Matemática 3er. Grado. Perfeccionamiento
Ficha
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Matemática 3er. Grado. Perfeccionamiento
-
MATEMÁTICA
tercer grado
tercer grado
tercer grado
Dra. C. Teresa León Roldán
M. Sc. Serguéi Alcolea Parra
Este material forma parte del conjunto de trabajos dirigidos al Tercer Perfeccionamiento
Continuo del Sistema Nacional de la Educación General. En su elaboración participaron
maestros, metodólogos y especialistas a partir de concepciones teóricas y metodológicas precedentes, adecuadas y enriquecidas en correspondencia con el fin y los objetivos
propios de cada nivel educativo, de las exigencias de la sociedad cubana actual y sus
perspectivas.
Ha sido revisado por la subcomisión responsable de la asignatura perteneciente a la
Comisión Nacional Permanente para la revisión de planes, programas y textos de estudio del Instituto Central de Ciencias Pedagógicas del Ministerio de Educación.
Queda rigurosamente prohibida, sin la autorización previa y por escrito de los titulares del copyright y bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o
parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, así como su incorporación
a un sistema informático.
Material de distribución gratuita. Prohibida su venta
Colaboradores:
● Lic. Miriam Villalón Incháustegui ● Lic. Rosa Lidia Peña Gálvez ● Prof. Lourdes Garea
Alonso ● Prof. Margarita Bello Domínguez ● Prof. Luisa Varela Piloto ● Lic. Nilda León
Figueras ● Dra. C. Celia Rizo Cabrera ● M. Sc. José E. Bermúdez Brito ● Lic. Marcia Galán
Torres
Edición y corrección:
● Lic. Isabela de la C. Pérez Sauri
Diseño:
● Instituto Superior de Diseño (ISDi):
Adriana Vigil Hernández ● Alessandra Fuentes Tiel ● Jennifer González Espinosa ● Thalia
Ibarra Villavicencio ● Laura Ramos García ● Ernesto Alejandro Gilart Ruiz ● María
Fernanda Lemus González ● Aldahir Santana Guzmán ● Litsary Zamora Rodríguez
● Samira González González ● Marian Ramos Rodríguez ● Kamila Carpio Crespo ●
DCV María Paula Lista Jorge ● M. Sc. Maité Fundora Iglesias ● Dr. C. Ernesto Fernández
Sánchez
Ilustración:
● Instituto Superior de Diseño (ISDi)
Emplane:
● María Pacheco Gola
© Ministerio de Educación, Cuba, 2025
© Editorial Pueblo y Educación, 2025
ISBN 978-959-13-4956-9 (Versión impresa)
ISBN 978-959-13-5029-9 (Versión digital)
EDITORIAL PUEBLO Y EDUCACIÓN
Av. 3.ª A No. 4601 entre 46 y 60,
Playa, La Habana, Cuba. CP 11300
epueblo@epe.gemined.cu
Agradecimientos
E
l colectivo de autores de este material reconoce la labor
desempeñada por un grupo de profesionales para su confección, entre ellos al colectivo de autores del libro de texto
Matemática 3 anterior, a los autores de los materiales complementarios de los ajustes a metodólogos y docentes y de manera
especial a la Subcomisión responsable de la asignatura perteneciente a la Comisión Nacional Permanente para la revisión de
planes, programas y textos de estudio del Instituto Central de
Ciencias Pedagógicas del Ministerio de Educación por sus criterios y observaciones oportunas, lo cual ha permitido presentar
un libro de texto actualizado para su introducción en la enseñanza. En particular a M.Sc. José E. Bermúdez Brito, M.Sc. Yolanda
Martínez Sotelo y Lic. Marcia Galán Torres.
VII
Al educando
P
ara ti, que estás en tercer grado, llega un nuevo libro con el
que tendrás la oportunidad de profundizar en el fascinante
mundo de las matemáticas. Al abrir sus páginas, te encontrarás con los amigos que ya conoces de grados anteriores: Lola,
Ana, Carlitos, Noel y Pedrín, quienes te acompañarán a lo largo
de todo el curso escolar.
En este libro descubrirás nuevas secciones como “¿Sabías
que…?”, “Recuerda que…” y “Saber más”, que te ayudarán a
comprender mejor ciertos contenidos. Además, encontrarás una
variedad de ejercicios que te permitirán sistematizar lo aprendido y avanzar en tu conocimiento.
También, aprenderás diferentes métodos para realizar cálculos
con las operaciones básicas y resolver nuevos tipos de problemas.
Te adentrarás en el estudio de figuras y cuerpos geométricos, ampliando así tus habilidades matemáticas.
Cuida mucho este libro para que otros también puedan aprender de él, y al igual que tú, se conviertan en mejores estudiantes
cada día.
IX
1
ÍNDICE
Los números naturales ................................... 1
........................................ 2
1.2 Los números naturales hasta 10 000 ................... 12
1.3 Patrones. Secuencias geométricas y numéricas ......... 31
1.4 Números naturales de tres lugares .................... 34
1.5 Números naturales de cuatro lugares .................. 38
1.6 Aprendemos a resolver nuevos tipos de problemas .... 44
1.1 Consolidación
1.7 Adicionamos y sustraemos con múltiplos de 100
............................................... 47
1.8 Multiplicamos y dividimos por 10 y por 100 ............ 52
1.9 Conversiones ......................................... 58
1.10 Tablas, pictogramas y gráficos de barra .............. 68
y de 1 000
1.11 Ordenamos y comparamos los números naturales
............................................. 77
1.12 Redondeo .......................................... 85
1.13 Ejercitación variada ................................. 87
hasta 10 000
2
Adicionamos y sustraemos hasta 10 000 ............. 95
2.1 Adicionamos y sustraemos: 34 + 20; 54 – 20;…
Cálculo oral
............................................
96
2.2 Adicionamos y sustraemos ejercicios como: 34 + 21;
55 – 21; ... Cálculo oral
.................................. 101
2.3 Adicionamos y sustraemos: 80 + 70; 800 + 700;
........................ 107
2.4 Unidades de masa .................................. 117
2.5 Procedimiento escrito de la adición .................. 126
2.6 Procedimiento escrito de la sustracción .............. 140
2.7 Ejercitación variada ................................. 156
150 – 70; 1 500 – 700. Cálculo oral
3
Multiplicamos y dividimos hasta 10 000
..... 165
3.1 Multiplicación y división hasta 10 000.
............................................ 166
3.2 Procedimiento escrito de la multiplicación ........... 188
3.3 Procedimiento escrito de la división ................. 212
3.4 Concepto de fracción. Significados prácticos ......... 233
3.5 Ejercitación variada ................................. 250
Cálculo oral
4
Geometría ..................................................... 259
......... 260
4.2 Paralelogramos ..................................... 277
4.3 Prisma. Ortoedro y cubo ............................. 285
4.4 Circunferencia y círculo. Cilindro ..................... 289
Tablas ................................................. 299
4.1 Relaciones de posición entre puntos y rectas
UNIDAD 1
Los números naturales
¡Y
a estás en tercer grado! Este curso aprenderás muchas
cosas nuevas e interesantes sobre las matemáticas, pero
antes de comenzar ejercitaremos lo que has aprendido
en cursos anteriores. En nuestro viaje por el mundo de las matemáticas aprenderás aspectos de interés y, por medio de ejercicios,
comprobarás lo que tu maestro te ha enseñado. Ahora… ¡vamos
a repasar!
1
MATEMÁTICA
1.1 Consolidación
Repasemos: lo aprendido
Retomaremos el contenido de los números naturales
hasta 100 y el cálculo de ejercicios básicos como la adición, sustracción, multiplicación y división; además del
trabajo con las unidades de medida y monetarias y la
solución de ejercicios con textos para el desarrollo de
habilidades matemáticas.
¡Vamos a jugar con los números naturales!
Ejercicios
¿Recuerdas los números de un lugar?
a) Nómbralos.
b) Escríbelos uno a continuación del otro:
• comenzando por el menor
• comenzando por el mayor
Ordena los siguientes números comenzando por el menor:
50; 99; 36; 81; 38; 0
a) Escribe para cada uno el sucesor y el antecesor.
Escribe los números que están entre 18 y 23; 77 y 82; 64 y 57.
2
UNIDAD
UNIDAD11
Escribe y lee los números formados por:
a) 6 decenas y 7 unidades
b) 9 decenas y 1 unidad
Calcula:
a) 30 + 10
b) 5 ∙ 10
c) 40 + 5
d) 8 ∙ 10 + 5
10 + 90
7 ∙ 10
10 + 7
4 ∙ 10 + 1
Halla el valor de la variable:
a) 20 + a = 24
b) 80 + a = 83
c) b + 6 = 66
60 + e = 68
40 + m = 48
c + 9 = 99
Varios niños compran dulces a $ 3. Si compran 10 dulces,
¿cuánto tienen que pagar?
a) ______ $ 13
b) ______ $ 30
c) ______ $ 23
Compara los siguientes números y fundamenta:
a) 50 y 80
b) 43 y 49
70 y 30
87 y 83
c) 26 y 46
d) 19 y 30
85 y 78
24 y 42
Completa con los números que faltan:
a) 67; 68; 69;…; 76
b) 97; 96; 95;…; 87
Escribe los números:
veintisiete; treinta y ocho; noventa y tres; ochenta y dos;
veintinueve
Luis tiene entre sus juguetes 40 bolas y su hermano 9 más
que él. ¿Cuántas bolas tiene su hermano?
En un aula de tercer grado hay 28 pioneros; 8 fueron al almacén con la maestra a buscar los materiales para el primer
día de clases. El resto se quedó organizando el aula. ¿Cuántos
se quedaron organizando el aula?
3
MATEMÁTICA
Halla los valores de x:
a) 38 < x < 42
b) 69 < x < 73
c) 95 < x < 100
Ordena los números que ves en la figura. Comienza por el
mayor.
a) Escribe para cada número el múltiplo de 10 anterior y
posterior.
b) Nombra triángulos y rectángulos que reconozcas en la
figura.
Observa las siguientes igualdades:
9 + 4 = 13
13 – 4 = 9
4 + 9 = 13
13 – 9 = 4
a) Elabora un problema que se resuelva realizando cada
uno de esos cálculos.
Calcula los siguientes ejercicios. Para cada igualdad que obtengas, forma otras tres igualdades:
a) 8 + 6
b) 7 + 5
c) 17 – 9
d) 16 – 7
9+7
8+3
14 – 6
13 – 5
Si a 7 le adiciono un número obtengo 15. ¿Cuál es el número?
Calcula la diferencia de los números 13 y 6.
Halla el valor de las variables. Explica cómo pensaste para
resolver cada ejercicio:
4
UNIDAD 1
a) 9 + a = 18
b) 16 – c = 8
c) x + 9 = 12
b + 6 = 13
12 – m = 5
14 – y = 8
En el parque juegan 15 niños. De ellos 9 juegan a la pelota y
los otros juegan a la rueda.
a) Escribe la pregunta para este problema y resuélvelo. Haz
una representación gráfica que te ayude a resolverlo.
Observa los siguientes números: 7; 9; 8; 2; 6.
a) Calcula el doble de ellos.
b) Adiciona 20 y luego 43 a cada uno de los números dados.
Compara y fundamenta con la ayuda de la adición:
a) 20 y 50
b) 26 y 29
c) 37 y 42
d) 19 y 9
90 y 90
77 y 73
66 y 53
7 y 14
Coloca + o – según convenga:
a) 6
8 = 14
b) 36
8 = 44
c) 12
0 = 12
15
7= 8
35
7 = 28
54
2 = 52
20
9 = 11
82
6 = 76
93
7 = 86
5
MATEMÁTICA
Escribe igualdades:
La suma es 15; 13 y 17 y cada sumando es un número de un
lugar.
Calcula el sustraendo si el minuendo es 11; 12 y 13 y la diferencia es 5.
Calcula:
Forma grupos de ejercicios como en el ejemplo. Calcúlalos:
Ejemplo:
6+8
8+6
a) 4 + 8
14 – 8
14 – 6
b) 8 + 7
c) 2 + 9
a) 76 + 2
b) 34 + 8
c) 81 – 3
d) 91 + 7
98 – 6
34 – 8
47 – 6
88 – 5
83 – 1
46 + 9
65 – 2
72 – 6
Calcula:
Julio y Guillermo comenzaron a leer un libro de aventuras
que tiene 37 páginas. Julio ya leyó 9 de ellas y Guillermo solo
ha leído 5 páginas.
a) ¿Cuántas páginas le faltan por leer a Julio?
b) ¿Cuántas páginas aún debe leer Guillermo?
6
UNIDAD 1
Los pioneros van a acampar durante 3 semanas. ¿Cuántos
días van a acampar?
Los sumandos son 29 y 7. Calcula la suma.
Sustrae 7 de 51.
Calcula:
Escribe como producto:
a)
b)
Calcula:
a) 9 ∙ 5; 9 ∙ 4; 8 ∙ 8
6 ∙ 4; 6 ∙ 6; 5 ∙ 8
c)
d)
b) 35 : 5; 42 : 7; 49 : 7
81 : 9; 72 : 8; 64 : 8
7
MATEMÁTICA
Forma en cada caso cuatro igualdades. Apóyate en el
ejemplo:
7 ∙ 9 = 63
9 ∙ 7 = 63
63 : 9 = 7
63 : 7 = 9
a) 2; 7 y 14
b) 6; 7 y 42
c) 6; 9 y 54
21; 3 y 7
56; 8 y 7
48; 6 y 8
Calcula y ordena los productos comenzando por el menor:
a) 4 ∙ 7;
8 ∙ 9;
6 ∙ 7;
3 ∙ 9;
10 ∙ 0
b) 7 ∙ 1;
9 ∙ 6;
8 ∙ 7;
5 ∙ 9;
1∙1
A la escuela llegaron 42 paquetes de libros y 63 paquetes de
libretas. Se dejaron en el almacén 6 paquetes de libros y
8 paquetes de libretas. Los restantes se llevaron a las aulas.
a) ¿Cuántos paquetes de libros se llevaron a las aulas?
b) ¿Cuántos paquetes de libretas se llevaron a las aulas?
8
UNIDAD 1
Calcula:
4
7
6
3
54
9
48
5
36
42
24
30
Halla el valor de la variable:
a) 7 ∙ 9 = x
b) 9 ∙ x = 81
c) a : 5 = 4
8:8=z
7 ∙ a = 49
b:4=4
63 : 9 = y
b ∙ 8 = 32
c:8=5
Calcula:
a
8
a∙ 8
b
4
7∙b
c c:7
70
3
6
49
9
5
21
Calcula:
a) (30 : 6) ∙ 7
b) (6 ∙ 6) : 4
c) 6 + 8 ∙ 8
(35 : 5) ∙ 8
(6 ∙ 0) : 9
1+4∙0
Compara:
a) 8 ∙ 1 y 1 ∙ 4
b) 8 : 8 y 0 : 7
9∙0y6∙0
8:1y8:1
9
MATEMÁTICA
Calcula:
Elabora un problema que trate sobre las fiestas de los CDR.
Utiliza los siguientes datos:
9 pioneros
8 banderas cada uno
Indica algunas de las posibilidades que tienes de pagar las
siguientes cantidades utilizando diferentes monedas:
45 ¢; 70 ¢; 55 ¢; $ 1; 10 ¢
10
UNIDAD 1
Completa:
a) 30 mm = ________ cm
b) ________ mm = 5 cm
5 cm = ________ mm
________
m = 30 dm
6 dm = ________ cm
________ dm = 40 cm
7 dm = ________ cm
________ cm = 70 mm
Calcula:
a) 5 ∙ 7; 4 ∙ 9; 6 ∙ 0
b) 45 : 9; 56 : 8; 63 : 9
8 ∙ 1; 7 ∙ 4; 9 ∙ 7
36 : 4; 0 : 8; 9 : 1
El dividendo es 42 y el divisor es 7. Halla el cociente.
Divide 81 entre 9.
Aida y Rosa colorean un cuaderno de dibujos. Aida sacó de
su caja de colores 3 lápices y le quedan 9. Rosa sacó 4 de los
12 lápices de colores que tiene la suya.
a) ¿Cuántos lápices trae la caja de Aida?
b) ¿Cuántos lápices le quedaron en la caja a Rosa?
11
MATEMÁTICA
Un grupo de pioneros visitó el zoológico. Elio dijo: “Hay
3 leones y el doble de tigres”. Sergio dijo: “Eso no es cierto,
hay 6 tigres y la mitad de leones”. Si en el zoológico hay
6 tigres y 3 leones, ¿quién tiene la razón?
Observa la siguiente serie de números:
22; 24; ___; 28; 30; 32
– El número que falta es:
a)__27
b)__26
c)__ 25
d)__ 20
¿Cuál es el número que continúa en esta sucesión?
45; 40; 35; 30; …
a)__ 29
b)__ 20 c)__ 25 d)__ 31
1.2 Los números naturales hasta 10 000
Los múltiplos de 100 y de 1 000
Como aprendiste en grados anteriores, siempre que multiplicamos un número por 10 obtenemos un múltiplo de este. Lo
mismo sucede cuando multiplicamos por 100 y por 1 000, lo cual
vamos a aprender este curso. Veamos cómo se hace.
Formamos múltiplos de 100
Obtenemos los múltiplos de 100 de igual manera en que formamos los múltiplos de 10.
¿Recuerdas cómo lo hicimos?
12
UNIDAD 1
Adicionamos 10 cada vez:
10 diez
50 + 10 = 60 sesenta
10 + 10 = 20 veinte
60 + 10 = 70 setenta
20 + 10 = 30 treinta
70 + 10 = 80 ochenta
30 + 10 = 40 cuarenta
80 + 10 = 90 noventa
40 + 10 = 50 cincuenta
90 + 10 = 100 cien
Luego los representamos como productos:
1 ∙ 10 = 10 diez
6 ∙ 10 = 60 sesenta
2 ∙ 10 = 20 veinte
7 ∙ 10 = 70 setenta
3 ∙ 10 = 30 treinta
8 ∙ 10 = 80 ochenta
4 ∙ 10 = 40 cuarenta
9 ∙ 10 = 90 noventa
5 ∙ 10 = 50 cincuenta
10 ∙ 10 = 100 cien
¿Sabías que...?
2 ∙ 10 son dos decenas, pero también son 20 unidades.
Recuerda que…
Con los múltiplos de 10 se forman las decenas.
13
MATEMÁTICA
Ahora, para obtener los múltiplos de 100 lo haremos de la
misma forma, pero adicionamos 100 cada vez.
100 cien
500 + 100 =
600 seiscientos
100 + 100 = 200 doscientos
600 + 100 =
700 setecientos
200 + 100 = 300 trescientos
700 + 100 =
800 ochocientos
300 + 100 = 400 cuatrocientos
800 + 100 =
900 novecientos
400 + 100 = 500 quinientos
900 + 100 = 1 000 mil
Los múltiplos de 100 pueden formarse también así:
100 + 100 = 200; 100 + 100 + 100 = 300;
100 +100 + 100 + 100 = 400…
Estas sumas pueden representarse también como productos:
1 ∙ 100 = 100
6 ∙ 100 =
600
2 ∙ 100 = 200
7 ∙ 100 =
700
3 ∙ 100 = 300
8 ∙ 100 =
800
4 ∙ 100 = 400
9 ∙ 100 =
900
5 ∙ 100 = 500
10 ∙ 100 = 1 000
Recuerda que…
100; 200; 300; 400; 500; 600; 700; 800; 900; 1 000 son
múltiplos de 100.
1. Cuenta de 100 en 100 hasta 1 000.
2. Completa en la libreta el siguiente rayo numérico con los múltiplos de 100 que faltan:
14
UNIDAD 1
Formación de centenas con los múltiplos de 100
Una centena se forma cuando hay 100 unidades o 10 decenas
juntas.
Estas 100 unidades representan
10 decenas juntas.
Podemos decir que en esta caja caben 100 papas, un centenar
o una centena de ellas.
}
3 · 100 = 300
3 centenas
15
MATEMÁTICA
Para representar las centenas en una tabla de posición decimal necesitas una nueva columna que se coloca a la izquierda.
100
10
1
Centenas
Decenas
Unidades
5
0
5
0
0
5
Si el 5 está en el lugar de las centenas, significa: 5 ∙ 100 = 500
Si el 5 está en el lugar de las decenas, significa: 5 ∙ 10 = 50
Si el 5 está en el lugar de las unidades, significa: 5 ∙ 1 = 5
Recuerda que…
Aprendiste que en una decena hay 10 unidades:
10 = 10 ∙ 1. También sabes que 100 = 10 ∙ 10, lo que
significa que en una centena hay 10 decenas.
1. Escribe en una tabla de posición decimal:
a) 3 decenas
b) 4 unidades
c) 10 unidades
6 centenas
8 centenas
10 decenas
9 centenas
7 centenas
5 centenas
2. ¿Cuántas centenas hay en los números siguientes: 800; 700;
200; 100?
Formamos múltiplos de 1 000
Seguramente has escuchado noticias sobre el béisbol, nuestro deporte nacional. Los estadios donde se practica este deporte
tienen una capacidad para miles de personas.
16
UNIDAD 1
Aprenderás ahora cómo hallar los múltiplos de 100
y después los números de cuatro lugares.
Obtenemos los múltiplos de 1 000 como mismo lo hicimos para obtener los de 100 y los de 10. ¿Probamos cómo
formarlos?
1 000 + 1 000 = 2 000
Adicionamos 1 000 cada vez:
1 000 mil
5 000 + 1 000 = 6 000 seis mil
1 000 + 1 000 = 2 000 dos mil
6 000 + 1 000 = 7 000 siete mil
2 000 + 1 000 = 3 000 tres mil
7 000 + 1 000 = 8 000 ocho mil
3 000 + 1 000 = 4 000 cuatro mil
8 000 + 1 000 = 9 000 nueve mil
4 000 + 1 000 = 5 000 cinco mil
9 000 + 1 000 = 10 000 diez mil
Los múltiplos de 1 000 pueden formarse también así:
1 000 + 1 000 = 2 000; 1 000 + 1 000 + 1 000 = 3 000;
1 000 + 1 000 + 1 000 + 1 000 = 4 000…
17
MATEMÁTICA
y al igual que con el 100, los presentamos como productos:
1 ∙ 1 000 = 1 000
6 ∙ 1 000 = 6 000
2 ∙ 1 000 = 2 000
7 ∙ 1 000 = 7 000
3 ∙ 1 000 = 3 000
8 ∙ 1 000 = 8 000
4 ∙ 1 000 = 4 000
9 ∙ 1 000 = 9 000
5 ∙ 1 000 = 5 000
10 ∙ 1 000 = 10 000
Recuerda que…
1 000; 2 000; 3 000; 4 000; 5 000; 6 000; 7 000; 8 000;
9 000; 10 000 son múltiplos de 1 000.
1. Cuenta de 1 000 en 1 000 hasta 10 000.
2. Completa en la libreta el siguiente rayo numérico con los múltiplos de 1 000 que faltan:
Formación de los millares con los múltiplos de 1 000
Un millar se forma cuando hay 1 000 unidades, 10 centenas o
100 decenas juntas.
Por ejemplo, si representamos el número 6 000 con cuadrados
de 100 cuadraditos, quedaría del modo siguiente:
18
UNIDAD 1
En cada cuadrado hay 100 cuadraditos, en 10 cuadros hay
1 000 cuadraditos, en 60 cuadrados hay 6 000 cuadraditos.
También decimos: hay seis millares de cuadraditos.
También se pueden hacer representaciones con fichas de
1 000:
}
3 · 1000 = 3000
3 millares
Para representar los millares en una tabla de posición decimal
necesitas una nueva columna que se coloca a la izquierda y la
nombramos unidad de millar (U/M).
19
MATEMÁTICA
1 000
100
10
1
Unidad
de millar
Centenas
Decenas
Unidades
4
0
0
0
4
0
0
4
0
4
Si el 4 está en el lugar de las unidades de millar, significa:
4 ∙ 1 000 = 4 000
Si el 4 está en el lugar de las centenas, significa:
4 ∙ 100 = 400
Si el 4 está en el lugar de las decenas, significa:
4 ∙ 10 = 40
Si el 4 está en el lugar de las unidades, significa:
4∙1=4
Recuerda que…
Aprendiste que una decena son 10 unidades: 10 = 10 ∙ 1;
una centena son 10 decenas: 100 = 10 ∙ 10.
También sabes que 1 000 = 10 ∙ 100, lo que significa
que un millar son 10 centenas.
También podemos determinar la cantidad que representa cada
dígito en cada lugar. Decimos: “la cantidad que representa…”.
Ejemplo:
El número 700 representa 70 decenas porque 700 = 70 ∙ 10 y
además son 700 unidades.
20
UNIDAD 1
La mayor cantidad de centenas que forman al número 700
es 7.
Ejercicios
Representa en una tabla de posición decimal los números
siguientes: 5 000; 7 000; 4 000
Escribe en una tabla de posición decimal:
a) 3 millares
b) 7 millares
2 centenas
9 decenas
Escribe en tu libreta los números que hemos representado
en cada caso:
a)
b)
21
MATEMÁTICA
c)
d)
Calcula:
a) 3 ∙ 100
b) 100 ∙ 8
7 ∙ 100
100 ∙
10 ∙ 100
9
9 ∙ 100
Escribe los siguientes números: trescientos; mil; quinientos;
novecientos; diez mil; setecientos.
Calcula:
a)
b)
200
400
900
4
0
0
0
+ 100
600
6
∙ 1 000
8
100
300
700
10
3
1
Halla el valor de la variable:
a) 700 + 100 = x
800 + x
22
= 900
b) 6 000 + 1 000 = x
9 000 + x
= 9 000
UNIDAD 1
Calcula el triplo de 100.
Calcula el décuplo de 1 000.
Para una fiesta, en una escuela 100 niños confeccionaron 4
tarjetas y 6 flores cada uno.
a) ¿Cuántas tarjetas confeccionaron en total?
b) ¿Cuántas flores confeccionaron en total?
Una librería recibió 8 000 libros de cuentos. Luego llegó otro
pedido de 1 000 libros. ¿Cuántos libros ha recibido la librería
en total?
1. 2. 1 Unidades monetarias
¿Conoces las monedas cubanas?
Menciona aquellas que hayas visto y recuerdes bien.
Sabemos que $ 1 = 100 ¢
23
MATEMÁTICA
A partir de esta información, vamos a analizar las situaciones
siguientes:
1. Pedro tiene $ 3 y quiere saber cuántos centavos representa
esta cantidad.
Pensamos:
$ 1 = 100 ¢. Tiene $ 3, como son tres veces 100 ¢, tiene 300 ¢
porque 3 ∙ 100 = 300.
Ahora podemos escribir: $
3
=
3
0
0
¢
2. Ana tiene en su alcancía 200 ¢ y quiere saber cuántos pesos tiene.
Pensamos:
100 ¢ = $ 1. ¿Cuántos grupos de 100 ¢ hay en 200 ¢? Hay dos
grupos de 100 ¢, entonces tiene $ 2, porque 200 = 2 ∙ 100.
Ahora podemos escribir:
2
0
0
¢
=
$
2
Ejercicios
¿Cuántas monedas de 5 ¢ serán $ 1? Explica cómo lo sabes y
haz una representación si lo necesitas.
¿Cuántos centavos son $ 7; $ 9; $ 8; $ 5?
¿Cuántos pesos son 800 ¢; 500 ¢; 700 ¢; 900 ¢?
Marcos tiene $ 4 y su hermano Luis reunió 400 ¢. ¿Quién
tiene más dinero?
Alina y Miriam salieron de compras. Alina compró una saya
que le costó $ 12 y una blusa que le costó $ 8. Miriam tenía
$ 30 y compró un pantalón que le costó $ 20.
24
UNIDAD 1
a) ¿Cuánto gastó Alina?
b) ¿Cuánto dinero le quedó a Miriam?
1. 2. 2 Unidades de longitud
Es sabido por ti que las unidades de longitud sirven para medir
objetos, distancias.
De las unidades de longitud que conoces, ¿cuál seleccionarías
para indicar la longitud de la regla de la pizarra, del ancho de tu
libreta, de una cuadrícula de tu cuaderno, del largo de tu aula,
un lápiz nuevo, un botón?
6
12
7
8
9
10
11
Ya conocemos unidades de longitud como el metro (m), el
centímetro (cm) y el milímetro (mm).
Podemos medir longitudes con ellas y realizar conversiones
con datos expresados en esas unidades, pues ya sabemos que:
1 m = 100 cm
1 m = 10 dm
25
MATEMÁTICA
Ahora aprenderemos que 1 m = 1 000 mm.
La regla graduada está dividida en centímetros y milímetros,
y sirve para trazar líneas rectas y para medir la longitud de los
segmentos.
Usemos la regla para medir longitudes de segmentos.
Para medir la longitud de un segmento, colocamos el cero de
la regla en un extremo de este y leemos el número que corresponde al otro extremo.
A
B
El segmento AB mide 2 cm.
Lo mismo hacemos para medir longitudes de objetos. Midamos
el largo de una goma y un sacapuntas.
26
UNIDAD 1
La goma mide 3 cm.
El sacapuntas mide 2 cm.
Vamos ahora a analizar el caso siguiente:
A María Elena le piden de tarea medir la longitud de un segmento, pero a la regla que tiene le falta un pedazo como ves en
la figura:
¿Qué puede hacer María Elena para resolver ese problema?
Podemos proceder de la siguiente manera:
Colocamos un extremo del segmento en un número cualquiera de la regla y se determina el número que corresponde al otro
extremo: los números son 4 y 9.
A
B
Después restamos el menor número al mayor: 9 – 4 = 5.
El segmento mide 5 cm.
27
MATEMÁTICA
Piensa de qué otra forma puedes proceder y explícaselo a tus
compañeritos del aula.
Existen longitudes más largas de las que hemos aprendido a
medir; por ejemplo, la distancia que hay de tu casa a la escuela,
entre dos provincias, la que recorre un ciclista en una competencia, o aquellas que en ocasiones aparecen en las señalizaciones
del tránsito.
PRECAUCIÓN
EN 5KM
Para ello usamos la unidad de medida kilómetro (km).
Para que tengas una idea: 1 km representa una distancia aproximada de 10 cuadras.
Aprenderemos ahora que:
1 km = 1 000 m
1 m = 1 000 mm
¿Cómo convertimos de kilómetros a metros?
Lo hacemos multiplicando por 1 000.
28
UNIDAD 1
Por ejemplo:
2 km = _________ m
Pensamos: 2 ∙ 1 000 = 2 000
Escribimos: 2 k m = 2 0 0 0 m
¿Y cómo convertimos de metros a milímetros?
Para convertir de metros a milímetros procedemos multiplicando por 1 000.
Por ejemplo:
5 m = _______mm
Pensamos: 5 ∙ 1 000 = 5 000
Escribimos: 5
m
=
5
0
0
0
m
m
Ejercicios
Completa:
a) 3 km = __________ m
b) 9 m = __________ mm
29
MATEMÁTICA
¿Cuántos centavos son: $ 2; $ 3; $ 4; $ 6; $ 10?
¿Cuántos pesos son: 100 ¢; 900 ¢; 1 000 ¢; 400 ¢?
Nombra objetos que tengan aproximadamente 1 mm, 1 cm,
10 cm o 1 m de largo, de ancho o de altura.
Convierte en metros: 4 km; 6 km; 10 km.
Convierte en centímetros: 5 m; 7 m; 3 m; 10 m.
Convierte en centímetros y milímetros:
6 m; 4 m; 3 m; 9 m; 7 m; 10 m; 8 m; 1m.
En una actividad pioneril se realizó primero la carrera de
100 m con patines. Posteriormente se recorrió el triplo
de ese tramo en bicicleta. ¿Qué longitud tiene el tramo
recorrido en bicicleta? Puedes apoyarte en un esquema.
En un taller se reparan 100 planchas y 100 ventiladores en
un día.
a) ¿Cuántas planchas se repararán en 7 días?
b) ¿Cuántos ventiladores se repararán en 5 días?
10. Calcula:
30
UNIDAD 1
1.3 Patrones. Secuencias geométricas
y numéricas
¿Sabías que...?
Un patrón es una serie de elementos que se repiten de
forma constante siguiendo un mismo orden.
Los elementos de estas secuencias pueden ser figuras
geométricas, números o representaciones.
Si observamos algunas imágenes de nuestro entorno podremos identificar patrones en ellas. Ejemplo de esto son los dibujos
decorativos que encontramos en los azulejos o las losas del baño
y la cocina, en vasos, platos, manteles, incluso en nuestra ropa. Te
propongo investigar sobre esto.
¿Logras identificar el patrón en cada una de estas
secuencias?
31
MATEMÁTICA
Los patrones numéricos son secuencias de números que siguen
cierta regla. Ejemplo de estos patrones son aquellos que podemos identificar en:
•
la serie de los números naturales
0; 1; 2; 3; 4; 5; 6…
•
los productos básicos de multiplicación
0; 3; 6; 9; 12; 15; 18; 21; 24; 27; 30
0; 5; 10; 15; 20; 25; 30; 35; 40; 45; 50
•
sucesiones de números como los pares o los impares
0; 2; 4; 6; 8; 10; 12…
0; 1; 3; 5; 7; 9; 11…
Ya conoces la sucesión de los números naturales: 0; 1; 2;
3; 4; 5; 6…, y sabes que esta se forma hallando cada vez
el sucesor del número anterior.
Aprendamos otras secuencias numéricas que se forman
aplicando cierto patrón a números naturales consecutivos comenzando por uno cualquiera. Para ello veamos los siguientes
ejemplos:
a) 4; 6; 8; 10; 12; 14…
b) 19; 18; 17; 16; 15…
Como has observado, los términos de la primera secuencia de
números aumentan de 2 en 2, y los de la segunda disminuyen
de 1 en 1. Observa que, en todos los casos, a partir de un primer
número se obtiene cada uno de los que componen la secuencia
determinada por un patrón.
32
UNIDAD 1
Cada uno de estos números constituye el término de la sucesión, y la operación o relación que permite hallarlos es el patrón
de formación de la sucesión.
¿Sabías que...?
Para hallar un patrón puedes usar también un rayo
numérico.
1. Utilizando el rayo numérico, determina el siguiente número
de esta secuencia 14; 11; 8; ___.
2. Completa las siguientes secuencias numéricas atendiendo a lo
que te piden:
a) Los números pares menores que 15:
2; 4; 6; ___; ___; ___; ___.
b) Los números impares menores que 15:
1; 3; 5; ___; ___; ___; ___.
c) Los múltiplos de 6 menores que 60, ordenados de forma
ascendente:
6; 12; ___; ___; ___; ___; ___; ___; ___.
d) Los múltiplos de 7 menores que 70, ordenados de forma
descendente:
70; 63; ___; ___; ___; ___; ___; ___; ___; ___.
33
MATEMÁTICA
1.4 Números naturales de tres lugares
Sabemos que 10; 11; 12; …; 98; 99 son números de dos lugares.
Recuerda que…
Los números naturales de dos lugares se representan
así:
30 + 4 = 34
3 ∙ 10 + 4 = 34
Conoces también números naturales de tres lugares:
100; 200; 300; …; 900.
Aprendamos ahora otros números naturales de tres lugares.
