos ceros;
b) el eje de la parábola es la recta x = 1 y tiene un cero;
c) el eje de la parábola es la recta x = 0,5 y no tiene ceros.
17. La ecuación V(a) = 13 · a2 · h representa la dependencia funcional del volu-
men (cm3) de una pirámide de base cuadrada en función de la longitud
de la arista de la base para un mismo valor de su altura h.
a) Representa esta función para 0 ≤ a ≤ 4, si h = 3.
b) Determina el volumen máximo que puede alcanzar la pirámide en
este tramo representado con el apoyo del gráfico.
18. El perímetro de un rectángulo es de 20 cm y su base mide a cm. Expresa
los valores de su área (A) en función de la longitud de la base y representa
gráficamente esta dependencia para 0 ≤ a ≤ 10.
404
CAPÍTULO 4
19. Una pelota es lanzada hacia arriba, denotemos por h, en metros,
la altura y por t, en segundos, el tiempo transcurrido a partir del
instante que se lanza. La dependencia de h en función del tiempo
t se expresa mediante la fórmula h = 25t - 5t2, sin tener en cuenta
el viento.
a) ¿Cuál es la mayor altura que alcanza la pelota?
b) ¿Durante cuánto tiempo la pelota asciende? ¿Y durante cuánto tiempo
desciende?
c) ¿Al cabo de cuánto tiempo de lanzada la pelota llega al suelo?
20. La suma de dos números es 24. Encuentra dichos números con la condición de que su producto sea el máximo.
21. Se necesita formar un rectángulo de tal forma que su perímetro sea de
120 m.
a) Determina la longitud de sus lados para que su área sea máxima.
b) Calcula la magnitud del área máxima.
22. La utilidad mensual, en miles de dólares, de una empresa se expresa
mediante la ecuación u(x) = - 2x2 + 20x - 15, donde x representa el
número de artículos, en cientos, que se producen y venden en un
mes.
a) Determina la cantidad de artículos que la empresa debe producir y
vender en un mes para que la utilidad sea máxima.
b) Halla el monto de la utilidad máxima.
23. Utilizando algún asistente matemático a tu alcance, por ejemplo, el
GeoGebra, realiza las acciones siguientes:
a) Traza la gráfica de la función f(x) = 2x2 - 3x + 1.
b) Varía el valor del parámetro a y analiza cómo va cambiando la
parábola respecto a la que trazaste inicialmente.
c) Varía el valor del parámetro b y analiza cómo va cambiando la parábola respecto a la que trazaste inicialmente.
d) Varía el valor del parámetro c y analiza cómo va cambiando la parábola respecto a la que trazaste inicialmente.
e) Escribe las conclusiones a la que arribaste sobre cómo cambia la
parábola al variar los parámetros a, b y c.
405
MATEMÁTICA
EJERCICIOS DEL CAPÍTULO
1. Calcula y simplifica las expresiones siguientes con la aplicación de los
productos notables estudiados.
a) (x + 2)2 - (x - 5)(x + 5) + 2
b) (y - 6)2 + (2y - 3)(2y + 3) - (y + 1)(y + 2)
c) (x + 2)(x + 15) - (x + 3)2 - 25
d) (y - 1)(y + 2) + y(y + 7) - (y + 3)(y - 3)
e) 2p(p + 1) - (p + 7)(p - 5) - p2
f) (m + 20)(m - 12) + (m - 6)(m + 7) - 3m2
g) (xy - 1)2 + (xy + 2)(xy - 3) + 5(xy - 1) + 11
n
n
n
h) 5 6 - 2n
1 - (7 - n)(7 + n) + 79
3
3
18
2.
Descompón en factores, si es posible, las expresiones siguientes:
a) 8a - 8b
b) x2 - 2x - 48
d) 2m2 - 17m + 8
j) 5n2 + 12n + 4
c) y2 - 49
g) p2 - 1
36
2
k) x - x + 8
e) x3y - 2yx
f) y2 - 14y + 49
i) y2 - 7
m) 18a3 - 2a2
n) 5b2 + 11b + 2
ñ) 6c2 - 7c - 20
o) 4z2 - 169
2
h) 3m3 - 6m2
l) v2 + 36 + 12v
p) x2 - 15x + 50 q) p - 1
r) a2 - 15a + 54
16
t) 4b2 - 0,49c4
u) 8ab2 - 4a3b + 4a2b2
3.
4.
s) x2 + 7x - 44
v) 10y2 + 21yz - 10z2
Factoriza completamente las expresiones algebraicas siguientes:
a) 8x3 - 2x
b) 3y2 + 6y - 24
d) b4 - b2 - 12
e) a5 - a
g) mp + 3p - m - 3
h) x5 - 10x3 + 9x
c) 18z3 - 50z
f) 1 (m + 5) - x2(m + 5)
4
i) p4 - 25p2 - 144
j) 2x5 - 16x3 + 32x
k) m4 - 256
l) 3y7z - 3yz - 6yz
Marca con una X la respuesta correcta.
4.1 La cuarta parte del área de un cuadrado es
x2 + 4 x + 4
. El doble
4
del perímetro de dicho cuadrado es:
a) __ x + 2 b) __ (x + 2)2 c) __ 4x + 8 d) __ 2x + 4 e) __ 8x + 46
4.2 Si ab = 10 y a2 + b2 = 29, entonces el valor numérico de (a - b)2 es:
a) ___ 3
b) ___ 9
c) ___ 19
d) ___ 21
e) ___ 18
406
CAPÍTULO 4
5.
Calcula y simplifica las expresiones siguientes:
a) (x + 8)2 - x(x + 3) - 5x
b) (1 - 2x)2 + 2(2x - 5)
c) (y - 10)(y + 10) - 3(7y + 2) + 6
d) (m + 12)(m + 10) + 6(m + 5) + 46
2
e) 3x(x - 1) - (x + 4) + 21
f) (x2 + 1)2 + x(4x + 2) - (2x + 41)
g) (2z + 1)(z - 3) + z(z2 - 2z) - (23z - 3)
h) (2p + 7)2 - 4(4p +10)
5.1 Factoriza las expresiones obtenidas en cada inciso.
6.
Sean A = 2x + 3 ; B = x + 7 y C = x - 2.
a) Calcula y simplifica D = A2 - B ⋅ C - 21.
b) Factoriza la expresión D.
7.
1
x
x
Sean M = 3 - 3 y N = 1 1.
3
3
2
a) Calcula y simplifica N - M - x2.
b) Expresa como producto la expresión resultante.
8.
Sean T = (2x - 1)(x + 3) - x(2x + 1) y S = 12x - 5
a) Calcula T2 + 2S.
b) Descompón en factores la expresión resultante.
9.
Dados A = (x + 7)(x - 7) ; B = 2x + 8 y C = x2 - x - 53.
a) Prueba que A - B = C.
2
0, 000002
b) Halla el valor numérico de la expresión A para x =
.
100-3
c) ¿Para qué valores de x se cumple que C = 3?
10. Resuelve las ecuaciones siguientes:
a) x2 + 8x + 16 = 0
b) x2 - 2x - 63 = 0
c) x2 + 7x = 18
d) 2x2 + 3x + 1 = 0
e) 4x2 - 225 = 0
f) x2 = 0,16
g) x2 - 5x = 0
h) 6x - 3x2 = 0
i) x2 + 3x + 5 = 0
j) x2 + 3x - 5 = 0
k) x2 - x - 0,5 = 0
l) 2x2 + x = 5
11. Halla el conjunto solución de las ecuaciones siguientes:
a) (x + 5)(x - 5) = - 9
b) (x - 1)(x + 2) - (2x - 3)(x + 4) - x + 14 = 0
c) 2x2 - (x - 2)(x + 5) = 7(x + 3)
d) (x - 2)2 - (2x + 3)2 = - 80
407
MATEMÁTICA
e) (x + 4)2 = 2x(5x - 1) - 7(x - 2) f) 3(x2 + 1) = 2x2 + 52
g) (x - 3)2 - (2x + 5)2 = - 16 - 2x h) (x - 2)(x + 2) - 7(x - 1) = 21
i) (4x - 1)(2x + 3) = (x + 3)(x - 1)
j) 6x2 - 13x = 10x - 21
k) 5x2 + 4x + 1 = x(3x - 2)
l) x(x - 3) - 2x = 7
2
1
x
m) x 2 1 0
2
2
n) (x - 0,2)(x + 0,2) + 2(x - 1,3) = - 4,64
12. Marca con una X la respuesta correcta.
12.1 Para que el producto de las soluciones de la ecuación 3x2 + kx - 3 = 0
sea igual a - 1, el valor de k debe ser:
a) ___ 3
b) ___ 1
c) ___ - 1
d) ___ - 3
e) ___ 0
3
3
12.2 Si x1 y x2 son las soluciones de la ecuación x2 + 9x + 18 = 0, entonces
el valor de (x1 + x2)(x1 · x2) es igual a:
a) ___ -162
b) ___ - 54
c) ___ 81
d) ___ 54
e) ___ 162
12.3 Si x = 0 es una de las soluciones de la ecuación x2 - 4x + 8k, entonces
la otra solución es:
a) ___ - 2
b) ___ 0
c) ___ 4
d) ___ ninguna de ellas
12.4 La ecuación cuadrática que tiene como soluciones x1 = - 2 y x2 = 3
de las siguientes es:
a) __ x2 - x + 6 = 0
b) __ x2 + x - 6 = 0 c) __ 3x2 - 3x - 12 = 0
d) __ - 2x2 + 2x + 12 = 0 e) __ 5x2 - 5x + 3 = 0
12.5 La ecuación cuadrática que tiene como soluciones x1 = 1 y x2 = - 1
es:
a) ___ x2 + 1 = 0
b) ___ x2 + x = 0
c) ___ x2 - x = 0
d) ___ ninguna de las anteriores
12.6 La ecuación cuadrática cuyas soluciones son a y b es:
a) ___ x2 - ax + b = 0
b) ___ x2 - bx + a = 0
c) ___ x2 + (a + b)x + ab = 0
d) ___ x2 - (a + b)x + ab = 0
13. En un cuadrado mágico (figura 4.83) la suma de los
números situados en las casillas horizontales, verticales y diagonales es la misma. Sabiendo que x es
un número natural, completa el cuadrado mágico
siguiente si dicha suma es igual a 12.
3x
x2
-x
x
Fig. 4.83
408
CAPÍTULO 4
14. Determina, sin resolver, cuántas soluciones tienen las ecuaciones cuadráticas siguientes:
a) x2 + x - 7 = 0
b) 2y2 + 5y - 12 = 0
c) 9z2 - 30z + 50 = 0
d) 8p2 + 15p - 27 = 0
e) 2m2 - 20m + 50 = 0
g) 15x2 + x - 16 = 0
h) 0,3b2 + b + 0,4 = 0
f) 3n2 - 6n + 5 = 0
2
5
i) x 2 x 3
3
4
15. Marca con una X la respuesta correcta.
El valor del discriminante de la ecuación cuadrática - x2 - 1 = 0 es:
a) ___ 4
b) ___ - 4
c) ___ - 3
d) ___ 1
16. En un rectángulo, el ancho equivale a la tercera parte del largo y su
superficie mide 48 m2. Si con la longitud del largo se construyera un
cuadrado, tendría una superficie de:
a) ___ 6 m2
b) ___ 9 m2
c) ___ 11 m2
d) ___ 144 m2
17. Si se multiplica un número por otro que lo excede en 10, se obtiene como
resultado 459. ¿Qué números satisfacen esta condición?
18. La suma de dos números es 9 y la suma de sus cuadrados es 53. Halla los
números.
19. El largo de una sala rectangular excede en 4,0 m a su ancho. Si cada
dimensión se aumenta en 4,0 m, el área será el doble de la original.
¿Cuáles son las dimensiones de la sala?
20. Un conjunto de 180 hombres está dispuesto en filas. El número de hombres en cada fila es igual al número de filas aumentado en ocho. ¿Cuántas
filas hay y cuántos hombres en cada una de estas?
21. El perímetro de un rectángulo es de 14 cm y su diagonal mide 5,0 cm.
Halla las longitudes de sus lados.
22. La suma de los cuadrados de cuatro números enteros consecutivos es
630. Halla todos los cuartetos de números que cumplen esta condición.
23. Encuentra dos números enteros consecutivos impares cuyo producto
sea 195.
24. ¿Cuál es la edad de Paula y la de Henry, si sabes que la diferencia de sus
edades es de dos años y que la suma de estas es de 1 060?
409
MATEMÁTICA
25. Encuentra la longitud del lado de un cuadrado en el cual el valor numérico de su perímetro es 45 cm menor que el valor numérico de su área.
26. Una parcela de tierra de 375 m2 tiene forma rectangular, uno de sus
lados tiene el 60 % de la longitud del otro lado. Halla las dimensiones
de la parcela.
27. Un parque rectangular tiene su piso cubierto por losas y tiene en su
interior un jardín, también rectangular, cuyas dimensiones, en metros,
se muestran en la figura 4.84. Si las losas cubren una superficie igual
a 8 000 m2. 
x+4
x
2x
2x + 7
Fig. 4.84
a) ¿Cuáles son las dimensiones del parque?
b) ¿Qué tanto por ciento de la superficie total del parque está ocupada
por el jardín?
28. Considera la fórmula h = vt - 4,9t2 la cual nos permite calcular la altura
que alcanza un objeto lanzado hacia arriba. ¿Cuántos segundos aproximadamente tardará una pelota de tenis en alcanzar una altura de 16,4 m
si es arrojada con una velocidad de 20,3 m/s?
29. Para indicar el tamaño de la pantalla de un televisor, el fabricante proporciona las medidas del largo de una de sus diagonales. En un televisor
de 20”, la pantalla tiene cuatro pulgadas más de largo que de ancho.
Tomando en cuenta esto, ¿cuáles son las dimensiones aproximadas (largo
y ancho) de la pantalla de dicho televisor?
(Nota: el tamaño de la pantalla es la distancia en diagonal de un vértice
de la pantalla al opuesto)
410
CAPÍTULO 4
30. Representa gráficamente las funciones siguientes:
a) y = x2 - 6x - 7
b) y = x2 + 8x - 9
c) y = 2x2 - 3x + 1
d) y = 3x2 - 4x - 2
e) y = x2 + 4x
f) y = 2x2 - 3x
g) y = x2 - 1
h) y = 4x2 - 9
i) y = - x2 + 4x + 5
j) y = - x2 - 3x - 2
k) y = - 2x2 + 4x
l) y = - x2 + 4x
m) y = - x2 + 4
n) y = x2 - 4x + 4
ñ) y = - x2 - 4x - 4
o) y = x2 - 3x + 9
p) y = - x2 + 3x - 9
q) y = (x - 1)2 - 3
r) y = (x + 2)2 - 4
s) y = - (x + 1)2
30.1 Escribe las propiedades estudiadas para las funciones cuadráticas
en cada inciso.
31. Determina la ecuación de la forma y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) de una función
cuadrática f, si conoces que:
a) a = 1 ; P(0;3) y Q(1;6) pertenecen al gráfico de f.
b) a = - 1 ; x1 = 4 y x2 = 1 son los ceros de f.
c) a = 2 ; R(1;6) y S(- 1;0) pertenecen al gráfico de f.
d) a = - 2, para x ≥ 1, f es monótona decreciente y para x ≤ 1 f es monótona creciente y A(0;5) pertenece al gráfico de f.
e) a = - 1 y V(3;- 3).
32. Determina la ecuación, en la forma indicada, de las funciones cuadráticas representadas en la figura 4.85:
32.1 Escribe sus propiedades.
a)
b) g(x) = ax2 + bx + c
f(x) = 2x2 + bx + c
y
–1
3
0
y
–1
x
2
3
x
–6
d)
c) h(x) = (x + d) + e
0
t(x) = –x2 + bx + c
y
y
0
9
4
x
–3
0
x
–9
Fig. 4.85
411
MATEMÁTICA
33. Dada la función cuadrática f(x) = x2 - 6x + 8, escribe verdadero (V) o falso
(F) según corresponda. Argumenta las que consideres falsas.
a) __ La gráfica de la función abre hacia abajo.
b) __ La ordenada del vértice es su valor mínimo.
c) __ La gráfica de f interseca al eje y, en y = 8.
d) __ El vértice de la parábola que determina la función f tiene coordenadas (- 3;1).
e) __ El dominio de f es el conjunto de los números reales.
f) __ Los ceros de f son x1 = 4 o x2 = - 2.
34. El gráfico corresponde a una función f definida en conjunto de los números reales por la ecuación f(x) = (x + d)2 + e (figura 4.86).
34.1 Completa los espacios en blanco.
y
0
1
4
x
–9
Fig. 4.86
a) El otro cero de f es _______.
b) La función f es monótona creciente para ______.
c) El eje de simetría tiene ecuación _____.
d) Las coordenadas del vértice de f son ______.
34.2 Marca con una X la respuesta correcta:
a) La ecuación de la función f es:
___ f(x) = (x + 1)2 + 9
___ f(x) = (x - 1)2 + 9
___ f(x) = (x + 1)2 - 9
___ f(x) = (x - 1)2 - 9
b) De la función f se puede afirmar que:
__ interseca al eje y en - 9
__ tiene valor máximo y = - 9
412
__ tiene imagen {y ∈ ℜ: y > - 9}
__ f(- 2) > f(3)
CAPÍTULO 4
c) De los siguientes pares ordenados el que pertenece a la función f es:
__ (0;- 9)
__ (- 1;- 5)
__ (- 1;- 13)
__ (0,5;- 8,25)
35. El gráfico corresponde a la función g definida en R por una ecuación de
la forma g(x) = x2 + bx + c, con b, c ∈ ℜ (figura 4.87)
35.1 Marca con una X la respuesta correcta.
a) Para la función g se cumple que:
__ b > a > c
__ c > a > b
__ c = b > a
__ c > b > a
b) Se puede afirmar que:
__ El otro cero de g es 1
__ La función g es creciente para x ≤ 5.
__ La imagen de g es y ∈ ℜ: y > - 16
__ Tiene valor máximo y = - 16
35.2 Escribe verdadero (V) o falso (F). Argumenta las que consideres falsas.
a) ___ La función g tiene dominio x ∈ ℜ.
b) ___ El eje de simetría de la parábola tiene ecuación y = 5.
c) ___ El par (- 1;20) pertenece a g.
d) ___ El punto (1;10) es el simétrico del punto (0;9).
e) ___ g(3) > g(- 3).
36. Representa en un sistema de coordenadas rectangulares la función
h(x) = x2 + 4x para - 3 ≤ x ≤ 3.
a) Escribe su conjunto imagen.
b) Determina para qué valores de x la función f es monótona decreciente.
c) Di si la parábola representada tiene algún cero en ese tramo. En caso
afirmativo, determina cuál es.
d) Escribe su valor mínimo.
37. Marca con una X la respuesta correcta.
37.1 La parábola de ecuación y = x2 - 4x + 3, interseca al eje de las abscisas
en los puntos:
a) ___ (- 1;0) y (- 3;0)
b) ___ (1;0) y (3;0)
c) ___ (0;1) y (0;3)
d) ___ (0;- 1) y (0;- 3)
413
MATEMÁTICA
37.2 Sea f una función de ecuación f(x) = 3x2 + 5kx definida en el conjunto
de los números reales y f(3) = 42, entonces f(- 3) es igual a:
a) ___ - 108
b) ___ - 42
c) ___ 12
d) ___ 42
e) ___ 96
37.3 El gráfico de la parábola y = 2x2 - 3x + 5 corta al eje de las ordenadas
en el punto:
a) __ (0;2)
b) __ (0;3)
c) __ (0;0)
d) __ (0;- 3)
e) __ (0;5)
37.4 La representación gráfica de la función cuya ecuación es y = - 3x2
es una parábola de vértice:
a) __ (0;3)
b) __ (0;- 3)
c) __ (0;0)
d) __ (- 3;0)
e) __ (3;0)
37.5 El eje y es el eje de simetría de una parábola de ecuación
y = ax2 + bx + c cuando:
a) __ a < 0 b) ___ a > 0 c) __ b < 0 d) __ b > 0 e) __ b = 0
37.6 Para que la parábola y = 7x2 - 4x + 2k - 10 pase por el origen de
coordenadas, el valor de k debe ser:
a) __ 10
b) __ 5
c) __ 0
d) __ - 5
e) __ ninguno de esos
37.7 Si f(x) = kx2 + 2x + 3 y k > 0, entonces el gráfico (figura 4.88) que
corresponde la función f es:
a) ____
b) ____
y
y
3
x
0
x
–3
c) ____
d) ____
y
y
3
0
3
x
Fig. 4.88
414
0
x
CAPÍTULO 4
PARA LA AUTOEVALUACIÓN
Reflexiona sobre lo aprendido
1.
¿Qué es un producto notable?
2.
¿Para qué se utilizan los productos notables?
3.
¿Cuáles productos notables estudiaste en este capítulo?
4.
¿Cómo se llama el procedimiento que permite expresar una suma
algebraica como producto?
5.
¿Cuáles son los casos de descomposición factorial que estudiaste?
6.
¿Cuándo una ecuación es cuadrática?
7.
¿Cuáles son sus métodos de resolución de una ecuación cuadrática
que conoces?
8.
¿Qué método utilizas cuando no puedes factorizar a simple vista?
9.
¿Cuál es la fórmula del discriminante? ¿Para qué se usa el discriminante?
10. ¿A qué llamamos función cuadrática?
11. ¿Cuál es su representación gráfica?
12. ¿De qué depende que la parábola abra hacia arriba o hacia abajo?
13. ¿Sabes escribir la ecuación de una función cuadrática?
14. ¿Cuáles son sus propiedades?
15. ¿Cómo determinar los ceros de una función cuadrática?
16. ¿Qué valor tomas para escribir la imagen y el valor máximo o mínimo
de una función cuadrática?
17. ¿Qué valor tomas para escribir la monotonía de una función cuadrática?
415
MATEMÁTICA
Ponte a prueba
1.
Completa el crucigrama siguiente (figura 4.89).
1
2
1
3
6
4
5
3
4
5
Fig. 4.89
Horizontales
1. Valor que se obtiene como resultado de asignar valores a las variables
y realizar las operaciones indicadas.
2. Regla de correspondencia que asigna a cada elemento de un conjunto
un único elemento del otro conjunto.
3. Expresión algebraica formada por varios términos.
4. Términos que contienen la misma parte literal.
5. Expresión que indica la cantidad de soluciones de una ecuación cuadrática.
Verticales
1. Expresión algebraica formada por un solo término.
2. Descomponer en factores.
3. Producto que se puede realizar mediante una regla.
4. Único punto de la parábola situado sobre su eje.
5. Intercepto de la gráfica con el eje de las abscisas.
6. Expresión algebraica formada por dos monomios.
416
CAPÍTULO 4
2.
Sean A = 2x + 7 ; B = (2x - 7)(2x + 7) - 5x y C = (x + 2)(x - 5)
a) Calcula y simplifica D = A2 - B + C
b) Factoriza completamente la expresión 2x5 - 26x3 - 96x.
0, 00000016
c) Halla el valor numérico de la expresión B para x =
.
25 100 4
d) Halla el conjunto solución de la ecuación C = - 6.
3.
Determina si la ecuación x2 - 3x + 1 = 0 tiene solución en el conjunto de
los números reales. En caso afirmativo halla dichas soluciones, en caso
contrario, argumenta por qué.
4.
Genaro posee un terreno rectangular que tiene 2,0 m más de largo que
de ancho. Pedro, por su parte, tiene un terreno con forma cuadrada
cuyo lado tiene igual longitud que el ancho del terreno de Genaro. Si el
duplo de la superficie que tiene el terreno de Pedro excede en 48 m2 a
la que tiene el terreno de Genaro, ¿cuáles son las dimensiones de ambos
terrenos?
5.
En la figura 4.90 aparecen representadas cuatro funciones cuadráticas
cuyas ecuaciones son:
f(x) = (x - 2)2 - 4; g(x) (x - 3)2; h(x) = - x2 + 4 y p(x) = x2 + 4x + 3.
5.1 Coloca en la raya debajo de cada gráfico la ecuación que se corresponde con la parábola representada.
5.2 Escribe verdadero o falso según corresponda. Argumenta las que
consideres falsas.
a) ___ La función h tiene valor máximo y = 4.
b) ___ La función f es decreciente para x ≤ - 4.
c) ___ La función g no tiene ceros.
d) ___ La imagen de la función p es y∈ ℜ: y ≥ - 1.
e) ___ La parábola representada en la segunda gráfica tiene eje
de simetría y = 0.
2f (3) h( 1) 3
g(11) = 3
5.3 Prueba que:
p(0)
417
CAPÍTULO 5
Cuerpos
E
n este capítulo continuarás profundizando en el estudio de otros
cuerpos geométricos, los llamados cuerpos redondos o cuerpos de
revolución; estudiarás su definición, sus elementos y propiedades
fundamentales, así como el cálculo de dichos elementos; aprenderás a
reconocerlos en tu entorno, a realizar su esbozo y la construcción en perspectiva caballera. Asimilarás nuevas ecuaciones que expresan sus áreas y
volúmenes, las aplicarás a la resolución de ejercicios y problemas. Pero debes realizar antes un repaso sistematizador, para el cual es importante que
recuerdes los elementos del prisma y la pirámide que estudiaste en octavo
grado, tales como, bases, caras, aristas, alturas y ángulos, además de todas
las propiedades relacionadas con estos, las ecuaciones para calcular el área
total y el volumen del prisma y de la pirámide respectivamente. Después
completarás tu estudio tratando de resolver los diez ejercicios del primer
epígrafe u otros similares que te oriente tu profesor y estarás en condiciones
de enfrentar con éxito el estudio de los cuerpos con base circular.