300 + 65 = 365
Se lee: trescientos sesenta y cinco
Este número está formado por:
También podemos representarlo de diferentes formas:
Como suma:
34
En una tabla de posición decimal:
300 + 60 + 5 = 365
100
10
1
3 ∙ 100 + 6 ∙ 10 + 5 ∙ 1 = 365
C
D
U
3
6
5
UNIDAD 1
En un rayo numérico:
Repasamos el valor de posición
100
10
1
C
D
U
6
5
3
653 = 600 + 50 + 3
Si el 6 está en el lugar de las centenas
significa: 6 · 100 = 600
3
6
5
365 = 300 + 60 + 5
Si el 6 está en el lugar de las decenas
significa: 6 · 10 = 60
5
3
6
536 = 500 + 30 + 6
Si el 6 está en el lugar de las unidades
significa: 6 · 1 = 6
Recuerda que…
100; 101; 102; …; 499; 500; 501; …; 998; 999 son números de tres lugares.
Ejercicios
Escribe en una tabla de posición decimal los números 450;
392 y 605. Descomponlos como en el ejemplo siguiente:
100
10
1
C
D
U
5
2
3
523 = 5 ∙ 100 + 2 ∙ 10 + 3 ∙ 1
3
0
8
308 = 3 ∙ 100 + 0 ∙ 10 + 8 ∙ 1
35
MATEMÁTICA
Escribe los números representados en cada caso:
a)
b)
¿Qué números faltan en los puntos destacados? Escríbelos:
Indica las longitudes de los segmentos AB , AC , BC en
milímetros.
Forma los números:
a) 500 + 45
b) 400 + 34
c) 600 + 66
500 + 60
800 + 50
700 + 7
500 + 7
800 + 8
900 + 1
Escribe los números formados por:
a) seis centenas, cinco decenas y tres unidades
b) dos centenas y seis unidades
36
UNIDAD 1
Forma estos números y escríbelos en una tabla de posición
decimal. Léelos:
a) 5 ∙ 100 + 2 ∙ 10 + 3 ∙ 1
b) 7 ∙ 100 + 7 ∙ 10 + 0 ∙ 1
9 ∙ 100 + 0 ∙ 10 + 2 ∙ 1
8 ∙ 100 + 0 ∙ 10 + 0 ∙ 1
Escribe los números:
a) novecientos cuarenta y dos
b) quinientos setenta y seis
novecientos diez
quinientos catorce
novecientos cinco
quinientos dos
Escribe cuatro números de tres lugares en los que:
a) en las unidades haya un cero
b) en las decenas haya un cero
Indica cuántas centenas, decenas y unidades hay en estos
números:
563; 405; 290; 806; 777
Escribe el número trescientos ocho. Represéntalo:
a) Como suma.
b) En una tabla de posición decimal.
Forma números de tres lugares:
37
MATEMÁTICA
Busca el patrón y dibuja en tu libreta la figura que sigue:
Completa con los números que faltan según el patrón que
forma cada secuencia:
¿Cuáles son los números que faltan en la secuencia numérica?
a) __ 6 y 10
b) __ 4 y 8
c) __ 7 y 11
d) __ 6 y 8
1.5 Números naturales de cuatro lugares
Vamos a nombrar algunos números naturales de tres lugares que estén entre 900 y 1 000 y expresar uno como suma, por
ejemplo:
9 0 0 + 2 5 = 9 2 5
Ahora menciona números naturales a partir de 100.
¿Puedes decir números naturales a partir de 1 000 de
igual modo?
38
UNIDAD 1
Aprendamos los números naturales de cuatro lugares.
Ya conocemos números naturales de cuatro lugares como
1 000; 2 000; 3 000; …; 9 000.
¿Sabías que...?
Los nuevos números naturales de cuatro lugares se
forman adicionando estos múltiplos de 1 000 y los números naturales de uno, de dos o de tres lugares que
conoces.
Un número de cuatro lugares podemos representarlo así:
También podemos representarlo de diferentes formas:
Como suma:
1 000 + 200 + 40 + 5
1 · 1 000 + 2 · 100 + 40 · 10 + 5 · 1 = 1 245
39
MATEMÁTICA
En una tabla de posición decimal:
1 000
100
10
1
U/M
C
D
U
1
2
4
5
Se lee: mil doscientos cuarenta y cinco
También podemos determinar la cantidad que representa cada
dígito en cada lugar. Decimos: “la cantidad que representa…”
Ejemplo:
El número 365 representa 365 unidades.
También podemos decir que representa treinta y seis decenas y cinco unidades más porque 365 = 360 + 5, o representa
trescientas centenas y sesenta y cinco unidades más porque
365 = 300 + 65, o representa trescientas centenas, sesenta decenas y cinco unidades más porque 365 = 300 + 60 + 5.
Observa que se han empleado diferentes formas y todas representan a un número de tres lugares.
Recuerda que…
1 000; 1 001; …; 1 999; 2 000; 9 998; 9 999 son números
naturales de cuatro lugares.
Ejercicios
Indica cómo están formados los números 2 349 y 8 905.
Escríbelos en una tabla de posición decimal.
¿Qué números naturales hemos representado? Escríbelos:
40
UNIDAD 1
a)
b)
Forma los números y léelos:
a) 3 000 + 436
b) 3 000 + 406
3 000 + 430
3 000 + 36
c) 3 000 + 30
d) 5 000 + 1
3 000 + 6
5 000 + 9
Forma doce números de cuatro lugares utilizando solamente
los números 6; 0 y 4.
Forma los números. Léelos:
7 ∙ 1 000 + 5 ∙ 100 + 6 ∙ 10 + 4 ∙ 1
2 ∙ 1 000 + 6 ∙ 100 + 3 ∙ 10 + 0 ∙ 1
6 ∙ 1 000 + 0 ∙ 100 + 5 ∙ 10 + 0 ∙ 1
8 ∙ 1 000 + 0 ∙ 100 + 0 ∙ 10 + 3 ∙ 1
Calcula. Lee los números que formaste:
41
MATEMÁTICA
Descompón como suma los números siguientes:
347; 84; 6 430; 204; 48; 4 002; 99; 340; 3 029
Ejemplo:
3 4 7 = 3 0 0 + 4 0 + 7
Escribe en una tabla de posición decimal:
a) seis mil cuatrocientos veinticinco
b) siete mil quinientos tres
c) tres mil tres
d) dos mil novecientos tres
1 000
100
10
1
U/M
C
D
U
6
4
2
5
Escribe los números formados por:
Escribe los números formados por:
a) seis unidades de millar, una centena y ocho unidades
b) ocho unidades de millar, cuatro decenas y siete unidades
c) siete unidades de millar y nueve decenas
Escribe en una tabla de posición decimal los números:
631; 8 631; 4 504; 7 007; 99; 1 001; 989
Llegaron 8 millares de libros a una escuela. Escribe el número de libros que llegaron.
Di cuál es el mayor número de decenas que se pueden formar con:
a) 20 unidades
b) 60 unidades
c) 10 unidades
42
UNIDAD 1
Descompón el número 400 como suma de múltiplos de 10 y di:
a) ¿Cuántas centenas se representan?
b) ¿A cuántas decenas y unidades equivalen?
Selecciona la respuesta correcta:
Con 54 decenas y 3 unidades más el número que se forma es:
a) ___354
b) ___ 5 403
c) ___543
d) ___ 5 043
Di en cada caso la cantidad de unidades, decenas y centenas
que componen cada uno de los números siguientes:
36; 248 y 5 709
Selecciona la respuesta correcta:
– La mayor cantidad de decenas que se forman con siete
mil quinientos treinta y dos unidades es:
a) ____ 7 532
b) ____ 32
c) ____ 753
d) ____ 53
. Elabora un problema relacionado con el siguiente ejercicio y
resuélvelo: 20 ¢ + 30 ¢
Yaima forma con varillas 8 triángulos separados. Laura
también forma triángulos separados utilizando 30 varillas.
a) ¿Cuántas varillas utiliza Yaima?
b) ¿Cuántos triángulos forma Laura?
En un campamento hay casas de campaña con capacidad
para 4 pioneros cada una. Si 3 casas de campaña se utilizan
para varones y 4 casas para hembras:
a) ¿Cuántos varones pueden dormir en las casas de
campaña?
b) ¿Cuántas hembras pueden dormir en las casas de
campaña?
43
MATEMÁTICA
1.6 Aprendemos a resolver nuevos tipos
de problemas
Hay problemas que tienen una sola pregunta y se resuelven
con dos operaciones de cálculo de forma independiente.
Repasemos:
1. En una biblioteca había 68 libros de cuentos y 39 revistas. Se
prestaron 7 libros y 8 revistas.
¿Cuántos libros de cuentos quedan en la biblioteca?
¿Cuántas revistas quedan en la biblioteca?
Solución:
Se debe calcular primero cuántos libros de cuentos quedan en
la biblioteca:
68 – 7 = 61
Después se debe calcular cuántas revistas quedan en la
biblioteca:
39 – 8 = 31
Por último, se controla y se responde cada pregunta de forma
independiente.
Respondemos: En la biblioteca quedan 61 libros de cuentos.
Quedan en la biblioteca 31 revistas.
44
UNIDAD 1
2. En el parque juegan 24 hembras y 28 varones. Se incorporan
7 hembras y 9 varones. ¿Cuántas hembras y cuántos varones
juegan ahora en el parque?
Solución:
Primero se debe calcular cuántas hembras se incorporan a
jugar en el parque:
24 + 7 = 31
Después se debe calcular cuántos varones se incorporan
a jugar en el parque:
28 + 9 = 37
Por último, se controla y se responde la pregunta con los resultados obtenidos.
Respondemos: Juegan ahora en el parque 31 hembras y
37 varones.
En ambos problemas se realizaron dos pasos de cálculo independientes. En el primero se responden dos preguntas y en el
segundo se responde una pregunta.
Ejercicios
Al círculo de interés de enfermería de una escuela asisten
26 varones y 24 hembras. Al círculo de interés de pedagogía
asisten 8 varones menos y 7 hembras más que al círculo de
interés de enfermería.
45
MATEMÁTICA
a) ¿Cuántos varones y cuántas hembras asisten al círculo de
interés de pedagogía?
Para la clase de Educación Laboral, Luis ha recogido
45 semillas y Ana 25 hojas. Hoy ellos recogieron 6 semillas y
8 hojas más.
¿Cuántas semillas y cuántas hojas tienen ahora?
Carlos y Pedro son choferes. El lunes Carlos recorrió 47 km
y Pedro 25 km. El martes cada uno recorrió 9 km más que
el lunes.
¿Cuántos kilómetros recorrió cada uno el martes?
Se quieren transportar 37 cajas de tomate y 25 cajas de pepino. Ya están en el camión 9 cajas de tomate y 8 cajas de
pepino.
46
UNIDAD 1
¿Cuántas cajas de tomate y cuántas de pepino faltan por
subir al camión?
Busca el patrón y dibuja en tu libreta la figura que sigue:
Continúa las secuencias numéricas según el patron en cada
caso:
a) 4; 8; 12; ___; ____.
c) 90; 80; 70; ___; ___.
b) 7; 14; 21; ___; ___.
d) 2; 4; 6; ___; ____.
Forma secuencias numéricas:
a) Comienza por el 22. Sustrae siempre 3. El último número
debe ser 4.
b) Comienza por el 11. Adiciona siempre 9. El último número debe ser 74.
1.7 Adicionamos y sustraemos
con múltiplos de 100 y de 1 000
Ya sabemos calcular con múltiplos de 10:
40 + 30 = 70, 70 – 30 = 40
¿Sabemos hacerlo con múltiplos de 100?
47
MATEMÁTICA
Veamos el siguiente ejemplo:
En un almacén hay 400 libros de cuentos y 300 libros para
colorear.
¿Cuántos libros en total hay en el almacén?
Libros de cuentos
Libros para colorear
Aprendamos ahora a realizar este tipo de cálculo: 400 + 300
Pensamos: Escribimos:
400 + 300
4+3=7
400 + 300 = 700
48
4 0 0 + 3 0 0 = 7 0 0
UNIDAD 1
Recuerda que...
Cuando se suman o restan múltiplos de 10, de 100 o de
1 000, se calcula el ejercicio básico y el resultado tiene
la misma cantidad de ceros que tiene cada número.
Así, en el cálculo con los múltiplos de 10 el resultado
tiene un cero, en el cálculo con los múltiplos de 100 el
resultado tiene dos ceros, y en el cálculo con los múltiplos de 1 000 el resultado tiene tres ceros.
Aprendamos entonces a comparar múltiplos de 100 y
a fundamentar el resultado. Si comparamos: 700 con 900,
analizamos:
7 ∙ 100 < 9 ∙ 100 De otro modo:
7<9
7 0 0 < 9 0 0
porque 700 + 200 = 900
7 0 0 < 9 0 0
Ejercicios
Calcula:
a)
6 + 2
60 + 20
b)
8 –3
80 – 30
600 + 200
800 – 300
6 000 + 2 000
8 000 – 3 000
Compara:
a) 300 con 800
b) 7 000 con 4 000
c) 1 000 con 8 000
500 con 400
5 000 con 9 000
3 000 con 7 000
49
MATEMÁTICA
Calcula:
a)
5 + 4
b)
9 – 3
c) 5 000 + 5 000
50 + 40
90 – 30
500 –
500
500 + 400
900 – 300
700 –
700
5 000 + 4 000
9 000 – 3 000
Forma grupos como en los incisos a) y b) del ejercicio anterior. Utiliza los ejercicios básicos siguientes:
2 + 7, 4 + 5
6 + 2, 5 – 3
7 – 4, 8 – 4
Halla el valor de la variable:
a) 300 + x = 900
b) x – 300 = 600
c) 1 000 + x = 1 000
800 – x = 100
x – 500 = 500
7 000 – y = 7 000
Con los números de la tabla siguiente calcula: a + b; b + c;
d – c; d – a
a
b
c
d
200
400
100
900
4 000
2 000
3 000
7 000
Compara y fundamenta:
a) 600 con 800
900 con 300
b) 6 000 con 3 000
1 000 con 8 000
c)
400 con
900
5 000 con 2 000
50
UNIDAD 1
Ordena:
•
Comienza por el número mayor:
a) 300; 800; 500; 700; 200
b) 4 000; 8 000; 3 000; 1 000
•
Comienza por el número menor:
c) 400; 700; 800; 200; 500
d) 2 000; 9 000; 5 000; 6 000
Calcula la suma y la diferencia de los números 500 y 400.
En un maratón deportivo participan 3 000 adultos y 1 000
niños.
a) ¿Cuántas personas participan en el maratón deportivo?
b) ¿Cuántos niños menos que adultos participan?
En un vivero se quieren sembrar 600 árboles de pino y 700
árboles de cedro. Ya se han sembrado 200 árboles de pino y
400 árboles de cedro. ¿Cuántos árboles de pino y cuántos de
cedro faltan por sembrar?
51
MATEMÁTICA
1.8 Multiplicamos y dividimos por 10
y por 100
Multiplicación por 10
Repasemos:
1. 7 ∙ 10
2.
1 ∙ 10
5 ∙ 10
10 ∙ 10
0 ∙ 10
100 ∙ 10
9 ∙ 10
1 000 ∙ 10
Recuerda que…
Los múltiplos de 10 y de 100 siempre terminan en cero.
Ahora aprenderemos a multiplicar por 10 otros números.
7 ∙ 10 =
70
23 ∙ 10 =
230
70 ∙ 10 =
700
423 ∙ 10 = 4 230
700 ∙ 10 = 7 000
Comparemos el primer factor con el producto.
¿Qué observas?
52
UNIDAD 1
Al multiplicar un número por 10 se le agrega un cero a
dicho número. De esta forma obtenemos múltiplos de 10.
Dividimos entre 10
Aprendamos ahora a dividir entre 10 los números de tres y
cuatro lugares. Para esto analiza el problema que te presentamos
a continuación:
Los pioneros recogieron de su huerto escolar 470 plantas de
lechuga. Para distribuirlas hicieron mazos de 10 lechugas cada
uno. ¿Cuántos mazos de lechuga hicieron los pioneros?
Calculamos: 470 : 10 = 47 porque 47 ∙ 10 = 470
Respondemos: Los pioneros hicieron 47 mazos de lechuga.
Calculemos ahora con otros ejercicios:
5 640 : 10 = 564; porque 564 ∙ 10 = 5 640
5 600 : 10 = 560; porque 560 ∙ 10 = 5 600
5 000 : 10 = 500; porque 500 ∙ 10 = 5 000
Compara el dividendo con el cociente. ¿Qué observas?
53
MATEMÁTICA
Recuerda que…
Un número es divisible entre 10
cuando su última cifra es cero.
Al dividir un número entre 10 se
elimina el cero del último lugar.
Ejercicios
Calcula:
a) 700 : 10
b) 4 360 : 10
c) 6 080 : 10
510 : 10
4 300 : 10
490 : 10
860 : 10
4 000 : 10
1 300 : 10
Multiplica por 10 los números 8; 80; 800; 84; 845.
Divide entre 10 los números que son divisibles por él.
Circula los que no lo son:
80; 75; 90; 60; 32; 40
Divide entre 10 los números que por él son divisibles.
Circula los que no lo son:
a) 3 400
54
b)
190
c) 1 321
387
8 630
2 000
560
350
280
UNIDAD 1
Escribe cuatro números que sean divisibles entre 10. Divídelos
entre 10.
Multiplicamos por 100
Repasemos:
1.
5 ∙ 100
2.
4 ∙ 100
8 ∙ 100
0 ∙ 100
3.
100 ∙ 9
100 ∙ 1
Ahora aprenderemos a multiplicar por 100 otros números:
5 ∙ 100 =
500
53 ∙ 100 = 5 300
50 ∙ 100 = 5 000
49 ∙ 100 = 4 900
90 ∙ 100 = 9 000
Compara el primer factor con el producto. ¿Qué observas?
Recuerda que…
Al multiplicar un
número por 100, se
le agregan dos ceros a dicho número.
De esta forma obtenemos múltiplos de
100.
Dividimos entre 100
Ya sabemos que 100 : 10 = 10; porque 10 ∙ 10 = 100
Ahora aprenderemos a dividir entre 100 otros números.
55
MATEMÁTICA
Calculemos con los siguientes ejercicios:
700 : 100 = 7; porque 7 ∙ 100 =
700
7 000 : 100 = 70; porque 70 ∙ 100 = 7 000
7 400 : 100 = 74; porque 74 ∙ 100 = 7 400
Compara el dividendo con el cociente. ¿Qué observas?
Recuerda que…
Un número es divisible entre
100 cuando sus dos últimas
cifras son ceros.
Al dividir un número entre 100
se eliminan los dos últimos ceros.
Ejercicios
Calcula:
a) 9 400 : 100
b) 8 000 : 100
c) 500 : 100
Escribe números que sean divisibles entre 100. Divídelos
entre 100.
Si al dividir entre 10 eliminamos un cero y al dividir entre 100
eliminamos dos ceros, ¿cuántos ceros eliminamos al dividir
entre 1 000?
56
UNIDAD 1
Calcula:
a) 7 000 : 1 000
b) 5 000 : 1 000
c) 6 000 : 1 000
Multiplica por 10 los siguientes números: 3; 7; 10; 14; 20;
33; 54.
Calcula el décuplo de 9; 15; 196; 310; 400.
Multiplica por 100 los números siguientes: 6; 38; 50; 7;
70; 100.
Indica cuáles de estos números son divisibles entre 10:
640; 5 640; 47; 5 800; 741; 6 000; 8 153; 3 400
Divide los números siguientes entre 10:
a) 10; 600; 500; 2 740; 210
b) 300; 890; 40; 600; 790
Indica cuáles de estos números son divisibles entre 100:
5 000; 600; 7 500; 930; 2 807; 490; 1 600; 64; 8
Divide cada uno de estos números:
900; 4 500; 800; 9 300; 1 800; 4 400; 6 800
a) entre 10
b) entre 100
Divide cada uno de estos números entre 1 000:
8 000; 9 000; 10 000; 7 000; 3 000
57
MATEMÁTICA
1.9 Conversiones
En ocasiones se nos presentan algunos problemas con datos
en diferentes unidades de magnitud, que para resolverlos es necesario convertir los datos a una misma magnitud.
Veamos la siguiente situación:
Un taxista recorre exactamente 2,6 km de retorno a su casa.
Después que parquea el taxi, camina 461 m hasta llegar a su
casa.
¿Se podrá expresar la distancia total de recorrido en
milímetros?
a) ___ No, porque los milímetros son demasiado pequeños.
b) ___ Sí, pero no tendría mucho sentido.
c) ___ No, porque los milímetros no miden longitud.
¿Qué crees tú? Reflexiona a partir de cada respuesta
y responde a qué unidad sería más conveniente
convertir.
Este esquema te ayudará a recordar las relaciones más importantes entre las unidades de longitud.
58
UNIDAD 1
Multiplica
100
m
km
100
10
10
cm
dm
10
10
10
mm
10
Divide
Analicemos los ejemplos siguientes:
Convertimos metros (m) en decímetros (dm)
8 m = ________ dm
Recordemos que 1 m = 10 dm.
Por tanto, convertimos metros en decímetros multiplicando
por 10.
8 ∙ 10 = 80
Escribimos: 8 m = 8 0 d m
Convertimos metros (m) en milímetros (mm).
4 m = ________mm
Recordemos que 1 m = 1 000 mm.
Por tanto, convertimos metros en milímetros multiplicando
por 1 000.
5 ∙ 1 000 = 5 000
Escribimos: 5 0 0 0 m = 5 k m
59
MATEMÁTICA
Convertimos metros (m) en kilómetros (km)
3 000 m =________km
Recordemos que 1 km = 1 000 m.
Por tanto, convertimos metros en kilómetros dividiendo entre
1 000.
3 000 : 1 000 = 3
Escribimos: 3 0 0 0 m = 3 k m
Expresamos cantidades con dos unidades de medida
1. a) Indica la longitud del segmento en milímetros.
b) Indica la longitud del segmento en centímetros.
Medimos con la regla.
A
B
El segmento AB mide 67 mm.
La longitud del segmento AB en milímetros puede expresarse
con dos unidades de medida diferentes:
Entonces: Pensamos:
67 mm = 60 mm + 7 mm
6 cm + 7 mm
1 cm = 10 mm
60 : 10 = 6
60 mm = 6 cm
Escribimos: 6 7 m m =
60
6
c m 7 m m
UNIDAD 1
2. Escribe con dos unidades de longitud diferentes:
a) 85 mm
b) 342 cm
c) 233 cm
En ocasiones encontramos cantidades con dos unidades de
longitud, las que pueden ser expresadas con una sola unidad
de longitud. Veamos el siguiente ejemplo:
3 m 25 cm = 300 cm + 25 cm
Pensamos:
= 325 cm
1 m = 100 cm
3 ∙ 100 = 300
3 m = 300 cm
Escribimos: 3 m 2 5 c m = 3 2 2 c m
Recuerda que…
Las cantidades pueden expresarse de diferentes
maneras, por ejemplo:
con una unidad
con dos unidades
325 cm
3 m 25 cm
Observa el ejercicio siguiente:
1. Convierte:
a) 8 m 60 cm en centímetros
b) 9 cm 7 mm en milímetros
Las cantidades de dinero también podemos expresarlas en
una unidad o con dos unidades diferentes.
61
MATEMÁTICA
Ejemplo: $ 5 y 20 ¢ = 500 ¢ + 20 ¢
Pensamos: $ 1 = 100 ¢
Entonces: $ 5 y 20 ¢ = 520 ¢
Ejemplo: 135 ¢ = 100 ¢ + 35 ¢
Pensamos: 100 ¢ = $ 1
Entonces: 135 ¢ = $ 1 y 35 ¢
¿Sabes hacer el siguiente ejercicio?
1. Completa:
a) 805 ¢ = $ ____ y ____¢
c) $ 8 y 5 ¢ = ____ ¢
b) $ 42 y 25 ¢ = ____ ¢
d) 320 ¢ = $ ____ y ____ ¢
Las cantidades de dinero pueden escribirse de forma abreviada, por ejemplo:
Cantidad
$
¢
Forma abreviada
$ 2 y 75 ¢
2
75
$ 2,75
$ 7 y 60 ¢
7
60
$ 7,60
$2y 8¢
2
08
$ 2,08
39 ¢
39
$ 0,39
5¢
5
$ 0,05
Se lee: 2 pesos y 75 centavos
62
UNIDAD 1
Observa otros deliciosos ejemplos:
Heladería
Ensalada $ 12,50
Jimagua $ 5,00
Tres gracias $ 7,50
Bola de helado $ 2,50
Ejercicios
Convierte en la unidad que se indica. Puedes utilizar el
esquema de conversión.
a)
c)
5 m = ____ cm
b)
3 km = ____ m
5 m = ____ mm
300 cm = ____ m
6 000 m = ____ km
8 000 m = ____ m
2 m = ____ dm
40 m = ____ dm
60 m = ____ cm
Expresa 500 cm; 900 cm; 300 cm en otra unidad de longitud.
Mide la longitud de los segmentos DE, DF, EF en centímetros. Exprésala después en milímetros:
63
MATEMÁTICA
Traza segmentos con las longitudes siguientes:
a) AB = 5 cm 3 mm
c) DF = 87 mm
b) CB = 3 cm 6 mm
d) GM = 25 mm
Escribe con dos unidades diferentes:
a) 536 cm
b) 385 ¢
720 cm
110 ¢
205 cm
101 ¢
261 cm
500 ¢
Convierte en la unidad menor:
a) $ 3 y 25 ¢
b) $ 8 y 7 ¢
c) 5 m 15 cm
d) 7 m 5 cm
$ 4 y 58 ¢
$ 2 y 22 ¢
9 m 70 cm
6 m 6 cm
Calcula:
a) 300 cm + 100 cm b) 6 m + 56 cm
500 cm +
4 cm
6 m + 7 cm
Estima:
a) el largo y el ancho de tu aula
b) la altura de un armario de tu casa
c) el largo de la pizarra
d) la altura de la mesa
– Comprueba todos los resultados estimados.
Lee las siguientes cantidades:
$ 2,30
64
$ 1,40
$ 0,50
$ 0,10
$ 0,05
UNIDAD 1
Observa las siguientes cantidades de dinero:
$ 2 y 35 ¢
$ 7 y 50 ¢
$ 5 y 4 ¢
$ 9 y 63 ¢
a) ¿Qué monedas puedes escoger para cada cantidad de
dinero?
b) Realiza varias combinaciones. Escríbelas usando la coma.
Lee cada cantidad.
Convierte:
a) 4 m 25 cm en cm
b) 8 m 3 dm en dm
c) 8 cm 9 mm en mm
Convierte en metros:
a) 4 km 423 m
b) 3 km 57 m
c) 7 km 10 m
4 km 620 m
2 km 809 m
6 km 1 m
Convierte a la unidad menor:
a) $ 3 y 40 ¢
b) 4 m
3 cm
c) 7 m
3 cm
$ 2 y 28 ¢
4 km 620 m
3 km 4 m
$4y 5¢
4 km 37 m
6 cm 10 mm
Convierte a la unidad menor y calcula:
a) 4 km + 320 m
b) 2 km + 45 m
c) 3 m + 5 cm
9 km + 412 m
8 m + 32 cm
7 km + 8 m
Calcula:
a) 3 + 7
b) 7 + 6
c) 8 ∙ 7
d) 21 : 7
e) 8 ∙ 9
6+9
57 + 6
6∙9
54 : 9
9∙7
15 – 7
11 – 6
7∙6
56 : 8
35 : 7
16 – 9
91 – 6
8∙8
63 : 7
64 : 8
65
MATEMÁTICA
Calcula:
Escribe los números formados por:
a) seis unidades de millar, cuatro centenas, dos decenas y
nueve unidades;
b) ocho unidades de millar y cuatro centenas;
c) siete unidades de millar y cinco centenas.
Ordena los productos. Comienza por el menor:
a) 8 ∙ 7;
5 ∙ 9;
0 ∙ 4;
9 ∙ 7;
6∙7
b) 9 ∙ 1;
1 ∙ 0;
10 ∙ 10;
9 ∙ 9;
4∙9
Calcula:
a) 24 + 3
b) 46 + 8
c) 86 – 3
d) 72 – 8
65 + 2
53 + 7
98 – 5
61 – 6
Continúa en tu libreta, las secuencias numéricas según los
patrones:
a) 400; 410; 420; ____; ____.
b) 200; 204; 208; ____; ____.
c) 6 000; 5 000; 4 000; ____; ____.
d) 4 520; 4 522; 4 524; ____; ____.
66
UNIDAD 1
Dibuja en tu libreta las tres figuras que siguen para continuar el patrón:
a)
b)
Escribe en tu libreta los tres números que siguen para continuar la secuencia numérica:
a) 4; 6; 2; 8; 4; 6; 2; 8; 4; ____; ____; ____.
b) 3; 3; 5; 3; 3; 5; 3; 3; 5; ____; ____; ____.
Observa la secuencia geométrica siguiente:
a) ¿Qué figura geométrica estará en el lugar 16?
En la siguiente secuencia, ¿qué flecha ocupa el lugar 9?
67
MATEMÁTICA
1.10 Tablas, pictogramas y gráficos
de barra
Elaboración de tablas y análisis de los datos
Las tablas nos ayudan a organizar todo tipo de información y
a ver los resultados de una manera más clara. Vamos a analizar
el siguiente caso:
La maestra pidió a sus alumnos que investigaran para ver de
ellos quiénes habían nacido entre los meses de enero y junio con
el objetivo de organizar cumpleaños colectivos.
Para ello se hizo una lista con el nombre de los estudiantes y
el mes en que nació cada uno, quedando de este modo:
Amalia: junio
Juan Carlos: junio
Luisa: mayo
Gisela: marzo
Pedro: febrero
Camilo: enero
Angélica: junio
Amanda: junio
Marisol: mayo
Marian: marzo
José Luis:
Yania:
Julio César:
Ariel:
Alicia:
Rafael:
Manuel:
Felipe:
Olga:
Damián:
enero
enero
febrero
junio
junio
marzo
abril
mayo
marzo
mayo
Para saber cuántos niños cumplen años cada mes se cuenta
siguiendo el orden de los meses según el calendario.
Meses
Cantidad de niños
Enero ///
Febrero
//
Marzo ////
Abril /
Mayo ////
Junio //////
68
UNIDAD 1
Después se organizan los datos en una tabla como esta:
Meses
Cantidad de niños
que cumplen años
Enero
3
Febrero
2
Marzo
4
Abril
1
Mayo
4
Junio
6
Si analizas la tabla puedes saber, por ejemplo, que hay 3 niños
que cumplen años en enero.
a) ¿Cuántos niños cumplen años en febrero?
b) ¿En qué meses se necesitarán 4 regalos para los niños que
cumplen años?
Pictogramas
Utilizar dibujos hace que se comprenda mejor la relación entre
los datos. Por eso los pictogramas son otros tipos de tablas y gráficos que se utiliza para visualizar la información de una forma
muy atractiva mediante símbolos o dibujos que representan los
datos. Cada símbolo o dibujo representa la misma cantidad. La
mitad del símbolo o dibujo equivale a una parte de esa cantidad.
Por eso las tablas y gráficos con pictogramas nos ayudan a interpretar los datos con mayor facilidad.
Recuerda que…
Un pictograma es un símbolo o dibujo que representa
un objeto real o información.
69
MATEMÁTICA
Vamos a representar los datos de la tabla anterior en un
pictograma:
Cantidad
de niños que cumplen años
Meses
Enero
Febrero
Marzo
Abril
Mayo
Junio
Cada
representa un niño.
Ejercicios
Elabora una tabla en tu libreta con otros datos, en la que
cada figura, que elijas, representa 3 niños. Explica cómo obtuviste los datos.
Al preguntar a un grupo de niños de 3.er grado sobre qué
les gustaba realizar en su tiempo libre, se obtuvieron los
siguientes resultados: a 5 alumnos les gustaba jugar en el
parque, a 12 leer, a 4 de ellos jugar a los médicos y enfermeras y a 9 practicar deportes.
a) Según la información anterior, organiza los datos en una
tabla y construye un pictograma.
70
UNIDAD 1
Diego le pregunta a sus amigos sobre sus animales preferidos y representa los resultados en la tabla siguiente:
Analiza la informaión recogida por Diego y contesta sobre
sus animales preferidos:
a) ¿A cuántos niños les preguntó?
b) ¿Cuántos prefieren el perro?
c) ¿Cuántos prefieren el gato?
d) ¿Cuántos prefieren la paloma?
e) ¿Cuántos prefieren el caballo?
f) ¿Cuántos prefieren el pollito?
Observa la tabla de datos de la izquierda y completa en tu
libreta la tabla de la derecha usando pictograma. Luego
responde:
Alumnos
Alumnos
César
Cuentos
leídos
15
César
Rosa
25
Rosa
Andrea
10
Andrea
Carlos
20
Carlos
Cuentos
leídos
= 5 cuentos leídos
a) ¿Cuántos cuentos más leyeron las niñas que los niños?
b) ¿Cómo representarías 60 cuentos leídos?
71
MATEMÁTICA
5.
Analiza los datos del pictograma que muestra los medios de
transporte más utilizados por un grupo de personas. Luego
responde:
Medio de transporte utilizado
Bicicleta
Ómnibus
Motocicleta
Taxi
= 20 personas
a) ¿Cuál es el medio de transporte más utilizado?
b) ¿Cuál es el menos utilizado?
c) ¿Cuántas personas fueron encuestadas?
Representamos datos en gráficos de barras. Interpretamos datos
Utilizar gráficos también nos ayuda a interpretar los datos
con mayor facilidad.
¿Cómo se puede representar en un gráfico de barra los datos
de la tabla referida a la cantidad de niños que cumplen años?
72
Meses
Cantidad
de niños que cumplen años
Enero
Febrero
Marzo
Abril
Mayo
Junio
3
2
4
1
4
6
UNIDAD 1
En el eje horizontal se han representado los meses en que
cumplen años los niños y en el eje vertical la cantidad de niños
que cumplen años cada mes.
Para representar las cantidades, se dibujan las barras rectangulares, contando tantos cuadraditos como la cantidad de
niños que cumplen años cada mes, desde el mes de enero hasta junio.
Cumpleaños de los niños
de tercer grado
Cantidad de niños
que cumplen años
7
6
5
4
3
2
1
E
F
A
M
Meses
M
J
Estos gráficos se llaman gráficos de barras y puedes auxiliarte
del papel cuadriculado para representar mejor las barras.
Para leer los datos del gráfico se hace coincidir cada columna con la línea horizontal (que puede ser imaginaria o estar
representada) que pasa por los números señalados en el eje
vertical.
De la lectura de este gráfico se sabe que:
a) En febrero 2 niños cumplieron años.
73
MATEMÁTICA
b) Junio es el mes en que más niños cumplen años. Di qué otra
información se obtiene del gráfico.
Analiza el siguiente ejercicio:
A 105 niños de una escuela primaria se les preguntó sobre los
programas de televisión que prefieren. En la tabla se presentan
los resultados.
Cantidad de niños
que prefieren cada programa
Tipo de programas
Deportivos
Infantiles
25
15
Películas
30
Musicales
35
Preferencias por programas
Cantidad de niños
35
30
25
20
15
10
5
0
D
I
M
P
Tipos de programas
En este gráfico no se ha contado cada cuadradito para señalar la cantidad, sino que se han utilizado las cuadrículas para
74
UNIDAD 1
determinar el eje vertical. ¿Cuántos niños representan cada número del eje vertical?
Del análisis del gráfico anterior responde:
a) ¿Cuáles son los programas que más gustan?
b) ¿Cuáles son los menos preferidos?
c) ¿Cuántos niños fueron encuestados? Explica cómo lo calculaste.
d) ¿Qué otras preguntas se pueden hacer con los datos del
gráfico?
Ejercicios
El siguiente gráfico muestra la asistencia de los alumnos de
3.er grado de una escuela al círculo de interés Cuidemos la
naturaleza.
Cantidad de alumnos
Asistencia al círculo
de interés
30
25
20
15
10
5
0
Lunes
Martes
Miércoles Jueves
Días de la semana
75
MATEMÁTICA
Responde según el gráfico:
a) ¿Cuál fue el día de mayor asistencia?
b) ¿Cuál es la diferencia entre el día de más y el de menos
asistencia?
c) La asistencia del jueves fue mayor que el miércoles y
menor que el martes.
¿Qué cantidad de alumnos pueden haber asistido?
La venta de libros de una librería en los primeros meses del
año se muestra en el siguiente gráfico:
Libros vendidos
en una librería
Cantidad de libros
600
500
400
300
200
100
0
Enero
Febrero
Marzo
Abril
Meses
Observa el gráfico anterior y responde:
a) ¿Cuántos libros fueron vendidos en los cuatro meses?
b) ¿Es cierto que en abril se vendió el triplo de los libros que en
febrero?
c) ¿Cuál es la diferencia entre las ventas de enero y las de
febrero?
76
UNIDAD 1
1.11 Ordenamos y comparamos
los números naturales hasta 10 000
Ordenamos los números de tres y cuatro lugares
Recuerda que…
Los números del 0 al 100 pueden ordenarse.
Cada número natural, excepto el cero, tiene un antecesor y solo uno.
Cada número natural tiene un sucesor y solo uno.
Están ordenados 0; 1; 2; 3;…; 10; 11; 12; 13;…; 50; 51;
52; 53;…; 96; 97; 98; 99;…
Aprenderemos ahora que los números de tres y cuatro lugares
también pueden ordenarse.
Podemos utilizar el rayo numérico para buscar el antecesor y
el sucesor de un número.
Ejemplo: Dado el número 104
a–1
103
a
104
a+1
105
El sucesor de 104 es 105 porque 104 + 1 = 105
El antecesor de 104 es 103 porque 104 – 1 = 103
Hallemos ahora los números que están entre dos números dados, por ejemplo:
101 < x < 106
x = 102; 103; 104; 105
77
MATEMÁTICA
Estos son los números que están entre 101 y 106, pero podemos también indicar entre qué múltiplos consecutivos de 100
están los números dados, por ejemplo:
Dado el número 243, indica entre qué múltiplos consecutivos
de 100 se encuentra.
200 < 243 < 300
200 es el múltiplo de 100 anterior a 243 y 300 es el múltiplo
de 100 posterior a 243.
Ahora vamos a trabajar con números de cuatro lugares como
1 000; 1 001; 1 002;…
Ejercicios
Dado el siguiente rayo numérico:
a) Menciona el antecesor y el sucesor de los números indicados. Fundamenta tu respuesta.
¿Qué números están entre 6 999 y 7 002?
¿Entre qué múltiplos consecutivos de 1 000 está el número
3 999?
Cuenta:
a) del 1 793 al 1 808
b)
del 1 999 al 2 010
Indica el antecesor de:
a) 100; 200; 740; 301
78
b) 6 666; 1 000; 2 340; 4 200
UNIDAD 1
Indica el sucesor de:
a) 169; 300; 499; 509
b) 3 009; 6 000; 1 999
Determina qué números están entre:
a) 316 y 321
b) 4 009 y 1 012
c) 590 y 586
d) 6 030 y 6 025
Indica todos los números x para los cuales se cumple:
a) 597 < x < 601
b) 3 485 < x < 3 491
367 < x < 371
6 999 < x < 7 004
Determina entre qué múltiplos de 100 están los siguientes
números:
Determina entre qué múltiplos de 1 000 están los siguientes
números:
79
MATEMÁTICA
Comparamos los números de tres y cuatro lugares
Recuerda que…
Los números hasta 100 pueden compararse.
Un número de un lugar es siempre menor que uno de
dos lugares.
1. Compara los números. Explica cómo pensaste al comparar:
42 y 53
73 y 37
42 y 48
99 y 96
34 y 9
Aprendamos ahora a comparar números más grandes, es
decir, con más cifras. Para eso vamos a comparar números con
diferente cantidad de lugares, por ejemplo, 24 y 342.
Recuerda que…
Un número de dos lugares siempre es menor que uno
de tres lugares.
Por tanto, quedaría de este modo: 24 < 342.
Ahora aprenderemos a comparar números con igual cantidad
de lugares. Veamos el caso de 602 y 405. Lo primero es comparar
el lugar de las centenas de ambos números:
602 _____ 405
Pensamos:
Lugar de las centenas: cifras desiguales
Entonces 602 es mayor que 405.
Comparamos y escribimos: 6 0 2 > 4 0 5
80
6>4
UNIDAD 1
Comparemos ahora 324 con 342. En este caso el lugar de las
centenas tiene cifras iguales (3 centenas), por tanto, pasamos a
comparar el lugar de las decenas.
324 _____ 342
Pensamos:
Lugar de las centenas: cifras iguales
Lugar de las decenas: cifras desiguales
2<4
Entonces 324 es menor que 342.
Comparamos y escribimos: 3 2 4 < 3 4 2
Recuerda que…
Si dos números tienen la misma cantidad de lugares,
las primeras cifras desiguales que se presenten en la
misma posición decimal (centenas, decenas, unidades) permiten reconocer cuál es el menor y cuál es el
mayor.
Aprendamos ahora cómo comparar números de cuatro lugares. Para esto vamos a analizar el siguiente ejemplo:
Compara y explica cómo pensaste al hacerlo.
a) 8 764 y 654
b) 8 985 y 8 981
Aprendemos a ordenar números grandes.
81
MATEMÁTICA
Ahora vamos a aprender a ordenar números de tres y cuatro
lugares. Para hacerlo, primeramente, tenemos que compararlos
entre sí.
Ordenemos los números 452; 84; 876; 524; 586.
Primero comenzamos por el número menor: 84; 452; 524;
586; 876.
Ahora comenzamos por el número mayor: 876; 586; 524;
452; 84.
¿Cómo lo hicimos? Pues muy fácil: ¡comparando!
Lo primero que tenemos que hacer es ver cuántos lugares
tiene cada número.
452; 84; 876; 524; 586
3
2
3
3
3
Como ves, el único con dos lugares es el 84, por lo tanto, este
es el número menor. Después analizamos la cifra del lugar de las
centenas del resto de los números:
452; 876; 524; 586
4<5<8
Entonces 452 es el segundo menor número.
Ahora tenemos dos números iguales en el lugar de las centenas: 524 y 586, por lo tanto, comparamos las cifras del lugar de
las decenas.
524; 586
2<8
82
UNIDAD 1
Entonces 524 < 586.
Solo queda 876 que sería el número mayor.
Ejercicios
Compara. Explica cómo pensaste al hacerlo.
a) 375 con 537
b) 541 con 451
c) 8 993 con 933
d) 6 537 con 6 532
e) 1 132 con 1 123
f) 3 406 con 3 460
Carmen salta 2 m 75 cm. Isabel salta 270 cm. ¿Cuál de las dos
salta más?
Busca un número de tres lugares que termine en 1 y sea
mayor que 901.
Mide con una regla el largo de los lápices. Ordena los resultados de la medición.
83
MATEMÁTICA
Ordena. Comienza por el número menor:
a) 300; 500; 200; 800; 900
b) 857; 357; 78; 87; 785
c) 4 000; 1 000; 6 000; 8 000; 7 000
d) 5 070; 5 701; 5 007; 5 107; 7 507
Ordena. Comienza por el número mayor:
a) 939; 968; 901; 911
b) 9 348; 9 804; 8 400; 800
c) 780; 876; 768; 867
d) 3 028; 3 002; 3 282; 2 003
Raúl y Carlos empinan papalotes. Carlos afirma: “Mi cordel es más largo que el cordel de Raúl”. El cordel de Raúl
mide 50 m y el de Carlos 3 000 cm. ¿Tiene razón Carlos?
¿Por qué?
84
UNIDAD 1
Ordena las siguientes cantidades. Explica cómo pensaste.
a) 5 km; 3 000 m; 2 km; 4 000 m
b) 20 dm; 2 m; 200 cm; 2 000 mm
Observa los números siguientes: 332; 502; 348; 82; 772; 438;
912; 843
a) Ordena los números de tres lugares. Comienza por el
menor.
b) Escribe aparte los números de tres lugares que terminen
en 2. Ordénalos. Comienza por el menor.
c) ¿Con qué número no trabajaste? ¿Por qué?
En un aula hay 32 pioneros. La octava parte de ellos resultó
ganadora en el concurso de Matemática.
¿Cuántos pioneros resultaron ganadores?
Enrique y Yoel coleccionan sellos de correo. Al agruparlos
Enrique formó 4 decenas y Yoel 7 decenas.
¿Cuántos sellos tiene Enrique y cuántos Yoel?
Anay tiene 39 sellos. Su hermana le regaló 8 sellos más y
5 postales.
¿Cuántos sellos tiene Anay ahora?
1.12 Redondeo
Repasemos:
1. Determina en cada caso el múltiplo de 100 anterior y posterior para 201; 605; 719; 340; 891.
85
MATEMÁTICA
2. ¿Entre qué múltiplos consecutivos de 1 000 se encuentran los
números 3 817; 4 607; 7 040; 8 200?
En una escuela estudian 496 pioneros. En el transcurso del
año escolar ingresan algunos y otros se trasladan. Con frecuencia
se indica solamente el número aproximado de educandos que
están matriculados en la escuela y expresamos: hay alrededor de
500 pioneros.
En este caso se redondea: 496 500
En otra escuela hay 327 pioneros. Para expresar aproximadamente el número de escolares, se puede redondear 327 ≈ 300.
Recuerda que…
Se redondea al múltiplo de 100 más próximo al número dado:
496 ≈ 500
327 ≈ 300
Se lee:
496 es aproximadamente 500
327 es aproximadamente 300
Para redondear números de tres lugares a múltiplos de 100:
1. Buscamos entre qué múltiplos consecutivos de 100 está el
número dado.
2. Determinamos cuál de esos múltiplos está más próximo al número dado.
3. Redondeamos.
86
UNIDAD 1
Ejemplo:
Redondea a múltiplos de 100 los números 485 y 425.
Primero determinamos entre qué múltiplos consecutivos de
100 están los números. Después definimos el múltiplo más próximo
y redondeamos. Podemos apoyarnos en un rayo numérico.
400 < 485 < 500
400 < 425 < 500
485 ≈ 500
425 ≈ 400
De igual forma podemos redondear a múltiplos de 1 000.
Ejemplo:
7 000 < 7 351 < 8 000
7 000 < 7 842 < 8 000
7 351 ≈ 7 000
7 842 ≈ 8 000
1.13 Ejercitación variada
Ejercicios
Redondea a múltiplos de 100 los números 342; 876; 535; 760.
Redondea a múltiplos de 1 000 los números:
8 764; 5 204; 1 290; 2 752.
Lee estos números:
627; 420; 4 321; 570; 350; 3 784; 591; 5 500; 970
87
MATEMÁTICA
a) Escribe el múltiplo de 100 más próximo a cada uno de los
números de tres lugares.
b) Escribe el múltiplo de 1 000 más próximo a cada uno de
los números de cuatro lugares.
Redondea a múltiplos de 100:
a) 432; 876; 535; 504; 703; 251; 950; 941
b) 760; 850; 301; 550; 980; 409; 590; 491
Redondea a múltiplos de 1 000:
a) 8 763; 5 204; 1 290; 7 648
b) 7 001; 4 500; 2 409; 3 799
c) 9 425; 6 700; 8 504; 3 609
d) 3 501; 8 154; 5 500; 5 499
Comprueba si se ha redondeado correctamente:
a) 845 ≈ 800
b) 3 120 ≈ 3 000
298 ≈ 300
4 953 ≈ 4 000
449 ≈ 400
5 600 ≈ 6 000
782 ≈ 700
7 810 ≈ 8 000
Calcula:
a) 5 ∙ 7
7∙3
8∙7
9∙8
9∙4
8∙6
6∙9
8∙9
4∙0
88
b) 1 ∙ 1
2∙2
3∙3
4∙4
5∙5
6∙6
7∙7
8∙8
9∙9
UNIDAD 1
Calcula:
32 – 2
0 – 58
54 – 0
0∙1
48 + 0
0 + 26
1–0
0:1
Calcula:
Convierte a la unidad inmediata inferior:
a) 1 cm; 5 cm; 6 dm; 1 m
b) 1 h; 4 semanas; 1 año
Menciona el antecesor de: 200; 309; 1 400; 2 603; 3 000; 8 090.
Menciona el sucesor de: 4 590; 289; 399; 1 495; 2 899.
Cuenta del 2 795 al 2 803.
Continúa las secuencias numéricas según los patrones:
a) 900; 800; 700; __________; __________.
b) 7 200; 7 300; 7 400; __________; __________.
c) 200; 500; 800; __________; __________.
d) 9 000; 7 000; 5 000; __________; __________.
Observa la siguiente secuencia de figuras:
Di cuáles hay que colocar a continuación para seguir el mismo patrón.
89
MATEMÁTICA
Observa la siguiente secuencia. Analiza el patrón que la
forma:
a) Dibuja en tu libreta la figura que le corresponde al
lugar 6.
Observa la siguiente tabla sobre las preferencias de golosinas de un grupo de niños.
Golosinas
Cantidad de niños
Galleticas
45
Caramelos
40
Chambelonas
15
Sorbetos
35
a) Representa los datos de la tabla con pictogramas si cada
representa 5 niños.
b) Reproduce en tu libreta el gráfico que aparece a continuación y completa los datos que faltan con los de la
tabla.
90
UNIDAD 1
Cantidad de niños
Preferencia por las golosinas
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
Galletas
Caramelos
Chupa chupas
Sorbetos
Golosinas
c) Di cuál de estas afirmaciones es verdadera y cuál falsa:
___Las golosinas que más niños prefieren son los sorbetos.
___Las galleticas son las que menos prefieren.
___Hay más niños que prefieren las chambelonas que los
caramelos.
___Hay más niños que prefieren galleticas que caramelos.
Cantidad de golosinas
18. Usa la información que se te brinda para construir un gráfico
de barras. Hazlo en tu libreta.
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
8 caramelos
3 helados
6 galletas
6 chambelonas
Caramelos
Helados
Galletas
Chambelonas
Golosinas
91
MATEMÁTICA
Responde las siguientes preguntas según los datos del
gráfico:
a) ¿Cuántas golosinas hay en total?
b) ¿De qué golosinas hay la misma cantidad?
c) ¿Es cierto que hay más chambelonas que helados?
19. El papá de Pedro va al mercado. La siguiente tabla muestra
la cantidad de billetes que tiene en su billetera. Cada rayita
representa 1 billete.
Tipos
de billetes
Total
de billetes
Conteo
1 peso
//// ////
///
5 pesos
//// ////
////
10 pesos
//// ////
////
Cantidad
de dinero
/
a) Completa la tabla.
b) ¿Qué tipo de billete es el que más tiene el papá de Pedro?
c) Explica cómo calculaste la cantidad de dinero en cada caso.
d) ¿Cuánto dinero hay entre los billetes de 5 pesos y los de
10 pesos?
e) Construye un gráfico con los datos de la tabla. Auxíliate
del papel cuadriculado.
Un ómnibus sale con 35 estudiantes que van de excursión.
A mitad de camino se bajan 10 de los estudiantes y suben
20 estudiantes. ¿Cuántos estudiantes quedan en el ómnibus?
a) ___ 25
b) ___ 45
c) ___ 65
d) ___ 30
Un niño compra un caramelo que cuesta un peso. Su mamá
paga con monedas de 20 centavos. ¿Cuántas monedas debe
entregar?
a) ___ 2
92
b) ___ 4
c) ___ 3
d) ___ 5
UNIDAD 1
Dos jóvenes compran postales. Alejandro compra 7 postales
de 20 ¢ cada una y Sonia compra 4 postales de 50 ¢ cada una.
¿Cuál de los dos tiene que pagar más?
Ordena. Comienza por el número menor:
a) 2 500; 2 100; 2 600; 2 300; 2 200
______; ______;
______;
______;
______
______;
______
______;
______
b) 5 300; 6 300; 2 300; 4 300; 3 300
______; ______;
______;
c) 3 608; 998; 3 690; 9 098; 5 112
______; ______;
______;
El papá de Máximo se ha propuesto ahorrar la misma cantidad de pesos mensuales desde enero hasta junio para
hacerle un regalo el fin de curso. Él va anotando cada mes lo
que ya ha ahorrado.
enero $ 50,00
abril __________
febrero $ 100,00
mayo __________
marzo $ 150,00
junio __________
a) ¿Cuánto tenía ahorrado en abril, mayo y junio?
93
UNIDAD 2
Adicionamos y sustraemos hasta 10 000
¿Qué voy a aprender?
La suma y resta hasta el número 10 000, incluido el cálculo
oral y el procedimiento escrito. Nuevos tipos de problemas para
resolver; además de las nuevas unidades de masa, y cómo convertir empleando estas unidades de medida.
¿Para qué me servirá?
La adición y la sustracción son habilidades que te ayudarán a
dar solución a ejercicios y problemas, y a pensar de manera lógica. Cuando sumamos, estamos aprendiendo a juntar cosas, como
contar juguetes que tenemos. Por otro lado, la sustracción nos
enseña a quitar cosas, como cuando repartimos dulces entre amigos. Al practicar la adición y la sustracción fortaleces tu memoria
y la capacidad para aprender en la escuela y en la vida diaria.
95
MATEMÁTICA
¡Cada vez que sumas o restas, estás ayudando a tu
cerebro a crecer!
2.1 Adicionamos y sustraemos: 34 + 20;
54 – 20;… Cálculo oral
Ya sabes resolver estos ejercicios:
a) 30 + 20
20 + 50
50 + 40
40 + 60
b) 70 – 20
80 – 50
40 – 30
60 – 40
Aprenderemos ahora ejercicios en los que uno de los sumandos es un múltiplo de 10, por ejemplo 34 + 20.
Calculamos mentalmente:
Adicionamos los múltiplos de 10.
30 + 20 = 50
Adicionamos después el
número de un lugar
50 + 4 = 54
Escribimos: 3 4 + 2 0 = 5 4
96
UNIDAD 2
También podemos calcular del modo siguiente:
Reconocemos el ejercicio con múltiplos de 10 y lo calculamos
mentalmente:
30 + 20 = 50
Transferimos el resultado al ejercicio dado:
34 + 20 = 54
Aprendamos ahora ejercicios
como: 54 – 20
Calculamos con los múltiplos
de 10.
50 – 20 = 30
Adicionamos el número
de un lugar.
30 + 4 = 34
Escribimos: 5 4 – 2 0 = 3 4
También podemos calcular así:
Reconocemos el ejercicio con múltiplos de 10 y lo calculamos
mentalmente:
50 – 20 = 30
Transferimos el resultado al ejercicio dado:
5 4 – 2 0 = 3 4
Ejercicios
Calcula:
a) 40 + 30
b) 60 + 20
c) 50 + 40
d) 30 + 30
42 + 30
64 + 20
53 + 40
33 + 30
97
MATEMÁTICA
Calcula:
a) 70 – 40
b) 90 – 30
c) 80 – 60
d) 50 – 10
75 – 40
93 – 30
84 – 60
56 – 10
Calcula la suma pensando primero el ejercicio con múltiplos
de 10 en el que te debes apoyar:
a) 42 + 20
b) 25 + 70
68 + 30
14 + 50
46 + 40
23 + 40
Calcula la diferencia, piensa primero el ejercicio con múltiplos de 10 en el que te debes apoyar:
a) 68 – 30
b) 76 – 30
82 – 20
87 – 60
94 – 50
45 – 20
51 – 40
79 – 50
Calcula:
20 + 73
40 + 44
10 + 89
30 + 25
50 + 45
10 + 82
40 + 11
Un sumando es 79 y el otro 20. Calcula la suma.
El minuendo es 75, el sustraendo es 20. Calcula la diferencia.
98
UNIDAD 2
Calcula:
a)
a
64
87
34
52
b
30
10
40
20
b)
a+b
c
93
78
25
66
d
60
40
30
10
c–d
Lee. ¿Cuántos centavos son?
a) $ 1,25
$ 3,04
$ 7,20
b) $ 0,85
$ 0,09
$ 6,08
Convierte en metros y decímetros:
a) 264 cm
358 cm
110 cm
b) 746 cm
305 cm
870 cm
Calcula y convierte después el resultado en centímetros y en
milímetros:
a) 84 mm + 10 mm
63 mm + 20 mm
b) 25 mm + 40 mm
18 mm + 60 mm
El papá de Cristian tiene dos listones de madera: uno mide
95 cm y otro mide 87 cm de largo. Cada listón debe medir
70 cm de largo ¿Cuántos centímetros tiene que cortarle a
cada listón?
99
MATEMÁTICA
Soluciona las igualdades siguientes:
a) 30 + a = 65
80 + x = 99
b) y – 30 = 47
x – 20 = 54
c) 42 – y = 42
95 + a = 95
Adiciona 40 a cada uno de estos números: 23; 41; 27; 16
a) Sustrae 20 de cada suma obtenida.
¿A qué número hay que adicionar 30 para obtener 35; 33;
56; 47?
¿De qué número hay que sustraer 40 para obtener 23; 19;
56; 48?
Describe la siguiente igualdad de forma tal que elabores un
ejercicio con texto:
40 + x = 65
Elabora una pregunta para los problemas siguientes. Luego
resuélvelos:
a) A una microbrigada fueron a trabajar el sábado 40 mujeres y el domingo 55.
b) Un albañil coloca primero 400 ladrillos y luego 200 ladrillos.
c) De los 40 miembros que tiene una brigada de constructores, la décima parte son mujeres.
d) Participaron en el trabajo voluntario, el jueves, 25 mujeres y 30 hombres.
100
UNIDAD 2
Problemas
1. Compara los dos problemas. ¿Cuál se resuelve más fácil?
a) ¿Cuántos pioneros participan en el trabajo
voluntario del CDR, si
31 recogen latas de
refresco vacías y 20 recogen botellas?
b) En el trabajo voluntario
del CDR, 31 pioneros
recogen latas de refresco vacías y 20 recogen
botellas. ¿Cuántos pioneros participan?
2. Redacta de nuevo los problemas siguientes de forma tal que
en la pregunta no haya datos numéricos. Resuélvelos.
a) ¿Cuántos pioneros llegaron al campamento si en el primer
ómnibus llegaron 25 y en el segundo 30?
b) ¿Cuántos metros de tela quedan en un taller si había 53 m
y se utilzaron 30 m en la confección de pañuelos?
c) La matrícula de un destacamento es de 36 pioneros.
¿Cuántos pioneros están presentes si tres de ellos están
enfermos?
d) ¿Cuántos pioneros participaron en los concursos de
conocimiento si se presentaron 48 a Matemática y 40 a
Lectura?
2.2 Adicionamos y sustraemos ejercicios
como: 34 + 21; 55 – 21; ... Cálculo oral
Aprendamos ahora ejercicios en los que los sumandos son números de dos lugares y no son múltiplos de 10, por ejemplo:
3 4 + 2 1
Pensamos:
3 4 + 2 1 = 3 4 + 2 0 + 1
101
MATEMÁTICA
Calculamos mentalmente:
3 4 + 2 0 = 5 4
Adicionamos al primer sumando
el múltiplo de 10.
5 4 + 1 = 5 5
Adicionamos después el número
de un lugar.
Escribimos:
3 4 + 2 1 = 5 5
También aprenderemos qué sucede cuando sustraemos.
Veamos la siguiente operación: 5 5 – 2 1
Pensamos:
5 5 – 2 1 = 5 5 – 2 0 – 1
Calculamos mentalmente:
5 5 – 2 0 = 3 5
Sustraemos primero el
múltiplo de 10.
3 5 – 1 = 3 4
Sustraemos después el número de un lugar.
Escribimos:
5 5 – 2 1 = 3 4
De este modo podemos solucionar también igualdades.
Veamos las que se muestran a continuación:
3 4 + 2 1
102
UNIDAD 2
x – 24 = 32
67 – x = 25
Calculamos el minuendo.
Calculamos el sustraendo.
El valor de x tiene que ser mayor El valor de x tiene que ser menor
que el sustraendo y la diferencia. que el minuendo.
67 – x = 25
x – 24 = 32
Para realizar el cálculo, a la diferen- Para realizar el cálculo, al minuencia le adicionamos el sustraendo. do le sustraemos la diferencia.
67 – 25 = 42
32 + 24 = 56
De este modo obtenemos el mi- De este modo obtenemos el sustraendo.
nuendo.
x = 42
x = 56
Comprobamos: 56 – 24 = 32
Comprobamos: 67 – 42 = 25
Ejercicios
Calcula. Explica cómo lo hiciste:
a) 32 – 21
b) 63 – 32
c) 84 – 43
d) 48 – 27
75 – 23
95 – 31
57 – 45
93 – 41
48 – 24
87 – 34
96 – 41
86 – 63
Indica el primer y segundo paso de cálculo. Calcula:
a) 43 + 14
b) 14 + 15
c) 61 + 23
d) 13 + 85
56 + 12
21 + 12
13 + 25
67 + 12
23 + 16
54 +13
36 + 61
23 + 65
Soluciona las igualdades siguientes. Observa si debes calcular el minuendo o el sustraendo:
103
MATEMÁTICA
a) c – 62 = 34
b) 57 – a = 23
c) 85 – n = 42
p – 62 = 34
69 – b = 42
b – 36 = 62
h – 25 = 73
78 – x = 34
97 – k = 55
Calcula:
a) 24 + 52
b) 63 + 34
c) 36 – 23
d) 86 – 63
42 + 57
44 + 23
87 – 45
21 – 45
65 + 12
34 + 4
65 – 12
78 – 56
Un sumando es 43 y el otro sumando es 13. Calcula la suma.
El minuendo es 45 y el sustraendo es 22. Calcula la diferencia.
Calcula:
36 + 23
36 + 33
36 + 43
98 – 27
98 – 37
98 – 47
Soluciona las igualdades siguientes:
a) 23 + a = 57
b) 71 – i = 42
c) 85 – n = 42
42 + b = 69
p – 36 = 23
b – 36 = 62
p + 8 = 55
a + 35 = 86
90 – k = 22
a – 25 = 32
97 – k = 55
b – 16 = 41
Calcula:
x
c
67
24
95
62
23
59
104
x–c
53
43
UNIDAD 2
Calcula la suma y la diferencia de los números 74 y 12.
Si x tiene un mismo valor, ¿qué número es mayor: la suma de
x + 43 o la suma de 43 + x?
Elabora un problema en el que haya que solucionar la igualdad siguiente. Resuélvelo: 200 + 300 = x
Determina los números que faltan en las secuencias numéricas siguientes. Marca con una X la respuesta correcta:
3; 14; 25; 36; ______; ______; 69
a) ______ 47 y 56
b) ______ 46 y 58
c) ______ 47 y 58
Calcula. Por cada igualdad que obtengas forma otras tres
igualdades:
a) 17 – 8
b) 35 : 7
c) 15 – 8
d) 14 – 6
13 – 4
63 : 9
56 : 8
72 : 8
Calcula:
Lee los números siguientes: 365; 204; 496; 850; 294.
a) Descompón cada número como suma.
b) Indica entre qué múltiplos consecutivos de 100 está cada
número.
105
MATEMÁTICA
Determina el sucesor de: 99; 379; 1 099; 2 899; 301.
Determina el antecesor de: 8; 80; 780; 1 100; 2 200.
Problemas
Hay problemas donde aparecen cantidades o números que
no necesitamos para responder a las preguntas planteadas. Los
llamamos datos innecesarios.
Analicemos el siguiente ejemplo:
Para pintar 72 aulas de varias escuelas y 15 salones de círculos
infantiles se organizó un trabajo voluntario donde participaron
145 personas. ¿Cuántos locales se pintaron?
Solución:
1. Se lee atentamente el problema y se analiza de que trata el
problema y qué es lo que se pregunta: ¿Cuántos locales se
pintaron?
2. Se buscan los datos necesarios para responder la pregunta:
72 aulas y 15 salones.
3. Se determina la vía de solución. Como las aulas y los salones
son locales, se deben adicionar: 72 + 15 = 87.
4. Después se comprueba y se responde: Se pintaron 87
locales.
Como puedes observar, los números 72 y 15 son los datos necesarios para resolver el problema.
El dato de la cantidad de personas (145) no se necesita para
resolver el problema. Es innecesario para responder la pregunta
del problema.
106
UNIDAD 2
Ejercicios
En una librería hay libros de cuentos de $ 5, $ 10 y $ 15.
Débora tiene $ 50. Si compra un libro que le cuesta
$ 15. ¿Cuánto dinero le queda a Débora?
En el primer semestre del año, de 6 000 vecinos de una comunidad, 3 000 participaron en un trabajo voluntario. En
el segundo semestre participaron 400 vecinos más que
en el primero semestre. ¿Cuántos vecinos participaron en el
segundo semestre?
¿Puedes solucionar los problemas siguientes? Explica por qué.
a) Rafael compra un sello para carta de 30 ¢ y una goma de
borrar. ¿Cuánto debe pagar?
b) En una escuela hay dos grupos de tercer grado: el grupo
A y el grupo B. En el grupo A hay 28 pioneros, ¿cuántos
pioneros hay en total en el tercer grado?
2.3 Adicionamos y sustraemos:
80 + 70; 800 + 700; 150 – 70; 1 500 – 700.
Cálculo oral
107
MATEMÁTICA
Un grupo de pioneros trabajan en el huerto escolar. Los varones llenaron 80 cajas de tomate y las hembras 70 cajas. Claudia y
Sergio quieren calcular el total de cajas que llenaron.
¿Puedes resolver el problema?
Para resolver este problema tenemos que calcular 80 + 70.
Veamos cómo lo hacen Ana y Noel:
Ana y Noel calculan 80 + 70
Ana calcula así:
Noel calcula así:
Reconoce el ejercicio básico y lo Adiciona un número al primer sumando para obtener 100:
calcula:
8 + 7 = 15
80 + 20 = 100
Transfiere el resultado al ejer- Después adiciona el número que se
obtiene al otro número que comcicio dado:
pleta el otro sumando:
80 + 70 = 150
100 + 50 = 150
Entonces escribimos: 8 0 + 7 0 = 1 5 0
1 5 0 – 7 0 = 8 0
108
UNIDAD 2
Ahora también podemos calcular ejercicios en los que los
números son múltiplos de 100, como 800 + 700 y 1 500 – 700,
de forma similar a la que utilizamos al calcular los ejercicios
anteriores.
Analicemos en el ejemplo siguiente las dos vías de calcular:
800 + 700
800 + 700
800 + 700
Reconocemos el ejercicio básico y Adicionamos un número al prilo calculamos:
mer sumando para obtener 1 000:
8 + 7 = 15
800 + 200 = 1 000
Transferimo el resultado al ejer- Después adiciona el número que
se obtiene al otro número que
cicio dado:
completa el otro sumando:
800 + 700 = 1 500
1 000 + 500 = 1 500
Entonces escribimos: 8 0 0 + 7 0 0 = 1 5 0 0
Ahora analicemos el caso de la resta, para la cual procedemos
de igual modo que en los ejemplos anteriores.
1 500 – 700
1 500 – 700
1 500 – 700
Reconocemos el ejercicio básico Sustraemos un
y lo calculamos:
obtener 1 000:
15 – 7 = 8
número
para
1 500 – 500 = 1 000
Transferimos el resultado al ejer- Después sustraemos el número
que se obtiene al otro número
cicio dado:
que completa el sustraendo:
1 500 – 700 = 800
1 000 – 200 = 800
Entonces escribimos: 1 5 0 0 – 7 0 0 = 8 0 0
109
MATEMÁTICA
Ejercicios
Calcula. Explica cómo lo resolviste:
a) 90 + 40
b) 30 + 80
c) 80 + 40
70 + 50
60 + 60
30 + 90
d) 600 + 400
e) 200 + 900
f) 700 + 300
700 + 500
800 + 400
500 + 500
900 + 700
300 + 800
400 + 900
Calcula. Explica cómo lo resolviste:
a) 140 – 60
b) 160 – 70
c) 180 – 90
150 – 80
130 – 50
120 – 40
110 – 70
170 – 80
130 – 90
d) 1 300 – 700
e) 1 700 – 900
f) 1 600 – 700
1 500 – 800
1 400 – 500
1 100 – 300
1 000 – 400
1 200 – 600
1 800 – 900
Decide cómo calcular:
a) 80 + 80
b) 120 – 60
c) 110 – 30
60 + 50
130 – 80
120 – 40
50 + 80
140 – 70
130 – 50
Calcula:
110
a) 700 + 600
b) 1 200 – 500
c)
100 – 800
800 + 500
1 200 – 400
1 500 – 700
300 + 700
1 800 – 900
1 000 – 800
UNIDAD 2
Elabora una pregunta para los problemas siguientes y
resuélvelos:
a) De 30 pioneros, la tercera parte asiste al círculo de
interés pedagógico.
b) De 150 varones, 60 practican fútbol y los restantes béisbol.
* Ana y Alfredo quieren preparar un mural para el aula y pretenden forrarlo con papel a color. Ana quiere cortar 200 cm
de un rollo que tiene 4 m de largo. Alejandro dice: “Eso no
puede hacerse, pues la operación 4 – 200 no la podemos
calcular”. ¿Qué crees tú?
Un reparto con 90 viviendas se amplía hasta tener 150 viviendas. ¿Cuántas nuevas viviendas se construyeron?
Piensa primero si tienes que convertir y luego calcula:
a) 400 + 28 cm
b) 52 cm – 8 cm
c) 43 km + 20 km
1 600 – 8 m
8 cm + 35 cm
15 m – 800 cm
4 m – 420 cm
8 km – 300 km
17 m – 17 m
En una prueba de salto largo se obtuvieron los resultados
siguientes:
2 m 70 cm; 2 m 75 cm; 2 m 80 cm; 2 m 267 cm.
¿Cuál fue el mejor resultado? ¿Por qué?
111
MATEMÁTICA
Determina con cuántos sacos puedes llenar cada carretilla.
Ten presente que pueden ser varias combinaciones.
A 1 000 pioneros de una escuela primaria se les preguntó la
cantidad de horas de televisión que veían por días. Con los
resultados se construyó la tabla siguiente:
1
112
2
3
Cantidad
de horas de TV
Cantidad
de personas
1
500
2
100
3
50
4
5 o más
50
300
4
5 o má s
1
2
3
4
5 o má s
UNIDAD 2
a) ¿Cuál de los gráficos corresponde a los datos de la tabla?
Argumenta por qué.
b) ¿Qué título le pondrías al gráfico?
Poblemas
Ahora aprenderás a resolver nuevos problemas en los que la
vía de solución se determina a partir del análisis de determinadas
palabras y del contenido total del problema.
Analicemos los ejemplos siguientes:
1. Carmen compra un vestido que cuesta $ 40. Si le quedan $ 90,
¿cuánto dinero tenía Carmen antes de la compra?
2. Armando tiene ahorrado $ 140. Se compra un reloj y le quedan
$ 80.
¿Cuánto costó el reloj?
Razonamos
1. Si deseo saber lo que tenía antes de la compra, debo reunir lo
que costó el vestido con lo que
quedó después de la compra.
2. Si deseo saber lo que costó
el reloj, debo quitar a lo ahorrado lo que quedó después de la
compra.