5.1 Repaso sobre cálculo de áreas y volúmenes
del prisma y la pirámide
En octavo grado estudiaste el prisma recto y la pirámide recta como cuerpos limitados por polígonos, en aquella oportunidad aprendiste a calcular
el área total y el volumen de esos cuerpos, ahora tendrás la oportunidad
de sistematizar estos contenidos.
Primero, recordaremos algunas definiciones y propiedades del prisma
y de la pirámide.
419
MATEMÁTICA
✅
Recuerda que…
Un prisma es un cuerpo geométrico limitado por dos polígonos iguales de n
lados situados en planos paralelos, llamados bases y por n paralelogramos,
llamados caras laterales (figura 5.1)
Fig. 5.1
Además, el prisma es regular cuando es recto y sus bases son polígonos
regulares (por ejemplo: un triángulo equilátero, un cuadrado, un pentágono
regular, entre otros).
Los prismas se denominan por el número de lados de los polígonos de
sus bases. Observa la figura 5.1, entonces el prisma (A) se llama triangular;
el (B), cuadrangular, el (C) pentagonal y el (D) exagonal, etcétera.
En octavo grado estudiaste que cuando en un prisma las aristas laterales no son perpendiculares a la base decimos que es un prisma oblicuo,
figura 5.1.C y en caso contrario, prisma recto, observa en la figura 5.1 los
ejemplos A, B y D.
✅
Recuerda que…
Una pirámide es un cuerpo geométrico limitado por un polígono llamado
base de la pirámide, y por caras laterales, que son triángulos con vértice
común (figura 5.2).
Fig. 5.2
420
CAPÍTULO 5
Observa las pirámides ABCD y MNPQ de la figura 5.2, las alturas respectivas parten de sus vértices y llegan hasta el centro de sus bases, entonces
decimos que son pirámides rectas, en el caso de la pirámide HIJKL la altura
es la arista lateral LJ, por tanto, es oblicua.
Una pirámide es regular cuando es recta y su base es un polígono regular, entonces las aristas laterales son todas iguales y las caras laterales
son triángulos isósceles y las alturas de estos triángulos reciben el nombre
de apotema.
En la figura 5.2, la pirámide ABCDE es regular y EG es apotema del
triángulo BCE.
✆
Reflexiona un instante
¿Cómo calcular áreas de estos cuerpos o sea el área lateral, el área de la
base y el área total?
Ejemplo 1
Sea ABCDEFGH (figura 5.3) un prisma recto de
base cuadrada de lado 1,5 m. La altura del prisma
es igual a 2,0 m.
a) Calcula el área total del prisma.
b) Se tienen 12 cajas con dimensiones iguales que
el prisma de la figura 5.3 y se desea forrarlas con
papel a color. ¿Qué cantidad aproximadamente
se necesita?
Fig. 5.3
Solución:
2
a) Como la base es un cuadrado, el área se calcula: AB = AB y el perímetro
del cuadrado se calcula P = 4 · AB
AT = 2AABCD + PABCD · h
2
AT = 2 AB + 4 · AB · AE
(sustituyendo)
AT = 2 · (1,5) + 4 · 1,5 · 2
2
AT = 2 · 2,25 + 8 · 1,5
AT = 4,5 + 12
AT = 16,5 m2
AT ≈ 17 m2
421
MATEMÁTICA
b) 17 · 12 = 204 m2
Respuesta:
Se necesitan aproximadamente 204 m2
✅
Recuerda que…
El área total de la pirámide se calcula con la ecuación:
AT = AB + AL.
AB: área de base.
AL: área lateral, que se calcula como la suma de las áreas de las caras laterales
(triángulos) que forman la pirámide.
Ejemplo 2
En la figura 5.4 se muestra una pirámide recta cuya base ABCD es un rectángulo,
que cumple las condiciones siguientes:
► EF = 8,0 cm, altura de la pirámide.
► AB = 12 cm largo del rectángulo de la
base.
► BC = 6,0 cm, ancho del rectángulo de
la base.
► GF = 10 cm, apotema del triángulo BCF.
► HF = 8,5 cm, apotema del triángulo ABF.
Fig. 5.4
Calcula su área lateral y área total.
Solución:
Luego el área lateral de la pirámide ABCDF se calcula:
AL 2 AABF 2 ABCF
1
AB HF (figura 5.5)
2
1
AABF 12 cm 8,5 cm
2
AABF = 51 cm2
1
ABCF BC GF (figura 5.6)
2
1
ABCF 6 cm 10 cm
2
ABCF = 30 cm2
AABF
422
Fig. 5.5
Fig. 5.6
CAPÍTULO 5
AL = 2 AABF + 2ABCF
AL = 2 · 51 cm2 + 2 · 30 cm2
AL = 102 cm2 + 60 cm2
AL = 162 cm2
AL ≈ 1,6 dm2
El área de la base de la pirámide ABCDF es el rectángulo ABCD (figura 5.7)
y se calcula:
AB = AB · BC
AB = 12 cm · 6 cm
AB = 72 cm2
El area total de la pirámide es igual a:
AT AB AL
AT 72 cm2 162 cm2
D
C
A
B
Fig. 5.7
AT = 234 cm2
AT ≈ 2, 3 dm2
Respuesta:
El área lateral de la pirámide es aproximadamente 1,6 dm2 y el área
total 2,3 dm2.
✆
Reflexiona un instante
A una pieza maciza de madera en forma de prisma recto de base cuadrada
se le realizó una perforación en forma de pirámide recta, que cumple las
condiciones siguientes:
► La base de la pirámide coincide con la base inferior del prisma.
► La longitud de los lados del cuadrado de la base es igual a 2,0 dm.
► El prisma tiene una altura igual 1,8 dm.
► La longitud de la altura de la pirámide es
del prisma.
2
de la longitud de la altura
3
a) Calcula el volumen de la pieza de madera antes de la perforación.
b) Calcula el volumen de la pieza después de la perforación.
Para calcular los dos volúmenes que se desea, hay que calcular el volumen de dos cuerpos geométricos, o sea, el del prisma y el de la pirámide.
423
MATEMÁTICA
✅
Recuerda que…
La ecuación para calcular el volumen del prisma: V = AB · h
1
La ecuación para calcular el volumen de la pirámide: V = AB · h
3
Representación de los cuerpos en perspectiva caballera, figura 5.8.
a) VP = AB · h
La base es un cuadrado, luego:
AB = AB
2
2
AB 2 dm
AB = 4 dm2
VABCDEFGH = 4 dm2 · 1, 8 dm
VABCDEFGH = 7, 2 dm3
Fig. 5.8
Respuesta:
El volumen de la pieza antes de perforar es igual a 7,2 dm3.
b) Para calcular el volumen de la pieza después de perforada, se procede
de la manera siguiente. Al volumen de la pieza antes de perforarla se le
sustrae el volumen de la pirámide.
Vp =
1
AB · h
3
Para calcular el volumen de la pirámide ABCDP se procede así:
1
VABCDP AABCD OP
3
Observa que las bases de los cuerpos coinciden, luego el área de la base
de la pirámide es: AB = 4,0 dm2
2
La altura de la pirámide OP es
de 1,8 dm, luego OP se calcula:
3
2 18 6
OP
1, 2 dm
3 10 5
1
VABCDP 4 , 0 dm2 1, 2 dm
3
V = 1, 6 dm3
El volumen de la pirámide es igual a 1,6 dm3.
424
CAPÍTULO 5
Ahora calculamos el volumen de la pieza después de la perforación.
VABCDEFG – VABCDP = 7,2 dm3 – 1,6 dm3 = 5,6 dm3
Respuesta:
El volumen de la pieza después de la perforación es igual a 5,6 dm3.
Ejercicios
1.
Sea MNPQR en ese orden, una pirámide recta de base el cuadrado
MNPQ, R vértice superior y O punto de intersección de las diagonales
de la base de la pirámide.
1.1 Clasifica las proposiciones siguientes en verdaderas (V) o falsas (F).
Argumenta las falsas.
a) __ La altura de la pirámide es perpendicular a la arista de la
base MN
b) __ Las caras laterales de la pirámide son triángulos isósceles.
c) __ El volumen de la pirámide se calcula por la fórmula
A OR
V B
3
d) __ El segmento que parte de R y es perpendicular a MN es la
apotema del triángulo MNR.
e) __ El área lateral de la pirámide se calcula por la fórmula
AL = P · h (P: perímetro de la base y h: altura de la pirámide)
f) __ La pirámide MNPQR es regular.
2.
Un prisma recto de base rectangular tiene una altura de 6,5 cm y las
dimensiones de la base son 3,4 cm y 46 mm. Calcula su área lateral.
3.
Halla el área total de un prisma recto cuya altura es igual 5,4 cm y la
base es un rombo cuyas diagonales miden 6,0 cm y 8,0 cm.
4.
De un cuerpo macizo en forma de prisma de altura igual a 70 mm y la
base un rectángulo donde el largo es el doble del ancho, se talló una
pirámide donde se mantiene igual la altura y la base, el área lateral
del prisma es 168 cm2. Calcula el volumen de la pirámide.
5.
Halla el área total de una pirámide recta de base cuadrada, cuya superficie de la base mide 196 cm2 de área y la longitud de las alturas de sus
caras representan las tres séptimas partes de las aristas de sus bases.
425
MATEMÁTICA
6.
Calcula el área total del prisma recto representado en la figura 5.9.
Fig. 5.9
En la figura 5.10, se muestra una pirámide regular cuya base ABCD es un
cuadrado, que cumple las condiciones
siguientes:
► El volumen es igual a 48 dm3
► La altura de la pirámide EF = 4,0 dm
► La apotema EG del triángulo ABE es
igual a 5,0 dm.
a) Calcula el área lateral y área total de
la pirámide.
Fig. 5.10
7.
La figura 5.11 muestra una pirámide
recta que tiene como base al cuadrado ABCD de lado AB = 6,0 cm y altura
OE = 0,8 dm.
a) Calcula el volumen de la pirámide.
b) Si al área lateral de la pirámide es
igual a 102 cm2, calcula la longitud
de la altura del triángulo BCE.
c) Calcula el área total de la pirámide.
Fig. 5.11
426
CAPÍTULO 5
8.
En la figura 5.12 se muestra un
prisma recto ABCDEFGH que tiene
como bases los rectángulos ABCD
y EFGH, tal que:
► El volumen del prisma es 48 cm3
► AE = 6,0 cm
► 2 EH = HG
Calcula el área lateral del prisma
ABCDEFGH.
9.
En la figura 5.13 se muestra un
prisma recto de base rectangular
tal que:
► El perímetro de la base es igual
a 52 cm.
► El largo de la base excede en
60 mm al ancho.
► La altura del prisma es igual a
12 cm
Fig. 5.12
Fig. 5.13
a) Calcula la longitud de a y b.
b) Calcula el área lateral del prisma.
Si al prisma se le realiza un corte recto por una de sus diagonales
(d) entonces se obtienen dos prismas rectos de base un triángulo
rectángulo de catetos a y h e hipotenusa d, como se muestra en
la figura 5.14.
c) Calcula el área del rectángulo sombreado en el prisma de la
figura 5.14.
Fig. 5.14
427
MATEMÁTICA
5.2 El cilindro, el cono y la esfera
En séptimo y octavo grados estudiaste los cuerpos geométricos limitados
por caras planas; los llamados poliedros. Observa a tu alrededor, puedes ver
muchos cuerpos que no son poliedros, sino que tienen alguna cara curva
y que los utilizas a diario, en noveno grado te dedicarás al estudio de los
cuerpos geométricos que tienen sus caras curvas o cuerpos redondos; el
cilindro, el cono y la esfera.
Ejemplo 1
Observa la imagen de la figura 5.15, la conoces desde tus clases de
Geografía, es nuestro planeta Tierra, que tiene forma esférica.
Fig. 5.15
Sabes que desde la antigüedad las diferentes civilizaciones han utilizado los cuerpos geométricos redondos en sus construcciones. Observa las
imágenes de la figura 5.16.
a)
b)
Fig. 5.16
428
CAPÍTULO 5
Otros ejemplos de cuerpos geométricos redondos: las baterías eléctricas
(figura 5.17 a), instrumentos de percusión (figura 5.17 b) y la carpa del circo
(figura 5.17 c).
Fig. 5.17
✅
Recuerda que…
Definición de cilindro
Llamamos cilindro circular recto al cuerpo geométrico que se obtiene por
la rotación de un rectángulo alrededor de uno de sus lados.
Al aplicarle una rotación sobre uno de sus lados al rectángulo que aparece en la figura 5.18 a, se obtiene el cilindro circular recto que se muestra
en la figura 5.18 b.
Fig. 5.18
✆
Reflexiona un instante
¿Cuáles de los cuerpos representados en las figuras 5.16 y 5.17, según la
definición dada, representan cilindros?
Te darás cuenta que son: las baterías eléctricas, instrumentos de percusión
y la carpa del circo, entre otros.
429
MATEMÁTICA
✆
Reflexiona un instante
Observa detenidamente el cilindro circular recto de la figura 5.18a. ¿Cuáles
son a tu juicio los elementos que lo componen?
Elementos del cilindro circular recto
1. Está limitado por dos círculos iguales llamados bases y una superficie curva.
2. El radio del cilindro es el radio de sus bases: OA
3. La altura es la distancia entre sus bases: OO’
4. La generatriz es el segmento perpendicular a la base y cuyos extremos
pertenecen a las circunferencias que las limitan: AB (además se cumple
que la generatriz es igual a la altura)
Definición de cono
✅
Recuerda que…
Denominamos cono circular recto al cuerpo que se obtiene por la rotación
de un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos.
El cono circular recto de la figura 5.19 b, se obtuvo al aplicarle una rotación al triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos, figura 5.19 a.
Fig. 5.19
✆
Reflexiona un instante
De los cuerpos representados en las figuras 5.16 y 5.17, ¿cuáles, según la
definición dada, representan conos?
Te darás cuenta que es la parte superior de la carpa del circo.
430
CAPÍTULO 5
✆
Reflexiona un instante
Observa detenidamente el cono circular recto de la figura 5.19 b. ¿Cuáles
son a tu juicio los elementos que lo componen?
Elementos del cono circular recto
1. Está limitado por un círculo llamado base y por una superficie lateral curva.
2. El radio del cono es el radio de su base: OA
3. La altura es la distancia del vértice a la base: OB
4. La generatriz es cualquier segmento que tiene como extremo el vértice
del cono y un punto de la circunferencia que limita la base: AB
Observa la figura 5.19 b. En un cono de revolución la altura y el radio son
perpendiculares o sea (OB ⊥ OA) y la altura, el radio y la generatriz forman
un triángulo rectángulo en O. Esto va a ser útil para calcular los diferentes elementos del cono utilizando el teorema de Pitágoras, entonces se cumple que:
2
2
AB OA OB
✅
2
Recuerda que…
Definición de la esfera
Denominamos esfera al cuerpo geométrico que se obtiene por la rotación
de un semicírculo alrededor de su diámetro.
La esfera de la figura 5.20 b, se obtuvo al aplicarle una rotación al semicírculo alrededor de su diámetro, figura 5.20 a. El centro del semicírculo
será el centro de la esfera y los demás elementos de la esfera están muy
relacionados con los del semicírculo que la genera. Observa detenidamente
la figura 5.20 b, veamos sus elementos.
Fig. 5.20
431
MATEMÁTICA
Elementos de la esfera
1. Está limitada por una superficie curva.
2. El centro de la esfera es el centro de los círculos y las circunferencias
máximas (la mayor circunferencia de la esfera es aquella cuyo plano pasa
por el centro).
3. El radio es el segmento que une el centro de la esfera con un punto
cualquiera de su superficie: OA, OB y OC
4. El diámetro de la esfera es cualquier segmento que pasa por su centro y
que tenga sus extremos en la superficie curva que la limita: BC
5.2.1 Representación geométrica del cilindro,
el cono y la esfera
✆
Reflexiona un instante
En octavo grado estudiaste cómo representar en el plano prismas y pirámides en perspectiva caballera. ¿Cómo representarías los cuerpos redondos:
cilindro, cono y esfera? Te invito a realizar la representación de otros cuerpos
como son el cilindro, el cono y la esfera.
✅
Recuerda que…
Procedimiento para representar cuerpos en perspectiva caballera
1. Los segmentos en la dirección del ancho y la altura se representan con
la misma dirección y longitud que tienen en el cuerpo que queremos
representar.
2. Los segmentos en la dirección de la profundidad se trazan formando un
ángulo de 45º con la horizontal y con la mitad de la longitud que tienen
en el cuerpo.
Observa que los cuerpos que queremos representar son cuerpos de revolución (un cuerpo de revolución es aquel que se origina al girar una figura
plana alrededor de un eje), es necesario saber representar circunferencias
en el plano utilizando el procedimiento descrito anteriormente.
Ejemplo 1
Representación en perspectiva caballera de la circunferencia de centro
O y 2,0 cm de radio.
432
CAPÍTULO 5
Solución:
1. Representemos la circunferencia de centro O y radio 2,0 cm (figura 5.21)
2. Tracemos en la circunferencia los diámetros AB y CD, que sean perpendiculares entre sí (figura 5.22).
Fig. 5.21
Fig. 5.22
3. Representemos un cuadrado circunscrito a la circunferencia en los puntos
A, B, C y D (figura 5.23)
4. Representamos en perspectiva caballera el cuadrado EFGH y así queda
representada la circunferencia como una elipse, caso particular de la
proyección paralela oblicua (figura 5.24)
Fig. 5.23
Fig. 5.24
Ejemplo 2
Representación en perspectiva caballera del cilindro circular recto de
2,0 cm de radio y 6,0 cm de altura.
1. Trazamos la circunferencia de centro en O y radio igual a 2,0 cm de la
base inferior siguiendo el procedimiento del ejemplo 1 (figura 5.25)
2. Trazamos
OO’ ⊥ AB
donde
Fig. 5.25
OO’ = 6,0 cm (figura 5.26)
433
MATEMÁTICA
Fig. 5.26
3. Con centro en O’ se traza la circunferencia de radio igual a 2,0 cm, de la
base superior (figura 5.27)
4. Trazamos las generatrices AC y BD (figura 5.28)
Fig. 5.28
Fig. 5.27
Ejemplo 3
Representación en perspectiva caballera del cono de 2,0 cm de radio y
4,0 cm de altura.
Solución:
1. Trazamos la circunferencia de centro en O y radio igual a 2,0 cm de la
base siguiendo el procedimiento del ejemplo 1 (figura 5.29)
Fig. 5.29
434
CAPÍTULO 5
2. Trazamos OO’ ⊥ AB donde OO’ = 4,0 cm (figura 5.30)
3. Trazamos las generatrices AO’ y BO’ (figura 5.31)
Fig. 5.31
Fig. 5.30
Ejemplo 4
Representación en perspectiva caballera de una esfera de 3,0 cm de radio.
1. Trazamos la circunferencia de centro en O y radio igual a 3,0 cm de la
base siguiendo el procedimiento del ejemplo cuatro (figura 5.32).
2. Trazamos una circunferencia máxima que se encuentre en el plano vertical
que contiene a (figura 5.33)
3. La esfera de 3,0 cm queda representada como la figura 5.34.
Fig. 5.32
Fig. 5.33
Fig. 5.34
435
MATEMÁTICA
Ejercicios
1.
Determina cuáles de las siguientes proposiciones son falsas. Fundamenta tu respuesta.
a) __ Si la generatriz de un cilindro es igual a su altura, entonces es
un cilindro circular recto.
b) __ El cono está limitado por una superficie curva.
c) __ En el esbozo de una circunferencia en perspectiva caballera, si
el diámetro en la dirección del ancho es igual a 4,0 cm, entonces
el radio en la dirección de la profundidad es igual a 2,0 cm.
d) __ La esfera se obtiene al rotar un semicírculo alrededor de su
diámetro.
2.
Dibuja en perspectiva caballera:
a) Un cilindro circular recto de 3,5 cm de altura y 1,0 cm de radio de
la base.
b) Un cono de 4,6 cm de altura y cuya base tenga 4,0 cm de diámetro.
c) Una esfera engendrada por una circunferencia de 1,5 cm de radio.
2.1 Realiza la construcción de los cuerpos geométricos anteriores
con el asistente GeoGebra.
3.
Dibuja el cuerpo que se genera al hacer girar un triángulo rectángulo
sobre el cateto de longitud igual a 6,0 cm y de hipotenusa igual a
1,0 dm.
4.
Dibuja el cuerpo que se genera al girar un rectángulo sobre uno de
sus lados de longitud igual a 5,0 cm, cuyo perímetro es 26 cm.
5.
En la figura 5.35 se muestran cuerpos de revolución.
Fig. 5.35
436
CAPÍTULO 5
5.1 Completa los espacios en blanco de forma tal que obtengas
proposiciones verdaderas.
a) El radio del cilindro circular recto tiene una longitud igual a __.
b) El radio del cono tiene una longitud igual a _____.
c) La generatriz del cono tiene una longitud igual a ____.
d) El radio de la esfera tiene una longitud igual a ____.
e) La longitud del diámetro del círculo máximo de la esfera es
igual a ____.
f) El área del círculo base del cilindro circular recto es igual a __.
g) La longitud de la circunferencia máxima de la esfera es igual a __.
h) En el cilindro, la amplitud del ángulo que se forma por la
intersección de la altura y el radio es igual a ____º.
i) En el cono, si la amplitud del ángulo que se forma por la intersección de la altura y la generatriz es igual a 300, entonces
la amplitud del ángulo que se forma entre la generatriz y el
radio es igual a ____º.
5.3 Áreas lateral y total del cilindro y el cono
mediante sus desarrollos. Área de la esfera
✆
Reflexiona un instante
¿Qué cantidad de material se necesita
para fabricar una lata de sardinas como
se muestra en la figura 5.36, si se conoce que la base tiene un diámetro de
15,0 cm y la altura es de 6,50 cm?
Para determinar la cantidad de material
necesario para fabricar una lata como
se muestra en la figura 5.36, es preciso
calcular el área de la lata, pero si observar la lata tiene un área lateral, un área
de las dos bases.
Fig. 5.36
Pasaremos ahora a estudiar cómo calcular las áreas de estos cuerpos:
el área lateral, el área de las bases y el área total.
437
MATEMÁTICA
✅
Recuerda que…
Definición de área total de un cuerpo geométrico
El área total de un cuerpo geométrico es igual a la suma del área lateral
y el área de las bases.
5.3.1 Cálculo del área lateral y del área total
del cilindro circular recto
En octavo grado estudiaste el procedimiento para calcular el área de la base,
el área lateral y el área total del prisma y la pirámide mediante su desarrollo.
✄
Investiga y aprende
¿Qué figuras obtendrás, si cortas un cilindro por una generatriz, separas
sus bases y lo extiendes sobre un plano?
Observa el desarrollo del cilindro circular en el ejemplo 1.
Ejemplo 1
Representa el desarrollo del cilindro circular recto, figura 5.37.
Halla su área lateral y área total.
Solución:
Procedemos a separar las dos bases del cilindro, observa que son dos círculos y cortamos la superficie cilíndrica a lo largo de una generatriz, figura 5.38.
Al desarrollar la superficie lateral del cilindro (figura 5.39) de radio r y
altura h, se obtiene el rectángulo ABCD de largo AB igual a la longitud de
las circunferencias que limitan sus bases (L = 2pr) y su altura BC es igual a la
altura del cilindro (h).
El área del rectángulo ABCD se calcula AABCD = AB · BC = 2pr · h
Fig. 5.37
438
Fig. 5.38
Fig. 5.39
CAPÍTULO 5
Luego el área lateral (AL) del cilindro es igual al área del rectángulo ABCD.
AL = 2prh (1)
Recuerda que las bases del cilindro son círculos y su área se calcula:
AB = pr2
(2)
Entonces para calcular el área total del cilindro se procede:
AT = AL + 2AB
Sustituyendo (1) y (2), obtenemos:
2
AT = 2prh + 2 pr
Ejemplo 2
El radio de la base de un cilindro tiene una longitud de 2,0 dm y una
altura de 5,0 dm. Calcula el área lateral y el área total del cilindro.
Solución:
El área lateral del cilindro se calcula utilizando la ecuación:
AL = 2prh
AL = 2 · 3,14 · 2 dm · 5 dm
AL = 12,56 dm2
El área total del cilindro se calcula utilizando la fórmula: AT = AL + 2AB.
Sustituyendo los valores del AB y AL.
Como la base es un círculo, entonces su área se calcula:
AB = pr2
AB = 3,14 · (2 dm)2
AB = 3,14 · 4 dm2
AB = 12,56 dm2
Sustituyendo los valores del AB y AL en AT = AL + 2AB obtenemos el área
total del cilindro.
AT = 62,8 dm2 + 2 · 12,56 dm21
AT = 62,8 dm2 + 25,12 dm2
AT ≈ 88 dm2
Ahora puedes responder la pregunta inicial referida a la cantidad de
material necesario para fabricar la lata de sardinas. Seguro identificaste
que esta lata (figura 5.36) tiene forma de cilindro circular recto, por tanto,
tienes que calcular el área total de la lata y así sabrás la cantidad de material
que se necesita para fabricar ese envase.
Para calcular el valor del área total se utiliza el valor del área lateral sin aproximación;
en los cálculos intermedios no se aproxima.