113
MATEMÁTICA
Costo del vestido $ 40
Le quedan $ 90
Total ahorrado $ 140
Le quedan $ 80
Calculamos
40 + 90 = 130
140 – 80 = 60
Comprobamos y respondemos
Carmen tenía $ 130 antes de la
El reloj costó $ 60.
compra.
Observa que en ambos problemas aparece la palabra quedan,
que da la idea de la sustracción; a pesar de esto, en un problema
sustraemos y en el otro adicionamos.
Recuerda que…
Al resolver un problema como estos, la operación no
se reconoce solamente por determinadas palabras,
sino al razonar el contenido total de este.
Veamos otro ejemplo:
En el círculo de interés de fotografía se han terminado seis
fotos. Esta es la cuarta parte del total de fotos que deben hacerse. ¿Cuántas fotos en total deben hacerse?
114
UNIDAD 2
Razonamos: Debes tener presente que, en este caso, aunque
se habla de cuarta parte, no tenemos que dividir, sino multiplicar.
Fotos terminadas: 6
Parte que representa: cuarta parte
Calculamos: 6 ∙ 4 = 24
Respondemos: Deben hacerse 24 fotos en total.
Ejercicios
Juana compra un libro que cuesta $ 45. Este es $ 10 más barato que el libro de Elsa.
¿Cuánto cuesta el libro de Elsa?
Arturo tiene una caja con 130 bolas. Él tiene 80 bolas más
que Luis. ¿Cuántas bolas tiene Luis?
En una competencia de Matemática deben resolverse
10 ejercicios. Si faltan por resolver la quinta parte de ellos,
¿cuántos ejercicios faltan por resolver?
Félix ha resuelto cuatro preguntas de Matemática. Esta es
la tercera parte de todas las preguntas que debe resolver.
¿Cuántas preguntas debe resolver en total?
Carlos compra una bicicleta en $ 88. Esto es $ 5 menos de lo
que tenía ahorrado.
¿Cuánto tenía ahorrado Carlos?
115
MATEMÁTICA
Escribe los números:
• Cuatro mil quinientos siete; dos mil ochocientos; siete mil
diez.
• Cuatrocientos noventa; seiscientos ocho; novecientos
tres.
Lee estos números y compáralos:
a)
116
639 con 6 390
b) 7 890 con 7 009
865 con 87
6 435 con 6 000
3 640 con 3 640
386 con 1 000
UNIDAD 2
2.4 Unidades de masa
Las unidades de masa son aquellas que nos sirven para determinar lo que usualmente llamamos el peso o la masa de un cuerpo, y
esto generalmente se realiza con el empleo de una balanza.
Observa detenidamente las imágenes siguientes:
¿Qué unidad de masa usarías para indicar el peso de
cada una?
117
MATEMÁTICA
Ahora aprenderemos nuevas unidades de masa.
El peso es una magnitud que resulta abstracta, pues no se percibe visualmente, sino que se siente. Para determinar la masa o el
peso de los objetos o cosas, podemos emplear diferentes tipos de
pesas, básculas o balanzas.
10
15
20
Recuerda que…
El kilogramo se utiliza para medir la masa.
1 kilogramo se escribe 1 kg
Ejercicios
Nombra cuerpos o cosas en los cuales la masa se pueda indicar en kilogramos.
Estima, en kilogramos, la masa de tu mochila llena de libros.
118
UNIDAD 2
Calcula:
a) 26 kg + 9 kg
b) 97 kg + 9 kg
35 kg + 8 kg
74 kg + 6 kg
44 kg + 7 kg
65 kg + 8 kg
¿Cuál es la masa de la cesta de limones?
a) ___ 10 kg
b)___ 8 kg
c) ___ 12 kg
d) ___ 2 kg
Calcula:
a) 33 kg + 7 kg
b) 42 kg – 7 kg
28 kg + 6 kg
64 kg – 9 kg
57 kg – 8 kg
39 kg + 4 kg
En el huerto escolar se recogieron el lunes 25 kg de tomates,
el martes 9 kg más que el lunes.
¿Cuántos kilogramos de tomate se recogieron el martes?
Al agromercado trajeron 60 kg de papa y 40 kg de yuca.
¿Cuántos kilogramos más de papa que de yuca trajeron al
agromercado?
119
MATEMÁTICA
El siguiente gráfico muestra la cantidad de diferentes productos entre arroz, frijol y leche que hay en un almacén de
una escuela.
Cantidad de productos
en un almacén
Cantidad (kg)
25
20
15
10
5
0
Frijol
Arro z
Leche
Productos
a) ¿Cuál es el producto que más hay en el almacén?
b) ¿Cuál es la diferencia entre la cantidad del mayor producto y el menor?
¿Cuál será la masa de la mochila cuando esté llena con estos
objetos?
a) ___ 160 kg
120
b) ___ 162 kg
c) ___ 161 kg
d) ___ 164 kg
UNIDAD 2
Saber más
La unidad de masa del Sistema Internacional de Unidades (SI) es el kilogramo (kg), y se definió por primera
vez en 1795 como la masa de un decímetro cúbico de
agua en el punto de fusión del hielo. Esta magnitud la
descubrió el físico Isaac Newton.
¿Has visto los sobres con especias en el mercado?
La masa de esos paquetes se indica con la unidad llamada
gramo (g).
Recuerda que…
El gramo es una unidad de masa y su símbolo es g
Memoriza: 1 kg = 1 000 g
¿Sabías que…?
La idea de gramo se usa para referirse a la cantidad
de algo cuyo peso equivale, justamente, a un gramo.
Si una persona ingresa a un almacén y pide 500 g de
harina de trigo, está solicitando al vendedor que le
entregue una cantidad de esta harina que tenga un
peso de 500 g. El gramo es una unidad de masa.
121
MATEMÁTICA
La masa de estos objetos se indica en toneladas.
Recuerda que…
La tonelada es una unidad de masa y su símbolo es t.
Memoriza: 1 t = 1 000 kg
Saber más
La mayoría de las personas producen 2 kg de basura
por día, que se traduce en más de media tonelada de
residuos sólidos por año.
Realizamos conversiones
Ya conocemos unidades de masa como el kilogramo (kg), el
gramo (g) y la tonelada (t). Podemos determinar el peso de objetos con ellas y realizar conversiones con datos expresados en esas
unidades, pues ya sabemos que:
122
UNIDAD 2
Multiplica
1kg
1t
1g
1 000
1 000
Divide
Analicemos los ejemplos siguientes:
2 t = ___________ kg
8 000 kg = ___________ t
2 ∙ 1 000 = 2 000
8 000 : 1 000 = 8
2 t = 2 000 kg
8 000 kg = 8 t
Ejercicios
Averigua en qué unidad de masa se determina la carga de
caña de azúcar de un vagón.
Nombra objetos cuya masa se indique en:
a) gramos
b) kilogramos
c) toneladas
Un niño sube a la pesa para pesarse. Realizando una estimación, podríamos decir que pesa:
a) ___ menos de 60 g
b)
___ entre 100 g y 200 g
c) ___ entre 25 kg y 75 kg
d)
___ 2 000 g
123
MATEMÁTICA
Averigua qué objetos tienen una masa que sea aproximadamente de:
10 g; 100 g; 500 g; 250 g
Estima la masa de una libreta, de un pan y de un lápiz.
¿Cuántos gramos son 8 kg; 7 kg; 10 kg; 3 kg?
¿Cuántos kilogramos son 3 000 g, 5 000 g; 7 000 g?
¿Cuántos kilogramos son 3 t; 6 t; 8 t; 9 t?
¿Cuántas toneladas son 5 000 kg; 2 000 kg; 10 000 kg;
4 000 kg?
Expresa en kilogramos:
a) 4 t; 6 t; 9 t; 10 t
c) 2 t 810 kg; 3 t 70 kg
b) 5 t 360 kg; 4 t 50 kg; 2 t 100 kg
d) 2 t 280 kg; 1 t 100 kg
11. La siguiente balanza se encuentra en equilibrio:
¿Cuántos kilogramos de arroz hay en el saco?
a) ___ 5 kg
b) ___ 3 kg
c) ___ 2 kg
d) ___ 7 kg
Expresa en kilogramos:
124
a) 4 t; 6 t; 9 t; 10 t
c) 2 t 810 kg; 3 t 70 kg
b) 5 t 360 kg; 4 t 50 kg; 2 t 100 kg
d) 2 t 280 kg; 1 t 100 kg
UNIDAD 2
Ana quiere comprobar el peso de unas guayabas que compró
en un mercado.
a) Realiza un estimado. ¿Cuánto podrían pesar esas guayabas?
__ Menos de 100 gramos
__ Entre 2 y 5 kilogramos
__ Entre 200 y 500 gramos
__ Más de 6 kilogramos
En la imagen siguiente se expresa el peso de un melón en
kilogramos.
¿Cuál es la masa del melón?
Observa la imagen siguiente:
a) ¿Cuántas naranjas crees que hay en la pesa?
b) ¿Cuál es el peso de esas naranjas?
c) ¿Cuántas naranjas como esas pesarán 3 kg?
125
MATEMÁTICA
2.5 Procedimiento escrito de la adición
Con lo que has aprendido hasta ahora, ya puedes resolver
ejercicios como los siguientes:
1. Calcula
a) 4 + 3, 6 + 2, 1 + 6, 2 + 7
b) 3 + 2, 8 + 1, 3 + 0, 5 + 2
2. Escribe en una tabla de posición decimal los números
siguientes:
a) 343; 615; 10; 809; 42
b) 723; 1 320; 2 052; 3 005
3. Calcula:
45 + 30; 45 + 21; 300 + 600; 345 + 612
La adición de números de tres o más cifras es un poco más
compleja. Ejercicios como 345 + 612 se pueden calcular oralmente, pero esto te pudiera resultar difícil. Para resolverlo vamos a
utilizar un nuevo procedimiento; para ello colocamos los sumandos así:
C
3
+6
D
4
1
U
5
2
9
5
7
Observa que en cada lugar solo calculamos ejercicios básicos.
Por tanto, los pasos para calcular aplicando el procedimiento
escrito de la adición son los siguientes:
126
UNIDAD 2
1. Escribe los sumandos en columna, uno debajo del otro como
en una tabla de posiciones.
2. Determina la suma de los números en cada lugar y escríbela.
Comienza por las unidades.
3 4 5
+ 6 1 2
9 5 7
Piensa:
Escribe:
2 + 5 = 7 7
1+4=5
5
6+3=9
9
3. Controla.
Recuerda que…
Los sumandos pueden intercambiarse. La suma
siempre será la misma. Utiliza esto para el control,
calculando de arriba hacia abajo.
Observa el siguiente ejemplo:
Tania quiere calcular 4 537 + 452, pero observa que los sumandos tienen diferente cantidad de cifras. Ella intenta calcularlo y
controlarlo de igual forma que los ejercicios anteriores. Veamos
cómo lo hace:
4 5 3 7
+
4 5 2
4 9 8 9
Piensa:
Escribe:
2
+
5
=
7
1+4=5
6+3=9
0+4=4
7
5
9
4
127
MATEMÁTICA
¿Podrás calcular de igual forma 246 + 6 321?
Las cantidades también pueden adicionarse utilizando el
procedimiento escrito, pero… ¡cuidado!: tienen que estar en la
misma unidad de medida.
Ejemplo:
3 456 kg + 1 233 kg
3 4 5 6 k g
+ 1 2 3 3 k g
4 6 8 9 k g
$ 4,53 + $ 3,12
$ 4 5 3
+ $ 3 1 2
$ 7 6 5
3 455 m + 234 m
+
3 4 5 5 m
2 3 4 m
3 6 8 9 m
Recuerda que…
Se adicionan los números y después se escribe la unidad de medida.
Ejercicios
Calcula:
128
a) $ 2 925 + $ 4 053
c) 6 616 m + 2 673 m
b) 167 t + 222 t
d) $ 83,20 + $ 12,71
UNIDAD 2
Calcula:
a)
556
+ 321
b)
342
+ 527
c)
819 d)
352
+ 180
+ 1 443
e)
6 131
+ 3 503
Adiciona 245 a cada uno de los números siguientes:
433; 531; 402; 514; 703; 304.
Calcula:
a)
3 507
+ 2 001
b)
8 006
+ 1 503
c)
745 d)
345
+ 143
+ 30
e)
571
+ 200
Calcula:
a)
5 437 b) 7 275 c) 824 d)
543 e)
453
+ 362
+ 514
+ 173
+ 5 432
+ 2 345
Escribe correctamente en columnas. Calcula y controla:
a) 240 + 28
b) 6 125 + 2 473
c) 2 210 + 573
370 + 320
3 700 + 4 000
3 700 + 4 200
460 + 210
530 + 450
230 + 460
Calcula:
a)
3 251 kg
+ 1 517 kg
b)
4 835 g
+ 3 041 g
c)
8 402 t d)
$ 782
+ 536 t
+ $ 2 205
Formula una pregunta para cada problema en la que tengas
que adicionar. Resuélvelos.
a) Durante el Festival de Cultura de los pioneros, van al
teatro 315 niños de una escuela y 280 niños de otra
escuela.
b) En una tienda se recaudan $ 4 310 el lunes. El martes se
recaudan $ 1 038 más que el lunes.
Calcula la suma de los números 863 y 2 136.
* Un sumando es el sucesor de 319, el otro es el antecesor de
9 680. Calcula la suma.
129
MATEMÁTICA
Calcula:
a) 42 kg + 30 kg
b) 87 kg – 50 kg
c) 76 kg + 21 kg
600 g + 300 g
900 g – 500 g
98 kg – 65 kg
Escribe en una tabla de posición decimal:
a) 343; 615; 10; 809; 42
b) 723; 1 320; 2 052; 3 005
Calcula y controla. Si el resultado es correcto puedes subrayarlo dos veces:
a)
336
+ 143
b)
840
+ 143
c)
230
+ 143
Escribe correctamente en columna, calcula y controla:
a) 6 423 + 1 265
c) 1 024 + 3 265
b) 1 240 + 5 320
d) 3 200 + 4 500
Calcula:
a) 7 421 + 456
b) 362 + 30
381 + 8 403
464 + 25
c) 4 700 + 232
398 + 4 001
Adición escrita con sobrepaso
¡Cuántas cosas has aprendido! Ahora vamos a aprender
un nuevo contenido.
En el ejercicio 542 + 726 se representa un sobrepaso. Podemos
proceder así:
UM
C
D
U
1
5
7
2
4
2
6
2
6
8
130
Calculamos mentalmente:
6+2=8
2+4=6
7 + 5 = 12
UNIDAD 2
Sabemos que en 12 centenas hay 1 millar y 2 centenas, por
tanto, escribimos el 2 en el lugar de las centenas y 1 en el lugar
de las unidades de millar.
Ya analizamos los casos en los que el sobrepaso se presenta
en el lugar de las centenas. En el cálculo de la suma 543 + 329 el
sobrepaso se presenta en el lugar de las unidades.
Para solucionar este ejercicio procedemos así:
5 4 3
+ 3 2 9
8 7 2
Calculamos mentalmente:
9 + 3 = 12
1+2+4=7
3+5=8
Como 12 está formado por 1 decena y 2 unidades, escribimos
2 en el lugar de las unidades y adicionamos 1 en el lugar de las
decenas.
En ejercicios como 6 547 + 1 839 se presenta sobrepaso en dos
lugares. Procedemos así:
6 5 4 7
+ 1 8 3 9
8 3 8 6
Calculamos mentalmente:
9 + 7 = 16
1+3+4=8
8 + 5 = 13
1+1+6=8
Recuerda que…
Cuando hay sobrepaso se adiciona en el próximo
lugar.
131
MATEMÁTICA
En el ejercicio 6 547 + 1 379 se presenta sobrepaso en dos lugares consecutivos. Procedemos de la misma forma:
6 5 4 7
+ 1 3 7 9
7 9 2 6
Calculamos mentalmente:
9 + 7 = 16
1 + 7 + 4 = 12
1+3+5=9
1+6=7
Ejercicios
Calcula. Explica cómo lo hiciste y controla:
a)
87 + 36
b) 3 286 + 1 345
548 + 367
396 + 58
Calcula:
a)
56
+ 83
b)
94
+ 81
c)
372
+ 716
d)
648
+ 531
e)
431
+ 648
Calcula:
a) 943 + 656
c) 672 + 410
b) 852 + 504
d) 406 + 703
Calcula:
a)
132
a
945
802
73
246
b
302
517
61
852
a+b
b)
c
923
708
82
725
d
102
961
45
363
c+d
UNIDAD 2
Calcula:
a)
67
+ 26
b)
36
+ 45
c)
478
+ 415
d)
2 204
+ 2 108
e)
3 765
+ 3 108
609 b) 1 304
+ 3 145
+ 409
c)
316
+ 6 268
d)
4 353
+ 608
e)
6 006
+ 606
Calcula:
a)
Calcula:
a) 48 + 24
b) 325 + 913 c) 906 + 381 d) 606 + 388
Calcula:
a) 6 219 + 508
c) 1 508 + 369
b) 4 307 + 703
d)
226 + 645
Calcula:
a)
63 cm
+ 75 cm
b)
$ 25,50
+ $ 92,50
c)
535 m
+ 258 m
d)
$ 6,43
+ $ 17,25
b)
$ 46,00
+ $ 18,30
c)
1 875 m
+ 1 425 m
d)
$ 1 465
+ $ 3 238
Calcula:
a)
84 dm
+ 98 dm
Calcula:
a)
824 kg + 365 kg
b)
982 m + 217 m
c)
$ 634 + $ 543
Raúl va con su papá al correo a enviar tres cartas y dos
paquetes. Un paquete tiene una masa de 4 270 y el otro
3 780. ¿Cuál es la masa de los dos paquetes juntos?
133
MATEMÁTICA
Luis realizó dos llamadas de larga distancia. Una llamada
cuesta $ 1,75 y la otra $ 3,45. ¿Cuánto tiene que pagar Luis
en total?
Elabora un problema en el que haya que calcular la operación $ 2,70 + $ 4,35.
En una consulta médica de un hospital se atendieron el
lunes 285 adultos y 130 niños, el martes 274 adultos y
122 niños. ¿Cuántas personas se atendieron el lunes y cuántas
el martes?
Calcula:
a)
3 207 b) 785
+ 2 491
+ 161
c)
3 869 d)
5 723
+ 2 070
+ 3 565
e)
468
+ 927
Calcula:
a) 452 + 385
c) 6 219 + 2 960
e) 7 253 + 1 927
b) 276 + 661
d) 573 + 4 316
f) 3 938 + 564
Escribe correctamente en columna y calcula:
a) 482 + 915
134
b) 825 + 300 c) 81 + 32 d) 700 + 560
UNIDAD 2
Calcula:
a) 38 + 37
b) 168 + 329
c) 1 437 + 2 326
d) 233 + 48
Calcula:
a) 2 306 + 2 677
c) 3 917 + 5 896
e) 879 + 146
b) 3 927 + 5 208
d)
f) 2 364 + 3 892
96 + 57
Un sumando es 865 y el otro 592. Calcula la suma.
Selecciona la respuesta correcta:
4 827 + 2 735 es igual a:
___ 7 552
___ 6 562
___ 7 562
___ 6 552
Comprueba si las siguientes igualdades están correctas:
a) 670 + 720 = 1 390
b)
880 + 550 = 730 + 560
Resolvemos ejercicios con texto y problemas con dos pasos
de cálculo
Para comenzar, vamos a analizar el siguiente ejemplo:
Calcula la diferencia de los números 45 y 20. A la diferencia
adiciónale el número 30.
Como puedes observar, tenemos que realizar dos operaciones.
Solución:
Primero calculamos la
diferencia x:
45 – 20 = x
4 5 – 2 0 = 2 5
Después a esa diferencia
le adicionamos 30:
x + 30 = y
2 5 + 3 0 = 5 5
135
MATEMÁTICA
Ya vimos cómo proceder en los ejercicios con dos pasos de
cálculo. Veamos ahora qué sucede cuando se trata de problemas.
Analicemos para ello los ejemplos siguientes:
1. En un área deportiva practican atletismo 47 varones y
30 hembras. Además hacen gimnasia 56 varones y 40 hembras.
a) ¿Cuántas personas practican atletismo?
b) ¿Cuántas personas hacen gimnasia?
Solución:
Primero, para hallar la cantidad de personas que practican
atletismo adicionamos:
a) 47 + 30 = 77
Después, para hallar la cantidad de personas que hacen
gimnasia adicionamos:
b) 56 + 40 = 96
136
UNIDAD 2
Luego, se controla y se da respuesta a cada una de las preguntas.
2. A una base de campismo llegaron 90 excursionistas. De ellos
40 participan en una competencia de natación y 20 en una
competencia de pesca. ¿Cuántos excursionistas no participan
en las competencias?
Solución:
Se debe calcular primero cuántos
excursionistas participaron en las
dos competencias:
a) 40 + 20 = 60
Después se debe calcular cuántos
excursionistas no participaron:
b) 90 – 60 = 30
Por último, se controla y se responde la pregunta:
Respuesta: No participan en las competencias 30 excursionistas.
Al comparar los ejemplos anteriores, observamos que ambos
problemas se resolvieron con dos pasos de cálculo.
137
MATEMÁTICA
En el primer problema, para dar respuesta a cada una de las
preguntas, se realizaron dos pasos de cálculo independientes uno
del otro; en el segundo problema, para dar respuesta a la pregunta, se necesitó el resultado del primer paso de cálculo para
resolver el segundo cálculo.
Ejercicios
Calcula la suma de los números 43 y 32. Sustrae de ella el
número 8.
Adiciona el número 4 a la diferencia de los números 86 y 20.
Calcula:
7
9
5
3
∙6
8
2
6
4
Indica en metros:
• 600 cm; 8 km; 1 000 cm; 2 km
• 900 cm; 800 cm; 7 000 cm
Cuenta:
138
a) De 357 a 366
b) De 403 a 397
De 595 a 604
De 805 a 798
UNIDAD 2
Un centro de trabajo organiza un campismo. Informa que
participarán 59 adultos y 26 niños. No asisten a la actividad
8 de los adultos y 4 de los niños.
• ¿Cuántos adultos fueron al campismo?
• ¿Cuántos niños asistieron al campismo?
En el almacén de una escuela había 532 libretas de hojas
a rayadas y 368 libretas de hojas lisas. Si se repartieron a
los pioneros 600 libretas, ¿cuántas libretas quedan en el
almacén?
___ 490
___ 900 ___ 400 ___ 1500
Sustrae de la suma de los números 341 y 459, el número 500.
Calcula la diferencia de los números 86 y 20. Al resultado
adiciónale el número 5.
A la diferencia de los números 35 y 8, adiciónale el número 347.
Mercedes compra una blusa que cuesta $ 20 y un pantalón
que cuesta $ 30. Ella paga a la dependiente con un billete de
$ 100. ¿Cuánto dinero recibe de vuelto?
139
MATEMÁTICA
A un círculo infantil llegan 98 toallas. De ellas se reparten
36 rosadas y 20 azules.
¿Cuántas toallas quedan por repartir?
Indica el antecesor y el sucesor de los números siguientes:
a) 200; 800; 300; 701
b) 9 999; 3 000; 4 300; 1 199
Ordena de menor a mayor:
a) 3 625; 4 896; 3 565; 390; 4 890
b) 739; 454; 1 003; 869; 1 930
Determina para cada número el múltiplo de 100 anterior y
posterior a:
486; 835; 360; 749
Para el desfile por el primero de mayo se confeccionaron
gorras rojas y gorras blancas. Se hicieron 243 gorras rojas
y 350 gorras blancas. ¿Cuántas gorras se confeccionaron en
total?
2.6 Procedimiento escrito de la sustracción
¿Puedes resolver el ejercicio?
El 3.er grado de una escuela tiene 27 estudiantes de matrícula,
faltaron en un día 8 estudiantes. ¿Cuántos estudiantes presentes
hay en la escuela?
¿Con qué operación se resuleve el problema anterior?
___ adición ___ multiplicación ___ sustracción ___ división
140
UNIDAD 2
Para dar inicio a este nuevo tema, vamos a analizar el ejemplo
siguiente:
Soluciona las igualdades:
a) 65 + x = 69
b) 92 + y = 96
Solución:
En la igualdad 65 + x = 69; conocemos un sumando y la suma.
Debe calcularse el otro sumando, el sumando se obtiene con la
diferencia de 69 y 65.
Para determinar el valor de x hay dos vías de solución:
Primera vía:
Segunda vía:
Se sustrae 65 de 69
Utilizando la adición, se
busca el sumando que hay
que adicionar a 65 para obtener 69:
65 + x = 69
x = 69 – 65
x=4
Para controlar se sustituye en la igualdad, el valor
hallado para x:
65 + x = 69
65 + 4 = 69
Para controlar se resuelve la
igualdad:
65 + 4 = 69
69 = 69
65 + 4 = 69
69 = 69
Selecciona una de las dos vías de solución y resuleve la otra
igualdad.
Una diferencia como 758 – 345 la podemos calcular mediante
el procedimiento escrito.
141
MATEMÁTICA
C
D
U
7
5
8
–3
4
5
4
1
3
Observa que en cada lugar solo
calculamos ejercicios básicos
En la sustracción escrita sin sobrepaso procedemos del siguiente modo:
1. Comprueba si el minuendo es igual o mayor que el sustraendo.
2. Escribe los números como en una tabla de posiciones, el sustraendo debajo del minuendo.
3. Determina la diferencia de los números en cada lugar mediante la adición o sustracción y escríbela. Comienza por las
unidades.
7 5
8
minuendo
–3 4
5
sustraendo
4 1
3
diferencia
Mediante la adición
Mediante la sustración
Pienso:
Escribo:
Pienso:
Escribo:
5+3=8
3
8–5=3
3
4+1=5
1
5–4=1
1
3+4=7
4
7–3=4
4
4. Controla.
4 1
3
+3 4
5
7 5
8
142
Si adicionas el sustraendo a la diferencia,
debes obtener el minuendo.
Como has calculado bien, puedes subrayar
dos veces el resultado.
UNIDAD 2
Hay ejercicios como 6 758 – 345, en los que el sustraendo tiene
menos lugares que el minuendo. Estos puedes calcularlos como
los ejercicios anteriores. Vamos a ver un ejemplo:
6 7
5
8
–
3
4
5
6 4
1
3
Mediante la adición
Mediante la sustración
Pienso:
Escribo:
Pienso:
Escribo:
5+3=8
3
8–5=3
3
4+1=5
1
5–4=1
1
3+4=7
4
7–3=4
4
0+6=6
6
6–0=6
6
Controla el resultado.
Recuerda que…
Al igual que en la adición, las cantidades y las unidades de medida, también pueden sustraerse utilizando
el procedimiento escrito. Recuerda que tanto el minuendo como el sustraendo deben tener la misma
unidad de medida.
678m
- 463m
215m
8765kg
- 6324kg
2441kg
143
MATEMÁTICA
Ejercicios
Soluciona las igualdades siguientes:
a) 2 + a = 5
c) 4 + c = 5
e) 4 + x = 7
d) 1 + v = 8
b) 5 + b = 8
d) 3 + d = 7
f) 0 + y = 6
h) 9 + z = 9
Calcula las diferencias:
8–4
500 – 400
50 – 40
58 – 42
58 – 4
58 – 40
Calcula y controla:
a)
987
– 342
b)
6 454
– 2 031
Indica cuáles de estos ejercicios puedes solucionar. Calcúlalos.
a)
369 – 132
b)
985 – 403
864 – 322
325 – 804
264 – 598
6 358 – 4 103
Calcula y controla:
a)
7 846
– 321
b)
6 437
– 205
c)
8 792
– 160
Calcula y controla:
a)
789 t
– 143 t
b)
8 567 t
– 1 320 t
c)
$ 4 396
– $ 1 242
Calcula y controla:
144
a)
748 m – 123 m
b)
9 364 kg – 103 kg
c)
548 cm – 31 cm
d) 368 mm – 40 mm
UNIDAD 2
Calcula y controla:
a)
685 b) 549
– 553
– 427
c)
468 d)
8 468
– 503
– 6 045
e)
7 654
– 5 213
c)
8 463 d)
5 647
– 7 102
– 415
e)
695
– 803
c)
9 356 d) 947
– 145
– 627
e)
4 364
– 3 024
7 879 d)
8 654
– 4 396
– 354
e)
4 774
– 704
829 b) 9 999 c) 8 888 d)
7 687
– 917
– 9 888
– 8 746
– 7 485
e)
5 672
– 5 371
Calcula y controla:
a)
758 b) 569
– 405
– 108
Calcula y controla:
a)
796
– 61
b) 4 825
– 513
Calcula y controla:
a)
647 b) 958
– 237
– 853
c)
Calcula y controla:
a)
Calcula y controla:
a) 990 – 130
b) 860 – 220
c) 5 900 – 2 130
650 – 330
320 – 420
7 500 – 4 100
Soluciona las igualdades siguientes:
a) 637 + x = 958
b) 2 435 + y = 1 867
c) 6 103 + b = 6 489
Soluciona las igualdades siguientes:
a) v + 6 517 = 6 849
b) a + 4 103 = 4 973
c) x + 342 = 789
145
MATEMÁTICA
Si el minuendo es 3 507 y el sustraendo es 4 678. Calcula la
diferencia.
¿En cuánto es mayor 948 que 751?
¿En cuánto es menor 3 256 que 4 356?
En una escuela hay 153 pioneros José Martí y 275 pioneros
moncadistas. ¿Cuántos pioneros moncadistas más hay que
pioneros José Martí?
Calcula y controla:
a)
476 m
– 215 m
b)
5 248 kg
– 2 035 kg
c)
$ 6 835 d) 6 835 t
– $ 2 513
– 423 t
Calcula y controla:
a) 9 858 t – 725 t
c) 3 750 kg – 4 530 kg
b) $ 869 – $ 854
d) 7 985 m – 7 455 m
Selecciona la respuesta correcta:
El resultado de calcular 6 958 – 1 451 es:
___ 7 507
___ 5 507
___ 5 509
___ 5 307
¿Cuánto dinero le quedó a la mamá de Luis si de $ 89,50
que tenía pagó $ 18,40 por un artículo que compró en la
tienda?
En un vivero se prepararon 185 árboles frutales y 177 plantas
de rosas. Se vendieron el martes 52 árboles frutales y
63 plantas de rosas. ¿Cuántos árboles frutales y cuántas
plantas de rosas quedan por vender?
A una tienda llegaron 145 cajitas de jugo de mango y 123
cajitas de jugo de guayaba. Ya se han vendido 142 cajitas de
jugo. ¿Cuántas cajitas de jugo quedan en la tienda?
146
UNIDAD 2
Elabora dos problemas en los que haya que solucionar la
igualdad siguiente: $ 3,60 + $ 9,80 = x.
Resuélvelos.
a) En la librería…
b) En la juguetería…
Procedimiento de la sustracción escrita con sobrepaso
Analiza el problema.
En saludo al primer trabajo voluntario, un grupo de constructores quiere realizar 365 horas de trabajo voluntario.
Ya han trabajado 128 horas en la construcción de un círculo infantil. ¿Cuántas horas de trabajo voluntario les faltan a los
constructores para cumplir la meta?
147
MATEMÁTICA
Solución:
Ya conocemos que el grupo de constructores realizó 128 horas
de trabajo.
Se quiere saber las horas de trabajo que le faltan para cumplir
la meta.
Si sumamos las horas de trabajo que le faltan a 128 horas,
obtenemos 365 horas de trabajo. Entonces, podemos formar la
igualdad:
128 + x = 365
Igualdades como esta se solucionan mediante el procedimiento escrito:
365
– 128
En el ejercicio planteado, el minuendo es mayor que
el sustraendo, por tanto, podemos solucionarlo.
Calculamos en la forma conocida: En el primer ejercicio
parcial (en el lugar de las unidades) aparece la situación de que
no hay ningún número que sumado con 8 sea igual a 5, es decir,
la igualdad 8 + a = 5 no podemos resolverla, pero si adicionamos 10 a ese lugar del minuendo, obtenemos 15 y la igualdad
8 + a = 15, la cual sí podemos solucionar. Entonces podemos
calcular: 8 + 7 = 15.
148
UNIDAD 2
Como adicionamos 10 al minuendo tenemos que adicionar
también 10 al sustraendo para que la diferencia no varíe.
Mediante la adición:
Pienso:
8 + 7 = 15
3 6 5
– 1 2 8
2 3 7
Escribo:
7
3
2
1+2+3=6
1+2=3
Adiciona 1 en el lugar de las decenas, porque 10 unidades
forman una decena.
Mediante la sustracción:
3 6 5
– 1 2 8
2 3 7
Pienso:
Escribo:
Pienso:
Escribo:
15 – 8 = 7
(2 + 1 = 3 ) 6 –3 = 3
3–1=2
7
3
2
15 – 8 = 7
(6 – 1 = 5) 5 –2 = 3
3–1=2
7
3
2
Otro procedimiento de solución es el siguiente:
5
5
5
3 6 15
3 6 15
3 6 15
– 1 2 8
7
– 1 2 8
3 7
– 1 2 8
2 3 7
Las unidades:
como no se
puede restar
8 de 5: "presto" 1
de las decenas.
15 – 8 = 7
Las decenas:
5–2=3
Las centenas:
3–1=2
149
MATEMÁTICA
Comprueba el resultado y formula una respuesta.
Respuesta: Les faltan a los constructores 237 horas de trabajo
voluntario.
¿Sabías que…?
Una diferencia no varía si se adiciona o sustrae el
mismo número al minuendo o al sustraendo.
Ya sabemos calcular ejercicios de sustracción con sobrepaso
en un lugar. Los ejercicios de sustracción con sobrepaso en varios
lugares se resuelven de la misma forma:
Mediante la adición:
Pienso:
4 3 6 2
– 2 7 2 5
1 6 3 7
Escribo:
5 + 7 = 12
7
1+2+3=6
7 + 6 = 13
3
6
1+2+1=4
1
Mediante la sustracción:
4 3 6 2
– 2 7 2 5
1 6 3 7
Pienso:
Escribo:
12 – 5 = 7
7
(2 + 1 = 3) 6 – 3 = 3
3
13 – 7 = 6
2
(2 + 1 = 3) 4 – 3 = 1
1
Pienso:
Escribo:
12 – 5 = 7
7
3
(6 – 1 = 5) 5 –2 = 3
2
13 – 7 = 6
1
(4 – 1 = 3) 3 –2 = 1
Controla el resultado.
Otro procedimiento de solución es el siguiente:
150
UNIDAD 2
5
5
3 1
5
3 1
5
4 3 6 12
– 2 7 2 5
7
4 3 6 12
– 2 7 2 5
3 7
3 6 12
– 2 7 2 5
6 3 7
3 6 12
– 2 7 2 5
1 6 3 7
Las unidades:
como no se puede restar 5 de 2:
"presto" 1 de las
decenas.
12 – 5 = 7
Las decenas:
5–2=3
Las centenas:
como no se puede restar
7 de 3: "presto" 1 de las
unidades de
millar.
13 – 5 = 6
Las unidades
de millar:
3–2=1
Recuerda que…
4
4
Cuando hay sobrepaso, se adiciona al próximo lugar
del sustraendo
En los ejercicios de sustracción con sobrepaso en varios lugares consecutivos procedemos así:
Mediante la adición:
Pienso:
Escribo:
6
7 + 6 = 13
6 4 5 3
– 3 2 6 7
3 1 8 6
1 + 6 + 8 = 15
8
1+2+1=4
3+3=6
1
3
Mediante la sustracción:
Pienso:
Escribo:
13 – 7 = 6
6
Pienso:
Escribo:
13 – 7 = 6
6
6 4 5 3
– 3 2 6 7 (6 + 1 = 7) 16 – 7 = 8
3 1 8 6 (2 + 1 = 3) 4 – 3 = 1
8
(5 – 1 = 4) 14 – 6 = 8
8
1
(4 – 1 = 3) 3 – 2 = 1
1
6–3=3
3
6–3=3
3
Controla el resultado.