1
439
MATEMÁTICA
Solución:
Datos
d = 15 cm
=
r
d 15 cm
=
= 7,5 cm
2
2
h = 6,5 cm
Para calcular el área total del cilindro, se utiliza la ecuación:
AT = AL + 2AB
Para calcular el área lateral, se utiliza la ecuación:
AL = 2prh
AL = 2 · 3,14 · 7,5 cm · 6,5 cm
AL = 306,15 dm2
Para calcular el área de la base, se utiliza la ecuación:
AB r 2 o AC
d2
4
AB = 3,14 · (7,5 cm)2
AB = 3,14 · 56,25 cm2
AB = 176,625 cm2
AT = 306,15 cm2 + 2 · 176,625 cm2
AT = 306,15 dm2 + 353,25 cm2
AT = 659,4 cm2
AT ≈ 659 cm2
Respuesta:
La cantidad de material que se necesita para fabricar las latas de envase
de sardinas es aproximadamente de 659 cm2.
5.3.2 Cálculo del área lateral y del área total
del cono circular recto
✆
Reflexiona un instante
¿Cómo representarías el desarrollo de un cono circular recto?
440
CAPÍTULO 5
Ejemplo 1
Representación del desarrollo de un cono circular recto
como el que aparece en la figura 5.40.
Procedemos a separar la base del cono. Observa que es
un círculo y cortamos la superficie cilíndrica a lo largo de
una generatriz (figura 5.41).
Al desarrollar la superficie lateral del cono de radio de
la base (r) y generatriz (g), se obtiene
una superficie plana (figura 5.42) que es
un sector circular de radio g (generatriz
del cono) determinado por un arco b
cuya longitud es igual a la longitud de la
circunferencia de la base (b = 2pr)
Por tanto: el área latera (AL) del
cono es igual al área del sector circular
obtenido.
Fig. 5.41
Para calcular el área de un sector circular
se utiliza la proporción siguiente:
AL
b
=
AC LC
Fig. 5.40
Fig. 5.42
Ac: Área del círculo de centro P y radio g.
Ac: Longitud de la circunferencia de centro P y radio g.
El área del círculo de centro P y radio g se calcula: AC = π · g2
La longitud de la circunferencia de la base se calcula: b = 2πr
La longitud de la circunferencia de centro P y radio g se calcula: LC = πg
A
b
Sustituyendo en la proporción: L =
, obtenemos.
AC LC
AL
2 r
2
2
g
g
Despejamos a AL
AL
g2 2 r
2 g
al simplificar, obtenemos la expresión:
AL = prg
El área total del cono es igual a la suma del área lateral y el área de la
base: AT = AL + AB
El área de la base es el círculo de radio r, se calcula: AB = pr2
441
MATEMÁTICA
Se sustituye en la ecuación general y obtenemos:
AT = prg + pr2
AT = pr(g + r)
(se extrae factor común)
Ejemplo 2
Calcula el área lateral y el área total de un cono de radio (r) igual a
2,5 cm y generatriz (g) igual a 6,0 cm.
Solución:
El área lateral del cono se calcula utilizando la ecuación:
AL = prg
AL = 3,14 · 2,5 cm · 6,0 cm
AL = 47,1 cm2
AL = 47 cm2
El área total del cono se calcula utilizando la ecuación: AT = AL + AB
Como la base es un círculo, entonces su área se calcula:
AB = pr2
AB = 3,14 · (2,5 cm)2
AB = 3,14 · 6,25 cm2
AB = 19,625 cm2
AB = 19,6 cm2
Se sutituyen los valores del AB y AL en AT = AL + AB obtenemos el área
total del cono.
AL = 47 cm2 + 19,6 cm2
AL = 66,6 cm2
AL ≈ 67 cm2
Ejemplo 3
En la figura 5.43 se muestra un cono circular
recto de altura h = OC la base tiene como centro
el punto O y diámetro AB el ∢OBC = 50º formado
por la generatriz BC = 10,0 cm y la base del cono.
a) Calcula la longitud de OC
b) Si OB = 6,40 cm, AT = AL + AB, calcula el área
lateral y el área total del cono.
Fig. 5.43
442
CAPÍTULO 5
Solución:
a) El triángulo OBC es rectángulo en O (figura 5.44), por ser OC altura del
cono circular recto, luego para calcular la longitud de OC se puede utilizar
una de las razones trigonométricas:
sen OBC =
OC
BC
sen 50º = 0,7660 y BC = 10,0 cm, se sustituye en la razón:
sen50º =
OC
10 cm
OC
10 cm
OC 0, 7660 10 cm
0, 7660 =
OC = 7, 660 cm
Fig. 5.44
OC = 7, 66 cm
b) El área lateral del cono se calcula con la ecuación:
AL = prg
AL = 3,14 · 6,4 cm · 10 cm
AL = 200,96 cm2
AL ≈ 201 cm2
El área total del cono se calcula utilizando la ecuación: AT = AL + AB
Como la base es un círculo, entonces su área se calcula:
AB = pr2
AB = 3,14 · (6,4 cm)2
AB = 3,14 · 40,96 cm2
AB = 128,6144 cm2
AB ≈ 128,6 cm2
Se sustituye los valores del AB y AL en AT = AL + AB y se obtiene el área
total del cilindro.
AT = 201 cm2 + 128,6 cm2
AT = 329,6 cm2
AT ≈ 330 cm2
5.3.3 Cálculo del área de una esfera
Recuerda que, para calcular el área del cilindro y del cono, lo primero
que se hace es desarrollarlo, en el caso de la esfera es imposible cortar por
una línea recta, por tanto, no se puede desarrollar.
443
MATEMÁTICA
✆
Reflexiona un instante
¿Cómo calcular el área de una esfera sin desarrollar?
Te invito a que realices la actividad experimental siguiente.
Consigue una esfera que puedas cortar en dos y realiza los pasos siguientes:
1. A una semiesfera clávala por el polo a una
superficie plana, con el círculo máximo hacia
abajo, enrolla un cordel a partir del polo
hasta cubrir toda la superficie (figura 5.45).
2. Mide el largo del cordel que necesitaste.
3. Clava la otra semiesfera con el polo hacia la
superficie plana y el círculo máximo hacia
arriba y enrolla el mismo cordel hasta cubrir
todo el círculo máximo (figura 5.46).
4. Mide el largo del cordel que necesitaste.
5. Compara las medidas tomadas en los dos primeros pasos.
Fig. 5.45
¿A qué conclusión has llegado?
Podrás comprobar que el trozo de cordel
que cubre la semiesfera es el doble que el que
recubre la superficie circular, que es un círculo
máximo de la esfera, luego la superficie de la
Fig. 5.46
semiesfera es igual a dos veces el área del círculo
máximo y por tanto, el área de toda la superficie
de la esfera es igual a cuatro veces el área del círculo máximo.
Aesfera = 4 pr2
Ejemplo 1
Calcula el área de una esfera de radio igual 5,0 cm
Solución:
A = 4 pr2
A = 4 · 3,14 · (5 cm)2
A = 4 · 3,14 · 25 cm2
A = 314 cm2 ·
A ≈ 3,1 dm2 ·
444
CAPÍTULO 5
Ejercicios
1.
El área lateral de un cilindro circular recto de 5,0 dm de altura y 3,0 dm
de radio de la base es:
a) 9,4 m2
2.
b) 226 m2
c) 0,23 km2
d) Ninguno de los anteriores
b) 25 m
c) 2,5 m
d) Ninguno de los anteriores
Si el radio de una esfera es igual a 7,00 cm, entonces su área total es:
a) 308 cm2
5.
d) Ninguno de los anteriores
Si el área lateral de un cilindro circular recto de altura igual a 100 cm,
es 157 m2, entonces el radio de la base es:
a) 250 m
4.
c) 94 dm2
Si el área lateral de un cilindro circular recto de diámetro igual
a 8,00 m, es 126 m2, entonces el área total de ese cilindro es:
a) 226 m
3.
b) 942 cm2
b) 61,5 dm2
c) 615 cm2
d) Ninguno de los anteriores
Sea un cono circular recto de radio (r), generatriz (g), altura (h), área
lateral (AL) y área total (AT).
5.1 Completa los espacios en blanco de forma tal que obtengas una
proposición verdadera.
a) Si r = 6,0 cm y g = 10 cm, entonces h es igual a
b) Si r = 1,6 dm y h = 12 cm, entonces g es igual a
c) Si AL = 423,9 dm2 y g = 15,0 dm, entonces r es igual a
d) Si AT = 591 m2 y r = 9,00 m, entonces el AL es igual a
6.
Completa la tabla 5.1 con la utilización de los datos que muestran los
cuerpos de la figura 5.47.
Tabla 5.1
Figuras
Radio
de la base
Altura
Área
lateral
*
*
-
Área total
Cilindro
Cono
Esfera
* Valor del radio y del diámetro del círculo máximo.
445
MATEMÁTICA
Fig. 5.47
7.
En la figura 5.48 se muestra un cilindro circular recto
de base un círculo de radio (r) y una altura (h):
► El área lateral del cilindro es 471 dm2
► La razón entre el radio y la altura es 1:3
a) Calcula la longitud del radio y la altura del cilindro.
b) Calcula el área total del cilindro.
8.
Fig. 5.48
En la figura 5.49 se muestra un cono circular recto,
AB es el diámetro del círculo base de centro en C, CD
es la altura del cono, además, (AL) área lateral y ( AB)
área de la base del cono respectivamente, tal que:
► CB = 5,0 cm
►
AL
=2
AB
a) Halla la longitud de la generatriz del cono.
b) Calcula el área total el cono.
9.
Fig. 5.49
Se tienen 200 latas de conserva que tienen forma cilíndrica de 3,0 cm
de radio y 9,0 cm de altura. Si se quiere colocar una etiqueta que
cubra toda la superficie lateral, ¿qué cantidad de papel se necesita?
10. Se quiere confeccionar 60 gorritos cónicos iguales para un cumpleaños.
Si sus medidas son 9,0 cm de radio y 12 cm de altura, ¿qué cantidad
de cartulina es necesario utilizar?
11. Se quiere forrar una pelota esférica de diámetro igual a 30 cm, ¿qué
cantidad de cuero se necesita para hacerlo?
12. ¿Qué cantidad de hojalata se necesita para construir una lata de
leche condensada azucarada de forma cilíndrica que tiene 7,2 cm de
diámetro y 7,6 cm de altura?
446
CAPÍTULO 5
13. En la figura 5.50 se muestra un filtro, la
parte superior tiene forma cilíndrica y la
parte inferior, cónica. Calcula aproximadamente la cantidad de hojalata que se
necesita para fabricarlo.
14. La figura 5.51 muestra un tanque para
Fig. 5.50
agua, formado por un cilindro circular recto y dos semiesferas iguales. Calcula la superficie total del tanque.
15. La figura 5.52 muestra un cilindro circular recto circunscrito a una
esfera, en el cual se cumple:
► El diámetro de la esfera es igual a 2,0 dm
► (ATe) es el área total de la esfera.
► (AL) es el área lateral del cilindro
► (ATC) es el área total del cilindro.
15.1 Al comparar el área lateral del cilindro y el área total de la esfera,
resulta que:
a) ATe < AL
b) ATe = AL c) ATe > AL
15.2 La razón entre el área total del cilindro y el área de la esfera es:
2
3
a) 2
b)
c)
3
2
Fig. 5.51
Fig. 5.52
5.4 Determinación del volumen de cilindros,
conos y esferas
5.4.1 Volumen del cilindro
En séptimo grado estudiaste el volumen del cubo y del ortoedro, y en
octavo grado estudiaste el volumen del prisma y la pirámide, ahora te dedicarás a determinar el volumen de los cuerpos geométricos de revolución.
447
MATEMÁTICA
✆
Reflexiona un instante
En varias provincias del país existen fábricas que tienen
como misión principal asegurar y diversificar renglones
que en la actualidad se importan. Sus líneas de producción están dirigidas al procesamiento de vegetales y
frutas selectas, para el envasado de los productos utilizan
recipientes de forma cilíndrica, como el que se observa
en la figura 5.53. ¿Cuántos litros de pasta de tomate
contiene uno de estos recipientes si la altura es igual a
1,7 dm y el radio de la base es 0,8 dm?
Fig. 5.53
Lo calcularemos inscribiéndolo y circunscribiéndolo un cilindro circular resto a un prisma regular
(figura 5.54).
Se divide en seis partes iguales la circunferencia
base del cilindro y se unen con segmentos los puntos
h
de división, así obtenemos un hexágono, se trazan las
generatrices correspondientes a los vértices y se unen
también entre sí con segmentos a los puntos en que
estas cortan a la otra base.
Se obtiene un prisma cuyas aristas laterales son
Fig. 5.54
generatrices del cilindro y cuyas bases están inscritas en las bases del cilindro. Se denomina prisma
inscrito en el cilindro.
Si por los seis puntos obtenidos en la circunferencia base, trazamos
las tangentes a esta, obtenemos un hexágono regular circunscrito a la
circunferencia; por los vértices del hexágono levantamos las generatrices,
luego realizamos igual construcción en la base superior y obtenemos un
prisma cuyas caras laterales son tangentes a la superficie lateral del cilindro
y cuyas bases están circunscritas a las bases del cilindro.
Observa que en la medida en que se aumenta el número de lados de
los polígonos de las bases de los prismas, estos se aproximan más al cilindro
circular recto, lo que permite inducir la ecuación para el cálculo del volumen
del cilindro circular recto a partir del volumen del prisma, o sea:
VC = AB · h
(1)
La base del cilindro circular recto es un círculo, luego el AB = π · r2
Entonces, al sustituir el AB en (1), obtenemos: VC = π · r2 · h
448
CAPÍTULO 5
Ejemplo 1
Calcula el volumen de un cilindro circular recto de 10,0 cm de radio y
1,50 cm de altura.
Solución:
VC = π · r2 · h
VC = 3,14 · (10 cm)2 · 1,5 cm
VC = 3,14 · 100 cm2 · 1,5 cm
VC = 314 cm2 · 1,5 cm
VC = 471 cm3
Observa que el recipiente de la figura 5.53 tiene forma de cilindro circular recto y se te pidió reflexionar cómo calcular su volumen, o sea, cuántos
litros de pasta de tomate le cabe a uno de estos recipientes.
Solución:
Datos
h = 1,7 dm
r = 0,8 dm
Vc = p · r2 · h
Vc = 3,14 · (0,8 dm)2 · 1,7 dm
Vc = 3,14 · 0,64 dm2 · 1,7 dm
Vc = 3,416 32 dm3
Vc ≈ 3,4 dm3
Respuesta:
Al recipiente le caben aproximadamente 3,4 L.
5.4.2 Volumen del cono
Para obtener el volumen del cono circular recto, lo podemos realizar
utilizando similar razonamiento al que utilizamos para determinar el volumen del cilindro circular recto, o sea, inscribiéndolo y circunscribiéndolo
a una pirámide regular.
Luego, la relación que existe entre los volúmenes de un prisma y el de
una pirámide que tengan iguales bases y altura, es la misma que existe
entre los volúmenes de un cilindro y un cono que cumplan estas mismas
condiciones.
✄
Investiga y aprende
¿Existirá otro procedimiento para buscar la relación que te permita calcular
el volumen del cono?
449
MATEMÁTICA
Te invito a que realices el experimento siguiente:
Construye un cilindro y un cono que tengan la misma base y la misma
altura, llena el cono de arena u otro material y vacíalo en el cilindro, repite
la operación tantas veces te haga falta para llenar el cilindro.
✆
Reflexiona un instante
¿Cuántas veces tienes que vaciar el cono en el cilindro para llenarlo completamente?
O sea, que tuviste que realizar la operación tres veces, luego el volumen
de un cono de radio r y altura h es igual a la tercera parte del volumen del
cilindro de igual radio y altura (figura 5.55).
Por tanto, el volumen de un cono de
radio r y altura h es igual a la tercera
parte del volumen del cilindro de igual
radio y altura.
1
Vcono = Vcilindro .
3
1
Vcono AB h
3
1
Vcono r 2 h
3
Fig. 5.55
Ejemplo 1
Calcula el volumen de un cono circular recto de 5,00 cm de radio y
10,0 cm de altura.
Solución:
1
Vc = AB · h
3
1
Vc r 2 h
3
1
2
Vc 3,14 5 cm 10 cm
3
1
Vc 3,14 25 cm2 10 cm
3
Vc = 261, 66 cm3
Vc ≈262 cm3
450
CAPÍTULO 5
5.4.3 Volumen de la esfera
✆
Reflexiona un instante
Dos arquitectos diseñaron bebederos para ganado, uno de forma semiesférica
(E) y el otro de cono (C). Ambos bebederos tienen en común el diámetro, siendo
la altura del cono igual al
radio de la semiesfera. Si el
ganado bebió toda el agua
de los dos bebederos y el C
contenía 50 L (figura 5.56).
¿Cuántos litros de agua
bebió el ganado del bebedero (E)?
Fig. 5.56
✁
¡Atención!
Observa que el bebedero C, tiene forma de cono y sabes calcular el volumen
del cono, pero el bebedero E tiene forma de semiesfera, luego, para calcular
la capacidad en litros de dicho bebedero, debes calcular el volumen de una
esfera y dividirlo por dos.
¿Cómo calcular el volumen de la esfera?
✅
Recuerda que…
La Ley de Arquímedes, plantea que un cuerpo al sumergirlo en un recipiente
lleno de agua, el volumen del líquido desalojado es igual al volumen del
cuerpo sumergido.
Si aplicas la ley de Arquímedes, se
puede deducir la ecuación para calcular el
volumen de la esfera, por tanto, te invito
a que realices el experimento siguiente:
Llena una probeta de agua, como la
que se muestra en la figura 5.57, justo hasta el orificio de salida, introduce en él una
esfera que tenga un diámetro de longitud
(d) en el círculo máximo, de modo que el
Fig. 5.57
451
MATEMÁTICA
agua se derrame sobre un recipiente cilíndrico de diámetro (d) en la base
y altura (h = d)
Comprobarás que el vaso cilíndrico se llena hasta las 2 partes de su altura.
3
El volumen del cilindro es:
VC r 2 h (1)
La altura del cilindro es (h = 2r), se sustituye en (1), y se obtiene:
VC r 2 2r
VC 2 r 3
Luego, como el agua que desplazó la esfera es igual a del volumen del
cilindro, tenemos que el volumen de la esfera es igual a:
2
VE = VC
3
2
VE 2 r 3
3
4
VE r 3
3
✃
De la historia
Esta es precisamente la obra favorita de Arquímedes
(figura 5.58). En ella alcanza dos importantísimos resultados:
► El volumen de la esfera es dos tercios del volumen
del cilindro en que está inscrita.
► El área de la superficie de la esfera es dos tercios del
área total del cilindro circunscrito a esta.
La belleza de ambos teoremas resulta muy atractiva para el siracusano que solicita lo graben en
su losa (figura 5.59).
Un siglo más tarde el famoso orador romano Marco
Tulio Cicerón pudo hallarla gracias a la grabación.
No obstante, volvió a perderse y casi dos milenios después, en 1965, la tumba del Geómetra
se reencontró cuando en Sicilia se fabricaba un
nuevo hotel.2
2
Luis J. Davidson San Juan: Ecuaciones y matemáticos, p. 48.
452
Fig. 5.58
Fig. 5.59
CAPÍTULO 5
Ejemplo 1
Calcula el volumen de una esfera de 5,0 cm de radio.
Solución:
4
VE r 3
3
4
3
VE 3,14 5 cm
3
4
VE 3,14 125 cm3
3
VE = 523, 3 cm3
VE ≈ 52, 3 dm3
Observa que el recipiente E de la figura 5.56 tiene forma de semiesfera
y el C, forma de cono y se te pidió reflexionar cuántos litros de agua bebió
el ganado del bebedero (E), si lo dejó completamente vacío.
Si tomamos un cilindro de base de diámetro (d) y altura h = r, y comparamos los volúmenes del cono y la esfera con el del cilindro, se cumple que:
1
Vc AB h
3
1
Vc r 2 h se sustituye h = r, y se obtiene:
3
1
Vc r 2 r
3
1
Vc r 3
3
se divide por dos, para obtener la ecuación de la semiesfera,
4
VE r 3
obtenemos:
3
1 4 3 2 3
r r
2 3
3
Observa que el volumen de la semiesfera es el doble del volumen del
cono de igual base que su círculo máximo y altura igual al radio.
Por tanto, el ganado del bebedero E, bebió 100 L de agua.
VSE
Ejercicios
1. Si un cilindro circular recto tiene 3,00 m de radio y 40,0 dm de altura,
entonces su volumen es:
a) ___ 37,7 m3
c) ___ 113 m3
b) ___1,13 · 10-5 dm3
d) ___ Ninguno de los anteriores.
453
MATEMÁTICA
2.
Si un cono circular recto tiene 10 cm de diámetro y 1,2 dm de altura,
entonces su volumen es:
a) ___0,3 dm3
c) ___1,2 · 103 cm3
3.
b) ___1,3 dm3
d) ___ Ninguno de los anteriores.
Si el diámetro de una esfera es de 4,0 dm de diámetro, entonces su
volumen es aproximadamente:
a) ___2,7 · 102 dm3
c) ___2,7 · 105 cm3
b) ___33 dm3
d) ___ Ninguno de los anteriores.
4.
La generatriz de un cono es igual a 10,0 cm y su radio es igual a 6,00 cm,
calcula el volumen del cono.
5.
El volumen de un cilindro circular recto es igual a 785 cm3, su altura
es igual a 10,0 cm. Calcula el radio de la base del cilindro.
6.
A un trozo de madera en forma de cubo de
arista igual a 3,00 dm
(figura 5.60 a) se torneó y
se le dio forma de esfera
(figura 5.60 b).
a) ¿Cuántos decímetros cúFig. 5.60
bicos de madera tenía
el cubo?
b) ¿Cuántos decímetros cúbicos se desperdiciaron?
7.
En la figura 5.61, se muestra un tanque cilíndrico plástico, colocado
horizontalmente que contiene agua:
► El diámetro d = 2,0 m
► El largo l = 4,8 m
a) Calcula la cantidad
aproximada de metros
cúbicos que le caben al
tanque.
Fig. 5.61
454
CAPÍTULO 5
b) Si se abre una llave que vierte un litro cada
tres segundos. ¿En qué tiempo se llena
completamente el tanque, si se encuentra
al 50 % de su capacidad?
8.
Un depósito para almacenar agua tiene forma
de cilindro y termina en su parte inferior en
una semiesfera, como se muestra en la figura
5.62.
a) ¿Cuántos litros de agua caben en el depósito?
9.
Fig. 5.62
En la planta Aldo Santamaría hay un silo
de almacenamiento de cereales que está
compuesto de un cilindro unido por la
7,0 m
base a un cono, figura 5.63. ¿Cuál es la
capacidad del silo si el radio del cilindro
es igual a 2,0 m?3
10. El radio del planeta Tierra es de 6 370 km.
Suponiendo que la Tierra es una esfera,
calcula su volumen.
Fig. 5.63
11. Un cilindro y un cono circular rectos tienen bases de radios iguales a r. Las
alturas del cilindro y del cono son H y h respectivamente ¿Qué relación
debe existir entre H y h para que el Vc = 5 · Vc?
12. En la figura 5.64 se muestra un cono circular
recto de altura h = OC, la base tiene como
centro el punto O y diámetro AB = 10 dm
y ∢BCO = 30º formado por la generatriz y la
altura del cono.
a) Calcula la longitud de OC y BC.
b) Calcula el volumen del cono.
3
Fig. 5.64
Alexis Carrasco Trujillo: Heurística. Aprender Matemática resolviendo problemas, p. 32..
455
MATEMÁTICA
13. En la figura 5.65 se muestra un cono circular
recto de vértice en A, altura OA y base el círculo
de centro en O y diámetro DE. Se han inscrito
cuatro conos más pequeños iguales, tales que:
Cono 1: vértice en B, altura O1B y base de centro
en O1 y diámetro OD
Cono 2: vértice en C, altura O2C y base de centro en O2 y diámetro OE.
Cono 3: vértice en O, altura O3O y base de centro en O3 y diámetro BC
Cono 4: vértice en A, altura O3 A y base de centro en O3 y diámetro BC
Fig. 5.65
a) Si el volumen del cono 1 es igual a 84,78 cm3
OD 2
y
= . Halla la longitud de OD y O1B.
1
OB 3
b) Calcula el volumen del cono mayor.
c) ¿Qué parte del volumen del cono mayor, ocupan los cuatro conos
pequeños?
EJERCICIOS DEL CAPÍTULO
1.
Selecciona el número que le corresponde a la ecuación en la columna
B y colócala junto al área o volumen que se indica del cuerpo geométrico que se encuentra en la columna A.
Tabla 5.2
A
Área o volumen del cuerpo
456
B
No.
Ecuaciones
No.
Área lateral del cilindro
pr2h
1
Área total del cono
prg
2
Área lateral del cono
4 3
pr
3
3
Área total del cilindro
1 2
pr h
3
4
Área total de la esfera
pr(g + r)
5
Volumen del cilindro
2prh (h + r)
6
Volumen del cono
2
4pr
7
Volumen de la esfera
2prh
8
CAPÍTULO 5
2.
Un cilindro circular recto tiene un radio de la base igual a 4,00 cm y
una generatriz igual a 10,0 cm, entonces su área lateral es:
a) ___ 251 cm2
3.
4.
5.
b) ___126 cm2
c) ___251 cm3
d) ___126 cm3
Un cilindro circular recto de radio de la base igual a 2,0 dm y generatriz igual a 30 cm, entonces su área total es:
a) ___6,3 ⋅ 10-3cm2 b) ___63 dm2
c)__31,4 dm2
a) ___440 cm2
c)__220 cm2
d) ___3,1 · 103 dm2
Un cono circular recto de radio de la base igual a 5,00 cm y generatriz
igual a 9,00 cm, entonces su área total es:
b) ___220 cm3
d) ___440 cm3
5. El volumen de una esfera es igual a 288p cm3, entonces su radio es:
a) ___ 6 p cm
b) ___ 12 p cm
c) ___12 p cm
d) ___ 6 cm.
6.
La razón entre los radios de las bases de dos recipientes cilíndricos que
tienen la misma altura que es tres. ¿Cuál es la capacidad del mayor
de los recipientes si la del menor es de 10 L?
7.
Se quiere construir una casa de campaña de forma cónica que tenga
6,0 m de diámetro y altura igual a 4,0 m. ¿Qué cantidad de lona se
necesita para su construcción?
8.
Una piscina cuya forma es de prisma recto de base rectangular, tiene
30 m de largo, 15 m de ancho y 30 dm de profundidad.
a) Calcula la capacidad de la piscina.
b) Si está revestida con azulejos de 0,04 m2 de superficie, ¿cuántos
azulejos se utilizaron?
9.
Se desea construir un tanque cilíndrico con tapa de 2,0 m de diámetro.
¿Qué altura necesita tener para almacenar 15 700 L de agua?
10. El área del círculo de la base de un cono circular recto es 81p cm2 y su
altura mide 12 cm, calcula la longitud del radio y la generatriz.
11. Un balón tiene una superficie de 576 p cm2 · 400 p cm2. Determina su
diámetro y el volumen.
12. La pelota de béisbol tiene un radio de 4,0 cm, qué cantidad aproximada de cuero se utilizó para forrar 200 pelotas.
457
MATEMÁTICA
13. Un pozuelo para dulces tiene forma de semiesfera de 10 cm de diámetro. ¿Qué cantidad de
plástico se necesita para fabricar 1 000 pozuelos de este tipo?
14. La figura 5.66 muestra un cuerpo compuesto,
ABCDEFGHI, por un cubo de arista 80 cm y
una pirámide recta la cual se encuentra superpuesta al cubo; la altura de la pirámide es
igual a 3,0 dm y el área de una de sus caras
es igual a 15 dm2
a) Calcula el área total del cuerpo
Fig. 5.66
b) Calcula el volumen del cuerpo.
15. La figura 5.67, muestra un cuerpo macizo en forma
de cilindro circular recto, al cual se le perforó una
semiesfera de igual radio al del cilindro, el área de
la base es igual a 314 cm2 y la razón entre el radio
y la altura del cilindro es r : h = 1 : 2
a) Calcula el volumen del cuerpo resultante.
Fig. 5.67
16. La figura 5.68 muestra un cilindro y un cono
circular recto respectivamente, dentro de una
caja en forma de prisma de base cuadrada, se
cumple que:
► Las alturas del cilindro, del cono y del prisma
son iguales.
► Las bases del cilindro y del cono son tangentes entre sí y a los lados del prisma,
respectivamente.
► a = 12 dm y h = 40 cm
Fig. 5.68
a) Calcula: ALcilindro + ALcono
b) Calcula: Vp – (Vcilindro + Vcono)
17. En la figura 5.69 se muestra una pieza maciza de acero en forma cilíndrica, de la cual
se construyó un tornillo que está compuesto
458
Fig. 5.69
CAPÍTULO 5
por una semiesfera y un cilindro. La altura (h) del tornillo es igual a la
altura del cilindro.
D
► d=
3
► h = 12,0 cm y d = 20,0 mm
Calcula la cantidad de material que se derrochó para construir el tornillo.
18. En la figura 5.70 se muestra un
recipiente compuesto por tres
piezas, un cilindro circular recto,
un cono circular recto y una semiesfera. El cilindro tiene base
común con la semiesfera y el
cono y se cumple que:
2
► d = h y h : H = 1: 4
3
a) ¿Cuál es la capacidad del recipiente?
Fig. 5.70
19. En la figura 5.71 se ha representado un depósito formado por un cilindro y un cono
(rectos respectivamente) de radio igual a
2,00 m. La parte cilíndrica tiene una capacidad de 37,7 m3.
a) Calcula el volumen total del recipiente.
19.1* Prueba mediante un cálculo, la veracidad de la afirmación siguiente:
la altura de la parte cilíndrica es
igual a la altura de la parte cónica.
Fig. 5.71
Reflexiona sobre lo aprendido
1.
¿Cuáles son los elementos del cilindro, del cono y de la esfera?
2.
¿Cómo calcular el área lateral y el área total del cilindro?
3.
Si tuvieras que calcular el área lateral y la total de un cono, ¿cómo
lo harías?
459
MATEMÁTICA
4.
¿Qué elementos de la esfera intervienen en la ecuación para calcular
su área total?
5.
¿Qué ecuación se utiliza para calcular el volumen del cilindro?
6.
¿Qué parte representa el volumen de un cono de radio r y altura h
de un cilindro de radio r y altura h?
7.
¿Qué ecuación se utiliza para calcular el volumen de una esfera?
PARA LA AUTOEVALUACIÓN
1.
El área lateral de un prisma recto de base cuadrada es de 204 cm2 y
el área de la base es igual a 36 cm2. Halla su volumen.
2.
Una pirámide recta de base rectangular tiene 12 cm y 6,0 cm de longitud en las aristas de la base y una altura cuya longitud es el 75 %
de la longitud de la arista mayor. Calcula el volumen de la pirámide.
3.
Se tiene un cilindro circular recto de radio r = 2,0 dm y altura h = 3,0 dm
y se quiere construir un cono de radio igual al del cilindro. ¿Qué altura debe tener el cono para que tenga igual volumen al del cilindro?
4.
En la figura 5.72 que se muestra se tiene
un cilindro y un cono circular recto de igual
altura e igual base. Se cumple que:
► La altura de ambos es igual a 4,0 cm.
► El radio de las bases es igual a 3,0 cm.
► La generatriz del cono es igual a 5,0 cm.
a) Halla la razón entre el área total del cono
y el área total del cilindro.
5.
460
Fig. 5.72
Un globo completamente esférico, con 20 cm de diámetro, contiene
solamente el 60 % del aire que puede admitir. ¿Cuántos decímetros
cúbicos de aire contiene el globo?
ANEXOS
Respuestas a los ejercicios
Capítulo 1
Epígrafe 1.1
1.
2.
a) x R : x 3
c) {x ∈ r: −3 ≤ x < 2,75}
b) x R : x 2
1
d) x R : 2 x 4 , 3
5
Fig. 1.16
b) Ejemplos de subconjuntos de A: [−6;0]
Ejemplos de elementos de A: – 1 ∈ A
2
{x ∈ r: 1,8 ≤ x < 3}
Ejemplos de subconjuntos de B: [–10;2,5]
–3,4 ∈ A –5,8 ∈ A
Ejemplos de elementos de B: 2 ∈ B
8 B – 100 ∈ B
Fig. 1.17
1
4
1 {x ∈ r; 3 ≤ x < 4}
Ejemplos de subconjuntos de C:
3; 4
Ejemplos de elementos de C:
1
C
8
151 ∈ C 3, 8 ∈ C
3.
a) f(5) = 7 g(– 2) = 16 h(0,4) = 5
4.
a) El conjunto formado por los cuadrados perfectos menores que 20.
b) f(7,3) + g(8) = 37,6 c) g(– 3) · h(5) = 10,4
b) El conjunto formado por las tres últimas letras del alfabeto.
5.
a) q+
6.
a) 1 y 2 b) No es posible, porque no existen dos números enteros que al
multiplicarlos su resultado sea mayor que dos y menor que tres.
b) N
c) – 1 y – 1
7.
a) 
c) z
2y–1
b)  c
d) q+
e) q+
f) N
g) q
h) N
i) i
j) z
–2y–1
a) 2
1 7
o o 2, 3
3 3
b)
2
3
c) 2,25
461
MATEMÁTICA
8.
a=0
9.
a=b=0
b=8
10. b = 5
a=b=1
Desde a = 2 hasta a = n y con b = 1
a = – 5,7
13 13
o
12 12
c) 1 y 2 – 1 y – 2
m=2
11. a) – 3 y 3 – 1 y 1
b) 1 y 2
12. Verdaderos: b) g)
h)
p=-
j)
Falsos: a) F, porque el |-3| = 3 y |3| = 3
c) F, porque |-8| = 8
d) F, es cero
1 1
f) F, porque
4 2
j) V
e) F, porque – 6 < 4; pero | –6 | = 6 y 6 > 4
g) V
h) V
i) F, porque – 7 < 0 y |-7| > 0
k) F, porque para – 4 < x < 4 se cumple que | x | < 4
l) F, porque |-6| = 6 y 6 >4
1
1
1 1
2
3
13. a) 25 16 2,1
16∈ n
b) 25∈ n
1
Q
2
21 ∈ Q+
1
1 R
2
–1 ∈ Z
14. Oscilación térmica (–20;20)
Valor del intervalo: 0 ºC
Microorganismo (0,1;1,5)
Valor del intervalo: 1
Cámara fotográfica [–20;55]
Valor del intervalo: – 10
Termómetro x < – 20
Valor del intervalo: – 25 oC
15. a) P = {x ∈ r: −2 < x < 2}
Q = {x ∈ r: −1 ≤ x < 5}
1
Q 8; 0 ; 9
2
b) P = [ –1;2) ∪ (–2;0)
16. a) B = {x ∈ r: −1 < x ≤ 8} C = {x ∈ z: −1 ≤ xx ≤ 3}
c) 1) F, porque 4 ∉ A
17.
c) a = – 4
2) V
3) V
6) F, porque contiene cuatro
7) V
4) V
b) A = [– 2;4)
5) F, porque D ⊂ B
A ⋃ B = {x ∈ r: −3 ≤ x ≤ 4}A ∩ B = {x ∈ r: −1 < x < 3}
19. Aproximadamente de 136 años. 21. Pesa 3,3 · 1011g. 22. 432 000 veces.
23. Podré utilizar el mismo calendario del año en que resuelvo este ejercicio.
24. a) 1,25 ⋅ 1011 1,84 · 1011
25. 96 898 562 775 USD.
30. 60 afiches.
b) 104 166 667 USD
26. Se multiplicó por 1014.
31. 464 estudiantes.
c) 18 400 000 000 USD
29. a) 133 estudiantes.
32. a) 75 preguntas
b) el 2,6 %
33. Se encargó de la limpieza la tercera parte del total de estudiantes y el grupo
tiene una matrícula de 27 estudiantes.
462
ANEXOS
Epígrafe 1.2
1. a) No corresponde a estudios realizados dentro de la estadística descriptiva,
pues se está realizando un estudio de un hecho aislado, que es la calificación
obtenida por un estudiante en un trabajo de control.
b) Sí corresponde.
c) Sí corresponde.
d) No corresponde, pues se está realizando un estudio de un hecho aislado
que es la enfermedad de una persona
e) Sí corresponde.
3.
Población
Muestra
Variable
estadística
Variable
estadística
cualitativa
Variable
estadística
cuantitativa
Variable
estadística
discreta
4.
Verdaderos: c)
Conjunto de individuos (objetos, sucesos o procesos) que poseen
entre sus características una común y que va a ser objeto de estudio
Cualquier subconjunto de una población, o sea, es la parte de
la población que se estudia
Cualquier característica o propiedad de los miembros de una
población susceptible de tomar determinados valores mediante
un procedimiento de medición, de modo que estos valores pueden ser clasificados de forma exhaustiva en un cierto número
de categorías posibles
Las que se refieren a características o atributos que expresan
una cualidad que no puede tomar valores numéricos
Las que se refieren a características o atributos que expresan
una cantidad, o cantidad de magnitud y, por tanto, toman
valores numéricos
Las que solo pueden tomar un número finito o a lo sumo numerable de valores que suelen coincidir con números enteros
d)
f)
Falsos: a) F, porque la estadística descriptiva estudia datos relativos a un conjunto
de individuos u observaciones con el objetivo de describirlos o caracterizarlos, para poner de manifiesto, de forma gráfica o analítica, sus
propiedades.
b) F, porque el conjunto de individuos debe tener una característica común.
e) F, porque expresan una cualidad que no puede tomar valores numéricos.
5. a) Población: total de personas de la tercera edad que pertenecen al consultorio.
Muestra: 45 personas seleccionadas y la variable estadística es la hipertensión
arterial y es cuantitativa.
b) Población: 50 000 frascos producidos en un día. Muestra: 50 unidades seleccionadas y la variable estadística es la calidad del perfume y es cualitativa.
463
MATEMÁTICA
c) Población: total de personas que asisten en un día al Festival de Cine Latinoamericano. Muestra: 100 personas seleccionadas y la variable estadística
es el nivel profesional y es cualitativa.
d) Población: total de recién nacidos durante un mes de un hospital materno. Muestra: 40 recién nacidos seleccionadas y la variable estadística es
la masa de los recién nacidos y es cuantitativa.
e) Población: total de estudiantes de la secundaria básica seleccionada. Muestra: 100 estudiantes seleccionados y la variable estadística es la preferencia
sobre los programas televisivos y es cualitativa.
6.
Verdaderos: a)
c)
d)
Falsos: b) F, porque es categórica e) F, porque la suma es igual a la unidad o
al 100 % si se expresa en porcentaje.
7. a) Cantidad de horas semanales que dedican aproximadamente al estudio de
la Matemática y es cuantitativa.
b) La distribución de frecuencia es numérica.
c)
Cantidad de horas semanales
Fi
fi
0
3
0,107
1
4
0,142
2
5
0,179
3
2
0,071
4
1
0,036
5
3
0,107
6
6
0,214
7
0
0,000
8
4
0,143
e) Los estudiantes de ese grupo estudian como promedio aproximadamente
3,8 h o 3 h y 48 min.
8.
Verdaderos: a)
c) d) f) i)
l)
m)
Falsos: b) F, porque la media aritmética es única
e) F, porque puede existir más de una moda
g) F, porque esto solo corresponde cuando el número de datos es par
h) F, porque se puede terminar también cuando la distribución de
frecuencias es categórica
j) F, porque así se calcula la media aritmética
464
ANEXOS
k) F, porque se puede utilizar en situaciones que intervienen variables
cuantitativas
n) F, porque para calcularla hay que ordenar los datos y en función
de la cantidad de estos, sea par o impar, se determina.
10. La moda es nueve
La mediana es nueve
La media es 8,4
Subepígrafe 1.3.1
1. a) Población: pacientes que asistieron al policlínico ese día.
Muestra: 25 pacientes seleccionados
b) Determinación del calcio en sangre.
c) Variable continua
d) La distribución de frecuencias es numérica.
e)
Clase
F
Marca de clase
i
8,3 ≤ x < 8,8
8,8 ≤ x < 9,3
9,3 ≤ x < 9,8
9,8 ≤ x < 10,3
4
8
10
3
8,55
9,05
9,55
10,05
2. a) Población: estudiantes que participaron en el concurso de Matemática
Muestra: 32 estudiantes seleccionados para hacer el estudio.
b) Calificación obtenida por los estudiantes que participaron en el concurso.
c) Variable continua.
d)
3.
Clase
4 ≤ x < 11
11 ≤ x < 18
18 ≤ x < 25
25 ≤ x < 32
Fi
3
10
14
5
fi
0,094
0,312
0,438
0,156
a) Amplitud de clase: 500 b) Volumen de los balones
c) La variable es continua, porque puede tomar cualquier valor real dentro
de un intervalo.
d) El rango de la variable es de 2 000, porque es la diferencia entre el dato
mayor y el dato menor del conjunto de datos que toma la variable.
e)
Volumen (cm3)
Fi
Marca de clase
fi
1 500 ≤ x < 2 000
125
1 750
0,24
2 000 ≤ x < 2 500
129
2 250
0,25
2 500 ≤ x < 3 000
139
2 750
0,27
3 000 ≤ x < 3 500
124
3 250
0,24
f) En el día se produjeron 517 balones.
465
MATEMÁTICA
Subepígrafe 1.3.2
1.
a) 2; b) 4; c) 5; d) 1; e) 3; f) 6; g) 3; h) 6
3.
a) Es un país frio, porque la tempera-
Clase
Fi
fi
2 ≤ x < 3,9
3,9 ≤ x < 5,8
5,8 ≤ x < 7,7
7,7 ≤ x < 9,6
9,6 ≤ x < 11,5
6
7
6
5
5
0,2
0,23
0,2
0,16
0,16
d)
tura máxima en el mes fue de 12 C
o
b) Durante 30 días.
c) Variable: temperatura en grados
Celsius (ºC). Rango o recorrido: diez
Subepígrafe 1.3.3
1.
a) V
b) F, porque es la clase de mayor frecuencia
c) F, porque es la clase donde se encuentra la mediana
2.
a) 150 personas
b) Amplitud de clase: 14
c) Frecuencia relativa porcentual (fi %):
Primera clase 6,7 %,
Segunda clase 33,3 %,
Cuarta clase 20 %
Quinta clase 13,3 %
d) Clase Modal: 60 ≤ x < 74
Clase mediana: 74 ≤ x < 88
e) 81 pulsaciones por minuto.
3.
Tercera clase 36,6 %,
g) El 20 %.
a) El rango de los pesos obtenidos tiene un valor de 17.
b)
Clase
Fi
40 ≤ x < 44,5
2
44,5 ≤ x < 49
3
49 ≤ x < 53,5
8
53,5 ≤ x < 58
9
58 ≤ x < 62,5
4
62,5 ≤ x < 67
4
d) 54,25 kg.
e) Clase Modal: 53,5 ≤ x < 58
Clase mediana: 53,5 ≤ x < 58
4.
4.1 La falsa es la proposición d.
5.
a) 30 jugadores b) La amplitud es de diez. c) [170;180)
d) 175,6 cm
6.
e) [170;180)
a) 21 apartamentos b) 163 kWh
Ejercicios del capítulo
1.
466
A = – 2,5
B = 0,7
C = 3,9
c) El 23,8 %
d) Es 0,38
e) Es 50
ANEXOS
2.
a) A = 1
B = 227
C=–1
D = 64,25
3.
b)1 ∈ N
227 ∈ N
–1 ∈ z
64,25 ∈ q
P = 76
o
D = 64
4. a) Deportes: 180 estudiantes, actividades culturales:
1
4
o
D=
257
4
b) 45 %
216 estudiantes y estudio del medio ambiente 324.
5.
Se ha reducido en $ 45.00.
6.
a) La tercera parte.
7.
1 1 1 1
Se deben eliminar las fracciones siguientes: ; ; y
4 5 7 8
b) El 40 % del total de frutas.
c) 120 frutas.
8.1 a) F, porque fueron diagnosticadas 122 personas y esa cantidad es mayor
del 50 %
b) F, porque solo hay una clase modal que es 0,6 ≤ x < 0,7
c) F, porque fueron diagnosticadas 78 personas.
d) F, porque es la segunda
9. a) 500 estudiantes.
e) F, porque es 0,1
b) En seis clases.
e) Clase Modal: 22,4 ≤ x < 23,7
f) V
c) Es de 1,3.
d) El IMC es 21,43.
Clase mediana: 21,1 ≤ x < 22,4
f) Tienen bajo peso 45 estudiantes que representan el 9 % de la matrícula y
ningún estudiante tiene sobrepeso.
10. a)
Variable
Sexo
Estado civil
Preferencia
A
6
3
6
B
4
3
4
C
D
3
1
b) Las variables son: sexo, estado civil y preferencia y las tres son cualitativas.
c) No la hay, porque es la misma cantidad de frecuencia.
d) En la muestra son más frecuentes las mujeres. No se puede determinar la
media del sexo porque la variable es cualitativa.
Capítulo 2
Epígrafe 2.1
Subepígrafe 2.1.1
1.
a)
3.
a)
5.
1 3 5
; ;1;
2 4 4
1
5
a) II
5
2
b) III
b)
b)
4
8 10
; 2; ;
3
3 3
2.
a) 5
b)
3
2
c)
39
7
d)
1
2
4
4. a) II b) III c) I
3
6. a) 221 b) 28 c) 21
3
c) 10−3 = 0,0010 d)
c) III
d) I
467
MATEMÁTICA
7.
La relación del agua con respecto al alcohol es 1 es a 10. 8. Carlos tiene 12 años.
9.
AB 36
a) = = 3
CD 12
9.1. a) F,
AB 25 1
b) = =
CD 75 3
AB
>1
CD
b) F,
AB 3
=
CD 5
7
AB
7 10 1
d)
5
98
5 98 7
CD
10
AB 25 1
c) = =
CD 75 3
c) V
d) F,
a 3
=
l 4
10. 1 c); 2 a); 3 e); 4 c); 5 d)
11. GH =12 cm
3 1
12. a) AC
= =
C
12
AB
b) A
4
13. a) EF = 0,9 cm
D
B
Fig. 2.188
b) MN = 15 cm
c) PQ = 600 cm
d) RT = 64 cm
14. La respuesta de este ejercicio es gráfica, como el factor de proporcionalidad
está fijado, entonces.
1
1
a) AB = CD y MN = EF
2
2
b) AB = 3 · CD y MN = 3 · EF
EF
1 CD AB 3
15. CD
y = =
= =
4
GH
AB
EF
GH
16. Avanzó 16 km.
4
17. Respuesta: la razón entre sus velocidades es 2
18. r2 = 15 cm
3
19. hA = 3,0 m
Subepígrafe 2.1.2
1. a) V
b) V
d) V
c) F, OD es segmento correspondiente con el segmento OE
e) F porque EH no es segmento correspondiente con FI por no estar
entre paralelas
2. a) CE
EA
b) BF
BC
c) GD
CD
3.
468
=
CG Primera parte del teore- d) AB EF
=
DB GF
GD ma de las transversales.
=
e) CF FG
FD Segunda parte del teore=
CB BD
CA ma de las transversales.
=
FB
CB
Tercera parte del teorema
de las transversales.
Segunda parte del teorema
de las transversales.
Primera parte del teore- f) BF BC
=
ma de las transversales.
BD BA
a)
GH AB
=
HI
BC
b)
EH
FI
=
EB FC
c)
ZA AD
=
ZC CF
f)
BZ HZ
=
AC GI
g)
DE AB
=
EF BC
h) CF : BE = FI : EH
d)
Primera parte del teorema
de las transversales.
ZH BH
=
ZG AG
i)
e) AD : AG = BE : BH
AG ZG
=
ZI
CI
ANEXOS
4.
a) V
b) F (porque los segmentos de semirrectas tienen que tener siempre
un extremo que coincida con el origen de las semirrectas)
c) V
d) V
5.
OA = 3,0 cm OC = 3,2 cm CD = 12,8 cm
6.
AG = 1,5 cm; CD = 5,6 cm; GF = 9,8 cm; DF = 2,8 cm; CE= 1,4 cm; GE= 4,9 cm
7.
a) Trapecio
8.
b) EF = 4,0 cm; EG = 3,0 cm; BG = 5,0 cm; BF = 10 cm
9.
Las longitudes de los lados del rectángulo son AB =
b) A = 24 cm2
10. a) Área EPQ = 11,76 cm ≈ 12 cm
20
cm y AD = 4,5 cm
3
b) P DPQF = 15,6 cm ≈ 16 cm
c) El área del triángulo PQE representa el 49 % del área el triángulo DEF.
11. a) BD = 12,0 cm y BE ≈ 12,4 cm; b) AADEC = 14,0 cm2
12. a) O1E ⊥ AC y O2C ⊥ AC por ser AC tangente en B y C respectivamente a las
circunferencias C1 O1 ; r1 y C 2 O2 ; r2
Luego O1E O2C
Entonces se cumple por la segunda parte del teorema de las transversales
AO1 r1
r 1
AO1 1
= , como 1 = , sustituyendo:
= , podemos concluir que O1 es el
AO2 r2
r2 2
AO2 2
punto medio de AO2
b) Como
r1 1
= , despejando obtenemos que r2 = 2 r1, entonces EO2 = 2 r1
r2 2
El segmento O1O2 O1E EO2 (sustituyendo O1E y EO2 por r1 y r2)
O1O2 r1 r2
O1O2 r1 2 r1
O1O2 = 3 r1
Como O1 es punto medio de AO2 , entonces se cumple que AO2 = 6 r1
13.
14. a)
Fig. 2.189
b) AB = 18 cm
Fig. 2.190
15. Considerando las rectas paralelas AF y CD y las secantes BC y BD se puede
plantear según la primera parte del teorema de las transversales que
BD BC
=
AD FC
469
MATEMÁTICA
Por otra parte, FC = AC ya que se puede demostrar fácilmente que el triánBD BC
gulo ACF es isósceles de base AF. Al sustituir FC en
se obtiene que
=
AD FC
BD BC
BC BD
, es decir,
=
=
.
AD AC
CA AD
16. Del paralelismo entre las rectas BC y DE y por ser D el punto medio
AD AE 1
de AC se justifica la relación = =
, es decir, 2AE = AB y como
AC AB 2
además los puntos A, E y B están alineados se cumple que E es el punto
medio de AB.
a) DE || CB y CB ⊥ AB , resulta que DE ⊥ AB, resulta que DE ⊥ AB (si dos rectas
son paralelas entre si y una tercera es perpendicular a una ellas, entonces
dicha recta es también perpendicular a la otra recta). De este resultado se
puede inferir que DE es la altura relativa al lado AB en el triángulo ABD.
Como en el inciso anterior se demostró que AE = EB, se cumple que DE es
también la mediana relativa al lado AB en el triángulo ABD. De lo anterior
resulta que el triángulo ABD es isósceles de base AB por lo que BD = AD.
También se cumple que AD = DC por ser D el punto medio de AC.
Resumiendo: BD = AD y AD = DC , de donde BD = AD= DC , es decir,
AD = DC = BD.
Subepígrafe 2.1.3
1.
Fig. 2.191
2. a)
b)
Fig. 2.192
Fig. 2.193
470
ANEXOS
3. a)
b)
Fig. 2.194
4.
Fig. 2.195
Pasos que se deben seguir:
I. Ubicar un punto E como se muestra en
la figura 2.196, de forma tal que pueda
ser medible (accesible) el segmento AE.