151
MATEMÁTICA
Otro procedimiento de solución es el siguiente:
4
6 4 5 13
– 3 2 6 7
6
4
3
4
3
3
4
6 4 5 13
– 3 2 6 7
8 6
6 4 5 13
– 3 2 6 7
1 8 6
6 4 5 13
– 3 2 6 7
3 1 8 6
Las unidades:
Las decenas:
como no se pue- como no se puede restar 7 de 3: de restar 7 de 3:
"presto" 1 de las "presto" 1 de
decenas.
las centenas.
13 – 7 = 6
14 – 6 = 8
Las centenas:
3–2=1
Las unidades
de millar:
6–3=3
Ejercicios
Calcula las diferencias:
a) 8 – 5 b) 18 – 5
7–3
17 – 13
c) 28 – 25 d) 35 – 35 e) 48 – 45
27 – 23
37 – 33
47 – 43
Compara los minuendos, compara los sustraendos y calcula
las diferencias:
a) 168 – 43
256 – 32
b) 178 – 53
266 – 42
c) 188 – 63
d) 198 – 73
276 – 52
286 – 63
Forma otros ejercicios. Soluciónalos. ¿Qué compruebas?
6 – 4 ; 16 – 14 ; 26 – 24 ;…
Escribe en una tabla de posiciones los números formados
por:
152
UNIDAD 2
a) 3 unidades
d) unidades
b) 5 decenas
e) unidades
c) 4 centenas
f) unidades
Calcula. Utiliza la adición:
a) 1 + 3 + a = 9
b) 1 + 5 + b = 14
c) 1 + 7 + d = 17
Calcula y controla:
a)
986
– 129
b)
560
– 235
c) 164 – 28
d) 8 260 – 134
890 – 574
4 328 – 1 009
Calcula y controla:
a)
8 371
– 1 649
b)
7 290
– 1 348
c)
5 241
– 3 826
Selecciona el resultado correcto. Utiliza los pasos que aprendiste para la sustracción con sobrepaso:
a)
8 672
– 2 357
6 325
b)
8 672
– 2 357
6 329
c)
8 672
– 2 357
6 315
d)
8 672
– 2 357
6 316
c)
3 700
– 1 234
d)
4 901
– 1 734
Calcula y controla:
a)
3 812
– 1 324
b)
5 934
– 2 786
Calcula y controla:
a)
583
– 245
b)
4 614 c) 6 047 d)
530
– 2 307
– 5 028
– 226
e)
5 380
– 1 338
Calcula y controla:
a)
346
– 176
b)
528
– 184
c)
5 307
– 2 185
d) 9 808
– 8 517
e)
7 809
– 4 406
153
MATEMÁTICA
Calcula y controla:
a)
6 435 b) 9 485
– 126
– 292
c)
7 264
– 431
d) 4 906
– 734
e)
4 906
– 736
Calcula y controla:
a) 5 374 – 2 641
b)
375 – 525
c) 7 082 – 1 551
47 – 62
5 354 – 1 844
1 870 – 950
84 – 65
4 287 – 365
906 – 2 003
Calcula la diferencia de los números 4 362 y 2 226.
El minuendo es 8 765 y el sustraendo es 3 456. Calcula la
diferencia.
* ¿Qué número es 1 236 unidades menor que el número 2 345?
Calcula y controla:
a)
3 583
– 1 725
b)
5 053
– 2 617
c)
4 750
– 3 915
d) 6 381
– 5 568
e)
8 591
– 2 715
c)
2 453
– 1 285
d) 4 006
– 2 564
e)
3 634
– 1 687
Calcula y controla:
a)
7 436
– 6 168
b)
8 904
– 2 806
Sustrae 17 de 29; 85; 101; 250; 3 017.
Sustrae 170 de 290; 850; 950; 2 170; 366.
Calcula y controla:
a)
154
829 m
– 419 m
b)
4 950 kg
– 1 025 kg
c) $ 2 300
– $ 205
d)
745 m
– 250 m
UNIDAD 2
Calcula y controla:
a)
$ 72,38
– $ 19,40
b)
$ 23,85
– $ 17,56
c) 535 m
d)
8 105 m
– 278 m
– 5 575 m
Sustrae $ 0,75 de de $ 6,34; $ 81,40; $ 47,04.
Calcula:
a) 3 436 m – 2 590 m
8 436 m –
b) $ 4 650 – $
765
757 m
$ 4 205 – $ 6 013
3 694 m – 1 098 m
$ 6 800 – $ 2 795
* Sustrae 75 ¢ de cada cantidad e indica el resultado en pesos
y centavos. Después escribe con coma.
a) 359 ¢; 264 ¢; 528 ¢
b) 249 ¢; 442 ¢; 373 ¢
* ¿Cuál de las igualdades siguientes es correcta?
a) 990 – 490 = 790 – 290
b) 650 – 310 = 750 – 420
Calcula:
a) 678 – 246 = u
b) 5 831 – 2 615 = w
469 – 183 = v
8 165 – 1 738 = x
Forma en cada caso ejercicios y soluciónalos:
a) Comienza con 300. Adiciona siempre 375.
b) Comienza con 10 000. Sustrae siempre 353.
En una escuela hay 229 pioneros que les gusta leer libros de
cuento y 138 pioneros que les gusta dibujar.
a) ¿Cuántos pioneros más hay que les gusta leer libros de
cuento?
b) ¿Cuántos pioneros en total tiene la escuela?
155
MATEMÁTICA
Mercedes y Rosa meriendan en la cafetería. La merienda cuesta
$ 3,45. Rosa paga $ 2,50. ¿Cuánto debe pagar Mercedes?
Silvia compra una saya que le cuesta $ 9,50 y una blusa de
$ 6,60. Ella paga con un billete de $ 20,00. ¿Cuánto le tienen
que devolver?
2.7 Ejercitación variada
Con todo lo aprendido ya estás listo para los siguientes
ejercicios:
Ejercicios
Soluciona las igualdades siguientes:
a) x + 350 = 400
b) a – 30 = 270
c) 4 600 + e = 5 000
Soluciona las igualdades siguientes:
a) 740 + b = 820
b) 920 + y = 950
c) c – 300 = 3 000
Calcula y controla:
156
UNIDAD 2
a) 84 + 13
84 + 14
84 + 15
b) 43 + 21
43 + 21
43 + 21
c) 46 + 41
56 + 51
66 + 61
d)65 – 42
75 – 52
85 – 62
e) 34 + 25
75 – 52
85 – 62
Indica la unidad inmediata inferior a 1 m; 1 cm; 1 dm.
Indica la unidad inmediata superior a 1 mm; 1 dm; 1 cm.
Gloria tiene 95 ¢. ¿Qué artículos de los siguientes puede
comprar con ese dinero? ¿Cuánto recibe de vuelto en cada
compra?
Listado de precios
Libreta----------------------- 17 ¢
goma de borrar----------- 35 ¢
regla------------------------- 60 ¢
cartabón-------------------- 65 ¢
Completa:
a)
3 kg = ________ g
2 t = ________ kg
2 000 g = ________ kg
b) 5 000 kg = ________ t
8 t = ________ g
3 t = ________ kg
Calcula:
a) 3 406 m – 2 305 m
b) $ 4 650 + $ 280
9 621 m – 1 213 m
$ 3 456 + $ 459
* Compara:
a) 670 – 240
530
b) 820 – 340
490
Calcula y controla:
a)
708
– 305
b)
509
– 508
c)
7 409
– 8 206
d) 5 647
– 6 047
e)
695
– 405
157
MATEMÁTICA
Calcula y controla:
a) 358 – 218
368 – 228
b) 6 432 – 25
6 532 – 358
c) 6 345 – 2 526
7 345 – 3 526
d) 849 –365
839 – 355
En un huerto escolar se cosecharon 230 kg de tomate y
340 kg de col. Se han consumido en el comedor 120 kg de
tomate y 110 kg de col.
a) ¿Cuántos kilogramos de col y cuántos de tomate faltan
por consumir?
En una pescadería se reciben 475 kg de jurel y 320 kg de
merluza. Se venden por la mañana 292 kg de jurel.
a) ¿Cuántos kilogramos de pescado se recibieron en la
pescadería?
b) ¿Cuántos kilogramos de jurel quedan por vender?
¿Qué cifra falta?
a) 9
7 es la suma de 388 y 519.
b) 1
49 es la diferencia de 3 074 y 1 925.
c)
158
738 es la diferencia de 3 567 y 829.
UNIDAD 2
* El minuendo es 8 888, el sustraendo es el número mayor de
tres lugares. Determina la diferencia.
* El minuendo es el menor número de cinco lugares, el sustraendo es el mayor número de cuatro lugares. Calcula la
diferencia.
Un grupo de pioneros van al campo a recoger naranjas.
La brigada de Luis recoge 145 cajas, la de Eduardo recoge
130 cajas y la de Enrique 209 cajas.
a) ¿Cuántas cajas con naranjas recogen las brigadas de Luis
y Enrique juntas?
b) ¿Cuántas cajas más recoge la brigada de Enrique con respecto a la de Eduardo?
Un círculo infantil llamado Los mambisitos tiene una
capacidad de 210 niños. Si ya hay matriculados 94 varones y 105 hembras, ¿cuántos niños se pueden matricular
todavía?
159
MATEMÁTICA
Claudia tenía recolectado 1 050 sellos. La semana pasada,
compró 340 sellos más. Ayer le regala 7 sellos a su compañera ¿Cuántos sellos le quedan hoy en total?
El siguiente pictograma muestra la cantidad de carros de diferentes colores que hay en un parqueo:
Cantidad de carros por colores
Rojo
Verde
Cada
Azul
Blanco
representa a 3 carros
a) ¿De que color es el carro que más hay en el parqueo?
¿Por qué?
b) ¿Cuántos carros más hay de color verde con respecto a los
de color blanco?
El siguiente gráfico de barras representa la cantidad de
libros consultados durante 5 días en una biblioteca:
Libros consultados
en una biblioteca
Cantidad de libros
12
9
6
3
0
Lunes
Martes Miércoles
Jueves
Días de la semana
160
Viernes
UNIDAD 2
a) ¿Cuántos libros se consultaron el miércoles?
b) ¿Cuántos libros se consultaron los tres últimos días de la
semana?
c) ¿Cuántos libros más se consultaron el miércoles que el
jueves?
d) ¿Cuántos libros en total se consultaron en toda la semana?
En la siguiente tabla se muestra la cantidad de metros de
tela que hay en diferentes rollos en una tienda:
Cantidad de rollos
Metros de tela
Primer rollo
108 m
Segundo rollo
96 m
Tercer rollo
104 m
Cuarto rollo
a) En la tienda hay 390 m de tela en total. ¿Cuántos metros
de tela tendrá el cuarto rollo?
b) ¿Cuántos metros de tela más hay en el primer rollo que
en el segundo rollo?
Calcula:
a) 23 + 64
b) 68 + 21
c) 84 + 12
d) 51 + 48
e) 46 + 32
f) 35 + 43
161
MATEMÁTICA
Calcula:
a) 800 + 300
b)1 500 – 800
700 + 600
1 600 – 900
500 + 700
1 200 – 900
900 + 400
1 300 – 500
Subraya los datos que necesites para dar solución a este problema. Resuélvelo:
Teresa y su prima fueron de compras. Teresa compró 17 libretas y 4 gomas; su prima, 15 lápices, 2 bolígrafos y 20 libretas.
¿Cuántas libretas compraron entre las dos?
Felipe tiene 120 libros y 40 revistas en su casa. Le regaló
60 libros a su mejor amigo. ¿Cuántos libros le quedan a Felipe?
El papá de Daniel le ha comprado una pelota de $ 250 con
un billete de $ 500 y en el bolsillo tiene 500 ¢. ¿Cuánto dinero le devuelven?
Adiciona los números 235 y 3 404.
Un sumando es 430 y el otro 320. Calcula la suma.
Un sumando es el sucesor de 319, el otro sumando es el antecesor de 9 680. Calcula la suma.
Resuelve:
a) Un sumando es 240 y la suma es 890. Calcula el otro
sumando.
b) El sustraendo es 830 y el minuendo es 905. Calcula la
diferencia.
c) ¿En cuánto es mayor 894 que 532?
d) ¿En cuánto es menor 252 que 453?
En una ganadería hay 1 050 vacas. El mes pasado, se compró
340 vacas más. Ayer se escaparon 7 vacas. ¿Cuántas vacas
quedan hoy en total?
162
UNIDAD 2
Resumen
Adición
Sumando
Sumando
+
8
5
=
13
Suma
Suma
8 + 5 = 13
8 + 5 es una suma
8 y 5 son sumandos
La suma de 8 y 5 es 13
Todos los ejercicios de adición tienen solución.
Los sumandos pueden intercambiarse. La
suma es igual.
8+5=5+8
5=5
Los sumandos pueden asociarse de dife- (5 + 8) + 2 = 5 + (8 + 2)
rentes maneras. La suma es igual.
13 + 2 = 5 + 10
15 = 15
Adición oral
Solución con ayuda de un ejercicio 24 + 3
básico
4 + 3 = 7, entonces
24 + 3 = 27
Solución con ayuda de pasos parciales
24 + 3
24 + 20 = 44
44 + 3 = 44, entonces
24 + 23 = 47
Procedimiento escrito de la adición
Escribe los sumandos, correctamente, en Ejercicio: 3 586 + 649
columna.
Adiciona, observa el sobrepaso.
3 586
+ 649
4 235
9 + 6 = 15
1 + 4 + 8 = 13
1 + 6 + 5 = 12
1+3= 4
Controla
+
3 586
649
4 235
6 + 9 = 15
1 + 8 + 4 = 13
1 + 5 + 6 = 12
1+3= 4
163
MATEMÁTICA
Sustracción
Minuendo
13
Sustraendo
+
5
Diferencia
=
8
Diferencia
13 – 5 = 8
13 – 5 es una diferencia
13 es el minuendo
5 es el sustraendo
La diferencia de 13 y 5 es 8
Sustracción oral
Solución con ayuda de un ejercicio 24 – 3
básico
7 – 3 = 4, entonces
27 – 3 = 24
Solución con ayuda de pasos parciales
47 – 23
47 – 20 = 27
27 – 3 = 24, entonces
47 – 23 = 24
Procedimiento escrito de la sustracción
Comprueba si el minuendo es igual o ma- Ejercicio: 3 586 – 759
yor que el sustraendo.
Mediante la adición
3 586
Escribe el minuendo y el sustraendo,
– 759
correctamente, en columna.
2 827
9 + 7 = 16
1+5+2=8
7 + 2 = 15
1+2= 3
Calcula la diferencia adicionando o sus- Mediante la sustracción
trayendo. Observa el sobrepaso.
3 586
16 – 9 =
Calcula.
– 759
(5 + 1 = 6) 8 – 6 =
2 827
15 – 7 =
(0 + 1 = 1) 3 – 1 =
3 586
Como se adicionó 10 al minuendo se
16 – 9 =
debe adicionar 10 al sustraendo para – 759
(8 – 1 = 7) 7 – 5 =
2 827
que la diferencia no varíe, como 10 uni15 – 7 =
dades son una decena, se adiciona 1 en
(3 – 1 = 2) 2 – 0 =
ese lugar del sustraendo.
Mediante la sustracción
2 827
– 759
3 586
164
7
2
8
2
7
2
8
2
7 + 9 = 16
1+2+5=8
8 + 7 = 15
1+2= 3
UNIDAD 3
Multiplicamos y dividimos hasta 10 000
¿Qué voy a aprender?
Dividir y multiplicar son dos operaciones matemáticas muy
importantes que nos ayudan a resolver problemas. Cuando multiplicamos, estamos sumando un número varias veces. Por otro
lado, cuando dividimos estamos repartiendo una cantidad en
partes iguales. Estas operaciones no solo son útiles, sino que
también pueden ser una forma divertida de interactuar con números grandes y realizar cálculos que te ayuden en la vida diaria.
7
6
10
14
2
5
12
165
MATEMÁTICA
3.1 Multiplicación y división hasta 10 000.
Cálculo oral
Calculamos con el número 10
Para dar inicio a este nuevo contenido, tan interesante
como los anteriores, te propongo comenzar con el siguiente
ejemplo:
Una caja contiene cinco hileras con diez posturas de lechuga
cada una. Hay diez cajas con posturas para plantar. ¿Cuántas
posturas de lechuga pueden plantarse?
Solución:
Primeramente, calculamos:
La cantidad de posturas en una caja:
5 · 10 = 50
La cantidad de posturas para plantar: 10 · 50 = 500
Respondemos: Pueden plantarse 500 posturas de lechuga.
166
UNIDAD 3
Números que son divisibles por 10
Resuelve el ejercicio:
¿Son divisibles por 10 los números 640; 5 640; 5 600 y 5 000?
Fundamenta con ayuda de la multiplicación.
Veamos el ejemplo siguiente:
640 es divisible por 10 porque 640 = 64 · 10
¿Estás listos para resolver los ejercicios?
1. ¿Cómo calculas el décuplo de un número? Calcula el décuplo
de 1; 8; 6 y 10.
2. ¿Cómo sabes si un número es divisible por 10?
Números que no son divisibles por 10. División con resto
Reflexiona
Sabemos que 65 no es divisible por 10, pues su última
cifra no es cero.
También sabemos que 65 = 6 · 10 + 5.
Por eso, al dividir 65 entre 10, sobran 5.
Al sumando 5 lo llamamos resto.
El factor 6 es el cociente.
Esta es una división con resto.
167
MATEMÁTICA
Recuerda que ...
Cuando dividimos por 10, si el número no es divisible,
determinamos el cociente y el resto.
Veamos los ejemplos que se ofrecen a continuación:
a) 70 es divisible por 10
b) 72 no es divisible por 10
70 : 10 = 7
72 : 10 = 7
cociente
2
cociente
resto
c)
870 : 10
Ejercicios
Calcula:
a) 90 : 10
b)
80 : 10
320 : 10
1 460 : 10
900 : 10
Determina el cociente y el resto al dividir por 10 los números
siguientes:
a)
87
b)
34
c)
25
d)
98
47
84
24
63
27
65
35
46
Multiplica por 10 los números siguientes: 4; 37; 120; 230; 34
y 200.
Extrae de la pecera todos los peces en los cuales aparece
el décuplo de un número. Fundamenta la elección con los
correspondientes ejercicios de multiplicación.
168
UNIDAD 3
740
40
10
30
700
680
50
120
36
830
Ordena los siguientes productos. Comienza por el menor:
a) 23 · 10
460 · 10
10 · 56
123 · 10
b) 2 · 10
10 · 290
10 · 0
4 · 10
a ∙ 10
f
Completa las tablas:
e
e ∙ 10
a
276
230
0
70
985
400
900
74
97
250
7
10
f ∙ 10
2 460
0
50
Descompón 580; 7 200; 370; 30; 350 en dos factores. Uno de
ellos debe ser 10.
Soluciona las igualdades siguientes:
a) 730 : x = 73
c) 4 370 : y = 437
e) s : 10 = 700
b) 97 · k = 970
d) a · 10 = 870
f) r · 10 = 3 500
169
MATEMÁTICA
Divide si son divisibles por 10. Circula los que no son divisibles.
a)
b)
70
7 830
c)
0
d)
1 000
630
240
80
530
87
550
327
7
401
3 087
8 990
9 105
En un almacén hay 230 m de alambre distribuidos por igual
en 10 rollos. ¿Cuántos metros de alambre tiene cada rollo?
En una relojería se venden 10 relojes de hombre a $ 85,00
cada uno, y la misma cantidad de relojes de mujer a
$ 63,00 cada uno. ¿Cuántos pesos se cobran por los relojes de
hombre y cuántos por los relojes de mujer?
En una joyería se cobraron $ 250,00 por 10 anillos de un
mismo precio y $ 960,00 por cadenas de $ 10,00 cada una.
a) ¿Cuántos pesos se cobran por cada anillo?
b) ¿Cuántas cadenas se vendieron?
Calcula:
3 280
40
8 000
700
470
70
800
270
: 10
390
0 560
380
Convierte en metros:
170
a) 40 dm;
80 dm;
200 dm;
600 dm
b) 500 dm;
650 dm;
1 000 dm;
7 000 dm
UNIDAD 3
Convierte en milímetros:
a) 3 cm;
12 cm;
40 cm;
127 cm;
65 cm
b) 82 cm;
280 cm;
600 cm;
1 cm;
49 cm
Convierte a la unidad inmediata inferior:
2 m;
14 dm;
640 cm;
24 m;
156 dm
Indica los números que son divisibles por 10:
12
1 054
770
740
4 703
10 ∙ 36
120
603
98
904
Los cooperativistas llevan al mercado 139 kg de malanga y 278 kg de yuca, además de 142 kg de guayaba y
274 kg de piña. ¿Cuántos kilogramos de vianda y cuántos
kilogramos de frutas se entregaron al mercado?
Un tren transporta 10 vagones con 25 t de gravilla cada uno
y 10 vagones con 40 t de arena cada uno. ¿Cuántas toneladas de gravilla y cuántas de arena transporta el tren?
Una empresa de equipos médicos produjo 2 730 aparatos
ortopédicos. De ellos 1 920 se enviaron a otros países. Los
restantes se vendieron en nuestro país. Plantea una pregunta al problema y respóndela.
171
MATEMÁTICA
Calcula:
}
a) 23
18
42
37
b)
+ 50
85
79
82
96
}
– 50
Calcula:
a)
8+7
b)
7+6
c)
15 – 6
80 + 70
70 + 60
150 – 60
800 + 700
700 + 600
1 500 – 600
Calculamos con el número 100
Luis compra servilletas de papel. En un paquete hay 100 servilletas. Él compra tres paquetes. ¿Cuántas servilletas compra en total?
Solución:
Primeramente, calculamos:
La cantidad de servilletas en un paquete: 100
La cantidad de paquetes que compra: 3 · 100 = 300
Respondemos: Luis compró 300 servilletas en total.
172
UNIDAD 3
Números que son divisibles por 100
Resuelve el ejercicio.
¿Son divisibles por 100 los números 6 400; 7 000 y 2 300?
Fundamenta con ayuda de la multiplicación.
Ejemplo:
6 400 : 100 = 64 porque 64 · 100 = 6 400
¿Estás listos para resolver los ejercicios?
1. ¿Cómo multiplicas un número por 100? Multiplica por 100 los
números 8; 23,99 y 100.
2. ¿Cómo sabes si un número es divisible por 100?
Números que no son divisibles por 100. División con resto
Reflexiona
Sabemos que 873 no es divisible por 100, pues sus dos
últimas cifras no son ceros.
También sabemos que 873 = 8 · 100 + 73
Por eso, al dividir 873 entre 100, obtenemos cociente
8 y resto 73.
Esta es una división con resto.
Cuando dividimos por 100, si el número no es divisible,
determinamos el cociente y el resto.
173
MATEMÁTICA
Veamos los ejemplos que se ofrecen a continuación:
a) 600 es divisible por 100
b) 560
560 no es divisible por 100
600 : 100 = 6
560 : 100 = 5
cociente
cociente
60
resto
Ejercicios
Calcula:
a) 73 · 100
10 · 100
8 · 100
b) 37 · 100
87 · 100
47 · 100
Calcula:
a) 100 · 32
b)
100 · 7
100 · 0
100 · 95
100 · 69
100 · 100
Calcula:
a)
700 : 10
b)
7 300 : 100
c) 7 900 : 100
8 000 : 100
8 400 : 100
400 : 100
600 : 100
5 600 : 100
700 : 100
7 000 : 100
2 900 : 100
800 : 100
Completa las tablas.
174
UNIDAD 3
a)
b)
d
d ∙ 100
a
c)
a ∙ 100
e
e ∙ 100
34
6 800
400
7
400
65
4 000
6 500
1
8 007
0
78
Divide los números siguientes por 10 y por 100:
600; 7 500; 800; 4 300; 1 600; 2 700; 5 900; 4 400
Divide si son divisibles por 100. Circula los que no son
divisibles.
a) 382
582
745
b)
746
6 800
24
c)
387
0
400
Calcula el cociente y el resto al dividir por 100 los números
siguientes:
640; 125; 603; 852
Convierte en centímetros: 3 m; 12 m; 6 m; 8 m.
Convierte en metros: 300 cm; 4 000 cm; 5 200 cm.
Completa:
a) 8 000 g = __________ kg
b) 7 000 kg = __________ t
c) 3 000 kg = __________ t
d) 6 000 g = __________ kg
Multiplicamos con múltiplos de 10 y de 100
Recuerda que…
Los factores pueden asociarse de diferentes maneras.
El producto es igual.
175
MATEMÁTICA
Veamos el ejemplo siguiente:
4·2·5
4 · (2 · 5) = 4 · 10
(4 · 2) · 5 = 4 · 10
= 40
= 40
4 · (2 · 5) = (4 · 2) · 5
Recuerda:
Factor Factor Factor
40
=
·
·
5
2
4
Producto
Veamos otro ejemplo:
Un ómnibus tiene 40 asientos. ¿Cuántos asientos tienen 3 ómnibus iguales?
Solución:
Hay que calcular 3 · 40
Calculamos mentalmente:
176
UNIDAD 3
3 · 40
3 · 40 = 12
12 · 10 = 120
Porque
3 · 40 = 3 · 4 · 10
= 12 · 10
= 120
Observa que primero
se calcula el ejercicio
básico y después se
multiplica por 10 agregando un cero.
Entonces escribimos: 3 · 40 = 120
Respuesta: Tres ómnibus iguales tienen 120 asientos.
También podemos calcular así ejercicios como 6 · 800
6 · 800
6·8 =
48
48 · 100 = 4 800
Primero se calcula el ejercicio
básico y después se multiplica por 100 agregando dos
ceros.
Escribimos: 6 · 800 = 4 800
Ejercicios
Calcula:
a) 5 · 60
80 · 4
b) 600 · 3
800 · 5
c)
4 · 90
300 · 3
¿Cómo puedes calcular?
4 · 2 · 3;
2 · 3 · 3;
3 · 2 · 4;
3 · 2 · 5;
5·2·3
Calcula:
a) 7 · 6; 6 · 4; 8 · 7; 6 · 3; 9 · 4; 5 · 7; 8 · 6; 7 · 6; 9 · 9
b) 3 · 10; 23 · 100; 17 · 10; 340 · 10; 59 · 10; 4 · 100; 70 · 100
Dividimos con múltiplos de 10 y de 100
Ahora aprenderemos a dividir múltiplos de 10 y de 100 en
algunos ejemplos.
177
MATEMÁTICA
Ejemplo 1:
320 : 4
32 : 4 = 8
Reconocemos el ejercicio básico y lo calculamos.
320 : 4 = 80
Transferimos el resultado al ejercicio dado.
Escribimos: 320 : 4 = 80
porque 80 · 4 = 320.
Ejemplo 2:
3 200 : 4
Reconocemos el ejercicio básico y lo calculamos.
32 : 4 = 8
3 200 : 4 = 800
Transferimos el resultado al ejercicio dado.
Escribimos: 3 200 : 4 = 800
porque 800 · 4 = 3 200.
Recuerda que…
Si dividimos por un mismo número el dividendo y el
divisor, el resultado no varía.
Vamos a ver el ejemplo que se muestra a continuación:
Calculamos
Pensamos
80 : 20
80 : 10 = 8
20 : 10 = 2
8:2=4
Dividimos entre 10 ambos
números
Calculamos solamente el
ejercicio básico.
Entonces escribimos: 8 0 : 2 0 = 4
Repasemos: la división:
Divisor
Dividendo
320
:
Cociente
178
4
=
80
Cociente
UNIDAD 3
En ejercicios como los siguientes, recuerda que debes
multiplicar o dividir antes de adicionar o sustraer.
Ejercicios
Calcula:
a) 210 : 3
b) 2 100 : 3
c) 250 : 5
Calcula y fundamenta:
a) 32 : 4
b) 16 : 8
c) 56 : 7
d) 64 : 8
e) 63 : 7
Calcula y convierte el resultado en la unidad inmediata
superior.
a) 50 cm · 3
b) 1 000 g · 6
c) 800 kg · 5
d) 70 ¢ · 3
Calcula:
a) Los dividendos son iguales. Observa los divisores
y los cocientes obtenidos
después del cálculo. ¿A
qué conclusión llegas?
b) Los divisores son iguales.
Observa los dividendos y
los cocientes obtenidos
después del cálculo. ¿A
qué conclusión llegas?
60 : 2
180 : 9
360 : 9
120 : 6
60 : 3
180 : 6
4 500 : 9
540 : 6
60 : 6
180 : 3
6 300 : 9
6 000 : 6
179
MATEMÁTICA
Calcula:
a) 150 + 5 · 20
b) 270 – 240 : 8
Calcula:
a)
20 : 2
40 : 2
60 : 2
hasta
200 : 2
b)
80 : 8
c)
160 : 8
240 : 8
hasta
560 : 8
30 : 3
d)
60 : 3
90 : 3
hasta
300 : 3
60 : 6
120 : 6
180 : 6
hasta
600 : 6
Calcula:
a) 360 : 9
c) 720 : 8
e) 540 : 6
b) 270 : 3
d) 560 : 7
f) 810 : 9
Divide cada uno de los siguientes números: 180; 270 y 90,
entre 3 y 9.
Calcula:
a)
80 : 4
b) 240 : 80
240 : 80
80 : 40
Completa las tablas:
d
40
120
80
160
60
d:2
d : 20
e
810
360
540
630
270
180
c)
90 : 3
d) 480 : 6
90 : 30
480 : 60
a
210
350
70
420
140
e:9
e : 90
a:2
a : 70
UNIDAD 3
Calcula:
a)
b)
12. Calcula y fundamenta:
a) 320 : 80
b) 450 : 50
c) 210 : 70
d) 270 : 90
320 : 40
450 : 90
210 : 30
270 : 30
10. Calcula y fundamenta:
a) 640 : 8 + 13
30 · 8 – 20
490 : 7 – 9
b) 350 + 240 : 6
720 :
9 + 4 500
2 700 + 350 : 7
11. Calcula:
a) 400 : 2
b) 4 900 : 7
c) 4 200 : 6
d)
400 : 8
800 : 4
6 300 : 9
3 500 : 7
4 000 : 8
600 : 3
3 600 : 4
4 500 : 9
2 700 : 3
Se necesita transportar 350 t de azúcar. ¿Cuántos camiones
hay que cargar si cada uno lleva 5 t?
Un grupo de 270 pioneros necesita trasladarse a un campamento vacacional. ¿Cuántos ómnibus hay que utilizar si en
cada uno pueden viajar 30 pioneros?
181
MATEMÁTICA
En saludo al 4 de abril, los pioneros quieren adornar su escuela con banderitas. Para ello tienen 3 m de tela roja y 4 m de
tela azul. ¿Cuántas banderitas rojas y cuántas azules pueden
hacer si cada una se lleva 50 cm de tela?
La maestra reparte por igual 180 lápices a dos grupos de
30 estudiantes cada uno. ¿Cuántos lápices recibe cada
estudiante?
Completa las tablas:
d
e
4
30
7
d∙e
210
80
a
b
3 200
8
a:b
7 200
320
900
700
6
Adiciónale a 2 000 el cociente de 350 y 7.
Divide por 100 la suma de los números 5 000 y 4 000.
Sustrae de 800 el producto de 50 y 4.
Multiplica la suma de los números 47 y 36 por 10.
Multiplica cada uno de los siguientes números: 30; 70; 80;
400; 600 y 800 por 7 y por 3.
Dados los siguientes tríos de números:
80; 140; 60
1 700; 600; 2 300
0; 430; 430
a) Forma cuatro igualdades con cada uno de estos tríos de
números.
b) Escribe el antecesor y el sucesor de cada número.
182
UNIDAD 3
3.1.1 Calculamos con magnitudes
Observa la siguiente situación:
Irene vio descargar para el comedor de su escuela 4 sacos de
arroz de 50 kg cada uno. Ella quiere saber cuántos kilogramos
de arroz se descargaron.
Solución:
Hay que calcular 4 · 50 kg. Para calcular multiplicamos los números y escribimos después la unidad de medida.
Calculamos mentalmente: 4 · 50
4 · 50 = 200
Escribimos: 4 · 50 kg = 200 kg
Ejercicios
Calcula:
a) 4 · 80 kg
b) 5 · 30 m
Calcula:
a) 7 · 60
b) 70 · 6
3· 4
90 · 4
c) 80 ·
7
9 · 80
183
MATEMÁTICA
d) 50 · 4
e) 8 · 60
9 · 70
40 · 7
f) 20 ·
7
8 · 90
Se dan los números 3; 5; 8; 7 y 6. Multiplica cada número por:
a) 30; 80; 60; 90
b) 200; 300; 600; 400
Calcula:
a) 4 · 700 b) 500 · 3 c)
2 · 300
d) 600 · 7
e)
9 · 70
6 · 80
800 · 7
30 · 8
30 · 6
9 · 700
9 · 900
80 · 7
9 · 800
700 · 6
90 · 7
Calcula:
a) 8 · 7 · 100
b) 2 · 3 · 90
c) 2 · 400 · 8
d) 50 · 2 · 9
* Calcula:
a) x · 50 = 450
b) 900 · a = 7 200
En una escuela de natación hay una piscina de 50 m de
largo. Gerardo nada 8 veces esa distancia. ¿Cuántos metros
nada Gerardo?
184
UNIDAD 3
Completa la tabla siguiente:
e
f
g
10
30
20
60
7
6
7
10
8
80
8
10
8
0
10
e∙f∙g
Un ómnibus escolar recorre una distancia de 600 m en un minuto aproximadamente. ¿Cuántos kilómetros recorre Pedro
en ese ómnibus si se demora 5 minutos en el camino?
Eduardo tiene 20 años. ¿Cuántos años tiene su abuela si
tiene tres veces la edad de Eduardo?
En un huerto escolar hay 87 posturas de plantas medicinales.
Los pioneros entregan 4 posturas cada uno. Si son 30 los pioneros que entregan posturas, ¿cuántas posturas hay ahora
en el huerto escolar?
La directora de una escuela tiene 176 cajas de crayolas.
Entrega 20 cajas a cada uno de los grupos de primer grado
y las que quedan se las da al grado prescolar. ¿Cuántas cajas
de crayola entrega al grado prescolar?
185
MATEMÁTICA
Problemas
Un ómnibus escolar lleva a un grupo de pioneros exploradores hasta el campamento pioneril y recorre una distancia de
340 km en cuatro días. El primer día recorre una distancia
de 100 km. La distancia restante se recorre, a partes iguales, en
tres días. ¿Cuántos kilómetros recorre el ómnibus en uno de esos
tres días?
Solución:
Una vía de solución es mediante un esquema, donde representamos los datos esenciales para responder la pregunta y también
señalamos lo que se busca.
A la distancia total recorrida, le restamos lo que recorre el
ómnibus el primer día y obtenemos la distancia restante:
340 km – 100 km = 240 km
Ahora podemos calcular la distancia que se recorre en uno de
esos tres días dividiendo 240 km : 3 = 80 km
Respondemos: El ómnibus recorre 80 km en uno de esos
tres días.