II. Ubicar un punto D en AE de forma tal
que no existan obstáculos entre B y D.
III. Trazar la recta BD.
IV. Trazar por E la recta paralela a la recta BD
que corta a la recta AB en el punto C.
Fig. 2.196
V. Calcular las longitudes de los segmentos
BC y DE.
VI. Determinar la distancia que separa a los puntos inaccesibles A y B
al sustituir las longitudes de los segmentos correspondientes en la
AB AD
proporción
=
.
BC DE
5. a) Alejandro tiene razón en lo que se refiere a las longitudes que se necesitan
calcular, pero con su planteamiento no garantiza que las recta AC y BD sean
paralelas.
b) Si, para garantizar el paralelismo entre las rectas AC y BD (ya que dos
rectas perpendiculares a una misma son paralelas entre sí).
c) De O a A hay 130 pasos lo que es aproximadamente igual a 32,5 m según
las consideraciones realizadas.
De O a B hay 200 pasos lo que es aproximadamente igual a 50 m según
las consideraciones realizadas.
De A a C hay 55 pasos lo que es aproximadamente igual a 13,75 m según
las consideraciones realizadas.
Aplicando la segunda parte del teorema de las transversales se puede
calcular la longitud de C (BD ≈ 21,2 m).
El área aproximada del terreno es de 306 m2.
471
MATEMÁTICA
6.
Descripción a partir de la figura 2.197.
A: Observador
► O: Centro del aro de diámetro BF
► CE Altura de la torre
► D: Punto medio de CE
► A, O y D están alineados y para garan-
tizar el paralelismo,
Fig. 2.197
► BF || CE
Garantizadas las condiciones para aplicar la segunda parte del teorema de
AO OB
las transversales se puede plantear que
, se conoce las medidas
=
AD DC
DF
de los segmentos AO y AD, OB =
, por ser radio del aro, despejando DC
2
AD OB
obtenemos, DC
, al calcular DC y como D es punto medio de DC
AO
entonces CE = 2 · DC que es la altura de la torre.
Epígrafe 2.2
1.
No, porque para que dos polígonos sean semejantes se debe cumplir que tengan
sus ángulos respectivamente iguales y sus lados homólogos proporcionales.
2.
No, se debe cumplir que sus lados sean proporcionales.
3.
Sí, porque sus tres ángulos son iguales y sus lados homólogos son proporcionales.
4.
Sí, porque sus n ángulos son iguales y sus lados homólogos son proporcionales.
5.
No siempre, para que sean semejantes debe cumplir que, además de tener
sus ángulos iguales, debe tener sus lados homólogos proporcionales.
6.
No, porque para que dos rombos sean semejantes se debe cumplir que tengan
sus ángulos respectivamente iguales y sus lados homólogos proporcionales.
7.
9.
8. Es la misma razón para todos los incisos: 2
45 cm
5
Los polígonos ABCD y AEFD no son semejantes porque sus lados homólogos
no son proporcionales y los polígonos AEFD y EBCF, si son semejantes porque
se cumple que sus ángulos respectivos son iguales y sus lados homólogos
proporcionales.
10. c) 9
16
14. 22,8 km
20. a) 39 mm
472
11. 70 m
12. 7,26 cm2
13. 10:1
17. 22,8 km
18. c) 21 mm
19. 8,5 cm
b) 172 mm
c) 21 mm
22. 6,8 cm
ANEXOS
Epígrafe 2.3
1.
a) QFE ~ EGS por tener dos ángulos respectivamente iguales:
► ∢Q = ∢S = 60º
► ∢QFE = ∢SEG por datos
► ∢ADC = ∢CDB
► ∢DCA = ∢DBC
b) ∆CMN~∆ABC por el teorema fundamental de la semejanza.
c) ∆ADC~∆DBC por tener dos ángulos respectivamente iguales:
d) ∆DEC~∆FEC por tener dos ángulos respectivamente iguales:
► ∢CDF = ∢ECF
► ∢ECD = ∢CFE
2.
EF QE QF
MN CN CM
AC AD CD
DE CE CD
a) = =
; b) = =
; c) = =
; d) = =
EG SG SE
AB BC CA
BC CD BD
CE FE CF
3.
En la figura se muestra la circunferencia C (o; r), D, F, G puntos de la circunferencia, ∢FDG = ∢GOH y HG tangente en G.
a) El ∢DFG es recto por ser inscrito en la circunferencia y corresponderle un
arco de 1 800 (Teorema de Tales)
b) El ∢HGO es recto por ser HG tangente a la circunferencia en G.
c) DFG ~ GHO por tener dos ángulos respectivamente iguales.
4.
En los triángulos AEF y BCD se cumple que:
∢A es común a los dos triángulos.
AF 1
=
AB 2 por ser F punto medio de AB
AE 1
= por ser E punto medio de AD
AD 2
Luego AEF ~ BCD por tener dos lados proporcionales
e igual el ángulo comprendido.
5.
a) V b) F
7.
b) 5 cm
c) F
d) V
FE AF AE
= =
BD AB AD
e) V
Porque:
2
2
2
EC ED CD por Pitágoras.
ED CD
Si, = = 2, se cumple que: ED = 2EG y CD = 2FG
EG FG
2 5 2EG 2FG
2
2
2
20 4EG 4FG
2
2
2
2
5 EG FG
2
2
2
EF EG FG
2
EF = 5
EF = 5 cm
473
MATEMÁTICA
8.
a) En los triángulos ABC y MKL se cumple que:
b)
∢A = ∢M = 72º
AB 3 1
= =
MK 9 3
∢L = 63º por suma de ángulos interiores de un
triángulo, luego se cumple que
∢LL = ∢CC = 63º
Entonces se cumple ∆ABC = ∆MKL por tener dos
ángulos respectivamente iguales
9.
Vía 1
Vía 2.
a) En los triángulos
∢C = ∢E por datos.
ABC y BDE se cumple que AC || DE,
luego los ABC~
∢A es común a los dos
triángulo.
b)
AB AC
, enton=
BD DE
ces se cumple que:
AB · DE = AC · DB
Entonces se cumple que
BDE por el teore-
ABC~ BDE por tener
ma fundamental de
dos ángulos respecti
la semejanza.
vamente iguales.
10. Nueve unidades
11.
a) ∆NRM = ∆NPT por tener un lado y los ángulos adyacentes a ese lado respectivamente iguales.
Se cumple que NR = NT por ser lados homólogos de triángulos iguales, por
tanto se cumple que el triángulo RNT es isósceles de base RT.
b) P = 14 cm
Nota: la razón entre las longitudes de los lados NR y RT del triángulo RNT es
igual a 3,0 cm2, no debe llevar unidad de medida.
12. a) En los triángulos MRQ y MNP se cumple que:
∢P = 90º por el teorema de Tales.
∢QMP = 90º por ser QM ⊥ MP
∢P = ∢QMP por tener la misma amplitud.
∢QRM = ∢RMN por ser alternos entre QR || MN
Se cumple que ∆MRQ ~ ∆MNP por tener dos ángulos respectivamente iguales.
NP
=
MP
QM MR
; entonces se cumple que NP · MR = QM · MP
b) P = 28 cm.
13. a) Entonces se cumple que ∆ADE ~ ∆BEC por tener dos ángulos respecti
vamente iguales.
474
ANEXOS
14. a) Se cumple que NSM ~ TQM por tener
b) NS = MT por ser lados homó-
dos ángulos respectivamente iguales.
c) ∢MRQ = 15º
logos de triángulos iguales.
d) A = 16 cm2
15. a) FAI ~ HIC por tener dos ángulos respectivamente iguales.
b) A = 3 cm2
16. a) ADB ∼ BDC por tener dos ángulos respectivamente iguales.
b) As = 2,82 cm2
17. a) El ABC = AED por tener un lado y los ángulos adyacentes a él respectivamente iguales.
ED = AB por ser lados homólogos en triángulos iguales.
b) Si se cumple que ED || CB, entonces ABC ~AFD por el teorema fun
damental de la semejanza de triángulos.
c) DF = 6,25 cm
Epígrafe 2.4
1.
1.1 Verdaderos: a) c) e) f) g)
Falsos
b) F, en todo triángulo rectángulo el área del cuadrado cuyo lado tiene una
longitud igual a la longitud de la altura relativa a la hipotenusa es igual al
área del rectángulo cuyos lados tienen las longitudes de los segmentos que
dicha altura determina sobre la hipotenusa, por el Teorema de las Alturas.
d) F, piensa en un triángulo obtusángulo.
h) F, piensa en el Teorema de las Alturas. En un triángulo rectángulo el lado
mayor es la hipotenusa.
1.2 1.2.1 a)
2.
Triángulos
1.2.2 a)
1.2.3 c)
1.2.4 a)
Ecuaciones
Teorema de las alturas
Teorema de los catetos
2
∆ ACF
2
BF AB BC
AF AB AC
2
FC BC AC
2
∆ CFE
2
FD CD DE
FC CD CE
2
FE DE CE
2
∆ ACE
2
FC AF FE
AC AF AE
2
CE EF AE
475
MATEMÁTICA
3.
Demostración (figura 2.198)
∢RAQ es recto.
R es la proyección del punto P en el lado RA
Q es la proyección del punto P en el lado QA
AQPR es un rectángulo (es un cuadrilátero que
tiene sus cuatro ángulos interiores rectos, por
definición de distancia de un punto a un seg-
Fig. 2.198
mento)
Por eso AQ = RP y PQ = RA por ser pares de lados opuestos
AP es una de sus diagonales y es la distancia de P a A.
2
2
2
AP AQ PQ por teorema de Pitágoras en el ΔAQP
2
AP AQ PQ
4.
2
Las longitudes de los lados más pequeños son proporcionales a los números 24 y 10, por tanto, pueden escribirse como 24k y 10k, el lado mayor puede
escribirse como 26k, siendo k el factor de proporcionalidad.
(24k)2 + (10k)2 = 576k2 + 100k2 = 676 k2 , el cuadrado del lado mayor es
676 k2. Aplicando el recíproco de Teorema de Pitágoras es fácil afirmar que
el triángulo es rectángulo.
5.
Ese triángulo es rectángulo, las alturas son 7,2 cm; 9,0 cm y 12cm.
6*. Demostración (figura 2.199)
2
2
AH HC AC
2
Premisa: M un punto cual-
(I)
quiera de la altura AH de un
Por Teorema de Pitágoras en ∆AHC
2
2
AH HB AB
2
ΔABC.
(II)
Tesis:
2
2
2
AC AB CM BM
Por Teorema de Pitágoras en ∆AHB
2
Al restar miembro a miembro (II) de (I)
se obtiene:
2
2
2
HC HB AC AB
2
(III)
Al aplicar Teorema de Pitágoras en ∆MHC
y ∆MHB y sustituir en (III) se obtiene que:
2
2
2
MC HM BM HM
2
AC AB
2
2
Al eliminar el paréntesis se obtiene que:
2
2
2
MC BM AC AB
7.
476
2
Fig. 2.199
El área del cuadrilátero EBCD es 2,0 · 102 cm2 y el perímetro es 66 cm.
ANEXOS
8.
Es 24 cm.
9.
El área del cuadrilátero ABCD es 3,5 · 102 cm2 y el área del ∆BCD es 1,3 · 102 cm2.
10. Premisa: Las diagonales del cuadrilátero ABCD (figura 2.200) se cortan
perpendicularmente en el punto O.
Tesis:
2
Demostración
2
2
2
2
Por Teorema de Pitágoras en ∆AOB
2
2
AD BC AB CD
2
AO BO AB (I)
2
2
DO CO CD (II)
Por Teorema de Pitágoras en ∆COD
Al adicionar miembro a miembro (I) y (II) y aplicar Teorema
de Pitágoras en ∆AOD y ∆BOC se
2
2
2
obtiene: AD BC AB CD
2
Fig. 2.200
11. Demostración
2
2
Premisa:
AD AB BD
2
(I)
Por Teorema de Pitágoras en ∆ADB
2
2
AD DC AC
2
(II)
Por Teorema de Pitágoras en ∆ACD
Al restar miembro a miembro (II) de
ABCD trapecio rectángulo de bases
AB y CD (figura 2.201)
∢A y ∢D son rectos
Tesis:
(I) se obtiene:
2
2
2
AB DC BD AC
2
Fig. 2.201
12. El volumen El volumen es 3,8 · 102 cm3 y el área total es 3,2 · 102 cm2 .
13.* El área del rombo ABCD es 6,0 dm2 y el perímetro es 10 dm.
El área del cuadrilátero PBCO es 2,0 dm2 y el perímetro es 6,6 dm.
14. a) La recta es tangente a la semicircunferencia.
b) El área es 31 cm2.
15. El perímetro del cuadrilátero ADBC es 18 cm y el área sombreada es de 12 cm2.
16. Ten en cuenta que el ∆AOB es rectángulo e isósceles de base AB, por eso
OP también es mediana, mediatriz y bisectriz. ∆OPB y ∆OPA también son
477
MATEMÁTICA
rectángulos e isósceles de bases OB y OA respectivamente, al aplicar Teorema
de Pitágoras en cualesquiera de ellos, ya completas tu demostración..
17*. El área sombreada es de 8,7 · 102 cm2
18. La longitud de cada cable es 73 m.
19. Sí. Dada la manera en que pueden ser unidas las estructuras. Sí, observa este
esbozo (figura 2.202), hay que tener presente que el mínimo común múltiplo
de 24 y 32 es 96.
20. El área es 1,5 dm2. Los pedazos son triángulos rectángulos. Sí, se puede cubrir,
mira el esbozo de la figura 2.203.
Fig. 2.202
21. La longitud es de 45 cm.
Fig. 2.203
22. a) La vía es correcta.
23. Ver tabla siguiente:
Elementos
dados
Elementos
que puedo
hallar
p
ayq
ayp
ayc
478
c
h
b
h
q
c
b
b
p
q
h
¿Qué aplico?
Teorema de los Catetos en ∆ABC para formular la ecuación a2 = p (p + q). Para resolverla
pide ayuda a tu profesor (a)
Sumo p y q
Teorema de las Alturas en ∆ABC
Teorema de Pitágoras en ∆ABC
Teorema de Pitágoras en ∆CDB
Teorema de las Alturas en ∆ABC
Sumo p y q
Teorema de Pitágoras en ∆ABC
Teorema de Pitágoras en ∆ABC
Teorema de los Catetos en ∆ABC
Resto p de c
Teorema de las Alturas en ∆ABC
ANEXOS
Elementos
dados
ayh
byq
Elementos
que puedo
hallar
p
q
c
b
h
p
a
c
q
byp
byh
byc
cyq
cyp
h
c
a
q
p
c
a
a
q
p
h
p
h
b
a
q
h
a
b
q
cyh
pyh
p
b
a
a
c
q
b
¿Qué aplico?
Teorema de Pitágoras en ∆CDB
Teorema de las Alturas en ∆ABC
Sumo p y q
Teorema de Pitágoras en ∆ABC
Teorema de Pitágoras en ∆ACD
Teorema de los Catetos en ∆ABC
Teorema de Pitágoras en ∆CDB
Teorema de Pitágoras en ∆ABC
Teorema de los Catetos en ∆ABC para
formular la ecuación b2 = q (p + q). Para resolverla pide ayuda a tu profesor (a)
Teorema de las Alturas en ∆ABC
Sumo p y q
Teorema de Pitágoras en ∆ABC
Teorema de Pitágoras en ∆ACD
Teorema de las Alturas en ∆ABC
Sumo p y q
Teorema de Pitágoras en ∆ABC
Teorema de Pitágoras en ∆ABC
Teorema de las Alturas en ∆ABC
Teorema de las Alturas en ∆ABC
Teorema de las Alturas en ∆ABC
Resto q de c
Teorema de las Alturas en ∆ABC
Teorema de Pitágoras en ∆ADC
Teorema de Pitágoras en ∆ABC
Resto p de c
Teorema de las Alturas en ∆ABC
Teorema de Pitágoras en ∆CDB
Teorema de Pitágoras en ∆ABC
Teorema de las Alturas en ∆ABC para formular la ecuación h2 = q (c – q). Para resolverla
pide ayuda a tu profesor (a)
Resto q de c
Teorema de Pitágoras en ∆ADC
Teorema de Pitágoras en ∆ABC
Teorema de Pitágoras en ∆CDB
Teorema de los Catetos en ∆ABC
Resto p de c
Teorema de Pitágoras en ∆ABC
479
MATEMÁTICA
c
h
a
b
b
p
a
c
pyq
qyh
Sumo p y q
Teorema de las Alturas en ∆ABC
Teorema de Pitágoras en ∆CDB
Teorema de Pitágoras en ∆ABC
Teorema de Pitágoras en ∆ADC
Teorema de las Alturas en ∆ABC
Teorema de Pitágoras en ∆CDB
Sumo p y q
Después de este análisis estarás de acuerdo con lo que planteó Osmani.
Epígrafe 2.5
1.
Triángulos
∆ABC
Ángulos
∢A
∢B
∆PQR
∢P
∢Q
∆EFG
∢E
∢F
∆NVT
∢N
∢V
∆HIJ
∢H
∢J
∆KLM
∢L
∢M
α
∆A’B’C’
b
480
sen
cos
tan
BC
AB
AC
AB
BC
AC
AC
AB
BC
AB
AC
BC
QR
PQ
PR
PQ
FG
EF
EG
EF
VT
NV
TN
NV
IJ
JH
HI
JH
PR
PQ
QR
PQ
EG
EF
FG
EF
TN
NV
VT
NV
HI
JH
IJ
JH
QR
PR
PR
QR
FG
EG
EG
FG
VT
TN
TN
VT
IJ
HI
HI
IJ
KM
LM
KL
LM
KM
KL
KL
LM
a
c
b
c
KM
LM
b
c
a
c
KL
KM
a
b
b
a
ANEXOS
2.
a) ∆ABC b) A todos
c) ∆DEF
d) ∆JKL
e) ∆DEF
f) ∆GHI
g) ∆ABC
h) A ninguno, el seno de un ángulo agudo siempre está entre 0 y 1.
3.
a) Ángulo
17°
84°
73°
b) Ángulo
20°
12°
87,7°
sen
0,2924 0,9945 0,9563
cos
0,9397 0,9781 0,401
c) Ángulo
44°
74°
tan
0,9657 3,487
61°
1,804
d) Ángulo
cot
5,2°
10,99
26,5° 53,5°
2,006 0,7400
También puedes encontrar cot 5,2° = 11,00
4.
Sí, es posible porque ese triángulo es rectángulo, lo que se demuestra al
aplicar el Recíproco del Teorema de Pitágoras (852 = 362 + 772)
Razón Trigonométrica
5.
∢F
∢F
sen
0,9059
0,4235
cos
0,4235
0,9059
tan
2,139
0,4675
cot
0,4675
2,139
Las longitudes de los catetos pueden ser: 24 cm y 32 cm y la de la hipotenusa,
40 cm, dadas las definiciones de seno y tangente.
6.
7.
HI = 64 dm , b) IG = 39 dm y ∢IHG = 32º
a) El triángulo es RECTÁNGULO e ISÓSCELES, puedes demostrarlo si tienes
presente como se representa en un Sistema de Coordenadas Rectangulares
y aplicas el Teorema de Pitágoras o si te auxilias de un compás y de un
semicírculo para medir.b) El seno de sus ángulos agudos es
8.
a) y = 1,15x + 37 b) 78,7º
9.
Las longitudes de los catetos siempre son me-
2
≈ 0, 7071.
2
nores que la longitud de la hipotenusa, por eso
siempre es propia la fracción que se obtiene al
hallar el seno y el coseno de un ángulo agudo
en un triángulo rectángulo.
10. Apóyate en la figura 2.204
Premisa:
sen
a
b
a
, cos y tan
c
c
b
Fig. 2.204
Tesis:
tan
Demostración:
sen
cos
sen
cos
a
c
b
c
a
a
y tan
b
b
481
MATEMÁTICA
11. Apóyate en la figura 2.204
Premisa:
Demostración:
∆ABC rectángulo es C
a
b
sen
y cos
c
c
a2 +b2 = c2 Por Teorema de Pitágoras
Tesis: sen2 α + cos2 α = 1
Al dividir por c2 la igualdad anterior obtenemos:
a2 b2 c 2
1
c2 c2 c2
Al aplicar propiedades de la potencia se tiene:
2
2
a b
1
c c
sen2± + cos2± = 1
12. Sí, porque son triángulos rectángulos.
13. Premisa:
Demostración:
P punto medio de AB,
∢APD = 30° y ∢CPD = 60°
Tesis:
BC = 3 · DA
DA
BC
tan60
AP
PB
AP = PB porque P es punto medio de AB
tan30
DA
BC DA BC
=
tan 30 tan 60 3
3
3
Es evidente que BC = 3 · DA.
14. Apóyate en la figura 2.205
Demostración:
Premisa: ∆ABC acutángulo
CD es la altura relativa a AB, por eso
Tesis: una de las maneras de
el ADC es recto y el ACD es rec
hallar el área del ∆ABC es
AC AB sen
2
tángulo. En ACD sen
CD
de ahí
AC
que: CD = AC sen·α.
Una de las formas de hallar el área
CD ⋅ AB
del ∆ACD es
al sustituir aquí la
2
expresión que tenemos para CD , se obtiene que una de las maneras de hallar el
área del ∆ABC es
AC AB sen
2
De forma parecida se trabaja para los
Fig. 2.205
482
otros casos. Si el triángulo es rectángulo
hay que tener en cuenta que sen 90° = 1.
ANEXOS
15. 24 u2
16. Área 1,3 · 102 u2 y perímetro 49 u.
17. Área 1,3 · 103 u2 y perímetro 1,7 · 102 u.
18. Área 337 mm2 .
19. Volumen 4,8 · 102 cm3 y área total es de 3,4 · 102 cm2.
20. Volumen 6,4 · 102 cm3 y la suma de las aristas es 1,3 · 102 cm.
21. Longitud 2,0 · 102 mm.
22. El área del círculo es 5,6 · 103 cm2 y la del sector circular 1,4 · 103 cm2.
23. El área sombreada es de 45 mm2.
24. El perímetro del ΔCQR es 74 u y la longitud de la circunferencia, de 96 u.
25. Área 17 cm2.
∢K = 22,6
∢KOA = 67,4°
∢OAK=°90
∢CAB = 36,9°
∢ABC = 53,1°
∢C = 90 °
El área del sector circular es de 25 dm2.
26. Posible respuesta
1. En la figura señalamos en cada elemento conocido su valor y en las desconocidas nos auxiliamos de variables. Si no lo dan dibujamos una figura
de análisis que consiste en un triángulo rectángulo o en una figura en la
que aparezca este.
2. Precisamos lo(s) dato(s) y la(s) incógnita(s).
3. Seleccionamos la(s) fórmula(s) de forma tal que en cada caso estén los
datos y una incógnita.
4. Calculamos la(s) incógnita(s) al sustituir, en la(s) fórmula(s) escogidas las
cantidades conocidas por sus valores, despejar la(s) incógnita(s), efectuar
las operaciones y obtener el(los) valor(es) buscado(s).
27. 0° < α < 17°
28. 1. Modelar mediante una figura de
análisis (figura 2.206)
2. Hallar PB y PE.
3. Sumar PB y PE.
29. 78 m
30. Realiza una figura de análisis como la
de la figura 2.207
Datos:
Fig. 2.206
ΔABC es isósceles de base AB, CD es la altura relativa a AB, por eso CD también es bisectriz y mediana (figura 2.207)
483
MATEMÁTICA
BC y AC representan los brazos del compás
La amplitud del ∢ACB es la del ángulo que forman
los brazos.
La longitud de AB es la distancia entre las puntas
del compás.
=
ACD =
BCD
ACB
D es punto medio de AB por
2
eso AB = 2 · DB
DB
, DB = BC ⋅ sen ∢BCD por
BC
tanto AB = 2 ⋅ BC · sen ∢BCD
En ΔBCD, senBCD =
Ejercicios del capítulo
1. c) 18 cm
2. a) ___ 0,1 dm y 5 cm
Fig. 2.207
3. a) 5 cm b) 12 cm2
4.
Se cumple que CE BD por el reciproco del teorema de las transversales.
5.
a) El cuadrilátero ABFE es un trapecio por tener dos lados paralelos EF || AB
b) ∢ABF = 135º
c) Se cumple que ∆BFG ~ ∆EGC por tener dos lados proporcionales y el
ángulo comprendido respectivamente igual (p.a.p.)
6.
a) ∢LOH =125º
b) En los triángulos ∆OLG y ∆GHI se cumple:
OL || HI por ser bases del trapecio LOHI luego por el teorema fundamental
de la semejanza se cumple que ∆OLG ∼∆GHI
c) AGHI = 24 cm2
7.
a) V
8.
Como la razón de semejanza es 1,25, entonces el perímetro del polígono C
b) V
c) F
d) V
e) V
es de 12 cm.
9.
a) Se cumple que ∆BGD ∼ ∆GEC por tener dos ángulos respectivamente iguales
c) BG ≈ 4,7 cm
10. a) Se cumple que ∆OAB ∼∆AFD por tener dos ángulos respectivamente iguales.
c) OB ≈ 22 mm
11. a) Se cumple ∆EBD ~ ∆ABD por tener dos ángulos respectivamente iguales
BD ED EB 3
b) = =
=
AB AD BD 5
12. a) Isósceles.
b) Se cumple que ∆BDE ~∆ABCpor tener dos ángulos respec-
tivamente iguales.
484
c) P =16 cm A = 12 cm2
c) AABC ≈ 14 cm2
ANEXOS
13. a) CE= 2= 1
8
CD
4
b) EF = 1,0 cm
c) Se cumple que ∆CDE ~∆ABCpor tener dos ángulos respetivamente iguales.