Ejercicios
Un grupo de excursionistas recorre 870 km en 4 días. Los
tres primeros días recorren 200 km por día. ¿Qué distancia
recorren el cuarto día?
186
UNIDAD 3
De un rollo de alambre que tiene 185 m de largo se cortan
3 trozos iguales de 60 m cada una. ¿Cuántos metros de alambre quedan en el rollo?
* Observa el esquema, elabora un problema y soluciónalo.
Comienza así: Carlos viaja con sus padres…
* Un motociclista viaja de Varadero a Cárdenas. Al mismo
tiempo otro motociclista viaja de Cárdenas a Varadero. ¿Cuál
de los dos está más lejos de Cárdenas cuando se encuentran?
Un rollo de tela tiene 36 m y otro tiene 57 m. Formula una
pregunta de modo que al resolverla tengas que adicionar.
En una competencia deportiva un ciclista recorre un tramo
con su equipo. Los últimos 40 km los viajó como delantero.
La distancia total recorrida fue de 187 km. ¿Cuántos kilómetros viajó el ciclista con su equipo?
187
MATEMÁTICA
3.2 Procedimiento escrito de la multiplicación
Vamos a analizar el siguiente problema:
A una escuela envían 43 mesas. Elena quiere calcular cuántas
sillas deben enviar si a cada mesa le corresponden 2 sillas.
Solución:
Hay que calcular: 43 · 2, para lo cual se puede proceder así:
(40 + 3) · 2 = 2 · 40 + 2 · 3
= 80 + 6
= 86
Observa que el 8 se obtiene
de multiplicar el 2 por las decenas, y el 6 de multiplicar el
2 por las unidades.
En la práctica también podemos calcular aplicando el procedimiento escrito.
En la multiplicación escrita procedemos así:
1.
Coloca los factores uno al lado del otro. Traza una raya
debajo.
4 3 ∙ 2
2.
Calcula con ayuda de los ejercicios básicos. Cada resultado
parcial se escribe debajo de la raya, de derecha a izquierda.
4 3 ∙ 2
8 6
3.
Pensamos
2·3=6
2·4=8
Escribimos
6
8
Puedes controlar calculando otra vez el ejercicio.
Vamos a calcular ahora 214 · 2
188
UNIDAD 3
Antes de la multiplicación escrita podemos hacer un estimado
para tener una idea del resultado que vamos a obtener; pensamos así:
214 ≈ 200
Estimado: 200 · 2 = 400
El resultado debe ser un número que se aproxime a 400.
Calculamos así:
2 1 4 ∙ 2
4 2 8
Controlamos: comparando el resultado
con el estimado:
428 ≈ 400
Podemos calcular otra vez.
Recuerda que…
En la multiplicación escrita procedemos así:
1. Determinamos un estimado del resultado.
2. Calculamos por escrito.
3. Controlamos.
Comparamos el producto con el estimado o
calculamos otra vez.
Ejercicios
Calcula:
a) 34 · 2
b) 32 · 3
c) 24 · 2
Calcula:
2 · 4
200 · 4
3·
3
1·9
5 · 800
400 · 7
189
MATEMÁTICA
Calcula:
a) (3 + 4) · 3
b) (20 + 50) · 4
c) (100 + 400) · 2
Redondea a múltiplos de 100. Multiplica por 3 los números
redondeados.
320; 470; 230; 552; 638; 149
Calcula:
a) 310 · 3
b) 422 · 2
c) 314 · 4
Calcula:
a) 30 · 3 + 50 · 3
b) 80 : 4 – 40: 4
(40 + 20) · 6
(70 – 30) · 4
c) (80 – 20) · 9
42 : 7 + 14 : 7
Calcula:
a)
23 · 3
b)
12 · 3
43 · 2
c)
21 · 4
41 · 2
d)
31 · 3
33 · 2
44 · 2
Realiza solamente un estimado:
a)
324 · 4
b) 2 056 · 2
c) 3 707 · 3
d) 413 · 9
765 · 3
1 203 · 4
423 · 6
589 · 8
Realiza un estimado, calcula por escrito y comprueba:
a)
232 · 2
b)
112 · 4
c)
231 · 3
d) 113 · 3
442 · 2
121 · 3
2 321 · 2
224 · 2
121 · 4
423 · 2
1 221 · 4
312 · 3
Realiza un estimado, calcula por escrito y comprueba:
a)
190
201· 4
103· 3
b) 1 203 · 2
1 420 · 2
c) 1 231 · 3
2 010 · 4
d) 203 · 2
311 · 2
UNIDAD 3
Calcula:
21
1 333
·3
2 132
1 333
414
231
231
342
·2
221
131
Calcula:
a) el doble de 423
b) el triplo de 320
En una fábrica de envases para helado se fabrican en un
turno 231 envases. ¿Cuántos envases para helado se fabrican
en tres turnos?
Con los números del rectángulo, forma ejercicios de multiplicación con un factor de un lugar. Calcúlalos.
191
MATEMÁTICA
102
3
102
2 223
123
2
32
2 102
Pedro acumula 230 h de trabajo voluntario en la construcción de un círculo infantil. Armando acumula el doble de
esas horas en la construcción de una escuela. ¿Cuántas horas
de trabajo voluntario acumulan entre los dos?
Calcula:
a) 5 · 8 + 3
9·7+4
6·3+8
192
b)
132 + 213
231 + 312
435 + 525
c)
345 + 444
1 849 + 378
7 634 + 286
UNIDAD 3
Calcula:
a) 3 · 1
b)
12 · 10
c)
35 · 100
4·0
10 · 18
30 · 100
0·7
20 · 10
86 · 100
Calcula:
a) c – d
b) c · d
c
30
40
50
80
300
500
100
1 000
d
6
7
8
9
4
3
8
10
3.2.1 Multiplicación escrita con sobrepaso en un lugar
Ahora aprenderemos a calcular con sobrepaso.
Veamos el siguiente ejemplo:
Queremos calcular: 523 · 3
Calculamos:
5 2 3 ∙ 3
1 5 6 9
Estimamos: 500 · 3 = 1 500
Comparamos: 1 569 ≈ 1 500
Observa que obtenemos un número de cuatro lugares
Calculemos ahora el ejercicio: 325 · 3
193
MATEMÁTICA
Pensamos:
3 2 5 ∙ 3
Escribimos:
3 ∙ 5 = 15
5
9 7 5
3 ∙ 2 = 6; 6 + 1 = 7
3∙3=9
7
9
Como el 15 está formado por 5 unidades y 1 decena, se escribe
5 y se adiciona 1 al próximo producto.
Vamos ahora a calcular cantidades de forma escrita. Veamos
el siguiente ejemplo:
2 1 4 m ∙ 3
8 5 6 m
Observa que, como en los ejemplos anteriores, multiplicamos
primero y después escribimos la unidad de medida.
Ejercicios
Calcula:
a) 42 · 3
26 m · 2
b) 621 · 2
810 cm · 3
c)
415 · 2
262 km · 4
Realiza un estimado, calcula por escrito y comprueba:
194
a)
12 · 3
422 · 4
b)
52 · 4
811 · 5
d)
53 · 2
401 · 5
e)
53 · 3
534 · 2
c)
94 · 2
703 · 3
UNIDAD 3
Realiza un estimado, calcula por escrito y comprueba:
a)
d)
317 · 2
b) 328 · 3
324 · 3
229 · 3
213 · 4
e) 1 208 · 3
112 · 5
2 307 · 2
c)
346 · 2
218 · 4
Realiza un estimado, calcula por escrito y comprueba:
a)
192 · 4
b)
282 · 3
d)
2 493 · 2
471 · 2
c)
363 · 2
e)
1 822 · 4
292 · 3
243 · 3
2 142 · 4
1 631 · 3
Calcula:
a) el doble de 3 723
b) el triplo de 3 272
* Analiza y responde:
a) 542 es la mitad de x. ¿Qué número es x?
b) ¿Qué número es y, si 1 432 es la mitad de y?
Ana le regaló a Pedro tres juegos de rompecabezas con
127 piezas cada uno. ¿Cuántas piezas hay en total?
Calcula:
a) 713 g · 3
b) 611 t · 5
137 m · 2
802 kg · 4
Mario compra dos paquetes de caramelos. Cada uno contiene 150 g. Elabora la pregunta y respóndela.
195
MATEMÁTICA
Calcula:
a)
b)
c)
En una cooperativa agrícola se recogieron 2 140 kg de tomate. En otra cooperativa más grande se recogió el triplo.
¿Cuántos kilogramos de tomate se recogieron en total?
Calcula:
a)
532 · 2
b) 2 073 · 3
207 · 3
802 · 3
c)
301 · 4
d) 700 · 2
2 112 · 4
2 123 · 4
15 · 3
303 · 3
222 · 3
23 · 10
¿Están correctos todos los ejercicios? Rectifica los que no lo
estén.
196
a)
302 · 3
936
b)
411 · 3
1 233
d)
281 · 3
343
e)
206 · 4
4 824
c)
802 · 4
3 208
UNIDAD 3
* Completa las cifras que faltan:
a)
21 · 4
168
b)
1·3
186
c)
123 ·
246
Calcula:
a) 114 · 7
b)
1 008 · 5
c)
350 · 10
75 · 10
23 · 4
16 ·
3
12 · 8
293 · 3
1 240 · 4
d) 30 ·
40
37 · 100
3 · 2 000
Al parque zoológico fueron el jueves 895 visitantes, el viernes
812 visitantes y el sábado el doble de la cantidad del
viernes. ¿Cuántos visitantes fueron al zoológico el sábado?
Calcula:
a)
4·3+1
b) 6 · 7 + 2
4·0+1
3·0+2
Calcula:
a)
6·8+2
7·7+2
b) 7 · 8 + 4
4·7+3
197
MATEMÁTICA
Calcula:
a)
42 · 2
b)
31 · 3
34 · 2
412 · 2
3.2.2 Multiplicación escrita con sobrepaso en varios lugares
Ya sabemos calcular ejercicios de multiplicación con sobrepaso en un lugar. Ahora aprenderemos ejercicios con sobrepaso en
varios lugares, los que se resuelven de la misma forma.
Analicemos el siguiente ejemplo:
Queremos calcular: 1 214 · 6
Estimado: 6 000
Calculamos:
Pensamos:
Escribimos:
1 2 1 4 ∙ 6
7 2 8 4
6 ∙ 4 = 24
4
6 ∙ 1 = 6; 6 + 2 = 8
6 ∙ 4 = 12
8
2
6 ∙ 1 = 6; 6 + 1 =7
7
Comparamos y comprobamos.
Recuerda que…
Siempre que haya sobrepaso en uno o en varios lugares, se adiciona 1; 2 o 3… al próximo producto.
198
UNIDAD 3
Ejercicios
Calcula:
a)
78 · 3
b)
56 · 4
c)
85 · 5
d)
96 · 6
416 · 3
2 525 · 3
1 426 · 3
1 627 · 3
3 829 · 2
1 423 · 2
1 624 · 3
1 314 · 7
2 906 · 3 b) 1 515 · 6
c) 1 705 · 4
d) 1 614 · 5
1 308 · 7
1 516 · 6
1 405 · 6
Calcula:
a)
1 615 · 4
En saludo al 1.o de Mayo, los pioneros confeccionan banderitas. ¿Cuántas banderitas hay si 135 pioneros confeccionan
tres banderitas cada uno?
Resuelve:
a) Calcula el producto de 3 y 2 907.
b) Multiplica 1 216 y 5.
c) Calcula el triplo de 1 927.
d) Calcula el cuádruplo de 2 409.
199
MATEMÁTICA
En una herrería se les pone herraduras a 150 caballos.
¿Cuántas herraduras se necesitan?
Calcula:
a)
320 · 4
b)
24 ·
8
12 · 3
84 · 100
400 · 8
132 ·
c)
7 · 300
23 · 10
3
32 · 2
3 · 27
108 · 7
273 ·
4
d)
¿Quién calcula más rápido?
198 ∙ 3
173 ∙ 4
59 ∙ 6
9 ∙ 75
7 ∙ 38
6 ∙ 347
24 ∙ 7
Calcula:
a)
243 · 4
b)
79 · 2
c)
1 236 · 6
d)
34 · 7
45 · 3
3 769 · 2
1 600 · 2
497 · 8
110 · 9
225 · 4
1 365 · 7
105 · 6
Calcula:
a)
178 · 4
36 · 6
b)
176 · 7
c)
270 · 4
239 · 9
d)
664 · 8
2 479 · 4
300 · 7
Calcula:
a)
200
2 010 · 4
b) 1 208 · 8
1 074 · 7
1 409 · 6
c)
834 · 6
34 · 9
d)
625 · 8
50 · 4
UNIDAD 3
* Alicia le preguntó la edad a su abuelo. Este le contestó: “Calcula el doble del mayor número de tres lugares, réstale 1 938 y
sabrás mi edad”. ¿Cuántos años tiene el abuelo de Alicia?
Describe la igualdad siguiente y soluciónala:
518 · 2 + 1 342 = x
Calcula el producto 6 · a; si a = 567 (1 348; 45; 1 469).
En un taller de costura se confeccionan uniformes para una
empresa. Para una camisa se necesitan 150 cm de tela y
para un pantalón 160 cm. ¿Cuántos metros de tela se necesitan para ocho camisas y cuántos metros para cinco
pantalones?
Para una función de teatro se vendieron por la mañana
127 entradas y por la tarde el triplo de esa cantidad. ¿Cuántas
entradas se vendieron en el día?
Estela va de vacaciones con sus padres. El primer día viajan
197 km y el segundo día el doble de estos. ¿Cuántos kilómetros viajan en total? Puedes apoyarte en un esquema.
201
MATEMÁTICA
Dos grupos de pioneros quieren recoger 300 kg de materia
prima cada uno. El primer grupo ya tiene la tercera parte de
lo que quiere recoger y el segundo grupo ha recogido 173 kg.
a) ¿Cuántos kilogramos de materia prima ha recogido el
primer grupo?
b) ¿Qué cantidad de materia prima le falta por recoger al
segundo grupo?
Aurora compra en una dulcería 80 ¢ de galletas y cuatro
dulces de 15 ¢ cada uno. ¿Cuánto tiene que pagar?
María le vende a una tienda de recuperación de materia
prima nueve botellas a 20 ¢ cada una y varias latas de
refresco. Ella recibe en total $ 2,50. ¿Cuánto recibe por las
latas de refresco?
Calcula:
a)
76 + 24
44 + 96
b)
143 – 53
c)
135 – 60
300 + 800
640 – 300
Resuelve cada igualdad:
a)
202
42 + x = 100
b) 460 + x = 500
c) 590 + x = 1 000
77 + x = 100
780 + x = 800
895 + x = 1 000
UNIDAD 3
Calcula:
a)
23 · 7 + 14
b) (700 – 300) · 5
c) (40 + 10) · 5
35 · 9 – 37
200 + 300 · 5
(80 + 9) · 9
Calcula:
a)
730 : 10
b) 210 : 7
4 000 : 100
280 : 70
c) 900 : 3
Compara:
a)
7 500 g con 7 kg 50 g
b) 8 km 25 m con 8 025 m
5 m 23 cm con 523 cm
9 kg 300 g con 9 003 g
3.2.3 Unidades de tiempo
Las unidades de tiempo son utilizadas para medir la duración o el tiempo en que ha transcurrido un acontecimiento. Para
medir el tiempo se puede utilizar el reloj. La unidad principal de
tiempo es el segundo y lo estudiaremos en este grado.
Ya sabemos leer la hora en el reloj con el sistema de 12 h.
11
12
1
10
2
9
3
8
7
4
6
5
203
MATEMÁTICA
Ahora aprenderemos a leer el reloj en el sistema de 24 h.
¡Veamos cómo se hace!
Recuerda que…
El día tiene 24 h.
0:00 h
El día comienza a la hora cero.
10:00 h
Han transcurrido 10 h del nuevo día (10:00 a.m.).
12:00 h
Han transcurrido 12 h del nuevo día (12:00 a.m.).
Es el medio día.
12
11
10 22
9
8
23
24
1
13
14
2
21
15
3
20
16
4
19
7
18
6
17
5
A partir de las doce meridiano (el medio día) continuamos
contando las horas: las 13:00 horas, las 14:00 horas, las 15:00
horas…
24:00 h
Han transcurrido las 24 h del día (12:00 p.m.)
0:00 h
Comienza un nuevo día.
204
UNIDAD 3
Saber más:
El sistema horario de 24 h es un convenio de medición del tiempo en la que el día se desarrolla
de medianoche a medianoche y está dividido en
24 horas, conocido también por hora militar, indicado por la cantidad de horas contadas a partir de
la medianoche, de 0 a 23 (aunque la medianoche
también suele anotarse con 24 en lugar de 0).
El sistema horario de 12 h es una medición del
tiempo en la que las 24 horas del día se dividen en
dos períodos ante meridiano (a.m., “antes del mediodía”) y pasado meridiano (p.m., “después del
mediodía”).
Recuerda que…
Existen relojes que usan manecillas para mostrarnos
las horas y los minutos. Los llamamos relojes "analógicos". La manecilla pequeña indica las horas y la
manecilla grande muestra los minutos.
Ejercicios
Lee la hora en el sistema de 24 h por la mañana (antes meridoano, a.m.) y por la tarde (pasado meridiano, p.m.):
a)
11
12
c)
b)
1
11
12
1
11
12
d)
1
11
10
2
10
2
10
2
10
9
3
9
3
9
3
9
8
7
4
6
5
8
7
4
6
5
8
7
4
6
5
12
1
2
3
8
7
4
6
5
205
MATEMÁTICA
Pon en hora el reloj:
a)
una y media
d) cinco en punto
g) trece y quince
b) 16:00 h
e) 19:35 h
h) 23:55 h
c)
f) 11:50 h
7:30
¿Qué hora se indica en cada reloj?
a)
c)
b)
d)
Representa en un reloj la hora que se indica en cada caso:
a) 5:45 p.m.
b) 10:25 a.m.
c)
d)
3:20 p.m.
1:15 a.m.
El segundo
¿Sabías que…?
Los antiguos romanos fueron los primeros en dividir las horas en minutos y
segundos, por eso estas palabras provienen del latín. Dividían cada hora en
60 porciones más chicas que llamaban
pars minuta prima o “primera parte pequeña”, de donde se impuso el
término minuto. A su vez, dividieron
los minutos en 60 nuevamente, que
lógicamente se llamaban pars minuta
secunda o “segunda parte pequeña”,
la cual terminó llamándose “segundo”.
206
60
55
50
5
0
50
10
40
20
30
10
45
15
40
20
35
30
25
UNIDAD 3
Sabemos que: Una hora tiene 60 min
1 h = 60 min
Ahora aprenderemos que un minuto tiene 60 segundos.
Recuerda que…
El segundo es una unidad de tiempo. Memoriza:
1 min = 60 s
El símbolo de segundo es: s
Saber más:
Para saber sobre el origen del
tiempo como lo conocemos
en la actualidad, debemos
de conocer al que podríamos
llamar su padre o ideador.
Estamos hablando de un ingeniero canadiense, nacido
en 1827. Estamos hablando
de Stanford Fleming.
Realizamos conversiones
Para realizar conversiones con unidades de tiempo puedes
apoyarte en la siguiente tabla:
Unidades de tiempo
Equivalencia
1 min
60 s
1h
60 min
1 día
24 h
1 semana
7 días
1 año
12 meses
207
MATEMÁTICA
Cuando conviertes de una unidad de tiempo mayor a una
menor multiplicas y cuando conviertes de una unidad de
tiempo menor a una mayor divides.
Ahora vamos a aprender a buscar la hora inicial,
la duración o la hora final de una actividad.
Analicemos los ejemplos siguientes:
Queremos saber a qué hora terminó Luis en el trabajo voluntario, si comenzó a las 7:15 a.m. y estuvo 6 h trabajando.
Solución:
Podemos apoyarnos en una tabla:
Comienzo
Duración
7:15 a.m.
6h
Final
Pensamos así: 7 h 15 min + 6 h = 13 h 15 min
Respondemos: Luis terminó el trabajo voluntario a las 13:15 p.m.
o 1:15 p.m.
Ahora queremos calcular qué tiempo dedicó Margarita al trabajo voluntario, si sabemos que comenzó a las 17:30 h y terminó
a las 21:30 h.
Solución:
Podemos apoyarnos en una tabla:
208
Comienzo
Duración
Final
17:30 h
h
21:30 h
UNIDAD 3
Pensamos así: 21 h 30 min – 17 h 30 min = 4 h
Respondemos: Margarita trabajó durante 4 h.
También podemos calcular la hora en que comenzó Nilda su
trabajo voluntario, si conocemos que terminó a las 12:00 m. y
trabajó durante 5 h.
Solución:
Podemos apoyarnos en una tabla:
Comienzo
Duración
Final
5h
12:00 m.
Pensamos así: 12 h – 5 h = 7 h
Respondemos: Nilda comenzó a las 7:00 a.m.
Ejercicios
Observa qué tiempo demoras cuando dices cada uno de
estos números: cuarenta y uno; cuarenta y dos; …; es aproximadamente 1 segundo. Compruébalo.
* Convierte a la unidad inmediata inferior. Puedes apoyarte
en el esquema.
a) 3 semanas
b) 10 días
c) 5 h
d) 6 min
Convierte a la unidad inmediata superior. Puedes apoyarte
en el esquema.
a) 180 s
b) 240 min.
c) 24 h
d) 28 días
209
MATEMÁTICA
Averigua qué tiempo dura:
a) Inflar un globo.
b) Una carrera de 60 m por pioneros de tercer grado.
c) Inflar una cámara de bicicleta.
¿Cuántos segundos son 5 min; 2 min; 8 min; 10 min; 7 min?
Convierte en minutos 240 s; 360 s; 180 s; 600 s.
Determina cuántos meses son:
a)
5 años
b) 4 años
c) 7 años
d) 2 años
8 años
3 años
10 años
6 años
Determina cuántas horas son:
a)
3 días
b) 6 días
c) 7 días
d) 2 días
Calcula los datos que faltan en la tabla siguiente:
Comienzo
Duración
9:00 h
Final
21:00 h
7:15 h
6h
15 min
8:15 h
Completa la tabla siguiente:
Hora
de salida
14:05 p.m.
8:10 a.m.
10:15 a.m.
210
Qué hora es transcurrido un tiempo de viaje de:
20 min
40 min
25 min
2h
UNIDAD 3
Calcula el tiempo de viaje de acuerdo con las horas de llegada en la tabla siguiente:
Hora
de salida
Horas de llegada
17:55 h
18:00 h
18:10 h
19:10 h
17:10 h
A las 15:20 h se comienza una carrera de 5 000 m. El vencedor demora 141 min en llegar a la meta. ¿A qué hora
llega?
Un avión sale a las 22:05 h de Holguín hacia La Habana. El
tiempo de viaje es de 55 min. ¿A qué hora llega el avión a
La Habana?
Elisa ayuda a su mamá a cocinar. Ella coloca una panetela
en el horno a las 17:15 h. Si la panetela necesita 30 min para
cocinarse, ¿a qué hora debe sacar la panetela?
211
MATEMÁTICA
3.3 Procedimiento escrito de la división
Veamos ahora los ejemplos que se ofrecen a continuación.
Con ellos aprendemos que:
(40 + 5) : 5 = 45 : 5
=9
(40 + 5) : 5 = 40 : 5 + 5 : 5
= 8 + 1
=9
Analicemos ahora el problema siguiente:
El tío de Julio desea repartir por igual 36 sellos entre sus 3 sobrinos. Un sobrino quiere saber cuántos sellos va a recibir.
Solución:
Hay que calcular 36 : 3
Se puede proceder de este modo:
Representemos con fichas la solución del problema:
Descomponer 36 unidades en 3 partes iguales
10
1
Comenzamos con las
fichas de 10. Son 3
fichas repartidas entre
3. Tocan a una para
cada uno.
212
10
10
1
1
10
1
10
1
1
10
UNIDAD 3
Repartimos las 6 fichas
de 1 entre 3. Tocan a
dos para cada uno.
Concluimos que a
cada uno corresponden una ficha de 10
dos fichas de 1. En
total 12
Entonces: 36: 3 = 12
1
1
1
1
1
1
10
10
10
1
1
1
1
1
1
12
12
12
También se puede proceder así:
(30 + 6) : 3 = 30 : 3 + 6 : 3
= 10 + 2
= 12
Observa que el 1 se obtiene
de dividir las decenas (3) por 3
y el 2 se obtiene de dividir las
unidades (6) por 3.
En la práctica también puedes calcular con el procedimiento
escrito. Para ello utilizamos el signo que se llama galera ( ). Este
signo también significa división.
¿Sabías que…?
La división por galera (o por el método de la galera)
es un antiguo algoritmo de división que se originó en
la antigua China, actualmente también se puede designar a la “casilla de la división” que separa al divisor
del dividendo).
En la división escrita procedemos así:
1. Escribe el dividendo y a su derecha el divisor dentro de la
galera.
213
MATEMÁTICA
2. Comienza a calcular por la primera
cifra de la izquierda:
3 : 3 = 1; 1 · 3 = 3; 3 – 3 = 0
3´ 6´ 3
3
1
2
0 6
6
Después con la próxima cifra:
6 : 3 = 2; 2 · 3 = 6; 6 – 6 = 0
0
1 2
∙
3
3
6
Comprobación.
3. Comprobamos multiplicando el cociente por el divisor. Debes
obtener el dividendo. Como está correcto puedes subrayar
dos veces el cociente.
Analicemos ahora el ejemplo siguiente:
En ejercicios como 128 : 2, en los que la primera cifra del dividendo es menor que el divisor, debes comenzar a calcular con las
dos primeras cifras del dividendo.
1´ 2´ 8´ 2
1 2
6
12 : 2 = 6; 6 · 2 = 12; 12 – 12 = 0
4
0 8
8
8 : 2 = 4; 4 · 2 = 8; 8 – 8 = 0
0
6
214
4
∙
2
1
2
8
Comprobación.
UNIDAD 3
Ejercicios
Calcula:
a)
142 : 2
d) 217 : 7
g) 1 596 : 3
819 : 9
648 : 8
3 055 : 5
Calcula y comprueba por escrito:
a) 86 : 2
b) 969 : 3
c) 8 462 : 2
d) 442 : 2
96 : 3
484 : 2
6 393 : 3
369 : 3
Calcula y comprueba por escrito:
a) 248 m : 2
b) 3 693 mm : 3
c) 4 488 kg : 4
2 848 g : 3
1 842 t : 2
$ 1 486 : 2
Para una bicicleta se necesitan dos gomas. ¿Cuántas bicicletas pueden armarse con 2 860 gomas?
Deben envasarse 369 jabones en tres cajas con la misma cantidad en cada una. ¿Cuántos jabones se envasan en cada
caja?
Calcula y comprueba por escrito:
a) 669 : 3
b) 9 693 : 3
c) 4 826 : 2
d) 1 648 : 4
288 : 2
1 844 : 2
1 228 : 2
1 026 : 2
Calcula el cociente de los números 848 y 4.
Divide 999 entre 3.
215
MATEMÁTICA
En una avenida se quieren sembrar 826 árboles. En cada lado
se siembra la misma cantidad. ¿Cuántos árboles se siembran
en cada lado de la avenida?
En saludo por el Día de la Cultura Cubana se realizaron en
diferentes provincias del país festivales en los que actuaron
78 músicos y 174 bailarines. La tercera parte de los que actuaron fueron niños. ¿Cuántos niños actuaron en los festivales?
Calcula en forma oral y escrita:
a) 848 : 4
800 : 40
b) 6 300 : 100
1 863 : 3
c) 240 : 6
60 : 30
d) 1 462 : 2
48 : 4
Se repara un tramo de carretera. Los tres primeros días
se reparan 425 m cada día y el cuarto día se repara
325 m. Calcula la longitud total del tramo de carretera reparado. Completa antes del cálculo el esquema siguiente con
los datos. Comprueba.
Calcula:
a) 326 – 137
227 + 889
216
b) 429 · 3
468 · 9
c) 916 – 499
476 + 99
d) 40 – 4 · 8
70 – 5 · 4
UNIDAD 3
Calcula:
a) La décima parte de 380
d) El décuplo de 75
b) El doble de 0
e) La quinta parte de 55
c) La mitad de 246
f) El triplo de 320
Convierte en la unidad inmediata inferior:
a) 18 cm
b) $ 41
c) 2 min
d) 324 cm
Calcula aplicando ambas posibilidades:
a) 6 : 3
8:2
8:2
b) 3 : 3
12 : 4
10 : 5
c) 14 : 7
24 : 4
25 : 5
d) 36 : 6
12 : 2
15 : 3
Ejercicios de división con resto
Ya sabemos que: 73 = 7 · 10 + 3; por eso al dividir 73 entre 10,
obtenemos como cociente 7 y como resto 3.
Veamos qué sucede en casos como el que aparece a
continuación:
Ejemplo:
Ana quiere repartir a sus compañeros 13 galletas en grupos
de 4, ella forma 3 grupos de 4 galletas y se da cuenta que sobra
1 galleta.
217
MATEMÁTICA
Al calcular 13 : 4 pensamos:
13 = 3 · 4 + 1, entonces el cociente es 3 y el resto es 1.
Vamos a resolver ahora ejercicios con resto de forma escrita:
5 9´ 8
5 6 7
3
Observa donde se escribe el resto.
Este debe ser siempre menor que el divisor.
Ahora vamos a resolver problemas en los que tengamos que
aplicar este tipo de ejercicios. Veamos el primer ejemplo:
a) En una fábrica de vasos, los trabajadores deben colocar
55 vasos en cajas de 6 vasos cada una. ¿Cuántas cajas se llenan
en la fábrica?
Para dar solución a este problema tenemos que calcular 55 : 6
Procedemos de este modo:
5 5´ 6
5 4 9
1
Respondemos: Se llenan en la fábrica 9 cajas y queda un vaso.
Vamos a ver el segundo ejemplo:
b) En un almacén hay 62 cajas con mercancía. Estas deben ser
transportadas por un camión hacia una Empresa. En cada
viaje el camión puede llevar 8 cajas. ¿Cuántos viajes debe dar
el camión para llevar todas las cajas a la Empresa?
Para dar solución a este problema tenemos que calcular 62 : 8
Procedemos de este modo:
6 2´ 8
5 6 7
6
Respondemos: El camión debe dar 8 viajes.
218
UNIDAD 3
Observa: El camión debe dar 7 viajes con 8 cajas y 1 viaje con
las 6 cajas restantes, ya que todas las cajas deben llevarse.
Compara las respuestas de los dos problemas que resolvimos.
¿Qué notas?
En problemas como estos debes tener en cuenta el resto para
dar la respuesta.
Ejercicios
Determina el cociente y el resto en cada caso:
a) 6 : 5
b) 7 : 3
c) 9 : 2
7:5
10 : 3
17 : 2
8:5
14 : 3
15 : 4
9:5
20 : 3
17 : 5
Resuelve los ejercicios siguientes. Si la división tiene resto
utiliza el procedimiento escrito:
a) 63 : 7
b) 23 : 4
c) 73 : 9
d) 25 : 5
64 : 7
20 : 4
13 : 2
46 : 6
69 : 7
34 : 4
94 : 9
38 : 5
a) 21 : 7
b) 76 : 8
c) 720 : 8
d) 240 : 8
36 : 9
40 : 6
33 : 4
65 : 8
56 : 9
70 : 8
640 : 8
59 : 7
Calcula:
Divide 24 entre 3; 4; 6; 8.
219
MATEMÁTICA
Calcula el dividendo si el cociente es 7 y el divisor es 3.
Divide los números 5; 6; 8; 7; 20 entre 4. ¿Qué números aparecen como resto?
Divide los números 21; 22; 23; 24;…; 32 entre 6. ¿Qué números aparecen como resto cuando se divide entre 6?
¿Qué resto puede aparecer cuando se divide entre 3 los números 8; 5 y 7?
En un concurso de Matemática participaron 35 hembras y
37 varones. La octava parte de esos estudiantes resultaron
ganadores. ¿Cuántos estudiantes ganaron en el concurso?
La maestra realiza una competencia de cálculo. Ella tiene
23 tarjetas con ejercicios y quiere entregar tres a cada estudiante en cada vuelta.
a) ¿Cuántos estudiantes alcanzan tarjetas en la primera
vuelta?
b) ¿Cuántas tarjetas sobran?
En una bodega había 320 kg de arroz. Ya se vendieron
280 kg. ¿Cuántas bolsas de 5 kg se pueden llenar con el arroz
que queda?
220
UNIDAD 3
División escrita con restos parciales
En ejercicios como 48 : 3 aparecen restos parciales.
Escribimos:
4´ 8´ 3
3
1 6
1 8
1 8
0
Pensamos:
4 3
-3 1
1
El resto es 1. Bajo el 8.
El próximo dividendo parcial es 18.
1 6 ∙ 3
4 8
1 8 3
-1 8 6
0
Recuerda que…
Cada vez que obtienes un resto parcial se forma con
este y la próxima cifra del dividendo, el siguiente dividendo parcial. Recuerda que el resto siempre debe ser
menor que el divisor.
Ahora vamos a calcular ejercicios como 852 : 6. Veamos cómo
se hace:
Escribimos:
8´ 5´ 2´ 6
6
1 4 2
2 5
2 4
1 2
1 2
1 4 2 ∙ 6
0
8 5 2
Pensamos:
8 6
–6 1
2
25 6
–2 4 4
1
12 6
–1 2 2
0
221
MATEMÁTICA
Antes de realizar el procedimiento escrito de la división, podemos conocer la cantidad de cifras que tendrá el cociente. Para
ello debemos tener en cuenta los pasos siguientes:
1. Señalamos en el dividendo la cifra con la que comenzamos a
calcular.
2. Calculamos la primera cifra del cociente.
3. Contamos cuántas cifras quedan en el dividendo y señalamos
con puntos estos lugares en el cociente.
8´ 6 4
1 5´ 6
3
2
7
∙ ∙
Este cociente tendrá 3 lugares.
2
∙
Este cociente tendrá 2 lugares.
Recuerda que…
En la división escrita procedemos así:
1. Determinamos la cantidad de lugares que tendrá el
cociente.
2. Calculamos por escrito.
3. Comprobamos el resultado con la multiplicación.
Observa ahora cómo procedemos cuando el dividendo parcial
es menor que el divisor:
8´ 2´ 1´ 6´ 4
8
2 0 5 4
0 2
0
2 1
2 0
2 0 5 4 ∙ 4
1 6
8 2 1 6
1 6
0
∙ ∙ ∙
222
9´ 0´ 8´ 4´ 3
9
3 0 2 8
0 0
0
8
6
3 0 2 8 ∙ 3
2 4
9 0 8 4
2 4
0
∙ ∙ ∙
UNIDAD 3
Recuerda que…
Cuando el dividendo parcial es menor que el divisor se
coloca un cero en el lugar del cociente.