14. a) En los triángulos ACB y DBC se cumple que:
(1) ∢DBC ∢ = BCA por ser alternos entre BD || AC
(2) ∢BAC = ∢BCD por ser inscrito y seminscrito en una circunferencia y
corresponderle el mismo arco.
Entonces por 1 y 2, se cumple que ∆ACB ~ ∆DBC por tener dos ángulos
respectivamente iguales. Por tanto se cumple que
b) AS ≈ 55 cm2
15. a) T = 4
AB BC
=
CD BD
b) U = 2
16. a) Se cumple que ∆AMC ~ ∆BMC por el teorema a a.
b) AS ≈ 9,1 cm2.
c) AD ≈ 8,66 cm
BD = MD = 5 cm por ser lados del triángulo BDM isósceles rectángulo en D
AM = AD – MD = 8,66 cm – 5 cm = 3,66 cm
AM 3, 66 cm
Luego:
= = 0, 73
5 cm
MD
17. a) Se cumple que ∆BFE ~∆ACD por tener dos ángulos respectivamente iguales.
9
EG 3
AG = 12 cm
b) senGAE =
=
AG 4 AG
2
2
2
AG AE EG Teorema de Pitágoras.
2
122 AE 92
2
AE = 63
AE 63 7, 9
AE
cos GAE
0, 658
AG
tan GAE
9
EG
1,139
AE 7, 9
18. a) Se cumple que los triángulos AED y ABC son semejantes.
por tener dos ángulos respectivamente iguales.
b) AABCD ≈ 3,0 dm2
19. a) Se cumple que ∆ACD ~ ∆EBF por tener dos ángulos respectivamente iguales.
b) AT = 9,0 cm2
20. a) Se cumple que ∆ABC ~ ∆AED por tener dos ángulos respectivamente iguales.
b) AABC = 27 cm2
21. a) Se cumple que ∆ABC~∆BDE. por tener dos ángulos respectivamente iguales.
b) AS ≈ 1,0 cm2
485
MATEMÁTICA
22. Después de demostrar que:
AB BD
BD BC
2
BD AB BC
AT 36 cm2
23. La longitud de AA´ es 4,8 mm, el área de OO’A’A’ es 21 mm2 y el perímetro, 18 mm.
24.
El área de ABCD’ es 75 u2 y el perímetro, 45 u.
26. Verdaderas: a) d) e) h)
Falsas: b) F, el coseno de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es la
razón entre la longitud del cateto adyacente al ángulo y la longitud
de la hipotenusa.
c) F, la tangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es
la razón entre el seno y el coseno del ángulo.
f) F, sen 45° = cos 45°
g) F, tan 58° = 1,6
27. c) Sí, a cada elemento del conjunto A se le hace corresponder uno y solo un
elemento del conjunto B.
d) 77,4° y 12,6° son ángulos complementarios, lo mismo sucede con 44,3° y
45,7°, observa que sus amplitudes suman 90°.
e) No es posible, piensa en lo que has estudiado de las definiciones de las
razones trigonométricas.
31. k = 9 ; AABC ≈ 29 dm2
32. AC ≈ 25 cm
Capítulo 3
Epígrafe 3.1
1.
a) F, porque depende del dominio de la variable.
1
1
y Z
c) V
2
2
b) p = 8
c) p = 36
b) F, porque x
d) V
2.
a) p = – 8
d) p = – 4
3.
a) No es solución b) Es solución
c) Es solución
Epígrafe 3.2
1.
a) F, porque 3(1) – 2(5) = 3 – 10 = –7, luego, el par ordenado (1;5) no transforma la ecuación en una proposición verdadera, por tanto, no es solución
de la ecuación.
b) Verdaderas: b) c) d) e) g) i)
486
ANEXOS
Falsas: f) F, pues las pendientes de las rectas cuyas ecuaciones conforman el
sistema son iguales, pero sus términos independientes son diferentes, luego, el sistema no tiene solución.
h) F, porque existen sistemas que no tienen solución
j) F, ya que al sustituir la variable x por 3 y la variable y por 1 en cada
ecuación del sistema no se obtiene dos proposiciones verdaderas.
2.
b)
3. b)
8.
a) Solución única b) No tiene solución c) Solución única d) Infinitas soluciones
3.1 b)
3.2 c)
e) No tiene solución f) Infinitas soluciones
9.
k = 12
3.3 a)
g) Solución única
10. a = 11
Epígrafe 3.3
1.
3.
a) S = {(1; –1)}
b) S = {(–1; 3)}
c) S = {(2; - 3)}
2
4
d) S x ; y : y x , x R
3
3
e) S = {(0;1)}
1
f) S ; 1
2
g) S =Ø o S = { }
h) S = {(1;–1)}
a) S = {(24;20)}
b) S = {(3;1)}
6
22
d) S x ; y : y x
, x R
5
5
c) S = {(–9;35)}
e) S = {(–2,8;–1,2)}
Epígrafe 3.4
1.
a) x = 8, y = – 2
b) x = 7, y = 0
c) x = 2, y = 1
d) a = 3, b = 2
f) p 4 q , q R
g) m = 0, n = 0
h) r =
j) m =1, n = –1
k) v = 8, w = 1
l) x = 2, y = 3
n) v = – 3, w = 2
ñ) x = 11, y = - 13
o) m = 4, n = – 3
p) x = 4, y = – 3
q) a = 3, b = – 0,2
r) p = 1, q = 8
s) v = 4, w = 8
t) m = 6, n = 6
u) p = 20, q = 15
w) c = 24, d = 36
x) v = – 6, w = 12
v) a = 120, b = 260
5
y) x = 4 , y = 2
z) n = – 5, m = – 6
a) S = {(2;-10)}
4
b) S = ;0 c) S = {(13;5)}
3
3
1
e) x = , y =
2
2
17
i) r = – 9, s =
2
8
m) c = - , d = – 4
3
2.
7
7
43
16
,s=
9
3
487
MATEMÁTICA
d) S = {(2;0)}
3.
e) S = {(4;2)}
f) S = {(3;8)}
4. a) S 2; 2
Tabla 3.9
x+y–6
x–y+4
x
y
4
10
8
2
6
–8
0
12
2x + 5y
3x + 3y
5 – 3x
4 + 2(x + y)
b) S a; 2a 3 : a R
25 3
c) S ; d) S 5; 1
6 2
10 – 4
3
5. a = 1 y b = – 2
–1
Epígrafe 3.5
1.
1.1 c)
3.
En el noveno grado de esa secundaria básica hay 36 varones matriculados.
4.
Los números son 36 y ocho.
5.
Una caja de potes de helado tiene una masa de 20 lb.
6.
a) En la primera semana restauraron 501 libros y en la segunda 167.
1.2 d)
1.3 b)
1.4 c)
1.5 c) 1.6 d)
1.7 b)
1.8 c)
b) En la segunda semana se restauró el 25 % del total.
c) En la primera semana se restauraron las tres cuartas partes del total.
7.
En el laboratorio hay diez puestos de trabajo para tres estudiantes y siete
para dos estudiantes.
8.
El costo de mantenimiento de un torno es de 345 pesos y de una fresadora
de 420 pesos.
9.
El camión de capacidad de carga tres toneladas realizó 12 viajes y el de cuatro
toneladas, 11 viajes.
10. Tiene 12,0 m de largo y 8,0 m de ancho.
11. Los números son 13 y 27.
12. El área del rectángulo es 12 cm2.
13. Tiene 35 hembras y 25 varones.
14. Emilio tenía 24 libretas y Ernesto Fidel 12.
15. Una parte del cable mide 7,0 m y la otra 5,0 m.
16. Zoraida tiene 46 años y Yaima, 19.
17. La abuela tiene 56 años.
18. El grupo resolvió correctamente 22 ejercicios.
19. La edad de Alejandro es siete años.
20. En el parqueo hay estacionadas 79 motos.
21. En la fábrica hay 1 530 frascos y 736 latas para envasar la producción.
22. Un grupo elaboró 90 juguetes y el otro 20.
488
ANEXOS
23. Amanda seleccionó diez ejercicios y Anabel 12.
24. Hay 15 estudiantes cosechando café y diez transportando lo recogido.
25. En el concurso de artes plásticas participaron 130 hembras y 29 varones.
26. El número es 73.
27. Utiliza 18 estudiantes para formar un círculo y 22 para formar una estrella.
28. En enero asistieron al campismo 3 800 personas y en agosto, 11 400.
29. Una brigada recogió 76 kg de materia prima y la otra, 44 kg.
30. Cinco estudiantes del grupo A pertenecen al predestacamento y 11 del grupo B.
31. En esa jornada se repararon 23 mesas y 32 sillas.
32. a) Sufrieron derrumbe total 91 932 viviendas y 40 801, derrumbe parcial.
33. a) Xiomara recolectó 65 latas de café y Ana Lidia 39.
b) La cantidad recolectada por Xiomara excede en 910 lb a la cantidad recolectada por Ana Lidia.
34. a) Había sembradas 15 ha de tomate y 30 ha de papa.
b) De tomate se recogieron 3 ha y de papa 10 ha.
c) Falta por sembrar el 10 % del total de hectáreas del terreno.
35. En marzo el gasto de energía del apartamento A fue de 190 kWh y el B de
210 kWh.
36. En enero la vivienda A consumió 240 kWh y la vivienda B, 100 kWh.
37. Fueron adquiridas por la empresa 36 piezas de cada tipo.
38. Al cultivo del tomate están dedicadas 34 ha y 24 ha a la cebolla.
39. En la secundaria básica trabajan siete profesoras.
40. Estaban pintonas 24 frutabombas.
41. El ángulo CBA tiene una amplitud de 60º y el ángulo, BCA de 90º.
42. El rectángulo tiene 72 cm de perímetro.
Ejercicios del capítulo
1.
1.1 Verdaderos: c) d) e) f) g) h) i) k) l)
3 2
a) F porque el par ; transforma la ecuación 5p + 3q = 5 en una proposi 5 3
3
2
ción verdadera pues 5 + 3 = 5.
5
3
489
MATEMÁTICA
b) F pues para todo x, y ∈ z el miembro izquierdo de la ecuación es un número
par y el miembro izquierdo es un número impar, luego no existe un par
de número enteros que sea solución de la ecuación 2x + 4y = 7.
j) F porque para que un par sea solución de un sistema tiene que ser solución
de cada una de las ecuaciones del sistema.
2.
4.
a) Solución única
b) Infinitas soluciones
c) Solución única
d) No tiene solución
a) S = {(1;2)}
b) S = {(8;–2)}
c) S = {(7;0)}
d) S = {(–1;–2)}
7 3
e) S = ;
5 5
1
f) S = ; 3
2
g) S = {(2;2)
e) S = {(2;3)}
i) S = {(2;3)}
2
3
j) S = a; a : a R
11
11
k) S = {(1;1)}
l) S = {(32;24)}
1 2
m) S = ;
5 5
n) S = Ø
ñ) S = ;
2 3
o) S = {(0;–7)}
1 3
p) S = ;
4 4
q) S = {(–9;– 6)}
4
r) S = 2;
5
s) S = {(2;0)}
t) S = {(2;–1)}
u) S = {(3;1)}
1 1
3
2
b) a = 5k con k∈ z y k ≤ 0.
7.
El sistema tiene solución única para todo k ∈ r tal que k ≠
9.
Los números son 28 y 16.
6.
8. a) a = 5k con k∈ z.
m = – 36, n = 9
10. a) De las pilas AAA se vendieron 40 paquetes y de las pilas AA, 60 paquetes.
b) Queda por vender el 54,5 % de los paquetes que había en el almacén.
11. La base del triángulo isósceles mide 3,0 cm y los lados no base 8,0 cm.
12. El número es 39.
13. La edad de Giselle es 45 años y al de Patricia, 30.
14. Un recipiente tenía originalmente 150 L de pintura y el otro, 210 L.
15. a) En el tercer año de esa secundaria básica pedagógica hay 245 estudiantes.
b) Los estudiantes de tercer año de la especialidad de Preescolar representan
el 64,5 % de los estudiantes de este año.
16. Este destacamento lo integran 27 hembras y 18 varones.
17. Carolina tiene 24 monedas de tres pesos.
18. Los números son 33 y 52.
19. La cooperativa tiene 17 conejos y 33 gallinas.
20. La cantidad de apartamentos de dos habitaciones excede en 24 a la cantidad
de apartamentos de tres habitaciones.
490
ANEXOS
21. a) El plan de producción de pienso de la fábrica A es de 80 t y de la B, 50 t.
b) La fábrica A ha producido 32 t de pienso y la fábrica B, 15 t.
22. El dividendo es 97 y el divisor es 46.
23. El noveno grado de esa secundaria básica tiene 50 varones y 30 hembras.
24. a) En el organopónico hay 12 canteros cultivados y ocho canteros recién creados.
b) En los canteros recién creados se utilizó el 27,3 % del total de fertilizantes.
25. En la fábrica había 20 obreros calificados.
26. a) La capacidad de los tanques es de 200 L y 250 L
b) El tanque de mayor capacidad demora 20 min en llenarse.
27. a) Se utilizaron para envasar todo el aceite 13 recipientes de 10 L y nueve de 16 L.
b) El 52,5 % del total del aceite se envasó en los recipientes de 16 L.
28. a) El grupo A se comprometió visitar 20 viviendas y 60 el grupo B.
b) El grupo B cumplió su compromiso inicial en un 66,6 %.
Capítulo 4
Epígrafe 4.1.1
1.
a) - 7. Números enteros. b) 28. Números naturales. c) 7,8. Números racionales.
d) - 1. Números enteros. e) - 0,5. Números racionales.
f) - 10. Números enteros. g) 0,5. Números fraccionarios.
2.
a) 7. Monomio de grado cero.
b) x2 – 4x – 3. Trinomio de grado dos.
c) y – 6. Binomio de grado uno.
d) a2 – 5. Binomio de grado dos.
e) m2 + 14m – 12. Trinomio de grado dos.
f) – 4t2 + 13t. Binomio de grado dos.
g) x3 + 3x – 27. Trinomio de grado tres
h) a2b2 + ab + a2. Trinomio de grado cuatro.
i) 7m2n. Monomio de grado tres.
j) x2 – 3x – 1. Trinomio de grado dos.
3.
a) 2a + 18 b) – 5xy + 7y + 20
4.
a) D = 2x2 + 5x + 21 b) Trinomio de grado dos.
c) 3m2n + 7m
d) ab
c) 19
5. b) cero.
Epígrafe 4.2
Subepígrafe 4.2.1
1.
a) x2 + 6x + 9
d) m2 + 0,6m + 0,09
b) y2 + 22y + 121
e) n2 +
4
4
n+
3
9
c) z2 + 60z + 900
f) 25 + 30x + 9x2
491
MATEMÁTICA
16
16
g) 4y2 + y +
5
25
h)
j) a2b2 + 4abc + 4c2
m) 16x2 – 40xy + 25y2
o) 1
y y2
3 36
a) 4x2
b) 2y
3.
3.1 b
3.2 c
i) m4 + 2m2 + 1
k) x2 – 6x + 9
d2
n)
4d 16
4
l) 81 – 18b + b2
ñ) 1 m2 2 mn n2
9
3
p) p2 – 14pq + 49q2
q) r6 – 3r3 + 2,25
a2b2 abc c 2
9
3
4
1
5
c)
d) xy
3
3
r) 4n2 + 0,8n + 0,04
2.
49
p2 7
+ p+
25 5
4
s)
3.3 a
Subepígrafe 4.2.2
1.
a) x2 – 9 b) y2 – 225
4
f) 25 – 9x2
9
i) m4 – 1 j) a2b2 – 4c2
e) n2 –
2.
2.1 c
2.2 a
c) z2 – 900
d) m2 – 0,09
16
25
k) 4m4 – 9n6
p2 49
25 4
l) 0,01 – 1,44x2
g) 4y2 –
2.3 b
h)
2.4 d
Subepígrafe 4.2.3
1.
a) x2 + 7x + 6
b) y2 + 19y + 88
c) z2 – z – 20
d) m2 – m – 156
1
2
e) n2 – n –
3
9
f) 9x2 + 9x – 28
g) x2 – 8x + 15
h) y2 – 3,5y + 2,5
j) m2 + 2,1m – 1
k) p2 – 2p +
i) z2 – 2,7 z +
1
2
m) x4 + 12x2 + 27 n) 16 + 10y + y2
2.
a) más
4.
a)
6.
b) menos
c) menos
53
x + 44 b) D = 97.
2
b) – 0,5x + 10.
8
9
l) 4x2 – 4x – 3
x2
- 5 x - 200
4
d) 15p
e) 108
ñ)
5. a) P = 7x2 – 48x – 7
f) a4b2
b) 2,88 ∈q+.
Epígrafe 4. 3
Subepígrafe 4.3.1
1.
492
1
1
p
2
2
a) 2(x + 3)
b) 4(y – 4)
c) 7(z2 + 1)
d)
e) 0,5(b + 0,5)
f) 2(6 + 11m)
g) 3(t3 + 2t – 5)
h) 3(3n + 7r)
i) a(b + c)
j) p(2p + 3)
k) x(x – 2)
l) x2y2(x + 5y)
m) y3(y2 – 2y + 3)
n) 2x(y – 5)
ñ) 4m(2m – 3n)
o) 5y2(1 + 4y)
ANEXOS
2.
p) 2a(a + 2b – 3c)
q) 4x2yz2(z + 3y)
r) (a + 5)(x + y)
s) (b – 7)(2m + n)
t) (x + 2)(b + 1)
u) (r2 + 2r + 5)(d + 3e)
v) (z + 2)(x + y + 3)
w) (c – 4)(x – 1)
2.1 c
2.2 b
2.3 c
Subepígrafe 4.3.2
1.
a) (a + 4)(a – 4)
b) (b – 12)(b + 12)
c) (2c + 5)(2c – 5)
d
d
d) 1 1
2 2
e) (e + 0,2)(e – 0,2)
f) (7 – 8f)(7 + 8f)
2
2
g) g g
3
3
1
1
h) 0,5h 0,5h
9
9
i) (ip – 9m)(ip + 9m)
j
k j
k
j)
16 0, 6 16 0, 6
7
1 7
1
m) m4 m4
2 5
2
5
k) (b2 – 14)(b2 + 14)
l) (x3 – 15y)(x3 + 15y)
n) (x + 2 – 4)(x + 2 + 4) = (x – 2)(x + 6)
ñ) (y – 1 + 12)(y – 1 – 12) = (y + 11)(y – 13)
2.
2.1 a
2.2 b
2.3 c
Subepígrafe 4.3.3
1.
a) (x + 6)2
b) (y – 6)2
3
g) p
2
f) (n – 7)2
1
k) x
2
2
ñ) (p3 + 5)2
2.
3.
c) (z + 8)2
d) (z – 8)2
e) (m + 7)2
h) (h – 5q)2
i) (9 + x)2
j) (8y – z)2
m) (m + 0,2)2
n) (1,2n + 0,6)2
2
y 3
l)
2 7
2
o) (2d – 0,5)2
p) (4a + 7b)2
a) (x + 3)(x + 1) b) (x – 3)(x – 1) c) (y + 9)(y + 1)
d) (y – 9)(y – 1)
e) (z + 3)(z + 7)
f) (z – 3)(z – 7) g) (p + 15)(p + 3)
h) (p – 15)(p – 3)
i) (x – 5)(x + 1)
j) (x + 5)(x – 1) k) (y – 8)(y + 5)
l) (y + 8)(y – 5)
m) (c – 5)(c + 4) n) (c + 5)(c – 4) ñ) (p + 6)(p + 9)
o) (p – 6)(p – 9)
p) (n – 7)(n + 3) q) (x + 3y((x + 2y)r) (b – 8c)(b – 3c)
s) (ab + 7)(ab – 6)
a) (2x + 1)(x + 3)
b) (2x – 1)(x – 3) c) (3y – 2)(y – 1)
d) (3y – 1)(y – 2)
e) (3b – 7)(2b + 3)
f) (3b + 7)(2b – 3)
g) (3m – 2)(m + 5)
h) (3m + 2)(m – 5)
i) (4p – 3)(p – 5)
j) (2z – 1)(4z + 5)
k) (5a – 1)(2a – 3)
l) (8y + 3)(y – 5)
m) (3n + 4)(n – 1)
n) (9a – 1)(a – 1)
ñ) (2b + 3)(b + 3)
o) (2x – 1)(x + 3)
p) (– 4d + 15)(d + 1)
q) (– 2y + 3)(6y + 1)
493
MATEMÁTICA
r) (3n + 4p)(3n – 2p)
4.
a) 2(x + 4)(x – 4)
s) (2x – 5y)(4x + 7y)
t) (4c2 + 1)(4c2 + 3)
b) x(x + 10)(x – 10)
c) y3(2y + 1)(2y – 1)
1
(3q – 2)(3q + 2)
5
1
1
d) 2 t t
3
3
g) 2(y – 5)2
h) m(m – 2)2
i) n(n + 3)(n – 1)
j) 5(p – 9)(p + 7)
k) 6(d + 5)(d + 3)
l) 2a(a + 1)2
m) 10(2x + 1)(x + 2)
n) y3(2y – 3)(y + 1)
ñ) 3z2(3z + 1)(z + 1)
o) x2y(x + 5)(x – 5)
p) (r2 + 4)(r + 2)(r – 2)
e)
q) (p4 + 1)(p2 + 1)(p + 1)(p – 1)
s) t3(t2 + 2)(t + 3)(t – 3)
f) s3(0,6s + 1)(0,6s – 1)
r) 2(b2 + 3)(b + 1)(b – 1)
t) 2m(m + 2)(m – 2)(m + 3)(m – 3)
5.
5.1 b
6.
a) 2x2 – 5x – 3 = (2x + 1)(x – 3)
b) 2x2 + 4x = 2x(x + 2)
c) 3y2 – 5y – 2 = (3y + 1)(y – 2)
d) z3 + z2 + z = z(z2 + z + 1)
e) 4m2 – 2m – 2 = 2(2m + 1)(m – 1)
f) b2 – 144 = (b + 12)(b – 12)
g) x3 – 2x2 – 15x = x(x + 3)(x – 5)
h) x4 – 1 = (x2 + 1)(x – 1)(x + 1)
i) 4 – x2 = (2 + x)(2 – x)
j) y2 – 16y + 64 = (y – 8)2
k) 4x2 + 64 = 4(x2 + 16)
l) x4 + 3x2 – 28 = (x2 + 7)(x – 2)(x + 2)
m) 2b3 – 4b2 – 70b = 2b(b + 5)(b – 7)
n) x3 – 5x2 – 6x = x(x + 2)(x – 3)
ñ) 3x2 + 17x – 6 = (3x – 1)(x + 6)
o) 9a2 – 6a = 3a(3a – 2)
p) x2 – 100 = (x + 10)(x – 10)
q) 16a2 – 25 = (2a + 5)(4a – 5)
5.2 a
5.3 d
r) – 5x + 15 = 5(– x + 3)
s) x4 – 5x2 + 4 = (x + 1)(x – 1)(x + 2)(x – 2)
t) m7 – m3 = m3(m2 + 1)(m – 1)(m + 1)
u) 2x3 – 32x = 2x(x + 4)(x – 4)
v) 3b4 + 12b2 – 15 = 3(b2 + 5)(b – 1)(b + 1)
w) n5 – 8n3 – 9n = n(n2 + 1)(n – 3)(n + 3)
7.
1 c);
8.
(5x + 2) y 5,0 cm2.
9.
a) x(x – 8)
2 f);
3 g);
4 b);
5 d);
b) (y – 20)(y + 20)
7 a)
c) (n – 3)(n – 4)
10. x dm, (x + 4) dm y (x – 1) dm
11. a) 5m2 – 16m + 3 b) (5m – 1)(m – 3)
12. a) 16a2 + 8ab + b2 b) (4a + b)2.
13. b) x = - 4 .
13
494
c) 55.
d) (2a + 3)(4a – 5)
ANEXOS
Epígrafe 4.4
1.
a) Sí
2.
a) 0 y 2
b) 0 y 3
g) N.S.
1
m) 2
h) 10 y – 10
1
n) y 1
2
3.
b) No
d) No
e) Sí
f) Sí
1
3
i) – 1 y – 2
1
ñ) – 3 y 3
c) 0 y -
g) Sí
h) No
1
4
j) – 1 y 7
k) 3 y 4
o) 5 y – 1
p) 2
d) 0 y
e) 11 y – 11
a) S = {3;– 3}
2
b) S = {– 2;– 0,5} c) S = {4;– 4} d) S 0;
5
f) S = {2;4}
g) S = {3;9}
4.
a) 2 y – 2
5.
m = – 12 y -
7.
c) Sí
12. 1 c)
e) 2
f) – 3 y 2
g) N.S.
6. a) x2 + 2x – 3 = 0
b) 4x2 + 4x – 3 = 0
c) x2 + 2x = 0
d) x2 + 5x + 6 = 0
e) x2 + 1,3x – 3 = 0
f) x2 – 8x + 16 = 0
8. 4
162
10. 4
3
4
2
e) S 1;
5
1 5
i) S ;
2 3
1
h) S 3;
4
1
c) 1 y – 1 d) 0 y 3
b) 4 y – 4
3
3
y2
2
l) 4
f)
9. x2 – (a + x2 – (a + b)x + ab = 0
11. 2x2 + 5x – 3 = 0
2 f)
3 b)
4 d)
5 g)
6 e)
c) Dos
d) N.S.
e) N.S.
Epígrafe 4.4.1
1.
2.
a) N.S.
b) Dos
f) Dos
a) x1 ≈ 3,45; x2 ≈ 1,6
b) x1 ≈ 6,15; x2 ≈ – 1,15
c) x1 ≈ 3,45; x2 ≈ – 0,45
d) x1 ≈ 3,5; x2 ≈ – 3,5
g) Una h) N.S.
e) Ninguno
3.
1 c):
5.
Dos soluciones para k < 9; una solución para k = 9 y ninguna solución para k > 9
6.
Los valores que puede asumir m son – 2 y 1.
7.
–4
2 a);
3 b)
4. Para a = 121.
8. Diez o dos.
Epígrafe 4.4.2
1.
a) r =
A
π
b) r
A
4
d) c a2 b2 ; a c 2 b2
c) r = r
e) v =
V
;
h
2Ec
m
h
V
r 2
f) I
Q
R t
495
MATEMÁTICA
2.
a) a =
3V
; a = 20 b) r
h
A AL
; r =1
2
d = 2A ; d = 8
c)
Epígrafe 4.4.3
1.
a) (a + b)2 = 2(a2 – b2)
c) n(2 + n)
2.
b) El cuadrado del triplo de un número
x2
d)
2
a) Las tres quintas partes del cuadrado de un número
b) El cuadrado de un número disminuido en cinco
c) El duplo de la suma del cuadrado de dos números diferentes
d) El cociente entre los cuadrados de dos números
e) La diferencia entre el cuadrado de un número y su cuádruplo
f) La quinta parte del cuadrado de un número aumentado en uno.
3.
3o–1
8.
93
4. 12 o – 12.
5. diez o – 10
6. 60 o – 60
9. Seis números: 345; 354; 435; 453; 534; 543.
11. 30 cm
12. En 3,0 cm
13. r = 10 cm.
7. ocho y 15
10. El área es de 150 cm2
14. 28 cm.
15. Sus dimensiones son 15 dm; 20 dm y 5,0 dm. 16. Son 60 m y 45 m.
17. 4,0 m.
18. El ancho del marco del cuadro es 0,5 m.
19. Las dimensiones de la fachada son 6,0 m de largo y 4,0 m de ancho.
20. La longitud añadida es de 7,0 cm.
21. Diez jugadores.
22. 20 personas.
Epígrafe 4.5
1.
a) No, porque al elemento b del conjunto A le corresponden dos elementos
del conjunto B.
b) Sí, porque a cada elemento del conjunto A le corresponde un único elemento del conjunto B.
c) No, porque hay un elemento del conjunto A al que no le corresponde
ningún elemento del conjunto B.
2.
a) Sí, porque cada número real tiene valor absoluto y es único.
b) No, porque hay números enteros cuya cuarta parte no es un número entero, por ejemplo, cinco.
c) No, porque hay números racionales, como el tres, cuya raíz cuadrada es
un número irracional.
d) Sí, porque todo número real tiene un único cuadrado y un único duplo,
además su suma algebraica también es un número real.
496
ANEXOS
4.
a) y = – x + 6
b) y =
4.1 x = 6; x = – 2; x = 0.
5.
a) x = 4
6.
a) f(x) = 0,5x + 1
1
2
x+
3
3
c) – 10 ≤ y ≤ 2
c) y = – x
4.2 Decreciente; Creciente; Decreciente.
d) Creciente e) – 7
g(x) = – x + 2
h(x) = – 2
b) f: creciente; g: decreciente y h: constante.
7.
a) d = 20t
f) Sí
c) x = 2
b) El ciclista había recorrido 200 m
c) Demorará en recorrerlo 6 s
8.
a) P = C + 3.
b) La cantidad de agua que contiene el recipiente es de 17 L
c) El peso del recipiente es de 4,5 kg.
9.
9.1 a) 1 m
9.2 a) h = 2t + 1 b) 1 h.
b) 60 min.
9.3 A las 11:00 a.m. el agua alcanzó una altura de 4 m.
9.4 En el primer tramo, ya que en 1 h sube 3 m, mientras que en el otro
tramo en 2 h sube 2 m.
9.5 La piscina se llenó completamente a las 12:00 m.
10. a) C = 7,5t
b) La llave que llena el recipiente A, ya que la gráfica de A está más inclinada
hacia arriba respecto a la gráfica de B.
c) El recipiente B se llenó a las 11:40 a.m.
Epígrafe 4.6
1.
a) a = 1; b = 0 y c = – 3
b) a = 1; b = – 1 y c = 1
c) No es una función cuadrática
d) a = –1; b = 0,5 y c = 1
e) a = 3; b = 2 y c = 0
f) No es una función cuadrática
1
h) a = – ; b = 0 y c = 1,5
3
4
j) a = – 1; b = 0 y c =
9
l) No es una función cuadrática
g) No es una función cuadrática
i) a = 1; b = 2 y c = 0
k) No es una función cuadrática
2.
La del c)
3.
a) y = x2 – 2x + 5
d) y =
2 2 1
x – x + 1 e) y = 2,5x2
3
4
4.
3
a) 15; - ; 35.
4
5.
a) 0 y 1,5
1
3
b) y = 3x2 + x
7
b) 0; - ; 30
8
b) 1 y 0,5
c) y = – x2 + 0,2
f) y = – 2x2 – 2x – 3,5
c) 2;
c) 2 y – 0,5
15
; – 58
4
d) No existen.
497
MATEMÁTICA
Subepígrafe 4.6.1
1.
a) Semiplano superior: f y h. Semiplano inferior: g y t.
b) El vértice de cada una es el punto (0;0)
c) Sí, todas son simétricas respecto al eje y.
d) La más cerrada es la función f y la más abierta es la función t.
3.
3.1 a) F, porque a > 0.
b) V.
c) F para x ≥ 0.
d) V.
e) F, g(0,5) = – 0,5
3.2 a) h(x) = 0,7x
b) tiene su gráfica situada en el semiplano inferior.
5.
c > b > a
6. a > b > c.
7.
a) positivos: a y d; negativos: b y c.
8.
1
4
a) y = 2x2
b) y x 2
c) y = x 2
2
9
b) y R : 5 y 0
c) Creciente: – 5 ≤ x ≤ 0 y decreciente: 0 ≤ x ≤ 1.
2
9.
b) b, c, d, a.
10. a) (0; 0) y (0,5;0,5)
b) (0;0) y (2;8)
c) (2;8) y (– 2;8)
d) (– 0,5;0,5) y (3;18).
2
11. A L
4
12. (figura 4.91)
b) El cuerpo ha recorrido una
distancia de 720 m.
Subepígrafe 4.6.3
1.
2.
a) x1 = 5 o x2 = – 2
b) x1 = 10 o x2 = – 10
c) x1 = 0 o x2 = – 12
d) No existen
g) x1 = 0 o x2 = – 10
h) x1 = 5 o x2 = – 5
j) No existen
k) x1 = 3 o x2 = – 3
e) x1 = 5 f) x1 = 2 o x2 = – 0,5
a) V(4;– 9) Imagen: y ∈ r : y ≥ – 9.
9
3 9
c) V ; Imag en: y ∈ r: y ≤ .
4
2 4
e) V(4;– 3) Imagen: y ∈ r: y ≥ – 3.
Fig. 4.91
i) No existen
b) V(0;6) Imagen: y ∈ r : y ≥ 6
d) V(0;– 2) Imagen: y ∈ r: y ≥ – 2.
g) V(0,1;1,96) Imagen: y ∈ r : y ≥ 1,96.
f) V(0;0,5) Imagen: y ∈ r: y ≤ 0,5.
2.1 a) Valor mínimo: y = – 9. b) Valor mínimo: y = 6.
c) Valor máximo: y =
9
4
e) Valor mínimo: y = – 3.
d) Valor mínimo: y = – 2.
f) Valor máximo: y = 0,5.
g) Valor mínimo: y = 1,96
3.
a) Monótona decreciente: x < 4 y Monótona creciente: x > 4
b) Monótona creciente: x > – 3 y Monótona decreciente: x < – 3
498
ANEXOS
c) Monótona creciente: x < 2 y Monótona decreciente: x > 2
d) Monótona decreciente: x < 1 y Monótona creciente: x > 1
e) Monótona creciente: x > – 0,5 y Monótona decreciente: x < – 0,5
f) Monótona decreciente: x > 3 y Monótona creciente: x < 3
g) Monótona decreciente: x < 0 y Monótona creciente x > 0
h) Monótona creciente: x > 0 y Monótona decreciente: x < 0
i) Monótona decreciente: x < – 1 y Monótona creciente: x > – 1
4.
Dominio Imagen Monotonía
X∈R
y ≥ – 16
d: x < 1
c: x > 1
mínimo:
y = – 16
x=1
X∈R
y≥–9
d: x < 3
c: x > 3
Mínimo:
y=–9
x=3
X∈R
y≤–8
d: x > 0
c: x < 0
Máximo:
y=–8
x=0
X∈R
y≥0
d: x < 1
c: x > 1
Mínimo:
y=0
x=1
X∈R
y≤9
d: x > – 2
c: x < – 2
Máximo:
y=9
x=–2
X∈R
y≥1
d: x > 0
c: x < 0
Mínimo:
y=1
x=0
X∈R
y≤1
d: x > 1
c: x < 1
Máximo:
y=1
x=1
h) y = 2x2 – x – 1
X∈R
y≥-
9
8
d: x > 0,25
c: x < 0,25
i) y = (x – 1)2 – 4
X∈R
y≥–4
d: x > 1
c: x < 1
Mínimo:
9
y
8
Mínimo:
y=–4
y≥4
d: x > – 2
c: x < – 2
Mínimo:
y=4
x=–2
X∈R
y ≤ 16
d: x > – 3
c: x < – 3
Máximo:
x = 16
x=–3
a) y = x2 – 2x – 15
b) y = x2 – 6x
c) y = – 2x2 – 8
d) y = x2 – 2x + 1
e) y = – x2 – 4x + 5
f) y = x2 + 1
g) y = – x2 + 2x
j) y = (x + 1)2 + 4
k) y = – (x + 3)2 + 16
5.
Máximo o Eje de
mínimo simetría
a) Figura 4.92
X∈R
x = 0,25
x=4
b) Imagen f: y ∈ r : y ≥ – 16
Imagen g: y ∈ r : y ≤ 9
c) La función f es monótona
creciente: x > 3.
d) La función g es monótona decreciente: x > – 3.
e) f: x1 = 7 o x2 = – 1
g: x1 = 0 o x2 = – 6
Fig. 4.92
499
MATEMÁTICA
6.
a) – 1 ≤ y ≤ 8.
b) 0 ≤ y ≤ 9.
c) – 9 ≤ y ≤ – 1
d) – 3 ≤ y ≤ 1
e) – 5 ≤ y ≤ 4 f) 0 ≤ y ≤ 4
Vértice Dominio
Imagen
Ceros
Monotonía
Eje de
simetría
f(x) = (x + 3)2
(–3;0)
x∈ r
y∈ r : y ≥ 0
x1 = – 3
Crece x > – 3
Decrece x < –3
x=–3
g(x) = (x – 3)2
(3;0)
x∈ r
y∈ r : y ≥ 0
x1 = 3
Crece x > 3
Decrece x < 3
x=3
h(x) = x2 + 4
(0;4)
x∈ r
y∈ r : y ≥ 4 No tiene
Crece x > 0
Decrece x < 0
x=0
t(x) = x2 – 4
(0;– 4)
x∈ r
y∈ r : y ≥ – 4
x1 = 2
x2 = – 2
Crece x > 0
Decrece x < 0
x=0
p(x) = (x + 3)2 – 4 (– 3;–4)
x∈ r
y∈ r : y ≥ – 4
x1 = – 5
x2 = – 1
Crece x > – 3
Decrece x < – 3
x=–3
q(x) = (x + 3)2 + 4 (–3;4)
x∈ r
y∈ r : y ≥ 4 No tiene
Crece x > – 3
Decrece x < – 3
x=–3
7.
Función
8.
a) h(x)
9.
a) No tiene, porque el D < 0.
10.
1 c); 2 e); 3 f); 4 a); 5 c) h); 6 d); 7 b)
11.
a) y = x2 – 2x – 1
b) y = x2 – 4x – 12
c) y = x2 – 3x
12.
a) y = x2 – 10x + 24
b) y = x2 + 6x + 8
c) y = 3x2
b) t(x)
c) g(x) d) t(x)
e) p(x)
b) Valor mínimo: y = 1,75 o y =
7
.
4
a) y = – x2 + 10x – 24
13.
f(x) = x2 – 6x + 5
14.
a) f(x) = – x2 + 1
b) y = – x2 – 6x – 8
c) y = – 3x2
13
g(x) = x2 – x + 4
h(x) = x2 + 3,5x
3
b) g(x) = x2 – 6x + 8
c) h(x) = x2 + 3,5x
15.
a) y = (x – 3)2 – 4
b) y = – (x + 2)2 + 2
c) y = (x + 1)2 – 1
16.
a) y = x2 – 4x + 3
b) y = x2 – 2x + 1
c) y = x2 – x + 1
17.
b) El volumen máximo que puede alcanzar la pirámide es de 16 cm3.
18.
A = a(10 – a)
20.
Los números son 12 y 12.
22.
a) 500 artículos
19. a) 31,25 m.
b) 2,5 s y 2,5 s.
c) 5 s.
21. a) 30 m y 30 m b) 900 m2
b) 35 000 dólares.
Ejercicios del capítulo
1.
500
a) 4x + 31
b) 4y2 – 15y + 25
c) 11x – 4
d) y2 + 8y + 7
e) 35
f) – m2 + 9m – 282
g) 2x2y2 + 2xy + 1
h) n2 –
5n
3
ANEXOS
2.
a) 8(a – b)
b) (x – 8)(x + 6)
e) xy(x2 – 2)
f) (y – 7)2
h) 3m2(m – 2)
j) (5n + 2)(n + 2)
k) No es posible
m) 2a2(9a – 1) n) (5b + 1)(b + 2)
ñ) (2c – 5)(3c + 4)
o) (2z – 13)(2z + 13)
p
p
q) 1 1
4
4
2
2
t) (4b – 0,7c ) (4b +0,7c )
p) (x – 10)(x – 5)
r) (a – 6)(a – 9) s) (x + 11)(x – 4)
u) 4ab(2b – a2 + ab)
3.
d) (2m – 1 )(m – 8)
1
1
g) p p
6
6
i) y – 7 y 7
l) (v + 6)2
c) (y + 7)(y – 7)
v) (5y – 2z)(2y + 5z)
a) 2x(2x + 1)(2x – 1) b) 3(y + 4)(y – 2) c) 2z(3z + 5)(3z – 5) d) (b2 + 3)(b + 2)(b – 2)
e) a(a2 + 1)(a + 1)(a – 1) f) (y + 5)(0,5 – x)(0,5 + x) g) (m + 3)(p – 1)
h) x(x + 3)(x – 3)(x + 1)(x – 1)
i) (p + 4)(p – 4)(p + 3)(p – 3) j) 2x(x+2)2(x – 2)2
k) (m2 + 16)(m – 4)(m + 4)
l) 3yz(y3 – 2)(y3 + 1)
4.
4.1 c)
5.
5.1 a) 8x + 64 = 8(x + 8)
4.2 b)
b) 4x2 – 49 = (2x – 7)(2x + 7)
c) y2 – 21y – 100 = (y – 25)(y + 4)
d) m2 + 28m + 196 = (m + 14)2
e) 2x – 11x + 5 = (2x + 1)(x + 5)
f) x4 + 6x2 – 40 = (x2 + 10)(x – 2)(x + 2)
g) z3 – 25z = z(z + 5)(z – 5)
h) 4p2 + 12p + 9 = (2p + 3)2
2
6.
a) D = 3x2 + 7x + 2
7.
a) – x2 + 2x + 8 b) (– x + 4)(x + 2).
9.
b) – 45
b) D = (3x + 1)(x + 2)
8. a) 16x2 – 1 b) (4x – 1)(4x + 1).
c) Para x1 = – 8 o x2 = 7.
10. a) x = – 4 b) x1 = 9 o x2 = – 7.
1
o x2 = – 1
2
c) X1 = 2 o x2 = – 9
f) x1 = 0,4 o x2 = – 0,4
g) x1 = 0 o x2 = 5
15
15
o x2 =
2
2
h) x1 = 0 o x2 = 2
j) x1 ≈ 1,2 o x2 ≈ – 4,2
k) x1 ≈ 1,37 o x2 ≈ – 0,37
l) x1 ≈ 1,35 o x2 ≈ – 1,85
d) x1 = -
11. a) S = {– 4; 4}
1
; 2}
9
8
i) S ; 0
7
e) S = {–
e) x1 = -
b) S = {– 8; 3}
c) S = {– 1; 11}
f) S = {– 7; 7} g) S = {– 8; 0}
3 7
j) S ;
2 3
m) S = {– 0,33; 2,65}
n) S = ∅
k) S = {– 2,8; – 0,18}
i) No tiene solución
25
d) S ; 3
3
h) S = {– 2; 9}
l) S = {– 1,15; 6,15}
501
MATEMÁTICA
12.
12.1 e)
13.
10 –4
6
0
4
8
2
12 –2
15.
12.2 a)
12.4 a)
12.5 d)
12.6d)
14. a) Dos soluciones b) Dos soluciones c) Ninguna solución
d) Dos soluciones e) Una solución
f) Ninguna solución
g) Dos soluciones h) Dos soluciones i) Ninguna solución
16. d)
b)
12.3 c)
17. Son: 27 y 17 o – 17 y – 27.
19. 12 m de ancho y 8 m de largo.
21. 4 cm y 3 cm.
18. siete y dos.
20. Hay diez filas y 18 hombres por fila.
22. Son: 11; 12; 13 y 14 o – 14; – 13; – 12 y – 11.
23. Los números son 13 y 15. 24. Paula 22 años y Henry 24 años.
25. 9,0 cm.
26. 25,0 m de largo y 15,0 m de ancho.
27. a) 107 m de largo y 100 m de ancho.
b) El 25 %
28. Tardaría aproximadamente 1 s.
29. 12 pulgadas de ancho y 16 pulgadas de largo.
31. a) y = x2 + 2x + 3.
b) y = – x2 + 5x – 4.
d) y = – 2x2 + 4x + 5.
c) y = 2x2 + 3x + 1.
e) y = – x2 + 6x – 12.
32. a) f(x) = x2 – 2x – 3 b) g(x) = 2x2 – 4x – 6 c) h(x) = (x – 4)2 – 9 d) t(x) = – x2 – 6x
32.1 Propiedades:
Función Dom. Imagen Ceros
Valor máximo
o mínimo
Eje
f
x∈ R
y≥4
–1y3
Crece x > 1
Decrece x < 1
Mínimo: y = – 4
x=1
g
x∈ R
y≥–8
–1y3
Crece x > 1
Decrece x < 1
Mínimo: y = – 8
x=1
h
x∈ R
y≥–9
1y7
Crece x > 4
Decrece x < 4
Mínimo: y = – 9
x=4
t
x∈R
y≤9
0y–6
Decrece x > – 3
Crece x < – 3
Máximo y = 9
x=–3
33. Verdaderas: b) c) e)
Falsas: a) F, porque a > 0.
34. 34.1 a) – 2
b) x ≥ 1
34.2 f(x) = (x – 1) – 9
2
35. 35.1 a) c > a > b
502
Monotonía
d) F, porque es (3; – 1)
f) F, porque x = 2
2
c) x = 1
d) V(1; – 9)
b) f(– 2) > f(3) c) (– 1 ; – 5)
b) El otro cero es uno.
ANEXOS
35.2 Verdaderas: a) c) d)
Falsas: b) F, es x = 5; e) F, porque g(3) = – 12 y g(– 3) = 48, entonces g(3) < g(– 3).
36. a) y ∈ R:– 4 ≤ y ≤ 21.
b) Monótona decreciente para – 3 < x < – 2
c) Sí en x = 0
37. 37.1 b)
37.2 c)
d) y = – 4
37.3 e)
37.4 c)
37.5 e)
37.6 b)
37.7 c)
Capítulo 5
Epígrafe 5.1
1.
1.1 Verdaderas: b) c) d) f)
Falsa: a) F, la altura de la pirámide es perpendicular a la base, ya que la
pirámide es recta.
e) F, porque AL AB 4 A MNR
2.
AL =1,0 dm2
3. AT =1,6 dm2
4. V = 75 cm3
5. AT = 364 cm2
6.
AT = 36 cm2
7. AL = 60 dm2; AT = 96 dm2 b) h = 8,5 cm c) AT =1,4 dm2
8.
AL = 72 cm2
9. a)1 6 cm y b =10 cm b) AL = 6,2 dm2 c) Ar = 2,0 dm2
Epígrafe 5.2
1.
Verdaderas: a); d)
Falsas: b) F, está limitado por un círculo llamado base y por superficie curva.
c) F, el radio tiene longitud igual a 1 cm.
2.
3.
Fig. 5.73
4.
5. 5.1 a) 4 cm
Fig. 5.74
b) 60 mm o 6 cm
c) 10 cm o 100 mm
d) 5,5 cm
e) 11 cm
f) A ≈ 50 cm2
h) 900
i) 600
g) L ≈ 35 cm
Fig. 5.75
503
MATEMÁTICA
Epígrafe 5.3
1.
c) 94 dm2
2. b) 226 m2
3. b) 25 m
5.
5.1 a) h = 8 cm
b) 20 cm o 2,0 dm
6.
Ver tabla 5.1.
4. c) 615 cm2
c) r = 9,0 dm
d) AL ≈ 337 m2
Tabla 5.1
Figuras
Radio de la base
Altura
Área lateral
Área total
Cilindro
4,0 cm
1,2 dm
2
3,0 dm
5,5 dm2
Cono
6,0 cm
8,0 cm
1,36 dm2
1,5 dm2
Esfera
0,6 dm
1,2 dm
-
4,5 dm2
7.
a) h = 15 dm y r = 5 dm
8.
b) AT ≈ 2,4 dm 2
10.
b) AT ≈ 628 dm 2
9.
Aproximadamente 3,4 m2
Aproximadamente 2,5 m2
11.
Aproximadamente 28 dm2
12.
Aproximadamente 2,5 m2
13.
Aproximadamente 3,8 dm2
14.
Aproximadamente 75 m2
15.
15.1 b) ATe = AL 15.2 c)
Epígrafe 5.4
1.
c) 113 m3
2. a) 0,3 dm3
4.
V = 301 cm3
5. r = 5 cm
6. a) 27 dm3
3
2
3. b) 33 dm3
b) Aproximadamente 13 dm3
7.
a) Aproximadamente 15 m3 b) 6 h y 15 min.
9.
Aproximadamente 1,1·102 m3
11. H = 5 h
8. a) 480 L
10. 1,0 · 1012 km3
12. OC ≈ 0,6 dm; BC ≈ 0,1 dm b) V = 26 dm3
3
13. a) OD = 6,0 cm;
OB1 ≈ 9,0 cm
V = 678,2 cm3
c)
1
2
Ejercicios del capítulo
1.
Tabla 5.2
B
A
504
Área o volumen del cuerpo
No.
Ecuaciones
No.
AL cilindro
8
1
AT cono
5
πr2h
πrg
AL cono
2
4 3
πr
3
2
3
ANEXOS
B
A
Área o volumen del cuerpo
No.
AT cilindro
6
Ecuaciones
No.