Ejercicios
Determina cuántas cifras tendrá el cociente antes de realizar
estos ejercicios:
a) 164 2
b) 648 2
c) 350 5
Calcula y comprueba:
a) 833 : 7
2 451 : 3
b)
568 : 4
3 296 : 4
c)
780 : 5
4 570 : 5
d)
924 : 6
1 534 : 2
Calcula y comprueba:
a) 8 324 : 4
3 612 : 6
4 503 : 3
b) 2 515 : 5
1 814 : 2
9 018 : 9
c) 8 435 : 7
8 840 : 8
1 632 : 4
Calcula y comprueba:
a) 576 : 4
597 : 3
b)
374 : 2
738 : 6
c)
592 : 4
784 : 4
d)
858 : 6
992 : 8
Calcula y comprueba:
a) 7 864 : 4
8 235 : 5
b) 3 899 : 7
1 734 : 3
c) 3 576 : 2
8 541 : 3
d) 8 596 : 7
5 872 : 4
Calcula y comprueba:
a) 237 km : 3
595 t : 7
b) 2 616 m : 4
1 737 cm : 3
c) 3 786 g : 6
$ 747 : 9
223
MATEMÁTICA
Calcula:
a)
b)
618
9 168
6 054
:3
574
2 103
3 899
9 216
8 596
915
:7
343
875
938
Calcula el cociente de los números 6 312 y 3.
Calcula la tercera parte de 6 312.
¿Qué número debe multiplicarse por 9 para obtener 3 870?
Calcula y comprueba:
a) 414 : 2
915 : 3
612 : 6
b)
618 : 3
4 148 : 2
812 : 4
c) 9 169 : 3
8 416 : 4
4 606 : 2
d) 6 054 : 3
8 204 : 4
6 535 : 5
Una empresa tiene 4 048 trabajadores. La cuarta parte de
estos son jóvenes. ¿Cuántos jóvenes trabajan en la
empresa?
* Tres niños coleccionan postales. Marcos tiene 125 y Raúl 109.
Entre los dos tienen el doble de las postales que tiene Jorge.
¿Cuántas postales tiene Jorge?
Calcula y comprueba:
a) 744 : 4
778 : 2
855 : 3
b) 7 952 : 2
8 992 : 8
9 785 : 5
c) 9 785 : 3
892 : 4
905 : 5
15. Calcula:
a) 5 392 g : 8
b) 3 028 t : 4
c) 4 221 m : 9
d) 5 313 cm : 7
224
d) 2 968 : 7
9 054 : 6
555 : 3
UNIDAD 3
Calcula los cocientes de forma oral y escrita:
a) 8 352 : 6
8 000 : 2
84 : 3
b)
96 : 4
1 475 : 5
3 000 : 5
c) 1 500 : 5
9 057 : 3
96 : 3
d) 9 992 : 8
65 : 5
490 : 7
Con los números dados forma ejercicios de división en los
que el divisor sea un número de una cifra y resuélvelos de
forma oral o escrita.
900 756 16 288
4
48
552
3
18. ¿Qué número debe multiplicarse por 4 para obtener 896?
Calcula el cociente de 3 152 y 2.
* En el sexto grado de una escuela hay 104 varones y
99 hembras. La séptima parte de esos niños participan en el
círculo de interés pedagógico. Formula una pregunta y resuelve el problema.
Calcula de forma oral o escrita:
a) 9 000 : 9
4 200 : 6
b)
98 : 7
702 : 6
c)
945 : 7
4 275 : 5
d) 2 400 : 4
60 : 3
22. Calcula el producto de los números 3 969 y 7.
23. Calcula el cociente de 9 516 y 6.
En un domingo de la defensa, 250 milicianos participaron en
diferentes actividades. La mitad de ellos ya ha realizado las
prácticas de tiro y la quinta parte el lanzamiento de
granadas.
a) ¿Cuántos milicianos ya practicaron el tiro?
b) ¿Cuántos ya han realizado el lanzamiento de granadas?
225
MATEMÁTICA
En un parque de diversiones hay 104 niños montan diferentes aparatos. La octava parte de los niños montan la montaña
rusa y el resto en los caballitos.
a) ¿Cuántos niños montan en los caballitos?
* Una de las películas ganadoras del Festival de Cine, fue proyectada en los Cines de tres provincias del país. En Santiago
de Cuba asistieron a ver la película 1 284 personas, en
Camagüey la mitad de los que asistieron en Santiago de
Cuba y en la Habana la tercera parte de los que asistieron
en Camagüey. ¿Cuántas personas asistieron en total a ver la
película?
27.
Calcula de forma oral o escrita:
a)
b)
304
78
234
56
600
:6
800
863
18
92
:4
400
c)
84
553
77
301
:7
700
455
28. Calcula:
a)
b)
6 552
3 234
:3
5 964
4 860
:6
6 264
8 127
:7
2 142
3 132
:9
3 249
6 633
226
2 233
7 776
UNIDAD 3
29. Coloca las cifras que faltan:
a) 7´ 2 8
7
1 04
02
0
28
28
0
b) 6´ 9
6
2
09
9
03
3
0
1
30. Con la información que se te muestra a continuación. Elabora un problema y resuélvelo:
$1 920
31. Calcula:
a)
400 + 5 · 30
4 500 – 7 · 50
b) 9 · 400 + 4 000
5 · 500 – 2 000
c) 7 000 – 3 · 800
9 · 700 – 600
32. Calcula:
a) (2 100 + 1 400) : 7
b) (2 400 + 5 600) : 8
(1 200 – 300) : 6
(6 500 – 2 300) : 7
(8 200 – 1 000) : 8
(4 800 – 2 000) : 4
33. Convierte a la unidad inmediata inferior:
1 min
1 día
1 cm
1m
34. Convierte a la unidad inmediata superior:
1 mm
1 dm
1 cm
1 min
1h
35.* Ordena. Comienza por el menor:
312 cm;
5 m;
91 dm;
9 m;
99 cm;
4m
227
MATEMÁTICA
36. El hermano de Eduardo realiza una misión internacionalista
por dos años. Ya cumplió 15 meses.
a) ¿Cuántos meses le faltan para terminar la misión?
37. En un mercado deben envasarse 320 kg de naranjas en cajas
de 3 kg cada una. ¿Cuántas cajas se necesitan?
a) ¿Cuántos kilogramos de naranja quedan sin envasarse?
División escrita con resto final
Con lo aprendido hasta ahora ya podemos realizar los
siguientes cálculos:
1. 19 : 4
8:6
3:4
0:6
2. 38 : 6
29 : 5
88 : 9
76 : 8
Vamos a aprender ahora a calcular ejercicios como 845 : 4,
donde aparece resto final.
Escribimos:
4´ 8´ 5´ 4
4
1 2 1
0 8
8
0 5
4
1
Comprobamos:
1 2 1 ∙ 4
4 8 4
4 8 4
+
1
4 8 5
Al comprobar, el resto final se adiciona
al producto y se obtiene el dividendo.
Leemos: 485 entre 4 es igual a 121, resto 1.
228
UNIDAD 3
Ejercicios
1. Calcula y comprueba:
a) 735 : 2
b) 779 : 3
c) 9 917 : 7
2. Calcula y comprueba:
a) 783 : 5
623 : 4
b) 598 : 3
675 : 6
c) 8 763 : 4
3 645 : 8
d) 687 : 4
825 : 2
3. Calcula en forma oral o escrita:
a) 4 237 : 7
77 : 3
7 000 : 3
b)
800 : 8
8 035 : 8
131 : 1
c) 2 008 : 3
98 : 7
4 529 : 9
d)
96 : 3
900 : 9
9 065 : 9
4.* Divide entre 1; 2; 3; 4;…; 10. ¿Es 60 divisible por todos estos
números?
5. Divide los números 68; 36; 84 y 16 entre 3. ¿Cuáles tienen
resto?
6. Para armar un auto nuevo se necesitan cuatro gomas. ¿Cuántos
autos se pueden armar con 878 gomas?
En un maratón deportivo participan 552 personas, de ellas
138 son mujeres y 127 son hombres. El resto de los participantes son niños. ¿Cuántos niños participan en el maratón
deportivo?
Los últimos juegos de la Serie Nacional de pelota se realizaron en los estadios de tres provincias del país. En la provincia
Granma asistieron 4 800 espectadores, en la provincia de
229
MATEMÁTICA
Ciego de Ávila asistieron la mitad de la cantidad de espectadores que asistieron en la provincia Granma y en la provincial
de Matanzas asistió el doble de la cantidad de espectadores
que asistieron en la provincia Granma.
a) ¿Cuántos espectadores asistieron en la provincia de Ciego
de Ávila?
b) ¿Cuántos espectadores asistieron en la provincia de
Matanzas?
Completa las tablas:
a)
b)
x
c
3
4 235
7
738
4
84
6
68
4
943
2
1 432
2 935
8
5
8 172
4
430
6
e
f
1 387
e:f
x:c
10. Se quieren envasar 685 kg de arroz en bolsas con 5 kg cada
una, y 330 kg de frijol en bolsas con 2 kg cada una.
230
UNIDAD 3
a) ¿Cuántas bolsas se necesitan para envasar el arroz?
b) ¿Cuántas bolsas se necesitan para envasar los frijoles?
11. Calcula y comprueba:
a) 6 587 : 6
b) 1 209 : 4
2 444 : 8
863 : 7
3 383 : 2
208 : 9
12. Calcula:
a) 7 902 : 9
b) 7 105 : 7
5 421 : 3
6 894 : 2
13. Completa las tablas:
d∙e
r
d
e
422
2
3
26
48
1 320
3
5
324
4
40
7
4
219
s
r∙s
6
3 048
7
5 075
7
38
500
7
4 839
0
14. Calcula la diferencia de los números:
a) 385 y 796
b) 2 430 y 5 768
c) 1 543 y 440
284 y 534
3 540 y 8 880
2 660 y 550
a) 8 · 700 + 300
b) (500 + 200) · 6
c) (2 400 : 100) : 6
400 + 600 · 4
(800 – 300) · 7
(240 · 10) : 6
15. Calcula:
231
MATEMÁTICA
16. Resuelve las igualdades siguientes:
a) 8 · a = 560
b) a · 50 = 450
c) x · 10 = 120
b · 7 = 420
e · 9 = 720
a · 8 = 240
17. Calcula:
a) 47 + 28
85 – 27
b)
83 – 0
100 – 1
c) 54 – 54
5:1
d) 40 · 2 · 10
30 · 3 · 10
18. Calcula y convierte en metros:
a) 230 · 3 cm
b) 4 · 20 dm
c) 10 · 30 cm
19. Calcula:
a) 34 · 3
33 : 4
b)
56 : 4
c) 14 · 7
47 : 5
99 : 3
20. Se distribuyen 475 pollos diariamente durante cinco días. Si
se deben distribuir 2 700 pollos, ¿cuántos pollos faltan por
distribuir?
232
UNIDAD 3
3.4 Concepto de fracción. Significados
prácticos
¿Sabías que…?
Las fracciones se conocen también con el nombre de
«quebrados». El origen de las fracciones, es muy remoto. El nombre de fracción se lo debemos a Juan de
Luna, que tradujo al latín, en el siglo xii, el libro de
aritmética de Al-Juarizmi.
Ya sabes resolver problemas utilizando números naturales.
Laura tenía 12 caramelos. Regaló la mitad
a su hermano. ¿Cuántos caramelos regaló
a su hermano?
Calculamos: 12 : 2 = 6
Respondemos: Laura regaló 6 caramelos a su
hermano.
Hasta ahora, al dividir hemos obtenido un número natural.
Pero, ¿qué sucede cuando no es así? Seguramente has escuchado
frases como estas:
• Los excursionistas han recorrido la tercera parte del camino.
• Jorge gastó la mitad del dinero que tenía.
• Miriam ha llegado un cuarto de hora más temprano.
Ahora conocerás otros números que representan estas situaciones, las que en la práctica también se resuelven mediante la
división.
233
MATEMÁTICA
Ejemplo:
Alicia divide una hoja de papel en dos partes iguales: una parte
es para ella y la otra parte es para compartirla con Daniel en una
actividad de dibujo. ¿Qué representa cada una de esas partes?
Ilustremos la situación empleando un modelo:
Cada parte representa la mitad de la hoja de
papel.
Y si la divide en tres partes iguales, ¿qué parte representa
cada una de ellas?
Cada parte representa la tercera parte de la
hoja.
Resolvamos problemas de división.
1. La mamá de Beatriz dividió una barra de chocolate en tres
partes iguales y dio una a cada uno de sus hijos. ¿Qué parte le
dio a cada uno de ellos?
234
UNIDAD 3
A cada uno de sus hijos le dio la tercera parte de la barra de
chocolate. También podemos decir que a cada uno de ellos le
dio un tercio de la barra de chocolate, pues cada parte es un
tercio.
2. Marisol compró una pizza y la quiere repartir por igual entre
ella y tres de sus amigos. ¿Cómo puede Marisol resolver esta
situación?
En la práctica se divide la pizza en cuatro partes iguales y a
cada amigo le da una parte. Cada uno recibe una cuarta parte
de la pizza.
3. La mamá de Ernesto dividió una libra de queso en cinco partes
iguales y tomó dos de ellas. ¿Qué cantidad de queso tomó la
mamá de Ernesto?
235
MATEMÁTICA
Ilustremos la situación empleando un modelo:
El rectángulo representa la libra de queso que se dividió en
5 partes iguales y se sombrearon 2 partes que representa las
que se tomaron. Se tomaron dos quintos de la libra de queso.
4. En una dulcería se dividió un pastel en ocho partes iguales y
se vendieron siete de esas partes.
Ilustremos la situación empleando un modelo:
El círculo representa el pastel que se ha dividido en 8 partes
iguales y se han sombreado las 7 partes que se vendieron. Se
vendieron siete octavos del pastel.
236
UNIDAD 3
Reflexiona
En cada uno de los casos anteriores se ha dividido
siempre una unidad en 2; 3; 4; 5;… partes iguales, que
se representan con números naturales, y se han tomado de ellas 1; 2; 3; 4; 5;… que también representan
números naturales, cada una de esas partes representa una fracción, obteniéndose partes fraccionarias de
esa unidad.
Saber más
Se cree que las fracciones surgieron en el Antiguo
Egipto, al tener que repartir panes entre personas,
pero cuando había más personas que panes. Es por
ello que fraccionar no es más que dividir, separar, repartir a partes iguales algo.
1 1 1 2 7
Representan fracciones: ; ; ; ;
2 3 4 5 8
Las fracciones se representan así:
Recuerda que…
El numerador indica la cantidad de partes que se
toman de la unidad, y el denominador indica las partes iguales en que se ha dividido la unidad y permite
dar nombre a la fracción. El denominador es siempre
distinto de cero.
237
MATEMÁTICA
1
A veces para simplificar el vocabulario leemos, la fracción
3
como un tercio en vez de uno sobre tres.
Analicemos los ejemplos siguientes:
1. Observa que el círculo se ha dividido en cuatro partes iguales y se han sombreado tres partes de él. La parte sombreada
3
representa la fracción y se lee tres cuartos. La parte no som4
1
breada representa la fracción y se lee un cuarto.
4
Observa ahora los segmentos siguientes:
a)
El segmento se ha dividido en
5 partes iguales y se han señalado 4 partes que representan
4
la fracción .
5
b)
El segmento se ha dividido en 3
partes iguales y se han señalado
las 3 partes que representan la
3
fracción .
3
Los tres tercios forman un entero.
238
UNIDAD 3
Son fracciones también:
2
dos tercios
3
5
cinco novenos
9
1
un octavo
8
3
tres séptimos
7
Recuerda que…
Una fracción representa una parte de un total. Al total
se le llama unidad.
Nombres de denominadores que debes recordar para leer
bien las fracciones:
Denominador
Se lee
2
medio(s)
3
tercio(s)
4
cuarto(s)
5
quinto(s)
6
sexto(s)
7
séptimo(s)
8
octavo(s)
9
noveno(s)
10
décimo(s)
Ejemplo
1
2
1
3
3
4
2
5
5
6
4
7
3
8
2
9
3
10
un medio
un tercio
tres cuartos
dos quintos
cinco sextos
cuatro séptimos
tres octavos
dos novenos
tres décimos
239
MATEMÁTICA
Representamos fracciones
Las fracciones se pueden representar empleando figuras geométricas:
Para representar un tercio de un
rectángulo se traza un rectángulo, se divide en tres partes iguales
1
y se destaca una de esas partes.
de un rectángulo
3
5
de un segmento
6
Para representar una fracción
en un segmento se traza un segmento, se divide en la cantidad
de partes iguales que indique el
denominador, se marca el punto
correspondiente al numerador y
se destaca la parte del segmento.
Observa las siguientes representaciones:
5
de un terreno rectangular
6
3
de un pastel
8
4
de un metro de tela
8
Reconocemos fracciones
Vamos a realizar el siguiente ejercicio:
Escribe las fracciones que están representadas en las figuras
siguientes:
240
UNIDAD 3
Para determinar la fracción que corresponde a una representación en figuras geométricas o esquemas, debemos seguir los
pasos que se ofrecen a continuación:
1. Determinamos la cantidad de partes en que se ha dividido la
unidad (este número representa el denominador).
2. Observamos la cantidad de partes que se han destacado en la
figura (este número representa el numerador).
Ejercicios
1. Completa en tu libreta la tabla siguiente:
Figura
Total
Partes
Fracción Numerador Denominador
geométrica de partes coloreadas
5
3
3
5
3
5
241
MATEMÁTICA
2. ¿Cuántos medios necesitas para formar una unidad?
3. ¿Cuántos cuartos necesitas para formar una unidad?
4. ¿Qué parte es un medio de una unidad? ¿Y un cuarto?
5. Si tienes un cuarto, ¿cuántos cuartos te faltan para tener una
unidad?
6. Observa las figuras y completa lo que se te pide:
a)
c)
b)
d)
6.1 La figura del inciso a) se ha dividido en ________ partes
iguales y se han sombreado __________ partes, lo que representan la fracción: __________.
6.2 La figura del inciso b) se ha dividido en __________
partes iguales. La parte que no está sombreada representa la fracción _________ y la parte sombreada representa
la fracción_________.
6.3 En la figura del inciso c) la parte que no está sombreada
representa la fracción _________. La parte sombreada representa la fracción________. La mayor parte es ________.
6.4 La figura del inciso d) se dividió en _________ partes iguales. La parte sombreada representa la fracción _________ y
la que no está sombreada representa la fracción _________.
242
UNIDAD 3
7. La mamá de Elisa hizo una panetela y quiere repartirla entre
1
los amigos de su hija de modo que a cada uno le toque de
9
la panetela. ¿En cuántas partes iguales debe dividir la panetela? (Puedes realizar un gráfico)
8. Escribe en tu libreta la fracción que representa la parte sombreada:
a)
b)
d)
c)
e)
3
9. Traza un segmento de 10 cm de largo y representa del seg5
mento.
10. Representa:
a) Un medio de un círculo.
b) Dos tercios de un cuadrado.
c) Tres octavos de un rectángulo.
d) Dos séptimos de un segmento.
11. Recorta tres rectángulos iguales (que superpuestos coincidan). Nómbralos A; B y C.
a) En el rectángulo A colorea la parte que representa un
medio.
b) En el rectángulo B colorea la parte que representa dos
cuartos.
243
MATEMÁTICA
c) En el rectángulo C colorea la parte que representa cuatro
octavos.
d) Compara las partes coloreadas. ¿Qué observas?
1 2 4
e) ¿Qué puedes decir de las fracciones ; y ?
2 4 8
Traza un segmento AB de 8 cm de longitud y representa en
1 1 1 3 4
él las fracciones: ; ; ; ;
2 4 8 8 8
13. Analiza con tus compañeros de clase cuál de las figuras siguientes representan fracciones:
a)
b)
c)
d)
La fracción como parte de un conjunto
Lee detenidamente las siguientes situaciones:
1. Roberto quiere agrupar sus círculos de colores de acuerdo con
el color. Observa cómo las organizó:
1
4
244
1
4
1
4
1
4
UNIDAD 3
Observa que tiene 12 círculos de diferentes colores en total
que ha organizado en cuatro grupos iguales de acuerdo con
el color.
1
Cada grupo representa
del total, es decir la cuarta parte.
4
1
Por tanto de 12 círculos representa 3 círculos de un mismo
4
color.
2. En la figura siguiente, el conjunto de los cuadrados se ha dividido en dos partes atendiendo a los que son iguales por color.
Cada parte es la mitad del conjunto.
Observa que hay 6 cuadrados en total que representan el conjunto y se han agrupado en dos partes atendiendo a los que son
iguales por color.
1
Cada parte representa del total, es decir la mitad del con2
1
junto. Entonces de 6 cuadrados son 3 cuadrados de un mismo
2
color.
Con esto has visto que una fracción también puede representar una parte de un conjunto. En la práctica puedes calcular el
número que corresponde a una parte fraccionaria de un conjunto sin utilizar gráficos ni esquemas, o sea dividiendo.
Ejemplo:
En la clase de Educación Plástica, Roberto prestó a sus compa3
ñeros de los 12 lápices de colores que tenía. ¿Cuántos lápices
4
de colores prestó?
245
MATEMÁTICA
Solución:
Queremos averiguar cuanto es
Sí
3
de 12
4
1
de 12 temperas es 3 temperas.
4
3
de 12 es 3 veces 3, es decir, 9. Por tanto, prestó
4
9 lápices de colores.
Entonces,
Recuerda que…
Una fracción representa una parte de una unidad y
también una parte de un conjunto.
Veamos otro ejemplo:
Luis tenía 100 m de cordel para ponerle a un papalote y le
2
regaló del cordel a un amigo. ¿Cuántos metros le quedaron?
5
Para comprender cómo resolver este problema puedes
apoyarte en un gráfico. Representemos el cordel con un
segmento.
2
del cordel, hay que dividir el segmen5
to en 5 partes iguales los 100 m de cordel y tomar 2 partes.
1
2
Observa que de 100 m son 20 m, entonces de 100 m son
5
5
2 ∙ 20 = 40 m.
Como dice que regaló
246
UNIDAD 3
Como eran 100 m de cordel, (100 m – 40 m = 60 m). Luis se
3
quedó con 60 m de cordel que representan los otros partes del
5
cordel.
2
3
Los
que regaló y los
con los que se quedó forman la
5
5
unidad.
Ejercicios
1. Halla:
a)
1
de 10
5
b)
1
de 15
3
1
de 14
7
c)
1
de 20
10
3
de 10
5
2
de 15
3
d)
4
de 14
7
5
de 20
10
2. Observa las figuras siguientes:
¿Qué fracción del total de figuras representan los triángulos?
a) __
1
2
b) __
2
6
c) __
2
4
d) __
6
2
247
MATEMÁTICA
3
de los 20 ejercicios de matemática que
4
debía hacer. ¿Cuántos ejercicios resolvió?
2
En el huerto escolar hay sembrados 12 canteros.
de los
3
canteros son de tomate. ¿Cuántos canteros están sembrados
de tomate?
Los estudiantes de tercer grado deben plantar 36 árboles
para la campaña “Cuidemos nuestro planeta”. Si ya sembra3
ron de los árboles, ¿cuántos árboles han plantado? ¿Qué
4
parte del total falta por plantar?
Diana resolvió
En dos grupos de tercer grado hay 18 estudiantes en cada
5
uno. En el examen de Matemática de los alumnos de 3ro A
6
obtuvieron sobresaliente y en 3ro B obtuvieron sobresaliente
2
del grupo. ¿En cuál de las dos aulas hubo más notas de
3
sobresaliente?
7. Determina qué parte es:
a) una moneda de 5 ¢ de una peseta?
b) una peseta de un peso?
c) $ 1 de $ 5?
d) $ 5 de $ 10?
e) $ 10 de $ 20?
f) $ 10 de $ 50?
g) $ 5 de $ 20?
8. Completa los espacios en blanco, puedes apoyarte con el reloj:
1
a) En media hora ( h) hay ________minutos.
2
1
b) En un cuarto de hora ( h) hay________minutos.
4
3
c) En tres cuartos de hora ( h) hay________minutos.
4
248
UNIDAD 3
1
de 60 min son________minutos.
2
1
e)
de 60 min son________minutos.
4
3
f)
de 60 min son________minutos.
4
d)
9. La mamá de Raúl miró el reloj y le dijo que había llegado a
las cinco menos cuarto.
a) Señala en tu reloj de cartulina la posición en que deben
estar el minutero y el horario, para indicar esa hora.
b) Nombra otras formas en que se puede expresar esa misma hora.
Las siguientes figuras están compuestas por triángulos iguales:
a) ¿Cuántos triángulos habría que sombrear para obtener la
mitad de esta figura?
b) ¿Cuántos triángulos habría que sombrear para obtener
tres quintos de esta otra figura?
c) ¿Cuántos triángulos habría que sombrear para obtener
un tercio de esta otra figura?
249
MATEMÁTICA
3.5 Ejercitación variada
Ha sido un largo camino de aprendizaje. Es hora de ponernos
manos a la obra y demostrar nuestros conocimientos.
Ejercicios
1. Calcula:
a)
3 · 10
b)
80 · 10
c)
3 · 100
d)
700 : 100
24 · 10
480 · 10
70 · 100
8 000 · 100
10 · 3
9 270 · 3
2 · 100
2 800 · 100
5 · 10
130 · 10
10 · 100
10 · 100
500 · 10
7 500 · 10
8 · 100
400 · 100
Menciona 5 números que al dividirse entre 10 tengan resto
2; 4; 8; 7.
3. Calcula y ordena los resultados obtenidos de menor a mayor:
a)
3 · 10
d) 690 : 10
b) 60 · 100
c) 70 : 10
e) 0 · 4 000
4. Calcula:
a) 12 m · 4
b)
6 · 12 kg
3 dm · 8
8m·7
8 · 35 kg
24 dm · 6
40 m · 8
100 · 40 kg
43 m · 5
9 · 6 kg
32 dm · 3
5. Convierte en la unidad inmediata inferior:
4 m; 36 dm; 76 m; 360 cm; 88 m; 103 cm
250
c)
100 dm · 8
UNIDAD 3
6. Convierte en la unidad inmediata superior:
7 000 m; 800 cm; 360 dm; 360 cm; 4 000 kg; 700 mm; 3 000 g
7. Calcula:
a)
8·7
b)
6·7
c)
800 · 9
d)
700 · 4
80 · 7
60 · 7
80 · 9
70 · 4
800 · 7
600 · 7
8·9
7·4
8. Resuelve las igualdades siguientes:
a)
50 · a =
350
27 · a = 2 700
b)
80 · e = 8 000
800 · e =
c) x · 70 = 490
8
x · 100 = 72
9. ¿Cuántos meses son 20 años; 4 años; 8 años; 100 años?
10. Convierte en minutos: 2 h; 8 h; 9 h; 10 h; 7 h.
11. Convierte en minutos: 360 s; 480 s; 480 s; 460 s.
12. Calcula los datos que faltan:
Comienzo
Duración
7:10 h
25 min
13:15 h
14:15 h
45 min
8:35 h
Final
8:45 h
4h
13.
Luis tenía al comienzo del año $ 240 en su cuenta de ahorro.
Este año se propuso ahorrar mensualmente $ 8. ¿Cuántos
pesos tendrá ahorrados cuando termine el año?
14.
Durante una excursión dos jóvenes compran pasteles. Alejandro compra siete pasteles de 25 ¢ cada uno y Gilberto
compra cinco pasteles de 30 ¢ cada uno. ¿Cuál de los dos
tiene que pagar más?
251
MATEMÁTICA
15.
Completa las tablas:
a
b
a∙b
r
s
12
1 200
360
10
4
5
4 800
100
38
7
100
69
3 700
10
100
6 300
10
0
r∙s
84
2
69
3
100
64
0
16. Calcula:
a) 573 · 4 + 7 707
(8 539 – 7 601) · 8
b) 487 · 9 + 1 384 · 4
2 873 + 763 · 1
17. Divide 20 entre 10; 2; 5; 4.
18. Calcula el cociente de los números 46 y 8.
En el huerto escolar deben trabajar 12 estudiantes. Pueden
formarse grupos de dos estudiantes o grupos de tres estudiantes cada uno. ¿Cuántos grupos se formarán en cada
caso?
252
UNIDAD 3
En un centro deportivo hay 69 varones y 72 hembras. La tercera parte de los deportistas compiten en natación. ¿Cuántos
deportistas compiten en natación?
1
2
21. Calcula:
a) (2 349 + 3 786) : 5
(4 873 + 2 194) : 3
b) (3 452 + 2 116) : 4
(6 789 – 4 318) : 7
22. Calcula:
a) 975 : 3 + 346 : 2
948 : 4 – 372 : 3
b) 6 738 : 3 –2 850 : 5
4 285 : 5 –2 107 : 7
23. Divide la suma de los números 745 y 483 entre 2.
24. Divide la diferencia de los números 2 345 y 749 entre 3.
25. Menciona cuál de los números: 27; 42; 10; 39; 55; 125; 443;
990 y 30, son divisibles entre 2; 5; 6; 10. Fundamenta en cada
caso.
26.* Sara afirma que los resultados son iguales cuando:
a) cada uno de los números 784 y 957 se multiplican por 3 y
luego se suman ambos productos; o
b) se suman primero los números y esta suma se multiplica
por 3.
¿Es cierta esta afirmación? Comprueba.
253
MATEMÁTICA
27. Determina cuáles de estos números son divisibles por 7:
978; 701; 1 134; 1 887; 864.
28. Calcula la décima parte de la suma de los números 324 y 186.
29. Calcula la quinta parte de la diferencia de los números 1 324
y 809.
En un parque de diversiones quieren montar en los aviones
un grupo de tres adultos y nueve niños. Los adultos pagan
40 ¢ cada uno y los niños 20 ¢ cada uno. ¿Cuánto pagan en
total los adultos y cuánto los niños?
En una cooperativa hay 72 melones y los quieren colocar en
cajas de 10 melones cada una. ¿Cuántas cajas se necesitan?
a) __ 8 cajas
b) __ 82 cajas
c) __ 7 cajas
d) __ 10 cajas
En una biblioteca se quieren colocar 2 900 libros en 100 estantes. ¿Cuántos libros se colocarán en cada estante?
a) __ 100
b) __ 29
Calcula:
a) 35 + 24 : 4
b) 400 + 60 ∙ 5
c) 3200 : 4 + 6
d) 3 ∙ 300 + 700
e) 20 ∙ 6 – 80
254
c) __ 290
d) __ 30
UNIDAD 3
f) 200 – 2700 : 9
g) 3 ∙ 400 – 900
h) 5 400 : 6 – 400
Halla el producto de:
a) 1 140 kg y 6
b) 229 dm y 4
Multiplica la suma de 17 y 18 por 3.
Multiplica la diferencia de 1 745 y 326 por 2.
Selecciona la respuesta correcta:
María llega de la escuela a su casa a las 5:30 p.m.; merienda
en 15 min; 10 min después había terminado las tareas y en
los siguientes 20 min vio la TV ¿A qué hora María terminó
todas estas actividades?
___ a las 6:45 p.m.
___ a las 6:25 p.m.
___ a las 6:15 p.m.
___ a las 6:00 p.m.
Divide 3 594 entre 8.
Selecciona la respuesta correcta:
3
Para representar en el rayo numérico el número :
8
a) __ divido la unidad en tres partes y tomo tres.
b) __ divido cada unidad en tres partes y tomo ocho.
c) __ divido el rayo en ocho unidades y tomo tres.
d) __ divido la unidad en ocho partes y tomo tres.
Un camión cargado con 320 cajas de libretas debe dejar
40 cajas en cada escuela primaria, hasta que quede vacío.
¿Cuántas escuelas reciben cajas de libretas de ese camión?
255
MATEMÁTICA
Un ómnibus recorre 128 km cada día de trabajo. ¿Cuántos
kilómetros recorre en total en 4 días de trabajo?
a) __ 32
b) __ 124
c) __ 132
d) __ 512
1
La mamá de María compró kg de azúcar. El azúcar viene en
2
1
bolsitas de kg. ¿Cuántas bolsitas de azúcar compró?
8
a) __ 8
b) __ 4
c) __ 2
c) __ 10
Resumen
Adición
Factor
7
∙
Factor
5
=
35
Producto
Producto
7 ∙ 5 = 35
7 ∙ 5 es un producto
7 y 5 son factores
El producto de 7 y 5 es 35
Los factores pueden intercambiarse de
diferentes maneras. El producto es igual.
7 · 5 = 5 ·7
35 = 35
Los factores pueden asociarse de diferentes maneras. El producto es igual.
(7 · 5) · 2 = 7 · (5 · 2)
35 · 2 = 7 · 10
70 = 70
Si se multiplica una suma o una diferencia
por un número, entonces hay dos posibilidades para calcular el producto.
4 · (30 + 6) = 4 · 30 + 4 · 6
4 · 36 = 120 + 24
144 = 144
3 · (50 – 7) = 3 · 50 – 3 · 7
3 · 43 = 150 – 21
129 =129
Multiplicación oral
Solución con ayuda de un ejercicio 400 · 6
básico
4 · 6 = 24, entonces
400 · 6 = 2 400
Solución con ayuda de reglas
256
35 · 10 = 350
55 · 100 = 2 500
UNIDAD 3
Multiplicación escrita
Ejercicio: 249 · 3
200 · 3 = 600
Realiza un estimado.
Multiplica, observa el sobrepaso.
249 · 3
747
Comprueba:
Compara o vuelve a calcular.
3 · 9 = 27
3 · 4 = 12
12 + 2 = 14
3·2=6
6+1=7
747 ≈ 600
División
Dividendo
:
35
Divisor
7
=
5
Cociente
Cociente
35 : 7 = 5
35 : 7 es un cociente
35 es el dividendo, 7 es el divisor
El cociente de 7 y 5 es 5
Solución con ayuda de un ejercicio 350 : 7
básico
35 : 7 = 5, entonces
350 : 7 = 50
Solución con ayuda de reglas
350 : 10 = 35
2 500 : 100 = 25
División con resto
Observa que el resto es siempre menor
que el divisor.
4 7´ 9
4 5 5
2
El resto es 2.
División escrita
1. Determina la cantidad de lugares que Ejercicio: 1 853 : 4
tendrá el cociente.
1´ 8´ 5´ 3´ 4
1 6
4 63
2. Calcula por escrito.
2 5
2 4
1 3
1 2
1
3. Comprueba el resultado mediante la
multiplicación.
Si tiene resto lo adicionas.
463 ∙ 4
1852
1852
+
1
1853
257
MATEMÁTICA
Multiplicación y división con cantidades
Un factor o el dividendo son cantidades.
8 · 30 kg = 240 kg
Calcula y después escribe la unidad de 3 km : 6
medida.
3 000 m : 6 = 500 m
Magnitudes
Unidades monetarias
centavo
100 ¢
peso
= $1
Unidades de longitud
kilómetro
metro
decímetro
centímetro
milímetro
1 km = 1 000 m
1m =
10 dm = 100 cm = 1 000 mm
1m =
10 dm = 100 cm = 1 000 mm
1 cm =
10 mm
Unidades de masa
tonelada
1t
kilogramo
=
gramo
1 000 kg
1 kg
=
1 000 g
Unidades de tiempo
año
mes
semana
1 año = 12 meses
=
día
hora
minuto
segundo
365 días
(366 días si es bisiesto)
1 semana = 7 días
1 día =
24 h
1h
=
60 min
1 min
258
=
60 s
UNIDAD 4
Geometría
¿Qué aprenderé?
En esta unidad aprenderás algunos contenidos, explorando la
geometría a través de la identificación y clasificación de figuras
geométricas básicas como paralelogramos, triángulos, cuadrados,
círculos y algunos cuerpos geométricos. A través de actividades
prácticas como dibujar y recortar estas figuras podrás desarrollar
habilidades motoras y también comprender las características
que definen cada figura. Esta materia no solo les proporciona conocimientos matemáticos esenciales, sino que también les ayuda
a apreciar el mundo que les rodea.
¿Qué figuras geométricas reconoces?