AT esfera
7
1 2
πr
3
πr(g+r)
V cilindro
1
2πr(h+r)
6
V cono
4
7
Vesfera
3
4πr
2πrh
2.
a) 251 cm2
3. b) 63 dm2
5.
d) 6 cm
6. 90 L
8.
a) 1,3 · 106 L
b) 18 000 azulejos
9.
h = 5,0 m
2
4
5
8
4. c) 220 cm2
7. a) 38 m2
10. r = 9,0 cm y g = 15 cm
11. d = 24 cm y V = 72 dm3
12. 4,0 m2
13. 16 m2
14. a) AT = 4,4 · 102 dm2
b) V = 5,8 · 102 dm3
15. V = 4,2 dm3
16.
a) ALC + ALc =1,2 · 102dm2
17. 254 cm3
b) VP - (VC + Vc ) = 4,3 · 102 dm3
18. 45 dm3
19. VR = VC + VC = 50,26 dm3 ≈ 50,3 dm3
19.1 Multiplicar el volumen de la parte cónica por tres o dividir el volumen
37, 7
de la parte cilíndrica por tres. Ejemplo:
= 12,56 dm3
3
505
MATEMÁTICA
La función y = x²; 1,00 ≤ x ≤ 5,49 (Cuadrados)
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1,0
1,000
1,020
1,040
1,061
1,082
1,102
1,124
1,145
1,166
1,188
1,1
1,210
1,232
1,254
1,277
1,300
1,322
1,346
1,369
1,392
1,416
1,2
1,440
1,464
1,488
1,513
1,538
1,562
1,588
1,613
1,638
1,664
1,3
1,690
1,716
1,742
1,769
1,796
1,822
1,850
1,877
1,904
1,932
1,4
1,960
1,988
2,016
2,045
2,074
2,102
2,132
1,161
2,190
2,220
1,5
2,250
2,280
2,310
2,341
2,372
2,402
2,434
2,465
2,496
2,528
2,856
1,6
2,560
2,592
2,624
2,657
2,690
2,722
2,756
2,789
2,822
1,7
2,890
2,924
2,958
2,993
3,028
3,062
3,098
3,133
3,168
3,204
1,8
3,240
3,276
3,312
3,349
3,386
3,420
3,460
3,497
3,534
3,572
1,9
3,610
3,648
3,686
3,725
3,764
3,802
3,842
3,881
3,920
3,960
2,0
4,000
4,040
4,080
4,121
4,162
4,202
4,244
4,285
4,326
4,368
4,796
2,1
4,410
4,452
4,494
4,537
4,580
4,622
4,666
4,709
4,752
2,2
4,840
4,884
4,928
4,973
5,018
5,062
5,108
5,153
5,198
5,244
2,3
5,290
5,336
5,382
5,429
5,476
5,522
5,570
5,617
5,664
5,712
2,4
5,760
5,808
5,856
5,905
5,954
6,002
6,052
6,101
6,150
6,200
2,5
6,250
6,300
6,350
6,401
6,452
6,502
6,554
6,605
6,656
6,708
7,236
2,6
6,760
6,812
6,864
6,917
6,970
7,022
7,076
7,129
7,182
2,7
7,290
7,344
7,398
7,453
7,508
7,562
7,618
7,673
7,728
7,784
2,8
7,840
7,896
7,952
8,009
8,066
8,122
1,180
8,237
8,294
8,352
2,9
8,410
8,468
8,526
8,585
8,644
8,702
8,762
8,821
8,880
8,940
3,0
9,000
9,060
9,120
9,181
9,242
9,302
9,364
9,425
9,486
9,548
3,1
9,610
9,672
9,734
9,797
9,860
9,922
9,986
10,05
10,11
10,18
3,2
10,24
10,30
10,37
10,43
10,50
10,56
10,63
10,69
10,76
10,82
3,3
10,89
10,96
11,02
11,09
11,16
11,22
11,29
11,36
11,42
11,49
3,4
11,56
11,63
11,70
11,76
11,83
11,90
11,97
12,04
12,11
12,18
3,5
12,25
12,32
12,39
12,46
12,53
12,60
12,67
12,74
12,82
12,89
3,6
12,96
13,03
13,10
13,18
13,25
13,32
13,40
13,47
13,54
13,62
3,7
13,69
13,76
13,84
13,91
13,99
14,06
14,14
14,21
14,29
14,36
3,8
14,44
14,52
14,59
14,67
14,75
14,82
14,90
14,98
15,05
15,13
3,9
15,21
15,29
15,37
15,44
15,52
15,60
15,68
15,76
15,84
15,92
4,0
16,00
16,08
16,16
16,24
16,32
16,40
16,48
16,56
16,65
16,73
17,56
4,1
16,81
16,89
16,97
17,06
17,14
17,22
17,31
17,39
17,47
4,2
17,64
17,72
17,81
17,89
17,98
18,06
18,15
18,23
18,32
18,40
4,3
18,49
18,58
18,66
18,75
18,84
18,92
19,01
19,10
19,18
19,27
4,4
19,36
19,45
19,54
19,62
17,71
19,80
19,89
19,98
20,07
20,16
4,5
20,25
20,34
20,43
20,52
20,61
20,70
20,79
20,88
20,98
21,07
4,6
21,16
21,25
21,34
21,44
21,53
21,62
21,72
21,81
21,90
22,00
4,7
22,09
22,18
22,28
22,37
22,47
22,56
22,66
22,75
22,85
22,94
4,8
23,04
23,14
23,23
23,33
23,43
23,52
23,62
23,72
23,81
23,91
4,9
24,01
24,11
24,21
24,30
24,40
24,50
24,60
24,70
24,80
24,90
5,0
25,00
25,10
25,20
25,30
25,40
25,50
25,60
25,70
25,81
25,91
5,1
26,01
26,11
24,21
26,32
26,42
26,52
26,63
26,73
26,83
26,94
5,2
27,04
27,14
27,25
27,35
27,46
27,56
27,67
27,77
27,88
27,98
5,3
28,09
28,20
28,30
28,41
28,52
28,62
28,73
28,84
28,94
29,05
5,4
29,16
29,27
29,38
29,48
29,59
29,70
29,81
29,92
30,03
30,14
Si se corre la coma en x un lugar a la derecha (izquierda), se debe correr en x² dos lugares a la derecha (izquierda).
506
ANEXOS
La función y = x²; 5,50 ≤ x ≤ 9,99 (Cuadrados)
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
5,5
30,25
30,36
30,47
30,58
30,69
30,80
30,91
31,02
31,14
31,25
5,6
31,36
31,47
31,58
31,70
31,81
31,92
32,04
32,15
32,26
32,38
5,7
32,49
32,60
32,72
32,83
32,95
33,06
33,18
33,29
33,41
33,52
34,69
5,8
33,64
33,76
33,87
33,99
34,11
34,22
34,34
34,46
34,57
5,9
34,81
34,93
35,05
35,16
35,28
35,40
35,52
35,64
35,76
35,88
6,0
36,00
36,12
36,24
36,36
36,48
36,60
36,72
36,84
36,97
37,09
6,1
37,21
37,33
37,45
37,58
37,70
37,82
37,95
38,07
38,19
38,32
6,2
38,44
38,56
38,69
38,81
38,94
39,06
39,19
39,31
39,44
39,56
6,3
39,69
39,82
39,94
40,07
40,20
40,32
40,45
40,58
40,70
40,83
6,4
40,96
41,09
41,22
41,34
41,47
41,60
41,73
41,86
41,99
42,12
6,5
42,25
42,38
42,51
42,64
42,77
42,90
43,03
43,16
43,30
43,43
6,6
43,56
43,69
43,82
43,96
44,09
44,22
44,36
44,49
44,62
44,76
46,10
6,7
44,89
45,02
45,16
45,29
45,43
45,56
45,70
45,83
45,97
6,8
46,24
46,38
46,51
46,65
46,79
46,92
47,06
47,20
47,33
47,47
6,9
47,61
47,75
47,89
48,02
48,16
48,30
48,44
48,58
48,72
48,86
7,0
49,00
49,14
49,28
49,42
49,56
49,70
49,84
49,98
50,13
50,27
7,1
50,41
50,55
50,69
50,84
50,98
51,12
51,27
51,41
51,55
51,70
7,2
51,84
51,98
52,13
52,27
52,42
52,56
52,71
52,85
53,00
53,14
7,3
53,29
53,44
53,58
53,73
53,88
54,02
54,17
54,32
54,46
54,61
7,4
54,76
54,91
55,06
55,20
55,35
55,50
55,65
55,80
55,95
56,10
7,5
56,25
56,40
56,55
56,70
56,85
57,00
57,15
57,30
57,46
57,61
7,6
57,76
57,91
58,06
58,22
58,37
58,52
58,68
58,83
58,98
59,14
7,7
59,29
59,44
59,60
59,75
59,91
60,06
60,22
60,37
60,53
60,68
7,8
60,84
61,00
61,15
61,31
61,47
61,62
61,72
61,94
62,09
62,25
7,9
62,41
62,57
62,73
62,88
63,04
63,20
63,36
63,52
63,68
63,84
8,0
64,00
64,16
64,32
64,48
64,64
64,80
64,96
65,12
65,29
65,45
8,1
65,61
65,77
65,93
66,10
66,26
66,42
66,59
66,75
66,91
67,08
8,2
67,24
67,00
13,84
13,91
13,99
14,06
14,14
14,21
14,29
14,36
8,3
68,89
69,06
69,22
69,39
69,56
69,72
69,89
70,06
70,22
70,39
8,4
70,56
70,73
70,90
71,06
71,23
71,40
71,57
71,74
71,91
72,08
8,5
72,25
72,42
72,59
72,76
72,93
73,10
73,27
73,44
73,62
73,79
8,6
73,96
74,13
74,30
74,48
74,65
74,82
75,00
75,17
75,34
75,52
8,7
75,69
75,86
76,04
76,21
76,39
76,56
76,74
7691,00
77,09
77,26
8,8
77,44
77,62
77,79
77,97
78,15
78,32
78,50
78,58
78,85
79,03
8,9
79,21
73,39
79,57
79,74
79,92
80,10
80,28
80,46
80,64
80,82
9,0
81,00
81,18
81,36
81,54
81,72
81,90
82,08
82,26
82,45
82,63
9,1
82,81
82,99
83,17
83,36
83,54
83,82
83,91
84,09
84,27
84,46
9,2
84,64
84,82
85,01
85,19
85,38
85,56
85,75
85,93
86,12
86,30
9,3
86,49
86,68
86,86
87,05
87,24
87,42
87,61
87,80
87,98
88,17
9,4
88,36
88,55
88,74
88,92
89,11
89,30
89,49
89,68
89,87
90,06
9,5
90,25
90,44
90,63
90,82
91,01
91,20
91,39
91,58
91,78
91,97
9,6
92,16
92,35
92,54
92,74
92,93
93,12
93,32
93,51
93,70
93,90
9,7
94,09
94,28
94,48
94,67
94,87
95,06
95,26
95,45
95,65
95,84
9,8
96,04
96,24
96,43
96,63
96,83
97,02
97,22
97,42
97,61
97,81
9,9
98,01
98,21
98,41
98,60
98,80
99,00
99,20
99,40
99,60
99,80
8,47² = 71,74
0,847² = 0,7174
21, 44 = 4 , 63
84,7² = 7174
8,472² = 71,77
21, 44 = 46 , 3
0 , 2144 = 0 , 463
507
MATEMÁTICA
La función y = x³; 1,00 ≤ x ≤ 5,49
x
0
1
2
3
1,0
1,000
1,030
1,061
1,093
1,1
1,331
1,368
1,405
1,443
1,2
1,728
1,772
1,816
1,861
1,3
2,197
2,248
2,300
1,4
2,744
2,803
1,5
3,375
1,6
4
5
6
7
8
9
1,158
1,191
1,225
1,260
1,295
1,482
1,521
1,561
1,602
1,643
1,685
1,907
1,953
2,000
2,048
2,097
2,147
2,353
2,406
2,460
2,515
2,571
2,628
2,686
2,863
2,924
2,986
3,049
3,112
3,177
3,242
3,308
3,443
3,512
3,582
3,652
3,724
3,796
3,870
3,944
4,020
4,096
4,173
4,252
4,331
4,411
4,492
4,574
4,657
4,742
4,827
1,7
4,913
5,000
5,088
5,178
5,268
5,359
5,452
5,545
5,640
5,735
1,8
5,832
5,930
6,029
6,128
6,230
6,332
6,435
6,539
6,645
6,751
1,9
6,859
6,968
7,078
7,189
7,301
7,415
7,530
7,645
7,762
7,881
2,0
8,000
8,121
8,242
8,365
8,490
8,615
83,742
8,870
8,999
9,129
2,1
9,261
9,394
9,528
9,664
9,800
9,938
10,08
10,22
10,36
10,50
2,2
10,65
10,79
10,96
11,09
11,24
11,39
11,54
11,70
11,85
12,01
2,3
12,17
12,33
12,49
12,65
12,81
12,98
13,14
13,31
13,48
13,65
2,4
13,82
140,00
14,17
14,35
14,53
14,71
14,89
15,07
15,25
15,44
2,5
15,63
15,81
16,00
16,19
16,39
16,58
16,78
16,97
17,17
17,37
2,6
17,58
17,78
17,98
18,19
18,40
18,61
18,82
19,03
19,25
19,47
2,7
19,68
19,90
20,12
20,35
20,57
20,80
21,02
21,25
21,40
21,72
2,8
21,95
22,19
22,43
22,67
22,91
23,15
23,39
23,64
23,89
24,14
2,9
24,39
24,64
24,90
25,15
25,41
25,67
25,93
26,20
26,46
26,73
3,0
27,00
27,27
27,54
27,82
28,09
28,37
28,65
28,93
29,22
29,50
3,1
29,79
30,08
30,37
30,66
30,96
31,26
31,55
31,86
32,16
32,46
3,2
32,77
33,08
33,39
33,70
34,01
34,33
34,65
34,90
35,29
35,61
3,3
35,94
36,26
36,59
36,93
37,26
37,60
37,93
38,27
38,61
38,96
3,4
39,30
39,65
40,00
40,35
40,71
41,06
41,42
41,78
42,14
42,51
3,5
42,88
43,24
43,61
43,99
44,36
44,74
45,12
45,50
45,88
46,27
3,6
46,66
47,05
47,44
47,83
48,23
48,63
49,03
49,43
49,84
50,24
3,7
50,65
51,06
51,48
51,90
52,31
52,73
53,16
53,58
54,01
54,44
3,8
54,87
55,31
55,74
56,18
56,62
57,07
57,51
57,96
58,41
58,86
3,9
59,32
59,78
60,24
60,70
61,16
61,63
62,10
62,57
63,04
63,52
4,0
64,00
64,48
64,96
65,45
65,94
66,43
66,92
67,42
67,92
68,42
4,1
68,92
69,43
69,93
70,44
70,96
71,47
71,99
72,51
73,03
73,56
4,2
74,09
74,62
75,15
75,69
76,23
76,77
77,31
77,85
78,40
78,95
4,3
79,51
80,06
80,62
81,18
81,75
82,31
82,88
83,45
84,03
84,60
4,4
85,18
85,77
86,35
86,94
87,53
88,12
88,72
89,31
89,92
90,52
4,5
91,13
91,73
92,35
92,96
93,58
94,20
94,82
95,44
96,07
96,70
4,6
97,34
97,97
98,61
99,25
99,90
100,5
101,2
101,8
102,5
103,2
4,7
103,8
104,5
105,2
105,8
106,5
107,2
107,9
108,5
109,2
109,9
4,8
110,6
111,3
112,0
112,7
113,4
114,1
114,8
115,5
116,2
116,9
4,9
117,6
118,4
119,1
119,8
120,6
121,3
122,0
122,8
123,5
124,3
5,0
125,0
125,8
126,5
127,3
128,0
128,8
129,6
130,3
131,1
131,9
5,1
132,7
133,4
134,2
135,0
135,8
136,6
137,4
138,2
139,0
139,8
5,2
140,6
141,4
142,2
143,1
143,9
144,7
145,5
146,4
147,2
148,0
5,3
148,9
149,7
150,6
151,4
152,3
153,1
154,0
154,9
155,7
156,6
5,4
157,5
158,3
159,2
160,1
161,0
161,9
162,8
163,7
164,6
165,5
Si se corre la coma en x un lugar a la derecha (izquierda), se debe correr en x³ tres lugares a la derecha (izquierda).
508
ANEXOS
La función y = x³; 5,50 ≤ x ≤ 9,99
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
5,5
166,4
167,3
168,2
169,1
170,0
171,0
171,9
172,8
173,7
174,7
5,6
175,6
176,6
177,5
178,5
179,4
180,4
181,3
182,3
183,3
184,2
5,7
185,2
186,2
187,1
188,1
189,1
190,1
191,1
192,1
193,1
194,1
5,8
195,1
196,1
197,1
198,2
199,2
200,2
201,2
202,3
203,3
204,3
5,9
205,4
206,4
207,5
208,5
209,6
210,6
211,7
212,8
213,8
214,9
6,0
216,0
217,1
218,2
219,3
220,3
221,4
222,5
223,6
224,8
225,9
6,1
227,0
228,1
229,2
230,3
231,5
232,6
233,7
234,9
236,0
237,2
6,2
238,3
239,5
240,6
241,8
243,0
244,1
245,3
246,5
247,7
248,9
6,3
250,0
251,2
252,4
253,6
254,8
256,0
257,3
258,5
259,7
260,9
6,4
262,1
263,4
264,6
265,8
267,1
268,3
269,6
270,8
272,1
273,4
6,5
274,6
275,9
277,2
278,4
279,7
281,0
282,3
283,6
284,9
286,2
6,6
287,5
288,8
290,1
291,4
292,8
294,1
295,4
296,7
298,1
299,4
6,7
300,8
302,1
303,5
304,8
306,2
307,5
308,9
310,3
311,7
313,0
6,8
314,4
315,8
317,2
318,6
320,0
321,4
322,8
324,2
325,7
327,1
6,9
328,5
329,9
331,4
332,8
334,3
335,7
337,2
338,6
340,1
341,5
7,0
343,0
344,5
345,9
347,4
348,9
350,4
351,9
353,4
354,9
356,4
7,1
357,9
359,4
360,9
362,5
364,0
365,5
367,1
368,6
370,1
371,7
7,2
373,2
374,8
376,4
377,9
379,5
381,1
382,7
384,2
385,8
387,4
7,3
389,0
390,6
392,2
393,8
395,4
397,1
398,7
400,3
401,9
403,6
7,4
405,2
406,9
408,5
410,2
411,8
413,5
415,2
416,8
418,5
420,2
7,5
421,9
423,6
425,3
427,0
428,7
430,4
432,1
433,8
435,5
437,2
7,6
439,0
440,7
442,5
444,2
445,9
447,7
449,5
451,2
453,0
454,8
7,7
456,5
458,3
460,1
461,9
463,7
465,5
467,3
469,1
470,9
472,7
7,8
474,6
476,4
478,2
480,0
481,9
483,7
485,6
487,4
489,3
491,2
7,9
493,0
494,9
496,8
498,7
500,6
502,5
504,4
506,3
508,2
510,1
8,0
512,0
513,9
515,8
517,8
519,7
521,7
523,6
525,6
527,5
529,5
8,1
531,4
533,4
535,4
537,4
539,4
541,3
543,3
545,3
547,3
549,4
8,2
551,4
553,4
555,4
557,4
559,5
561,5
563,6
565,6
567,7
569,7
8,3
571,8
573,9
575,9
578,0
580,1
582,2
584,3
586,4
588,5
590,6
8,4
592,7
594,8
596,9
599,1
601,2
603,4
605,5
607,6
609,8
612,0
8,5
614,1
616,3
618,5
620,7
622,8
625,0
627,2
629,4
631,6
633,8
8,6
636,1
638,3
640,5
642,7
645,0
647,2
649,5
651,7
654,0
656,2
8,7
658,5
660,8
663,1
665,3
667,6
669,9
672,2
674,5
676,8
679,2
8,8
681,5
683,8
686,1
688,5
690,8
693,2
695,5
697,9
700,2
702,6
8,9
705,0
707,3
709,7
712,1
714,5
716,9
719,3
721,7
724,2
726,6
9,0
729,0
731,4
733,9
736,3
738,8
741,2
743,7
746,1
748,6
751,1
9,1
753,6
756,1
758,6
761,0
763,6
766,1
768,6
771,1
773,6
776,2
9,2
778,7
781,2
783,8
786,3
788,9
791,5
794,0
796,6
799,2
801,8
9,3
804,4
807,0
809,6
812,2
814,8
817,4
820,0
822,7
825,3
827,9
9,4
830,6
833,2
835,9
838,6
841,2
843,9
846,6
849,3
852,0
854,7
9,5
857,4
860,1
862,8
865,5
868,3
871,0
873,7
876,5
879,2
882,0
9,6
884,7
887,5
890,3
893,1
895,8
898,6
901,4
904,2
907,0
909,9
9,7
912,7
915,5
918,3
921,2
924,0
926,9
929,7
932,6
935,4
938,3
9,8
941,2
944,1
947,0
949,9
952,8
955,7
958,6
961,5
964,4
967,4
9,9
970,3
973,2
976,2
979,1
982,1
985,1
988,0
991,0
994,0
997,0
8,47³ = 607,6
0,847³ = 0,6076
3 123 ,5 = 4 , 98
84,7³ = 607 600
8,472³ = 608,0
3 123 500 = 49 , 8
3 0 ,1235 = 0 , 498
509
MATEMÁTICA
Tabla de senos y cosenos
Seno
Grad.
,0
,1
,2
,3
,4
,5
,6
,7
,8
,9
(1,0)
0
0,0000
0,0017
0,0035
0,0052
0,0070
0,0087
0,0105
0,0122
0,0140
0,0157
0,0175
89
1
0,0175
0,0192
0,0209
0,0227
0,0244
0,0262
0,0279
0,0297
0,0314
0,0332
0,0349
88
2
0,0349
0,0366
0,0384
0,0401
0,0419
0,0346
0,0454
0,0471
0,0488
0,0506
0,0523
87
3
0,0523
0,0541
0,0558
0,0576
0,0593
0,0610
0,0628
0,0645
0,0663
0,0680
0,0698
86
4
0,0698
0,0715
0,0732
0,0750
0,0767
0,0785
0,0802
0,0819
0,0837
0,0854
0,0872
85
5
0,0872
0,0889
0,0906
0,0924
0,0941
0,0958
0,0976
0,0993
0,1011
0,1028
0,1045
84
6
0,1045
0,1063
0,1080
0,1097
0,1115
0,1132
0,1149
0,1167
0,1184
0,1201
0,1219
83
7
0,1219
0,1236
0,1253
0,1271
0,1288
0,1305
0,1323
0,1340
0,1357
0,1374
0,1392
82
8
0,1392
0,1409
0,1426
0,1444
0,1461
0,1478
0,1495
0,1513
0,1530
0,1547
0,1564
81
9
0,1564
0,1582
0,1599
0,1616
0,1633
0,1650
0,1668
0,1685
0,1702
0,1719
0,1736
80
10
0,1736
0,1754
0,1771
0,1788
0,1805
0,1822
0,1840
0,1857
0,1874
0,1891
0,1908
79
11
0,1908
0,1925
0,1942
0,1959
0,1977
0,1994
0,2011
0,2028
0,2045
0,2062
0,2079
78
12
0,2079
0,2096
0,2113
0,2130
0,2147
0,2164
0,2181
0,2198
0,2215
0,2233
0,2250
77
13
0,2250
0,2267
0,2284
0,2300
0,2317
0,2334
0,2351
0,2368
0,2385
0,2402
0,2419
76
14
0,2419
0,2436
0,2453
0,2470
0,2487
0,2504
0,2521
0,2538
0,2554
0,2571
0,2588
75
15
0,5288
0,2605
0,2622
0,2639
0,2656
0,2672
0,2689
0,2706
0,2723
0,2740
0,2756
74
16
0,2756
0,2773
0,2790
0,2807
0,2823
0,2840
0,2857
0,2874
0,2890
0,2907
0,2924
73
17
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0,3024
0,3040
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72
18
0,3090
0,3107
0,3123
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0,3190
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70
20
0,3420
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21
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68
22
0,3746
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67
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25
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64
26
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0,4431
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0,4462
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0,4493
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63
27
0,4540
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0,4571
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0,4633
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0,4664
0,4679
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62
61
28
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29
0,4848
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0,5000
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58
32
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55
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0,5736
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0,6018
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50
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47
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46
44
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0,6972
0,6984
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0,7009
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0,7034
0,7046
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0,7071
45
(1,0)
,9
,8
,7
,6
,5
,4
,3
,2
,1
,0
Grad.
Coseno
510
ANEXOS
Tabla de senos y cosenos
Tablas
Seno
Grad.
,0
,1
,2
,3
,4
,5
,6
,7
,8
,9
(1,0)
45
0,7071
0,7083
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0,7108
0,7120
0,7133
0,7145
0,7157
0,7169
0,7181
0,7193
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0,7193
0,7206
0,7218
0,7230
0,7242
0,7254
0,7266
0,7278
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0,7302
0,7314
43
47
0,7314
0,7325
0,7337
0,7349
0,7361
0,7373
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0,7408
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0,7431
42
48
0,7431
0,7443
0,7455
0,7466
0,7478
0,7490
0,7501
0,7513
0,7524
0,7536
0,7547
41
49
0,7547
0,7559
0,7570
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0,7593
0,7604
0,7615
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0,7660
40
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0,7660
0,7672
0,7683
0,7694
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0,7727
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0,7880
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0,8231
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33
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0,8434
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0,8480
0,8490
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0,8536
0,8545
0,8554
0,8563
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31
59
0,8572
0,8581
0,8590
0,8599
0,8607
0,8616
0,8625
0,8634
0,8643
0,8652
0,8660
30
60
0,8660
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0,8678
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0,8695
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0,8829
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0,8870
0,8878
0,8886
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0,8910
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0,9205
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0,9219
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0,9239
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22
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0,9272
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0,9311
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0,9336
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0,9361
0,9367
0,9373
0,9379
0,9385
0,9391
0,9397
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0,9397
0,9403
0,9409
0,9415
0,9421
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0,9432
0,9438
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0,9449
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19
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0,9455
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0,9472
0,9478
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0,9489
0,9494
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0,9505
0,9511
18
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0,9532
0,9537
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0,9548
0,9553
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0,9593
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16
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0,9728
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13
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0,9767
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8
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0,9995
0,9995
0,9996
0,9996
0,9997
0,9997
0,9997
0,9998
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1
89
0,9998
0,9999
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0,9999
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1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
0
(1,0)
,9
,8
,7
,6
,5
,4
,3
,2
,1
,0
Grad.
Coseno
511
MATEMÁTICA
Tabla de tangentes y cotangentes
Tangente
Grad.
,0
,1
,2
,3
,4
,5
,6
,7
,8
,9
(1,0)
0
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9896
9930
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45
(1,0)
,9
,8
,7
,6
,5
,4
,3
,2
,1
,0
Grad.
Cotangente
512
ANEXOS
Tabla de tangentes y cotangentes
Tangente
Grad.
,0
,1
,2
,3
,4
,5
,6
,7
,8
,9
45
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007
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014
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(1,0)
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138
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41
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163
167
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183
188
192
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205
209
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226
230
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280
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308
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366
371
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36
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397
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407
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097
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116
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174
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194
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225
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24
66
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322
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500
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582
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15
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*011
14
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*005
*050
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11
79
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193
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6,386
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6,940
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8
82
7,115
7,207
7,300
7,396
7,495
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7,700
7,806
7,916
8,028
8,144
7
83
8,144
8,264
8,386
8,513
8,643
8,777
8,915
9,058
9,205
9,357
9,514
6
84
9,514
9,677
9,845
10,0
10,2
10,4
10,6
10,8
11,0
11,2
11,4
5
85
11,43
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11,91
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12,43
12,71
13,00
13,30
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13,95
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4
86
14,30
14,67
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17,89
18,46
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3
87
19,08
19,74
20,45
21,20
22,02
22,90
23,86
24,90
26,03
27,27
28,64
2
88
28,64
30,14
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35,80
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1
89
57,29
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…
0
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513
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