259
MATEMÁTICA
4.1 Relaciones de posición entre puntos
y rectas
Recuerda que…
Los puntos se denotan con letras mayúsculas y las
rectas con letras minúsculas.
El punto A está sobre la recta r.
La recta r pasa por el punto A.
El punto Q está entre los puntos
P y R.
El punto Q está entre los puntos
R y T.
El punto R no está entre los puntos P y Q.
1. A partir de la explicación anterior responde:
a) ¿Qué puedes decir del punto B?
b) ¿Qué puedes decir del punto P?
c) ¿Qué puedes decir del punto S?
Recuerda que…
Por dos puntos alineados pasa una y solo una recta.
260
UNIDAD 4
¿Cuáles son los instrumentos que te sirven para el trazado
en geometría?
A continuación, te presentamos algunos de ellos. Nómbralos y
comparte tu criterio con tus compañeros del aula.
Ejercicios
Marca en tu libreta un punto y denótalo con la letra M.
Después, traza una recta y denótala con la letra r que pase
por el punto M. ¿Puedes trazar otras rectas que pasen por el
punto M?
La maestra le orienta a Sergio que marque dos puntos A y
B, luego que trace una recta m que pase por los puntos A
y B. ¿Se podrán trazar otras rectas que pasen por los puntos
A y B?
Marca en tu libreta dos puntos C y D, luego traza una recta
denotada por la letra r que pase por los puntos C y D.
261
MATEMÁTICA
Traza en tu libreta, rectas que pasen por tres puntos, no te
olvides de denotar las rectas:
a)
b)
4.1 ¿Cuántas rectas trazaste en el inciso a)?
4.2 ¿Cuántas rectas trazaste en el inciso b)?
Marca tres puntos M, N, O que no estén alineados. Une los
puntos con segmentos y denota sus vértices con las letras M,
N, O. ¿Qué figura geométrica se forma? ¿Cuántos puntos
unes cada vez?
Traza dos triángulos y denota sus vértices de forma tal que
obtengas los triángulos PQR y STU.
Traza una recta y nómbrala con la letra h. Coloca un punto
que no esté sobre la recta h.
Traza una recta y nómbrala con la letra n. Coloca en ella dos
puntos E y G que estén sobre la recta. Luego, marca un
punto F que esté entre los puntos E y G.
Marca un punto D. Luego, traza dos rectas que pasen por el
punto D y denótalas con las letras s y t.
Traza una recta y denótala con la letra p. Coloca sobre ella
tres puntos y denótalos con las letras A, B y C. Después, coloca un punto que no esté entre los puntos A y B.
Marca los puntos E, F, G. Luego, traza una recta y denótala
con la letra que pase por los puntos E y F, pero que no pase
por el punto G.
262
UNIDAD 4
Señala en tu libreta, las figuras que tengan dos lados
iguales.
Traza dos segmentos iguales. Denótalos.
Traza con tu plantilla una figura que tenga dos lados
iguales.
Traza tres segmentos de modo que formen un triángulo.
Denótalo.
Di de las proposiciones siguientes cuáles son verdaderas y
cuales son falsas. Convierte las falsas en verdaderas.
a) Dos puntos determinan una recta única.
b) Por dos puntos pasa una y solo una recta.
c) Las rectas se denotan con letra mayúscula.
d) La recta es ilimitada.
e) Un segmento es una porción recta limitada por dos
puntos.
4.1.1 Rectas paralelas y perpendiculares
Observa con detenimiento la figura siguiente y señala las
rectas:
a) que se cortan
b) que no se cortan
263
MATEMÁTICA
Estas rectas
no se cortan.
Estas rectas
se cortan.
Rectas paralelas
Recuerda que…
Dos rectas son paralelas si coinciden o no tienen
puntos comunes; es decir, no se cortan.
l m
Las rectas l y m no se cortan, son paralelas.
A
B
C
D
Los segmentos AB y CD son paralelos.
En resumen
• La recta h es paralela a la recta r.
h
• La recta r es paralela a la recta h.
r
• Las rectas h y r son paralelas.
1. Traza una recta r con la
ayuda de un instrumento de
trazado.
2. Coloca el cartabón de modo
que un lado corto coincida con
la recta r.
264
r
r
UNIDAD 4
r
3. Coloca la regla de modo que
coincida con el lado largo del
cartabón.
4. Desliza el cartabón a lo largo
de la regla hacia arriba.
r
5. Traza una recta a lo largo del borde o lado corto del
cartabón, que habías hecho
coincidir con la recta r, denótala con la letra h.
h
r
Ejercicios
Traza en tu libreta rectas que se corten. Denótalas.
¿Cuáles de estas rectas son paralelas y cuáles no lo son?
m
s
e
f
Observa los pasos para trazar rectas paralelas:
¿Cómo puedes trazar una recta r que sea paralela a una
recta h?
265
MATEMÁTICA
Determina cuáles de estas rectas son paralelas. Si es necesario utiliza la regla y el cartabón.
a)
g
b)
h
l
m
c)
r
s
Traza una recta s. Luego, con la ayuda de la regla y el cartabón traza las rectas r y t paralelas a la recta s.
La recta h pasa por el punto P y es paralela a la recta m.
Describe los pasos que se siguieron para trazar la recta h.
h
m
P
Traza una recta m y coloca un punto Q que no esté sobre la
recta.
Traza una recta n paralela a otra recta m y que pase por el
punto Q.
Traza una recta h y sitúa un punto A que no esté sobre la
recta h. Luego, traza por el punto A una recta s paralela a
la recta h. ¿Cuántas rectas paralelas a la recta h puedes trazar
que pasen por el punto A?
Observa las figuras planas siguientes. Nombra los lados que
sean paralelos.
266
UNIDAD 4
D
C
A
B
T
H
G
E
F
S
U
R
Rectas perpendiculares
Observa con detenimiento las imágenes siguientes y di que
ocurre con las rectas que se han destacado:
Recuerda que…
Dos rectas que al cortarse coinciden con los lados
cortos del cartabón son rectas perpendiculares.
s
P
r
Las rectas s y r se cortan en el punto
P, son perpendiculares.
Rectas perpendiculares
r
h
Las rectas r y h son perpendiculares.
Observa que las rectas r y h al cortarse, coinciden con los lados cortos
del cartabón.
267
MATEMÁTICA
U
R
S
Los segmentos RS
perpendiculares.
y UT
son
T
¿Cómo puedes trazar una recta h que sea perpendicular a
una recta m?
Observa los pasos para trazar rectas paralelas:
1. Traza una recta r con la
ayuda de un instrumento de
trazado.
r
2. Coloca el cartabón de modo
que un lado corto coincida con
la recta r.
r
3. Coloca la regla de modo que
coincida con el lado largo del
cartabón.
r
4. Desliza el cartabón a lo largo
de la regla hacia arriba.
r
268
UNIDAD 4
5. Traza una recta a lo largo
del borde o lado corto del
cartabón, que habías hecho
coincidir con la recta r, denótala con la letra h.
h
r
Observa que trabajamos de la misma forma en el trazado de
las rectas paralelas hasta el paso cuatro. Solo el paso cinco varía
al trazar la recta perpendicular.
En resumen
La recta h es perpendicular
a la recta m.
La recta m es perpendicular
a la recta h.
Las rectas m y h son
perpendiculares.
h
r
El punto P no está sobre
la recta r.
h
m
La recta h es paralela a la
recta r.
La recta r es paralela a la
recta h.
Las rectas h y r son paralelas.
El punto P está sobre
la recta r.
269
MATEMÁTICA
Ejercicios
Comprueba con la regla y el cartabón si todas las rectas que
se cortan son perpendiculares.
a)
s
b)
c)
r
m
t
n
u
Traza una recta s. Luego, traza con la ayuda de la regla y el
cartabón las rectas r y t que sean perpendiculares a la recta s.
Describe cómo puedes trazar una recta h que sea perpendicular a una recta r y que pase por un punto P.
Traza una recta y un punto que no esté sobre la recta.
a) Traza una recta d que sea perpendicular a la recta c y que
pase por el punto N.
Recuerda seguir los pasos que se indican para trazar rectas
perpendiculares. En este caso debes tener presente que la
recta pase por el punto N.
Traza una recta r y sitúa un punto P que no esté sobre la
recta r.
a) Traza una recta t perpendicular a la recta r que pase por
el punto P.
270
UNIDAD 4
b) ¿Puedes trazar otras rectas perpendiculares a la recta r
que pasen por el punto P?
Dobla una hoja de papel de manera que puedas hacer un
barquito. Señala, en los dobleces que se han formado, rectas que se cortan y rectas que no se cortan. Intercambia
con tus compañeros de aula, cuáles son perpendiculares y
cuáles no.
Coloca dos varillas de modo que sean paralelas. Coloca otras
dos de modo que también sean paralelas y que formen un
rectángulo con las dos anteriores. ¿Qué características observas con respecto a sus lados?
Observa alrededor de tu entorno y muestra ejemplos que
asemejen rectas paralelas, compártelo con tus compañeros
de aula.
Traza segmentos paralelos en un papel cuadriculado y denótalos, recuerda utilizar los instrumentos de trazado.
A partir de la imagen siguiente, analiza y responde:
a) Determina si las rectas t y h; t y r; h y r son paralelas.
b) Menciona las rectas que no se cortan.
c) Menciona las rectas que se cortan.
r
t
h
Traza una recta e. Luego, traza una recta b paralela a la recta
e, utiliza regla y cartabón.
271
MATEMÁTICA
Traza un segmento MN y un segmento RS que sea paralelo al
segmento MN.
Traza una recta a. Luego, traza dos rectas b y c que sean paralelas a la recta a.
Traza una recta r y sitúa un punto P que no esté sobre la
recta r.
a) Traza una recta s paralela a la recta r que pase por el
punto P.
Traza tres segmentos AB, CD y EF tales que:
a) AB y CD sean paralelos.
b) CD y EF no sean paralelos.
Observa alrededor de tu entorno y muestra ejemplos que se
asemejen a rectas perpendiculares. Compártelo con tus compañeros de aula.
Observa las figuras planas siguientes y determina cuáles de
ellas tiene lados perpendiculares.
1
3
2
5
Determina si las rectas a y c; a y d; b y c; b y d; c y d son
perpendiculares.
b
a
272
c
d
UNIDAD 4
Traza una recta m. Luego, traza dos rectas n y s que sean
perpendiculares a la recta m. Comprueba que las rectas n y s
son paralelas.
Traza un segmento AB. Después, traza un segmento CD que
sea perpendicular al segmento AB.
Traza en papel cuadriculado un rectángulo y un cuadrado.
Denótalos y di qué lados son paralelos y qué lados son
perpendiculares.
Traza una recta r y un punto P que no esté sobre la recta r.
a) Traza una recta h perpendicular a la recta r, que pase por
el punto P.
b) Traza una recta m paralela a la recta r, que pase por el
punto P.
Traza una recta l y ubica un punto P que no esté sobre la
recta l.
a) Traza una recta h perpendicular a la recta l y que pase por
el punto P.
Traza dos rectas b y c perpendiculares a una recta a.
a) ¿Cuáles de esas rectas se cortan?
b) ¿Cuáles de esas rectas son paralelas?
Traza una recta h paralela a una recta r.
a) Traza tres rectas i; k; l, perpendiculares a la recta r.
b) ¿Cuáles de esas rectas son paralelas?
c) Nombra todas las rectas que son perpendiculares.
273
MATEMÁTICA
Distancia entre dos rectas paralelas
Ya conocemos las unidades de longitud, con las cuales podemos medir distancias. Aprenderemos ahora que entre las rectas
también hay distancias que se pueden medir.
Analiza la situación:
Carlos va a cruzar la calle y quiere escoger el camino más
corto. ¿Cuál de los caminos debe escoger?
Para dar solución al problema, vamos a representar geométricamente lo que nos ilustra la imagen: la recta r, va a representar
la posición de Calos y la recta s, el lugar hacia donde se dirige.
274
UNIDAD 4
Observa que esas rectas son paralelas. Los segmentos KP; KA y KC
representan los diferentes caminos a escoger.
r
s
P
A
C
K
Si medimos con un instrumento de trazado la longitud de
los segmentos, comprobaras que el segmento PK es el que tiene menor longitud y además es perpendicular a las rectas r y s.
Por lo tanto, el camino que debe escoger Carlos es el que representa el segmento PK, porque es el que menor longitud
tiene de los tres.
La distancia entre el punto K y la recta r es la longitud del
segmento PK; la distancia entre las rectas r y s es también la longitud de PK. Recuerda que PK es perpendicular a la recta r.
La distancia entre dos rectas paralelas, lo determina el segmento que va desde un punto dado en una de las rectas hasta la
otra recta y las corta perpendicularmente.
¿Sabes trazar dos rectas paralelas?
Observa los pasos de cómo trazar dos rectas paralelas r y t a
una distancia de 2 cm:
1. Traza una recta r con la ayuda de
un instrumento de trazado.
r
275
MATEMÁTICA
2. Traza una recta s perpendicular a
la recta r. Donde se cortan las rectas
r y s. Señala el punto E.
r
3. Con la ayuda de la regla mide
sobre la recta s dos cm de longitud
y determina el punto D, formándose
el segmento ED.
r
4. Traza una recta t paralela a la
recta r que pase por el punto D. Las
rectas paralelas r y t se encuentran
a dos cm de distancia.
s
E
D s
E
r
t
D s
E
Ejercicios
Traza una recta b, y a una distancia de cuatro cm traza una
recta c paralela a la recta b.
Traza dos rectas r y h a una distancia de tres cm.
a) Traza un punto P que esté a dos cm de distancia de la
recta r.
b) Traza la recta l paralela a la recta r y que pase por el
punto P.
276
UNIDAD 4
4.2 Paralelogramos
Repasemos:
¿Qué figuras reconoces en la imagen que se presenta a continuación? Señala los cuadriláteros que observas:
Recuerda que…
Los cuadriláteros son figuras planas que tiene cuatro
lados y cuatro vértices.
1. Forma con varillas cuadriláteros que tengan los lados opuestos paralelos
2. Dadas las figuras:
C
D
H
G
E
A
F
B
a) Mide la longitud de los lados de los cuadriláteros ABCD y
EFGH.
b) Compara las longitudes de sus lados opuestos.
277
MATEMÁTICA
Paralelogramo
N
U
M
O
P
R
Un paralelogramo es un cuadriT
látero de cuatro lados iguales.
Sus lados opuestos son paralelos e iguales.
S ON y PM; OP y NM
UT y RS; UR y TS
¿Cuáles de las figuras siguientes son paralelogramos?
Observa los pasos siguientes de cómo construir un paralelogramo con regla y cartabón:
s
1. Traza dos rectas paralelas r y
s con la ayuda de los instrumentos de trazado.
r
m
2. Traza una recta m que corte a
las rectas r y s.
278
s
r
UNIDAD 4
3. Traza una recta n paralela a
la recta m. Denota los vértices
con las letras A , B , C y D. Se obtiene el paralelogramo ABCD.
mD
A
C n
s
B
r
Ejercicios
Traza en tu libreta o papel cuadriculado, otros paralelogramos con la ayuda de los instrumentos de trazado. Denótalos.
Forma con varillas un paralelogramo. ¿Puedes formar con las
mismas varillas otro paralelogramo?
Traza en tu libreta o papel cuadriculado un paralelogramo
con regla y cartabón. Denótalos.
a) Escribe cuáles son los lados iguales.
Traza un paralelogramo en papel de colores. Recórtalo y pégalo en tu libreta.
Menciona objetos del entorno en los que reconozcas
paralelogramos.
Dobla un papel a la mitad. Traza un paralelogramo y recórtalo. Coloca uno sobre el otro. ¿Qué observas?
Traza con tu plantilla, en papel de colores, varios paralelogramos iguales. Recórtalos. Haz una cenefa siguiendo un
patrón.
Traza un paralelogramo. Luego, traza un segmento de modo
que se obtengan dos triángulos.
279
MATEMÁTICA
4.2.1 Rectángulo, cuadrado
¿Serán el rectángulo y el cuadrado paralelogramos?
¿Sus lados consecutivos son perpendiculares?
1. Observa que, en los cuadriláteros siguientes se han marcado
dos lados consecutivos. Nómbralos.
a) Nombra otros lados consecutivos de estos cuadriláteros.
b) Nombra dos lados que no sean consecutivos. ¿Cómo se les
llama a esos lados?
Forma cuadriláteros con varillas. Los lados consecutivos
deben ser de diferente color.
¿Cuáles de cuadriláteros siguientes son paralelogramos?
a) ¿Cuáles de los paralelogramos tiene los lados consecutivos perpendiculares?
280
UNIDAD 4
Recuerda que…
El rectángulo y el cuadrado son paralelogramos que
tienen sus lados consecutivos perpendiculares.
Un cuadrado es un rectángulo con sus cuatro lados
iguales.
Observa los pasos siguientes de cómo construir un rectángulo
con regla y cartabón:
1. Con la ayuda de los instrumentos de trazado. Traza una recta
r. Después, traza una recta s perpendicular a la recta r.
s
r
s
2. Traza una recta m paralela a la
recta s.
m
r
281
MATEMÁTICA
3. Traza una recta n que sea paralela a la recta r y que corte a la
recta m. Denota los vértices con
las letras F , G , H y T. Se obtiene el
rectángulo FGHT.
H
s T
m
n
G
r
F
Ejercicios
Traza el rectángulo RSTU. Sigue los pasos anteriores.
¿Puedes seguir otros pasos para su construcción?
Traza un rectángulo y un cuadrado en tu libreta o papel cuadriculado. No te olvides de utilizar la regla y el cartabón.
Forma cuadriláteros con varillas que tengan las características siguientes:
a) Los lados opuestos paralelos.
b) Los lados opuestos paralelos y los lados consecutivos
perpendiculares.
c) Los lados consecutivos perpendiculares y los cuatro lados
iguales.
Traza dos rectas que sean paralelas. Continúa el trazado de
manera tal que obtengas un paralelogramo (rectángulo).
Traza dos rectas que sean perpendiculares. Continúa el trazado de manera tal que obtengas un rectángulo.
Traza un cuadrado ABCD cuyos lados sean de 4 cm de largo.
282
UNIDAD 4
Traza un rectángulo EFGH cuyos lados sean de 4 cm y 3 cm de
largo.
¿Qué figuras reconoces en estos dibujos? Señala los rectángulos iguales.
a)
b)
Descompón un rectángulo mediante un segmento en:
a) dos triángulos.
b) dos rectángulos.
Busca en el cuadrilátero ABCD tres cuadrados y nuve
rectángulos.
D
G
J
H
A
C
F
B
E
El cuadrilátero siguiente es el rectángulo RSTU:
a) ¿Qué figuras aparecen dentro del rectángulo RSTU?
b) ¿Cuántas figuras hay de cada tipo?
T
U
V
R
W
S
283
MATEMÁTICA
Traza con tu plantilla en papel de colores, varios cuadrados
iguales.
a) Recórtalos.
b) Haz una secuencia geométrica siguiendo un patrón.
Observa la sucesión de figuras siguientes:
a) Dibuja en tu libreta la figura que continúa.
Observa en el paralelogramo CFHI:
a) ¿Cuántas figuras hay de cada tipo? Señala las que sean
iguales (puedes utilizar regla, cartabón, papel transparente o por superposición).
Traza en tu libreta un rectángulo utilizando plantilla.
Denótalo.
a) ¿Cuántos lados y vértices tiene?
Traza en tu libreta figuras como estas, puedes utilizar la
regla o el cartabón para medir las longitudes de sus lados.
Recórtalas y forma nuevas figuras.
284
UNIDAD 4
4.3 Prisma. Ortoedro y cubo
¿Cuáles de los objetos tienen forma de ortoedro y de
cubo?
PERFUME
TALCO
Como puedes observar los ortoedros y cubos representados, son cuerpos geométricos que están limitados por
paralelogramos.
¿Serán el ortoedro y el cubo prismas?
Analiza el ejercicio para dar respuesta a la pregunta:
285
MATEMÁTICA
Observa los cuerpos geométricos siguientes:
a) ¿Cuántos vértices, aristas y caras tienen?
b) ¿Qué figuras geométricas representan sus caras?
c) ¿Cómo son sus caras opuestas?
Recuerda que…
Las caras opuestas del ortoedro y el cubo son iguales.
Prisma
En estos prismas hay un
par de caras opuestas
iguales que pueden ser:
triángulos, cuadriláteros, entre otros.
Las otras caras son
rectángulos.
Recuerda que…
El ortoedro y el cubo son prismas.
286
UNIDAD 4
La caja siguiente tiene forma de cubo. Vamos a descomponerla:
Si se coloca abierta sobre una hoja de papel y se dibuja se obtiene el desarrollo del cubo.
Vamos a trazar el desarrollo de cubos y ortoedros en el papel
cuadriculado. Luego comparamos:
El número de caras
• Las caras opuestas
•
Cubo
Ortoedro
287
MATEMÁTICA
Ejercicios
Busca objetos en el entorno que tengan forma de prisma.
Muestra en ellos las caras opuestas que son iguales.
Modela con plastilina un cuerpo con forma de prisma.
Señala en un ortoedro: vértices, aristas y caras.
¿Cuáles segmentos del cubo son paralelos y perpendiculares? Señálalo en tu libreta.
C
D
A
B
F
E
H
G
Nombra objetos del entorno que tengan forma de ortoedro
y de cubo.
Busca una caja pequeña de cartón que tenga forma de
ortoedro y colorea las caras opuestas de un mismo color (utiliza tres colores diferentes).
a) Abre la caja y recorta las caras.
b) Superpón una cara sobre la otra. ¿Qué observas?
De los cuerpos geométricos siguientes, ¿cuáles tienen forma
de prima?
288
UNIDAD 4
Observa el siguiente cuerpo geométrico:
a) ¿Qué elemento es el que se está indicando con la flecha?
4.4 Circunferencia y círculo. Cilindro
¿Cuáles tienen forma de circunferencias, círculo?
Recuerda que…
El borde del círculo se llama circunferencia.
289
MATEMÁTICA
Lee detenidamente y haz lo que se te indica.
1. Marca en tu libreta un punto O. Utilizando el compás traza
una circunferencia de centro O.
a) Coloca un punto P sobre la circunferencia y une el punto O
con el punto P.
S
r
r
r
R
O
r
El punto O es el centro de la
circunferencia.
P
Los segmentos que van desde el centro O a cualquiera de los puntos que
determinan la circunferencia se le denomina radio de la circunferencia (r).
Q Son radios de la circunferencia:
OQ, OR, OS y OP
2. Traza con el compás una circunferencia de centro M. Luego,
traza cuatro radios en esa circunferencia. Mide y compra las
longitudes de esos radios.
Recuerda que…
Todos los radios de una circunferencia son iguales.
3. Traza en tu libreta circunferencias de centro O; M y S. Traza un
radio en cada una de ellas.
¿Cómo trazamos una circunferencia con el compás dado un
segmento (radio) o la longitud de su radio? Veamos qué pasos se
deben seguir:
290
UNIDAD 4
1. Determina con el compás la longitud en una regla.
2. Con esa abertura tomamos
el compás por la parte superior
y lo hacemos girar trazando la
circunferencia.
Q
P
Dado el segmento OP, trazamos una circunferencia de centro
O y radio OP.
O
P
1. Con la regla trazamos un segmento OP de 2 cm de largo.
2. Colocamos la punta del compás
en el punto O y el otro extremo en
el punto P, por la parte superior lo
hacemos girar trazando la circunferencia de centro O y radio OP.
O
r
2 cm
P
291
MATEMÁTICA
Ejercicios
Traza con el compás una circunferencia de centro M. Luego,
traza cuatro radios en esa circunferencia. Mide y compra las
longitudes de esos radios.
Traza en tu libreta circunferencias de centro O; M y S. Traza
un radio en cada una de ellas.
Traza una circunferencia de centro P con un radio de 3 cm.
Utiliza el compás.
Traza circunferencias de radios iguales. Recorta los círculos y
superponlos unos sobre otros. ¿Qué observas?
Traza una circunferencia alrededor de un punto O, con un
radio de longitud r = 2 cm; r = 3 cm; r = 4 cm.
¿Cuántas circunferencias observas? ¿Cuáles son iguales?
Construye la diana. Los radios de las circunferencias deben
ser de 2 cm; 4 cm; 5 cm; 8 cm.
292
UNIDAD 4
25
50
75
100
Dadas las figuras:
Figura 1
Figura 2
a) ¿Cómo se trazaron las figuras (1) y (2)?
b) Traza con el compás figuras como la (1) y (2). Puedes crear
otras.
* Traza tres circunferencias y dos rectas con las características
siguientes:
a) Las circunferencias tienen el mismo centro O.
b) La longitud de los radios de las circunferencias se diferencia en 1 cm.
c) La mayor de estas circunferencias tiene r = 4 cm.
d) El centro O es el punto donde se cortan las dos rectas que
son perpendiculares.
293
MATEMÁTICA
Cilindro
Observa las ilustraciones siguientes:
Los objetos que aparecen en la ilustración tienen forma de
cilindro. Observa que en todo cilindro podemos apreciar dos
círculos. A estos círculos se les llama base.
Base
Superficie lateral curva
Base
Recuerda que…
Las dos bases de un cilindro son círculos iguales, pues
al superponerlas coinciden.
294
UNIDAD 4
Observemos el desarrollo plano de un cilindro:
¿Cómo puedes determinar si una superficie de un cuerpo
geométrico es plana o no?
Observa que una de las caras del prisma descansa completamente sobre la mesa, ¿ocurre lo mismo con las bases del
cilindro?
295
MATEMÁTICA
¿Conoces objetos de tu entorno que tengan forma de
esfera?
Recuerda que…
La esfera es un cuerpo geométrico redondo, sin superficies planas; no tiene caras ni bases.
Ejercicios
Coloca un cilindro sobre una hoja de papel y traza una
base. Coloca el cilindro al revés y traza la otra base. Recórtalas.
Compara las dos bases. ¿Qué puedes notar?
De los cuerpos geométricos siguientes, ¿Cuáles tienen forma
de cilindro?
296
UNIDAD 4
Dale forma de cilindro a una hoja de papel.
Nombra objetos que tengan solamente caras planas.
a) Nombra objetos que no tengan solamente caras planas.
b) Nombra objetos que no tengan caras planas.
Modela con plastilina prismas, cilindros y esferas.
¿Qué figuras reconoces en este dibujo?
¿Qué cuerpos geométricos y figuras planas reconoces en los
objetos siguientes?
297
TABLAS
MATEMÁTICA
0·2= 0
2 · 0= 0
1·2= 2
2 · 1= 2
2·2= 4
2 · 2= 4
3·2= 6
2 · 3= 6
4·2= 8
2 · 4= 8
5 · 2 = 10
2 · 5 = 10
6 · 2 = 12
2 · 6 = 12
7 · 2 = 14
2 · 7 = 14
8 · 2 = 16
2 · 8 = 16
9 · 2 = 18
2 · 9 = 18
10 · 2 = 20
2 · 10 = 20
MATEMÁTICA
2:2= 1
2: 1=2
4:2= 2
4: 2=2
6:2= 3
6: 3=2
8:2= 4
8: 4=2
10 : 2 = 5
10 : 5 = 2
12 : 2 = 6
12 : 6 = 2
14 : 2 = 7
14 : 7 = 2
16 : 2 = 8
16 : 8 = 2
18 : 2 = 9
18 : 9 = 2
20 : 2 = 10
20 : 10 = 2
MATEMÁTICA
0·3= 0
3 · 0= 0
1·3= 3
3 · 1= 3
2·3= 6
3 · 2= 6
3·3= 9
3 · 3= 9
4 · 3 = 12
3 · 4 = 12
5 · 3 = 15
3 · 5 = 15
6 · 3 = 18
3 · 6 = 18
7 · 3 = 21
3 · 7 = 21
8 · 3 = 24
3 · 8 = 24
9 · 3 = 27
3 · 9 = 27
10 · 3 = 30
3 · 10 = 30
MATEMÁTICA
3:3= 1
3: 1=3
6:3= 2
6: 2=3
9:3= 3
9: 3=3
12 : 3 = 4
12 : 4 = 3
15 : 3 = 5
15 : 5 = 3
18 : 3 = 6
18 : 6 = 3
21 : 3 = 7
21 : 7 = 3
24 : 3 = 8
24 : 8 = 3
27 : 3 = 9
27 : 9 = 3
30 : 3 = 10
30 : 10 = 3
MATEMÁTICA
0·4= 0
4· 0= 0
1·4= 4
4· 1= 4
2·4= 8
4· 2= 8
3 · 4 = 12
4 · 3 = 12
4 · 4 = 16
4 · 4 = 16
5 · 4 = 20
4 · 5 = 20
6 · 4 = 24
4 · 6 = 24
7 · 4 = 28
4 · 7 = 28
8 · 4 = 32
4 · 8 = 32
9 · 4 = 36
4 · 9 = 36
10 · 4 = 40
4 · 10 = 40
MATEMÁTICA
4:4= 1
4: 1=4
8:4= 2
8: 2=4
12 : 4 = 3
12 : 3 = 4
16 : 4 = 4
16 : 4 = 4
20 : 4 = 5
20 : 5 = 4
24 : 4 = 6
24 : 6 = 4
28 : 4 = 7
28 : 7 = 4
32 : 4 = 8
32 : 8 = 4
36 : 4 = 9
36 : 9 = 4
40 : 4 = 10
40 : 10 = 4
MATEMÁTICA
0·5= 0
5· 0= 0
1·5= 5
5· 1= 5
2 · 5 = 10
5 · 2 = 10
3 · 5 = 15
5 · 3 = 15
4 · 5 = 20
5 · 4 = 20
5 · 5 = 25
5 · 5 = 25
6 · 5 = 30
5 · 6 = 30
7 · 5 = 35
5 · 7 = 35
8 · 5 = 40
5 · 8 = 40
9 · 5 = 45
5 · 9 = 45
10 · 5 = 50
5 · 10 = 50
MATEMÁTICA
5:5= 1
5: 1=5
10 : 5 = 2
10 : 2 = 5
15 : 5 = 3
15 : 3 = 5
20 : 5 = 4
20 : 4 = 5
25 : 5 = 5
25 : 5 = 5
30 : 5 = 6
30 : 6 = 5
35 : 5 = 7
35 : 7 = 5
40 : 5 = 8
40 : 8 = 5
45 : 5 = 9
45 : 9 = 5
50 : 5 = 10
50 : 10 = 5
MATEMÁTICA
0·6= 0
6· 0= 0
1·6= 6
6· 1= 6
2 · 6 = 12
6 · 2 = 12
3 · 6 = 18
6 · 3 = 18
4 · 6 = 24
6 · 4 = 24
5 · 6 = 30
6 · 5 = 30
6 · 6 = 36
6 · 6 = 36
7 · 6 = 42
6 · 7 = 42
8 · 6 = 48
6 · 8 = 48
9 · 6 = 54
6 · 9 = 54
10 · 6 = 60
6 · 10 = 60
MATEMÁTICA
6:6= 1
6: 1=6
12 : 6 = 2
12 : 2 = 6
18 : 6 = 3
18 : 3 = 6
24 : 6 = 4
24 : 4 = 6
30 : 6 = 5
30 : 5 = 6
36 : 6 = 6
36 : 6 = 6
42 : 6 = 7
42 : 7 = 6
48 : 6 = 8
48 : 8 = 6
54 : 6 = 9
54 : 9 = 6
60 : 6 = 10
60 : 10 = 6
MATEMÁTICA
0·7= 0
7· 0=0
1·7= 7
7· 1= 7
2 · 7 = 14
7 · 2 = 14
3 · 7 = 21
7 · 3 = 21
4 · 7 = 28
7 · 4 = 28
5 · 7 = 35
7 · 5 = 35
6 · 7 = 42
7 · 6 = 42
7 · 7 = 49
7 · 7 = 49
8 · 7 = 56
7 · 8 = 56
9 · 7 = 63
7 · 9 = 63
10 · 7 = 70
7 · 10 = 70
MATEMÁTICA
7:7= 1
7: 1=7
14 : 7 = 2
14 : 2 = 7
21 : 7 = 3
21 : 3 = 7
28 : 7 = 4
28 : 4 = 7
35 : 7 = 5
35 : 5 = 7
42 : 7 = 6
42 : 6 = 7
49 : 7 = 7
49 : 7 = 7
56 : 7 = 8
56 : 8 = 7
63 : 7 = 9
63 : 9 = 7
70 : 7 = 10
70 : 10 = 7
MATEMÁTICA
0·8= 0
8· 0= 0
1·8= 8
8· 1= 8
2 · 8 = 16
8 · 2 = 16
3 · 8 = 24
8 · 3 = 24
4 · 8 = 32
8 · 4 = 32
5 · 8 = 40
8 · 5 = 40
6 · 8 = 48
8 · 6 = 48
7 · 8 = 56
8 · 7 = 56
8 · 8 = 64
8 · 8 = 64
9 · 8 = 72
8 · 9 = 72
10 · 8 = 80
8 · 10 = 80
MATEMÁTICA
8:8= 1
8: 1=8
16 : 8 = 2
16 : 2 = 8
24 : 8 = 3
24 : 3 = 8
32 : 8 = 4
32 : 4 = 8
40 : 8 = 5
40 : 5 = 8
48 : 8 = 6
48 : 6 = 8
56 : 8 = 7
56 : 7 = 8
64 : 8 = 8
64 : 8 = 8
72 : 8 = 9
72 : 9 = 8
80 : 8 = 10
80 : 10 = 8
MATEMÁTICA
0·9= 0
9· 0= 0
1·9= 9
9· 1= 9
2 · 9 = 18
9 · 2 = 18
3 · 9 = 27
9 · 3 = 27
4 · 9 = 36
9 · 4 = 36
5 · 9 = 45
9 · 5 = 45
6 · 9 = 54
9 · 6 = 54
7 · 9 = 63
9 · 7 = 63
8 · 9 = 72
9 · 8 = 72
9 · 9 = 81
9 · 9 = 81
10 · 9 = 90
9 · 10 = 90
MATEMÁTICA
9:9= 1
9: 1=9
18 : 9 = 2
18 : 2 = 9
27 : 9 = 3
27 : 3 = 9
36 : 9 = 4
36 : 4 = 9
45 : 9 = 5
45 : 5 = 9
54 : 9 = 6
54 : 6 = 9
63 : 9 = 7
63 : 7 = 9
72 : 9 = 8
72 : 8 = 9
81 : 9 = 9
81 : 9 = 9
90 : 9 = 10
90 : 10 = 9
MATEMÁTICA
0 · 10 = 10
10 · 0 = 0
1 · 10 = 10
10 · 1 = 10
2 · 10 = 20
10 · 2 = 20
3 · 10 = 30
10 · 3 = 30
4 · 10 = 40
10 · 4 = 40
5 · 10 = 50
10 · 5 = 50
6 · 10 = 60
10 · 6 = 60
7 · 10 = 70
10 · 7 = 70
8 · 10 = 80
10 · 8 = 80
9 · 10 = 90
10 · 9 = 90
10 · 10 = 100
10 · 10 = 100
MATEMÁTICA
10 : 10 = 1
10 : 1 = 10
20 : 10 = 2
20 : 2 = 10
30 : 10 = 3
30 : 3 = 10
40 : 10 = 4
40 : 4 = 10
50 : 10 = 5
50 : 5 = 10
60 : 10 = 6
60 : 6 = 10
70 : 10 = 7
70 : 7 = 10
80 : 10 = 8
80 : 8 = 10
90 : 10 = 9
90 : 9 = 10
100 : 10 = 10
100 : 10 = 10
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